Hernández, Eugenio. Álgebra y Geometría

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lgebra y geometra

EUGENIO HERNNDEZ Facultad de Ciencias Universidad Autnoma de Madrid

UNIVERSIDAD DE lA REPUBLICA FACULTAD DE INGENIERIA

OPTO. DE DOCUMENTACION Y BIBLIOTECA BIB.LIOTECA CENTRAL

lng. Edo. Garcia de Zi.iniga MONTEVIDEO - URUGUAY

No. de Entrada O 5 2 7 9 .1 1 4.99

ADDISON-WESLEY/UNIVERSIDAD AUTNOMA DE MADRID Argentma Brasil Chile Colombia Ecuador Espaa Estados Unidos Mxico Per Puerto Rico Venezuela

....

Copublicacin de Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. y la Universidad Autnoma de Madrid

1994 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

Reservados todos los derechos.

6 Indice

7.7. Obtencin de la forma de Jordan de una matriz .................................. . 7.8. Forma de Jordan real de matrices reales con autovalores complejos ................. . 7.9. El teorema de Cayley-Hamilton ......................................

327 335 342

EJERCICIOS DE REPASO: CAPITULOS 1 A 7 349

CAPTULO 8: ESPACIOS EUCLIDEOS ........................... 357 8.1. Definicin de espacio eucldeo. Ejemplos ........................................ . 8.2. Longitudes, reas y ortogonalidad ........................................ . 8.3. Bases ortonormales en un espacio eucldeo ...................................... .

357 360 365

8.4. Complemento ortogonal. Proyecciones ................................ 8.5. Adjunta de una aplicacin ..................................................... . 8.6. Aplicaciones autoadjuntas ..................................... 8.7. Aplicaciones ortogonales: parte 1 ............................................... . 8.8. Aplicaciones ortogonales: parte 11 ............................................... . 8. 9. Estructura de las aplicaciones lineales no singulares ............................... .

370 382 385 389 397 406

CAPn;LO 9: ESPACIOS HERMITICOS .......................... 411 9 .l. Producto hermtico .......................................... 411 9.2. Aplicaciones entre espacios hermticos .......................................... . 411

CAPTULO 10: MOVIMIENTOS EN UN ESPACIO AFIN EUCLIDEO. MOVIMIENTOS EN IF:l2 Y~ 1 0.1. Transformaciones afines. Ejemplos ...................................... 10.2. Movimientos en el plano .................................. 10.3. Estudio analtico de los movimientos en lfl2 ...................................... .

425 426 432 440

10.4. Movimientos en el espacio ......................................... 10.5. Movimientos en l"J 3. Ejemplos .................................................. .

452 459

CAPTULO 11: SECCIONES CONICAS ..................................... 475 11.1. Definiciones ......................................... 475 11.2. La circunferencia y alguna de sus propiedades ................................... . 11.3. La elipse y la hiprbola .................. : . ............................. .. 11.4. Nueva definicin de las secciones cannicas: la elipse, la hiprbola y la parbola ..... .

477 479 484

11.5. Ecuaciones de las cnicas en un sistema de coordenadas cartesiano ................. . 490 11.6. Determinacin de las cnicas ......................................... . 498 11.7. Determinacin del tipo de una cnica ........................................... . 11.8. :nvariantes de las cnicas y reduccin a su forma cannica ........................ . 11.9. Determinacin del centro y de los ejes principales de una cnica con centro ......... .

500 511 517

1 1.1 O. Determinacin del vrtice y del eje de una parbola .............................. . 521

CAPTULO 12: FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS ............................. . 527 12. l. Definiciones .................................... 527 12.2. Formas bilineales y cuadrticas en un espacio eucldeo ............................ . 12.3. Ley de inercia de las formas cuadrticas ......................................... . 12.4. Formas cuadrticas definidas. Puntos crticos de funciones de varias variables ....... .

533 536 539

12.5. Diagonalizacin simultnea de formas cuadrticas ................................ . 546

CAPITCLO 13: SUPERFICIES DE SEGUNDO GRADO ................... . 559 13.1. Clasificacin de las superficies de segundo grado ................................. . 13.2. Invariantes de las superficies de segundo grado en I} ............................. . 13.3. Determinacin de los elementos geomtricos de algunas cudricas .................. .

560 571 579

13.4. Notas adicionales .................................... 584 l. El hiperboloide de una hoja como superficie reglada .......................... . 2. Clasificacin de las cudricas cuando L'l =O y 8 =O ............................ .

584 586

EJERCICIOS DE REPASO: CAPITULOS 8 A 13 ......................................... . 593 SOLUCIONES ............................... 601 INDICE ALFABETICO ....................................... .. .. .. .. .. .. 633

...-4

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PROLOGO ~SIDAD D! L!' .. ~~:~BtlCJl FACUl TJ\~i ~::~ T ... ,.,; :, ... RIA

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DOCMONTEV1DE0 - URUGUAY

La matemtica no es un deporte para espectadores; el lector debe acercarse a este texto con un lapicero en su mano y un papel a su lado, para verificar con sus propios razonamientos y su espritu crtico las afirmaciones que contiene.

De la misma manera que lograr un nivel adecuado en el juego del tenis requiere tiempo y prctica, y conseguir tocar cualquier pieza de msica clsica requiere esfuerzo, re-compensado por la belleza que su msica proporciona, la matemtica es una ciencia cuyo aprendizaje requiere esfuerzo y prctica y cuya recompensa se alcanza por la ele-gancia con la que permite resolver problemas propios y de otras Ciencias.

Esperamos que el lector se esfuerce en comprender los conceptos y resultados que se exponen en este libro, porque ellos son la base para poder apreciar posteriormente varias de las aportaciones que la Ciencia ha dado a la humanidad a travs de los tiem-pos y de manera especial en este siglo xx.

Este libro ha surgido de las clases de lgebra y Geometra impartidas durante varios aos a los alumnos de primer curso de las licenciaturas de Ciencias Fsicas y Ciencias Matemticas en la Universidad Autnoma de Madrid. Ha crecido con la colaboracin de varios colegas del Departamento de Matemticas de la citada Universidad; unos apor-tando soluciones para la mejor exposicin de algunas lecciones; otros mejorando ideas ya plasmadas en papel; otros, finalmente, corrigiendo varias versiones del manuscrito. A todos ellos agradezco su desinteresada aportacin en la elaboracin de este libro.

En l se ha pretendido seguir un esquema que permita al lector adivinar los resulta-dos e intuir su demostracin: para ello se dan varios ejemplos antes de enunciar un re-sultado y aportar las razones convincentes que lo demuestran. Estas razones son pura-mente geomtricas cuando ello ha sido posible, como en la demostracin de las propie-dades de las secciones cnicas (captulo 11) o en la clasificacin de los movimientos en el plano (captulo 10).

Ejemplos de aplicaciones se dan en varias ocasiones despus de haber concluido la demostracin de un importante resultado. Con todo ello se intenta lograr una partici-pacin activa del lector en el descubrimiento de las ideas principales de cada captulo, a la vez que la oportunidad para que vaya comprobando su nivel de conocimientos.

Este nivel de conocimientos puede comprobarse tambin intentando solucionar los numerosos problemas que se proponen al final de casi todas las secciones y de aquellos que, a modo de repaso, se incluyen despl{s de los captulos 7 y 13. El completo apren-dizaje de las teoras matemticas se consigue despus de haber resuelto numerosos ejer-

7

8 Prlogo

cicios. El lector debe intentar resolverlos todos, con la seguridad de que estos intentos, aunque sean fallidos, le proporcionarn grandes beneficios.

De muchos de los problemas se incluyen los resultados al final del libro. La elabora-cin de estos resultados ha contado con la participacin de varios Ayudantes del De-partamento de Matemticas, a quienes tambin agradezco su contribucin.

Las Rozas de Madrid Agosto de 1987

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CAPITULO 1

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. OPERACIONES CON MATRICES

1.1. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales: mtodo de eliminacin de Gauss

1.2. Rango de una matriz. Estructura de las soluciones de un sistema 1.3. Aplicaciones lineales de IR" en !Rm y operaciones con matrices 1.4. Inversa de una aplicacin e inversa de una matriz

Este captulo est dedicado a la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales; el problema geomtrico ms sencillo en el cual surge la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales es el de conocer la interseccin de dos rectas en el plano. As, por ejemplo, los nmeros que satisfacen el sistema

x+y=2} 3x-y=2

determinan el punto de interseccin de las rectas x +y= 2 y 3x- y= 2, represen-tadas en la figura 1.1.

1

x+y=2

Figura U

9

-------------------------------------------------

JO Algebra y Geometril

Es posible que el lector est familiarizado con la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales como el anterior utilizando uno cualquiera de los siguientes mtodos:

1) Mtodo de eliminacin, que consiste en realizar operaciones con las ecuaciones dadas hasta eliminar una de las incgnitas.

2) Mtodo de sustitucin, que consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

3) Mtodo de Cramer o de los determinantes, que consiste en encontrar las soluciones del sistema anterior como un cociente de dos determinantes.

De todos estos mtodos el que resulta menos engorroso cuando se trata de resolver sistemas de un gran nmero de incgnitas es el mtodo de eliminacin, que recibe el nombre de mtodo de eliminacin de Gauss (Carl Friedrich Gauss fue uno de los ms prestigiosos matemticos de comienzos del siglo XIX).

Comenzaremos exponiendo este mtodo seguidamente.

1.1. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE ELIMINACION DE GAUSS

EJEMPLO A. Tratemos de resolver el sistema

x+y=2} 3x- y:::2

de dos ecuaciones con dos incgnitas; una solucin de este sistema es un par de nmeros (a, b) que satisface las dos ecuaciones simultneamente. El primer paso es multiplicar por 3 la primera ecuacin y restarla de la segunda para obtener el sistema

x+y= 2} -4y= -4

A continuacin dividimos entre -4 (o bien multiplicamos por -!) la segunda ecuacin para obtener el sistema

x+y=2} y=1

Restando la segunda ecuacin de la primera se obtiene

x=1} y=1

''

Captulo 1 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices 11

que nos permite obtener fcilmente el par de nmeros (1, 1), que es solucin del sistema dado.

Nota. Observar que x=l, y=1 satisfacen ambas ecuaciones; el lector debe comprobar siempre que el resultado obtenido es correcto sustituyendo los valores encontrados en el sistema dado.

EJEMPLO B. Tratemos de resolver el sistema

x1 +3x2 +x3 = -3 3x1 +9x2 +4x3 = -7

2x1 -x2 +x3 =6

de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas. Comenzamos eliminando x 1 de las ecuaciones segunda y tercera; esto se consigue

multiplicando por 3 la primera ecuacin y restndola de la segunda y multiplicando por 2 la primera ecuacin y restndola de la tercera. Realizando estas operaciones, el sistema anterior se transforma en

x 1 +3x2 +x3 = -3} X3=2

-7x2 -x3 = 12

Intercambiando las ecuaciones segunda y tercera se obtiene:

x1 +3x2 +x3 = -3} -7x2 -x3 = 12

X3=2 1

A continuacin eliminamos x3 de la primera y la segunda de las ecuaciones restando la tercera de la primera y sumando la tercera y la~segunda. Obtenemos

x1 +3x2 =-5} -7x2 =14

X3=2

Multiplicando por --t la segunda ecuacin se obtiene:

x1 +3x2 :-51 X2--2

X3=2

12 Algebra y Geometra

Finalmente, eliminamos x2 de la primera ecuacin multiplicando por 3 la segunda y restndola de la primera; obtenemos:

X= 11 X2= -2~

X3=2

que nos da la solucin (1, - 2, 2) del sistema. Comprobacin. 1-6+2= -3; 3-18+8= -7; 2+2+2=6.

* * *

El lector se preguntar la razn por la que el mtodo utilizado produce la solucin del sistema. La respuesta es que las operaciones realizadas con las ecuaciones transforman un sistema en otro equivalente, es decir que tiene las mismas soluciones. Recapitulemos las operaciones realizadas en los ejemplos anteriores que, de ahora en adelante, sern llamadas operaciones elementales:

i) Multiplicar una ecuacin por un nmero real no nulo. ii) Intercambiar dos ecuaciones. iii) Sumar o restar un mltiplo de una ecuacin a otra. No resulta complicado comprobar que las operaciones elementales transforman un

sistema en otro equivalente. Por ejemplo, si (a, b, e) es solucin de x1 + 3x2 + x3 = -3, tambin es solucin de 3x1 +9x2 +3x3 = -9, ya que

3a+9b+3c=3(a+3b+c)=3(-3)= -9

De manera similar, si (a, b, e) es tambin solucin de 3x 1 + 9x2 + 4x3 = -7, cinco ve-ces la ecuacin x 1 +3x2 +x3 = -3 ms la ecuacin 3x1 +9x2 +4x3 = -7 nos da

que tiene (a, b, e) como solucin, ya que 8a+24b+9c=(5a+ 15b+ 5c)+(3a+9b+4c)= 5( -3)-7 = -22.

Resumiendo, podemos decir que el mtodo de eliminacin de Gauss consiste en reducir un sistema dado a otro equivalente, lo ms sencillo posible, mediante operacio-nes elementales.

Puede observarse que la repeticin de las incgnitas y de los signos + en los ejemplos anteriores es innecesaria. Si eliminamos estos smbolos en el ejemplo B, el sistema queda reducido a la siguiente ordenacin rectangular, que llamaremos matriz:


La matriz

recibe el nombre de matriz de los coeficientes del sistema y la matriz anterior recibe el nombre de matriz ampliada del sistema. En sta, la lnea vertical separa la matriz de los coeficientes de los trminos independientes.

Utilizando la matriz -ampliada del sistema e indicando con i), ii) o iii) las operacio-nes elementals que se realizan sobre las filas de la matriz, de acuerdo con las operaciones elementales que se realizan sobre las ecuaciones, el ejemplo B puede resumirse de la siguiente manera:

(~ 3 1 -3) (~ 3 1 -3) (1 9 4 -7 iii) o 2 _.!!!_. o F2- 3F, -1 1 6 F 3 -2F 1 -7 -1 12 o (~ 3 o -5) ( 1 3 o -5) -7 o 14 ~ o 1 o -2 iii) o 1 2 -~F, 0 0 1 2 F 1 -3F2

La ltima matriz es la matriz del sistema

que nos da las soluciones.

EJEMPLO C. Para resolver el sistema

x1 +3x2 -x3 +x4\ 11 -2x1 +x2 +2x3 =7

x2 -x4 =0

3 1 -3)

-7 -1 12 iii) --+ Ft-FJ

o 1 2 F 2 +F3

(~ o o -~) 1 o o

de tres ecuaciones con cuatro incgnitas escribimos la matriz del sistema y la reducimos a la ms sencilla posible mediante operaciones elementales. El lector no tendr dificultad en seguir los pasos realizados.

( -~ ~ o 1 -1 2 o ~ 0~) iii) ( 001 ~ _ 1 F 2 +2F, 1 -1 o o


(~ 3 -1 ~) (~ 3 -1 ~) (~ 3 -1 1 ~) 1 o -1 iii) 1 o -1 i) 1 o -1 -----+ 7 o 2 F 3 -7F2 o o 9 ~FJ o o 1 (~ 3 -1 o :J (~ o -1 o -:) iii) 1 o o iii) 1 o o F 1 -F3 F 1 -3F2 Fz+F, o o o o

Esta ltima matriz corresponde al sistema

x, -x,~ -3 X2= 1 X4=1

Claramente x 2 = 1 y x4 = 1, pero de la primera ecuacin no pueden encontrarse x 1 y x3 ; simplemente, dado un valor, e, a x3 se obtiene un valor x 1 = - 3 +e para x 1 y las

soluciones del sistema son:

x1 =-3+c X2 =1

o bien (- 3 +e, 1, e, 1), para todo nmero real c. Este sistema tiene infinitas soluciones que se obtienen dando valores a c. Realizar la comprobacin!

* * *

Las dos matrices finales de los ejemplos B y C pueden escribirse de la forma

(~ ~ - ~ ~ -~) o ~ 1

Estas dos matrices tienen en comn que por ellas puede trazarse una escalera descendente tal que:

1) Cada peldao tiene altura uno. 2) Debajo de la escalera todos los elementos de la matriz son cero. 3) En cada esquina de un peldao aparece el nmero l. 4) Toda columna que contiene un 1 en una esquina de un peldao tiene todos los

dems elementos nulos.

( .J 1(")

o


Toda matriz que posee estas propiedades ser denominada una matriz escalonada. El mtodo de eliminacin de Gauss consiste entonces en reducir la matriz de un sistema dado a una matriz escalonada mediante operaciones elementales.

EJEMPLO D. Para resolver el sistema

x1 -x2 +x3 =11 2x 1 +x2 +x3 =0

2x 1 -2x2 +2x3 =3

escribirnos su matriz ampliada y la transformamos mediante operaciones elementales hasta reducirla a una matriz escalonada:

(~ -1 ~) (~ -1 -~) (~ -1 1 -2/~) 1 1 iii) 3 -1 i) 1 -1/3 ' 0< (~ :3 ~ ;.) E9 s;, e a: ;r. ~ ,_ Z>


donde los aii son nmeros reales, se denomina un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas. Una solucin de (1) son n nmeros (s1, s2, ... , sn) tal que al sustituir xj por sj se obtiene una igualdad en todas las ecuaciones del sistema:.

Si el sistema posee al menos una solucin se dice que es compatible y si no posee ninguna solucin se dice que es incompatible; si un sistema es compatible y tiene una nica solucin se dice que es determinado y si tiene ms de una solucin se dice que es indeterminado.

Los sistemas de los ejemplos A, B y e son compatibles, mientras que el del ejemplo D es incompatible. En los casos de compatibilidad, el del ejemplo e es indeterminado y los sistemas de los ejemplos A y B son determinados.

Los distintos casos que pueden presentarse en un sistema quedan caracterizados por la matriz escalonada que se obtiene en cada sistema. Recordemos que

e al2

a2l a22 A= .

aml am2

se denomina la matriz de los coeficientes del sistema, y

e al2 aln b,)

- a2l a22 a2n b2 A= .

aml am2 amn bm

es la matriz ampliada del sistema. Las matrices escalonadas de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada de los sistemas de los ejemplos B, e y D son las siguientes:

Matriz escalonada de la Matriz escalonada de la matriz de los coeficientes matriz ampliada

NJ) (NJH) Ejemplo B o 1 o o 1 o -2 o o 1 o o 1 2 e o -1 o) e o -1 o

-n Ejemplo e ~ o 1 o o 1 o o o 1 e o 2/3) Ejemplo D 011 -1~ o o

Si convenimos en escribir:

p =nmero de peldaos de una matriz escalonada de A, p =nmero de peldaos de una matriz escalonada de A, n =nmero de incgnitas del sistema,

(-N--J%ID o 1 -1 3 o o o o 1


las diferencias, en cuanto a soluciones, de los ejemplos anteriores quedan plasmadas en el siguiente cuadro:

p p n

Ejemplo B Sistema compatible 3 3 3 determinado

Ejemplo e Sistema compatible 3 3 4 indeterminado

Ejemplo D Sistema incompatible 2 3 3

La observacin detenida de este cuadro sugiere el siguiente resultado:

TEOREMA 1 (Rouche-Frobenius) ---------------------, 1) Un sistema es compatible determinado si y slo si p=p=n. 2) Un sistema es compatible indeterminado si y slo si p = p < n. 3) Un sistema es incompatible si y slo si p

18 Algebra y Geometi'il

b) Si p = p < n, la matriz escalonada B de este sistema es de la forma

i'j~fl~ o

-fila p

donde los rectngulos sombreados representan matrices. Si las columnas con 1 en una esquina de un peldao corresponden a las incgnitas x1 =x,.,, x,.,, ... , x,., se tiene que

es una solucin del sistema. Por tanto, el sistema es compatible. Falta demostrar que el sistema es indeterminado. Si todas las matrices sombreadas

son nulas, el sistema es equivalente a

x,., :dl} x,., -d2

x,., =dp

Puesto que p

20 Algebra y Geometi'il

Sus soluciones se obtienen escribiendo el sistema correspondiente a la matriz escalonada:

X1 =e2 X2=e1 X3=e1 X4=e2

donde e1 y e2 son nmeros reales cualesquiera.

EJERCICIOS 1.1

l. Encontrar todas las soluciones (si existen) de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el mtodo de eliminacin de Gauss:

a) X +x2= 1} b) x1+x2=1} x1-x2=-1 2x 1 +x2=0

2. Utilizar operaciones elementales para reducir las matrices dadas a su matriz escalonada.

a) (~ 3 7 ~) b) (~ o ~) -5 -1 1 -2 6 o

e) ( ~ - ~ - ~) -~ -1 _: d) 3. Resolver los siguientes sistemas mediante el mtodo de eliminacin de Gauss:

a) 2x1 +x2 +x3 =31 x1 -x2 +x3 =0

3x1-x2+2x3 =2

b) x1+2x2+4x3=1 x1 +x2+3x3=2

2x1 +5x2 +9x3=1

Captulo 1 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones con matrices

e) 2x1-x2+3x3=9 3x1 - 5x2 +x3 = -4

4x1-7x2 +x3=5

d) 2x1-2x2+x4= -3) 2x1 +3x2+x3-3x4= -6

3x1 +4x2 -x3 +2x4=0 x1 +3x2+x3-x4=2

e)

g)

i)

3x1 +x2-x3+2x4-7=0 2x1-2x2+5x3-7x4 -1=0

-4x1 -4x2 + 7x3 -11x4 + 13=0

f) X +x2+x3=3 2x1-x2 +3x3=4 3x1 +x2-x3=3

2x1 -2x3=0

x, +2x, +3x,~2) h) x, -3x,+2x,~o x1 -x2 +x3 =0 -x1 -2x2 +2x3 =0

x1+3x2 -x3=-2 -2x1 +x2 =0 3x1 +4x2 +3x3 =0

x, +x, +x, +x4 ~o) j) x, +x,+x,-6~0 x2-x4=5 x1 +2x2 +2x3 -9=0

x1 + x3 -!{2x4 = 1 x1 +2x2+3x3 -10=0 x1 +2x2=0

21

4. Utilizar el teorema de Rouche-Frobenius para realizar un estudio del nmero de soluciones de los siguientes sistemas:

a) x1 +2x2-x3=1l x2+x3=2r

x1+3x2=3

e) 2x1+x2=51 X-Xz=1r

x1 +2x2=0

b) 3x1 +2x2+x3+x4-x5 =3} x1 +2x3 +x5 =3

5. Demostrar que el sistema

es compatible indeterminado si y slo si a11a22 -a12a21 =0.


1.2. RANGO DE UNA MATRIZ. ESTRUCTURA DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA

En la seccin anterior se observ que el nmero de peldafios de la matriz escalonada de un sistema es importante para determinar la compatibilidad o incompa-tibilidad de un sistema. En esta seccin se relacionar este nmero con el importante concepto de rango de una matriz. Adems, se estudiar la estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

En los ejemplos de la seccin anterior se ha observado que las soluciones de un sistema pueden escribirse de la forma

donde a 1, a2, ... , a" son nmeros reales. Un elemento de esta forma recibe el nombre de vector y se denota por

Los nmeros reales a,j= 1, 2, ... , n, reciben el nombre de componentes del vector a; a 1 se denomina primera componente, a2 segunda componente, y as sucesivamente. El vect~ O es el vector cuyas componentes son todas nulas. Dos vectores a= (a1, a2 , ... , a") Y b = (b1, b2 , ... , b") son iguales, y escribiremos a= D, cuando a1 = b1, a2 = b2, ... , an = bn.

Los vectores 110 slo aparecen como soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, sino que tambin aparecen en las filas o en las columnas de una matriz, en cuyo caso reciben el nombre de vectores fila o vectores columna de la matriz. Por ejemplo, la matriz

( ~ ~ ~ ~) -1 2 -1 1

tiene como vectores fila

a=(1, 2, o, 1), F =(2, 1, 3, O), e=( -1, 2, -1, 1)

y como vectores columna:

1=(1,2,-1), e=(2,1,2), 7=(0,3,-1), ?=(1,0,1)

Nota. A veces los vectores columna de una matriz se escriben en notacin vertical de la forma


Las definiciones que daremos con vectores no dependen de la notacin que se utilice para representarlos. En este texto aparecern las dos notaciones indistintamente.

Al resolver un sistema por el mtodo de eliminacin de Gauss se han realizado ciertas operaciones con los vectores fila de su matriz ampliada, que reciban el nombre de operaciones elementales. Estas operaciones son la suma de vectores:

y la multiplicacin de un vector par un nmero real e:

ca= e( a, a2, ... , an) =(ca( ca2, ... , can)

Las operaciones con vectores poseen las siguientes propiedades, que se dejan como ejercicio para el lector:

(S 1) a+D=D+a (conmutativa) (S2) (li +D)+e=a +(D +e) (asociativa) (S3) O+a=a+ O=a (S4) a+( -a)=( -a)+ a= o, donde (-a)=( -1)a (M 1) c(li +D)=ca +cD (M 2 ) (c+dfci=ca +da (M3) e( da)= (cd]a (M4) lli=a

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Nota. El vector (-a)= (- 1 )a se denomina opuesto de a. Dado un conjunto de vectores {a 1, a 2 , ... , a.}, una expresin de la forma

donde los di,j= 1, ... , s, son nmeros reales, se dice que es una combinacin lineal de los vectores dados.

Un vector a se dice que es combinacin lineal de los vectores {-a -a -} 1 2 ... , a. si existen nmeros reales d1, d2 , ... , d. tal que

El vector O es combinacin lineal de cualquier conjunto de vectores, ya que basta tomar todos los di=O. La expresin anterior puede escribirse de la forma

donde no todos los coeficientes de los vectores son nulos (el coeficiente de a es -1). Esto sugiere la siguiente definicin.


DEFINICIN 1 i) Un conjunto de vectores a1, a 2, ... , ak es linealmente dependiente si existen

nmeros d1, d2 , , dk> no todos nulos, tal que

ii) Un conjunto de vectores a1, a 2, ... ,a" se dice linealmente.~ndepend!ente si no son linealmente dependientes, es decir, cualquier expreswn del tipo

d1a1 +dzaz++dkak= o

implica necesariamente que d1 =dz = =dk=O.

EJEMPLO A. Queremos estudiar si los vectores a1 =(2, 1) y a2 =(1, 1) son lineal-mente dependientes o independientes; para ello tratemos de encontrar dos nmeros d1 y d2 tal que

d1(2, 1)+d2(1, 1)=(0, O)

Puesto que dos vectores son iguales si y slo si sus componentes correspondientes coinciden, la igualdad anterior puede escribirse de la forma

que es un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. Realizando operaciones elementales con la matriz de este sistema se tiene:

G 1 1 ~) ~ G 1 1 ~) ~ G - ~ 1 ~) ~ G 1 1 ~) --+ G ~ 1 ~)

Como p = p = 2 =nmero de incgnitas y el sistema es ho~o~neo, s~o tiene la solucin trivial d 1 =dz=0. Esto implica que los vectores a 1, llz son lmealmente independientes.

* * *

EJEMPLO B. Para estudiar si los vectores a1 =(1, 1, 3), az =(0, 1, 2) Y a3 =(1, 2, 5) son linealmente dependientes o independientes formamos la expresin

d1(1, 1, 3)+d2{0, 1, 2)+d3(1, 2, 5)=(0, O, O)


que puede escribirse de la forma:

Puesto que

dl+d3=01 d1 +d2+2d3 =0

3dl +2d2 + 5d3 =0

( ~ ~ ~ ~)~(~ ~ ~ ~)~(~~ :~) 3~50 0220 0000

25

se tiene que p = p = 2 < 3 =nmero de incgnitas y, por tanto, el sistema posee soluciones no triviales: los vectores dados son linealmente dependientes.

Si queremos encontrar una combinacin lineal de los vectores anteriores basta resolver el sistema anterior; dicho sistema es equivalente a

de acuerdo con las operaciones elementales anteriormente realizadas. Haciendo d3 =e, se tiene d1 =-e, d2 =-c. Como caso particular de e podemos tomar e= -1, con lo cual d1 = 1, d2 = 1, y se tiene:

1(1, 1, 3)+ 1(0, 1, 2)-1(1, 2, 5)=(0, O, O)

como fcilmente puede comprobarse.

* * *

En los ejemplos anteriores se habr observado que nicamente es necesario escribir la matriz cuyas columnas son los vectores dados y realizar en ella operaciones elementales para estudiar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores. Si el nmero de peldafios coincide con el nmero de columnas (o equivalente-mente la matriz escalonada es la identidad) los vectores son linealmente independientes y en caso contrario son linealmente dependientes.

DEFINICIN 2 (Rango de un conjunto de vectores y ---,------------------, rango de una matriz)

i) Se denomina rango de un conjunto de vectores al mayor nmero de ellos que son linealmente independientes.

ii) Se denomina rango de una matriz A, y se denota por r(A), al rango de sus vectores columna.


El rango de los vectores del ejemplo A es 2, ya que son linealmente independien-tes.

El rango de los vectores del ejemplo B es menor que 3, ya que son linealmente dependientes.

En estos momentos es conveniente resaltar la forma de calcular el rango de una matriz. Dada la matriz

e a12

... ) a21 a22 a2n

A= .

aml am2 ... amn

se consideran los vectores

de entre los cuales hay que determinar el mayor nmero de ellos que sean linealmente independientes.

En primer lugar es necesario estudiar si los n vectores son linealmente independien-tes, es decir, si el sistema homogneo

(1)

posee nicamente la solucin nula. En caso de que posea nicamente la solucin nula, el rango de la matriz es n. Observar que para determinar si (1) posee soluciones no nulas nicamente es necesario reducir la matriz A a su forma escalonada.

Si los n vectores son linealmente dependientes, es necesario estudiar si alguno de los posibles subconjuntos de n- 1 vectores de entre los n anteriores es linealmente independiente.

Si estos subconjuntos de n- 1 vectores son todos linealmente dependientes es necesario estudiar todos los subconjuntos de n- 2 vectores. El proceso termina cuando encontremos por primera vez unos cuantos vectores de entre los anteriores que sean linealmente independientes.

En teora puede parecer complicado y largo calcular el rango de una matriz. En la prctica, sin embargo, resulta sencillo, como se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO C. Para encontrar el rango de la matriz

A=(: ~ -~ 3 4 1

-~) -2


comenzamos resolviendo el sistema

de tres ecuaciones con cuatro incgnitas. Puesto que

( 1 3 2 -~) ~ ( ~ 3 2 _:)~U 3 2 -~) 1 o. -1 -3 -3 -3 -3 3 4 1 -2 o -5 -5 -5 o o o

( 1 3 2 1) e o -1 -2) ~ o 1 1 1 -+ 011 1 1 o o o o o o o o

el sistema posee soluciones no triviales. Por tanto, los cuatro vectores columna de la matriz son linealmente dependientes.

Si tomamos tres de ellos, por ejemplo, los tres primeros, la matriz escalonada del sistema que ellos forman es

(

1 o 011 o o

ya que se obtiene realizando las mismas operaciones elementales que antes sobre las tres primeras columnas de la matriz. Estos tres vectores son, por tanto, linealmente dependientes.

El lector puede comprobar que cualesquiera tres vectores de entre los anteriores son linealmente dependientes

Finalmente, si tomamos los dos primeros vectores, el sistema

tiene como matriz escalonada

(~) y, por tanto, son linealmente independientes.

Concluimos, entonces, que r(A)=2.

* * *


El lector habr podido observar en el ejemplo anterior que el rango de una matriz coincide con el nmero de pelda.os de su matriz escalonada. Este resultado se demuestra a continuacin.

TEOREMA 1 El rango de una matriz coincide con el nmero de pelda.os de su matriz

escalonada.

Demostracin. Sea A una matriz de la forma

y denotemos por a 1, a 2 , . ,a" sus vectores columna. Sea p el nmero de pelda.os de una matriz escalonada de A. Esta matriz escalonada es de la forma:

0 1 D2 D3

B=

llj~ll~ o

+--Fila p

El sistema homogneo

correspondiente a las columnas no sombreadas de la matriz tiene nicamente la solucin trivial, ya que su matriz escalonada es

1 o o ~ O Columna p

~ o o

o L1 +--Fila p Hemos demostrado, por tanto, que la matriz A posee al menos p vectores columna

linealmente independientes.


El teorema quedar demostrado si probamos que no existen ms de p vectores columna de A que sean linealmente independientes.

Tomemos q vectores columna a mp a m2 , , a m de A, con q >p. El sistema

(2)

posee una matriz escalonada con p pelda.os como mximo, ya que la matriz escalona-da de A tiene p pelda.os. Puesto que el sistema anterior tiene q incgnitas y, q es mayor que p, (2) es indeterminado. Por tanto, los q vectores dados son linealmente dependientes.

EJEMPLO D. Para calcular el rango de los vectores a 1 =(1, 1, 3), a2 =(2, 2, 6) y a3 = (2, -1, 5) escribimos la matriz

cuyas columnas son los vectores dados, y realizamos sobre ella operaciones elementa-les:

(: ~ -~)~(~ ~ -~)~(~ ~ ~) 3 6 5 o o -1 o o -1 (

1 2 o) ~ OOl.L o o o

Puesto que el nmero de pelda.os de la matriz escalonada es 2, del teorema anterior deducimos que el rango de los tres vectores dados es 2.

* * *

El teorema 1 nos permite escribir el teorema de Rouche-Frobenius utilizando el rango de una matriz, tal y como se hace en la mayor parte de la literatura matemtica.

TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS (vase la seccin 1.1) -----------, Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas, con matriz de sus

coeficientes A y matriz ampliada A, se tienen los siguientes resultados: i) El sistema es compatible determinado si y slo si

r(A)=r(A)=n

30

ii) El sistema es compatible indeterminado si y slo si r(A) = r(A) < n

iii) Un sistema es incompatible si y slo si r(A) < r(A)

Algebra y Geometra

A continuacin se realiza el estudio de la estructura de las soluciones de un sistema. Comenzamos con un sistema homogneo de m ecuaciones y n incgnitas:

a 11 x1 +a 12x2 + +a1.x. =0 l a21x1 + a22x 2 + + a2.x. =0

am1X1 + am2X2 + + amnXn = 0 1

(1)

Sabemos que todo sistema homogneo posee la solucin trivial 0=(0, O, ... , O) y, por tanto, es compatible. Demostraremos a continuacin que si es indeterminado ha de tener infinitas soluciones.

PROPOSICIN 2------------------------------------------------, i) Si = (u 1, u2 , , u.) es una solucin del sistema homogneo (1), c es

tambin solucin del mismo sistema para todo nmero real c. ii) Si =(u1, u2, ... ,u.) y v=(v1, v2, ... , v.) son soluciones del sistema homog-

neo (1), + v tambin lo es.

Demostracin. Si es solucin de (1) se tienen las igualdades:

a 11 u1 + a12u2 + +atnu =0 a21 u1+ a22u2++a2.u.=0

Multiplicando por el nmero real e cada una de estas igualdades resultado deseado.

se obtiene el

Si, adems, v es solucin de (1) se tienen las igualdades:

a 11 v1 + a12v2++atnv. =0 a 21 v1 + a22v2 + +a2.v. =0

am1v1 + a.2v2 + +am.v.=O

~-1 - .


1

Sumando las correspondientes igualdades se obtiene:

au(u1 +v1) + a12(u2 + v2 ) + + atn(u. + v.) =0 a21(U1 + V1) + a22(u2 + v2) + +a2.(u. + v.) =0

am1(U1 +v1)+amiu2 +v2)+ +amn(u.+v.)=O

lo cual prueba que + v es tambin solucin del mismo sistema.

31

PROPOSICIN 3 ______________________ --.

. Si el siste~a homo~neo (1) es indeterminado existen k vectores, 1, 2 , , to linealmente mdependientes de manera que todas las soluciones de (1) son de la forma

con l~s ci nmeros reales. Adems, k=n-r(A), donde A denota la matriz de los coeficientes del sistema (1).

Es conveniente ilustrar con un ejemplo el resultado de la proposicin 3. EJEMPLO E. Tratemos de encontrar las soluciones del sistema homogneo

2x1 -3x2 +x3 -x4 +2x5 =0} 3x1 -x3 +x4 =0

X 1 +3x2 -2x3 +2x4 -2x5 =0

Re~lizando operaciones element~les con las filas de la matriz de sus coeficientes se obtiene:

(: -3 -1 -~) (~ 3 -2 2 -~) o -1 1 -----+ o -1 1 3 -2 2 -3 1 -1

~(~ 3 -2 2 -:) -9 5 -5 -9 5 -5

~(~ 3 -2 2 -2) ( 1 o 1 1_ -!) ! - 0]1 -3 3 1 -i ~ 5 ~ 9 -g- 9 o o o o o o o o


1 1 x1 =-c1 --c2 + 3c3 3 3

5 5 x 2 = 9 c1 -9c2 -3c3

Las soluciones de este sistema pueden escribirse de la forma:

Los vectores

mente independientes, ya que si tenemos

igualando las tres ltimas componentes de la izquierda a cero se deduce que d1 =d2 =d3 =0.

Observar, finalmente, que el nmero de vectores linealmente independientes es 3 = n -r(A).

* * *

Demostracin de la proposicin 3. Supongamos, para simplificar, que la matriz escalonada de este sistema es de la forma

1 o o ..-----~ O u11 ulk Columna n=p+k

B= ~ O U21 U2k o

+-Fila p

1


donde p=r(A). Tomar

1=(-u11 , -u21 , ... , -uP1, 1,0, ... ,0) 2 =( -u11 , -u22 , ... , -uP2, O, 1, ... ,O)

Por un razonamiento anlogo al del ejemplo E se concluye que toda solucin de (1) es de la forma

Adems, los k-vectores 1, 2, ... , k son linealmente independientes, ya que si tenemos una combinacin lineal de ellos de la forma

las n- p ltimas componentes de cada ~no de ellos producen las igualdades d1 = d2 = = dk =O. Por tanto, los k-vectores dados son linealmente independientes.

* * *

La estructura de las soluciones de un sistema no homogneo se deduce de la estructura de las soluciones de un sistema homogneo.

Sea

a 11x 1 +a12x 2+ .. +a1.x.=b1! a21X1 +a22x2+ .. +a2.x.=b2

. .

. .

. .

am1X1 +am2X2 + ... +amnXn =bn

(11)

un sistema de m ecuaciones con n incgnitas. Se denomina sistema homogneo asociado a (11) el sistema que se obtiene sustituyendo los bj de la derecha del sistema por ceros.

PROPOSICIN 4-----------------------~ Si v es una solucin de (11), todas sus soluciones son de la forma v + , donde

es solucin de su sistema homogneo asociado .

Demostracin. Si w es otra solucin de (11) escribimos

w=v+(w-v)

y observamos que = w-ves una solucin del sistema homogneo asociado, ya que w y v son ambas soluciones del sistema (11).

- .....


Las proposiciones 3 y 4 nos permiten enunciar el siguiente resultado.

TEOREMA 5

Sea v una solucin de (11). Existen k vectores 1, 2 , ... , k linealmente independientes, tal que todas las soluciones de (11) son de la forma

donde los e k son nmeros reales y 1, 2 , ... , k son soluciones del sistema homogneo asociado a (11).

Adems, k= n- r(A), donde A es la matriz de los coeficientes del sistema.

Nota. La expresin v+c1 1 +c2 2 + .. +ckk se denomina solucin gene-ral del sistema y v se denomina una solucin particular del sistema.

EJERCICIOS 1.2

l. Demostrar las propiedades (S), (S2), (S3) y (S4 ), (M 1), (M 2), (M 3) y (M4 ) de la suma de vectores y de la multiplicacin de vectores por un nmero real.

2. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes y en caso de que sean linealmente dependientes, encontrar una combi-nacin lineal entre ellos:

a) {(1, 2), (2, 4)} b) {(3, 5, 1), (2, 1, 3)} e) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, -1, 1)} d) {(1, O, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)}

3. Calcular el rango de los siguientes conjuntos de vectores:

a) G). G).

/


4. Calcular el rango de las siguientes matrices:

a)

e)

3 -5 -2

1 2 1 o 1 4 1 1 3 3 2 -1 o 1 o

b) (-! 4 3 6 7 3 2 2 -1 o

-2 o 1 2 o -1

-3 2 5 ~) -9 4 2 d)

o 5 7 o 3

(~ ~ 1 =~ ~) 2 3 o 2 1 1 o 2 1

5. Estudiar su compatibilidad y encontrar la solucin general de los sistemas

x1 +x2 -x3 =1l x1 -2x2 +x3 =0

x2 -x3 =0

35

6. Demostrar que todo conjunto con n + 1 vectores de n componentes cada uno es linealmente dependiente.

1.3. APLICACIONES LINEALES DE IRn EN IRm Y OPERACIONES CON MATRICES

En esta seccin deduciremos las operaciones con matrices a partir de las operacio-nes que pueden realizarse con aplicaciones lineales. Tales operaciones con matrices sern necesarias para un estudio posterior de la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Comenzaremos con el concepto de aplicacin entre conjuntos.

Dados dos conjuntos S y T, toda ley que asocia a cada uno de los elementos de S un elemento de T como mximo se denomina una aplicacin de S en T. Si a esta ley la representamos con la letra f se acostumbra a escribir f: S f-+ T, lo cual se lee


Figura 1.2

N ata. Cuando una aplicacin est definida en un conjunto de nmeros (naturales, enteros, racionales, reales, etc.) y sus imgenes estn tambin en un conjunto de nmeros, se suele utilizar la palabra funcin en lugar de aplica-cin. En algunos casos se suele utilizar la palabra transformacin en lugar de aplicacin.

Dada una aplicacin f: S f-+ T se denomina imagen de f, y se denota por im (f) al conjunto de todas las imgenes de los elementos de S, es decir:

im(f)= {f(s)/ seS}

En el ejemplo A.l), im(f)=IR; en el A.2), im(f)={O, 1, 4, 9, 16, 25, ... },y en el A.3), im (f) = {1, 2}.

Cuando el conjunto im (f) coincide con el conjunto final T se dice que fes una aplicacin suprayectiva; A.1) y A.3) son ejemplos de aplicaciones suprayectivas, mientras que A.2) no lo es. Otra forma de comprobar que f es suprayectiva es estudiando si todo elemento de T es imagen de algn elemento de S, es decir,

para todo tE T, existe sE S, tal que f(s) = t

Una aplicacin f: S f-+ T se denomina inyectiva si dos elementos distintos cuales-quiera de S tienen distintas imgenes, es decir, s # s', s, s' E S, = f(s) # f(s'). Otra forma de comprobar que fes inyectiva es utilizando la negacin de la implicacin ahterior, a saber:

f(s) = f(s') = s = s'

La aplicacin del ejemplo A.l) es inyectiva, ya que f(x) = f(y) ..;:;. 3x = 3 y ..;:;. x =y; la aplicacin del ejemplo A.2) es tambin inyectiva, ya que f(n) = f(m) ..;:;. n2 = m2 ..;:;. n =m (puesto que n, m E N); sin embargo, la aplicacin del ejemplo A.3) no es inyectiva, ya que f(1)=f(2) y 1 # 2.

Una aplicacin que es a la vez suprayectiva e inyectiva recibe el nombre de biyectiva. La aplicacin del ejemplo A.1) es biyectiva, y no lo son ninguna de las aplicaciones de los ejemplos A.2) y A.3).

* * *

/


La operacin bsica con las funciones es la composicin. Dadas dos aplicaciones f: S f-+ T y g: Tf-+ U, se denomina composicin de f y g, y se denota por g o f al resultado de aplicar g a la imagen mediante f de cualquier elemento de S, es decir,

g o f(s) = g(f(s))

EJEMPLO B. Si f: IR f-+ IR est dada por f(x) = x2 - 1 y g: IR f-+ IR est dada por g(x) = x + 5, se tiene que

g of(x)=g(f(x))=f(x)+ 5 =x2 -1 + 5 =x2 +4

Para que la composicin de f y g pueda definirse es necesario que el conjunto final de f, es decir, T, coincida con el conjunto inicial de g; as pues,fa g no est definida a menos que U= S. En el caso en que g o f puedan definirse cabe preguntarse si g o f coincide con fo g, es decir, si la composicin de aplicaciones es conmutativa. La respuesta es, en general, negativa, ya que en el ejemplo B tenemos

Jo g(x)=f(g(x))=[g(x)] 2 -1 =(x+ 5)2 -1 =x2 + lx+24

que no coincide con g o f Sin embargo, la composicin de aplicaciones satisface la propiedad asociativa, es

decir:

si f, g y h son tres aplicaciones para las cuales tienen sentido las composiciOnes anteriores. Este resultado se deduce inmediatamente de la definicin de composicin, ya que

(h o g) o f(s) = (h o g)(f(s)) = h(g(f(s))) = = h(g o f(s)) = h o (g o f)(s).

El comportamiento de la composicin de aplicaciones con respecto a los tipos de aplicaciones citados anteriormente queda expuesto en las siguientes propiedades, que se dejan como ejercicio para el lector. Si f: Sf-+ T y g: Tf-+ U se tiene:

(C.l) f inyectiva y g inyectiva = g of inyectiva. (C.2) f y g suprayectivas = g of suprayectiva. (C.3) f y g biyectivas = g o f biyectiva.

* * *

Una forma de definir una aplicacin es utilizando matrices. Sea, por ejemplo, la matriz


y sea IR2 el conjunto de todos los vectores x = (x 1, x2) con dos componentes; podemos definir f: IR 2 H IR2 mediante

As, por ejemplo, /(1, 5)=(1-5, 21+35)=(-4, 17)

En general, definimos IR" como el conjunto de los vectores x=(x1, x 2, , xn) den componentes. Dada una matriz

("" al2 a,,)

a21 a22 a2n A= .

aml am2 amn

de m filas y n columnas, se denomina aplicacin lineal asociada con A a la aplicacin f: IR" H IRm dada por

f(x)=f(x 1, x 2, , xn)=

EJEMPLO C. La matriz

tiene como aplicacin lineal asociada a f: IR2 H IR2 dada por

f(x 1,x2)=(0x 1 + 1x2, 1x1 +0x2)=(x2,x1) La aplicacin f intercambia las componentes de todo vector x=(x1, x2 ) de IR 2 . Geomtricamente,/ refleja cada vector x=(x1, x2) de IR2 en la recta x 1 =x2 (Fig. 1.3). (Esto es fcil de probar: intntalo!)

Figura 1.3


EJEMPLO D. La matriz

tiene como aplicacin lineal asociada a f: IR3 H IR3 dada por

f(x)=f(x 1, x 2, x3)= =(1x 1 +0 x 2 +0x3, O x 1 + 1x2 +0 x3 , Q. x1 +0x2 +0 x3)=(x1, x 2 , O)

Geomtricamente,fproyecta todo vector de IR3 en un vector del plano x 1x2 cuyos dos primeras componentes son las dos primeras componentes de x y su tercera componente es nula (Fig. 1.4).

X Figura 1.4

Las aplicaciones lineales tienen un buen comportamiento con respecto a la suma de vectores y a la multiplicacin de stos por nmeros reales:

TEOREMA 1

Sea f: IR" H IRm una aplicacin lineal; para todo x, Y e IR" y para todo nmero real r se tiene:

i) f(x + Ji)=f(X)+f(Y) ii) f(rx) = rf(x).

Demostracin. Haremos la demostracin para una aplicacin lineal f: IR2 H IR2, puesto que las ideas principales de la demostracin en el caro general estn incluidas en este caso particular. Sea, por tanto:


la matriz de f y x=(X, Xz), Y=(y, Yz). Se tiene que

f(x+.V)=f(x 1 +y 1, x2 +Yz)=(a(x 1 +y1)+b(x2 +y2), c(x 1 +y1)+ +d(x2 + Yz}}=(ax 1 +ay 1 +bx2 +by2 , cx 1 +cy1 +dx2 +dy2 )=

=(ax 1 +bx2 , cx 1 +dx2 )+(ay1 +by2 , cy1 +dy2 )= =f(x, Xz)+f(y, Yz)=f(x)+f(Y)

Esto demuestra i). Para demostrar ii) sea x=(x1, x2) y r un nmero real. Se tiene que

f(rx)=f(rx 1, rx2)=(a(rx 1)+b(rx2), c(rx 1)+d(rx2))= =r(ax 1 +bx2 , cx 1 +dx2 )=rf(x)

Esto termina la demostracin de ii) y, por tanto, la demostracin del teorema. Nota. Combinando i) y ii) del teorema 1 se tiene que

f(rx + s.V) = r f(x) + sf(Y)

para todo x, y E IR" y para cualesquiera nmeros reales r y s.

El teorema 1 se muestra grficamente en las figuras 1.5 y 1.6.

f(x)l \ 1

\ 1 \ 1 ' 1

f(Y) -f(;+Y)=f(x)+f(Y) rf(x)=f(rx)

Figura 1.5 Figura 1.6

Este teorema permite demostrar que la imagen de una recta en IR" mediante una aplicacin lineal es otra recta o un punto; en efecto, si x + rv es la ecuacin de la recta que pasa por el extremo de x en la direccin de v se tiene que

f(x + rv) = f(x) + r f(V)

debido al teorema 1 (Fig. 1.7). Sif(V)= O se tiene el puntof(x), y sif(V)# O se obtiene una recta que pasa por el extremo de f(x) en la direccin de f(V).


Figura 1.7

EJEMPLO E. Queremos hallar la imagen del cuadrado de vrtices (0, 0), (0, 1 ), (1, 1) y (1, O) mediante la aplicacin lineal f dada por la matriz

A=G ~) La recta (1) (vase figuras 1.8 y 1.9) tiene por ecuacin 0+re 1 y, por tanto, se

transforma en (1'), que tiene por ecuacin

f(O+re 1)=f(O)+rf(e 1)= 0+r(2 1 +0, 1 1 + 2 0)= b +r(2, 1)

Anlogamente:

(2)

(4)

(2): O+ re 2 se transforma en (2'): O+ r(1, 2) ) (3): (1, 0)+re2 se transforma en (3'): (2, 1)+r(1, 2) l (4): (0, 1)+re1 se transforma en (4'): (1, 2)+r(2, 1)

(3)

Figura 1.9

e,=(l.O) e 2 =(0,1)

(1)

Figura 1.8


Con estos resultados se tiene que la imagen del cuadrado mediante fes el paralelogra-mo limitado por las rectas (1'), (2'), (3') y (4'), que tiene como vrtices (0, 0), (2, 1), (3, 3) y (1, 2).

* * *

Las propiedades i) y ii) dadas en el teorema 1 caracterizan a las aplicaciones lineales de IR" en IRm. Se tiene el siguiente resultado:

TEOREMA 2

Sea f: IR" 1-+ IRm una aplicacin que satisface: i) f(x +Y)= f(x) + f(J) para todo x, y E IR", y

ii) f(rx) = r f(x) para todo x E IR" y todo nmero real r. Entonces, fes una aplicacin lineal con matriz A cuyas columnas vienen dadas por los vectores f(e ),f(e 2), ... ,f(e nl, donde ei es el vector de IR" con todas sus componentes nulas excepto la que ocupa el lugar j, que es l.

Demostracin. Al igual que en la demostracin del teorema 1 vamos a suponer quef: IR 21-+ IR2; supongamos quef(e 1)=!(1, O)o::(a, b) y f(e 2)=f(O, 1)=(c, d). Utilizan-do i) y ii) se tiene que

f(x)=f(x 1, x2)=f(x1(1, O)+xiO, 1))=f(x1e 1 +x2e 2)= =xd(e 1)+xd(e2)=x1(a, b)+x2(c, d)= =(ax 1 +cx2 , bx1 +dx2)

Por tanto, fes una aplicacin lineal que tiene como matriz

A=(: ~) Observar que la primera columna de A es f(e 1) y la segunda es f(e 2 ).

EJEMPLO F. Tratemos de encontrar la matriz de un giro de 90, g, en IR 2 (el giro se considera, salvo indicacin contraria, que se realiza en sentido positivo, es decir, contrario al de las agujas del reloj) (Fig. 1.10). La aplicacin g satisface i) y ii) del

Figura 1.10


/ ' . ') p 1 2 teorema 2 (tratar de demostrarlo geometncamente. . or e teorema , g es una aplicacin lineal y su mtriz tiene como columnas

f{e)=e2=(0, t) f{e 2)=-e 1 =(-l,O)

Por tanto,

* * *

Las aplicaciones lineales pueden sumarse y multiplicarse por nmeros reales: dadas f: IR" 1-+ IRm y g: IR" 1-+ IR m dos aplicaciones lineales y e un nmero real, definimos la suma de f y g como una aplicacin f + g: IR" --+ IRm tal que

(f + g)(x) = f(x)+ g(x), x E IR"

y la multiplicacin de f por e como una aplicacin e f: IR" 1-+ IRm tal que

(cf)(x) = c(f(x)), x E IR"

EJEMPLO G. Dadas dos aplicaciones lineales f: IR 21-+ IR 3 y g: IR 21-+ IR 3 mediante

y g(x 1 , x2)=(0, x 1, x2)

se tiene que

(f-2g)(x)=(f+( -2)g)(x 1, x2)=f(x 1, x2)+( -2)g(x, x2)= =(x 1, x 1 +x2, 2x2)+(0, -2x1, -2x2)=(x 1, x2 -x1, O)

* * *

La suma de dos aplicaciones lineales f y g es una aplicacin lineal, ya que

U+ g)(x + Yl = f(x +Y)+ g(x + Yl = f(x) + f(J) + g(x) + g(J) = f(x) + g(x)+ f(Yl + g(Y) =( f + g)(x) +( f + g)(J)

y (f + g)(rx) = f (rx) + g(rx) = r f(x) + rg(x) = r( f + g)(x);

por el teorema 2 esto basta para probar que f + g es lineal. De manera similar puede comprobarse que cf es una aplicacin lineal si f lo es.


Si A es la matriz de la aplicacin lineal f IR" r--. IRm y B es la matriz de la aplicacin lineal g: IR" r--. IRm, f + g tendr una matriz cuya j-sima columna est dada por ([ + g)(ej), debido al teorema 2. Puesto que (f + g)(ei) = f(ei) + g(e) la j-sima columna de la matriz de f + g es la suma de las j-simas columnas de las matrices de f y g. A la matriz de f + g se le denomina matriz suma de A y B, y, por tanto, si

e aJ2 a.,) e

b!2 b,,) a2J a22 a2n b2! b22 b2n A= . y B= .

am! am2 amn bm! bm2 bmn

se tiene que

(

a 11 +h11 , a12 +b12 , ... , a1n+b1n) a2+b2! a22+b22 ... , a2n+b2n

A+B= . . . . . .

. . .

am! + bm! am2 + bm2 ... , amn + bmn

Observar que para poder sumar matrices el nmero de filas de A y B debe coincidir, as como el nmero de columnas de ambas matrices. Una matriz con m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden m x n, la cual corresponde a una aplicacin de IR" en IRm. Por tanto, la suma de matrices slo es posible si ambas son del mismo orden.

Sea A una matriz de orden m x n asociada con la aplicacin lineal f: IR" r--. IRm y e un nmero real. Puesto que cf es una aplicacin lineal, tiene asociada una matriz, que se simboliza mediante cA -multiplicacin de A por el nmero real e- cuya j-sima columna es (cf)(e)=c(f(e)), es decir, e veces la j-sima columna de A:

e a!2

a,,) C" ca22 '") a2J a22 a2n ca2! ca22 ca2n A= . . =>cA= . . .

. .

am! am2 amn caml cam2 camn

En el ejemplo G las matrices de f y g son


1 Por tanto:

~ ) + (- 2) ( ~ ~ ) = ( ~ ~ ) + ( - ~ ~ ) = (- ~ ~ ) 2 o 1 o 2 o -2 o o

que corresponde a la aplicacin lineal f- 2g (comprobarlo!) * * *

Estas operaciones que acabamos de definir con aplicaciones lineales y matrices tienen propiedades similares a las propiedades (S 1)-(S4 ) y (M 1)-(M4 ) de la suma de vectores y de la multiplicacin de vectores por un nmero real (ver seccin 1.2). Estas propiedades se enuncian en el siguiente cuadro y se dejan como ejercicio para el lector.

Suma de aplicaciones lineales

(S) f +g=g+f (S2) (f +g)+h=f +(g+h) (S3) O+f=f +O=f,

donde O es la aplicacin nula (S4 ) f +( -f)=( -f)+f =0, donde -f =( -!)f

Multiplicacin de aplicaciones lineales por un nmero real

(M) c(f +g)=cf +cg (M 2) (c+d)f=cf+df (M 3) c(df)=(cd)f (M4) lf=f

*

Suma de matrices

(S) A+B=B+A (conmutativa) (S2 ) (A+B)+C=A+(B+C) (asociativa) (S3 ) 0+A=A+0=A,

donde O es la matriz nula (S4 ) A+(-A)=(-A)+A=O

Multiplicacin de matrices por un nmero real

(M 1) c(A+B)=cA+cB (M 2) (c+d)A=cA+dA (M 3) c(dA)=(cd)A (M 4 ) !A=A

* *

El ltimo resultado de esta seccin es obtener una operacin con matrices que corresponda a la composicin de aplicaciones lineales. Comenzamos con el caso particular de aplicaciones de IR2 en IR2 o matrices (cuadradas) de orden 2 x 2.

Sean

las matrices de f, g: IR2 r--. IR2 . Tenemos que

g oj(x)=g oj(X, X2)=g(f(X, X2))=g(aX +a12X2, a2X +a22X2)= =(b11(a 11 x 1 +a12x2)+b12(a21 x 1 +a22x 2), b21(a 11 x 1 +a12x 2)+b22(a21 x 1 +a22x2))= = ((b 11 a +a21 b 12)x 1 +(b 11 a12 + b12 a22)x2, (b21 a+ b22a21)x1 + (h21 a12 + b22a22)x2)

46 ~lgebray . w.....,~

:,. ~-c.: 53 e ~ ~-~ t: ......... o :o ....

e :- e= ~ ._,. Z:>< .... ~t:: ,; ' Al :..:: :.-: z e o (.j ~:):.:

-~

o C'. O::; u e : o ~- p..E-tr..l -

,.... r..lfJE--CIJ :::: Cl~~ o:; u ~~ g:r ~ Q


n

De aqu se deduce que el elemento que ocupa el lugar (i, j) en BA es L bkaki que era k=l

lo que queramos demostrar. La demostracin de que g o fes una aplicacin lineal se deja para el lector.

Para finalizar esta seccin damos algunas propiedades de la composicin de aplicaciones lineales y de la multiplicacin de matrices. Ya sabemos que la propiedad asociativa se cumple para la composicin de aplicaciones y, por tanto, se cumple tambin para la multiplicacin de matrices.

La propiedad conmutativa puede que no tenga sentido, como en el ejemplo I, en el que no puede calcularse AB, pero s BA. Incluso si AB y BA pueden calcularse la propiedad conmutativa no es cierta:

La asociativa y otras propiedades de estas operaciones se resumen a continuacin.

(CI) (hog)oJ=ho(gof) (C 2) ho(f +g)=hoJ +hog (C3) (h+g)oJ=hoJ +goJ (C4 ) (cg)of=go(cf)=c(gof)

(CtJ(CB)A=C(BA) (C 2) C(A + B)= CA+ CB (C 3 )(C+B)A=CA+BA (C4 )(cB)A =B(cA)=c(BA)

La multiplicacin de matrices nos permite escribir un sistema de ecuaciones lineales de una forma muy sencilla. Dado el sistema

a 11 x 1 +a12x 2 ++a1.x.=b1 ) a 21 x 1 +a22x 2 ++a2.x.=b2

. . .

. . .

. . .

am1X1 +amzXz++amnXn=bm

de m ecuaciones lineales con n incgnitas, si escribimos

se tiene que

es una forma abreviada de escribir (I).

(1)

-------- ---


EJEMPLO J. El sistema

se escribe con notacin matricial de la forma

EJERCICIOS 1.3

l. Estudiar si las siguientes aplicaciones son inyectivas, suprayectivas o biyectivas:

a) f: ll~h-+ IR, f(x) = x 2 b) g: N+~ IR, g(n) = n3 -n e) h: Z ~ 2Z, h(z) = 2z, donde Z denota el conjunto de los nmeros enteros O, 1,

2, 3, ... y 2Z = {O, 2, 4, 6, ... } 2. Encontrar todas las biyecciones del conjunto { 1, 2, 3} en s mismo. 3. Dadas f: s~ T y g: Tt--+ U, demostrar que: a) f, g inyectivas ~ g o f inyectiva b) f, g suprayectivas ~ g of suprayectiva e) f, g biyectivas ~ g o f biyectiva 4. Dadasf(x)=x2 +7, g(x)=3x-5 y h(x)=sen x, funciones de IR en IR, calcular: a) hogof b) gohog e) gohof 5. Escribir las matrices de las siguientes aplicaciones:

a) f(x 1, x 2, x 3)=(x 1 +x2 , 2x 1 -x3) b) f(x 1, x 2)=(x 1 -x2 , x 1 +2x2 , 2x 1 -3x2) e) f(x 1 , x 2)=(x 1, x 2 , x 2, x 1) d) f(x 1 , x2 , x3)=3x 1 -x2 +x3 6. Dadaf: IR 2 t--+ IR 2 mediantef(x 1, x2)=(x 1 +x2, 2x 1 -x2), hallar la imagen mediante f de las siguientes regiones: a) {(x 1 ,x 2)/1~x 1 ~2,0~x2 ~1} b) {(x 1 ,x 2)/-1~x 1 ~1, -1~x2 ~1} 7. Demostrar quef: IR 2 ~--+IR 2 dada por f(x 1 ,x2)=(x 1 ,x~) no es lineal. Dibujar la imagen de la recta x = r(l, 1) mediante f 8. Hallar la matriz de un giro de ngulo


9. Hallar la matriz (en IR 3) de la simetra con respecto al plano x =y. 10. Dadas las matrices

A~ G 2 ~} 8 ~ ( ! ~ ! } e~ ( ~ ~ :) D ~ ( i} E~ (3, 2), h G ~). G ~ G ~)

calcular:

a) A((B+C)D) b) (B+Cf e) AB2 f) 2E(F2 - G2)

e) ((F 2 - G2)A)D g) Gs

11. Dadas las aplicaciones lineales f(x 1, x2)=(x1 +x2 , x 1 -x2), g(x, x2)=(3x -x2 , 2x 1) y h(x 1, x2)=(x 1, -x2 , x 1 -3x2), calcular: a) ho(g+f) 12. Demostrar las propiedades (S 1), (S2), (S3) y (S4) y (M 1), (M2 ), (M3) Y (M4) de la suma de aplicaciones y matrices y de la multiplicacin de stas por nmeros reales.

13. Demostrar las propiedades (C2), (C3) y (C4) de la composicin de aplicaciones lineales y de la multiplicacin de matrices.

14. Escribir en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) x+y+z=7} b) x+2z=41 e) ax+3z-2y=a2 l x-3y+2z=3 3y+2z+x= 1

1. 2z-ay+x=3

z-7y=3 y-z+ax=a

15. Desarrollar los siguientes sistemas escritos en forma matricial:

a) G ~ :)(}G) h) (~ ~)(:}m 1.4. INVERSA DE UNA APLICACION E INVERSA DE UNA MATRIZ

Dada una aplicacin f: S f-+ T decimos que g: T f-+ S es una inversa de f si: a) gof(s)=s, para todo sES, y b) Jog(t)=t, para todo tET.


Si definimos 1 s(s) = s para todo sE S e 1 r( t) = t para todo tE T (las cuales reciben el nombre de aplicaciones identidad) las condiciones anteriores a) y b) se escriben de la forma

1 3 EJEMPLO A. l. Sif(x)=2x+3 es una aplicacin de IR en IR, g(x)=2x-2 es una

inversa de f, ya que

1 3 1 3 g of(x)=g(f(x))=- f(x)--=-(2x+ 3)--=x

2 2 2 2 y

Jo g(x);=f(g(x))=2g(x)+ 3 =2Gx-D + 3 =X

2. Si f: IR 2 f-+ IR 2 es la simetra con respecto a una recta, fes su propia inversa, ya que

Figura 1.11

La inversa de una aplicacin no siempre existe. Si f: {1, 2, 3} f-+ {1, 2} es la aplicacin dada por f(1)=f(3)= 1, /(2)=2, f no posee inversa. En efecto, si g: {1, 2} f-+ {1, 2, 3} fuera una inversa de f tendramos que

1 =goj(l)=goJ(3)=3

lo cual es una contradiccin. Si existe la inversa de una aplicacin/se dice que fes invertible y la inversa defse

denota por f- 1


La inversa de f, cuando existe, es nica. Para probar este resultado supongamos que g: T~--->S y h: T~--->S son dos inversas dej: S~---> T. Tenemos que para todo tET,

h(t) = (g 0 j)(h(t)) = g(f(h(t))) = g(jo h)(t) = g(t)

y, por tanto, h = g. A continuacin damos una condicin necesana y suficiente para que exista la

inversa de una aplicacin.

TEOREMA 1

Sea j: S~----> T una aplicacin. j es in vertible si y slo si j es biyectiva.

Demostracin. Supongamos, primero, quejes in vertible y sea g: T~---> S su inversa. Si j(s) = j(s') tenemos que g o j(s) = g o j(s') y, por tanto, s = s'; esto prueba que j es inyectiva. Para probar quejes suprayectiva, sea tE T y tomar s = g(t); entonces j(s) = j(g(t)) = (f o g)(t) =t. esto prueba quejes biyectiva.

Supongamos ahora que fes biyectiva. Dado tE T definimos g(t) = s de manera que j(s) =t. La aplicacin g es la inversa de f, ya que

g o j(s) = g(f(s)) = g(t) = s y

jo g(t) = j(g(t)) = j(s) = t

EJEMPLO B. l. Seaj: ~+~---->~dada porj(x)=logx (log denota siempre logaritmo neperiano), donde ~ + es el conjunto de los nmeros reales positivos. Esta aplicacin es inyectiva ya que log x = log y = x =y, y es suprayectiva ya que si y E~. tomamos x = eY y tenemos que log x = log eY =y. Por tanto, j es in vertible.

Claramente, su inversa es la aplicacin g: ~ ~----> ~ + dada por g(x) =ex. 2. Sea j: ~ ~----> ~ dada por j(x) = 2x -l. Esta aplicacin es inyectiva ya que j(x)

= j(y) ~ 2x- 1 = 2y -1, de donde se deduce que x =y; es, adems, suprayectiva ya que 1

dado y E~ podemos encontrar xE ~tal que 2x-1 =y; basta tomar x=2(y+ 1). Por el teorema 1, j es invertible.

Su inversa se ha encontrado en la demostracin de la suprayectividad:

* * *

Pasamos ahora a calcular la inversa de aplicaciones lineales de ~n en ~; comenza-mos demostrando que si una aplicacin lineal j: ~n ~----> ~n es in vertible, su inversa j- 1 : ~ ~----> ~n es tambin una aplicacin lineal.


TEOREMA 2

Sij: ~~---->~es una aplicacin lineal invertible,f- 1 : ~~---->~es tambin una aplicacin lineal in vertible y (f- 1 )- 1 =f.

53

Demostracin. Lo nico que es necesano demostrar es que j- 1 es lineal. Si x, y E ~ se tiene

j(f- 1(x + )i))=joj- 1(x + Y)=x + Y=joj- 1(x)+joj- 1(Y)= = j(f -l(x)) + j(j- 1(Y)) = j(j- 1(x) + j- 1(Y))

Puesto quejes inyectiva por el teorema 1,

Finalmente, si x E~, rE~.

y de nuevo puesto quejes inyectiva debido al teorema 1 se tiene que

j- 1(rx) = rj- 1(x)

Estas dos propiedades son suficientes para asegurar que j- 1 es lineal debido al teorema 2 de la seccin 1.3 .

* * *

Si j: ~ ~----> ~ es una aplicacin lineal, su matriz asociada A es de orden n x n y, por tanto, el nmero de filas coincide con el nmero de columnas. Estas matrices se denominan cuadradas y se dicen de orden n en lugar de orden n x n.

Si j: ~ ~----> ~ es in vertible, su inversa j- 1: ~ ~----> ~ es tambin una aplicacin lineal y su matriz asociada B es tambin cuadrada y del mismo orden que A. La matriz B recibe el nombre de inversa de A y se denota mediante B =A- 1.

Puesto que la matriz de jo j- 1 es AB y la matriz de f- 1 fes BA (ver los resultados obtenidos en la seccin 1.3) se tiene que B es la inversa de A si y slo si

AB=I. y BA = I.

donde In es la matriz identidad de orden n, es decir, la matriz con unos en la diagonal principal y ceros en el resto:

54

EJEMPLO C. Intentamos calcular la inversa de la matriz

(X

Sea B= x3

Xz) su inversa. Puesto que AB = 12, se tiene x4

Algebra y Geometra

Igualando los elementos de las matrices se tienen los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

2x 2 +x4 =0} 4x 2 + 3x4 = 1 (ll)

Para resolver (1) escribimos:

de donde deducimos x 1 =3/2, x 3 = -2. Para resolver (11) escribimos:

de donde deducimos x 2 = -1/2, x4 =l. Por tanto:

B=(~~ -1/~) Podemos comprobar que BA =12 :

(-3

22 -112

1)(

42 1) ( 3-2 3/2-3/2)=(1 o)

3 = -4+4 -2+3 o 1

* * *

En el ejemplo anterior se observa que las operaciones elementales que se han realizado para resolver los sistemas (1) y (11) son las mismas. Esto sugiere que el clculo


de la inversa de A podra haberse realizado a la vez con una matriz que incluyera las

columnas G) y G} es decir: ( 2 111 o) 4 3 o 1

que es una matriz de orden 2 x 4 de la forma (A 1 1 2). Realizando operaciones elementales en. esta matriz se tiene:

-1) ~ (1 o 13/2 - 1/2) 1 o 1 -2 1

Por tanto, para calcular la inversa de una matriz cuadrada A de orden n se reduce la matriz (A 1 1.) a la matriz (1. 1 B) mediante operaciones elementales. Entonces A- 1 =B.

EJEMPLO D. Para calcular la inversa de la matriz

A~G 2 _:)

-1

escribimos

(~ 2 o 1 o n~(~ 2 o 1 o n~(~ 2 o 1 o n 1 3 o 1 1 3 o 1 1 3 o -1 -8 o o -5 -8 -2 o o 7 -2 5 r 2 o 1 o o) ( 1 2 o 1 o o) f--+ o 1 3 o 1 Or-+01 o 6/7 -8/7 -3/7 o o 1

-2/7 5/7 1/7 o o -2/7 5/7 1/7

( 1 o o -5/7 16/1 6j7) f--+ o 1 o 6/7 -8/7 -3/7

o o 1 -2/7 5/7 1/7

56

Por tanto, A es invertible y

(

-5/7 A-l= 6/7

-2/7

(Comprobarlo calculando A-l. A).

16/7 -8/7

5/7

6/7) -3/7

1/7

Algebra y Geometra

EJEMPLO E. Tratamos de encontrar la inversa de la aplicacin f: IR 2 f--+ IR 2 dada por f(:t:, x2)=(3x 1 +2x2 , x1 +2x2 ). Puesto que la matriz de fes

A=G ~) tenemos

(A 1 / 2)=G 211 2 o o) f--+ (1 21 o 1) f--+ (1 1 3 2 1 o o f--+G ~1 o 3/~) f--+ G o 1/2 -1/4 1 -1/4

Por tanto, f- 1 tiene como matriz

A -1 =( 1/2 -1/4

-1/2) 3/4

y en consecuencia:

(comprobarlo!). * * *

21 o 1) -4 1 -3

-1/2) 3/4

El lector se preguntar si existe alguna forma de determinar si una matriz cuadrada A posee inversa sin necesidad de calcularla. La respuesta es afirmativa y la produce el teorema de Rouch-Frobenius.

Supongamos que A=(a;)i.=l, ... ,n y X=(x;)i.=l. .... n es la inversa de A; puesto que AX=I. se tiene que =l, ... ,n 1 :=l, ... ,n

o

(

all az a21 a22

anl an2

lugar j = 1, 2, ... , n ... a1")(x1j) ''. a2n X2j _

ann Xnj o lo cual constituyen n sistemas de n ecuaciones cada uno con n incgnitas.


Si A posee una inversa, cada uno de los n sistemas anteriores posee solucin nica. Por el teorema de Rouch-Frobenius se ha de tener que r(A) = n.

Recprocamente, si r(A) = n, cada uno de los sistemas anteriores posee solucin nica, ya que

Hemos obtenido el siguiente resultado:

TEOREMA 3

Una matriz cuadrada A de orden n es in vertible si y slo si r(A) = n.

Como aplicacin, observar que la matriz

A=(~ 2 -~) 1 3 -1

no posee inversa, ya que

( ~ 2 -~) f--+ (~ 2 -~) f--+ (~ ~ 1 3 -1 o -1 o o o) ( 1 o -1 f--+ 011 o o o -o y, por tanto, r(A) = 2 # 3.

* * *

PROPOSICIN 4 _______________________ _ Si f: Sf--+T y g: Tf--+U son invertibles, gof: Sf--+U es invertible y (gof)- 1

=J-log-1.

Nota. De la proposicin 4 se deduce que si f y g son aplicaciones lineales con matrices A y B, respectivamente, (AB) - = B- 1 A- 1, siempre que existan las inversas.


Demostracin. Basta probar que (f- 1 og- 1)o(gof)=ls y (goj)o(J- 1 og- 1)=lu. Tenemos que

(f -1 o g-1) o (g o f)(s) = f -l(g- l(g(f(s)))) = f -l(g-1 o g(f(s)) = -l(f(s)) = s

y anlogamente:

EJEMPLO F. Tratemos de calcular (AB)- 1, donde

A=(~ ~) y B=G ~) Puesto que

(eJemplo C) y B- 1 = (eJemplo E) A -l=( 3/2 -1/2) . ( 1/2 -1/2) . -2 1 -1/4 3/4

tenemos que

(AB)-1=B-1A-t=( 1/2 -1/4

-1/2)(3/2 3/4 -2

-1/~)= ( 3/4+ 1

= -3/8-6/4 -1/4-1/2) ( 7/4

1/8 + 3/4 = -15/8 -3/4)

7/8

* * *

Para finalizar esta seccin aplicamos los conocimientos adquiridos para resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales.

Supongamos que A es una matriz cuadrada de orden n e invertible y tratemos de resolver el sistema Ax = b. Si A- 1 denota la inversa de A tenemos que

A - 1(Ax)=A - 11)

y, por tanto, x =A- 1b.

EJEMPLO G. Tratemos de resolver el sistema


dado en forma matricial. La matriz de este sistema es invertible como se ha visto en el ejemplo D, en donde tambin se ha calculado su inversa. Por tanto:

(X

1) (1 2

x 2 = O 1 x3 2 -1

o)- 1(14) (-5/7 3 7 = 6/7 -8 o -2/7

16/7 6/7) (14) (6) -8/7 -3/7 7 = 4

5/7 1/7 o 1

(comprobar el resultado!).

EJERCICIOS 1.4

l. Demostrar que las aplicaciones!: IR 2 ~--+IR 2 dada por f(x 1, x2)=(x1 +x2 , x 1 +2x2 ) y g: IR 2 ~--+IR 2 dada por g(x1, x2)=(2x1-x2, -x1 +x2) son inversas una de la otra. 2. Dadas f(x) = 3x- 2 y g(x) = cos x, aplicaciones de IR en IR, calcular g o f- 1 y -l oj-1 og. 3. Se denomina rango de una aplicacin al rango de su matriz asociada. Calcular el rango de las siguientes aplicaciones lineales:

a) b) e) d) e)

f(x 1, x2)=(0, x1, x1) f(x 1, x 2 , x3)=(x1 +x2 +x3, x 1 +2x2 +3x3, x1-x2 -3x3) f(x 1, x 2 , x3)=(x1 +2x2 +x3, -x1 +2x2 +x3) f(x 1, x2)=(x1 +x2 , O, x1 +x2) f(x 1, x2 , x3, x4)=(x1, x1 +x2 , x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3 +x4 )

4. Encontrar, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:

( _: ~) (i o -!) a) b ( 1 2) e) ) 3/2 3 (:

o ~) (~ 2 :) ( -~ 2 3 ;) d) 3 e) -1 f) 3 2 -3 -2 -6 4

5. Encontrar la inversa de cada una de las siguientes matrices:

a) G ~) b) , a=tO ( 1 1/a) a -1


6. Encontrar, si es posible, la inversa de las siguientes aplicaciones lineales:

a) f(x 1, x 2 , x 3)=(x 1 +x2 +x3, 2x 1 +x3, x 1 +x2 +2x3) b) j(x1, x2)=(x 1 +cx2 , X 1 -CX2), CE IR: 7. Encontrar A- 1 y resolver el sistema Ax = 7i para:

~ ) 7i = -1

b) A=(-~~ ~).7i=(-;:) -5 7 6 32

1 6 2 6 o


BIOGRAFIA

Carl Friedrich Gauss naci el 30 de abril de 1777 en Brunswick, un pueblecito que actualmente pertenece a Alemania Oriental. Impresionados por su habilidad para las matemticas y los idiomas, su madre y sus profesores le recomendaron al Duke de Brunswick, quien le proporcion la ayuda econmica necesaria para estudiar en la Universidad de Gottingen.

Cuando solamente tena 19 aos Gauss realiz uno de los descubrimientos ms espectaculares de las matemticas del siglo XVIII: fue el primer matemtico que construy un polgono regular de 17 lados utilizando solamente regla y comps. Euclides saba como construir polgonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, as como

,..----:


aquellos que se obtienen duplicando stos. Animado por su descubrimiento, Gauss logr encontrar una solucin algebraica al problema de construir con regla y comps un polgono regular de n lados y desarroll un cnterio basado en la teora de nmeros con el cual puede decidirse si un polgono regular de un cierto nmero de lados puede construirse geomtricamente.

En 1799 se le concedi el ttulo de Doctor por la Universidad de Helmsted. En su tesis, Gauss dio una demostracin del Teorema Fundamental del Algebra, en el que se muestra que toda ecuacin algebraica con coeficientes complejos tiene soluciones complejas. Los nmeros complejos, cuya formulacin actual se debe, entre otros, a Gauss, se estudiarn en el captulo 4.

A los 24 afios public una de las obras ms completas de la historia de las matemticas; se titul Disquisitiones Aritmeticae y en ella formul conceptos y mtodos de enorme importancia en el desarrollo posterior de la Teora de Nmeros.

El Duke de Brunswick fihanci tan generosamente sus investigaciones que en 1803 pudo renunciar a una oferta de profesor en la Academia de Ciencias de San Petersbur-go. En 1807 fue nombrado profesor de astronoma y director del observatorio de la Universidad de Gottingen, en donde permaneci durante toda su vida.

En 1801, Gauss tuvo la oportunidad de aplicar su habilidad matemtica y sus ideas en el campo de la astronoma. El primer da del ao fue descubierto un asteroide, que posteriormente sera llamado Ceres. A pesar de que pudo ser observado durante 40 das, ningn astrnomo fue capaz de calcular su rbita. Con solamente tres observa-ciones, Gauss desarroll una tcnica para calcular su rbita de manera que Ceres pudo ser localizado fcilmente a finales de 1801 y comienzos de 1802. El mtodo utilizado en sus clculos fue publicado en 1809 en su libro Theoria Motus Corporum Coelestium; este mtodo contina utilizndose actualmente, con ligeras modificaciones, en los clculos que se realizan con ordenadores.

Carl Friedrich Gauss contribuy de manera decisiva al desarrollo de varias ramas de la matemtica durante el siglo XIX.

Muri el 23 de febrero de 1855 y poco despus de su muerte se pusieron en circulacin varias monedas en su honor.

~-------~--~--

CAPITULO 2

DETERMINANTES Y SUS APLICACIONES

utJIY.ERSIDAD De LA .HI:.PU.i:sLl'CA FACUL T!l.C P.:-:. ~.:c::E~~!SRIA

DEPARTt \':f;>:~'l'(' f:E OOCUMENTAClN Y BIBLIOTECA

MONTEVIDEO - URUGUAY

2.1. Determinantes de matrices de orden 2 y de orden 3 2.2. Definicin general de determinante. Propiedades 2.3. Determinante de un producto de matrices. Clculo de determinantes de

orden n 2.4. Inversa de una matriz. Regla de Cramer 2.5. Rango de una matriz. Resolucin de sistemas compatibles e indetermina-

dos 2.6. Determinantes y permutaciones

E~ el ca~tulo anterior se ha llegado a la conclusin de que un sistema de ecuaciOnes lineales de la forma

es mu! fcil de resolver si se conoce la inversa de la matriz A. Tambin all se dio un me~odo para calcular la inversa de una matriz, basado en la realizacin de operaciOnes elementales con sus filas.

En este captulo introduciremos el concepto de determinante de una matriz que nos permitir obtener una frmula para calcular la matriz inversa de un~ dada. Las propiedades de los determinantes, bsicas en este captulo y en muchos de los restantes, sern estudiadas minuciosamente.

En. ~articul_ar, establece~emos la relacin entre el rango de una matriz y la anulacton de ctertos determmantes, lo cual nos permitir encontrar una frmula para resolver sistemas de ecuaciones compatibles.

63

' 1


2.1. DETERMINANTES DE MATRICES DE ORDEN 2 Y DE ORDEN 3

Dado el sistema

(1)

de dos ecuaciones con dos incgnitas, intentamos buscar condiciones sobre los coeficientes del sistema para que posea solucin nica. Por el teorema de Rouch-Frobenius esto se cumple solamente cuando

Realizando operaciones elementales con las filas de la matriz de los coeficientes, se tiene:

A=(a b) cF,;aF2 (ac be)~ (ac be ) e d ca da O ad- be

Si ad- be es nulo, la matriz A de los coeficientes del sistema tiene rango inferior a 2 y, por tanto, el sistema (1) no tiene solucin nica.

Bajo la condicin de que el nmero ad- be sea no nulo, el sistema (1) puede resolverse. Multiplicando la primera ecuacin por d y la segunda por b y restndolas se obtiene

Por tanto:

Multiplicando la primera ecuacin por e y la segunda por a y restando la primera de la segunda se obtiene

(ad- bc)x 2 = ae2 - ce 1

Por tanto,

ae2 -ce1 Xz= . ad-bc

Captulo 2 Determinantes y sus aplicaciones 65

Dada la matriz

el nmero ad- be, a ella asociado, recibe el nombre de determinante de A y se denota mediante IAI. Por tanto, hemos demostrado el siguiente resultado:

PROPOSICIN 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ El sistema (1) posee solucin nica si y slo si el determinante de la matriz de

sus coeficientes es no nulo. Adems, sus soluciones se calculan mediante las frmulas

Las frmulas anteriores reciben el nombre de regla de Cramer para la resolucin de sistemas compatibles determinados de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Observar que las soluciones se obtienen como fracciones que tienen como denomi-nador el determinante de A; el numerador de la fraccin de x 1 es el determinante de la matriz que se obtiene sustituyendo la primera columna de la matriz A por el vector columna que aparece a la derecha del sistema (1); el numerador de la fraccin que determina x 2 es el determinante de la matriz que se obtiene sustituyendo la segunda columna de la matriz A por el vector columna que aparece a la derecha del sistema (1).

EJEMPLO A. El sistema

tiene solucin nica ya que

/~ -~1=23-(-1)1=6+1=7 Su solucin es

/1 -1/1 ~3

X= =-7 7

*

/2 1/ _u_ -1

Xz- --7 7

* *


La principal propiedad de los determinantes es su linealidad; esta propiedad, entre otras, se demuestra en el sigviente resultado.

TEOREMA 2

i) la+a' b+b'l=la bl+la' b'l y 1 a b l=la bl+la bl

e d e d e d e+ e' d + d' e d e' d ii) Si Bes la matriz que se obtiene a partir de una matriz A multiplicando una

cualquiera de sus filas por un nmero real r se tiene que IBI = riAI. iii) Si Bes la matriz que se obtiene a partir de A intercambiando dos .de sus

filas se tiene que IBI =-lA l. iv) Si B es la matriz que se obtiene a partir de A sumando un mltiplo de una

fila de A a otra fila de A se tiene que IBI = IAI. v) El determinante de la matriz identidad es l.

Nota. Las propiedades i) y ii) son las que determinan la linealidad por filas del determinante. Las propiedades ii), iii) y iv) nos muestran el comportamiento del determinante frente a las operaciones elementales con las filas de una matriz.

Demostracin. Unicamente demostraremos la primera parte de i) dejando el resto de las demostraciones para el lector debido a su sencillez. Utilizando la definicin de determinante se tiene que:

l

a+a' b+b'l e d =(a+a')d-e(b+b')=ad+a'd-eb-cb'=

la blla' b'l =(ad-cb)+(a'd-cb')= e d +e d que era lo que queramos demostrar.

Observacin. El determinante de una matriz Je orden 2 con dos filas iguales es nulo:

1: ~~ =ab-ab=O * * *

A continuacin pasamos a estudiar una posible definicin del determinante de una matriz de orden 3. Para ello supongamos que el sistema

a 11 x 1 +a12x 2 +a13x 3 =b 1 1 a21X1 +a22x2+a23X3=b2 f a31xl +a32x2+a33x3=b3

(11)


de tres ecuaciones con tres incgnitas tiene solucin nica. Para encontrar esta solucin multiplicamos la primera ecuacin por

la segunda por

_,a12 a13 1 1a32 a33

y la tercera por

y las sumamos. Despus de realizadas las simplificaciones adecuadas se obtiene:

Por analoga con el caso del sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas denominamos determinante de la matriz

a12 a13) a22 a23 a32 a33

a la expresin que multiplica a x 1 en la frmula anterior. U na forma sencilla de recordar esta definicin es haciendo uso de los conceptos de

matriz adjunta de un elemento y de menor. Dada una matriz (aij)i,j=l, 2 , ... ,n se denomina matriz adjunta del elemento que ocupa el lugar (i, j) a la matriz que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de la matriz dada, y se denota por Aij. El determinante de Aij se denomina menor del elemento que ocupa el lugar (i, j), es decir,

Por ejemplo, en la matriz

A~(~ _: -~) o -~H~ ~) y 1A,H4-1h-1

-1


mientras que

-2) 7 y Con estas notaciones podemos dar la siguiente definicin.

DEFINICIN (Determinante de una matriz de orden 3) ------------, Dada la matriz

(all a12 a13)

A= a21 a22 a23 a31 a32 a33

definimos su determinante mediante la frmula


Un resultado anlogo se obtiene para los trminos negativos:

(trminos negativos)

Esta regla nemotcnica puede emplearse para calcular determinantes, pero slo funciona con matrices de orden 3.

EJEMPLO C. Los trminos positivos del determnante de la matriz

A=( ~ -~ -~) -1 1

son

IAI =a11 IA 11 I-a21 IA211 +a3jA31I -2 3

EJEMPLO B

1 2 o 2 o 1 2 o 2 1 3 = 1 2 3 -2 2 1 3 =

-1 2 -1 L-..

2 -1 1 2/

* * *

Si desarrollamos la expresin que nos da el determinante de una matriz de orden 3 se obtienen los siguientes seis productos:

IAI = a 11 (a22a33 -a23a32)- a21(a12a33 -a13a32) + + a31(a12a23 -a13a22) = alla22a33 + a21a13a32 + + a31 a12a23- a31 a13a22- a21 a12a33- a a23a32

Los trminos positivos de esta expresin son los productos de los trminos de la diagonal principal de A y los productos de los trminos que ocupan los vrtices de los tringulos de la figura adjunta:

(trminos positivos)

5 o -2 : 1 . o. 1 + (- 2)(- 2)(- 1) + 5. 1 . 3 = 11 -1

y los trminos negativos son

-2 3 5 o -2 :+(-1)03+11(-2)+5(-2)1=-12

-1

Por tanto, IAI = 11-(- 12) = 23 (comprobar el resultado utilizando la definicin!). * * *

A continuacin probamos que el determinante de una matriz de orden 3 tiene propiedades anlogas a las enunciadas en el teorema 2 para determinantes de matrices de orden 2. Concretamente:

TEOREMA 3

Las propiedades anlogas a i), ii), iii), iv) y v) del teorema 2 son ciertas para matrices de orden 3.

Demostracin. i) Si la primera fila es suma de dos se tiene:


1 a12 + a'12 a13 +a'131- la22 a2 31 la12 a 131 la12 a 131+ +a31 -a - a21 +a31 a22 a23 a32 a33 a32 a33 a22 a23

, la22 a231 la'12 a'131 ~a~2 a'J31= all -a21 +a31 a32 a33 a32 a33 a22 a23

a11 a12 a13 a'11 a'12 a'13 a21 a22 a23 + a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

en donde en la segunda igualdad se ha utilizado la propiedad i) del teorema 2. Igualmente puede demostrarse cuando la suma aparece en las filas segunda o tercera.

ii) Si multiplicamos una fila de una matriz (por ejemplo, la segunda) por un nmero real r se obtiene:

all a12 a13 ra 23 1 la12 a 131 1 a12 al31 lra22 ra21 ra22 ra23 =a11 -ra21 +a31 ra23 = a32 a33 a3t a33 ra22

a31 a32 a33 all a12 a13

la22 a231 la12 a 131 ia12 a13i=r a21 a22 a23 =ra11 -ra21 +ra31 a32 a33 a32 a33 a22 a23

a31 a32 a33

en donde se ha utilizado la propiedad ii) del teorema 2. iii) Intercambiando, por ejemplo, la primera y la segunda fila de la matriz A

obtenemos:

a21 a22 a23 a

131 la22 a231 ia22 a231-ia12 a u a12 a13 =a21 -a11 +a31 _ -a32 a33 a32 a33 a12 a13

a31 a32 a33

la22 a231 la12 a 131 la12 al31= = -all +a21 -a31

a32 a33 a32 a33 a22 a23

all a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

iv) Tomemos

a11 a12 al3 B= a21 a22 a23

a31 +rau a32 +ra12 a33 +ra13


que se ha obtenido de A sumando a la tercera fila r veces la primera. Debido a las propiedades i) y ii) ya demostradas se tiene que

que era lo que se quera demostrar. La propiedad v) es inmediata a partir de la definicin. Terminamos esta seccin con un ejemplo que muestra cmo pueden utilizarse las

propiedades iii), iv) y v) del teorema 3 para calcular determinantes.

EJEMPLO D

2 o 1 2 o 1 2 o 1 2 o 2 1 3 iv) o -3 3 iv) o -3 3 ~~ (-3)(5) o 1 -1

-1 1 2 o 3 2 o o 5 o o 1 2 o o o ~1:

-15 o 1 o iv) -15 o o ~L-151=-15 o o 1 o o

que es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo B.

EJERCICIOS 2.1

l. Calcular los siguientes determinantes de matrices de orden 2: a) b) e)

d) leos a -sen al e) leos a sen al sen a cosa sen a -cosa

Hallar la inversa de las matrices e) y d) anteriores. 2. 3. Utilizar la regia de Cramer para resolver los sistemas Ax = b, donde

A=G ;) y

a) b =G) b) b =(:)

72

4.

a) Utilizar la definicin de determinante para calcular:

1 4 3 b) 3 2 -1 e) 2 1 o 7 o 7 X y z o 3 4 -7 xz y2 zz

~lgebray


Estos dos resultados permiten concluir que la propiedad es cierta para todo n ~ n0 En efecto, por 1.0 es cierta para n0 ; utilizando 2.0 es tambin cierta para n0 + 1; utilizando de nuevo 2.0 , P(n) es cierta para n0 +2, y este proceso puede continuarse hasta alcanzar cualquier nmero natural n por muy elevado que sea.

Mostraremos con un ejemplo sencillo cmo se aplica el mtodo de induccin. Se trata de demostrar que la suma de los n primeros nmeros impares es n2.

Sea P(n)=1+3+5+ .. +(2n-1)=n2 la propiedad que queremos demostrar. 1.0 P(1)= 1 = 12 es cierta. Para convencerse de que el resultado es cierto, el lector puede comprobar que P(2)

=1+3=4=22 y P(3)=1+3+5=9=32. 2.0 Supongamos que P(k) es cierta para todo k< n, es decir se tiene

1+3+5+ .. +(2k-1)=k2, k=1, 2, 3, ... , n-1 Ahora,

1 + 3 + 5 + +(2n-1)= 1 + 3 + 5 + +(2n-3)+(2n-1)= (*)

=(1 + 3 + 5 + + [2(n-1)-1])+(2n-1) == (n-1f +(2n-1)= = n2- 2n + 1 + 2n -1 = n2

que era lo que queramos demostrar. En la igualdad (*) es donde se ha utilizado la hiptesis de induccin, ya que se ha aplicado que P(n -1) es cierta.

Algunos resultados que pueden probarse mediante el mtodo de induccin se proponen como ejercicio al final de esta seccin.

2:

* * *

PROPIEDAD 1(P.1)'-----------------------, Si una matriz tiene una fila de ceros, su determinante es nulo.

Demostracin. Esta propiedad es fcilmente comprobable para matrices de orden

~~ ~~=aO-bO=O y ~~ ~~=Od-Oc=O Aceptemos que es cierta para toda matriz de orden n- 1 y tratemos de demostrarlo para una matriz de orden n con una fila de ceros. Supongamos que los ceros ocupan la fila i de la matriz, es decir:

~11 ~12 ~ln a;-- 1,1 a;-1,2 a(-l,n

o o o A=

a. an2 a


De la definicin de determinante deducimos

Todos los adjuntos Ak 1 con k#i tienen una fila de ceros y, por tanto, IAkli=O por la hiptesis de induccin. Para k= i, IAill est multiplicado por O y, por tanto, todos los sumandos de la igualdad anterior son nulos.

PROPIEDAD 2 (P.2) all al2 aln all a12 aln

ICI= a;1 +b a;2 +b;2 a;.+h;. a; a;2 a;. +

a. an2 a anl an2 a all a12 a.

+ b bi2 b;. =IAI+IBI

a.l a.2 a para todo i = 1, 2, ... , n.

Demostracin. Esta propiedad se ha demostrado para matrices de orden 2 y de orden 3 en la seccin anterior. Aceptemos que es cierta para toda matriz de orden menor que n. Tenemos

Cada adjunto ck1 con k-# i es una matriz de orden n -1 con una fila que es una suma; por tanto:

donde Aki y Bk; son adjuntos de A y B, respectivamente. Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior se tiene:

Puesto que ICI=IAI=IBHI se tiene que

ICI = a11IA11I + .. + ( -1)i+ 1aIA;d + .. +( -1)"+ 1a.dA.d + +a11 IB 11 1 + ... +( -1)i+ 1hIB;d + ... +( -1)"+ 1a.1IB.d = IAI + IBI


PROPIEDAD 3 (P.3) ------------------------, Si B es la matriz que se obtiene a partir de una matriz A multiplicando por

un nmero real r una de sus filas se tiene que IBI = riAI.

Demostracin. En la seccin anterior se demostr que el resultado es cierto para matrices de orden 2 y de orden 3. Aceptemos la hiptesis de induccin y supongamos, para simplificar la demostracin que

e ra12

'"'") a21 a22 a2n B= . anl a.2 a

Tenemos que

El adjunto B 11 coincide con A 11 y, por tanto, lB 11 1 =lA 11 1; los adjuntos Bkl con k# 1 tienen una fila que est multiplicada por r y, por tanto, IBk11 =riAkll debido a la hiptesis de induccin. Sustituyendo estos resultados en la igualdad anterior obtene-mos

PROPIEDAD 4 (P.4) ----------------------, Si Bes la matriz que se obtiene de A intercambiando dos de sus filas, se tiene

que IBI = -IAI.

Demostracin. Comenzaremos demostrando el

Hernández, Eugenio. Álgebra y Geometría

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