guía parte1

5/24/2018 gua parte1

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Solucin grfica

EJERCICIO No.1Un candidato a alcalde de un pequeo pueblo asign $2400 para publicidad de ltimo minuto en losdas previos a la eleccin. Se utilizarn dos tipos de anuncios: radio y televisin. Cada anuncio de

radio cuesta $120 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisin, quecuesta $200, llegar a unas 7000 personas. El alcalde desea llegar a tantas personas como seaposible; y estipul que se deben utilizar por lo menos 5 anuncios de radio y por lo menos 4 anunciosde televisin. Adems el nmero de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al nmero deanuncios de televisin.

Se pide lo siguiente:

a) Definir las variables de decisin.b) Plantear el modelo matemtico correspondiente.c) Resolver el modelo empleando el mtodo grfico.(f.o.:75000)d) Llenar el siguiente informe administrativo:

Nmero de anuncios de radio a utilizar:Nmero de anuncios de televisin a utilizar:Cantidad de personas que los anuncios captarn:Pago total por anuncios de radio:Pago total por anuncios de televisin:

e) El modelo posee solucin ptima degenerada? Sustente su respuesta.

f) Responda, sustentando su respuesta: Cunto debera costar cada anuncio por radio para queel modelo lineal anteriormente planteado posea ptimos alternativos? La respuesta debedeterminar valores positivos.

EJERCICIO No.2Una universidad debe planificar la oferta de cursos para el siguiente semestre. Las demandas de losestudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de licenciatura y 12 cursos de postgradoen el semestre. Por polticas de la universidad, la cantidad de cursos de postgrado debe ser no mayoral doble de la cantidad de cursos de licenciatura. Como cada curso de licenciatura tiene capacidadpara 30 alumnos y cada curso de postgrado tiene capacidad para 20 alumnos, la universidad deseaque la cantidad de alumnos que se puedan matricular en total sea por lo menos 600.

Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad $2500 y cada curso de postgradocuesta $3000, por concepto de pago de sueldos a los profesores. La universidad desea que el pagototal por sueldos sea lo menos posible.

Se pide lo siguiente:

a) Definir las variables de decisin.b) Plantear el modelo matemtico correspondiente.c) Resolver el modelo empleando el mtodo grfico.(f.o.:66000)d) Llenar el siguiente informe administrativo:

Nmero de cursos de licenciatura a ofertar:Nmero de cursos de postgrado a ofertar:Pago total por sueldos en cursos de licenciatura:Pago total por sueldos en cursos de postgrado:Total de alumnos que podrn matricularse:

e) El modelo planteado posee solucin ptima degenerada? Sustente su respuesta.


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f) Responda, sustentando su respuesta. Cunto debera costar cada curso de postgrado paraque el modelo lineal anteriormente planteado posea ptimos alternativos? La respuesta debedeterminar valores positivos.

EJERCICIO No. 3El Sr. Juan Prez tiene 200 hectreas de terreno disponible para cultivo. Se pueden sembrar dos tipos

de cultivo: cultivo 1 y cultivo 2. Debido a una condicin tcnica que le han recomendado al Sr. Prez,el rea asignada al cultivo 2 no debe exceder al rea asignada al cultivo 1.

Existe una demanda mxima del cultivo 2 equivalente a 60 hectreas; la utilidad por cada hectreasembrada del cultivo 1 es de $30, y la utilidad por cada hectrea sembrada de cultivo 2 es de $40.

a) Formule un modelo de programacin lineal que permita determinar las hectreas a sembrarsede cada cultivo

o Resolver por el mtodo grfico, sealando claramente cada una de las restricciones, lafuncin objetivo, la regin factible y el punto ptimo (f.o.:6600)

o Considera usted recomendable que el Sr. Prez contrate un especialista para que evalela posibilidad eliminar la condicin de que el rea asignada al cultivo 2 no deba excederal rea asignada al cultivo 1. Justifique su respuesta.

o Considera usted que sera favorable invertir en una estrategia que permita incrementarla demanda mxima del cultivo 2. Justifique su respuesta.

b) A partir del modelo original, si la utilidad por cada hectrea del cultivo 2 ahora es la mismaque la del cultivo 1, indicar grficamente si la regin factible cambia. Seale la solucinptima, el valor de la funcin objetivo y a qu caso especial corresponde.

c) A partir del modelo original, suponga que la demanda del cultivo 2 es exactamente 60

hectreas. Indicar grficamente si la regin factible cambia. Seale la solucin ptima y elvalor ptimo de la funcin objetivo.

EJERCICIO No.4Un fabricante de productos electrnicos tiene distribuidores que le han hecho pedidos por radiostransistores y calculadoras. Mientras que un radio genera $10 de utilidades, una calculadora genera$15. Cada radio requiere 4 diodos y 4 resistores; y cada calculadora requiere 10 diodos y 2 resistores.Cada radio toma 12 minutos de la mquina de prueba electrnica y cada calculadora toma 9.6minutos. El jefe de produccin estima que podr disponer de 160 horas libres de la mquina deprueba. La firma tiene 8000 diodos y 3000 resistores disponibles en su almacn. Qu combinacin deproduccin debe elegirse para maximizar las utilidades? (f.o.:$ 12941.17)

EJERCICIO No.5Una fbrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de tela que contenga al menos 45 kgde lana y 25 kg de nylon. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dos materialestextiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $2 y cada kilogramo de material B cuesta $3. Elcosto total de material A utilizado debe ser a lo ms la mitad del costo total del material B utilizado.La proporcin de lana, nylon y algodn que dichos materiales contienen es la siguiente:

Material Lana(%)

Nylon(%)

Algodn(%)

A 60 10 30B 30 50 20

Qu cantidades de A y B (en kilogramos) deben usarse para minimizar el costo de la orden?(f.o.: $ 270.00)


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EJERCICIO No.6Un alumno acude al doctor y ste le informa que su bajo rendimiento acadmico se debe a un dficitde tiamina y niacina, prescribindole un mnimo de 1 mg y 10 mg diarios de cada unarespectivamente. El doctor le sugiere que obtenga la dosis completa mediante un desayuno a base decereales. El alumno que no cuenta con demasiados recursos econmicos trata de hacer mnimo elcosto de las vitaminas y toma informacin de los dos nicos cereales que le gustan, A y B. Los

contenidos y precios de los dos cereales son los siguientes:

Cereal Tiamina(mg / onza)

Niacina(mg / onza)

Precio $ / onza

AB

0.100.10

0.502.00

1.002.00

El alumno quiere encontrar la mezcla que debe hacer todas las maanas para que asegure la dosisprescrita al mnimo costo posible.(f.o.:$ 13.30)

EJERCICIO No.7Automovile Alliance, una gran compaa manufacturera de automviles, posee una planta fuera de

Detroit que ensambla dos modelos. El primero de ellos, el Thrillseeker, es un sedn 4 puertas conasientos de vinil, interiores de plstico, caractersticas estndar y un excelente rendimiento. Secomercializa como una buena compra para familias de clase media con presupuestos reducidos y cadaThrillseeker vendido genera una ganancia modesta de $3600 para la compaa. El segundo modelo, elClassy Cruiser, es un sedn de lujo con 2 puertas con asientos de piel, interiores de madera,caractersticas personalizadas y con un equipo de Sistema de Posicionamiento Global (GPS). Se vendecomo privilegio de opulencia para familias de clase alta y el que se vende genera una buena gananciade $5400.Rachel Rosencrantz, gerente de la planta de ensamble, debe decidir el programa de produccin parael prximo mes. En especial, debe determinar cuntos Thrillseekers y cuntos Classy Cruisersensamblar en la planta para maximizar la ganancia de la compaa. Sabe que la planta tiene unacapacidad de 48000 horas hombre de mano de obra al mes. Tambin sabe que ensamblar un

Thrillseeker lleva 6 horashombre y un Classy Cruiser 10.5 horashombre.Como la planta es slo de ensamble, las partes requeridas para los dos modelos llegan desde otrasplantas (por ejemplo: llantas, volantes, ventanas, asientos y puertas). Para el prximo mes, Rachelsabe que podr obtener slo 20000 puertas (10000 izquierdas y 10000 derechas) del proveedor depuertas (debido a una huelga de trabajadores reciente que forz el cierre de la planta del proveedorpor varios das). Los dos modelos de autos usan el mismo modelo de puerta.

Adems, un pronstico reciente de la compaa sobre la demanda del mes para los diferentesmodelos sugiere que las ventas del Classy Cruiser estn limitadas a 3500 autos. No existe un lmite enla demanda del Thrillseeker dentro de los lmites de capacidad de la planta de ensamble.(f.o.: $26 640 000)

EJERCICIO No.8

Una empresa fabrica a partir de una fruta dos tipos de producto: extracto para beber y extractoconcentrado.Los requerimientos para elaborar un hectolitro de cada producto se muestran en la siguiente tabla:

Producto Fruta(kg/hectolitro)

Tiempo detrabajo

(horas/hectolitro)

Preservante(gramos/hectolitro)

Costo deproduccin

($/hectolitro)Para beber 300 1 300 100Concentrado 400 3 200 200

A los extractos se aade un preservante del cual se tienen 48 kg. disponibles. Se cuenta con 60toneladas de fruta y se debe trabajar por lo menos 210 horas.


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Se sabe que la produccin de extracto concentrado debe ser a lo ms el doble de la produccin deextracto para beber.

a) Identifique las variables de decisin.b) Formule el modelo de programacin lineal respectivo.c) Utilizando el mtodo grfico, encuentre la regin factible y la solucin ptima. Seleles y

proporcione adems el valor ptimo de las variables de decisin y de la funcin objetivo.d) Explique qu restricciones convendra revisar con la empresa a fin de mejorar el valor ptimo

hallado para la funcin objetivo.e) Identifique las restricciones activas y las restricciones inactivas del modelo.f) Cunto debera ser el costo de produccin del extracto para beber de tal manera que

hubiesen planes de produccin alternativos a la solucin ptima que anteriormente hall en laparte c)

g) Ahora, suponga que los precios de venta del extracto para beber y del concentrado son 250$/hectolitro y 350 $/hectolitro respectivamente. El jefe de produccin afirma que el planptimo de produccin no sufrir variacin alguna, es eso cierto? Justifique utilizando sugrfico.


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PRODUCCIN (UN PERIODO MLTIPLES PRODUCTOS)

EJERCICIO No.1La compaa ZINGERLE se dedica a la produccin de mdulos (bancos y mesas) especialmentedestinadas para bares, restaurantes, clubes campestres, etc. El Gerente de Produccin se encuentraactualmente planificando la produccin de los siguientes tipos mdulos: MA6, MA8, MB8 y MB10. Losmencionados tipos de mdulos requieren para su produccin de ngulos de acero y tablas de madera;la informacin mencionada, as como los requerimientos de mano de obra (horas hombre: HH)necesarias para la produccin de los diferentes tipos de mdulos y la disponibilidad semanal de losrecursos se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de mduloRequerimientos productivos

ngulos(m./mdulo)

Madera(m2/mdulo)

Mano de obra(HH/mdulo)

MA6 14 5.4 0.70MA8 18 7.2 0.80MB8 16 6.2 0.75MB10 20 8.0 0.90

Disponibilidad 30000 m. 11500 m2 1440 HH

El limitante de la produccin es la capacidad productiva semanal; la programacin de la produccinadems debe tomar en cuenta la demanda mnima semanal de los diferentes tipos de mdulo.La informacin sobre la capacidad productiva y la demanda mnima semanal, as como el precio deventa por cada tipo de mdulo se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de mdulo

Demanda mnima

(mdulos)

Capacidad

produccin(mdulos)

Precio venta

($ / mdulo)

MA6 500 750 60MA8 320 450 75MB8 400 550 70MB10 200 300 85

a) Formule el modelo de programacin lineal que permita determinar cuntos mdulos de cada tipodebe producir ZINGERLE semanalmente. (f.o.: 125945)

EJERCICIO No.2Una de las plantas de produccin de la Industria Metalmecnica Girn dispone de una superficie de

200000 pies2, dicha planta va a ser reorganizada debido a que una de sus lneas de venta ha sidodescontinuada. De los 5 tipos de piezas mecnicas que produca, ahora solamente deber producir 4de ellas, dichas piezas son las siguientes: CamST, CamXL, Cpunch y CLpunch. Las piezasmencionadas son de gran tamao y para su adecuada produccin se debe destinar una determinadacantidad de superficie por cada pieza producida diariamente. La informacin concerniente a lasuperficie requerida, as como las horashombre (HH) necesarias para la produccin de las piezas sepresentan en la siguiente tabla:

RecursosTipo de pieza

Requerimiento de recursos por unidadSuperficie(pies2) Horas hombre(HH)

CamST 500 32CamXL 1200 30

Cpunch 1500 28CLpunch 5000 150

Modelacin


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Para que sea rentable la produccin de las piezas se ha establecido un nivel de produccin mnima;adems existe un limitante de la distribucin de la produccin que es la demanda mxima diaria de laspiezas. La informacin sobre la produccin mnima y la demanda mxima, as como la contribucin alas utilidades por cada tipo de pieza se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de piezaProduccin

mnima (piezas)

Demanda

mxima (piezas)

Utilidades

($ / pieza)CamST 60 125 6CamXL 24 40 9Cpunch 20 35 12CLpunch 11 30 36

El tiempo disponible diariamente es de 7400 horashombre:

a) Formule el modelo de programacin lineal que permita determinar cuntas piezas de cada tipodebe producir IMG diariamente. (f.o. 1791)

EJERCICIO No.3Un comerciante de cierto producto tiene 10 proveedores a los que puede comprarles el producto quel comercializa. Vende en tres zonas del pas (norte, centro y sur) y sus proveedores se ubicantambin en estas tres zonas de forma que ha decidido que para las ventas de cada zona seabastecer solo de los proveedores de la misma zona . La informacin disponible de cadaproveedor se muestra en a tabla siguiente:

Tabla 1Proveedor Zona de

UbicacinCantidad

Disponible(unidades)

Costo unitario($/unid.)

A Norte 1000 10B Norte 800 12C Norte 600 9D Centro 2000 10E Centro 800 11F Centro 800 12G Sur 1000 10H Sur 500 10I Sur 300 12J Sur 500 10

El comerciante cuenta con un pronstico de la demanda de su producto en cada zona, tal como semuestra en la tabla siguiente:

Tabla 2Zona Demanda

(unidades)Norte 1500Centro 1200

Sur 1600

Se busca el plan de compras que resulte ms adecuado para cada zona.

Responda cada pregunta independientemente de las anteriores:

a) El pronstico de demanda puede considerarse como la cantidad mxima o mnima quepuede vender en cada zona; cada uno de estos casos, explique qu podra suceder conla solucin ptima .Decida cmo utilizar el pronstico de la demanda y formule el modelo lineal adecuadopresentndolo en la forma extendida. Incluya la definicin de las variables de decisin.


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b) Considere el pronstico de demanda como la mxima cantidad que puede vender. Ahorase le proporciona el precio de venta por unidad que es de $15, $12 y $14 en cada zonarespectivamente. Se le informa que dispone de un presupuesto para compras de $10000en total pero si se necesita hacer un gasto mayor, el dinero adicional que se requieradebe pedirse en prstamo a un banco que cobra un inters de 70% Formule los cambiosen su modelo y presntelos en la forma extendida.

TRANSPORTE

EJERCICIO No.1Un contratista puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina y SanBorja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurn. La cantidadmxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurn 14 toneladas.Los costos de transporte y obtencin de la arena se muestran en el cuadro siguiente:

Cuadro de Costos

Costo de transporte(soles /tonelada) Costo de arena

(soles/tonelada)ConstruccinCantera

Surco La Molina San Borja

Cieneguilla 30 60 50 100Lurn 60 30 40 120

La cantidad de arena que podra entregar a cada construccin es la siguiente:

Surco La Molina San Borja10 toneladas 5 toneladas 10 toneladas

Teniendo en cuenta los datos anteriores, elaborar un modelo que permita al contratista determinarla cantidad de arena que debe transportar desde las canteras a las construcciones.

a. Identifique y defina las variables de decisinb. Presente el modelo de programacin lineal en forma matemtica-compacta.c. Resolver con Lingod. Complete el siguiente reporte administrativo.

Reporte Cantidad transportadaCantidad transportada

Cantera/Construccin Surco La Molina San Borja

CieneguillaLurn

Cul es el costo total obtenido? (f.o.:3570)

e) Suponga que se le indica que el precio de venta por tonelada de arena en Surco, LaMolina y San Borja es de S/. 170, S/. 250 y S/. 200 respectivamente. Indique loscambios que debe efectuar al modelo en su forma matemtica estructurada.

EJERCICIO No.2Una compaa tiene tres plantas que fabrican coches para beb que deben enviarse a cuatro centros

de distribucin. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente.Cada centro de distribucin necesita recibir 10 cargas al mes. La distancia desde cada planta a losrespectivos centros de distribucin es la siguiente:


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DISTANCIA

CENTRO DE DISTRIBUCIN

1 2 3 4

Planta 1 800 millas 1300 millas 400 millas 700 millas



El costo del flete por embarque es $0.50/millaproducto.Cuntas cargas deben mandarse desde cada planta a cada centro de distribucin para minimizar elcosto total del transporte?Formule este problema. (f.o. 16200)

EJERCICIO No.3Un fabricante de pequeas lanchas tiene un contrato para exportar 400 lanchas de modelo A y 500del modelo B. La lancha modelo A ocupa un volumen de 12 metros cbicos y el modelo B ocupa unvolumen de 15 metros cbicos. Se dispone de tres barcos para transportar las lanchas hacia sudestino final. Estos barcos llegaran al destino final a principios de enero, mediados de febrero yfines de marzo, respectivamente. El primer barco slo transporta lanchas modelo A un costo de $450por lancha. El segundo y tercer barco transportan ambos modelos, el primer de ellos a un costo de$35 por metro cbico (para cualquier modelo) y el otro barco a $40 por metro cbico (para cualquiermodelo). El primer barco slo puede acomodar 200 lanchas y el segundo y tercer barco tienendisponibles volmenes de 4500 y 6000 metros cbicos. El fabricante se ha comprometido a entregaral menos 250 del modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero, y el resto para fines demarzo. Formule el problema como un modelo lineal. (f.o.:463500)

a) Defina claramente las variables de decisinb) Formule el modelo de programacin lineal correspondiente sealando claramente la funcin

objetivo y las restricciones.c) Resuelva el modelo utilizando Lingo e indique la cantidad ptima de lanchas que debern

llegar a puerto destino en cada periodo.d) Indique el valor ptimo de la funcin objetivoe) Indique si en algn barco quedara capacidad disponible, de acuerdo al plan ptimo de carga

que hall en la pregunta (c). Justifique su respuesta.

EJERCICIO No.4

La compaa Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros dedistribucin. Los costos de produccin unitarios son los mismos en las dos plantas y los costos detransporte por unidad de todas las combinaciones de planta y centro de distribucin son lassiguientes:

CENTRO DE DISTRIBUCIN

1 2 3

Planta A $800 $700 $400

Planta B $600 $800 $500


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Se debe producir y enviar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y enviarcualquier cantidad hasta un mximo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una granflexibilidad para dividir la produccin total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte.El objetivo de la administracin es determinar cunto se debe producir en cada planta y, despus,cul debe ser el patrn de embarque de manera que se minimice el costo total del transporte.Formule este problema. (f.o. 25000)

EJERCICIO No.5Una compaa., que fabrica un solo producto, tiene tres plantas y cuatro clientes. Las plantasrespectivas podrn producir 60, 80 y 90 unidades, durante el siguiente perodo. La empresa se hacomprometido a vender 40 unidades al cliente 1; 60 unidades al cliente 2, y por lo menos 20unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean comprar tantas unidades como sea posiblede las restantes. La ganancia neta asociada con el envo de una unidad de la planta i al clientejestdada en la tabla:

CLIENTE

1 2 3 4

Planta 1 $800 $700 $500 $200

Planta 2 $500 $200 $100 $300

Planta 3 $600 $400 $300 $500

La administracin desea saber cuntas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuntas unidadesconviene enviar de cada planta a cada cliente, para maximizar la ganancia.Formule este problema. (f.o. 115000)

TRASBORDO

EJERCICIO No.1La empresa Ryan Electronics tiene un problema de trasbordo. La produccin de sus artculoselectrnicos los realiza en las plantas que estn ubicadas en Denver y Atlanta, con una capacidad de600 y 700 unidades respectivamente. La produccin de cada planta es enviada a dos almacenesubicadas en Kansas City y Louisville, que tienen una capacidad de almacn de 600 unidades cada una,de los almacenes son enviados a 4 clientes que estn ubicados en las ciudades de: Detroit, Miami,Dallas y New Orlens, que tiene una demanda mnima de: 200, 200, 400 y 300 unidadesrespectivamente. Los costos (en dlares por unidad) de transporte son:(fo: 5600)

PlantasAlmacenes

Kansas City LouisvilleDenver 2 3Atlanta 3 1

AlmacenesClientes

Detroit Miami Dallas New OrlensKansas City 2 6 3 6Louisville 4 4 6 5

EJERCICIO No. 2.FIBRATOLIMA tiene dos plantas en Ibagu, con una capacidad de produccin de 500 toneladas detela en cada planta. Para poder cumplir con los pedidos de exportacin de sus clientes han construido


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tres depsitos, en el puerto de Santa Marta, en el puerto de Cartagena y en el puerto de Barranquilla.Los costos de transporte de cada planta a cada bodega son:

($ por tonelada)Planta Bodega

Santa Marta Cartagena Barranquilla1 1200 1500 14002 1300 1400 1200

Capacidad de las bodegas (tons) 400 400 400

La demanda, en toneladas de tela, de cada cliente y los costos de envo por mar se dan en lasiguiente tabla en dlares por tonelada:

Bodega ClientePanam Honduras Venezuela

Santa Marta 25000 25000 20000Cartagena 25000 20000 20000

Barranquilla 20000 15000 15000Demanda de los clientes (tons) 200 300 250Precio ($ por ton) 120000 110000 100000

(fo: 6.71E07)

EJERCICIO No.3Una empresa tiene dos plantas de fabricacin ubicadas en distintas localidades y en ambas plantaspuede operar en turno normal y si lo requiere en turno extra. Puede vender sus productos en tresmercados diferentes ubicados en lugares distintos.

La distribucin de su produccin puede efectuarla de dos formas:

Directamente, desde ambas plantas hacia los mercados oIndirectamente, desde ambas plantas hacia dos almacenes y desde stos hacia losmercados.

Los datos de capacidad de produccin normal y extra en cada planta as como el costo de transportehacia los almacenes se dan en la siguiente tabla, adems se seala el dato de capacidad en cadaalmacn:

Costo detransportehacia el

almacn 1

($/unid)

Costos detransportehacia el

almacn 2

($/unid)

Capacidad deproduccin

normal en cadaplanta

(unidades)

Capacidad deproduccin extra en

cada planta(unidades)

Desde planta 1 5 6 3500 2000Desde planta 2 7 5 3500 2000Capacidadalmacenes(unidades) 2000 3000

Costos de transporte unitarios desde almacenes hacia mercados ($/unid)Hacia el mercado

1Hacia el mercado

2Hacia el mercado

3Desde almacn 1 3 2 3Desde almacn 2 4 4 3Demanda mxima en cada mercado(unidades) 3000 2500 2000


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Costos de transporte unitarios directo desde plantas hacia mercadosHacia el mercado 1 Hacia el mercado 2 Hacia el mercado 3

Desde planta 1 8 9 8Desde planta 2 10 12 9

En cada planta el costo de produccin de una unidad de producto es de $22 en turno normal y $28en turno extra. El precio de venta en cada mercado es de $45 y $48 y $50 por productorespectivamente.Formule un modelo de programacin lineal en la forma matemtica compacta que permita a laempresa planear sus operaciones. (f.o.:127000)

MEZCLASEJERCICIO No.11Chandler Oil Company dispone de 5000 barriles de crudo 1 y de 10000 barriles de crudo 2. Lacompaa produce y vende dos productos: gasolina y aceite combustible. Ambos productos se

elaboran combinando el crudo 1 y el crudo2. La calidad del crudo 1 es 10 y la calidad del crudo 2 es5. La gasolina debe tener una calidad promedio de por lo menos 6. La demanda de cada productodebe ser creada por la publicidad. Cada dlar gastado en anunciar a la gasolina crea una demanda de5 barriles de gasolina; cada dlar gastado en anunciar al aceite combustible origina una demanda de10 barriles del aceite. La gasolina se vende a 25 dlares por barril y el aceite combustible se vende a20 dlares por barril. Formule un modelo PL para ayudar a Chandler a maximizar sus utilidades. (f.o.:372000)

EJERCICIO No.22Eli Daisy utiliza los productos qumicos 1 y 2 para elaborar dos frmacos. El frmaco 1 debe tener porlo menos 70% del producto qumico 1, y el frmaco 2 debe tener por lo menos 60% del productoqumico 2. Se pueden vender hasta 40 onzas del frmaco 1 a 6 dlares la onza; se pueden vender

hasta 30 onzas del frmaco 2 a 5 dlares la onza. Es posible comprar hasta 45 onzas del productoqumico 1 a 6 dlares la onza, y hasta 40 onzas del producto qumico 2 a 4 dlares la onza. Formuleun modelo PL que maximice las utilidades de Eli Daisy. (f.o.:52)

EJERCICIO No.3 3Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando trestipos de petrleo crudo (1, 2 y 3). En La tabla a. siguiente se muestran los precios de venta por barrilde las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petrleo crudo. Sunco puede comprar hasta5000 barriles de cada tipo de petrleo crudo diariamente.

Tabla a.

GasolinaPrecios de venta por barril

($)Crudo

Precio de compra por barril

($)Gasolina 1 70 Crudo 1 45Gasolina 2 60 Crudo 2 35Gasolina 3 50 Crudo 3 25

1Winston, Wayne. Investigacin de Operaciones. 2da. edicin, Editorial Iberoamrica, Mxico, 1991,p. 101

2

Ibd, p.1013Winston, Wayne. Investigacin de Operaciones. 2da. Edicin. Editorial Iberoamrica, Mxico, 1991,

p.106


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Los tres tipos de gasolina difieren en su ndice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla depetrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un ndice de octano promediode por lo menos 10 y a lo ms 1 % de azufre. La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtenerla gasolina 2 tiene que tener un ndice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo ms 2% deazufre.

La mezcla de petrleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un ndice deoctano promedio de por lo menos 6 y a lo ms 1% de azufre.

El ndice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petrleo se dan en la Tabla que siguea continuacin. La transformacin de un barril de petrleo en un barril de gasolina cuesta 4 dlares, yla refinera se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina.

Tabla b.

Crudo ndice de octano Contenido deazufre

Crudo 1 12 0.5%Crudo 2 6 2.0%

Crudo 3 8 3.0%

Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina:gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compaa se sientecomprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda desus productos mediante la publicidad. Cada dlar invertido diariamente en el publicidad para ciertotipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina en 10 barriles. Por ejemplo, siSunco decide gastar diariamente 20 dlares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de lagasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un modelo de Programacin Lineal quepermita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingresocostos). (f.o: 287.75)

EJERCICIO No.4La dietista de una escuela rural debe preparar los desayunos a ofrecer a los alumnos de lunes aviernes. Diariamentecuenta con un presupuesto de $500 para comprar los ingredientes que son:leche, avena, pan y queso. De acuerdo a la edad promedio la dietista ha calculado la cantidad mnimade caloras, calcio y vitaminas que diariamente debe contener la combinacin total de los ingredientesde la dieta que es de 400, 500 y 600 unidades respectivamente y la cantidad mxima de grasa es de600 unidades.

Las cantidades de caloras, calcio, vitaminas, protenas y grasa que contiene cada unidad de cadaingrediente, se muestran en la siguiente tabla:

Leche Avena Pan Queso

Caloras 10 15 8 18Calcio 15 12 10 25

Vitaminas 18 10 8 12Protenas 18 15 12 20

Grasa 20 8 5 18Peso por unidad

(kg./unid)3 1 0.5 5

Por otro lado, se le ha informado que en el mercado local solo puede disponerse de cantidadeslimitadas de los ingredientes, tales cantidades varan cada da de la semana, segn se indica en elsiguiente cuadro conjuntamente con los costos unitarios que varan tambin en cada da de lasemana:


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13

Disponibilidad(unidades)

Costos unitarios($/unidad)

Leche Avena PanQueso Leche Avena Pan Queso

Lunes 20 20 30 15 20 10 3 35

Martes 18 15 35 18 22 12 3 33Mircoles 20 15 35 18 20 12 3.5 33

Jueves 20 18 30 15 18 10 3.5 35Viernes 25 20 30 12 18 12 3 40

Antes de preparar los desayunos, la misma dietista se hace cargo de las compras cada da. Cuentacon una refrigeradora de 20 pie3de capacidad para poder guardar la leche y el queso que sobren alfinal de cualquier da, de forma que puede utilizarlos cualquier da posterior. Cada unidad de leche yqueso que se compre ocupan 1 y 1.5 pie3respectivamente.

Finalmente, teniendo en cuenta la cantidad de alumnos que asisten a la escuela la dietista hacalculado que el peso total del desayuno que se ofrece cada da debe ser de 100 kilos.

Cada da la combinacin total de productos ser repartida equitativamente entre todos los alumnos dela escuela y la preocupacin principal de la dietista es que los alumnos consuman la mayor cantidadde protenas a lo largo de los 5 das de la semana en total.

a) Defina las variables de decisin para este modelo. Tenga en cuenta que la cantidad de cadaalimento que se puede comprar cada da es diferente a la cantidad de cada alimentoque se puede usar cada da.

b) Formule el modelo de programacin lineal correspondiente en la forma matemtica compacta(Explique los smbolos o abreviaturas que utilice en su modelo)

EscenarioPresente los cambios que debe hacer a su modelo si se le indica que cada da la combinacin total deproductos que ser repartida entre los alumnos debe tener un peso total que puede variar entre 100 y120 kilogramos.

EJERCICIO No.5La compaa FORTES se dedica a la produccin y comercializacin de ladrillos. Para la presentesemana, el gerente de produccin se encuentra elaborando el plan de produccin de tres tipos deladrillos: Ikaro caravista, King Kong y Tabique.Se sabe el precio de venta y la demanda mnima para esta semana, en millares de ladrillos de cadatipo. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:

Tipo de ladrillo Demanda mnima(millares de ladrillos)

Precio de venta($/millar de ladrillo)

Ikaro caravista 280 280King kong 330 200Tabique 290 220

Para la produccin de estos ladrillos se requiere de tres tipos de arcillas (A, B y C) en cantidades quedifieren para cada tipo de ladrillo producido.La siguiente tabla muestra el porcentaje mnimo de cada tipo de arcilla que debe tener cada tipo deladrillo as como el requerimiento de arcilla (en total) por millar de ladrillo:


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Tipo de arcilla Porcentaje mnimopara Ikaro caravista

Porcentaje mnimopara King Kong

Porcentaje mnimopara Tabique

A 0.15 0.3 0.35B 0.3 0.2 0.25C 0.4 0.35 0.25Requerimiento de arcilla(m3/millar de ladrillos) 5 3.2 4

De la tabla anterior puede leerse por ejemploque, por cada millar de ladrillo Ikaro caravista que seplanee producir, debe utilizarse 5 m3 de arcilla. Adems, la arcilla tipo A que se utilice para elladrillo Ikaro caravista debe ser como mnimo el 15% del total de la arcilla que se emplee para estetipo de ladrillo.La compaa extrae la arcilla que utiliza en la produccin y al respecto se cuenta con la siguienteinformacin:

Tipo de arcilla Costo de extraccin($ por m3)

Cantidad mximade extraccin posible

(m3)A 22 1600B 20 1900C 24 1750

Se ha establecido que por lo menos debe extraer 1750 m3 de arcilla tipo B durante esta semana.Con la informacin disponible formule un modelo de programacin lineal que permita determinar lacantidad total ptima de cada tipo de arcilla que debe ser extrada y destinada a la produccin decada tipo de ladrillo.

a) Presente sus variables de decisin y defina lo que ellas representan.b) Presente el modelo lineal que permita resolver el problema de FORTES, en la forma matemticacompacta (estructurada) (f.o.:192012.5)

EJERCICIO No.6Mina Real es una empresa minera que opera extrayendo carbn en tres minas, para enviarlo luego acuatro importantes clientes. Los costos de transporte desde cada mina hacia cada cliente as como lascantidades demandadas por los clientes se muestran en la tabla siguiente:

Costos unitarios de transporte ( $/ tonelada)Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4

Mina 1 4 6 8 12Mina 2 9 6 7 11Mina 3 8 12 3 5

Demanda(toneladas) 800 900 500 800

Cada mina tiene una disponibilidad de carbn y un costo unitario de produccin diferente. As mismo,el carbn procedente de cada mina tiene un contenido diferente de ceniza, sulfuro y de una ciertasustancia Alfa. El contenido de ceniza, sulfuro y Alfa por tonelada de carbn, la disponibilidad y elcosto unitario de produccin se sealan en la tabla siguiente:

Ceniza(toneladas/toneladade carbn)

Sulfuro(toneladas/toneladade carbn)

Alfa(toneladas/toneladade carbn)

Disponibilidad(toneladas)

Costo deproduccin($/tonelada)

Mina 1 0.08 0.05 0.07 1200 50Mina 2 0.06 0.04 0.05 1000 55

Mina 3 0.04 0.03 0.032 1400 62


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Se requiere que el carbn que cada clientereciba contenga a lo ms 5.5% de cenizas, a lo ms4.2% de sulfuro, a lo ms 5.2% de Alfa y no menos de 4% de Alfa.Mina Real desea minimizar el costo de satisfacer a sus cuatro clientes.

a) Defina las variables de decisinb) Defina la funcin objetivo y su correspondiente expresin matemtica compacta o estructurada.

c) Formule la(s) familia(s) de restricciones en forma estructurada o compacta, indicando el significadode la notacin que haya utilizado para denotar los parmetros del modelo.d) Indique por lo menos una ventaja que encuentre en la formulacin estructurada o compacta de unmodelo de programacin lineal.(f.o.: 192450)

Escenario:Suponga que la capacidad de produccin de cada mina puede ampliarse hasta un 20% ms que laactual, incrementndose el costo unitario de produccin en un 10% para las toneladas adicionales.Formule los cambios que deber realizarse sobre el modelo original.

PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCIN E INVENTARIOS

EJERCICIO No.14Manufactura Acme recibi un contrato para entregar ventanas de vivienda durante los 6 mesessiguientes. Las demandas sucesivas para los seis periodos son 100, 250, 190, 140, 220 y 110.respectivamente. El costo de produccin por ventana vara de un mes a otro, dependiendo de loscostos de mano de obra, materiales y servicios. Acme estima que el costo de produccin por ventana,durante los 6 meses siguientes, ser $50, $45, $55, $48, $52 y $50, respectivamente. Paraaprovechar las fluctuaciones en el costo de manufactura. Acme podra optar por producir ms de lonecesario en determinado mes, y guardar las unidades excedentes para entregar en mesesposteriores. Sin embargo, eso le ocasionara un costo de almacenamiento de $8 por ventana y pormes, evaluado con el inventario levantado en el fin de mes.

Desarrolle una programacin lineal para determinar un programa ptimo de produccin para Acme.(f.o.: 49980)

EJERCICIO No. 25James Beerd hornea pasteles de queso y pasteles de Selva Negra. Durante cualquier mes puedehornear cuando mucho 65 pasteles. Los costos por pastel y la demanda de pasteles, la cual se debecumplir a tiempo, se proporcionan en la siguiente tabla. Cuesta 50 centavos conservar un pastel dequeso y 40 centavos conservar un pastel de la selva negra en inventario por un mes. Plantee unmodelo de programacin lineal par minimizar el costo total por cumplir la demanda de los tres mesessiguientes:

ProductoMes 1 Mes 2 Mes 3

Demanda Costo/pastel(dlares) Demanda Costo/pastel(dlares) Demanda Costo/pastel (dlares)Pastel de queso

Selva Negra4020

3.002.50

3030

3.402.80

2010

3.803.40

(f.o.: 464.5)

EJERCICIO No. 36Una compaa manufacturera produce 2 tipos de productos, A y B. La demanda (en unidades) semuestra a continuacin:

4Taha, Hamdy.Investigacin de Operaciones. 7ma. Edicin. Ed. Pearson , Mxico, 2004, p. 625Winston, Wayne.Investigain de Operaciones. 2da. Edicin. Ed. Iberoamrica, Mxico, 1991, p.112

6Ibd p.112


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A BMarzo 500 200Abril 800 400

La compaa posee 2 lneas de ensamble (cualquier producto puede ensamblarse en cualquier lnea).La capacidad de cada lnea y las tasas de produccin se muestran en las siguientes tablas:

Capacidad (horas)Lnea 1 Lnea 2

Marzo 8000 2000Abril 4000 1200

ProductoTasa de produccin (horas /

unidad)Lnea 1 Lnea 2

A 0.15 0.16B 0.12 0.14

El costo de produccin es de 5 $ / hora (se paga slo por las horas trabajadas). Se puede almacenarproductos a un costo mensual de 0.20 $ / unidad. Actualmente, el almacn cuenta con 500 unidadesde A y 750 unidades de B. Se desea que el inventario al final del mes de Abril sea por lo menos 1000unidades de cada producto. Plantee un MPL para determinar el plan de produccin e inventarios queminimice el costo total y cumpla con la demanda. (f.o.: 2170)

EJERCICIO No.4Una empresa importa dos modelos de autos, A y B, tanto desde Japn como desde Brasil. Losestimados de ventas en unidades para los prximos tres meses son los siguientes:

Modelo Mes 1 Mes 2 Mes 3A 200 501 600B 301 600 501

Los costos de importacin de cada modelo procedente de cada pas son los siguientes:

Modelo Japn($ por auto)

Brasil($ por auto)

A 105 98B 116 101

Se cuenta con un inventario inicial de 6 y 5 autos de cada modelo respectivamente y el costo mensualde guardar un auto en almacn (costo de mantenimiento de inventarios) es de $5. Al final de cadames se desea tener como mnimo 5 autos de cada modelo y como mximo 10 autos de cada uno deellos.Cuando los autos llegan al pas, deben pasar por una revisin tcnica que requiere de 3 horas porauto y la disponibilidad de horas para dichas revisiones tcnicas en cada mes es de 1500, 3400,3288horas respectivamente.

Adems por disposicin del gobierno en cada mes la cantidad de autos importados desde Brasil tieneque ser menor o igual a los importados desde el Japn.Se desea determinar el programa de importacin para esta empresa para los prximos tres meses.

a) Formular el modelo de programacin lineal utilizando el Lingo estructurado. (f.o.:279418.0)

b) Completar el siguiente cuadro con el programa ptimo de produccin hallado para el primer mes.


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Modelo Japn BrasilAB

c) Observando su reporte de solucin indique si debe tenerse inventario de vehculos al iniciar eltercer mes.d) Observando su reporte de solucin indique cuntas horas de revisin tcnica se utilizan en elsegundo mes.

EJERCICIO No.5En una planta industrial se fabrican tres productos. En cada uno de los tres periodos siguientes setiene las demandas sealadas en la tabla adjunta, esta demanda se atender solo si es convenientepara la empresa. El precio de los productos se espera que no varen en los prximos periodos:

Demanda periodo1 (unidades)

Demanda periodo 2(unidades)

Demanda periodo 3(unidades)

Precio deventa unitario

($/unid)Producto 1 500 300 300 50Producto 2 400 200 500 55Producto 3 200 300 400 48

Existe la posibilidad de almacenar un mximo de 200 unidades de productos en total, cada periodo. Elcosto de almacenamiento por unidad de producto de cualquier tipo, por mes es de $1.

En la fabricacin de estos productos se utiliza un insumo. Los requerimientos de cada producto semuestran en la tabla siguiente:

Requerimiento de

insumo (kg/unidad)Producto 1 3Producto 2 2Producto 3 3

La disponibilidad y el costo por kilogramo varan tal como se seala en la siguiente tabla:

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3Disponibilidad (kg) 500 1000 700Costo ($/kg) 25 30 32

El insumo se recibir del proveedor al inicio del periodo y se utilizar en la produccin de ese periodo.No es posible utilizar insumo de periodos anteriores en la produccin y lo que no se llegue a utilizar nose paga y ser devuelto al proveedor.Formule modelo de programacin lineal que permita a la empresa programar sus operaciones.(f.o.:1250.000)

EJERCICIO No.6 (inventario de productos e inventario de insumo)Una fbrica debe entregar una cierta cantidad de cada uno de cinco productos que produce en cadauna de las prximas tres semanas. Dado que los costos pueden variar es posible producir paraalmacenar. Hay un nico almacn para los inventarios de productos terminados de todos losproductos y tiene capacidad para 120 unidades en total. Para cualquier producto, el costo de

almacenamiento es de $0.5 por unidad por semana.


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Para fabricar los cinco productos se utiliza un nico insumo en las cantidades que se sealan en elcuadro y esta utilizacin no cambia de una semana a otra. El costo por tonelada del insumo en cadasemana es $180, $175 y 190 respectivamente. Se tiene en almacn de materia prima 584 toneladasde este insumo en este momento. Es posible efectuar compras en cualquiera de las semanas yalmacenar el insumo en su propio almacn sin restriccin de capacidad a un costo de $ 20 portonelada.

Entregaspactadasprimerasemana

(unidades)

Entregaspactadassegundasemana

(unidades)

Entregaspactadastercerasemana

(unidades)

Requerimiento delinsumo

(toneladas/unidad)

Producto 1 120 150 120 1.2Producto 2 150 180 180 0.8Producto 3 180 220 150 1Producto 4 120 150 200 2.2

Producto 5 200 200 200 1.8(f.o.:470580.0)

EJERCICIO No.7Una empresa comercializadora compra un producto y lo envasa para venderlo en packs de dosunidades. Para hacer el pack, requiere de un envase, que puede comprar a un proveedor local. Losdatos correspondientes a los prximos cuatro periodos de operacin se dan en la siguiente tabla:

Periodo Oferta del proveedor Oferta del proveedor Costo unitario Costo unit.de productos de envases de producto de envase(unidades) (unidades) ($/unidad) ($/unidad)

1 1000 800 $20 $2.52 1500 400 $22 $2.73 1000 500 $24 $2.04 1200 400 $25 $2.5

Actualmente tiene en stock 500 unidades de productos y 300 envases, pero puede comparar, si lonecesita. Las compras en cada periodo estn limitadas por las cantidades que ofrecen tanto elproveedor de productos como el de envases.

Dado que los costos tanto de producto como de envase son variables, es posible almacenar lascantidades que se considere conveniente de ambos, sin exceder la capacidad del almacn respectivo

que es de 500 unidades de producto y 300 unidades de envase respectivamente, en cualquierperiodo. El costo de almacenamiento es de $1 por unidad por mes para cualquiera de los dosalmacenes.No se tiene restriccin por capacidad de envasado. No es posible guardar en almacn los packsde productos.

La empresa ha pronosticado las siguientes demandas mximas y los siguientes precios para cada unode los periodos.

Periodo Demanda mxima Precio de venta(packs) ($/pack)

1 400 $652 700 $753 700 $704 800 $78


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Formule el modelo de programacin lineal , en su forma matemtica compacta, para permitir a estaempresa planear sus operaciones para lo prximos cuatro periodos, definiendo las variables dedecisin correspondientes.(f.o.:62020)

EJERCICIO No.8La empresa Antonino es reconocida por la elaboracin de una variedad de tortas. Antonino aceptapedidos hasta con una semana de anticipacin lo que permite planificar la produccin semanal detortas. Los pedidos para la prxima semana figuran en la siguiente tabla:

Pedidos de cada tipo de torta para cada da (cantidad de tortas)

Tipo deTorta

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

T1 20 20 24 26 20 28 30

T2 16 20 18 24 30 36 30T3 22 23 30 32 36 40 36T4 15 16 18 22 25 28 24T5 16 18 19 20 24 45 22

Para la elaboracin de las tortas Antonino emplea los mismos 4 insumos en cantidades distintas paracada torta. Las cantidades de insumo utilizadas en cada tipo de torta se indican en la siguiente tabla,en kilogramos de insumo por unidad de torta:

Cantidad de los insumos utilizados por unidad de torta ( kg/unidad)

Insumo T1 T2 T3 T4 T5I1 0.5 0.6 0.7 0.6 0.8

I2 0.3 0.3 0.4 0.5 0.4I3 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2I4 0.3 0.4 0.2 0.3 0.2

Es posible comprar insumos cada da y las cantidades de dichos insumos no utilizadas en el da,pueden almacenarse para ser utilizadas en los das posteriores, por otro lado, las tortas sondespachadas el mismo da en que son elaboradas ya que no pueden ser guardadas.El almacn para los insumos tiene capacidad diaria para 40 kilos en total y no se cuenta coninventario inicial de ninguno de los insumos. Los costos de los insumos en dlares por kilogramo,para cada da se muestran en la siguiente tabla:

Costos de los insumos ( $/kg)

Insumo Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo Costo dealmacenamiento( $/kg por da)

I1 2.5 2.5 2.7 2.6 2.8 2.9 3.0 0.1I2 3.0 3.1 3.1 3.1 3.3 3.3 3.5 0.2I3 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 0.15I4 3.5 3.5 3.7 3.8 4.0 4.0 4.0 0.12

Antonino desea minimizar el costo total de satisfacer los pedidos de la prxima semana.

a) Identifique la(s) variable(s) de decisin.

c) Formule la funcin objetivo en la forma matemtica compacta, sealando el significado de lanotacin que decida utilizar para nombrar los datos en su modelo.


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d) Formule las familias de restricciones en su forma matemtica estructurada, sealando el significadode la notacin que decida utilizar para nombrar los datos en su modelo.(f.o.:4487.89)

e) Indique qu datos necesitara y qu cambios hara en las condiciones del modelo para que stefuera de maximizacin.

MODELOS DE PROGRAMACIN DE HORARIOS

EJERCICIO No.1 7Durante cada 4 horas la polica de Pueblo Chico necesita la siguiente cantidad de oficiales de policaen servicio: de las 12 de la noche a las 4 a.m., 8; de 4 a 8 a.m., 7; de 8 a.m. a 12 del da 6; de 12 a 4p.m., 6; de 4 a 8 p.m., 5; de 8 p.m. a medianoche 4. Cada oficial de polica trabaja 2 turnosconsecutivos de 4 horas. Plantee un PL que sea til para minimizar el nmero de policas necesariospara cumplir con las demandas diarias de Pueblo Chico. (f.o.: 19).

EJERCICIO No.28El Banco Nacional de Gothan City abre de lunes a viernes de 9 a.m. a 5 p.m. El banco sabe porpasada experiencias, que necesita la cantidad de cajeros que se seala en la tabla adjunta. El bancocontrata a dos tipos de cajeros. Los cajeros en tiempo completo trabajan de 9 a 5, cinco das a lasemana, excepto por una hora libre para tomar alimentos. (El banco determina cuando un empleadode tiempo completo debe tomar su hora para los alimentos, pero cada cajero debe salir entre medioda y 1 p.m. o bien entre 1 p.m. y 2 p.m.) Los empleados de tiempo completo ganan (incluyendoprestaciones salariales) 8 dlares la hora (esto incluye el pago por la hora de tomar alimentos). Elbanco podra tambin contratar cajeros de medio tiempo. Cada cajero de medio tiempo debe trabajarexactamente 3 horas consecutivas todos los das. Un cajero de medio tiempo gana 5 dlares por hora(y no recibe prestaciones salariales). Para mantener la calidad adecuada del servicio, el banco decidique se pueden contratar cuando mucho 6 cajeros de medio tiempo. Plantee un PL que cumpla con los

requisitos de los cajeros al mnimo costo semanal. (f.o.: 2050)

Periodo CajerosNecesarios

9-10 410-11 311-Medioda 4Medioda-1 61-2 52-3 63-4 84-5 8

MODELOS DE PLANEACIN FINANCIERA

EJERCICIO No.1Una pequea tienda de juguetes, Toyco, proyecta los flujos de efectivo mensuales (en miles dedlares) durante el ao 2003 en la siguiente tabla:

7Ibd. p. 75

8Ibd p. 121


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Mes Flujo de efectivo Mes Flujo de efectivoEnero -12 Julio -7

Febrero -10 Agosto -2Marzo -8 Septiembre 15Abril -10 Octubre 12Mayo -4 Noviembre -7Junio 5 Diciembre 45

Un flujo de efectivo negativo significa que la salida de efectivo sobrepasa la entrada de efectivo alnegocio. Para pagar sus cuentas, Toyco necesitar pedir un prstamo de dinero a principios de ao.Hay dos maneras para pedir el prstamo:

a) Tomar un prstamo de largo plazo a un ao; los intereses de 1% se cargan cada mes y elprstamo se debe pagar a fines de diciembre.

b) Al inicio de cada mes se pide un prstamo de corto plazo a una lnea de crdito bancaria, secarga una tasa de inters de 1.5% y todos los prstamos a corto plazo (incluidos losintereses) se debe liquidar a finales de Diciembre.

Al finalizar cada mes, el efectivo excedente gana 0.4% de inters. Formule un MPL cuya solucin

ayude a Toyco a maximizar su estado de caja al empezar Enero del 2004. (f.o. con interscompuesto: 11.67115 miles de dlares. Con inters simple: 11.98089 miles de dlares)

EJERCICIO No.2 9Usted es analista financiero. Madonna acudi a usted porque necesita que la ayuden a liquidar suscuentas de tarjeta de crdito. Ella debe a sus tarjetas de crdito las cantidades que se indican acontinuacin:

Tarjeta Deuda (dlares) Tasa de inters mensual1 20000 0.5%2 50000 1%3 40000 1.5%

Madonna debe asignar hasta $5000 por mes para liquidar estas tarjetas de crdito. Todas las tarjetasde crdito se deben liquidar en 36 meses. El objetivo de Madonna es minimizar el total de todos suspagos. Para resolver este problema, usted debe entender cmo influyen los intereses sobre unprstamo. Para ilustrarlo, suponga que Madonna paga $5000 en la tarjeta 1 al final del mes 1.Entonces su saldo es de: (20000 + 20000(0.005) 5000). Aydele a Madonna a resolver suproblema.(f.o.: $123307.1)

EJERCICIO No. 3La Corporacin Financiera Andina (CFA) est diseando un plan de inversiones para los prximos dosaos. Actualmente, el monto disponible es de tres millones de dlares. Meses atrs CFA ejecut

inversiones de las cuales recibir un flujo de ingresos dentro de 6, 12, 18 y 24 meses, tal comoaparece en la siguiente tabla.

Ingresos de inversiones previas ($)6 meses 12 meses 18 meses 24 meses

Ingreso 600000 500000 450000 420000

CFA se ha interesado en dos proyectos, un proyecto turstico de la provincia de Huari (Proyecto A) yun proyecto de construccin de un centro comercial en la ciudad de Huancayo (Proyecto B). En lasiguiente tabla se muestra el flujo de caja que se tendra si la CFA participara en un 100% en cadaproyecto. Los montos que CFA debe invertir se sealan en negativo, mientras que los montospositivos son ingresos que CFA recibir:

9Ibd. p. 109


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ProyectosFlujo de caja ($)

Inicial 6 meses 12 meses 18 meses 24 mesesProyecto A -1500000 -1000000 2500000 1000000 900000Proyecto B -1200000 -800000 700000 -500000 2800000

La CFA puede participar en el proyecto A o B en un nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos losflujos se reducirn en forma proporcional. Al comienzo de cada semestre, los fondos no invertidos enningn proyecto se depositan en el banco y generan un inters de 7.5% semestral. El gerente de laCFA desea saber cmo invertir en cada proyecto y cunto depositar en el banco. Su meta consiste enmaximizar los fondos disponibles al final de los 24 meses. Formule el modelo de programacin linealque permita obtener el plan ptimo de inversiones. (f.o.: 8127500)

EJERCICIO No.4Una persona dispone en estos momentos $ 630 000 para invertir; est evaluando 7 tipos de accionesy para cada tipo de accin 3 tipos de plazos. Por lo tanto l debe decidir cuanto invertir en cada tipo

de accin y en qu tipo de plazo.Para tomar esta decisin ha recolectado la siguiente informacin:

Costo unitario por cada accin ($ / unid.)Ganancia por tipo de accin de acuerdo al tipo de plazo (%)Inversin mnima sugerida por tipo de accin segn el plazo para acciones tipo C y F (% deldinero disponible)Inversin mxima por tipo de accin en total. (% del dinero disponible)

Costo por tipo de accin ($ / unid.)Tipo A B C D E F GCosto 90 120 75 110 80 105 95

Ganancia* (%)Tipo deaccin

Tipo de plazo (aos)1 2 3

A 12 25 39B 15 32 48C 10 24 36D 14 30 45E 11 25 40F 13 29 45G 12 28 44

* Nota:A modo de ejemplo, si se adquiere una accin tipo A para el plazo de un ao, se tendr unarentabilidad del 12 %; lo cual significa que luego de un ao se habr ganado $10.8 (0.12*90)

Inversin mnima (% del total)

Tipo deaccin Tipo de plazo1 2 3C 5 6 4F 8 6 5

Inversin mxima (% del total)Tipo A B C D E F G

Inversin mxima (%) 20 25 30 25 20 40 30

Formule el modelo de Programacin Lineal que permita obtener el plan ptimo de inversiones.(f.o.:244818)


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MODELOS PARA FORMULAR CON MS DE DOS NDICES

EJERCICIO No.1Una firma minera extrae cuatro tipos de mineral de cuatro yacimientos diferentes ubicados en lamisma zona, es decir, en cada yacimiento es posible extraer cada uno de los cuatro minerales. Paralas operaciones de extraccin cuenta con 6 equipos cuyo rendimiento y costos de operacin son

diferentes en cada yacimiento, tal como e indica a continuacin:

Rendimiento (toneladas por da)

Equipo Yacimiento 1 Yacimiento 2 Yacimiento 3 Yacimiento 41 100 80 88 802 75 90 75 703 70 80 90 904 100 90 80 655 95 100 78 956 80 90 60 105

Costos diarios de Operacin ($ por da)

Equipo Yacimiento 1 Yacimiento 2 Yacimiento 3 Yacimiento 41 20 40 45 402 25 35 65 703 30 20 40 354 25 45 50 405 20 35 45 456 35 20 35 25

La firma enfrenta una demanda y conoce el precio estimado por tonelada para el prximo mes paracada tipo de mineral, lo que se seala en el cuadro siguiente:

Mineral Demanda Mensual ( ton.) Precio de venta ($/ton.)1 2500 1502 2700 1203 2800 1004 2500 125

Mensualmente los equipos tiene que recibir mantenimiento por lo que no est n operativos todos losdas del mes, el equipo 1 requiere 3 das, el 2 requiere 5, el tres requiere 3, el 4 requiere 5, el 5requiere 5 y el 6 tambin 5 das. El equipo 6 es un equipo contratado, no es un equipo propio y debeser utilizado por lo menos 15 das al mes. Puede considerar un mes de 30 das.

a) Formule y presente el modelo de programacin lineal estructurada.b) Resuelva en el LINGO. (f.o.: 1962765)c) Responda las siguientes preguntas:

Cmo se asignan los equipos a los yacimientosCuntos das trabaja cada equipoCunto de cada mineral se produce.Cul es la utilidad mxima obtenida.

EJERCICIO N.2Una empresa dedicada a la fabricacin de productos lcteos produce yogurt y leche saborizada apartir de dos tecnologas A y B. Para cada uno de los productos se puede emplear dos calidades deleche. Los requerimientos por litro de producto de cada insumo bajo cada tecnologa se sealan en el

siguiente cuadro


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Para la tecnologa A Para la tecnologa B

Yogurt Leche Yogurt LecheSaborizada Saborizada

Leche tipo 1 1.5lts. 1.8lts. 1.60lts. 1.5 lts

Leche tipo 2 1.9 lts. 1.6 lts. 1.45lts. 1.70lts.

Se cuenta con 5000 litros de la leche tipo 1 y 3000 litros de la leche tipo 2. Se debe producir por lomenos 200 litros de yogurt y 500 litros de leche saborizada.Cada litro de leche tipo 1 cuesta $0.45 y del tipo 2 cuesta $0.25. Los precios de venta de cada litrode yogurt y leche saborizada son $1.05 y $0.95 respectivamente.Formule el modelo de programacin lineal estructurada que permita planear la produccin delprximo periodo para el cual es vlida la informacin dada.(F.o.: 2622.414)


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EJERCICIOS PARA ANLISIS DE SENSIBILIDAD

EJERCICIO No.1 : suministro de arenaUsted es un contratista puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina ySan Borja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurn. La cantidadmxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurn 14 toneladas.

Los costos de transporte y obtencin de la arena se muestran en el cuadro siguiente:

Cuadro No. 1 - Cuadro de CostosCosto de transporte(soles / tonelada) Costo de arena

(soles/tonelada)ConstruccinCantera Surco La Molina San Borja

Cieneguilla 30 60 50 100Lurn 60 30 40 120

La cantidad de arena que podra entregar a cada construccin es la siguiente:Surco La Molina San Borja

10 toneladas 5 toneladas 10 toneladas

Teniendo en cuenta los datos anteriores, elaborar un modelo que permita al contratista determinar lacantidad de arena que debe transportar desde las canteras a las construcciones.

a. Identifique y defina las variables de decisinb. Presente el modelo de programacin lineal.

Model:Sets:

cant/1..2/:disp,costo;const/1..3/:req;CC(cant,const):costo_t,x;endsets

data:req=10,5,10;disp=18,14;costo=100,120;costo_t=30,60,50,60,30,40;enddata

Min=@sum(cc(i,j):x(i,j)*costo_t(i,j)+x(i,j)*costo(i));

@for(cant(i):[disponibilidad]@sum(const(j):x(i,j))=req(j));

c. Complete el siguiente cuadro con la solucin de su modelo:Cantidad a transportar

Cantidad a comprarConstruccin

Cantera

Surco La Molina San Borja

CieneguillaLurn


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d. Si tuviera que establecer el precio por tonelada a cobrar a cada una de las construcciones porel material que les entrega, qu resultados empleara como base para fijar dichos precios?

e. Usted ha escuchado que es posible que la cantera de Cieneguilla eleve el costo por toneladade arena. Hasta qu precio estara usted dispuesto a pagar por tonelada en dicha canterapara mantener su plan actual?

f. Se ha enterado que un competidor ha acudido antes que usted a la cantera de Cieneguilla yha comprado material dejndole a usted una disponibilidad menor. Usted desea evaluar culser el efecto en sus costos totales y cul sera la mxima disminucin de dicha disponibilidadque le permitiera mantener las mismas rutas de transporte a utilizar en su plan actual.

EJERCICIO No.2: DIGITAL IMPORTDIGITAL IMPORT es una empresa que se dedica principalmente a la venta de los siguientes artculos:Televisores de pantalla plana, equipos DVD, y equipos de sonido de alta fidelidad, los mismos queimporta de una reconocida marca de equipos digitales. Los precios de venta, los costos de adquisicin

de cada uno de los artculos, el espacio de almacenamiento requerido, y las horas-hombre (HH)necesarias para su comercializacin se presentan en la siguiente tabla:

ArtculoPrecio de venta

($/unidad)Costo adquisicin

($/unidad)

Espaciorequerido

(m3/ unidad)

T. comercializacin(HH / unidad)

TV. pantalla plana 250 180 0.20 4Equipo DVD 100 65 0.08 2Equipo de sonido 150 100 0.40 1

Digital importa recibe sus lotes de pedidos cada 2 semanas (14 das), motivo por el cual deseaplanificar su plan de compras para cada perodo de aprovisionamiento. El almacn tiene una

capacidad til de almacenamiento de 180 m3

, cada da la fuerza de ventas disponible es de 10trabajadores que laboran 8 horas diarias, se ha destinado $ 60700 para la adquisicin de mercadera.

a) Formule el modelo de Programacin Lineal (LINGO estructurado) que resuelva el problema deDIGITAL IMPORT

Model:sets:modelo/1..3/:precio,costo,espacio,tiempo,x;endsets

data:costo=180 65 100;precio=250 100 150;

tiempo=4 2 1;espacio=0.2 0.08 0.4;enddata

Max=@sum(modelo(i):(precio-costo)*x);

[disp_espacio]@sum(modelo(i):x*espacio)


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Artculo Cantidad a adquirirTV. pantalla planaEquipo DVDEquipo de sonido

Funcin Objetivo =

c) Cul sera el nuevo valor de la funcin objetivo, si se decidiera adquirir 15 TV. pantalla plana?d) Si el precio de venta de los equipos DVD ya no fuera $ 100, si no que ahora fuera de $ 98. La

base ptima se modificara?e) El administrador de DIGITAL IMPORT tiene dos posibilidades: Alquilar 22 m3de almacenamiento

extra o aumentar de 8 a 9 las horas que se laboran cada da. Independientemente del costo querepresenta cada alternativa Cul de las dos opciones es ms conveniente?

EJERCICIO No.3: Obras PblicasEl presidente de una regin del interior del pas ha visto disminuir su popularidad durante los ltimosmeses; la poblacin le reclama que haga ms obras pblicas. Orden a sus asesores que realicen unestudio sobre las obras pblicas que se pueden realizar con una duracin no mayor de 20 das. Losasesores fueron recogiendo las opiniones de los pobladores de las diferentes provincias de la regin,

luego de lo cual determinaron los 4 tipos de obras pblicas ms solicitadas, que se pueden realizar enese perodo de tiempo. Los requerimientos y el nmero de familias beneficiadas en promedio por cadatipo de obra pblica se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de obra pblica Ingenierosciviles ObrerosMaquinaria

Tipo 1Maquinaria

Tipo 2Familias

beneficiadasLosa deportiva 2 10 2 1 190Asfaltado pistas yveredas 3 12 2 2 250

Parques y jardines 1 8 1 2 180Locales comunales 2 9 1 1 150

Durante el perodo de tiempo sealado se dispone del siguiente nmero de ingenieros, obreros y

maquinarias tipo 1 y tipo 2.Disponibilidad

Ingenieros civiles 84Obreros 360Maquinaria Tipo 1 51Maquinaria Tipo 2 60

a) Formule el modelo de programacin lineal que permita determinar el plan ptimo de ejecucinde obras pblicas.

Model:Sets:obra/1..4/:beneficio,x;recurso/1..4/:disp;OR(obra,recurso):uso;

endsets

data:beneficio=190 250 180 150;disp=84 360 51 60;uso=2 10 2 1

3 12 2 21 8 1 22 9 1 1;

enddata

Max=@sum(obra(i):x*beneficio);

@for(recurso(j):[disponibilidad]@sum(obra(i):x(i)*uso(i,j))


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b) Cul sera el plan de ejecucin de obras pblicas?c) Qu sera ms conveniente, aumentar la disponibilidad de Maquinarias Tipo 1 o Tipo 2?d) Cul sera el nuevo valor de la funcin objetivo, si se decidiera construir 4 losas deportivas?e) Hasta que valores puede disminuir o aumentar el nmero de familias beneficiadas por la

construccin de locales comunales, de tal forma que la solucin hallada inicialmente siga siendo

la ptima?f) El Alcalde de una Regin vecina ofrece enviar a 40 obreros calificados. Se desea que la base

solucin ptima hallada siga siendo la misma. Se deberan aceptar a la totalidad de los obreros?Cul sera el nuevo valor de la funcin objetivo que se lograra con los obreros que seanaceptados?

EJERCICIO No.4: NATURA-FARMALa empresa NATURA-FARMA se dedica a la extraccin de compuestos medicinales de los rboles de la

Amazona. Para la extraccin del compuesto X puede emplear la corteza de cualquiera de 2 rboles:Copaiba y Oj. Para extraer el compuesto se puede usar cualquiera de 2 procesos distintos: P1 y P2.La informacin sobre la cantidad de compuesto medicinal que se extrae de la corteza de los diferentesrboles segn el proceso elegido, los costos por Kg. de corteza, disponibilidad semanal de corteza,

costo de procesamiento por Kg. de corteza y la capacidad semanal de cada proceso extractivo sepresentan en la siguiente tabla:

Compuesto extrado (%) Informacin sobre insumos

P1 P2 Costo(S/.x Kg.) Disponibilidad(Kg.)

Copaiba 1.5 1.7 0.35 38000Oj 2 1.85 0.50 50000Costo procesamiento (S/./Kg.) 1 0.75

Capacidad de proceso (Kg.) 40000 50000

NATURA-FARMA necesita producir semanalmente por lo menos 1600 Kg. del compuesto medicinal.

a) Formule el modelo de programacin lineal en forma algebraica que le permita a NATURA-FARMAresolver su problema de produccin. Defina adecuadamente su variable de decisin.

Model:sets:Corteza/1..2/:costo_i,disp;Proceso/1..2/:costo_p,cap;CP(corteza,proceso):porcentaje,x;endsets

data:costo_i=0.35 0.5;

costo_p=1 0.7;disp=38000 50000;cap=40000 50000;porcentaje=0.015 0.017

0.02 0.0185;enddata

Min=@sum(CP(i,j):(costo_i(i)+costo_p(j))*x(i,j));

@for(corteza(i):[disponibilidad]@sum(proceso(j):x(i,j))


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b) Qu sucedera con el valor de la funcin objetivo si se decidiera destinar 2000 Kg. de corteza deCopaiba al Proceso 1?

c) Si en lugar de tener la necesidad de producir por lo menos 1600 Kg. de compuesto medicinal;ahora solo se debe producir por lo menos 1580 Kg. Cul sera el nuevo valor de la funcinobjetivo?. Sustente su respuesta sin correr el modelo.

d) Un proveedor le ofrece al administrador de NATURA-FARMA, suministrarle corteza adicional de

cualquiera de los tipos de rbol. Si, usted como administrador se decidiera por la compra dealguna de los tipos de corteza. Por cul se decidira? Cuntos Kg. podra adquirir sin que labase ptima se modifique?. Sustente su respuesta sin correr el modelo.

e) Cul de los procesos trabaja a toda su capacidad? Cul puede ser la mxima capacidad dedicho proceso a fin de que la base actual no cambie?.

EJERCICIO No.5: produccin de zapatillas.

YURIKZO es una compaa que se dedica a la produccin y comercializacin de calzado deportivo. Elgerente de produccin de la planta se encuentra planificando la produccin de 3 modelos de zapatillaspara correr: Falcon, Gazella y Lynx. Los diferentes modelos requieren pasar por 3 reas de trabajopara ser fabricados: preparacin de materiales, ensamblado y acabados y empaque. Las horas hombre (HH) requeridas en cada rea de trabajo para la produccin de un lote de zapatillas para

correr, las HH disponibles semanalmente, as como el costo de mano de obra (costo por hora hombre) en cada una de las reas de trabajo, se presentan en la siguiente tabla:

Modelo de zapatillaTiempo requerido en cada rea de trabajo (HH / lote)

Preparacin Ensamblado AcabadosFalcon 4.20 2.50 1.25Gazelle 4.50 2.40 1.10Lynx 4.00 2.60 1.20

Disponibilidad de HH 560 320 124Costo mano de obra (S/./HH) 6 8 5

Los costos de materiales y los precios de venta de cada lote de zapatillas para correr se presentan enla siguiente tabla:

Modelo dezapatilla

Costomateriales(S/. / lote)

Precio deventa

(S/. / lote)Falcon 4250 4900Gazelle 5100 5700Lynx 4600 5250

Se ha determinado que a lo ms se deben producir 85 lotes de cada modelo de zapatillas. A

continuacin se define la variable de decisin y se presenta el modelo de programacin lineal, quepermite resolver el problema de produccin de la empresa YURIKZO.

Variable de decisin:Xi: Lotes de zapatillas para correr tipo i que se deben producir semanalmente. i = 1..3

Modelo LINGO estructuradoModel:sets:zapatilla/1..3/:costo_mat,p_venta,X; !i;

area/1..3/:hh_disp,costo_mo; !j;matriz(zapatilla,area):hh_req; !ij;endsets


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data:costo_mat = 4250 5100 4600;p_venta = 4900 5700 5250;hh_disp = 560 320 124;costo_mo = 6 8 5;hh_req = 4.20 2.50 1.25

4.50 2.40 1.104.00 2.60 1.20;

enddataMax= @sum(zapatilla(i): (p_venta(i)-costo_mat(i))*X(i)) -

@sum(matriz(i,j): hh_req(i,j)*costo_mo(j)*X(i));@for(area(j):[AREAS]

@sum(zapatilla(i): hh_req(i,j)*X(i))


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A B C DZoom ptico 2x 2x 3x 3xZoom digital 3x 3x 3x 4xTarjeta de memoria 8G 16G 16G 16G

Los costos de los componentes mencionados en la anterior tabla conforman la mayor parte del costototal de las cmaras fotogrficas.Los costos de cada uno de estos componentes, en dlares, se presentan en la siguiente tabla:

Zoom 2x 3x 4xZoom ptico 30 55 ---Zoom digital --- 60 90

8G 16GTarjeta de memoria 90 140

Los 4 modelos de cmaras fotogrficas digitales poseen la misma demanda mxima semanal de 2800cmaras.

La planta donde se producen las cmaras fotogrficas tiene una capacidad de produccin semanal de7500 unidades en total, no importando el modelo que se produzca. Los precios de venta de cada unade las cmaras digitales son de $ 250, $ 300, $ 350 y $ 400 para los modelos A, B, C y Drespectivamente.

a) Formule el modelo de programacin lineal que le permita a KIODA obtener el plan ptimo deproduccin de cmaras fotogrficas digitales, as como el plan de adquisicin de cada uno de loscomponentes.

Model:Sets:modelo/1..4/:precio,x;parte/1..6/:costo,compra;! las partes son: zoom ptico 2x, zoom ptico 3x,

zoom digital 3x, zoom digital 4x, tarjeta 8G, tarjeta 16G;PxM(parte,modelo):uso;endsets

data:precio=250,300,350,400;costo=30,35,60,90,90,140;uso=1 1 0 0

0 0 1 11 1 1 00 0 0 11 0 0 00 1 1 1;

enddata

Max=@sum(modelo(j):x*precio)- @sum(PxM(i,j):x(j)*uso(i,j)*costo(i));

@for(modelo(j):[demanda]x(j)


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d) Cunto estara dispuesto a pagar por cada unidad que se logre aumentar a la capacidad deproduccin?

e) De la pregunta anterior En cunto recomendara aumentar la capacidad, de tal forma que labase ptima hallada inicialmente no vare?

f) Si debido a un desperfecto en las lneas de produccin la capacidad de la planta se ve reducidaen un 30%. La base hallada inicialmente sigue siendo ptima?.

EJERCICIO No.7: planta multiproductoEl jefe de planta de una empresa debe programar la produccin de cuatro productos. Tiene laposibilidad de utilizar dos mquinas para producir, pero debe cumplir ciertas condiciones.Cada unidad de producto que fabrique sin importar la mquinas que se utilice, necesita de una ciertacantidad del recurso materia prima y del recurso mano de obra. Los datos necesarios se sealanenseguida:

Requerimiento de

Materia Prima(Kg/ unidad)

Requerimiento de

Mano de Obra(H-H/unidad)Producto 1 4 10Producto 2 6 12Producto 3 5 11Producto 4 7 13Disponibilidad 30000 63000

Produccinmxima en la

Mquina 1 para

cada producto

Produccinmxima en la

Mquina 2 para

cada producto

Utilidad de cadaproducto

producido en la

mquina 1

Utilidad de cadaproducto

producido en la

mquina 2Producto 1 1000 1000 18 16Producto 2 1000 1000 22 24Producto 3 1000 1000 30 34Producto 4 1000 1000 35 33

Produccin total mximaposible

Produccin totalmnima

Mquina 1 2500 1000Mquina 2 5000 2000

a) Defina las variables de decisin

b) Formule en forma matemtica compacta la funcin objetivo y cada una de las familias derestricciones.

c) Resuelva utilizando el lenguaje Lingo estructurado y seale el valor de las variables bsicas quedeterminan el valor de la funcin objetivo.

Model:sets:p/1..4/:util;r/1..2/:disp;m/1..2/:maxt,mint;pr(p,r):req;pm(p,m):x;


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endsetsdata:util=16 24 34 33;req=4 10 6 12 5 11 7 13;disp=30000,63000;maxt=2500 5000;

mint=1000 2000;enddata

Max=@sum(pm(i,j):x(i,j)*util(i));

@for(r(j):@sum(pm(i,k):x(i,k)*req(i,j))


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Se desea determinar cuntas camionetas de cada tipo se deben destinar a cada una de las zonas. Acontinuacin se presenta la variable de decisin y el modelo de programacin lineal que permitirresolver el problema de la empresa CSI:

Variable de decisin:Xij: Cantidad de camionetas tipo i que se deben destinar a la Zona j.

Modelo LINGO estructuradoModel:sets:camioneta/1..3/:disp,cap_carga; !i;zona/1..4/:carga_min; !j;matriz_ij(camioneta,zona): costo_ope,X;endsetsdata:disp = 12 6 10;cap_carga = 24 30 18;costo_ope = 185 200 190 215

320 350 340 365

180 180 175 170;carga_min = 150 162 144 162;enddata

Min= @sum(matriz_ij(i,j): costo_ope(i,j)*X(i,j));

@for(camioneta(i): [DISPO]@sum(zona(j): X(i,j)) = carga_min(j));

a) Completar el siguiente reporte administrativo de acuerdo a los resultados obtenidos.

Cantidad de camionetas de cada tipo destinadas a cada una de las ZonasTipo decamioneta

Ubicacin de los almacenesZona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4

Tipo ATipo BTipo C

Z = S/. _ _ _ _ _ _ _ _

b) Obtenga el nuevo valor de la funcin objetivo si se decidiera destinar 3 camionetas tipo A a laZona 4.

c) Seale hasta que valor podra aumentar el costo operativo mximo de la camioneta tipo A que sedestine a la Zona 2, para que se pueda seguir utilizando la asignacin ptima de camionetas a

las zonas.d) Si la carga mnima de la Zona 2 aumenta en 30 m 3. Indique si este aumento modificar la base

ptima hallada inicialmente. Si no se modifica la base ptima, obtenga el nuevo valor de lafuncin objetivo.

EJERCICIO No.9 Pernos y tuercas

Industrias del Acero fabrica pernos, esprragos y tuercas de acero comercial para uso naval. Laempresa posee dos plantas desde donde enva sus productos a dos almacenes centrales, que atiendendirectamente la demanda de 4 clientes. Las plantas tienen capacidades de procesamiento de 2 y 3toneladas de acero respectivamente.Los pernos, esprragos y tuercas son despachados desde las plantas hacia los almacenes. Una vez enlos almacenes las tuercas se unen con sus respectivos pernos y esprragos, siendo necesarias 1tuerca por perno y 2 tuercas por esprrago pues los pernos y esprragos llevan tuercas acopladas.


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Los pesos unitarios de cada uno de los productos producidos y sus precios de venta se indican en lasiguiente tabla:

ProductoPeso

(kg /unidad)Cantidad de tuercas

entregadasPrecio de venta

(S/./unidad)

Perno 0.25 1 3.5Esprrago 0.40 2 6Tuerca 0.10 1 1.5

El costo de produccin unitario vara de acuerdo a la planta en que se produzcan los productos. Elcosto de transporte unitario hacia cualquiera de los almacenes depende solo de la planta de origen delos productos. Estos costos se sealan en la siguiente tabla:

PlantaPernos

(S/./ unid.)Esprrago(S/. /unid)

Tuerca(S/. /unid.)

Costo Transporte aAlmacenes(S/. / unid)

1 1.00 1.75 0.60 0.10

2 0.75 1.50 0.75 0.08

Los almacenes 1 y 2 tienen una capacidad de recepcin de 1800 y 2500 kg. El costo de transporte dealmacn a cliente es el que se seala en la siguiente tabla, sin importar el tipo de producto:

AlmacnCosto unitario de transporte hacia el cliente ( S/. / unid)

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 41 0.10 0.05 0.15 0.122 0.32 0.25 0.20 0.15

La demanda mxima de los clientes para cada producto se seala en la tabla, pero debe tenerse encuenta que adems de las tuercas solicitadas por los clientes debe enviarse las tuercas que los

pernos y los esprragos requieran.

Producto Demanda de los clientes (unidades)Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4

Perno 2000 5000 0 800Esprrago 1000 500 2500 800Tuerca 2500 1000 1000 1200

Se ha formulado el siguiente modelo de programacin lineal para planear la produccin y ventas de laempresa.

SETS:Planta /1..2/:Capacidad,CTAlm; !i;

Almacen /1..2/:CapAlm; !j;Cliente /1..4/; !k;Producto /1..3/:Precio,Peso,Tuercas; !l;

A(Planta,Almacen,Producto):X;B(Almacen,Cliente,Producto):Y;C(Cliente,Producto):Demanda;D(Planta,Producto):Costo;E(Almacen,Cliente):CTCliente;ENDSETS


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DATA:Capacidad=2000 3000;Precio=3.5 6 1.5;Tuercas=1 2 1;Peso=0.25 0.40 0.10;Demanda=2000 5000 0 800

1000 500 2500 8002500 1000 1000 1200;

CapAlm=1800 2500;CTAlm=1 0.8;CTCliente=0.10 0.05 0.15 0.12

0.32 0.25 0.20 0.15;

Costo=1.00 1.75 0.600.75 1.50 0.50;

ENDDATA

MAX=@SUM(B(J,K,L):(PRECIO(L)-CTCliente(J,K))*Y(J,K,L)) - @SUM(A(I,J,L):(COSTO(I,L)+CTAlm(I))*X(I,J,L));

@FOR(CLIENTE(K):@FOR(PRODUCTO(L):[DEM]@SUM(ALMACEN(J):Y(J,K,L))


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Producir lo recomendado por la solucin ptima y obtener ingresos adicionales vendiendo sucapacidad de produccin no utilizada a S/.0.50 el kg, para la planta 1 y S/.1 el kg. para laplanta 2No producir nada y alquilar toda su capacidad de produccin a S/.0.75 el kg y la de susalmacenes a S/.0.25 el kg.

Cul de las dos opciones le convendr a Industrias del acero? Justifique su respuesta y utilicelos datos del reporte de solucin.e) Si los pernos y esprragos se vendieran sin tuercas, explique las modificaciones que debera

sufrir el modelof) Si Ud. tuviese que reconstruir la solucin bsica ptima del simplex, explique si:

i. Las variables X(1,1,1), Y(1,1,1) seran bsicas o no bsicas.ii. La variable de holgura de la primera restriccin sera bsica o no bsica .

EJERCICIO No.10 ResinasDaniel se dedica a la fabricacin de resinas industriales especiales para la industria del plstico. Las

resinas se venden por litros en las siguientes presentaciones: fuerte, regular y dura.La empresa cuenta con 3 reactores para la produccin, cada uno con una capacidad de produccinde 500 litros de resina. Los costos de produccin por reactor se muestran en el cuadro siguiente:

Presentacin

Costos de produccin($/ litro de producto)

Reactor A Reactor B Reactor C

Fuerte 4 5 6

Regular 7 9 11

Dura 5 4 3

Una vez elaborada la resina requiere tratamiento en tres departamentos: estabilizacin, enfriamiento yenvasado. La tabla siguiente muestra los tiempos de fabricacin en minutos de cada uno de losproductos:

Presentacin

Tiempo de tratamiento(minutos/ litro de producto)

Estabilizacin Enfriamiento EnvasadoFuerte 15 15 3

Regular 10 15 4

Dura 8 4 2

Disponibilidadde tiempo

18000 min. 11500 min. 9000 min.

El precio de venta por litro en cada una de las presentaciones es de 30, 45 y 40 solesrespectivamente.

El modelo de programacin lineal para esta empresa se muestra a continuacin, considerando que sedebe producir por lo menos 250 litros y no ms de 1000 litros de cada resina para mantener lapresencia en el mercado.


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Sets:Producto/Fuerte, Regular, Dura/:PVenta;Departamento/Estab, Enf, Env/:disponibilidad;Reactor/A, B,C/:;PxD(Producto, Departamento):Requerimiento;PxR (Producto, Reactor): cantidad, CostoElaboracion;

EndSets

Data:PVenta= 30 45 40;disponibilidad=18000,11500,9000;Requerimiento=! Estabilizado Enfriamiento Envasado

!Fuerte; 15 15 3!Regular; 10 15 4!Dura; 8 4 2;

CostoElaboracion= !A !B C;!Fuerte;4 5 6!Regular; 7 9 11

!Dura; 5 4 3;EndData

!Funcin objetivo;Max=@sum(PxR:cantidad*Pventa - cantidad*CostoElaboracion);

!Restricciones;

@for(Reactor(k):[capacidad_reactor]@sum(producto(i):cantidad(i,k))


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d) Es correcto afirmar que el costo de elaboracin de la resina regular en el reactor A se puedereducir en $2 sin modificar la base ptima actual. Justifique su respuesta.

e) Cuntos minutos de trabajo programara usted en cada uno de los departamentos(estabilizacin, enfriamiento, envasado)? Justifique su respuesta.

f) Si tuviera que aumentar el tiempo disponible en uno de los departamentos. Cul

departamento es el adecuado y porqu? Justifique su respuesta.g) Cul es el rango de sensibilidad para el tiempo de envasado? Qu significa estar en el

rango?

h) Si se determina que la produccin mnima de resina regular debe ser 240 litros. Indique cules el efecto en la solucin ptima. Justifique su respuesta.

EJERCICIO No.11: cultivo de uvasUna compaa vincola ha adquirido 3 zonas de cultivo: Zona 1, Zona 2 y Zona 3, que serndestinadas al cultivo de viedos. El ingeniero agrnomo encargado de las plantaciones desea cultivarlos siguientes tipos de uvas: Carbernet, Chardonnay, Merlot y Moscatel. Para llevar a cabo dichocultivo se debe considerar el costo de comprar cada planta de uva y el costo que implica la siembra decada una de ellas en cada una de las zonas; los mencionados costos se presentan en la siguientetabla, conjuntamente con la disponibilidad de plantas de cada tipo:

Tipo de uva

Costo de siembra (S/. /planta)

Disponibilidadde plantas

Costo dela planta

(S/. /planta )

Zona 1 Zona 2 Zona 3

Cabernet 80000 23 1.8 1.7 1.6Chardonnay 85000 24 1.8 2.0 1.9

Merlot 68000 21 1.6 1.8 2.0Moscatel 84000 25 2.2 1.6 2.1

Debido a las diferencias existentes entre los diferentes tipos de uva y entre los terrenos de cada unade las zonas, se ha determinado la densidad (cantidad de plantas por hectrea) de lasplantaciones de cada tipo de uva en cada una de las zonas, de acuerdo a la siguiente tabla.

Tipo de uvaDensidad de plantacin (plantas / hectrea)Zona 1 Zona 2 Zona 3

Cabernet 3400 2600 3000Chardonnay 3400 3000 2600

Merlot 3200 2400 2800Moscatel 3600 2800 3200

La cantidad de hectreas disponibles en cada una de las zonas se presentan en la siguiente tabla:

Zonas Hectreas disponiblesZona 1 40Zona 2 46Zona 3 24

El rendimiento en kilogramos de uva de cada planta y el ingreso por venta de las uvas producidas semuestran en la siguiente tabla:

Tipo de uva Rendimiento(kg. / planta)

Ingreso(S/. / kg.)

Cabernet 8.2 3.2


40/46

40

Chardonnay 8.0 3.5Merlot 8.5 2.8Moscatel 7.8 3.7

En forma total, en las 3 zonas, se deben plantar a lo ms 25 hectreas de uva tipo Cabernet y por lomenos 25 hectreas de uva de tipo Merlot. El ingeniero agrnomo ha definido las siguientes variablesde decisin:

X(t,z): nmero de hectreas de la zona z que deben cultivarse con el tipo de uva t

Sets:Tipo/1..4/:costoplanta,disponibilidad,rendimiento,ingreso;Zona/1..3/:terreno;TZ(tipo,zona):costosiembra,densidad,x;Endsets

Data:

costoplanta= 23 24 21 25;disponibilidad=80000 85000 68000 84000;rendimiento= 8.2 8.0 8.5 7.8;ingreso= 3.2 3.5 2.8 3.7;terreno= 40 46 24;costosiembra= 1.8 1.7 1.6

1.8 2.0 1.91.6 1.8 2.02.2 1.6 2.1;

densidad= 3400 2600 30003400 3000 26003200 2400 2800

3600 2800 3200;enddata!maximizar utilidades=ingresos-egresos;max=@sum(TZ(t,z):x(t,z)*densidad(t,z)*rendimiento(t)*ingreso(t))-

@sum(TZ(t,z):x(t,z)*densidad(t,z)*(costoplanta(t)+costosiembra(t,z)));

!restriccin de disponibilidad de la uva;@for(tipo(t):[disp]

@sum(zona(z):x(t,z)*densidad(t,z))


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b) Ejecute el modelo que se encuentra en el disco G y basado en el reporte de solucin complete elsiguiente cuadro:

Tipo de uvaNmero de hectreas que se deben cultivarZona 1 Zona 2 Zona 3

CabernetChardonnay

MerlotMoscatel

Hectreas noutilizadas

Utilidad ptima = S/. ___________

c) Si un proveedor le ofrece plantas adicionales de los 4 tipos. Cual elegira usted? Determinar elmximo valor que podra tomar la funcin objetivo sin que vare su base ptima. Justifique surespuesta con los datos del reporte de solucin y rangos de sensibilidad.

d) Suponga que se propone modificar la condicin que seala que no debe plantarse menos de 25hectreas de uva Merlot en total. Cree usted que una reduccin en dicha cantidad de hectreases conveniente para la empresa? Justifique su respuesta con los datos del reporte de solucin yrangos de sensibilidad.

e) Cuanto podra aumentar o disminuir el costo de siembra de la uva del tipo Cabernet en la zona1 para que la base actual siga siendo la misma. Justifique su respuesta con los datos del reportede solucin y rangos de sensibilidad.

f) Formular la funcin objetivo del modelo dual asociado al modelo de programacin linealpresentado.

EJERCICIO No. 12: juguetesUna empresa productora de juguetes, debido a la cercana de la campaa navidea, est analizandola necesidad de incrementar la produccin de su principal lnea de juguetes: Robots transformables.Este juguete est compuesto por partes que se ensamblan, y que se muestran en el siguientecuadro, junto con la utilidad unitaria de cada uno de ellos.

PartesModelo de juguete

101A 203A 311C 412DCuerpo 1 1 1 1

Extremidades 2 4 8 - - -Ruedas 2 - - - - - - 4Accesorios 1 1 - - - 2Utilidad ($ /unidad) 3.00 2.50 3.25 2.75

Todas las partes tienen suministro limitado, debido a la capacidad de los proveedores.

Partes Suministro mximoCuerpo 1000Extremidades 4000Ruedas 1500

Accesorios 500

Para satisfacer la demanda del mercado se desea producir no menos de 100 unidades por da encada modelo: 101A y 203A, que son los ms pedidos. Por la misma razn han decidido que la


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produccin de cada uno de los modelos 311C y 412D no ser ms del 30 % del total de unidadesproducidas.

Como la competencia est lanzando empaques de dos modelos, combinando el 101A con el 311C y el203A con el 412D, se puede producir adicionalmente duplas similares para atender el mercado. Sinembargo la utilidad de estas duplas es 5% menos que si se vendiera individualmente cada juguete.

Los robots 101A y 203A producidos para vender en dupla deben ser por lo menos el 25 % de losproducidos para vender en forma individual.

Para planear la produccin, se propone el modelo que encontrar en el disco G:\, para el cual se handefinido las siguientes variables de decisin:

Xj: Cantidad de robots tipo j a producir para vender individualmente.Yj: Cantidad de robots tipo j a producir para vender en dupla.

Model:sets:partes/1..4/: dispmax; !i;

modelo/1..4/: utilidad,X,Y; !j;matriz_ij(partes,modelo): req; !ij;endsetsdata:dispmax = 1000 4000 1500 500;utilidad = 3.00 2.50 3.25 2.75;req = 1 1 1 1

2 4 8 02 0 0 41 1 0 2;

enddata

Max= @sum(modelo(j): utilidad(j)*X(j) + 0.95*utilidad(j)*Y(j));

@for(partes(i):[disp_partes]@sum(modelo(j): req(i,j)*(X(j)+Y(j))) = 100);

[totalindivivual]@sum(modelo(j): x(j))=total;

@for(modelo(j)|j#gt#2: [porc_max] X(j)


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d) Dado que las utilidades han sido calculadas en forma aproximada, se desea conocer cuanto podracambiar la utilidad del juguete 203A sin que la base se cambie.

e) Un lote de 200 extremidades ha llegado fallado a los almacenes. Se desea saber si esto afectarla solucin actual.

f) Uno de los proveedores informa que puede proveer de 50 unidades adicionales de accesorios.Determine el nuevo valor de la funcin objetivo, si es que es posible.

g) Si la utilidad del juguete 101A cambia a $ 2.5. Determine el nuevo valor de la funcin objetivo, sies que es posible.

h) Si se disminuye la exigencia para el juguete 203A de 100 a 75 unidades mnimo. Indique en queforma cambiara la solucin actual.


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APLICACIN DEL MTODO SMPLEX

EJERCICIO No. 1Una empresa metalmecnica debe planificar la produccin de 3 tipos de piezas A, B y C por lotes.Cada lote se produce mediante la siguiente secuencia: Mquina 1 Mquina 2 y Mquina 3. Los

tiempos de maquinado y la disponibilidad de horas por mquina se presentan a continuacin:

Tiempo de maquinado (horas/lote)

Pieza Mquina 1 Mquina 2 Mquina 3A 4 6 12B 6 5 8C 5 8 9Disponibilidad ( horas) 232 300 720

Para el objetivo de la empresa que es maximizar la produccin total, el modelo lineal respectivo es elsiguiente:

Max a+b+cs.a.

4a+6b+5c 2326a+5b+8c 30012a+8b+9c 720

a,

guía parte1

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