U N I V E R S I D AD TECNOLOGIC A

METROPOLITANA

DEPTO.DE FÍSICA

GUIA EJERCICIOS

VECTORES

Objetivos:

- Ejecutar operaciones de Álgebra Vectorial aplicada a la física.

- Comprender la utilidad del análisis dimensional, como herramienta útil para verificar si una

ecuación es correcta.

- Desarrollar ejercicios de vectores, aplicados a la Física

Para complementar el estudio de este tópico, usted debería dedicar al menos 08 horas

pedagógicas (6hrs. cronológicas) dedicadas al desarrollo de esta guía, consultar material

bibliográfico e internet.

1.-Si el módulo de un vector es 60 y forma un angulo de 30◦ con la direccion positiva del ejeX,

Determine sus componentes cartesianas.

Rpta.: Ax=52, Ay=30

2.- Dos vectores A y B forman un á n gu l o de 110◦entre ellos. Sea C A B Si angulo entre A y

C esde40◦y 20A entonces determine B y C

Rpta.: 13,7B y 20C

3.-Considere dos vectores A y B que forman un ángulo recto entre ellos. Además 3A y 4B .

si C A B entonces calcule C y el ángulo entre A y C

Rpta.: 5; 53C

4.- Considere dos vectores A y B tal que 10A y 8B . Sea C A B . Si el ángulo entre

A y C es 50°, entonces calcule C y el ángulo entre A y B

Rpta.: 8,67; 123,5C

5.- Considere dos vectores arbitrarios A y B . Sea C A B y D A B . Demuestre que

si C D , entonces A y B son perpendiculares.

6.- Considere dos vectores arbitrarios A y B . Sea C A B y D A B . Demuestre que si A y

B son perpendiculares, entonces C D

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7.- Dados los vectores 3 4 5A i j k y 2B i j k . Calcule A B , A B , A , B ,

A B , A B y el ángulo entre A y B

8.-Dado el vector 4 8r i j k calcule el ángulo que forma con el eje X x , con el eje Y y y

con el eje Z z Rpta.: 116,4 , 27,3 83,6x y zy

9.- Dados los vectores 2 6 3A i j k y 4 3B i j k .encontrar un vector (unitario) que sea

perpendicular a ambos.

Rpta.:

3 2 6 / 7C i j k

10.- Dados los vectores A , B y C arbitrarios, demuestre que A B C A B A C

11.- Dados los vectores 5 2 4A i j k y 3 2B i j k .encontrar un vector C tal que

A C B

Rpta.: 2 3 6C i j k

12.- Considere dos vectores A y B . Sea C A B . Si el ángulo entre A y C es 25°, el ángulo

entre B y C es 50° y 30C , entonces calcule A y B .

13.-Un muchacho corre 3 cuadras hacia el norte, 4 cuadras hacia el noreste y 5 cuadras hacia el

oeste. Determine la longitud y dirección del vector que va desde el punto de partida hasta la

posición final.

14.- Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5m,30◦) y (3.8m,120◦). Determine las

coordenadas cartesianas de estos puntos y la distancia entre ellos.

15.- Dados los vectores 5 2 3A i j k y 3 4 5B i j k .encontrar un vector C tal que

3 2 0A B C

Rpta.: 2 7 6C i j k

16.- Considere los vectores 21, FF

y 3F

que se muestran en la

figura, donde el módulo de F1= 10 m y el módulo de F3 = 8 m. a)

Exprese cada uno de los vectores en componentes cartesianas

b) Determine el vector resultante 21 3RF F F F

c) Encuentre

un vector 4F , tal que 2 41 3 0F F F F

;d) Determine el

producto escalar (producto punto) entre los vectores 2 3 F y F

Rpta. a) jiF ˆ66,7ˆ427,61

; jiF ˆ5ˆ62

;

jiF ˆ928,6ˆ43

; b) ˆ ˆ3,573 5,732RF i j

c) jiF ˆ732,5ˆ573,34

d) 64,1032 FF

30°

F1 = 10 m

50°

- 6

5

X

Y

F3 = 8 m

F2

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17.- Considere los vectores 21, FF

y 3F

que se muestran en la figura,

donde el módulo de F1= 420m, el módulo de F2 = 150 m y el módulo

de F3 = 500 m. a) Determine el vector resultante 321 FFFFR

;

b) Determine el módulo de RF

y el ángulo que forma con el eje X; c)

Determine el ángulo formado entre los vectores RF

y 1F

Rpta.: a) jiFRˆ2,865ˆ1,194

; b) RF

886,71;

= 102,64º ; c) 37,64º

18.- Considere los dos vectores A

y B

que se muestran en

la figura, donde el módulo de A = 6 m.

a) Encuentre un vector C

tal que CBA

; b) Determine

el módulo de C

y el ángulo que forma con el eje X; c)

Determine el ángulo formado entre los vectores B

y C

Rpta.: a) ˆ ˆ7,536 2,438C i j ; b) 92,7C

y º9,17 ; c) Angulo entre B

y C

=131,136º

19.- Considere los vectores jiF ˆ5ˆ81

y jiF ˆ2ˆ42

. Calcule: a) El módulo de 1F

; b) El

módulo de 2F

; c) El módulo de 3F

, tal que 03 321 FFF

Rpta.: a) 43,91 F

; b) 47,42 F

; c) 63,43 F

20.- Un conductor de un automóvil maneja 3 km hacia el Norte, 2 km hacia el

noreste (45º al Este del Norte), 4 km al Oeste y, finalmente, 3 km al sureste (45º

al Este del Sur).

Determine la posición final, tomando como origen su punto inicial.

Rpta.: jir ˆ29,2ˆ464,0

(km)

21.- Un avión viaja en dirección Este con una rapidez de 500 km/h. Si el viento sopla en dirección

sur con una rapidez de 90 km/h. ¿Cuál es la dirección y rapidez relativa del avión respecto al suelo?

Rpta.: 508 km/h a 10° dirección sureste.

22.- Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O (-1,2,0) y de

extremo P (3,-1, 2). Calcular:

a) Componentes del vector OP

b) Módulo y cosenos directores

c) Un vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.

Rpta.:

4 3 2a) 29; c)

29 29 29n i j k

1F

65°

X

Y

3F

42º

2F

X

Y A

65°

B

3

- 5

S

N

E O

NE

SE

NO

SO

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En cada uno de los casos debe saber que la velocidad es un vector ( d

vt

) y que el

desplazamiento es un vector, por lo tanto se deben sumar y/o restar como cantidades

vectoriales.

23.- La bandera situada en el mástil de un bote a vela

flamea formando un ángulo de 45º, como se muestra

en la Figura, pero la bandera situada en una casa en

la orilla se extiende 30º al Sur del Oeste.

a) Si la velocidad del bote es de 10 km/hora,

calcular la rapidez del viento

b) Encontrar la rapidez aparente del viento para un

observador situado sobre el bote.

Rpta.: a) 27,32 km/hora; b) 33,46 km/hora

24.- Un atleta corre 100 metros hacia el Oeste, entonces cambia de dirección para la segunda etapa

de la carrera. Al final de la carrera se encuentra a 175 m del punto de salida a un ángulo de 15 º

hacia el noroeste ¿cuál fue la magnitud y la dirección del segundo desplazamiento?

Rpta.: 82,5 m y 147º

25.- Una persona camina por una trayectoria circular de radio 5 m, alrededor de la mitad de un

círculo. a) encuentre la magnitud del vector desplazamiento. B) qué distancia recorre la persona? Y

c) ¿ cuál es la magnitud del desplazamiento si la persona camina todo el recorrido alrededor de un

círculo?.

Rpta.: 10m; 15,7m; 0

26.- Un bote lleva una velocidad de 4 km/h en agua tranquila. Atraviesa un río cuya corriente tiene

una velocidad de 3 Km/ hora. a)¿Cuál es la dirección y magnitud de la resultante si el río tiene un

ancho de 15 m y b) en qué punto del lado opuesto se detiene?

Rpta.: a) 5 km/h y 53º ; b) 11,3m

27.- Un estudiante está atrapado en un bosque. Para encontrar la salida camina 10 m, da un giro de

90º a la derecha y camina 5m, efectúa otro giro de 90º a la derecha y camina 7 m ¿ Cuál es el

desplazamientodesde su posición inicial?

Rpta.: 5,83 m y a 59º a la derecha de la primera dirección.

28.- Una persona pasea por la trayectoria mostrada en la figura. El recorrido total se compone de

cuatro trayectos rectos. Al final del paseo ¿cuál es el desplazamiento resultante de la persona

medido desde el punto de partida? Resuelva por dos métodos vectoriales diferentes este problema

Rpta.: 240 m; 237º

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29.- Una persona camina por una trayectoria circular de radio 5 m, alrededor de la mitad del círculo.

Determine: a) La magnitud del vector desplazamiento; b) La distancia que recorre la persona; c) La

magnitud del vector desplazamiento, si la persona camina el recorrido alrededor del círculo.

Rpta.: a) 10 m ; b) 15,7 m ; c) 0

30.- Un bote lleva una rapidez de 4 km/hr en agua tranquila. Atraviesa un río cuya corriente una

rapidez de 3 km/h, si el río tiene un ancho de 15 m. Determine: a) La dirección y magnitud de la

velocidad del río; b) Al punto del lado opuesto que se detiene.

Rpta.: a) 5 km/hr y 53º ; b) 11,3 m

31.- Al ir de una ciudad a otra, un conductor que tiende a perderse viaja en automóvil 30 km hacia el

norte, luego 50 km en dirección oeste y finalmente 20 km hacia el sureste. ¿Cuál es la distancia

aproximada entre la dos ciudades?

Rpta.:39 km.

32.-Un bote navega a 10 km/hr en dirección noreste en un río que fluye hacia eñ este a 3 km/hr.

¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad del bote con respecto a la superficie terrestre?

Rpta.: 8,2 km/hr a 30º al oeste del norte

33.- Un bote que cruza un río se mueve a 12 km/h, la corriente fluye a 4 km/h. ¿Qué dirección debe

seguir el bote si debe alcanzar el otro lado del río en un punto directamente al frente de la partida?

Rpta.: 19º río arriba de la línea que cruza perpendicularmente al río

34.- Un barco se dispone a zarpar hacia un punto A situado a 124 km al norte del punto de partida

(O). Una tormenta inesperada empuja al barco hasta un punto B a 72,6 km al norte y 31,4 km al este

del punto O. Luego el barco navega en aguas tranquilas. a) Escriba el vector posición del punto B,

tomando como origen el punto O. b) Escriba el vector desplazamiento desde B hacia A. c) ¿Qué

distancia y en qué dirección debe navegar desde B a A para llegar a su destino?

Rpta.: a) kmji )ˆ6,72ˆ4,31( ; b) kmji )ˆ4,51ˆ4,31( ; c) 60,2 km ; 31,4° al oeste del norte.

35.- Un río fluye hacia el norte a una velocidad de 3,0 km/h. Un hombre, situado en la ribera oeste,

desea cruzar el río en un bote, dirigiéndose hacia el este con una velocidad de 4,0 km/h. a) Calcule la

velocidad que adquiere el bote al ser arrastrado por la corriente (magnitud y dirección). b) Si el río

tiene 1,0 km de ancho, ¿en cuánto se habrá desviado el bote hacia el norte cuando llega a la otra

orilla? c) ¿Cuánto demora el bote en llegar a la otra orilla?

Rpta.: a) 5,0 km/h; 36,9º al norte del este; b) 0,75 km; c) 0,25 h

36.- Una hormiga camina en la dirección N 30º O con una rapidez constante de 2 cm/s. Al cabo de

15 s cambia de rumbo dirigiéndose en dirección S 37º O con una rapidez de 3 cm/s, manteniendo esa

velocidad durante 20 s. a) Determine la posición final de la hormiga con respecto a su posición

inicial. Exprese su respuesta en términos rectangulares y en términos geográficos. b)¿En qué

dirección y con qué rapidez debe marchar la hormiga para volver directamente al punto de partida

demorando en ello 10 s?

Rpta.: a) ˆ ˆ( 51,1 21,9 ) ;(55,6 ; 66,8º )i j cm cm S O ; b) ENs

cm8,66;56,5

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37.- El buque escuela Esmeralda zarpa del puerto de Valparaíso en un día con fuertes vientos.

Navega 45 km al oeste; luego cambia de rumbo y viaja 35 km en dirección 30º al sur del este, y por

último recorre otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 100 km al sur del punto

de partida. a) Determine el vector desplazamiento correspondiente al tercer tramo. b) Determine el

módulo y dirección del tercer tramo.

Rpta.: a) ˆ ˆ(14,7 82,5 )i j km ; b) 83,8 km ; 10,1º al este del sur

38.- Dos botes parten simultáneamente desde el mismo punto de un muelle ubicado en el borde de un

río, cuyas aguas corren a 2 m/s. El primer bote parte “aguas abajo” en una dirección que forma un

ángulo de 30º con la ribera. El segundo bote parte “aguas arriba” en una dirección que forma un

ángulo de 120 º con esa misma ribera (ver figura). Si ambos botes viajan a la misma rapidez de 6 m/s

respecto al agua, entonces: a) ¿cuál es vector posición del primer bote luego de 1 minuto?; b) ¿cuál

es el vector posición del otro bote luego de 1 minuto?; c) ¿cuál es la distancia (en metros) entre

ambos botes en ese instante?

Rpta.: a) ˆ ˆ(431,8 180 )i j m ; b) ˆ ˆ( 60 311,8 )i j m ; c) 509,1 m

30º

corriente

60º