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Universidad Técnica Feder ico Santa María Eduardo Valenzuela DominguezProbabi l idad y Estadíst ica Mat 041 Patr ic io Vide la J imenez

Guía de Ejercic ios 5

1. Sólo el 30% de la población de una gran ciudad, piensa que el sistema de trámite masivo es el adecuado. Si 20 personas son seleccionadas aleatoriamente de dicha población.

a. Encuentre la probabilidad de que cinco o menos, piensen que el sistema es el adecuado.b. Encuentre la probabilidad de que exactamente 6 piensen que el sistema es el adecuado.

2. Un psicólogo piensa que sólo la mitad de los alumnos de cuarto medio, que tienen la aptitud para ir a la universidad, realmente van a la universidad. De un grupo de 17 alumnos de cuarto medio que tienen la aptitud para ir a la universidad.

a. Encuentre la probabilidad de que 10 o más alumnos ingresen a la universidad. Asumiendo que el pensamiento del psicólogo es correcto e independencia entre los eventos.

b. Encuentre el número esperado de la variable definida.

3. A partir de los registros históricos de una empresa, se ha estimado de que la probabilidad de que se venda en un día más de 10 de sus artículos es de 0,2. Indique la probabilidad de que la venta de más de diez de sus artículos ocurra al menos una vez en los próximos cinco días.

4. Para estudiar la efectividad de un insecticida (sobre un particular tipo de insecto), una gran área fue cubierta con el insecticida. Luego de un tiempo se inspecciona el área, para lo cual se escogieron aleatoriamente regiones cuadradas previamente trazadas, contándose en ellas la cantidad de insectos vivos por cuadrados. Experiencias pasadas con el insecticida, han demostrados que la cantidad de insectos vivos por cuadrados, después de esparcir el insecticida es 0,5. También se ha observado que la cantidad de insectos vivos por cuadrados puede modelarse por la función de distribución de probabilidad Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en un cuadrado seleccionado aleatoriamente, contenga...

a. Exactamente un insecto vivo?.b. Ningún insecto vivo?.c. Exactamente cuatro insecto vivo?.d. Al menos cuatro insecto vivo?.

5. Suponga que el 30% de los árboles de la V Región están afectados por cierto parásito. ¿Cuál es la probabilidad de 18 que tiene que examinar un inspector en una mañana, más del 60% de estos estén infectados?.

6. Lotes de cuarenta componentes, cada uno se considera aceptable si no contiene más de tres defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra al menos un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea rechazado si hay tres defectuosos en todo el lote?.


7. Un sufrido automovilista sabe que el promedio de hoyos por cuadra en su ciudad es de 7,2. Encuentre la probabilidad que en un cuarto de cuadra seleccionada al azar se encuentre.

a. Exactamente 4 hoyos.b. A lo más 4 hoyos.c. A lo menos 4 hoyos.

8. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. Se preparan cajas de 25 artículos para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tiene alguno defectuoso. Si se encuentra alguno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso la caja se embarca.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice el embarque si una caja que contiene 3 artículos defectuosos?.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene un artículo defectuoso se rechace?.

9. Basándose en experiencias previas, se ha logrado establecer que la probabilidad aproximada, de que un animal de laboratorio responda en forma positiva cuando se le somete a cierto estímulo es de 0,2. Se realiza el siguiente experimento: se aplica el estimulante hasta que el animal responda positivamente, de ser así, se termina el experimento.

a. Encuentre la probabilidad de que sean necesarios exactamente cinco ensayos para conseguir una respuesta positiva.

b. Encuentre la cantidad esperada de ensayos necesarios.

10. Si se considera que la probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0,002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de cinco de las próximas 2 000 personas infectadas.

11. En un estudio invernal de una tienda, se determina que un artículo se pide en promedio cinco veces por semana (de cinco días). ¿Cuál es la probabilidad de que en un día específico, el artículo ...

a. sea pedido más de cinco veces?.b. no sea pedido?.

12. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a dos canadienses, tres japonés, cinco italianos y dos alemanes. Si se selecciona un comité de cuatro estudiantes aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que ...

a. estén representadas todas las nacionalidades.b. estén representadas todas las nacionalidades excepto de italiana.


13. Los accidentes graves en una planta industrial ocurren al azar en el tiempo. Para el número de accidentes, se incorpora un plan efectivo que considere reducir el número de accidentes en la planta. Un año después de ponerlo en marcha; sólo han ocurrido cuatro accidentes.

a. ¿Qué probabilidad hay de 4 o menos accidentes por año, si la frecuencia promedio aún es 10?.b. Después de lo anterior. ¿Puede concluirse que, luego de un año, el número de accidentes

promedio ha disminuido?.

14. De una cierta región se sabe, por experiencia acumulada, que la probabilidad de que ocurra una tormenta en un día cualquiera de Enero o Febrero es de 0,1. Suponga independencia entre los eventos de que ocurra en uno u otro día. (Considere Enero 31 días, Febrero 28 días).

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 3 de Febrero?.b. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran tormentas en Enero y Febrero?.c. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente tres tormentas en dos meses?.

15. En una caja hay 100 artículos de los cuales 10 tienen una marca que los identifica. Se extrae una muestra de cinco, se observa si aparecen artículos marcados y se vuelven a la caja, después de un tiempo se repite el proceso. Si se repite 20 veces el proceso.

a. ¿Cuál es la probabilidad que en diez muestras no aparezcan artículos marcados?.b. ¿Cuál es la probabilidad que al menos seis muestras tengan artículos marcados?.c. Determine el número esperado de muestras, para obtener una de éstas con cuatro artículos

marcados.

16. Un fabricante de ciertas piezas de computadoras garantiza que una caja de sus piezas, contiene como máximo dos piezas defectuosas. Sabiendo que cada caja contiene 20 piezas y que la experiencia ha mostrado que su proceso de manufactura produce un 15% de piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja satisfaga la garantía?.

17. El número de vehículos vendidos por día en una casa comercial es una v. a. con distribución Poisson, con un promedio de ventas de 48 vehículos al mes (se trabaja seis días a la semana).

a. ¿Cuál es la probabilidad que en un día se vendan entre dos y cuatro vehículos?.b. El dueño ha calculado que si vende dos o más vehículos, tiene una ganancia neta de 60 U.F., si

vende un vehículo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F., y si no vende vehículos pierde 15 U.F. ¿Cuál es la ganancia esperada neta?.

18. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es 0.8. Suponga que se hacen ensayos hasta que han ocurrido tres éxitos.

a. ¿Cuál es la probabilidad que sean necesarios seis intentos?.b. ¿Cuál es la probabilidad que sean necesarios menos de seis intentos?.c. ¿Cuál es el numero esperado de intentos necesarios?.


19. Cada vez que se hace un experimento, la ocurrencia de un suceso particular ‘A’ es igual a 0.2. El experimento se repite, independientemente hasta que ocurra ‘A’. Calcule la probabilidad de que sean necesario realizar un cuarto experimento para que ocurra el suceso ‘A’.

20. Suponga que el 65% de una particular raza de ratas, cuando es inyectada con una dosis de estimulante, muestra un comportamiento agresivo. Un experimentador aplica el estimulante a cuatro ratas, una después de otra y observa la presencia o ausencia de agresividad en cada uno de los casos. Determine las siguientes probabilidades (bajo el supuesto de independencia entre las probabilidades de agresividad de las ratas).

a. Dos o más ratas son agresivas.b. La primera rata es agresiva y la tercera rata es no agresiva.c. Exactamente dos ratas agresivas.

21. X e Y denotan dos variables aleatorias, cada una con una distribución Binomial con los parámetros que se indican a continuación: X B(2, p) e Y B(4, p).

Si se sabe que [X 1] = 5/9. Encuentre [Y 2].

22. Suponga que en un volumen unitario existen m moléculas de la sustancia ‘A’ y n de la sustancia ‘B’. m y n son números grandes. Debido a colisiones dentro del volumen unitario, hay moléculas que son rechazadas aleatoriamente hacia el exterior y son capaces de reingresas. Estos sucesos son independientes. Encuentre la posibilidad de que ...

a. Las primeras dos moléculas rechazadas, sean de la sustancia ‘B’.b. La tercera molécula rechazada sea de la sustancia ‘B’.c. La segunda molécula rechazada, sea de la sustancia ‘A’, si es que se sabe que la primera fue

una molécula de la sustancia ‘B’.

23. La cantidad de partículas emitidas por una fuente radioactiva, durante un período de tiempo específico sigue una Distribución de Probabilidad Poisson. Si se tiene como antecedente que la probabilidad de que no ocurra ninguna emisión es de 1/3, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran dos o más emisiones?.

24. La cantidad de accidentes automovilísticos registrados diariamente en una cierta ciudad en una muestra de 100 días consecutivos es la siguiente:

Cantidad de Accidentes 0 1 2 3 4 5 6Número de Días 19 26 26 15 9 4 1

Asumiendo que los accidentes se presentan al azar (ley Poisson), determine:

a. Número promedio de accidentes diarios.b. Probabilidad de tener a lo más 2 accidentes en un día.c. Probabilidad de que en una semana en tres días hallan accidentes.d. Número esperado de días para que se presente algún accidente.


25. Se tendieron mil trampas para langostas, en las que se atraparon mil doscientos de estos crustáceos. Bajo el Supuesto que el número de langostas por trampa es una variable aleatoria Poisson. ¿Cuál es la probabilidad ....

a. Una trampa no tenga ninguna langosta?.b. Una trampa contenga dos o más langostas?.c. ¿Cuál es el número esperado de trampas que contengan exactamente una langosta?.d. Si se sacan al azar 80 trampas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 90% de ellas

contenga alguna langosta?.

26. Se observa una fuente radioactiva durante 8 intervalos de 6 segundos de duración cada una y se registra la cantidad de partículas emitidas durante estos períodos. Por experimentos previos, se piensa que la cantidad de partículas emitidas en intervalos de dos segundos, siguen una distribución Poisson con un promedio de una partícula por intervalo. Determine la probabilidad de que...

a. En exactamente uno de estos ocho intervalos, se emitan más de dos partículas.b. En exactamente tres de estos ocho intervalos, se emitan al menos de dos partículas.

27. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicas. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base en una muestra aleatoria de 100 unidades. El lote se rechaza al encontrar tres o más defectuosos en la muestra.

a. ¿Cuál es probabilidad de rechazar un lote si éste contiene un 1% de componentes defectuosos?.b. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8% de unidades defectuosas?.

28. Suponga que un sistema contiene cierto componente cuyo tiempo de falla (en años) está dada por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla = 5. Si cinco de estos componentes se instalan en diferentes sistemas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos continúen funcionando después de 8 años?.

29. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería en una variable aleatoria que tiene distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos uno de los 6 días siguientes?.

30. El período de vida de una bacteria (medida en hrs.) es una variable aleatoria con distribución exponencial 1/12.

a. Calcular la probabilidad que una bacteria muera durante las doce primeras horas de vida.b. Si se toma una m.a. de 15 de estas bacterias. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 3 duren

más de doce horas de vida?.c. Si se toma una m.a. de 150 de estas bacterias. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 5

duren más de 36 horas de vida?.


RESPUESTAS

1.- a. 0,416 b. 0,192 2.- a. 0,3145 b. 8 ó 9

3.- 0,6723

4.- a] 0,3033 b] 0,6065 c] 0,0016 d] 0,9998

5.- 0,0061 6.- 0,3375

7.- a] 0,0723 b] 0,9636 c] 0,1087 8.- a] 77/115 b] 3/25

9.- a] 0,0819 b] 5 10.- 0.6288

11.- a] 0,0006 b] 0,3679 12.- a] 4/33 b] 8/165

13.- a] 0,0293 b] Sí

14.- a] 0,0031 b] 0,0020 c] 0,0890

15.- a] 0,1325 b] 0.750 c] 4000

16.- 0,4049 17.- a] 0,5413 b] 40,38

18.- a] 0,0410 b] 0,9421 c] 0.7500 19.- 0,1024

20.- a] 0,8735 b] 0,2275 c] 0,3105 21.- 11/27

22.- a] (n(n - 1))/((n + m)(n + m + 1)) b] n/(n + m) c] m/(n + m + 1)

23.- 0,3005

24.- a] 1,9 b] 0,7037 c] 0,0108 d] 1 ó 2

25.- a] 0,3012 b] 0,3374 c] 361 d] 0,00

26.- a] 0,0112 b] 0,0090 27.- 0.0007

29.- 0.9889

30.- a] 0.6321 b] 0.0922 c] 0.1094

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