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INSTITUCIÓN EDUCATIVA MUNICIPAL NACIONAL

PITALITO - HUILA

GUIA PARA EL SEGUNDO PERIODO.

DESEMPEÑO SUPERIOR. Comprendo, interpreto y aplico los sistemas de ecuaciones lineales

2x2 y 3x3; en situaciones matemáticas y contextuales. Al igual que las tablas y graficas de

frecuencias estadísticas, el área y volúmenes de cuerpos geométricos. y me preocupo por

mantener una excelente convivencia.

SESIÓN 1. GRADO: NOVENOS

AREA: MATEMATICAS DOCENTE: CLARA PATRICIA ROJAS ORTIZ

TIEMPO: 5 HORAS FECHA: 11 al 15 de mayo 2020 (Semana 1 –Periodo II)

TEMA: SISTEMAS LINEALES 2X2 METODO SUSTITUCIÓN

COMPETENCIA.

La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos

El razonamiento

La comunicación

La modelación

La formulación, tratamiento y resolución de problemas

CONCEPTUALIZACIÓN

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un sistema de ecuaciones

lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal. Una solución de un sistema es una asignación

de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones.

Al resolver un sistema significa hallar la o las soluciones del sistema. Solucionar un sistema puede tener tres

posibilidades.

• El sistema tiene única solución

• El sistema tiene infinitas soluciones

• El sistema no tiene solución.

METODO DE SUSTITUCIÓN: Para solucionar un sistema usando este método se debe realizar los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las variables en cualquiera de las dos ecuaciones dadas. 2. Se reemplaza la expresión obtenida en el primer paso en la otra ecuación y se resuelve 3. Se encuentra el valor de la otra variable reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del

sistema el valor de la variable que se halló en el segundo paso. 4. Por último, se verifican las soluciones.

Ejemplo. Resolver siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

2x - 5y =7 (Ec1)

4x + 2y = 2 (Ec2)

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Paso 1. Se despeja una variable en una de las dos ecuaciones para este caso voy a tomar la Ec1y voy a despejar la variable x.

Paso 2. Se reemplaza la expresión obtenida para x, en la Ec.2

Se reemplaza el valor obtenido en El paso 2 en la ecuación que se obtuvo en El paso 1 para obtener el resultado de la otra variable.

Finalmente, obteniendo la solución al sistema se procede a hacer la comprobación que es reemplazar en cada una de las variables los valores que se obtuvieron y verificamos si el resultado nos coincide.

Realizar los siguientes ejercicios en el cuaderno, cualquier inquietud o para mayor comprensión, se sugiere ver los videos sobre el tema, en la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. En Facebook

1. Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 2x2 usando el método de igualación.

Interprete, analice, plantee y resuelva las siguientes situaciones, haciendo uso del método de sustitución.

a. La otra tarde vi en un parqueadero 39 vehículos, entre carros y motos, a los que les conté un total de 126

ruedas. ¿Cuántos vehículos de cada clase había en el parqueadero? RTA: 24 Carros y 5 motos

b. En el aula de 9º A hay doble número de alumnos que en el aula de 9º C. Además, se sabe que, si se pasan 8

alumnos de 9º A a 9º C, ambas aulas tendrán el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada una de

estas aulas? RTE: 32 alumnos en 9º A y 16 en 9º C

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c. En un test de elección múltiple, se puntúa 4 por cada respuesta correcta y se resta un punto por una

equivocada. Un estudiante responde a 17 cuestiones y obtiene 43 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió

correctamente? RTA: 12 correctas y 5 equivocadas

NOTA:

a. Este ejercicio debe ser realizado en el cuaderno, cualquier inquietud, estaremos pendiente a través de los medios tecnológicos como es la Messenger de la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. a través del WhatsApp. Cel. 3104543361 b. De continuar la emergencia sanitaria, La evaluación será formativa y sumativa, buscando estrategias para la realización, esto puede ser a través de estos mismos medios u otros que se les dará a conocer con antelación.

Bibliografía. Libro Santillana matemáticas 9 ( Si alguien lo necesita en pdf, me escriben para compartirlo) Videos subidos a la página MATEMATICAS JT Otros videos del tema de pares académicos https://youtu.be/LTfv1G2iYuQ https://youtu.be/3FHhPLVUt9o https://youtu.be/cNIV-ltkpBM

SESIÓN 2

TIEMPO: 9 HORAS FECHA: 18 al 29 de mayo 2020 (Semana 2y3 – Periodo II)

TEMA: SISTEMAS LINEALES 2X2 MÉTODO DE

REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN

CONCEPTUALIZACIÓN

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un sistema de ecuaciones

lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal. Una solución de un sistema es una asignación

de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones.

Al resolver un sistema significa hallar la o las soluciones del sistema. Solucionar un sistema puede tener tres

posibilidades.

• El sistema tiene única solución

• El sistema tiene infinitas soluciones

• El sistema no tiene solución.

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MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN. En este método se combinan las ecuaciones del sistema con el fin de reducir las dos ecuaciones del sistema a una sola, realizando los siguientes pasos.

Primero: Se multiplican los términos de una o ambas ecuaciones por números reales de tal manera que los coeficientes de una de las variables en las dos ecuaciones se diferencian únicamente por el signo.

Segundo: Se suman las ecuaciones transformadas de tal manera que se elimine una de las variables y se despeja la otra variable.

Tercero: Finalmente se calcula el valor de la incógnita que falta sustituyendo en una de las ecuaciones originales.

Cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción se pueden presentar los siguientes casos:

Caso 1, si al sumar las dos ecuaciones para eliminar una variable se eliminan las dos variables es decir aparece una ecuación 0 = c donde c es un número constante diferente de cero, el sistema no tiene solución, es decir, es inconsistente lo que quiere decir que las rectas son paralelas.

Caso 2, si al sumar las dos ecuaciones resulta la expresión 0 = 0 el sistema tiene infinitas soluciones, esto es dependiente o indeterminada, quiere decir que las dos rectas son la misma.

Caso 3 si al sumar las ecuaciones se obtiene una expresión de la forma x = a, donde a es un número real, el sistema tiene única solución, lo que quiere decir que las rectas se cortan en un único punto.

Ejemplo 1.

-3x - 4y = -11 (Ec1)

2x + 8y = 34 (Ec2)

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Ejemplo 2.

-3x - 5y = 10 (Ec1)

6x + 10y = 4 (Ec2)

Ejemplo 3.

-12x - 15y = 24 (Ec1)

-4x - 5y = 8 (Ec2)

Ejemplo 4.

Los dos últimos fines de semana Sofía lleva a sus nietos a cine la primera vez pagó $23500 por dos adultos y un niño y la segunda vez pagó $25500 por un adulto y tres niños cuánto pagó Sofía por cada entrada de adulto y de niño

Primero. Se asigna las variables para cada incógnita.

x= el precio de las entradas de adultos.

y= el precio de la entrada de niño.

Segundo. Se plantea el sistema de ecuaciones así:

2x + y = 23.500

x + 3y = 25.500

Se resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación

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DESARROLLO DE COMPETENCIAS

Realizar los siguientes ejercicios en el cuaderno, cualquier inquietud o para mayor comprensión, se sugiere ver los videos sobre el tema, en la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. En Facebook

Plantea y resuelve las siguientes situaciones:

1. El perímetro de un rectángulo es 84 m. si el largo se aumenta en 9 m y el ancho se reduce a la mitad el perímetro se aumenta en 2 m. Hallar las dimensiones originales del rectángulo.

2. Alberto tiene 13 años más que Berta, si el doble de la edad de Berta excede en 29 años a la edad de Alberto; hallar ambas edades.

3. En un baile se vendieron 500 boletos y se recogieron $950.000 cada boleta de hombre cuesta $2.500 y cada boleta de mujer $1.000. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron al baile?

4. la suma de dos números es 64 el doble del número menor es 10 menos que el número mayor encuentra los números.

5. Hay 26 veces más estudiantes que docente en un colegio, cuando todos los docentes y los estudiantes se sientan en un auditorio de 900 sillas, solo 9 quedan desocupadas, ¿cuántos estudiantes hay en el colegio?

6. En la finca del tío de Ana hay gallinas y perros en total se pueden contar 148 patas y 60 cabezas. ¿Cuántos perros y cuántas gallinas hay en la finca del tío de Ana? NOTA: a. Este ejercicio debe ser realizado en el cuaderno, cualquier inquietud, estaremos pendiente a través

de los medios tecnológicos como es la Messenger de la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. a través del WhatsApp. Cel. 3104543361

b. De continuar la emergencia sanitaria, La evaluación será formativa y sumativa, buscando estrategias para la realización, esto puede ser a través de estos mismos medios u otros que se les dará a conocer con antelación.

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Bibliografía. Libro Santillana matemáticas 9 (Si alguien lo necesita en pdf, me escriben para compartirlo) Videos subidos a la página MATEMATICAS JT Otros videos del tema de pares académicos https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs

https://www.youtube.com/watch?v=0ilTVp5uRz8

https://www.youtube.com/watch?v=UMNcW4hjQK8

SESIÓN 3

TIEMPO: 5 HORAS FECHA: 1 al 5 de junio 2020 (Semana 4 – Periodo II)

TEMA: SISTEMAS LINEALES 2X2 Y 3X3 POR

DETERMINANTES.

COMCEPTUALIZACIÓN:

Un determinante es un número asociado a un arreglo de números reales en igual cantidad de filas y de columnas la

notación: a b

c d corresponde a un determinante 2 x 2 o de orden 2 , asociado a un arreglo de dos filas y

dos columnas el determinante (a d) de forma la diagonal principal y (c b) forman la diagonal secundaria, el valor del

determinante equivale a la diferencia entre el producto de los números de la diagonal principal y el producto de los

números de la diagonal secundaria. Para ello haremos uso de la regla de Cramer. Asi: se halla el valor del

determinante principal (D), luego se halla el determinante de x (DX), finalmente se halla el determinante de y (DY).

Para hallar el resultado de x= D𝑥

D, para hallar el valor de y=

D𝑦

D Así:

EJEMPLIFICACIÓN

EJEMPLO 1. Solucionar el sistema haciendo uso de la regla de Cramer:

-3x - 4y = -11

2x + 8y = 34

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Finalmente

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3x3.

Método de determinantes.

un determinante formado por tres filas y 3 columnas se llama determinante de tercer orden o de

orden 3 cómo se observa en la figura.

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Para hallar el valor del determinante de tercer orden se aplica el método conocido como regla de

Sarrus en forma general la regla de Sarrus se aplica así:

Primero se repiten las dos primeras filas en el determinante inicial.

Segundo se realiza la suma de los productos de las diagonales.

Tercero se restan las sumas obtenidas.

Ejemplo:

D

Dx

Dy

10

Dz

Finalmente hallamos los valores de x, y, y z asi:

x= Dx

D=

−3

−6 = 1/2 , y =

Dy

D=

0

−6 = 0 , z

Dx

D=

−36

−6 = 6. RTA (1/2, 0. 6)

EVIDENCIAS DEL APRENDIZAJE Y DESARROLLO DE COMPETENCIAS:

Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el método de determinantes.

NOTA: c. Este ejercicio debe ser realizado en el cuaderno, cualquier inquietud, estaremos pendiente a través de los

medios tecnológicos como es la Messenger de la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. a través del WhatsApp. Cel. 3104543361

d. De continuar la emergencia sanitaria, La evaluación será formativa y sumativa, buscando estrategias para la realización, esto puede ser a través de estos mismos medios u otros que se les dará a conocer con antelación.

Bibliografía. Libro Santillana matemáticas 9 (Si alguien lo necesita en pdf, me escriben para compartirlo) Videos subidos a la página MATEMATICAS JT Otros videos del tema de pares académicos https://www.youtube.com/watch?v=lLPcHVAqY80&t=571s

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SESIÓN 4

TIEMPO: 5 HORAS FECHA: 8 al 12 de junio 2020 (Semana 5 – Periodo II)

TEMA: SISTEMAS LINEALES 3x3 POR EL METODO DE

ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN.

CONCEPTUACIÓN:

Para solucionar un sistema de ecuaciones 3x3 por el método de reducción o eliminación se realiza lo

siguiente;

Primero se toman dos ecuaciones cualesquiera del sistema y se elimina una de las variables por el

método de reducción o eliminación, de tal manera que se obtenga una ecuación lineal con dos

incógnitas.

Segundo se repite el proceso anterior, utilizando una de las ecuaciones del primer paso y la ecuación

restante para eliminar la misma variable que en el primer paso.

Tercero se usa el sistema 2x2 con las ecuaciones obtenidas en los dos pasos anteriores y se resuelve el

nuevo sistema de ecuaciones 2x2.

Finalmente se reemplazan los valores encontrados al solucionar el sistema 2 x 2 en cualquiera de las

ecuaciones iniciales y se halla el valor de la tercera incógnita.

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13

Ejemplo 2.

finalmente…

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EVIDENCIAS DEL APRENDIZAJE Y DESARROLLO DE COMPETENCIAS: Usando el método de eliminación, soluciona los siguientes sistemas lineales 3x3 y relaciona cada ejercicio con su respuesta.

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SESIÓN 4.

TIEMPO: 3 HORAS FECHA: 16 al 26de junio 2020 (Semana 6 y 7 – Periodo II)

TEMA: TABLAS DE FRECUENCIAS CON DATOS NO AGRUPADOS

CONCEPTUALIZACION. TABLAS DE FRECUENCIAS CON DATOS NO AGRUPADOS Qué es una tabla de frecuencias La tabla de frecuencias es una tabla donde los datos estadísticos aparecen bien organizados, distribuidos según su frecuencia, es decir, según las veces que se repite en la muestra. En esta tabla se representan los diferentes tipos de frecuencias, ordenados en columnas. La tabla de frecuencias es una herramienta que permite la realización de los gráficos o diagramas estadísticos de una forma más fácil. Tipos de frecuencias Antes de aprender a construir una tabla de frecuencias, debemos conocer los tipos de frecuencias que existen y cómo se calcula cada una de ellas. Existen frecuencias absolutas y relativas, así como frecuencias absolutas y relativas acumuladas. Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que un dato se repite dentro de un conjunto de datos. Se representa como fi, donde la «i» corresponde al número de dato. La forma de obtener la frecuencia absoluta no es otra que contando las veces que aparece el dato en el conjunto de datos. La suma de las frecuencias absolutas corresponde al número total de datos, representado por la letra N:

Frecuencia relativa La frecuencia relativa de un dato es el número que se repite ese dato en relación al número total de datos, o en otras palabras, es la proporción de veces que aparece ese dato con respecto al total. Se representa como «ni», siendo «i» el número de dato. y se calcula dividiendo la frecuencia absoluta de cada dato entre el número total de datos:

El valor de la frecuencia relativa siempre va a estar entre 0 y 1. El valor obtenido está en tanto por uno, pero lo podemos expresar en tanto por ciento si lo multiplicamos por 100. La suma de todas las frecuencias relativas de todos los datos de la muestra es igual a 1 (cuando se expresa en tanto por 1, que es lo más común):

Frecuencia absoluta acumulada La frecuencia absoluta acumulada es la suma de las frecuencias absolutas que se va acumulando hasta ese dato, es decir, la frecuencia absoluta acumulada de un dato en concreto se obtiene sumando su frecuencia absoluta a las frecuencias absolutas de los datos que son menores que él. Se representa como «Fi», donde «i» es el número de dato. Se calcula sumando la frecuencia absoluta de un dato más la frecuencia absoluta del dato anterior. Por tanto, la frecuencia absoluta acumulada del primer dato coincide con su frecuencia absoluta y la frecuencia absoluta acumulada del último dato coincide con el número total de datos. Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es el mismo concepto que para la frecuencia absoluta acumulada.

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Se representa como «Ni», donde la «i» es el número de dato y se puede obtener como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada para cada dato entre el número de datos totales:

O también, como la suma de la frecuencia relativa de un dato más la frecuencia relativa del dato anterior. Cómo construir una tabla de frecuencias con datos aislados o no agrupados. EJEMPLIFICACIÓN Vamos a ver paso a paso cómo construir una tabla de frecuencias con datos aislados con el siguiente ejemplo: En una urbanización se ha realizado una encuesta preguntando cuántos dormitorios tienen sus viviendas. Los resultados sobre el número de dormitorios por vivienda fueron los siguientes:

Obtener la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. La tabla de frecuencias tendrá las siguientes 5 columnas: Datos (xi) Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Frecuencia relativa (ni) Frecuencia relativa acumulada (Ni)

Vamos a ver cómo rellenar cada una de ellas. En la primer a columna, colocamos los valores de los datos pero sin repetir, ordenados de menor a mayor. En nuestro caso, tenemos varios 1, varios 2, varios 3 y varios 4, por lo que colocamos estos valores una vez en la tabla. Dejamos la última fila para colocar el total:

Ahora, vamos a obtener la frecuencia absoluta de cada uno de los valores. Para ello contamos las veces que se repite cada valor: El 1 se repite 6 veces El 2 se repite 5 veces El 3 se repite 4 veces El 4 se repite 5 veces Colocamos cada valor en su casilla correspondiente y en la última fila, escribimos la suma de todas las frecuencias, que como puedes comprobar, también coincide con el número total de datos:

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Vamos a obtener ahora la frecuencia absoluta acumulada de cada dato. En la primera fila, la frecuencia absoluta acumulada coincide con la frecuencia absoluta, es decir, ambas son 6. Para el resto de filas, la frecuencia absoluta acumulada la obtenemos sumando la frecuencia absoluta acumulada del dato anterior (del dato de arriba) más su frecuencia acumulada (dato de su izquierda). Por ejemplo, para el 2, la frecuencia absoluta acumulada es igual a 6, que es la frecuencia absoluta acumulada anterior, más 5 que es su frecuencia absoluta. Para 3, 4 y 5 se calcula de la misma forma:

La frecuencia absoluta acumulada de 4 coincide con el número total de elementos. Vamos ahora con la frecuencia relativa, que la calculamos con la siguiente fórmula:

Es decir, dividiendo cada frecuencia absoluta, entre el número total de elementos, que es 20 para todos, en este caso. Por ejemplo, para el 1, la frecuencia relativa es:

Lo hacemos igual para el resto de datos y en la última fila, colocamos la suma de las frecuencias relativas:

Para obtener la frecuencia relativa acumulada, lo podemos hacer como para la frecuencia absoluta acumulada, es decir, la frecuencia relativa acumulada del primer dato es igual que su frecuencia relativa y para los datos siguientes es igual a su frecuencia relativa más la frecuencia relativa del dato anterior (del dato de arriba):

También se puede hallar las medidas de tendencia central; moda, media, mediana. Moda: Es el dato que tiene mayor valor en la frecuencia absoluta (fi) es decir el dato que mas se repite en los datos. Media: Corresponde al promedio, se halla dividiendo la sumatoria del total de los datos entre el numero de datos. 3- La mediana La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. Cálculo de la mediana: Primero ordenamos los datos de menor a mayor.

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- La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central. - La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados los datos, el promedio de los dos datos centrales.

Solución 1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-3-3-3-3-4-4-4-4-4 (2+2) /2 = 2

EVIDENCIAS DEL APRENDIZAJE Y DESARROLLO DE COMPETENCIAS: La siguiente información corresponde a la nota de un examen de matemáticas para 20 estudiantes. Dada la información, Completar una tabla de frecuencias. Realizar la gráfica de barras de frecuencia absoluta acumulada Determinar las medidas de tendencia central (moda, media y mediana) 2. INTERPRETACIÓN DE GRÁFICA: La grafica corresponde al número de hijos de las familias en un conjunto residencial.

Completa una tabla de frecuencias con la información. Qué porcentaje de familia tiene máximo 2 hijos. Realiza una gráfica de sectores o circular con la información. NOTA:

a. Este ejercicio debe ser realizado en el cuaderno, cualquier inquietud, estaremos pendiente a través de los medios tecnológicos como es la Messenger de la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. a través del WhatsApp. Cel. 3104543361

b. De continuar la emergencia sanitaria, La evaluación será formativa y sumativa, buscando estrategias para la realización, esto puede ser a través de estos mismos medios u otros que se les dará a conocer con antelación

0

1

2

3

4

5

6

0 hijos 1 hijo 2 hios 3 hios 4 hijos

NUMERO DE HIJOS POR FAMILIA

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Bibliografía. Libro Santillana matemáticas 6,7,8 o 9 (Si alguien lo necesita en pdf, me escriben para compartirlo) Videos subidos a la página MATEMATICAS JT Otros videos del tema de pares académicos https://www.youtube.com/watch?v=iPEt789ewVM (Tablas de frecuencias) https://www.youtube.com/watch?v=cyXenZEbGz4 (Tablas de frecuencias) https://www.youtube.com/watch?v=3M6qBgnH1pc (Gráficas de barras y circular)

SESIÓN 5.

TIEMPO: 5 HORAS FECHA: 30 jun al 7 de jul 2020 (Semana 8 – Periodo II)

TEMA: PERIMETRO, AREAS Y VOLUMENES.

OBJETIVO: Calcular áreas, perímetros y volúmenes de cuerpos geométricos, aplicándolos en situaciones

cotidianos e intramatemáticas

CONCEPTUALIZACION.

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EJEMPLIFICCIÓN:

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ACTIVIDAD PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS

1. Cuál es el volumen de una pared, que fue formada por 25 ladrillos de los siguientes, dar la respuesta en m3

2. Dibujar los siguientes cuerpos y hallar su volumen:

a) Un cubo de 9 m de arista. Hallar también su área Total

b) Un prisma triangular regular recto de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura. Calcular también su área total.

c) Un cilindro de 3 cm de radio y 10 cm de altura.

d) Un cono recto de altura 4 cm y radio de la base 3 cm.

e) Un cono de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz. Hallar previamente su altura.

f) Un prisma hexagonal regular recto cuya arista de la base mide 3 cm y la altura 4 cm. Hallar también su superficie

total.

3. Hallar el volumen comprendido entre el cubo y el cono de la figura:

4. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.

NOTA: c. La actividad debe ser realizado en el cuaderno, cualquier inquietud, estaremos pendiente a través de los

medios tecnológicos como es la Messenger de la página MATEMATICAS JT IEM NACIONAL PITALITO. a través del WhatsApp. Cel. 3104543361

d. De continuar la emergencia sanitaria, La evaluación será formativa y sumativa, buscando estrategias para la realización, esto puede ser a través de estos mismos medios u otros que se les dará a conocer con antelación.

Bibliografía. Libro Santillana matemáticas 7, 8 y 9 (Si alguien lo necesita en pdf, me escriben para compartirlo) Videos subidos a la página MATEMATICAS JT Cualquier inquietud pueden comunicarse a través de Messenger de la pagina, a través de WhatsApp al número 3104543361 Otros videos del tema de pares académicos https://www.youtube.com/watch?v=0vLnhnTIFeA https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs https://www.youtube.com/watch?v=dbyNtUjY-dI PDF Documento Anexo. http://matematicas.torrealmirante.net/SEGUNDO%20ESO/soluciones%20libro%20Sm%20Esfera/tema%2014%20areas%20y%20volumenes%20de%20cuerpos%20geometricos.pdf

SESIÓN 6.

TIEMPO: 5 HORAS FECHA: 8 julio 2020 (Semana 9 – Periodo II)

TEMA: SIMULACRO PRUEBA SAABER 9 Y

RETROALIMENTACIÓN DELMISMO.