Hiperbola Completo

7/21/2019 Hiperbola Completo

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La hipérbola

Matemáticas Preuniversitarias

Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda



La hipérbola na hipérbola es el con!unto de todos los

puntos (x,y) en el plano" tales #ue la di$erencia positiva entre las distancias de (x,y) a un parde puntos $i!os distintos %los $ocos es i'ual auna constante.

(epresentamos a los $ocos como F(c,0) ) F’(-c,0) ) a

la constante como 2a. *i (x,y) representa un punto de

la hipérbola" #ue se muestra a continuaci+n,



( ) ( ) a yc x yc x ----- ±=++−+−

( ) ( ) a yc x yc x ----- ±++=+−

( ) ---------

..-- a yc xa yccx x yccx x +++±+++=++−

-

--

------

a xccxa yccx x ++=+++

----

-

--

ac y xa

ac−=−

−

/--

-

-

-

=−

−ac

y

a

x

( ) cxa yc xa ...--- +=++

( )a

cxa yc x +=++ --



0n el trián'ulo PCC1 de la $i'ura anterior

*ea b2=c2-a2

0ntonces

22 CC PC PC +<

22 CC PC PC <−ca -- <

ca <

3-- >− ac

/-

-

-

-

=− b

y

a

x



0l e!e x #ue contiene dos puntos de la hipérbola sellama e!e transversal4 ele!e y" e!e con!u'ado.

Los puntos ( ± a,0) del e!etransversal son losvértices" ) el punto deintersecci+n de los e!es

(0,0)" se llama centro.



n punto (x,y) está en la hipérbola con vértices

( ± a,0) ) $ocos ( ± c,0) si ) solo si satis$ace la

ecuaci+n

5 0n la cual b2=c2-a2.

5 Para toda hipérbola e6isten dos l7neas a las #ue lacurva se acerca cada ve8 más en sus e6tremos. 9 estasrectas se les denomina as7ntotas.

5 Debemos decir #ue las parábolas no tienen as7ntotas" por consi'uiente " una hipérbola no es" como podr7asuponerse al ver dia'ramas mal tra8ados" un par de

parábolas.

/-

-

-

-

=−b

y

a

x



La hipérbola representada por

Multiplicamos el numerador ) el denominador por )obtenemos

:iene as7ntotas representadas por

;amos a suponer #ue

Para valores positivos de x %primer cuadrante. Para

un valor dado de x veamos la di$erencia d " entre las

ordenadas de los puntos de la hipérbola ) la recta.

/-

-

-

-

=−

b

y

a

x -- a xa

b y −±=

xa

b y ±=

-- a xa

b y −= x

a

b y =

( )----

a x xa

ba xa

b xa

bd −−=−−=

( )----

---

a x x

ab

a x x

a x x

a

bd

−+

=

−+

−−=

-- a x x ++

" o"

)



9hora tenemos una constante en el numerador4 pero"

cuando los valores positivos de x son 'randes" ambostérminos del denominador son 'randes ) positivos.

Mientras ma)or es el valor de x" ma)or es el valordel denominador" ) " por consi'uiente d es menor. *7

d tiende a cero cuando aumenta x" lo cual demuestra#ue la recta es una as7ntota de la hipérbola. 0n elcaso de los otros tres cuadrantes se pueden emplearra8onamientos seme!antes para demostrar #ue sucede

los mismo en ellos.



na $orma c+moda de tra8ar las as7ntotas es

'ra$icar ( ±

a,0) ) (0,±

b) %aun#ue el se'undo par de puntos no pertenece a la hipérbola ) tra8ar el

rectán'ulo determinado por los puntos. Las

dia'onales de ese rectán'ulo son las as7ntonas.

0n este caso ha) dos lados rectos #ue contienenlos $ocos ) son perpendiculares al e!e transversal.



Propiedades de la hipérbola.

/. La curva es simétrica a ambos e!es" es decir" la

recta $ocal ) la mediatri8 del se'mento $ocal son

e!es de simetr7a.-. 0l punto de intersecci+n de las dos rectas antes

mencionadas es el centro de simetr7a de la curva"

el cual se conoce como centro de la hipérbola.

<. Intersecci+n con los e!es coordenados.



Intersecci+n con los e!es coordenados

a Con el e!e x

*ea y=0 entonces x2 /a2=1 ∴ x=± a

9 partir de este resultado seobserva #ue en el e!e $ocal

e6isten dos puntos" V’(-a,0)"V(a,0) #ue se denominanvértices ) e#uidistan unadistancia a del centro.

b Con el e!e y

*ea x=0 entonces –y2 /b2=1" por lo tanto" y=± bi.

La intersecci+n con el e!e y es ima'inaria" por tanto" no ha) intersecci+ncon el e!e real ) la hipérbola no corta su otro e!e de simetr7a4 ) se leconoce como e!e con!u'ado de la hipérbola.



Interpretaci+n 'eométrica de a" b ) c

Considere la $i'ura #ue se

muestra De la $i'ura se observa #ue

c2=a2+b2

a es la distancia media entre losdos vértices de la hipérbola"

semie!e transverso. se de$ine como e!e

con!u'ado" por tanto b representa la mitad de este e!e.

c se considera como unahipotenusa de un trián'ulocu)os catetos son a ) b" sede$ine como la semidistancia$ocal"

OF

b B B -2 =



06centricidad de la hipérbola

*e conoce como excentricidad de la

hipérbola a la relaci+n #ue e6iste entre la

distancia $ocal ) la distancia entre losvértices.

a

ce

-

-

= a

ce

=donde e>1



9s7ntotas de la hipérbola

Para una curva dadae6iste una recta #ue amedida #ue un puntode ella se ale!a delori'en" la distancia deese punto a la rectadecrece" es decir"tiende a cero4 a dicharecta se le denominaasíntota.



0n la $i'ura se observa #ue las rectas dia'onales del rectán'ulo MN(*tienen por ecuaci+n

Por otro lado" de la ecuaci+n

9l despe!ar y de esta obtenemos

$actori8ando

0n esta =ltima ecuaci+n" el valor de y para valores mu) 'randes de x sereduce a

xa

b y ±=

/-

-

-

-

=−b

y

a

x

−±=

-

-

-/

xa x

ab y

-

-

/ x

a x

a

b y −±=

xa

b y ±=



Puesto #ue tiende a cero4

de la curva siempre será menor #ue el valor de

sin embar'o el radicando

siempre será menor a uno" por lo tanto también será la ra78 cuadrada. De a#u7 #ue el valor

" #ue corresponde a la recta.

-

-

b

a

−-

-

/ x

a

-

-

/ x

a x

a

b y −±=

xa

b y ±=

De lo anterior se puede concluir #ue las dia'onales ) con ecuaciones " son

las as7ntotas de la curva. MR !

x

a

b y ±=



Lado recto

La lon'itud de la cuerda #ue pasa por el $oco ) es

perpendicular a la recta $ocal se llama lado recto.

De la $i'ura observamos #ue

para obtener la mitad del lado

recto

9l sustituir el valor de x por c en la ecuaci+n

despe!ando y

F" y

=

//-

-

-

-

-

-

-

-

=−⇒=−b

y

a

c

b

y

a

x

−= /-

-

--

a

cb y



sustitu)endo

*i ahora sustituimos el valor de y en la e6presi+n" tenemos " pero el lado recto es el

se'mento ) además por tanto" por lo cual concluimos #ue el valor

del lado recto está dado por

obteniendo

pero

-- aca

b y −=

--- bac +=

a

b yaab

a

b y

-

--- =⇒−+=

F" y =

F"

a

b=

-

FR F" "R +=

FR F" = F" "R -=

a

b "R

-

-=



(ecta directri8 de la hipérbola

9nálo'amente a la elipse las correspondientes

rectas directrices están dadas por

" o bien"

es decir son simétricasca x

-

±=ca y

-

±=



0cuaci+n ordinaria de la hipérbola con centro en

el ori'en ) e!e $ocal paralelo al e!e )

>ocos en el e!e y e#uidistantes al ori'en

0cuaci+n de la hipérbola

0cuaciones de las as7ntotas

xb

a y ±=

/-

-

-

-

=−b

x

a

y



0cuaci+n ordinaria de la hipérbola con centro

$uera del ori'en ) e!e $ocal paralelo al e!e x

?ipérbola con centro $uera delori'en ) e!e $ocal paralelo ale!e x.



2 FF

( ) ( )/

-

-

-

-

=−

−−

b

# y

a

$ x

( )$ xb

a# y −±=−



Coordenadas de los elementos #ue la constru)en

( )# a$V "2 −

( )# c$ F "

+

( )# c$ F "2 −

aVV -2

= b- c FF -2 =

a

b "R

-

-=

a

ce =

;értices >ocos 0!e trans

verso

0!e con !u'ado

Distancia$ocal

Ladorecto

06centricidad

( )# a$V "

+



0cuaci+n ordinaria de la hipérbola con centro

$uera del ori'en ) e!e $ocal paralelo al e!e y

?ipérbola con centro $uera delori'en ) e!e $ocal paralelo ale!e y.



2 FF

( ) ( )/

-

-

-

-

=−

−−

b

$ x

a

# y

( )$ xb

a# y −±=−



Coordenadas de los elementos #ue la constru)en

( )a# $V −"2

( )c# $ F +"

( )c# $ F −"2

aVV -2 = b- c FF -2 =a

b "R

-

-=

a

ce =

;értices >ocos 0!e trans

verso

0!e con !u'ado

Distancia$ocal

Ladorecto

06centricidad

( )a# $V +"



0cuaci+n 'eneral de la hipérbola

La ecuaci+n 'eneral de la hipérbola cu)os e!es de simetr7a son paralelos a los e!es

coordenados está dada por

en ella es condici+n necesaria #ue el producto xy=0" ) #ue los coe$icientes % ) C de las

variables x ) y sean de si'nos contrarios ) di$erentes de cero.

9 partir de su ecuaci+n 'eneral" si se completan cuadrados tenemos lo si'uiente.

o bien"

3-- =+++− F &y 'xCy %x 3

-- =+++− F &y 'x %xCy" o bien"

F C

& % '

C & yC

% ' x % −−= −− + ..--

----

F %

'

C

&

%

' x %

C

& yC −−=

−−

+

..--

----



0n cual#uiera de las dos ecuaciones" el valor del se'undo miembrodetermina el lu'ar 'eométrico #ue representa.

C9*@ /

C9*@ -

C9*@ <

>0" o bien" >0" el lu'ar 'eométrico

#ue representa es la hipérbola.

" o bien" "se tendrá un punto

en el plano.

F C

&

%

'−−

--

F %

'

C

& −−

..

--

3..

--

=−− F C

&

%

'3

..

--

=−− F %

'

C

&

0" o bien" 0" no representa el lu'ar

'eométrico llamado hipérbola.

F C

&

%

'−−

--

F %

'

C

& −−

--



0!emplo

De la ecuaci+n 'eneral x2-*y2+0x+1=0. Determina la posici+n

de su e!e transversal ) las coordenadas del centro.

*oluci+n

>actori8amos términos comunes (x2+10x) -*y2=-1

Completamos cuadrados

>actori8amos ) simpli$icamos

Multiplicamos por /A<

Concluimos #ue su e!e transversal es paralelo al e!e y. Las coordenadas del centro C(-

,0) por tanto" se encuentra $uera del ori'en.

(x+) 2 -*y2=

-

-

-

-

-/3/

-/3/3

+−=−

++ y x x

( )/

C.

E--

=−+ y x

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