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TRANSFORMADA DE HAAR ( HAT )

La transformada de Haar se basa en una clase de matrices ortogonales cuyos elementos son1, -1 0 multiplicados por potencias de /2. La HAT ortonormal es otra transformada de imgeneseficiente en cuanto a las operaciones. La transformada de un vector de N puntos necesita slamente2(N-1) sumas y N multiplicaciones. Las matrices Haar ortonormales para N=4 y para N=8 semuestran a continuacin (1) :

(1) Estas matrices pueden verse multiplicadas por el coeficiente 1/N ( 1/4 y 1/8 respectivamente ) o incluso por elcoeficiente 1//N ( 1//4 y 1//8 respectivamente ) , pero la estructura matricial siempre es la misma.

Las extensiones a matrices Haar de orden superior siguen la estructura indicada justo anteriormente.La siguiente figura muestra las funciones base de la HAT para N=16:

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Figura 3.9: Funciones base de la HAT para N=16.

La HAT puede compararse con un proceso de muestreo en el que las filas de la matriztransformada muestrean una secuencia de datos de entrada cada vez con mayor resolucin,incrementndose en potencias de 2.

El primer elemento proporciona el valor medio de los componentes. El segundo es unadiferencia media de los primeros N/2 componentes y los otros N/2. Los elementos restantes delproducto miden diferencias adyacentes entre los datos tomados de 4 en 4 a la vez, o de 2 en 2.

Dado que estos trminos slo dependen de propiedades locales de los datos, la HAT puededecirse que es sensible localmente y globalmente en contraste con la transformada de Fourier y la deWalsh - Hadamard, que son sensibles globalmente. La HAT de una imagen puede calcularse como [F]=N-1AH [f]AH , y la transformada inversa como [f]=N-1AH[F]AH , donde la matrizHaar se obtiene muestreando el conjunto de funciones Haar.

Las matrices base para N=8 se muestran en la Fig. ( 3.10 ):

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Figura 3.10: Matrices basede Haar para N=8.

Cada uno de los coeficientes de la transformada puede considerarse proporcional a lacorrelacin de la imagen y la correspondiente matriz base.

En aplicaciones del procesado de imagen, la HAT proporciona un dominio transformado enel que un tipo de energa diferencial se concentra en regiones localizadas.

Esta transformada puede generarse a partir de las siguientes relaciones:

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donde 0#x

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Figura 3.11: A la izquierda, imagen original (256x256 pixels ); a la derecha, su HAT.

TRANSFORMADA RPIDA DE HAAR

La HAT tiene una ventaja inicial en cuanto a su implementacin, y es que tiene una formadistribuida ( aunque, de nuevo, su eficiencia en cuanto a la compresin de datos no es particularmentebuena ). No obstante, puede ser todava ms eficiente con un algoritmo rpido.

La matriz Haar para N=8 ( HA(8) ) puede expresarse como el producto de tres matrices:HA(8)=[A1] x [A2] x [A3] , donde

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k0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

2

2

2

2

2

2

f3(k)

C(p)kf f1(k)

f2(k)

f(i+1) (l)

= a + b fi (m) fi (n)

fi (m)

fi (n)

a

b

f(i+1) (l)

De esta forma, la transformada necesita multiplicaciones por /2 y por 2. Dado que staspueden considerarse simplemente como operaciones de escalado de los vectores base , en laimplementacin no son esenciales y la HAT ortogonal ( HA(8) ) puede efectuarse sinmultiplicaciones en 2(N-1)=2+4+8 =14 sumas / restas. El mantenimiento de la ortonormalidad necesita10 multiplicaciones adicionales. En su forma original necesita 24 sumas / restas.Si se desea la forma ortogonal, entonces las multiplicaciones por /2 pueden implementarse en tres

desplazamientos binarios y tres sumas por la aproximacin (

/2=1.4142.... ) .El clculo de la HAT para N=8 se da en la siguiente figura:

Figura 3.12: Diagrama de flujo para la transformada rpida de Haar ( N=8 ).

Este diagrama corresponde a la factorizacin de las matrices [A1], [A2] y [A3] . La HATpuede calcularse tambin usando un algoritmo del tipo Cooley - Tukey junto con log2N inversionesde bit.

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Puede encontrarse en la bibliografa sobre el tema la transformada Hadamard - Haar, en la quelos vectores base son combinaciones lineales de las funciones de Haar. Las reglas para la generacinrecursiva de matrices Haar conducen al algoritmo rpido.

Debido a su uso relativamente pobre, la HAT no ha recibido mucha atencin recientementeen comparacin con transformadas mejores, sin embargo estas ltimas requieren un tratamiento mscomplejo.

SNTESIS

* La HAT ortonormal es otra transformada de imgenes eficiente en cuanto a las operaciones.

* Cada coeficiente de la HAT puede considerarse proporcional a la correlacin de la imagen y la correspondientematriz base.

* Su principal aplicacin es la codificacin de imgenes.

* Con un algoritmo rpido ( transformada rpida de Haar ), esta transformada puede ser ms eficiente en cuanto ala compresin de datos.

* La HAT puede calcularse tambin usando un algoritmo del tipo Cooley-Tukey.

* Esta transformada no ha recibido ltimamente demasiada atencin, debido a las mejoras que se consiguen conotras transformadas, aunque stas sean ms complejas.