Guisasola - Erein argitaletxea · 2018. 8. 2. · Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 ... e-mail:...

Jenaro GuisasolaAne Leniz

Oier Azula

FisikaBATXILERGOA 2

Irakaslearen gidaliburua

FISIKA_irakaslea_Batxilergoa2_Maquetación 1 01/09/15 10:49 Página 1

Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edoaldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitakosalbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edoeskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos,www.cedro.org).

Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2015-VII-3)

Maketazioa: IPAR S.L. arte grafikoen tailerra. DonostiaIlustrazioak: Iván Landa© Jenaro Guisasola, Ane Leniz eta Oier Azula© EREIN. Donostia 2015ISBN: 978-84-9746-976-0L.G.: SS-1029-2015EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 10720018 DonostiaT 943 218 300 F 943 218 311e-mail: [email protected]: GertuZubillaga industrialdea 9, 20560 OñatiT 943 78 33 09 F 943 78 31 33e-mail: [email protected]


Aurkibidea

FISIKA

1. gaia. Indar grabitatorioa .............................................................................................................................................. 7

2. gaia. Eremu grabitatorioa ............................................................................................................................................ 35

3. gaia. Eremu elektrikoa .................................................................................................................................................. 63

4. gaia. Eremu magnetikoa .............................................................................................................................................. 81

5. gaia. Oszilazioak.............................................................................................................................................................. 106

6. gaia. Uhin-higidura etra soinu-uhinak .................................................................................................................... 126

7. gaia. Uhinen gainezarpena eta uhin geldikorrak .............................................................................................. 143

8. gaia. Optika geometrikoa ............................................................................................................................................ 162

9. gaia. Optika ondulatorioa ............................................................................................................................................ 180

10. gaia. Erlatibitate berezia ............................................................................................................................................ 190

11. gaia. Fisika kuantikoa ................................................................................................................................................ 200

12. gaia. Fisika nulearra eta partikulena .................................................................................................................... 211


Problemak ebazteko ereduaIkerketa gidatzeko jarduera

Problemen ebazpenaren alorreko porrot orokorrak egoera guztiz ezkorrera garamatza,itxuraz, eta hori gainditzeko asmoz, zalantzan jarriko dugu ikasgelan jarduera hori aur-keztu ohi den modua. Lehenik, gogoeta egingo dugu problematzat hartu ohi dugunariburuz. Hona hemen problemaren hainbat definizio:

• Pertsona bat problema bati aurre egin beharrean dago zerbait nahi duenean etaez dakienean zer ekintza egin behar dituen hori lortzeko (Newell y Simon, 1972).

• Gizabanako batek edo talde batek konpondu nahi edo behar duen egoera bat,eta hori konpontzeko edo ebazteko bide zuzenik ezagutzen ez duenean (Lester,1983).

• Gure ezagutzetara egokitzen ez den egoera bat, tentsioa eta anbiguotasuna sor-tzen duena. Intelektualki, gure egitura kognitiboen mugatik hurbil-hurbil dago,gure interesa sortzeko bezain hurbil (Garret, 1988).

• Ageriko irtenbiderik ez duen egoera (Gil et al.,1988).

Definizio horiek guztiak, elkarren desberdinak badira ere, bat datoz adierazten duteneanegoera bat ezin dela problematzat hartu hura existitzen dela aitortzen ez bada, hau da,ezezaguna bada eta a priori ez badugu harentzako irtenbiderik.

Hala ere, irakasleek ikasgelan problema izenaz egin ohi ditugun jarduera askok ez dietejarraitzen problema batek izan beharko lituzkeen oinarrizko ezaugarri horiei, izan ere,irakasleak modu ordenatuan azaltzen du horien bitartez egoera bat eta oso ondo eza-gutzen du horrentzako irtenbidea; beraz, ez dago zalantza izpirik, beretzat ez baita be-netako problema bat, nahiz eta ikasleentzat hala izan. Ikasleak erantzuna ikastea etaantzeko kasuetara aplikatzea da azken helburua. Orduan, bidezkoa da pentsatzea ikas-leek ez dutela ikasiko benetako problemei nola aurre egin eta porrot egingo dutela eza-gutzen dutenari buruz edozein aldaketa gertatzen denean.

Problema bat ebazteak zer dakarren argitzea da problemen ebazpenari buruzko gurezalantzaren bigarren alderdi saihestezina. Eta horrekin batera bada beste galdera bat:nola aurkitu irtenbidera eramango gaituen bide hori, irteera hori? Erantzuna Zientzianbertan aurkituko dugu, zientzialariek beraientzat ezezagunak diren problemei aurreegin behar dietenean egiten dutena egin behar dugu, hau da, aztertu eta ikertu. Betibat ez bagatoz ere zientzialariek problemak ebazteko duten moduari eta eskolaren ere-muan kontuan hartu beharreko ezaugarriei buruz, funtsezko hainbat irakaspen-estra-tegia daude ikasleei problemak ebazteko bidean gidatzeko. Estrategia horiei buruzkontsentsu handia dago eta puntu hauetan labur daitezke:


a) Azterketa kualitatibo bat egitea, helburua argitzen laguntzeko: zer bilatzen ariden, egoeraren testuingurua hura moldatu eta sinplifikatzeko, erreferentzia te-orikoaren zirriborroa egitea, aldagaiak identifikatzea, datuak bilatzea, problema-ren atalak identifikatzea.

b) Hipotesiak egitea sistema nola aldatu edo bilakatu litekeen aurreikusteko. Erahorretara, mendekotasun harremanak ezartzen dira aldagaien artean eta ga-rrantzi fisiko berezia duten muturreko kasuak aztertzen dira.

c) Irtenbide bat bilatzeko egon litezkeen aukerak aintzakotzat hartzea eta ebalua-tzea, hau da, estrategiak bilatzea, hala nola, irtenbide saioak egitea; horretarako,ekintzen deskribapen sekuentziala aurkeztuko da, legeak eta oinarrizko printzi-pioak identifikatuko dira, egon litezkeen irtenbideak ebaluatuko dira.

d) Emaitzak aztertzea, eta orobat aztertzea azaldutako hipotesiekin zenbateko ko-herentzia duten; estrategia desberdinen bitartez erantzun berbera topatu denegiaztatzea, edo, bestela, mundu errealeko egoeretan zer arazo sor litezkeenkontuan hartzea.

e) Beste sakontasun maila bati heltzera eramaten gaituzten ikuspegi berriak, besteeredu batzuetara hurbiltzea eta, azkenik, problema berriak finkatzea.

Ikasleei problemak ebazteko prozesuan sortutako zailtasunekin laguntzeko proposatzendiren irakaskuntza-estrategiak ez du adierazitako ezaugarri bakoitzaren sekuentzia zu-rrun bat biltzen, ezta aplikatu beharreko errezeta bat ere, baizik eta alderantziz, ikuspegiholistiko bat, modu egokian erabili behar dena problema bakoitzean eta dagokion tes-tuinguruan.


7

. gaia: Indar grabitatorioa11. NASAko zientzialariek Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoa duen kometa berri

bat aurkitu dute; kometaren periodoa 127,4 urtekoa da. Baldin badakiguEguzkitik dagoen distantziarik hurbilena 0,1 AU dela, zenbatekoa izan daitekekometa Eguzkitik urrunen egon daitekeen distantzia?

PLANTEAMENDUA

Orain arte ikusitakoaren arabera, orbita eliptikoak sortzen direnean badakigu mo-mentu angeluarra kontserbatu egiten dela. Horrez gain, badakigu, denbora berdi-nean azalera berdineko elipseak egiten dituela kometak. Horrek erakusten diguEguzkitik hurbilago dagoenean azkarrago mugituko dela eta urrunean dagoeneanmantsoago. Urruntasunean izango duen abiadura periodoak baldintzatuko du; hauda, azkenean 127,4 urtekoa bada periodoa, periodo horrek esaten digu zenbat mantsotudaitekeen, zeren, esan dugun bezala, periodo oso baten bira osoa eman behar du.

ALDAGAIEN ARTEKO ERLAZIOA

Kasu honetan aldagai bi ematen dizkigu enuntziatuak, periodoa eta kometatik hur-bilen dagoen distantziaren datua.

Periodoa eta distantziak oso lotuta daude, zenbat eta periodo handiagoa, orduaneta distantzia luzeagora irits daiteke kometa. Periodoa eta kometaren erradioarenbatez besteko distantzia oso erlazionatuta daude.

Batez besteko distantzia hori perihelioaren (Eguzkitik hurbilen dagoen distantzia)eta afelioaren (Eguzkitik urrunen dagoen distantzia) mende egongo da.

Laburbilduz, periodoak zuzeneko erlazioa du Eguzkiaren orbitarekiko kometakizango duen batez besteko erradioarekin. Bestalde, batez besteko erradioa hurbi-leneko eta urruneneko distantziekin lotuta dago. Zenbat eta periodo handiagoa, or-duan eta batez besteko erradio handiagoa. Batez besteko erradio horren arabera,Eguzkiarengana zenbat eta gehiago hurbildu punturik eta hurbilenean gehiagourrunduko da punturik urrunenean, eta orbita eliptikoa osatzen da horrela.

EBAZPENERAKO ESTRATEGIAK

1) Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berdinean orbitan zehar aza-lera berdina beteko duela kometak.

2) Horrez gain, badakigu batez besteko distantzia, punturik hurbilenaren (perihelio)eta urrunenaren (afelio) batez bestekoa dela.

non: rm batez besteko distantzia, rp distantzia perihelioan (0,1 UAkasu honetan) eta ra distantzia afelioan (punturik urrunena, ariketa honen hel-burua).

T = 127,4 urte

0,1 UA Dmax?

rp + ra2

rm =


3) Keplerren 3. Legea.

T2 = Crm3

4) Badakigu Lurraren rm 1 UA dela eta periodoa 1 urte, beraz, C Keplerren legearenkonstantea ateratzeko datu guztiak ditugu.

SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA

Beraz bi ekuaziotatik abiatzen gara,

bien arteko zatiketa eginez gero, C, badoa.

Horrela, kometaren batez besteko erradioa lortzen dugu:

Kontuan eduki behar dugu, kometaren batez besteko erradioa puntu hurbilenaren(perihelio) eta urrunenaren (afelio) batez bestekoa dela. Beraz,

Zenbakiekin eginda,

izango da kometa egon daitekeen punturik urrunena; hau da, Eguzkiaren eta Lu-rraren arteko distantziaren halako 50. Kontuan izanda, Lurraren periodoaren aldean127,4 aldiz periodo handiagoa dela, logikoa da horren urrun egotea. Kontuan izanda,rm kometarena, 25,31 UA dela, eta punturik hurbilenean 0,1 UA ra dagoela, punturikurrunenean derrigor egon behar du 50 UA ingurura. Kasu honetan, orbita oso elip-tikoa da, orbita zirkular bat izatetik oso bestelakoa. 127,4 urteko periodoa eta 0,1UA distantzia laburrena dela kontuan hartuz, ezin zitekeen besterik espero.

2. Zein izango da Uranoren periodoa Eguzkiaren inguruan, 2,87 · 1012 m orbitanmugitzen bada, Lurraren periodoa urtebetekoa bada eta Lurraren orbita 1,496 · 1011 m-koa bada?

PLANTEAMENDUA

Keplerrekn legeak esaten zuen espazioan mugitzen diren astroak lege berdinenarabera mugitzen direla. Horregatik, badakigu, denbora berean azalera berean zir-kuluak egiten dituela. Horrek erakusten digu Eguzkitik hurbilago dagoenean azka-rrago mugituko dela, eta urrunean dagoenean mantsoago. Beraz, planetenmugimendua konparatzeko haien periodoa hartu beharko ditugu kontuan. BadakiguUranoren periodoa Lurrarena baino askoz handiagoa izango dela.

8

TL2 = CrL

3

TK2 = CrK

3

TK2

TL2

rK3

rL3=

TK2

TL2

TK

TL

rK3 = rL

3 fi rK = 2/3 rL

rp + ra2

rp + ra2

TK

TL

rK = = 2/3 TK

TL

rL rLfi fi ra = 2/3 2 – rp( )

127,4 urte1 urte

1UA2/3 2 – 0,1UA = 50,54 UA( )

URANO

LURRA



Periodoari dagokionez, badakigu aldatu egiten dela daraman abiaduraren eta Eguz-kiarekiko erradioaren arabera: T = f (v, r). Lurra Euzkiaren gainazaletik gertuagoegongo denez, periodo orbital txikiagoa izango duela aurreikus dezakegu. Kasuhonetan, periodoa batez besteko erradioarena da, beraz, horren araberako abiaduraizango dugu.

Kasu honetan aldagai bi ematen dizkigu enuntziatuak, T periodoa eta Eguzkitik pla-neta bakoitzera dagoen batez besteko distantzia. Periodoaren berbidura, erradioarenkuboarekiko proportzionala da.


1) Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berdinean orbitan zehar aza-lera berdina beteko duela kometak.

2) Keplerren 3. Legea.

T2 = Crm3


Beraz bi ekuaziotatik abiatzen gara, eta badakigunez

bien arteko zatiketa egin ezkero, C, kentzen da.

Eta, orduan, hortik

Beraz datuak ordezkatzea baino ez zaigu falta.

Aurreko aldagaien analisiarekin bat al dator emaitza?

Esan dugun guztiarekin bat dator. Hau da, Lurrarekin konparatuta distantzia handiradago, beraz, logikoa da Lurrak baino denbora askoz gehiago behar izatea Eguzkiareninguruan bira bat emateko.

9

TL2 = CrL

3

TU2 = CrU

3

TU2

TL2

rU3

rL3=

rU3

rL3

rUrL

TU2 = = xTLTL

2 fi TU

23

23

2,87 · 1012

1,496 · 1011TU = · 1 urte = 84,03 urte izango da Uranoren periodoa.


3. Duela gutxi, asteroide berri bat aurkitu dute Europar Agentzia Espazialekoek,eta Hector izena jarri diote. Asteroide hori 5,16 UA erradioa duen orbita ia zir-kularrean higitzen da Eguzkiaren inguruan, zein izango da orbita bat egitekobehar duen denbora?

PLANTEAMENDUA

Kasu honetan planetaren asteroidearen orbitaren erradioa ematen digu enuntzia-tuak, eta periodoa, T, kalkulatu behar da. Asteroidearen orbita ia zirkularra dela esa-ten da. Marrazkia egitea komeni da beti, datu guztiak grafikoki ikusteko (begiratumarrazkia).

Kontuan izanda asteroidearen orbitaren erradioa Lurrarena baino 5 aldiz handiagoadela, periodoak ere oso handia izan behar duela aurreikusten dugu.

Zer aldagairen mende dago asteroidearen periodoa?


Harremana dago planeta baten orbitaren erradioaren eta bira osoa emateko beharduen periodoaren artean. Keplerrek, hori horrela izanik, periodoaren eta erradioarenarteko erlazioa atera zuen, non bien arteko harremana C konstante batez konpli-mentatzen den. Hau da, periodoaren berbidura, erradioaren kuboarekiko propor-tzionala delako. Periodoaren berbiduraren eta erradioaren kuboaren arteko zatidurabeti konstantea, C, izango da planeta guztien kasuan. Beraz: T = f (r, C)

Hori jakinik Lurraren periodoa eta erradioa erabiliko ditugu asteroidearen periodoazenbatekoa izango den jakiteko.

Beraz, zer lege erabil daiteke periodoa kalkulatzeko?


Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berdinean orbitan zehar azaleraberdina egingo duela kometak.

Keplerren 3. Legea.

T2 = Crm3

Badakigu Lurraren rm 1 UA dela eta periodoa 1 urte, beraz, C Keplerren legearenkonstantea ateratzeko datu guztiak ditugu.


Beraz bi ekuaziotatik abiatzen gara,

bien arteko zatiketa eginez gero, C kentzen da.

Horrela erraz atera dezakegu asteroidearen periodoa TA.

10

TL2 = CrL

3

TA2 = CrA

3

TA2

TL2

rA3

rL3=

rA3

rL3

rA3

rL3TA

2 = 5,16UA1UA

TL = fi TA = · 1 urte = 11,72 urte( )

5,16 UA

3


Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin?

Ikusten den moduan periodoa handiagoa da Lurraren periodoa baino. Problemarenaldagaien azterketan esandakoarekin guztiz bat dator. Erradio handiagoko orbitabatek, periodo handiagoa du Keplerren legean adierazitako mendekotasunaren ara-bera.

4. 27,3 egunekoa da Ilargiaren orbita Lurraren inguruan. Orbitaren punturik urru-nenean 406.395 km-ko distantzian badago eta hurbilenean 357.643 km-kodistantzian, zein izango da puntu bakoitzean Ilargiak izango duen abiadura?

PLANTEAMENDUA

Puntu bakoitzean Ilargiaren abiadura kalkulatzeko, Ilargiaren mugimenduaren ezaugarribat erabili behar dugu. Kasu honetan ibilbide eliptikoa dela problemak berak esatendigu. Horrek zera esan nahi du, puntu batean duen abiaduraren eta lurrazalarekikodistantziaren biderkadura bera izango dela orbitaren beste edozein puntutan.


Momentu angeluarra kontserbatzen bada, kontuan hartu behar dira momentu an-geluarrean eragiten duten aldagaiak: L = f (m, r, v).

Momentu angeluarra kontserbatzeko, masa aldatzen ez denez, erradioa txikia de-nean abiadurak handia izan behar du. Beraz, orbita eliptikoetan momentu angeluarrakontserbatzen dela jakinda, erlazio zuzena dago puntu bakoitza lurrazaletik dagoendistantziaren eta daraman abiaduraren artean.

Nola kalkulatu aldagaiak eta momentu angeluarra?

Kasu honetan aldagai bi ematen dizkigu, T periodoa batetik, eta Lurraren inguruanbiraka ari den Ilargiak Lurrarekiko dituen bi distantzia, laburrena eta luzeena. Bes-tetik, Ilargiak Lurraren inguruan bira bat emateko behar duen denbora. Denborabatez besteko distantziarekin zuzenki proportzionala da, eta alderantziz proportzio-nala abiadurarekin.


1) Ilargiaren orbitaren batez besteko distantzia kalkulatu behar da.

non rm batez besteko distantzia, rp distantzia perihelioan (357.643km kasu honetan) eta ra distantzia afelioan (406.395 km) diren.

2) Batez besteko distantzia edukita, periodoa jakinda eta batez besteko distantziajakinda orbitan izango duen abiadura kalkulatu dezakegu batez besteko distantziahorretan (Lurraren erradioa kontuan hartu behar da).

3) Esan bezala, propietate bat momentu angeluarraren kontserbazioa da, eta kon-tuan izanik Ilargiak beti masa berdina duela, honako hau geldituko litzateke.

r1 · v1 · m1 = r2 · v2 · m1 = r3 · v3 · m1

11

rp + ra2

rm =

2 · π · Rv

2 · π · RT

T = fi =

LURRA

406.395 km

357.643 km

ILARGIA


12

Laburbilduz, lehen urratsa batez besteko distantzia kalkulatzea litzateke. Distantziahori edukita, eta kontuan izanda Lurraren zentrora dagoen distantzia erantsi beharzaiola, batez besteko distantziari dagokion abiadura kalkula dezakegu. Eta azkenik,momentu angeluarraren kontserbazioaren printzipioa erabiliko dugu.


1) Lurrazaletik Ilargiaren batez besteko distantzia kalkulatzea izango da lehenengourratsa.

2) Batez besteko distantzia erabilita, Lurraren erradioa kontuan hartuta eta periodoaezagututa, abiadura aterako dugu (kontuz unitateekin, m/s, jarri).

3) Orbitaren puntu baten abiadura jakinda, beste puntuena ere jakin daiteke, Lurretikgertu eta urrun.

Bat al dator emaitza aurreko aldagaien analisiarekin?

Planteamenduan esaten genuen moduan, argi gelditu da Ilargia Lurretik hurbilagodagoenean abiadura handiagoan mugitzen dela eta Lurretik urrunago dagoenean,aldiz, motelago. Logikoa den moduan, batez besteko distantziaren abiadura bienerdian kokatzen da.

5. “Europa” izena gure kontinentea izendatzeko erabiltzeaz gain, Jupiterren in-guruan dabilen satelite bat da. Europaren orbitaren batez besteko distantzia6,71 · 108 m dela eta bira bakoitza emateko 3,55 egun behar dituela jakinda,kalkulatu dezakegu Jupiterren masa? Zein da?

PLANTEAMENDUA

Kasu honetan, sateliteak Jupiterri buelta emateko behar duen periodoa eta erradioaematen dira enuntziatuan. Pentsa daiteke emandako distantzia Jupiterren zentrotikabiatuta dela.

Marrazkia egitea komeni da, datu guztiak grafikoki ikusteko (begiratu marrazkia).Marrazkian ikusten denez, ez da kontuan hartzen Europa sateliteari beste astroek(adibidez, Eguzkiak) eregiten dioten indar grabitatorioa.

Zer aldagai hartu behar dira kontuan masa kalkulatzeko? Badago erlaziorik masa-rekin eta emandako datuekin?

rp + ra2

rm = (357.643 + 406.395)

2= = 382.019 km izango da batez besteko

distantzia.

2 · π · RT

r1 · v1r2

382.019 km · 1.034,6 m/s357643 km

2 · π · (6,37 · 106 + 382.019 · 103)

24 ordu1 egun

3600 s1 ordu

v = = = 1.034,6 m/s

27,3 egun x ·

= = 1.105,1 m/sr1 · v1 = r2 · v2 fi v2 =

r1 · v1r3

382.019 km · 1.034,6 m/s406.395 km

= = 1.038,8 m/sr1 · v1 = r3 · v3 fi v3 =

JUPITER 6,71 · 108 m EUROPA


13


Argi dago zenbat eta handiagoa izan erradioa orduan eta handiagoa izango delaperiodoa. Aldi berean, periodoa zuzenki lotuta dago planetak duen abiadura orbita-larekin, beraz, TE = f (vE, r). Eta bi horiek, erradioaren araberakoak, Jupiter eta Europasatelitearen arteko grabitate indarraren mende daude.

Beraz, periodoa zuzenean lotuta dago Jupiter eta Europa satelitearen artean dagoengrabitate-indarrarekin. Grabitate-indarra, satelitea Jupiterretik dagoen distantziarenaraberakoa izango da, eta baita Jupiterrek duen masaren araberakoa ere. Distantziahorren arabera, sateliteak abiadura orbital jakin bat izango du, periodoarekin lotutaegongo dena. Beraz, horien guztien arteko erlazioa planteatu beharko da, Jupiterrenmasa zein den jakiteko. Hau da: F = f (r, mJ)

Azelerazioa abiadura orbitalarekin zeharo lotuta dago, hau da, Jupiterrek azelerazioberdina eragingo die inguruan dituen objektuei, baina horiek dauden distantziarenarabera, abiadura orbital handiagoa (zenbat eta hurbilago) edo abiadura orbital txi-kiagoa (zenbat eta urrunago) izango dute. Abiadura orbital horrek definituko du (gra-bitate-indarrak emandako azelerazioaren eta distantziaren araberakoak) zer perioduizango duen Europa sateliteak Jupiterren inguruan. Hau da, aE = f (vE, r)

Zer lege erabil daiteke aldagai horiek lotzeko eta periodoa kalkulatzeko?


Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen 3. legea erlazionatzeada.

Newtonen grabitazio unibertsalaren legea.

F = mE aE da Newtonen 3. legea. Beraz, bi indar hauek berdinak badira, horrela gel-dituko litzateke.

Azelerazio zentripetoa honela definitzen da.

Abiadura orbitala, periodoa eta erradioaren arteko erlazioa:

Behin datu horiek kalkulatu ondoren, horien arteko erlazioak erabiliz, Jupiterrenmasa kalkulatu dezakegu.


Orduan, lehenik eta behin, abiadura ordezkatuko dugu indarren ekuazioan:

Abiadura hori abiadura orbitalarekin ordezka dezakegu, eta kontuan hartu aurrekoekuazioan erradioa sinplifikatu daitekeela eta horrela geldituko litzatekeela.

mE mJ

r2F = G

mE mJ

r2mJ

r2F = G = mE aE fi G = aE

mJ

r2mJ

r2VE

2

rG = aE fi G =

vE2

raE =

2 · π · rv

2 · π · rT

T = fi v =


14

mJ askatuz, hau da Jupiterren masa,

Datuak ordezkatuko ditugu ondoren, baina adi ibili behar da unitateekin.

Wikipedian Jupiterren masa 1,9 x 1027 kg dela agertzen da. Zergatik ez da gureemaitza horren berdina? (Begiratu planteamenduko baldintzak)

Emaitza bat al dator aldagaiei buruzko aurreko analisiarekin?

Sateliteak periodo laburra duela, 3,55 egunekoa, eta bien arteko distantzia Lurrareneta Ilargiaren artekoaren antzekoa dela kontuan izanda, erraz ondoriozta daitekeLurrak baino askoz ere masa handiagoa duela.

6. Askotan entzun da, astronautak espazioan daudenean grabitateak ez duelaeraginik beren gainean. Esaera horiek gezurra ala egia dira? Kalkulatu: zerindar eragingo die Lurrak lurrazaletik 400 km-ra espazio-ontzi batean daudenastronautei? Orduan, zergatik izango dute sentipen hori?

PLANTEAMENDUA

Problema planteatzeko aztertzen den sistemaren marrazkia egitea komeni da (ikusimarrazkia). Kasu honetan, bi objekturen arteko grabitazio-indarra Newtonen grabi-tazio unibertsalaren legeak baldintzatzen du. Bi objektuen masaren (Lurrarena etaastronautena) eta beraien arteko distantziaren araberakoa izango da.

Zer aldagai eta erlazio hartu behar dira kontuan astronautaren gaineko indarra kal-kulatzeko?


Problema ebazteko, grabitate-indarra kuantifikatzeko kontuan hartu behar diren al-dagaiak honako hauek dira: Lurraren masa, astronauten masa eta beraien artekodistantzia, F = f (mE, mA, r). Beraien arteko mendekotasuna Newtonen grabitaziounibertsalaren legeak definitzen du.


Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen 3. legea erlazionatzea da.


Erabili behar ditugun aldagaiak definitu:

Lurraren masa: ML = 5,9722 · 1024 kg

Astronauta baten masa, MA = 80 kg, pertsona heldu bati dagokion masa.

R distantzia, R = 6,37 · 106 m + 4 · 105 m, Lurraren erradioaren eta astronautakdauden lurrazaletik 400 km-ko distantziaren arteko batura izango da.

mJ

r24 · π2 · r2

T2

4 · π2 · r3

T2 · GG = fi mJ =

4 · π2 · (6,71 · 108)3

24 ordu1 egun

3600s1 ordu

mJ = = 1,48 · 1027 kg

· 6,67 · 10-113,55 egun · ·( )

Astronautak

400 km

LURRA

mL mA

r2F = -G



Orduan, kalkulatu dezakegu astronautaren eta Lurraren arteko grabitate indarra:


Ikusten den moduan, Lurrak grabitate-indar bat eragiten du astronautaren gainean,nahiz eta 400 km-ra egon. Gainera, grabitate-indar hori nahiko altua da, kontuanhartzen badugu lurrazalean 784 N-eko indarra eragingo liokeela; hau da, ez da askotxikitzen espazioan 400 km-ra edo lurrazalean Lurrak egindako indarra.

Orduan, zergatik dute astronautek grabitaterik ez edukitzearen sentipena?

Erorketa librean jausten ari direlako etengabe, nahiz eta espazio-ontziaren eta Lu-rraren arteko indar-erakarpenagatik orbita zirkularra izan. Orbita zirkularra duenez,indar zentripetoa izan behar du, eta indar hori indar grabitatorioa da. Beraz, pisuadu eta horregatik du orbita zirkularra. Baina, horrek ez du esan nahi “grabitaterikezaren” sentipena eduki ezin denik. Hori bera gertatzen da barraketako tresna ba-tzuetan erorketa librea denean edo NASAk egiten dituen frogetan. Erorketa libreangrabitaterik ez edukitzearen antzeko sentipena izaten dute.

7. Lurraren periodoa (1 urte) eta Eguzkiaren inguruan egiten duen orbitarenbatez besteko distantzia (1,496 · 1011 m) eta G-ren balioa jakinda, esan zeinden Eguzkiaren masa.

PLANTEAMENDUA

Aztertutako sistemaren marrazkia egiten hasiko gara.

Kasu honetan enuntziatuak ematen digun distantzia Lurraren zentrotik kalkulatua da.

Periodoa neurtzea planeta baten masa neurtzeko erabiltzen den teknika bat da. Pe-riodoa zuzenean lotuta baitago Eguzkiaren eta Lurraren artean dagoen grabitate-indarrarekin.


Argi dago erradioa zenbat eta handiagoa periodoa ere orduan eta handiagoa izangodela. Aldi berean, periodoa planetak duen abiadura orbitalarekin zuzenki lotuta dago,beraz, TE = f (vE, r).

Beraz, periodoa zuzenean lotuta baitago, Eguzkia eta Lurraren artean dagoen gra-bitate-indarraren artean. Grabitate-indarra, Lurra dagoen distantziaren araberakoaizango da, eta baita Eguzkiak daukan masaren araberakoa ere. Distantzia horrenarabera, Lurrak abiadura orbital jakin bat izango du, periodoarekin lotuta egongodena. Beraz, horien guztien arteko erlazioa planteatu beharko da, Eguzkiaren masazein den jakiteko. Hau da: F = f (r, mJ)

Azelerazioa erabat lotuta dago abiadura orbitalarekin, hau da, Eguzkiak azeleraziobera eragingo die inguruan dien objektuei, baina horiek dauden distantziaren ara-bera, abiadura orbital handiagoa (zenbat eta hurbilago) edo abiadura orbital txikia-

15

5,97 · 1024 · 80(6,37 · 106 + 4· 105)2

F = -6,67 · 10–11 · = -696,3 N-eko indarra eragiten dioLurrak astronautari.

Eguzkia

1,496 · 1011 m

LURRA


goa (zenbat eta urrunago) izango dute. Abiadura orbital horrek (grabitate indarrakemandako azelerazioa eta distantziaren araberakoa) Lurrak Eguzkiaren inguruanizango duen periodoa definituko du. Hau da, aE = f (vE , r)

Zer lege erabil daiteke aldagai horiek lotzeko eta periodoa kalkulatzeko?


Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen 3. legea erlazionatzeaizango da.


F = mL aL da Newtonen 3. legea, eta bi indar horiek berdinak dira. Beraz,


Abiadura orbitala, periodoa eta erradioaren arteko erlazioa

Behin datu horiek kalkulatuta, horien arteko erlazioak erabiliz, Jupiterren masa neurdezakegu.


Orduan, lehenik eta behin, abiadura ordezkatuko dugu indarren ekuazioan:

Abiadura hori abiadura orbitalarekin ordezkatu dezakegu; kontuan izan aurrekoekuazioan erradioa sinplifikatu daitekeela.

mJ askatuz, hau da, Jupiterren masa,

Orain datuak ordezkatuko ditugu (adi unitateekin).


Emaitzak erakusten du Eguzkiaren masa Lurraren masa baino 1.000.000 aldiz han-diagoa dela. Guztiz logikoa da hori, Eguzkiaren masak oso handia izan behar baitu;kontuan hartu grabitate-indarra eragiten diela Eguzki-sistemako astro guztien erdiankokatuta, beraz, beharrezkoa da masa izugarria izatea.

16

mL mE

r2F = G

mL mE

r2mE

r2F = G = mL aL fi G = aL

VL2

raL =

2 · π · rv

2 · π · rT

T = fi v =

mE

r2mE

r2vL

2

rG = aL fi G =

mE

r2 · π · r

T4 · π2 · r2

T2G = mE

r= fi G=

mE

r4 · π2 · r2

T2

4 · π2 · r3

T2 · GG = fi mE =

4 · π2 · (1,496 · 1011)3

365 egun1 urte

24 ordu1 egun

3600s1 ordu

mE = = 1,99 · 1030 kg

· 6,67 · 10-111 urte · · ·( )

( )


8. Urrutiko galaxia bateko M-545 planeta S-24 eguzki handiaren inguruan mo-mentu angeluar konstantez mugitzen da. Planeta periheliotik pasatzean,Eguzkitik 1,0 · 1015 m-ra, 5 · 104 m/s-ko abiadura darama. Zer abiadura izangodu planeta horrek afelioan, baldin eta 2,2 · 1015 m distantziara badago S-24Eguzkitik?

PLANTEAMENDUA

Sistemaren marrazkia egiten da gorputzak eta interakzioak adierazteko. Enuntzia-tuan adierazten den moduan, Eguzkiaren inguruko planeten mugimenduak mo-mentu angeluarra kontserbatzen du.


Momentu angeluarra kontserbatzen bada, momentu angeluarrean eragiten dutenaldagaiak hartu behar dira kontuan: L = f (m, r, v).

Momentu angeluarra kontserbatzeko, masa aldatzen ez denez eta erradioa txikiabada, abiadurak handia izan behar du. Beraz, orbita eliptikoetan momentu ange-luarra kontserbatzen dela jakinda, puntu bakoitzak lurrazaletik duen distantziareneta daraman abiaduraren artean harreman zuzena dago. Kasu honetan, Eguzkiare-kiko dituen bi distantzia, laburrena eta luzeena, ematen dizkigu. Eta horrez gain,beste puntu bateko distantzia ematen digunez, zuzenean kalkulatu dezakegu besteabiadura.

Nola kalkulatu aldagaiak eta momentu angeluarra?


Momentu angeluarraren kontserbazioak esan nahi du M-545 planetak puntu bateanduen abiadura eta S-24 distantziaren biderkadura berdinak izango direla orbitarenbeste edozein puntutan. Beraz, puntu batean dugun abiadura eta Eguzkiarekiko dis-tantzia jakinda, beste puntu batera Eguzkitik dagoen distantzia jakinda, abiadurakalkulatu dezakegu. Beraz: L1 = L2

r1 · v1 · mp = r2 · v2 · mp


Planetak Eguzkiarekiko puntu batean duen distantzia eta abiadura jakinda, zuzeneanatera dezakegu beste abiadura.

r1 · v1 = r2 · v2 fi v2 =


Aldagaien azterketan esaten genuen moduan, argi gelditu da S-24 Eguzkitik hurbi-lago dagoenean abiadura handiagoan mugitzen dela M-545 planeta, eta urrunagodagoenean, aldiz, motelago. Planetak Eguzkiarekiko duen distantzian aldea distan-tzia bikoitza baino gehiagokoa denez, proportzio berean txikiagoa da abiadura pun-turik urrunenean.

17

2,2 · 1015 m

1 · 1015 m

S-24

M-545

r1 · v1r2

1 · 1015 m · 5 · 104 m/s2,2 · 1015 m

= = 2,27 · 104 m/s


9. Nazioarteko Espazio Estazioak 280.000 kg-ko masa du, eta orbita zirkularradeskribatzen du Lurraren inguruan, lurrazaletik bataz besteko 360 km-ko al-tueran. Goi-atmosferarekin duen marruskadura dela-eta, altuera galtzen duetengabe, beraz, hori dela eta aldiro zuzenketak egin behar zaizkio. Demagun,arrazoi horregatik estazioa 340 km-ko altuerara jaitsi dela. Kalkulatu:

a) Abiadura orbitalak, 340 km eta 360 km-ko altueretan.

b) Beharrezko energia, estazioa berriro ere orbitarik altuenera eramateko.

c) Zein da periodoak jasango dituen aldaketak orbita bakoitza kontuanizanda?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra = 5,99 · 1024 kg; RL= 6,37 · 10

6 m.

PLANTEAMENDUA

Problema ulertzeko argi izan behar dugu ISS espazio-ontziari zer indar eragiten dionLurrak.

Indar hori, ISS eta Lurraren arteko distantziaren araberakoa izango da.

Modu berean, ISS abiadura orbitala ere, Lurrarekiko dagoen distantziaren mendedago, zenbat eta hurbilago egon, orduan eta abiadura orbital handiagoa izango du.

Bere orbitara bueltatzeko beharko duen energia, bi puntuetan ISS estazioak duenenergia mekaniko aldea (energia zinetikoa gehi energia potentziala) izango da.

Periodoari dagokionez, badakigu daraman abiaduraren eta Lurrarekiko erradioarenarabera aldatzen dela. Kontuan hartuta aurretik badakigula punturik baxueneanabiadura orbital handiagoa izango duela eta Lurraren gainazaletik gertuago egongodela, periodo orbital txikiagoa izango duela aurreikus dezakegu.


Honako hauek dira problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak.

1) Abiadura orbitala. Abiadura orbitala Lurraren masaren eta Lurraren gainazaletikdagoen distantziaren mende dago: v = f (ML, R).

Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, Lurraren gainazaletik zenbateta hurbilago egon, abiadura orbital handiagoa duela pentsa dezakegu.

2) Planteamenduan energia ere kontuan hartzen da. Ariketaren enuntziatuak ener-gia-galera bat dagoela dio, eta horregatik galtzen duela altuera. Horregatik, ba-dakigu energia eman beharko diogula berriz bere altuerara itzul dadin. Horrezgain, energia mekanikoa energia zinetikoaren eta energia potentzialaren mendedago: Em = f (Ez, Ep). Horiek abiadura orbitalaren eta lurrazalarekiko distantziarenmende daude hurrenez hurren: Em = f (Ez, Ep) = f (v, R). Zenbat eta abiaduragehiago, orduan eta energia zinetiko gehiago, eta zenbat eta energia potentzialgehiago, orduan eta erradio handiago.

3) Orbita-periodoa ere kontuan hartu behar da. Orbita-periodoa Lurrarekiko distan-tziaren eta abiadura orbitalaren mende dago: T = f (R, v). Kasu honetan, bigarrenpuntuan, abiadura orbital handiagoa izan eta gainera Lurretik hurbilago badago,pentsa dezakegu periodo orbital txikiagoa izango duela.

18

ISS ISS

LURRALURRA

340 km360 km

(a) (b)



Ebazpenari begira, 3 gauza argi izan behar ditugu.

1) Abiadura orbitalaren eta Lurrarekiko distantziaren arteko erlazioa.

abiaduraren ekuazioa, Newtonen legeetatik ondorioztatzen da.

2) Energia mekanikoa puntu bakoitzean zein izango den.

Emek = EZ + Ep

a. Energia zinetikoa

b. Energia potentziala

c. Energia mekaniko osoa

Emek = EZ + Ep =

3) Periodo orbitalaren, abiadura orbitalaren eta lurrazalarekiko distantziaren artekoerlazioa.

Hortaz, bi puntuetan abiadura orbitala kalkulatzea da lehen urratsa. Ondoren, abia-dura horiek erabilita, zenbat energia behar izan den kalkulatu dezakegu (edo, ekua-zioetan jartzen duen moduan, abiadura kontuan hartu gabe ere egin daiteke). Eta,azkenik, puntu bakoitzeko abiadura orbitalarekin eta lurrazalarekiko distantziarekinperiodo orbitala aurkitu dezakegu.


a) Lehen zatian, posizio bakoitzean abiadura zein izango den kalkulatu behar da.Kasu honetan kontuan izan behar da Lurraren zentrotik neurtu behar dela dis-tantzia, beraz, Lurraren erradioari gehitu beharko diogu lurrazaletik zenbatekodistantziara dagoen estazioa.

a. 1 puntua, 340 km-ra.

b. 1 puntua, 360 km-ra.

Aurretik ikusi bezala, abiadura handiagoa darama ISS estazioak lehen orbitanbigarren orbitan baino. Altueren diferentziak hain handiak ez direnez, abiadurarenartekoak ere ez.

19

MT

R

MT

Rv2 = G · fi v = G ·

12

12

12

MT

REZ = mISS v2 = mISS G ·

MT · mISS

REp = -G ·

MT · mISS

RG ·

MT · mISS

R-G ·+( ) MT · mISS

2 · R= -G ·

2 · π · Rv

T =

5,99 · 1024

6,37 · 106 + 3,4 · 105

MT

Rv1 = = 6,67 · 10-11 · = 7716,41 m/sG ·

5,99 · 1024

6,37 · 106 + 3,6 · 105

MT

Rv2 = = 6,67 · 10-11 · = 7704,93 m/sG ·


b) Zein izango da beharrezko energia estazioa berriro bere lekura itzultzeko?

W = DEmek = Emek 2 – Emek 1

Aurretik argitu dugun moduan, lehenengo orbitaren (340 km) energia mekanikoahonako hau izango da.

Bigarren orbitaren (360 km) energia mekanikoa honako hau izango da.

Beraz, egin beharreko lana, guztira:

W = DEmek = Emek 2 – Emek 1 = -8,31 · 1012 J – (-8,34 · 1012 J) = 3 · 1010 J logikoa

den moduan, energia-galera baten bidez (goi-atmosferarekin duen marruska-dura) energia galdu baldin badu eta horrekin batera altuera, altuera berdineraigo ahal izateko, energia eman beharko zaio ISS estazioari.

c) Orbita bakoitzaren periodoaren arteko aldea zein izango den jakiteko, honakohau egingo dugu. Aurretik esan bezala, lehenengo orbita azkarragoa izango da.

Lehen orbitaren periodoa 340 km.

Bigarren orbitaren periodoa 360 km.

Beraz,

T2 – T1 = 5488,15 s – 5463,7 s = 24,45 s


Ikusten denez, aurretik egin ditugun hausnarketak baliozkoak izan dira. Hau da, Lu-rretik hurbilen dagoenean, ISS estazioak abiadura handiagoa du, eta baita periodoorbital txikiagoa ere. Ikusten denez, diferentzia ez da hain handia, baina gehiagoerortzen utziko balitzateke handiagoa izango litzateke diferentzia, abiadurari zeinperiodoari dagokionez.

20

5,99 · 1024 · 2,8 · 105

2 · (6,37 · 106 + 3,4 · 105)Emek 1 = -6,67 · 10-11 · = -8,34 · 1012 J

5,99 · 1024 · 2,8 · 105

2 · (6,37 · 106 + 3,6 · 105)Emek 2 = -6,67 · 10-11 · = -8,31 · 1012 J

2 · π · R1

v1

2 · π · (6,37 · 106 + 3,4 · 105)7716,41

T1 = =

=

= 5463,7 s

2 · π · R2

v2

2 · π · (6,37 · 106 + 3,6 · 105)7704,93

T2 = = 5488,15 s


10. Martek Eguzkiaren inguruan deskribatzen duen orbitaren batez bestekodistantzia Lurrak deskribatzen duena baino 1,52 aldiz handiagoa da. Orbitazirkularrak direla dioen hurbilpena ontzat hartuta, kalkulatu Marteren“urte” batek zenbat iraungo lukeen. Kalkulatu Marteren eta Lurraren mo-mentu angeluarren koefizienteak Eguzkiaren erdigunearekiko.

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra = 5,97 · 1024 kg; MMarte = 6,42 · 10

23

kg; Lurrean urtea ≈ 365 egun

PLANTEAMENDUA

Aztertzen den sistema eta datuak eta eragiten diren indarrak marrazten dira (ikusimarrazkia).

Galderak bi parte nahiko bereiziak ditu. Alde batetik, a) Marteren urteak zenbat

irauten duen kalkulatu behar da; beste aldetik, b) Lurraren eta Marteren arteko

momentu angeluarren koefizientea aurkitu nahi da.

Badakigu Lurraren rm 1 UA dela eta periodoa 1 urte, beraz, C Keplerren legearenkonstantea ateratzeko datu guztiak ditugu. Marteren “urtea” esaten denean,Eguzkiaren inguruan bira bat emateko behar duen periodoa esan nahi da.

Zer aldagai hartu behar dira kontuan galderei erantzuteko?


a) Periodoari dagokionez, badakigu aldatu egiten dela daraman abiaduraren etaEguzkiarekiko erradioaren arabera: T = f (v, r). Kontuan hartuta abiadura orbitalhandiago izango duela Eguzkitik gertuago dagoenak, Lurrak periodo orbital txi-kiagoa izango duela aurreikusi dezakegu. Kasu honetan, periodoa batez bes-teko erradioarena da, beraz, horren araberako abiadura izango dugu. Kasuhonetan bi aldagai ematen dizkigu enuntziatuak: T periodoa eta Eguzkitik pla-neta bakoitzaren batez besteko distantzia. Periodoaren eta Lurraren artean er-lazio handiagoa dago, periodoaren berbidura erradioaren kuboarekikoproportzionala delako.

b) Momentu angeluarren arteko erlazioa kalkulatu behar dugu. Momentu

angeluarra astro bakoitzaren orbitaren puntu guztietan kontserbatzen da. Mo-

mentu angeluarra, Eguzkira arteko batez besteko distantziaren, planetaren ma-

saren eta abiadura orbitalaren mende dago L = f (r,m,v).

Zer lege eta definizio erabil daiteke aldagaiak erlazionatzeko eta eskatutako mag-nitudeak kalkulatzeko?


a) Periodoa; Keplerren legeak erabiliko ditugularik: T2 = Cr3. Lege horien araberabadakigu astroek denbora berean azalera berdineko zirkuluak egiten dituztelaEguzkiaren inguruan. Horrek erakusten digu Eguzkitik hurbilago dagoeneanazkarrago mugituko dela eta urrunean dagoenean mantsoago. Beraz, aurreikusdezakegu Marteren urtea Lurrarena baino luzeagoa izango dela.

21

MARTE

LURRA1 UA

1,52 UA

LL

LM

LLLM


22

Beste aldetik, periodoaren definizioa: T =

Abiadura orbitalaren eta Eguzkiarekiko distantziaren erlazioa Eguzkiaren ma-saren araberakoa da. Abiaduraren ekuazioa Newtonen legeetatik ondorioztatzenda.

b) Momentu angeluarrarekin ere antzeko zerbait gertatuko zaigu, hau da, bada-kigu Lurraren momentu angeluarra Marterena baino handiago izango dela,nahiz eta hurbilago egon, abiadura handiagoa eta masa handiagoa dituelako.

Kalkulatu behar den koefizientea Lurraren momentu angeluarra Marterenarekinzatitzean lortzen dena da. Horretarako momentu angeluarra definitu behardugu. Ikusten den moduan, planeta bakoitzak Eguzkiarekiko duen distantzia,planetaren masa eta abiadura orbitalaren mende dago. Abiadura eta erradioaelkarrekiko elkarzutak direnez, 90º jartzen da. Momentu angeluar hori orbitaguztian zehar kontserbatzen da.

L = r · m · v · sen90º


Lehen urratsa Marteren periodoa kalkulatzea da.

Beraz, bi ekuazioetatik abiatzen gara, eta badakigunez rM = 1,53 rL dela.

bien arteko zatiketa eginez gero, C, kentzen da.

Eta orduan hortik

Beraz, datuak ordezkatzea baino ez zaigu falta.

TM = 1,523 · TL = 1,523 · 1 urte = 1,87 urte = 684 egun

Bigarren urratsa momentu angeluarren arteko koefizientea lortzea da , horretarako adierazpen hauek erabiliko ditugu.

LL = rL · mL · vLLM = rM · mM · vM

Abiadurak kalkulatzeko goian adierazitako espresioa erabiliko dugu.

2 · π · Rv

mE

rv2 = G ·

TL2 = CrL

3

TM2 = CrM

3

TM2

TL2

rM3

rL3=

rM3

rL3

1,523· rL3

rL3

TM2 = = √· TL = 1,52

3 · TLTL

2 fi TM

ME

rL

LLLM

LLLM

rL · mL · vL rM · mM · vM

=}

LL

LM

LL

LM

LM

LL

= =

rL · mL G ·

ME

rMrM · mM G ·

rL · mL2

rM · mL2

rL · mL2

1,52 · rL · mL2

= = = 7,54

= 7,54 fi = 0,13

(5,97 · 1024)2

1,52 · (6,42 · 1023)2



Marteren periodoaren kalkulua bat dator planteamenduan esandakoarekin. Hauda, Marteren periodoa Lurrarena baino askoz handiagoa da. Ikusten den moduan,erradioaren eta periodoaren artean mendekotasuna dago, nahiz eta ez den alda-keta proportzionala. Hau da, distantzia 1,52 aldiz handiago den bitartean, periodoa1,87 aldiz Lurrarena izango da.

Momentu angeluarraren koefizientearen kasuan ere bete da planteamenduan au-rreikusitakoa. Bi planeten arteko konparazioa egitea nahikoa zen Lurrak Martebaino momentu angeluar handiagoa izango zuela jakiteko, Lurraren masa mag-nitude bat handiago delako; erradioa ez da askoz handiagoa, 1,52 aldiz soilik.Gainera, abiadura orbitala ere handiagoa da Lurraren kasuan, Eguzkitik hurbilagodagoelako.

11. Europako Agentzia Espazialak lan bat eskaini dizu. Martera satelite esta-zionario bat (puntu baten gainean geldirik dagoena) bidali nahi du.

Zein ezaugarri izan behar ditu satelitearen orbitak?

Marten gainazaletik zer distantziara egongo da?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MMartitz = 6,41 · 1023 kg; Errotazio-denbora

= 24 h 37 min 23 s; Marten erradioa = 3.388 km.

PLANTEAMENDUA

Ariketa honetan, Marteren inguruan satelite estazionario bat jartzeko egin behardiren kalkuluak egin behar ditugu; horretarako garrantzitsua da a azpiatalari eran-tzutea lehenbizi.

Zer ezaugarri izan behar ditu satelitearen orbitak?

Marteren gaineko satelite estazionario bat, beti Marteren gainean eta puntu be-rean egongo den satelite bat da. Hau da, Marten egongo litzatekeen behatzailebatek satelitea beti bere gainean puntu berdinean ikusiko luke, mugitzen ez de-naren sentipenarekin. Satelitearen periodo orbitala erlazionatuta dago, eta estra-tegiaren atalean zehaztuko dugu erlazioa.

Orbita honen erradioa jakiteko bere periodoa, grabitate-indarra eta abiadura or-bitala erlazionatu behar dira. Aldagai horiek nola erlazionatzen eta nola eragitenduten hurrengo atalean aztertuko dugu.

Marteren masak eta erradioak definituko dute grabitatearen indarra, eta horrekdefinituko du, 24 h 37 min 23 s, periodoa izango duen satelite batek izan beha-rreko altuera.


Satelite estazionario baten baldintza hauxe da: satelitearen periodo-orbitak Mar-teren biraketa-abiaduraren berdina izan behar du. Horrez gain, orbita Marterenekuatorearen gainean izan behar da, Martek eragiten dion grabitate-indarra ber-dina izan dadin orbitaren ibilbide guztian. Baldintza horrek bigarren ataleko eran-tzuna baldintzatzen du, eta azterketa osoan hartuko dugu kontuan hemendikaurrera.

23

h ? T = 24 h 37 min 23 s

MARTE


Satelite-orbitaren erradioa ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honakohauek dira.

Orbita-periodoa ere hartu behar da kontuan. Orbita-periodoa satelitearen Marte-rekiko distantzia, eta abiadura orbitalaren mende dago: T = f (R (r+h), v). Kasuhorretan, periodoaren eskakizunak definitzen ditu altuera eta abiadura.

Abiadura orbitalak, Marteren masarekiko eta Marteren gainazaletik dagoen dis-tantziaren mende dago: v = f (MM, R).

Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, Marteren gainazaletik zenbateta hurbilago egon abiadura orbital handiagoa duela pentsa dezakegu. Kasu ho-netan, altuera definitu beharko dugu lehenik.

Aurreko bi aldagaiak, periodoa eta abiadura orbitala, nola ez, grabitate-indarrarenmende daude. Modu berean, grabitate-indarra Marteren masaren eta erradioarenaraberakoa da, F = f (m, r). Beraz, Marteren masa eta erradioaren arabera, orbitahori izateko behar duen altuera bat edo bestea izango da.

EBAZPENERAKO ESTRATEGIA

Satelitearen orbitaren erradioa kalkulatzeko, aurreko aldagaien definizioa eta be-raien arteko erlazioak definitu behar dira. Beraz:

(1) Periodoa: T =

(2) Indar grabitatorioa eta Newtonen grabitatearen legea:

(3) Azelerazio zentripetoa zelan definitzen den.


Periodoak baldintzatzen duen altuera kalkulatu behar da. Horretarako, abiaduraorbitala deskribatzen duten bi espresioak berdinduko ditugu lehenik eta behin.Alde batetik, azelerazio zentripetotik eratorritakoa –(2) eta (3) ekuazioak–, etabeste aldetik, periodoak definitzen digun abiadura orbitala –(1) ekuazioa–.

(2) eta (3) ekuazioak erabiliz, abiadura orbitala planetaren azalarekiko distantzia-rekin eta Marteren masarekin erlazionatuta dago.

non R=r + h den, r, Marteren erradioa delarik.

Beraz:

24

2 · π · Rv

2 · π · RT

4 · π2 · R2

T2

G · mM · T2

4 · π2

mM ms

r2F = G

mM ms

r2mM

r2F = G = ms as fi G = as

mM

RG ·

mM

RG ·fi v =

Vs2

ras =

v2 =

mM

RG · R3 =

mM

RG · fi fi v = = =


Kasu honetan masa badaukagunez, datuak ordezkatzea baino ez da falta.

Kasu honetan masa badaukagunez:

Altuera kalkulatzeko lortu dugun distantzia, Marteren erradioa eta azaletik sate-litera arteko altueren batura dela konturatu behar gara. Beraz,

R = r + h fi h = R – r = 2,04 · 107 – 3388 · 103 = 1,70 · 107 m


Ariketa honetan garrantzitsua da satelite estazionario bat zer den ulertzea. Lu-rraren kasuan ere, kondizio berdinak bete beharko lituzke satelite batek estazio-narioa izateko.

Argi ikusten den moduan grabitate-indar horrekin, Lurrean satelite estazionariobat jartzeko baina altuera handiagoan dago, Marteren masa Lurrarena baino txi-kiagoa delako. Era berean, Martek bere buruaren inguruan bira emateko beha-rrezko denbora gutxiago balitz, satelitea altuera txikiagoan jarri beharko genuke,eta alderantziz.

12. Lurraren inguruan orbita zirkular bat duen 500 kg-ko masako satelite artifizialbatek 48 ordu behar ditu Lurraren inguruan bira bat emateko. Kalkulatu:

Lurraren gainazalarekiko zer altueran dago?

Zein da satelitearen azelerazioa orbita horretan?

Zein izango da satelite horren periodoa Lurraren gainazaletik Lurraren erra-dioaren distantzia bikoitzera jartzen badugu?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra = 5,97 · 1024 kg; RLurra = 6.370 km

PLANTEAMENDUA

Kasu honetan Lurraren inguruan orbita zirkular batean mugitzen den satelite batenkasua aztertu behar dugu.

Lehenik eta behin, periodoak definitzen du; periodoak altuera eta abiadura orbitalkonkretu bat definitzen du. Argi dago 3 aldagai horiek Lurrak sateliteari eragingodion grabitate-indarraren araberakoa izango direla. Grabitatearen indarra Lurrarenmasak eta erradioak definituko du, eta horrek definituko du 48 orduko periodoaizango duen satelite batek behar duen altuera.

Azelerazio zentripetoa ere, puntu horretan Lurrak sateliteari eragiten dion inda-rraren mende dago.

Satelitea Lurraren inguruan biraka dabilela altuera aldatzen denean, periodoa erealdatu egingo da. Lehen esandakoa errepikatuz, periodoa Lurrak puntu horretan

25

2 · π · RT

4 · π2 · R2

T2

G · mM · T2

4 · π2

mM

RG · R3 =

mM

RG · fi fi v = = =

6,67 · 10-11 · 6,41 · 1023G · mM · T2

4 · π2R = 3 = 3

4 · π2

60 s1 min

3600s1 ordu

24 ordu · + 37 min · + 23 s( )2

= 2,04 · 107 m

h ? T = 48 h

LURRA


eragiten dion grabitate-indarrarekin lotuta dago, eta puntua aldatzean, aplikazioaere aldatu egiten da.


Problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek dira.

Orbita-periodoa ere kontuan hartu behar da. Orbita-periodoa Lurrarekiko sateli-tearen distantziaren eta abiadura-orbitalaren mende dago: T= f (R (r + h), v). Kasuhonetan periodoaren eskakizunak definitzen ditu altuera eta abiadura.

Abiadura orbitala. Abiadura orbitala Lurraren masarekiko eta Lurraren gainazaletikdagoen distantziaren mende dago: v = f (ML, R).

Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, Lurraren gainazaletik zenbateta hurbilago egon, abiadura orbital handiagoa duela suposatu dezakegu. Kasuhonetan, altuera definitu beharko dugu lehenik.

Aurreko bi aldagaiak, periodoa eta abiadura orbitala, nola ez, grabitate indarrarenmende daude. Era berean, grabitate-indarra Lurraren masaren eta erradioarenaraberakoa da, F=f (m, r). Beraz, Lurraren masaren eta erradioaren arabera, orbitahori izateko behar duen altuera bat edo bestea izango da.

Azelerazio zentripetoak aurreko aldagai guztiak josten ditu, alde batetik, grabi-tate-indarraren mendekotasuna duelako, hau da, grabitate-indarra baldintzatzendituzten aldagaien mendekoa da; eta beste aldetik, abiadura orbitalarekin ere ha-rreman zuzena du, horrek periodoaren gainean eragiten duelarik.




F = ms as da Newtonen 3. legea, bi indar hauek berdinak dira. Beraz,


Goiko ekuazioetatik abiadura orbitalaren adierazpena ondoriozta daiteke. Ikustenden bezala, abiadura orbitala planetaren azalarekiko distantziarekin eta Lurrarenmasarekin erlazionatuta dago.

Abiaduraren formula, Newtonen legeetatik ondorioztatzen da, non R = r + h den,eta r Lurraren erradioa den.

Periodo orbitalaren, abiadura orbitalaren eta lurrazalarekiko distantziaren artekoerlazioa. Konturatu goiko kasuan bezala, R=r+h dela, non r planetaren erradioaden.

T =

26

mL ms

R2F = G

mL ms

R2

mL

R2F = G = ms as fi G = as

Vs2

Ras =

mM

RG ·

mM

RG ·fi v = v2 =

2 · π · Rv


27

2 · π · RT

4 · π2 · R2

T2

G · mL · T2

4 · π2

mM

RG · R3 =

mL

RG · fi fi v = = = √

2 · π · RT

4 · π2 · R2

T2

G · mL · T2

4 · π2

mL

RG · R3 =

mL

RG · fi fi v = = =

2 · π · RT

4 · π2 · R2

T2

G · mL · T2

4 · π2

mL

RG · R3 =

mL

RG · fi fi v = = =

6,67 · 10-11 · 5,07 · 1024G · mM · T2

4 · π2R = 3 = 3

4 · π2

3600s1 ordu

48 ordu ·( )2

= 67031 · 103 m = 67031 km

mL ms

R2

mL

R2

5,97 · 1024

(67031 · 103)2F = G = ms as fi as = G = 6,67 · 10-11 · = 0,0886 ≈ 0,09 m/s2

Bi ekuazioak berdinduta, distantzia kalkulatzeko ekuazio orokorra lortu daiteke.

Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berean orbitan zehar azaleraberdina ekortuko/beteko duela kometak. Keplerren 3. Legea.

T2 = CR3

Laburbilduz, lehen urratsa altuera kalkulatzea da, lehen periodoaren arabera. On-doren, grabitate-indarra eta newtonen bigarren legea erabiliz, azelerazio zentri-petoa erabiliko dugu. Eta azkenik, beste altuera batean izango lukeen periodoakalkulatzean, a atalean erabilitako formula berak erabiliko ditugu. Astro berdinareninguruan orbitak deskribatzen dituzten sateliteen arteko harremana Keplerren le-geekin ere egin daiteke. Egin proba eta ikusiko duzu emaitza berdina dela.


Periodo bat emanda eta Lurraren ezaugarriak jakinda, lehen urratsa 48 ordukoperiodoa duen satelitea gainazaletik zer altuerara egongo den jakitea da. Horre-tarako, goiko partean erakutsitako formulak baliatuz aterako da, zuzenean, sate-litea lurrazaletik zer altuerara dagoen.

Kasu honetan, masa badaukagunez, datuak ordezkatzea baino ez da falta. Bes-tela, lurrazaleko grabitatea eta masa lotzen dituen ekuazioa ere erabil daiteke.

Kasu honetan masa badaukagunez:

Altuera kalkulatzeko lortu dugun distantzia, Lurraren erradioa eta azaletik sateli-tera arteko altueren batura dela konturatu behar gara. Beraz,

R = r + h fi h = R – r = 67031 – 6370 = 60661 km

Bigarren atalean azelerazio zentripetoa kalkulatu behar da. Horretarako, estrate-gietan jarritako grabitate indarraren eta Newtonen dinamikaren 2. legearen artekoerlazioa erabiliko da.

Kasu honetan satelitea altueraz aldatzen da, lurrazaletik, Lurraren erradioarenaraberako distantzia bikoitzera jartzen da. Beraz, Lurraren zentrotik 3 bider Lu-rraren erradiora jartzen da. Kasu honetan, Keplerren legeak erabil daitezke baitaere, nahiz eta hemen lehenago atera dugun erlazioa erabiliko den.



Lehen puntuan ikusten den moduan, 48 orduko orbita bat izateko sateliteak osogoian egon behar du. Aurreko ariketetan, 400 km-ko alturan 3 ordu inguruko pe-riodoa badu, guztiz logikoa da 48 orduko periodorako lurrazaletik 60661 km egonbeharra. Horrek erakusten digu, Lurrak eragindako grabitate-indarra, urruneraarte iristen dela, bestela ez litzateke satelitea orbita zirkularrean jardungo. Lurra-ren erradioaren distantzia bikoitzera jartzen dugunean, aurreko altuera baino dis-tantzia txikiagoa denez, guztiz koherentea da periodoa laburragoa izatea.

Azelerazio zentripetoa 0,09 m/s2 dela irten da. Horrek esan nahi du, puntu horre-tan hori dela grabitate-indarrak sortzen duen azelerazioa. Lurrazalean baino 100aldiz txikiago izan harren, kontuan hartu behar dugu zenbat distantziara dagoen,sateliteak orbita zirkular bat mantentzeko adinako indarra eragiten dio.

13. Eguzkiaren erdialdetik gainazalera dagoen distantzia 6,96 · 105 km-koa da.Zer azelerazio egongo da Eguzkiaren gainazalean?

Zer koefiziente edukiko dute, gutxi gorabehera, Eguzkiak eta Lurrak Ilar-giaren gainean egingo duten indarrek? Aukeratu erantzun bat eta arrazoituerantzuna.

a) 4000

b) 2

c) 106

d) 10-6

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; MLurra = 6 · 1024 kg; MILARGIA = 7 · 10

22 kg;MEGUZKIA = 2 · 10

30 kg; REGUZKIA-LURRA = 1,5 · 108 km; RLURRA-ILARGIA = 4 · 10

5 km

PLANTEAMENDUA

Kasu honetan, Eguzkian zentratuko da problema. Alde batetik Eguzkiaren azaleanzer grabitate-indar dagoen kalkulatu behar da. Zuzeneko formularen bidez edoNewtonen 2. Legea eta grabitate unibertsalaren legea erabiliz kalkulatu daitekehori.

Ondoren, Ilargiaren gainean Eguzkiak eta Lurrak eragiten duten grabitate-inda-rraren arteko koefizientea aurkitu behar da. Ezagutzen dugu Lurraren eta Ilargia-ren arteko batez besteko distantzia, hala ere, Ilargia eta Eguzkiaren artekodistantzia nola definitu pentsatu beharko da.


Problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek izango li-rateke.

Mendekotasuna duten lehen 3 aldagaiak grabitate-indarra, Eguzkiaren masa etaEguzkiaren erradioa dira. Grabitate-indarra Eguzkiaren masaren eta erradioaren

28

R3 · 4 · π2

G · mL

(3 · 6370 · 103)3 · 4 · π2

6,67 · 10-11 · 5,97 · 1024 = 26303,9 s = 7,3 hT =R3 · 4 · π2

G · mL

T2 = fi =

FL

FE


funtzioan dago, g0 = f(r,m). Hau da, zenbat eta masa handiagoa eta erradio txi-kiagoa, orduan eta handiagoa izango da grabitatea Eguzkiaren gainazalean.

Kasu honetan Lurrak eta Eguzkiak Ilargiaren gainean eragiten duen grabitate-in-darra, Lurraren eta Eguzkiaren masaren eta erradioaren araberakoa da, F = f(m, r). Zenbat eta masa handiagoa, orduan eta indar handiagoa eragingodiote Ilargiari distantzia bererako. Kontuan hartu behar da Ilargiaren eta Eguzkia-ren arteko distantzia aldakorra dela.


Kasu honetan ebazpenari begira, argi izan behar ditugunak.

Newtonen grabitazio unibertsalaren legea eta dinamikaren legea lotuz atera dai-teke, baina garrantzitsua denez, grabitate-indarra era honetara kalkulatuko litza-teke Eguzkiaren gainazalean:

Newtonen grabitazio unibertsalaren legea. Eguzkiak zein Lurrak indar bat eragitendute Ilargiaren gainean.

Laburbilduz, lehenik eta behin, Eguzkiaren gainazaleko grabitatea aterako dugu,eta ondoren, bi astroek eragindako grabitate-indarraren koefizientea aterakodugu. Kontuan hartu, Eguzkia-Ilargia distantzia, Eguzkia eta Lurraren arteko dis-tantziari Ilargia eta Lurraren arteko distantzia kenduz atera dela. Horrek esan nahidu Eguzkiak eragiten dion indarra Eguzkiarekiko punturik hurbilenean dagoeneanatera dela.


Atal honetan Eguzkiaren gainazalean dagoen grabitate-indarra kalkulatu beharda, eta, horretarako, adierazpen hau erabiliko dugu.

Bigarren atalean bi indarren arteko erlazioa lortzea da helburua; horregatik, kasubakoitzean grabitate-indarraren formulak elkarren artean zatituko dira. Gogoratu,Eguzkiaren eta Lurraren arteko distantziari Ilargia eta Lurraren arteko distantziakenduz lortuko dela Eguzkia-Ilargia distantzia.

Nahiz eta berdina ez izan, b aukeraren oso antzekoa da irteten den emaitza.

29

mE

rE2g0 = G ·

mE

rE2

2 · 1030

(6,96 · 108)2g0 = G · = 6,67 · 10-11 · = 275,38 m/s2

mE mI

R2E–I

mL mI

R2L–I

FE = -G fi FL = -G

mE mI

R2E–I

mL mI

R2L–I

FE = -G fi FL = -G

FE

FL

G · mE · mI · R2L-I

G · mL · mI · R2E-I

mE · R2L-I

mL · R2E-I

2 · 1030 · (4 · 108)2

6 · 1024 · (1,5 · 1011 – 4 · 108)2= = = = 2,38



Ikusten den moduan, Eguzkiaren gainazalean dagoen grabitate-indarra izugarriada, hala ere, guztiz koherentea, masa eta erradioa kontuan hartzen badugu. Gra-bitate-indar horrek asko handitzen du ihes-abiadura; horregatik daude Eguzkiarenatmosferan helioaren antzeko gasak, Lurraren atmosferan ez daudenak. Noizbaitnorbaitek Eguzkian jarriko balu oina, beroaz aparte izugarrizko pisua izango luke,Lurrean baino 27 aldiz inguru handiagoa. Kontuan hartu erradioa Lurrarenarekinkonparatuz bi magnitude handiagoa dela soilik, eta masa 6 magnitude handiagoda; horrek esan nahi du Eguzkia Lurra baino planeta askoz dentsoagoa dela eta,beraz, grabitate-indar handiagoa dagoela.

Eguzkiaren eta Lurraren arteko koefizientea ikusten badugu, argi ikusten da Eguz-kiak Lurrak baino grabitate-indar handiagoa eragiten diola Ilargiari. Logikoa da,izan ere, Ilargia Eguzkitik Lurretik baino urrunago badago ere, Eguzkiak 6 mag-nitude handiagoko masa du. Horrek argi erakusten digu Eguzki-sisteman daudenindarren konplexutasuna, hau da, Ilargia nahiz eta Lurreko satelitea izan, Eguzki-sistemako beste gorputzek eragina dute Ilargiaren gainean. Horiek guztiak kon-tuan hartu behar dira, benetan, sinplifikazio gabe Ilargiak duen orbita zirkularradeskribatzeko.

14. M = 3 · 1024 kg-ko masa duen planeta batek, bera baino 16 aldiz masa txi-kiagoa eta 250.000 km erradioa (planetaren erdigunetik neurtuta) duen or-bita zirkularra egiten duen satelite bat du.

Kalkulatu satelitearen abiadura orbitala.

Kalkulatu planetaren erdigunea eta satelitearen erdigunea lotzen duen seg-mentuaren zein puntutan izango den grabitatearen azelerazioa nulua.

Puntu horretan jartzen badugu espazio-ontzi bat, eta perturbazio baten on-dorioz planetarantz erorketa librean erortzen bada, zein izango da planeta-ren gainazalean izango duen abiadura?

Datuak G = 6,67 · 10-11 N · m2 · kg-2; planetaren erradioa: 5000 km

PLANTEAMENDUA

Kasu honetan planeta ezezagun baten eta masa, erradioa eta satelitea dagoendistantzia dakizkigula, 3 erronka nagusiri aurre egin behar zaio.

Lehenik eta behin, abiadura orbitala kalkulatu behar da, ez dakigunez planetareninguruan duen periodoa, Newtonen grabitazio unibertsalaren legearekin eta di-namikaren legearekin ondorioztatutako abiadura orbitalaren espresioa erabili be-harko da. Planeta zenbat eta urrunago, orduan eta abiadura orbital txikiagoaizango du. Horregatik, nahiko abiadura txikia (periodo nahiko luzea) izango dituelaaurreikus daiteke.

Bigarren atalean, segmentuaren grabitate-indarraren balioa nulua zer puntutanizango den esaten denean, kalkulatu behar da sateliteak eta planetak 3. objektubati zer puntutan eragingo dion grabitate-indar berdina. Horretarako, segmen-tuaren luzera 250000 km-koa dela suposatuko da, satelitearen orbita zirkularra-ren erradioa. Grabitate indarra distantziaren eta masaren araberakoa dela kontuanhartuz, pentsa dezakegu planetatik 4 aldiz urrunago egongo dela satelitetik baino.

30

250.000 km

Planeta


Sateliteak 16 aldiz masa txikiagoa duen arren, grabitate-indarra distantziaren ka-rratuarekin alderantzizko proportzionala delako.

Azkenik, grabitatea 0 izango den puntu horretatik (planetaren grabitate-indarra etasatelitearena elkar baliogabetzen direlako) planetaren gainazalera arte jausi ezkeroizango duen abiadura kalkulatu behar da. Horretarako, energiaren kontserbazioarenprintzipioa erabili behar da, hau da, segmentuaren puntuan eta planetaren gaina-zalean energia berdina izan behar du. Kontuan hartu segmentuaren puntuan ezduela energia zinetikorik, energia potentziala da duen bakarra, planetaren grabi-tate-indarrak eragiten diona. Gainazalean ordea, planetaren zentroarekiko energiapotentziala eta energia zinetikoa izango ditu. Energia zinetiko hori ematen dionabiadura da kalkulatu behar dena. Abiadura hori ihes-abiaduraren oso antzekoaizango da, txikiago noski, aurretik egin ditugun suposizio guztiak egia badira.


Problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek izango lirateke.

Abiadura orbitala. Abiadura orbitala Planetaren masarekiko eta Planetaren gai-nazaletik dagoen distantziaren mende dago: v = f (ML, R).

Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, planetaren gainazaletik zenbateta hurbilago egon, hainbat eta abiadura orbital handiagoa duela pentsa deza-kegu. Kasu honetan definituta dago satelitea zer altueran dagoen.

Kontuan hartu behar den beste aldagaia grabitate-indarra da. Grabitate-indarraeragiten duen masa eta grabitatea eragingo dion objektuarenganako distantziarenaraberakoa da, F = f(m, r). Zenbat eta urrunago egon, bai planetak bai sateliteak3. gorputz bati eragingo dion grabitate-indarra txikiagotzen joango da. Kasu ho-netan, bi gorputzek, sateliteak eta planetak 3. objektu bati eragingo lioketen in-darra txikituko litzateke.

Kontuan hartu beharreko 3. aldagaia energia mekanikoa da. Energia mekanikoaenergia zinetikoaren eta energi potentzialaren funtzioan dago Emek = f(Ez, Ep). Ener-gia zinetikoa objektuaren masaren eta abiaduraren karratuaren mende dago.Energia potentzialak, ordea, eragiten dion indar grabitatorioarekin du zerikusia,eta erakarpen-indar hori eragiten duen astroaren masaren mende dago, objektubati grabitate-indarra eragiten badio, energia potentziala ematen dago. Kasu ho-netan, nahiz eta planetaren gainazalean egon, satelitearekiko ere energia poten-tzial bat izango du objektuak.




F = ms as da Newtonen 3. legea, bi indar horiek berdinak dira. Beraz, horrela gel-dituko litzateke.

31

mp ms

r2F = G

mp ms

r2mp

r2F = G = ms as fi G = as


Azelerazio zentripetoa moduan definitzen delarik. B atalean agertzenden 3. objektu batentzat, planetak eragingo dion azelerazioak eta sateliteak era-gingo dionak berdinak izan behar dute. Horretarako, segmentua izango da. Beraz,kontuz zein erreferentzia-sistema erabiltzen den. Beheko irudia argigarria da.

32

Vs2

ras =

mp

2,5 · 107 – x

mp/16

Fp Fs

x

Goiko ekuazioetatik abiadura orbitalaren espresioa ondoriozta daiteke. Ikustenden bezala, abiadura orbitala planetaren azalarekiko distantziarekin eta Marterenmasarekin erlazionatuta dago.

abiaduraren formula, Newtonen legeen arabera.

Kasu honetan R = 250.000 km da.

Energiaren kontserbazioaren printzipioaren arabera, 3. objektuak ibilbidearenpuntu guztietan zehar energia mekaniko total berdina izango du. Energia meka-niko totala energia zinetikoa eta energia potentzialaren baturatik lortzen da. Hauekdirelarik beraien espresioak hurrenez hurren.

Kontuan hartu, goiko puntuan, sateliteak eta planetak grabitate-indar berdina era-giten dioten tokian, bi energia-potentzia dituela, bat planetak eragindakoa etabestea sateliteak eragindakoa. Horrez gain, horregatik beragatik ez du abiadurazinetikorik, beraz, goiko puntuan horrela geldituko litzateke energia mekaniko to-talaren adierazpena.

Planetaren gainazalean, ordea, kalkulatu nahi den abiadurak emandako energiazinetikoa dago. Beste aldetik, planetak eragindako energia potentziala, non berer, planetaren erradioa den, hau da, gainazaletik nukleora dagoena eta sateliteakeragingo diona; oraingo honetan, bere distantzia satelitetik gainazalera dagoendistantzia izango da (orbitaren erradioa – planetaren erradioa). Horrela gelditukolitzateke:

Laburbilduz, lehenik eta behin, a atala argituko dugu; horretarako, planetaren ma-saren arabera eta satelitearen distantziaren arabera atera dezakegu abiadura zu-zenean. Bigarrenik, bai sateliteak bai planetak 3. gorputz bati indar segmentuarenzer puntutan indar berdina eragiten dioten kalkulatuko da. Azkenik, energiaren

mp

Rmp

Rv2 = G · fi v = G ·

mp · mr

12

Ez = mv20

Ep = -G ·

mp · m0

rPO

ms · m0

rSOEmekGOIAN = -G · -G ·

mp · m0

rplaneta

ms · m0

rplaneta – rorbita

12

EmekGAINAZALEAN = -G · -G · · mo · vo2+


kontserbazioaren printzipioa erabiliz, perturbazio baten ondorioz erorketa libreanhasten den objektuak planetaren gainazalen kontra jotzean zer abiadura izangoduen kalkulatuko da.


Sateliteak 250000 km orbitan duen abiadura kalkulatzeko, aurreko ataleko 2.puntuan lortutako adierazpena erabiliko dugu.

B atalean, planetaren eta satelitearen arteko indar-lerroan bi indarrak zer puntutandiren berdinak kalkulatuko dugu; puntu horretan objektuaren azelerazioa nuluaizango da. Kalkulurako sateliteak 3. gorputzari eragiten dion indarra eta planetakeragindakoa berdinduko ditugu. Kontuan eduki distantziak adierazteko moduagoiko irudian antzera jarriko ditugula eta satelitearen masa planetaren masaren16rena dela.

Bi aldeetan erro karratua aplikatuz gero:

Puntu horretan utzitako objektuak, grabitate-indarra 0 duenez, ez du energia zi-netikorik izango. Baina bere orbitatik irten eta erorketa askean planetarantz doanbitartean energia zinetikoa irabazten du.

Gogoratu goiko puntuan, sateliteak eta planetak grabitate indar berdina eragitendioten tokian, bi energia-potentzia dituela, bat planetak eragindakoa eta besteasateliteak eragindakoa.

Planetaren gainazalean, ordea, kalkulatu nahi den abiadurak emandako energiazinetikoa dago. Beste aldetik, planetak eragindako energia potentziala, non berer, planetaren erradioa den, hau da, gainazaletik nukleora dagoena eta sateliteakeragingo diona; oraingo honetan bere distantzia satelitetik gainazalera dagoendistantzia izango da (orbitaren erradioa – planetaren erradioa).

33

mp

R3 · 1024

2,5 · 108= 6,67 · 10-11 · = 894,7 m/sv = G ·

mp m0

r2P–0

mp m0

r2S–0

mp

16 · x2mp

(2,5 · 108 – x)2(2,5 · 108 – x)2

x2F = G fi fi 16 == G =

(2,5 · 108 – x)x

4 = fi 5 · x = 2,5 · 108 fi x = 5 · 107 m = 50000 km

mp · m0

rPO

ms · m0

rSO

ms · m0

5 · 107

mp · m0

20 · 107

mp · m0

20 · 107

mp · m0

107

mp · m0

16 · 5 · 107

mp · m0

107

EmekGOIAN = -G · = -G ·

= -G · = -G · · 0,0625· +

-G ·

-G ·

= -G ·-G ·

mp · m0

rplaneta

mp · m0

5 · 106

mp · m0

107

mp · m0

107

mp · m0

16 · (2,5 · 108 – 5 · 106)

ms · m0

rplaneta – rorbitaEmekGAINAZALEAN = -G · +-G ·

120

180( )

12

· mo · vo2 =

· mo · vo2 =+

12

· mo · vo2 = -G ·

12

· mo · vo2

-G ·= -G ·

= -G · · 2 +

· + +10,5

12

1392( )


Lortu ditugun bi energiak, grabitate gabeko puntua eta gainazalean lortutakoaberdinduz, abiadura zein izango den kalkulatuko da:


A ataleko abiadura ez da horren handia, 488 orduko (20,32 eguneko) periodo batizango luke orbita horretan. Abiadura orbitala planetaren masaren eta planetare-kiko distantziaren mendekoa denez, zenbat eta urrunago egon, orduan eta abia-dura orbital txikiagoa du.

B atalean ikusi dugu satelitetik 50000 km-ra eta planetatik 200000 km-ra gra-bitate-indarra 0 dela. Hau da, puntu horretan, 3. objektu batek izango lukeen gra-bitate-indarra nulua izango litzatekeela. Kontuan hartuta satelitearen masa ezdela horren txikia, mp/16, nahiko logikoa da satelitetik ere distantzia nahikoraegotea. Nahiz eta planetak duen masarengatik grabitate-indar handiagoa eragitendion segmentuan dagoen 3. objektuari. Horregatik, planetarengandik urrunagoegon behar du; kontuan hartu ez dela erlazio zuzena masak eta erradioak grabi-tate indarrarengan eragiten dutena. Hau da, nahiz eta masa 16 aldiz txikikiagoizan, distantzia 4 aldiz txikiagoa da, eta guztiz bat dator grabitate-indar uniber-tsalarekin.

34

mp · m0

107

mp

107

mp · m0

107

12

· mo · vo2 fi -G ·

12

· vo2-G · · 2 +· 0,0625 = -G · (2 – 0,0625) =

2 · G · mp

107

2 · 6,65 · 10-11 · 3 · 1024

107· 1,94 = · 1,94 = 8811 m/sv =


Guisasola - Erein argitaletxea · 2018. 8. 2. · Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 ... e-mail:...

Documents

Transcript of Guisasola - Erein argitaletxea · 2018. 8. 2. · Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 ... e-mail:...