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Ejercicio 26: Guión SAP2000 y resultados

1. Vano isostático. Paso de carga puntual. Para simular el paso de una carga puntual se divide la viga en N tramos iguales y en los nudos generados se aplican cargas puntuales con variación temporal (se descartan los dos nudos extremos, pues tienen impedidos los desplazamientos verticales). Para generar las curvas de variación temporal de la carga se recomienda el uso de una hoja de cálculo.

P3

1

P

L

Δx2 3 4 5 6 7 8 9

P1 P2 P4 P5 P6 P7 P8 P9

x

i

Pi

i

t i-1

Pi-1

i-1 i+1

Pi+1

x i-1

x i+1

Pi

P

tt i t i+1

v

i 1 i

ii i i

i 1 i

t t txL xx t x i x t P 195kN

N v vt t t

∆∆∆ ∆ ∆

∆

−

+

= −= ⇒ = = ⋅ ⇒ = =

= +

Se trabaja en kN, m, ºC y la opción de Grid Only.

Primero definimos los parámetros del grid:

2

A continuación se define el material utilizando el comando Define > Materials > Add new material, y posteriormente se define la sección de la viga con el comando Define > Section Properties > Frame Sections > Add New Property > Other > General, asociando a la sección el material definido previamente.

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Activamos la opción de Draw frame/cable element, seleccionamos la sección viga y definimos el puente en el eje X (clic izquierdo en el extremo inicial y final y clic derecho para salir).

Con el comando View > Set 3D view ajustamos la vista espacial, y con el comando Set display Options dibujamos las numeraciones nodales en la vista activa.

Para definir las condiciones de contorno seleccionamos el nudo correspondiente y utilizamos el comando Assign > Joint > Restraints.

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Discretizamos la barra en 10 elementos con el comando Edit > Edit Lines > Divide Frames.

Definimos un caso de carga tipo LIVE denominado Carga1 con el comando Define > Load Patterns, y le asignamos una carga de 1 kN en el nudo 3 en dirección -Z, seleccionándolo y ejecutando el comando Assign > Joint loads > Forces.

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A continuación definimos la curva de carga asociada al nudo 3 mediante el comando Define > Functions > Time History, seleccionando Add New Function y con la opción de tipo User Function, definimos la variación temporal Carga1.

Luego se define un caso de análisis dinámico mediante el comando Define > Load Cases, con la opción Add New Load Case. El análisis dinámico temporal se denomina CargaPuntual que es un Time History, de tipo modal lineal, asociando el caso de carga estático Carga1 a la función temporal Carga1 definida previamente.

Tomamos 500 pasos de integración con un intervalo ∆t de 0.01s, es decir, se analizan 5 s. Se considera un factor de amortiguamiento ζ del 2 %.

6 Hasta el momento, en el programa sólo se han introducido la carga sobre el nudo 3 con su correspondiente curva de variación temporal. Para introducir las restantes cargas, usaremos el comando Edit > Interactive Database Editing, mediante el cual podemos modificar o añadir datos cómodamente en el modelo a partir de tablas y hojas de cálculo.

Se añaden los Load Patterns que faltan:

Se añaden las cargas puntuales que faltan:

Se añaden las funciones temporales asociadas a las cargas anteriores (288 km/h):

Se modifica el Load Case dinámico incluyendo las cargas que faltaban con sus respectivas funciones de carga:

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Se añade un caso de carga estático con la carga en centro de vano:

En el caso del análisis modal dejamos los parámetros por defecto. Con el comando Analyze > Set Analysis Option indicamos que la estructura trabaja sólo en el plano XZ, a continuación guardamos el modelo y finalmente con el comando Analyze > Set Analysis cases to run lanzamos el análisis.

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En el caso del análisis temporal podemos visualizar la deformada, movimientos y esfuerzos globales de la estructura en cualquier instante, o bien las envolventes de los mismos.

Con el comando Display > Show Plot Functions generamos gráficas de la respuesta en el tiempo de nudos, esfuerzos en barras, reacciones, energía…. Para generar un gráfico del desplazamiento en dirección Z del nudo 7 (centro de luz), utilizamos las opciones Define Plot Function, Add Joint Disps/Forces y Add Plot Function, seleccionando el nudo 7, y desplazamientos en Z.

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Los resultados obtenidos son:

, . . ./ .

. . .o est PP cl

do PP cl

u u u 1 322 0 185 1 507cmv 288km h R 1 08

u u u 1 322 0 3049 1 6269cm= + = − − = −

= → ⇒ = = + = − − = −

, . . ./ .

. . .o est PP cl

do PP cl

u u u 1 322 0 185 1 507cmv 330km h R 1 08

u u u 1 322 0 3044 1 6264cm= + = − − = −

= → ⇒ = = + = − − = −

2. Vano isostático. Paso de convoy de 10 cargas puntuales. Nuevamente, para simular el paso de un convoy se divide la viga en N tramos iguales y en los nudos generados se aplican cargas puntuales con variación temporal. Siendo S la separación constante entre cargas del convoy, i el número de nudo y j el número de posición de la carga del convoy.

t(i-1)j

Pi

P

tt ij t(i+1)j t (i-1)(j+1)

Pi

ti(j+1) t(i+1(j+1)j

Δt'

( )

( )

' ( ) '

iji 1 j

ii ij ij

iji 1 j

t t t

xL x Sx t t x i x t j 1 t P 195kNN v v v

t t t

∆

∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

−

+

= −= ⇒ = = = ⋅ ⇒ = + − ⋅ =

= +

Nótese que este esquema es válido si Δt’ > 2·Δt, o lo que es lo mismo S > 2·Δx. En este ejercicio 16 m > 5 m.

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Para simular el paso del convoy, en el modelo anterior se añade un caso de carga Convoy haciendo una copia del caso de carga CargaPuntual y realizado los cambios necesarios en las funciones temporales de carga asociadas a las cargas en cada nudo. Para ello, se recomienda nuevamente usar el comando Edit > Interactive Database Editing (288 km/h).

Con el comando Display > Show Plot Functions generamos un gráfico del desplazamiento en dirección Z del nudo 7 (centro de luz), escogiendo el caso de carga Convoy.

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Los resultados obtenidos son:

, . . ./ .

. . .o est PP cl

do PP cl

u u u 1 322 0 185 1 507cmv 288km h R 1 84

u u u 1 322 2 682 2 770cm= + = − − = −

= → ⇒ = = + = − − = −

, . . ./ .

. . .o est PP cl

do PP cl

u u u 1 322 0 185 1 507cmv 330km h R 1 25

u u u 1 322 0 5623 1 8843cm= + = − − = −

= → ⇒ = = + = − − = −

La velocidad del convoy que provoca la resonancia del puente puede calcularse de forma aproximada igualando la frecuencia de la carga con la frecuencia del primer modo de vibración, observándose que es muy próxima a 288 km/h:

..1 R

1 1

R

2 2 S 16 kmv 281 1T T 0 20492 hS

v

π πω ω ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = = =

También se puede observar que a mayor amortiguamiento, menores son los desplazamientos máximos y más rápida es la atenuación del movimiento después del paso del convoy:

12

.0 01ζ =

.0 02ζ =

13

.0 03ζ =

.0 04ζ =

3. Estudio de resonancia. Paso de un AVE. La simulación del paso de un tren de alta velocidad sobre el viaducto se hace de forma similar a los apartados anteriores aplicando cargas puntuales en los nudos con variación temporal, pero ahora ha de tenerse en cuenta que los picos de las cargas y la separación S entre cargas son variables.

P3

1

P

Δx2 3 4 5 6 7 9

P1 P2 P4 P5 P6 P7 P9

v

P13

11 12 13 14 15 16 17 19

P11 P12 P14 P15 P16 P17

10

P10 P20

Δx20 21 22 23 24 25

P19 P21 P22 P23 P25

Δx

P24

14

' variablej iL xx t t x i xN v

∆∆ ∆ ∆ ∆= ⇒ = = = ⋅

Si Δtj’ > 2·Δt:

t(i-1)j

Pij

P

tt ij t(i+1)j t (i-1)(j+1)

Pi(j+1)

ti(j+1) t(i+1(j+1)j

Δt'ΔtΔt ΔtΔt

j

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

'

11 11i 1 j 1 i j 1

11 ij ji j 1 i j 1

i 1 j 1 i j 121 11

t t t t t t 0xt t t t P

vt t t 0t t t

∆ ∆∆ ∆

∆∆

−− + +

+ +

+ + +

= − = − → = = + →

= + →= +

Si Δtj’ < 2·Δt hay “solapamiento de picos”:

t(i-1)j

PijP

tt ij t(i+1)jt (i-1)(j+1)

Pi(j+1)

ti(j+1) t(i+1(j+1)j

Δt'ΔtΔt

ΔtΔtj

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

(...)

'

(...)

11 11i 1 j 1 i j 1

11 ij ji j 1 i j 1

i 1 j 1 i j 121 11

t t t t t txt t t t P

vt t tt t t

∆ ∆∆ ∆

∆∆

−− + +

+ +

+ + +

= − = − → = = + →

= + →= +

Nótese que estos esquemas son válidos si Δx es menor que la mínima separación entre ejes del tren. En este ejercicio Δx = 2.5 m < 3 m.

15 La simulación en SAP de este apartado se hace de forma similar a los casos anteriores. Ahora es imprescindible el uso de hojas de cálculo para calcular las funciones temporales de variación de las cargas y para introducir dichos valores en el programa.

La velocidad del tren que provoca la resonancia del puente puede calcularse de forma aproximada igualando la frecuencia de la carga con la frecuencia del primer modo de vibración:

. ..1 R

1 1

R

2 2 S 20 28 kmv 373 8T T 0 19531 hS

v

π πω ω ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = = =

El desplazamiento vertical en el centro de luz para distintas velocidades (sin peso propio) es:

- Para 50 km/h:

- Para 100 km/h:

16 - Para 150 km/h:

- Para 200 km/h:

- Para 250 km/h:

17 - Para 300 km/h:

- Para 350 km/h:

- Para 365 km/h:

18 - Para 370 km/h:

- Para 375 km/h:

- Para 380 km/h:

19 - Para 400 km/h:

- Para 425 km/h:

- Para 450 km/h:

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v [km/h] uz [mm]

50 1.718 100 1.661 150 1.664 200 1.685 250 1.942 300 2.006 350 2.207 365 2.674 370 2.785 375 2.746 380 2.598 400 2.586 425 2.758 450 2.293

El desplazamiento vertical por peso propio en el centro de luz es: .PPu 4 94mm= −