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I. Introducción

Se dice que un problema es hiperestático cuando el número de incógnitas estáticas (reacciones, esfuerzos, tensiones) es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio de las que se dispone para resolverlo. El número de incógnitas en exceso sobre el número de ecuaciones se define como grado de hiperestaticidad del problema. El procedimiento a seguir para la resolución de un problema hiperestático se puede enunciar de la siguiente manera: 1.- Identificar el grado de hiperestaticidad externa (GDH) mediante la siguiente ecuación: GDH = n° de reacciones – 3 2.- Liberar tantas ligaduras (movimientos restringidos) como sean necesarios para convertir el pórtico en un problema isostático, sustituyendo las reacciones por unas fuerzas exteriores de valor incógnita llamadas reacciones hiperestáticas. 3.- Resolver el valor de los desplazamientos liberados mediante las ecuaciones de Navier-Bresse. Estos desplazamientos quedaran en función de las reacciones hiperestáticas. 4.- Calcular el valor de estas reacciones mediante la imposición de las ecuaciones de compatibilidad, que vuelven a restringir el desplazamiento liberado.

II. Objetivos Conocer como de determina el grado de hiperestaticidad de un sistema estructural Diferenciar entre hiperestaticidad externa interna y total de una estructura

III. Marco teórico

Hiperestaticidad estructural

1. Hiperestaticidad externa. (ge)

En este diagrama se considera a toda la estructura como un sólido rígido, y se sustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantas incógnitas como reacciones haya, en número r. A este conjunto se le aplica un estudio de estabilidad.

El número de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio r<q: la estructura es un conjunto inestable, y se dice que es externamente inestable. Sin embargo para ciertas combinaciones particulares de las fuerzas exteriores la estructura puede encontrarse en equilibrio, que se denomina equilibrio inestable.

El número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio r=q. En principio la estructura es externamente isostática ya que hay ecuaciones de la estática en número suficiente para calcular todas las reacciones. Sin embargo esta condición es necesaria pero no suficiente para garantizar que la estructura es externamente isostática.

En efecto, puede ocurrir que el número de reacciones sea el correcto, pero que su disposición geométrica sea tal que la estructura sea inestable en una determinada dirección: se dice en este caso que tiene inestabilidad externa. Esto ocurre por ejemplo en una estructura plana cuando las tres reacciones se cortan en un punto, o son paralelas.

El número de reacciones es mayor que el de ecuaciones de equilibrio r>q. La estructura está estáticamente indeterminada en principio, y se dice que es externamente hiperestática: es necesario introducir nuevas condiciones, además de las de la estática, para calcular las reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condición es

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necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, éstas tengan una disposición espacial tal que no impidan la existencia de algún tipo de inestabilidad en alguna otra dirección.

r <q Inestable externamenter=q Isostática externamenter>q Hiperestática externamente

2. Hiperestaticidad total

La hiperestaticidad total (gt) es la suma de la hiperestaticidad externa (ge) más la hiperestaticidad interna (gi)

¿=¿+gi

2.1.Para armadurasa. Celosías planas

En este caso se dispone de dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas según las direcciones X e Y de cada nudo, dando un total de 2n ecuaciones para los n nudos. Comparando con las b+r incógnitas existentes, las distintas situaciones que pueden producirse son:

A b+r < 2n InestableB Isostática b+r = 2nC Hiperestática b+r > 2n

Estas relaciones definen la condición de estabilidad global de la celosía, considerándola como un todo único. La condición A es suficiente para indicar que la celosía tiene algún tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior.Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes ya que además se requiere que haya una disposición de barras y reacciones tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningún subconjunto de la celosía.En todo caso, además de la aplicación de las fórmulas anteriores, se requiere normalmente un análisis visual de la estructura para su correcta clasificación.

b. Celosías espaciales

En este caso se dispone de tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas en cada nudo, según las direcciones X, Y, Z. Las distintas situaciones que pueden producirse son las mismas que en el caso plano:

A b+r < 3n InestableB Isostática b+r = 3nC Hiperestática b+r > 3n

algún tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere además que haya una disposición de barras y reacciones tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningún subconjunto de la celosía.Por lo tanto es necesario también un análisis visual de la estructura para su correcta clasificación, lo cual resulta normalmente bastante complejo dada la distribución espacial de las barras.

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2.2.PARA VIGASa. Estabilidad a flexión y cortante

De las tres ecuaciones de la estática disponibles en el plano, sólo se pueden usar dos para estudiar la estabilidad a flexión: la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales y la ecuación de equilibrio de momentos. Sean:

r el número de reacciones en los apoyos que afectan a la flexión. Es decir que se consideran únicamente las reacciones en dirección Y (imposibilidad de movimiento transversal) y los momentos (imposibilidad de giro),

c el número de condiciones de construcción que afectan a la flexión. Éstas pueden ser articulaciones (condiciones de momento flector nulo) o deslizaderas verticales (esfuerzo cortante nulo).

El número de fuerzas incógnita en una viga es: cuatro para cada barra (dos fuerzas cortantes y dos momentos en cada extremo), más r incógnitas debidas a las reacciones. El número de ecuaciones de equilibrio disponibles es: 2b ecuaciones debidas a las b barras (una ecuación de equilibrio de fuerzas y otra de momentos), más 2(b+1) ecuaciones debidas a los b+1 nudos (una ecuación de equilibrio de fuerzas y otra de momentos), más c ecuaciones debidas a las condiciones de construcción.Las condiciones de estabilidad referentes a la flexión se obtienen comparando el número de incógnitas con el de reacciones y se resumen en la tabla siguiente:

A 4b + r < 4b + 2 + c Inestable

B Isostática 4b + r = 4b + 2 + cC Hiperestática 4b + r > 4b + 2 + c

Estas relaciones definen la estabilidad de la viga considerándola como un todo único, en lo que a su comportamiento a flexión se refiere.La condición A es suficiente para indicar que la viga tiene algún tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. El número de grados de libertad de la viga es g=2+c-r.Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere además que haya una disposición de las barras y las reacciones tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningún subconjunto de la viga. Si esta disposición es adecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso C es h=r-c-2.

b. Estabilidad a esfuerzo axial

En la dirección axial sólo hay una ecuación de equilibrio estático, de las tres existentes en el plano, y es con respecto a ella con quien se comparan las incógnitas existentes. Sean:

ra el número de reacciones en los apoyos que afectan al esfuerzo axial. Es decir que se consideran únicamente las reacciones en dirección X (imposibilidad de movimiento longitudinal), y

ca el número de condiciones de construcción que afectan al esfuerzo axial. Estas pueden ser únicamente deslizaderas longitudinales (esfuerzo axial nulo). La condiciones de estabilidad referentes al esfuerzo axial son las siguientes:

A ra < 1 + ca InestableB Isostática ra = 1 + caC Hiperestática ra > 1 + ca

Estas relaciones definen la condición de estabilidad de la viga en su dirección axial, considerándola como un todo único. La condición A es suficiente para indicar que la viga tiene algún tipo de

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nestabilidad axial, pero sin indicar su origen interior o exterior. El número de grados de libertad de la viga es ga=1+ca-ra.Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que además se requiere que haya una disposición de las barras y de las reacciones axiales tal que no exista inestabilidad exterior ni interior, en ningún subconjunto de la viga. Si esta disposición es adecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso C es ha=ra-ca-1.En todo caso, además de la aplicación de las fórmulas anteriores, se requiere normalmente un análisis visual de la estructura para su correcta clasificación.

2.3.PORTICOSa. Condiciones De Estabilidad

En los pórticos la mayor parte de las barras están empotradas entre sí, por lo que no suelen presentarse problemas de estabilidad, y el grado de indeterminación estática suele ser muy alto. Se denomina r al número de reacciones en los apoyos, c al número de condiciones de construcción, b al número de barras y n al número de nudos.

b. Pórticos planosEn este caso las reacciones pueden ser dos fuerzas en las direcciones X e Y, y un momento en la dirección Z. Las condiciones de construcción pueden ser articulaciones (condiciones de momento flector nulo), o deslizaderas en sentido axial o transversal a cada barra (fuerza axial o cortante nula).El número de ecuaciones de la estática que pueden plantearse es 3 por cada nudo y 3 más por cada barra, que unidas a las c condiciones de construcción dan 3n+3b+c ecuaciones. Por otro lado el número de fuerzas incógnita es de 6 por cada barra, más las r reacciones exteriores, dando 6b+r incógnitas.Con estas magnitudes, la condiciones de estabilidad del pórtico se resumen en la tabla siguiente:

A 6b + r < 3n + 3b +c InestableB Isostático 6b + r = 3n + 3b +cC Hiperestático 6b + r > 3n + 3b +c

La condición A es suficiente para indicar que el pórtico es inestable, pero sin indicar el origen de esta inestabilidad. El número de grados de libertad g=3n-3b+c-r. Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere además que haya una disposición de las barras y las reacciones tal que no exista inestabilidad exterior del pórtico en su conjunto, ni interior en ningún subconjunto del mismo.Si la disposición de las barras es adecuada para que no haya inestabilidad, el grado de hiperestaticidad en el caso C es h=3b-3n +r -c.

c. Pórticos espacialesEn los pórticos espaciales las reacciones en los apoyos pueden ser tres fuerzas y tres momentos. Las condiciones de construcción pueden ser articulaciones (condiciones de momento flector o torsor nulo) o deslizaderas (fuerza axial o fuerza cortante nula).El número de ecuaciones de la estática que pueden plantearse es 6 por cada nudo y 6 más por cada barra, que unidas a las c condiciones de construcción dan un total de 6n+6b+c ecuaciones. Por otro lado el número de fuerzas incógnita es de 12 por cada barra (6 en cada extremo), más las r reacciones exteriores, dando 12b+r incógnitas.Con estas magnitudes, laS condiciones de estabilidad del pórtico se resumen en la tabla siguiente:

A 12b + r < 6n + 6b +c InestableB Isostático 12b + r = 6n + 6b +cC Hiperestático 12b + r > 6n + 6b +c

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Al igual que en el caso plano la condición A es suficiente para indicar que el pórtico tiene algún tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o exterior. El número de grados de libertad es g=6n-6b+c-r.Las condiciones B y C son necesarias pero no suficientes, ya que se requiere además que la disposición de las barras y las reacciones sea tal que no se produzca inestabilidad exterior ni interior en ningún subconjunto del pórtico. Si esta disposición es adecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso C es h=6b-6n+r-c.

IV. CONCLUSIONES Para cada sistema como lo es las armaduras , vigas y pórticos por sus elementos que lo

conforman tienen diferentes ecuaciones para determinar su grado de estaticidad. El grado de hiperestaticidad interna se determinara despejándolo de la ecuación grado de

hiperestaticidad total= gi+ge Para sistemas compuesto hay que combinar las ecuacionesV. RECOMENDACIONESVI. BIBLIOGRAFIA

Curso de Análisis estructural de JUAN TOMÁS CELIGÜETA- EUNSA

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