Guia resuelta Matemáticas UNAN-MANAGUA

1 Aritmtica

1. La expresin 311 + 311 + 311 equivale a:

Solution 1 311 + 311 + 311 = 3311=31 311= 31+11 = 312

2. Al nmero de tres dgitos 2a3 se le suma el nmero 326 y da el nmero de tresdgitos 5b9: Si sabemos que el nmero 5b9 es divisible entre 9, entoncesa+ b es:

Solution 2 2a3 +326 = 5b9 apartir de aqu podemos podemos deducir que

a+ 2 = b ()

Si el nmero 5b9 es divisible por nueve, signica que la suma de sus dgitoses un mltiplo de nueve, i.e 9 j 5 + b+ 9; (b solo puede ser un nmero entre 0 y

9)

5 + 0 + 9 = 145 + 1 + 9 = 155 + 2 + 9 = 165 + 3 + 9 = 175 + 4 + 9 = 185 + 5 + 9 = 19

De los clculos anteriores resulta claro que b = 4; sustituyendo este valor en() y despejando a resulta:

a+ 2 = 4

a = 4 2a = 2

Luego la suma esa+ b = 2 + 4 = 6

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de s misma y a la cantidadas obtenida le resto su 10%: Qu porcentaje de la cantidad original mequeda?

1

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Elaborado por Jos A. Siles R.

Solution 3

x cantidad original(10%) (x) = 0:1x su diez porciento

Luego la suma esx+ 0:1x = 1: 1x

1: 1x nueva cantidad obtenida(10%) (1: 1x) = 0:1 (1: 1x) su diez porciento

Luego la resta es

1: 1x 0:1 (1: 1x) = 1:1x 0:11x= 0:99x

Multiplicando por 100x para dejarlo en porcentaje

(0:99x)

100

x

= 99:0%

4. Al simplicar [(9 4) + (10 + 3)]((6) (5))[(12 + 8) (6 9) (95 90)]el resultado es:

Solution 4

[(9 4) + (10 + 3)] ((6) (5)) [(12 + 8) (6 9) (95 90)][(5) + (7)] (30) [(4) (3) (5)](5 7) (30) (60)(2) (30) (60)(60) (60)1

5. Cuntos divisores diferentes tiene el nmero 2000?

2

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Solution 5

La descomposicin en factores primos de 2000 resulta en

2000 = 24 53

as 24 posee 5 divisores positivos: 1; 21; 22; 23; 24 y 53 cuatro divisores:1; 51; 52; 53; luego los divisores 24 53 son:

1; 2; 22; 23; 24; 51; 52; 53;

2 5; 2 52; 2 53;22 5; 22 52; 22 53;23 5; 23 52; 23 53;24 5; 24 52; 24 53;

Para un total de 20 divisores positivos distintos.

6. Al simplicar 4 (3)2 6 3p4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9: El resultado

es:

Solution 6

4 (3)2 6 3

p4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9 = 4 (9) 6 3 (2) + 2 [(35) 5] 4 12 9

= 36 6 6 + 2 (30) 4 12 9= 6 6 + 60 4 12 9= 60 4 12 9= 240 12 9= 20 9= 11

7. Simplique12

53

34

3 43 56

17 1

Solution 7

Resolviendo el numerador

1

2 53 34

=1

2 54

=2 54

= 34

3

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Resolviendo el denominador

3 43 56

= 3 109

=27 109

=17

9

Resolviendo toda la fraccin compleja

12

53

34

3 43 56

= 34179

=

34

9

17

= 27

68

y nalmente

12

53

34

3 43 56

17 1 = 2768 17 1

= 45968

1

= 274 1

= 314

= 734

8. Cuntos nmeros vlidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo losdgitos 0; 1; 2; 3 y 4?

Solution 8

Para escribir un nmero vlido de cinco cifras el cero no puede ocupar laprimera posicin, contando de izquierda a derecha, luego el cero tiene 4 posi-ciones posibles y los restantes nmeros cinco posiciones posibles, as el nmerototal de combinaciones sera

4 5 5 5 54 54

4

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9. Pedro tiene 69 aos y su edad excede a la de Juan en un 15%: Qu edadtiene Juan?

Solution 9

Sea x la edad de Juan y 0:15x su 15%; luego

69 = x+ 0:15x

69 = 1:15x

x =69

1:15x = 60 aos

10. En una ciudad, 23 de los hombres estn casados con los35 de las mujeres. Si

nunca se casan con forateros , Cul es la proporcin de solteros en dichaciudad?

Solution 10

x proporcin de hombres 23x : hombres casados

y proporcin de mujeres 35y : mujeres casadas

A partir de la inforacin anterior y teniendo presente que son proporcionesde un total, podemos plantear el siguiente sistema, recordemos adems que unhombre se casa con una nica mujer (idealmente)(

x+ y = 1

23x

35y = 0

Reescribiendo la segunda ecuacin a una ms cmoda

2

3x 3

5y = 0 (15)

10x 9y = 0

y amplicando la primera al mutiplicar por 9

x+ y = 1

9x+ 9y = 9

5

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El nuevo sistema ser (9x+ 9y = 9 ()

10x 9y = 0 ()

Sumando ambas ecuaciones y resolviendo para x

19x = 9

x =9

19

Sustituyendo x en ()

10x = 9y

10

9

19

= 9y

9y = 10

9

19

9y =

90

19

y =90

19 9y =

10

19

Luego la propoecin de hombres y mujeres casados ser

23x :

23

919

= 1857 =

619

35y :

35

1019

= 3095 =

619

6

19+6

19=12

19

1219 representa la proporcin de casados, debe entenderse como: por cada 19

habitantes (hombres y mujeres) 12 estn casados. Para determinar los solterosslo debemos restar la totalidad (1 porque hablamos de proporciones) de laproporcin de casados.

1 1219=7

19

6

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11. El resultado de h125

23 + 16

12 + 343

13

i 12

Solution 11

Recordando la denicin para exponentes racionales

axy = y

pax

tenemos

12523 =

3

q(125)

2=

3

q(53)

2=

3p56 = 52 = 25

1612 =

2p16 =

2p42 = 4

34313 =

3p343 =

3p73 = 7

Luego,

h125

23 + 16

12 + 343

13

i 12

= [25 + 4 + 7]12

= 3612

=p36

= 6

12. Obtenga el resultado de

(0:027) 13 + 2560:75 31 + (4:5)0

Solution 12

(0:027) 13 =

27

1000

13=

(27) 13

(1000) 13

= (27) 13(1000)

13 =

1

(27)13

1(1000)

13

=

1

(27)13

! (1000)

13

1

!

7

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(27)13 =

3p27 =

3p33 = 3

(1000)13 =

3p1000 =

3p103 = 10

luego 1

(27)13

! (1000)

13

1

!=

1

3

10

1

=10

3

Rescribiendo el exponente de 2560:75

0:75 =75

100=3

4

calculando 2560:75 resulta en

2560:75 = 25634 =

4

q(256)

3=

4

q(28)

3= 224 = 64

Por las leyes de los exponentes enteros nos resulta que

31 =1

3

(4:5)0= 1

Finalmente

(0:027) 13 + 2560:75 31 + (4:5)0 = 10

3+ 64 1

3+ 1

=10 + 192 1 + 3

3

=204

3= 68

8

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13. Cul es el valor de a en (3a)5 = 248832 ?

Solution 13

(3a)5= 248832

5

q(3a)

5=

5p248832

3a = 12

a =12

3a = 4

14. Un equipo de jugadores gan 15 juegos y perdi 5. cul es la razn ge-omtrica de los juego ganados a los jugados?

Solution 14

15 ganados5 perdidos20 total jugados

15

20=3

4

15. Si x es un nmero par y y un nmero impar. Cul de la siguientes armaciones siempre es falsa?

Solution 15

x = 2n

y = 2n+ 1

x+ y = (2n) + (2n+ 1) = 4n+ 1 = 2 (2n) + 1 = 2k + 1 siempre impar

x+ x = 2n+ 2n = 4n = 2 (2n) = 2k siempre par

9

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xy

2=(2n) (2n+ 1)

2= n (2n+ 1) la paridad est en dependencia de n

y + y

2=2y

2= y = 2n+ 1 siempre impar

16. El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es 105 y su mximo comndivisor es 5. Cul de los siguientes nmeros puede representar la sumade estos dos nmeros?

Solution 16

(a; b) = 5

[a; b] = 105

de la aritmtica sabemos que

ja bj = (a; b) [a; b]

Es decir, el producto de el mximo comn divisor y el mnimo comn mlti-plo de dos nmeros es igual al valor absoluto de dichos nmeros. Replantendoel problema ser

a b = 5 105a b = 525

esto es, dos nmeros que multiplicados den 525 y adems cumplan las condi-ciones pedidas

525 5105 521 37 71

A partir de esta descomposicin, determinamos todos los pares de nmeroscuyo producto es 525, obtrnemos su suma y vericamos que cumpla las condi-ciones pedidas.

10

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5 + 105 = 110

25 + 21 = 46

15 + 35 = 50

7 + 75 = 82

3 + 175 = 178

es claro que los nicos nmeros que cumplen los requerimientos pedidos son15 y 35 luego la suma es 50.

17. La maestra distribuy la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5nios y se qued 3 para ella misma. No se acuerda cuntos dulces tena,pero se acuerda que era un mltiplo de 6 entre 65 y 100. cuntos dulcestena?

Solution 17

Sea x el nmero total de caramelos, al repartirlos entre 5 nios sobran tres,para la maestra, esto se traduce en

x = 5k + 3

es claro que el nmero de caramelos repartidos entre los nios debe ser unmltiplo de 5; luego los mltiplos de 5 entre 65 y 100 son

70; 75; 80; 85; 90; 95

ahora, agregamos los tres de la maestra y vericamos cul de ellos es mltiplode 6, cmo asegura la maestra

70 + 3 = 73! 6 - 7375 + 3 = 78! 6 j 78! 78 = 5 (15) + 380 + 3 = 83! 6 - 8385 + 3 = 88! 6 - 8890 + 3 = 93! 6 - 9395 + 3 = 98! 6 - 98

de sta discriminacin resulta que: la cantidad de caramelos era 78, repartieron75 y 3 le quedaron a la maestra.

(El smbolo j se lee divide y - no divide )

11

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18. Cul de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero?

Solution 18

2003n : la paridad est en dependencia de n

n2 + 2003 : la paridad est en dependencia de n

n3 : impar slo si n es impar

2n2 + 2003 : impar siempre

La suma de un nmero par2n2con un nmero impar (2003) siempre es

un nmero impar.

19. La solucin de "5 4

12

2 112 1

!#4

Solution 19"5 4

12

2 112 1

!#4=

5 4

14 112 1

4

=

5 4

34 12

4=

5 4

34

21

4=

5 4

6

4

4= [5 6]4

= [1]4

= 1

20. Supongamos que 2001 = (n 2)n (n+ 1)n1+1 Cunto vale n, si n es unnmero entero?

12

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Solution 20

2001 = (n 2)n (n+ 1)n1 + 12000 = (n 2)n (n+ 1)n1

2000 21000 2500 2250 2125 525 55 51

2000 = 24 53

Como la descomposicin en factores primos es nica entonces podemos es-cribir

(n 2)n (n+ 1)n1 = 24 53

luego(n 2)n = 24

de donden = 4

tambin podemos escribir

(n+ 1)n1

= 53

de donde resulta

n 1 = 3n = 4

21. El resultado de la operacin

2 2545

+3 1343

4 1412

+5 1524

7

20 112

13

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Solution 21

Resolviendo para el numerador

2 2545

=8545

=8

5 54= 2

3 1343

=8343

=8

3 34= 2

luego2 2545

+3 1343

= 2 + 2 = 4

Resolviendo para el denominaor

4 1412

=15412

=15

4 21=15

2

5 1524

=245

24=24

5 124=1

5

luego4 1412

+5 1524

=15

2+1

5=77

10

Resolviendo toda la fraccin compleja resulta en

47710

7

20 112

= (4)

10

77

77

40

=

40

40= 1

22. Calcular el producto LH sabiendo que L = a+ b+ c; H = d+ c = f + g;siendo a; b; c; d; f; g nmeros naturales y que b f = 91; a d = 18;c d = 16; b g = 39:

14

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Solution 22

b f = 91 = 13 7b g = 39 = 13 3

de aqu resulta evidente que

b = 13; f = 7; g = 3

por otra parte

a d = 18 = 32 2c d = 16 = 23 2

de donde podemos concluir que

a = 32 = 9; d = 2; c = 23 = 8

Finalmente

LH = (a+ b+ c) (f + g)= (9 + 13 + 8) (7 + 3)

= (30) (10)

= 300

23. Al desarrollar la expresinqpp

625a82el resultado es

Solution 23

24rqp625a8352 = h 8p625a8i2

=h

8p54a8

i2=

h512 ai2

= 5a2

15

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24. El resultado deqa 3papa es

Solution 24

ra

3

qapa =

r3

qa3 a

pa

=

r3

qpa6 a2 a

=12pa9

= a912

= a34

=4pa3

25. Al desarrollar el binomioq

A+pA2B2 +

qA

pA2B2

2el resultado es

Solution 25

Recordemos que (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 y que (a+ b) (a b) = a2 b2

24sA+pA2 B2

+

sA

pA2 B2

352

0@sA+pA2 B2

1A2+20@sA+pA2 B

2

1A0@sApA2 B2

1A+0@sApA2 B

2

1A2

A+pA2 B2

+ 2

0@sA+pA2 B ApA2 B4

1A+ ApA2 B2

A+pA2 B +A

pA2 B

2+ 2

1

2

pA2 (A2 B)

2A

2+pB

A+pB

16

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26. Una epidemia mat los 58 de las reses de un ganadero y luego l vendi los23

de las que le quedaban. Si an tiene 216 reses, cuntas tena al principio,cuntas murieron y cuntas vendi?

Solution 26

Sea x el nmero de reses que tena

Una epidemia mat 58x; luego le quedaron38x

Vendi 2338x= 14x

Luego, el total de reses es: las que murieron ms las que vendi ms las quean tiene, es decir

x =5

8x+

1

4x+ 216

x 58x 1

4x = 216

8x 5x 2x8

= 216

x

8= 216

x = (8) (216)

x = 1728

Tena 1728 reses, murieron 58x =58 (1728) = 1080 y vendi

14x =

14 (1728) =

432:

27. Una galina pone 2 huevos en tres das. cuntos das se necesitan para quecuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?

Solution 27

Vamos a usar la regla de tres compuesta

+ +1 gallina 2 huevos 3 das4 gallina 24 huevos x das +

Luego encontramos x

x =(1) (24) (3)

(4) (2)

=72

8= 9

17

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28. El 41 23% es equivalente a

Solution 28

Aplicando una regla de tres simple tenemos que

1 100%x 41 23%

el nmero mixto 41 23 puede escribirse como1253 ; luego resolviendo para x

tenemos

x =

1253 %

100%

=125

3 1100

=125

300

=5

12

29. Hallar el nmero cuyo 3.6% vale

3 + 4:2 0:11 0:3 2 13

0:3125

Solution 29

3 + 4:2 0:11 0:3 2 13

0:3125

=3 + 4 210

110

1 310 73

312510000

=3 + 4210

101

1 103 73

312510000

=3 + 42

103

73

312510000

=45312510000

= 144

18

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luego por regla de tres tenemos

x 100%45 3:6%

Resolviendo para x

x =144 100%3:6%

=14400

3:6= 4000

19

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30. Resuelva la suma spa+

ra2 4a

+

spa

ra2 4a

Solution 30

Podemos reescribir la expresin de modo siguientevuuut0@spa+ra2 4a

+

spa

ra2 4a

1A2

Resolviendo el cuadrado del binomio en la forma (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2vuuut0@spa+ra2 4a

1A2 + 20@spa+ra2 4

a

1A0@spara2 4a

1A+0@spara2 4

a

1A2vuuuutpa+

ra2 4a

+ 2

0B@vuutpa2 ra2 4

a

!21CA+para2 4a

spa+

ra2 4a

pa

ra2 4a

+ 2

ra a

2 4as

2pa+ 2

ra2 a2 + 4

as2pa+ 2

r4

as2pa+

4pas

2 (pa)2+ 4p

as2a+ 4p

a

1

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31. La operacin est denida por ab = 2ab3b en la que a y b son nmerosenteros. cul es el resultado de [4 (1)] (3) ?

Solution 31

Aplicando la denicin de primeramente al corchete de la izquierda

[4 (1)] (3) = [2 (4) (1) 3 (1)] (3)= [8 + 3] (3)= (5) (3)

Aplicando la denicin de a la ltima expresin obtenida

[4 (1)] (3) = (5) (3)= 2 (5) (3) 3 (3)= 30 + 9

= 39

32. El conjunto solucin de la desigualdad 4 j1 xj 1 es:

Solution 32

Como es una desigualdad de valor absoluto, podemos escribir lo siguiente

4 [ (1 x)] 14 + 1 x 1

5 x 1x 1 5x 4x 4

Ahora cuando el valor positivo

4 (1 x) 14 1 + x 1

3 + x 1x 2

2

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luego la solucin es(1;2] [ [4;1)

Podemos ver este resultado grcamente

4 j1 xj 1

33. El valor de x2 + y2 es igual a:

Solution 33

Recordemos la denicin de valor absoluto

jaj =

8 0a si a < 00 si a = 0

Aplicando dicha denicin entonces x2 + y2 = x2 + y2=

x2 + y2

3

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34. El conjunto solucin de j2x 3j= jx+ 5j es:

Solution 34

Recordemos que si

jxj = jyj ! x = y x = y

Teniendo esto presente podemos escribir

j2x 3j = jx+ 5j! 2x 3 = x+ 5! 2x x = 5 + 3! x = 8

j2x 3j = jx+ 5j! 2x 3 = (x+ 5)! 2x 3 = x 5! 2x+ x = 5 + 3! 3x = 2

! x = 23

luego tenemos que la solucin es 23 ; 8

.

35. El valor necesario de n para obtener el quinto nmero primo en 1+2+22+23 + + 2n es igual a:

Solution 35

Recordemos que los primeros nmero primos son

2 3 5 7 11 13 17 19# # # # # # # #1ro 2do 3ro 4to 5to 6to 7mo 8vo

luego el quinto nmero primo es 11: Por otro lado evaluemos la suma

1 + 2 + 22 = 7

4

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adems

11 = 7 + 4 = 7 + 22

= 1 + 2 + 22 + 22

De estos resultados podemos concluir que no existe un entero n en 1 + 2 +

22+23+ +2n de manera tal que el resultado sea 11:(no existe n 6= 2; obsrveseque n es creciente en la sucesin 0; 1; 2; 3; 4; 5; : : :)

36. En el ao 1982 la edad de la tierra era de 1:3 1017 segundos y la de lapirmide de Keops, 1:5 1011 segundos. La diferencia de edad entre latierra y la pirmide en notacin cientca es:

Solution 36.

Teniendo presente la denicin de notacin cientca

a = c 10n; donde 1 c < 10; y n entero

y las propiedades de los exponentes podemos escribir

1:3 1017 = 1:3 1011+6

= 1:3 106 1011

= (1300 000) 1011

Calculando la diferencia tendramos

1:3 1017 1:5 1011 = (1300 000) 1011 1:5 1011

= (1300 000 1:5) 1011

= (1299998:5) 1011

=1:2999985 106

1011

= 1:2999985 1017

37. La luz recorre aproximadamente 3 105km por segundo. Cuntos metrosrecorrer en 365 das? El resultado en notacin cientca es:

5

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Solution 37

De la fsica sabemos que

!v = dt

d = !v t ()

Primero reescribimos la velocidad 3 105km=s a metros por segundos

3 105 kms

= 3 1051000m

1s

= 3 105

103m

1s

3 108m=s

luego el tiempo 365 das a segundos

1 da 86400 segundos365 das d

d =(365) (86400 seg)

1

d = 31536000seg

d = 3:1536000 107 seg

Aplicando la ecuacin ()

d =3 108m=s

3:1536000 107 s

= (3 3:1536000)

108m=s 107 s

= 9:4608 1015m

38. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3105km=s: La estrella mscercana a la tierra est a 4300 aos luz de distacia. La distacia en km yescrita en notacin cientca es:

6

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Solution 38

Por el ejercicio anterior sabemos que un ao tiene 3:1536000107 seg, luegoun ao luz es la distancia que recorre la luz durante todo un ao, esto es

1 ao luz =3 105km=s

3:1536000 107 s

= (3 3:1536000)

105km=s 107 s

= 9:4608 1012km

Luego como se trata de 4300 aos tenemos que

(4300)9:4608 1012km

=

4:300 103

9:4608 1012km

= (4:300 9:4608)

103 1012km

= 40:68144 1015km= 4:068144 1015km

Nota: la estrella ms cercana a la tierra es el sol a 0:0000158125 aos luz dedistancia, seguida por Prxima Centauri (V645 Centauri) a 4:2420(16) aos luzde distancia.

39. Segn la constante de Avogadro, 22:4 litros de cualquier gas, en condicionesnormales equivale a 6:021023 molculas de ese gas. Una persona inspira3:36 litros de aire y tarda, en la inspiracin, 2 segundos. Cuntas molcu-las de aire ha inspirado por cada segundo? D la respuesta en notacincientca.

Solution 39

Podemos plantear una regla de tres para resolver el problema, como sigue

22:4 litros 6:02 1023 molculas3:36 litros x

resolviendo para x tenemos

x =(3:36 litros)

6:02 1023 molculas

22:4 litros

x =20:2272 1023 molculas

22:4

x = 0:903 1023 molculas

7

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en notacin cientca

x = 9:03 1022 molculas

en un segundo tendramos

9:03 10222

= 4:515 1022 molculas

40. El nmero de tomos de hidrogno en un mol es la constante de Avogadro,6:02 1023. Si un mol del elemento tiene 1:01 gramos de masa, la masade un tomo de hidrognos es:

Solution 40

Del enunciado del problema podemos establecer las siguientes relaciones

1 mol 6:02 1023 nmero de tomos de hidrogno1 mol 1:01 gramos de masa

luego podemos deducir que la masa de un tomo de hidrogno es

1:01

6:02 1023 =1:01

6:02 11023

= 0:16777 1023

= 1: 677 7 1024

esto es, el total de la masa entre el nmero de tomos.

8

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Teora de Conjuntos

1. Dadas las expresiones:

I. 3 =2 f1; 2; 3g

II. 14 21; 12 ;

13 ;

14

III. 0 2

IV. El conjunto fx 2 R : 2 x < 5g est escrito por comprensin y es im-posible describirlo por extensin.

V. ffgg = fg

Podemos armar que:a) Todas son falsas b) Solamente II y IV son verdaderasc) Todas son verdaderas d) Solamente la II es verdadera

Solucin

La relacin de pertenencia 2; se establece de un elemento a un conjunto. As2 se lee: pertenece a y =2 se lee no pertenece a:

I. Por lo anterior esta proposicin es falsa, ya que 3 est en el conjunto f1; 2; 3g :

II. Esta proposicin es verdadera, ya que se puede ver que 14 est en el conjunto1; 12 ;

13 ;

14

III. Esta proposicin es falsa ya que representa el conjunto vaco (que es el

que no tiene elementos).

IV. Esta proposicin es verdadera, ya que el conjunto fx 2 R : 2 x < 5gtiene innitos elementos.

V. Esta proposicin es falsa, ya que el conjunto ffgg posee el elemento fg ; yel conjunto fg representa el conjunto vaco.

R. b)

2. Si F = f0; f1; 2gg ; entonces el nmero de subconjuntos de F es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8

El nmero de subconjuntos de F = f0; f1; 2gg son:

; f0g ; ffa; bgg ; f0; f1; 2gg

R. c)

1

Grupo Matagalpino de Matemticas "Los Karamazov"[email protected]@[email protected]

3. Sean A = fa; b; cg y B = fa; b; c; dg y las proposiciones:

I. A 2 B

II. d 2 B

III. b A

IV. 2 A

V. fag 2 A

De stas, las formuladas incorrectamente son:

a) Todas b) I, III, IV y V c) II d) Ninguna

La operacin de inclusin (;) se establece slo entre conjuntos.

I. Esta proposicin es falsa ya que la relacin que se establece es de pertenenciay A y B representan conjuntos.

II. Esta proposicin es verdadera ya que se puede ver que d est en el conjuntoB y la relacin que se establece es de pertenencia (2):

III. Esta proposicin es falsa ya que b es un elemento y la operacin que seestablece es de inclusin (;).

IV. Esta proposicin es falsa ya que representa el conjunto vaco, y la relacinque se establece es de pertenencia (2).

V. Esta proposicin es falsa ya que fag es un conjunto y la relacin que seestablece es de pertenencia (2):

R. b)

4. El conjunto A = fx 2 Nj0 x < 5g escrito por extensin es:

a) f0; 1; 2; 3; 4; 5g b) f1; 2; 3; 4g c) f0; 1; 2; 3; 4g d) f1; 2; 3; 4; 5g

Contando los nmeros que cumplen con la condicin de ser naturales y 0 x < 5; se tienen: 0; 1; 2; 3; 4: As A = f0; 1; 2; 3; 4g :

R. c)

5. Sean A = f; ; ; g y B = f; ; "; ; g : Entonces es cierto que:

2


a) A B b) A 2 B c) 2 A \B d) 2 A [B

Puede verse que A [ B = f; ; ; ; ; "; ; g, entonces es cierto que 2A [B: Como A \B = fg ; es cierto que 2 A \B:

6. Dados los conjuntosM = fxjx es una vocalg ; N = fxjx es una letra del alfabetogy P = fxjx es una letra de la palabra "oscuridad"g : Entonces (M \N)[P es igual a:

a) fa; i; o; ug b) fs; c; r; dg c) fa; i; o; u; s; c; r; dg d) fa; i; o; s; c; r; e; d; ug

M \ N = fa; e; i; o; ug ; P = fo; s; c; u; r; i; d; ag : Entonces (M \ N) [ P =fa; e; i; o; u; c; d; s; rg

R. d)

7. Dados los conjuntos A = f1; 3; 5g ; B = f5; 4; 3; 2; 1g y C = f3; 6; 2g : Expre-samos:

I. B

II. A \B = f3g

III. A [ C = B

IV. A \B \ C = f3g

De estas armaciones, son ciertas:

a) Todas b) Solo II c) Solo I y IV d) Solo I, III y IV

I. Esta proposicin es verdadera ya que es subconjunto de cualquier conjunto.

II. Esta proposcin es falsa ya que A \B = f1; 3; 5g :

III. Esta proposicin es falsa ya que A [ C = f1; 2; 3; 5; 6g

IV. Esta proposicin es verdadera porque efectivamente A \B \ C = f3g

R. c)

8. Si A = fa; b; c; d; ig ; B = fc; d; e; f; jg y C = fd; h; g; i; jg ; entonces el dia-grama de Venn que ilustra a estos conjuntos es:

3


En el diagrama (a) e; f estn en el conjunto C, por lo cual este diagrama nocumple la condicin que se pide.

En el diagrama (c) los elementos c; d; e; f; j son del conjunto B, y no delconjunto C; por lo cual este diagrama no representa la situacin.

En el diagrama (d) los elementos a; b; c; d; i son del conjunto A y no delconjunto B; por lo cual este diagrama no representa la situacin.

Nos queda entonces el diagrma (b), que como se ilustra es el satisface lascondiciones dadas.

R. b)

9. Si A = f1; 0; f1; 2gg ; entonces se arma:

I. 2 A

II. f0g 2 A

III. ff1; 2gg A

IV. 2 2 A

De tales armaciones las falsas son:

a) Solo la I b) Solo la I y II c) Solo la III d) Solo la I, II y IV

4


I. Esta proposicin es falsa ya que representa el conjunto vaco y la relacinque establecen es la de pertenencia (2):

II. Esta proposicin es falsa ya que f0g representa un conjunto y la relacinque establecen es la de pertenencia (2):

III. Esta proposicin es verdadera ya que la inclusin () establecida es entrelos conjuntos: ff1; 2gg y A:

IV. Esta proposicin es falsa porque f1; 2g es un elemento de A y slo el 2 noes elemento de A:

R. d)

10. En el lanzamiento de dos dados, se forma el conjunto A, denido por:

A = f(a; b) : a 2 N; b 2 N; a+ b = 6g

Cul es la cardinalidad del conjunto A?

a) 25 b)102

c) 5 d) 52

Observemos los pares ordenados (a; b) que se forman con el lanzamiento delos dos dados:

1 2 3 4 5 61 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

De estos, los pares que suman 6 son:

(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)

Por lo cual el conjuntoA est formado por los elementos: A = f(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)g :La cardinalidad de un conjunto es el nmero total de elementos que tiene el

conjunto. As, el conjunto A posee 5 elementos (que son los que cumplen con lacondicin a+ b = 6:

R. c)

5


11. Sea el conjunto A = fx 2 Z : jxj 3g escrito por comprensin, entonces sudescripcin por extensin es:

a) A = f1; 2; 3g b) A = f0; 1; 2; 3gc) A = f3;2;1; 0; 1; 2; 3g d) A = f2;1; 0; 1; 2g

Probando cada elemento que cumple con la condicin x 2 Z : jxj 3; setiene:

3 2 Z : j3j = 3 32 2 Z : j2j = 2 31 2 Z : j1j = 1 30 2 Z : j0j = 0 31 2 Z : j1j = 1 32 2 Z : j2j = 2 33 2 Z : j3j = 3 3

As, el conjunto A estara formado por los elementos: 3;2;1; 0; 1; 2; 3;por lo cual A = f3;2;1; 0; 1; 2; 3g :

R. c)

12. Dados los conjuntos ; f0g ; fg ; entonces la armacin verdadera es:

a) El primero y el tercero son iguales b) Cada uno es diferente de los otrosc) El primero y el segundo son iguales d) Todos son iguales

Aclaramos lo que representa cada conjunto dado: : representa el conjuntovaco. f0g : es un conjunto que tiene 1 elemento el 0: fg : es un conjunto quetiene un elemento el : As, analizamos cada proposicin dada:

a) Es falsa, ya que el conjunto fg tiene un elemento.

b) Es verdadera, ya que el conjunto f0g tiene como elemento al 0 y el conjuntofg tiene como elemento a :

c) Es falsa, ya que el conjunto f0g tiene un elemento.

d) Es falsa, ya que los conjuntos f0g y fg son diferentes.

R. b)

6


13. SeanM = f1; 2; 3; 4g ; N = f1; 2; 3; 4; 5g y L = f1; 2g : EntoncesN(M\L)es igual a:

a) f1; 2g b) f3; 4; 5g c) f1; 2; 3; 4; 5g d)

De los conjuntos dados y de la denicin de interseccin y diferencia deconjuntos se tiene:

M \ L = f1; 2gN (M \ L) = f3; 4; 5g

R. b)

14. Dados los conjuntosA = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog ; B =fxjx 6= xg ; C =

xjx2 = 9 ^ 2x = 4

; D = fxjx+ 8 = 8g donde x es un

nmero real, entonces podemos armar que:

a) Todos los conjuntos son iguales al vaco b) A = B = C = y D es unitarioc) Solamente A y B son conjuntos vacos d) Ninguno de los conjuntos es vaco

Escribimos por extensin cada uno de los conjuntos dados anteriormente:

A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog = : Ya que en el alfabetono hay una letra anterior a a:

B = fxjx 6= xg = : Ya que no hay nmero diferente a s mismo.

C =xjx2 = 9 ^ 2x = 4

= : Aqui x = 3 y x = 2; esto muestra que x no

puede ser a la vez estos tres nmeros.D = fxjx+ 8 = 8g : Entonces D = f0g

Por lo escrito anteriormente se puede armar que: A = B = C = y D esunitario.

R. b)

15. Sean los conjuntos numricos N;Z;Q y R: Entonces es cierto que

a) Q Z b) R Q c) Z R d) Z R

Solucin.

REcordemos la denicin de subconjunto

7


Denition 1 Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elemento de Apertenece a B, diremos que A est incluido en B, o que A es parte de B, o queA es un subconjunto de B, y escribimos A B:

A B () 8x : x 2 A =) x 2 B

En virtud de sta denicin podemos plantear.a) no es correcta puesto que existen nmeros que estn en Q pero no en Z;

por ejemplo 12 2 Q; pero12 =2 Z: b) no es correcta por un argumento anlogop

2 2 R; perop2 =2 Q; c) no es correcta porque 2 R; pero =2 Z; d) si es

correcto puesto que todos los nmeros enteros estn incluidos en los nmerosreales.

16. Sean las armaciones:

I. f1; 4; 3g = f3; 4; 1g

II. f1; 3; 1; 2; 3; 2g f1; 2; 3g

III. f4g 2 ff4gg

IV. f4g ff4gg

V. ff4gg

Entonces las correctas son:

a) Todas son correctas excepto la IV b) Solo I y IV son correctasc) Solamente I, II y III d) Solo la IV es correcta

Solucin.

I. Es correcto puesto que dos conjuntos son iguales si ambos se contienenmutuamente, es decir todos los elementos de uno estn en el otro, II. es correctaporque en un conjunto no importan las repeticiones esto es f1; 3; 1; 2; 3; 2g =f1; 2; 3g f1; 2; 3g ; III. es correcta puesto que la notacin en llaves indica quees un conjunto, f4g es un elemento del conjunto ff4gg y IV es incorrecta porquepara ser subconjunto la notacin es el elemento entre llaves, as ff4gg, V. escorrecta puesto que el conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto.

17. Sean los conjuntos

I. El conjunto de rectas paralelas al eje x:

II. El conjunto de letras del alfabeto.

8


III. El conjunto de nmeros que son mltiplos de 5.

IV. El conjunto de animales que viven en la tierra.

V. El conjunto de nmeros que son races de la ecuacin.

x35 + 42x23 17x18 2x5 + 19 = 0

VI. El conjunto de crculos que pasan por el origen.

De ellos podemos armar que:

a) Todos son nitos b) Todos son innitosc) Solo I, II y III son innitos d) Solo II, IV y V son nitos

Solucin.

La respuesta correcta es d) puesto que el alfabeto es nito (27 caracteres),las especies animales estn registradas por en grupos, familias y especies, y lassoluciones de la ecuacin x35+42x2317x182x5+19 = 0; estn determinadaspor el teorema fundamental del algebra, es decir que tiene exactamente 35 races.

18. Sean los conjuntos A = fa; b; c; dg ; B = ff; b; d; gg y las siguientes opera-ciones entre conjuntos.

I. A [B = ff; gg

II. A \B = fa; b; c; d; f; gg

III. AB = fa; b; cg

IV. B A = ff; b; gg

Entonces se arma que:

a) Todas son incorrectas b) Todas son correctasc) Solo III es correcta d) Solo IV es incorrecta

Solucin.

9


Recordemos las deniciones de algunas operaciones entre conjuntos

A [B = fxjx 2 A _ x 2 BgA \B = fxjx 2 A ^ x 2 BgAB = fxjx 2 A ^ x =2 Bg

En virtud de stas deniciones podemos escribir

A [B = fa; b; c; d; f; ggA \B = fb; dgAB = fa; cgB A = ff; gg

Luego resulta que todas son incorrectas.

19. El conjunto A es subconjunto del conjunto B si:

a) Al menos un elemento de A es elemento de B.

b) Todo elemento de A es elemento de B.

c) Ningn elemento de B est en A.

d) Algn elemento de B esten A.

Solucin.

De la denicin de subconjunto podemos establecer que b) es la correcta.

20. En el diagrama de Venn est sombreado una parte. La operacin sombreadaes:

a) B (A \ C) b) (A [B) \ (A [ C) c) (B \ C)A d) (A \B) [ (A \ C)

10


Solucin.

21. Si U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g ; A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g y B = f2; 4; 6; 8; 10g ;entonces ABes el conjunto:

a) f7; 8; 9; 10g b) f1; 3; 5g c) f8; 10g d) f7; 9g

Solucin.

Recordemos la denicn de complemento

A= fxjx 2 U ^ x =2 Ag

luego

A = f7; 8; 9; 10gB = f1; 3; 5; 7; 9g

AB = f8; 10g

22. Sea N = fxjx es un nmero naturalg ;Z = fxjx es un nmero enterog ;Q =fxjx es un nmero racionalg ;Q= fxjx no es racionalg y R = fxjx es un nmero realg :Seanlas siguientes proposiciones al respecto.

11


I. Los nmerosp3; ;

p7; e 2:7182 y

p2 son ejemplos de nmeros racionales.

II. Los nmeros 3.75, 2.131311313. . . , 25 yp144 son nmeros que se pueden

expresar como fracciones.

III. Q Q

IV. N Z Q R

De ellas las falsas son:

a) I y II b) II y III c) II y IV d) I y III

Solucin.

I. Es incorrecta puesto que todos esos nmeros son irraciones no perteneccena Q:II. Es correcta puesto que

3:75 = 3 + 0:75 = 3 +75

100= 3 +

3

4=15

4

2:131313 : : : = 2 + 0:131313 : : : = 2 +13

99=211

99

25 =25

1p144 = 12 =

12

1

III. Es falso puesto que 12 2 Q ^12 =2 Q

IV. Es correcta los nmeros naturales, enteros y racionales estn incluidosen los nmeros reales, los naturales en los enteros, los enteros en los racionales.

23. Dados los intervalos de nmeros reales M = [3; 5) ; S = (3; 8) ; T = [0; 4]y W = (7; 8] ; y las armaciones:

I. M S

II. S W

III. M [ S = S

IV. 7 2W

V. T W

VI. M \ T = T

12


Podemos concluir que:

a) Todas son falsas b) Las verdaderas son la II, V y VIc) Todas son verdaderas d) Solo la IV es verdadera

Solucin.

M S es falsa porque 3 2M ^ 3 =2 S: S W es verdadero, ntese quetodo elemento de S est incluido en W: M [S = S es falso porque 3 2M [Spero 3 =2 S: 7 2 W falso porque W es abierto por la izquierda luego nocontiene a ese extremo, es decir a 7: T W es verdadera todos los elementosde T estn en W: M \ T = T verdadero, ntese que todo T est contenido enM:

24. Sea U = fn 2 N : n 10g ; A = fx 2 U : x 5g ; B = f1; 4; 7; 10g y C =fx 2 U : x es par y menor que 8g : Entonces (A C) \ (C B)es:

a) f2; 6g b) f1; 3; 7g c) f1; 3; 5g d)

Solucin.

(A C) = f1; 3; 5g(C B) = f2; 6g(C B) = f1; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10g

(A C) \ (C B) = f1; 3; 5g

25. Dados los conjuntosA = fx : x 2 R; (x 1) (x 2) (x 3 = 0)g ; B =x : x 2 R; x2 1 = 0

:

La diferencia simtrica de A y C es:}

Solucin.

Recordemos la denicin de diferencia simtrica

A4B = (AB) [ (B A)= (A [B) (A \B)

13


Escribiendo los conjuntos A y B por extensin tenemos

A = f1; 2; 3gB = f1; 1g

luego tenemos que

(A [B) = f1; 1; 2; 3g(A \B) = f1gA4B = (A [B) (A \B) = f1; 2; 3g

26. Dado un conjunto cualquiera A, no es cierto que:

a) A \ =

b) A [ =

c) A [A = A

d) A \A = A

Solucin.

A [ = es falsa porque la unin exige que estn todos los elementos deambos conjuntos, por tanto A [ no puede ser vaco.

27. Sean los conjuntos arbitrarios A, B, C. Las siguientes leyes de conjuntostienen su nombre apropiado.

I. A [A Idempotencia

II. A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) Asociatividad

III. (A)= A Ley de involucin

IV. (A [B)= A\BLey de D Morgan.

De ellas:

a) Todas tienen su nombre correcto b) Solo la segunda es correctac) Solamente la II es incorrecta d) Todas son incorrectas

Solucin.

14


La nica incorrecta es la II, puesto que

A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) es la ley distributiva.

28. A = fx 2 Z : jx+ 3j 2g ; B =x 2 R : x es solucin de la ecuacin x2 7x 8 = 0

y C =

x 2 N : x2 x 56 = 0

: Entonces (B [ C) (A \B) = C

a) Eso es totalmente cierto b) Eso es totalmente falsoc) (B [ C) (A \B) = A d) (B [ C) (A \B) = B

Solucin.

En principio debemos escribir cada conjunto por extensin, as

A = fx 2 Z : jx+ 3j 2gDebemos entonces resolver la desigualdad jx+ 3j 2; aqu tenemos dos

casos:x+ 3 2 _ (x+ 3) 2

resolviendo la primera desigualdad tenemos

x+ 3 2x+ 2 3x 1

Para la segunda desigualdad

(x+ 3) 2x 3 2

x 2 + 3x 5x 5

as la solucin est en el intervalo

5 x 1

As,A = f5;4;3;2;1g

15


Al escribir B por extensin resulta

B =x 2 R : x es solucin de la ecuacin x2 7x 8 = 0

x2 7x 8 = 0

(x 8) (x+ 1) = 0(x 8) = 0 _ (x+ 1) = 0

x = 8 _ x = 1

B = f1; 8gC por extensin,

C =x 2 N : x2 x 56

:

x2 x 56 = 0(x 8) (x+ 7) = 0

(x 8) = 0 ^ (x+ 7) = 0x = 8 ^ x = 7C = f8g

Realizando las operaciones (B [ C) (A \B) = C

A = f5;4;3;2;1gB = f1; 8gC = f8g

B [ C = f1; 8gA \B = f1g

(B [ C) (A \B) = f8g = C

29. Dados A y B conjuntos cualesquiera, el resultado de (AB) \B es:

Solucin.

16


Obsrvese la parte sombreada que representa la diferencia y al conjunto B,es claro que no comparten elementos, luego su interseccin es vacia.

30. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmtica, 6 hombreaprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningn curso,hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sloaritmtica, cuntas mujeres aprobaron solo literatura?

Solucin.

Organicemos los datos en un tabla de doble entrada

aritmtica literatura ambos reprobados totalhombres 2 4 5 5 16mujeres 9 2 0 8 19total 11 6 5 13 35

Obsrvese que para completar la tabla, si 7 hombres aprueban literaturay 5 hombres aprueban ambos cursos, entonces slo 2 hombres deben aprobarnicamente el curso de aritmtica. De aqu resulta claro que nicamente dosmujeres aprueban literatura.

17


lgebra

1. Si los coecientes del polinomio a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1 cumplen larelacin de recurrencia a1 = 1; ak+1 = 3ak + 1; para k 1 entonces a5 esigual a:

Solucin

Usando el algortmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el nmero siguiente seobtiene multiplicando el anterior por tres y agregndole uno, as los coecientesseran:

a1 = 1

a2 = 3 (1) + 1 = 4

a3 = 3 (4) + 1 = 13

a4 = 3 (13) + 1 = 40

a5 = 3 (40) + 1 = 121

2. La expresin algebraica (x+ y)3 3x2y 3xy2 es igual a:

Solucin

Recordemos de los productos notables que

(x+ y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

entonces podemos escribir

(x+ y)3 3x2y 3xy2 =

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

3x2y 3xy2

=x3 + y3

+3x2y 3x2y

+3xy2 3xy2

= x3 + y3 + 0 + 0

= x3 + y3

1

Grupo matagalpino de matemticas "Los Karamazov"Gerardo Manuel Garca.Jolman E. Lpez M.Jos Augusto Siles R.

3. Si x4 y4 = z3 y x2 + y2 = 8; entonces z38 es igual a:

Solucin

Recordemos la diferencia de cuadrados

x2 y2 = (x+ y) (x y)

aplicando esto a la primera igualda tenemos

x4 y4 =x2 + y2

x2 y2

= z3

sustituyendo en esta ltima igualdad x2 + y2 = 8x2 + y2

x2 y2

= z3

(8)x2 y2

= z3

aplicando nuevamente diferencia de cuadrados

(8)x2 y2

= z3

(8) (x+ y) (x y) = z3

(x+ y) (x y) = z3

8

despejando y reordenando nos resulta que

z3

8= (x+ y) (x y)

4. Si x < 2; entonces jx 2j+ jx 3j es igua a:

Solucin

Si x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto denmero reales

f1; 0;1;2;3; :::g

2


en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un nmeronegativo, luego su valor absoluto ser

jx 2j = (x 2) = 2 x

Analogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier nmero de los quepuede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto

jx 3j = (x 3) = 3 x

Y nalmente la suma ser

jx 2j+ jx 3j = (2 x) + (3 x)= 5 2x= 2x+ 5

5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1se debe cumplir:

Solucin

Sean los polinomio de grado 2

a1x2 + a2x+ c

b1x2 + b2x+ c0

Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto esa1x

2 + a2x+ c1+b1x

2 + b2x+ c2= kx+ c3

entonces debe ocurrir quea1x

2 + b1x2= 0

(a2x+ b2x) = kx(c1 + c2) = c3

Es decir, que los terminos de x2 deben eliminarce

a1x2 + b1x

2 = 0

a1x2 = b1x2

a1 = b1

luego, los coecientes principales (los de x2) deben ser opuesto.

3


6. Dado el polinomio lineal f (x) = x 12 ; la suma f (x)+ fx+ 14

+ f

x+ 24

+

fx+ 34

es igual a:

Solucin

f (x) = x 12

f

x+

1

4

=

x+

1

4

12= x 1

4

f

x+

2

4

=

x+

2

4

12= x+ 0

f

x+

3

4

=

x+

3

4

12= x+

1

4

Luego la suma buscada es

x 12+ x 1

4+ x+ 0 + x+

1

4= 4x 1

2

7. Si multiplicamos n2 + 1 veces el nmero real a, el reultado nal es:

Solucin

La denicin de potencia nos dice que

nvecesz }| {a a a a a a = an

Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos

n2+1vecesz }| {a a a a a a = an

2+1

8. El polinomio p (x) = x3 x2 + x 1 se anula en 1, luego p (x) es divisiblepor.

Solucin

4


Teorema del factor: Un polinomio f(x) tiene un factor x c si y slo sif(c) = 0

Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que

p (1) = 13 12 + 1 1= 1 1 + 1 1= 0

entonces p (1) = 0; segn el teorema el polinomio tiene un factor (es divisiblepor) x 1: (sug. haga la divisin)

9. Las primeras 17 letras en la alineacin del genoma humano son

A C A A T G T C A T T A G C G A T

donde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consider-amos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto"yuxtaposicin", estas 17 letras pueden reducirse al monomio:

Solucin

Recordemos quenvecesz }| {

a a a a a a = an

Secuencia original

A C A A T G T C A T T A G C G A T

A C A2 T G T C A T 2 A G C G A T

Aplicando la propiedad conmutativa

C A A2 T T G C A A T 2 C G G A T

aplicando potenciacin

C A3 T 2 G C A2 T 2 C G2 A T

Aplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenacin

A A3 A2 C C C G G2 T 2 T 2 T

FinalmenteA6 C3 G3 T 5

5


10. Si x+ y = 1 y xy = 1, Cul ser el valor de x3 + y3?

Solucin

El cubo de un binomio es

(x+ y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

A partir de esto podemos escribir

(1)3= x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 ()

Por otro lado podemos calcular cada variable

xy = 1! x = 1y

xy = 1! y = 1x

Sustituyendo estas dos ltimas igualdades en () y reduciendo, tenemos

1 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2

1 = x3 + y3 + 3x21

x

+ 3

1

y

y2

1 = x3 + y3 + 3x+ 3y

1 = x3 + y3 + 3 (x+ y)

1 = x3 + y3 + 3 (1)

1 = x3 + y3 + 3

1 3 = x3 + y3

x3 + y3 = 2

11. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57: Determinar la sumaa+ b:

Solucin

6


Por simple inspeccin es facil notar que

25 = 32

52 = 25

25 + 52 = 32 + 25

25 + 52 = 57

a partir de este clculo podemos escribir que

a ! 2 y b! 5a+ b = 2 + 5

a+ b = 7

12. Dada la expresin algebraica x3y2+x2y2; los valores de x e y para obtener64 son:

Solucin

x3y2 + x2y2 = x2y2 (x+ 1) = 64

y2 =64

x2 (x+ 1)

Como 64 es un nmero par, entonces los nmero x y y deben ser nmerospares. Fijemos x = 2 (ntese que lo elegimos negativos, puesto que 64 tambinlo es )

y2 =64

x2 (x+ 1)

y2 =64

(2)2 (2 + 1)

y2 =64

(4) (1)

y2 =644

y2 = 16py2 =

p16

y = 4

7


Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuada

x3y2 + x2y2 = (2)3 (4)2 + (2)2 (4)2 = 64

luego los nmero buscados son x = 2 y y = 4:

13. Los valores naturales de x e y para la expresin 1 + x + xy + x2y2 d elmenor nmero par positivo son:

Solucin

El menor nmero par positivo es 2

1 + x+ xy + x2y2 = 2

x+ xy + x2y2 = 2 1x1 + y + xy2

= 1

1 + y + xy2 =1

x

y + xy2 =1

x 1

y + xy2 =1 xx

Ahora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser neg-

ativo, discriminando el numerador es fcil ver que x debe ser 1; as

y + xy2 =1 xx

y + y2 = 0

y (1 + y) = 0

y = 0 y = 1

Evaluando los nmeros x = 1 y y = 0 para comprobar

1 + x+ xy + x2y2 = 2

1 + 1 + (1) (0) + (1)2(0)

2= 2

1 + 1 = 2

2 = 2

8


14. Si a = 1; b = 3; c = 5; entonces

a+ b ja bjjaj+ jbj+ jcj

es igual a:

Solucin

Denition 1 El valor absoluto de un nmero real, a; representado por jaj ; sedene como sigue.

1) si a 0; entonces jaj = a:

2) si a < 0, entonces jaj = a:

a+ b ja bjjaj+ jbj+ jcj =

(1) + 3 j(1) 3jj1j+ j3j+ j5j

=(1) + 3 j4jj1j+ j3j+ j5j

=2 4

1 + 3 + 5

= 29

15. La expresin 3pan3+3n2+5n+3; a 2 R y n 2 N; es:

Solucin

Por la propiedad de la potencia ax+y = ax ay, podemos escribir3pan3+3n2+5n+3 =

3pan3+5n+3n2+3

=3pan3+5n 3

pa3n2 3

pa3

=3pan3+5n an

2

a ()

la anterior simplicacin nos acaba de arrojar luz sobre los dos ltimos radi-cales, los cuales tiene raiz cbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica

3pan3+5n

Tomemos el exponente n3+5n; si evaluamos n para algunos casos obtenemos:

9


n n3 + 5n1 ! 13 + 5 (1) = 1 + 5 = 62 ! 23 + 5 (2) = 8 + 10 = 183 ! 33 + 5 (3) = 27 + 15 = 424 ! 43 + 5 (4) = 64 + 20 = 84

Si observamos la tabla anterior, podemos ver que la expresin n3+5n siempreda un nmero mltiplo de 3, esto es

3jn3 + 5n! n3 + 5n = 3k ()

luego en el radical3pan3+5n =

3pa3k = ak

Esto signica que la expresin 3pan3+3n2+5n+3 es raz cbica exacta.

Nota: Demostracin de 3jn3 + 5n 8n 2 N

Aplicaremos el principio de induccin matemtica sobre n:

3jn3 + 5n es equivalente a n3 + 5n = 3k

Para n = 1; tenemos 13 + 5(1) = 6 = 3 2, de donde 3jn3 + 5n es verdaderopara n = 1:

Hiptesis inducctiva 3jn3 + 5n 8n 2 N es verdadero.

Tesis de induccin 3j (n+ 1)3 + 5 (n+ 1) 8n 2 N

(n+ 1)3+ 5 (n+ 1) = n3 + 3n2 + 3n+ 1 + 5n+ 5

=n3 + 5n

+3n2 + 3n

+ 6

n3 + 5n

es mltiplo de 3 por hiptesis de induccin,

3n2 + 3n

= 3

n2 + n

es evidente que es mltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma detres mltiplos de 3 es un mltiplo de 3; esto es 3j (n+ 1)3+5 (n+ 1) 8n 2 N es

verdadero.

16. Las races de la ecuacin ax2 + bx+ c = 0 sern recprocas si:

Solucin

10


Supongamos las races x1 y x2; ambas races de la ecuacin dada, ahoravamos a reducir la ecuacin dada, as

ax2 + bx+ c = 0a

ax2 +

b

ax+

c

a= 0

x2 +b

ax+

c

a= 0 ()

la ecuacin () es la ecuacin reducida de la ecuacin ax2 + bx + c = 0;obsrvese que la ecuacin () es de la forma

x2 + px+ q = 0

y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos nmeros quemultiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus races, digamosx1 y x2; entonces

x1 x2 = qx1 + x2 = p

Aqu podemos tomarb

a= p

c

a= q

Si la condicin es que x1 = 1x2 , es decir que sean recprocas las races,entonces

x1 =1

x2! x1 x2 = 1

x1 x2 = q = 1c

a= 1

c = a

17. Si n es un entero positivo, la igualdadm4 km2n+ n2

n=m2 n

2nse cumple si k toma el valor:

Solucin

Apliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, ashm2 n

2in=m4 2m2n+ n2

n11


ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente tenamosm4 km2n+ n2

n=m4 2m2n+ n2

nraz n-sima a ambos lados y listo

n

q(m4 km2n+ n2)n = n

q(m4 2m2n+ n2)n

m4 km2n+ n2 = m4 2m2n+ n2

k = 2

18. El producto (px+ y +

px+ y z) (px+ y px+ y z) es igual a:

Solucin

Obsrvese con atencin que lo que tenemos es una diferencia de cuadradosde la forma (a+ b) (a b) = a2 b2; luego al hacer el producto resultapx+ y +

px+ y z

px+ y

px+ y z

=

px+ y

2 px+ y z2= x+ y (x+ y z)= x+ y x y + z= z

19. El coeciente del trmino lineal del producto (ax b) (cx+ d)x es:

Solucin

Si hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresin

(ax b) (cx+ d)x = acx3 + adx2 bcx2 bdx= acx3 + (ad bc)x2 bdx

aqu el trmino lineal es bdx; luego su coeciente es bd:

Observacin:

12


Si el producto es simplemente (ax b) (cx+ d) ; omitiendo la x que apareceal nal tendriamos

(ax b) (cx+ d) = acx2 bd+ adx bcx= acx2 + (ad bc)x bd

en este caso el trmino lineal es (ad bc)x; luego su coeciente es ad bc:(esta es la respuesta de la gua, tenga en cuenta la aclaracin)

20. Si 2 es raz del polinomio x3 x2 14x + 24, entonces la factorizacincompleta de ste es:

Solucin

Theorem 2 Un polinomio f (x) tiene un factor x c si y slo si f (c) = 0

Si 2 es raz de x3x214x+24; entonces anula al polinomio cuando x = 2:As podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x 2:Hacemos ahora la divisin

x3 x2 14x+ 24 x 2

resulta como cociente el polinomio x2 + x 12; luego podemos escribir

x3 x2 14x+ 24 = (x 2)x2 + x 12

= (x 2) (x+ 4) (x 3)

lo cual es su factorizacin completa.

21. El polinomio x4 1 se descompone completamente en el producto de:

Solucin

Note que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadrados

x4 1 =x2 1

x2 + 1

luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadrados

x4 1 =x2 1

x2 + 1

= (x 1) (x+ 1)

x2 + 1

as la descomposicin completa de x4 1 es el producto de 3 binomios.

13


22. La factorizacin de (x+ 1)3 + (y + 6)3 es:

Solucin

Apliquemos la factorizacin para la suma de cubos

a3 + b3 = (a+ b)a2 ab+ b2

(x+ 1)3+ (y + 6)

3= (x+ 1 + y + 6)

h(x+ 1)

2 (x+ 1) (y + 6) + (y + 6)2i

= (x+ y + 7)h(x+ 1)

2 (x+ 1) (y + 6) + (y + 6)2i

luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado

(x+ 1)2= x2 + 2x+ 1

(x+ 1) (y + 6) = 6x y xy 6(y + 6)

2= y2 + 12y + 36

sumando y reduciendo trminos semejantes nos queda

(x+ 1)3+ (y + 6)

3= (x+ y + 7)

h(x+ 1)

2 (x+ 1) (y + 6) + (y + 6)2i

= (x+ y + 7)x2 + 2x+ 1 6x y xy 6 + y2 + 12y + 36

= (x+ y + 7)

x2 xy 4x+ y2 + 11y + 31

23. Un factor de 5t 12 + 2t2 es t+ 4 y el otro es

Solucin

Es suciente con hacer la divisin para encontrar el otro factor

2t2 + 5t 12 t+ 42t2 8t 2t 33t 123t+ 120

luego el cociente de esta diviin, 2t 3; es el factor buscado.

14


24. Si el producto de los monomios x2nyn y xmy es igual a x2y3; entonces losvalores de m y n son respectivamente:

Solucin

Haciendo el producto y aplicando la inyectividad de la funcin exponencial,tenemos

x2nyn(xmy) = x2y3

x2n+myn+1 = x2y3

como las bases son invariantes, resulta2n+m = 2n+ 1 = 3

resolviendo este sistema resulta,

n+ 1 = 3! n = 3 1n = 2

2n+m = 22 (2) +m = 24 +m = 2

m = 2 4m = 6

As, los nmeros buscados son, m = 6 y n = 2:

25. Para que la factorizacin de 2y2+9y s sea (2y + k) (y 2k) ; s y k debenvaler respetivamente:

Solucin

Hagamos el producto directo de (2y + k) (y 2k) ; esto es

(2y + k) (y 2k) = 2y2 3ky 2k2

Ahora igualando trmino a trmino los dos polinomios, resulta

15


2y2 + 9y s# # #2y2 3ky 2k2

como la factorizacin es nica resulta claro pensar que

3ky = 9y

k = 93

k = 3

s = 2k2

s = 2k2

s = 2 (3)2

s = 2 (9)

s = 18

luego s = 18 y k = 3:

26. El resultado de (am+n + bmn) (bmn am+n) es:

Solucin

Apliquemos la diferencia de cuadradosbmn + am+n

bmn am+n

=

bmn

2 am+n2= b(2)(mn) a(2)(m+n)

27. El producto deap2 b 13

3con

ap2 + b

13

3es igual a:

Solucin

Haciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resultaap2 b 13

3 ap2 + b

13

3=hap2 b 13

ap2 + b

13

i3

16


luego lo que est dentreo del corchete es una diferencia de cuadradoshap2 b 13

ap2 + b

13

i3=

ap22b13

23

a esta ltima expresin aplicamos el cubo del binomioap22b13

23=

ap223

3ap222

b13

2+ 3

ap22

b13

22b13

23= a6

p2 3a4

p2b

23 + 3a2

p2b

43 b2

28. Al simplicar la expresin

1

2 1x2

2x

1 + 1x

obtenemos:

Solucin

Resolvamos el denominador de la primera fraccin compleja

2 1x2=2x2 1x2

luego1

2 1x2=

12x21x2

=x2

2x2 1

Ahora resolvemos el denominador de la segunda fraccin compleja

1 +1

x=x+ 1

x

luego2x

1 + 1x=

2xx+1x

=2

x+ 1

17


nalmente

1

2 1x2

2x

1 + 1x=

x2

2x2 1 2

x+ 1

=x2 (x+ 1) 2

2x2 1

(2x2 1) (x+ 1)

=x3 + x2 4x2 + 2(2x2 1) (x+ 1)

=x3 3x2 + 2

(2x2 1) (x+ 1)

29. El inverso multiplicativo de la fraccin algebraicax2 + 1

2(x+ y)

(x4 1)2 (x2 y2)

en su forma ms simplicada es:

Solucin

El invero multiplicativo de esta fraccin es sencillamente el recproco, esdecir

x4 12

x2 y2

(x2 + 1)2(x+ y)

=

x4 1

x4 1

(x+ y) (x y)

(x2 + 1) (x2 + 1) (x+ y)

=

x4 1

x4 1

(x y)

(x2 + 1) (x2 + 1)

=

x2 + 1

x2 1

x2 + 1

x2 1

(x y)

(x2 + 1) (x2 + 1)

=x2 1

x2 1

(x y)

=x2 1

2(x y)

30. La expresin 2x1 + 3y1

5x1 7y1

1en su forma simplicada es:

Solucin

18


2x1 + 3y1

5x1 7y1

1=

5x1 7y12x1 + 3y1

= 5x

7y

2x +

3y

=

5y7xxy

2y+3xxy

=5y 7x2y + 3x

31. Si f (x) = 10x1 ; x1 = 1 +1k ; x2 = 1 +

1k2 ; donde k 6= 1; k 2 Z

+; entonces

Solucin

f (x) =10

x 1 ! f (x1) =10

1 + 1k 1=101k

= 10k

f (x) =10

x 1 ! f (x2) =10

1 + 1k2 1=101k2

= 10k2

luegof (x1) < f (x2)

32. Supongamos que x1 y x2 son las races de la ecuacin

ax2 + bx+ c; (a 6= 0)

la expresin1

x21+1

x22

expresada en funcin de las races, es igual a:

Solucin

Note antes que todo que la expresin puede reescribirse como

1

x21+1

x22=x22 + x

21

x21 x22()

19


La idea fundamental aqu ser calcular tanto numerador como denomiadorpor separado y luego realizar la divisin.Toda raz de una ecuacn cuadrtica puede escribirse en la forma

x =b

pb2 4ac2a

Luego para cada raz dada tenemos

x1 =b

pb2 4ac2a

(2ax1)2=

b

pb2 4ac

24a2x21 = 2b

2 4ac 2bpb2 4ac (1)

si consideramos la raz x1 eventualmente encontraremos al anlogo a lo an-terior, esto es

4a2x22 = 2b2 4ac 2b

pb2 4ac (2)

Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2)

4a2x21 = 2b2 4ac 2b

pb2 4ac

4a2x22 = 2b2 4ac 2b

pb2 4ac

4a2x21 + x

22

= 4b2 8ac (4)

a2x21 + x

22

= b2 2ac

Despus de todas esas simplicaciones encontramos que

x21 + x22 =

b2 2aca2

que es precisamente el numerador de () :

Ahora volvamos a considerar nuestra ecuacin original ax2 + bx + c; y en-contremos su ecuacin reducidad dividindola toda por a:

ax2 + bx+ c ! aax2 +

b

ax+

c

a

! x2 + px+ q

20


con p = ba y q =ca ; si x1 y x2 son races de la ecuacin original, tambin lo

son de su ecuacin reducida. Recordemos que al resolver la ecuacin reducidapor factorizacin encontramos que

x1 x2 = qx1 + x2 = p

la primera de estas condiciones es lo que necesitamos

x1 x2 = q ! (x1 x2)2 = q2

(x1 x2)2 = ca

2! x21 x22 =

c2

a2

y as tenemos el denominador de nuestra esxpresin () ; nalmente

1

x21+1

x22=x22 + x

21

x21 x22=

b22aca2

c2

a2

=

b2 2ac

c2

21


33. Sir + 1r

2= 3 entonces r3 + 1r3 es igual

Solucin. Consideremos el desarrollo der + 1r

3esto es

r +1

r

3= 3r +

3

r+1

r3+ r3

=

r3 +

1

r3

+ 3

r +

1

r

()

Ahora consideremos la expresinr + 1r

3como sigue

r +1

r

3=

r +

1

r

2r +

1

r

la expresin al cuadrado es 3; as, podemos escribirr +

1

r

3= 3

r +

1

r

Igualando esta ltima expresin con () ; resultar3 +

1

r3

+ 3

r +

1

r

= 3

r +

1

r

r3 +

1

r3

= 3

r +

1

r

3

r +

1

r

r3 +

1

r3

= 0

34. El valor de la expresinq24px4 + y4 es:

Solucin. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los ndicesde los radicales, es decir, n

pmpx = nm

px; luegoq

24px4 + y4 = 22

qpx4 + y4

= 4 4px4 + y4

22


35. La racionalizacin del denominador de la expresin

1

x23 y 23

da como resultado:

En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales

1

x23 y 23

=1

3px2 3

py2

como la expresin a racionalizar es un radical de ndice 3, multiplicaremosnumerador y denominador por la expresin 3

px4 + 3

px2y2 + 3

py4; esto es

13px2 3

py2

=1

3px2 3

py2

3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

=3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

3px2 3

py2

3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

=3px4 + 3

px2y2 + 3

py4

x2 y2

=x43 + x

23 y

23 + y

43

x2 y2

36. La simplicacin de la expresin

6

q(x y + z)2 6

r1

x y + z 1

46px y + z +

px y + z 3

px y + z

da como resultado:

Solucin. Como la expresin no tiene parntesis, entonces tomamos en cuentalos ordenes de prioridad, primero divisin y multiplicacin luego suma yresta.

6

q(x y + z)2 6

r1

x y + z 1

46px y + z +

px y + z 3

px y + z

6

r1

x y + z (x y + z)2 1

46px y + z + 6

q(x y + z)3 6

q(x y + z)2

6px y + z 1

46px y + z + 6

px y + z

2 6px y + z 1

46px y + z

7

46px y + z

23


37. La expresinn2pa a33 a53 a(2n1)3 es igual a:

sugerencia: 13 + 33 + + (2n 1)3 = n22n2 1

Solucin. La cantidad subradical es un producto de potencias de la misma

base, as que podemos escribir

n2pa a33 a53 a(2n1)3 = n

2pa13+33++(2n1)

3

=n2pan2(2n21)

=n2qa(2n21)

n2= a(2n

21)

38. La raz quinta de la raz cuarta de la raz cuadrada de la raz cuadrada dea2 + b2

es igual a:

Solucin. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje comn, y procedemosanidando las raices hacia atras.

5

s4

rqp(a2 + b2) = 80

p(a2 + b2)

=a2 + b2

180

39. Dadas las ecuaciones 2x+ 3y = 4 y 2kx+ 3ky = 4k; k 6= 0; el conjunto detodas las soluciones es:

Solucin. La segunda ecuacin es mltiplo de la primera en un factor k; asestas sern rectas paralelas. Luego

2x+ 3y = 4

3y = 4 2x

y =4 2x3

x; puede tomar valores arbitrarios y los de y estn determinados por y =42x3 : As, el conjunto solucin ser

x; 42x3

: x 2 R

y = 42x3

24


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

40. El conjunto solucin del sistema de ecuaciones es:jx 1j+ jy 5j = 1y jx 1j = 5

Solucin. Recordemos la denicin de valor absoluto

jaj =

a; si a = 0a; si a < 0

Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos.Primero que los valores absolutos sean positivos

(x 1) + (y 5) = 1y (x 1) = 5

Reduciendo x+ y = 7y x = 4

resolviendo este sistema por eliminacin

2y = 11

y =11

2

si y = 112 ; entonces

x+ y = 7

x = 7 y

x = 7 112

x =3

2

25


sol.32 ;

112

La segunda combinacin es

jx 1j+ jy 5j = 1 (x 1) + (y 5) = 1

x+ 1 + y 5 = 1x+ y = 5

Para la segunda ecuacin

y jx 1j = 5y [ (x 1)] = 5

y + x 1 = 5x+ y = 6

As formamos el sistema de ecuacionesx+ y = 5x+ y = 6

eliminando x; resulta

2y = 11

y =11

2

si y = 112 ; entonces

x+ y = 6

x = 6 y

x = 6 112

x =1

2

luego, sol.12 ;

112

La solucin al sistema original es

32 ;

112

;12 ;

112

:

41. Hallar tres nmeros, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en lamisma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el productode los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.

Solucin. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico

26


x1 : primer nmero

x2 : segundo nmero

x3 : tercer nmero

x2 > x1 y x3 > x2x2x1

=x3x2

x1 x2 = 85 (1)x2 x3 = 115 (2)

Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primerodividamos las dos ecuaciones

x2 x3x1 x2

=115

85x3x1

=23

17

x3 = x1

23

17

()

Por otro lado consideremos la proporcin

x2x1

=x3x2

x22 = x1 x3 ()

Sustituyendo () en () resulta

x22 = x1

x1

23

17

x22 = x

21

23

17

x2 = x1

r23

17()

27


Sustituyendo () en (1)

x1 x2 = 85

x1

x1

r23

17

!= 85

x21 r23

17= 85

x21 =85q2317

x1 =

vuut 85q2317

x1 = 8:5

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resulta

x1 x2 = 85(8:5) x2 = 85

x2 =85

8:5x2 = 10

x2 x3 = 115(10) x3 = 115

x3 =115

10x3 = 11:5

Sol. (8:5; 10; 11:5)

42. El sistema

kx+ y = 1x+ ky = 5

tiene solucin nica si:

Solucin. Recordemos que segn la regla de Cramer, un sistema de dos vari-ables tiene solucin nica si el determinante de la matriz de coecientesno es cero, esto es

28


k 11 k

6= 0

k 11 k

= k2 1 6= 0

k2 1 6= 0, esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y 1:k 6= 1;1

43. La suma de dos nmeros es 666 y si se divide el mayor entre el menor elcociente es 5 y el residuo 78. Dichos nmeros son:


x1 : primer nmero (mayor)

x2 : segundo nmero (menor)

x1 + x2 = 666 (1)

x1 = 5x2 + 78 (2)

x1 + x2 = 666

x1 5x2 = 78

Resolvemos el sistema por eliminacin, multilplicando por (1) la ecuacin(2) para eliminar x

x1 + x2 = 666

x1 + 5x2 = 78

6x2 = 588

x2 =588

6x2 = 98

Sustituyendo en (2)

x1 5x2 = 78x1 = 78 + 5x2

x1 = 78 + 5 (98)

x1 = 568

Sol.(568; 98)

29


44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si ste secalcula al dividir la edad mental por la edad cronolgica multiplicado por100, la edad mental de Einstein cuando public en 1905 su teora sobre elefecto fotoelctrico era:

Solucin. El coeciente intelectual (IQ), edad mental (EM) y la edad cronolg-ica (EC)

IQ =EM

EC 100

Si public su terora del efecto fotoelctrico en 1905 y segn su biografanaci en 1879; entonces su edad cronolgica era

1905 1879 = 26

Luego,

IQ =EM

EC 100

EM =IQ

100 EC

EM =170

100 26

EM = 44:2

45. Mi hijo es ahora tres veces ms joven que yo, pero hace cinco aos eracuatro veces ms joven. cuntos aos tiene?


x : edad actual del padre

y : edad actual del hijo

Planteamos el sistema x = 3y

x 5 = 4 (y 5)Simplicando

x 3y = 0 (1)x 4y = 15 (2)

Resolvemos por eliminacin, multiplicando por (1) la ecuacin (1) paraeliminar x:

30


x+ 3y = 0

x 4y = 15 (2)y = 15y = 15

luego, el hijo tiene 15 aos.

46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lopusieron todo en una cuenta que ascendi a 36 crdobas. Todos iban apagar por igual, pero tres de ellos se haban ido, por lo que a cada unole toc pagar 1 crdoba ms. cuntas personas conformaban el grupooriginal?

Solucin. Digamos que x representa el nmero de personas en el grupo

nx = 36 (n lo consumido por cada uno)

(x 3) (n+ 1) = 36 (se van 3 y agregan un crdoba)

Despejemos n de la primera ecuacin y sustituimos en la segunda, as

nx = 36 ! n = 36x

(x 3) (n+ 1) = 36 ! (x 3)36

x+ 1

= 36

! (x 3)36

x+ 1

= 36

! (x 3)36 + x

x

= 36

! (x 3) (36 + x) = 36x! 36x+ x2 108 3x = 36x! x2 3x 108 = 0

Llegamos a una ecuacin cuadrtica, factorizando resulta en

x2 3x 108 = 0(x 12) (x+ 9) = 0

x = 12 _ x = 9

tomamos la solucin positiva, as haban 12 personas.

31


47. Un hombre entr en la crcel para cumplir una condena. Para que sucastigo fuera ms duro no le dijeron cuanto tiempo tendra que estar alldentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le haba cadobien.

Preso:vamos! puedes darme una pequea pista sobre el tiempo que tendrque estar en este lugar?

Carcelero:cuntos aos tienes?

Preso: veinticinco

Carcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, qu da naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaos

Carcelero: Increble. tambin es el mo!. Bueno, por si te sirve de ayuda tedir (no es que deba, pero lo har) que el da que yo sea exactamente eldoble de viejo que t, ese da saldrs. cunto tiempo dura la condena delpreso?

Solucin.

Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto sera

x = 54

y = 25

Luego podemos establecer una relacin entre las edades

x y = 54 25x = 29 + y

recordemos, que el preso saldr cuando la edad del carcelero sea el doble quela del preso, es decir

2y = 29 + y

2y y = 29y = 29

lo que signica que saldr cuando tenga 29 aos, as la condena dura 4 aos.

32


48. La suma de las cuatro races de la ecuacin ax2+bx+c = 0 y ax2bx+c = 0;con a 6= 0 y b2 4ac > 0 es igual a:

Solucin. Las races de toda ecuacin cuadrtica estn dadas por

x =b

pb2 4ac2a

Para la primera ecuacin las races sern

x1 =b

pb2 4ac2a

Para la segunda ecuacin, tenemos

x2 = (b)

pb2 4ac

2a

Luego la direncia ser

x1 + x2 =

b

pb2 4ac2a

!+

b

pb2 4ac2a

!x1 + x2 = 0

49. El nmero de soluciones de la ecuacin x2 5 jxj+ 2 = 0; si x 6= 0 es:

solucin. Recordando la decin de valor absoluto podemos plantear lo sigu-iente

x2 5x+ 2 = 0x2 + 5x+ 2 = 0

hemos obtenido dos ecuaciones cuadrticas distintas, como cada una tiene 2soluciones, la ecuacin original poseer 4 soluciones.

50. Si x es un nmero real distinto de cero, la solucin de la proporcin jxj18 =x712 es:

33


Solucin.

jxj18

=x 712

12 jxj = 18 (x 7)12 jxj = 18x 126

12 jxj 18x+ 126 = 0

Por la denicin de valor absoluto, podemos plantear

12x 18x+ 126 = 012x 18x+ 126 = 0

Resolviendo la primera ecuacin

12x 18x+ 126 = 06x+ 126 = 0

6x = 126

x =1266

x = 21

Para el segundo caso

12x 18x+ 126 = 030x+ 126 = 0

30x = 126

x =12630

x =21

5

Evaluando la primera solucin en la proporcin resulta

jxj18

=x 712

j21j18

=21 712

21

18=

14

1221 12 = 18 14

252 = 252

34


Para la segunda solucin se obtiene 215

18

=215 712

21

40=

730

Lo cul es falso, as la solucin que verica la proporcin es x = 21.

51. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelve a encontrarse en la calle al cabode algunos aos. Despus de saludarse,

Daniel: cuntos hijos tienes?Arturo: Tres hijosDaniel: Qu edades tienen?Arturo: T mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36:

Daniel, despus de pensar durante algn tiempo, le dice a Arturo que necesitams datos.Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al nmero de la casa

que tenemos enfrente, Daniel mira el nmero de la casa que le indica Arturoy quedndose pensativo durante un par de minutos. No es posible!- responde,con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta unadato ms.Arturo: Perdona Daniel, olvid decirte que mi hija la mayor toca el piano.Daniel: En ese caso, ya s sus edades. Qu edades tienen los hijos de

arturo?

Solucin. Primero encontramos todas las triadas que multipliquen 36

1 9 4 = 363 3 4 = 362 2 9 = 362 6 3 = 366 6 1 = 3618 2 1 = 3612 3 1 = 3636 1 1 = 36

35


Ahora sumamos estos nmeros

1 + 9 + 4 = 14

3 + 3 + 4 = 10

2 + 2 + 9 = 13

18 + 2 + 1 = 21

12 + 3 + 1 = 16

36 + 1 + 1 = 38

2 + 6 + 3 = 11

6 + 6 + 1 = 13

No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer lasedades de tus hijos. Est exclamacin resulta porque l conoce el nmero dela casa, la decisin no se puede tomar porque el nmero debe ser el nmerorepetido 2 + 2+ 9 = 13 y 6 + 6+ 1 = 13; luego la mayor toca el piano, esto nosobliga a elegir (2; 2; 9) :

52. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45.cul es el mayor de esos tres nmeros?

Solucin. Si tenemos tres nmeros consecutivos entonces

x1 : 1er nmero

x1 + 1 : 2do nmero

(x1 + 1) + 1 : 3er nmero

Si su producto es 3360 entonces

(x1) (x1 + 1) (x1 + 2) = 3360

Su suma es 45; es decir

x1 + x1 + 1 + x1 + 2 = 45

3x1 + 3 = 45

3x1 = 45 3

x1 =42

3x1 = 14

36


Luego los nmero buscados son

x1 = 14

x1 + 1 = 15

x1 + 2 = 16

El mayor desde luego es 16:

53. Un autobs comienza su trayecto con cierto nmero de pasajeros. En laprimera parada descienden 13 de los pasajeros y suben 8: En la segundaparada descienden 12 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. Eneste momento, el autobs lleva la mitad del nmero de pasajeros de los quellevaba al principio del trayecto. cuntos pasajeros habia al principio?

Solucin.

Llamemos x al nmero de pasajeros que haba al inicio:

1ra parada quedan en el bus x 13x+ 8 =23x+ 8

2da parada quedan en el bus23x+8

2 + 2 =13x+ 6 =

x2

Luego resulta que;

1

3x+ 6 =

x

2x

2 13x = 6

3x 2x6

= 6

x = 36

54. En navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. Enesta ocasin las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero loshombres lo han repartido: La mitad han dado un regalo a sus compaerosy la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compaeras. Sabemosque el doble del nmero de mujeres excede en 6 al nmero de hombres. Sien total se han dado 38 regalos, cuntos empleados tiene la empresa?

37


Solucin.

Llamemos x al nmero de hombres de la empresa y y al nmero de mujeres,luego

Sabemos que el doble del nmero de mujeres excede en 6 al nmero dehombres

2y = x+ 6

Si las mujeres se dan un regalo mutuamente signica que una da un regalo alas dems, excepto a ella misma, as como hay y entonces el nmero de regalosque dan las mujeres sern.

y (y 1)En el caso de los hombres, la mitad han dado un regalo a sus compaeros y

la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compaeras. La mitad de loshombres dan un regalo asu compeero, excepto a si mismo, luego

x

2(x 1)

La otra mitad da un regalo a las mujeres, cada hombre da un regalo a cadamujer esto es,

x

2(y)

La ecuacin nal para los regalos es

y (y 1) + x2(x 1) + x

2(y) = 318

resolviendo esta ecuacin resulta

y2 y + x2

2 x2+xy

2= 318

2y2 2y + x2 x+ xy2

= 318

2y2 2y + x2 x+ xy = 636despejamos x de la primera ecuacin

2y = x+ 6

x = 2y 6y sustituimos

2y2 2y + x2 x+ xy = 6362y2 2y + (2y 6)2 (2y 6) + (2y 6) y = 636

2y2 2y + 4y2 24y + 36 2y + 6 + 2y2 6y = 6368y2 34y + 42 636 = 0

8y2 34y 594 = 04y2 17y 297 =

38


Aplicando la frmula general, tenemos

y = (17)

q(17)2 4 (4) (297)2 (4)

y =17

p289 + 4752

8

y =17

p5041

8

y =17 718

y1 =17 + 71

8=88

8= 11

y2 =17 718

=548

tomamos solucin y = 11; para el caso la que tiene sentido, sustituimos estaen la primera ecuacin para encontar x:

x = 2y 6x = 2 (11) 6x = 22 6x = 16

luego la solucin es 11 mujeres y 16 varones para un total de 27 personas.

55. Al resolver el sistema de ecuaciones respecto a x e y si (a b) 6= 0; a 6= 0^ b 6= 0; a 6= b

(a b)x+ (a+ b) y = 1 (1)

xab +

ya+b =

1a2b2 (2)

la solucin que se obtiene es:

Solucin.

Recordemos que a2 b2 = (a+ b) (a b) ; luego multiplicamos la ecuacinnmero (2) por a2 b2

39


((a b)x+ (a+ b) y = 1

(a2b2)xab +

(a2b2)ya+b =

1(a2b2)a2b2

(a b)x+ (a+ b) y = 1 (1)(a+ b)x+ (a b) y = 1 (2)

Ahora multiplicamos la ecuacin (1) por [ (a+ b)] y la ecuacin (2) por(a b) ; as

[ (a+ b)] (a b)x+ [ (a+ b)] (a+ b) y = [ (a+ b)](a b) (a+ b)x+ (a b) (a b) y = (a b)

Eliminando resulta [ (a+ b)] (a+ b) y = [ (a+ b)](a b) (a b) y = (a b)

ya2 2yab yb2 = a bya2 2yab+ yb2 = a b

4yab = 2by = 2b4aby = 12a

Sustituyendo para encontrar x

(a+ b)x+ (a b) y = 1

(a+ b)x+ (a b)1

2a

= 1

(a+ b)x = 1 (a b)2a

(a+ b)x =2a a+ b

2a

(a+ b)x =a+ b

2a

x =1

2a

As, la soluci al sistema es12a ;

12a

56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se aade un 5 a

la derecha el nmero resultante es divisible exactamente por un nmeroque sobrepasa en 3 al buscado, siendo el cociente igual al divisor menos16.

40


Solucin.

Llamemos x al nmero buscado, luego aadimos 5 a su derecha y resultax5: Ahora vamos a escribir estos nmero en su representacin decimal (con dosdgitos, de no resultar debe de seguirse con tres dgitos y as).

x = a1 10 + a0x5 = a1 102 + a0 10 + 5

Usando el algoritmo de la divisin (p = q k + r) resulta que:

a1 102 + a0 10 + 5 = (a1 10 + a0 + 3) (a1 10 + a0 13)= a20 + 20a0a1 10a0 + 102a21 102a1 39= 102a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a20 39

a1 102 + a0 10 + 5 = 102a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a20 39

Segnn este desarrollo decimal podemos igualar los sumandos, as

a1 102 = 102a1 (a1 1)1 = a1 1a1 = 2

a0 10 + 5 = 10a0 (2a1 1) + a20 39a0 10 + 5 = 10a0 (2 (2) 1) + a20 39a0 10 + 5 = 40a0 10a0 + a20 39a0 10 + 5 = 30a0 + a20 39

a20 + 20a0 44 = 0(a0 + 22) (a0 2) = 0

a0 = 22 _ a0 = 2

Para a0 tomamos el valor positivo as el nmero buscado es

x = a1 10 + a0x = (2) 10 + 2x = 20 + 2

x = 22

41


La solucin de mayor valor numrico de la ecuacin jxj+ x3 = 0 es:

Aplicando las propiedades del valor absoluto, podemos escribir para estaecuacin los casos que siguen:

jxj+ x3 = 0x3 = jxjx3 = x x3 = (x)

Resolviendo la primera ecuacin

x3 = xx3 + x = 0

xx2 + 1

= 0

x = 0 _x2 + 1

= 0

ntese que la ecuacinx2 + 1

= 0 no tiene solucin en los nmeros reales.

Para el segundo casos tenemos

x3 = (x) = xx3 x = 0

x(x2 1) = 0x = 0 _ x2 1 = 0

Resolviendo la ecuacin x2 1 = 0;

x2 = 1

x = 1 _ x = 1

Luego las soluciones de la ecuacin original son: 1 y 0; luego la solucinde mayor valor numrico es 0:

42


58. Para que la ecuacin x2 2x + k = 0 () no tenga solucin en R debecumplirse que:

Aplicando la frmula general para esta ecuacin tenemos

x = (2)

q(2)2 4 (1) (k)2

x =2

p4 4k2

x =2

p4(1 k)2

x =2 2

p(1 k)2

x = 1p(1 k)

Luego analizando el discriminantep(1 k); resulta que para que la ecuacin

() no tenga solucin debe ser k > 1; asp(1 k) =2 R:

59. Si los valores de R1; R2 y R3 representan resistencias en ohmios, al calcularel recproco de R2 utilizando la ecuacin 1R =

1R1+ 1R2 +

1R3se obtiene:

Se trata de despejar 1R2 de la expresin para la resistencia, as

1

R=

1

R1+1

R2+1

R31

R2=

1

R 1R1

1R3

60. Una solucin irracional de la ecuacinx2 + 1

2x2 8

x2

(x 2:5) = 0

es:

Recordemos que un nmero irracional es aquel que no puede expresarsecomo un cociente indicado de dos nmeros enteros, luego las soluciones de estaecuacin sern:

x2 + 1= 0

x2 = 1x =

p1

43


las cuales son soluciones imaginarias en los nmeros complejos.2x2 8

= 0

2x2 = 8

x2 =8

2

x2 = 4

x = p4

x = 2las cuales son soluciones reales.

x2

= 0

x2 =

x2 =

x = p

las cuales son raices irracionales, puesto que es irracional.

x 2:5 = 0x = 2:5

la cual es una solucin racional.

Por lo tanto una solucin irracional esp:

61. Calcular los valores de x en la siguiente ecuacin de segundo grado.

1 2bx a =

a2 b2a2 + x2 2ax

Primero simplicamos la expresin

a2 b2x2 2ax+ a2 +

2b

x a = 1

a2 b2

(x a)2+

2b

x a = 1

a2 b2 + 2b (x a)(x a)2

= 1

a2 b2 + 2b (x a) = (x a)2

a2 b2 + 2bx 2ba = x2 2ax+ a2

x2 2ax 2bx+ b2 + 2ab = 0x2 (2a+ 2b)x+

b2 + 2ab

= 0

44


En este punto aplicamos la frmula general para ecuaciones cuadrticas

x =(2a+ 2b)

q[ (2a+ 2b)]2 4 (1) (b2 + 2ab)

2

x =(2a+ 2b)

p4a2 + 8ab+ 4b2 4b2 8ab

2

x =(2a+ 2b)

p4a2

2

x =(2a+ 2b) 2a

2x = a+ b a

separando las raices resulta que

x1 = 2a+ b ^ x2 = b

62. Determinar la ecuacin de segundo grado cuyas races sean los cubos de lasde x2 + 2x 8:

Resolviendo esta ecuacin por factorizacin tenemos.

x2 + 2x 8 = (x+ 4) (x 2)(x+ 4) (x 2) = 0

(x+ 4) = 0 _ (x 2) = 0x1 = 4 _ x2 = 2x31 = 64 _ x32 = 8

Luego la ecuacin buscada debe tener por races a 64 y 8:

Consideremos la forma de una ecuacin cuadrtica factorizable

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