PGMAT.WEBNODE.CL

2018

GUÍAS DE MATEMÁTICA PEDRO GODOY GÓMEZ

P F G O D O Y G @ H O T M A I L . C O M

2

ELEMENTOS DE LOGICA PROPOSICIONAL

1) Dados los siguientes enunciados, indique su valor de verdad a) Las vacas vuelan o no vuelan b) La vacas vuelan y no vuelas c) Si las vacas vuelan entonces la pizarra es blanca d) Las vacas vuelan si y solo los chanchos tienen alas

2) Si se sabe que p : la casa es grande q : los árboles son chicos

construir la expresión proposicional

a) p q

b) q p

c) q p

d) q p

3) Usando los datos proporcionados en cada caso, obtenga los valores veritativos pedidos.

a) Si se sabe que: p q : V q r : F

Determine el valor de verdad de: [(r q) (r q)]

b) Sabiendo que: p q : F y r p : F

Determine el valor de verdad de:

i) p r ii) ~ (p ~ r)

c) Si la proposición (a ~ b) (b c) es falsa.

Determine el valor de verdad de la proposición

~[(c ~a) (b a) ] c

d) Dadas la proposiciones :

p : 1 + 1 = 3

q : " Tautología es una proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero "

r: " El promedio de notas de este curso es 7 "

Encuentre el valor veritativo de ~ [( p r) (q p)]

3

e) Dadas las siguientes proposiciones:

p: 2 + 2 = 5 ; q: (4 + 4 = 8) ( 2 +2 = 1) ; r: [(4 = 3) ( 3 = 5) ] ( 4 = 7)

Determine el valor veritativo de los siguientes enunciados:

i) ~p (q ~ r) ii) ~(p q) [ r ~( p q)]

4)Haga un análisis lógico de cada una de las siguientes situaciones

Un estudiante haciendo las veces de detective, investigo un crimen. El logró comprobar que

las siguientes afirmaciones son verdaderas:

El mayordomo o su hijastro asesino al señor x.

Si el mayordomo asesinó al señor x, entonces el asesinato no ocurrió antes de medianoche.

Si el testimonio del hijastro es correcto, entonces el asesinato ocurrió antes de medianoche

Si el testimonio del hijastro es incorrecto, entonces las luces de la casa no se apagaron a medianoche.

Las luces de la casa se apagaron a la medianoche y el mayordomo no es millonario. ¿Quién asesinó al señor x?

3) Pruebe las siguientes equivalencias usando tablas de verdad que :

a) (p q) ~ (p ~ q)

b) [p ( q r) ] [( p ~q) r]

c [ ( p q) r ] ~ q ( r ~ q )

d) ( p~ q) r ~ p ( q r )

e) [(a b) ~ (b a)] [(a ~ b) v (b ~ a)]

4

GUIA DE CONJUNTOS

1) Dados los conjuntos:

U = { x N / 1 ≤ x ≤ 12 }

A = { 2, 5,7,8,9.11 }

B = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 12}

C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11}

Describa los siguientes conjuntos por Extensión

a) A C b) A B c) A’ C’ d) (A – B)’

e) B - A f) ( A B)’ C g) (A B)’ C

2) Pinte la sección que corresponde en el diagrama de Veen Euler resente las siguientes operaciones entre conjuntos. Use en cada caso la figura indicada

a) A B C

b) (A – B) C

c) A B C’ d) ( A – B )’

e) C’ B’

f) A – ( B C)

3) En un universo de 32 elementos se tiene 3 conjuntos a, b y c

tales que

n(A B C) = 6 n(A' B') = 5 n(A C) = 11 n(c) = 19

n(A - B) = 9 n[(B C) A'] = 7 n(A - C) = 6 n[B - (A U C)] = 3

Calcule usando diagrama

a) n( B - A) b) n[ A U (B - C)] c) n(A) d) n( A' U B')

4) En un universo de 45 elementos se tienen 3 conjuntos A,B,y C tales que:

A B C = n(C - B) = 10 n(A B)=4 A C = n(A U B U C)' =

16 B C = n(B - C) = 12 n(U) = 45 n(B U C) = 22

5

Calcule :

a) n(A) b) n(B) c) n(C) d) n(B - A) e) n (A – C)

5) En una encuesta respecto de tres artículos A,B y C se obtiene la siguiente

información:

n[ C - (A U B)] = 15 n(A B) = 10 n(C - A) = 22 n(B U C) = 64

n(C) = 35 n(B C) = 14 n(C') = 39 n(A - B) = 16

Si cada uno de los encuestados eligen por lo menos uno de los 3

artículos, determine:

a) ¿Cuál es el total de personas encuestadas?

b) ¿Cuántas personas prefieren por lo menos dos artículos

1) En una empresa a un grupo de 90 personas, sobre 3 artículos A, B y C se supo que:

n [B - (A U C)] = 14 n( A B C)' = 82

n[ (B A) - C] = 10 n(A C) = 25

n(B C) = 27 n[ (A U B) - C] = 42

a) ¿Cuántos no eligen ninguno de estos artículos?

b) ¿Cuántos eligen exactamente 2 artículos?

2) Una encuesta de preferencias a 180 personas sobre 3.Marcas A, B y C, arrojo los siguientes resultados.

n[(B C) - A] = 25 n[C - (A U B)] = 35 n(A B)= 15

n[(A C) - B] = 20 n[(A B) - C]' = 175 n(A U B U C)' = 40

n(A - B) = 50

Determine el número de personas que:

a) sólo compran B b) compran 2 marcas

c) no compran ninguna marca

6

8) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca

del consumo

de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B.

a. ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas. b. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas. c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas. d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.

9) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A. 78 personas consumían A pero no B.

a. ¿Qué porcentaje de personas consumía B? Rta. El 66,4% b. ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? Rta. El 23,2% c. ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? Rta. El 43,2% d. ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? Rta. El 18%

7

GUIA DE MCM Y MCD

1) Obtener el m.cm y m.c.d de las siguientes expresiones a) 18, 24, 42 b) 24, 32 , 40 c) 240, 200, 250 d) 125, 140, 175 e) 63, 35, 45

Resp : a) 504, b) 480 c) 6000 d) 3500 e) 315

2) Resolver los siguientes problemas 2.1. Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a

Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?

2.2. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B.

¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?

2.3. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?

2.4. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m

de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada?

2.5. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60

minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal.

a) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?

2.6. Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando

los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales.

¿Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color?

8

2.7. Juan tiene que poner guardapolvo de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared. ¿Cuál será la longitud de este listón?

2.8. En una caja de 50 cm largo, 16 cm de ancho y 10 cm de alto, cabe un número exacto de

cubos de lado:

a. 2 cm. b. 3 cm. c. 4 cm. d. 5 cm e. 10 cm.

2.9. La constitución de un país establece que lo diputados se eligen cada 4 años, los

senadores cada 5 años, y el presidente cada 8 años. Si en 1980 coincidieron todas las

elecciones. ¿En qué año volverán a coincidir?

a. En 1991 b. En 2000 c. En 2020 d. En 2060 e. En 2100

2.10. Cuando se hace desfilar a una banda de música en filas de 2, de 3 o de 4 músicos,

siempre queda un hueco en la última fila. Sin embargo, al hacerla desfilar en filas de 5

todo cuadra perfectamente. El número de músicos de la banda será:

a. 15 b. 23 c. 35 d. 55 e. 75

2.11. Una mujer lleva una cesta de huevos. A su lado pasa un caballo al galope y, con el

susto, a la mujer se le cae la cesta y se le rompen todos los huevos. Al preguntarse que

cuanto eran, la mujer solo recuerda que al contarlos de dos en dos, de tres en tres, de

cuatro en cuatro y de cinco en cinco, le sobraron 1, 2, 3 y cuatro respectivamente.

¿Cuántos huevos llevaba en la cesta?

a. 39 b. 59 c. 61 d. 79 e. 91

2.12. Se desean colocar baldosas cuadradas de cerámica en el piso de una habitación cuyas

dimensiones son 4,32m por 6,75m. Si se quiere evitar corta la cerámica. ¿Qué formato

se debe elegir?

a. 37 x 37 cm2 b. 27 x 27 cm2

c. 400 x 400 cm2 d. 25 x 25 cm2 e. 36 x 36 cm2

2.13. El día de San Patricio gran número de irlandeses residentes en New York participa en el

magno desfile anual. Este año el maestro de ceremonias trato de agruparlos en filas de

2, de 3, de 5, de 7 y de 11, pero siempre quedaba un hueco en la última fila .

Desesperado el maestro de ceremonia ordeno desfilar en fila de a uno. ¿Cuántos

irlandeses participaron en el desfile?

a. 1971 b. 2309 c. 2311 d. 2411 e. 2421

9

GUIA DE NÚMEROS RACIONALES

1) Expresa en forma de fracción:

a) 2,3 b) 3,12 c) 0,05 d) 31,23 e) 112,31

f) 11,32 g) 1,2 h) 2,1323 i) 2,13; j) 4,031

Sol: a) 7/3; b) 103/33; c) 1/20; d) 3092/99; e) 11119/99; f) 1019/90; g) 6/5;

h) 2111/990; i) 213/100; j) 3991/990

2) Calcula:

a) 2/3 de 15 b) 3/4 de 80 c) 3/20 de 400 d) 1/3 de 60

e) 2/7 de 21 f) 3/5 de 80 g) 5/4 de 16 h) 3/5 de 75

Sol: a) 10; b) 60; c) 60; d) 20; e) 6; f) 48; g) 20; h) 45

3) Calcula y simplifica:

a)4

2

2

5· b) 2

4

3· c) 6

3

1· d)

5

2

2

3· e)

5

4

2

3·

f)5

6

3

2· g)

10

2

3

5· h)

3

2

4

1· i)

5

4

2

5· j)

3

2

4

7·

sol: a) 5/4; b) 3/2; c) 2; d) 3/5; e) 6/5; f) 4/5; g) 1/3; h) 1/6; i) 2; j) 7/6

4) Calcula:

a)

6

1 +

3

2 - 2 b)

4

1 - 3 +

3

2 - 3 c)

2

1 + 2 -

3

2

d)

3

1 +

2

1 - 3 e)

2

1 + 2 -

3

1 f)

2

1 +

3

2 -

4

1 -

2

3

Sol: a) 7/6; b) 61/12; c) -5/6; d) 13/6; e) -13/6; f) 1/12

10

5) Calcula:

a)3

2

4

1 +

2

1 -

3

1· b)

4

1 +

2

1

3

2 -

4

1 +

2

1 -

3

5

c)2

1 3 -

3

2 +

4

1 -

3

1·

d) 2 -

3

1 + 4

2

1 -

5

3 ·

e)2

1 3 -

4

2 +

3

1 -

2

1·

f)

2

1 -

3

1 2 +

2

3 -

4

1

Sol: a) 0; b) 5/6; c) -25/12; d) -19/15; e) -11/6; f) -19/12

6) Opera pasando a fracción:

a) 0,3333... + 0,2222... - 1,1111... b) 1,3333... - 0,4444... + 0,1111...

c) 0,2222... - 0,12222... + 0,21111... d) 1,2 - 1,2222... + 0,3333...

e) 0,12 - 0,5555... + 1 f) 1,5555... - 0,5 + 0,6666...

Sol: a) -5/9; b) 17/9; c) 14/45; d) 14/45; e) 56/99; f) 31/18

7) Opera:

a)4

1 +

3

1 -

2

1 : 2

b)

2

1 :

3

1 +

2

1 :

2

3 c)

3

2

4

1 : 3 +

3

2·

d)4

1 +

2

1

3

2 :

2

1 -

3

1

· e)

2

1 +

3

1

3

1 -

4

1 · f)

2

1 +

6

1 :

2

1 -

3

2

Sol: a) 49/4; b) 11/3; c) 56/3; d) -1/4; e) -5/72; f) 3/2

11

8) Haciendo uso de la notación científica, resolver las siguientes operaciones ( no use calculadora)

a) 003,0

000027,0

b) 120000

000048,0

c) 00000002,0

400000000

d) 0000000004,0000200000000090000000

9) Haciendo uso de la calculadora científica, calcular

a) 0903344,0

343428900

b) 23233 33,1103,21

c) 642

d) 3432 1034,11023,10

10) Suponga que usted tiene 231002,6 monedas de un peso. Se sabe que la masa de una de

estas pequeñas monedas es de 0,7 grs. ¿Cuál es la masa total que usted tiene? Exprese el resultado en gramos, kilos y toneladas.

11) Investiga la relación de byte, megas, gigas y tera. Luego calcula

Byte Megas Gigas Tera

10000000

120

3

2400

12) Transforme las siguientes unidades a la que indica

a) 400mts a cm b) 2,8 millas marinas a mts c) 356 km en cm d) 45 km a mts e) 340 dm a mts f) 3400 dólares a pesos g) 3400 pesos a dólares h) 40000000 pesos a libras

12

i) 40000000 kgrs a toneladas

13) Vendo los 4/7 y después los 5/6 del resto ¿Qué fracción me queda?

14) Si tengo los 3/7 de mis dinero, gaste los 4/5 y me quedan 18000. ¿cuál es el total del dinero?

15) El número de alumnos de una clase es tal que aumentado en sus 2/5, disminuido en sus 2/3 y añadiéndole 20 da por resuelto 152. Hallar el número de alumnos.

16) Un hacendado vendió primero los 5/6 de su finca y más tarde una parte igual a 1/8 de lo anterior .Si le quedan 9 hectáreas, ¿Cuál era la extensión de la finca.

17) Se han sacado las 3/8 partes de los huevos de un canasto y después los 4/7 del resto, quedando todavía 60 huevos. ¿Cuántos huevos había en el canasto, y cuántos se sacaron cada vez?. Resp ( 224 huevos)

18) Juan le regala a su hermana los 2/5 de un chocolate y a un amigo los 3/7 del resto ¿Con cuánto del chocolate se queda Juanito ?

19) Una llave llena los 3/8 de un estanque y otra a la misma velocidad llena la mitad de lo que falta.¿ Cuánto es lo que falta para completar el estanque ?

20) Si una persona tiene $ 3000000 , y deposita los 3/5 y al día siguiente retira la mitad y gasta ese mismo día 13/25 de lo que retiró . ¿Con cuánto se queda?

21) Un niño ha sacado los 4/5 de los 9/10 de los 5/12 del dinero que tenía en el banco, y le quedan $ 30800. ¿ Cuánto dinero tenía y cuánto retiró ?

22) Se han pavimentado los 7/10 de un camino y después los 4/9 del resto, quedando aun por pavimentar 1528 m. Calcular el largo del camino

23) Un estanque que contiene 25000 litros de gasolina se le gasta los 3/8 partes. Y ese mismo día llega un camión a descargar , pero solo coloca 1000 litros y vende después de esto los 4/9 de lo que tenia. ¿Con cuántos litros se quedo el estanque al finalizar el día ? Resp: 9236 litros

24) Un jarro se llena con 9 botellas de 3/4 de litro. ¿Con cuántos jarros se llenaría una tina de 162 litros de capacidad ?

13

GUIA DE PORCENTAJES I.- Calcula los porcentajes. 1) 25% de 480 2) 75% de 80 3) 20% de 45 4) 25% de 92 5) 10% de 70 6) 50% de 240 7) 3,33 % de 369 8) 6,66 % de 534

9) 5% de 480 10) 20% de 900 11) 3,33 % de 819 12) 6,66 % de 750

II.- Resuelve los problemas.

1. Para confeccionar pantalones se ocupa el 96% de una pieza de género de 42 metros. ¿Cuántos

metros se desaprovechan? R: 1,68 mts

2. En un curso de 32 alumnos, el 12,5% está con gripe. ¿Cuántos alumnos están enfermos? R: 4

alumnos

3. En un colegio de 2.500 alumnos y alumnas, el 45% son niñas. ¿Cuántos varones hay en el

colegio? R: 1375 v.

4. La fuerza laboral de un país está compuesta por 6.200.000 personas. El 31 % corresponde a

mujeres. ¿Cuántos varones trabajan en ese país? R: 4278000 varones

5. Un filántropo dispone en su testamento que los $ 3.200.000.000 que posee sean repartidos de

la siguiente forma: el 25% a hospitales, el 12% a universidades, el 5% a bibliotecas y el resto a

instituciones que cuidan de niños abandonados. Calcula la cantidad destinada a cada fin.

6. Si un pantalón se compra en $7200 con un 10% de pérdida, al día siguiente lo vende en

$10000 con un 10% de ganancia. ¿ganó o perdió? y ¿Cuánto?

7. Si por la venta de un auto perdió un 20%, al día siguiente el banco le da un 20% de interés.

¿ganó o perdió?

8) Se incendia una casa asegurada en el 80% de su valor total. La cantidad recibida fue de $

25.000.000. ¿Cuál era el valor original? R: $31.250.000

9) Para ser promovidos de curso los alumnos deben asistir al 85% de las horas de clase que

corresponden a 1.360 horas. ¿Cuántas horas de clase se dictan anualmente? R : 1600 hrs

10) Por un error de contabilidad se pagaron por una deuda $ 364.000 que correspondían a un

140% de ella. ¿A cuánto ascendía lo adeudado? R: $260.000

11) Al trasladar un volumen de gas de un recipiente a otro, la presión que ejerce sobre las paredes

del receptor es de 0,8 atmósferas y corresponde a un 160% de la presión anterior. ¿Cuántas

atmósferas de presión ejercía el gas en el primer recipiente?

14

12) ¿Qué porcentaje es?

i. 40 de 120 iv. 80 de 15

ii. 50 de 300 v. 1.400 de 200

iii. 10 de 5.000 vi. 3.000 de 1.000

13) Una pelota de tenis llega a la raqueta con una velocidad de 25 m/s, saliendo de ésta tras el

golpe a 12 m/s, ¿En qué porcentaje disminuyó su velocidad? R: 52%

14) Veinticuatro técnicos están contratados para hacer la instalación del sistema de radar en un

barco. Se presenta una emergencia y deben aumentar el personal a 40 personas. ¿En qué

porcentaje aumenta el número de especialistas? R: 66,66%

15) Un objeto está marcado en un negocio en $38. Se hace un primer descuento del 20% y,

después, el 25% sobre el primer descuento. Entonces por el objeto ¿Cuánto pagaron?

16) Agregar el IVA a los siguientes valores netos

Valor neto Iva Valor bruto

$ 213000

$ 402000

$ 123890

$ 30900

17) Quitar el IVA a los siguientes valores brutos

Valor neto Iva Valor bruto

$ 213000

$ 402000

$ 123890

$ 30900

18) Se conoce el Iva , ¿Cuál es el valor neto y bruto?

Valor neto Iva Valor bruto

$4100

$1290

$ 7200

$209000

15

GUIA DE RAZONES Y PROPORCIONES

1) Repartir $ 32000 entre 2 persona A y B en la razón 2 : 5. 2) Repartir $ 12600 entre 3 persona A ,B y C en la razón 2 : 3 : 5. 3) Repartir $ 84000 entre 4 persona A, B, C y D en la razón 2 : 3: 4: 5.

4) La suma de dos números es 180 y están en la razón 7 : 5. Calcular los números.

5) La diferencia de dos números es 48 y están en la razón de 9 : 5 . Calcular los números

6) Dos personas se reparten $4200 de modo que sus partes están en la razón de 3:4 ¿Cuánto recibe cada una?

7) El dinero de dos personas están en la razón de 12:7 y una de ellas tiene $85 más que la otra. Cuántos pesos tiene cada una?

8) Un agricultor cosechó 368 quintales de trigo con un rendimiento de 13,5 quintales por hectárea.¿ Cuánto trigo cosechó el vecino en igual extensión si obtuvo 18 qq/hec. ?.

9) ¿ Cuántos kilogramos de trigo se ocuparán para sembrar una superficie de 26400 m2 , a

razón de 190 kg. por hec.?

10) ¿Cuántos litros de pintura a $ 1800 el galón podrá comprar con $ 4000 ? ( 1 galón 3,785 lts )

11) Para remover la tierra en la construcción de un terraplén se necesitan 90 hombres

durante 3 semanas. Una pala mecánica hace la misma labor en 5 días. ¿A cuántos hombres equivale su poder?

12) Si 20 empleados demoran 8 hrs en realizar un trabajo.¿ Cuánto demorarán en realizar el

mismo trabajo 25 empleados ?

13) En un corredor hay doce hileras de baldosas de 0.20 m de ancho. ¿Cuántas corridas de baldosas de 0.15 m por lado podría colocarse?

14) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?

15) Si 9 obreros pintan 3 casas en 4 días, ¿cuántos días demorarán 15 obreros en pintar 5 casas, bajo condiciones similares?

16) Si 30 máquinas tejen 2.000 metros de tela en 20 días. ¿Cuántas máquinas iguales a las anteriores serán necesarias para producir 7.000 metros de tela en 14 días?

16

17) Un depósito de 500 litros de capacidad es llenado por un grifo en 12 horas a razón de 5 litros en cada segundo. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse un depósito de 1.250 litros por un grifo a razón de 8 litros en cada segundo?

18) Si 25 ampolletas originan un gasto de $3.000 al mes, estando encendidas 6 horas diarias. ¿Qué gasto originarían 20 ampolletas durante 10 horas diarias?

19) Un hombre recorre 144 kilómetros en 4 días, caminando 6 horas diarias. ¿Cuántos kilómetros recorrerá durante 10 días caminando 2 horas diarias, si mantiene el mismo ritmo?

20) Una dactilógrafa escribe 240 páginas en 20 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas páginas escribirá en 10 días, trabajando 10 horas diarias en condiciones similares?

21) Trabajando 8 horas diarias 6 hombres han hecho 40 metros de un muro en 12 días. ¿Cuántos días necesitan 4 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

22) Para llenar un estanque de 6.000 litros en 4 horas, se abren 8 llaves. ¿En cuántas horas llenarán un estanque de 4.000 litros con 6 llaves en iguales condiciones?

23) Juan tiene 24 años y la razón entre su edad y la de su hermano es 3:4. ¿Cuál es la edad de su hermano?

a) 48 b) 32 c) 28 d) 18 e) 16

24) La tercera parte de a es igual a la mitad de b. Si a + b = 15, ¿cuánto vale b?

a) 15 b) 9 c) 6 d) 5 e) 3

25) La diferencia de dos números es 48 y su razón es 9:5. ¿Cuál es el número mayor?

a) 108 b) 102 c) 88 d) 60 e) 40

26) Dos personas se reparten $ 25.000 en la razón 2:3. ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibe cada una de ellas?

a) $ 500 b) $ 5.000 c) $ 10.000 d) $ 15.000 e) $ 20.000

17

RELACIONES Y FUNCIONES

1) Dado los conjuntos A= { 1,2,3,4,5,6} B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} Obtener a) A x B

b) R = { (x,y) A x B / x + y = 7 }

c) R = { (x,y) A x B / 2x - y = 3 }

d) R = { (x,y) A x B / 2x + 3y = 10 }

e) R = { (x,y) A x B / 2x - y = 6 }

2) De las siguientes relaciones obtener , su relación por extensión y señale su dominio y recorrido

a) R1= {(x,y)A x B / x + 2y = 3} siendo A ={-2,-1,5,6,7} y B={-2,-1,0,1,2}

b) R2 = {(x,y) N x N / 10;2

xx

y }

c) R3 = {(x,y) CxD / 3

6213

xy } siendo

C= {-3, -2, -1, 0,2

1, 1,

2

3, 2, 3}

1,

9

5,

9

2,

9

1,0,

9

1,

9

2,

3

1,

2

7,1D

d) R4= {(x,y) E x F / y = 2x} con E = { 0,1,2,3,} y F = { 2, 4, 6, 8 }

e) R5= {(x,y) E x F / x y = 0} con E = { 0,1,2,3,} y F = { 2, 4, 6, 8 }

f) R6= {(x,y) E x F / y = 2x + 2 } con E = { 0,1,2,3,} y F = { 2, 4, 6, 8 }

18

GUIA DE FUNCIONES REALES

1) Dadas las siguientes funciones f(x) = 3x , g(x) = -2x + 6, h(x) = 3

1

x

x

Calcular

a) f(-2)

b) g(3)

c) g(-4)

d) h(5)

e) h(2/5)

f) g(-4/7)

g) f(2a - 1)

h) g(3m – 2)

2) Si 4-2xg(x) ,23)( xxf calcular

)3(2

3)4(

)

)7(2)4()

)5(3)2()

gf

c

fgb

gfa

5

2d)

5g(2)3f(-4)

3) Grafique las siguientes funciones en sistemas de coordenadas diferentes

a) xxf 4)(

b) xxf3

2)(

c) xxf3

5)(

d) xxf 2)(

e) 23)( xxf

f) 43)( xxf

g) 62)( xxf

h) 62)( xxf

4) Encuentre el punto donde se intersectan las rectas :

a) yxyxL 103:62:1 2L

b) 423:13:1 yxyxL 2L

c) 7:3

4:1 yxxyL 2L

d) 42:1332:1 yxyxL 2L

e) 34:32:1 xyxyL 2L

f) 1:3

4:1 xyyL 2L 2x

19

5) Encuentre la función lineal que pasa por los puntos a) (2,7) y ( 3, 6)

b) (-2, 0) y (0,5)

c) (7, 9) y ( 2, 5)

d) (1, 5) y ( -7, -6)

6) En un Programa de Salud Pública se determinó que el costo de vacunar %p de

cierta población viene dado por la siguiente función:

p210

p1400)p(C

millones de pesos

A) Determine un dominio razonable para esta función C

B) Determine el costo de vacunar el primer 30% de la población.

C) Determine el costo de vacunar el 70% restante de la población.

D) Si se invirtió 365 millones de pesos, ¿qué porcentaje de la población se habrá vacunado?

7) La función F = 1,8·C+32 establece la relación entre la temperatura en grados Fahrenheit (F) y la temperatura en grados Celsius C). Calcula la temperatura en grados Fahrenheit a la que se congela el agua. Luego calcula a qué temperatura Celsius equivalen 0º F.

8) El costo de las llamadas a provincia en cierta compañía telefónica es de $0,75 por minuto

más un cargo fijo $5. Dibuja la gráfica de la función que expresa el costo de las llamadas

en pesos al cabo de x minutos.

9) La Ley de Poiseuille que relaciona la velocidad de la sangre con la distancia de la sangre al

eje central de un vaso sanguíneo afirma que: “Si d es la distancia de la sangre al eje

central de un vaso sanguíneo y si D es el radio de dicho vaso sanguíneo entonces

la velocidad

seg

cmV del flujo de la sangre, bajo una presión constante, viene dada

por )dD(K)d(V 22 , donde K es una constante” Si 510x65,1K y el

radio de la arteria es 0,013 centímetros:

20

a) Calcule la velocidad de la sangre que circula por el eje central. (Sol:

27,885 cm/seg)

b) Calcule la velocidad de la sangre que se encuentra a la misma

distancia de la pared arterial y del eje central. (Sol: 20,91375)

c) Usando la calculadora encuentre un gráfico razonable para esta

función. ¿Cuál es el dominio razonable para esta función? ¿Cuál es el

recorrido razonable para esta función?

10) Un paciente con cáncer recibirá terapia mediante fármacos y radiación. Cada centímetro cúbico de medicamento que se usará contiene 200 unidades curativas, y cada minuto de exposición a la radiación proporciona 300 unidades curativas. El paciente requiere 2400 unidades curativas. Si d centímetros cúbicos de la droga y r minutos de radiación son administrados, determine la función lineal que relaciona d y r . Grafique e interprete resultados.

11) En cierto experimento de aprendizaje involucrando repetición y memoria, se estimó

que la proporción p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (en minutos). Para un tiempo de estudio efectivo de 5 minutos, la proporción de elementos recordados fue de 0.32. Por cada minuto más en el tiempo de estudio, la proporción recordada aumentaba en 0.059. Encuentre la función lineal de p en términos de t . Grafique e interprete resultados.

12) El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina a x

kilómetros por hora, está dada por la función f(x) = 103

5

3

5 2 xx , mientras que el

consumo de oxígeno para una persona que corre a x kilómetros por hora, está dada por g(x) = 11x + 10. (a) Trace las gráficas de f y g (en un mismo plano cartesiano). (b) ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que corre? (c) ¿Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en la parte (b)?

13) La regla de Cowling es un método para calcular dosis pediátricas. Si a denota la dosis para un adulto (en mg) y t es la edad del niño (en años), entonces la dosis infantil está dada por

at

tD

24

1)(

(a) Grafique la función para distintos valores de a . ¿Cómo influye este valor en el comportamiento de la función D ? (b) Si la dosis de un adulto es de 500 mg, ¿cuál es la edad de un niño cuya dosis pediátrica alcanza los 125 mg?

21

14) En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la población

de alcohólicos n una ciudad. En 1990 el porcentaje era de 10% y en el año 2002 se elevó a 14%. Si p(t) es el porcentaje de alcohólicos en la población y t representa el tiempo en años desde 1990, determine la expresión para la función p(t), considerando

que t = 0 en 1990.

15) En un estudio de paciente VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se

encontró que después de 4 años, 17% de los pacientes tenían SIDA y que después de 7 años 33% lo tenían. (a) Encuentre una función lineal que modele la relación entre el intervalo de tiempo y el porcentaje de pacientes con SIDA. (b) Pronostique el número de años para que la mitad de esos pacientes tenga SIDA.

16) Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontró que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192.

(a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. (b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

22

GUIA GEOMETRÍA ANALITICA

FORMULARIO DE NOCIONES BASICAS Y LINEA RECTA.

2

12

2

12 )()( yyxxd Distancia entre dos puntos

r

rxxx

1

21 r

ryyy

1

21 Razón de división

2

21 xxxm

2

21 yyym

Punto medio

12

12

xx

yym

Pendiente

)( 11 xxmyy Ecuación de la recta punto pendiente

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy

Ecuación de la recta dados dos puntos

0 CByAx Ecuación general B

Am Pendiente;

B

Cb coeficiente de posición

22

11

BA

CByAxd

Distancia de una recta a un punto.

Si L1 // L2 entonces m1 = m2

Si L1 L2 entonces m1 m2 = -1

Si a, b y c son las longitudes de los tres lados de un triángulo, entonces el

área del triángulo es

))()(( cxbsassA

Donde 2

cbas

23

1. Hallar la distancia desde (-4, 2) y (1, 2) Sol. D = 5

2. Demuestra que los puntos A(2, 2), B(6, 6) y C(2, 2) son los vértices de un triángulo isósceles.

3. Demuestra que los puntos A(2, 8), B(6, 1) y C(0, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo.

4. Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son

a) A(4, 4), B(6, 6) y C(0, 3) Sol. 29.06 b) A(-2,5), B(4,3) y C(7,-2) Sol : 23.56

5.- Demuestra que el triángulo cuyos vértices son, )4,3(),1,2(),2,5( CBA es escaleno.

6.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de línea

A(4,-3) y B(1,4) en la razón 2. Sol : P(2, 5/3)

7.- Encuentra las coordenadas del punto P, tal que PB

APr sí,

A B y r( , ), ( , )4 2 2 52

3 Sol. P(8/5, -16/5)

8.- Encuentra los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos

A(2, 5) y B(3, 6). Sol. P(4/3, -7/3), Q(-1/3, 4/3)

9.- Dado un triángulo de vértices A(3,6) B( -3, -3) y C( 6,0) determine los puntos medios de

cada lado

10.-Halla el área del triángulo cuyos vértices son:

a) A(2, 4), B(3, 6), C(1, 7) Sol. 13.5 u2

b) A(3, 1), B(5, 6), C(2, 8) Sol. 70 u2 c) A(5,1), B(3,6), C(1,-4) Sol. 31 u2

11) Aplicando la condición de perpendicularidad, demuestra que el triángulo es

rectángulo A(3, 2), B(5, 4), C(1, 2)

12) Grafica los siguientes polígonos cuyos vértices tienen coordenadas:

24

a) A (-4, 2), B (-2, -3), C (1, -6) y D (0, 4)

b) A (-2, -5), B (5, -2), C (7, 2), D (1, 5) y E (-4, 2)

13) Según los datos del problema 12, obtener para cada caso, las longitudes de sus diagonales

14) Dados los puntos A(-4,-6) y B(4,6), dividir el segmento AB en 2 partes, en 3 partes y 4 partes

iguales.

PUNTO Y RECTA

1) Dados los puntos obtener el punto medio del segmento AB

a) A(3.4) y B( 4, 8)

b) A(5, 9) y B(1, 5)

c) A(2, 8) y B(3, 7)

2) Obtener la longitud de cada segmento AB del problema anterior

3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos

a) A(3, 8) y B(2, 6)

b) A(-5, 7) y B( 1,2)

c) A(2,2) y B(3,6)

d) A( -4, 9) y B(2, -6)

2) Encontrar la ecuación de la recta que:

a) pasa por los puntos (4,-5) y (2,5)

b) pasa por los puntos (5,3) y (2, - 5)

c) pasa por el punto (-2,-3) y tiene pendiente –2/3

d) pasa por el punto (-3,6) y tiene pendiente 5/4

e) pasa por el punto medio del segmento dado por los extremos (3, 7) y (6, 3)

3) Considera un triángulo cuyas coordenadas son A(-4,-6) , B(12,2), C(6,8).

a) Determina las coordenadas de los puntos medios de cada lado

b) La pendiente de cada lado del triángulo

c) Determina las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo

4) Obtener el valor de k, para que las rectas (k +3)x –2y +6 =0 y 5x –(3k –7) y – 8 = 0 para que

las rectas sean perpendiculares. Resp : k = -1/11

5) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-7)

a) y que sea paralela a la recta 2x+3y-5=0 resp: 2x + 3y + 17 = 0

b) y que sea perpendicular a la recta –6x+7y + 8 =0 resp: 7x + 6y + 28 = 0

6) Obtener el valor de k para que se cumpla las siguientes condiciones

a) (2,-1) este en la recta 5x - (4k + 2)y + 9 = 0 resp : k = -21/4

b) La recta 4x+ 6y – 5 = 0 sea paralela a la recta (2-3k)x – 5y + 3= 0

Resp : k = 16/9

25

c) La recta 5x – y + 7 = 0 sea perpendicular con (9k + 7)x + 6y –16 = 0

resp: k= -29/45

7) Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). La abscisa ( valor de x) de

otro punto de la recta es 4, hallar su ordenada( valor de y).

8) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-4) y que sea paralela a la recta 2x +

3y – 5 = 0

9) Haga la gráfica de los siguientes pares de rectas, y determine si existe, el punto de

intersección entre ellas. ( use graphmatica)

10) Encuentre el punto de intersección entre las rectas anteriores haciendo uso de la técnica que

más le acomode.

26

GUIA DE SUCESIONES Y SUMATORIA

1) Encontrar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

3,1)543,5)4

)12(

)1()3)1²()1()2

23

1)1

1111

1

nnnn

n

nn

nn

aaaaaa

nnana

n

na

2) Completa las sucesiones con los términos que faltan:

a) 3,7,11,15, __, __,....

b) 3,6,12,24, __, __,....

c) 32,16,8, 4, __, __,.... d) 5,10,17,26, __, __,....

3) Calcula los 4 primeros términos de la sucesión de término general:

4) Halla el término 100 de la sucesión de término general:

5) Encuentre el término n-ésimo de las siguientes sucesiones

a) 3,5,7,9,11,………… b) 1, 4, 7, 10, 13,………….. c) 1,5,9,13,17,……… d) 5,7,9, 11,13,……….

27

6) Sumar los 100 primeros términos de

a) 2*5*8 + 5*8*11 + 8*11*14 +.................... b) 1*5 + 2*6 + 3*7 + ......................... c) 112 +12 2 + 132 + ................... + 212 d) 112 - 122 + 132 - ................ - 202 + 212

7) Sabiendo que 95x ; 120

98

1x

100

1

2 x

x

Obtener el valor de

95

1

2 )(x

xx

8) Obtener el valor de las siguientes sumatorias.

a)

56

1

2)12(x

x c)

80

1

2 63

x

xx

b)

50

1

2)1(

x

x d)

100

1

3)1(

x

x

9) Sumar los 100 primeros términos de

1*5 + 2*6 + 3*7 + .........................

10) Hallar el valor de las siguientes sumatorias:

n

ii

ii

i

icbia1

5

1

6

1

)²35())²32())²2()

8

1

1

120

1

200

1

22)6

³))3²7()

i

ii

ii

fii

eiid

100

1

1000

1

5

1

4²3³2)³²3))1(

1)

iii

iiiiihii

g

28

GUIA FACTORIALES Y TEOREMA DEL BINOMIO

1) Calcular los siguientes factoriales

20! f) 0! e) 12! d) 9! c) 6! 7! b) a !5)

2) Haciendo uso de la definición de factorial, reduzca y calcule:

a) !5

!7 b)

!15

!19 c)

!5!9

!14

d)

!6!6

!12

e)

!3!5

!8

3) Sabiendo que !)!(

!

kkn

n

k

n

conocido como números combinatorio

Calcule:

a)

0

6 b)

1

6 c)

3

6 d)

10

16

e)

3

12 f)

10

15 g)

5

15 h)

15

20

4) Haciendo uso de la fórmula del binomio, obtener el desarrollo de los siguientes binomios

a) 36x

b) 423 x

c) 65x

d) 552 yx

5) Obtener el término que se indique de cada binomio

a) 1265 a el termino 7

b) 2279 a el termino 12

c) 2015 a el termino 15

d) 20ax el termino 18

e) 1235 x el termino 6

29

GUIA COMBINATORIA Y PROBABILIDADES

1. Calcular los números de 4 cifras no repetidas que se pueden formar con los dígitos

del 1 al 9. (R. 3024)

2. ¿Cuántas patentes de automóviles se podrían confeccionar con 26 letras de nuestro

alfabeto, empleando tres letras y tres dígitos? (R. 676.000)

3. Un supervisor debe hacer una inspección a diez colegios de la región. ¿De cuántas

maneras puede visitarlos todos? (R. 3.628.800)

4. Para una ceremonia se nombra una delegación de 4 cadetes militares y 2 civiles. Se

forman todos n una fila debiendo quedar los cadetes juntos. ¿De cuántas maneras

pueden formarse los 6? (R. 144)

5. Un fabricante de collares para damas emplea esferas de los 7 colores básicos del

espectro solar uniéndolas con un hilo. ¿De cuántas maneras distintas puede unir

estas 7 esferas de distintos colores? (R. 5040)

6. En una sociedad, el presidente se sienta a la cabecera de la mesa de sesiones, a su

derecha el vicepresidente y a su izquierda el secretario. ¿De cuántas maneras

pueden sentarse los 8 directores?

7. Para llenar una vacante se presentan cinco candidatos que deben ser entrevistados

por el Jefe de Personal, ¿en qué orden pueden ser entrevistados? (R. 120)

8. ¿Cuántas palabras con significado o sin él, pueden formarse con las letras de ROSA?

(R. 24)

9. En una sala de teatro quedan 12 butacas vacías en primera fila. Si llegan 5 personas,

de cuántas maneras podrían ocuparlas? (R. 95.040)

10. En un restaurante queda disponible sólo una mesa para 4 personas, ¿de cuántas

maneras podrían ocuparlas 7 personas? (R. 840)

30

11. ¿Cuántos números telefónicos de 7 cifras podría tener una planta telefónica cuyas

dos primeras cifras sean 22 y las cinco restantes cualquiera de los 10 dígitos, sin

repetirse? (R. 30.240)

12. Un pequeño club de fútbol identifica a sus socios con un carné en el cual aparece una

letra del alfabeto y 2 dígitos. ¿Cuántos socios pueden enrolar? (R. 2.600)

13. Se dispone de 12 banderas rojas, 10 blancas y 8 azules. ¿Cuántos grupos formados

por una bandera de cada color es posible obtener? (R. 960)

14. ¿Cuántos números superiores a 600 se pueden formar con los dígitos 5, 6 y 7? (R. 4)

15. Un Directos Técnico dispone de 5 defensas, 6 delanteros y 4 centros para formar un

equipo de básquetbol. ¿Cuántos equipos podría formar si cada uno está formado por

2 defensas, 2 delanteros y un centro? (R. 600)

16. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar con los dígitos impares? (R.

120)

17. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos impares? (R. 60)

18. De un ramo de flores compuesto de 6 rosas, 10 claveles y 5 crisantemos se desea

elegir una rosa, un clavel y un crisantemo. ¿De cuántas maneras se puede elegir? (R.

300)

19. De un curso se seleccionan 7 alumnos para un desfile de un grupo de 12 que podían

asistir, ¿de cuántas maneras pudieron ser seleccionados? (R. 792)

20. De 9 alumnos deben elegirse 3 para ir en la primera fila de un desfile. ¿Cuántos tríos

podrían formarse? (R. 504)

21. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de AURELIO, si todas comienzan

con A y terminan con O? (R. 120)

22. De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en un banco para sólo 3 personas?

(R. 210)

31

GUIA PROBABILIDADES

1. Determina cuáles de los siguientes experimentos son predeterminados y cuáles son aleatorios: a) jugar un kino b) mezclar agua y azúcar c) enfriar agua a 0º C d) lanzar una piedra y medir su alcance e) comprar un número de rifa f) aportar en una carrera de caballos g) preguntarle a un desconocido si fuma

2. Señala el espacio muestral de los siguientes experimentos: a) lanzar una moneda b) lanzar dos monedas c) lanzar un dado d) lanzar dos dados

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos en el lanzamiento de dos dados? 4. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener par en el lanzamiento de un dado? 5. Al lanzar dos monedas, qué probabilidad hay de:

a) obtener dos caras b) obtener una cara y un sello c) obtener lados iguales

6. En el lanzamiento de un dado, cuál es la probabilidad de: a) obtener el número 5 b) no obtener el número 2 c) obtener 3 ó 5 d) obtener un número menor que 5

7. En el lanzamiento de dos dados, cuál es la probabilidad: a) que la suma sea 11 b) que la suma sea mayor que 9 c) que la suma sea menor que 4 d) no salgan números iguales.

8. Al lanzar un dado dos veces consecutivas, qué probabilidad hay de: a) obtener 2 ases b) obtener primero un 3 y luego un número par. c) Obtener primero un 4 y luego no obtener 4. d) Obtener un número par primero y luego el 3.

9. En un naipe inglés (52 cartas) qué probabilidad hay de: a) obtener un trébol al sacar una carta b) obtener 2 ases en una entrega (13 cartas)

10. En una caja hay 12 bolas negras y 8 rojas, qué probabilidad hay de: a) sacar una bola negra b) sacar una bola roja c) sacar una bola negra y, sin reponerla, sacar luego una bola roja. d) Sacar una bola negra y luego de reponerla, sacar una bola roja.

11. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo de nuevo sume con el primer resultado un número menor que 9?

32

12. Al comprar clavos, la probabilidad de obtener uno defectuoso es de 0,015. ¿Cuántos clavos defectuosos habrá en un paquete que contiene 10 cajas y cada caja contiene aproximadamente 40?

13. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma?

14. En una caja hay 10 bolitas rojas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 bolitas azules en 3 sacadas diferentes sin reposición?

15. En un grupo de 30 personas todas tienen edades diferentes menores de 50 años. Si se integra una nueva persona también menor de 50 años, ¿cuál es la probabilidad de que su edad coincida con la de alguno de los 30?

16. Hay 150 números en una rifa. ¿Cuántos habrá que comprar para tener un 8% de probabilidad para ganarla?

17. ¿Qué probabilidad hay que al lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? 18. Hay 16 monedas de $ 100; 22 monedas de $ 50 y 12 monedas de $ 10. Al sacar una

moneda, ¿cuál es la probabilidad de sacar una de $ 100 o de $ 50? 19. En un curso, la mitad de los alumnos son hombres. Si el 40% de los hombres sabe inglés y

el 50% de las mujeres, francés; ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno sepa inglés o francés?

20. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de una rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números?