Haur eta Gazte Literatura Euskara | gazteentzako liburuak ...antolatzaileak, aditz laguntzailea,...

Transcript of Haur eta Gazte Literatura Euskara | gazteentzako liburuak ...antolatzaileak, aditz laguntzailea,...

Euskara etaLiteraturaDBH: 20088 414643 905417

ibai biproiektua

Kodea Titulua ISBNa Barra kodea

17229 Euskara eta Literatura DBH 1 978-84-8394-030-3




9 7 8 848 3 940 3 0 3

1 7 2 2 9

9 7 8 8483 941 2 5 6

1 8 2 2 3

9 7 8 8483 940341

1 9 2 2 7

9 7 8 848 3 941 47 8

1 0 2 2 7

ibai biproiektua

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA Irakasle estimagarria:

Ibaizabal argitaletxeak DBHrako i.by2 proiektua prestatu du. Abiapuntu modura i.bai proiektua hartudugu, eta, proiektua biribiltzeko, zuen interesak eta premiak eta ikasleenak hartu ditugu kontuan. Beraz,honako helburu hauek izan ditugu gogoan:

✓ EAEn 2007ko azaroaren 13tik indarrean dagoen Curriculumari erantzunez, metodologia berrietarahurbiltzeko lehenengo urratsa ematea, eta, modu horretan, irakasleoi eguneroko zereginerakoekarpena egitea.

✓ Ikasleei hizkuntza trebetasunetan gaitzeko proposamen egokiak, eraginkorrak eta erakargarriakeskaintzea.

Proiektu berriaren ezaugarri aipagarriak

Euskara eta Literatura lantzeko lehengo proiektuari (i.bai proiektuari) eutsi egiten dio.

Irakurketarako proposamen berri batzuk eskaintzen ditu.

Autoebaluazioak eguneratuta proposatzen ditu.

CDaren bidez ikasleak ebaluazio probetarako prestatzeko aukera eskaintzen du.

“Elkar ezagutzen” koadernoa gelan erabiliz, metodologia berriekin saiakera egiteko aukera ematendu. Koaderno horrek Europako Erreferentzia Markoa izeneko dokumentuak iradokitakometodologia izan du abiapuntu.

ibai biproiektua






9 7 8 848 3 940 3 0 3

1 7 2 2 9

9 7 8 8483 941 2 5 6

1 8 2 2 3

9 7 8 8483 940341

1 9 2 2 7

9 7 8 848 3 941 47 8

1 0 2 2 7

ibai biproiektua

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU










1. Komunikazioa lehen eta orain

2. Barre... zeri?, Zergatik?

3. Kulturak, ohiturak...

4. Arrotz... noiz?, Zergatik?

5. Famatu... zergatik?, Zertarako?

6. Komunikabideak: kantitatea ala kalitatea?

7. Gazte izatea... adina ala sentimendua?

8. Batzuentzat erakargarri, besteentzathiguingarri

9. Ikerketa zientifikoak... zertarako?

Eranskinak: irakurtzeko proposamenak,aditza, aditz laguntzailea, deklinabidea,ortografia arauak, perpaus elkartuak etaantolatzaileak

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA

Euskara eta Literatura DBH 1


1. Zarata handia eta gauza on gutxi

2. Tantaka ontzia bete egiten da

3. Duenak ez duenari

4. Hil arte bizi

5. Gezurrak hanka motza

6. Aurpegia arimaren ispilu

7. Nahi dena ezin denean ahal dena

8. Gaizki ezkondua, etxean arin

9. Gogoko tokian aldaparik ez

Eranskinak: irakurtzeko proposamenak,antolatzaileak, aditz laguntzailea, aditza,deklinabidea, erakusleak, leku adberbioak,ortografia arauak eta mapak

1. Bide zuzenena da laburrena

2. Arantza gabeko bizitzarik ez

3. Gazteak gogoa zoro

4. Umetan ikasitakoa betirako

5. Ardi zuria, ardi beltza

6. Ikusi eta gero, denak jakintsu

7. Lehenengo maitea, sua eta eztia

8. Etxe huts, haserre huts

9. Asko ikusi... gutxi ikasi?

Eranskinak: irakurtzeko proposamenak,antolatzaileak, aditz laguntzailea,deklinabidea, erakusleak, leku adberbioak,postposizio askeak, ortografia arauak,baliabide estilistikoak eta mapak

9 unitate / 192 orrialde




1. Nolako herriak eta hiriak nahi ditugu?

2. Lotsagabeak nonahi

3. Euskara: oraina eta geroa

4. Eskuko telefonoen haritik...

5. Kirola: argiak eta ilunak

6. Emakumeen rolak

7. Triangeluen ebazpena

8. Ditxosozko azterketak

9. Opor usainean

Eranskinak: irakurtzeko proposamenak,aditza, aditz laguntzailea, ortografia arauak,perpaus elartuak, antolatzaileak eta mapak

Unitate bakoitzaren egitura

EUSKAL KULTURA

Atal honetan ikasleek euskal hizkuntzaren etakulturaren inguruko hainbat konturen berriizango dute, eta, gidako iradokizuneijarraituta, hainbat gai lantzeko aukera ereizango dute.

Lehen 8 orrialdeetan KOMUNIKAZIOAlanduko da: lehen 4 orrietan,KOMUNIKAZIOA I atalean, batez ere solasa,irakurmena, ulermena, lexikoa eta ahozkojarduna (entzumena eta mintzamena)lantzeko hainbat jarduera egingo dira;hurrengo 4 orrietan, KOMUNIKAZIOA IIatalean, hainbat testu aztertuko dira, etahaien ezaugarriak eta ereduak kontuanhartuta, antzekoak sortzeko proposamenakegingo dira.

LITERATURA

Unitate bakoitzeko azken orrialdeetan,literaturaren mundura hurbiltzeaz gainera,idazle eta genero nagusien berri izango dute.



✓ Ikaslearen liburua

✓ Ikaslearen lan koadernoa

✓ “Elkar ezagutzen” koadernoa

✓ Irakaslearen gidaliburua

✓ “Elkar ezagutzen” koadernoa, gida

✓ Irakaslearen CDa (ebaluazio probak…)













HIZKUNTZAREN HAUSNARKETA

Euskara zuzenaren eta biziaren artean orekatopatu beharko genuke. Horregatik, bialderdiak lantzea komeni da. HIZKUNTZARENHAUSNARKETA atalean batez ere euskarazuzen erabiltzeko edukiak jorratuko ditugu:morfologia, sintaxia, deklinabidea, aditza etaortografia. Baina ikasleek liburuan zehareuskara bizian idatzitako hainbat testu izangodituzte, kalitate aldetik input ona izan dezaten.

✓ “Elkar ezagutzen” koadernoaDBH 1. mailarako koaderno formatuan unitate didaktiko bat prestatu dugu, eta Curriculum berriaren harira eta metodologia berrietan oinarritutako saioa da. Ezaugarriak:—48 orrialde ditu.—Hizkuntzen Trataera Bateratua (HTB) izenekoaren ingurura

hurbiltzeko lehen urratsa da.—Europako Erreferentzia Markoaren arabera, ikasleek zein

hizkuntza gaitasun eskuratu duten hausnartzeko aukera ematen du.










DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA






4. Hil arte bizi


























6. Emakumeen rolak



9. Opor usainean



EUSKAL KULTURA



LITERATURA




































DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU

RA






4. Hil arte bizi


























6. Emakumeen rolak



9. Opor usainean



EUSKAL KULTURA



LITERATURA



























ibai biproiektua






9 7 8 848 3 940 3 0 3

1 7 2 2 9

9 7 8 8483 941 2 5 6

1 8 2 2 3

9 7 8 8483 940341

1 9 2 2 7

9 7 8 848 3 941 47 8

1 0 2 2 7

ibai biproiektua

DB

H: 2

008

EUSK

AR

A E

TA L

ITER

ATU










Irakasle estimagarria:

DBHrako i.by2 proiektua lantzean, kontuan hartu ditugu irakasleen interesak eta premiak nahiz etapahonetako ikasleen ezaugarriak. Horren ondorioz, ikuspegi praktiko eta erabilgarri batetik landu dugu GizarteZientziak ikasgaia, ikasle guztiek aukera izan dezaten ikaskuntza autonomoa errazteko beharko dituztenoinarrizko gaitasunak garatzeko eta eskuratzeko. Helburua ikasleei beren burua hobeto ulertzen laguntzeada, baina gizartean beste batzuekin bizi behar dela ohartaraziz.

Hori dela eta, ikasleek beren munduaren errealitatea hobeto ezagutzeko beharrezkoak diren ezaguerak,trebetasunak eta jarrerak ikastea posible izango da material hauekin. Hala, irakasgai honek elementuesanguratsuak ematen ditu inguruneko alderdi fisikoak ondo ezagutzen dituzten herritarrak trebatzeko, gauregungo gizarteetako aniztasun soziala eta kulturala aintzat hartzeko (batez ere, gaur egungo euskalgizartekoa), eta naturarekiko, nork bere buruarekiko eta besteekiko harreman berrien bila dabiltzanherritarrak prestatzeko.

GIZARTE ZIENTZIAK, GEOGRAFIA ETA HISTORIA ikasgaiaren EZAUGARRIAK

Oinarrizko gaitasunak garatzeko eta eskuratzeko planteatuta dago.

Berritzailea da, edukiz eta diseinuz.

Eskolaren gaur egungo erronkei erantzuten die.

Aniztasunaren trataera errazteko prestatua dago.

Edukietan sakontzeko hainbat material (liburuak, filmak...) eskaintzen du.

Euskal egileak eta euskal gizartearen ikuspuntu anitza erakusteko egina dago.

8 414643 905424

Geografiaeta HistoriaDBH: 2008

ibai biproiektua

ibaizabal DBH: 2008

ibaizabal DBH: 2008

Kodea Titulua

Geografia eta HistoriaDBH 1

ISBNa

978-84-8394-044-0

Barra kodea

174229 788483 940440

1 7 4 2 2

Geografia eta HistoriaDBH 1 GIDA 978-84-8394-045-717485

9 788483 940457

1 7 4 8 5

Geografía e Historia ESO 1 978-84-8394-046-417472

9 788483 940464

1 7 4 7 2

Geografía e Historia ESO 1 GUÍA 978-84-8394-047-117497

9 788483 940471

1 7 4 9 7

Geografia eta HistoriaDBH 2 978-84-8394-132-418421

9 788483 941324

1 8 4 2 1


9 788483 941331

1 8 4 8 5


9 788483 941348

1 8 4 6 7


9 788483 941355

1 8 4 9 4


9 788483 941430

1 9 4 2 3


9 788483 941447

1 9 4 9 1


9 788483 941454

1 9 4 7 4


9 788483 941461

1 9 4 9 8


9 788483 941546

1 0 4 2 3


9 788483 941553

1 0 4 7 6


9 788483 941560

1 0 4 7 2


9 788483 941577

1 0 4 7 3










8 414643 905424


ibai biproiektua

ibaizabal DBH: 2008

ibaizabal DBH: 2008

Kodea Titulua


ISBNa

978-84-8394-044-0

Barra kodea

174229 788483 940440

1 7 4 2 2


9 788483 940457

1 7 4 8 5


9 788483 940464

1 7 4 7 2


9 788483 940471

1 7 4 9 7


9 788483 941324

1 8 4 2 1


9 788483 941331

1 8 4 8 5


9 788483 941348

1 8 4 6 7


9 788483 941355

1 8 4 9 4


9 788483 941430

1 9 4 2 3


9 788483 941447

1 9 4 9 1


9 788483 941454

1 9 4 7 4


9 788483 941461

1 9 4 9 8


9 788483 941546

1 0 4 2 3


9 788483 941553

1 0 4 7 6


9 788483 941560

1 0 4 7 2


9 788483 941577

1 0 4 7 3
Geografia eta Historia DBH 2


Geografia eta Historia DBH 4Garatu zure gaitasunak,unitatean landutako mapakontzeptuala betetzeko etaosatzeko, eta unitateko edukienlaburpenei, loturei, aplikazioei etadefinizioei buruzko galderak etasakontzeko galderak lantzeko.

Testuko orrialdeak, unitatekoeduki nagusiak garatzeko, eta,grafikoak, taulak, argazkiak,hiztegia eta testu osagarriakerabiliz, unitate didaktikoanlandutako edukien ulermenaerrazteko.

Ikasleak motibatzeko orrialdebikoitza, unitate bakoitzeanaztertuko diren edukien aurkibideaeta aztertutako edukiei buruzkoargazkiarekin edo irudiargigarriarekin eta hasierako testu batekin.

Garatu lan teknikak(ezkerraldean), gai historikoen,geografikoen eta artistikoenikasketa errazteko prozeduraorokorrak edo lan teknikak.

Ebaluatu zure gaitasunak(eskuinaldean), unitatean zeharjasotako ezagutzak egiaztatzeko.

• Ikaslearen liburua• Gidaliburua

ibaizabal DBH: 2008ibaizabal DBH: 2008

IKASLEAREN MATERIALA




1. Lurra

2. Natur ingurunearen elementuak

3. Natur inguruneak eta banaketa geografikoa

4. Arrisku naturalak eta giza egintza natur ingurunean

5. Historiaurrea

6. Lehendabiziko zibilizazioak historian

7. Greziar zibilizazioa

8. Erromatarren mundua

9. Iberiar Penintsula Antzinaroan

II. GAI MULTZOA: Historiaurrea, lehendabiziko zibilizazioak eta Antzinaroa

I. GAI MULTZOA: Lurra eta natur inguruneak

1. Gizarteen jarduera ekonomikoa

2. Nekazaritza eremua eta lehen sektoreko jarduerak

3. Industria eremua eta bigarren sektoreko jarduerak

4. Hirugarren sektoreko eremuak eta jarduerak

5. Iberiar Penintsulako aniztasun fisikoa eta biztanleria

6. Iberiar Penintsulako urbanizatzea eta jarduera ekonomikoak

7. Lehen, bigarren eta hirugarren sektoreko jarduerak

8. Natur baliabideak eta ingurumenaren aldeko politika

9. Gizarteen antolamendu politikoa

10. Iberiar Penintsulako administrazio eta lurralde antolamendua

11. Munduko geografia aniztasuna

12. Gaur egun munduan dauden arazoak

II. GAI MULTZOA: Jarduera ekonomikoak Euskal Herrian etaondorioak ingurunean

III. GAI MULTZOA: Antolamendu politikoa

I. GAI MULTZOA: Jarduera ekonomikoaeta eremu geografikoa

UNITATE BAKOITZAREN EGITURA

1. Biztanleria

2. Gizarteen antolamendua

3. Jendeztatze motak eta hiri eremua

4. Mediterraneoko batasunaren haustura

5. Europa feudala

6. Europa XII. mendetik XV.era

7. Al-Andalus

8. Penintsulako kristau erresumak Erdi Aroan

9. Monarkiaren susperraldia

11. Europa Barrokoan

10. Errenazimentua eta erreforma erlijiosoa

II. GAI MULTZOA: Industriaurreko gizarteak

I. GAI MULTZOA: Biztanleria eta gizartea

1. Argien mendea

2. Industria Iraultza eta horren ondorioak

3. Antzinako erregimenaren krisia

4. Espainia, XIX. mendean

5. Inperialismoa eta Lehen Mundu Gerra

6. Gerren arteko garaia

7. Espainia, XX. mendearen lehen herenean

10. Mundu kapitalista

11. Mundu komunista

12. Trantsizioa eta demokraziaren egonkortzea

13. Ideia estetikoak historian zehar eta gaur egungo artehizkuntza berriak

14. Gaur egungo arte korronteak. Artea eta kultura Euskal Herrian XX. mendean

II. GAI MULTZOA: Gerren arteko garaitik gaur egungo mundura

I. GAI MULTZOA: Gaurko gizartearen oinarri historikoak

8. Espainia, frankismoan

9. Bigarren Mundu Gerra eta nazioarteko antolamenduberria

III. GAI MULTZOA: Gaur egungo mundua

IV. GAI MULTZOA: Arte hizkuntzak



ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no













1. Lurra




5. Historiaurrea























1. Biztanleria




5. Europa feudala


7. Al-Andalus







1. Argien mendea








11. Mundu komunista












ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no













1. Lurra




5. Historiaurrea























1. Biztanleria




5. Europa feudala


7. Al-Andalus







1. Argien mendea








11. Mundu komunista












ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no

ta

mbien

enCastella

no










8 414643 905424


ibai biproiektua

ibaizabal DBH: 2008

ibaizabal DBH: 2008

Kodea Titulua


ISBNa

978-84-8394-044-0

Barra kodea

174229 788483 940440

1 7 4 2 2


9 788483 940457

1 7 4 8 5


9 788483 940464

1 7 4 7 2


9 788483 940471

1 7 4 9 7


9 788483 941324

1 8 4 2 1


9 788483 941331

1 8 4 8 5


9 788483 941348

1 8 4 6 7


9 788483 941355

1 8 4 9 4


9 788483 941430

1 9 4 2 3


9 788483 941447

1 9 4 9 1


9 788483 941454

1 9 4 7 4


9 788483 941461

1 9 4 9 8


9 788483 941546

1 0 4 2 3


9 788483 941553

1 0 4 7 6


9 788483 941560

1 0 4 7 2


9 788483 941577

1 0 4 7 3
ibai biproiektua

DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA

Irakasle txit estimagarria:

Proiektua lantzean, kontuan hartu ditugu irakasleen interesak eta premiak nahiz ziklo honetako ikasleenezaugarriak.

Ondorioz, ikuspegi praktiko eta erabilgarri batetik landu dugu ikasgaia, ikasle guztiek aukera izan dezatenhainbat arlotako problemak ebatzi eta eguneroko bizitzan moldatzeko beharko dituzten oinarrizkogaitasun kognitibo abstraktu eta formalak eskuratzeko.

Horretarako, hiru oinarrizko helburutatik abiatuta landu dugu proiektua:

1. Matematika ikasgaia ikasleari hurbiltzea, egunerokotasunetik hartutako adibide eta jarduerekin.

2. Historiako antzinako garaietara atzera egitea, neurtzeko erabiltzen zituzten tresnen, gizarte ohituren…berri izateko, eta era horretan, ezagutza eta prozedura matematikoek denboraren joanean izan dutenbilakaera agerian uzteko.

3. Hainbat motatako jarduerak proposatzea, asmamena lantzeko nahiz ikasitakoa sendotzeko balioduten jarduerak, zailtasunaren arabera antolatuak, ikasleen aniztasuna kontuan hartuz, Matematikakeginkizun hezitzaile oinarrizkoa eta instrumentala duela ahaztu gabe.

Ezaugarri aipagarriak

Baliabide didaktikoen eskaintza berritzailea da.

Irakasleak aukeratu eta hautatu ditzan, norberak duen ikasle talde motari hobekien egokitzenzaizkionak.

Legearen eskakizun berrietara egin beharreko egokitzapena errazten du: diagnostikoebaluazioak, oinarrizko konpetentzien garapena, autonomiarako eta herritartasunerakoproposamenak, etab.

Euskarri tradizionalak eta digitalak (Programazioaren CDa).


17120 Matematika DBH 1 978-84-8394-040-2

18120 Matematika DBH 2 978-84-8394-130-0

19120 Matematika DBH 3 978-84-8394-042-6

10120 Matematika DBH 4 978-84-8394-152-2

9 788483 940402

1 7 1 2 0

9 788483 941300

1 8 1 2 0

9 788483 940426

1 9 1 2 0

9 788483 941522

1 0 1 2 0

8 414643 905431 MatematikaDBH: 2008

ibai biproiektua
ibai biproiektua

DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA

Irakasle txit estimagarria:

Proiektua lantzean, kontuan hartu ditugu irakasleen interesak eta premiak nahiz ziklo honetako ikasleenezaugarriak.

Ondorioz, ikuspegi praktiko eta erabilgarri batetik landu dugu ikasgaia, ikasle guztiek aukera izan dezatenhainbat arlotako problemak ebatzi eta eguneroko bizitzan moldatzeko beharko dituzten oinarrizkogaitasun kognitibo abstraktu eta formalak eskuratzeko.

Horretarako, hiru oinarrizko helburutatik abiatuta landu dugu proiektua:

1. Matematika ikasgaia ikasleari hurbiltzea, egunerokotasunetik hartutako adibide eta jarduerekin.

2. Historiako antzinako garaietara atzera egitea, neurtzeko erabiltzen zituzten tresnen, gizarte ohituren…berri izateko, eta era horretan, ezagutza eta prozedura matematikoek denboraren joanean izan dutenbilakaera agerian uzteko.

3. Hainbat motatako jarduerak proposatzea, asmamena lantzeko nahiz ikasitakoa sendotzeko balioduten jarduerak, zailtasunaren arabera antolatuak, ikasleen aniztasuna kontuan hartuz, Matematikakeginkizun hezitzaile oinarrizkoa eta instrumentala duela ahaztu gabe.

Ezaugarri aipagarriak

Baliabide didaktikoen eskaintza berritzailea da.

Irakasleak aukeratu eta hautatu ditzan, norberak duen ikasle talde motari hobekien egokitzenzaizkionak.

Legearen eskakizun berrietara egin beharreko egokitzapena errazten du: diagnostikoebaluazioak, oinarrizko konpetentzien garapena, autonomiarako eta herritartasunerakoproposamenak, etab.

Euskarri tradizionalak eta digitalak (Programazioaren CDa).


17120 Matematika DBH 1 978-84-8394-040-2

18120 Matematika DBH 2 978-84-8394-130-0

19120 Matematika DBH 3 978-84-8394-042-6

10120 Matematika DBH 4 978-84-8394-152-2

9 788483 940402

1 7 1 2 0

9 788483 941300

1 8 1 2 0

9 788483 940426

1 9 1 2 0

9 788483 941522

1 0 1 2 0

8 414643 905431 MatematikaDBH: 2008

ibai biproiektua
DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA

Ikaslearen materiala

DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA

Matematika DBH 1

Ikaslearen liburuaProgramazioaren CDa



Matematika DBH 2

1. Zenbaki arruntak

2. Berreketak eta erroketak

3. Zenbaki arrunten zatigarritasuna

4. Zenbaki osoak

5. Zenbaki zatikiarrak

6. Zenbaki hamartarrak

7. Proportzionaltasuna

8. Hizkuntza aljebraikoa

9. Zuzenak eta angeluak

10. Triangeluak

11. Laukiak eta beste poligonoak

12. Zirkunferentzia eta zirkulua

13. Funtzioak eta grafikoak

14. Estatistika eta probabilitatea

Eranskina• Poliedroak eta biraketa gorputzak

1. Zenbaki osoak

2. Zatigarritasuna




6. Adierazpen aljebraikoak

7. Ekuazioak eta ekuazio sistemak

8. Funtzioak

9. Neurriak

10. Triangeluak. Pitagorasen teorema

11. Antzekotasuna. Talesen teorema

12. Espazioko geometria. Poliedroak

13. Biraketa gorputzak

14. Estatistika

15. Probabilitatea



Matematika DBH 3

1. Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak


3. Segidak

4. Polinomioak


6. Irudi lauak

7. Higidurak planoan

8. Gorputz geometrikoak


10. Funtzioak

11. Oinarrizko funtzioak

12. Estatistika deskriptiboa

13. Probabilitatea

Matematika DBH 4

1. Zenbaki errealak

2. Polinomioak

3. Ekuazioak eta inekuazioak

4. Ekuazio eta inekuazio sistemak

5. Antzekotasuna

6. Trigonometria


8. Geometria analitikoa

9. Funtzioen ezaugarri globalak

10. Funtzio batzuen azterketa

11. Bi dimentsioko estatistika

12. Konbinatoria

13. Probabilitatea

Eranskina• Konikak


Teknologia berriak eta Problemen ebazpenaatalek matematika problemak ebazteko bestemodu batzuk erakusten dituzte.

Edukien garapena, epigrafeka antolatuta,kontzeptu nagusiak azpimarratzeaz gainera,ebatzitako jarduera ugari ere dituena.Unitateek hainbat jarduera dute amaieran,edukiak berehalakoan aplikatu ahal izateko.Orrialdeen hegalek erdiko azalpena indartzendute, eta landutako edukia gogoratu, zabalduedo argitzen dute.

Unitatearen aurkezpena, egun-egungoa,ikusizkoa eta arina. Aldez aurreko kontzeptuakere berrikusten dira, unitatea hobeto ulertuahal izateko.

Amaierako jarduerak, proposatuak nahizebatziak, unitateen epigrafeen araberaantolatuta eta zailtasunaren araberaordenatuta. Buru kalkulurako eta jolaserakojarduerak ere baditu.

≠ ≠

165164

10. UNITATEA

TRIANGELUAK

• Triangeluen eraiketa• Triangeluen arteko berdintza• Triangeluaren zuzen eta puntu

bereziak• Pitagorasen teorema.

Aplikazioak • Triangeluaren perimetroa eta

azalera

Teknologia berriak• Erdibidekoak eta barizentroa

Cabri-Geómètre bidez

Problemen ebazpena• Problema geometriko bat

ebaztea eskalaz eginikomarrazki baten bidez

Eraiki itzazu hainbat poligono txotxe-kin eta plastilinarekin (triangeluak,laukiak, pentagonoak…), eta egiaztaezazu triangelua dela egitura zurrunaduen poligono bakarra.

Zamorako Pino herria pasa ondoren,Portugalgo mugatik hurbil gaudela,«Requejo»-ko zubira iritsiko gara.Duero ibaiaren gainean eraikitakozubi honi Pinoko zubia ere deitzenzaio.

Ibaitik 90 m goratzen den zubibideluzeari erreparatuz gero, triangeluforma gailentzen da beste edozeinformaren gainetik, irudi geometrikohorren ezaugarriak oso aproposakdirelako era honetako eraikuntzeta-rako.

Hagaxken bidez eginiko edozein poli-gono, baldin erpin batetik presionatzenbadugu, deformatu egiten da, poligo-norik sinpleena izan ezik: triangelua.

Lauki bati diagonal bat eransten dio-gunean, bi triangelu zurrun sortzenditugu, eta triangelu horiek defor-maezin bihurtzen dute laukia. Teknikahauxe da zubi honetan eta antzekoegituretan erabiltzen dena: aldamioe-tan, eraikuntzan erabiltzen diren ga-rabietan, linea elektrikoko dorreetan,etab.

Beraz, zubiaren egitura triangeluarrakbehar besteko sendotasuna ematendio eraikuntzari.

• Dakizunez, triangelu bat poligono bat da, eta honako elementu hauek ditu:

— Hiru alde: a, b eta c.

— Hiru erpin A, B eta C.

— Hiru angelu: Â, B̂ eta Ĉ.

• Triangelu baten hiru angeluen batura 180º-koa da beti:

Â + B̂ + Ĉ = 180°

• Aldeen neurrien batura perimetroa da:

P = a + b + c

Hiru aldeak neurri berekoak. Bi alde neurri berekoak eta bestea desberdina.

Hiru aldeak neurri desberdinekoak.

Angelu bat zuzena. Angelu bat kamutsa. Hiru angeluak zorrotzak.

Triangeluen sailkapena

Aldeen neurriaren arabera

Aldekidea

Angeluzuzena Angelukamutsa Angeluzorrotza

Isoszelea Eskalenoa

Angeluen arabera

Pitagoras SamoskoaK.a. 582 - K.a. 507, gutxi gorabehera.Antzinako Greziako filosofo etamatematikari hau ospetsua da batikbat «Pitagorasen teorema»deritzonagatik, teorema hori EskolaPitagorikoaren emaitza bada ere, eta ez soilik Pitagorasena.

Diagonalik ezTriangeluak dira diagonalik ez dutenpoligono bakarrak.

Eiffel dorreaFrantzia

324 m altuera

Pitagorasen teoremaPitagorasen teoremaren arabera,triangelu angeluzuzen batean,katetoen karratuen baturahipotenusaren karratuarenberdina da.

a2 + b2 = c2

Requejo-ko zubia

Gogoratu

128

TeoremakGeometria Egiptoar zibilizazioan sortu zen. K.a. VII. mendean, antzinako Gre-ziara iritsi eta teoria matematiko bihurtu zen, bere teorema eta frogapenekin.

Aipa ditzagun teorema nagusiak.

2.1. Talesen teorema

Tales Mileto-koa antzinako Greziako zazpi jakintsu handietako bat izan zen. Dio-tenez, nahikoa izan zuen bastoia lurrean sartzea Keops-en piramidearen altuerakalkulatzeko. Horretarako, bastoiak eta piramideak luzera bereko itzala egin arteitxaron zuen.

Eratzen diren bi triangeluak elkarren antzekoak dira, eta alde homologoak,proportzionalak, horrenbestez:

= ⇒ h = 146 m

Gaur egun, piramidearen altuera 137 m-koa da, gailurraren zati bat desagertuegin delako.

Talesen teoremaren arabera:

Bi zuzen ebakitzailek (r eta r ’) zuzen paralelo batzuk ebakitzen badituzte,r zuzenean sortutako segmentuak eta r ’ zuzenean sortutakoak proportzionalakdira.

Teorema frogatzeko, r eta r ’ zuzen ebakitzaileek ebakitzen dituzten hiru zuzenparalelo eta distantziakide kontsideratuko ditugu. r ’ zuzenaren paraleloak direnbi zuzen marratuko ditugu: horietako bat A puntutik pasatzen da; bestea, Bpuntutik. Bi triangelu berdin sortu ditugu, ABD eta BCE, angeluak eta aldeakberdinak direlako. Triangelu horietan, hauxe betetzen da:

= = 1 (ABD eta BCE triangeluak berdinak dira)}⇒ = ⇒ == (paralelogramoen aurkako aldeak dira)Zuzen paraleloak distantzia berera ez daudenean, prozedura bera erabil deza-kegu teorema egiaztatzeko.

A’B�’B’C�’

AD�BE�

BC�B’C�’

AB�A’B�’


AB�BC�

AD�BE�

AB�BC�

115 + 311,3

h1,3

14. Zatitu 10 cm-ko segmentua 2, 3 eta 4 balioekiko zati pro-portzionaletan.

15. Zati ezazu 5 cm-ko segmentua bi zatitan, zati bakoitza bes-tearen bikoitza izateko moduan.

16. Triangelu baten aldeak 3, 4 eta 5 cm-koak dira. Kalkula ezazutriangelu horren antzekoa izango den beste triangelu baten peri-metroa, bigarren triangeluaren azalera lehenengoarena baino 9aldiz handiagoa bada. Kontuan izan antzeko bi irudiren azalerenarteko arrazoia antzekotasun arrazoiaren karratua dela.

06

TEO

RE

MA

KIR

UD

I LA

UA

K

2

230 m

115 m31 m 1,3 m

1,3 m

A’

B’B

C C’

r

0

A

E

D

r’

= BC�B’C’�

AB�A’B�’

P

Antzeko poligonoen eraiketa

Talesen teorema erabil dezakegu antzekopoligonoak eraikitzeko.

H

O B’A’

C’D’P’

A

B

CD

P

A’B’ B’C’

47

Zatitzaile komunetan handienaSoinketa orduan, irakasleak ikasleei eskatu die ahalik eta talde kopu-rurik handiena osatzeko, talde guztiek neska eta mutil kopuru beraizan behar dutela kontuan harturik. Ikastaldea 16 neskak eta 20 mu-tilek osatzen badute, zenbat talde egin ahal izango dituzte guztira?

16 neskarekin egin daitezkeen taldeak 16aren zatitzaileak izangodira.

Z (16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Mutilekin osa daitezkeen taldeak, 20aren zatitzaileak.

Z (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Problemaren emaitza 16 eta 20 zenbakien zatitzaile komunen arteandago; hots, 1, 2 eta 4 zenbakien artean. Beraz, soluzioa 4 talde da,zatitzaile komunetan handiena delako.

Zenbakiak oso handiak direnean, biderkagai lehenetan deskonposatzeaizaten da zatitzaile komunetan handiena lortzeko modurik onena.

23. Kalkulatu zenbaki hauen zatitzaile komunetan handiena:

a) 32 · 5 eta 3 · 52 d) 72, 96 eta 120b) 7 eta 5 e) 2 · 32 · 5 · 11 eta 3 · 52 · 11c) 30 eta 60 f) 25 eta 12

24. Ba al dute zatitzaile komunik zenbaki bikote hauek?

a) 15 eta 35 c) 30 eta 120b) 88 eta 22 d) 100 eta 400

25. Nekazari batek bi patata mota erein ditu: 120 kg bildu ditumota batetik eta 75 kg, bestetik. Edukiera bereko zakutan sartunahi ditu, ahalik eta zakurik handienetan. Zenbatekoa izan behardu zakuaren tamainak? Zenbat zaku beharko ditu patata motabakoitzerako?

26. 390 cm zabal eta 720 cm luze den igerileku baten zorua lau-zatu nahi dugu, ahalik eta lauza karratu handienekin, bakar batere ebaki behar izan gabe. Zenbatekoa da erabil dezakegunlauza handienaren tamaina? Zenbat lauza beharko ditugu?

036

ZATI

TZA

ILE

KO

MU

NE

TAN

HA

ND

IEN

AZE

NB

AK

I AR

RU

NTE

N Z

ATIG

AR

RIT

AS

UN

A

Zenbaki batzuen zatitzaile komunetan handiena (z.k.h.)zenbaki horien zatitzaile komun handiena da.

Zenbaki batzuen zatitzaile komunetan handiena kalkula-tzeko, biderkagai lehenetan deskonposatu eta berretzailetxikieneko biderkagai komunak biderkatu behar ditugu.

Jarduera ebatzia

Kalkula ezazu 72, 80 eta 200 zenbakien zatitzaile komunetan handiena.

Hasteko, biderkagai lehenetan deskonposatuko ditugu zenbakiak.

72 = 23 · 32 80 = 24 · 5 200 = 23 · 52

Ikus daitekeenez, 72, 80 eta 200 zatitzen dituen zenbaki handiena 23 da.Hortaz:

z.k.h. (72, 80, 200) = 23 = 8

5 biderkagaia ez dugu komuntzat hartu, 80 eta 200 zenbakien biderkagaikomuna izanagatik 72 zenbakiarena ez delako.

P

Deskonposizio faktoriala

72 2 80 2 200 236 2 40 2 100 218 2 20 2 50 2

9 3 10 2 25 53 3 5 5 5 51 1 1 1

H



160

07 PROBLEMEN EBAZPENA

PR

OB

LEM

EN

EB

AZP

EN

AH

IGID

UR

AK

PLA

NO

AN

ARRETAZ AZTERTZEA: SIMETRIA ETA MUGA KASUAK

Simetria bat bilatzea

Ibilbidea honako hau izan daiteke: 4. alborantz jotzen dugu bola zuria eta albohorretan talka egin ondoren 3. alborantz egiten du; azken albo hori jo eta talkaegiten du bola gorriarekin (ikus irudia).

Bola zuriak 4. alboko zer puntutan jo behar duen jakiteko, P-ren simetrikoa(P’) aurkitu behar dugu 4. alboarekiko, P’ puntua bola zuriak 4. albotik irteteanhartzen duen norabidean dagoelako.

Era berean, 3. alboko zer puntutan jo behar duen jakiteko, P’-ren simetrikoa(P’’) aurkitu behar dugu 3. alboarekiko, P’’ puntua bola zuriak 3. albotik irteteanhartzen duen norabidean dagoelako.

Zer ibilbide egin behar du bola zuriak bi albo jo ondoren bola gorriarekin talkaegiteko?

P

1. Zein da bola zuriak egin behar duenibilbiderik txikiena albo batean jo on-doren bola gorriarekin talka egiteko?

2. Zein da bola zuriak egin behar duenibilbiderik txikiena hiru albotan jo on-doren bola gorriarekin talka egiteko?

3. Eremu errektangeluar baten barruan dagoenlursail triangeluarra hesitu nahi dugu. Hiruga-rren zutoinak eremu errektangeluarraren mu-gan egon behar du eta hesi kantitate ahalik etatxikiena erabili nahi dugu. Non jarri behar duguhirugarren erpina?

EBATZI ZERORREK

1

2

3

4

P’

P

4

3

2

1

Q

P’ P’’

P

4

3

2

1

Q

P

4

3

2

1

Q

P

4

3

2

1

Q

R

S

Beraz, bola zuriak zer ibilbide egiten duen jakiteko, QP’’ segmentua marratu etaS puntua lortuko dugu (bola zuriak 3. alboa jotzen duen puntua); ondoren, S etaP’ lotuko ditugu, R puntua lortzeko (bola zuriak 4. alboa jotzen duen puntua).

P – R – S – Q ibilbidea eginez, bola zuriak bi albo jo eta talka egiten du bola go-rriarekin. Beraz, soluzioa zuzena da.

199

09

FUNTZIOEN IRUDIKAPENA 3D-TAN, DERIVEREN BIDEZ

TEKNOLOGIA BERRIAK

TEK

NO

LOG

IA B

ER

RIA

KB

IRA

KE

TA G

OR

PU

TZA

K

Pantaila prestatzea

Klik egingo dugu botoian edo tresna barrako Insertar→ Gráfica 3D. Orduan, pantailan, hiru dimentsioko erre-ferentzia sistema eratzen duen ortoedro bat ageri delaikusiko dugu. Ardatz koordenatuak ikusteko Opciones →Pantalla → Ejes klikatuko dugu, eta agertzen den leihoanLínea aktibatuko dugu. Ardatzen tarteetan aldaketak egi-teko, Seleccionar → Rango de la Gráfica hautatuko dugu.

Tresna barran, Ventana → Mosaico vertical hautatukodugu, pantaila bi atal berdinetan antolatzeko: grafikoarenatala eta aljebraren atala.

Esferaren irudikapena

1. Pantailaren azpialdean, adierazpen hau sartuko dugu:x^2+y^2+z^2–16, eta erradioa = 4 duen esfera batenekuazioarekin bat dator.

Introducir y simplificar botoia sakatuko dugu, eta al-jebraren leihoan sartutako adierazpena agertuko da.

2. Aljebraren leihoan ekuazioa hautatu, eta botoia edotresna barrako Resolver → Expresión sakatuko dugu,eta agertuko zaigun leihoan x-a soilik aktibatuko dugu.Jarraian, Resolver botoia sakatuko dugu. Ondoren,grafikoaren atalean egingo dugu klik, eta Insertar →Gráfica menua hautatuko dugu. Pantaila bat agertukoda, eta, bertan, grafikoaren parametroak eta koloreadoituko ditugu.

3. Esfera osoa lortu ez dugunez, azken urrats hori errepi-katu behar dugu z eta y-rako, eta, hala, esfera osoa lortu-ko dugu. Grafikoa biraraz dezakegu, botoia sakatuta.

Zilindro baten eta kono baten irudikapena

Modu berdintsuan, beste gorputz batzuen —hala nola zi-lindroaren edota konoaren— hiru dimentsioko grafikoalor dezakegu.

• Zilindroa. Hau da bere ekuazioa: x2 + y2 = 16

• Konoa. Hau da bere ekuazioa: x2 + y2 = z2

4

242

11 JARDUERAK

6. Irudikatu erreferentzia sistema berean honako funtziolineal hauek:a) f (x) = – x c) f (x) = 2xb) f (x) = – 2x d) f (x) = x

7. Aztertu funtzio lineal hauen ezaugarriak (eremua, ibil-tartea, ardatzekiko ebaki puntuak, zeinua, simetria,hazkundea, muturreko puntuak, jarraitutasuna eta al-dizkakotasuna).

a) b)

8. Adierazi ondoko enuntziatuetatik zeinek aipatzen dituenmagnitude zuzenki proportzionalak.

a) Karratu baten aldea eta haren azalera.b) 18 m2-ko jantokia papereztatzeko, 8 m2-ko bost pa-

per biribilki erabili nituen. Zenbat biribilki erabilibeharko ditut 10 m2-ko gela bat papereztatzeko?

9. Aurkitu ondoko grafiko hauetan irudikatutako fun-tzioen adierazpen aljebraikoa eta malda:

10. Elixabetek lan egiten duen enpresak, aparteko soldatabanatu ohi die langileei Gabonetan. Horretarako, langi-leen antzinatasuna hartzen dute aintzat; beraz, zenba-tekoa handitu egingo da, lanean daramatzaten urteakgehitu ahala. Elixabetek lau urte daramatza lanean, eta56 €jaso ditu:

a) Zenbateko soldata jasoko luke lanean hamaika urtedaramatzan langileak?

b) Zenbat denbora darama lanean 98 € jaso dituenlangileak?

c) Irudikatu grafikoki langile batek antzinatasunagatikjasotzen duen aparteko diru kopurua zehazten duenfuntzioa eta aurkitu haren adierazpen aljebraikoa.

11. Argiak airean duen abiadura konstantea da, eta Eguzki-tik Lurrera iristeko 8 minutu eta 20 segundo behar ditu:a) Lurra, gutxi gorabehera 150 milioi kilometrora ba-

dago (1 unitate astronomiko), kalkulatu argiarenabiadura kilometro ordukotan.

b) Lurretik bidalitako argi izpi batek Ilargira iritsi etaLurrera itzultzeko 2,6 segundo behar baditu, zerdistantziara dago Ilargia gure planetatik?

c) Idatzi argiak egindako distantziaren eta erabilitakodenboraren arteko erlazioa adierazpen aljebrai-koaren bidez.

d) Uhin elektromagnetikoak, irrati eta telebistakouhinak argiaren abiadura berean hedatzen dira.Telebista instalaziotik 400 km-ra bagaude zenbatdenborako atzerapenarekin ikusiko dugu telebis-tako irudia?

12. Elektrolisia gauzak urreztatzeko metodo kimikoa da.Objektuak urrezko gatzak dituen likido batean sartzendira eta denbora jakin batean korronte elektrikoa hela-razten zaie. Objektua estaltzen duen urre kopurua liki-dotan murgilduta ematen duen denborarekiko propor-tzionala da. Esperimentu batean, ordu eta erdianobjektua gramo bat urrez estali dela hautematen bada:a) Adierazi adierazpen aljebraiko baten bidez urre

kopuruaren eta elektrolisi denboraren arteko erla-zioa, eta adierazi grafikoki funtzio hori.

b) Zenbat denbora egon behar du objektu batek elek-trolisian, objektua urreztatzeko 3,2 g behar baditugu?

c) Belarritako bat ordu laurdenez murgiltzen badugu,zenbat urrez estaliko da?

FUNTZIO LINEALAK

FUNTZIO AFINAKX

Y

X

Y

X

Y

13. Irudikatu grafikoki erreferentzia sistema berean, ho-nako funtzio afin hauek:

a) f (x) = x + 3 c) f (x) = 2x + 3

b) f (x) = – x – 2 d) f (x) = – x – 3

14. Aztertu funtzio afin hauen ezaugarriak (eremua, ibil-tartea, ardatzekiko ebaki puntuak, zeinua, simetria,hazkundea, muturreko puntuak, jarraitutasuna eta al-dizkakotasuna).

a) b)

X

Y

X

Y

JAR

DU

ER

AK

OIN

AR

RIZ

KO

FU

NTZ

IOA

K

103

06JARDUERAK

JAR

DU

ER

AK

ZEN

BA

KI H

AM

AR

TAR

RA

K

1. Kopia eta osa ezazu zure koadernoan kontzeptu mapa hau eta ebatzi jarduerak.

KONTZEPTU MAPA

BURUZKO KALKULUA

ZENBAKI HAMARTARRAK

izan ditzakete

izan daitezke

honako hauek dira

egin daitezke egin daitezke

hala nola

2. Kalkulatu buruz:a) Zenbat falta zaio 9,95 zenbakiari 10era iristeko?b) Eta 5,2ri 6ra iristeko?c) Zenbat kendu behar zaio 3,7 zenbakiari 3,5 balioa

lortzeko?d) Eta 4 zenbakiari 3,99 lortzeko?

3. 0,1 balioaz biderkatzea eta 10 balioaz zatitzea gauzabera direla kontuan harturik, egin biderketa hauek:

a) 3 · 0,1 c) 3,27 · 0,1b) 4,2 · 0,1 d) 42,4 · 0,1

4. 0,5 balioaz biderkatzea erdia kalkulatzea dela kontuanizanik, kalkulatu:a) 5 · 0,5 c) 3,6 · 0,5b) 72 · 0,5 d) 4,2 · 0,5

5. 0,1 balioaz zatitzea eta 10 balioaz biderkatzea gauza beradirela kontuan harturik, ebatzi buruz zatiketa hauek:

a) 3 : 0,1 c) 3,27 : 0,1b) 4,2 : 0,1 d) 42,4 : 0,1

6. 0,5 balioaz zatitzea bikoitza kalkulatzea dela kontuanizanik, kalkulatu:

a) 5 : 0,5 c) 3,6 : 0,5b) 72 : 0,5 d) 4,2 : 0,5

7. 0,02 balioaz biderkatzea bikoitza kalkulatzea eta 100balioaz zatitzea dela kontuan harturik, egin biderketahauek:

a) 402 · 0,02b) 20 · 0,02c) 4,6 · 0,02d) 10,01 · 0,02

Infinitu zifrahamartar

Periodikohutsak

Ez-periodikoakHamartarzehatzak

Zenbakiirrazionalak

honako hauek dira

Adierazi etaordenatu

Eragiketak

Biderketa

a) Zer dira zenbaki hamartar zehatzak? Eman adibide bat.

b) Idatzi hiru zenbaki hamartar eta adierazi zatiki modura.

c) Idatzi handienetik txikienera 2,1 eta 2,5 zenbakien ar-teko bost zenbaki hamartar.

d) Ordenatu txikienetik handienera zenbaki hamartarhauek: 5,13; 5,119; 5,121; 5,12; 5,123.

e) Aztertu mapa bere osotasunean eta eman zenbakihamartarrekin egin daitekeen eragiketa bakoitzarenadibide bana.

DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA


DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA

Matematika DBH 1




Matematika DBH 2

1. Zenbaki arruntak



4. Zenbaki osoak






10. Triangeluak






1. Zenbaki osoak

2. Zatigarritasuna






8. Funtzioak

9. Neurriak





14. Estatistika

15. Probabilitatea



Matematika DBH 3



3. Segidak

4. Polinomioak


6. Irudi lauak




10. Funtzioak



13. Probabilitatea

Matematika DBH 4

1. Zenbaki errealak

2. Polinomioak

3. Ekuazioak eta inekuazioak

4. Ekuazio eta inekuazio sistemak

5. Antzekotasuna

6. Trigonometria


8. Geometria analitikoa

9. Funtzioen ezaugarri globalak

10. Funtzio batzuen azterketa

11. Bi dimentsioko estatistika

12. Konbinatoria

13. Probabilitatea

Eranskina• Konikak


Teknologia berriak eta Problemen ebazpenaatalek matematika problemak ebazteko bestemodu batzuk erakusten dituzte.

Edukien garapena, epigrafeka antolatuta,kontzeptu nagusiak azpimarratzeaz gainera,ebatzitako jarduera ugari ere dituena.Unitateek hainbat jarduera dute amaieran,edukiak berehalakoan aplikatu ahal izateko.Orrialdeen hegalek erdiko azalpena indartzendute, eta landutako edukia gogoratu, zabalduedo argitzen dute.

Unitatearen aurkezpena, egun-egungoa,ikusizkoa eta arina. Aldez aurreko kontzeptuakere berrikusten dira, unitatea hobeto ulertuahal izateko.

Amaierako jarduerak, proposatuak nahizebatziak, unitateen epigrafeen araberaantolatuta eta zailtasunaren araberaordenatuta. Buru kalkulurako eta jolaserakojarduerak ere baditu.

≠ ≠

165164

10. UNITATEA

TRIANGELUAK

• Triangeluen eraiketa• Triangeluen arteko berdintza• Triangeluaren zuzen eta puntu

bereziak• Pitagorasen teorema.

Aplikazioak • Triangeluaren perimetroa eta

azalera

Teknologia berriak• Erdibidekoak eta barizentroa

Cabri-Geómètre bidez

Problemen ebazpena• Problema geometriko bat

ebaztea eskalaz eginikomarrazki baten bidez

Eraiki itzazu hainbat poligono txotxe-kin eta plastilinarekin (triangeluak,laukiak, pentagonoak…), eta egiaztaezazu triangelua dela egitura zurrunaduen poligono bakarra.

Zamorako Pino herria pasa ondoren,Portugalgo mugatik hurbil gaudela,«Requejo»-ko zubira iritsiko gara.Duero ibaiaren gainean eraikitakozubi honi Pinoko zubia ere deitzenzaio.

Ibaitik 90 m goratzen den zubibideluzeari erreparatuz gero, triangeluforma gailentzen da beste edozeinformaren gainetik, irudi geometrikohorren ezaugarriak oso aproposakdirelako era honetako eraikuntzeta-rako.

Hagaxken bidez eginiko edozein poli-gono, baldin erpin batetik presionatzenbadugu, deformatu egiten da, poligo-norik sinpleena izan ezik: triangelua.

Lauki bati diagonal bat eransten dio-gunean, bi triangelu zurrun sortzenditugu, eta triangelu horiek defor-maezin bihurtzen dute laukia. Teknikahauxe da zubi honetan eta antzekoegituretan erabiltzen dena: aldamioe-tan, eraikuntzan erabiltzen diren ga-rabietan, linea elektrikoko dorreetan,etab.

Beraz, zubiaren egitura triangeluarrakbehar besteko sendotasuna ematendio eraikuntzari.

• Dakizunez, triangelu bat poligono bat da, eta honako elementu hauek ditu:

— Hiru alde: a, b eta c.

— Hiru erpin A, B eta C.

— Hiru angelu: Â, B̂ eta Ĉ.

• Triangelu baten hiru angeluen batura 180º-koa da beti:

Â + B̂ + Ĉ = 180°

• Aldeen neurrien batura perimetroa da:

P = a + b + c

Hiru aldeak neurri berekoak. Bi alde neurri berekoak eta bestea desberdina.

Hiru aldeak neurri desberdinekoak.

Angelu bat zuzena. Angelu bat kamutsa. Hiru angeluak zorrotzak.

Triangeluen sailkapena

Aldeen neurriaren arabera

Aldekidea

Angeluzuzena Angelukamutsa Angeluzorrotza

Isoszelea Eskalenoa

Angeluen arabera

Pitagoras SamoskoaK.a. 582 - K.a. 507, gutxi gorabehera.Antzinako Greziako filosofo etamatematikari hau ospetsua da batikbat «Pitagorasen teorema»deritzonagatik, teorema hori EskolaPitagorikoaren emaitza bada ere, eta ez soilik Pitagorasena.

Diagonalik ezTriangeluak dira diagonalik ez dutenpoligono bakarrak.

Eiffel dorreaFrantzia

324 m altuera

Pitagorasen teoremaPitagorasen teoremaren arabera,triangelu angeluzuzen batean,katetoen karratuen baturahipotenusaren karratuarenberdina da.

a2 + b2 = c2

Requejo-ko zubia

Gogoratu

128

TeoremakGeometria Egiptoar zibilizazioan sortu zen. K.a. VII. mendean, antzinako Gre-ziara iritsi eta teoria matematiko bihurtu zen, bere teorema eta frogapenekin.

Aipa ditzagun teorema nagusiak.

2.1. Talesen teorema

Tales Mileto-koa antzinako Greziako zazpi jakintsu handietako bat izan zen. Dio-tenez, nahikoa izan zuen bastoia lurrean sartzea Keops-en piramidearen altuerakalkulatzeko. Horretarako, bastoiak eta piramideak luzera bereko itzala egin arteitxaron zuen.

Eratzen diren bi triangeluak elkarren antzekoak dira, eta alde homologoak,proportzionalak, horrenbestez:

= ⇒ h = 146 m

Gaur egun, piramidearen altuera 137 m-koa da, gailurraren zati bat desagertuegin delako.

Talesen teoremaren arabera:

Bi zuzen ebakitzailek (r eta r ’) zuzen paralelo batzuk ebakitzen badituzte,r zuzenean sortutako segmentuak eta r ’ zuzenean sortutakoak proportzionalakdira.

Teorema frogatzeko, r eta r ’ zuzen ebakitzaileek ebakitzen dituzten hiru zuzenparalelo eta distantziakide kontsideratuko ditugu. r ’ zuzenaren paraleloak direnbi zuzen marratuko ditugu: horietako bat A puntutik pasatzen da; bestea, Bpuntutik. Bi triangelu berdin sortu ditugu, ABD eta BCE, angeluak eta aldeakberdinak direlako. Triangelu horietan, hauxe betetzen da:

= = 1 (ABD eta BCE triangeluak berdinak dira)}⇒ = ⇒ == (paralelogramoen aurkako aldeak dira)Zuzen paraleloak distantzia berera ez daudenean, prozedura bera erabil deza-kegu teorema egiaztatzeko.


AD�BE�

BC�B’C�’

AB�A’B�’


AB�BC�

AD�BE�

AB�BC�

115 + 311,3

h1,3

14. Zatitu 10 cm-ko segmentua 2, 3 eta 4 balioekiko zati pro-portzionaletan.

15. Zati ezazu 5 cm-ko segmentua bi zatitan, zati bakoitza bes-tearen bikoitza izateko moduan.

16. Triangelu baten aldeak 3, 4 eta 5 cm-koak dira. Kalkula ezazutriangelu horren antzekoa izango den beste triangelu baten peri-metroa, bigarren triangeluaren azalera lehenengoarena baino 9aldiz handiagoa bada. Kontuan izan antzeko bi irudiren azalerenarteko arrazoia antzekotasun arrazoiaren karratua dela.

06

TEO

RE

MA

KIR

UD

I LA

UA

K

2

230 m

115 m31 m 1,3 m

1,3 m

A’

B’B

C C’

r

0

A

E

D

r’

= BC�B’C’�

AB�A’B�’

P

Antzeko poligonoen eraiketa

Talesen teorema erabil dezakegu antzekopoligonoak eraikitzeko.

H

O B’A’

C’D’P’

A

B

CD

P

A’B’ B’C’

47

Zatitzaile komunetan handienaSoinketa orduan, irakasleak ikasleei eskatu die ahalik eta talde kopu-rurik handiena osatzeko, talde guztiek neska eta mutil kopuru beraizan behar dutela kontuan harturik. Ikastaldea 16 neskak eta 20 mu-tilek osatzen badute, zenbat talde egin ahal izango dituzte guztira?

16 neskarekin egin daitezkeen taldeak 16aren zatitzaileak izangodira.

Z (16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Mutilekin osa daitezkeen taldeak, 20aren zatitzaileak.

Z (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Problemaren emaitza 16 eta 20 zenbakien zatitzaile komunen arteandago; hots, 1, 2 eta 4 zenbakien artean. Beraz, soluzioa 4 talde da,zatitzaile komunetan handiena delako.

Zenbakiak oso handiak direnean, biderkagai lehenetan deskonposatzeaizaten da zatitzaile komunetan handiena lortzeko modurik onena.

23. Kalkulatu zenbaki hauen zatitzaile komunetan handiena:

a) 32 · 5 eta 3 · 52 d) 72, 96 eta 120b) 7 eta 5 e) 2 · 32 · 5 · 11 eta 3 · 52 · 11c) 30 eta 60 f) 25 eta 12

24. Ba al dute zatitzaile komunik zenbaki bikote hauek?

a) 15 eta 35 c) 30 eta 120b) 88 eta 22 d) 100 eta 400

25. Nekazari batek bi patata mota erein ditu: 120 kg bildu ditumota batetik eta 75 kg, bestetik. Edukiera bereko zakutan sartunahi ditu, ahalik eta zakurik handienetan. Zenbatekoa izan behardu zakuaren tamainak? Zenbat zaku beharko ditu patata motabakoitzerako?

26. 390 cm zabal eta 720 cm luze den igerileku baten zorua lau-zatu nahi dugu, ahalik eta lauza karratu handienekin, bakar batere ebaki behar izan gabe. Zenbatekoa da erabil dezakegunlauza handienaren tamaina? Zenbat lauza beharko ditugu?

036

ZATI

TZA

ILE

KO

MU

NE

TAN

HA

ND

IEN

AZE

NB

AK

I AR

RU

NTE

N Z

ATIG

AR

RIT

AS

UN

A

Zenbaki batzuen zatitzaile komunetan handiena (z.k.h.)zenbaki horien zatitzaile komun handiena da.

Zenbaki batzuen zatitzaile komunetan handiena kalkula-tzeko, biderkagai lehenetan deskonposatu eta berretzailetxikieneko biderkagai komunak biderkatu behar ditugu.

Jarduera ebatzia

Kalkula ezazu 72, 80 eta 200 zenbakien zatitzaile komunetan handiena.

Hasteko, biderkagai lehenetan deskonposatuko ditugu zenbakiak.

72 = 23 · 32 80 = 24 · 5 200 = 23 · 52

Ikus daitekeenez, 72, 80 eta 200 zatitzen dituen zenbaki handiena 23 da.Hortaz:

z.k.h. (72, 80, 200) = 23 = 8

5 biderkagaia ez dugu komuntzat hartu, 80 eta 200 zenbakien biderkagaikomuna izanagatik 72 zenbakiarena ez delako.

P

Deskonposizio faktoriala

72 2 80 2 200 236 2 40 2 100 218 2 20 2 50 2

9 3 10 2 25 53 3 5 5 5 51 1 1 1

H



160

07 PROBLEMEN EBAZPENA

PR

OB

LEM

EN

EB

AZP

EN

AH

IGID

UR

AK

PLA

NO

AN

ARRETAZ AZTERTZEA: SIMETRIA ETA MUGA KASUAK

Simetria bat bilatzea

Ibilbidea honako hau izan daiteke: 4. alborantz jotzen dugu bola zuria eta albohorretan talka egin ondoren 3. alborantz egiten du; azken albo hori jo eta talkaegiten du bola gorriarekin (ikus irudia).

Bola zuriak 4. alboko zer puntutan jo behar duen jakiteko, P-ren simetrikoa(P’) aurkitu behar dugu 4. alboarekiko, P’ puntua bola zuriak 4. albotik irteteanhartzen duen norabidean dagoelako.

Era berean, 3. alboko zer puntutan jo behar duen jakiteko, P’-ren simetrikoa(P’’) aurkitu behar dugu 3. alboarekiko, P’’ puntua bola zuriak 3. albotik irteteanhartzen duen norabidean dagoelako.

Zer ibilbide egin behar du bola zuriak bi albo jo ondoren bola gorriarekin talkaegiteko?

P

1. Zein da bola zuriak egin behar duenibilbiderik txikiena albo batean jo on-doren bola gorriarekin talka egiteko?

2. Zein da bola zuriak egin behar duenibilbiderik txikiena hiru albotan jo on-doren bola gorriarekin talka egiteko?

3. Eremu errektangeluar baten barruan dagoenlursail triangeluarra hesitu nahi dugu. Hiruga-rren zutoinak eremu errektangeluarraren mu-gan egon behar du eta hesi kantitate ahalik etatxikiena erabili nahi dugu. Non jarri behar duguhirugarren erpina?

EBATZI ZERORREK

1

2

3

4

P’

P

4

3

2

1

Q

P’ P’’

P

4

3

2

1

Q

P

4

3

2

1

Q

P

4

3

2

1

Q

R

S

Beraz, bola zuriak zer ibilbide egiten duen jakiteko, QP’’ segmentua marratu etaS puntua lortuko dugu (bola zuriak 3. alboa jotzen duen puntua); ondoren, S etaP’ lotuko ditugu, R puntua lortzeko (bola zuriak 4. alboa jotzen duen puntua).

P – R – S – Q ibilbidea eginez, bola zuriak bi albo jo eta talka egiten du bola go-rriarekin. Beraz, soluzioa zuzena da.

199

09

FUNTZIOEN IRUDIKAPENA 3D-TAN, DERIVEREN BIDEZ

TEKNOLOGIA BERRIAK

TEK

NO

LOG

IA B

ER

RIA

KB

IRA

KE

TA G

OR

PU

TZA

K

Pantaila prestatzea

Klik egingo dugu botoian edo tresna barrako Insertar→ Gráfica 3D. Orduan, pantailan, hiru dimentsioko erre-ferentzia sistema eratzen duen ortoedro bat ageri delaikusiko dugu. Ardatz koordenatuak ikusteko Opciones →Pantalla → Ejes klikatuko dugu, eta agertzen den leihoanLínea aktibatuko dugu. Ardatzen tarteetan aldaketak egi-teko, Seleccionar → Rango de la Gráfica hautatuko dugu.

Tresna barran, Ventana → Mosaico vertical hautatukodugu, pantaila bi atal berdinetan antolatzeko: grafikoarenatala eta aljebraren atala.

Esferaren irudikapena

1. Pantailaren azpialdean, adierazpen hau sartuko dugu:x^2+y^2+z^2–16, eta erradioa = 4 duen esfera batenekuazioarekin bat dator.

Introducir y simplificar botoia sakatuko dugu, eta al-jebraren leihoan sartutako adierazpena agertuko da.

2. Aljebraren leihoan ekuazioa hautatu, eta botoia edotresna barrako Resolver → Expresión sakatuko dugu,eta agertuko zaigun leihoan x-a soilik aktibatuko dugu.Jarraian, Resolver botoia sakatuko dugu. Ondoren,grafikoaren atalean egingo dugu klik, eta Insertar →Gráfica menua hautatuko dugu. Pantaila bat agertukoda, eta, bertan, grafikoaren parametroak eta koloreadoituko ditugu.

3. Esfera osoa lortu ez dugunez, azken urrats hori errepi-katu behar dugu z eta y-rako, eta, hala, esfera osoa lortu-ko dugu. Grafikoa biraraz dezakegu, botoia sakatuta.

Zilindro baten eta kono baten irudikapena

Modu berdintsuan, beste gorputz batzuen —hala nola zi-lindroaren edota konoaren— hiru dimentsioko grafikoalor dezakegu.

• Zilindroa. Hau da bere ekuazioa: x2 + y2 = 16

• Konoa. Hau da bere ekuazioa: x2 + y2 = z2

4

242

11 JARDUERAK

6. Irudikatu erreferentzia sistema berean honako funtziolineal hauek:a) f (x) = – x c) f (x) = 2xb) f (x) = – 2x d) f (x) = x

7. Aztertu funtzio lineal hauen ezaugarriak (eremua, ibil-tartea, ardatzekiko ebaki puntuak, zeinua, simetria,hazkundea, muturreko puntuak, jarraitutasuna eta al-dizkakotasuna).

a) b)

8. Adierazi ondoko enuntziatuetatik zeinek aipatzen dituenmagnitude zuzenki proportzionalak.

a) Karratu baten aldea eta haren azalera.b) 18 m2-ko jantokia papereztatzeko, 8 m2-ko bost pa-

per biribilki erabili nituen. Zenbat biribilki erabilibeharko ditut 10 m2-ko gela bat papereztatzeko?

9. Aurkitu ondoko grafiko hauetan irudikatutako fun-tzioen adierazpen aljebraikoa eta malda:

10. Elixabetek lan egiten duen enpresak, aparteko soldatabanatu ohi die langileei Gabonetan. Horretarako, langi-leen antzinatasuna hartzen dute aintzat; beraz, zenba-tekoa handitu egingo da, lanean daramatzaten urteakgehitu ahala. Elixabetek lau urte daramatza lanean, eta56 €jaso ditu:

a) Zenbateko soldata jasoko luke lanean hamaika urtedaramatzan langileak?

b) Zenbat denbora darama lanean 98 € jaso dituenlangileak?

c) Irudikatu grafikoki langile batek antzinatasunagatikjasotzen duen aparteko diru kopurua zehazten duenfuntzioa eta aurkitu haren adierazpen aljebraikoa.

11. Argiak airean duen abiadura konstantea da, eta Eguzki-tik Lurrera iristeko 8 minutu eta 20 segundo behar ditu:a) Lurra, gutxi gorabehera 150 milioi kilometrora ba-

dago (1 unitate astronomiko), kalkulatu argiarenabiadura kilometro ordukotan.

b) Lurretik bidalitako argi izpi batek Ilargira iritsi etaLurrera itzultzeko 2,6 segundo behar baditu, zerdistantziara dago Ilargia gure planetatik?

c) Idatzi argiak egindako distantziaren eta erabilitakodenboraren arteko erlazioa adierazpen aljebrai-koaren bidez.

d) Uhin elektromagnetikoak, irrati eta telebistakouhinak argiaren abiadura berean hedatzen dira.Telebista instalaziotik 400 km-ra bagaude zenbatdenborako atzerapenarekin ikusiko dugu telebis-tako irudia?

12. Elektrolisia gauzak urreztatzeko metodo kimikoa da.Objektuak urrezko gatzak dituen likido batean sartzendira eta denbora jakin batean korronte elektrikoa hela-razten zaie. Objektua estaltzen duen urre kopurua liki-dotan murgilduta ematen duen denborarekiko propor-tzionala da. Esperimentu batean, ordu eta erdianobjektua gramo bat urrez estali dela hautematen bada:a) Adierazi adierazpen aljebraiko baten bidez urre

kopuruaren eta elektrolisi denboraren arteko erla-zioa, eta adierazi grafikoki funtzio hori.

b) Zenbat denbora egon behar du objektu batek elek-trolisian, objektua urreztatzeko 3,2 g behar baditugu?

c) Belarritako bat ordu laurdenez murgiltzen badugu,zenbat urrez estaliko da?

FUNTZIO LINEALAK

FUNTZIO AFINAKX

Y

X

Y

X

Y

13. Irudikatu grafikoki erreferentzia sistema berean, ho-nako funtzio afin hauek:

a) f (x) = x + 3 c) f (x) = 2x + 3

b) f (x) = – x – 2 d) f (x) = – x – 3

14. Aztertu funtzio afin hauen ezaugarriak (eremua, ibil-tartea, ardatzekiko ebaki puntuak, zeinua, simetria,hazkundea, muturreko puntuak, jarraitutasuna eta al-dizkakotasuna).

a) b)

X

Y

X

Y

JAR

DU

ER

AK

OIN

AR

RIZ

KO

FU

NTZ

IOA

K

103

06JARDUERAK

JAR

DU

ER

AK

ZEN

BA

KI H

AM

AR

TAR

RA

K

1. Kopia eta osa ezazu zure koadernoan kontzeptu mapa hau eta ebatzi jarduerak.

KONTZEPTU MAPA

BURUZKO KALKULUA

ZENBAKI HAMARTARRAK

izan ditzakete

izan daitezke

honako hauek dira

egin daitezke egin daitezke

hala nola

2. Kalkulatu buruz:a) Zenbat falta zaio 9,95 zenbakiari 10era iristeko?b) Eta 5,2ri 6ra iristeko?c) Zenbat kendu behar zaio 3,7 zenbakiari 3,5 balioa

lortzeko?d) Eta 4 zenbakiari 3,99 lortzeko?

3. 0,1 balioaz biderkatzea eta 10 balioaz zatitzea gauzabera direla kontuan harturik, egin biderketa hauek:

a) 3 · 0,1 c) 3,27 · 0,1b) 4,2 · 0,1 d) 42,4 · 0,1

4. 0,5 balioaz biderkatzea erdia kalkulatzea dela kontuanizanik, kalkulatu:a) 5 · 0,5 c) 3,6 · 0,5b) 72 · 0,5 d) 4,2 · 0,5

5. 0,1 balioaz zatitzea eta 10 balioaz biderkatzea gauza beradirela kontuan harturik, ebatzi buruz zatiketa hauek:

a) 3 : 0,1 c) 3,27 : 0,1b) 4,2 : 0,1 d) 42,4 : 0,1

6. 0,5 balioaz zatitzea bikoitza kalkulatzea dela kontuanizanik, kalkulatu:

a) 5 : 0,5 c) 3,6 : 0,5b) 72 : 0,5 d) 4,2 : 0,5

7. 0,02 balioaz biderkatzea bikoitza kalkulatzea eta 100balioaz zatitzea dela kontuan harturik, egin biderketahauek:

a) 402 · 0,02b) 20 · 0,02c) 4,6 · 0,02d) 10,01 · 0,02

Infinitu zifrahamartar

Periodikohutsak

Ez-periodikoakHamartarzehatzak

Zenbakiirrazionalak

honako hauek dira

Adierazi etaordenatu

Eragiketak

Biderketa

a) Zer dira zenbaki hamartar zehatzak? Eman adibide bat.

b) Idatzi hiru zenbaki hamartar eta adierazi zatiki modura.

c) Idatzi handienetik txikienera 2,1 eta 2,5 zenbakien ar-teko bost zenbaki hamartar.

d) Ordenatu txikienetik handienera zenbaki hamartarhauek: 5,13; 5,119; 5,121; 5,12; 5,123.

e) Aztertu mapa bere osotasunean eta eman zenbakihamartarrekin egin daitekeen eragiketa bakoitzarenadibide bana.

DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA


DB

H: 2

008

MAT

EMAT

IKA

Matematika DBH 1




Matematika DBH 2

1. Zenbaki arruntak



4. Zenbaki osoak






10. Triangeluak






1. Zenbaki osoak

2. Zatigarritasuna






8. Funtzioak

9. Neurriak





14. Estatistika

15. Probabilitatea



Matematika DBH 3



3. Segidak

4. Polinomioak


6. Irudi lauak




10. Funtzioak



13. Probabilitatea

Matematika DBH 4

1. Zenbaki err

Haur eta Gazte Literatura Euskara | gazteentzako liburuak ...antolatzaileak, aditz laguntzailea,...

Documents

Transcript of Haur eta Gazte Literatura Euskara | gazteentzako liburuak ...antolatzaileak, aditz laguntzailea,...