LICEO SAN AGUSTIN

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Una transformacin Isomtrica es una transformacin geomtrica, que conserva la medida de los lados de los ngulos. Esto significa que una transformacin isomtrica convierte una figura en otra congruente a la original.

Las transformaciones que estudiaremos aqu son la traslacin, el giro o rotacin, la reflexin en torno a un eje (simetra axial) y la reflexin en torno a un punto(simetra central).

Traslacin

Cuando movemos paralelamente una determinada figura en una direccin, lo que estamos efectuando es una traslacin.

Observa que la traslacin queda completamente determinada si conocemos el vector de la direccin del movimiento, ya que podramos obtener la imagen de todos los puntos de la figura.

Traslacin en un sistema cartesiano

S el punto P(a,b) lo trasladamos en la direccin (u,v) se transforma en el punto P'(a+u, b+y).

Ejemplo:

En qu posicin queda el punto A(-3,4), si lo trasladamos segn el vector (5,6)?

El punto A(-3,4) se traslada al punto: A' (-3+5,4+6) = A'(2,10).

Propiedades de la traslacin

Supongamos que el segmento de la figura se ha trasladado en la direccin del vector Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) AB =B'A'

(2) ABB'A' es un paralelogramo

Las propiedades; anteriores se pueden demostrar a travs de la congruencia de los tringulos ABA' y B'A'B.

Giro o rotacin

SI giramos una figura en tomo a un punto O, obtenemos una figura congruente a la original.

Observa que el giro queda completamente determinado si conocemos el punto que utilizaremos como centro de rotacin y el ngulo de giro.

Por convencin, el ngulo siempre se medir contrario al movimiento de los punteros del reloj (sentido antihorario)

Rotacin en un sistema cartesiano

la rotacin en torno al origen en un sistema cartesiano, se puede determinar fcilmente Si el ngulo de rotacin es mltiplo de 90o. Si el ngulo es distinto a stos, su estudio escapa a la profundidad de la prueba P.S.U.

Rotacin en 90 : El punto P(x ,y) se transforma en el punto P'(-y ,x)

Rotacin en 180 : El punto P(x, y) se transforma en el punto P'( y, -x)

Rotacin en 270: El punto P(x, y) se transforma en el punto P'(y,-x)

Propiedades de la rotacin:

Supongamos que el segmento de la figura se ha rotado en torno al punto O en un ngulo (. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) AB = A'B'

(2) (BOA ( (B'OA'

Simetra o Reflexin

Reflexin en torno a un eje

Sea una recta L y un punto P, de modo que el punto no est contenido en ella.

La reflexin del punto A en torno a la recta L es un punto A', de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

(1)

(2) AP = PA

Observaciones

Si el punto A est en la recta L, su imagen es el mismo punto.

-Se dice que A' es el simtrico de A en torno a L.

Propiedades de la reflexin en torno a un eje.

Supongamos que el segmento de la figura se ha reflejado en torno en torno a la recta L transformndose en el segmento entonces se tienen las siguientes propiedades:

(1) AB = A'B'

(2) AA' II BB'

(3) L es la simetral de

(4) L es el eje de simetra del cuadriltero, AABB

(5) Al reflejar una figura en torno aun eje,

se obtiene una figura congruente

producindose una simetra axial.

Reflexin en torno a un eje en un sistema cartesiano

Reflexin en torno al eje x: El punto P(x ,y) se transforma en el punto P'(x ,-V)

Reflexin en torno al eje y: El punto P(x ,y) se transforma en el punto P"(-x ,y)

Ejemplo:

Con qu coordenadas tiene el punto A(-3,4) si se refleja en torno al eje x y despus en torno al eje y?

Si A se refleja en torno al eje x: A{-3,4) queda en A'(-3,-4)

Si A' se refleja en torno al eje y: A'(-3,-4) qued! en A"(3,-4)

Respuesta: (3,- 4)

Reflexin en torno a un punto

Supongamos que tenemos un punto P y un punto O diferente de P.

La reflexin de P en torno de O es un punto P' que cumple las siguientes condiciones:

(1) O, P y P' son colineales

(2) OP = OP'

Propiedades de la reflexin en torno a un punto

Supongamos que el segmento de la figura se ha reflejado en torno en torno al punto O transformndose en el segmento entonces se tienen las siguientes propiedades:

(1) AB = A'B'

(2) ABA'B' es un paralelogramo

Observaciones :

Al efectuar una reflexin a un segmento en tomo a un punto, se obtiene un segmento paralelo y congruente.

Si un punto coincide con el centro de reflexin, su imagen es el mismo punto.

Al reflejar una figura en torno a un punto se obtiene una figura congruente, producindose una simetra central en torno al punto que es equivalente a rotarlo en torno al punto O en un ngulo de 180

Reflexin en torno al origen en un sistema cartesiano

El reflejar un punto en torno al origen es equivalente a efectuar un giro en 180o en torno a este punto. Por lo tanto, la reflexln de P(x, y) en 180 es el punto P'(-x, -y):

y

P(- y, x)

P(x, y)

x

y

P (x, y)

P(y, -x)

x

y

x

P(x, y )

P(y, x)

L

B

A

A

B

(

(

y

P( x, y)

P( x, -y)

x

P( x, -y)

P( x, y)

y

(

(

x

(

P

O

P

y

P (x, y)

P (- x, -y)

Gua Unidad n 5 Geometra

Tema 3: Transformaciones Isomtricas Curso: 8 bsico

Nombre:..

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