Guillermo García Bazán

Guillermo.garcia.slr@hotmail.com

CIRCUNFERENCIA

TEORÍA Y PROPIEDADES

3ro, 4to y 5to

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

DiámetroAB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

R L

LR LR

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R MQ PM PQ R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

A B

C D

mBDmAC CD // AB :Si mBDmAC CD // AB :Si

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas equidistan del

centro

mCD mAB CD AB:Si mCD mAB CD AB:Si

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

= mAB = mAB

A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

2

mCDmAB

2

mCDmAB

A

B

C

3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

2

mAB

2

mAB

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

A

B

C

2

mAB

2

mAB

A

B

C O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

+ mAB = 180° + mAB = 180°

2

mAB - mACB

2

mAB - mACB

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB

2

mCD-mAB

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

2

mBC - mAB

2

mBC - mAB

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°X = 30°

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2

mQRSPQSm

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.

20°

70°X

X = 40°X = 40°R

Q

H

En el triángulo rectángulo RHS

140° Es propiedad, que:

140° + X = 180°

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

PSQ = x

2

mQRº70 mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X P

Resolución

Ahora responde lo siguiente

• ¿Por qué crees tú que se utiliza las circunferencias para realizar estas figuras hechas en las cosechas?

• ¿Por qué crees tú que las construcciones más difíciles

son de forma curva o circular?