HABILIDADES_LOGICA 2.doc

7/24/2019 HABILIDADES_LOGICA 2.doc

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HABILIDADESLGICOMATEMTICAS

ORIENTADO PARA INGENIERIALGICA, CONJUNTOS, PROPORCIONALIDAD, ECUACIONES EINECUACIONES, FUNCIONES, MATRICES Y DETERMINANTES

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Habilidades LgicoMatemtico para Ingeniera 2013

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Pgina 2


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Contenido

AGRADECIMIENTO:5

PRESENTACIN 6

PRIMERA UNIDAD 7

CAPTULO I: LGICA 9SESIN .......................................................................................................................................9I.- DEFINICIN Y OBJETO DE LA LGICA....................................................................................9Ejercicios.................................................................................................................................10

II.- CLASES DE PROPOSICIONES................................................................................................11Ejercicios.................................................................................................................................12

SESIN -.....................................................................................................................................23III.- SIGNOS DE PUNTUACIN, AGRUPACIN Y ORDEN DE LOS OPERADORES O CONECTIVOSLGICOS.....................................................................................................................................23Ejercicios.................................................................................................................................23

IV.-CLCULO PROPOSICIONAL...................................................................................................25Ejercicios.................................................................................................................................29

V.-CONTINGENTES, TAUTOLOGAS Y CONTRADICCIONES.........................................................30Ejercicios.................................................................................................................................32

VI.-INFERENCIA LGICA.............................................................................................................33Ejercicios:................................................................................................................................35

VII.-LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL...............................................................................36Ejercicios.................................................................................................................................41

SESIN ......................................................................................................................................63VIII.-PROCESOS DE DEDUCCIN...............................................................................................63

Ejercicios:................................................................................................................................64IX.-CIRCUITOS LGICOS.........................................................................................................65Ejercicios:................................................................................................................................69

CAPTULO II: TEORIA DE CONJUNTOS 71SESIN /.....................................................................................................................................71I.- TEORIA DE CONJUNTOS........................................................................................................71Ejercicios.................................................................................................................................73

II.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS......................................................................................75Ejercicios.................................................................................................................................77

CAPTULO III: PROPORCIONALIDAD 80SESIN 0.....................................................................................................................................80I.- PROPORCIONALIDAD..............................................................................................................80Ejercicios.................................................................................................................................87

II.-REGLA DE TRES.....................................................................................................................92Ejercicios.................................................................................................................................94

SESIN 1.....................................................................................................................................96III.-REGLA DE TRES COMPUESTA..............................................................................................96Ejercicios.................................................................................................................................96

SEGUNDA UNIDAD 98SESIN 2.....................................................................................................................................98

CAPTULO III: ECUACIONES E INECUACIONES 98I.-ECUACION DE PRIMER GRADO...............................................................................................98

Ejercicios...............................................................................................................................102SESIN 3...................................................................................................................................104



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II.-ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO....................................................................................104Ejercicios...............................................................................................................................106

III.-INECUACIONES DE PRIMER GRADO...................................................................................109Ejercicios...............................................................................................................................110

SESIN 4...................................................................................................................................113IV.-INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO................................................................................113

Ejercicios...............................................................................................................................113V.- INECUACIONES FRACCIONARIAS.......................................................................................115

Ejercicios...............................................................................................................................115SESIN 10.................................................................................................................................117

CAPTULO V: FUNCIONES 117I.-FUNCIONES...........................................................................................................................117Ejercicios...............................................................................................................................114

II.-FUNCIONES II.......................................................................................................................118Ejercicios...............................................................................................................................123

TERCERA UNIDAD 126SESIN -.................................................................................................................................126

CAPTULO VI: MATRICES Y DETERMINANTES 126SESIN ..................................................................................................................................130

SESIN N5 /............................................................................................................................152

SESIN 0.................................................................................................................................154EJERCICIOS..........................................................................................................................156



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AGRADECIMIENTO:

En forma especial agradecemos la gestin denuestros directores: Econ.RAL VALENCIAMEDINA, ING. LUIS BARRERA ARRSTEGUI,por su acertada direccin, en el sentido deimpulsar el desarrollo acadmico al hacerrealidad la publicacin de los presentesmdulos , lo cual redundar en el nivelacadmicos es nuestros alumnos en la ucv.

Asimismo agradecer lavaliosa colaboracin del equipo de matemtica queen su conjunto han hecho realidad la redaccin delpresente material .



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PRESENTACIN

El presente mdulo de Habilidades Lgico Matemticas tiene como finalidad proporcionar los

fundamentos matemticos para estudiantes de ciencias empresariales, ingenieras y ciencias

sociales, para que los estudiantes adquieran soltura en el manejo de estos conceptos, que

son herramientas comunes en los cursos que llevaran en ciclos superiores

El objetivo de este material es que la transmisin delos conocimientos bsicos de

Habilidades Lgico Matemticas debe hacerse a trav!s de situaciones aplicadas y

conte"tuali#adas a las $iencias empresariales, ingenieras y ciencias sociales, aumentando

el inter!s y la motivacinpara as de esta manera comprender la necesidad de adquirir dichos

conocimientos

En este material, cada concepto matemtico es e"plicado y ejemplificado a trav!s

desituaciones conte"tuali#adas que introduce al alumno en problemas que encontrar a

lolargo de su vida acad!mica y profesional

El mdulo contiene conceptos y ejemplos de lgica proposicional, teora de conjuntos,

proporcionalidad, ecuaciones e inecuaciones, funciones reales, as como aplicacin de los

conocimientos adquiridos en la resolucin de problemas prcticos teniendo como soporte el

soft%are matemtico &E'&E()* para la visuali#acin geom!trica de conceptos en

concordancia con el enfoque pedaggico de +an Hiele$ada tema contiene aplicaciones a

sus respectivas carreras, y una gran variedad de ejercicios y aplicaciones resueltas, al final

de cada tema contiene una lista de ejercicios propuestos al estudiante que tiene la misin de

anali#ar ejemplos concretos de la teora revisada



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PRIMERA UNIDAD

I. COMPETENCIA

Desarrolla habilidades lgico matemticas para identifcar y plantear

problemas de la realidad, y tomar decisiones para su resolucin,

desenvolvindose con responsabilidad y actitud proactiva.

II. CAPACIDADES6 A"&!i7& 8 &p!ic& !#s pri"cipi#s !9:ic#s " s; C#"s=r;8 ! c#"cp=# % r:!& % =rs6

SESI !"



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#E$%#I&'(DE)II&I * +-E#+ DE ' /I&', &'SES DE 01+0+SI&I+ES.

SESI !2#E$%#I&'(SI/+S DE 03#3'&I, '/130'&I * +1DE DE +S +0E1'D+1ES +&+EI4+S /I&+S,&%&3+ 01+0+SI&I+', &+#I/E#ES,#'3#++/5'S * &+#1'DI&&I+ES, I)E1E&I' /I&'

SESI !6#E$%#I&'(

E*ES DE %/E1' 01+0+SI&I+',01+&ES+S DEDED3&&I,&I1&3I#+S /I&+S

SESI !7

#E$%#I&'(#E+1I' DE &+-3#+S, +0E1'&I+ES E#1E &+-3#+S, 01+E$'SS+1E &+-3#+S.

SESI !8#E$%#I&'( 01+0+1&I+'ID'D, 1E/' DE #1ES, 1E/' DE #1ES&+$03ES#'.

SESI !9

#E$%#I&'( E4'3'&I DE 3ID'D6



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CAPTULO I: LGICA

SESI "

I.- DEFINICIN Y OBJETO DE LA LGICA

La palabra Lgica se deriva de la palabra griegalogosque significa razonamientoo discurso.

La Lgica Matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En unnivel elemental, la Lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o novlido un argumento dado. Ciertamente se usa en forma constante el razonamientolgico para realizar cualquier actividad.

Existen adems otras definiciones:

Lgica es la ciencia que estudia la estructura del pensamiento, prescindiendo delcontenido.

Lgica tambin es la manera ordenada de pensar y de expresar nuestras ideas.

El objetivo principal de la Lgica es analizar la estructura del pensamiento, es decir suforma lgica para descubrir leyes y reglas.

1.1.- DIFERENCIAS ENTRE JUICIO, ORACIN Y PROPOSICIN

1.1.1.- El juicioEs una relacin o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir unaafirmacin o aseveracin de algo, es una forma, una estructura del pensamiento queobjetivamente es verdadero o falso. (Astudillo, Dolores; Inciso, Liliana).1.1.2.- El EnunciadoEs la expresin verbal o escrita del juicio.

Ejemplos: Pedro es ingeniero.

El puente ms extenso del mundo se encuentra en China.

Las matemticas son la base de las ingenieras.

No son enunciados:

Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: socorro!, auxilio! tequiero!

Las oraciones imperativas. (rdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.

Las desiderativas. (Deseos, splicas). Ej.: Ojala no haya clases.

Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: Qu hora es?



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1.1.3.- Razonamiento

Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera tal que se suponeque uno de ellos (llamado conclusin) se desprende o infiere del o los otros (llamadospremisas). La pretensin de que la conclusin se deriva de las premisas se manifiesta

a travs de expresiones especiales como: por lo tanto, luego, por consiguiente, etc.



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1.1.4..- La Proposicin

Es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a la vez. Laproposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica; generalmente se lasexpresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como:

Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Maana es lunes.

Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca

Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace fro entonces es invierno

A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones vlidas y no vlidas, y seexplica el porqu algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones seindican por medio de una letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamentedicha.

Ejemplo.

p El edificio es alto.q -17 + 38 = 21r x > y-9s Las ingenieras son base para el desarrollo del pas.t: Hola como estas?w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tantoson proposiciones vlidas. El inciso r tambin es una proposicin vlida, aunque elvalor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y endeterminado momento. La proposicin del inciso s,es vlida Sin embargo losenunciados t y w no son vlidos, ya que no pueden tomar un valor de falso overdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

EJERCICIOS No. 1.

Valida las siguientes Proposiciones.

p1: Todo ingeniero del 2 ciclo de la UCV tiene soluciones concretas.p2: Todas las ingenieras necesitan de las matemticas.p3: Todos los ingenieros egresados de la UCV tienen trabajo.p4: Un ingenieros es trabajador.p5: Los ingenieros aceptan los retos ms difciles de la vida.p6: El alumno no necesariamente quiere ser ingeniero.



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Ejercicios

Escribir 20 proposiciones vlidas y 10 invlidas.

Importante: Valor de verdad

Una proposicin es verdadera o es falsa; si es verdadera se denotar por la letra V o el1 y si es falsa se denotar por F o por el 0. Si no se puede determinar su valor deverdad, se podr analizar los posibles valores de verdad (tablas de certeza).



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II.- CLASES DE PROPOSICIONES

Las proposiciones se clasifican en proposiciones simples o atmicas y proposicionescompuestas o moleculares:

2.1.- PROPOSICIONES SIMPLES

Son aquellas proposiciones que no se pueden descomponer.

Ejemplo:

p: Todo ingeniero se adapta rpidamente a su centro laboral.

q: Si un puente resiste a un terremoto; tambin para las lluvias.

r: (a +b)2= a2+ 2ab + b2

2.2.- PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES

Son aquellos enunciados que estn formados por dos o ms proposiciones simples yunidos por trmino lgico.

Ejemplos:

p: Laisaes Administradora y su hermano Mateo es Ingeniero.

q: Un Ingeniero tiene como base las matemticas y las Fsica.

Podemos observar en los ejemplos anteriores que tantopcomoqestn compuestas dedos proposiciones simples.

Los conectivos lgicos son elementos gramaticales que unen dos o ms proposicionessimples; estos son:

2.3.- CONECTIVOS LGICOS

OPERADOR LGICOLGICA

SIMBLICA

TERMINOLOGA

LGICA

Negacin noConjuncin YDisyuncin O

Disyuncin exclusivav

o en sentido excluyente



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Conjuncin negativa ni.ni

Disyuncin negativa / nono

Condicional Si., entoncesBicondicional Si y slo si



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2.4.- PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LGICOS

Los operadores lgicos tambin permiten formar proposiciones compuestas(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son:

2.4.1.- CONJUNCIN() QUE SE LEE Y

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se puedaobtener un resultado verdadero. Su smboloque se lee y. Se lo conoce como lamultiplicacin lgica y tiene estrecha relacin con la interseccin de conjuntos.

Ejemplo 01.

Sea el siguiente enunciado:

Un tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batera.

Simbolizando tenemos:

p: el tren enciende cuando tiene gasolina en el tanque

q: el tren enciende cuando tiene corriente la batera.

V(p) = VV(q) = V

En consecuencia:V(pq) = V

Ejemplo 02.

3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10p: 3 + 4 = 6 V(p) = Fq: 3 + 7 = 10 V(q) = V

Por consiguiente:V (pq) = F

De tal manera que la representacin del enunciado anterior usando simbologa

lgica es como sigue:

p y qp pero q

pq; que se lee:p aunque qp incluso qp tambin q; etc.

Su tabla de verdad es:

p q p q



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VVFF

VFVF

VFFF

Ejercicios

Escribir 5 ejercicios de conjuncin y determine el valor de verdad de cada uno.



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2.4.2.- LA DISYUNCION:

2.4.2.1..- LA DISYUNCIN INCLUSIVA

( )QUE SE LEE: O.

Es la unin de dos proposiciones simples con el conectivo lgico o.Simblicamente se lo representa as: pq que se lee p q o ambas. El enunciadoes verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera o ambas sonverdaderas; Se conoce tambin como la suma lgica y se relaciona estrechamentecon la unin de conjuntos.

Ejemplo 01.

Sea el siguiente enunciado

Un ingeniero puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase.

Donde.

p: Un ingeniero puede entrar al cine si se compra su boleto.q: Obtiene su pase.

Simblicamente tenemos:pq

V( p ) = VV( q ) = V

En consecuencia: V (pq) = V

4 + 3 = 9 o 3 + 5 = 8

p: 4 + 3 = 9 V ( p) = Fq: 3 + 5 = 8 V (q ) = V

En consecuencia: V (pq) = V


p q p q

VVFF

VFVF

VVVF



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TAREA

Escriba 10 ejemplos de disyuncin inclusiva y determine su valor de verdad.



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2.4.2.2..- DISYUNCIN EXCLUSIVA

(V )QUE SE LEE O EN SENTIDO EXCLUYENTE

El enunciado es verdadera cuando p es verdadero y q es falso o viceversa.Simblicamente se lo representa por pq que se lee p o q pero no ambas.

Ejemplos:

Carmen es ingeniero de matematico

Simblicamente tenemos:

p: Carmen es ingeniero V(p) = Vq: Carmen es matematico V (q) = V

En consecuencia: V (pq) = F

(pq) que se lee: p q, pero no ambas.

25 = 6 o 3 + 9 = 7

p: 25 = 6 V (p) F

q: 3 + 9 = 7 V (q) = F

En consecuencia: V (pq) = F


p q ( pq )

VVFF

VFVF

FVVF

TAREA



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Escribir 10 ejercicios de disyuncin exclusiva y determine el valor de verdad.



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2.4.4.- Negacin

( )no

Su funcin es negar la proposicin. Esto significa que s alguna proposicin es

verdadera y se le aplica el operador no se obtendr su complemento o negacin

(falso). Al negar una proposicin simple, se transforma en una proposicin

compuesta Este operador se indica por medio de los siguientes smbolos:

(~,)

Ejemplos:

p: Patricio est estudiando ingeniera V (p) = V

p: Patricio no est estudiando ingeniera. V (p) = F

q: Mara es ingeniero V (q) = F

q: No es cierto que Mara es ingenieroV (q) = V


p p

VF

FV

A veces la negacin de una proposicin simple se obtiene mediante otra

proposicin simple, as:

p: x es mortal

p: x es inmortal

q: y es par

q: y es impar

La negacin en Matemtica se realiza as:



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p: 2 + 3 = 5 V (p) = V

p: 2 + 35 V (p) = F



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2.4.5.- CONJUNCIN NEGATIVA:

El enunciado es verdadero cuando las proposiciones simples que la forman son

falsas.

La conjuncin negativa de dos proposiciones p y q, se representa por p q o porpq se lee: ni p, ni q

Ejemplos:

ni 3 + 2 = 5, ni 2 + 4 = 6

Simblicamente tenemos:p q

p: 3 + 2 = 5 V (p) = V

q: 2 + 4 = 6 V (q) = V

Consecuentemente tenemos que:V (p q) = F

p: 3 + 25 V (p) = F

q: 2 + 46 V (q) = F;

Consecuentemente:V (pq) = F

Entonces se deduce que:(p q)(pq )


P q ( p q )

VV

FF

VF

VF

FF

FV

TAREA

Escribir 10 ejercicios de conjunciones negativas y determinar el valor de verdad.



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2.4.6.- DISYUNCIN NEGATIVA:

El enunciado es falso cuando las proposiciones simples que la forman sonverdaderas. La disyuncin negativa de proporciones se representa por p / q; quese lee nono q.

Ejemplo:

No eres ingeniero o no eres matemtico p / q

p: eres ingeniero V (p) = V

q: eres matematico V ( q) = V

En consecuencia:V (p / q) = F

p: no eres ingeniero V (p) = F

q: no eres matematico V (q ) = F

Consecuentemente:V (pq) = F

Luego: p / q (pq )


p q ( p / q )

VVFF

VFVF

FVVV

2.4.7.- NEGACIN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:

Se puede tambin utilizar otras formas de negar como: no es el caso que; no escierto que, (frecuentemente se acostumbra a utilizar esta forma cuando se nieganproposiciones compuestas)

No es el caso que: 3


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p: 3


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2.4.8.- PROPOSICIONES CONDICIONALES()que se lee entonces

Una proposicin condicional, es aquella que est formada por dos proposicionessimples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:que se leesi p, entonces q; simblicamente se la representa por:

Se lee Si p, entonces q Si p, q

pq p, slo si qp es necesario para q; etc.

En este caso p: es el antecedente y q: es el consecuente.

Se lee:q puesto que p

q, si p q cuando pqp q cada vez que p q dado que p q porque p q ya que p; etc.

Se caracterizan porque despus de cada uno de estos conectivos est el antecedente o condicin.

Ejemplo:Simbolice y determine el valor de verdad:

Un candidato a presidente del Ecuador dice:

Si salgo electo presidente del Colegio de Ingenieros del Per, entonces recibirn un

50% de aumento en su sueldo el prximo ao.

Una declaracin como esta se conoce como condicional. Su valor de verdad es lasiguiente:

p: Si salgo electo Presidente delColegio de Ingenieros del Per V (p) = V

q: Recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao V(q)= V

De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera: pq

El V( pq ) = V



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Otro ejemplo: 5+7=128- 5 = 4 ; Simblicamente tenemos: pq

p: 5+7=12 V( p) = V

q: 8 5= 4 V( q ) = F



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Su valor de verdad es: V (pq ) = F


p q pq

VVFF

VFVF

VFVV

Esto significa que una proposicin condicional es falsa cuando p = V y q = F;en los dems casos ser verdadera.

2.4.8.1.- VARIANTES DE LA CONDICIONAL

A toda proposicin condicional se le asocia tres proposiciones igualmenteimportantes, que son: proposicin recproca, inversa y contrarecproca.

Proposicin recproca.-

Dada la proposicin condicional pq , se llama proposicin recproca a laproposicin que se denota por: qp

Ejemplo:

Si y es par, entonces, y es mltiplo de 2 ; simblicamente: pq. Condicional

Si y es mltiplo de 2, entonces, y es par ; simblicamente: pq. Su recproca:

Si b es perpendicular ac, entoncesces perpendicular ab.

La proposicin anterior simblicamente la denotamos por pq; mientras que laproposicin recproca ser: qp.

ces perpendicular ab, sibes perpendicular ac.

Proposicin inversa. -

Dada la proposicin condicional pq , se llama proposicin inversa a laproposicin que se denota por: pq.



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Ejemplo:

Si Marcos consigue la beca, entonces estudiara una maestra en ingeniera;

simblicamente tenemos: pq

La proposicin inversa ser: "pq, ser:

Si Marcos no consigue la beca, entonces no estudiara una maestra en ingeniera.

Simblicamente tenemos:pq

Proposicin contrarecproca.-

Dada la proposicin condicional: pq, se denomina proposicin contrarecprocaa la que se denota por:qp.

Ejemplo:

Si vivo en Lambayeque, vivo en la provincia de Chiclayo; simblicamente: pq

La proposicin contrarecproca ser :

No vivo en la provincia deChiclayo, si no vivo en Lambayeque ;

simblicamente: qp

En los siguientes ejercicios escribir la proposicin dada en la forma si p entoncesq; determine su valor de verdad. A continuacin, escribir la recproca y lacontrarecproca y determinar la verdad o falsedad de cada una.

Las lechugas son verduras

Slo las rectas paralelas no se cortan

Slo las rectas perpendiculares orman ngulos rectos.

!n tringulo e"uiltero tiene tres lados iguales

Si a es ma#or "ue b entonces b es ma#or "ue a

Los tringulos issceles son e"uilteros

!n hombre natural de $apotillo es natural de Lo%a



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Si x & ' entonces x2& ()

*ing+n proesor de idiomas tiene mala ortograa



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2.4.9.- PROPOSICIN BICONDICIONAL

: (),QUE SE LEE SI Y SLO SI

Sean p y q dos proposiciones simples entonces se puede indicar la proposicinbicondicional de la siguiente manera: pq; que se lee p si y solo si q

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es tambin verdadera. O bien p esfalsa si y solo si q tambin es falsa. Ejemplo; el enunciado siguiente es unaproposicin bicondicional

Un puente est bien construido , si y solo si; resiste a un terremoto de mayorescala


p: Un puente est bien construido V (p) = V

q: resiste a un terremoto de mayor escala V (q) = V

Por consiguiente: V (pq) = V


p q pq

VVFF

VFVF

VFFV

La proposicin bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas obien ambas verdaderas.

La proposicin bicondicional, tambin se forma por la conjuncin de unaproposicin condicional y su recproca, simblicamente tememos:pq = pq qp

Ejemplo:Oscar viajar a la ciudad de Cuenca si y slo si obtiene un prstamo en el Banco deLoja;Simblicamente tenemos:qp

Equivale a decir: Si Oscarviaja a la ciudad de Cuenca, entonces obtiene unprstamo en el Banco de Loja, y si obtiene un prstamo en el Banco de Loja viajara la ciudad de Cuenca. Simblicamente tenemos:



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= pq qp

Por lo tanto la primera y segunda proposicin son iguales:pq = pq qp



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SESI 2

III.- SIGNOS DE PUNTUACIN, AGRUPACIN Y ORDEN DE LOS OPERADORES

O CONECTIVOS LGICOS

Los signos de agrupacin ms conocidos tenemos: el parntesis, corchete yllaves( ); [ ] ;{}

Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto ycomo (;), y los dos puntos (:).

Los signos de agrupacin se usan en lgica cuando se trata de obtener esquemaslgicos ms complejos con el fin de evitar la ambigedad de las frmulas:

Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lgico, se debecolocar los parntesis de izquierda a derecha as:

pqr = (pq)r

pqrs = [(pq)r ]s

Si no hay signos de puntuacin ni parntesis se debe considerar el siguiente ordendemenor a mayor jerarqua de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicarlos parntesis.

,,,,

Ejemplos:pqr = (pq)rpqr v s = (pq)(r v s )pqrs = (pq)(rs)

Si la proposicin compuesta est escrita con parntesis, la ubicacin de stos nosindicar cual es el operador predominante:

Ejercicios

pqr = (pq) v r Es un esquema disyuntivo

pqr v s = (pq)( r v s ) Es un esquema condicional

pqrs = (pq)(rs ) Es un esquema bicondicional.

4. Si un esquema molecular no lleva los signos de agrupacin, se puede indicarcual esel operador predominante as:

1)Conjuncin prs (pr)s

2)Condicional pq s -----------------------



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3)Condicional pqr -----------------------

4)Condicional rpq -----------------------

5)Conjuncin rpq -------------------------

6)Disyuncin rqt -------------------------



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7)Disyuncin qps -----------------

8)Disyuncin qps ------------------

9)Disyuncin qrs -----------------

10)Condicional qrs -----------------

11)Negacin pr -----------------

12)Condicional pr ------------------

13)Negacin ts--------------------------

Dadas las siguientes proposiciones matemticas, incluir los parntesis.

Disyuncin x0x > yy = z x0( x > yy = z)

condicional x = 0x > yyz --------------------------------

condicional x = 0x0yz --------------------------------

condicional x > yxyy> z --------------------------------

conjuncin x = 0x > 0y= 0 --------------------------------

condicional x = yy = zx= z --------------------------------

conjuncin x = yy = zyz --------------------------------

En la proposicin compuesta: p( qr ) el conector principal es.

En la proposicin compuesta: pq el conector principal es

En la proposicin compuesta: p( pr) el conector principal es

En la proposicin compuesta: [ ( pq)(rs)] el conector principal es

Como podemos darnos cuenta, que los signos de puntuacin permiten, entre otras

cosas, identificar en una proposicin compuesta elCONECTOR DOMINANTE

OCONECTOR PRINCIPAL O EL DE MAYOR JERARQUA



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IV.-CLCULO PROPOSICIONAL

Hay dos formas de establecer los valores de verdad:

4.1. POR MEDIO DE LAS TABLAS DE VERDAD

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposicincompuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores quecontengan.

Es posible que no se conozca un valor de verdad especfico para cada proposicin;es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas lasdiferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las

posibilidades de combinar valores de verdad dependen del nmero de proposicionesdadas.

Para una proposicin (n = 1), tenemos 21= 2combinaciones

Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22= 4 combinaciones

Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 23= 8 combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2ncombinaciones

Ejemplo:dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores deverdad:

Pasos para construir la tabla: (pq)(pr)

Determinamos sus valores de verdad 23= 8 combinaciones

Determinamos las combinaciones:

p q rVVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF



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Adjuntamos a ste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada unade la variables sus valores de verdad :

p Q r (p q ) ( p r )

VVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

FFFFVVVV

FFFFVVFF

(4)

VVFFVVFF

VFVFVVFF

(6)

VVVVFFFF

FVFVVVVV

(5)

FVFVFVFV

4.Aplicamos la conjuncin de:

(p q )

5.Aplicamos la condicional

( p r )

6.Aplicamos la bicondicional

(p q ) ( p r )

El operador de mayor jerarqua es el que determina los valores de verdad del esquemamolecular.



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Ejercicios:

Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es falso, hallar el valor de verdad de lassiguientes proposiciones compuestas por medio de la tabla de verdad.

(pq)(pq)

p(qr)

q(pq)

(pq)(pr)

(q)(qr)

(rr)r



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4.2.- POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE RBOL.-

Es un procedimiento corto y fcil, se necesita conocer los valores de verdad decada variable y aplicar las tablas de certeza lgica:

Ejemplos:

a.Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es verdadera. Cul es el valor deverdad de la proposicin q(pr).

Solucin:

Tenemos:q(pr)

V F V

FF

Luego la proposicin: q(pr), es falsa.

b. Dado el siguiente esquema molecular:(pq)(pr)

Si: p es falsa q es verdadera y r es verdadera. El conector dominante es elbicon

dicional encontrar el valor de verdad del esquema por medio del diagrama delrbol:

Solucin:(pq )( pr)

V VF F

V V

V

Luego la proposicin: (pq)(pr) es verdadera



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Ejercicios

1. Si el valor de verdad de la proposicin: qp, es falsa, Cul ser el valor deverdad de:qp.

2. Completar con V o F, cada una de las siguientes proposiciones, justificar larespuesta:

Se sabe que pq es verdadera. Por lo tanto el valor de verdad depq es:-----------------------

Se sabe quepq es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de pq es:-----------------------

Se sabe quepq es falsa. Por lo tanto, el valor de vedad de pq es:-----------------------

Se sabe que p es falsa ypq es verdadera. Por lo tanto, pq es:-----------------------

Se sabe que q yr es verdadera. Por lo tanto q( pr) es:------------------------

3.Escribir simblicamente las proposiciones siguientes y encontrar el valor deverdad por el diagrama del rbol:

4)2 es nmero par y 21 es mltiplo de 3, 5 es la raz cuadrada de 10Si el m.c.m. de 12 y 15 es 60 y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juegoajedrez.



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V.-CONTINGENTES, TAUTOLOGAS Y CONTRADICCIONES

Los esquemas moleculares se clasifican segn el resultado que se obtenga en eloperador de mayor jerarqua, pueden ser:

5.1.- CONTINGENTES

Cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad Ejemplo: dadoel siguiente esquema: (pq)(pr)

P q r (p q ) ( p r )

VVV

VFFFF

VVF

FVVFF

VFV

FVFVF

FFF

FVVVV

FFF

FVVFF

VVF

FVVFF

VFV

FVVFF

VVV

VFFFF

FVFV

VVVV

FVF

VFVFV

El esquema es contingente

5.2.- TAUTOLOGA

Es una proposicin que siempre es verdadera, independientemente del valor lgicode las proposiciones simples que la componen..

Se puede decir tambin que un esquema es un tautolgico cuando los valores deverdad del operador principal son todos verdaderos.

Ejemplo

Si p y q son proporciones simples distintas, demuestre mediante tablas de certezaque el siguiente esquema proposicional es una tautologa.

(pq)(pq)

p q ( p q ) ( p q )

VVFF

VFVF

VVFF

VFFF

VFVF

VVVV

VVFF

VFFV

VFVF

Es un esquema tautolgico



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5.3.- CONTRADICCIN

Es cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos o Un esquema Aes una contradiccin si no A (A), es una contradiccin cuando todos los valoresdel operador de mayor jerarqua son falsos.

Indeterminacin: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

Ejemplo:

Dado el siguiente esquema molecular:

[(pq)r][ r( pq )],

determinar si se trata de una contradiccin:

P Q R [(p q ) r] [ r ( p q )]

VVVVFFFF

1

VVFFVVFF

2

VFVFVFVF

3

FFFFVVVV

4

FFFFVVFF

10

VVFFVVFF

5

VVVVFVVV

11

FVFVFVFV

6

FFFFVFFF

15

VFVFVFVF

7

FFFFVFFF

14

FFFFVVFF

13

VVVVFFFF

8

VVVVFFVV

12

FFVVFFVV

9

Podemos observar en el ejemplo anterior que no se trata de una contradiccin; perosi es un es un esquema contingente.

OBSERVACIN:

Ala tautologa se la simboliza con la letra T

A la idea de tautologa se la relaciona con el conjunto universal

A la contradiccin se la simboliza con la letra C

A la contradiccin se la relaciona con el conjunto vaco.

La negacin de una tautologa es una contradiccin



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La negacin de una contradiccin es una tautologa.



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Ejercicios

1.-Cules de las siguientes proposiciones compuestas son tautolgicas?

(p~q)(~pq)

(q~p)(p~q)

(~qp)(q~ p)

2.-De las siguientes proposiciones

(pq)(p~q)

(pq)(~pq)

[(p~q)q]~p

[(pq)q)][(qp)q]

Son contingencias:

3.-Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientesesquemas compuestas son tautologas, contingentes o contradictorios

pp

(pq)( qp)

[( pq )( qr )]( pr)

[p( pq )]q

( pq)(qp)



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VI.-INFERENCIA LGICA

Se clasifican en:

6.1.- IMPLICACIONES LGICAS

Se lo representa por el smbolo , no es un conectivo lgico, es un signo derelacin .

Se dice que un esquema A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por lacondicional nos da una tautologa. Simblicamente se lo representa as: AB.

Si la proposicin compuesta A implica a la proposicin compuesta B, entonces B sededuce necesariamente de A, o tambin se dice que B se infiere lgicamente de A.

Ejemplo:

Demostrar que el esquema A implica a B

A: pqB: pq

Luego unimos con la condicional y construimos la tabla: pqpq

P Q p q p q

VVFF

VFVF

VFFF

VVVV

VVVF

Como el resultado es una tautologa, se ha demostrado que A implica a B.

Nota: la relacin de implicacin no es recproca.

6.2.- EQUIVALENCIAS LGICAS

Se lo representa por pero no es un operador lgico.

Decimos que dos proposiciones compuestas P y Q son equivalente, s al unir lasdos con la bicondicional nos da una tautologa, es decir que P y Q tienen losmismos valores de verdad en su operador principal. Simblicamente se escribe as:



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PQ PQ Se lee P es equivalente a Q Q es equivalente a P.

Si no son equivalentes se los escribe as: PQ

Si P y Q son equivalentes, entonces Q se deduce vlidamente a partir P, y a la veztambin P se deduce necesariamente a partir de Q.

Para demostrar que una proposicin compuesta es equivalente a otra, se lo puedehacer por medio de las tablas de verdad o por medio de las leyes y reglas deinferencia que veremos a continuacin.

A los esquemas moleculares compuestos se los representa con las letrasmaysculas A, B, C,.. etc. con P, Q, R, etc.

Ejemplos:

Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes, por medio de la tablade verdad:

A : Si Laisa aprob el curso preuniversitario, entonces ingres a la UCV. Simblicamente: pq

B: No es el caso que: Laisa apruebe el curso preuniversitario y no ingrese a la UCV

Simblicamente :( p q )

Luego demostramos que: pq ( p q )

Seguidamente para demostrar que estos dos esquemas son equivalentes, losunimos con la bicondicional as: ( pq )( p q ) y construimos una tablade verdad:

p q ( p q )( p q )

VVF

F

VFV

F

VFV

V

VVV

V

VFV

V

FVF

F

Dado que el resultado de la tabla es una tautologa, las proposiciones A y B sonequivalentes.



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Otro Ejemplo:

P: qp ; Q: ( q p )

P q ( q p ) ( qp )

VVFF

VFVF

FVVV

1

VVVV

FVVV

3

VFFF

2

Aqu observamos que la columna 1 y 3 de los operadores principales de las

proposiciones P y Q son iguales, por lo tanto son equivalentes.

Tambin las proposiciones P y Q son equivalentes porque al unirlas con labicondicional nos dio una tautologa.

Ejercicios:

Demostrar que los siguientes esquemas moleculares son equivalentes

a)[ p( qr ) ][ ( pq )( pr )]

b) [p( q r ) ][( pq )( pr )]

c)( p( qr)(pq )r

d)(p(qr)(pq)r

e)( pq )(pq )

f) ( pq )(pq )



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VII.-LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL

En lgica, las tautologas son conocidas con el nombre de leyes o principios lgicos.A continuacin anotamos las principales leyes que vamos a utilizarlos en el futuro

y que usted de familiarizarse:

7.1.- LEYES

L- 1:LEYES DE IDEMPOTENCIAPARAY PARA

Si p es una proposicin simple o compuesta, entonces:

(p p) p

(p p) p

Segn estas leyes, las proporciones ( pp) o (pp) pueden sustituirse por p.

L 2:LEYES DE IDENTIDADPARAY PARA

Si p es una proposicin simple o compuesta, entonces:

p ( V ) ( V );

es decir, cuando formamos la disyuncin de una proporcin p, cuyo valor deverdad es desconocido, con otra cuyo valor de verdad de ( V ), el resultado es ( V ),ya que la disyuncin es ( V ) cuando al menos una de las proposiciones dadas esverdadera.

p ( F ) p;

es decir, el valor de verdad de la disyuncin de una proposicin p, cuyo valor deverdad no conocemos, con otra cuyo valor de verdad es ( F ), depende del valor dep.

p ( V ) p;

en este caso el anlisis es similar a la parte b), teniendo en cuenta que aqu elconector es

p ( F ) ( F );



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el anlisis es similar al de la parte a), teniendo encuenta aqu que el conector es



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L- 3: LEYES CONMUTATIVASY PARA

Si p y q son proposiciones, entonces:

( p q ) ( q p )

(pq )(qp), es decir, dos proporciones conectadas conpueden escribirseen cualquier orden.

L - 4:LEYES ASOCIATIVAS

Si p, q, , son proposiciones cualesquiera, entonces:

a- ( p( qr)(pq )r

b)(p (q r) (p q) r

L 5: LEYES DISTRIBUTIVAS:

Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces.

a)[ p( qr ) ][ ( pq )( pr )]

b) [p( q r ) ][( pq )( pr )]

Estas leyes son similares a las que conocemos en el lgebra para la suma y lamultiplicacin. Recordemos que:

4( x + y ) = (4x) + ( 4y)

L 6: LEY DE LA DOBLE NEGACIN:

Si p es una proposicin simple cualquiera, entonces:( p ) p

Al negar dos veces una proposicin obtenemos una afirmacin.

L 7: LEY DEL TERCER EXCLUIDO:

Si p es una proposicin cualesquiera, entonces:( p p) ( V )

Esta propiedad establece que independientemente del valor de verdad que tenga p,la proposicin:

(pp) siempre es verdadera. Por tanto, en un esquema lgico complejo podemosreemplazar



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(pp), (qq), (rr), (ab)(ab), etc., por ().



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L 8: LEY DE CONTRADICCIN:

Si p es una proposicin cualesquiera, entonces:( p p ) ( F )

Esquemas como (pp), (qq), (rr) pueden remplazarse por (F)

L 9: LEYES DE DE MORGAN:

Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces:

( p q ) ( p q )

( p q ) ( p q )

Estas leyes nos indican cmo negar una disyuncin y una conjuncin. La parte: a)establece que para negar una conjuncin es necesario cambiar la conjuncin pordisyuncin (por) y negar las proposiciones dadas.

La parte b) establece que para negar una disyuncin debemos cambiar ladisyuncin por la conjuncin (la por) y negar las proposiciones dadas.

Ejemplo:

Negar la proposicin: 7 es un nmero primo y 30 es divisible por 5.

Solucin:

Cambiamos y por o y negamos las proposiciones simples que formanelenunciado, as:

7 no es un nmero primo o 30 no es divisible por 5.

L 10: LEY DE LA CONDICIONAL:

Usando tablas de verdad podemos verificar que: pq equivale apq .

La proposicin pq es una abreviacin de la proposicinpq; es decir:

( pq ) ( p q)

NOTA:Son muchos los esquemas lgicos que ofrecen alguna complejidad y pueden

simplificarse utilizando esta definicin alterna del condicional.



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Ejemplo 1:

Escribamos sin condicional las proposiciones siguientes:

a)( pq)r

b)p(q)

c)pq

SOLUCIN:

a.(pq )r ]( pq )r

b. [p(qr ) ]p(qr )

c.(pq )(p )qp(q )

Ejemplo 2:

Escribamos una proposicin equivalente a:Si X es ingeniero entonces X tiene unaconstructora

SOLUCIN:

Usando la definicin alterna de la implicacin tenemos:X no es ingeniero o X notiene una constructora

Ejemplo 3:

Comprobemos que ( pq)(pq)

SOLUCIN:

Elaboramos la tabla de verdad:

p Q p

( p q) (p q)

VVFF

VFVF

FFVV

V VVF V FV VVV VV

(1) (3) (2)



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L- 11.- LEY DE LA BICONDICIONAL

p q ( pq ) ( qp )



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L- 12.- CONJUNCIN NEGATIVA.-

p q p q

L-13.-DISYUNCIN EXCLUSIVA.-

p q ( p q ) ( p q )

Ejercicios: Demuestre las leyes mediante el uso de las tablas de verdad.

7.2.- APLICACIONES DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

Las leyes nos pueden servir para demostrar que un esquema es equivalente a otro,tambin podemos utilizar en la simplificacin de proposiciones etc.

Ejemplo 1:Probemos que( pq )[p q )]

SOLUCIN:

( PQ )[( p )q] Definicin alterna de implicacin

(p)( q )Ley de De Morgan para

p(q) Ley de la Doble Negacin

Luego:( pq )[p(q)]

Ejemplo 2:Probemos que la proposicin ( pq)p es una tautologa.

SOLUCIN:

[( pq )p ]( pq )pDefinicin alterna de

(pq)pLey de De Morgan para

(pp )(q)Ley Asociativa de la

( V )(q ) Ley del Tercer excluido

( V ) Ley Idntica de la



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Por lo tanto, al ser[( pq )p]( V ), concluimos que es una tautologa.



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Ejercicios

1)Probemos que la proposicin [ ( pq)(q)](p) es una tautologa.

2)Probemos que la siguiente proposicin es una contradiccin:

[(pq )(pq ) ][(pq )](pq )

3)Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y decir en cada casosi se trata de una tautologa, una contradiccin o una determinacin.

a) ( pq)( pq )

b)( pq)(pq)

c)p( qr )

d)p(pq)

e)(pq )( pq)

f) ( pq )p

g)(qr )( qr)

h)( rr )r

4)Los siguientes ejercicios deben resolverse aplicando las Leyes del lgebraproposicional y no por tablas de verdad.-

Probar que las proposiciones siguientes son tautologas:

a)[q( pq ) ](p )

b)[ ( pq )q ](p )

c)[ ( p( qr ) ][ ( pq )r ]

d)[p( pq ) ]q

e)p( pq )

5)Simplificar las siguientes proposicin utilizando leyes:

a.(pq )(pq )

b.p( pq )



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c.m (mn )

d.[ t( m t )]

e.[( pq )(pq ) ]



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7.2.- INFERENCIA LGICA:

La inferencia es el paso de un conjunto de premisas a la conclusin.

Simblicamente se lo representa as:

P1P2P3.

.

.Pn______C

Al unir cada una de las premisas por el operador conjuntivo y estas a la vez con laconclusin por medio del condicional, se obtiene la siguiente frmula inferencial:

P1P2P3PnC

Como las premisas y la conclusin estn constituidas por proposiciones, podemos decirque la inferencia es una estructura de proposiciones, donde a partir de una o msproposiciones llamadas premisas se obtiene otra proposicin llamada conclusin:

Ejemplos:

1.Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo tanto, Si Vicente viaja

al norte del pas entonces no se quedar en la capital.

2.Si Mateo gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Mateo gan el

concurso de poesa. Luego Mateoobtendr una beca.

La conclusin se puede distinguir de sus premisas porque generalmente van precedidas

por alguno de los trminos como por lo tanto, luego, en consecuencia, de ah que,

etc. y las premisas podemos distinguirlas casi siempre por los signos de puntuacin

comoel punto seguido o por el sentido que tiene el enunciado.



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7.3.- VALIDEZ Y VERDAD

La validez se refiere a la forma de pensamiento, mientras que la verdad se obtiene

del anlisis del contenido del pensamiento. En todo razonamiento o inferencia hayque distinguir su validez de su verdad.

El razonamiento o la inferencia son vlidos cuando la conjuncin de premisasimplica a la conclusin; y, si esto no sucede, la inferencia es invlida.

La validez o invalidez de una inferencia depende nicamente de su forma lgica, yla forma lgica depende de la funcin que desempean las conectivas en laestructura del enunciado inferencial.

Si una inferencia vlida tiene su premisa o conjunto de premisas verdaderas,

entonces se puede asegurar que la conclusin es necesariamente verdadera; pero sila premisas o conjunto de premisas no son verdaderas, as la inferencia sea vlida,lgicamente no se puede saber la verdad o falsedad de la conclusin. Entonces, elnico caso que se puede saber la verdad de la conclusin es cuando la inferencia esvlida y tiene premisas verdaderas.

7.4.- MTODOS PARA DETERMINAR LA VALIDEZ DE UNA INFERENCIA

LGICA

Analizar la validez o invalidez de una inferencia consiste en decidir si la frmula de

la inferencia es vlida o no, para esto conocemos dos mtodos:

7.4.1.POR LA TABLA DE VALORES

Se sugiere seguir los siguientes pasos:

a.Simbolizar las premisas y la conclusin:

b.Obtener la formula inferencial

c.Aplicar la tabla de valores.Si el resultado es tautolgico, la conjuncin de

premisas implica a la conclusin, y por tanto la inferencia es vlida, pero si elresultado no es tautolgico, la inferencia no es vlida.

Ejemplos:

1. Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo tanto, SiVicente viaja al norte del pas entonces no se quedar en la capital.



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a.Simbolizamos:

p q _____________pq

b. Obtenemos la formula inferencial: ( p q )( pq )

b.Elaboramos la tabla de valores:

p Q ( p q ) ( pq )

VVFF

VFVF

V F FV VVV VVF V V

El esquema no es tautolgico, luego la premisa no implica a la conclusin y lainferencia no es vlida,

2.Si Mateo gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Mateo ganel concurso de poesa. Luego Mateo obtendr una beca.

a. Simbolizando tenemos:

pqp__________q

b. Obtenemos la formula inferencial:

[( pq ) p ]q

c. Elaboramos la tabla de valores:

p Q [( pq ) p ] q

VVFF

VFVF

VVVFF VV F VV F V



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El esquema es tautolgico, luego la conjuncin de premisas implica a la conclusiny la inferencia es vlida.



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7.4.2.POR EL MTODO ABREVIADO

Es un procedimiento que evita estar construyendo la tabla de valores de verdadpara determinar la validez de la inferencia.

Este mtodo consiste en suponer la conjuncin de premisas verdaderas y laconclusin falsa, nica posibilidad que invalidad la implicacin.

P1P2P3PnC

V VVV F

Ejemplo:

1.Vicente viajar al norte del pas o se quedar en la capital. Por lo tanto, SiVicente viaja al norte del pas entonces no se quedar en la capital.

a. Simbolizamos: p q _____________pq

b. Obtenemos la formula inferencial: ( p q )( pq )

c.Suponemos valores, a las premisas verdaderas y la conclusin falsa

( p q )( pq )

V F

Como cada una de las variables(p, q), cumplen una sola funcin veritativa,decidimos que la inferencia no es vlida. Esto es, se ha demostrado que la premisa

es verdadera y la conclusin es falsa.

2.Si Juan gana el concurso de poesa entonces obtendr una beca. Juan gan elconcurso de poesa. Luego Juan obtendr una beca.

Simbolizando tenemos:

pqp

__________q



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b. Obtenemos la formula inferencial:[(pq)p]q

c. Suponemos valores, a las premisas verdaderas y la conclusin falsa:

[(pq) p]q

V VF

c.Comprobamos:

[( pq ) p ]q

F FV V F

Como la variable p tiene dos valores: verdadero y falso a la vez. Por lo tanto, hayimplicacin y la inferencia es vlida.

7.5.-Reglas de inferencia:

Para inferir un razonamiento a partir de otros se requiere de un proceso en el quese aplican propiedades o leyes fijadas de antemano y que no hayan sido obtenidasde casos particulares o para casos particulares.

Estas leyes dan la certeza de que solo es posible obtener conclusiones ciertas depremisas ciertas.

7.5.1.-MODUS PONENDO PONENS( REGLA DE SEPARACIN):

Su abreviatura es PP.


p

q (1)p (1)

_______

q (1)

Su frmula inferencial es:[ ( pq )p]q

Si una proposicin condicional es verdadera y si verdadero el antecedente, entoncesnecesariamente ser verdadero el consecuente.



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Ejemplo:

Premisa 1: Si l est en el partido de ftbol, entonces l est en el estadio.



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Premisa 2: El est en el partido de ftbol

Conclusin: El est en el estadio.

Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior

pq (1)p (1)

_______q (1)

Ejercicios:

A.Qu conclusin se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos depremisas?

Es decir qu proposicin lgica se sigue de las premisas?

Si usted est en Madrid, entonces su reloj seala lamisa hora que en Barcelona.Usted est en Madrid.

Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nosdespedimos ahora.

Si vivo en la capital del Ecuador, entonces no vivo en ninguno de las 21 provinciasdel Ecuador. Vivo en la capital del Ecuador.

Utilizando Modus PonendoPonens sacar una conclusin de cada uno de losconjuntos de premisas siguientes. Escribir la conclusin en la lnea (3)

pqr

pq

pr

p

Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusin es correcta segn elModus

Poniendo Ponens. Poner una I junto a cada conclusin incorrecta.

Premisas: s y st: conclusin: t

Premisas: tv y t: conclusin v



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Premisas: pq y q: conclusin r

Premisas: s y rs

Premisas: r y rs



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7.5.2.DOBLE NEGACIN.

La reglade doble negacin es una regla simple que permitepasar de unapremisa nica a la conclusin.


p (1) p (1)________ _______p (1) p (1)

Ejemplo:

No ocurre que Mara no es estudiante

Simbolizando el ejemplo anterior tenemos:

p (1) ________p (1)

La conclusin es que Mara es estudiante.

Ejercicios:

A. Qu conclusin podemos sacar de cada una de las proposiciones siguientes porla doble negacin:

1. Todos los mamferos son animales de sangre caliente

2. El granito es un tipo de mineral gneo

3. No ocurre que un quinto no es el veinte por cierto

B. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas:

1. Demostrar:t 2. Demostrar: b

(1) st (1)a

(2) s (2)ab

(3) (3)

(4) (4)



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7.5.3.-MODUS TOLLENDO TOLLENS.

Su abreviatura es TT.




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(1)(1)

p (1)

Su frmula es: [ ( pq )q ]p

Si una proposicin condicional es verdadera y si es verdadera la negacin delconsecuente, entonces necesariamente ser verdadera la negacin del antecedente.

Ejemplo:

Premisa 1: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella

Premisa 2: El astro no es una estrella.

Conclusin: Por tanto no tiene luz propia

Se simboliza de la siguiente manera el ejercicio anterior

PPp TT 1, 2

Ejercicios:

1)Qu conclusin se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisassiguientes utilizando TT? Escribir las conclusiones es castellano.

2)Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luzms brillante dar lugar siempre a una emisin de electrones con mayor energaque los originados por luz ms tenue. La luz ms brillante no siempre emite

electrones con mayor energa que los originados.

3)Si un ngulo de un tringulo es mayor de 90 grados, entonces la suma de losotros dos ngulos es menor de 90 grados. La sima de los otros dos ngulos noes menor de 90 grados.

4)Si el arriendo se mantiene vlido, entonces el dueo es responsable de lasreparaciones. El dueo no es responsable de las reptaciones.

5)Deducir una conclusin de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes,aplicando la regla del Modus TollendoTollens.


pqq

pqq


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1.(1) qr 2. (1) qr 3. (1) ( pq)r (2)r (2)r (2)r(3)(3) (3)

Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas. Indicarla demostracin completa.

Demostrar: c Demostrar: rs Demostrar:

(1)b (1) pq (1) f(2) ab (2) q (2)ef(3)ac (3)prs

7.5.4.-MODUS TOLLENDO PONENS.

Su abreviatura es: MTP


(1)(1) q (1)

(1)(1) p (1)

Sus frmulas son:

[(pq )p]q

[(pq )q]p

Si una proposicin disyuntiva es verdadera y si es verdadera la negacin de una desus componentes, entonces necesariamente ser verdadera la otra componente dela disyuncin.


pqp

pqq


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Ejemplo:

1.- Supngase que se tiene como premisa:

O esta sustancia contiene hidrgeno o contiene oxgeno

La segunda premisa dice:

Esta sustancia no contiene oxgeno

Por medio del Modus TollendoPonens se puede concluir:

Esta sustancia contiene oxgeno

2.- Para aclarar la forma de esta inferencia, se puede simbolizar el ejemplo:

p: Esta sustancia contiene hidrgeno

q: Esta sustancia contiene oxgeno

La demostracin de la conclusin es:

q TP 1, 2

Ejercicios:

1.-Qu conclusin, en forma de proposicin escrita en castellano, se puedededucir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes utilizando la reglaTP?

2.-Este hombre o es un abogado o es un poltico. No es un abogado.Juan o ha terminado el libro o no ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca.

Juan no ha terminado el libro.

B. Deducir una conclusin de cada uno de los siguientes conjuntos de premisasusando el Modus TollendoPonens.

(1)qrP (1) t( pq) (1) (st)r (2) r P (2)t P (2)(st) P


pq Pp P


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C. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas dadas en losEjercicios que siguen. Dar una demostracin completa.

1) Demostrar: p 2) Demostrar ab 3)Demostrar: p

(1) pq P (1)ab P (1) tpq P

(2)t P (2) ae P (2)t P

(3) qt P (3) e P (3)q P

7.5.5.-TAUTOLOGA SIMPLIFICATIVA


pq

p

pq

Q

Su frmula es: (pq)p

(pq)q

Si una conjuncin de proposiciones es verdadera entonces necesariamente serverdadera cada una de sus componentes.

Ejemplo:

Apruebo los talleres y apruebo el mdulo 2

Premisa 1: apruebo los talleres

Premisa 2: apruebo el mdulo 2

Conclusin: 1) apruebo los talleres

Conclusin: 2) apruebo el mdulo 2



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7.5.6.- TAUTOLOGA ADJUNCIN


P

Q

pq

Su frmula es:[( p )( q )]( pq)

Si dos proporciones cualesquiera son verdaderas, entonces necesariamente serverdadera la conjuncin que con dichas proposiciones se forme.

Ejemplo:

Sal bien en el examen y tengo 10

p: sal bien en el examen

q: tengo 10

( p q ) : sal bien en el examen y tengo 10

7.5.7.TAUTOLOGA ADICIN


P

pq

Su frmula es: p[pq]

Si una proposicin cualesquiera es verdadera, entonces necesariamente serverdaderala disyuncin que se forme con dicha proposicin y cualquier otra.



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Ejemplo:

Estudio con responsabilidad o pierdo el mdulo

p: estudio con responsabilidad

q: pierdo el mdulo

pq: estudio con responsabilidad o pierdo el mdulo.

7.5.8. SILOGISMO HIPOTTICO(LEY TRANSITIVA).

Su abreviatura es HS

Simblicamente tenemos:pqqr

pr

Su frmula es:[( pq )( rs ) ( pr )](qs)

Si una proposicin condicional es verdadera y si es verdadera otra condicional quetenga como antecedente el consecuente de la primera, entonces necesariamenteser verdadera otra condicional que tenga por antecedente el de la primea y porconsecuente el consecuente de la segunda.

Ejemplo:

(1) Si hace calor, entonces Juana va a nadar

(2) Si Juana va a nadar, entonces arregla la casa despus de comer.

Se puede concluir:

(3) Si hace calor, entonces arregla la casa despus de comer.

Ejercicios:

En los ejemplos siguientes de la ley del silogismo hipottico obsrvese que algunosde los antecedentes y consecuentes son proposiciones moleculares. La forma, sinembargo es la misma.

a. (1)pq P



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(2)qr P

(3)pr HS 1,2



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b. (1) (pq)rP

(2) r(qt ) P

(3) (pq)( qt ) HS 1,2

A.Qu conclusiones se puede sacar, si se puede sacar alguna, por la ley desilogismo hipottico de los conjuntos de proposiciones siguientes?

Si el agua se hiela, entonces sus molculas forman cristales. Si lasmolculasforman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.

Si un haz fino de fotones penetran en un gas en una cmara de niebla, entonces losfotones expulsan electrones de lo s tomos del gas. Si los fotones expulsan

electrones de tomos de gas, entonces la energa de la luz se convierte en energacintica de los electrones.

B.Traducir los razonamientos del ejercicio A en smbolos lgicos y demostrar quesu conclusin es consecuencia lgica de las premisas.

C.Utilizar la ley del silogismo hipottico y obtener una conclusin del siguienteconjunto de premisas.

1. (1) qp 2. (1) strq

(2)pr (2) rqp

D.Indicar una deduccin formal de las siguientes conclusiones a partir de laspremisas dadas.

1. Demostrar:t 2. Demostrar: q(1) ( qr)p (1)rs(2) rt (2) spq

(3) ( qr )t (3) rt(4)t

7.5.9.- SILOGISMO DISYUNTIVO(LEY DEL DILEMA).

Su abreviatura es DS

Simblicamente tenemos: pq



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rspr

qs



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Su frmula es:[(pq)(rs )(pq)](qs)

Si dos proposiciones condicionales son verdaderas y si es verdadera la disyuncinque se forme con los antecedentes de dichas condicionales, entonces

necesariamente ser verdadera la disyuncin que se forme con los consecuentes.

Ejemplo:

O llueve o el campo est seco

Si llueve, entonces jugaremos dentro.

Si el campo est seco, entonces jugaremos al baloncesto

Qu conclusin se puede sacar de estas proposiciones? La conclusin es que o

jugaremos dentro o jugaremos el baloncesto. La conclusin es otra disyuncin.

Simbolizamos:

r: llueve

d: el campo est seco

p: jugaremos dentro

b: jugaremos al baloncesto

Esto se simboliza as:

(1) rd P

(2) rp P

(3) db P

(4) pb D S1, 2, y 3

Ejercicios:

A.Qu conclusin se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos depremisas,por la ley del silogismo disyuntivo? Dar como conclusin una proposicinen lenguaje corriente.

O Juan tiene mayora o Pedro tiene mayora. Si Juan tiene mayora. Pedro ser eltesorero. Si Pedro tiene mayora, entonces Juan ser el tesorero.



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O la planta es un aplanta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde,entonces fabrica su propio elemento. Si es una planta no verde, entonces dependede las materias de otras plantas para su alimento.



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B.Simbolizar los razonamientos de los ejemplos anteriores y demostrar que lasconclusiones son consecuencia lgica de las premisas.

C.Utilizar la ley del silogismo disyuntivo (DS) para obtener una conclusin de cadauno de los siguientes conjuntos de premisas.

1. (1) pq 2. (1)ts

(2)qr (2)sp

(3) ps (3) tq

Dar una deduccin completamente formal de las siguientes conclusiones a partir delas premisas dadas.

1. Demostrar: r(pq ) 2. Demostrar:qs

(1) pq (1) sr

(2) qr (2) rt

(3) pt (3) qt

(4)t

7.5.10. CONMUTATIVA


pq pq

_______ ______qp qp

Su frmula es:

(p q )(q p) (pq)( qp)

Ejemplo:

Pedro trabaja y estudia pq

Por lo tanto:



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Pedro estudia y trabaja qp



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7.5.11. SIMPLIFICACION DISYUNTIVA:


pp

________p

Su frmula es: (pp)p

Ejemplo:

Pedro es ingeniero o Pedro es ingeniero pp

Se concluye: que Pedro es ingeniero

7.5. 12.LAS LEYES DE DE MORGAN:


a)(pq) b)pq

________ ________pq (pq)

Ejemplos:

a) No ocurre a la vez que: hace calor o que hace fro (pq)

Se puede tambin expresar:

No hace calor y no hace fro pq

b) No llueve y no hace sol pq



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Se puede tambin expresar:

No ocurre que: llueve o haga sol(pq)



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Ejercicios:

A.Qu se puede concluir de las premisas siguientes utilizando las leyes de De

Morgan?

1. O los estudiantes no son ingenieros o no tienen tiempo

2. No ocurre que o el aire es un buen conductor del calor o el agua es unbuenconductor del calor.

3. No ocurre que los puentes son cementos o que los edificios son calles

B.Aplicar las leyes de De Morgan para deducir conclusiones:

1.( pq)

2.rt

3.(rs)

4.gh

C.Indicar una demostracin formal completa para cada uno de los razonamientossimbolizados siguientes:

1. Demostrar:s 2. Demostrar: rq

(1)(pq) (1)s( pt)

(2)qt (2) t(qr)

(3)pt(3)s

(4) st

D.-Dar una demostracin formal completa para cada uno de los razonamientossiguientes:

1. Demostrar: x = 1

(1)(zy)y = 2

(2) x


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(3) x>zx>y

(4) x>zx


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7.5.13.- REGLA DE LA BICONDICIONAL.

Su abreviatura es LB


pq pq ___________________ qp (pq )(qp) ____________

pq

Ejercicios:

A.Simbolizar las siguientes proposiciones y dar una deduccin formal:

1.Esta ley ser aprobada en esta sesin si y solo si es apoyada por la mayora. Oes apoyada por la mayora o el gobernador se opone a ella. Si el gobernador seopone a ella, entonces ser pospuesta en las deliberaciones del comit. Por tanto oesta ley ser aprobada en esta sesin o ser pospuesta en la deliberacin delcomit.

2.3 x 5 = 125 +5 +5 = 12

4 x 413

5 +5 +5 = 124 x 4 = 13

Por lo tanto: 3 x 512

B.Dar una demostracin formal completa de cada uno de los razonamientossiguientes:

1.Demostrar: 2 x 5 = 5 + 52 x 4 = 4 + 4

(1) 2 x 4 = 4 + 42 x 5 = 5 + 5

2.Demostrar: x = 43x + 2 = 14



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(1) 3x + 2 = 143x = 12 (2) 3x = 12x = 4



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7.5.14. CONJUNCIN NEGATIVA

Simblicamente:

pq

_________pq

Su frmula es: (pq)(pq)

Ejemplo:

Ni Luis estudia ni Juan trabaja pq

Se concluye que:

Luis no estudia y Juan no trabaja. pq

7.5.15. DISYUNCIN EXCLUSIVA

Simblicamente:

p v q_____________

(pq )( pq)

Ejemplo:

Ins es hija de Pedro o hija de Luis p v q

Se concluye:

Ins es hija de Pedro o Ins es hija de Luis y no es cierto que: Ins es hija de Pedroy de Luis



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SESI 6

VIII.-PROCESOS DE DEDUCCIN

De un conjunto de premisas dadas, que se puede deducir:

1.Determinar el valor de verdad de las premisas. Si alguna de ellas es falsa no esposible inferir nada de ellas.

Ejemplo: que se puede deducir de:

2 + 3 = 53 = 3

4 + 2 = 79 + 2 = 11

4 + 2 = 7 2 = 2

Determinamos el valor de verdad

2 + 3 = 53 = 3 V

4 + 2 = 79 + 2 = 11 V

4 + 2 = 7 2 = 2 F

De este conjunto de premisas no se puede concluir nada.

2.Determinar si las premisas son inconsistentes o no. a. Si las premisas no son consistentes (inconsistentes) no se puede inferirnada de ellas.

b. Si las premisas son consistentes es posible deducir una conclusinutilizando las reglas de inferencia.

Ejemplo: Que se deduce de:

Si 3 + 2 = 5, 6 4 = 2

Si 6 4 = 2, 6 = 3 + 3

1.Determinamos el valor de verdad de las premisas:

3 + 2 = 5 6 4 = 2 V

6 4 = 2 6 = 3 + 3 V

2.Determinamos la conclusin:3 + 2 = 56 = 3 + 3



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Ejemplo: Considerando que las premisas son verdaderas, que sepuede deducir de:pqrpqr

pq P1



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rpP2

qr P3

r C1de P2 (Regla de la simplificacin)

q C2de P3y C1 (M T.T)

p C3de P1y C2 (M. T.T)

p C4de P2 (Regla de la simplificacin)

ppC5de C3y C4 (Regla de adjuncin)

Las premisas son inconsistentes, en consecuencia nada se puede deducir de ellas

Ejercicios:

Que se puede deducir de:

1.4 + 3 = 72 = 2 3. q v r

3 + 2 = 64 + 3 = 7 qp

3 + 2622 r( st)

2.pq 4. pq

p q[s(rp)]

sq

MTODOS DE DEMOSTRACIN

Los mtodos de demostracin pueden ser: directo, condicional e indirecto. Lademostracin de una proposicin tiene por objeto establecer que es verdad,infirindola de verdades conocidas o ya demostradas.

MTODO DIRECTO:

Consiste en inferir una conclusin, partiendo nicamente de un conjunto depremisas.

Ejemplo:

Demostrar: s; de



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pq pq P1ps ps P2qs qs P3

s C1; de P1, P2y P3 (Regla del SilogismoDisy.)

s C; de C1 (Simplificacin Disyuntiva)



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IX.-CIRCUITOS LGICOS

El valor de verdad de una proposicin puede asociarse al pasaje de corriente en un

circuito elctrico controlado por un interruptor.

En efecto, para representar un interruptor mediante una proposicin p, se tiene:

p p

Circuito cerrado Circuito abierto

Es decir, el interruptor est cerrado (pasa corriente) si V(p) = V, y est abierto (nopasa corriente) si V(p)=F. De aqu establecemos una identificacin entre lasproposiciones y los interruptores de un circuito elctrico. Las operacionesproposicionales (conjuncin, disyuncin, etc.) pueden representarse mediantecircuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes. Considerandolas clases de instalaciones: en serie y en paralelo, es factible disear esquemas decircuitos elctricos para representar a proposiciones compuestas o viceversa.

Circuitos en serie:

Consideremos dos interruptores p y q conectados en serie:

p q

Se observa que este circuito admite poso de corriente cuando los dos (interruptoresp y q estn cerrados, en cualquier otro caso no hay paso de corriente. De aqutenemos el comportamiento de la conjuncin de las proposiciones pq. Por tanto:

a) pq: representa un circuito cerrado en serie, que deja posar corriente solo silosinterruptores p y q estn cerrados a la vez. Diremos que solo en este estado pqes verdadera.

b) p q: representa un circuito abierto en serie que deja pasar corriente.Diremos entonces que en este estado p q es falsa.



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p q p q

pq pq



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Circuitos en paralelo:

Consideremos ahora dos interruptores instalados en paralelo:

p

q

Se observa en el circuito que hay paso de corriente cuando uno de los interruptoreso ambos estn cerrados; no hay paso de corriente cuando los dos interruptoresestn abiertos. Tenemos, entonces, el comportamiento de la disyuncin de las

proposiciones p y q. La falsedad de pq, es decir, el hecho de que no pase corriente,solo se verifica en el caso de la falsedad simultnea de pq; Por tanto:

pq: representa un circuito cerrado en paralelo que deja pasar corriente si por lomenos uno de los interruptores elctricos est cerrado. Diremos que solo enesteestado pq es verdadero

b) p q: representa un circuito abierto en paralelo que no deja pasar corriente,polo que en este estado p q es falsa.

p p

q q

pq pq

Las representaciones anteriores nos permiten disear o simbolizar redes decircuitos elctricos conectados en serie y en paralelo, o tambin simplificarcircuitos muy complicados haciendo uso de las ya conocidas equivalenciasnotables.

Ejemplo:

Disertar circuitos lgicos de las siguientes proposiciones:



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a) (pq)r b) pq c) pq



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Solucin:

a) Vemos que (pq)r es la conjuncin de pq y r, que deben estar conectados enserie:

pq r

Pero, pq se representa por:(1)p

q

Luego sustituyendo en (1), tendremos la representacin pedida, esto es:

p r

q

b) Segn la condicional: pq pq

Luego, la representacin de pq, es la disyuncin (conexin en paralelo) de pq.Esto es:

p

q

c) De la equivalencia: pq(pq)(qp)

( pq )( qp)

Entonces, la representacin de pq es conjuncin (conexin en serie) de

( p v q ) y ( qp), esto es:

pq qp



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Pero pq y qp, se representan, respectivamente, por: (2)

p q

q p



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Sustituyendo en (2) se tiene:

p q

qp

Pero, segn la equivalencia:pq( pq )( p q)

Representando la disyuncin de pq y p q, tendremos:

pq p q

pq p q

Los circuitos (3) y (4) son representaciones de pq; se dice entonces que(3) y (4) son circuitos equivalentes.



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q

qp


Ejercicios:

Si el costo de cada llave de Instalacin del circuito E de la figura adjunta es $10, cuntose ahorrara si se reemplaza ste por un circuito lgico ms simple equivalente?

1.Describir simblicamente el circuito:rp

q

q r

2.. Determinar el circuito equivalente al circuito:

p q p

p qq

q p

p

q

3.Construir el circuito lgico equivalente del esquema:( )[ ] ( )[ ]pqppqp

p

q

4.La proposicin p q

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