GUIA06-MAT330-2010
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MAT330 Cálculo I 1 GUÍA DE EJERCICIOS Nº 6 CONTINUIDAD CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función f es continua en a si cumple las siguientes condiciones: i) ) (a f Existe ii) ) ( lim x f a x→ Existe iii) ) ( ) ( lim a f x f a x = → Si f no es continua en a , diremos que f es discontinua en a 1. En cada caso, determine si la función f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones. a) ( x x f - = 2 ; en 2 = x b) ( 4 2 - = x x f ; en 0 = x c) ( 1 = x f ; en 5 - = x 2. Considere la función f definida por: > ≤ = 0 ; 0 ; ) ( 2 x si x x si x x f Determine si la función f es continua o discontinua en 0 = x , mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones. 3. Considere la función f definida por: > - ≤ = 1 ; 1 1 ; 2 ) ( x si x x si x f Determine si la función f es continua o discontinua en 1 = x , mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
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guia de limites con los ejercicios resueltos
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MAT330 Clculo I
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GUA DE EJERCICIOS N 6
CONTINUIDAD
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una funcin f es continua en a si cumple las siguientes condiciones:
i) )(af Existe
ii) )(lim xfax
Existe
iii) )()(lim afxfax
=
Si f no es continua en a , diremos que f es discontinua en a
1. En cada caso, determine si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
a) ( ) xxf = 2 ; en 2=x
b) ( ) 42 = xxf ; en 0=x
c) ( ) 1=xf ; en 5=x
2. Considere la funcin f definida por:
>
=
0 ;0 ;)( 2 xsix
xsixxf
Determine si la funcin f es continua o discontinua en 0=x , mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
3. Considere la funcin f definida por:
>
=
1 ;11 ;2)(
xsixxsi
xf
Determine si la funcin f es continua o discontinua en 1=x , mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
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MAT330 Clculo I
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4. Considere la funcin f definida por:
>
=
+=
1 ;21 ;5)( 2 xsixx
xsixxf
Determine si la funcin f es continua o discontinua en 1=x , mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
6. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 2=x
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7. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 0=x
8. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 5=x
9. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 0=x
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10. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 1=x
11. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 2=x
12. Segn su grfica, diga si la funcin f es continua o discontinua en el punto indicado, mostrando claramente el cumplimiento o no cumplimiento de las tres condiciones.
en 1=x
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MAT330 Clculo I
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SOLUCIONES GUA DE EJERCICIOS N 6
CONTINUIDAD
1. a) i) 0)2( =f (Existe imagen para 2=x )
ii) 0)2( 2
lim =
xx
(Existe lmite de la funcin cuando 2x )
iii) )2()(2
lim fxfx
=
Respuesta: La funcin f es continua en 2=x .
b) i) 4)0( =f (Existe imagen para 0=x )
ii) 4)4( 20
lim =
xx
(Existe lmite de la funcin cuando 0x )
iii) )0()(0
lim fxfx
=
Respuesta: La funcin f es continua en 0=x .
c) i) 1)5( =f (Existe imagen para 5=x )
ii) 1)1( 5
lim =x
(Existe lmite de la funcin cuando 5x )
iii) )5()(5
lim =
fxfx
Respuesta: La funcin f es continua en 5=x .
2. i) 0)0( =f (Existe imagen para 0=x )
ii) 0)( 0
lim =
x
x ; 0)( 2
0lim =
+
xx
0)()()( 000
limlimlim === +
xfxfxfxxx
(Existe lmite de la funcin cuando 0x )
iii) )0()(0
lim fxfx
=
Respuesta: La funcin f es continua en 0=x .
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3. i) 2)1( =f (Existe imagen para 1=x )
ii) 2)2( 1
lim =x
; 0)1( 1
lim =+
xx
)()(11
limlim +
xfxfxx
(No existe lmite de la funcin cuando 1x )
iii) )1()(1
lim fxfx
Respuesta: La funcin f es discontinua en 1=x .
4. i) 1)2( =f (Existe imagen para 2=x )
ii) 4242
2
2lim =
x
xx
x ; 4
2242
2lim =
+ x
x
x
4)()()(222
limlimlim === +
xfxfxfxxx
(Existe lmite de la funcin cuando 2x )
iii) )2()(2
lim fxfx
Respuesta: La funcin f es discontinua en 2=x .
5. i) 4)1( =f (Existe imagen para 1=x )
ii) 4)5( 1
lim =+
x
x ; 3)2( 2
1lim =
+
xxx
)()(11
limlim +
xfxf
xx (No existe lmite de la funcin cuando 1x )
iii) )1()(1
lim
fxfx
Respuesta: La funcin f es discontinua en 1=x .
6. i) 0)2( =f (Existe imagen para 2=x )
ii) 0)( 2
lim =
xfx
; 0)( 2
lim =+
xfx
0)()()( 222
limlimlim === +
xfxfxfxxx
(Existe lmite de la funcin cuando 2x ) iii) )2()(
2lim fxfx
=
Respuesta: La funcin f es continua en 2=x .
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7. i) 4)0( =f (Existe imagen para 0=x )
ii) 4)( 0
lim =
xfx
; 4)( 0
lim =+
xfx
4)()()( 000
limlimlim === +
xfxfxfxxx
(Existe lmite de la funcin cuando 0x ) iii) )0()(
0lim fxfx
=
Respuesta: La funcin f es continua en 0=x .
8. i) 1)5( =f (Existe imagen para 5=x )
ii) 1)( 5
lim =
xf
x ; 1)(
5lim =
+
xfx
1)()()( 555
limlimlim ===
+xfxfxf
xxx
(Existe lmite de la funcin cuando 5x ) iii) )5()(
5lim =
fxf
x
Respuesta: La funcin f es continua en 5=x .
9. i) 0)0( =f (Existe imagen para 0=x )
ii) 0)( 0
lim =
xf
x ; 0)(
0lim =
+
xfx
0)()()( 000
limlimlim === +
xfxfxfxxx
(Existe lmite de la funcin cuando 0x )
iii) )0()(0
lim fxfx
=
Respuesta: La funcin f es continua en 0=x .
10. i) 2)1( =f (Existe imagen para 1=x )
ii) 2)( 1
lim =
xfx
; 0)( 1
lim =+
xfx
)()(11
limlim +
xfxfxx
(No existe lmite de la funcin cuando 1x )
iii) )1()(1
lim fxfx
Respuesta: La funcin f es discontinua en 1=x .
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11. i) 1)2( =f (Existe imagen para 2=x )
ii) 4)( 2
lim =
xfx
; 4)( 2
lim =+
xfx
4)()()(222
limlimlim === +
xfxfxfxxx
(Existe lmite de la funcin cuando 2x )
iii) )2()(2
lim fxfx
Respuesta: La funcin f es discontinua en 2=x .
12. i) 4)1( =f (Existe imagen para 1=x )
ii) 4)( 1
lim =
xf
x ; 3)(
1lim =
+
xfx
)()(11
limlim +
xfxf
xx (No existe lmite de la funcin cuando 1x )
iii) )1()(1
lim
fxfx
Respuesta: La funcin f es discontinua en 1=x .
