HIPÉRBOLA
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HIPÉRBOLA POSICIONES Hipérbola horizontal cuando el eje real o transverso es el eje X o paralelo a éste. Hipérbola vertical cuando el eje real o transverso es el eje Y o paralelo a éste. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PF'− PF= VV' Condición de la hipérbola Puntos : C Centro , V V’ Vértices , FF’ Focos Ejes : BB' Eje conjugado o imaginario , VV' Eje real o transverso , FF' Eje focal NN' Lado Recto FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA A partir del concepto de la hipérbola, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA con Centro C(h,k) Hipérbola Horizontal. Hipérbola Vertical. ( x−h) a 2 2 − ( y−k ) b 2 2 =1 Ordinaria ( y−k ) a 2 2 − ( x− h ) b 2 2 =1 Ordinaria Ecuación general para ambas curvas. Ax 2 + Cy 2 +Dx + Ey + F=0 donde A y C son de signo contrario Si el centro de la curva es el origen del plano, entonces h = 0 y k = 0. En la hipérbola se presentan 3 parámetros que tienen relación: a = longitud del semieje real o transverso (distancia del centro de la curva a uno de sus vértices) c = distancia del centro de la curva a uno de sus focos. b = longitud del semieje conjugado o imaginario. B B’ C N V P F F’ V’ N’
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HIPÉRBOLA POSICIONES
Hipérbola horizontal cuando el eje real o transverso es el eje X o paralelo a éste.
Hipérbola vertical cuando el eje real o transverso es el eje Y o paralelo a éste.
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES
PF '−PF=V V ' Condición de la hipérbola
Puntos: C Centro , V V’ Vértices , FF’ Focos
Ejes: BB' Eje conjugado o imaginario , V V ' Eje real o transverso , FF ' Eje focal
NN ' Lado Recto
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
A partir del concepto de la hipérbola, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA con Centro C(h,k)
Hipérbola Horizontal.
Hipérbola Vertical.
( x−h )a2
2
−( y−k )b2
2
=1 Ordinaria
( y−k )a2
2
−( x−h )b2
2
=1 Ordinaria
Ecuación general para ambas curvas.
Ax2+Cy 2+Dx+Ey+F=0 donde A y C son de signo contrario
Si el centro de la curva es el origen del plano, entonces h = 0 y k = 0.
En la hipérbola se presentan 3 parámetros que tienen relación:
a = longitud del semieje real o transverso (distancia del centro de la curva a uno de sus vértices)
c = distancia del centro de la curva a uno de sus focos.
b = longitud del semieje conjugado o imaginario.
Con la relación de los tres parámetros, se establece la relación pitagórica en la hipérbola: c2 = a2
+ b2
La hipérbola tiene sus aplicaciones en Física, Astronomía, Navegación y Geofísica, y para resolver los problemas de aplicación de ésta curva se utilizan sus ecuaciones y sus puntos notables.
1. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la hipérbola.
EJEMPLOS
B
B’
C
N
V
P
FF’ V’
N’
Un cometa recorre una trayectoria hiperbólica con el Sol ubicado en uno de sus focos; si la trayectoria de dicho astro está descrita por la ecuación 40x2 81y2 3240 = 0, entonces ¿cuál es la distancia más cercana en unidades astronómicas (U.A.) entre el cometa y el Sol?
Solución:
- La ecuación general de la hipérbola se convierte a su forma ordinaria trasponiendo el término constante al segundo miembro y dividiendo la igualdad entre dicho término constante.
40x2 81y2 3240 = 0
40 x2
3240−81 y2
3240=3240
3240
x2
81− y2
40=1
- De la ecuación ordinaria se establece que: a2 = 81, b2 = 40 y a = 9.
- El valor del parámetro “c” se obtiene con la condición de los parámetros.
c2=a2+b2 c
2=81+40 c = 11
- La distancia más cercana entre el cometa y el Sol es la distancia existente entre el vértice y el foco de la curva, la cual se obtiene con la siguiente expresión:
D min=c−a=11−9 D min=2
Del resultado obtenido, se establece que la distancia más cercana entre el cometa y el Sol es de 2 U.A. (unidades astronómicas).
2. Resuelve el siguiente problema apoyándote en los elementos de la hipérbola.En un observatorio se ha analizado que la órbita o trayectoria de un cometa está descrita por la ecuación x2 – y2 + 2x – 4y – 7 = 0. Si el Sol está ubicado en uno de los focos de la curva hiperbólica, entonces ¿cuál es la distancia más cercana en unidades astronómicas entre el cometa y el Sol?
Y’
a
c
S
C
0XX’
Y
a
c
S
C
0XX’
Y’
Y
Solución:
- La ecuación general de la hipérbola se convierte a su forma ordinaria mediante procesos algebraicos.
x2 – y2 + 2x – 4y – 7 = 0
x2 + 2x – y2 – 4y = 7
x2 + 2x + 1 – (y2 + 4y + 4) = 7 + 1 – 4
(x + 1)2 – (y + 2)2 = 4
( x+1)2
4−
( y+2 )2
4=1
- De la ecuación ordinaria se establece que: a2 = 4, b2 = 4 y a = 2.
- El valor del parámetro “c” se obtiene con la condición de los parámetros.
c2=a2+b2 c
2=4+4 c=√8
- La distancia más cercana entre el cometa y el Sol es la distancia existente entre el vértice y el foco de la curva, la cual se obtiene con la siguiente expresión:
Dmin=c−a=√8−2 Dmin≈0 . 83
Del resultado obtenido, se establece que la distancia más cercana entre el cometa y el Sol es de 0.83 U.A. (unidades astronómicas) aproximadamente.
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA con Centro C(h,k)
Hipérbola Horizontal.
Hipérbola Vertical.
( x−h )a2
2
−( y−k )b2
2
=1 Ordinaria
( y−k )a2
2
−( x−h )b2
2
=1 Ordinaria
Ecuación general para ambas curvas.
Ax2+Cy 2+Dx+Ey+F=0 donde A y C son de signo contrario
