Hiprbola

Las asntotas de la hiprbola se muestran como lneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hiprbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la lnea negra que los une es el eje transversal. La delgada lnea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos lneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hiprbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vrtices se encuentran en el eje transversal a una distancia a con respecto al centro.Una hiprbola (del griego ) es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin.1

Una hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vrtices, la cual es una constante positiva.

Secciones cnicas.

Hiprbola deriva de la palabra griega (exceso), y es cognado de hiprbole (la figura literaria que equivale a exageracin).Vase tambin: hiprbole

Historia

Debido a la inclinacin del corte, el plano de la hiprbola interseca ambas ramas del cono.Segn la tradicin, las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicacin del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solucin mediante el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratstenes.3Sin embargo, el primero en usar el trmino hiprbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cnicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas.[editar]Ecuaciones de la hiprbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuacin de una hiprbola con centro en el origen de coordenadas y ecuacin de la hiprbola en su forma cannica.

Ecuacin de una hiprbola con centro en el punto

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hiprbola es horizontal; si es al revs, es vertical. La excentricidad de una hiprbola siempre es mayor que uno.

Ecuacin de la hiprbola en su forma complejaUna hiprbola en el plano complejo es el lugar geomtrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condicin geomtrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vrtices del eje focal.La ecuacin queda: Evidentemente esta operacin se lleva a cabo en el conjunto de los nmeros complejos.[editar]Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hiprbolas y sus asntotas.Hiprbola abierta de derecha a izquierda:

Hiprbola abierta de arriba a abajo:

Hiprbola abierta de noreste a suroeste:

Hiprbola abierta de noroeste a sureste:

[editar]Ecuaciones paramtricas

Imagen de seccin cnica.Hiprbola abierta de derecha a izquierda:

Hiprbola abierta de arriba a abajo:

En todas las frmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hiprbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

ElipseSaltar a: navegacin, bsquedaLa elipse es una lnea curva, cerrada y plana cuya definicin ms usual es:La elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.Una elipse es la curva simtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Contenido [ocultar] 1 Historia2 Elementos de una elipse2.1 Puntos de una elipse2.2 Ejes de una elipse2.3 Excentricidad de una elipse2.4 Excentricidad angular de una elipse2.5 Constante de la elipse2.6 Directrices de la elipse3 Ecuaciones de la elipse3.1 En coordenadas cartesianas3.1.1 Forma cartesiana centrada en origen3.1.2 Forma cartesiana centrada fuera del origen3.2 En coordenadas polares3.2.1 Forma polar centrada en origen3.2.2 Formas polares centradas en un foco3.3 Formas paramtricas3.4 rea interior de una elipse3.5 Permetro de una elipse3.6 Propiedades notables4 La elipse como cnica5 La elipse como hipotrocoide6 Construccin paramtrica de una elipse7 Anamorfosis de una circunferencia en una elipse8 Elipses semejantes9 La elipse en mecnica celeste10 Vase tambin11 Referencias12 Enlaces externos[editar]Historia

Forma elptica trazada en la antigedad sobre un muro de Tebas (Egipto).La elipse, como curva geomtrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la seccin cnica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler crea que la rbita de Marte era ovalada, aunque ms tarde descubri que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y public su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostr que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una rbita elptica alrededor del Sol.2[editar]Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades matemticas.La elipse es una curva plana y cerrada, simtrica respecto a dos ejes perpendiculares entre s:El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), yel semieje menor (el segmento C-b de la figura).Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.[editar]Puntos de una elipseLos focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del dimetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecer a la elipse si se cumple la relacin:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.[editar]Ejes de una elipseEl eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.[editar]Excentricidad de una elipseLa excentricidad (psilon) de una elipse es la razn entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con Dado que , tambin vale la relacin:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse ser ms redondeada cuanto ms se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designacin tradicional de la excentricidad es la letra griega llamada psilon.(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Vase: nmero e).[editar]Excentricidad angular de una elipseLa excentricidad angular es el ngulo para el cual el valor de la funcin trigonomtrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

[editar]Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animacin se ilustra como varan para diversos puntos P de la elipse.Como establece la definicin inicial de la elipse como lugar geomtrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:PF1 + PF2 = 2aEn la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cmo se cumple la definicin.[editar]Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.Cada foco F de la elipse est asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustracin de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fraccin constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relacin entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definicin alternativa de la elipse.Una elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo que se denomina foco y a una recta dada llamada directriz permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.Adems de la bien conocida relacin , tambin es cierto que , tambin es til la frmula .Aunque en la figura solo se dibuj la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual adems es paralela a la directriz anterior.[editar]Ecuaciones de la elipse

[editar]En coordenadas cartesianas[editar]Forma cartesiana centrada en origenLa ecuacin de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revs, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.[editar]Forma cartesiana centrada fuera del origenSi el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuacin es:

[editar]En coordenadas polares[editar]Forma polar centrada en origenEn coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuacin de la elipse es:(epc 1)Una ecuacin ms elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ), es:(epc 2)Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, es el ngulo polar y para la (epc 2) es la excentricidad.Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendr utilizar la ecuacin (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuacin (epc 2).[editar]Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuacin de la elipse es:(501)Para el otro foco:(502)

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.En el caso un poco ms general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es:(503)}El ngulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomala verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una lnea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.[editar]Formas paramtricasLa ecuacin paramtrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:

con no es el ngulo del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomala excntrica de la elipse. La relacin entre y es.La ecuacin paramtrica de una elipse con centro en en la que el parmetro sea concordante con el ngulo polar respecto al centro desplazado es:

con . El parmetro es el ngulo de un sistema polar cuyo origen est centrado en .[editar]rea interior de una elipseEl rea de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.4[editar]Permetro de una elipseEl clculo del permetro de una elipse requiere del clculo de integrales elpticas de segunda especie.Sin embargo, el matemtico Ramanujan dio una expresin sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elpticas. Ramanujan, en su frmula, utiliza el semieje mayor (a) y el semieje menor (b) de la elipse. Expresin aproximada del permetro de una elipse:

[editar]Propiedades notablesLa elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analoga de Michelson y Morley.[editar]La elipse como cnica

La elipse surge de la interseccin de una superficie cnica con un plano, de tal manera que la inclinacin del plano no supere la inclinacin de la recta generatriz del cono, consiguiendo as que la interseccin sea una curva cerrada. En otro caso el corte podra ser una hiprbola o una parbola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cnicas o simplemente cnicas.

la elipse como cnica.[editar]La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.[editar]Construccin paramtrica de una elipse

Se dibujan dos circunferencias concntricas cuyos dimetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radios alineados, la interseccin de dichos segmentos son puntos de la elipse.

[editar]Anamorfosis de una circunferencia en una elipse

Artculo principal: Anamorfosis.Determinada trasformacin de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde con una perspectiva especial. El trmino anamorfosis proviene del idioma griego y significa trasformar.

Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.

Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contrado y/o el X se ha dilatado.En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se deforma en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectngulos.[editar]Elipses semejantes

Se dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian slo en el tamao (pero no en la forma), de tal manera que multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidad en Fsica5 acerca de la interseccin de una recta con dos elipses semejantes y concntricas.Teorema: Si la interseccin de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejes correspondientes colineales consta de dos segmentos, entonces stos tienen igual longitud.Explicacin: El teorema es cierto, por simetra, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferencias concntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis, podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendiente cambian su longitud en la misma proporcin. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la recta tienen la misma longitud, la tenan ya al principio.No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.[editar]La elipse en mecnica celeste

Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales una masa en rbita barre con su radio vector reas iguales".Artculo principal: Leyes de Kepler.En mecnica celeste clsica, dos masas puntuales sometidas exclusivamente a interaccin gravitatoria describen una rbita elptica (o circular 6 ) la una en torno a la otra cuando la rbita es cerrada. Un observador situado en cualquiera de las masas ver que la otra describe una elipse uno de cuyos focos (o centro) est ocupado por el propio observador. La excentricidad y otros parmetros de la trayectoria dependen, para dos masas dadas, de las posiciones y velocidades relativas. Los planetas y el Sol satisfacen la condicin de masas puntuales con gran precisin porque sus dimensiones son mucho ms pequeas que las distancias entre ellos. La cinemtica de la rbita se rige por las leyes de Kepler.En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una rbita elptica que cumplen la segunda ley de Kepler: "en tiempos iguales una masa en rbita barre con su radio vector reas iguales". Cuando el "planeta" est ms cerca de la "estrella" va ms rpido y cuando est lejos va ms despacio, pero de tal manera que su velocidad areolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las reas de los sectores elpticos amarillos son iguales y sus arcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales, t = t1 - t0. La "estrella" est situada en P, uno de los focos de la elipse.