Guia Post-Primaria Matemáticas6°

MatemáticasJavier Moreno

Luz Stella Alfonso

Lizzie Zambrano

Carolina Martínez

© 2010 Ministerio de Educación Nacional

Todos los derechos reservados

Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión

por cualquier medio de recuperación de información, sin

permiso previo del Ministerio de Educación Nacional.

© Ministerio de Educación NacionalISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN

obra: XXX-XXX-XXX-XXX-XDirección de Calidad para la Educación Preescolar, Básica

y MediaSubdirección de Estándares y Evaluación

Ministerio de Educación Nacional Bogotá, Colombia, 2009

www.mineducacion.gov.co

Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White

Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina

Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media | Mónica López Castro

Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa | Heublyn Castro Valderrama

Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama

Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros

Fundación Manuel MejíaDirección General | Mauricio Perfetti del Corral

Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte

Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño

Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz

Asesoría Pedagógica | Carolina Cortés , Solman Yamile Díaz

Autores | Javier Moreno, Luz Stella Alfonso, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez

Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón

Diseño y diagramación | Lorena Morales Sánchez

Ilustración | Richard Rivera Ortiz

Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz

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Presentación

En el marco de los modelos flexibles que promueve el Pro-yecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional consideró necesario hacer una revisión del modelo Postpri-maria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de este modelo, se actualizaron y complementaron los mate-riales pedagógicos para su implementación en procura de aumentar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes de la zona rural y garantizar su permanencia en el sistema educativo.

La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios rea-lizados en el año 2005, por el Centro de estudios regionales, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CERLALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar los avances de la política educativa de calidad, específicamente en lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque de competencias y los estándares básicos de competencia, entre otros.

Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural cumplen un papel central para el desarrollo o el fortaleci-miento de las competencias básicas. Es así como con esta serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes que adelantan sus estudios de educación básica secundaria en instituciones o centros educativos con el modelo Postpri-maria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren una base para la realización de actividades pertinentes para el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el marco de los referentes de calidad de la política educativa.

Ministerio de Educación Nacional

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Así es esta cartilla

Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria. Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada al conocimiento.

Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos conocimientos estarán acompañadas de este ícono. Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización, y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten. Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad y con el lugar en el que vives.

Querido estudiante:Bienvenido a este nuevo curso de de la Postprimaria rural. Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para ti y para todos losintegrantes de tu comunidad educativa.

Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos transversales y de los proyectos pedagógicos productivos.

La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un compromiso serio que te ayude en tu formación personal.

En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.

5

Identificadas con este ícono encontrarás actividades de aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras áreas del conocimiento.

Si las actividades están acompañadas de este ícono, es importante que las realices solo y pongas en ellas tu mejor esfuerzo.

Cuando las actividades están acompañadas de este ícono, debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de competencias en todos los integrantes del grupo.

Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas desarrollando tus competencias.El análisis de los resultados que obtengas en su realización te ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para superar las dificultades que se hayan podido presentar o a determinar las formas de mejorar tus competencias de manera que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.

Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones diferentes a las presentadas en las actividades en las que aprendiste algo nuevo.

Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.

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EsTándAREs básicos dE comPETEnciAs

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

> Describo, comparo y cualifico situaciones con los números naturales

> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variación en las medidas.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

> Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y graficas.

> Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

“El País de los números”

¿Qué vas a aprender?

MÓDU

LO

9

Pensamiento métrico y sistemas de medida > Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación

La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos variacional, numérico y métrico a través del concepto de números naturales. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Contenidos

Guías Concepto de ecuación Procesos

1 Sistema de numeración decimal

> Identifica y resuelve problemas que surgen de situaciones matemáticas y experiencias cotidianas

> Utiliza el lenguaje simbólico para representar e interpretar situaciones.

> Representa y comunica ideas matemáticas mediante representaciones concretas o diagramas.

> Crea situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

2Características del conjunto de los números Naturales

3 Números naturales en la recta numérica – orden.

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¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?Todos sabemos para qué sirven los números 1, 2, 3, etc. Lo sabemos desde primaria. Lo hemos aprendido en los primeros juegos con nues-tros padres y compañeros. Si nos preguntan por el número de pupitres que existen en nuestro salón de clase, podemos contar y decir, con toda seguridad, el número de ellas. Ahora ampliaremos sus aplicacio-nes para representar gráficamente y por escrito las diferentes situacio-nes de la vida cotidiana.

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Sistema de numeración decimal

El conjunto de los Números Naturales

Con la letra N

Relaciones

Orden

a es mayor que b a>ba es menor que b a<b

EquivalenciaRecta

numéricaPosición

Ordinales y cardinales

a=b

Representación grafica Escritura

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Se representa

que pueden ser de

en él se establecen

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¿cómo se te va a evaluar?

Vas a desarrollar las competencias básicas donde tu aprendizaje será enriquecido por situaciones problema significativas y comprensivas que te permiten avanzar en las guías del modulo. Las cuales permiten ampliar tus conocimientos y habilidades sobre el tema.

En las evaluaciones se proponen evaluar tu aprendizaje explorando tus conoci-mientos que tú has adquirido por medio de las actividades de las guías teniendo en cuenta lo significativo , lo comprensivo y en particular las situaciones problema a fin de reconstruir y validar en forma personal el saber matemático.

Explora tus conocimientos

Cuando aprendes a contar, a ordenar y a leer los números por diversas razones y con mucha frecuencia necesitas contar objetos. Cuando vas a la tienda, a la plaza, cuando juegas u observas un campeonato deportivo y tomas nota de los resulta-dos a favor o en contra de un equipo, lo realizas en la mayoría de veces haciendo comparaciones o relaciones en busca de un resultado que te permita aclarar una situación en particular. Observa el dibujo y responde las siguientes preguntas:

> ¿Cuántas fichas de color verde puedes ver? > ¿Cuántas fichas de color amarillo puedes ver? > ¿Qué color tiene el número mayor de fichas? > ¿Cuál sería el orden de los colores si los organizamos de mayor a menor? > ¿Cuál color tendría más fichas que las de color rojo? > ¿Cuál es el número total de las fichas?

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¿En dónde usamos los números?

Guía

observa la siguiente figura:

Ahora responde ¿Cuántos cubos hay en la figura? ¿Cómo usamos los números en esta actividad? ¿Para qué más nos sirven los números? ¿En dónde usamos los números?

Para estudiar los números observemos la organización de un país. Tiene un número determinado de habitantes, tiene sus propias reglas y sus habitantes las respetan. Resulta intere-sante conocer el origen y las características de sus habitan-tes; las correspondientes leyes que los rigen; los tipos de relaciones; la posición; la magnitud de sus tierras y el orden que se dan entre ellos.

Realizaremos nuestro recorrido por los caminos de este interesante país.

La organización de estos habitantes es sorprendente, siem-pre se presentan de modo ordenado y es fácil identificar quién esta adelante o detrás de cualquier otro. Dos de los habitan-tes se disputan el primer lugar desde hace algún tiempo. Son tantos los habitantes del país que nunca se termina de contar-los porque siempre se presentan otro habitante que le sigue al que se creía que era el último, son infinitos.

Estos Habitantes disfrutan de una gran amistad, tienen buenas relaciones entre sí y permanecen muy ordenados, todos conocen a su vecino y saben que el de la izquierda es el menor y el de la derecha es el mayor.

El sistema de numeración decimal es muy parecido a la organización demográfica de nuestro país, es llamado deci-mal porque fue inventado por los hindúes y difundido des-

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pués por los árabes, razón por la cual también se llama sistema indoarábigo. Este sistema consta de diez símbolos llamados dígitos.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9En cierto pueblo de nuestro maravilloso país se encuen-

tran 537 habitantes si leemos por separado, cada uno de los números que lo componen, tenemos

5 3 7

Cinco Tres Siete

Centenas Decenas Unidades

Pero si tenemos en cuenta la posición de cada número podemos observar que el 7 está en la columna de las unida-des, el 3 está en la columna de las decenas y el 5 está en la columna de las centenas. Por lo tanto podemos decir que el sistema numérico decimal es posicional es decir que se tiene en cuenta la posición que ocupa el número veamos ¿Por qué?.

Para hacer fácil la lectura de los números, usamos espacios para separar a los dígitos en grupos de tres, llamados posicio-nes. Cada posición tiene un nombre como unidades, millares, millones, billones y así sucesivamente por ejemplo reunimos los habitantes de 11.250 pueblos para mirar cuantos hom-bres y mujeres había, y en total eran 235.064.140 hombres y 185. 142.390 mujeres, el número de habitantes hombres se lee doscientos treinta y cinco millones, sesenta y cuatro mil, ciento cuarenta. Vamos a mostrarte la siguiente tabla donde muestra la posición de cada dígito.

2 3 5 0 6 4 1 4 0

Millones Millares Unidades

Cen

tenas

Dec

enas

Unid

ades

Cen

tenas

Dec

enas

Unid

ades

Cen

tenas

Dec

enas

Unid

ades

100.0

00.0

00

10.0

00.0

00

1.000.0

00

100.0

00

1.0000

1000

100

10 1

108 107 106 105 104 103 102 101 100

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Ahora bien, cada posición corresponde a una potencia sucesiva de 10, es decir con-forme nos movemos a la izquierda en esta tabla el valor de la posición es 10 veces más grande que la columna a su derecha. Esta es la razón por la cual llamamos a nuestro sistema “sistema de numeración decimal”.

Entonces ahora ¿Podrás hacer lo mismo con el número de mujeres que habitan en estos 11.250 pueblos?

La representación de un número La representación de un número puede ser de forma polinómica, es decir el número se expresa teniendo en cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras. Por ejemplo, el número 11.250 de pueblos reunidos anteriormente se puede expresar en forma polinómica de la siguiente manera:

9.000 + 600 + 400 +1.000 + 200 + 50 ó 4.000 + 7.000 + 1250 ó de muchas mane-ras más, como tú quieras.

También puedes expresarlo de forma exponencial es decir el número se expresa teniendo en cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras en forma exponen-cial. Por ejemplo el número 11.250 anteriormente mencionado, expresado en forma exponencial es:

(1 x 105) + (1 x 104) + (2 x 103) + (5 x 102)

1. Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno. La población 2. 560 pueblos de este país anteriormente mencionado para el 2010 son de

45.541.052 de habitantes. En la tabla aparece esta cifra Completa la siguiente tabla y conteste las siguientes preguntas:

4 5 5 4 1 0 5 2Millones Millares

Dec

enas

Unid

ades

Cen

tenas

Dec

enas

Unid

ades

Cen

tenas

Dec

enas

Unid

ades

10.0

00.0

00

100.0

00

1000

10

107 105 103 102 100

> El valor de 2 de acuerdo con su posición es: > El valor de 1 de acuerdo con su posición es: > El valor de 0 de acuerdo con su posi

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> En cierto pueblo de este país se encuentra una granja, en ella encontramos animales, nubes, plantas, etc. Plantea cuantos círculos, flores, plantas, árboles, vacas, pollitos encuentras en la imagen y diseña una tabla donde expreses su escritura en palabras, la posición, una expresión polinómica y la notación exponencial que representa el número exacto que tienes de cada objeto.

1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa.a. El sistema decimal fue inventado por los árabes. ( )b. El sistema decimal es posicional ( )c. 104 =100 ( )d. 32 = (3 x 101) + (2 x 100) ( )e. 35 = treinta y dos ( )

2. Elabore un dibujo donde contenga: 5 Cuadrados, 10 Triángulos, 4 3. nubes, 6 animales, 12 flores, 31 piedras y complete la siguiente tabla.

Objeto Cantidad Forma polinómica

Formaexponencial

Escritura en palabras

CuadradosTriángulosNubesAnimalesFloresPiedras

4. En un pueblito existe una escuela llamada santuario del número la cantidad de alumnos de una escuela es 13.642, responde lo que le preguntaron a Gustavo en la evaluación de matemáticas.

> ¿Qué dígito está en la columna de las decenas? > ¿Qué dígito está en la columna de las unidades de millares? > ¿Qué dígito está en la columna de las centenas? > ¿Qué dígito está en la columna de las decenas de millares? > ¿Qué dígito está en la columna de las unidades?

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En el país anteriormente mencionado se van a construir muchas carreteras, caminos y calles interminables. Por eso tenemos que ayudar a los habitantes de este país a construirlas, pero debemos hacerlo respetando el orden natural de las calles y carreras o de los caminos de un territorio, por esto en un plano:

1. Dibuje las calles primera, tercera, quinta y séptima.

2. Dibuje las carreras sexta, novena, decima, cuarta y primera

3. ¿Pueden estar estas calles o carreras en cualquier orden?

4. ¿Para qué sirve que las calles o carreras estén numeradas?

5. ¿Sabes que significa cada número en una dirección de correspondencia?

El conjunto de los números naturalesDel mismo modo que las calles de nuestra ciudad o nuestro pueblo están ordenadas para facilitar la ubicación espacial de las personas, los números naturales lo están y pueden representarse mediante puntos igualmente distribuidos en la semirrecta.

Para ellos se traza una semirrecta que continúa de modo indefinido hacia la derecha con una flecha final que indica la dirección a donde se escribirán los números naturales y se hacen muchas marcas igualmente espaciadas sobre ella. Luego hacen corresponder los números naturales con los puntos marcados en la semirrecta, así

0 4 7 91 5

Antecesor Número

8 102 3 6

0 4 7 91 5

AntecesorNúmero

8 102 3 6

¿son ordenados

los números?

Guía

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La idea de sucesor de un número sirve para distinguir el orden natural de los números y definir el conjunto de los números naturales

N = {0, 1, 2, 3, 4, …}Los puntos suspensivos se leen,… “y así sucesivamente” e

indican que el conjunto tiene infinitos elementos.

Representación grafica de los números naturales Para representar gráficamente el conjunto de los números naturales podemos tomar una regla que utilizamos para medir en ella observamos lo siguiente:

El cero es el primer elemento y note que cada número natural tiene un sucesor y cada número mayor a uno tiene un sucesor y un antecesor. ¿Cuál es el número antecesor de 10 y ¿cuál es el número sucesor de 10?

Los números tienen un doble uso: Cuando se responde a la pregunta ¿Cuántos?, se responde con el número cardinal 6 por ejemplo. Cuando se pregunta: ¿Cuál? Se responde con el ordinal del número sexto. Por lo tanto los números naturales son ordinales y de los cardinales son para contar, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

En la granja anteriormente mencionada también existían otros animalitos como los cerditos, los caballos, los patos y muchos más. Observemos otra foto de la granja y ubica en la recta numérica cuantos círculos, patos, caballos, cerditos, rocas, flores hay, y completa la tabla.

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Objeto NúmeroExprese el número

en ordinal

Círculos

Patos

Caballos

Cerditos

rocas

Flores

1. Dibujo una recta numérica y con ayuda de ella completo cada una de las siguientes secuencias:a. __, ___, ____, 8, 9, 10b. 24,___, ____, 27, 28c. 1, 2, 3, 2, 3, 4, ___, ___, ___.d. 2, ___, 6, ___, 10, 12e. 0, 1, 2, ___, 4, ___, ___.

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2. Ahora tenemos que darle nombre a nuestras calles construidas ayuda a los habitantes identificar si el nombre de estas está escrito en número ordinales o en números cardinales. Marca con una X según corresponde

Ordinales Cardinales

Calle Octava

Calle Novena

Calle 100

Calle Sexta

Calle 125

Calle Decima

Calle Primera

Calle Tercera

Calle 8

Calle 153

20

Guía

¿cómo representar

los números?

Para hablar de representación de los números debemos pensar en situaciones donde usemos los números, como la siguiente: En el país se realizo un concurso el cual participaron 5 habitantes del pueblo y lo transmitieron por el canal regional, el programa de televisión se llama el “precio es correcto”. El concursante ganador es la persona que se acerque más a (sin sobrepasar) el precio del articulo en venta.

Viviana Pablo Javier Carlos Diego

$ 4495 $ 4550 $ 4551 $ 4200 $ 4000

a. ¿Qué concursante ganará si están concursando por un balón que tiene un precio sugerido de $ 4.745?

b. Si el artículo en venta fuera un moral y el precio sugerido es de $4.390 ¿Qué concursante ganará?

c. Si pudieras concursar con ellos y el artículo en venta es un libro y el precio sugerido es de $4.553 ¿Qué precio le pondrías para ganar?

Siguiendo con el análisis de los números, veamos por ejem-plo el número natural 4 tiene un sucesor 5 y un antecesor 3, el cero por ser el primer elemento y no tiene antecesor.

0 41 5...2 3

Podemos observar que al movernos hacia la derecha en la recta los números se hacen más grandes. Como 4 está a la derecha de 3 decimos que 4 es mayor y se puede usar el símbolo de > que significa “es mayor que” para escribir este hecho (4 > 3). Por lo tanto sabemos que 3 es menor que 4 y se puede usar el símbolo de < que significa “es menor que” (3 < 4).

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Los números naturales aparte de contar los elementos de un conjunto, también sirven para ordenar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo en una carrera automovilismo que realizan los habitantes de un pueblo, no solamente es necesario conocer cuántos carros terminan la carrera sino también es importante saber el orden en que llegan a la meta. El orden resulta al comparar dos números naturales y deter-minar cuál es el número menor y cuál es el número mayor.

Visualicemos la carrera

AutomóvilesPuesto

de salidaPuesto

de llegada

Carro 1 5 4

Carro 2 3 6

Carro 3 1 2

Carro 4 4 1

Carro 5 6 3

Carro 6 2 5

Ahora un reportero de prensa requiere que le ayudemos a escribir un artículo sobre los sucesos de la carrera. Escribe ese artículo teniendo en cuenta el orden del número del carro, el puesto de salida y del puesto de llegada.

Entonces Cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:

a. a es mayor que b. Esta relación se simboliza a b. a es menor que b. Esta relación se simboliza a c. a es igual a b. Esta relación se simboliza a = bPor ejemplo En el salón de clases del grado décimo de una

escuela hay 10 estudiantes con las siguientes edades: 11 años, 10 años, 13años, 16 años, 18 años, 14 años, 22

años, 17 años, 12 años, 19 años. Ordene de menor a mayor y diga cuántos y cuáles son los estudiantes mayores de 15 años y cuantos estudiantes son menores 21 años.

22

1. Resuelva el siguiente crucigrama 1

1

2

3

2 3

Horizontalesa. Número de tres cifras igualesb. Número que está a la derecha de

200c. Número que está a la izquierda 851

Verticalesa. Número que está a la derecha de 327b. Número mayor que 304c. Número menor que 311

2. Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno. Escriba uno de los símbolos > o < en el espacio para que el enunciado se verdadero 25 ___29 48___46 85___91 102___101 50 ___30 11___10 45___49 874___870

1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa 2005 < 2009 ( ) 2010 > 2009 ( ) 85 > 91 ( ) 102 < 101 ( ) 5000 > 300 ( ) 11 < 10 ( ) 45 < 49 ( ) 874 > 870 ( )

2. Ordenar los siguientes números con los signos < o > 3, 4, 13, 25, 17, 23, 35, 65, 45, 36, 10

23

Que aprendíEscriba el número que representa:

>> 4 centenas + 3 docenas + 6 unidades>> 8 centenas + 6 docenas + 2unidades>> 2 millares + 7 centenas + 4 decenas + 3 unidades>> 6 millares de millones + 5 decenas + 9 unidades>> Cuatrocientos cincuenta y seis>> Veintisiete mil quinientos noventa y siete>> Siete millones, cuatrocientos cuarenta y tres mil ochocientos sesenta>> (3 x 101) + (7 x 100) >> (5 x 103) + (6 x 102) + (1 x 101) >> (6 x 104) + (2 x 103) + (4 x 102) + (8 x 101)

¿cómo me ven los demás?Realiza el siguiente juego con un compañero o compañera. Cada jugador va diciendo un digito de 1 a 6. Estos números se van adicionando alternativamente, de tal manera que gana quien primero llegue a 51.

Por ejemplo: María y Juan van a jugar.>> María inicia con 1.>> Juan dice 6 entonces van 7.>> María dice 5, entonces van 12. >> Juan: dice 4, entonces van 16.>> Y así sucesivamente hasta llegar a 51.

De acuerdo con el ejemplo, ¿quién ganaría María o Juan?

me autoevalúoResponde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Sí A veces No

Identifica y resuelve problemas que surgen de situaciones matemáticas y experiencias cotidianas

Utiliza el lenguaje simbólico para representar e interpretar situaciones.

Representa y comunica ideas matemáticas mediante representaciones concretas o diagramas.

Crea situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptos matemáticos.

24

Los números que encontramos a nuestro alrededor.

Estándares básicos de competencias

Pensamiento numérico

>> Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica, transitiva, etc.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa, etc.) en diferentes contextos.

>> Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

>> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

>> Pensamiento métrico>> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de

estimación.>> La realización de las actividades propuestas en las guías que

conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos

¿Que vas a aprender?

MÓDU

LO

25

numérico y métrico, a través de los conceptos asociados a la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números naturales. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Contenidos

Guías Contenidos Procesos

4Adición y sustracción de números naturales. Propiedades

> Describir e interpretar propiedades y relaciones de los números y sus operaciones.

> Comprender el fundamento conceptual base de los algoritmos de las operaciones básicas con números naturales.

> Argumentar el uso de los procedimientos y algoritmos de las operaciones básicas con números naturales en distintas situaciones.

> Resolver problemas que impliquen las operaciones básicas con números naturales en distintos contextos.

5 Multiplicación de números naturales. Propiedades

6 División de números naturales

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¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Las operaciones con números naturales se aplican en la resolución de diversos problemas cotidianos tales como el caso del cálculo total de la producción de una finca, la diferencia entre las cantidades de los bultos cosechados y los vendidos, el cálculo de la vida útil que le queda a una máquina, o la determinación de la cantidad de alimento que le corres-ponde a cada animal de un hato, entre muchos otros usos.

En el siguiente esquema observarás la relación existente entre los conceptos que vas a aprender.

Módulo 2Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Operaciones con números

pueden ser

Que tiene propiedades como

Que tiene propiedades como

Adición Multiplicación División

ClausurativaConmutativa

AsociativaModulativaDistributiva

ClausurativaConmutativa

AsociativaModulativa

Sustracción

27

¿cómo se te va a evaluar?

En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales y sus correspondientes propiedades.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

También encontrarás las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación, en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.


Javier es un niño de 12 años que vive en la población de San Jacinto. En muchas ocasiones Javier acompaña a su papá, don Pastor, a vender los productos de su finca hasta Bella Vista, una población cercana, pero primero pasan por Los Álamos, a 15 km de San Jacinto.

a. Si hasta Los Álamos han recorrido la tercera parte del camino, ¿cuál es la dis-tancia entre San Jacinto y Bella Vista?

b. ¿Cuántos kilómetros recorren en total si se devuelven el mismo día?c. En esta ocasión, Javier y don Pastor hicieron el recorrido hasta Bella Vista

varias veces el mismo día. ¿Cuántas veces fueron y vinieron, si en total reco-rrieron 105 km?

d. Si 1 km es igual a 1 000 m, ¿cuál es la distancia en metros entre San Jacinto y Los Álamos?

SAN JACINTO

BELLA VISTA

ALAMOS

LA ESPERANZA

PUERTO MARÍN

28

¿cuánto tengo,

cuánto me falta?

Forma un grupo con tres compañerosy compañeras para desarrollar las siguientes actividades en el cuaderno.

Lean la historia y luego contesten las preguntas.

> ¿Qué edad tenía don Pastor cuando se casó? > ¿Qué año era cuando tuvo su primer hijo? > ¿Cuántos años de casado llevaba don Pastor cuando tuvo su

primer hijo? > ¿Cuánto años transcurrieron entre la compra de la finca y la

primera cosecha de maíz? > ¿Cuántos años tenía su primer hijo cuando don Pastor compró

la finca?

Describan las operaciones que utilizaron para determinar la respuesta de cada una de las preguntas propuestas en las actividades anteriores.

>> ¿En qué situaciones de la vida cotidiana es necesario utilizar este tipo de operaciones? Nombren algunas de ellas.

En cursos anteriores han estudiando las operaciones que se pueden efectuar con los números naturales; entre ellas, la adición y la sustracción. Estas operaciones permiten resol-ver gran variedad de problemas de la vida cotidiana.

Don Pastor, nació en San Jacinto el 23 de abril de 1970; se casó el 16 de diciembre de 1995, y tuvo su primer hijo a los 27 años de edad. Además de ser un buen esposo y padre, es un excelente agricultor; por ello compró su finca en 2001, donde cosechó una siembra de maíz por primera vez en 2006.

Guía

29

Cada año, don Pastor vende la cosecha de maíz que pro-duce su finca. Como quiere analizar las ganancias obteni-das en los últimos tres años, organizó la información de la siguiente manera.

Año Cantidad de dinero recibido2008 $ 890 0002009 $ 925 0002010 $ 997 000

>> ¿Cuánto dinero recibió don Pastor en estos tres años? >> Para encontrar la respuesta a la pregunta anterior,

copien en el cuaderno la siguiente operación, observen la posición de las cifras de cada sumando y calculen la suma.

Suma

Sumandos+

Valor posicional de las cifras

unid

ades

de

mill

ón

cent

enas

de

mil

dece

nas d

e m

il

unid

ades

de

mil

cent

enas

dece

nas

unid

ades

899

929

057

000

000

000

En la adición de números naturales, se suman entre sí las cifras que tienen el mismo valor posicional.

Don Pastor pagó $ 23 980 000 cuando compró la finca. Si en unos años la vende en $ 30 000 000, ¿cuánto dinero gana-ría en la venta?

>> Copia la siguiente operación y complétala para responder la pregunta.

Valor posicional de las cifras

Diferencia

MinuendoSustraendo-

dece

nas d

e m

illón

unid

ades

de

mill

ón

cent

enas

de

mil

dece

nas d

e m

il

unid

ades

de

mil

cent

enas

dece

nas

unid

ades

32

03

09

08

00

00

00

00

30

En la sustracción de números naturales, se restan entre sí las cifras que tienen el mismo valor posicional.

Don Pastor construyó en su finca un galpón para sus gallinas. Algunas de ellas ponen varios huevos a la semana, como se muestra en la siguiente tabla.

Nombre de la gallina

Número de huevos semanales

Pura 5Saraviada 3Pintada 4Coqueta 3Mimosa 2Motosa 5Luna 3

>> ¿Cuántos huevos ponen en total Pura y Saraviada? Escriban la adición que les permite calcular la respuesta.

>> ¿A qué conjunto numérico pertenecen los sumandos y la suma de esta operación?

>> Comparen las siguientes operaciones y resuélvanlas en el cuaderno.

>> ¿Cambia la suma cuando los sumandos se operan en diferente orden?

>> La operación (2 + 5) + 3 permite calcular los huevos que ponen en total Mimosa, Motosa y Luna. Para encontrar el resultado, calculen la suma indicada entre el paréntesis y sumen el tercer sumando a este valor.

Ahora sumen en este orden 2 + (5 + 3).>> Comparen los dos resultados. ¿Son iguales o diferentes?>> ¿Cambia la suma cuando los sumandos se asocian de

diferentes maneras?

>> Efectúen las siguientes operaciones.8 + 0 0 + 12 29 + 0 0 + 34

>> ¿Qué tienen en común?>> ¿Cuál es el resultado de sumar cualquier número natural

con 0?La adición de números naturales cumple algunas propieda-

des que verificaron en la actividad anterior. A continuación se enuncian de manera general.

4 + 3 3 + 4

Número de huevos que pone Pintada

Número de huevos que pone Coqueta

Número de huevos que pone Coqueta

Número de huevos que pone Pintada

31

>> Copien en el cuaderno los siguientes enunciados y propongan un ejemplo de cada uno.

La suma de dos números naturales es otro número natural.Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera.Al agrupar tres o más sumandos en diferente orden, la suma no se altera.Al sumar un número natural con 0, se obtiene el mismo número.

Trabaja individualmente y realiza las actividades en el cuaderno.

Resuelve las siguientes situaciones.Don Pastor vende los huevos que ponen las gallinas del galpón. Las ventas realizadas por don Pastor son las siguientes: Mes 1: 240 Mes 2: 258 Mes 3: 185 Mes 4: 196

> ¿Cuántos huevos más vendió don Pastor el mes 2 con respecto al mes 4? > ¿Cuántos huevos menos vendió el mes 3 con respecto al mes 1?

Don Pastor tiene que hacer el siguiente recorrido por las poblaciones cercanas a su finca. Desde el túnel hasta el primer pueblo Bacatú hay 368 km. De Bacatú a Santa Cecilia hay 593 km. De Santa Cecilia a La Martina hay 480 kmDe La Martina a Santafé hay 539 km. Y de Santafé a Tacutá hay 185 km.

> Si don Pastor parte desde el túnel, ¿cuántos kilómetros recorre hasta Tacutá? > ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre los siguientes recorridos?

Bacatú-Santa Cecilia y Túnel-Bacatú La Martina-Santafé y Santa Cecilia-La Martina La Martina-Santafé y Santafé-Tacutá

Don Pastor hizo su recorrido en tren. Si de los 530 pasajeros que salieron de la estación central junto con don Pastor, 314 se bajaron en Santa Cecilia, y se subieron 153, ¿cuántos pasajeros siguieron hasta la siguiente estación?

Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, el martes 36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos y el sábado 21 bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total? ¿Cuántos bultos más debió recoger para completar 258?

32

¿cuántas veces son muchas veces?

organicen grupos de tres estudiantes para realizar las siguientes actividades en el cuaderno.

San Jacinto es un pequeño pueblo rural que cuenta con 2 568 habitantes. En su alcaldía se puede averiguar el número de habitantes de las poblaciones cercanas, porque en la cartelera principal aparece la siguiente información.

> ¿Cuál es el número de habitantes de cada población? > Copien en el cuaderno la siguiente tabla, y complétenla con

base en la información dada por el profesor de Javier.

Pueblo Número de habitantes

San Jacinto 2.568

Puerto Marín 3

Bella Vista 4

Los Álamos 2

Santa Ana 5

La Esperanza 3

> Indiquen las operaciones que realizaron para calcular el número de habitantes de cada lugar.

• En Puerto Marín hay 1 342 habitantes más que en

San Jacinto.

• En Bella Vista hay 875 habitantes menos que en

San Jacinto.

• Los Álamos tiene tres veces la cantidad de

habitantes que hay en San Jacinto.

• En Santa Ana el número de habitantes es la cuarta

parte de los que hay en San Jacinto.

• La Esperanza sobrepasa en 64 personas al doble

de la cantidad de habitantes de San Jacinto.

Guía

33

San Jacinto cuenta con un museo natural que es visitado por los turistas que vienen al pueblo. Si la entrada al museo cuesta $ 4 500 y hoy ingresaron 28 personas, ¿cuánto dinero se recibió por este concepto?

Para averiguar la respuesta, copien y completen la siguiente operación en el cuaderno.

4 500

Producto de 2 500 x 828

Producto de 2 500 x 20

×

+

La multiplicación de números naturales es una opera-

ción que permite calcular abreviadamente una suma de tér-minos iguales.

5 veces 7

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 × 7 = 35

En la multiplicación 5 × 7 = 35, los factores 5 y 7, reciben los nombres de multiplicando y multiplicador, respectiva-mente. Mientras que el resultado, 35, se denomina producto.

La multiplicación cumple algunas propiedades que anali-zarán a continuación.

>> Resuelvan la siguiente situación.En la plaza principal de San Jacinto, tiene la forma rectan-

gular y está recubierta por lozas cuadradas de igual tamaño, como se observa en el siguiente plano.

>> Escriban una multiplicación que les permita calcular el número de lozas que recubren la plaza.

34

>> ¿A cuál conjunto numérico pertenecen los factores que utilizaron?

>> ¿A cuál conjunto numérico pertenece el producto?>> ¿A cuál conjunto numérico pertenece el producto de dos

números naturales cualesquiera?El producto de dos números naturales es siempre otro número natural.

Inviertan el orden de los factores en la multiplicación que escribieron en el numeral anterior y calculen el producto.

>> ¿Cambia el producto cuando se multiplican los factores en diferente orden?

>> Verifiquen su respuesta anterior, comparando los resultados de las siguientes operaciones.

9 × 8 y 8 × 9 23 × 18 y 18 × 23 12 × 15 y 15 × 12 93 × 14 y 14 × 93En la multiplicación de números naturales el orden de los factores no altera el producto.

En la plaza de mercado de San Jacinto, es posible con-seguir gran variedad de productos típicos. Por ejemplo, las almojábanas vienen empacadas en paquetes de tres bolsas con cinco almojábanas cada una.

>> Dos de las siguientes operaciones permiten calcular cuántas almojábanas se lleva un turista que compra siete de estos paquetes. ¿Cuáles son? Expliquen su elección.

(7 × 3) × 5 (7 × 3) ÷ 5 7 × (3 × 5)

>> ¿En qué se diferencian las operaciones (7 × 3) × 5 y 7 × (3 × 5)?

En una multiplicación de números naturales, el orden en que se asocien tres o más factores, no altera el producto.

En uno de los puestos de fruta, una de las vendedo-ras organiza las naranjas, ya sea en seis filas de una unidad o en una fila de seis unidades, como se observa en la figura.

35

>> ¿Cuántas naranjas utiliza la vendedora en cada arreglo?>> ¿Es lo mismo 6 × 1 que 1 × 6? Justifiquen su respuesta.

El producto de cualquier número natural por 1 es el mismo número natural.

Don Pastor compró tres quesos a $ 2 500 cada uno en un puesto de la plaza de mercado y su esposa compró dos.

Para determinar el dinero que gastaron entre los dos, la esposa de don Pastor propone la siguiente estrategia:

Sumar la cantidad de quesos y multiplicar el resultado por el precio de cada queso.

Mientras que don Pastor propone:Multiplicar el número de quesos que compró cada uno por

el precio correspondiente y luego sumar los resultados. >> Completen los siguientes cuadros en sus cuadernos con

la operación que se propone en cada caso, hallen los resultados y compárenlos.

Procedimiento propuesto por don Pastor

Procedimiento propuesto por la esposa

>> ¿Qué diferencia hay entre los resultados obtenidos por don Miguel y su esposa?

La suma de dos números naturales por un tercero es igual a la suma de los productos de cada sumando por el tercer número.

Resuelve en el cuaderno, y de manera individual, las situaciones que se proponen a continuación.

1. En la cooperativa de agricultores de San Jacinto, cada afiliado debe aportar $ 35 000 mensualmente. Si en total hay 58 afiliados, ¿cuánto dinero recibe la cooperativa cada mes, por concepto de aportes?

1. Cerca de la finca de don Jacobo, hay un criadero avícola que cuenta con 325 gallinas. Si cada una cuesta $ 5 700, ¿cuál es el precio total de las gallinas?

1. Fermín está vendiendo un terreno por parcelas. Si el terreno tiene forma rectangular de 124 m de largo por 53 m de ancho, y ofrece cada metro cuadrado a $ 256 000, ¿cuánto dinero recibirá por la venta total?

36

Repartos equitativos

organicen grupos de tres estudiantes para realizar las siguientes actividades en el cuaderno.Manuel compró un terreno, con las dimensiones que se observan en el plano, por un precio de $ 18 750 000.

> ¿Cuál es el área del terreno? > ¿Cuál es el valor de cada metro cuadrado del terreno? > ¿Qué operación deben efectuar para resolver la situación

propuesta?

Para resolver la situación, primero se halla el área del terreno: 300 m2. ¿Por qué?

Luego, se puede realizar la siguiente división de núme-ros naturales:

a.3001875’0000

b.

3006

1875’0000- 1800

75

Como el divisor tiene tres cifras se separan tres en el dividendo. Pero 187 no se puede dividir por 300, entonces se toma la cifra siguiente para formar 1 875.

Se busca el número que multiplicado por 300 de aproximadamente 1 875. En este caso es 6:

300 x 6 = 1 800Este producto se resta de 1 875.

20mt

15mt

Guía

37

c.30062

18750000- 1800

750- 600

150

d.30062500

18750000- 1800

750- 6001500

- 150000

00- 00

- 000

Se baja la siguiente cifra para formar el número 750 y se busca el número que multiplicado por 300 de aproximadamente 750. El número es 2.

300 x 2 = 600Este producto se resta de 750.

Se continúa el proceso hasta bajar la última cifra del dividendo.

Por lo tanto, el precio de cada metro cuadrado del terreno es de $ 62 500.

Cada uno de los términos de la división recibe un nombre particular.

Observen.

8 Divisor

6 Cociente-482Residuo

50Dividendo

>> Copien y completen las siguientes frases en el cuaderno.El dividendo es el número que El divisor es el número que El cociente es el El residuo es el

Manuel quiere repartir el terreno comprado entre sus siete hijos.

>> ¿Es posible dividir el terreno en siete partes iguales, sin que sobren metros cuadrados?

>> ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno?>> Copien y efectúen la siguiente división.

7300

38

>> ¿Cuál es el residuo de la división?>> ¿Cuándo una división es exacta?>> ¿Cuándo una división es inexacta?

Una división es exacta cuando su residuo es cero. Y es inexacta cuando el residuo es diferente de cero.

>> Realicen cada división e indiquen si es exacta o inexacta.

45 ÷ 5 83 ÷ 9 108 ÷ 12 96 ÷ 15>> Ubiquen los términos de una de las divisiones que

resultaron inexactas, donde corresponda en la siguiente igualdad.

(DIVISOR × COCIENTE) RESIDUODIVIDENDO =

=

+

+×

¿Se cumple la igualdad?En toda división de números naturales se cumple

la siguiente igualdad.DIVIDENDO = (DIVISOR × COCIENTE) + RESIDUO

Recuerden que la multiplicación de números naturales cumple algunas propiedades. ¿La división cumplirá propie-dades similares?. Averígüenlo desarrollando las siguientes actividades.

Copien y efectúen las siguientes divisiones:65 ÷ 13 65 ÷ 9

>> ¿Cuál es el resultado de la primera división? ¿Y de la segunda?

>> ¿La división de dos números naturales es siempre un número natural? Expliquen la respuesta.

Ahora realicen estas divisiones en el cuaderno.72 ÷ 6 6 ÷ 72

>> ¿Qué resultado obtuvieron en la primera división?>> ¿Cuál es el resultado de la segunda división?>> ¿Es posible intercambiar el orden del dividendo y el

divisor sin que el altere el cociente? Analicen otros ejemplos.

Calculen el resultado de las siguientes operaciones. Recuer-den que primero se realizan las operaciones indicadas entre paréntesis.

(45 ÷ 3) ÷ 5 45 ÷ (3 ÷ 5).

39

>> ¿Obtuvieron los mismos resultados?>> ¿Es posible asociar los términos de una división sin que

se altere el cociente?>> ¿Es lo mismo 14 ¸1 que 1 ¸ 14? Expliquen su respuesta.>> ¿Cuáles son los resultados de las siguientes

operaciones? Completen el siguiente proceso en el cuaderno, para determinar la respuesta.

+

+

(28 3)

=

=

(28 4)28

=

=

(3 + 4)

>> ¿Dividir un número entre la suma de otros dos es igual a la suma de los cocientes que se obtienen al dividir el número entre cada sumando?

Trabaja individualmente en el cuaderno.Resuelve cada situación.

Calcula la medida del lado desconocido en cada terreno de forma rectangular.

> El terreno comprado por Manuel es de forma rectangular con medidas 20 m de largo por 15 m de ancho.

> ¿Cuántos postes debe comprar para cercarlo, si va a colocarlos cada dos metros alrededor del terreno?

> Manuel quiere repartir el terreno en cinco partes iguales para regalarle a sus hijos. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno?

> Para obtener ganancias, los hijos de Manuel deciden vender el terreno total por $ 21 000 000. ¿Cuánto le ganaron a cada metro cuadrado?

10 m

10 m

A = 250 m2

20 m

20 m

A = 380 m2

21 m

21 m

A = 420 m2

17 m

17 m

A = 510 m2

40

Kilo de arroz$ 2 400

Docena de huevos$ 3 600

Libra de tomate$ 1 500

Libra de café$ 7 500

Paquete de pasta$ 1 200

Frasco de aceite$ 3 500

Paquete de harina$ 1 200

Kilo de papa$ 1 000

Mario debe llevar: cinco kilos de arroz, tres docenas de huevos, siete libras de tomate, cuatro libras de café, dos paquetes de pasta, tres frascos de aceite, cuatro paquetes de harina y ocho kilos de papa.

¿Mario podrá pagar sus compras con $ 70 000? ¿Por qué? Mario decide pagar el valor total de sus compras en cuotas.

Si cada una es de $ 17 800, ¿cuántas cuotas debe pagar?

>> Maritza compró ocho paquetes de almojábanas, pero cuando empieza a desempacarlas se da cuenta que en vez de tener las 72 unidades que esperaba sólo tiene 64.

¿Cuántas almojábanas pensaba Maritza que debía recibir por paquete?¿Cuántas almojábanas por paquete recibió realmente Maritza?

>> Cinco toros con masas iguales pesan entre todos 2 840 kg. ¿Cuál es el peso de cada uno?

>> A las fiestas patronales de Los Pinos asistieron 1 253 hombres, 1 786 mujeres y 175 menores de edad. Si la plaza de toros del pueblo cobra $ 15 700 por la entrada y se espera que asistan todos los visitantes, ¿cuánto se recaudaría por entradas a la corrida de toros?

>> Para empacar 1 500 huevos se dispone de bandejas en cada una de las cuales caben doce unidades. ¿Cuántas bandejas se necesitan?

>> Pilar hizo una llamada telefónica de doce minutos de duración. Si le cobraron $ 1 500, ¿cuál es el costo de cada minuto?

>> En la tienda de doña Rosario se encuentran los siguientes productos.

41

Observa la factura. Luego contesta las preguntas.

>> ¿Cuál es el valor total de la factura?>> ¿Cuál es el valor unitario de cada uno de los implementos comprados?>> ¿Cuál sería el costo de comprar tres cajas de puntillas, dos cajas de tornillos y

diez tuercas?>> Si en un nuevo pedido se duplican las cantidades de implementos, ¿cuál es el

valor de la nueva factura?

En un terreno de forma rectangular que tiene 15 m de ancho y 24 m de largo, cada metro cuadrado tiene un costo de $ 250 000.

>> Si se quiere cercar el terreno con tres hiladas de alambre de púas, ¿cuántos metros de alambre es necesario comprar?

>> ¿Cuál es el precio total del terreno?>> Si se logra vender en $ 98 550 000, ¿cuál es la ganancia con

respecto al precio inicial?

En la cosecha del mes de marzo, en una finca se recogieron las siguientes cantidades; 756 205 bultos de yuca, 256 955 bultos de naranja, 235 580 de plátano. El bulto de papa se vendió a $ 25 850 cada uno, el de naranja $ 12 500 cada uno y el de plátano $18 750 cada uno

>> ¿Cuántos bultos se recolectaron en total?>> ¿Qué cantidad de dinero se recibió en total por cada producto?>> En total ¿Cuánto dinero se recibe al vender todas las cosechas?>> Realiza la operación pertinente para cada caso, y establece las cantidades que se

deben enviar a cada lugar, si se sabe que:La finca tiene que distribuir de la siguiente manera la cosecha:

>> Para Bucaramanga, Bogotá y Pereira, los bultos de yuca, en cantidades iguales. >> De naranja van 38 500 bultos para Barranquilla, y lo que queda va en la misma

cantidad para Villavicencio y Popayán.>> La mitad de los bultos de plátano van para Chiquinquirá, de la mitad restante

98 000 bultos serán despachados para Bogotá, y el resto para Tunja.

Cantidad Descripción Valor unitario Valor total

5 Cajas de puntillas $ 3 500 $ 17 500

3 Cajas de tornillos $ 4 200 $ 12 600

50 Chazos $ 100 $ 5 000

20 Tuercas $ 300 $ 6 000

10 Brocas $ 1 500 $ 15 000

42

>> Escribe una pregunta que utilice los datos del espacio colombiano y se resuelva con una adición.

>> Escribe una pregunta en donde se requiera una sustracción.

>> Resuelve las preguntas que escribiste en los literales anteriores.

>> Enuncia un problema que pueda plantearse a partir de la información proporcionada.

Don Ramón quiere comprar una bicicleta y el vendedor le informa que tiene las siguientes opciones de pago:

>> Si paga de contado, le cuesta $ 1 850 000.>> Puede pagar con cuatro cheques de $ 470 180: uno al

día y los otros a 30, 60 y 90 días.>> Puede pagar la mitad y dos cheques posfechados de $

580 000 cada uno.>> Puede pagar en doce cuotas de $ 190 000 cada una.>> ¿Cuál es la mejor opción para don Ramón? Explica tu

respuesta.

Que aprendí

Lee la información y realiza lo que se indica en cada caso.

La superficie terrestre de nuestro país está conformada por una parte continen-tal y otra parte insular. La superficie de la parte continental es de 1 141 748 km2.

Las aguas territoriales son las franjas de mar. Colombia tiene un área marítima de 930 893 km2.

El espacio aéreo está compuesto por una capa atmosférica de 2 083 406 km2.

El subsuelo es la parte ubicada debajo de la superficie.

43

¿cómo me ven los demás?Trabaja con dos compañeros o compañeras. Observen la siguiente cuadrícula y luego distribúyanse el trabajo como se indica a continuación.

Sí No A veces

Manejo los algoritmos de adición y la sustracción con los números naturales.

Manejo los algoritmos de multiplicación y la división con los números naturales.

Aplico las propiedades de las operaciones básicas con números natural para facilitar el cálculo de los resultados.

Resuelvo situaciones que requieran la aplicación de las operaciones básicas con números naturales.

Participo de manera activa en clase y respeto la participación de mis compañeros.

Integrante 1: Calcula la cantidad de cuadraditos que tiene la cuadrícula con una multiplicación.Integrante 2: Cuenta los cuadraditos uno por uno.Integrante 3: Calcula primero los cuadraditos de color gris claro, luego los de color gris oscuro y suma los resultados.

>> Comparen los resultados obtenidos, entres sí.>> Comparen los resultados obtenidos por otros grupos de

trabajo.>> Verifiquen que se cumple la igualdad

8 x (3 + 9) = (8 x 3) + (8 x 9)

me autoevalúoResponde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

>> Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

>> Desarrolla en el cuaderno y de manera individual las actividades que se proponen a continuación.

44

La naturaleza de los números

MÓDU

LO


Pensamiento numérico > Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas

de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

> Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.

Pensamiento variacional > Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades

variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación).


45


7 Múltiplos y divisores > Expresar ideas matemáticas relacionadas con la divisibilidad de números naturales.

> Reconocer patrones y regularidades que se establecen entre los números naturales.

> Argumentar con validez los procesos que se aplican en la resolución de problemas.

> Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana relacionada con la teoría de números.

8 Divisibilidad

9 Descomposición de números

10 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, men-cionados en la parte superior, mediante los conceptos relacionados con múltiplos y divisores de números naturales. En la siguiente tabla se especifican las guías que con-tiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas:

contenidos

46


Los números naturales

módulo 3Pensamiento

numérico

Relaciones multiplicativas

presentan

como

Ser múltiplo de… Ser divisor de…

Números primos

Números compuestos

determina

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?

Los múltiplos y divisores de un número, son usados con frecuencia en muchas de las situaciones de la cotidianidad.Por ejemplo, para comprar cinco panes de $1200, y saber cuánto se debe pagar, pues el resultado corresponde a un múltiplo de 1200.

Si todos los días recorres en la bicicleta cierta distancia, entonces la medida de la distancia recorrida en cinco días es un múltiplo de la dis-tancia que recorres a diario.Saber cómo se puede distribuir en bolsas un bulto de naranjas, de manera que en cada bolsa quede la misma cantidad.

47

¿cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.


Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

EXPLoRA TUs conocimiEnTos

> ¿Qué procedimiento seguiste para completar la tabla?

Vaca ordeñada Primera Segunda Tercera Cuarta

Cantidad de leche en litros en total 2

Javier y su hermano, tiene una pequeña casa en la colina de una montaña. Allí tiene 4 vacas y un caballo. Diariamente los jóvenes ordeñan sus vacas y de cada una saca dos litro de leche.

> ¿Cuántos litros de leche recogen al ordeñar la primera vaca? > ¿Cuántos litros de leche en total recogen cuando terminan de ordeñar la

segunda vaca? > ¿Cuántos litros de leche en total tienen cuándo terminan de ordenar la tercera

vaca? > ¿Cuántos litros de leche en total reúnen cuando terminan de ordeñar la cuarta

vaca? > Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

48

¿sabes cómo se

relacionan los

números?

¿sabes que es un reptil?

¿Alguna vez has visto alguno?Sabes que en Colombia hay criaderos de reptiles que se encuentran ubicados en zonas templadas o calientes. En esos criaderos se encuentran diferentes especies de culebras, lagartos, tortugas, cocodrilos, y otros más.

> Juan trabaja en uno de esos criaderos de reptiles. Él debe recoger, cada semana, los huevos que colocan las hembras, para llevarlos a un sitio seguro y caliente.

> En esta ocasión recogió los huevos de 16 culebras ratoneras. Ellas colocan entre 3 y 45 huevos, en los meses de junio y agosto.

> Juan pasó por cada uno de los 16 terrarios recogiendo los huevos. En el primer terrario, no había huevos, en el segundo, recogió 3 huevos, en el tercero, 6 huevos, en el cuarto, 9 huevos, en el quinto, Juan encontró 12 huevos, y así sucesivamente.

> Escribe la secuencia numérica que se forma con la cantidad de huevos que recogió Juan en cada terrario.

Guía

49

Responde en tu cuaderno.>> ¿Qué procedimiento seguiste para completar la

secuencia anterior?>> ¿Qué relación hay entre los números que escribiste? >> ¿Cuántos huevos hay en el sexto terrario?>> ¿Cuántos huevos hay en el noveno terrario?>> ¿Cómo hallaste ese resultado?>> ¿En qué terrario hay 42 huevos? >> ¿Cómo hallaste la respuesta?

completa en tu cuaderno el siguiente diagrama >> ¿Los resultados que

obtuviste en el árbol, son iguales a la secuencia que escribiste en la actividad inicial?

Los números que escribiste en la actividad inicial y los obtenidos en el árbol son los múltiplos de 3.

El producto de dos números naturales es múltiplo de cada uno ellos.

3

1 3 6 94 7 102 5 8

3 ? ? ?? ? ?6 ? ?

x

11

?

12

?

13

?

14

?

15

?

0

0

16

?

>> ¿Cómo se hallan los múltiplos de 3?Añade otras ramas a tu árbol, y encuentra otros múltiplos de 3.

>> ¿Este conjunto de múltiplos tiene último elemento? ¿Por qué?

>> ¿Los múltiplos de 3, se dividen exactamente por 3? Compruébalo realizando algunas divisiones.

Juan organiza cada grupo de huevos de las culebras rato-neras, en bandejas, para guardarlos en la incubadora del cria-dero de reptiles. Para guardar el grupo de 24 huevos encuentra varias bandejas.

50

>> ¿Cuáles son las posibles distribuciones que puede hacer Juan con los 24 huevos?

>> En tu cuaderno completa el siguiente diagrama.

Los factores de un número también son divisores de ese número.

Los números que aparecen en el diagrama son los factores de 24.Este diagrama se conoce como diagrama de árbol.En tu cuaderno, divide a 24 entre cada uno de sus factores.¿Cómo son las divisiones?Los números 2 y 12, 4 y 6, 6, 3 y 8 también son divisores de 24. Solo faltan en la lista los número 1 y 24.

Responde: ¿Cuándo un número es divisor de otro?

Trabaja con dos compañeras o compañeros y respondan las siguientes preguntas o realicen las actividades en el cuaderno.1. ¿Es posible saber cuántos elementos tiene el conjunto de

múltiplos de un número? Expliquen su respuesta.

2. Completen el diagrama del 2 y el diagrama del 4.

2

2

2

x

x

x

x

x x

12

24

xx

4 x 3 =

=x x 3

24 = 2 x 1224 = 2 x 24 = 2 x

2

10 3 6 94 7 102 5 8

20 ? ? ?? ? ?4 ? ?

x

4

1 3 6 94 7 102 5 8

4 ? ? ?? ? ?8 ? ?

x

0

0

51

3. Elaboren los diagramas del 5, 6, 7, 8 y 9.a. En cada caso, ¿de dónde resultan, los números de los

círculos?b. Los múltiplos de 2 son también múltiplos de 4?c. Los múltiplos de 4 son también múltiplos de 8?d. ¿De qué números es múltiplo cero? ¿Por qué?e. ¿Todo número natural es múltiplo de él mismo? ¿Por qué?f. ¿Cuántos múltiplos tiene un número?

4. Construyan diagramas de árboles, para hallar los divisores de 36, de 100 y de 144.a. ¿Cuántos divisores tiene cada número?b. ¿Los divisores de un número son menores que él? ¿Por qué?

5. Sonia prepara para la venta, galletas de coco. Cada grupo de 24 galletas las empaca en cajas rectangulares, de manera que no sobren ni falten. ¿Cuáles son las posibles distribuciones que pueden hacer en las cajas para guardar las galletas?

6. ¿Cuáles serían las posibles distribuciones si las cajas contienen 40 galletas?

Represéntalas.

52

¿conoces a los primos?

Resuelve individualmente.En el criadero de reptiles también tienen lagartos de diferentes especies. Uno de ellas es el lagarto arlequín que pone entre 30 y 40 huevos de forma alargada.

Una mañana Juan recogió huevos de dos hembras de esta especie. Una de ellas tenía 36 huevos y la otra 37. Cada grupo de huevos debía acomodarse en una cubeta como la de la figura.

> ¿Qué grupo de huevos puede acomodar Juan en las cubetas, sin que le sobren? Explica

Con los 36 huevos se puede hacer un arreglo de 6 filas en el que cada fila tenga exactamente 6 huevos.

>> ¿36 es divisible por 6? ¿Por qué?>> Con el grupo de 37 huevos, ¿se puede formar un arreglo

de seis filas, cada una con igual número de huevos?>> ¿Se utilizarían todos los huevos? ¿Cuántos sobran?

¿Cuántos?>> Representa en tu cuaderno la situación.

Guía

53

>> ¿Por qué Juan no pudo acomodar los 37 huevos en una sola bandeja?

>> ¿37 es divisible por 6? ¿Por qué?>> ¿Cuándo un número es divisible por otro?>> ¿Recuerdas cuáles son los factores de 36? Escríbelos.>> Ahora halla los factores de 37.>> ¿Cuáles son?>> ¿El número 36 es primo o es compuesto? ¿Por qué?>> ¿El número 37 es primo o es compuesto? ¿Por qué?

En tu cuaderno, realiza divisiones para comprobar si:>> 36 es divisible entre 2.>> 36 es divisible entre 3.>> 36 es divisible entre 5.>> 36 es divisible entre 10.>> ¿Cuáles divisiones fueron exactas?>> ¿En cuales divisiones se obtuvo un residuo diferente de

cero?

Sigue el mismo procedimiento para comprobar que los núme-ros 32, 64, 96, 108 y 200 son divisibles entre 2.Los números 32, 64, 96, 108 y 200, ¿son pares o impares? ¿Por qué sabes que son pares o que son impares?Responde en tu cuaderno, ¿cuándo un número es divisible entre 2?

compara lo que escribiste con lo que aparece a continuación:Un número es divisible por 2 si el dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6, 8.Este enunciado se conoce como criterio de divisibilidad entre 2.

>> ¿596 es divisible por 2? ¿Por qué?>> ¿129 es divisible por 2? ¿Por qué?>> Ahora analiza cuándo un número es divisible por 3.>> ¿18 es múltiplo de 3?>> ¿18 es divisible entre 3?>> ¿24 es múltiplo de 3?>> ¿24 es divisible entre 3?>> ¿Cuáles cifras forman el número 18? >> ¿Cuál es la suma de esas cifras? >> ¿Es 9 divisible por 3?>> ¿Cuáles cifras forman el número 24? >> ¿Cuál es la suma de esas cifras? >> ¿Es 6 divisible por 3?

Un número natural mayor que 1, es primo si tiene exactamente dos divisores distintos: 1 y el mismo número.

Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores.

54

Responde en tu cuaderno, en general, ¿cuándo un número es divisible por 3?

compara lo que escribiste con lo que aparece a continuación.Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Este es el criterio de divisibilidad por 3.¿Puedes buscar otros ejemplos? Escríbelos en tu cuaderno.

La semana pasada, Juan organizó tres grupos de huevos en la incubadora. El primer grupo tenía 15 huevos, el segundo tenía 35 y el tercero tenía 40.

Los huevos debían guardarse en cubetas como la que se muestra en la figura.

>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el primer grupo de huevos?

>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el segundo grupo de huevos?

>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el tercer grupo de huevos?

>> ¿Los números 15, 35 y 40, son divisibles entre 5?>> Escribe en tu cuaderno, ¿cuándo un número es divisible

entre 5?>> Según lo que escribiste, ¿270 es divisible entre 5? ¿23 es

divisible entre 5? ¿Por qué?>> Compara lo que escribiste en tu cuaderno con lo que

aparece a continuación.Un número es divisible entre 5 si el dígito de las unidades es 0 o 5. Este es el criterio de divisibilidad entre 5

>> ¿98 es divisible entre 5?>> ¿5 es divisible entre 5?

Estos son otros criterios de divisibilidaddivisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es par y múltiplo de 3.Estos números son divisibles por 6: 24, 48, 156, 2604. Com-pruébalo.

divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si termina en cero.Escribe número de tres y cuatro cifras divisibles por 10.

55

En el criadero de reptiles hay un lagarto tokay, esta especie en particular, llama la atención de los expertos porque pone sus huevos de dos en dos. Ya se han recolectado 78 huevos de esta clase de lagarto, y se quieren acomodar en cubetas de tal forma que en cada una de ellas haya un número primo de huevos.

>> ¿Es posible dicha distribución?>> ¿Qué estrategia emplearías para saber si 78 tiene otros

divisores primos?

Intenta elaborando un diagrama de árbol para encontrar los factores de 78.

>> 78 es divisible entre 2.>> 39 es divisible entre 3.>> Los números 2, 3 y 13 son primos.

También puede ser:

>> 78 es divisible por 3.>> 26 es divisible por 2.>> Los números 2, 3 y 13 son primos.

Todo número compuesto se puede expresar como producto de factores primos. El proceso para hallar los factores primos de un número natural se denomina descomposición en factores primos.

Cuando se escribe 78 como 2 × 3 × 13, se dice que se ha expresado como producto de factores primos.

2

2

x

x x

39

78

3

3 2 13

x

x x

26

78

56

36 es divisible por 2. ¿Por qué?

18 es divisible por 2.

9 es divisible por 3. ¿Por qué?

3 es divisible por 3.

El cociente es 1. Así termina la descomposición.

36 ÷ 2

18 ÷ 2

9 ÷ 3

3 ÷ 3

1

Trabaja con un compañero o compañera. Luego compartan sus respuestas con el resto del grupo.

1. Indiquen qué dígito se debe eliminar del número 7 659 para la cantidad obtenida sea un número divisible entre 3.

2. ¿Por qué el número 3875 no es divisible entre 10?

3. Respondan y justifiquen sus respuestas. Busquen ejemplos o contraejemplos para argumentar sus respuestas.a. ¿Si un número es divisible entre 8, es divisible entre 2?b. ¿Si un número es divisible entre 2, también es divisible

entre 6?c. ¿Si un número es divisible entre 3, es divisible entre 9?

4. Javier desea comprar el terreno que está al frente de su casa. El terreno tiene forma rectangular y un área de 198 m2. Dibujen en sus cuadernos rectángulos que satisfagan esa condición.

5. Uno de los lados del terreno que quiere comprar Javier tiene como medida un número primo. ¿Cuáles de los rectángulos que dibujaron cumple con esa condición? ¿Cuáles son las medidas del terreno?

6. Observen como hallar los divisores primos del número 36.

57

¿75 es divisible entre 2? ¿Por qué?¿75 es divisible entre 3? ¿Por qué?¿Entre qué otro número es divisible 75?

¿Entre qué número es divisible el cociente obtenido? ¿Cómo lo sabes?

75 ÷ 3

÷ 5

7. Apliquen el método anterior para descomponer el número 75. Realicen el procedimiento en sus cuadernos.

¿Cuáles son los divisores primos de 75?

8. Confirmen mediante divisiones sucesivas cuáles son los divisores de 198 y confirmen las respuestas dadas en el punto 5.

9. Hallen la descomposición por divisiones sucesivas y por diagrama de árbol de los números: 675 y 1120. ¿Con cuál de los dos métodos te parece más sencillo? ¿Por qué?

10. ¿Qué números debe ir en las casillas, para que se forme un número divisible por 5?

7

11. Confirmen sus respuestas con la de otros compañeros. ¿Hay más de una respuesta?

12. Mónica es veterinaria y cada dos meses visita las fincas de la región para vacunar y revisar a los animales. En la finca de Andrés, vacunó a todos los terneros que había. Si la cantidad de animales vacunados en la finca es un número par, divisible por 3 y por 6, y, además mayor que 40 y menor que 50, ¿cuántos terneros vacunó Mónica?

13. En el criadero se reptiles Juan recogió los huevos de las serpientes ratoneras y reunió un total de 435 huevos. De qué manera los puede organizar para que en cada grupo quede la misma cantidad de huevos. Escriban todas las alternativas.

58

Forma grupo con tres compañeros y compañeras para desarrollar la siguiente situación.Juan desea construir algunos terrarios para tortugas recién nacidas, pero solo tiene dos vidrios de 168 cm y de 147 cm respectivamente. Él decide dividir los vidrios en pedazos de la mayor longitud posible. Sin que sobre ni falte.

> Dibujen la forma que pueden tener los terrarios que desea construir Juan.

> ¿Cuántas caras tienen los terrarios que dibujaron? > ¿Cuántas de esas caras deben tener las mismas longitudes?

¿Por qué? > Juan va a construir los

terrarios de forma cúbica. ¿Alguna del grupo realizó esa representación?

> Analicen cuáles pueden ser las dimensiones de cada una de las caras que forman los terrarios que va a construir Juan.

>> ¿Qué estrategia utilizaron para dar respuesta a la situación planteada en el ejercicio anterior?

>> Construye un diagrama de árbol para hallar los divisores de 168.

168

>> ¿Cuáles son los divisores de 147? Escríbelos en un cuaderno.

>> Construye un diagrama de árbol para hallar los divisores de 147.

147

¿conoces los mayores y los

menores?

Guía

59

>> ¿Cuáles son los divisores de 147? Escríbelos en un cuaderno.

>> Completa la tabla y encierra con color rojo los divisores que son comunes.

Número Divisores

168

147

Los números resaltados son los divisores comunes de 168 y 147.

>> ¿Cuál es el mayor? Esa es la mayor longitud en que Juan puede dividir los vidrios.Ese valor corresponde al máximo común divisor (m.c.d.) de 168 y 147.

>> ¿Cuántos pedazos de 21 cm de longitud puede cortar Juan de cada vidrio?

>> Si los terrarios que construye tienen forma cúbica, ¿cuántos construye?

>> Comparte con el resto del grupo tu respuesta, argumentándola.

>> ¿El grupo está de acuerdo con tu respuesta?>> ¿Estás de acuerdo con las respuestas dadas por tus

compañeros compañeras? ¿Por qué?

Usando la descomposición en factores primos de cada número, es posible encontrar el máximo común divisor entre ellos.

>> Escribe en tu cuaderno el número 168 como producto de factores primos.

>> Ahora escribe el número 147 como producto de factores primos.

>> Observa que el producto 3 × 7, aparece en las dos descomposiciones primas, por tanto, el m.c.d. entre 168 y 147 es 3 × 7 = 21.

>> Aplica lo que aprendiste, hallando el máximo común divisor entre 16, 24 y 60.

>> Define máximo común divisor. Comparte tu respuesta con el resto del grupo.

>> Escucha las respuestas de tus compañeros y compañeras, ¿compartes su opinión? Explica

60

Forma grupo con dos compañeros o compañeras más y realicen las actividades.

En el criadero de réptiles recogen huevos de culebra cada cuatro semanas, de lagarto cada seis semanas y de babilla cada ocho semanas. Según esa distribución, ¿es posible que en algún momento se recojan huevos de las tres especies de reptiles?

> Primero encuentren los diez primeros múltiplos de 4. Luego los diez primeros múltiplos de 6 y finalmente, los diez primeros múltiplos de 8.

> Completen en sus cuadernos la siguiente tabla.

Número Múltiplos

4

6

8

Resalten con rojo los múltiplos comunes a los tres números, distintos de cero.

> ¿Cuál es el menor de esos múltiplos comunes? > ¿Cómo se interpreta ese resultado para dar respuesta a la

situación planteada? > ¿Cada cuántos días coinciden recogiendo huevos de culebra,

lagarto y babilla?

Ese valor corresponde al mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 4, 6 y 8.

> Definan mínimo común múltiplo. > Compartan tu respuesta con el resto de la clase. > Hay respuestas diferentes. > Hay respuestas similares. > ¿La respuesta de ustedes es diferente o similar a las otras?

61

discutan y resuelvan cada situación1. Un grupo de geólogos viaja desde Bogotá hacia El

Cerrejón, una mina de explotación de carbón ubicada en el departamento de la Guajira, cada 20 días. Un grupo de ingenieros viaja a la mina, cada 25 días, y un grupo de topógrafos, cada 30 días. ¿Cada cuántos días se encuentran los tres grupos de profesionales en la mina?

2. Se desean cortar, en partes iguales, dos listones de 120 cm y 105 cm de largo respectivamente. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los pedazos?

3. Discutan al interior del grupo la siguiente situación.

En un almacén se compraron 3 piezas de tela. La primera tiene 72 metros, la segunda 48 metros y la tercera pieza 96 metros. Se quiere obtener pedazos de tela iguales y de mayor longitud posible para no desperdiciar la tela. ¿Cuál debe ser la longitud de cada pedazo de tela? ¿Cuántos pedazos de tela resultan de cada pieza?

> Escriban en el cuaderno las diferencias de opiniones y los acuerdos.

> Compartan con su profesor o profesora, las anotaciones que realizaron.

62

1. Un cartón de forma rectángular tiene 24 cm2 de área.Dibuja las distintas formas que puede tener el cartón si las medidas de sus lados son números naturales.

2. En la fábrica de bizcochos, La nena, se tienen bolsas en las que solo se pueden empacar 5, 7 u 11 galletas. Si se tiene 572 galletas, ¿en cuál de esas bolsas se pueden empacar sin que sobren galletas?

a. ¿Cuántos saltos necesita dar el grillo para llegar el número 96?

b. Escribe las posiciones de los primeros 11 saltos del grillo.

c. Si el grillo se encuentra en la posición del número 144. ¿En qué posición estará después de dar quince saltos más?

3. Tres líderes comunitarios están orga-nizando equipos de fútbol, baloncesto y voleibol con los jóvenes de una comunidad. Los líderes recogen las siguientes cantidades de dinero: para la compra de los uniformes del equipo de fútbol: 324 50a; para la compra de los uniformes de baloncesto, recibieron 89 b00, y para los uniformes el equipo de voleibol, recogieron 190 1c0. Si en cada equipo hay 11, 5 y 6 jugadores respectivamente, ¿cuáles son los valo-res de las letras a, b y c?

4. Un terreno rectangular tiene 266 m2 de área. Dibuja el terreno que satisface esa condición y para el cual uno de sus lados tiene como medida un número primo.

5. Un grillo salta sobre una recta de números naturales. Ini-cialmente se encuentra en el lugar del número 8 y en cada salto avanza 4 unidades.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

63

6. La suma de 4c8 y 524 es un número divisible por 6. ¿Qué valor debe tomar c, para que esto sea posible?

7. Dos empleados encargados de vigilar una finca deciden revisarla recorriéndola a caballo. El primero, tarda cinco minutos en dar la vuelta; el segundo tres minutos en dar una vuelta. Si parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben transcurrir para que se encuentren de nuevo en el punto de partida si continúan dando vueltas a la finca? Construye un esquema que represente la situación.

8. Al puesto de salud del pueblo de Villanueva, llegaron 1872 vacunas para la fiebre amarilla. Éstas estaban alma-cenadas en paquetes de seguridad cada una con la misma cantidad de vacunas y refrigeradas adecuadamente.

Con esa información es posible afirmar que, la cantidad de vacunas en cada paquete de seguridad no es múltiplo de 5. ¿Por qué?

>> ¿Podría ser un múltiplo de 10? ¿Por qué?>> ¿Podría ser un múltiplo de 6? Explica tu respuesta.>> ¿Si es un múltiplo de 6, también es múltiplo de 2?>> ¿Si es un múltiplo de 6, también es múltiplo de 3?>> Escribe una posible respuesta para esta situación. Explica tu razonamiento.

9. Mauricio tiene 48 guineos y Carmen tiene 72. Ellos quie-ren dividir la cantidad de guineos en grupos de igual cantidad y la mayor posible. ¿Cuál será la cantidad de guineos en cada grupo?

64

Que aprendí En el departamento de Tolima existe un lugar dedicado al cuidado y al estudio de diferentes especies de reptiles que se conocen en el país. Este sitio conocido como Ciudad rep-tilia, y en donde caimanes, cocodrilos y babillas, entre otras especies, conviven queda solo a quince minutos del munici-pio de Melgar. En ese sitio se ha tratado de recrear un hábitat natural para estos animales es vías de extinción.

Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno.1. En la incubadora de uno de los laboratorios de estudio de

ese sitio, tienen 45 huevos de crías de caimán. ¿Cuántos grupos con igual cantidad de huevos se pueden formar?

2. Rodrigo recogió huevos de dos hembras de caimán. Una de ellas tenía 42 huevos y la otra 56. ¿Con cuál grupo de huevos puedo formar grupos de seis sin que le sobraran?

3. En el parque se construyó una nueva laguna para las crías de babillas. Estas entran a la laguna formando grupos de 5. Si en total había 375 babillas, ¿cuántos grupos entra-ron a la laguna?

4. Nicolás ha reunido 73 huevos de tortugas. Desea orga-nizarlos en grupos de igual cantidad de huevos, pero no logra hacerlo. ¿Cuál es la razón?

5. ¿Con 68 huevos de crías de caimán es posible formar cinco grupos, de manera que todo tengan la misma can-tidad? Explica.

65

¿cómo me ven los demás?

Trabaja con dos compañeros o compañeras. 6. En la Sierra Nevada de Santa Marta, se

encuentra Ciudad Perdida, una construc-ción en ruinas construidas por los indios taironas hace más de 1000 años. Para ingresar a la ciudad, se deben subir 1225 escalones. Si el recorrido se hace en eta-pas de igual número de peldaños, ¿cuá-les son las posibles formas de hacer este recorrido?

7. Marta tiene una cuerda con la que puede medir longitu-des de 100 cm, 200 cm, 250 cm y 500 cm. ¿Cuál es la mayor longitud posible que puede tener esa cuerda?

8. Para mantener la temperatura adecuada en los establos y corrales de los animales en una finca, el dueño compró tres plantas eléctricas. Una se prende automáticamente cada dos horas, otra, se prende cada cuatro horas y la tercera se prende cada cinco horas. Si a las 7:00 de la mañana se encendieron las tres plantas, ¿cuánto tiempo pasará hasta que nuevamente se enciendan al tiempo?

>> Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

>> Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

Sí No A veces

Reconozco las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los números naturales.

Reconozco múltiplos y divisores de un número natural.

Resuelvo situaciones que requieran calcular los múlti-plos y divisores de un número.Encuentro el m.c.m. y el m.c.d. de dos o más números naturales.Resuelvo situaciones que requieran el cálculo del m.c.m. o del m.c.d.Trabajo activamente en grupo y espeto la opinión de mis compañeros o compañeras.

66

Rutas y mapasMÓDU

LO

¿Qué voy a aprender?

Estándares básicos de competencias

Pensamiento espacial

> Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. > Clasifico polígonos en relación con sus propiedades. > Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones

y vistas.

Cada vez que te desplazas de un lugar a otro, o cuando representas en un dibujo algún objeto o lugar estás haciendo uso de las matemáticas y más específicamente de los pensa-mientos espacial y métrico. A lo largo de este módulo descubrirás diferentes momentos o situaciones que muestran claramente estas aplicaciones.

Pensamiento métrico > Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la

solución de un problema.

La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos espacial y métrico, a través de los conceptos asociados al concepto de movimiento a partir del conocimietno de los elementos básicos de la geometría y las con-trucciones que se realizan a partir de ellos. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

67

GuíasConcepto de movimiento

Procesos

10 Elementos básicos de geometría

> Identificar los elementos básicos de la geometría y sus aplicaciones.

> Clasificar ángulos según su amplitud. > Reconocer las posiciones relativas de las rectas en el plano.

> Caracterizar y clasificar polígonos.

11 Ángulos

12 Rectas en el plano

13 Polígonos

En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

módULo 4 Pensamiento espacial y sistemas geométricos

A partir de

según su posición relativa se clasifican en

Que al unirse forman

Que pueden ser

llamadas

Que al unirse forman

como

movimiento

Punto

secantes Paralelas ángulos

Abiertas cerradas

Polígonos

Perpendiculares

Líneas poligonales

Recta semirecta segmentos

Los conceptos básicos de la geometría

68

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?La estadística es una herramienta de investigación que se usa en todas las

ciencias. Con ella, es posible describir conjuntos que sean sometidos a un estu-dio y, luego de su análisis predecir el comportamiento de los mismos a partir de datos correspondientes a partes de ese conjunto.

Tiene gran aplicación cuando se quieren determinar las necesidades de una región particular; por ejemplo, si desea conocer el rendimiento académico de los estudiantes, si se quiere saber cuáles son las actividades preferidas por las per-sonas para realizar en su tiempo libre o para identificar el medio de transporte que utilizan los estudiantes de postprimaria de una escuela de la región, entre otros casos.

¿cómo y qué se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú,

tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.

La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás activi-dades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.

Además encontraras dos secciones:Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes activi-

dades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus cono-cimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

69

Para la despedida del año escolar los estudiantes de grado sexto realizaron entre sus compañeros una encuesta, para decidir qué actividad podrían realizar.Estas fueron las respuestas obtenidas al realizar la pregunta: ¿qué actividad te gus-taría realizar para el cierre del año escolar?

Tarde en el río Visita al museo Tarde en el ríoAlmuerzo campestre Almuerzo campestre Almuerzo campestreAlmuerzo campestre Visita al museo Almuerzo campestreTarde en el río Tarde en el río Tarde en el ríoAlmuerzo campestre Visita al museo Almuerzo campestre

a. ¿Cuáles fueron las actividades propuestas por los estudiantes de sexto grado?b. ¿A cuántos estudiantes se les realizó la pregunta?c. ¿De qué manera se puede organizar esa información?d. ¿Qué actividad realizaron para la despedida del año escolar?e. ¿Por qué sabes que esa fue la elegida?


70

Elementos gráficos de Geometría

Recorre un cultivo hidropónicoPara algunos productores de hortalizas, plantas medicinales, alimentos o plantas ornamentales, que no cuentan con terrenos apropiados o suelos libres de contaminación, los cultivos hidropónicos se han constituido en un método muy valioso que garantiza su derecho al trabajo. Además, su organización facilita las tareas de valoración y cuidado de las plantas, ya que todos se encuentran distribuídos en grupos de canales o tubos dispuestos en línea recta, permitiendo el paso de los encargados.

> Describe con palabras la manera como está organizado el cultivo hidropónico de Carmen.

> ¿Qué crees que quizo representar con cada punto? > ¿Cuántos puntos hay en cada fila? ¿Y en cada columna? > Qué crees que se formaría si se unen los puntos de cada fila

sin dejar espacio entre ellos? > ¿Y si se unen los puntos de cada columna?

1. Carmenza tiene un cultivo hidropónico de fresa. Para una exposición que quiere realizar frente a sus trabajadores, diseñó un dibujo para representar la forma en que está organizado. Observa el dibujo y responde.

Recolección de datos

Guía

71

> Si quisiera encerrar cada una de las cuatro secciones que tiene el cultivo, ¿qué forma tendría la cerca?

> Compara tus respuestas con dos de tus compañeros.

El dibujo que elaboró Carmen para representar su cultivo muestra que se encuentra distribuido en cuatro secciones iguales y cada una de ellas está formada por plantas, repre-sentadas con puntos, alineados en filas y columnas.

Es fácil imaginar que el punto sea el elemento básico de cualquier dibujo por simple que parezca. De igual manera en geometría el elemento a partir del cual se definen otros, es el punto.

El punto se define como un elemento geométrico que no está dotado de dimensión, es decir que no tiene longitud, ni ancho, ni alto. Solamente tienen posición. En adelante los puntos serán representados con una letra mayúscula.

>> Si se dispusieran más puntos intermedios de tal manera que no quedaran espacios entre aquellos que conservan la misma dirección (que están en la misma fila o columna), tendríamos un ejemplo de lo que podría ser una recta.

observa y responde:

Cada da la idea de punto pero matemáticamente no lo es, sin embargo nos per-mite imaginar el comporta-miento de los elementos que se definen a partir del con-cepto de punto.

>> ¿Qué cambio se produce entre las imágenes?>> ¿Cómo crees que se vería una imagen en la que los

puntos estén cada véz más juntos?>> ¿Se podría prolongar la cantidad de puntos infinitamente?

>> Volvamos a observar al menos una de las secciones que dibujó Carmen.

72

>> ¿Sabes cómo se llama en geometría el elemento que cumple esta condición?Una recta se puede entender como una sucesión indefinida de puntos que se pro-longan en una misma dirección. La recta tiene una dimensión. Para nombrar la recta que pasa por los puntos A y B, se utiliza la notación:

>> Analiza la definición de recta que acabas de leer. Responde.>> ¿A cuál dimensión crees que se refiere la definición de recta?>> ¿Qué notación se utiliza para representar una recta que pase por los puntos O y

P? ¿Y por los puntos C y D?

Piensa en el caso de que se conozca el punto de partida de una sucesión de pun-tos pero no el punto final.

>> ¿Cómo representarías este nuevo elemento?>> ¿Cuál sería su definición teniendo en cuenta la definición de recta que leíste

anteriormente?>> ¿Qué notación utilizarías para identificar un representante de este concepto?

La semirrecta es una porción de recta. En ella, se conoce el punto de origen pero no el final.

>> Piensa y responde. Copia la tabla y marca con una X las características que consideras que tiene una semirrecta. Ten en cuenta que es parte de una recta.

Condición Sí No

Tiene una dimensión.

Está formada por una sucesión de puntos.

Se estiende infinitamente en dos sentidos por eso se representa con .

Se estiende infinitamente en un solo sentido por eso se representa con .

Otro concepto derivado del concepto de recta es el de segmento. En él aparte de conocer el punto de origen se conoce el final. Por lo tanto, es un elemento que puede dotarse de medida ya que es finito. Para nombrar un segmento cuyos puntos de ori-gen y final se denominan A y B se utiliza la notación .

73

1. Nombra los puntos que estén en la misma recta.2. ¿Qué elementos pasan o tienen como puntos incial o final a

los puntos C y E?

3. Realiza una lista de todas las semirrectas diferentes que se pueden trazar con punto inicial en: M, N u O.

4. Escribe la notación correspondiente para cada elemento.a. El segmento AB. b. La recta que pasa por M y N.

74

¡Anda caballito!

Los movimientos corporales y los desplazamientos que realizan los diferentes seres de la naturaleza, como los animales, ayuda a que nos formemos una imagen mental de los conceptos, los sistemas de representación y los símbolos que favorecen el desarrollo de competencias propias del pensamiento espacial y los sistemas geométricos.

> Lee la siguiente situación.

Don Roberto ató a dos de sus caballos a una estaca que había en medio de un terreno. Los caballos se separaron y tensionaron las cuerdas definiendo una figura de dos lados.

La hija de don Roberto dibujó en un papel la figura que se formó.

Reúnete con uno de tus compañeros y comenta las respuestas de estas preguntas.

> ¿Cuál es la figura que crees que dibujó la hija de don Roberto? > ¿Con cuál concepto geométrico puedes relacionar cada uno de

los lados de la figura? > ¿Qué función cumple la estaca con respecto a las cuerdas? > ¿Cómo representarías la estaca en el dibujo? > ¿Qué cambiaría en el dibujo si uno de los caballos se queda

quieto y el otro se separa más? > ¿Qué figura se formaría si los caballos dan una vuelta

completa y dejan huellas por donde pasan?

Organización e interpreación de datos

Guía

75

Una manera de plantear un dibujo sencillo que represente la situación de la página anterior, es imaginar cómo se vería la relación entre las cuerdas y la estaca si estuviéramos vién-dola desde arriba.

En este caso, se dibujarían las dos cuerdas tensas y unidas en un mismo punto, es decir a la estaca.

>> Observa los dibujos. Elije el que cumpla las condiciones expuestas y cópialo en tu cuaderno. Justifica tu elección.

Como te pudiste dar cuenta solo dos dibujos mostraban la unión de los lados en un mismo punto, pero únicamente uno de ellos cumplía con la condición de que las cuerdas estaban ten-sas, es decir formando una línea recta. En este caso, el dibujo representa la imagen más cercana al concepto de ángulo.

Un ángulo corresponde a la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen, lla-mado vértice.Para referirse a un ángulo en particular es necesario escribir una notación similar a la que utilizó en la guía anterior para simbolizar rectas, semirrectas y segmentos.>> Sigue estos pasos, realizando el dibujo correspondiente

en tu cuaderno:>> Asigna una letra al punto de origen, recuerda que este

punto es común para las dos semirrectas que definen los lados del ángulo.

>> Elige un punto cualquiera en cada semirrecta y dale un nombre. No olvides que los puntos se notan con letras mayúsculas.

>> Finalmente, el símbolo que reemplaza la palabra ángulo es y se escribe antecediendo las letras que elegiste dejando en el centro la que corresponde al vértice.

76

Ahora, retomemos una pregunta que se realizó en la primera página de esta guía: ¿Qué cambiaría en el dibujo si uno de los caballos se queda quieto y el otro se separa más?

>> Observa las representaciones y decide qué cambia en los pasos.

La cualidad que cambia cuando se separan o acercan las semirrectas o lados del ángulo se denomina amplitud. Si la separación de las semirrectas definen un círculo completo se dice que se realizó un giro de 360 grados (360°).

Un grado equivale a cada una de las 360 partes en las que se puede dividir una cir-cunferencia y se miden con un instrumento llamado transportador.

Este corresponde a una regla graduada que tiene forma de círculo o de semicírculo y permite comparar la amplitud de un ángulo con los grados en los que está dividido.

>> Según la amplitud de los ángulos se clasifican en:

>> Copia y escribe la descripción de los dos tipos de ángulo que faltan.

1. Observa los dibujos y realiza las actividades indicadas

Escribe la notación correspondiente a los siguientes ángulos.Con ayuda del transportador mide los ángulos de la figura anterior.2. Utiliza el transportador para construir ángulos que midan 30º, 54º, 85º, 90º, 120º, 145º y 170º.

77

3. Observa la figura y responde.a. ¿Cuántos ángulos pueden identificarse? Menciónalos y

escribe su notación.b. ¿Qué tienen en común todos los ángulos?

78

¿Quién dejó esta huella?

Generalmente, cada vez que nos desplazamos de un lugar a otro, ya sea por nuestros propios medios o utilizando algún tipo de transporte, déjamos huellas fáciles de reconocer y que le permite a los observadores tratar de averiguar de dónde partimos y en qué dirección nos movemos. En esta guía te invitamos a sacar todos tus dotes de investigador para que nos ayudes a decifrar ¿quién dejó esta huella

> Reúnete con un compañero o compañera. Resuelvan las preguntas.

Luis y sus amigos montaron en bicicleta sobre un terreno que estaba un poco lodoso y por tanto era fácil ver las huellas que dejaron por donde pasaron.

> Observen el esquema y respondan.

diAnA

JUAn

nidiA

LUis

Representación de datos

Guía

79

>> ¿Qué tienen en común los caminos que marcaron Luis y sus amigos?

>> Copien en su cuaderno la siguiente tabla. Dibujen cada pareja de caminos y describan la relación que existe entre ellas, respondiendo a preguntas como:¿Se cortan? ¿Conservan entre sí la misma distancia? ¿Qué ángulos se forman entre ellas?

NiñosDibujos de los caminos

Descripción

Juan y Diana

Nidia y Luis

Diana y Luis

Diana y Nidia

Retomemos la situación que nos habla de los caminos marca-dos por Luis y sus amigos en su paseo por el terreno lodoso.

La primera característica que se puede tener del conjunto de huellas que dejaron los niños con sus bicicletas, es que todos transitaron en línea recta. Es decir, cada personaje con-servó la misma dirección durante el recorrido que realizó en el terreno.

Otra conclusión es que no importa el sentido en el que avanzaron, finalmente se puede definir si los caminos tienen puntos en común o no, aunque los niños hayan transitado en sentidos contrarios.

>> Para analizar la relación existente entre los caminos, podemos empezar por elegir algunos que se cortan entre sí.

80

caminos marcados

caminos marcados por diana y nidia

caminos marcados por Juan y Luis

caminos marcados por Juan y Luis

>> Mide los ángulos que se forman en cada caso. ¿Alguna pareja de líneas forma ángulos rectos? Comenten su respuesta.Cuando un par de rectas se cortan o tienen un punto en

común se llaman secantes. Pero si además de cortarse, los cortes forman ángulos rectos, se dice que las líneas son per-pendiculares.

>> Ahora revisemos las rectas que, según el dibujo, no se cortan entre sí.

>> Calca los dibujos en papel mantequilla o bond. Prolonga cada línea en ambos sentidos con ayuda de una regla. ¿Qué sucedió?Las rectas que al prolongarse tienen un punto común, son

secantes. Pero, si al prolongarse en ambos sentidos, siempre conservan la misma distancia entre sí, reciben el nombre de rectas paralelas.

1. Copia el siguiente modelo y completa la tabla. Ten en cuenta el trabajo que se realizó en las páginas anteriores.

nidiA

LUis

diAnA

JUAn


Descripción

Juan y Diana

Nidia y Luis

Diana y Luis

Diana y Nidia

81


Descripción

Juan y Diana

Nidia y Luis

Diana y Luis

Diana y Nidia

2. Dibuja dos pares de líneas paralelas y dos de líneas perpendiculares. Aprovecha las líneas de una cuadrícula.

3. Piensa en la siguiente afirmación y explica si es verdad o no: “todas líneas perpendiculares son secantes pero no todas las secantes son perpendiculares”.

82

Elementos gráficos de Geometría

Si realizaramos un mapa detallado de cada uno de los lugares por los que nos movemos diarimente mientras realizamos nuestras tareas diarias, el resultado sería un sin número de segmentos unidos que podrían definir figuras y vértices.

> Lee la siguiente situación:

Guillermo quiere realizar un plano del recorrido que tiene que hacer todos los días, para cumplir con sus tareas diarias.

a. Primera tarea: ordeñar las vacas y sacarlas a pastear.

b. Segunda tarea: recoger los huevos y darles de comer a las gallinas.

c. Tercera tarea: alimentar a los cerdos.

d. Cuarta tarea: llevar a las vacas de nuevo al corral.

> Observa y copia la ubicación de los puntos que se muestran a continuación. Piensa en el recorrido que hace Guillermo y traza los caminos correspondientes.

Guía

83

>> ¿Qué figura se forma al trazar los recorridos? >> Dibuja en tu cuaderno otra figura similar y explica

cuáles son las características comunes que tienen entre sí.

>> Observa estas figuras y escribe en tu cuaderno qué las diferencia de la que se obtuvo al dibujar el recorrido hecho por Guillermo.

>> ¿Qué tipo de figura se formaría si antes de regresar las vacas al corral, tuviera que ir a un sitio más? ¿Y a dos sitios más? Realiza un dibujo que explique la situación planteada.

>> Piensa en las actividades que realizas todos los días. Recuerda la ubicación de los lugares en donde las haces y representa los recorridos en un dibujo. ¿Qué figura obtuviste?

>> Comencemos entonces, por diferenciar las figuras abiertas y las cerradas.

Figuras abiertas

Figuras cerradas

84

Escribe algunas características que identifiques en cada uno de los grupos de líneas, ya sean abiertas o cerradas.

>> ¿En qué grupo incluirías el esquema que elaboró Guillermo, según la situación planteada en la primera página de esta guía?

>> Revisando nuevamente la situación, Guillermo plantea un punto de partida (el corral de las vacas), que coincide con el punto final. Por lo tanto, el recorrido descrito por Guillermo corresponde a una línea poligonal cerrada.

corral de la vacas

corral de los cerdos

corral de las gallinas

Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de seg-mentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está con-formado por una línea poligonal cerrada.

La palabra polígono está formada por dos voces de ori-gen griego: "polys": muchos y "gonía": ángulos; por lo tanto, es una figura con muchos ángulos.

>> ¿Cuántos ángulos identificas en el dibujo elaborado por Guillermo?

>> ¿Qué tiene en común este número con el número de lados o segmentos?Guillermo se pregunta qué figura se formaría si en lugar

de ir a tres puntos diferentes tuviera que desplazarse con-secutivamente por cuatro, cinco, o más puntos. Dibuja en tu cuaderno los esquemas correspondientes. Escribe cuántos lados tiene cada polígono.

85

Elabora la tabla en tu cuaderno y registra el número de lados, ángulos y vértices que tiene cada polígono. Ten en cuenta que en la tabla se presenta la clasificación de polígonos según sus lados.

Polígono Lados Vértices Ángulos

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

1. ¿Qué tienen en común los polígonos qué se presentaron en la tabla anterior?

2. Dibuja otros polígonos que tengan las mismas características de los que se presentaron en la tabla, pero que tengan diferente forma.

86

> Observa el grupo de figuras y resuelve.a. Identifica la figura que no sea polígono.b. Dibuja dos de los polígonos en tu cuaderno y señala con un

color los lados y con otro los ángulos.c. Dibujar dos polígonos y dos líneas poligonales abiertas

marcapáginas en origammi

1. Consigue un cuadrado de papel de diez centímetros de lado. Sigue los pasos y responde en cada caso.

Dobla el cuadrado por cada una de sus diagonales. Ábrelo nuevamente,

> ¿Qué tipo de líneas se formaron?

> ¿Qué tipo de relación guardan entre ellas?

Marca el vértice superior con la letra A y el inferior con la letra B.Marca el punto de corte con la letra O.

Lleva los vértices A y B hasta el punto central O.

> ¿Qué sucede con ? ¿En cuántas partes queda dividido?

> ¿Qué clase de figura se forma al dejar doblado el cuadrado?

A

B

O D E

OD E

G F

A

B

O D E

OD E

G F

87

> Dobla el hexágono por el segmento DC, hacia abajo. ¿Qué forma tiene el papel doblado en este paso?

> Marca los vértices laterales superiores

> Dobla hacia adelante para formar los segmentos OF y OG.

> Dobla las puntas dentro de un bolsillito que se formó. ¿Qué clase de figura se formó?

¿Cuánto miden sus ángulos?

Utiliza la figura que acabaste de hacer para marcar la página que te interesa de un libro.

> ¿Qué clase de ángulo se forma en la parte superior del triángulo?

> ¿Qué clase de figura se formó? ¿Cuánto miden sus ángulos?

¿Cómo te sentiste al desarrollar la actividad propuesta?¿Te sirvieron los temas que aprendiste en esta guía?

> Observa la figura. Escribe falso o verdadero según sea el caso.a. es paralela a ( )b. b. La recta FC pasa también por el punto O.( ) c. c. El ángulo BOD es recto.( ) d. d. El ángulo FOA es agudo.( ) e. e.El polígono tiene forma de pentágono.( )

A

B

O D E

OD E

G F

D

O

E

GF

D

O

E

GF

D

O

E

GF

A

B

O

D

E

C

F

88

1. Comienza a trazar imaginariamente líneas (horizontales, verticales o diagonales) en el dibujo de modo que esto te permita realizar las siguientes actividades.a. Identifica un punto.b. identifica un segmento.c. Señala un ángulo de cada tipo (recto, agudo, obtuso).

Observa el grupo de figuras y completa la tabla.

Qué aprendí

>> Coloca los números de los cuadriláteros en la casilla que correspondan de acuerdo a la característica señalada.

Carácterísticas Cuadriláteros

Dos pares de lados paralelos

Dos lados paralelos y dos no

Ningún lado paralelo

Tiene al menos un ángulo obtuso

Tiene todos sus ángulos rectos

89

cómo me ven los demás

me autoevalúo

Formen grupos de dos a tres personas.a. Investiguen cómo elaborar alguna figura en papel.Y

practiquénla.b. Enséñenles a sus compañeros a realizarla aprove-

chando los temas que se trabajaron en esta guía.c. Evalúen entre todos el trabajo que realizan cada uno

de los grupos.

>> Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Si A veces No

Identifica los conceptos básicos de la Geometría.

Reconoce las características, las clases, las relaciones y las propiedades de los ángulos.

Reconoce las posiciones relativas de las rectas en el plano.

Clasifica polígonos a partir de sus características.

Se interesa por conocer las opiniones de sus compañeros y presentar con claridad las suyas.

Se preocupa por preparar sus trabajos y exposiciones.

Acepta sus errores o dificultades y trata de superarlos.

90

La medida es cosa seria

MÓDU

LO



Pensamiento métrico > Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de

estimación. > Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

Pensamiento numérico

> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en diferentes contextos y dominios numéricos.

> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Con el estudio del concepto de medición que se trata en módulo, alcan-zarás estándares básicos de competencias asociados a los pensamien-tos métrico y numérico. A continuación se especifican las guías que contiene el módulo y los aspectos que se desarrollan en las mismas.

91


1Unidades de longitud

Utilizar diferentes procedimientos de cálculo para hallar la medida de longitudes y superficies. Usar y construir modelos geométricos para solucionar problemas. Seleccionar unidades tanto estandarizadas como no convencionales apropiadas para diferentes mediciones.

2Unidades de superficie

3Unidades de tiempo


Módulo 5Pensamiento métrico

Las magnitudes

Medida

Unidades

Naturales

Palmo pie

Convencionales

Sistema métrico decimal

El metro multiplicativas

Longitud multiplicativas

El segundo multiplicativas

Tiempo multiplicativas

Admiten Pueden ser de

Que necesita

Como

Como

Para

Para

Para

Que pueden expresarse en el

Pueden ser de

El metro2 cuadrado multiplicativas

Superficie multiplicativas

92

¿Para qué te sirve?Medir es una de las actividades que el ser humano realiza con mayor frecuencia. La actividad de medir proporciona un enlace entre el mundo físico y el matemático, debido a que ella permite asignar un número, llamado medida, fenómenos físicos o propiedades de los cuerpos, tales como: tiempo, longitud, peso y capacidad, entre otros.

Conocer las unidades de medida de uso frecuente en el país, te permitirá conocer un lenguaje universal para determi-nar las distancias, las áreas o los volúmenes.

¿Cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momen-tos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evi-denciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el las unida-des de longitud, superficie y tiempo.


Además encontraras las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te permitirán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que en las que usarás tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

93


Personas haciendo trabajos de carpintería en una vivienda rural.Para hacer unas reformas de carpintería en su casa, Rosario compró los siguientes materiales:

>> 10 listones de 2 m >> 21 listones de 75 cm >> 50 listones de 15 dam >> 100 pequeños listones de 1 dm >> 1 rollo de alambre de 10 dam

a. ¿Cuántos centímetros de listón compró en total?b. Si devolvió la mitad de los listones pequeños, y la tercera parte de los gran-

des, ¿cuántos metros utilizó en las reformas?c. ¿Cuántos metros de alambre empleó?

94

¿Qué está cerca y qué está lejos?

Intuitivamente conocemos lo que es longitud o largo. En la práctica, lo que realmente medimos es la distancia o separación entre dos puntos, y dependiendo de la unidad de medida elegida, podemos decidir si uno de los puntos está cerca o lejos del otro. En esta guía estudiarás las unidades pactadas universalmente para medir, no solamente longitudes; también las que se usan para medir superficies y el tiempo.

Formen grupos de cuatro integrantes y desarrollen, en el cuaderno, las actividades que se proponen a continuación.

> Fijen dos puntos diferentes y alejados uno del otro, en un espacio abierto del colegio, coloquen un objeto en cada punto elegido. Luego, cada uno de los integrantes del grupo debe contar la cantidad pasos que separan esos dos puntos.

> Anoten los resultados en sus cuadernos, en una tabla como la siguiente.

Estudiante

Número de pasos

> Comparen los datos registrados en la tabla. ¿Los resultados son iguales o diferentes?

> ¿Por qué creen que se presentan diferencias, si las hay?> ¿Cómo se podrían evitar estas diferencias?

> Midan algunos objetos con la palma de la mano. Por ejemplo, una mesa del salón. Comiencen por uno de los extremos y apoyen sus manos una a continuación de la otra a lo largo de un lado de la mesa. Cuenten.Cada uno de los integrantes del grupo debe determinar cuántas veces cabe su mano en el lado de la mesa y completar la siguiente frase en su cuaderno.

El lado de la mesa mide _____ manos.

Con el mismo procedimiento midan el alto de la mesa: desde el piso hasta la tabla donde se apoyan los útiles escolares y completen el siguiente enunciado.

La mesa mide _____ manos de alto.

Guía

95

> ¿Es práctico medir el ancho y el largo del salón de clases con las manos? ¿Y para distancias largas, como el recorrido de su casa a la escuela?

> Piensen elementos que sirvan para medir, por ejemplo: la regla. ¿Les parece necesario tener una medida universal para medir? Expliquen su respuesta.

Si se mide sin ningún instrumento, se hace una estimación de la medida.Y si se eligen distintas unidades para una misma cantidad, se obtienen medidas diferentes, lo cual impide comparar cantida-des de una determinada magnitud y dificulta las operaciones.Con el propósito de evitar los inconvenientes de elegir dife-rentes unidades para hacer mediciones, en casi todos los países del mundo se ha adoptado el Sistema Internacio-nal de Medidas (SI) que es la forma actual del Sistema Métrico Decimal.Las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Medi-das son las siguientes:

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente eléctrica Ampere A

Temperatura termodinámica Kelvin K

Intensidad luminosa Candela cd

Cantidad de sustancia Mol mol

Otras unidades del SI, algunas de las cuales estudiarás en cursos posteriores, son:

Magnitud Unidad Símbolo

SuperficieMetro cuadrado

m2

VolumenMetro cúbico

m3

Capacidad Litro L

96

>> Indiquen la unidad correspondiente en el Sistema Internacional de Medidas para cada magnitud.Longitud MasaCapacidad Superficie

>> Dibujen un segmento y mídanlo con una regla.- ¿Qué magnitud midieron?- ¿Cuánto mide el segmento que dibujaron?- ¿Qué unidad utilizaron?

El metro (m) es la unidad fundamental de longitud.

>> Pidan ayuda a su profesor o profesora y tracen en el piso una recta de longitud 1 m. ¿Cuántos pasos caben en 1 m? ¿Cuántos palmos?

Para medir longitudes menores que un metro se utilizan unidades más pequeñas deno-minadas submúltiplos del metro.

Cada una de las diez partes iguales en que se divide un metro se llama decímetro. 1 m = 10 dm

Cada una de las diez partes iguales en que se divide un decímetro se llama centíme-tro. 1 m = 10 dm = 100 m

Cada una de las diez partes iguales en que se divide un centímetro se llama milíme-tro. 1 m = = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

>> Propongan algunos ejemplos de longitudes para las cuales sea conveniente utilizar el decímetro, el centímetro y el milímetro, como unidades de medida.

Para medir longitudes mayores que el metro se utilizan unidades más grandes llama-das múltiplos del metro.

Un decámetro equivale a diez metros. 1 dam = 10 m

Un hectómetro es igual a cien metros. 1 hm = 10 dam = 100 m

Un kilómetro equivale a mil metros. 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m

1 2

1cm 1mm

3 4 5 6 7 8 910

97

>> Se puede estimar una longitud de 1 m fácilmente.- Estimen cuántos decámetros hay en el ancho y el largo de la escuela.- Nombren distancias a su alrededor, que midan 1 hm y 1 km.- Estimen la distancia que cada uno debe recorrer para ir de la casa a la escuela.

Trabaja individualmente y resuelve estas actividades en el cuaderno.

indica la unidad que consideres más apropiada para medir lo que se indica en cada caso.

La altura de la montaña La distancia entre dos ciudades El diámetro de la moneda

Resuelve cada situación. > ¿Cuántos trozos de 60 cm se pueden cortar de una cuerda de 150 m de largo? > La plaza de Santa Ana tiene forma rectangular. Si la plaza mide 2 hm de largo y 150 m

de ancho, ¿cuántos metros se recorren al darle dos vueltas completas? > Miguel tiene que recorrer 660 m desde su casa hasta la escuela. Si cada paso de Miguel

mide 55 cm, ¿cuántos pasos debe dar en este recorrido? > Una puerta mide de ancho 80 cm y de alto 120 cm del ancho. ¿Cuántos metros de

madera se necesitan para enmarcar la puerta? > Lucía utiliza 60 cm de cinta para hacer moños. ¿Cuántos moños puede hacer con 30 m

de cinta?

x

98

¿cuál región es más

extensa?

En algunas ocasiones, es necesario determinar qué tan extensa es una superficie. Por ejemplo, para negociar un terreno es importante conocer la medida del mismo, para saber cuántas baldosas se deben comprar para recubrir el piso de una habitación, se necesita conocer su área, etc. Con el estudio de esta guía conocerás cuáles son las unidades de uso frecuente para medir superficies y a manejar las relaciones existentes entre ellas.

Reúnete con un compañero o una compañera y desarrollen las siguientes actividades.Copien las siguientes figuras y recorten en cartulina 30 fichas de cada una.

> Tomen una hoja de papel y recúbranla primero con solo círculos, luego con solo triángulos y por último con solo cuadrados.

En cada caso, acomoden los moldes utilizados de manera que no queden unos sobre otros y que cubran completamente la hoja.

> ¿Cuántos círculos caben en la superficie de la hoja? > ¿Con cuántos triángulos se cubre completamente la hoja? > ¿Cuántos cuadrados colocaron sobre la hoja para cubrirla

totalmente? > ¿Con cuál de los moldes se recubre mejor la hoja de papel y no

quedan espacios sin cubrir? > ¿Por qué se utiliza un número diferente de fichas cada vez

que escogen una figura distinta para recubrir una misma superficie? Expliquen su respuesta.

> Si deben elegir una unidad de medida de superficies, ¿cuál de los tres moldes les permite medir de manera más exacta? ¿Por qué?

Guía

99

>> Si deben medir el piso del salón de clase, ¿qué unidad de medida elegirían? ¿Y para medir la superficie ocupada por la población en que viven o la de Colombia? Expliquen su respuesta.

La unidad de medida de superficie es el metro cuadrado. Un metro cuadrado (1 m2) es la superficie de un cuadrado de lado 1 m.

Con ayuda de su profesora o profesor, busquen una superfi-cie lisa (como el piso del salón de clase), sobre la que puedan dibujar un cuadrado de lado 1 m. Esta superficie mide 1 m2.

>> ¿Cuántos de ustedes se pueden parar al mismo tiempo sobre esta superficie?

>> ¿Cuántos metros cuadrados caben en el piso del salón? Hagan una estimación.

Para medir superficies menores que el metro cuadrado, se utilizan los submúltiplos el metro cuadrado. Estos son: el decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado y el milíme-tro cuadrado.

Un decímetro cuadrado es un cuadrado de 1 dm de lado. En un metro cuadrado caben 100 decímetros cuadrados. Un centímetro cuadrado es un cuadrado de 1 cm de lado. En un decímetro cuadrado caben 100 centímetros cuadrados.Un milímetro cuadrado es un cuadrado de 1 mm de lado. En un centímetro cuadrado caben 100 milímetros cuadrados.

Completen en el cuaderno las siguientes equivalencias, de acuerdo con lo anterior.

1 m2 = ……dm2

1 dm2 = …….. cm2, por lo tanto, 1 m2 = …… dm2 = ……….. cm2

1 cm2 = …… mm2, por lo tanto,

1 m2 = ……. dm2 = …………… cm2 = …………………mm2

100

Para medir superficies más grandes que el metro cuadrado se utilizan unidades llamadas múltiplos del metro cua-drado. Estas son el decámetro cuadrado, el hectómetro cua-drado y el kilómetro cuadrado.

Un decámetro cuadrado es igual a cien metros cuadrados. Un hectómetro cuadrado es igual a diez mil metros cuadrados.Un kilómetro cuadrado es igual a un millón de metros cuadrados.

¿Cuáles son los valores que hacen verdadera cada igualdad?1 dam2 = …… m2

1 hm2 = ……. dam2 = ……… m2

1 km2 = ……. hm2 = ……… dam2 = ………… m2

Indiquen qué unidad utilizarían para medir cada superficie.>> La superficie de la población donde viven.>> La superficie del escritorio del profesor.>> La superficie de una cancha de baloncesto.

Para expresar medidas de superficie que se refieren a exten-siones de fincas, campos, terrenos, etc., se utilizan las llama-das unidades agrarias. Analicen la información de la siguiente tabla en la que se muestra la equivalencia con las unidades de superficie y complétenla con las cantidades correspondientes.

Unidades agrarias

Unidad Símbolo EquivalenciaEquivalencia en metros cuadrados

Hectárea ha 1 hm2

Área a 1 dam2

Centiárea ca - 1 m2

>> Averigüen cuántas hectáreas mide una de las fincas cercanas a la escuela y expresen esta medida en:a. Hectómetros cuadrados b. Decámetros cuadrados c. Metros cuadrados

>> Comparen sus resultados con los de otro grupo. ¿Obtuvieron las mismas respuestas? Pidan ayuda a su profesor o profesora para unificar las respuestas.

101

Realiza las siguientes actividades en el cuaderno.

Resuelve las siguientes situaciones. > Averigua cuántos cuadritos tiene

un tablero de ajedrez. Si se sabe que cada cuadrito mide 4 cm de lado, ¿cuántos milímetros cuadrados de superficie tiene el tablero?

> Una hectárea equivale a 10 000 m2, determina:- ¿Cuántas hectáreas hay en un terreno de 500 dam2?- ¿Cuántas áreas y cuántas centiáreas hay?

> Los habitantes de Santa Ana quieren pintar las paredes de la iglesia, las cuales ocupan 5 dam2 y necesitan dos manos de pintura. La pintura que se utilizará cubre 10 m2 de superficie y cuesta $12 000. ¿Cuánto cuesta la pintura que se debe comprar?

> El largo de un terreno de forma rectangular mide 90 m y el ancho mide del largo. ¿Cuántas vueltas hay que dar alrededor del terreno para recorrer 4 km?

> Las superficies de América del Norte y América Central suman 24 200 000 km2, mientras que la de América del Sur es de 17 800 000 km2. ¿Cuántos hectómetros cuadrados menos tiene la superficie de América del Sur?

Escribe en el espacio en blanco el número que corresponda. …… m2 = 75 dam2 ……. dm2 = 45 hm2

..…… m2 = 9 km2 ……. cm2 = 75 m2 Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie.

5 dam2 2 km2300 hm2 8 km27 hm2 9 dam2

102

¿cuánto tiempo ha

pasado?

¿Cómo sería el mundo sin relojes ni calendarios? ¿Cómo sabrías que es hora de levantarse por la mañana? ¿Cómo sabrías cuántos días faltan para las vacaciones? Afortunadamente, a partir de los principales fenómenos astronómicos, tales como los movimientos de la Tierra y las apariciones periódicas del Sol y la Luna, el hombre ha podido establecer un sistema de división del tiempo repartido en días, semanas y meses, que le permite organizar su vida.

Trabaja individualmente en el cuaderno.Completa la siguiente tabla. Pregunta a tu profesor o profesora los datos que tú no sabes.

Situación Tiempo

Viaje de tu casa al colegio

Viaje desde el pueblo en que vives hasta la capital de tu departamento en bus

Descanso en la jornada escolar

Vacaciones de mitad de año

Tu edad

Edad del profesor o profesora de matemáticas

Compara los datos que escribiste en la tabla anterior, con la de alguno de tus compañeros o compañeras.

> ¿Cuáles unidades utilizaron en común para determinar los tiempos indicados en la tabla? ¿Cuáles de las unidades de tiempo son diferentes?

Expresa, en minutos, la hora que indica cada reloj.

Guía

103

Reúnete con un compañero o compañera y realicen las siguientes actividades en el cuaderno.Lean la siguiente información. Luego contesten las preguntas que se formulan a continuación.

“Las primeras mediciones del tiempo se hicieron a partir de observaciones astronómicas y durante mucho tiempo el cielo fue el instrumento principal de esa medición. Desde muy temprano en la historia, el ser humano se dio cuenta que podía recurrir a los fenómenos físicos que se repetían de forma periódica y aprovechar su regularidad para construir instrumentos que midieran intervalos de tiempo. El primer “reloj” que estuvo a la disposición del hombre fue sin duda el derivado de la alternancia del día y de la noche, es decir, el día solar.

Pero a lo largo de la historia tecnológica aparecieron inven-tos cada vez más sofisticados que permitieron “observar” lapsos de tiempo, desde los calendarios que registran días, años y siglos, pasando por las clepsidras, velas, cuadrantes y otros instrumentos que miden periodos más cortos, como las horas, minutos y segundos, hasta el reloj de átomos de cel-sio, cuya precisión se mantiene durante 30 000 años.”

Tomado de http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/historia/histdeltiempo/pasado/tiempo/p_midien.htm

> -¿Cómo descubrió el ser humano el “paso del tiempo”? > -¿Cuál fue el primer “reloj” que tuvo a disposición el hombre? > -¿Cuáles inventos aparecieron a lo largo de la historia para

“observar” el tiempo?

Para medir períodos de tiempos menores que el día se utili-zan la hora, el minuto y el segundo.

Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta veces menor que la uni-dad de orden inmediato superior, como se muestra en la siguiente tabla.

104

Unidad Símbolo Equivalencia

Hora h 1 h = 60 min

Minuto min 1 min = 60 s

Segundo s 1 h = 3 600 s

Para medir periodos de tiempo mayores que una hora, se utilizan las unidades que se presentan en la tabla. Cópienla y completen las equivalencias con ayuda de su profesor o profesora.

Día Semana Quincena Mes Semestre Año

……. h …… días …… días …., …. ó …. días

…… meses …… días

Con ayuda de su profesor o profesora, averigüen las equivalencias que no conocen y completen los siguientes enunciados en el cuaderno.

Un bimestre es la agrupación de …… meses.Un trimestre es la agrupación de ….. meses.Un semestre es la agrupación de …….. meses.Un lustro o quinquenio: es un período equivalente a ……. años.Una década es un período equivalente a …… años.Siglo es un período equivalente a …… años.Un milenio es un periodo equivalente a ……. años.

Observen las siguientes equivalencias y comparen con las respuestas en de la acti-vidad anterior.Unidad de

tiempoSiglos Décadas Años Meses Semanas Días Horas Minutos Segundos

1 milenio 10 100 1 000

1 siglo 1 10 100 1 200

1 década 1 10 120 520

1 lustro 5 60 260

1 año 12 48 365

1 mes 428 a 31

1 semana 1 7 168

1 hora 1 60 3 600

De acuerdo con esta información:9 h 20 min es igual a (9 x 60) min + 20 min = 540 min + 20 min = 560 min3 h 50 min es igual a (3 x 60) min + 50 min = 180 min + 50 min = 230 min

105

Realiza las siguientes actividades en el cuaderno, de manera individual.

Copia y responde las siguientes preguntas. > ¿Cuántas horas tiene una semana? > ¿Cuántos segundos son 5 min? > ¿Cuántos días son cinco semanas? > ¿Cuántos años son cuatro siglos? > ¿Cuántos meses son 15 años?

Resuelve cada situación. > Un vehículo avanza a una velocidad constante de 80

kilómetros por hora en la carretera. ¿ Cuántos kilómetros recorrerá en tres horas?

> ¿Cuántos días ha vivido cada persona hasta hoy?

Fecha de nacimiento: 12 de mayo de 2000 Fecha de nacimiento: 5 de agosto de 1995

> Colón salió del puerto de Palos el día 3 agosto de 1492 y llegó a la isla de San Salvador, el 12 de octubre del mismo año. ¿Cuántos días duró el viaje? ¿Cuántas semanas?

> Un ciclista entrena diariamente 6 h 14 min 38 s. ¿Cuánto lleva pedaleando, si ha entrenado ya la mitad de ese tiempo?

> Halla las horas que hubo entre: 1 de noviembre de 1987 y el 5 de marzo de 1988.

> Santiago nació el 2 de mayo de 1990 y su padre el 1 de febrero de 1965. ¿Cuántos días de diferencia hay entre las edades del padre y del hijo?

> Calcula cuántos días hay entre:

El 7 de marzo y el 23 junio El 2 de enero y el 8 de marzoEl 16 de agosto y el 28 de diciembre El 14 de julio y el 15 de septiembre

106

Sonia tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cinta blanca mide 6 dm, 8 cm y 5 mm.

>> Calcula la longitud en milímetros de cada cinta. >> Sonia cortó la cinta azul en cinco trozos iguales. ¿Cuál

es la longitud en milímetros de cada trozo? >> Sonia necesita 1 m de cinta blanca. ¿Cuántos

centímetros más de cinta blanca tiene que comprar?

Un vehículo A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro vehículo B lleva una velocidad constante de 120 km por hora.

Calcula. >> Los kilómetros que recorre cada coche en 1 minuto. >> Los metros que recorre cada coche en 1 minuto. >> Los metros que recorre cada coche en 1 segundo.

Enrique tiene que comprar listón de madera para hacer tres marcos con las dimensiones que se observan en las figuras.

Calcula: >> Los centímetros de listón que tiene que comprar para

cada marco. >> El precio de cada marco, si el metro de listón cuesta $

9 500. Las siguientes figuras representan el plano de un campo de fútbol, una piscina y un gimnasio.

35 c

m

52 cm

22 c

m

42 cm

75 c

m

1 m

107

Cada uno de estos planos está hecho a escala 1: 2 000, es decir, 1 cm sobre el plano representa 2 000 cm sobre el terreno real.

>> Utiliza una regla y calcula las dimensiones reales en metros del campo de fútbol, la piscina y el gimnasio.

De un patio rectangular de 8 m de largo y 6 m de ancho se han embaldosinado 1 200 dm2 ¿ Cuántos metros cuadrados faltan para terminarlo?

Teresa tiene que comprar una alfombra, el cuarto tiene 10 m de largo por 4 m de ancho. ¿Cuál será el precio de la alfom-bra si 1 m2 cuesta $ 45 000?

Calcula, en metros cuadrados, la superficie de un cuadrado cuyo perímetro es el que se indica en cada caso.

832 m 150 dm 750 m 460 dm

Calcular la superficie de un rectángulo cuya base es la mitad de la altura y su altura mide 12 cm

Se abonaron $ 80 500 000 por un terreno de 250 m de ancho y 3 hm de largo ¿Cuál es el costo de cada metro cuadrado del terreno?

La superficie de un rectángulo es de 60 m2 y la base mide 250 dm. Calcula la altura y el perímetro.

El corazón de un niño late 80 veces por minuto. ¿Cuántos latidos da en 2 h 45 min?

Un reloj adelanta 2 s. por hora. ¿Cuántos minutos y segun-dos adelanta al cabo de una semana?

Una familia, formada por cuatro personas, está en el hotel desde el 25 de julio al 12 de agosto, incluidos ambos días. La pensión por persona es de $ 50 000 diarios.

>> ¿Cuántos días permaneció esa familia en el hotel?>> ¿Cuál fue su gasto diario y su gasto total?

108

Qué aprendí >> La hidrografía de Colombia es de las más ricas del mundo. Sus principales ríos

son el Magdalena, el Cauca, el Guaviare, el Putumayo y el Caquetá.En la tabla se muestran las longitudes de algunos ríos colombianos. Complétala teniendo en cuenta los datos.

Río Longitud (km) Longitud (hm) Longitud (m)

Magdalena 1 550

Guaviare 1 350

Inírida 1 300

Apaporis 805

Atrato 612

>> Los ríos de la vertiente del Oceano Pacífico y sus afluentes suman cuencas de 88 000 km² en total. Está vertiente está formada por las siguientes cuencas:- Cuenca del río Patía (24 000 km²)- Cuenca del río San Juan (Colombia) (20 000 km²)- Cuenca del río Mira (11 000 km²)- Cuenca del río Baudó (8 000 km²)- Otras cuencas menores, incluidas las del Micay y Guapi (25 000 km²)

109

Con base en la información anterior, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas(V) o falsas (F).

- La cuenca del río Patía mide 2 400 000 hm2. ( )- La cuenca del río San Juan tiene 2 000 dam2. ( )- La cuenca del río Mira mide 1 100 hm2. ( )- La cuenca del río Baudó tiene 8 000 000 dam2. ( )

>> Una lancha que recorre el río magdalena avanza con una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. ¿En cuántos minutos recorre 180 km?

¿cómo me ven los demás?Trabaja con tres compañeros o compañeras. En la ilustración se indica el tiempo de vida de algunos animales.

>> Respondan las preguntas con base en la información.- ¿Cuántos meses más vive la cacatúa con respecto al caballo?- ¿Cuántos días menos de vida tiene el perro con respecto al caballo?- ¿Cuántas horas vive en total una tortuga?

>> Expliquen las operaciones que aplicaron para responder las preguntas anteriores.

>> Hagan una puesta en común y con ayuda de su profesor o profesora determinen el proceso más práctico para hacer los cálculos que resolvieron las preguntas.

me autoevalúo

Sí NoA

vecesIdentifico y comprendo las unidades de medida de longitud, superficie y tiempo.

Establezco equivalencias entre las diferentes unidades ya sea de longitud, de superficie o de tiempo.

Resuelvo problemas que involucren las diferentes unidades de medida

Participo activamente en clase, expresando mis opiniones de manera clara y respetuosa.

Respeto las opiniones de mis compañeros de curso.

Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de segui-miento con tu profesor.

40 años de vida

75 años de vida

15 años de vida

150 años de vida

110

Recolección e interpretación de datos

MÓDU

LO



Pensamiento aleatorio > Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos

provenientes de observaciones, consultas o experimentos. > Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes

(prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas). > Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas

adecuadas para presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares.)

Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de com-petencias relacionados con el pensamiento aleatorio, ya que a partir a partir de la organización e interpretación de datos es posible adquirir el conocimiento de la realidad, en tanto esta sea posible a partir de la información registrada. Los conceptos que se desarrollarán en este módulo aportan a la búsqueda de soluciones razonables a distintos pro-blemas y a la toma de decisiones.

111

En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.


1Recolección de datos Organizar datos estadísticos de

manera que la información sea de fácil comprensión y análisis.Interpretar situaciones a partir de datos organizados en tablas.Resolver problemas que involucren la recolección y organización de datos.Leer y representar la información dada en diagramas estadísticos con seguridad y habilidad.Realizar inferencias obtenidas de la interpretación de datos organizados en tablas o en diagramas.

2Organización e interpretación de datos

3Representación de datos

El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

Módulo 6Pensamiento

aleatorio

Recolec ción de datos

Organización de datos

Representación de datos

>> Encuestas>> Observaciones>> Datos recogidos por

entidades confiables

>> Tablas de conteo>> Tablas de frecuencia

>> Diagrama de barras>> Diagrama >> Circular>> Diagramas de línea

112

¿Para qué te sirve?La estadística es una herramienta de investigación que se

usa en todas las ciencias. Con ella, es posible describir con-juntos que sean sometidos a un estudio y, luego de su análisis predecir el comportamiento de los mismos a partir de datos correspondientes a partes de ese conjunto.

Tiene gran aplicación cuando se quieren determinar las necesidades de una región particular; por ejemplo, si desea conocer el rendimiento académico de los estudiantes, si se quiere saber cuáles son las actividades preferidas por las per-sonas para realizar en su tiempo libre o para identificar el medio de transporte que utilizan los estudiantes de postpri-maria de una escuela de la región, entre otros casos.

¿cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momen-

tos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evi-denciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos.


Además encontraras dos secciones:Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen

diferentes actividades, problemas y situaciones que te invita-rán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

113


Para la despedida del año escolar los estudiantes de grado sexto realizaron entre sus compañeros una encuesta, para decidir qué actividad podrían realizar.Estas fueron las respuestas obtenidas al realizar la pregunta: ¿qué actividad te gus-taría realizar para el cierre del año escolar?

Tarde en el río Visita al museo Tarde en el ríoAlmuerzo campestre Almuerzo campestre Almuerzo campestreAlmuerzo campestre Visita al museo Almuerzo campestreTarde en el río Tarde en el río Tarde en el ríoAlmuerzo campestre Visita al museo Almuerzo campestre

a. ¿Cuáles fueron las actividades propuestas por los estudiantes de sexto grado?b. ¿A cuántos estudiantes se les realizó la pregunta?c. ¿De qué manera se puede organizar esa información?d. ¿Qué actividad realizaron para la despedida del año escolar?e. ¿Por qué sabes que esa fue la elegida?

114

¿Qué hacen mis

compañeros en el

tiempo libre?

Por parejas, pregunten a sus compañeros y compañeras de curso sobre el uso que hacen del tiempo libre. Para ello se sugieren algunas preguntas, que pueden ser complementadas por otras:

> ¿Qué actividades realizan en su tiempo libre? > ¿Cuánto tiempo a la semana le dedican a esa actividad?

Organicen la información recolectada en el cuaderno, y preséntenla al grupo.

Realiza una clasificación según el tipo de preguntas formuladas anteriormente a los compañeros. Estas pueden ser entre otras:

>> De identificación, cuando se preguntan sobre características propias de las personas. Ej. Nombre, Edad, documento de identificación, entre otros.

>> De acción, cuando se indaga sobre alguna actividad que realiza la persona. Ej. ¿Habla inglés?, ¿Fuma?

>> De intención, cuando se explora sobre la intenciones de los encuestados. Ej. ¿Va a votar? ¿Viajará en vacaciones?

>> De opinión, cuando pregunto sobre la opinión sobre determinados temas. Ej. ¿Qué piensa sobre...?

>> De información, si se indaga sobre el grado de conocimiento de los encuestados sobre determinados temas. Ej. ¿Sabe usted que es…?

>> De motivos, tratan de saber el porqué de determinadas opiniones o actos.

Según los datos recolectados acerca de las actividades del tiempo libre:

>> ¿Cuál es la actividad que prefiere realizar la mayoría de estudiantes? ¿Cuál es la de menos preferencia?

>> ¿De qué manera tu grupo organizó las respuestas obtenidas en la actividad anterior? Explica.

>> ¿Todos los grupos organizaron la información de la misma manera?

>> ¿Todos los grupos de trabajo presentaron la misma información? Justifica.

Guía

115

La información anterior resulta muy útil al momento de tomar decisiones de grupo ya sea para realizar una actividad extraescolar, para comprar un regalo para un com-pañero, para definir la realización de un evento social entre otras…

Ahora contesta desde lo que conoces:>> ¿De qué manera podemos obtener información sobre las preferencias de los

colombianos? >> ¿Cuáles personas o empresas conoces que se dediquen a conseguir información

de preferencias de las personas?>> ¿Cómo crees que recoge información un científico?>> Comparte tus respuestas con alguno de tus compañeros

Como resulta muy usual y necesario organizar información para analizarla y tomar decisiones a partir de ella, se estudiará a continuación algunas maneras de hacerlo.

Veamos dos ejemplos de recolección de la información elaborada por los estudian-tes que indagaron por las actividades desarrolladas en el tiempo libre:

Datos recogidos por Pedro

Nombre Actividades

JuanNadar y montar bicicleta

LuisCaminar y nadar

ÁngelaPintar y escuchar música

JorgeMontar bicicleta y caminar

MaríaNadar y escuchar música

>> ¿Cuál actividad, desarrollada en el tiempo libre, es la preferida por los estudiantes encuestados por Pedro?

>> ¿Cuál la de los estudiantes encuestados por María?>> ¿De qué manera podemos reunir y presentar los datos recogidos por Pedro y

María? Discute con tus compañeros. Una vez se consolida la información de los datos de Pedro y María, contesta:

>> ¿Cuál es la actividad preferida por las mujeres consultadas?>> ¿Cuál es la actividad preferida por los hombres encuestados?>> ¿Qué otras conclusiones puedes sacar de la totalidad de los datos?>> ¿Te resulta fácil dar respuesta a las preguntas anteriores con las tablas que nos

presentan los datos? Explica tu respuesta.

Datos recogidos por María

Nombre Actividades

AnaMontar bicicleta y pintar

PedroEscuchar música y nadar

JaimeJaime: Nadar y montar bicicleta

AndrésMontar bicicleta y escuchar música

DianaNadar y escuchar música

116

Observa dos representaciones realizadas para organizar las actividades desarrolladas en el tiempo libre por estudiantes de posprimaria:

Actividad realizada en el tiempo libre

Cantidad de personas

Actividad realizada en el tiempo libre


Nadar ///// // Nadar 7

Pintar /// Pintar 3

Montar bicicleta ///// /// Montar bicicleta 8

Escuchar música ///// / Escuchar música 6

Caminar en la montaña

//Caminar en la montaña

2

>> ¿Qué actividad prefieren realizar la mayoría de estudiantes?,

>> ¿Cuál es la de menos preferencia?>> ¿Qué prefieren más las personas, caminar en la montaña

o escuchar música?>> Si cada una de las personas encuestadas informó las dos

actividades preferidas para realizar en su tiempo libre, ¿cuántas personas se encuestaron en total?

>> ¿Qué tienen en común las tablas anteriores?>> ¿Hay algo diferente en ellas?>> ¿Alguna de esas tablas es más fácil de Interpretar? ¿Por

qué? Para organizar información resulta muy útil hacerlo por medio de tablas

Las tablas permiten hacer un resumen de la información, para que pueda ser ordenada e interpretada fácilmente.

Explica:>> ¿Qué tipo de tablas conoces?>> ¿Para qué se utilizan las tablas? La información que se recoge, organiza y analiza a partir del resultado de encuestas o consultas a diversas fuentes se denomina datos.

117

En la información anterior, cada una de las respuestas dada por los estudiantes sobre las actividades que realizan en el tiempo libre es un dato.

Según lo anterior, >> ¿Cuáles datos de tus compañeros pudiste recoger?>> ¿Cómo son esos datos? ¿Son números? ¿Son texto? En estadística el número de veces que se repite un dato recibe el nombre de frecuencia absoluta o simplemente frecuencia.

El número de veces que se respondió que pintar es la activi-dad preferida para realizar en el tiempo libre corresponde a su frecuencia.

>> ¿Cuál es el dato más frecuente que recogiste de tus compañeros?

>> Según los datos recogidos por Pedro y María. ¿Qué tan frecuente resulta que los estudiantes pinten?

Trabaja con dos compañeros o compañeras.

1. Pregúntale a las personas de tu vereda, ¿cuál es su comida típica preferida?

Comida típica preferida Cantidad de personas

a. Organiza en tu cuaderno, la información recolectada, en una tabla como la siguiente y concluye: ¿cuál es la comida típica preferida por las personas de tu región?

b. ¿Cuántas personas escogieron esa comida típica?c. ¿Cuál fue la comida típica menos seleccionada por las

personas de tu región? d. ¿Cuántas personas la seleccionaron?

118

El conteo de los datos se facilita cuando la información se registra en tablas.

e. ¿Qué información aparece en la primera columna de la tabla?

f. ¿Qué información aparece en la segunda columna?g. ¿Cómo interpretas la información que aparece en la

primera fila?h. Escribe alguna conclusión de la actividad anterior. i. ¿Qué otra información puedes deducir de esas res-

puestas? Escríbelas y explica qué te permite hacer esa deducción.

119

Pregunten a los estudiantes de la escuela: a. ¿Cuáles son los problemas qua hay en la escuela?b. ¿Qué soluciones proponen para esos problemas?c. Para cada pregunta elaboren una tabla donde organi-

cen la información recolectada.d. ¿Qué clase de problema obtuvo mayor frecuencia?e. ¿Cuáles fueron las soluciones propuestas?f. Escriban una conclusión obtenida de la información

recolectada.g. Compartan las respuestas con estudiantes, profesores

y directivos. Conversa con tus compañeros acerca de la actividad realizada.

h. ¿Conocían la existencia de esos problemas en la escuela?

i. ¿Qué proponen ustedes para combatir esos proble-mas?

j. Compartan sus opiniones con el resto del grupo.

120

consigan una báscula para conocer el peso de las personas.

con ayuda del profesor o profesora, cada estudiante de la clase, se para sobre la báscula y mide su peso.Anota todos los resultados obtenidos.

Por parejas, analicen los datos recogidos y organícenlos en una tabla de frecuencias.

Presenten los datos organizados al grupo.

> ¿Cuál es el peso que presenta la mayor frecuencia? > ¿Cuántos estudiantes tienen ese peso? > ¿Cuál es el de menor frecuencia? > ¿Cuántos estudiantes hay con ese peso? > Muestren los resultados a la persona encargada de

alimentación y nutrición en su escuela. Pregúntenle si esos datos están acordes son su edad y estatura, y pídanle que les hable sobre la importancia de los buenos hábitos alimenticios.

Observa cómo registraron la información Milena y Simón.

Peso en kgNúmero de alumnos

(Frecuencia)

Parte del total de alumnos que tienen ese peso

41 1 1/10

43 1 1/10

47 2 2/10

49 4 4/10

52 2 2/10

Total 10 10/10 = 1

¿cuánto pesan mis

compañeros de clase?

Guía

121

>> ¿Cuántos datos se registraron en esa actividad?>> ¿Cuántas estudiantes del total pesan 41 kilogramos?>> ¿Cuántos pesas 49?

La tercera fila de esa tabla, da información sobre qué parte de la población en estudio o de una de muestra (parte de la población), corresponde a la característica analizada. Esos valores se conocen como frecuencias relativas.

Por ejemplo, la frecuencia relativa que corresponde a 47 kilogramos es 2/10, es decir de diez estudiantes dos pesan 47 kilogramos.

>> ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 49 kilogramos?>> ¿Cuál es la frecuencia relativa del mismo peso? ¿Qué

significa ese valor? Milena y Simón siguen completando datos en la tabla.Analiza y en tu cuaderno, completa la tabla.

Peso en kg

Número de alumnos

(Frecuencia)

Parte del total de alumnos que tienen ese peso

Frecuencia acumulada absoluta

Frecuencia acumulada

relativa

41 1 1/10 1 1/10

43 1 1/10 2 2/10

47 2 2/10 4

49 4 4/10

52 2 2/10

Total 10 10/10 = 1

>> ¿Cuántos estudiantes de la clase de Milena, pesan 49 kilogramos o menos?

>> ¿Qué parte de esos estudiantes pesan 49 kilogramos o menos?

Consigue una calculadora, y halla el cociente de dividir la cantidad de estudiantes que pesan 49 kilogramos o menos entre 10.

El cociente que se obtiene, 0,8, quiere decir que aproxima-damente el 80% de los compañeros de Milena y Simón pesan 49 kilogramos.

122

Completa la tabla en tu cuaderno escribiendo el porcentaje de cada dato. Para cierto valor de una característica de una población o una muestra, la frecuencia acumulada relativa se calcula mediante el cociente de la frecuencia acumulada del dato y el número total de datos.

consigan un metro de costura.1. En parejas, tomen la estatura de sus compañeros de clase.

Mientras uno utiliza el metro, el otro anota en el cuaderno. Recuerden tomar las estaturas de ustedes. Roten las responsabilidades.

Si alguno de los datos no es un número exacto, aproximen ese valor a los centímetros más cercanos. Por ejemplo, si alguien mide 153,4 cm, escriben 153 cm; si alguien mide 148,8 cm, escriben 149 cm.

Organicen la información en una tabla como la siguiente:

Estatura en cm

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada absoluta


relativa

Respondan:a. ¿Cuál es la mayor estatura registrada?b. ¿Cuántos estudiantes tienen esa estatura?c. ¿Cuál es la menor?d. ¿Cuál es su frecuencia?e. ¿En cuál de esas frecuencias registradas en la tabla, está tu

estatura?f. ¿Cuántos de tus compañeros tienen esa estatura o menos?g. ¿Qué porcentaje de los estudiantes de la clase tienen esa

estatura o menos?

123

2. Santiago recogió la siguiente información acerca de las estaturas de sus compañeros.

142, 143, 146, 142, 145, 140, 138, 143, 146, 142,138, 139, 142, 143, 142, 145, 137, 147, 143, 143

Construyan una tabla en donde aparezcan las frecuencias absolutas y relativas correspondientes a los datos de la estatura en centímetros de los 20 estudiantes de la escuela. Respondan:

a. ¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta?b. ¿A qué dato corresponde?c. ¿Cuál es la menor frecuencia absoluta?d. ¿A qué dato corresponde?e. ¿Cuántos compañeros de Santiago miden 142 cm?f. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene una estatura de 138

cm?

3. A 15 estudiantes de postprmaria se les preguntó por el número de hermanos que cada uno tiene. Las respuestas se presentan a continuación.

2, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2

a. Ordenen los datos de menor a mayor.b. Construyan una tabla de frecuencias absolutas y relativas

para el número de hermanos.c. ¿Cuántos estudiantes son hijos únicos?d. ¿Cuántos no lo son?e. ¿Cuántos alumnos tienen el mayor número de hermanos?f. ¿Cuál es el número de hermanos que tiene la mayoría de

los estudiantes?g. ¿Qué porcentaje de estudiantes encuestados tienen tres

hermanos?h. ¿Qué porcentaje tiene solo un hermano?

124

observa el siguiente diagrama.

otra forma de ver

los datos recogidos

> ¿Qué información está representada en él? > ¿Sabes que nombre recibe esa representación? > ¿Cómo sabes cuál es el dato con mayor frecuencia? > ¿Y el dato con la menor frecuencia? > ¿Cuántos estudiantes pesan 52 kilogramos? > ¿Qué dato tiene una frecuencia de 2? > Explica de qué manera lees la información que está

representada.

Las diferentes características de una población pueden representarse de varias maneras. Entre ellas se encuentran: las tablas de frecuencia, los diagramas de barras o los diagramas circulares.La representación anterior corresponde a un diagrama de barras.

Observa nuevamente el diagrama anterior.>> ¿Qué información se presenta sobre la semirrecta

horizontal?>> ¿Cómo son los espacios asignados a cada dato?>> ¿Qué información se representa en la semirrecta vertical?>> ¿Qué indica la altura de las barras del diagrama?

Para saber cuántos estudiantes cierto peso en kilogramos, por ejemplo, 43, se busca ese dato en la semirrecta horizon-tal, luego se analiza la altura de esa barra para conocer la frecuencia correspondiente.

43 41 47 49 52Peso (kg)

4

Núm

ero d

e al

um

nos 3

2

1

0

Guía

125

La lectura del diagrama también puede hacerse de manera vertical, por ejemplo para saber qué dato tiene una frecuen-cia de 1, se busca en la semirrecta vertical ese número y se determina cuál o cuáles barras tiene esa altura.Esta es otra representación.

Se conoce como diagrama circular.Para representar información en diagramas circulares se debe conocer qué porcentaje del total de los encuestados, representa cada dato.

Peso en kgNúmero de alumnos

(Frecuencia)

Porcentaje que representa cada dato

41 1 10%

43 1 10%

47 2 20%

49 4 40%

52 2 20%

Total 10 100%

>> El 20% de las personas encuestadas pesan 47 kilogramos.

>> ¿Qué porcentaje de esta población, pesa 41 kilogramos? La representación de los datos en diagrama circular permite comparar cada dato con el total, mientras que el diagrama de barras es más claro cuando se quiere comparar los datos entre sí.

41 kg

52 kg 43 kg

47 kg49 kg

10%20%

20%

40%

10%

126

Para representar los datos en diagrama circular es necesa-rio conocer la medida del ángulo que representa cada región.

Para eso debes recordar que el giro de una vuelta com-pleta equivale a 360º y, que el total de la población en estu-dio, corresponde al 100%.

Por tanto, a cada 1% le corresponden 3.6º.Para hallar la medida del ángulo que representa la región

de cierto peso en kilogramos, en el diagrama circular, se mul-tiplican los datos de la tercera columna de la tabla por 3.6º.

Realiza cada operación y con un transportador comprueba esa medida en el diagrama. Para representar gráficamente partes o porcentajes de un total se usa un diagrama circular, en el que cada región es proporcional al porcentaje que aparece en la tabla.

Si se trata de tablas de frecuencia, el círculo se reparte pro-porcionalmente entre las frecuencias.

Forma pareja con un compañero o compañera.1. Construyan en sus cuadernos, un diagrama de barras

para representar la información de las actividades del tiempo libre presentadas en la guía

Actividad realizadaen el tiempo libre


Nadar 7

Pintar 3

Montar bicicleta 8

Escuchar música 6

Caminar en la montaña 2

2. Representen la información sobre las preferencias por las comidas típicas del Valle del Cauca, en un diagrama de barras.

127

Comida o postres típicosCantidad de

personas

Sancocho de gallina 7

Pandebono 10

Hojaldres 6

Tamales vallunos 13

Chancacas 5

Desamargado 9

Manjar blanco 8

>> ¿Cuáles son las comidas o postres típicos referidos por los Vallecaucanos encuestados?

>> ¿Cómo son esas barras en el diagrama?>> ¿Qué significa que la chancaca tenga la barra del

diagrama más baja?

3. El diagrama de barras que se ilustra en la siguiente figura., representa el nivel de lluvias durante los meses del año, en el departamento de Santander.

11 cm3

10 cm3

9 cm3

8 cm3

7 cm3

6 cm3

5 cm3

4 cm3

3 cm3

2 cm3

1 cm3

Ener

o

Febre

ro

Mar

zo

Abri

l

May

o

Junio

Julio

Agost

o

Septi

embre

Oct

ubre

Novi

embre

Dic

iem

bre

128

Con base en él respondan.a. ¿En qué meses de esa región las lluvias son mayores?b. ¿Qué meses del año tienen el mismo nivel de lluvia?c. ¿Cuáles meses son los meses más secos en esa región

del país?d. La ahuyama se cosecha cuatro meses y medio

después de la siembra. Si esta planta no resiste mucho las sequías, ¿en qué meses es recomenda-ble sembrarla para obtener una cosecha próspera?

4. Representen la información recogida en la guía anterior, acerca de las estaturas de sus compañeros de clase, en un diagrama de barras.a. ¿Cuál es la estatura más frecuente entre sus compa-

ñeros?b. ¿Cuántos compañeros tienen esa estatura?

Escriban una conclusión.

129

Mateo y Diana recogieron la siguiente información entre sus compañeros.

Mes en que nació

Número deestudiantes(Frecuenciaabsoluta)

Frecuencia relativa

Frecuencia acumuladaabsoluta


relativa

Enero 2

Febrero 2

Marzo 3

Abril 2

Mayo 5

Junio 4

Julio 3

Agosto 2

Septiembre 1

Octubre 4

Noviembre 3

Diciembre 4

Total

a. Completen, en sus cuadernos, la tabla.b. ¿Cuál es el mes en el que cumplen más personas?c. ¿Cuántas personas cumplen en ese mes?d. ¿Cuál es la frecuencia absoluta del mes de mayo?e. ¿Cuál es su frecuencia relativa?f. ¿Cuál es la frecuencia absoluta del mes de noviembre?g. ¿Cuál es su frecuencia relativa?h. ¿Cuántas personas cumplen en el mes de abril o antes?i. ¿A qué porcentaje de esa población corresponde?j. Representen la información en diagrama de barras.k. Representen la información en un diagrama circular.

130

Nombre Grado Nombre Grado Nombre Grado

José 60 Carlos 80 Tania 60

Armando 70 Erika 60 Helena 70

Gabrienla 60 Liliana 80 María 70

Cecilia 70 Edgar 70 Yanet 90

Pedro 60 José 60 Eduardo 60

Juan 80 Humberto 80 Angélica 90

Luis 60 Fernando 90 Deysi 90

1. Supón que los siguientes datos corresponden al número de bultos de papa ven-didos durante los últimos 20 días.

8 7 6 10 9 5 7 6 8 106 6 9 4 8 6 6 8 8 5

Organiza los datos anteriores en una tabla de frecuencias como la siguiente:

Bultos de papa Número de días

Analiza y responde:a. ¿Cuántos días se vendieron 4 bultos de papa?b. ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días?c. ¿Cuántos días se vendieron 10 bultos de papa?d. ¿A qué porcentaje corresponden estos días en relación con el total de días?e. ¿Cuántos días se vendieron más de 8 bultos de papa?

Representa la información registrada en la tabla en un diagrama de barras.

2. Los siguientes datos corresponde a los nombres de los estudiantes y el grado al cual pertenecen en una escuela de postprimaria.

a. Organiza la información en una tabla de frecuencias.b. Construye el diagrama de barras correspondiente a la información de la tabla.c. Realiza el ejercicio con los estudiantes de tu escuela.

131

3. Pregunta a los estudiantes de su escuela ¿cuál o cuáles estrategia son útiles para tener un buen rendimiento escolar?a. Organicen la información en una tabla. b. Representen la información en un diagrama circular.c. Presenten los resultados al grupo.d. Escribe una conclusión al respecto.

4. Paola llegó hace poco a la escuela. Ella viene de otra vereda al otro lado del río. Para participar más animada-mente en las charlas con sus compañeros decidió formu-larles las siguientes preguntas:

>> ¿Qué asignatura te gusta más? >> ¿Qué deporte practicas con frecuencia?>> ¿Cuál es tu color favorito? >> ¿Qué tiempo dedicas al estudio en tu casa?>> ¿Cuál es tu comida favorita? >> ¿Cuál es tu bebida favorita?>> ¿Cuál debe ser el deportista del año en el colegio?

Formula a tus compañeros de clase, las preguntas que Paola realizó. Inventa cuatro preguntas que consideres interesantes y formúlalas.

Organiza las respuestas dadas por tus compañeros y compañeras de acuerdo con la asignatura preferida, el deporte, el color, el tiempo dedicado al estudio, la comida preferida, la bebida preferida, y el o la deportista del año, en una tabla de frecuencias.

Construye una tabla para organizar las respuestas dadas por tus compañeros a las cuatro preguntas que realizaste adicionalmente.

5. El diagrama de la figura presenta los porcentajes de los componentes más impor-tantes que tiene el cuerpo humano.

64% Agua

Grasas

Sales minerales

Azúcares

Proteínas

14%

5%1%

16%

a. ¿Cuál es el componente que menos tiene el cuerpo humano?b. ¿A qué porcentaje corresponde?c. ¿Qué porcentaje tenemos de grasas?d. ¿Cuánto mide en el diagrama, el ángulo que corresponde al componente de agua?e. Inventa un problema con esa información.

132

Qué aprendí1. Para realizar el mantenimiento adecuado de los árboles de una región, la admi-

nistración local ha decidido tomar la altura de los árboles que se encuentran a la entrada de una reserva natural, cercana a Villavicencio. Figura 1.12Las personas que tomaron el registro, organizaron la información de la siguiente

manera:3 metros ///// // 5 metros ///// ///// / 6 metros ///// ///// ////8 metros //// 9 metros ///// /// 10 metros ///// ////11 metros ///// 12 metros /// 13 metros ///// /a. Organiza la información en una tabla de frecuencias.b. ¿Cuántos árboles hay de 3 metros?c. ¿Cuántos de 5 metros?d. ¿Cuántos de 9 metros?e. ¿Cuántos de 12 metros?f. ¿Cuál fue la mayor altura registrada entre los árboles?g. ¿Cuántos árboles tienen esa altura?h. ¿Cuál es la altura que más se repite?i. ¿Cuántos árboles de los registrados miden menos de 10 metros?j. ¿Cuántos árboles de los registrados miden más de 9 metros?k. ¿De qué otra manera se puede organizar la información?

2. Representa la información de la tabla construida en el ejercicio anterior, en un diagrama de barras.

3. A continuación encuentras el diagrama de barras correspondiente a los datos obtenidos en una encuesta realizada a jóvenes de grado sexto de postprimaria, sobre sus actividades en el tiempo libre:

20

15

10

5

0

Baila

r

Dor

mir

Juga

r

Leer

Cam

inar

133

A partir de esta información construye la tabla de frecuencias y responde las preguntas:a. ¿Cuál es la actividad que prefieren realizar los jóvenes de grado sexto?b. ¿Qué otra forma de presentar esta información podrías utilizar?c. Representa esa información en un diagrama circular.

¿cómo me ven los demás?

Trabaja en parejas.

4. El siguiente diagrama corresponde a la edad de 60 personas que habitan en una vereda.

No de personas

12

10

8

6

4

2

05 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Edad en años

a. Organiza los datos en una tabla de frecuenciasb. Responde:c. ¿Cuántas personas tienen 5 años?d. ¿Cuántas personas tienen entre 10 y 20 años?e. ¿Cuántas personas tienen edad menor de 15 años?f. ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 5 años?g. ¿Qué porcentaje representan las personas que tienen 40 años?h. ¿A qué edad corresponde el 20%?i. Construye el diagrama de barras y el diagrama circular correspondiente.

me autoevalúo>> Presento e interpreto información en tablas de frecuencia o en diagramas.>> Indago datos y proceso la información referente a un grupo, con el fin de

conocer sus características.>> Interpreto diagramas estadísticos.>> Trabajo en equipo en forma activa y participativa.>> Soy ordenado al realizar la recolección de datos.

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