UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMÁTICA IV

SECCIÓN 03 CICLO 02-2014

“Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales por Series de Potencias”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

PARTE I.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias alrededor

de puntos ordinarios.

1. 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

2. 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + (2𝑥2 + 1)𝑦 = 0

3. (𝑥2 + 1)𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑥𝑦 = 0

4. (𝑥3 − 1)𝑦′′ + 𝑥2𝑦′ + 𝑥𝑦 = 0

5. 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

6. (𝑥2 + 1)𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 3

7. 𝑥𝑦′′ + 𝑦′ + 2𝑦 = 0, 𝑦(1) = 2, 𝑦′(1) = 4

8. (1 + 𝑥2)𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1

9. 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

10. 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + (2𝑥2 + 1)𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −1

11. 𝑦′′ + (𝑥 − 1)𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦(1) = 2, 𝑦′(1) = 0

12. (𝑥2 − 1)𝑦′′ − 6𝑥𝑦′ + 12𝑦 = 0

13. 3𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 4𝑦 = 0

14. 𝑦′′ + 𝑥2𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 0

15. 𝑦′′ + 𝑥2𝑦 = 0

16. (𝑥2 + 3)𝑦′′ − 7𝑥𝑦′ + 16𝑦 = 0

17. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0

18. (𝑥2 − 6𝑥 + 10)𝑦′′ − 4(𝑥 − 3)𝑦′ + 6𝑦 = 0, 𝑦(3) = 2, 𝑦′(3) = 0

19. (𝑥2 + 6𝑥)𝑦′′ + (3𝑥 + 9)𝑦′ − 3𝑦 = 0, 𝑦(−3) = 0, 𝑦′(−3) = 2

20. (4𝑥2 + 16𝑥 + 17)𝑦′′ = 8𝑦, 𝑦(−2) = 1, 𝑦′(−2) = 0

PARTE II.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias alrededor

de puntos singulares, identificar si los puntos son regulares o irregulares.

1. 2𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + (𝑥2 − 1)𝑦 = 0

2. 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + (𝑥2 +8

9) 𝑦 = 0

3. 3𝑥𝑦′′ − (𝑥 − 2)𝑦′ − 2𝑦 = 0

4. 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + (𝑥 − 1)𝑦 = 0

5. 9𝑥2𝑦′′ + 9𝑥2𝑦′ + 2𝑦 = 0

6. 2𝑥(𝑥 − 1)𝑦′′ + 3(𝑥 − 1)𝑦′ − 𝑦 = 0

7. 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦 = 0

8. 𝑥𝑦′′ + 𝑦′ − 4𝑦 = 0

9. 𝑡2𝑦′′ + (𝑡2 + 𝑡)𝑦′ + 𝑦 = 0

10. 3𝑥𝑧′′ + (2 − 𝑥)𝑧′ − 𝑧 = 0

11. 4𝑥2𝑦′′ + 2𝑥2𝑦′ − (𝑥 + 3)𝑦 = 0

12. 3𝑥2𝑦′′ + 8𝑥𝑦′ + (𝑥 − 2)𝑦 = 0

13. 𝑥𝑦′′ + (𝑥 − 1)𝑦′ − 2𝑦 = 0

14. 𝑥(𝑥 + 1)𝑦′′ + (𝑥 + 5)𝑦′ − 4𝑦 = 0

15. 𝑥𝑤′′ − 𝑤′ − 𝑥𝑤 = 0

16. 2𝑥2𝑦′′ + 𝑥(𝑥 + 1)𝑦′ − (2𝑥 + 1)𝑦 = 0

17. (2𝑥2 + 5𝑥3)𝑦′′ + (3𝑥 − 𝑥2)𝑦′ − (1 + 𝑥)𝑦 = 0

18. 4𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + (3 − 4𝑥2)𝑦 = 0

19. 𝑥𝑦′′ − 𝑦′ + 4𝑥3𝑦 = 0

20. 𝑥𝑦′′ + 2𝑦′ − 4𝑥𝑦 = 0

APLICACIÓN.

Un circuito conectado en serie que responde a la E.D: 𝐿𝑞′′(𝑡) + 𝑅𝑞′(𝑡) +1

𝐶𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡),

de lo cual se sabe que la fem es cero volts, la inductancia 0.1H, la capacitancia 2farads y

una resistencia que varía con el tiempo de la siguiente forma: 𝑅(𝑡) = 1 +𝑡

10ohms. Si se

sabe que 𝑞(0) = 10 Coulombs y que 𝑞′(0) = 0 amperes, determine al menos los primeros

cuatro términos no nulos en un desarrollo de potencias en torno a 𝑡 = 0 para la carga del

capacitor.

Un circuito está conectado en serie con una fuerza electromotriz dada por 𝐸(𝑡) =100𝑠𝑒𝑛(60𝑡)voltios, una resistencia de 2Ω, con un inductor de 0.1H y un capacitor de 1

260Faradios. Si la corriente inicial y la carga inicial del capacitor son ambas cero; entonces

hallar la carga del capacitor en cualquier tiempo 𝑡 > 0.