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8/18/2019 Guias Periódicos

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PHOTONIC CRYSTALS

Guias Dieletricos Periodicos

Fidel Souza

UFMG

14/09/2015

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Roteiro

Este capıtulo esta dividido em:

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Introducao

Este capıtulo trata de estruturas dieletricas com periodicidade em

apenas uma direcao como as da figura 1:

WGP_fig1.png

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Introducao

Apesar de diferentes geometrias, estas estruturas apresentamcaracterısticas semelhantes:Todas podem possuir gaps fotonicos em uma direcao e

confinar luz por reflexao total (index guiding ) nas duasoutras direcoes.

No proximo capıtulo sera abordado uma estrutura que apresentaperiodicidade em duas dimensoes e confina a luz na terceira por

reflexao total.

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Modelo Bidimencional

A figura 2 traz duas estruturas distintas. A primeira e uma faixacontınua com largura y e comprimento infinito na direcao x .

Consideramos que esta estrutura e infinita na direcao z .

WGP_fig2.png

A segunda e uma trilha periodica de quadrados 0, 4ax 0, 4a , comperıodo igual a a .

Considerando k z = 0 Nas duas estruturas temos simetriatranslacional apenas em x e por isso apenas k x e conservado.

Portanto temos que k = k x .

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As estruturas de banda projetadas, apenas para o caso TM (E z ),

para os guias da figura 2 sao apresentadas na figura 3:

WGP_fig3.png

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Primeiramente, analisando o painel esquerdo da figura 3, que serefere ao guia contınuo, observamos o mesmo comportamentodescrito anteriormente no capıtulo 3 secao index guiding .

O diagrama foi construido em funcao de k = k x na faixa

0 ≤ k x ≤ 2π/a .

Como antes, temos o cone de luz, que e uma faixa contınua quecontem os modos propagantes no ar.

Por causa da simetria especular em relacao ao eixo y = 0, osmodos podem ser classificados em par e ımpar. Na figura 3,o modo fundamental e o modo par mostrado.

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O painel direito da figura 3 traz a estrutura de bandas do guiaperiodico.

Pela caracterıstica periodica desse guia sabemos que as frequenciasω(k x ) e seus modos associados sao periodicos com relacao aprimeira zona de Brilloin.

Isso faz com que as frequencias na faixa −π/a < k x < 0 sejamidenticas as na faixa π/a < k x < 2π/a .

Percebemos tambem que existem gaps entre os modos guiados,

analogamente ao que ocorre ao cristal 1D. Estes gaps saoincompletos, pois existem apenas para os modos guiados.

Aqui, diferentemente do caso do cristal 1D, nao temos simetriatranslacional em y isso faz com que neste caso apareca o cone de

luz.

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A figura 4 traz os tres modos que aparecem no painel direito da

figura 3 em k x = π/a .

WGP_fig4.png

Observamos que os dois primeiros tem simetria par em relacao ay = 0. Verificamos tambem que no primeiro modo o campo seconcentra no dieletrico. No segundo modo existe uma linha nodalque corta a regiao do dieletrico na vertical. Ja no segundo, que eımpar, existe uma linha nodal na horizontal.

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A distribuicao de campo do segundo modo o forca a ter umaalta frequencia. Consequentemente, por estar mais proximodo cone de luz, este modo e confinado de forma mais fraca.

Uma coisa importante que devemos notar na estrutura de bandas

do guia periodico e que: o fato do cone de luz ser replicado emx forca uma frequencia de cutoff .

Em outras palavras, existe uma upper frequency cutoff , ω = c π/a .

Isto significa que reflexao total interna nao pode guiar luz aolongo de uma estrutura periodica.

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Guias Periodicos TridimensionaisA figura 5 traz a estrutura de bandas de um guia como o da figura1(a). Este guia e formado por uma sequencia de furos de ar em

uma placa dieletrica de espessura 0, 4a .

WGP_fig5.png

Os furos tem raio igual a 0, 25a e perıodo a . A placa tem larguraigual a a e constante ε = 12. Consideramos primeiramente que oguia esta suspenso no ar.

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Guias Periodicos Tridimensionais

No diagrama da figura 5 sao mostrados os modos somente naregiao da zona irredutıvel de Brilloin.

Como no caso anterior 2D, temos periodicidade em x , assimpodemos construir o diagrama de estrutura de bandas para k x .

Devido a falta de simetria translacional em y e z , aqui tambemaparece o cone de luz acima de ck x .

O diagrama desta estrutura tambem apresenta modos guiadosabaixo da line light . Aqui eles sao mais numerosos e complexos

porque sao incluıdos todos as polarizacoes.

Este guia tridimensional apresenta simetria especular com relacao ay = 0 e z = 0. Isto permite classifica-los como pares e ımparescom relacao a estes dois eixos.

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Na figura 5 nos referimos ao modo z -par como E porque e um

modo que e ”aproximadamente”TE (TE-like). Da mesma formaos modos z -ımpar sao rotulados como M pois sao”aproximadamente”TM (TM-like).

Recebem o subscrito ”e”ou ”o”quando se sao pares ou ımparescom respeito a uma reflexao em y = 0.

Adicionalmente os modos recebem um outro subscrito n referenteao numero da banda.

Para cada tipo de simetria individual, como E(o ,n), ocorrem gaps .Por exemplo entre as bandas E(o ,1) e E(o ,2) existe um gap de 21%.Modos nestas duas bandas sao fortemente localizados.

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Os modos associados as bandas E(o ,1) e E(o ,2) sao mostrados nafigura 6:

WGP_fig6.png

O campo dominante desses modos e o H z (TE-like).

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Simetria e Polarizacao

Como visto anteriormente, em estruturas bidimensionais ha umadistincao fundamental entre os modos TE e TM.

Mas em estruturas tridimensionais geralmente nao podemosclassificar os modos em duas modulacoes distintas.

Contudo para o caso de estruturas finas, como o guia citadoanteriormente, os campos podem ser ditos ”principalmentepolarizados”(mostly polarized ).

Retornando ao exemplo da secao anterior e considerando modosque sao par ou ımpar sobre uma reflexao em z . Estes campos saodescritos esquematicamente na figura 7, a seguir.

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Figura 7:

WGP_fig7.png

Dentro do plano de simetria, z = 0, os modos sao puramente TE eTM. Fora desse plano os modos serao ”principalmente”TE-like eTM-like. A medida em que a placa se torna mais fina (mais fina

que o comprimento de onda) os modos sao mais fortementeTE-like e TM-like.

Considerando o plano de simetria y = 0, temos umcomportamento similar. Contudo em relacao a reflexoes em y os

modos pares sao TM-like e os ımpares sao TE-like.

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E desejavel que guias tenham simetria especular em relacao a dois

eixos, pois quando este e colocado sobre um substrato a simetriaem um eixo e conservada, e os modos ainda serao TE-like eTM-like. Como consequencia gaps entre estes modos seraomantidos.

Tambem e importante que o substrato tenha uma constantedieletrica bem menor que a do material do guia. Isso mantem ogap e os modos guiados abaixo da line light. Um pareamentocomum e o de silicone (Si) e sılica (SiO2) com contraste 12:2.

Em sıntese estruturas finas com simetria especular apresentammodos que sao TE-like ou TM-like. Analogamente ao caso 2Dspots favorecem gaps TM e paths favorecem TE gaps .

f G

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Defeitos Pontuais Em Guias Periodicos

Ao contrario do que foi visto nas estruturas consideradas nos

capıtulos anteriores, os guias periodicos nao sao capazes deconfinar perfeitamente modos em defeitos pontuais. Isso eilustrado na figura 8 abaixo:

WGP_fig8.png

O defeito constitui-se de aumentar a separacao entre dois furo de a

para 1.4a . Isso puxa o modo E(o ,2) para dentro do gap .

D f i P i E G i P i´di

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Defeitos Pontuais Em Guias Periodicos

Guias periodicos nao apresentam gaps completos, pois paraqualquer valor de ω existe um estado dentro do cone de luz.

O modo confinado acopla com os modos de mesma frequencia queestao no cone de luz.

Assim o defeito se torna uma cavidade ressonante e teremos umaperda por radiacao intrınseca, como e ilustrado no painel direito dafigura 8.

A perda por radiacao intrınseca e a principal desvantagem de gaps

incompletos.

F d Q lid d d C id d R

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Fator de Qualidade de Cavidades Ressonantes

Um modo em uma cavidade ressonante decai lentamente. Isso esemelhante a um modo com frequencia complexa: ωc = ω0 − i γ/2.O campo decai com e −γ/2 e a energia com e −γ .

Poderıamos caracterizar a perda por γ , mas por causa dainvariancia da escala das equacoes de Maxwell e mais conveniente

usarmos a grandeza adimensional Q = ω0/γ . A taxa dedecaimento e dada por:

1

Q

= P

ω0U

(1)

Onde P e a potencia irradiada e U e a energia localizada nacavidade. Q e o numero de ciclos opticos que decorrem ate aenergia diminuir de e −2π.

F t d Q lid d d C id d R t

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Se existem mais de um mecanismo de decaimento, devemosassociar um Q a cada um.

Considerando a estrutura da secao anterior (ar-bridge ), temos doismecanismos de decaimento: ressonancia atraves do ar que cerca odispositivo e ainda ressonancia atraves do proprio dispositivo.

Assim o decaimento sera a soma de dois: 1/Q = 1/Q w + 1/Q r .Onde Q )w e referente as perdas no guia e Q r e referente as perdaspor irradiacao intrınseca.

Q w aumenta exponencialmente com o numero de numero de furosde ar, N , em ambos os sentidos no eixo x . Ja Q r e independentede N .

Normalmente essa potencia irradiada e considerada perda e para

minimiza-la e desejado que Q w >> Q r .

F t d Q lid d d C id d R t

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A figura 9 mostra o efeito de substratos no fator de qualidade emfuncao do numero de furos, N . O material dos substratos tem

ε = 2.25.

WGP_fig9.png

Verificamos na figura 9 que o substrato com mesma estrutura do

guia tem um efeito mais fraco no fator de qualidade.

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