GuiaUnidad3EDO-P44

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ECUACIONES DIFERENCIALES NIVEL 4 GUIA UNIDAD 3

GUA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 3: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 0RDEN SUPERIOR

Objetivos especficos :

Generalizar los mtodos vistos en EDO de 2 orden para resolver EDO de orden superior.

Resolver ecuaciones de Cauchy-Euler homogneas y no homogneas.

Aplicar condiciones de frontera para obtener una solucin particular, cuando ella exista.

Usar un paquete de software apropiado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

1. PREREQUISITOS

Los temas necesarios para esta unidad son :

Regla de la cadena. Reglas y mtodos de integracin. Clculo de determinantes de cualquier orden Forma polar de nmeros complejos Solucin de ecuaciones polinmicas. Solucin de sistemas de ecuaciones lineales mediante regla de Cramer. Todos los conceptos revisados en la Gua de Aprendizaje de la unidad 3.

2. MATERIAL DE APOYO

AUTOR: ZILL DENNIS G; CULLEN, MICHAEL R. Matemticas Avanzadas para Ingeniera , Mcgraw-Hill. Mxico. 4ta. edicin. 2012.

Tabla de integrales y frmulas extrada del texto

Software matemtico

Calculadora con CAS 3. ACTIVIDADES ESPECFICAS

Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase.

Elaboracin grupal de las respuestas del cuestionario, justificacin de cada etapa del desarrollo de ejercicios. Discusin grupal sobre procedimientos, resultados.

Anlisis crtico de los ejercicios desarrollados.

4. METODOLOGA DE TRABAJO

El docente durante la clase definir los conceptos necesarios para el desarrollo de la gua. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teora con anterioridad usando el texto recomendado por el Docente.

En clase los estudiantes organizan grupos (dependiendo del nmero de estudiantes por curso) para desarrollar los ejercicios propuestos de la gua

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ECUACIONES DIFERENCIALES NIVEL 4 GUA UNIDAD 3

El docente realiza el control de desarrollo de guas .

5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)

Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesin como preparacin para el estudio de la unidad 3.

Esta tarea extraclase ser evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad .

5.1 Usando tanto el mtodo de sustitucin como el de eliminacin, resuelva el siguiente sistema y compare los resultados.

=+

=

41

432

6023

52

2y

x

yx

5.2 Dadas las matrices

a). b). A B=

=

2 3 45 6 78 9 1

2 0 13 2 31 3 5

Encuentre det (A) y det(B)

5.3 Hallar el valor de X2 en el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando la Regla de Cramer :

x x x

x x

x x x

1 2 3

2 3

1 2 3

82 3 2

5 5 4

+ + =

+ =

+ + = 5.4 Dada la ecuacin siguiente, calcule x, x, y a continuacin combine esos resultados en una ecuacin diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes, que no contenga las constantes C1 y C2, y que tenga la forma F(x, x, x)=0.

x = Ce + Cte 5.5 Determine las races de la ecuacin en forma exacta.

a) + 2 3 = 0 b) 5 + 6 = 0 c) + 3 + 4 = 0

5.6 Hallar el determinante de la siguiente matriz y analizar si es posible que se anule.

3


5.7 Si y + 2 y 3y = 7 cos(3x), cuya solucin de prueba es yp = A cos(3x) + B sen(3x), determine los valores de las constantes A y B. que cumple las condiciones iniciales y(0)=0 y y(0)=1, grafique la curva de solucin nica. 5.8 Determine la forma de una solucin particular de :

a) y" - 9y' + 14y = 3x2- 5 sen 2x

b) y" - 9y' + 14y = 7xe6x c) y`` + 4y = (x2 - 3)SIN(2x) 1 x/2 d) y`` - y` + y = 3 + e 4 5.9 Resuelva la ecuacin diferencial de coeficientes constantes, mediante el mtodo de Variacin de Parmetros:

+ = sec ()tan ()

5.10 Un tanque contiene originalmente 400 lit. de agua limpia. Entonces se vierte en el tanque agua que contiene 0.05 kg de sal por litro a una velocidad de 8 lit. por minuto y se deja que la mezcla salga bien homogenizada con la misma rapidez .

a) Plantee la ecuacin diferencial que describe el modelo b) Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial planteada. c) Grafique la solucin general obtenida y analice la estabilidad dinmica.

6. REVISIN DE CONCEPTOS 6.1 ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

La siguiente EDO lineal de orden n:

se dice que es no homognea.

si g(x) = 0 la ecuacin es homognea.

Veremos que para resolver una ecuacin no homognea tendremos que resolver tambin la ecuacin homognea asociada.

)()()()()( 0111

1 xgyxadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xan

n

nn

n

n =++++

L

0)()()()( 0111

1 =++++

yxadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xan

n

nn

n

n L

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6.1.1 Operadores diferenciales Sea Dy = dy/dx. Al smbolo D se le llama operador diferencial. Definimos a un operador diferencial de n-simo orden u operador polinominal como El operador diferencial L es un operador lineal: Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente como L(y) = 0 L(y) = g(x) 6.1.2 Principio de superposicin (ecuaciones homogneas) Sean y1, y2, , yk soluciones de una ecuacin diferencial homognea de n-simo orden en un intervalo I. Entonces la combinacin lineal y = c1y1(x) + c2y2(x) + + ckyk(x) donde ci, i = 1, 2, , k, son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el intervalo. Ejemplo 1 Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas soluciones en (0, ) de Luego y = x2 + x2 ln x tambin es una solucin en (0, ). 6.1.3 Dependencia e independencia lineal Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I, si existen ciertas constantes c1, c2, , cn no todas nulas, tales que: c1f1(x) + c2f2(x) + + cn fn(x) = 0 Si el conjunto no es linealmente dependiente, entonces es linealmente independiente. En otras palabras, si el conjunto es linealmente independiente, cuando: c1f1(x) + c2f2(x) + + cn fn(x) = 0 entonces necesariamente c1 = c2 = = cn = 0. Ejemplo 2 : Las funciones f1 = cos2 x, f2 = sin2 x, f3 = sec2 x, f4 = tan2 x son

linealmente dependientes en el intervalo (-pi/2, pi/2) porque c1 cos2 x +c2 sin2 x +c3 sec2 x +c4 tan2 x = 0 con c1 = c2 = 1, c3 = -1, c4 = 1. 6.1.4 Problemas de Valor Inicial y de Valores en la Frontera Para una ecuacin diferencial Lineal, un problema de valor inicial de Orden n es:

a!(x)d!ydx!

+ a!$(x)d!$ydx!$

+ + a(x)dy

dx+ a&(x)y = g(x)

)()()()( 0111 xaDxaDxaDxaL nnnn ++++= L

))(())(()}()({ xgLxfLxgxfL +=+

0=4+2+3 yyxyx

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y(x0) = y0, y(x0) = y1 . , y(!$)x0 = y!$ 6.1.5 Existencia y Unicidad Teorema: Sean a!(x), a!$(x) a(x), a&(x) y g(x) continuas en el intervalo I y sea a!(x) 0 para todo x del intervalo. Si x = x0 es cualquier punto en el intervalo existe una solucin de dicho intervalo y(x) del problema de valor inicial. Problema de Valores en la Frontera Son ecuaciones en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estn especificadas en puntos diferentes.

-(.)/0/.

+ -(.)/0/.

+ + -&(.)0 = 1(.)

0(-) = 00, 0(2) = 01 Los valores prescritos, 0(-) = 00, 0(2) = 01 se denominan condiciones en la frontera Dada la EDO: La ecuacin asociada se llama su ecuacin auxiliar . Ejemplo 3 Resolver Ejemplo 4 Resolver

0 + 120 + 360 = 0

+ 12 + 36 = 0

3 + 12 + 36 4 = 0

= 0

( + 12 + 36) = 0

( + 6)( + 6) = 0 - races repetidas = 6

= 6

0012)1(

1)(

=+++++

yayayayaya nnn

n L

0012

21

1 =+++++

amamamaman

nn

n L

0=4+3+ yyy

2223 )2)(1()44)(1(43 +=++=+ mmmmmmm232 == mm

xxxxecececy 23

221

++=

6


0 = 6& 0 = 6$78 0 = 6$78

9 = C + C6$78 + Cx 6$78 Races complejas repetidas

Si m1 = + i es una raz compleja de multiplicidad k, entonces m2 = i es tambin una raz compleja de multiplicidad k. Las 2k soluciones linealmente independientes son : 6.2 ECUACIONES NO HOMOGENEAS:

-:(.)/:0/.:

+ -:$(.)/:$0/.:$

+ + -(.)/0

/.+ -&(.)0 = 1(.)

Teorema: Solucin General 9 = ;0(.) + ;0(.) +;:0:(.) + 0< Funcin Complementaria: En el teorema anterior se ve que la solucin general consiste en la suma de dos funciones: 9 = ;0(.) + ;0(.) +;:0:(.) + 0

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Y cul es la regla si la solucin particular as propuesta es tambin una solucin de la ecuacin homognea asociada? Si alguna yp contiene trminos que duplican los trminos de yc, entonces esa yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo ms pequeo que elimina esa duplicacin. Ejemplo 6 Hallar la forma de yp de yc = c1+ c2x + c3x2 + c4e-x

Prueba : Como aparece repetido en la solucin homognea, necesitaremos multiplicar A por x3 y (Bx2e-x + Cxe-x + Ee-x) por x. Prueba ahora: 6.3 MTODO DEL ANULADOR Operador anulador : Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una funcin suficientemente diferenciable tal que L(f(x)) = O, se dice que L es un anulador de la funcin; por ejemplo una funcin constante como y = k es anulada por D porque D(k) = 0. La funcin y = x es anulada por el operador diferencial D2 porque la primera y segunda derivada de x son 1 y O, respectivamente. En forma similar, D3x2= O, etctera. Lo anterior nos conduce al punto de la descripcin anterior. Supongamos que L(y)=g(x) es una ecuacin diferencial con coeficientes constantes, y que la entrada g(x) consta de sumas y productos finitos de las funciones mencionadas, esto es, que g(x) es una combinacin lineal de funciones de la forma k (constante), ,xm, xmex, xmeax cos x y xmeax sen x, en donde m es un entero no negativo y y son nmeros reales. Ya sabemos que esa funcin g(x) se puede anular con un operador diferencial, L1, de orden mnimo, formado por un producto de los operadores Dn, (D-)n y (D2-2D+2+ 2)n. Aplicamos L1 a ambos lados de la ecuacin L(y)= g(x) y obtenemos

L1L(y)= L1(g(x))= 0 Al resolver la ecuacin homognea de orden superior L1L(y)=0, descubriremos la forma de una solucin particular yp de la ecuacin original no homognea L(y) = g(x). A continuacin sustituimos esa forma supuesta en L(y) = g(x) para determinar una solucin particular explcita. Antes de seguir, recordemos que la solucin general de una ecuacin diferencial lineal no homognea L(y) = g(x) es y = yc + yp, donde yc es la funcin complementaria; esto es, la solucin general de la ecuacin homognea asociada L(y) = 0. La solucin general de cada ecuacin L(y) = g(x) est definida en el intervalo (-,).

xexyy =+ 2)4( 1

{ 444 3444 2121

2

pp y

xxx

yp EeCxeeBxAy

+++=

{ 4444 34444 2121

233

pp y

xxx

yp ExeeCxeBxAxy

+++=

8


Ejemplo 7 :

La ecuacin 0 + 30 100 2cos3. se resuelve de la siguiente forma:

En notacin operacional se transforma en:

? 3? 100 2cos3.

Se procede a anular el miembro derecho:

? 9? 3? 100 ? 92cos3.

? 9? 3? 100 0

A continuacin, se resuelve formando la ecuacin auxiliar:

9 3 10

Y factorizando tenemos:

9 5 2 0

De las races A3B, 2, 5 y obtenemos la solucin general :

0 CD6E3. FGHD3. ;62. I65.

En las que se reconocen los dos ltimos trminos como la solucin de la ecuacin homognea asociada. Por tanto C y E son constantes arbitrarias para la solucin de lo cual deja A y B como los coeficientes indeterminados.

Se establece y diferenciamos dos veces:

Luego sustituimos estas funciones en (5):

Ordenando trminos, este resultado se simplifica en:

lo cual conduce a las dos ecuaciones:

Estas ecuaciones se satisfacen con los valores:

Por ltimo, se introducen estos valores en para formar la solucin completa :

9


6.4 MTODO DE VARIACIN DE PARMETROS Para las EDs de n-simo orden de la forma tomamos yp = u1y1 + u2y2 + + unyn, donde yi , i = 1, 2, , n, son la familia de soluciones independientes que forman yc. As: Suposiciones para simplificar la EDO: Que nos lleva a las ecuaciones solucin uk = Wk/W con k = 1, 2, , n. Donde W es el wronskiano de la y's y Wk es el determinante que se obtiene de sustituir en W la k-sima columna por (0, 0,..., f(x)). 6.5 ECUACIN DE CAUCHY-EULER Forma de ecuacin de Cauchy-Euler

Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m, para resolver la ecuacin homognea asociada: Observa que: Ejemplo 8 Resolver la ecuacin diferencial .0 2.0 + 4.0 40 = 0 La ecuacin auxiliar es ( 1)( 2) 2( 1) + 4 4 = 0 Despus se reduce a: ( 1)(( 2) 2 + 4) = 0

( 1)3( 2)( 2)4 = 0

Tenemos que: = 1 , = = 2

La solucin General es: 0 = ;. + ;.2 + ;.2ln (.) Caso Especial:

)()()()( 01)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnn =++++ L

02211 =+++ nnuyuyuy L

MM

L

02211 =+++ nnuyuyuy

)()1(2)1(21)1(1 xfuyuyuy nnnnn =+++ L

)(0111

11 xgyadx

dyxa

dxyd

xadx

ydxa

n

nn

nn

nn

n =++++

L

k

kk

k dxyd

xa kmkk xkmmmmxa

+= )1()2)(1( Lm

k xkmmmma )1()2)(1( += L( ) 0...)1()2)(1( 01 =++++ mn xamanmmmma L

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Una ecuacin de Cauchy-Euler puede ser transformada por la sustitucin x = et en una ecuacin diferencial con Coeficientes constantes y puede ser resuelta por el procedimiento conocido para resolver este tipo de ecuaciones.

7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUESTOS 7.1 Ejercicios

LIBRO SECCIN EJERCICIOS

Nagle - 4ta edicin 6.1 3,16,21 Nagle - 4ta edicin 6.2 15,20,27,34,35

Nagle - 4ta edicin 6.3 33,40

Nagle - 4ta edicin 6.4 7,14

7.2 Problemas de aplicacin adicionales

1) La temperatura u(r) en el anillo circular de la figura esta definida por el problema de valor en la frontera :

KLM

KNL+ KM

KN= 0 O(2) = 10 O(4) = 60

Hallar la temperatura en el punto (3, Q/4) y graficar la temperatura en funcin de r.

2) En una viga de longitud 4 metros, de perfil de acero IPN 200 ( Mdulo elasticidad E = 210000 Kg/mm2 , I = 0,0000214 m4 . Se aplica una fuerza puntual de valor 1000 Kg. a una distancia del extremo izquierdo de 4m. La viga esta simplemente apoyada en los extremos Determinar :

a) La curva elstica de la viga y graficarla. b) Use un sistema algebraico de cmputo para determinar en forma aproximada el

punto donde se produce la flexin mxima (flecha ). cuanto vale la flexin mxima?

c) Que sucede si se toma en cuenta la influencia del peso propio de la viga.

3) Un edificio consta de dos zonas A y B (vese la siguiente figura).La zona A es calentada por un calefactor que genera 80000 Kcal/h. La capacidad calorfica de la zona A es de 1/2 oC por cada 1200 Kcal. Las constantes de tiempo de transferencia de calor son entre la zona A y el exterior 3 horas, 2 horas entre las zonas A y B y 5 horas entre la zona B y el exterior. Si la temperatura exterior es de 0 oC, determinar la temperatura de cada zona.

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4) Determinar las intensidades que circulan por el siguiente circuito, inicialmente descargado (condiciones iniciales nulas), en los siguientes casos:

(a) V (t) = 12 Voltios

(b) V (t) = 5 cos (2t) Voltios

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