GUIA RESUELTA DE CÓNICAS

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Ingenier as: Aeroespacial, Civil y Qu mica. Matemticas I. 2010-2011. aDepartamento de Matemtica Aplicada II. a Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o aEjercicio 1. (1) Calcula la ecuacin de la parbola de eje horizontal que tiene por foco F = (2, 3) y o a pasa por el punto (1, 3). (2) Calcula la ecuacin de la elipse que pasa por el punto P = (4, 15 ) y tiene por focos los o 4 puntos F1 = (4, 2) y F2 = (2, 2). Determina sus elementos notables y dib jala. u (3) Calcula la ecuacin de la hiprbola que tiene por vrtices los puntos (1, 2) y (1, 6) y o e e pasa por el punto (3, 8). .......................................................................................... (1) Puesto que se trata de una parbola de eje horizontal, su ecuacin tipo es de la forma a o 2 (y ) = 2p(x) donde (, ) es el vrtice de la parbola. Puesto que el foco est en e a a el eje de simetr y = tiene que ser = 3 y el vrtice de la parbola tiene que ser a e a el punto dado, (1, 3), con lo cual = 1. Por otra parte, la directriz de la parbola a tiene que ser la recta vertical L x = 0. Por tanto, la parbola est formada por los a a puntos P = (x, y) que verican que

dist (P, F ) = dist (P, L)10

(x + 2)2 + (y 3)2 = |x| .4 x+y26 y+13 = 0

Y Haciendo operaciones tenemos (x + 2)2 + (y 3)2 = x2 4x + 4 + (y 3)2 = 0 (y 3)2 = 4 (x + 1) .8 6

4 y

Eje

F O

P =V

2

0

X2

4

12

10

8

6

4 x

2

0

2

4

......................................................................................... 1

R-2

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

(x )2 (y )2 + = 1 donde (, ) es el centro de la (2) La ecuacin-tipo de la elipse es o a2 b2 elipse. Puesto que el centro de una elipse es el punto medio de los focos tenemos, (, ) = Para que el punto P = (4, tiene que vericarse que15 ) 4

42 2+2 = (1, 2) . , 2 2

49 9 + 16 = 1. a2 b2 Por otra parte, puesto que el eje focal de la elipse es horizontal, y = 2, siendo c = 3 la semi-distancia entre los focos, tiene que vericarse que

(y 2)2 (x 1)2 + =1 est en la elipse de ecuacin e o a2 b2

a2 b2 = c2 = 9 = a2 = b2 + 9. Resolviendo el sistema de ecuaciones a2 = b2 + 9 9 9 + =1 2 a 16 b2 llegamos a la ecuacin 16b4 49b2 49 9 = 0. Resolviendo esta ecuacin tenemos o o 49 49 625 49 7 25 49 175 49 + 175 224 b2 = = = = b2 = = = 7. 32 32 32 32 32 Por tanto, la elipse tiene por ecuacin o6

(x 1) (y 2) + =1. 16 7 Adems de los focos y el centro ya citados, a otros elementos caracter sticos son:

2

2

Y P F1 C O F2 X

4

2

0

los ejes de simetr x = 1 e y = 2, a, los semiejes a = 4 y b = 7 y los vrtices, (1 4, 2), (1, 2 7), e (3, 2), (5, 2), (1, 2 7), (1, 2+ 7)). .........................................................................................2 4 6 6 4 2 0 x 2 4 6

(3) Puesto que los vrtices (y los focos) estn en una recta vertical, la ecuacin-tipo ser de e a o a la forma (x )2 (y )2 = 1 a2 b2 donde (, ) es el centro de la hiprbola, es decir, el punto medio de los vrtices (y los e e focos) 1+1 2+6 = (1, 4) . , C = (, ) = 2 2 Matemticas I. a Ingenier Aeroespacial, Civil y Qu as: mica

y

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

R-3

Los vrtices V2 = (1, 2) y V1 = (1, 6) y el punto dado P = (3, 8) tienen que vericar la e (x 1)2 (y 4)2 ecuacin de la hiprbola, o e = 1. Es decir, tiene que vericarse que a2 b20 a2 4 a2

4 b2 16 b2

= 1 = 1

.

Resolviendo se obtiene b2 = 4 y a2 = 4/3. Por tanto, la ecuacin de la hiprbola es o e (x 1)24 3

(y 4)2 = 1. 4

Adems del centro y los vrtices ya citados, los elementos notables de la hiprbola son: a e e Los ejes de simetr x = 1 (eje focal) e y = 4. a: Las as ntotas tienen por ecuacin, o (y 4)2 (x 1)2 (x 1)2 (y 4)2 = =0 y 4 = 3 (x 1) 4 a2 b2 4 3

=

y = +4 3x 3, y = 3x + 4 + 3.

Los focos. Si la ecuacin de la hiprbola (con centro (, )) es o e (x )2 (y )2 = 1 a2 b2

se verica que la distancia del centro a cada uno de los focos es c = a2 + b2 . 4 En nuestro caso tenemos que c = 4 + 4 = 16 = 3 . Por tanto, los focos son 3 34 y F2 = 1, 4 3 . Los semiejes son a = 2/ 3 y b = 2.

F1 = 1, 4 +

4 3

3 x2y26 x+8 y9 = 0 10

Y

F1 P

8

6

V14 y

2

V2 O F2

C X

0

2

4

6

4

2

0 x

2

4

6

8

Matemticas I. a

2010-2011

R-4 Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta:

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

(1) La ecuacin y 2 6x 4y 20 = 0 corresponde a: o X Una parbola cuyo vrtice es V = (4, 2). a e Una parbola cuyo eje es la recta de ecuacin y = 4. a o Dos rectas que se cortan en un punto. (2) La ecuacin 5x2 + y 2 = 1 corresponde a: o Una elipse con focos en el eje de abscisas. X Una elipse con focos en el eje de ordenadas. Una hiprbola. e (3) La cudrica x2 y 2 + z 2 + 4y + 6z + 13 = 0 verica: a X Tiene por centro C = (0, 2, 3). Contiene a la recta x 1 = y 2, z = 4. No tiene centro. .......................................................................................... (1) Puesto que la ecuacin se puede escribir como (y 2)2 = 6(x + 4). o ......................................................................................... (2) Puesto que la ecuacin dada es equivalente a o x2 y2 + = 1. 1/5 1 ......................................................................................... (3) Se trata de un Hiperboloide de dos hojas, x2 (y 2)2 + (z + 3)2 + 8 = 0 x2 (y 2)2 (z + 3)2 + = 1. 8 8 8

Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cnica o que es, sus elementos notables y su representacin grca: o a (1) 3x2 + 3y 2 + x + 5y + 1 = 0. (2) 3x2 3y 2 + x + 5y + 1 = 0. (3) 3y 2 + x + 5y + 1 = 0. .......................................................................................... Matemticas I. a Ingenier Aeroespacial, Civil y Qu as: mica

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a (1) Circunferencia de centro C = (1/6, 5/6) y radio r = 3 x+ 1 62 7 , 18 2

R-5

+3 y+

5 6

2

7 1 =0 x+ 6 6

+ y+

5 6

2

=

7 . 18

......................................................................................... (2) Puesto que la ecuacin dada es equivalente a o x+ 1 62

y

5 6

2

= 1,

se trata de una Hiprbola equiltera. Obtengamos sus elementos notables: e a 1 5 Centro x = , y = . 6 6 Los ejes de simetr son paralelos a los ejes coordenados, a x= 1 6 5 e y= . 6

Adems, el eje en el que estn los focos es el eje vertical x = 1/6. a a Los vrtices son los puntos de corte de la hiprbola con el eje x = 1/6, e e y5 2 6 5 6 5 = 1 = V1 = 1 , 6 + 1 = 1 , 11 , 6 6 6 5 1 V2 = 1 , 6 1 = 6 , 1 . 6 6

= 1 = y

Siendo c la semi-distancia entre los focos tenemos que c2 = a2 + b2 = 1 + 1 = 21 y, por tanto los focos son 6 , 5 2 6

1 5 1 7 1 5 1 17 = F1 = , 2 = , , F2 = , + 2 = , . 6 6 6 6 6 6 6 6 Las as ntotas estn dadas por la ecuacin a o x+ y, por tanto, son las rectas x+ x+ Matemticas I. a1 6 1 6

1 6

2

y

5 6

2

=0

= y

5 6 5 6

x y + 1 = 0, x+y2 3

= y

= 0. 2010-2011

R-6

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

3x 3y +x+5y+1=0 6

2

2

V14

Y

2

C

0

y

X2

4

V26 4 2 0 x 2 4 6

6

......................................................................................... (3) Puesto que al completar cuadrados en la ecuacin dada se obtiene o y+ 5 62

=

1 13 x , 3 12

5 se trata de una parbola con eje horizontal y vrtice V = ( 13 , 6 ). a e 123y2+x+5y+1=0 1

Y0.5

O0

X

0.5

y

F1

1.5

L1.5 1 0.5 0 x 0.5 1 1.5

2

Sus elementos notables son: Eje principal (de simetr y = 5/6. a): Eje secundario: x = 13/12. Foco (F ) y directriz (L). Para la parbola (y )2 = 2p(x ) se verica que a dist(V, L) = dist(V, F ) = Matemticas I. a |p| 1 = . 2 12

Ingenier Aeroespacial, Civil y Qu as: mica

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a Por tanto, la directriz y el foco son L x= 13 13 1 7 1 5 5 + = L x = y F = , = 1, . 12 12 6 12 12 6 6

R-7

Ejercicio 4. Determina, seg n los valores de R, el tipo de cnica que corresponde a u o cada una de las ecuaciones siguientes: (1) 2x2 + (2 1)y 2 2x + ( 1)y 3 = 0. (2) x2 + y 2 + x + 2y + 1 = 0. (3) x2 + (2 )y 2 2x 4y + 2 = 0. .......................................................................................... (1) 2x2 + (2 1)y 2 2x + ( 1)y 3 = 0. Para = 1, 2x2 2x 3 = 0 x =

1 7 2

(dos rectas paralelas).1 2 2

Para = 1, 2x2 2x 2y 3 = 0 1 22

Para = 1, podemos completar el cuadrado en y y se obtiene la euacin o 2 x Siendo 1 < 0 = + (2 1) y + 1 2( + 1)2

x

=y+

7 4

(parbola). a

=

15 + 13 . 4( + 1)

13 15

< 0 se obtienen los siguientes casos:

< 1 1 < < 0 = 0 0 < < 1 1 < elipse hiprbola e 2 rectas secantes hiprbola elipse e ......................................................................................... (2) x2 + y 2 + x + 2y + 1 = 0. Si = 0, x +1 2 2

Para = 0 puede completarse el cuadrado en y y se obtiene x+ Siendo 1 = 5 89 8

= 2 y 1 2

5 8

(Parbola). a

2

+ y+ 5+ 89 8

1

2

=

4 42 + 5 . 4

< 0 < 2 =

se obtienen los siguientes casos:

< 1 = 1 1 < < 0 0 < < 2 = 2 2 < hiprbola 2 rectas secantes hiprbola e e elipse 1 punto nada ......................................................................................... (3) x2 + (2 )y 2 2x 4y + 2 = 0. Para = 0, la ecuacin dada no es una cnica sino una recta, 2x 4y + 2 = 0. o o Matemticas I. a 2010-2011

R-8

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a Para = 1, completando el cuadrado en x, se obtiene una parbola, a (x 1)2 = 4 y 1 . 4

Para = 0, 1, podemos completar el cuadrado en x y el cuadrado en y. Queda la ecuacin o x 1 2

+ 2

y

2 2 2

2

=

22 + 3 + 3 . ( 1)

Dividendo todo por (= 0), x Siendo 1 = 3 33 4

1

2

+ ( 1) y

2 2

=

22 + 3 + 3 . 2 ( 1)

< 0 < 1 < = 3+4 33 , tenemos los siguientes casos:

Si > 2 , nada (elipse imaginaria), x2 + ( 1) y 2 = < 0. Si = 2 , se obtiene un punto. Si 1 < < 2 , se obtiene una elipse. S1 1 < < 1, = 0, tenemos una hiprbola, e x2 + ( 1) y 2 = = 0.

Para = 1 se obtienen dos rectas secantes x2 + ( 1) y 2 = 0. Si < 1 se obtiene una hiprbola. e Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de R para los que la siguiente ecuacin o corresponde a una circunferencia o a una hiprbola equiltera e a 2x2 + y 2 6x + 3y + = 0. .......................................................................................... Circunferencia = 2. Hiprbola equiltera = 2. e a Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no est en la recta. Tomando a como eje Y la recta L y como eje X la recta perpendicular a L que pasa por F , determina la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia o e a L y su distancia a F es constante e > 0, d (P, F ) = e. d (P, L) Comprueba que: (a) Si e = 1 dicho lugar geomtrico es una parbola. e a (b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geomtrico es una elipse. e Matemticas I. a Ingenier Aeroespacial, Civil y Qu as: mica

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a (c) Si e > 1 dicho lugar geomtrico es una hiprbola. e e

R-9

En cualquiera de los casos se trata de una cnica y se dice que e es su excentricidad y que o L y F son su directriz y foco respectivamente. En el caso de la parbola la directriz y el a foco son unicos y para la elipse y la hiprbola hay dos parejas foco-directriz. eObservacin. Notemos que con la denicin anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque o o sta pueda obtenerse como un caso l e mite. Siendo p = d(F, L) la distancia del foco a la directriz, tomando q = pe constante, cuando e 0+ (y p = q +) las elipses correpondientes tienden a e la circunferencia con centro el foco y radio q.

.......................................................................................... En el sistema de ejes considerado tenemos que L x = 0 y F = (p, 0). Dado un punto P = (x, y) tenemos d(P, F ) = (x p)2 + y 2, d(P, L) = |x| y por tanto la ecuacin dada es equivalente a (x p)2 + y 2 = e2 x2 . o Si e = 1 obtenemos la parbola de ecuacin y 2 = 2px p2 ( y 2 = 2p x a o Si 0 < e = 1 obtenemos 1 e2 Por tanto, Si 0 < e < 1 (1 e2 > 0) se trata de una elipse conp centro x = 1e2 , y = 0 , ejes paralelos a los ejes coordenados, |p|e semiejes a = (1e2 ) , b = |p|e 2 . 1e p 2

).

p x 1 e2

2

2 p x 1e2 p2 e2 y2 + y2 = + p2 e2 = 1. p 2 e2 1 e2 (e2 1)2 1e2

Si e > 1 (1 e2 < 0) se trata de una hiprbola con e

p centro x = 1e2 , y = 0 , ejes paralelos a los ejes coordenados, el eje sobre el que estn los focos (y los vrtices) es y = 0, a e

semiejes a =

|p|e ,b (e2 1)

=

|p|e . e2 1

Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuacin de la cnica que en o o coordenadas polares (r, ) viene dada por r= p . 1 + e cos()

Determina el tipo de cnica que se obtiene en funcin de e y los elementos notables respeco o tivos. .......................................................................................... Matemticas I. a 2010-2011

R-10

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

x = r cos() y = r sen()

= cos() = r=

x = (sustituyendo en la ecuacin dada) o r

p r 2 = (p ex)2 1 + ex r

(1 e2 )x2 + 2pex + y 2 p2 = 0. Completa cuadrados en la ecuacin obtenida para determinar el tipo de cnica, seg n los o o u valores de e, y sus elementos notables. Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cudria ca que es, sus elementos notables y su representacin grca: o a (1) x2 + 3y 2 + z 2 + 2x + 5y 2z + 1 = 0. (2) 3x2 + y 2 z 2 + x + 2y + 2z + 1 = 0. (3) x2 + y 2 + x + 4y + 3z 1 = 0. (4) x2 + y 2 + x + 4y z 2 1 = 0. (5) x2 + y 2 + x + 4y 1 = 0. (6) x2 y 2 + x + 4y 1 = 0. (7) x2 + x + 4y + 3z 1 = 0. (8) x2 y 2 + x + 4y + z 1 = 0. .......................................................................................... (1) Elipsoide, (x + 1)2 + 3 y + 5 2 37 + (z 1)2 = . 6 12 ......................................................................................... 1 2 11 (y + 1)2 + (z 1)2 = . 6 12 .........................................................................................

(2) Hiperboloide de 2 hojas, 3 x +

(3) Paraboloide el ptico, x +

1 2 21 + (y + 2)2 = 3 z . 2 12 ......................................................................................... 21 1 2 + (y + 2)2 z 2 = . 2 4 ......................................................................................... 1 22

(4) Hiperboloide de 1 hoja, x +

(5) Cilindro el ptico, x + Matemticas I. a

+ (y + 2)2 =

21 . 4 Ingenier Aeroespacial, Civil y Qu as: mica

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

R-11

......................................................................................... (6) Cilindro hiperblico, x + o 11 1 2 (y 2)2 = . 2 4 .........................................................................................

(7) Cilindro parablico, x + o

5 1 2 = 4y 3z + . 2 4 ......................................................................................... 1 22

(8) Paraboloide hiperblico, x + o

+ (y 2)2 = z +

11 . 4

Ejercicio 9. Determinar la ecuacin de las cudricas siguientes: o a z (1, 3, 2) z (1, 3, 2)

(1)

y (1, 3, 0) x

(2)

y (1, 3, 0) x

(1, 1, 0) (2, 3, 0) (1, 1, 0) (2, 3, 0) .......................................................................................... (1) La cudrica de la izquierda es un cono con vrtice el punto V = (1, 1, 0) y eje paralelo a e al eje OY . La ecuacin-tipo de este cono ser de la forma o a (y 1)2 = (x 1)2 (z 0)2 + . a2 b2

Seg n la gura, los puntos A = (2, 3, 0) y B = (1, 3, 2) estn en el cono y, por tanto, u a tienen que vericar su ecuacin, o A = (2, 3, 0) Cono 4 = B = (1, 3, 2) Cono 4 =1 a2 4 b2

a2 =

1 4

b2 = 1.

Por tanto la ecuacin pedida es (y 1)2 = 4(x 1)2 + z 2 . o ......................................................................................... (2) La cudrica de la derecha es un paraboloide el a ptico con vrtice V = (1, 1, 0) y eje e paralelo al eje OY . La ecuacin-tipo de este paraboloide el o ptico ser de la forma a y1= Matemticas I. a (x 1)2 (z 0)2 + . 2 2 2010-2011

R-12

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a Imponiendo que los puntos A = (2, 3, 0) y B = (1, 3, 2) veriquen la ecuacin anterior o 1 se obtienen 2 = 2 , 2 = 2. La ecuacin pedida es o y 1 = 2(x 1)2 + z2 . 2

Ejercicio 10. Determina, seg n los valores de R, el tipo de cudrica que corresponde u a a cada una de las ecuaciones siguientes: (1) 2x2 + (2 1)y 2 + z 2 + 2x + 5y 2z + 1 = 0. (2) x2 + y 2 + x + 2y + ( 1)z + 1 = 0. (3) x2 + (2 )y 2 + 3 z 2 + x + 4y 1 = 0. .......................................................................................... (1) Para = 1, paraboloide el ptico, 2 x+ 1 22

+ (z 1)2 = 5 y

1 . 10

Para 2 = 1, podemos completar los tres cuadrados y se obtiene la ecuacin o 2 x+ Por tanto, Si 2 > 1( > 1 < 1), tenemos un elipsoide. o 2 Si < 1(1 < < 1), tenemos un hiperboloide de dos hojas. ......................................................................................... (2) x2 + y 2 + x + 2y + ( 1)z + 1 = 0. Si = 0, tenemos un cilindro parablico, o x+ 1 22

1 2

2

+ (2 1) y +

5 2 1) 2(

2

+ (z 1)2 =

23 + 22 . 4(2 1)

3 = 2y + z . 4

Si = 0, completando cuadrados tenemos x+ 1 22

+ y+

1

2

= (1 ) z +

4 3 . 4(1 )

Si > 0( = 1), tenemos un paraboloide el ptico. Si < 0, tenemos un paraboloide hiperblico (silla de montar). o x = 1/2 Para = 1 tenemos una recta, y = 1 ......................................................................................... Matemticas I. a Ingenier Aeroespacial, Civil y Qu as: mica

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a (3) x2 + (2 )y 2 + 3 z 2 + x + 4y 1 = 0.

R-13

Para = 0 la ecuacin dada no es una cudrica sino un plano, x + 4y 1 = 0. o a 1 5 (x + )2 + z 2 = 4 y . 2 16

Para = 1, completando el cuadrado en x, se obtiene un paraboloide el ptico,

Para = 0, 1, podemos completar el cuadrado en x y el cuadrado en y. Queda la ecuacin o 1 x+ 22

+

2

2 y+ 2 2 2 2

2

+ 3 z 2 =

42 3 + 15 . 4( 1)

Diviendo todo por , x+ 1 22

+ ( 1) y +

+ 2 z 2 =

42 3 + 15 . 42 ( 1)

Puesto que 42 3 + 15 > 0, R (comprubalo), tenemos los siguientes e casos: Si > 1, tenemos un elipsoide x2 + ( 1) y 2 + 2 z 2 = > 0. Si < 1( = 0), tenemos un hiperboloide de dos hojas, x2 + ( 1) y 2 + 2 z 2 = < 0. Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuacin x2 + 4y 2 = 4 en el plano OXY . Determina o las ecuaciones de la parbola del plano OXZ que tiene como vrtice el punto (0, 0, 8) y pasa a e por los vrtices del semieje mayor de la elipse dada. e .......................................................................................... Los vrtices del eje mayor de la elipse dada son (x = 2, y = 0, z = 0). En el plano OXZ e la parbola citada tiene como ecuain-tipo x2 = 2p(z 8). a o V Imponiendo que pase por los puntos (x = 2, z = 0) del plano OXZ se obtiene p = 1/4 y por tanto la ecuacin de la parbola pedida o a 1 2 es x = 2 (z 8) en el plano OXZ. Sus ecuaciones en R3 son C z = 8 2x2 , y = 0.x2 +4y2 = 4

8

Matemticas I. a

2010-2011

R-14

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a

Ejercicio 12. (EC) Esboza y parametriza la curva determinada por la interseccin de las o siguientes supercies : (1) El plano y z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y 2 = 1. (2) El hemisferio esfrico x2 + y 2 + z 2 = 4, z 0, con el cilindro x2 + (y 1)2 = 1. e (3) El cono x2 + y 2 = z 2 con el plano 3z = y + 4. (4) Los paraboloides z = 2x2 + 2y 2 y z = 5 3x2 3y 2. .......................................................................................... (1)

Para parametrizar la curva de corte del plano y z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y 2 = 1 basta con parametrizar la circunferencia x2 + y 2 = 1 y obtener la coordenada z correspondiente de la ecuacin del plano. o x = cos() y = sen() z = y + 2 = 2 + sen() 0 2.

......................................................................................... (2) La proyeccin de la curva interseccin, del hemisferio esfrico x2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 con o o e el cilindro x2 +(y 1)2 = 1, sobre el plano OXY es la circunferencia x2 +(y 1)2 = 1 de dicho plano. Parametrizando esta circunferencia y obteniendo el correspondiente valor de z de la ecuacin de la esfera tenemos una parametrizacin de la curva interseccin o o o x = cos() y 1 = sen() z = + 4 x2 y 2 x = cos() y = 1 + sen() z = + 2 2 sen() , 0 2.

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R-15

El trozo de hemisferio delimitado por el cilindro puede parametrizarse mediante x = r cos() y 1 = r sen() z = + 4 x2 y 2 = 3 r 2 2r sen() 0r1 0 2

.

......................................................................................... (3) Para determinar la curva de corte del cono x2 + y 2 = z 2 con el plano 3z = y + 4 vamos a obtener la ecuacin de su proyeccin sobre el plano OXY . Es decir, de las dos o o ecuaciones en (x, y, z) vamos a obtener una ecuacin en (x, y). o x2 + y 2 = z 2 y = 3z 4 x2 + y 2 = x2 2 y+4 2 3

+

(y 1 )2 2 9/4

= 1.

Es decir, en el plano OXY tenemos una elipse que sabemos parametrizar y basta obtener la coordenada z correspondiente (de la ecuacin del plano o de la del cono, es o ms cmodo utilizar la del plano), a o x= y= z= 1 2

2 cos() 0 2.

3 + 2 sen()

y+4 3

=

1 2

(3 + sen())

\+ = ] Eje OZ &

El recinto encerrado por la elipse1 x2 (y 2 )2 + =1 2 9/4

] = [ +\

puede describirse como el formado por todas las elipses de la forma1 x2 (y 2 )2 + = r 2 , con 0 r 1. 2 9/4

Eje OY

Eje OX

(Los trozos de) las supercies S1 z 2 = x2 + y 2 y S2 y + 4 = 3z pueden Matemticas I. a 2010-2011

R-16

Tema 1 (Resultados).- Cnicas y Cudricas. o a parametrizarse de la siguiente forma, x = 2r cos() S1 y = 1 2 r sen() +3 2 z = + x2 + y 2 = S2 x = 2r cos() 3 y = 1 + 2 r sen() 2 1 z = 3 (y + 4) =

0r1 0 2 0r1 0 2

,

.

......................................................................................... (4) Obtenemos los puntos comunes a los paraboloides z = 2x2 + 2y 2 y z = 5 3x2 3y 2 , z = 2x2 + 2y 2 = 5 3x2 3y 2 x2 + y 2 = 1, z = 2.

Es decir, la curva de corte es una circunferencia de radio 1.Eje OZ S2 z 5 3x2 3y2

Parametrizando la circunferencia tenemos C x = cos() y = sen() z=2 0 2.

C

Puesto que el recinto encerrado por la circunferencia x2 + y 2 = 1 puedo describirse como el formado por todas las circunferencias x2 + y 2 = r 2 con 0 r 1, las supercies S1 y S2 pueden paramatrizarse de la siguiente forma, x = r cos() y = r sen() 0r1 , z = 2x2 + 2y 2 0 2 = 2r 2 x = r cos() y = r sen() 0r1 2 2 z = 5 3x 3y 0 2 = 5 3r 2

S1 z

2x2 2y2 D Eje OY Eje OX

S1

S2

.

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