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i

HIDRAULICA DE

TUBERIAS Y CANALES


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ii


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iii

Ar turo Rocha Felices

HIDRAULICA DE

TUBERIAS Y CANALES


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xi

CAPITULO I INTRODUCCION1.1 Objetivo del libro

1.2 Esquema del contenido general

1.3 Diferencias entre canales y tuberías

1.4 Tipos de flujo

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal

1.7 Efecto de la viscosidad

1.8 Efecto de la gravedad

1.9 Concepto de distribución de velocidades

1.10 Coeficiente de Coriolis

1.11 Coeficiente de Boussinesq1.12 Discusión de los valores de α y β

1.13 Relación entre los coeficientes α y β

1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β

1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Problemas propuestos

1

1

3

4

7

9

11

15

15

21

2324

25

27

32

38

CONTENIDO

Presentación v

Prólogo vii

Palabras Preliminares del Autor ix

Indice de Figuras xvi

Indice de Tablas xxi

Lista de Símbolos Principales xxiii


5/529

xii

43

46

52

55

62

69

72

75

76

79

82

87

91

94

95

98

101

103

104

109

CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías

2.2 Relación entre el corte y la inclinación

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad

media para un canal muy ancho con movimiento laminar

2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad

media para una tubería con movimiento laminar

2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el

movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso

2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en

conductos lisos

2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el

movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso

2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en

conductos rugosos

2.9 Obtención de la ecuación de Chezy

2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e

hidráulicamente rugosos

2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl


CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTOUNIFORME

3.1 Ecuación de Darcy

3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares)

3.3 Tuberías hidráulicamente lisas

3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico deNikuradse

3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de

distribución de velocidades

3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de

Colebrook - White

3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.

Errores

3.8 Tuberías de sección no circular


6/529

xiii

3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades

3.10 Concepto de capa límite

3.11 Espesor de la capa límite

3.12 Desarrollo de la capa límite

3.13 La separación. Expansión de un conducto


CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea

piezométrica

4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo

4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)

4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales

4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)

4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes

4.7 Tuberías en serie

4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación

4.9 Tubería con boquilla convergente final

4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo


CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES5.1 Tuberías en paralelo

5.2 El problema de los tres reservorios

5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos

5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente

5.5 Conducto que da servicio (filtrante)5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo

5.7 Fórmula de Hazen y Williams

5.8 Diseño de una conducción

5.9 Diámetro más económico

5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross


Problemas complementarios

111

121

123

125

126

130

135

138

150

163

166

168

170

174

177

180

186

193

199

205

210

211215

218

223

228

229

237

249


7/529

xiv

CAPITULO VI CALCULO DE CANALES6.1 Condiciones normales

6.2 Fórmulas antiguas

6.3 Fórmula de Manning

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a

emplearse en la fórmula de Manning

6.5 Determinación de la sección transversal

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

6.7 Concepto de borde libre

6.8 Cálculo de canales de sección compuesta

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno


CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA7.1 Energía específica

7.2 Energía específica a gasto constante

7.3 Sección rectangular

7.4 Sección parabólica

7.5 Sección triangular

7.6 Sección trapecial

7.7 Sección circular y otras secciones

7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, LS )

7.10 Transiciones

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

energía específica

7.12 Fuerza Específica (Momenta)7.13 Salto hidráulico

7.14 Descarga por una compuerta de fondo


CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO8.1 Introducción

8.2 Definiciones fundamentales

257

260

265

271

272

281

288

292

296

317

323

325

335

347

350

353

361

365

369

371

377

378382

387

389

395

399


8/529

xv

8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado

8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico

8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado

8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)

8.7 Curva de remanso


CAPITULO IX VERTEDEROS9.1 Objeto de los vertederos. Tipos

9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga

9.3 Fórmula de Francis

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares

9.5 Vertederos triangulares

9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

9.9 Vertederos laterales

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error

en la medición de la carga

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero

9.12 Vertedero sumergido


Tablas Generales

Referencias Bibliográficas

401

407

409

418

423

451

455

466

469

471

478

483

485

487

490

492

493

497

502

507

513


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xvi

INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4

Figura 1.3 Tipos de flujo 5

Figura 1.4 Movimientos variados 6

Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10

Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10

Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para

varios fluidos 13

Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para

diferentes gases y líquidos 14

Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura paravarios tipos de aceite 14

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18

Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20

Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28

Figura 1.19 Ecuación de la energía 33

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35


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xvii

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46

Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y

(b) en una tubería 51

Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53

Figura 2.8 Subcapa laminar 65

Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la

distribución de velocidades 67

Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71

Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73

Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78

Figura 2.13 Aspereza del contorno 80

Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80

Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98

Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99

Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100

Figura 3.5 Flujo paralelo 122

Figura 3.6 Generación de una capa límite 122

Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123

Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124

Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126

Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127

Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127

Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128

Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128

Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135

Figura 4.2 Abaco de Moody 140


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12/529

xix

Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336

Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal

rectangular 339

Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363

Figura 7.11 Grada positiva en un río 373

Figura 7.12 Grada negativa en un río 373

Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

Energía Específica 378

Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza

Específica 378

Figura 7.19 Fuerza Específica 380

Figura 7.20 Salto hidráulico 382

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397

Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399

Figura 8.4 Ríos y torrentes 400

Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400

Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402


13/529

xx

Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con c y y = 408

Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

max y determinado por la condición de entrega al lago. 427

Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

min y determinado por la grada. 427

Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456

Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre

( H P >>> ) 457

Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459

Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente

en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada.

Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 460

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461

Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464

Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464

Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un

vertedero rectangular 466

Figura 9.11 Gráfico para la determinación de L K 473

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474

Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481

Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en

cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486

Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488

Figura 9.17 Vertedero lateral 491

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497

Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de

un vertedero sumergido 498


14/529

xxi

INDICE DE TABLAS

Tabla 1.1 Valores aproximados de α y β (Kolupaila) 25

Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30

Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta k 74

Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144

Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158

Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160

Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216

Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219

Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236

Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259

Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se

usa en los diseños 262Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la

fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263

Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la

fórmula de Bazin 264

Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos

factores sobre el coeficiente n 273

Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304

Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309

Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311

Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313

Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315

Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316

Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3/s/m) 345


15/529

xxii

Tabla 7.2 Secciones críticas ( g V y E cc 22

+= ) 360

Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimientogradualmente variado 416

Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436

Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458

Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481

Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490

Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496

Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499


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xxiii

LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES

A Area de la sección transversal

S A Area de la sección transversal de salida

a Rugosidad absoluta

a Altura de una grada

B Ancho de fondo

b Ancho

b Longitud de la cresta de un vertedero

..l b Borde libre

C Coeficiente de Chezy

H C Coeficiente de Hazen y Williams

c Coeficiente de descarga en vertederos

cc Coeficiente de contracción

vc Coeficiente de velocidad

D Diámetro de la tubería

d Tirante hidráulico

E Energía

e Constante de los logaritmos neperianos

F Número de Froude

f F Fuerza debida a la fricción

f Coeficiente de Darcy

G Coeficiente de rugosidad de Bazin

H Carga de agua

H Energía total con respecto a un plano de referencia

bomba H Energía suministrada por una bomba

S H Altura de succión

i H Altura de impulsión

f h Pérdida de carga o energía


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xxiv

ih Altura del salto hidráulico

loch Pérdida de carga localroz h Pérdida de carga por rozamiento

vort h Pérdida de carga por la formación de vórtices

V h Energía de velocidad o cinética

K Coeficiente de pérdida de carga

K Factor de capacidad

n K Factor de capacidad para condiciones normales

k Rugosidad absoluta

0k Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)

t k Rugosidad después de transcurrido el tiempo t

L Longitud de un vertedero

e L Longitud equivalente

L. E. Línea de energía

L. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica

M Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas

m Relación de máxima eficiencia hidráulica

m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter

N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme

N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido

n Coeficiente de Kutter

n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades

P Umbral de un vertedero

P Perímetro

P Fuerza hidrostática

p Presión

v p Presión absoluta de vaporización

Pot Potencia

Q Caudal o gasto

nQ Gasto para un flujo normal


18/529

xxv

cQ Gasto crítico

q Caudal o gasto específico R Radio hidráulico

Re Número de Reynolds

r , or Radio de la tubería

S Pendiente

S Pendiente media

cS Pendiente crítica

E S Pendiente de la línea de energía

LS Pendiente límite

W S Pendiente de la superficie libre

0S Pendiente del fondo

T Ancho superficial

T Temperatura

V Velocidad media

cV Velocidad crítica

hV Velocidad a la distancia h del contorno

maxV Velocidad máxima

*V Velocidad de corte

W Peso

w Velocidad de caida de una partícula

y Tirante

y Eje de coordenadas

c y Tirante crítico

n y Tirante normal

y Profundidad del centro de gravedad

Z Factor de sección

c Z Factor de sección para flujo crítico

z Elevación con respecto a un plano de referencia


19/529

xxvi

α Coeficiente de Coriolis

1α Velocidad de aumento de la rugosidad

β Coeficiente de Boussinesq

δ Espesor de la subcapa laminar

Lδ Espesor de la capa límite laminar

T δ Espesor de la capa límite turbulenta

κ Constante de Karman

ρ Densidad del fluido

γ Peso específicoη Eficiencia de la bomba

µ Viscosidad dinámica o absoluta

ν Viscosidad cinemática

τ Esfuerzo de corte

0τ Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno

hτ Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno

0τ Esfuerzo medio de corte sobre el fondo

θ Angulo

E ∆ Variación de energía

p∆ Diferencia de presiones


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xxvii


21/529

1

IntroducciónCapítulo I

1.1 Objetivo del libro

El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulica

y Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otras

aplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir el

escurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, seofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,

Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.

El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridos

anteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuaciones

de Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.

En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite o

petróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangenciales

en el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.

1.2 Esquema del contenido general

Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente

Capítulo I: Introducción.

Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribución

de velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.

CAPITULO I

INTRODUCCION


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2

Arturo Rocha Hidráulica de tuberías y canales

Capítulo II. Movimiento uniforme.

Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos de

rugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación deChezy.

Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.

Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.

Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Concepto

de capa límite. El fenómeno de separación.

Capítulo IV. Diseño de tuberías.

Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidad

con el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.Bombeo.

Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.

Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.

Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.

Capítulo VI. Cálculo de canales.

Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficiente

n . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptos

de borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.

Capítulo VII. Energía específica y Momenta.

Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidad

crítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.

Su uso como disipador de energía.

Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.

Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendiente

fuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos del

movimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.

Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.

Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.

Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.


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3


1.3 Diferencias entre canales y tuberías

Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.

El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería el

líquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre el

contorno. (Figura 1.1).

La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,

sino en el comportamiento hidráulico.

Superficie libre

TUBERIA CANAL

Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías

En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente

por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,

tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y γ es el peso específico

del fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,se denomina cota piezométrica.

z ca piezométriCota =

γ

p z h += (1-1)

γ

ph = (1-2)

En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse de

cualquier fluido (líquido o gaseoso).

El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no es

necesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto de

desagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Al

haber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto es

hidráulicamente un canal.


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4


Piezómetro

Plano dereferencia

h

z

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro

En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Hay

tuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferencias

entre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad del

contorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro de

vinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados de

aspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas como

las anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.

En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los

problemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.

Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.

En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa una

variación en la sección.

La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede ser

de ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.

A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible

estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.

1.4 Tipos de flujo

Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presenta

variaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una


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5


sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.

Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.

El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.

Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal no

cambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones

-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas las

características hidráulicas. Hay impermanencia.

Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimenta

de un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3).

Nivel de la superficie libre

Q

Figura 1.3 Tipos de flujo

Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presenta

variaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, si

observamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemos

que el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a un

caso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de la

tubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no es

permanente. Es impermanente. Es variable.

Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, en

una tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se producirá

una onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquiera

habrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Este

fenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.

Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las características

hidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho


26/529

6


tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta de

un estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniforme

porque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.

El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,

presión o cualquier otra característica hidráulica.

Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamente

variado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hay

fuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es un

movimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).

Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de las

características hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una granlongitud. De acá su nombre de gradual.

Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá una

cierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición o

empalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influencia

de la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, se

produce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmente

variado M. G. V. (Figura 1.4)

M. uniforme M. G. V. M . R . V .

y

Figura 1.4 Movimientos variados

En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio

en el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es

gradualmente variado.

No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de ser

gradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).


27/529

7


Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,

pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problema

práctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimientorápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.

Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Es

éste el más frecuente en los problemas de ingeniería.

Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación del

régimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimen

de corriente con respecto al tiempo.

Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad,

éste puede ser tanto en magnitud como en dirección.

En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en la

unidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando se

calcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L 2 T-1.

Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad de

fluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante

constante AV =ρ

siendo ρ la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidadmedia de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación de

continuidad es

constanteQV AV A === 2211 (1-3)

A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media

A

QV = (1-4)

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

La forma más conocida del teorema de Bernoulli es

constante z p

g

V =++

γ 2

2

(1-5)


28/529

8


La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un

movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal).

Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso

del fluido.

V 2

g 2

12

V 2

p

!

12

p

!

1 z z 2

E

g 2

Línea de corriente

Plano de referencia

1 2

Figura 1.5 Teorema de Bernoulli

Al primer término g V 2

2 , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía

cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte del

reposo, para adquirir la velocidad V .

Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa la

energía potencial y constituye la cota piezométrica.

El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energía

cinética y la potencial es constante.

En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de

Bernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente

En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2.

Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energía

perdida, sino transformada en calor debido a la fricción.

La ecuación de la energía para un fluido real es entonces

212

2

2

21

1

2

1

22 −+++=++ f h z

p

g

V z

p

g

V

γ γ (1-6)


29/529

9


o bien,

2121 −+= f h E E (1-7)

V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un plano

horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones

consideradas), γ es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.

E es la energía total,21− f

h es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.

En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constante

para toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente y

otra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presiones

es hidrostática.

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal

Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que el

escurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.

Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.

Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregular

y variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido por

partículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lecho

móvil. Ver Figura 1.15d.

Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular.

Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático.

Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.

Radio hidráulico ( R

). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetro

mojado de un conducto hidráulico.

P

A R = (1-8)

Para una tubería de sección circular se tiene

4

D R = (1-9)


30/529

10


es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenerse

fácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.

En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como se

muestra en la Figura 1.6

A

T

P (Perímetro mojado)

y

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal

Tirante hidráulico (d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A

y el ancho superficial T .

T

Ad = (1-10)

Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie

libre.

Radio hidráulico en un canal muy ancho

Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es un

canal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.

Figura 1.7 Radio hidráulico en un canalmuy ancho

by A =

yb P 2+=

b

y

y

yb

by R

212 +

=+

=

y

b


31/529

11


En un canal muy anchob

y es muy pequeño y se puede considerar

y R = (1-12)

Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.

1.7 Efecto de la viscosidad

El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento

se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.

El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión

ν

VL=Re (1-13)

siendo

V : velocidad media del escurrimiento

L : longitud característica

ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad

dinámica o absoluta ( µ ) y la densidad del fluido ( ρ )

En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de la

tubería

ν

VD=Re

Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radio

hidráulico

ν VR=Re

y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.

En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.

La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando se

menciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o sea

que se debe señalar cual es la longitud característica.


32/529


33/529

13


Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para variosfluidos (p.e. es el peso específico relativo)

GlicerinaFuel Oil

(p.e. = 0,97)

Fuel Oil(p.e. = 0,94)

SAE 30 Helio

Hidrógeno

SAE 10

Petróleo crudo (p.e. = 0,93)

Metano

Aire y oxígeno

Amoníaco

Anhidrido carbónico

Salmuera (20% NaCl)

Petróleo crudo(p.e. = 0,86)

Benceno

Kerosene

Alcohol etílico

Agua

Tetracloruro de carbono

Gasolina(p.e. = 0,68)

Mercurio

10-7

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

8

6

4

2

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

6

8

6

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

8

0o o

50o

100

50o

0o

100o

2

sm

"

T º C


34/529

1 4

Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función dela temperatura para diferentesgases y líquidos

Figura 1.8c Viscosidad dinla temperaturaaceite

10-4

10-5

10-6

10-6

10-5

10-4

8

6

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

4

2

6

2

4

8

6

2

4

8

6

8

0o o

50o

100

50o

0o

100o

2

kg - s

m

#

5 5

5 5

SAE 10

Petróleo crudo(p.e. = 0,86)Mercurio

Kerosene

Salmuera(20% NaCl)

Alcohol etílico

Tetraclorurode carbono

Agua

Benceno

Gasolina(p.e. = 0,68)

Helio Oxígeno

Anhidrido carbónico

Aire

Metano(Gas natural)

AmoníacoHidrógeno

T º C

10-3

10-2

10-1

8

6

4

2

68

4

2

6

8

4

2

0o o

50

50o

0o

5

5

Fu(p.e

Glicerina

Fuel -(p.e. = 0SAE 30

SAE 30 Petróleo crud (p.e

Petróleo crudo(p.e. = 0,93)

m

#kg - s

2


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15


1.8 Efecto de la gravedad

El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condicionesdel escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.

El número de Froude ( F ) tiene por expresión

gL

V F = (1-14)

siendo

V : velocidad media g : aceleración de la gravedad

L : longitud característica

El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud

característica el tirante hidráulico d Por lo tanto

gd

V F = (1-15)

Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona de

la corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todo

el escurrimiento.

El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas

gravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influencia

de la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número de

Reech-Froude.

1.9 Concepto de distribución de velocidades

En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto

de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.

Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la

sección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen

básicamente la curva de distribución de velocidades.


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16


En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del

contorno es simétrica y perfectamente definida.

En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay

influencia del fondo.

Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de

la sección hay una velocidad particular ( hV ). La velocidad es máxima en la superficie. En

el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidades

es el siguiente

Denominamos hV a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso

del fondo). La curva que expresa la relación entre hV y h se llama curva de distribución

de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.

En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal

rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece

debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los

lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales

para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre y95,0 y y75,0 . Ver Figura

1.15b.

En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se

muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para 2 Dh = se obtiene la velocidad máxima.

Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidad

es cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal

V

yh

h


37/529

17


La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.

Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y elalineamiento del canal.

Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada

y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima al

contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.

Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones

podría tenerse la siguiente distribución de velocidades

En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en

toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo

parabólico (ver Figura 1.12).

Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución

de velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).

Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución de

velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un

fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.

h = D

2

D

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento

D


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18


Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene

turbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva

un aumento del grado de turbulencia.

En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.

Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las

secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia

de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una

distribución transversal de velocidades.

Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema

de la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los

puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad

media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad

que es el doble de la velocidad media.

En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad

típicas para diferentes secciones transversales.

El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes

de la curva de distribución de velocidades.

D

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)

D


39/529

19


Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales

2,0

1,5

1,0

0,5

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

2,5

2,0

1,51,00,5

2,5

2,0

1,5

1,00,5

(a)Canal circular poco profundo

(d)Canal natural (río)

(b)Canal rectangular angosto

(c)Canal circular parcialmente lleno

1 , 5

1 , 0 0 , 5

2 , 0


40/529

20


La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así

por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo

del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamientose desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo

principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".

Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. La

resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la

energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que

se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y

que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.

La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades

será analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de la

Figura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,

según que el contorno sea liso o rugoso.

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos

A

A

SECCION A - A

Liso

Rugoso D


41/529


42/529

22


y el valor de la energía cinética es

g V H h2

2

=

para el tubo de corriente la energía resulta

g

V dAV hh

2

2

γ

que equivale a

dAV h3

2ρ

y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior

∫ dAV h32ρ

Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando la

velocidad media se tendría

AV 3

2

ρ

para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o

coeficiente de corrección al que se denomina α

∫ = dAV AV h33 22ρ ρ

α

de donde,

AV

dAV h3

3∫ =α (1-17)

que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.

Obsérvese que α representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energía

real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.

dQ H


43/529

23


Para canales prismáticos se tiene usualmente

36,103,1


44/529

24


que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.

El producto QV βρ representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en unasección dada.

Para canales prismáticos se tiene usualmente

12,101,1


45/529


46/529


47/529


48/529


49/529

2 9

( ) (

( )121211

24

32323332

21

119924

213

23

11132

+−−−+

−+−++

−−+

+−−−+

−+−++

=++++

++++

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nnnnn

nnnn

ξ ξ

ξ ηξ ξ ω ξ

ηξ ξ ηξ ξ

ξ ηξ ξ ω ξ

α

Ecuación (1-33)

( ) (

( )121211

22

222222222

21

114622

212

22

11132

+−−++

−+−++

−−+

+−−++

−+−++

=++++

++++

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nnnnn

nnnn

ξ ξ

ξ ηξ ξ ω ξ

ηξ ξ ηξ ξ

ξ ηξ ξ ω ξ

β

Ecuación (1-34)


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30


TABLA 1.2

FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS

$

Factores adimensionales

FORMASECCION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

01 = H ; 21 B B = ; 1 B B =

01 = H ; 0= B ; 21 B B =

01 = H ; 21 B B = ; 1 B B <

H H


51/529

31


3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), los

valores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los

parámetros ξ , η y ω y de la distribución de velocidades en función de n .

4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentan

para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.

5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede

describirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene

que los valores de α están comprendidos entre 1,12 y 1,50.

6. Valores experimentales para α obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales

con pequeña pendiente a 1,85.

Papasov y Botcheva estudiaron los valores de α y β en ríos de Bulgaria de fondo móvil

y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio de

los lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobre

estas investigaciones.

Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución

de velocidades modifican los valores usuales de α y β . Después de estudiar tres ríosbúlgaros llegan a

97,4

056,01

+=

V

V maxα

82,4

047,01

+=

V

V xmaβ

Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente β de Boussinesq en un canal de

gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad de

Chile. Llegaron a la conclusión que para este caso

b

yc29,01+=β

expresión en la que c y es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.


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32


1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, sepresenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.

Se ha considerado que f h es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que en

realidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicable

para un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.

En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradiente

hidráulica.

Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecialcuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación de

los lados).

Solución.

0,5

1

= 3 mb

= 0,80 m y

T

Ancho superficial 80,340,0200,3 =×+=T m

Perímetro mojado 79,4894,0200,3 =×+= P m

Area 72,2= A m2

Radio hidráulico 57,079,472,2 === P A R m

Tirante hidráulico 72,080,372,2 === T Ad m

Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho, aceptando una

distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación

n

hkhV

1

=

k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).


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33


2V 2

p

!

2

2 z

L. E.h f

L. P.

2

V

g

1

2

p

!

1

1 z

L. P.

2V 1

z 1

p

!V 2

2

2 z

L. E. h f

= y

y1

y2

p = 0

Plano dereferencia

Plano dereferencia

2 g

2 g

2 g

1 2

Figura 1.19 Ecuación de la energía

(a) Tubería

(b) Canal

Ecuación de la energía:

f h g

V z

p

g

V z

p+++=++

22

2

22

2

2

11

1

γ γ


54/529

34


Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión

dhV dq h=

reemplazando la velocidad,

dhkhdq n1

=

El gasto es

∫ = dhV q h

∫ = y

n dhhk q0

1

La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área,

y

dhhk

y

qV

y

n∫ == 01

Reemplazando en la ecuación 1-17

y

y

dhhk

dhhk

AV

dhV

y

n

y

n

h

3

0

1

0

3

3

3

3

==

∫

∫ ∫ α

211

313

3

11

1

13

1

+

+−+

+

+= nn y

n

nα

De donde,

( )( )nn

n

++

=3

12

3

α

Haciendo un desarrollo similar se obtiene

( )( )nn

n

++

=2

12

β


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35


Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente

h (m) hV (m/s)

0,05

0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

El tirante es y = 0,95 m.

Calcular

a) el gasto específico q

b) la velocidad media V

c) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.

d) el coeficiente α de Coriolis

e) el coeficiente β de Boussinesq

f) los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados

anteriores.

g) el número de Reynolds (T = 18 °C)

Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de

velocidades

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)

1,52

0,125

0,075

0,20

1,061,24

h

0,20

0,20

0,15

1,73

1,65

(m)

1,80

V (m/s)

0,95 m


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36


El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión

∑=

=∆=

yh

h

h hV q0

En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dos

conceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y la

velocidad mínima siempre está en el fondo.

Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constante

de la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez para

que tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Las

partes no tienen que ser necesariamente iguales.

a) Según la figura

15080120073120065120052112502410750061 , , , , , , , , , , , ,q ×+×+×+×+×+×=

48,1=q m3/s/m

b) 56,195,0

48,1====

y

q

A

qV m/s

c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m

d) Para calcular α hacemos el siguiente cuadro

hV 3

hV A AV h .3

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

1,19

1,91

3,51

4,49

5,18

5,83

0,075

0,125

0,200

0,200

0,200

0,150

0,089

0,238

0,702

0,898

1,036

0,875

∑ AV h3 = 3,838

06,195,056,1

838,33

=×

=α α = 1,06


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37


e) Para el cálculo de β hacemos un cuadro similar

hV 2

hV A AV h .2

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

1,12

1,54

2,31

2,72

2,99

3,24

0,075

0,125

0,200

0,200

0,200

0,150

0,084

0,192

0,462

0,545

0,599

0,486

∑ AV h2 = 2,368

024,195,056,1

368,22

=×

=β β = 1,02

f) para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de ε para

lo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.

15,0156,1

80,11 =−=−=

V

V maxε

15,0=ε

0225,02 =ε

003375,03 =ε

061,123132 =−+= ε ε α 06,1=α

0225,112

=+= ε β 02,1=α

g) 18=T ºC; 610−=ν m2/s

6

610482,1

10

95,056,1Re ×=

×==

−ν

VR


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59/529

39


6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por

n

maxhr

hV V

1

=

A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirá con

los valores de α ?

7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es

n

maxhd

hV V

−= 1

La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje.

Calcular los valores de α y β

8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.

9. En una tubería de radio or , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es

−=

2

2

1o

maxhr

r V V

r es la distancia del eje a la que la velocidad es hV

Hallar los valores de α y β

10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m

en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de

diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad

media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.

11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1

poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.

12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.

13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua (T = 20°C). La

presión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de la

tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número

de Reynolds.


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40


14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de

viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2

y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el

número de Reynolds.

15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial A

es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de

2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea

piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la

distancia AB.

16. Una tubería tiene en su primer

tramo 6" de diámetro y una

velocidad de 3 m/s. El segundo

tramo tiene 8" de diámetro.

Calcular el gasto y la

velocidad en el segundo tramo.

17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier

punto.

18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme

en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar

los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ).

19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus

extremos 1 y 2 una pérdida de carga f h ,

igual a

( ) g

V V h f

2250

2

21 −= ,

1V es la velocidad en el punto 1, es igual a 6

m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s.

La longitud del tubo es de 8 m. La presión

en el punto 2 equivale a 10 m de agua.

Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1.

20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de

2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por

encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía f h , entre ambas secciones. El

fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.

8"6"

8 m

2

1

D1

D2


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62/529

42


26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión

entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de

g V 2150 21, . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga?

27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de

círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la

velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38;

1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular elcaudal.


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43

Movimiento UniformeCapítulo II

2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías

El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos de

tuberías como en los de canales.

En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propiavelocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.

En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrá

por integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.

En un canal con movimiento uniforme la profundidad y , el área A , la velocidad media V

y el gasto Q son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre

y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)

S S S S W E === 0 (2-1)

E S es la pendiente de la línea de energía

W S es la pendiente de la superficie libre

0S es la pendiente del fondo

Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es que

la pendiente no sea excesivamente grande.

CAPITULO II

MOVIM IENTO UNIFORME


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44


En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. En

muchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero,

como uniforme.

2V

g 2

S E

y

S w

S o

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal

Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el

movimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a que

el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y quealteran la uniformidad del escurrimiento.

En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en

todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese

que estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométrica

se le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como W S . θ es el

ángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, p es la presión,

γ el peso específico del fluido, z la elevación con respecto al plano horizontal de referencia.

E es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.

En una tubería se denomina E S , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la

diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lo

largo de la tubería.

L

h

L

E E S

f

E 2121 −=

−= (2-2)


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45


p

!

2

2 z

h f 2

V

g

2

p

!

1

1 z

S = S E

S w

2 g

V 2

L

"

1-2

E 2

1 E

1

2

1 2

Plano dereferencia

1

2

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería

En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia

de energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de

energía y la línea piezométrica son paralelas.

S S S W E ==

L

z p

z p

S

+−

+

=2

21

1

γ γ (2-3)

El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuacionesde distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre el

esfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre la

velocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una función

que relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo se

sigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).

Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En

este capítulo se considera que el coeficiente α de Coriolis es igual a 1.


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46


2.2 Relación entre el corte y la inclinación

a) Canal muy ancho

En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento

uniforme.

Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan

con la letra S (ecuación 2-1). F es la componente del peso, de la parte achurada, en la

dirección del escurrimiento, h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de

la porción achurada, cuya longitud es s∆ .

Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido

perpendicularmente al plano del dibujo).

Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es

sh y ∆− )(

y su peso es

sh y g ∆− )(ρ

El producto de la densidad ρ por la aceleración g de la gravedad es igual al peso

específico γ .

Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho

2V

g 2

S E

y

S w

S o

"

# s

h

$h

F


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47


La componente del peso en la dirección del escurrimiento es

sh y g ∆− )(ρ θ sen

Como el ángulo θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño

se considera que S sen =θ luego,

sh y g ∆− )(ρ S

En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.

Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección

del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo

unitario de corte hτ por el área en que actúa

sS h y g sh ∆−=∆ )(ρ τ

De donde, la relación entre el corte y la inclinación es

S h yh )( −= γ τ (2-4)

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h =0

S yo γ τ = (2-5)

Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico

S Ro γ τ = (2-6)

Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del

peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).

b) Canal de cualquier sección transversal

El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica

los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se

esquematizan en la Figura 2.4.

Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia s∆ . Para lasmismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en

la dirección del escurrimiento es

sS A g ∆ρ


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49


c) Tubería de sección circular

En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de

diámetro D .

Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. ! es el ángulo que forma el eje de

la tubería con la horizontal.

La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones.

La fuerza debida al corte es

sh D

h ∆

−2

2 π τ

expresión en la que hτ es el esfuerzo de corte a la distancia h del contorno (en este caso,

de la pared de la tubería).

La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es

" s sen! h D

h D

p p

22

2122

)(

−+

−− π γ π

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería

p

!

2

p

!

1

S E

S w

2 g

V 2

"

D

s#

1 p

p 2

h

h


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51


Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones

análogas

RS γ τ =0

En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es

RS γ τ =0 (2-10)

Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.

Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.

La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la

superficie.

En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro y

corresponde a la ecuación 2-11 en la que r es el radio de la tubería.

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería

Dh$

h

$o

o$

h

$o

h$

(a)

(b)


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La ecuación de distribución de corte es

−=

r h

oh 1τ τ (2-11)

que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.

Se observa que si 2 Dr h == (eje de la tubería), entonces .0=hτ Si 0=h se tiene que

0τ τ =h (contorno).

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media

para un canal muy ancho con movimiento laminar

En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia h del

contorno existe un valor de la velocidad ( hV ) y un valor del corte ( hτ ). La relación entre

hV y hτ depende de que el flujo sea laminar o turbulento.

Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida

y corresponde a la definición de viscosidad.

dh

dV hh µ τ = (2-12)

Combinando esta ecuación con la 2-4,

dh

dV S h y hµ γ =− )(

dividiendo por ρ ,

dh

dV S h y g hν =− )(

separando variables,

( )dhh y gS

dV h −=ν

e integrando, se obtiene

K h

yh gS

V h +

−=

2

2

ν


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74/529

54


Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el

gasto específico (por unidad de ancho).

Pero también se tiene que,

Vyq =

Luego,

maxV V 3

2=

2

23

2 y

gS V

ν

=

ν 3

2 gSyV = (2-15)

Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que

evidentemente equivale a

ν 3

2 gSRV = (2-15)

Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia

de la pendiente.

En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición

0=dh

dV h

Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.

∫ =

==

yh

hhdhV q

0

calculado q se obtiene por división entre el área y , el valor de la velocidad media, que es

el de la ecuación 2-15.


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55


2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media

para una tubería con movimiento laminar

Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene

S h D

dh

dV h

−=

24 γ µ

de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a

K

h Dh gS

V h +

−= 44

2

ν

El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( 0=h ;

0=hV ; 0= K ). Luego,

−=

44

2h Dh gS V h

ν (2-16)

que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.

La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a 4 Dh =

16

2 D gS V max

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