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Proyecto Fin de CarreraIngeniería de Telecomunicación

Formato de Publicación de la Escuela TécnicaSuperior de Ingeniería

Autor: F. Javier Payán Somet

Tutor: Juan José Murillo Fuentes

Dep. Teoría de la Señal y ComunicacionesEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2013

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Optimización del vuelo de planeo de avionescomerciales mediante control óptimo

Autor: Eulalia Hernández RomeroTutor: Antonio Franco Espín

Dpto. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Optimización del vuelo de planeo de avionescomerciales mediante control óptimo

Autor:

Eulalia Hernández Romero

Tutor:

Antonio Franco EspínProfesor Ayudante Doctor

Dpto. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de SevillaSevilla, 2014

Trabajo Fin de Grado: Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante con-trol óptimo

Autor: Eulalia Hernández RomeroTutor: Antonio Franco Espín

El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores:

Presidente:

Vocal/es:

Secretario:

acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Fecha:

Resumen

En este trabajo se analiza el vuelo de planeo de un avión comercial de mínimo coste en presencia de viento. Sehan considerando restricciones a los estados asociadas a limitaciones operacionales en la velocidad calibradaCAS y el número de Mach máximos de vuelo. El problema de mínimo coste, enteniendo este como suma delcoste del combustible y del coste de tiempo, se estudia haciendo uso de la Teoria del Control Óptimo.El control óptimo sin restricciones es del tipo bang-singular-bang, apareciéndo tramos de CAS y Mach

constantes en las trayectorias restringidas. Se ha obtenido la trayectoria óptima sin necesidad de resolver elproblema de los adjuntos, que se han resuelto posteriormete para comprobar la optimalidad de la solución.Los resultados se han presentado para un modelo lineal de viento y para un modelo aerodinámico del

Boeing 767-300ER, una aeronave típica comercial de pasajeros de fuselaje ancho y dos motores. Se analizael efecto sobre la trayectoria óptima del viento medio, el gradiente de viento, el peso y el Cost Index. Esteúltimo parámetro, relación entre el coste del tiempo y el coste de combustible, resulta tener una enormeinfluencia sobre la trayectoria óptima.

I

Abstract

The minimum-cost unpowered descent of a commercial aircraft in presence of winds is analysed in thisproject. State constraints associated with operational limits in the maximum calibrated-airspeed and Machnumber are considered. The minimum-cost problem, including both fuel and time costs, is studied using theTheory of Optimal Control.

The unconstrained optimal control is of the bang-singular-bang type, whereas constant CAS and Mach arcscan be found in constrained trajectories. The optimal trajectory can be solved independently of the adjointsproblem, wich will be solved afterwards to verify the optimality of the solution.

The results are presented for a linear wind model and for an aerodynamic model of a Boeing 767-300ER,a typical commercial, wide-body and twin-engine airliner. The effect on the optimal trajectory of the averagewind, wind shear, aircraft weight and Cost Index is analysed. This last parameter, ratio of time cost to fuelcost, is shown to have a large influence on the optimal trajectory.

III

Índice

Resumen IAbstract III

1. Introducción 11.1. Objetivos y esquema del proyecto 1

2. Formulación del problema 32.1. Hipótesis y ecuaciones del movimiento 32.2. Modelos 4

2.2.1. Modelo de aeronave 42.2.2. Modelo de tierra 42.2.3. Modelo de atmósfera 42.2.4. Modelo de viento 5

2.3. Problema de mínimo coste 52.3.1. Coste del planeo 52.3.2. Minimización 6

3. Planteamiento de la solución 93.1. Principio del Máximo: Condiciones Necesarias de Optimalidad 93.2. Arco singular 103.3. Restricción en la Velocidad Calibrada 113.4. Restricción en el Número de Mach 133.5. Estructura de la solución 143.6. Resolución numérica 14

3.6.1. Caso 1: bang-singular-bang 153.6.2. Caso 2: bang-singular-CAS-bang 163.6.3. Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang 173.6.4. Caso 4: bang-singular-Mach-CAS-bang 173.6.5. Caso 5: bang-Mach-CAS-bang 18

4. Resultados 214.1. Estructura de la solución 21

4.1.1. Arco singular 214.1.2. Trayectorias divisorias. 22

4.2. Efecto del Cost Index 244.3. Efecto del viento medio 274.4. Efecto del gradiente de viento 304.5. Efecto del peso 324.6. Actuaciones integrales. 344.7. Comprobaciones de optimalidad 38

5. Conclusiones y trabajo futuro 41

V

VI Índice

Apéndice A.El problema de control óptimo 43A.1. Planteamiento del problema de control óptimo sin restricciones 43A.2. El Principio del Máximo de Pontryagin 44A.3. Control óptimo singular 45A.4. Problema de control óptimo con restricciones en las variables de estado. 46

Apéndice B.Modelo aerodinámico de Aeronave 47Apéndice C.Desarrollo de expresiones 49

C.1. Atmósfera 49C.1.1. Derivadas primeras 49C.1.2. Derivadas segundas 49

C.2. Resistencia aerodinámica 49C.2.1. Derivadas primeras 50C.2.2. Derivadas segundas 50

C.3. Arco singular 50C.4. Restricciones en la Velocidad Calibrada y en el número de Mach 51

C.4.1. Restricción en CAS 51C.4.2. Restricción en Mach 52

Índice de Figuras 53Índice de Tablas 55Bibliografía 57

1 Introducción

La optimización de trayectorias ocupa un puesto fundamental en la industria aeronáutica. Gracias a estarama de la Mecánica del Vuelo, las aerolíneas tienen herramientas en su mano para evaluar y mejorar

las actuaciones de sus aeronaves, minimizando el consumo de combustible, el coste del vuelo o su impactoambiental.

Teniendo en cuenta la gran cantidad de dinero que mueve esta industria y sus inmesas implicaciones en laeconomía de cada país, no es de extrañar que esta disciplina esté ampliamente estudiada.

En concreto, en este proyecto se analiza el trayecto de descenso de la aeronave. Este problema puedeabordarse desde diferentes puntos de vista, según la función objetivo que desee optimizarse:

• Minimización del tiempo de vuelo.

• Maximización del alcance o, lo que es lo mismo para el caso de descensos no propulsados, minimizacióndel consumo de combustible.

• Minimización del coste de vuelo.

• Minimización del impacto ambiental o de la contaminación acústica.

Entre los métodos de resolución de este tipo de problemas destaca el Cálculo de Variaciones o CálculoVariacional. Este método es el más general y consiste en encontrar las funciones que hacen óptimo unfuncional. En oposición a otros métodos menos generales como el de optimización paramétrica, las funcionesque conforman la solución son variables en el tiempo, radicando aquí el gran alcance de este método perotambién su complejidad.El método usado en este proyecto es una ampliación del Cálculo Variacional llamada Control Óptimo.

Nacida a finales de los años 50, se trata de una herramienta muy usada debido a su flexibilidad que, unida a lapotencia de cálculo que ofrecen los ordenadores de hoy en dia, hace que sea capaz de resolver casi cualquierproblema de optimización.

1.1 Objetivos y esquema del proyecto

El objetivo de este proyecto es encontrar la ley de control óptima que minimice el coste del descenso nopropulsado de un avión comercial de pasajeros, con unas condiciones iniciales y finales en velocidad y altituddadas y en presencia de viento. En esta optimización se va a tener en cuenta tanto el coste de combustiblecomo el coste de tiempo de vuelo.

Para ello, se pleantea el problema y su solución utilizando las ecuaciones de la Mecánica del Vuelo y delControl Óptimo. El problema se particulariza para un modelo de aeronave de un Boeing 767-300ER y paraun perfil de vientos en la misma dirección que la aeronave y lineales con la altitud.

En primer lugar se formulará el problema en el Capítulo 2 donde, de forma general, se plantearán lasecuaciones que gobiernan la trayectoria de descenso de la aeronave y el problema de optimización. Acontinuación, en el Capítulo 3 se abordará el problema desde el punto de vista de la Teoría del Control

1

2 Capítulo 1. Introducción

Óptimo, obteniéndose las ecuaciones que constituyen la solución al problema. En el Capítulo 4 se presentanlos resultados obtenidos y se analiza el comportamiento de la solución en función de los parámetros delproblema. Por último, se presentarán las conclusiones en el Capítulo 5. Además, en los Anexos A, B y C sehace una introducción al Control Óptimo, se presenta el modelo aerodinámico utilizado y se incluyen ciertasexpresiones que, por hacer más claro el documento, no se desarrollan en capítulos anteriores.

2 Formulación del problema

En el presente capítulo se plantea el problema del planeo desde el punto de vista de la Mecánica del Vuelo,formulando las ecuaciones que gobiernan la trayectoria de descenso de la aeronave. También se define

el criterio de optimización y se describen los modelos necesarios para el desarrollo del problema.

2.1 Hipótesis y ecuaciones del movimiento

En general, los aviones comerciales realizan el descenso con un empuje mínimo (motores al ralentí o idlerating) con el fin de mantener los motores en funcionamiento y suministrar energía a sistemas auxiliaresde la aeronave. En este proyecto se va a simplificar el problema estudiando el vuelo de planeo, es decir, eldescenso con empuje nulo.

Se estudiará el avión como un cuerpo rígido puntual con tres grados de libertad, dejando al margen elproblema de estabilidad y control de la aeronave. También se considerará que el vuelo es simétrico y contenidoen un plano vertical, esto es, fijando un rumbo constante.Adicionalmente, se van a establecer las siguientes hipótesis:

- Peso constante (W = 0)- Ángulo de asiento de la velocidad aerodinámica pequeño (γ 1). Lo que conlleva senγ ≈ γ , cosγ ≈ 1y sen2

γ ≈ 0.- Aceleración normal a la trayectoria despreciable (γ ≈ 0)- Viento horizontal y dependiente con la altitud.

De esta forma, el sistema de ecuaciones que define el problema es:

dxdt

= V +w(h) (2.1)

dhdt

= V γ (2.2)

dVdt

= −D(h,V )

m−gγ−V

dw(h)dh

γ (2.3)

L = mg (2.4)

Este sistema, formado por tres ecuaciones diferenciales (2.1, 2.2 y 2.3) y una algebraica (2.4), relacionatres variables de estado (altitud h, velocidad aerodinámicaV y distancia horizontal recorrida x) y una variablede control (ángulo de trayectoria γ). La resistencia aerodinámica D(h,V ) es una función conocida.

Las ecuaciones 2.1 y 2.2 definen, respectivamente, la cinemática horizontal y vertical. Por otro lado, en lasecuaciones 2.3 y 2.4 se establece el equilibrio de fuerzas horizontales y fuerzas verticales.

En cuanto a las condiciones de contorno del problema, se fijan unas condiciones iniciales ho,Vo y xo yunas condiciones finales h f y Vf determinadas, dejando como incógnita el alcance x f . Además, la variablede control γ se encuentra acotada entre unos valores γmin y γmax.

3

4 Capítulo 2. Formulación del problema

2.2 Modelos

En este apartado se describen los modelos de aeronave, tierra, atmósfera y viento usados en el trabajo.

2.2.1 Modelo de aeronave

Se ha usado el modelo de un Boeing 767-300ER, una aeronave comercial típica de pasajeros, con dos motoresa reacción y fuselaje ancho, cuyas características aerodinámicas se presentan en el Apéndice B.

Este tipo de aviones opera en regimen subsónico pero a números de Mach lo suficientemente elevados comopara tener en cuenta los efectos de la compresibilidad, por lo que el coeficiente de resistencia aerodinámicaCD dependerá tanto del coeficiente de sustentación CL como del Mach de vuelo M.

CD =CD(CL,M) (2.5)

La polar del avión queda definida en el Apéndice B.

Haciéndo uso de la definición de CD y CL y de la ecuación 2.4 se obtiene la expresión de la resistenciaaerodinámica como:

D =12

ρV 2SWCD(CL,M) (2.6)

con

CL =mg

12 ρV 2SW

(2.7)

siendo M =V/a el número de Mach (donde a es la velocidad del sonido), ρ la densidad del aire y SW lasupecie alar de referencia.

Además de proporcionar los datos necesarios para la resolución del sistema de ecuaciones, el modelo deaeronave aporta unas restricciones adicionales al problema de optimización que van a influir notablementeen los resultados.Estas restricciones, relacionadas con limitaciones puramente físicas de la aeronave, son la Velocidad

Calibrada Máxima de Operación (VMO) y el Número de Mach Límite de Operación (MMO).Estas limitaciones acotan la Velocidad Calibrada CAS y el número de Mach M que es capaz de alcanzar la

aeronave. En concreto, para el Boeing 767-300ER, estos límites son:

CASmax = 360 kt Mmax = 0.86 (2.8)

2.2.2 Modelo de tierra

Se va a usar la hipótesis de tierra plana así como un sistema de referencia topocéntrico, válido para vueloscortos. Además, se va a suponer que la aceleración de la gravedad se mantiene constante con la altitud, siendoel valor de esta g = 9.80665 m/s2.

2.2.3 Modelo de atmósfera

El modelo de atmósfera empleado es el de la Atmósfera Estándar Internacional (ISA). Este modelo, partiendode la hipótesis de que la temperatura T varía linealmente con la altitud h, utiliza la fluidostática para definirlas presión p, densidad ρ y velocidad del sonido a en función de esta.

En este proyecto solo se estudiará el vuelo en la troposfera (por debajo de los 11 km de altitud), de formaque las ecuaciones que definen la atmósfera, asi como las constantes usadas en estas, son las que se describena continuación:

2.3 Problema de mínimo coste 5

T = To +αh (2.9)

p = po

(1+α

hTo

)− gRgα (2.10)

ρ =po

RgTo

(1+α

hTo

)−( gRgα

+1)(2.11)

a = ao

( ppo

)− Rgα

2g (2.12)

Tabla 2.1 Constantes de la Atmósfera ISA.

Parámetro Símbolo Unidades Valor

Gradiente de temperaturas en la troposfera α K/m −6.5 ·10−3

Temperatura a nivel del mar To K 288.15

Presión a nivel del mar po Pa 101326

Constante de los gases para el aire Rg J/(KgK) 287.053

Velocidad del sonido a nivel del mar ao m/s 340.3

2.2.4 Modelo de viento

En cuanto al viento, va a usarse un modelo lineal donde la velocidad del viento varia con la altitud de lasiguiente forma:

w(h) = w+∆wh−hhi−h

(2.13)

donde, dadas una altitud inicial hi y una altitud final h f determinadas, h = (hi +h f )/2 es la altitud media,w = w(h) la velocidad del viento media y ∆w el gradiente de viento.

El parámetro ∆w define el valor de dw/dh

w′ =dw(h)

dh=

2∆whi−h f

(2.14)

siendo el caso ∆w = 0 kt el de viento constante con la altitud. Para que la variación del viento sea físicamentecoherente, se deben cumplir dos condiciones que acotan el valor de ∆w:

- El viento aumenta con la altitud: sign(w) = sign(∆w).

- El viento no debe cambiar de sentido: |w| ≥ |∆w|

2.3 Problema de mínimo coste

La ley de pilotaje o ley de control que determina una trayectoria se construye atendiendo a un criterio deoptimización determinado. Por ejemplo, puede minimizarse el consumo de combustible, el tiempo de vueloo maximizarse el alcance. En este problema, el criterio seleccionado es la minimización del Coste OperativoDirecto (DOC).

2.3.1 Coste del planeo

El Coste Operativo Directo, generalmente utilizado en el crucero, se define como la suma del coste delcombustible (cF ) y el coste de mantener la aeronave en vuelo (ct), que suelen medirse en $/hr y cents/kg.

6 Capítulo 2. Formulación del problema

De esta forma, puede escribirse el DOC como:

DOC = cF mF + cttT (2.15)

Siento mF la masa final de combustible consumida y tT el tiempo total del vuelo.

El Coste Operativo Directo está por tanto medido en unidades monetarias. A la hora de realizar compara-ciones, esta medida no es muy práctica debido a que los precios cF y cT dependen de factores económicos,demográficos y sociales y, por lo tanto, son muy variables en el tiempo. Es preferible definir un coste medidoen los kg de combustible consumidos a lo largo del vuelo.

Con este objetivo se define el Cost Index: CI = ct/cF (medido en kg/s), de modo que expresión anteriorpuede reformularse de la forma:

DOC =DOC

cF= mF +CItT (2.16)

Se desea determinar la trayectoria de descenso que aporta la mínima contribución al DOC de la trayectoriaglobal. Esta claro que, al no consumirse combustible en el caso del planeo,conviene que este tramo tenga unalcance lo más grande posible sin que tenga un tiempo de vuelo demasiado alto. Teniendo en cuenta esto, lacontribución de un descenso de alcance x f puede aproximarse por:

J =−Kx f +CIt f (2.17)

con t f el tiempo empleado en el planeo y donde K representa el coste kilométrico del crucero, medido enkg/m. Esta contribución del planeo al DOC establece el precio, medido en kg de combustible, que supone larealización del descenso: el primer sumando representa el ahorro en coste frente a suponer que la distancia dedescenso x f se recorriese en crucero, mientras que el segundo sumando hace referencia al coste directamenteasociado a la realización del propio planeo.

Nótese que el coste del crucero K debe incluir tanto el coste de combustible como el coste temporalasociados a él. Además, teniendo en cuenta que el crucero presenta un coste dependiente del Coste Index, elparámetro K será una función de CI.

La elección de los valores K y CI, así como de las condiciones iniciales del planeo, deben elegirseatendiendo a criterios de minimización del coste y partiendo de un modelo de consumo. Este estudio no sellevará a cabo en este proyecto, donde se resolverá el problema para valores genéricos de K y CI. De estemodo, a lo largo del proyecto también se va a trabajar con el parámetro Ω (medido en m/s), que se definecomo

Ω(CI) =CI

K(CI)(2.18)

Este parámetro va a tener una dependencia positiva con CI, lo que implica que para valores bajos de Ω elalcance del planeo tendrá bastante peso en el problema de minimización mientras que para valores de Ω altosserá el tiempo de vuelo el predominante.

La función objetivo obtiene finalmente la expresión:

J =−x f +Ωt f (2.19)

2.3.2 Minimización

El objetivo de este problema es, finalmente, maximizar el ahorro de combustible definido en la ecuación2.17. Haciendo uso de las ecuaciones definidas en el Apartado 2.1 y teniendo en cuenta las restricciones enel estado (Apartado 2.2.1), la formulación final del problema queda de la forma:

2.3 Problema de mínimo coste 7

Minimizar J =∫ t f

0[−(V +w(h)

)+Ω]dt

sujeto a : V =−Dm−gγ−V w′γ

h =V γ

x =V +w

con : h(0) = ho h(t f ) = h f

V (0) =Vo V (t f ) =Vf

x(0) = 0C1(V,h)≤ 0C2(V,h)≤ 0γmin ≤ γ ≤ γmax (2.20)

Donde C1 y C2 hacen referencia a la restricción en la velocidad CAS y a la restricción en Mach respectiva-mente.

3 Planteamiento de la solución

En este capítulo se resuelve el problema de mínimo coste formulado en el capítulo anterior usando lateoría del control óptimo. Se desarrollan las ecuaciones que definen el control óptimo y se estudian los

diferentes tipos de soluciones que pueden aparecer. En el Anexo A se ha hecho una breve introducción a lateoría del control óptimo, donde se pueden consultar los aspectos matemáticos utilizados para llevar a cabola resolución del problema.

3.1 Principio del Máximo: Condiciones Necesarias de Optimalidad

El Hamiltoniano del problema queda definido como:

H =−(V +w)+Ω−λv

(Dm+gγ +V w′γ

)+λhV γ +λx(V +w)+µ1C(q)

1 +µ2C(q)

2 (3.1)

donde se ha aplicado la condición de normalidad η = 1. Las funciones µ1(t) y µ2(t) que acompañan a lasrestricciones adoptan la siguiente expresión:

µ1

> 0 si C1 = 0= 0 si C1 < 0 (3.2) µ2

> 0 si C2 = 0= 0 si C2 < 0 (3.3)

Las variables adjuntas λv, λh y λx se obtienen aplicando las ecuaciones dinámicas de los adjuntos(ecuaciones A.7), que constituyen, después de la condición de no trivialidad, la segunda condición deoptimalidad:

λv = −∂H∂V

= 1+λv

( 1m

∂D∂V

+w′γ)−λhγ−λx−µ1

∂C(q)

1∂V−µ2

∂C(q)

2∂V

λh = −∂H∂h

= w′+λv

( 1m

∂D∂h

+V w′′γ)−λxw′−µ1

∂C(q)

1∂h−µ2

∂C(q)

2∂h

λx = −∂H∂x

=−µ1∂C(q)

1∂x−µ2

∂C(q)

2∂x

(3.4)

Como se verá un poco más delante, C(q)

1 y C(q)

2 no van a depender explícitamente de t ni de x.Se tiene entonces que λx = 0 y, aplicando las condiciones de transversalidad (ecuaciones A.9) y teniendo

en cuenta que el alcance final no está determinado, se deduce:

λx(t f ) = 0 (3.5)

lo que, unido al resultado obtenido en la ecuación 3.4, desemboca en

λx = 0 (3.6)

Teniendo en cuenta que no se especifica t f , se puede aplicar la condición de transversalidad A.10 para obtener

H(t f ) = 0 (3.7)

9

10 Capítulo 3. Planteamiento de la solución

La condición de minimización del Hamiltoniano queda de la forma:

S =∂H∂γ

=−λv(g+V w′)+λhV −µ1∂C(q)

1∂γ−µ2

∂C(q)

2∂γ

= 0 (3.8)

Si además se aplica esta última condición y teniendo en cuenta que el tiempo t no aparece explícitamenteen la expresión de H, se deduce a partir de A.11 que, en la trayectoria óptima, este es constante y, usando 3.7:

H(t) = 0 (3.9)

Por último, la variable de control γ óptima será:

γ∗ =

γmax si S < 0γarco si S = 0γmin si S > 0

(3.10)

donde γarco es el control óptimo en cada arco de la trayectoria, que se determinará en los siguientes apartadosy dependerá de si el arco corresponde o no a una de las dos restricciones.

3.2 Arco singular

En este apartado se va a determinar el control óptimo en los arcos de la trayectoria que no están sobre unarestricción, es decir:

C1 < 0, µ1 = 0C2 < 0, µ2 = 0 (3.11)

El Hamiltoniano es por tanto:


(Dm+gγ +V w′γ

)+λhV γ (3.12)

Puede apreciarse que el Hamiltoniano es lineal con la variable de control γ , por lo que puede escribirse dela siguiente forma:

H = H +Sγ (3.13)

Será necesario, por tanto, aplicar las ecuaciones de control óptimo singular al problema.

Las ecuaciones dinámicas de las variables adjuntas toman ahora la forma:

λv = −∂H∂V

= 1+λv

( 1m

∂D∂V

+w′γ)−λhγ

λh = −∂H∂h

= w′+λv

( 1m

∂D∂h

+V w′′γ)

(3.14)

El arco singular del problema queda definido haciendo que la función de conmutación sea cero (S = 0) alo largo de todo el arco (S = 0). Así, teniendo también en cuenta que en la trayectoria óptima H = 0, lasecuaciones que definen el arco son:

H = −(V +w)+Ω−λVDm

= 0 (3.15)

S = −λV (g+V w′)+λhV = 0 (3.16)

S =λV

m

[∂D∂h

V −g∂D∂V

+w′(

D− ∂D∂V

V)]−λh

Dm−g = 0 (3.17)

Manipulando las ecuaciones anteriores se llega a una expresión del tipo f (V,h) = 0 para el arco singular:

V∂D∂h− (g+V w′)

∂D∂V−g

w−Ω

(V +w)−Ω

DV

= 0 (3.18)

3.3 Restricción en la Velocidad Calibrada 11

El control óptimo singular se obtiene al igualar a cero la primera derivada temporal de S donde apareceexplicitamente el control γ . Al ser S la derivada donde esto ocurre, se obtiene un arco de orden ξ = 1.Derivando la ecuación 3.17 y sustituyendo con las ecuaciones 3.14 se obtiene una expresión de S que tiene lasiguiente forma:

S = A(V,h)+ γB(V,h) (3.19)

donde los valores de A(V,h) y B(V,h) se desarrollan en el Apéndice C.Por tanto, el control óptimo singular está dado por la expresión

γsing =−A(V,h)B(V,h)

(3.20)

Finalmente, para garantizar la optimalidad debe verificarse la condición generalizada de Legendre-Clebsch(ecuación A.17), que para este problema es:

B(V,h)≤ 0 (3.21)

3.3 Restricción en la Velocidad Calibrada

Como se comentó en el Capítulo 2, el avión tiene una limitación física sobre la velocidad CAS máxima quepuede alcanzar, que para este problema esCASmax = 360 kt. Aparece entonces en el problema una restricciónde desigualdad en las variables de estado que toma la forma:

C1(V,h) =V −VCAS(h)≤ 0 (3.22)

Donde, siendo CASmax una constante, VCAS(h) viene dada por la expresión:

VCAS(h) =

√√√√2k

RgT (h)

[(1− po

p(h)

[(1+

k2

ρo

poCAS2

max

)1/k

−1

])k

−1

](3.23)

con k = (κ−1)/κ y κ = 1.4 el coeficiente de dilatación adiabática del aire y el resto de variables y constanteslas definidas en la Atmósfera ISA (ver Apartado 2.2.3).Para que la trayectoria permanezca en la restricción a lo largo de todo el arco, el control óptimo debe ser

tal que la primera derivada temporal de la restricción C1(V,h) donde aparezca explícitamente el control seacero. En este caso, esto ocurre en la derivada primera, por lo que la restricción en CAS es una restricción deprimer orden.

C1(V,h,γ) = V − dVCAS(h)dh

h =−(D

m+gγ +V w′γ +V γ

dVCAS(h)dh

)= 0 (3.24)

donde la expresión de dVCAS(h)/dh se desarrolla en el Apéndice C. El control óptimo γCAS en la restricciónqueda entonces determinado por la ecuación:

γCAS =−D/m

g+V w′+V dVCAS(h)dh

(3.25)

El Hamiltoniano y las ecuaciones dinámicas de los adjuntos en este arco toman la forma:


(Dm+gγ +V w′γ

)+λhV γ−µ1

(Dm+gγ +V w′γ +V γ

dVCAS(h)dh

)(3.26)


λv = −∂H∂V

= 1+λv

( 1m

∂D∂V

+w′γ)−λhγ +µ1

( 1m

∂D∂V

+w′γ +dVCAS(h)

dhγ

)λh = −∂H

∂h= w′+λv

( 1m

∂D∂h

+V w′′γ)+µ1

( 1m

∂D∂h

+V w′′+d2VCAS(h)

dh2 V γ

)(3.27)

conµ1

> 0 si C1 = 0= 0 si C1 < 0 (3.28)

Del mismo modo que ocurría en el arco singular, el Hamiltoniano es linear con el control. Aplicando lacondición de minimización del hamiltoniano y teniendo en cuenta que H(t) = 0, en la restricción debencumplirse las siguientes ecuaciones:

H = −(V +w)+Ω−λvDm−µ1

Dm

= 0 (3.29)

S = λhV −λv(g+V w′)−µ1

(g+V w′+V

dVCAS(h)dh

)= 0 (3.30)

(3.31)

Adicionalmente a la ecuación 3.24, debe cumplirse a lo largo de la restricción la condición:

C1(V,h) = 0 (3.32)

Teniendo en cuenta que la derivada de C1 es nula a lo largo del arco (ecuación 3.24), la condición anterior vaa cumplirse siempre que en el punto de entrada al arco de la restricción se de la condición de tangencia 3.32.Esta condición va a traducirse en una discontinuidad en las variables adjuntas del problema en el punto deentrada a la restricción que tendrán que cumplir las condiciones de salto que se describen a continuación.

Llamando t−e y t+e a los instantes inmediatamente anterior y posterior al instante de entrada a la restricciónte y t−s y t+s a los de salida, las condiciones de salto en los extremos de la restricción son:

λv(t−e ) = λv(t

+e )+π1

∂C1∂V

∣∣∣te

λh(t−e ) = λh(t

+e )+π1

∂C1∂V

∣∣∣te

H(t−e ) = H(t+e )

S(t−e ) = S(t+e ) (3.33)

λv(t−s ) = λv(t

+s )+π

∂C1∂V

∣∣∣te

λh(t−s ) = λh(t

+s )+π

∂C1∂V

∣∣∣te

H(t−s ) = H(t+s )

S(t−s ) = S(t+s ) (3.34)

Siendo π1 una constante. Se tendrá, por tanto, una discontinuidad a la entrada del arco de CAS constanteen las funciones λv y λh, mientras que a la salida de este van a permanecer constantes. Por otro lado, tanto elHamiltoniano como su derivada respecto al control serán constantes a lo largo de toda la trayectoria.

Por último, la nueva condición de optimalidad que debe verificarse en el arco para que la trayectoria seaóptima es:

µ1(t)≥ 0 en la restricción C1 = 0 (3.35)

3.4 Restricción en el Número de Mach 13

3.4 Restricción en el Número de Mach

La segunda limitación de la aeronave es el Mach máximo en el que puede operar. En este problema, el límiteestá en Mmax = 0.86. La expresión que define esta restricción en las variables de estado es ahora:

C2(V,h) =V −VM(h)≤ 0 (3.36)

conVM(h) = Mmaxa(h) (3.37)

Del mismo modo que ocurrió en el apartado anterior, esta restricción es de primer orden, siendo su primeraderivada temporal dependiente de forma directa con el control γ .

C2(V,h,γ) = V − dVM(h)dh

h =−(D

m+gγ +V w′γ +V γ

dVM(h)dh

)= 0 (3.38)

Así, puede obternerse el control óptimo γM de la siguiente ecuación:

γM =−D/m

g+V w′+V dVM(h)dh

(3.39)

El Hamiltoniano y las ecuaciones dinámicas de los adjuntos en este arco son las siguientes:


(Dm+gγ +V w′γ

)+λhV γ−µ2

(Dm+gγ +V w′γ +V γ

dVM(h)dh

)(3.40)

λv = −∂H∂V

= 1+λv

( 1m

∂D∂V

+w′γ)−λhγ +µ2

( 1m

∂D∂V

+w′γ +dVM(h)

dhγ

)λh = −∂H

∂h= w′+λv

( 1m

∂D∂h

+V w′′γ)+µ2

( 1m

∂D∂h

+V w′′+d2VM(h)

dh2 V γ

)(3.41)

siendo

µ2

> 0 si C2 = 0= 0 si C2 < 0 (3.42)

De nuevo, aparece una condición de tangencia en el punto de entrada al arco de la restricción que traeconsigo un salto en λv(t) y λh(t).

C2(V,h) = 0 (3.43)

λv(t−e ) = λv(t

+e )+π2

∂C2∂V

∣∣∣te

λh(t−e ) = λh(t

+e )+π2

∂C2∂V

∣∣∣te

H(t−e ) = H(t+e )

S(t−e ) = S(t+e ) (3.44)

λv(t−s ) = λv(t

+s )+π

∂C1∂V

∣∣∣te

λh(t−s ) = λh(t

+s )+π

∂C1∂V

∣∣∣te

H(t−s ) = H(t+s )

S(t−s ) = S(t+s ) (3.45)


La condición adicional de optimalidad es en este arco:

µ2(t)≥ 0 en la restricción C2 = 0 (3.46)

3.5 Estructura de la solución

La trayectoria óptima será una combinación de arcos con γmin y γmax en los intervalos inicial y final, γsing enel arco singular y γCAS y γM en las restricciones. Si aparecen o no estos tramos y cuándo lo hacen vendrádeterminado por parámetros del problema como el viento (w y ∆w), el Cost Index(Ω) o el peso de la aeronaveal comienzo del planeo (W ). Un ejemplo de las trayectorias que podrían aparecer se puede ver en la Figura3.1.

Teniendo en cuenta que la velocidad y la altitud inicial y final están dadas, será extremadamente improbableque estos puntos pertenezcan al arco singular o a las restricciones en CAS y en Mach. Esto obliga a queaparezcan arcos donde γ tenga que tomar valores máximos o mínimos (lo que se conoce como control tipobang) que unan los puntos inicial y final con los segmentos donde se da la trayectoria óptima (es decir, elarco singular o alguna de las restricciones). A raiz de los resultados, se adelanta que los tipos de trayectoriasque uno espera encontrar van a ser:

1. bang-singular-bang

2. bang-singular-CAS-bang

3. bang-Mach-singular-CAS-bang

4. bang-singular-Mach-CAS-bang

5. bang-Mach-CAS-bang

(a) (b)

Figura 3.1 Esquema de dos posibles trayectorias: a) bang-singular-bang y b) bang-singular-CAS-bang.

En el Capítulo 4 se verán los tipos de soluciones que realmente aparecen y cómo las estructuras varían enfunción de los parámetros anteriormente nombrados.

3.6 Resolución numérica

Para la integración del sistema de ecuaciones diferenciales que define el problema se ha usado la funciónode45 de MATLAB.Puede apreciarse que las ecuaciones diferenciales que definen el estado (ecuaciones 2.1 a 2.3) están des-

acopladas de las ecuaciones dinámicas de los adjuntos (ecuaciones 3.4), es decir, no es necesario obtener losvalores de λv y λh para resolver la trayectoria, en principio, óptima. Sin embargo, los valores de las variablesadjuntas serán necesarios para comprobar que las condiciones de optimalidad se cumplen siempre a lo largode la trayectoria. Por ello, en lugar de resolver simultáneamente las ecuaciones de estado y las ecuacionesde los adjuntos, se ha optado por integrar la trayectoria en primer lugar, y, con los datos obtenidos de esta

3.6 Resolución numérica 15

primera integración, resolver posteriormente los adjuntos.

El procedimiento seguido para encontrar la solución es diferente para cada tipo de trayectoria. A continua-ción se expondrá el proceso llevado a cabo en cada caso.

3.6.1 Caso 1: bang-singular-bang

Comenzando en el punto [ho,Vo] (punto 0), tomando xo = 0 y siendo el control γ = γmin o γ = γmax, seintegran las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 desde t = 0 hasta que se alcanza el arco singular (punto 1), obteniéndoseasí el primer bang.

Las elección del control se hace en función de la posición del arco o la restricción respecto al punto inicial.Es decir, si para alcanzar el arco o restricción desde el punto inicial es necesario acelerar, el control seráγ = γmin; si por el contrario es necesario disminuir la velocidad, se tendrá γ = γmax.

Para determinar el segundo bang se integran hacia detrás las ecuaciones desde el punto final [h f ,Vf ] hastaalcanzar el arco singular (punto 2). Aunque x f no es conocido, se toma un valor cualquiera (en este caso seha escogido x f = 0) para comenzar la integración, obteniendose así la distancia recorrida (∆x) en ese últimotramo que posteriormente podrá sumarse al resto de la trayectoria.

Ahora, si partiendo desde el arco o la restricción correspondiente es necesario acelerar para llegar al puntofinal, se tomará γ = γmin; si es necesario decelerar entonces γ = γmax.

Para la integración del arco singular se integran las ecuaciones de estado desde el punto 1 hasta el punto 2,tomando como condiciones iniciales los valores del vector de estado obtenidos tras la integración del primerbang.

En la Figura 3.2 a) se esquematiza el proceso realizado, donde las flechas marcan el sentido en el que se hahecho integración.

(a) (b)

Figura 3.2 Sentidos de integración Caso 1: a) ecuaciones de estado y b) ecuaciones dinámicas de los adjuntos.

Tras haber realizado la integración de las variables de estado se pasa a la de las variables adjuntas. Hayque resaltar que a lo largo del arco singular no es necesario el cálculo de estas variables, ya que la condiciónde optimalidad que hay que comprobar (B≤ 0, ecuación A.17) solo depende de las variables de estado. Esmás, combinando las ecuaciones 3.15 y 3.16 es posible obtener expresiones analíticas de λv y λh a lo largodel arco singular, lo que hacen innecesaria la integración en caso de querer conocer estos valores:

λv =mD

(Ω− (V +w)

)(3.47)

λh =m

DV

(Ω− (V +w)

)(g+V w′

)(3.48)

Usando entonces los datos obtenidos de la primera integración, se calculan los valores de λv y λh en lospuntos 1 y 2 usando las expresiones anteriores. Este resultado servirá como valor inicial en la resolución


de las ecuaciones dinámicas de los adjuntos en los bangs, cuya integración se hará hacia atrás en desdeel punto 1 hasta el punto 0 en el bang inicial y hacia delante desde 2 hasta f en el bang final, como se haesquematizado en la Figura 3.2 b).Una vez obtenidos los valores de los adjuntos puede comprobarse que la condición

γ∗ =

γmax si S < 0γmin si S > 0 (3.49)

se cumple y que, por tanto, la solución es óptima.

3.6.2 Caso 2: bang-singular-CAS-bang

La integración de las variables de estado en este caso es igual que en el anterior con la diferencia de que,cuando se integra el arco singular, la condición de parada es la llegada a la restricción en CAS en lugar de albang final. Así, se integrarán las ecuaciones hacia delante desde el punto 0 hasta el punto 3 y hacia detrásdesde el punto f hasta el punto 3.En cuanto a las ecuaciones de los adjuntos, es necesario tener en cuenta que, en el punto de entrada a la

restricción (punto 2) las funciones λv(t) y λh(t) son discontinuas.

(a) (b)


Si tenemos en cuenta que la función de conmutación S es continua (condiciones 3.33 y 3.34) y que en elarco de CAS constante se da que S(t) = 0 por la condición de minimización del Hamiltoniano, se tiene que

S(t−3 ) = S(t+3 ) = 0 (3.50)

Dado que en el instante t+3 la trayectoria ya ha salido de la restricción (µ1 = 0), las expresiones 3.15 y 3.16son válidas en este punto, siendo por tanto posible el cálculo de los adjuntos en este punto usando de nuevolas ecuaciones 3.47.

El procedimiento llevado finalmente a cabo para el cálculo de los adjuntos consiste en la aplicación delas ecuaciones 3.47 para el cálculo de λv(t) y λh(t) en los puntos 1 y 3 y la integración de las ecuacionesdinámicas de los adjuntos a partir de estos puntos tal y como se muestra en Figura 3.3.

En cuanto a la condición de salto en el punto 2, manipulando las ecuaciones 3.33 se obtiene que

λv(t−2 ) = λv(t

+2 )+µ1(t

+2 )

λh(t−2 ) = λh(t

+2 )−µ1(t

+2 )

∂VCAS

∂h

∣∣∣t2

(3.51)

Esta condición, junto a µ1(t)≥ 0 a lo largo del arco de la restricción y las condiciones 3.49 en los bangs,debe ser comprobada para garantizar la optimalidad de la solución.


3.6.3 Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang

En este caso, la integración de las variables de estado no varía demasiado con respecto al caso anterior. Ahora,la condición de parada del primer bang es la restricción de Mach (punto 1) y el arco de Mach constantese integrará desde este punto hasta que se llegue al arco singular (punto 2). El proceso de integración seesquematiza en la Figura 3.4 a).

De la continuidad de S(t) en la trayectoria se obtienen λv(t) y λh(t) en los puntos 1, 2 y 4, a partir de loscuales se integran las ecuaciones dinámicas de los adjuntos a lo largo de los arcos de las restricciones y delos bangs, en el sentido que se muestra en la Figura 3.4 b).

El cumplimiento de µ1(t)≥ 0 enC1 = 0, µ2(t)≥ 0 enC2 = 0, las condiciones en los bangs y las condicionesde salto en las variables adjuntas garantizarían que la solución es óptima. Estas últimas condiciones de saltoson para este tipo de trayetoria:

λv(t−1 ) = λv(t

+1 )+µ2(t

+1 )

λh(t−1 ) = λh(t

+1 )−µ2(t

+1 )

∂VM

∂h

∣∣∣t1

(3.52)

λv(t−3 ) = λv(t

+3 )+µ1(t

+3 )

λh(t−3 ) = λh(t

+3 )−µ1(t

+3 )

∂VCAS

∂h

∣∣∣t3(3.53)

(a) (b)


3.6.4 Caso 4: bang-singular-Mach-CAS-bang

Para estas trayectorias se integra, como en los dos primeros casos, el primer bang desde el punto 0 hastaalcanzar el arco singular (punto 1) y el bang final desde el punto f hasta la restricción en CAS (punto 4). Elarco singular se integra con la condición de parada de Mach máximo, comenzando un arco de restricción quetermina cuando se alcanza el valor de CAS máximo.

En el caso de los adjuntos, la continuidad de S(t) solo permite calcular λv y λh con las ecuaciones 3.47 enlos puntos 1, 2 y 4, ya que en el punto 3 aparece una discontinuidad debido al comienzo de la restricción enCAS. Es necesario por tanto aplicar las condiciones de salto en este punto para encontrar los valores de losadjuntos en 3 a partir de los cuales poder comenzar la integración. Estas condiciones en 3 son:

λv(t−3 ) = λv(t

+3 )+µ1(t

+3 )

λh(t−3 ) = λh(t

+3 )−µ1(t

+3 )

∂VCAS

∂h

∣∣∣t3

(3.54)

Por lo tanto, para este tipo de trayectorias es necesario en primer lugar la integración de las ecuacionesde los adjuntos en el tramo de CAS constante desde 4 hasta 3 para obtener el valor µ1(t

+3 ) y poder seguir

posteriormente integrando desde ese punto las ecuaciones a lo largo del arco de Mach constante.


(a) (b)


La condición de salto adicional en este caso es:

λv(t−2 ) = λv(t

+2 )+µ2(t

+2 )

λh(t−2 ) = λh(t

+2 )−µ2(t

+2 )

∂VM

∂h

∣∣∣t2

(3.55)

3.6.5 Caso 5: bang-Mach-CAS-bang

El procedimiento a seguir en este caso es prácticamente igual que en el caso anterior, con la salvedad de queno aparece en ningún momento el arco singular.

Las ecuaciones de estado se integran, por lo tanto, hacia delante en el primer bang, desde el punto 0 hastala condición de parada en Mach máximo (punto 1). El bang final se integra hacia detrás desde el punto fhasta el punto 3, donde se alcanza la restricción en CAS. El arco de Mach constante se integra desde el punto1 hasta el punto 2 y el de CAS constante desde el punto 2 hasta el 3, tomando como valores iniciales losobtenidos de la integración anterior. Este proceso queda esquematizado en la Figura 3.6 a).

(a) (b)


En cuanto a las ecuaciones de los adjuntos, es posible el cálculo analítico de estos usando la continuidad deS(t) en los puntos 1 y 3, debiendo aplicarse adicionalmente una condición de salto en 2 para poder calcularestos valores. Al igual que ocurría en el Caso 4, será por tanto necesaria la integracción del arco de CASconstante y la obtención de µ1(t

+2 ) antes de comenzar con la integración en Mach.


Por último, las condiciones de salto para este tipo de trayectorias vienen dadas por:

λv(t−1 ) = λv(t

+1 )+µ2(t

+1 )

λh(t−1 ) = λh(t

+1 )−µ2(t

+1 )

∂VM

∂h

∣∣∣t1

(3.56)

λv(t−2 ) = λv(t

+2 )+µ1(t

+2 )

λh(t−2 ) = λh(t

+2 )−µ1(t

+2 )

∂VCAS

∂h

∣∣∣t2(3.57)

4 Resultados

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos en función de los diferentes parámetros que gobiernanel problema: el Cost Index, el viento y peso de la aeronave.

Se ha tomado Mc = 0.8 y hc = 33.000 f t como condiciones iniciales del problema, correspondientes alvalor del Mach y la altitud al final del crucero. Las condiciones finales son CAS f = 210 kt y h f = 10000 f t.El control tiene como límites γmax = 0 y γmin =−10.

4.1 Estructura de la solución

Como se comentó en el Apartado 3.5, la solución puede adoptar diferentes formas en función de los parámetrosdel problema. En concreto, el hecho de que los puntos del arco singular cumplan o no las restricciones en elMach y la CAS de vuelo es decisivo a la hora de determinar la estructura de la trayectoria óptima.

4.1.1 Arco singular

A continuación se presentan los resultados obtenidos tras representar la función que define el arco singular(ecuación 3.18) para diferentes valores de Ω, del viento y del peso. En la Figura 4.1 se ha representado elarco singular para diferentes valores estos parámetros. En estas gráficas, se muestran tanto los puntos quedefinen el arco singular (en línea continua) como las restricciones en Mach y CAS (en línea discontinua).

En la Figura 4.1 (a) puede verse cómo depende el arco singular de Ω, para el caso de atmósfera en cal-ma y W = 1200 kN. Como era de esperar, las velocidades de vuelo se hacen cada vez mayores a medidaque aumenta Ω. Se aprecia que para ciertos valores de Ω entre 100 m/s y 150 m/s el arco singular cortaa la restricciónCASmax, mientras que la restricciónMmax se alcanza para valores deΩ entre 200 m/s y 250 m/s.

La evolución del arco singular con el viento medio puede verse en la Figura 4.1 (b), para valores que vandesde un viento de cara (HW) de w =−50 kt hasta un viento de cola (TW) de w = 50 kt para dos valoresdistintos de Ω y W = 1200 kN. Como puede observarse, las velocidades que se alcanzan son menores paravientos de cola que para vientos de cara. Esto se explica si uno atiende a la expresión del alcance de laaeronave (ecuación 2.1): para conseguir el mismo alcance, un aumento del viento implica una velocidadmenor. También puede verse que el viento medio tiene una mayor influencia en el arco para valores de Ω

altos.La Figura 4.1 (c) muestra cómo varía el arco singular con el parámetro de gradiente de viento ∆w. Se han

representado los resultados para viento de cara con w =−50 kt y ∆w desde −50 kt hasta 0 kt y para vientode cola con w = 50 kt y ∆w desde 0 kt hasta 50 kt, para dos valores de Ω y W = 1200 kN.

El comportamiento del arco singular con este parámetro no es tan predecible como lo era con los anteriores.Puede observarse que para altitudes altas un mayor gradiente de viento implica velocidades más bajas mientrasque el comportamiento a altitudes bajas es el contrario, existiendo un punto alrededor de h = 6000 m dondeel parámetro ∆w no tiene influencia sobre la posición del arco singular.

Por último, en la Figura 4.1 (d) se encuentran representadas las diferentes configuraciones del arco singularen función del peso W de la aeronave, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN, con atmósfera en calma y

21

22 Capítulo 4. Resultados

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.1 Configuración del arco singular para diferentes valores de a) Cost Index (Ω), b) viento medio w,c) cizalladura del viento ∆w y d) peso de la aeronave W .

para dos valores de Ω. Se observa que, para Ω = 0 m/s la velocidad de la aeronave aumenta ligeramente conel peso, aunque para un valor mayor de Ω este parámetro es casi irrelevante en la posición del arco singular.

En conclusión, el parámetro que sin duda será decisivo a la hora de establecer la estructura trayectoria óptimaserá Ω (y por definición el Cost Index), es decir, la penalización por tiempo de vuelo es muy determinante enel problema. En comparación con el efecto de Ω, el resto de parámetros no influyen significativente en laforma de la solución, aunque esto no quiere decir que no sean significativos en la evolución temporal de lamisma.

4.1.2 Trayectorias divisorias.

Teniendo en cuenta la fuerte dependencia del arco con el valor del Cost Index vista en los resultados delapartado anterior, cabe preguntarse cuál es el valor de Ω que hace que, para una determinada configuración deviento y peso, se pase de un tipo de trayectoria a otra. Estos valores de Ω van a marcar los arcos singulares quedeterminan las trayectorias divisorias, que establecen el límite entre dos estructuras de la solución diferentes.

A partir de ahora se llamará Ω1 al primer valor de este parámetro para el cual el arco singular coincide conla restricción en CAS al comienzo del bang final, Ω2 al que hace que el arco coincida con la restricción enMach al final del primer bang y Ω3 al valor de Ω para el cual el arco pasa por la la intersección de ambasrestricciones. Ω1, Ω2 y Ω3 dependerán tanto de los valores que tome viento como del peso de la aeronave. Enla Figura 4.2 se muestra un ejemplo de qué forma tomarían los arcos singulares que definen las trayectoriasdivisorias para dos configuraciones diferentes de viento.

Como se dijo anteriormente, las trayectorias divisorias van a marcar el límite entre dos estructuras diferentes.Por ejemplo, para valores de Ω menores que Ω1 la trayectoria será del tipo bang-singular-bang (ya que elarco singular está por debajo de la restricción en CAS), mientras que para valores mayores que Ω1 y menores

4.1 Estructura de la solución 23

(a) (b)

Figura 4.2 Arcos singulares para diferentes trayectorias divisorias con a) Ω2 < Ω3 y b) Ω2 > Ω3.

que Ω2 y Ω3 la solución será del tipo bang-singular-CAS-bang. En la Tabla 4.1 se muestran los diferentescasos que pueden aparecer en función del valor de Ω respecto a Ω1, Ω2 y Ω3.

Tabla 4.1 Estructura de la solución en función de Ω.

Valor de Ω Estructura de la solución

Ω < Ω1 Caso 1 bang-singular-bang

Ω1 < Ω < minΩ2,Ω3 Caso 2 bang-singular-CAS-bang

Ω2 < Ω < Ω3 Caso 3 bang-Mach-singular-CAS-bang

Ω3 < Ω < Ω2 Caso 4 bang-singular-Mach-CAS-bang

maxΩ2,Ω3< Ω Caso 5 bang-Mach-CAS-bang

En la Figura 4.3 se han representado Ω1, Ω2, Ω3 en función del viento medio para diferentes valores delpeso de la aeronave y valores de ∆w nulos. A raiz de los resultados puede comprobarse que el peso W influyemínimamente en el valor de Ω1 y practicamente nada en los valores de Ω2 y Ω3. Como ocurrió en el apartadoanterior (Figura 4.1 (d) ), el peso a Cost Index altos no influye en la posición del arco singular.Por otro lado, el viento medio influye en los valores de Ω de forma lineal: a mayores valores del viento

medio, mayores Ω1, Ω2 y Ω3. Puede comprobarse también que la diferencia entre un valor de Ω y otro essiempre constante al cambiar w.

Figura 4.3 Ω1, Ω2 y Ω3 en función de w para W desde 1100 kN hasta 1300 kN.


(a) (b)

Figura 4.4 Ω1, Ω2 y Ω3 en función de ∆w para a) viendo de cola w = 50 kt b) viendo de cara w =−50 kt1100 kN; W = 1200 kN.

En este ejemplo en concreto Ω2 siempre es menor que Ω3, tal y como ocurria en el ejemplo de la Figura 4.2(a) . Esto significa que una solución del tipo Caso 4 (ver Cuadro 4.1) no aparecerá para esta configuración devientos. Como se verá a continuación, va a ser el valor de ∆w el que determine si aparece el Caso 3 o el Caso 4.

En la Figura 4.4 se observa la evolución con ∆w para un viento medio de w = 50 kt (viento de cola) y paraw =−50 kt (viento de cara).

Como se puede predecir de la Figura 4.1 (c) del apartado anterior, Ω1 disminuye con ∆w, mientras queΩ2 y Ω3 aumentan. El principal resultado ahora es que la distancia entre estos valores ya no es constante,siendo iguales Ω2 y Ω3 en aproximadamente ∆w = 22.6 kt: esto marcará el punto en el cual deja de aparecerla solución Tipo 3 y aparece la de Tipo 4. Es más, como la diferencia entre Ω2 y Ω3 permanecía constantecon w y dependia mínimamente de W , este valor divisorio de ∆w va a marcar en todos los casos el límiteentre los dos tipos de soluciones.

Una vez se ha visto qué forma va a adoptar la trayectoria, se va a pasar a ver el comportamiento de esta enfunción de los diferentes parámetros del problema.

En los siguientes apartados de este capítulo se muestran los perfiles que van a adoptar las variables deestado y el control, asi como de qué forma varían estos con el Cost Index, el viento y el peso de la aeronave.

4.2 Efecto del Cost Index

En este apartado se analizará la influencia que tiene el Cost Index sobre las variables de estado del problemaen la trayectoria óptima. Para ello, se han representado los perfiles de velocidad, altitud y control frente alalcance para diferentes valores de este parámetro.

En la Figura 4.5 se muestran los perfiles de velocidad V frente al alcance x para una atmósfera en calma yW = 1200 kN. En la Figura se presentan los 4 tipos diferentes de trayectoria que existen para esta configuraciónde vientos: recuérdese que para una atmósfera en calma se tenía Ω2 < Ω3 y por lo tanto aparecía la solucióncorrespondiente al Caso 3 (ver Tabla 4.1).

Uno de los resultados más llamativos puede verse en la Figura 4.5 (d): cuando el arco singular está porencima de las dos restricciones (Ω ≥ Ω3) la trayectoria permanece inalterable frente a incrementos de Ω.Este resultado también podrá verse un poco más adelante en los perfiles de altitud y control.

En general se observa que, como era de esperar, el alcance total es menor cuanto mayor es Ω debido a lapenalización por tiempo de vuelo, resultado que se analizará con más detalle en el Apartado 4.6.

4.2 Efecto del Cost Index 25

(a) Ω ∈ [0,Ω1]. (b) Ω ∈ [Ω1,Ω2].

(c) Ω ∈ [Ω2,Ω3]. (d) Ω = 0 m/s, Ω≥Ω3.

Figura 4.5 Perfiles de velocidad para w = 0 kt, ∆w = 0 kt, W = 1200 kN y diferentes valores de Ω, conΩ1 = 137.9 m/s, Ω2 = 240.0 m/s y Ω3 = 244.4 m/s.

Para el Caso 1: bang-singular-bang, correspondiente a las trayectorias representadas en 4.5 (a), puedeobservarse que la velocidad decrece tanto en los bangs, donde lo hace a altitud constante, como a lo largo dearco singular.En el Caso 2: bang-singular-CAS-bang, 4.5 (b), comienza a darse el caso en el que es necesario acelerar

para alcanzar el arco singular, por lo que aparecen bangs de inicio donde γ = γmin. También puede verse quellega un momento a medida que aumenta Ω donde se da una aceleración también a lo largo del tramo de arcosingular. Por su parte, en los tramos de CAS constante la velocidad siempre disminuye.

Dado que Ω2 y Ω3 son valores muy parecidos (lo que se da para todas las configuraciones de viento y peso)y puesto que el tramo de Mach constante es muy corto en relación al resto de la trayectoria, las soluciones deltipo Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang van a ser muy parecidas a las del Caso 5: bang-Mach-CAS-bang,como puede observarse en 4.5 (c). Lo mismo ocurrirá en configuraciones donde aparezca la solución Caso 4:bang-singular-Mach-CAS-bang.Es interesante observar en la Figura 4.5 (d) cuán diferentes pueden llegar a ser unas trayectorias de otras

cuando varía el parámetro del Cost Index, lo que deja clara una vez más la gran importancia que la penaliza-ción por tiempo de vuelo tiene sobre el problema.

En la Figura 4.6 se han representado los perfiles de altitud h frente a x.Puede observarse que la altitud no se ve tan afectada como la velocidad ante cambios de Ω y, aunque

pueden apreciarse los quiebros en las curvas, no son tan acentuados como en los perfiles anteriores. En estaFigura puede verse que el descenso más pronunciado se da para el bang inicial con γmin seguido de los tramosde arco singular y Mach constante, siendo los descensos a CAS constante los más suaves.Llama la atención el aumento del bang final a altitud constante con Ω, que para valores altos de este

parámetro constituye una parte bastante importante de la trayectoria de planeo.


(a) Ω ∈ [0,Ω1]. (b) Ω ∈ [Ω1,Ω2].

(c) Ω ∈ [Ω2,Ω3]. (d) Ω = 0 m/s, Ω≥Ω3.

Figura 4.6 Perfiles de altitud para w = 0 kt, ∆w = 0 kt, W = 1200 kN y diferentes valores de Ω, con Ω1 =137.9 m/s, Ω2 = 240.0 m/s y Ω3 = 244.4 m/s.

Por último, en la Figura 4.7 se representan los perfiles del control óptimo γ frente a x. El parámetro Ω paraeste caso cambia radicalmente el perfil obtenido. También pueden apreciarse claramente las discontinuidadesque colleva el cambio de un arco de la trayectoria a otro.

En la Figura 4.7 (a) se han representado diferentes perfiles para el Caso 1: bang-singular-bang. Puedeverse cómo el bang inicial a γmax va acortandose a medida que aumenta Ω, debido al acercamiento del arcoal punto de condiciones iniciales. Se aprecia una ligera disminución (o aumeto de |γ|) con el parámetroΩ. Ademas, para una trayectoria dada, se observa cómo el control decrece suavemente a lo largo del arcosingular, acentuándose este comportamiento a medida que aumenta Ω.

Para valores del Cost Index que colocan a la trayectoria en el Caso 2: bang-singular-CAS-bang aparecenlos perfiles mostrados en 4.7 (b). Lo más interesante de estos perfiles es que el control sobre el arco de CASconstante es prácticamente independiente de Ω. En estos tramos de CAS constante, el control aumenta alinicio para mantenerse aproximadamente constante durante el resto del arco.

Como ocurría en los perfiles de velocidad y altitud, los resultados para Ω2 y Ω3 son muy parecidos. Puedeverse que el control para el tramo de Mach constante es menor que para el del arco singular, mientras quepara el resto de la trayectoria el control no varía lo más mínimo. Se observa además que el control disminuyeconsiderablemente en el arco de Mach constante a lo largo del cual γ varía casi un grado, a pesar de ser untramo bastante pequeño de la trayectoria.

Finalmente, se han representado en la Figura 4.7 (d) los perfiles del control para las trayectorias extremas,con Ω = 0 m/s y Ω≥Ω3. En esta figura aparecen todos los tipos de arco que pueden darse en la trayectoriay se ve claramente cómo se comporta γ a lo largo de estos.

4.3 Efecto del viento medio 27

(a) Ω ∈ [0,Ω1]. (b) Ω ∈ [Ω1,Ω2].

(c) Ω ∈ [Ω2,Ω3]. (d) Ω = 0 m/s, Ω≥Ω3.

Figura 4.7 Perfiles del control óptimo para w = 0 kt, ∆w = 0 kt,W = 1200 kN y diferentes valores de Ω, conΩ1 = 137.9 m/s, Ω2 = 240.0 m/s y Ω3 = 244.4 m/s .

4.3 Efecto del viento medio

En esta sección se analiza el efecto del viento medio w. Para ello se han representado los resultados detrayectorias desde un viento de cara (HW) de w =−50 kt hasta uno de cola (TW) de w = 50 kt, tomando∆w = 0 kt y con un peso de W = 1200 kN y para cuatro valores diferentes de Ω. Estos cuatro valores sehan tomado de forma que los dos primeros muestren una trayectoria sin restricciones (Ω ≤ Ω1, Caso 1:bang-singular-bang), el tercero una trayectoria del tipo Caso 2: bang-singular-CAS-bang (Ω≤maxΩ2,Ω3)y el último una trayectoria que contenga todas las trestricciones (Ω≥Ω3, Caso 5: bang-Mach-CAS-bang).

En la Figura 4.8 se han representado los perfiles que adopta la velocidad frente al alcance. Puede observarseque, para Ω = 0 m/s, el valor del viento medio influye significativamente en el punto de la trayectoria dondetermina el arco singular, aunque no afecta demasiado al comportamiento de la velocidad a lo largo de este.Para Ω = 100 m/s ya aparece una dependencia más grande de la velocidad sobre el arco singular con w,

disminuyendo esta a medida que aumenta el viento medio. De nuevo, el punto de inicio del bang final sealcanza para x más altas cuando w aumenta.

Con Ω = 200 m/s aparece la restricción en CAS constante y el bang inicial se realiza a γmin. La influenciade w sobre la velocidad a lo largo del arco singular es la misma que se daba con Ω = 100 m/s y ahora es elpunto de comienzo de la restricción en CAS el que se desplaza a la izquierda con w. Es interesante el hechode que el punto de comienzo del bang final se da siempre a la misma velocidad, independientemente delvalor de w, cosa que no ocurría en los casos anteriores. Esto puede explicarse observando que el bang final,para Ω≥Ω1, es idéntico en todos los casos, como se vio en el Apartado 4.1.2.Para Ω = 300 m/s desaparece de la trayectoria el arco singular. Nótese que en este caso los saltos de un

tipo de arco a otro se dan a la misma velocidad y todos ocurren a valores de x más altos cuando aumenta w.Al igual que en el caso anterior, esto se debe a que el perfil V −h para Ω≥Ω3 es independiente del viento


(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.8 Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω; desde w =−50 kt hasta w = 50 kt, ∆w = 0 kt,W = 1200 kN.

medio al no aparecer el arco singular.

La influencia del parámetro w sobre la altitud se presenta en la Figura 4.9, donde se han representado losperfiles de h frente a x para diferentes valores de Ω.

En este caso, el aumento del alcance con el viento medio se traduce en unos descensos cada vez menospronunciados.

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

Figura 4.9 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω; desde w = −50 kt hasta w = 50 kt, ∆w = 0 kt,W = 1200 kN..

4.3 Efecto del viento medio 29

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.9 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω ; desde w =−50 kt hasta w = 50 kt, ∆w = 0 kt,W = 1200 kN.

En la Figura 4.10 se presenta el efecto de w sobre los perfiles del control óptimo γ .

Puede verse que para Ω = 0 m/s el efecto del viento medio sobre el arco singular es mínimo, estando suúnica influencia en los puntos de final e inicio de los bangs. Tal y como ocurría con la velocidad, la influenciade w sobre γ a lo largo del arco singular aumenta con Ω: para Ω = 100 m/s y Ω = 200 m/s , puede apreciarsecómo γsing aumenta cuando lo hace w, siendo más pronunciado este aumento para el valor de Ω más alto.

En la Figura 4.10 (d), donde el arco singular no aparece, el control apenas se ve afectado por cambios en elviento medio.

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.10 Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω; desde w = −50 kt hasta w = 50 kt,∆w = 0 kt, W = 1200 kN.


En general, se ha observado que tanto los bangs de inicio y final de la trayectoria como los arcos de CAS yMach constantes parecen depender poco con w: los perfiles de los arcos mantienen la misma forma y w soloinfluye significativamente en los puntos de comienzo y final de estos tramos. Sin embargo, el viento medio sítiene una influencia clara en el comportamiento de las variables en los tramos de arco singular.En efecto, atiendiendo a las ecuaciones que definen las variables de estado (ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3),

puede verse que el viento medio solo aparece de forma explícita en la expresión de x, mientras que para V y haparece indirectamente a través del control. A su vez, el control γ va a depender del viento medio únicamentesobre el arco singular (ecuación 3.20) mientras que en las expresiones que definen el control en los bangs yen los arcos de Mach y CAS constante el viento no interviene.Una consecuencia interesante de esto es que, para Ω = 300 m/s, la influencia del viento medio sobre los

perfiles de V , h y γ que se ha observado en las Figuras anteriores viene dada únicamente por la influencia dew sobre x, mientras que las evoluciones de V , h y γ con el tiempo permanecen inalterables ante cambios enel viento medio.

4.4 Efecto del gradiente de viento

En las siguientes Figuras se han representado los perfiles de la trayectoria para diferentes valores de ∆w.El viento medio toma valores de w =−50 kt (HW) y de w = 50 kt (TW), variando el gradiente de vientodesde ∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt y desde ∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt respectivamente. Se analizaránlas trayectorias para Ω = 0 m/s y Ω = 100 m/s (Caso 1: bang-singular-bang), Ω = 200 m/s (Caso 2:bang-singular-CAS-bang y Caso 3: bang-Mach-singular-CAS-bang) y Ω = 300 m/s (Caso 5: bang-Mach-CAS-bang), para un peso de W = 1200 kN.

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.11 Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω, para vientos de cara w =−50 kt (HW) congrafiente de viento desde ∆w =−50 kt hasta ∆w = 0 kt, y vientos de cola w = 50 kt (TW) con∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt; W = 1200 kN.

4.4 Efecto del gradiente de viento 31

En la Figura 4.11 se han representado los perfiles de velocidad V frente a x, donde puede verse en generalun aumento del alcance con el gradiente de viento.Para el Caso 1, Figuras 4.11 (a) y (b), puede apreciarse que el comportamiento de V con ∆w varía a lo

largo de la trayectoria: para x se observa una ligera disminución de V con ∆w, mientras que para x altas elcomportamiento es el contrario. Como ocurría con el viento medio, el gradiente de viento también influye enlos puntos de final e inicio de los diferentes arcos, que se desplazan a la derecha cuando aumenta ∆w.Con Ω = 200 m/s se observa que la velocidad disminuye con ∆w sobre el arco singular, mientras que

aumenta en los bangs y en el segmento de CAS constante. Para valores extremos de vientos de cara (∆w =−40 kt y ∆ =−50 kt) aparece un pequeño tramo de Mach constante donde el comportamiento de las variableses similar al que tienen en el arco singular. También puede verse que la velocidad a la que se produce el saltoal bang final vuelve a ser invariante frente al viento.Para las trayectorias con Ω = 300 m/s se vuelve a dar un aumento de V en los bangs y el arco de CAS

constante, mientras que en la restricción en Mach la velocidad dismnuye ligeramente cuando lo hace w. Encuanto a los puntos de final y comienzo de los distintos arcos, se da que tanto para el final de la restricción enMach (e inicio del tramo de CAS constante) y como para el comienzo del bang final la velocidad no varíacon w, mientras que sí lo hace para el salto del bang inical al segmento de Mach constante.

Los perfiles de altitud h frente a x se han representado en la Figura 4.12.El comportamiento de h con el gradiente de viento es similar al que se tenía con el viento medio, obtenién-

dose descensos cada vez menos pronunciados a medida que aumenta w. Cabe destacar que el gradiente deviento afecta siempre de la misma manera al perfil vertical, independientemente del tipo de trayectoria.

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.12 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω, para vientos de cara w = −50 kt (HW) congrafiente de viento desde ∆w =−50 kt hasta ∆w = 0 kt, y vientos de cola w = 50 kt (TW) con∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt; W = 1200 kN.

Para el control óptimo se han obtenido los perfiles mostrados en la Figura 4.13. Se observa que el gradientede viento no solo tiene influencia somrbe el control singular, sino también sobre el control en los arcosde Mach y CAS constante, cosa que no ocurría con el viento medio. En general se da un aumento de γ


(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.13 Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω, para vientos de cara w =−50 kt (HW)con grafiente de viento desde ∆w =−50 kt hasta ∆w = 0 kt, y vientos de cola w = 50 kt (TW)con ∆w = 0 kt hasta ∆w = 50 kt; W = 1200 kN.

con ∆w, con excepción del arco singular donde en algunos puntos se invierte esta tendencia para ciertasconfiguraciones (observable para Ω = 200 m/s).

4.5 Efecto del peso

En esta sección se analiza el comportamiento de la trayectoria ante variaciones del peso de la aeronave.Los perfiles representados se han obtenido para una atmósfera en calma y para Ω = 0 m/s, Ω = 100 m/s,

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

4.5 Efecto del peso 33

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.14 Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN, conw = 0 kt y ∆w = 0 kt.

Ω = 200 m/s y Ω = 300 m/s, dando valores al peso desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN.

En la Figura 4.14 se representan los perfiles de velocidad frente a x. Puede verse que la velocidad sobre elarco singular aumenta al hacerlo W , aunque este comportamiento se atenúa al aumentar Ω. Para Ω = 0 m/sse observa un ligero descenso del alcance final con W , tendencia que se invierte al aumentar Ω, siendo elefecto más importante para los valores de Ω más altos.

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.15 Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω, desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN, conw = 0 kt y ∆w = 0 kt.

Los perfiles correspondientes a la altitud se muestran en la Figura 4.15. Puede verse que el efecto del peso


sobre esta variable es mínimo sobre el bang a γmin, el arco singular o sobre el arco de Mach máximo, mientrasque para el arco de CAS constante, la altitud crece ligeramente al hacerlo W .

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.16 Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω, desdeW = 1100 kN hastaW = 1300 kN,con w = 0 kt y ∆w = 0 kt.

Por último, en la Figura 4.16 se han representado los perfiles del control óptimo. El efecto de W sobre elcontrol solo es significativo a valores de Ω altos e influye más en los arcos de Mach y CAS constante quesobre el arco singular.

En esta Figura se aprecia muy bien cómo afecta el peso a los puntos de salto de un arco a otro. Puede versecómo el peso solo afecta significativamente al salto entre la restricción en CAS y el bang final, desplazándoseeste a la derecha con W . La influencia del peso en la posición del resto de saltos es mínima.

4.6 Actuaciones integrales.

A continuación se analiza la evolución con los parámetros del problema del alcance (x f ), el tiempo de vuelo(t f ) y la contribución al DOC (o función objetivo J). Este último término, tal y como se definió en el Capítulo2, toma la siguiente forma:

J =−x f +Ωt f (4.1)

En las Figuras 4.17, 4.18 y 4.19 se muestra la influencia que tiene el peso de la aeronave sobre estas propie-dades de la trayectoria, así como el resultado para diferentes configuraciones de viento. Se han representado,para vientos de cara (HW), de cola (TW) y para una atmósfera en calma (NW), el alcance x f , tiempo de vuelot f y contribución al DOC (J) frente al peso W para cuatro valores del CostIndex (Ω = 0 m/s, Ω = 100 m/s,Ω = 200 m/s y Ω = 300 m/s).

Como puede verse en la Figura 4.17, la influencia del peso en el alcance varía en función del Cost Index:para Ω = 0 m/s, el efecto del peso es prácticamente nulo, mientras que sí cobra cierta importancia para

4.6 Actuaciones integrales. 35

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.17 Alcance final para pesos desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN; para HW (w =−50 kt, desde∆w = −50 kt hasta ∆w = 0 kt), NW (w = 0 kt, ∆w = 0 kt), TW (w = 50 kt, desde ∆w = 0 kthasta ∆w = 50 kt); para diferentes valores de Ω.

valores mayores de Ω: el alcance aumenta de forma lineal con W y, además, lo hace con una ratio sobre laque el viento medio w tiene una influencia muy pequeña y sobre el que no afecta el gradiente de viento ∆w.También puede observarse que los aumentos de viento de cola conllevan siempre un aumento del alcance.

En cuanto al tiempo de vuelo, vuelve a ser crucial el efecto de Ω: para Ω = 0 m/s se tiene un tiempo totalque decrece con el peso, mientras que esta tendencia se invierte para valores de Ω mayores. En cualquiera delos casos, la influencia del peso es muy pequeña en comparación con la del viento o con la del Cost Index (la

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.


(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.18 Tiempo de vuelo para pesos desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN; para HW (w =−50 kt,desde ∆w=−50 kt hasta ∆w= 0 kt), NW (w= 0 kt, ∆w= 0 kt), TW (w= 50 kt, desde ∆w= 0 kthasta ∆w = 50 kt); para diferentes valores de Ω.

diferencia entre tener un viento de cara o un viento de cola son varios minutos, mientras que se tiene menosde un minuto de variación entre W = 1100 kN y W = 1300 kN ).

La influencia del viento medio sobre t f es bastante variable: influye muy poco para Ω = 0 m/s y Ω =200 m/s, tiene una importancia mayor para Ω = 100 m/s y para Ω = 300 m/s no influye en absoluto (para∆w = 0 kt las gráficas de TW, HW y NW coinciden). Esto se explica teniendo en cuenta que, como se vió en

(a) Ω = 0 m/s. (b) Ω = 100 m/s.

(c) Ω = 200 m/s. (d) Ω = 300 m/s.

Figura 4.19 Función objetivo J para pesos desde W = 1100 kN hasta W = 1300 kN; para HW (w =−50 kt,desde ∆w=−50 kt hasta ∆w= 0 kt), NW (w= 0 kt, ∆w= 0 kt), TW (w= 50 kt, desde ∆w= 0 kthasta ∆w = 50 kt); para diferentes valores de Ω.

4.6 Actuaciones integrales. 37

el Apartado 4.3, el viento medio solo tiene influencia sobre V (t) y h(t) en los tramos en los que aparece elarco singular y, además, esta influencia es pequeña para Ω bajos. Dado que t f se obtiene de la integración deestas dos variables, es lógico ver que los valores de Ω para los que el viento medio es importante sobre t f sonvalores altos donde el arco singular ocupa una gran parte de la trayectoria global.

De nuevo, se tiene que a mayor gradiente de viento mayor tiempo de vuelo.

En la Figura 4.19 aparece la evolución de la función objetivo J con W .

La influencia del peso vuelve a ser muy pequeña en comparación con la del viento y, sobre todo, con la de Ω.El parámetro delCost Index tiene una enorme influencia ahora: se pueden llegar a valores inferiores a−200 kmpara Ω = 0 m/s y para Ω = 300 m/s se obtienen valores positivos. En cuanto al viento, el efecto de ∆w se in-vierte a valores de Ω altos mientras que se tiene que los vientos de cola siempre dan valores de J más pequeños.

Viendo la clara importancia que tiene el Cost Index sobre las actuaciones integrales de la trayectoria, en laFigura 4.20 se han representado estas frente al parámetro Ω para diferentes configuraciones de viento y unpeso fijo de W = 1200 kN.

(a) (b)

Figura 4.20 a) Alcance, b) Tiempo de vuelo y c) Función objetivo con W = 1200 kN; para HW (w =−50 kt,desde ∆w=−50 kt hasta ∆w= 0 kt), NW (w= 0 kt, ∆w= 0 kt), TW (w= 50 kt, desde ∆w= 0 kthasta ∆w = 50 kt); desde Ω = 0 m/s hasta Ω = 300 m/s.

El alcance y el tiempo de vuelo decrecen significativamente con el Cost Index y de forma no lineal hastallegar a Ω = Ω3, valor a partir del cual permanecen constantes.

La contribución al DOC del planeo aumenta considerablemente cuando lo hace Ω, dejando clara la notableinfluecia que tiene la penalización por tiempo de vuelo sobre el coste del planeo para valores altos del CostIndex.


4.7 Comprobaciones de optimalidad

En este apartado se presentan los resultados obtenidos tras combrobar que la solución final es, en efecto, laóptima. Como se comentó en el Capítulo 3, las condiciones de optimalidad a comprobar son:

• Sobre los bangs:

γ∗ =

S < 0 si γ = γmaxS > 0 si γ = γmin

(4.2)

• Sobre el arco singular

B≤ 0 (4.3)

• Sobre las restricciones

µ1 ≥ 0 en C1

µ2 ≥ 0 en C2 (4.4)

Comprobaciones a las que hay que sumar las condiciones de salto en las variables adjuntas λv y λhnombradas en el Apartado 3.6.

(a) (b)

Figura 4.21 Funciones S(t) y B(t) para Ω = 0 m/s.

(a) (b)

Figura 4.22 Funciones S(t) y B(t) para Ω = 100 m/s.

4.7 Comprobaciones de optimalidad 39

A modo de ejemplo, se han representado las funciones S, B, µ1 y µ2 frente al tiempo para cuatro valoresde Ω, un peso de W = 1200 kN y cinco configuraciones de viento diferentes: atmósfera en calma (w = 0 kt,∆ = 0 kt, representado con línea discontinua), vientos de cara( w =−30 kt, ∆w =−30 y 0 kt) y vientos decola (w = 30 kt , ∆w = 0 y 30 kt).En las Figuras 4.21 y 4.22 se han representado las funciones S(t) y B(t) frente al tiempo para valores de

Ω = 0 m/s y Ω = 100 m/s, que corresponden a trayectorias del tipo Caso 1: bang-singular-bang.En la Figura 4.23 aparecen representadas las funciones S(t), B(t) y µ1(t) frente al tiempo para Ω= 200 m/s,

donde se obtienen trayectorias del Caso 2: bang-singular-CAS-bang

(a) (b)

(c)

Figura 4.23 Funciones S(t), B(t) y µ1(t) para Ω = 200 m/s.

Por último, se representan en la Figura 4.24 los valores para Ω = 300 m/s (Caso 5: bang-MAch-CAS-bang)de las funciones S(t), µ1(t) y µ2(t).

Como puede verse, se cumplen todas las condiciones de optimalidad nombradas. Además,se ha comprobadoque los resultados numéricos también cumplen las condiciones de salto.Puede decirse, por lo tanto, que la trayectoria óptima obtenida es la correcta.


(a)

(b) (c)

Figura 4.24 Funciones S(t), µ1(t) y µ2(t) para Ω = 300 m/s.

5 Conclusiones y trabajo futuro

En este trabajo se ha resuelto el problema de optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales enpresencia de viento y considerando restricciones en los estados asociadas a las limitaciones en velocidad

satisfactoriamente, realizándose las comprobaciones necesarias para determinar que la solución alcanzada esla correcta.

Tras la resolución de dicho problema se ha obtenido que la trayectoria de mínimo coste está formada por dosarcos tipo bang, de γ mínimo o máximo al inicio y al final de la trayectoria, y tramos de arco singular, Machmáximo y CAS máximo, dependiendo la duración y el orden de aparición de estos arcos de los parámetrosdel problema.

La conclusión principal que puede extraerse de este trabajo es que el Cost Index, a través del parámetroΩ, tiene una influencia sobre la trayectoria óptima realmente importante: dada una configuración de vientoy peso determinada, no solo se observa que la estructura de esta cambia significativamente al aumentar Ω,sino que también se produce un fuerte descenso en el alcance x f , el tiempo de vuelo t f . La función objetivoJ aumenta considerablemente al hacerlo el Ω, siendo incluso positiva para valores de este muy altos. Estosignifica que es más caro realizar el planeo que recorrer la misma distancia en configuración de crucero,aunque esta claro que la fase de descenso es necesaria en cualquier vuelo.Es muy interesante también ver cómo el aumento del coste del tiempo lleva a la aeronave a alcanzar su

límite físico, obteniéndose a un valor de Ω por encima del cual la trayectoria óptima está únicamente formadapor arcos de Mach y CAS máximos, además de por los bangs necesarios para conectarlos con los puntosinicial y final.En cuanto al efecto del viento y del peso de la aeronave, se llega a la conclusión de que la influencia

de W sobre el problema es mucho menor que la del resto de parámetros. Por otro lado, tanto el vientomedio w como el gradiente de viento ∆w, aunque menos influyentes que Ω, tienen un efecto significati-vo sobre la trayectoria final, produciéndose con el aumento de estos un aumento también en x f y t f . Esinteresante ver que la influencia de estos parámetros sobre la trayectoria es dependiente a su vez con Ω,como puede verse por ejemplo en la Figura 4.15, donde el comportamiento de los perfiles de altitud frentea cambios en W se invierte al aumentar Ω. El caso más llamativo donde el efecto de los parámetros delproblema varía con el Cost Index es el del viento medio, parámetro que para valores de Ω mayores que Ω3no tiene influencia sobre el control γ , sobre las variablesV (t) y h(t) o, por lo tanto, sobre el tiempo de vuelo t f .

Una de las mayores limitaciones de este trabajo radica en la elección de la atmósfera ISA como modelo deatmósfera, con el cual no puede estudiarse el paso de la aeronave de la estratosfera a la troposfera debido ala discontinuidad que presenta en la tropopausa. Un posible desarrollo futuro podría incluir este salto en elproblema, comenzando con una altitud inicial superior a los 11 km y sustituyendo el modelo ISA con unodonde se sustituya la tropopausa por una tramo de tropopausa finita de forma que las variables atmosféricassean derivables a lo largo de este.Considerar otros tipos de perfiles de viento, por ejemplo, del tipo w(h,x) o que tengan una dirección

diferente a la de la aeronave, también podría ser materia para trabajos futuros.Tal y como se hizo en Franco, Rivas y Valenzuela en [5] para el planeo de máximo alcance, la comparación

de la trayectoria óptima con un descenso a CAS constante complementaría muy bien al presente proyecto.Sería muy interesante como trabajo futuro el estudio de un descenso óptimo formado por tramos de CAS yMach constante y su posterior comparación con la solución obtenida con la Teoría del Control Óptimo.

41

Apéndice AEl problema de control óptimo

En este Apéndice se va a hacer una introducción al problema de control óptimo. Se presentan las condicionesnecesarias de optimalidad que debe cumplir la solución y se estudian los problema de control óptimo singulary con restricciones en las variables de estado. En este trabajo, las condiciones suficientes de optimalidad novan a considerarse.

A.1 Planteamiento del problema de control óptimo sin restricciones

Sea un sistema dinámico en tiempo continuo dentro de un horizonte temporal [to, t f ] con condiciones inicialesdadas por el vector yo ∈ Rn. La evolución temporal de este sistema va a depender de determinadas variablesllamadas variables de control, recogidas en el vector u ∈Rm con valores enU . El vector de estados y(t) ∈Rn

con t ∈ [to, t f ] define la situación del sistema para cada instante t. El sistema de ecuaciones diferencialesordinarias que describe el comportamiento del sistema dinámico se llama ecuación de estado y viene dadopor:

y = f(y(t),u(t), t), para todo t ∈ [to, t f ]

y(to) = yo (A.1)

donde f es una función dinámica cuyo dominio esta contenido en Rn×Rm×R, toma valores en Rn y tienederivadas parciales primeras continuas.

Se define el funcional objetivo como:

J(y,u) = φ [t f ,y(t f )]+∫ t f

tol(y(t),u(t), t)dt (A.2)

siendo φ el coste terminal y l el índice de actuación (running cost o performance index), ambas funcionesconocidas. En ocasiones, también se puede definir una función ψ que restringe los valores que puede tomarel sistema en t f como:

ψ[y(t f ), t f ] = 0 (A.3)

Finalmente, el problema de control óptimo puede resumirse como:

Sea un sistema dinámico que evoluciona de acuerdo con una ecuación de estado y con condicio-nes iniciales conocidas, el objetivo es encontrar un vector de control que sea admisible y quehaga mínimo el funcional obetivo.

43

44 Capítulo A. El problema de control óptimo

Minimizar J(y,u) = φ [t f ,y(t f )]+∫ t f

tol(y(t),u(t), t)dt

sujeto a : y = f (y(t),u(t), t), para todo t ∈ [to, t f ]

con : y(to) = yo

u(t) ∈U

ψ[y(t f ), t f ] = 0 (A.4)

A.2 El Principio del Máximo de Pontryagin

El Principio del Máximo de Pontryagin, o Principio del Máximo, da las condiciones necesarias que debecumplir el sistema (y,u) para ser solución del problema de control óptimo.

En primer lugar se definen el Hamiltoniano Hη y el Lagrangiano terminal Eη del problema como:

Hη(y,u,λ , t) = η l(y,u, t)+λT f(y,u,t) (A.5)

Eη(y(t f ),ν , t f ) = ηφ(y(t f ), t f )+νTψ(y(t f ), t f ) (A.6)

Donde λ es el vector de variables adjuntas o de coestado y ν se conoce como el vector de multiplicadoresde Lagrange del estado final. El parámetro η es el multiplicador de coste1 y, en condiciones normales, puedeconsiderarse η = 1. Esto se conoce como condición de normalidad y a partir de ahora se aplicará en esteproyecto a los planteamientos sucesivos.

Así, las condiciones necesarias de optimalidad del problema se presentan en el Principio del Máximo de lasiguiente forma:

Principio del Máximo de Pontryagin Sean u∗ la solución de control óptima e y∗ la trayetoria de estado óptimaa ella asociada, ambas definidas en t ∈ [to, t f ]. Existen una función vectorial continua λ ∈ Rn : [to, t f ] y unvector de multiplicadores ν ∈ Rk que satisfacen las siguientes condiciones para todo t ∈ [to, t f ]:

1. Condición de no trivialidad: (λ (t),ν) 6= 0.

2. Ecuación dinámica de las variables adjuntas:

λ (t) =−∂H∂y

[y∗(t),u∗(t),λ (t),t] (A.7)

3. Condición de minimización del Hamiltoniano:

u∗[y∗(t),λ (t), t] = argmınu∈U

[y∗(t),u∗(t),λ (t),t] (A.8)

Esta condición establece que si el control el óptimo entonces el Hamiltoniano del problema es mínimo.

4. Condiciones de transversalidad:

λ (t f ) =∂E

∂y(t f )[y∗(t f ),ν ,t f ] (A.9)

Además, si el instante final t f es desconocido, es necesario aplicar una condición de transversalidadextra dada por:

H[y∗(t f ),u∗(t f ),λ (t f ),t f ] =−∂E∂ t f

[y∗(t f ),ν ,t f ] (A.10)

1 El multiplicador de coste η se utiliza para tener en cuenta situaciones en las que η = 0, es decir, la solución no depende de l o φ . Estecaso se da cuando las condiciones de contorno son muy restrictivas y se conoce como caso anormal

A.3 Control óptimo singular 45

Adicionalmente, se define la ecuación de evolución del Hamiltoniano de la forma:

H [y∗(t),λ (t), t] =∂H∂ t

[y∗(t),u∗(t),λ (t),t] (A.11)

siendo H el Hamiltoniano minimizado

H (y,λ , t) = mınu∈U

[y,u,λ (t),t] (A.12)

De esta forma, atendiendo a las ecuaciones A.10 y A.11, si el Hamiltoniano es una función que no dependedel tiempo y además el instante final es desconocido, puede concluirse que H = 0.

A.3 Control óptimo singular

La condición de minimización del Hamiltoniano (ecuación A.8) permite determinar el control óptimo através de la condición de Euler-Lagrange:

∂H∂u

[y∗(t),u∗(t),λ (t),t] = 0 para todo t ∈ [to, t f ] (A.13)

siempre y cuando u∗(t) sea interior al espacio U , teniéndose que cumplir adicionalmente la condición deLegendre-Clebsch:

∂2H

∂u2 [y∗(t),u∗(t),λ (t),t]≥ 0 para todo t ∈ [to, t f ] (A.14)

Sin embargo, puede ocurrir que ∂H∂u no dependa directamente de u(t), haciendo que la ecuación A.14 sea

estrictamente 0 en algunos o en todos los instantes de tiempo. Esto es lo que se conoce como el problema deControl Óptimo Singular.

La solución a este tipo de problemas se presentará a continuación para el caso en el control es un escalar(con U = umin ≤ u≤ umax ∈ R) y H depende linealmente de u.

En primer lugar, se define la función de conmutación como:

S(y,u,t) =∂H∂u

(y,u,t) (A.15)

Esta función puede hacerse 0 a lo largo de un intervalo de tiempo. Se define así lo que se conoce como arcosingular del proceso, siendo el control singular using(y,t) el control a lo largo de este.

Como es imposible encontrar el control singular a través de la ecuación de minimización del Hamiltoniano,este se determina imponiendo que S debe mantenerse igual a cero en el arco, lo que implica que las derivadasde S con el tiempo también deben ser nulas a lo largo de dicho arco.

De esta forma, el control singular queda definido por la siguiente ecuación:

d2ξ Sdt2ξ

(y,using,t) = 0 (A.16)

siento ξ el orden del arco singular, definiéndose como el valor ξ donde la derivada de orden 2ξ es en la queaparece por primera vez el control singular explícitamente.

Para cerrar el problema de control óptimo singular, es necesario que se cumpla adicionalmente la condicióngeneralizada de Legendre-Clebsch que, para ξ = 1, toma la siguiente forma:

−∂ S∂u≥ 0 (A.17)

46 Capítulo A. El problema de control óptimo

A.4 Problema de control óptimo con restricciones en las variables de estado.

Es posible que, además de las condiciones de contorno normbradas con anterioridad, se apliquen al sistemarestricciones en alguno o en todos los instantes de tiempo. Existen muchos tipos de restricciones, que puedenaplicarque al estado, al control y/o a puntos intermedios de la trayectoria.Aquí se introduce el caso en el que se tiene una restricción en las variables de estado del tipo:

C(y,t)≤ 0 (A.18)

En este caso (donde, por simplicidad, tomamos C y u como escalares) el Hamiltoniano del problema pasaa ser:

H(y,u,λ , t) = l(y,u, t)+λT f(y,u,t)+µC(q) (A.19)

siendo la derivada temporal de orden q de C la primera en la que aparece explicitamente el control u, µ ≥ 0 ycumpliéndose que

C(q) = 0 en la restricción C = 0 (A.20)µ = 0 fuera de la restricción C < 0 (A.21)

Además, al problema se le añade la nueva condición necesaria que debe cumplirse en la trayectoria óptima:

µ(t)≥ 0 en la restricción C = 0 (A.22)

Para que el control mantenga la trayectoria dentro de la restricción a lo largo del arco, es necesario que latrayectoria que entre y salga de una restrición cumpla adicionalmente las condiciones de tangencia

N(y,t) =

C(y,t)

C(1)(y,t)...

C(q-1)(y,t)

= 0 (A.23)

Por conveniencia, se toma el instante de entrada a la restricción t1 como punto en el que se imponen dichascondiciones, cumpliéndose estas automáticamente en el punto de salida t2 debido a A.20.Deben cumplirse, por tanto, un conjunto de restricciones en el instante t1 que harán que el Hamiltoniano

H(t) y las funciones λ (t) no sean necesariamente continuos en este punto, produciéndose un salto en estasfunciones. Las ecuaciones que definen las condiciones de salto en t1 y t2 son:

λT(t−1 ) = λ

T(t+1 )+πT ∂N

∂y

∣∣∣t1

(A.24)

H(t−1 ) = H(t+1 )−πT ∂N

∂ t

∣∣∣t1

(A.25)

∂H∂u

(t−1 ) =∂H∂u

(t+1 ) (A.26)

λT(t−2 ) = λ

T(t+2 )+πT ∂N

∂y

∣∣∣t2

(A.27)

H(t−2 ) = H(t+2 )−πT ∂N

∂ t

∣∣∣t1

(A.28)

∂H∂u

(t−2 ) =∂H∂u

(t+2 ) (A.29)

con π un vector constante de multiplicadores de Lagrange de q componentes y donde se ha llamado t−i alinstante inmediatamente anterior a ti y t+i al instante inmediatamente posterior.

Apéndice BModelo aerodinámico de Aeronave

En este apéndice se presenta el modelo aerodinámico del Boeing 767-300ER usado en este proyecto en losprocesos numéricos.

Este modelo va a determinar la polar del avión, función necesaria para el cálculo de la resistencia aerodi-námica mediante las ecuaciones 2.6 y 2.7. Para esta aeronave, el valor de la superficie alar de referencia esSW = 283.3m2 y la polar del avión está dada por:

CD =(

CD0,i+

5

∑j=1

k0 jHj(M)

)+(

CD1,i+

5

∑j=1

k1 jHj(M)

)CL +

(CD2,i

+5

∑j=1

k2 jHj(M)

)D2

L (B.1)

con

H(M) =(M−0.4)2√

1−M2(B.2)

siendo CD0,i, CD1,i

y CD2,ilos coeficientes de la polar incompresible con valores de CD0,i

= 0.01322,CD1,i

=−0.00610 y CD2,i= 0.06000 y donde k0 j, k1 j y k2 j toman los valores mostramos en la Tabla B.1.

Tabla B.1 Coeficientes de la polar parabólica compresible.

j 1 2 3 4 5

k0 j 0.0067 -0.1861 2.2420 -6.4350 6.3428

k1 j 0.0962 -0.7602 -1.2870 3.7925 -2.7672

k2 j -0.1317 1.3427 -1.2839 5.0164 0.0000

47

Apéndice CDesarrollo de expresiones

En este apéndice se presenta el desarrollo las expresiones utilizadas en el Capítulo 3. Entre estas expresionesse encuentran las derivadas parciales de las propiedades atmosfericas, de la resistencia aerodinámica y otrasvariables usadas en la resolución del problema.

C.1 Atmósfera

Aquí se presentan las derivadas con respecto a la altitud h de las propiedades atmosféricas en la troposfera,obtenidas a partir de las expresiones de la Atmósfera ISA en el Apartado 2.2.3.

C.1.1 Derivadas primeras

dTdh

= α

d pdh

= − gRgTo

po

(1+α

hTo

)− gRgα−1

dρ

dh= −

( gRgα

+1) po

RgTo

α

To

(1+α

hTo

)−( gRgα

+2)

dadh

=kRgα

2√

kRgT(C.1)

C.1.2 Derivadas segundas

d2Tdh2 = 0

d2 pdh2 =

gRgTo

po

( gRgα

+1)(

1+αhTo

)− gRgα−2 α

To

d2ρ

dh2 =( g

Rgα+1)( g

Rgα+2) po

RgTo

(α

To

)2(1+α

hTo

)−( gRgα

+3)

d2adh2 = −

kRgα2

4T√

kRgT(C.2)

C.2 Resistencia aerodinámica

En esta sección se presentan las expresiones que toman las derivadas parciales con respecto a la altitud h y ala velocidad V de la resistencia aerodinámica D(h,V ).

49

50 Capítulo C. Desarrollo de expresiones

Como se recordará, la ecuación que define esta variable es:

D =12

ρ(h)V 2SWCD(CL,M) (C.3)

C.2.1 Derivadas primeras

∂D∂h

=12

V 2SW

(dρ

dhCD +ρ

∂CD

∂h

)∂D∂V

=12

ρSW

(2VCD +V 2 ∂CD

∂V

)(C.4)

con

∂CD

∂h=

∂CD

∂M∂M∂h

+∂CD

∂CL

∂CL

∂h∂CD

∂V=

∂CD

∂M∂M∂V

+∂CD

∂CL

∂CL

∂V(C.5)

obteniéndose estas últimas derivadas de la definición de CL (ecuación 2.7) y de las ecuaciones que definenel modelo de aeronave (Apéndice B).

C.2.2 Derivadas segundas

∂2D

∂h2 =12

V 2SW

(d2ρ

dh2 CD +2dρ

dh∂CD

∂h+ρ

∂2CD

∂h2

)∂

2D∂h∂V

=12

SW

(2V

dρ

dhCD +2V ρ

∂CD

∂h+V 2 dρ

dh∂CD

∂V+V 2

ρ∂

2CD

∂h∂V

)∂

2D∂V 2 =

12

ρSW

(2CD +4V

∂CD

∂V+V 2 ∂

2CD

∂V 2

)(C.6)

Tal y como se hizo en C.2.1 , las derivadas del coeficiente de resistencia CD(CL,M) se obtienen haciendouso del modelo de aeronave.

C.3 Arco singular

En este apartado se desarrollan las expresiones necesarias para la resolución de la trayectoria sobre el arcosingular (Apartado 3.2). En concreto, se presenta la ecuación que define la segunda derivada temporal de lafunción conmutación S:

S = A(V,h)+ γB(V,h) (C.7)

siendo

A(V,h) = A1(V,h)+wA2(V,h)+w′A3(V,h)

B(V,h) = B1(V,h)+wB2(V,h)+w′B3(V,h)+w′2B4(V,h)+w′′B5(V,h)

(C.8)

C.4 Restricciones en la Velocidad Calibrada y en el número de Mach 51

donde

A1(V,h) =Ω−V

Dm∂D∂V

(V

∂D∂h−g

∂D∂V

)+

Ω−Vm

(g

∂2D

∂V 2 −V∂

2D∂h∂V

− ∂D∂h

)+

Ω−2Vm

( gV

∂D∂V− ∂D

∂h

)A2(V,h) =

1Dm

∂D∂V

(g

∂D∂V−V

∂D∂h

)+

1m

(2

∂D∂h

+V∂

2D∂h∂V

−g∂

2D∂V 2 −

gV

∂D∂V

)A3(V,h) =

Ω− (V +w)Dm

∂D∂V

(2D−V

∂D∂V

)−1

Vm

∂D∂V

+Ω− (V +w)

mV

∂2

∂V 2

B1(V,h) =Ω−V

D

(−3g

∂D∂h

+2g2

V∂D∂V

+V 2 ∂2D

∂h2 +g2 ∂2D

∂V 2 −2gV∂

2D∂h∂V

)B2(V,h) =

1D

(3g

∂D∂h−2

g2

V∂D∂V−V 2 ∂

2D∂h2 −g2 ∂

2D∂V 2 +2gV

∂2D

∂h∂V

)B3(V,h) =

Ω− (V +w)D

(− gD

V−V

∂D∂h

+3g∂D∂V

+2gV∂

2D∂V 2 −2V 2 ∂

2D∂h∂V

)B4(V,h) =

Ω− (V +w)D

V(

V∂

2D∂V 2 +

∂D∂V

)B5(V,h) = −

(Ω− (V +w)

)V 2

D∂D∂V

(C.9)

C.4 Restricciones en la Velocidad Calibrada y en el número de Mach

Por último, se presentan en esta sección las derivadas de las variables VCAS(h) y VM(h) con respecto a laaltitud h, necesarias para el desarrollo de la solución en las restricciones sobre las variables de estado delproblema.

C.4.1 Restricción en CAS

VCAS(h) =

√√√√2k

RgT (h)

[(1− po

p(h)

[(1+

k2

ρo

poCAS2

max

)1/k

−1

])k

−1

]

dVCAS(h)dh

=1

2VCAS(h)

[V 2

CAS(h)T (h)

dT (h)dh

−2RgT (h)po

p2(h)d p(h)

dh

(kV 2

CAS(h)2RgT (h)

+1

) k−1k

((1+

k2

ρo

poCAS2

max

) 1k −1

)]

52 Capítulo C. Desarrollo de expresiones

d2VCAS(h)dh2 = −1

21

V 2CAS(h)

dVCAS(h)dh

[V 2

CAS(h)T (h)

dT (h)dh

−2RgT (h)po

p2(h)d p(h)

dh

(kV 2

CAS(h)2RgT (h)

+1

) k−1k

((1+

k2

ρo

poCAS2

max

) 1k −1

)]+

12VCAS(h)

[1

T 2(h)

(2VCAS(h)

dVCAS(h)dh

T (h)

−V 2CAS(h)

dT (h)dh

)dT (h)

dh+

V 2CAS(h)T (h)

d2T (h)dh2 −2Rg po

[1

p4(h)

(dT (h)

dhp2(h)

−T (h)2p(h)d p(h)

dh

)d p(h)

dh+

T (h)p2(h)

d2 p(h)dh2

](kV 2

CAS(h)2RgT (h)

+1

) k−1k((

1+k2

ρo

poCAS2

max

) 1k

−1

)−2RgT (h)

po

p2(h)d p(h)

dh

((1+

k2

ρo

poCAS2

max

) 1k −1

)k−1

k

(kV 2

CAS(h)2RgT (h)

+1

)− 1k

(k

2Rg

1T 2(h)

(2VCAS(h)

dVCAS(h)dh

T (h)−V 2CAS

dT (h)dh

))](C.10)

C.4.2 Restricción en Mach

VM(h) = Mmaxa(h)

dVM(h)dh

= Mmaxda(h)

dh

d2VM(h)dh2 = Mmax

d2a(h)dh2

(C.11)

Índice de Figuras

3.1. Esquema de dos posibles trayectorias 143.2. Sentidos de integración Caso 1 153.3. Sentidos de integración Caso 2 163.4. Sentidos de integración Caso 3 173.5. Sentidos de integración Caso 4 183.6. Sentidos de integración Caso 5 18

4.1. Variación del arco singular con los parámetros del problema 224.2. Arcos singulares para diferentes trayectorias divisorias 234.3. Ω1, Ω2 y Ω3 en función de w para diferentes valores de W 234.4. Ω1, Ω2 y Ω3 en función de ∆w 244.5. Perfiles de velocidad para diferentes valores de Ω 254.6. Perfiles de altitud para diferentes valores de Ω 264.7. Perfiles del control óptimo para diferentes valores de Ω 274.8. Perfiles de velocidad para diferentes valores de w 284.9. Perfiles de altitud para diferentes valores de w 294.10. Perfiles del control óptimo para diferentes valores de w 294.11. Perfiles de velocidad para diferentes valores de ∆w 304.12. Perfiles de altitud para diferentes valores de ∆w 314.13. Perfiles del control óptimo para diferentes valores de ∆w 324.14. Perfiles de velocidad para diferentes valores de W 334.15. Perfiles de altitud para diferentes valores de W 334.16. Perfiles del control óptimo para diferentes valores de W 344.17. Alcante final frente a W 354.18. Tiempo de vuelo frente a W 364.19. Función objetivo frente a W 364.20. Actuaciones integrales frente a Ω 374.21. Comprobaciones de optimalidad Ω = 0 m/s 384.22. Comprobaciones de optimalidad Ω = 100 m/s 384.23. Comprobaciones de optimalidad Ω = 200 m/s 394.24. Comprobaciones de optimalidad Ω = 100 m/s 40

53

Índice de Tablas

2.1. Constantes de la Atmósfera ISA 5

4.1. Estructuras de la solución 23

B.1. Coeficientes de la polar parabólica compresible 47

55

Bibliografía

[1] California Airlines, Airline fleet, 2014.

[2] Alberto Bernad Blanch, Análisis del vuelo de crucero de mínimo coste de aviones comerciales, Noviembre2013.

[3] Arthur Earl Bryson and Yu-Chi Ho, Applied optimal control : optimization, estimation, and control, Ginnand Company, Walthman, Massachusetts, 1969.

[4] Emilio Cerdá Tena, Optimización dinámica, Prentice Hall, Madrid, 2001.

[5] Antonio Franco, Damián Rivas, and Alfonso Valenzuela, Optimization of unpowered descents of com-mercial aircraft in altitude-dependent winds, Journal of Aircraft 49 (2012), no. 5, 1460–1470.

[6] Antonio Franco Espín, Aircraft trajectory optimization using singular optimal control theory, Febrero2014.

[7] Arturo Locatelli, Optimal control : an introduction, Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, 2001.

57

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