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Contenido: Relaciones Métricas en una circunferencia

Teoremas sobre relaciones métricas en una circunferencia

Teorema 1: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia determinan arcos congruentes.

Asimismo, arcos congruentes determinan cuerdas congruentes.

CDABCDAB ≅⇔≅

Teorema 2: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia son equidistantes (están a la misma

distancia) del centro.

O�OMCDAB ≅⇒≅

Teorema 3: La simetral de una cuerda en una circunferencia, contiene al centro de la circunferencia.

Del mismo modo, en toda circunferencia, la recta trazada desde el centro al punto medio

de una cuerda corresponde a la simetral de la cuerda.

s simetral de AB ⇒ O ∈ s , OMMAMB ⇒≅ simetral de AB

Teorema 4: Dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un mismo punto exterior a

ella son congruentes.

P: punto exterior a la circunferencia. PA y PB segmentos tangentes ⇒ PBPA ≅

Teorema 5: Si AB y CD son cuerdas de una circunferencia que se cortan en un punto P, entonces:

PDCPPBAP •=•

Teorema de las cuerdas

Teorema 6: Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan dos rectas secantes,

intersectándola en los puntos A y B, C y D, respectivamente, entonces:

CPPDPBAP •=•

Teorema 7: Si desde un punto P, exterior a un circunferencia, se traza una recta tangente en el punto T, y una

recta secante en el punto en los puntos A y B, entonces:

PBPAPT •=2

Potencia de un punto: Si desde un punto P cualquiera se traza un secante que intersecta a una

circunferencia en los puntos A y B, se llama potencia del punto P con respecto a

la circunferencia, al producto de las longitudes de los segmentos PA y PB

Potencia = PBPA •

Observación: La potencia de un punto con respecto a una circunferencia es constante independiente de

la secante trazada.

Propiedad: Sea ABCDE un pentágono circunscrito a una circunferencia. Entonces:

( ) ( )AFmJAm = ( ) ( )BGmFBm = ( ) ( )CHmGCm = ( ) ( )DImHDm = ( ) ( )EJmIEm =

Esta propiedad se puede generalizar para cualquier polígono circunscrito.

Desarrolle los siguientes ejercicios en su cuaderno:

1) En la figura, AP = 6 cm; PD = 4 cm; 2) En la figura, cmAP 12= ; cmAB 9=

PC = 8 cm. ¿Cuánto mide PB ? cmPD 4= . ¿Cuánto mide CD

A) 3 cm A) 4 cm

B) 4 cm B) 5 cm

C) 5 cm C) 9 cm

D) 6 cm D) 27 cm

E) 8 cm E) 12 cm

3) Las circunferencias de centros O1 y O2 son 4) En la figura , 4=AP cm; 12=PB cm

tangentes entre sí. Sus radios miden 4 cm 6=CP cm. ¿Cuánto mide CD ?

y 3 cm, respectivamente. AP = 18 cm. A) 2 cm

¿Cuánto mide PQ? B) 8 cm

A) 16 cm C) 14 cm

B) 16 3 cm D) 24 cm

C) 4 2 cm E) 48 cm

D) 4 cm

E) 8 2 cm

5) En la figura, PT es tangente a la 6) El cuadrilátero ABCD está circunscrito

circunferencia en T . cmAP 2= ; .6cmAB = en la circunferencia, siendo P , Q , R y

¿ Cuánto mide PT ? S los puntos de tangencia. PB = 2 cm;

A) 2 3 cm CQ = 3 cm; DR = 4 cm; AS = 6 cm.

B) 3 2 cm ¿Cuál es el perímetro de la figura?

C) 4 cm A) 15 cm R

D) 16 cm B) 30 cm

E) 12 cm C) 60 cm

D) 16 cm

E) Otro valor

7) En la figura, O es el centro de la circunferencia 8) En la figura , AB es diámetro de la

de radio 5 cm; AB = 8 cm. ¿Cuánto mide OP ? circunferencia; PT es tangente a la

A) 1 cm circunferencia en el punto T ;

B) 2 cm cmTP 12= ; cmBP 8= . ¿Cuánto mide

C) 3 cm el radio de la circunferencia?

D) 4 cm A) 4 cm

E) Falta información B) 5 cm

C) 6 cm

D) 9 cm

E) 10 cm

T

9) La circunferencia está inscrita en el triángulo 10) En la figura, 3=OP cm; AB es

ABC ; P , Q y R son los puntos de tangencia. diámetro de la circunferencia;

el perímetro del triángulo es 40 cm y 7=BP cm; 4== PDCP cm. ¿Cuánto mide

15=AB cm. ¿Cuánto mide CQ ? el diámetro de la circunferencia?

A) 5 cm A) 4 cm

B) 6 cm B) 5 cm

C) 7 cm C) 6 cm

D) 8 cm D) 8 cm

E) Falta información E) 10 cm

11) En la figura, PQ es tangente, entonces x mide:

A) 24 B) 31 C) 96 D) 192 E) N.A

12) En la figura, la tangente PR mide 6 cm y la secante =PB 18 cm, entonces BAmide:

A) 16 cm B) 6 cm C) 9 cm D) 4 cm E) 2 cm

13) En el círculo de la figura CDAB ⊥ . ¿Cuál es la medida de CE , si el radio de la

circunferencia mide 12 cm y =BE 8 cm?

A) 12 cm B) 8 cm C) 8 2 cm D) 4 2 cm E) 4 cm

14) En la figura, la tangente mide 8 cm y los segmentos determinados por la secante miden 4 cm

y w cm. Calcular la medida de w.

A) 2 B) 4 C) 12 D) 16 E) N.A

15) En la figura se tiene una circunferencia de centro O y radio R, M punto medio de AC,

AB : AM = 4 : 1. Si MB = 132 , entonces R =

A) 2 B)2

13 C) 13 D) 4 E) N.A

16) El valor de z en la siguiente circunferencia es:

A) 40 B) 24 C) 4 D) 2,6 E) 1,5

17) I) DEBDAEAC •=• II) EDBEECAE •=• III) CDCEAEAB •=•

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

18) Sean tres circunferencias tangentes exteriores de radios 3, 4 y 5 cm, respectivamente. El

perímetro del triángulo que se forma al unir sus centros es:

A) 12 B) 19 C) 21 D) 24 E) 27

19) Si ABBC = , =DE 16, =CE 4. Entonces el área de la circunferencia es:

A) 5π B) 10π C) 20π D) 25π E) 2,5π

20) ¿En cuál de los siguientes esquemas se verifica la relación: x2 = p • q?

I) II) III)

A) I y II B) II y III C) I y III D) I,II y III E) N.A

21) Las circunferencias de centros O y P son congruentes de radio 3 cm cada una. ¿Cuánto

mideOP si OPAB3

2=

A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 15 cm E) 18 cm

22) Determine la medida del trazo AB, sabiendo que O es centro de la circunferencia y que

OC = 12 cm, OD = 9 cm.

A) 33 cm B) 73 cm C) 76 cm D) 7 cm E) 63 cm

23) El cuadrilátero ABCD está circunscrito a la circunferencia, siendo P , Q , R , S los puntos de

tangencia . Si AP = 2; BQ = 5; BC = 9 y AD = 5, ¿cuál es su perímetro?

A) 16 cm B) 20 cm C) 24 cm D) 28 cm E) 42 cm

24) MN es diámetro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el radio?

A) 7

B) 8

C) 10

D) 11

E) 12 25) 9;8;10 === PDCPAC , Entonces la medida del segmento BD =?

A) 16

B) 10

C) 7

D) 8

E) 6

26) A un círculo de 5 cm de diámetro se traza desde un punto P una

tangente PA y una secante PBC que pasa por el centro como lo

indica la figura. Si la cuerda AC mide 4 cm y BP mide 4 cm.

Calcular la tangente PA .

A) 3 cm

B) 6 cm

C) 7 cm

D) 8 cm

E) 9 cm

P

A

4

Cα

5

β

B

27) :es PT entonces ;4

PAAB 16;PA ==

A) 8

B) b) 484

C) c) 34

D) d) 38

E) e) 28

28) AB = diámetro = 12; EB = 2; CE = 5; ED = ?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

29) En la misma figura anterior: AE = 8; EC = 6; DE = 12; AB =?

A) 17

B) 9

C) 15

D) 10

E) 18