P Min ( )2 8 (1)0, 00, 01 (2)s.a 0, 02 (4)0, 14 (3)0, 0yx x y yx xy yx x y yy yx y yy yx x y yy y++ -- ++ -- ++ -- ++ -- +=??+ - + = ???? = = ???? = = ???? - - + =- ???? = = ???? - + = ???? = = ????? + - + = ?????? = =Solucin ptima:Valor ptimo: 1Conclusin: la solucin ptima es (2,3). En las metas 1 y 2 no hay ni exceso nidefecto ( y1 0, y1 0, y2 0, y2 0)+ - + - = = = = . En la meta 3 y en la 4 hay un excesode 1 ( y3 1, y3 0, y4 1, y4 0)+ - + - = = = = .3. La directora de un centro educativo debe asignar la docencia de 5 asignaturas, A1,A2, A3, A4 y A5 a 4 profesores, P1, P2, P3 y P4 teniendo en cuenta las valoracionesde las encuestas hechas por los alumnos y unas restricciones impuestas por un nuevoreglamento. En base a las encuestas de aos anteriores, se tienen las siguientesvaloraciones promedios (escala: 0 mala, 5 excelente):(2,3)7A1 A2 A3 A4 A5P1 2.7 2.2 3.4 2.8 3.6P2 2 3.6 3.4 2.8 3.6P3 3.2 3.8 2.3 1.9 2.6P4 2.6 2.5 1.8 4.2 3.5El nuevo reglamento dice que el profesor P3 no puede impartir las asignaturas A1 yA2. Las asignaturas no se pueden compartir y se han de impartir todas. Ningnprofesor puede quedar sin asignaturas. Al profesor P1 solamente se le debe asignaruna asignatura.a) (5 puntos) Modelizar como un problema de programacin lineal entera con elobjetivo de obtener la asignacin que maximice la valoracin media total.b) (5 puntos) Indicar a qu tabla habra que aplicar el mtodo hngaro paradeterminar la asignacin ptima.Solucin:a) Definimos las variables de decisin siguientes:1 si al profesor se le asigna la asignatura=0 en caso contrario iji jx???con i=1,,4 y j=1,,5La modelizacin queda como sigue:( ) 11 12 15 21 22 25 4511 12 13 14 151 2 3 4 51 2 3 43132Max 2.7 2.2 ... 3.6 2 3.6 ... 3.6 ... 3.511 2 2, 3, 41 1,...,5s.a000,1 1,..., 4 1,...,5i i i i ij j j jijx x x x x x xx x x x xx x x x x ix x x x jxxx i j+ + + + + + + + ++ + + + = ?? + + + + = ?? + + + = = ??= ?? =?= = = ??b) Aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:8A1 A2 A3 A4 A5 F FP1 -2.7 -2.2 -3.4 -2.8 -3.6 M MP2 -2 -3.6 -3.4 -2.8 -3.6 M MP2 -2 -3.6 -3.4 -2.8 -3.6 0 0P3 M M -2.3 -1.9 -2.6 M MP3 M M -2.3 -1.9 -2.6 0 0P4 -2.6 -2.5 -1.8 -4.2 -3.5 M MP4 -2.6 -2.5 -1.8 -4.2 -3.5 0 0Con M positivo suficientemente grande.4. La siguiente red representa un proyecto donde el valor de cada arco indica laduracin de cada actividad en das:a) (4 puntos) Determinar para qu valores de t(1,3), t(1,6) y t(8,9) se cumplen lastres condiciones siguientes: La duracin prevista del proyecto es de 23 das. La actividad (2,6) es crtica. El margen de la actividad (3,4) es 4.b) (6 puntos) Hallar el (los) camino(s) crtico(s) del proyecto y la tabla deactividades para los valores obtenidos en a)t(1,6)574352578t(1,3) 58413245678 9t(8,9)9Solucin:a) Dado que la actividad (2,6) es crtica y P(6) = Max{12, t (1,6)}, se tieneque P(6) =12 y en consecuencia t (1,6) 12. Como la duracin prevista del proyecto (d.p.p.) es de 23 das y laactividad (2,6) es crtica, se sabe que: 23=12+7+t (8,9). Luegot (8,9) = 4. Dado que el margen de la actividad (3,4) esM (3,4) = Q(4) - P(3) - t (3, 4), se tiene que 4 =16 - P(3) -3 y portanto P(3) = 9 . Como P(3) = Max{9, t (1,3)} = 9 entonces t (1,3) 9.b) Si t (1,6)