Guia Mecanica Cla Sica

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7/21/2019 Guia Mecanica Cla Sica http://slidepdf.com/reader/full/guia-mecanica-cla-sica 1/318 Mario Cosenza Mec´ anica Cl´ asica Versi´on B-2015

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Mecanica clasica analiticaMario Cosenza

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Mario Cosenza

Mecanica Clasica

Version B-2015

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a Claudia

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Mi proposito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo. Quiz as

nada hay en la naturaleza mas antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos

por filosofos no son ni pocos ni peque˜ nos; no obstante, he descubierto, experimentando, algunas

propiedades que merecen ser conocidas.

Galileo Galilei, Di´ alogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.

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Formulas vectoriales

Identidades

A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A) (1)

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) (2)

(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) (3)

Derivadas de sumas

∇(f + g) = ∇f + ∇g (4)

∇ ·(A + B) =

∇ ·A +

∇ ·B (5)

∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B (6)

Derivadas de productos

∇(f g) = f ∇g + g∇f (7)

∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A (8)

∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · ∇f (9)

∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) (10)

∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f ) (11)

∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B (12)

Derivadas segundas

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A (13)

∇ · (∇ × A) = 0 (14)

∇ × (∇f ) = 0 (15)

Teoremas integrales ba

(∇f ) · dl = f (b) − f (a) (16)

V (∇ ·A) dV = S A ·

n dS Teorema de Gauss (divergencia) (17) S

(∇ × A) · n dS =

C

A · dl Teorema de Stokes (18) V

(f ∇2g − g∇2f ) dV =

S

(f ∇g − g∇f ) · n dS Teorema de Green (19)

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Indice general

1. Ecuaciones de movimiento 9

1.1. Leyes de Newton y mecanica de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Mecanica de un sistema de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5. Principio de mınima accion y ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . 431.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas . . . . . . . . . 501.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2. Leyes de conservacion y simetrıas 71

2.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3. Conservacion del momento lineal y homogeneidad del espacio . . . . . . . 762.4. Conservacion del momento angular e isotropıa del espacio . . . . . . . . . 772.5. Conservacion de la energıa y homogeneidad del tiempo . . . . . . . . . . . 792.6. Teorema de Euler para la energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.8. Sistemas integrables y sistemas caoticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3. Fuerzas centrales 101

3.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3. Ecuacion diferencial de la orbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.6. Estabilidad de orbitas circulares y angulo de precesion. . . . . . . . . . . . 1313.7. Dispersion en campo de fuerza central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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4. Oscilaciones pequenas 1534.1. Oscilaciones en una dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad. . . . . . . . . . . . 1574.3. Modos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5. Movimiento de cuerpos rıgidos 181

5.1. Velocidad angular de un cuerpo rıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2. Angulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.3. Energıa cinetica y tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.4. Momento angular de un cuerpo rıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.5. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rıgidos. . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.6. Ecuaciones de Euler para cuerpos rıgidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6. Dinamica Hamiltoniana 225

6.1. Ecuaciones de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2. Sistemas dinamicos y espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.3. Teorema de Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.4. Parentesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.5. Transformaciones canonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.6. Transformaciones canonicas infinitesimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.7. Propiedades de las transformaciones canonicas. . . . . . . . . . . . . . . . 2546.8. Aplicaciones de transformaciones cano n i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 96.9. Ecuacion de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.10. Variables de accion-angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

A. Lagrangiano de una partıcula relativista 299

B. Transformaciones de Legendre 313

C. Teorema del virial. 315

D. Bibliografıa 317

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Capıtulo 1

Ecuaciones de movimiento

1.1. Leyes de Newton y mecanica de una partıcula

La Mec´ anica consiste en el estudio del movimiento; esto es, la evolucion de la posicionde una partıcula o de un sistema de partıculas en el tiempo. La Mec´ anica Cl´ asica se refierea movimientos que ocurren en escalas macroscopicas; es decir, no incluye fenomenoscuanticos (nivel atomico). La Mecanica Clasica provee descripciones validas de fenomenosen una extensa escala espacial que va desde el orden de 100 nm (R. Decca et al., Phys.Rev. Lett. 94, 240401 (2005)) hasta distancias cosmologicas.

Actualmente, la Mecanica Clasica se enmarca dentro de un campo de estudio m asgeneral denominado Sistemas Din´ amicos . Estos son sistemas descritos por variables gene-

rales cuyos estados evolucionan en el tiempo de acuerdo a reglas deterministas, e incluyensistemas fısicos, quimicos, biologicos, sociales, economicos, etc.

El origen del metodo cientıfico esta directamente vinculado a la primeras formulacio-nes cuantitativas de la Mecanica Clasica realizadas por Galileo con base en sus experi-mentos. La Mecanica Clasica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construidotoda la Fısica.

Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).

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10 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Durante el siglo XX, la Mecanica Clasica se encontro con varias limitaciones paraexplicar nuevos fenomenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades condujerona tres grandes revoluciones intelectuales en la Fısica:

i. Limitacion para explicar fenomenos a altas velocidades o a altas energıas, lo quecondujo a la Teorıa de Relatividad (Especial y General).

ii. Limitacion para explicar fenomenos a escala atomica o microscopica, lo cual dioorigen a la Mecanica Cuantica.

iii. Limitacion del concepto de prediccion en sistemas dinamicos deterministas no li-neales, que condujo al desarrollo del Caos y eventualmente al estudio actual deSistemas Complejos.

Para describir el movimiento, se requiere la definicion de algunos conceptos basicos.Un sistema de referencia es una convencion necesaria para asignar una posicion o

ubicacion espacial a una partıcula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O.Se asume que una partıcula tiene asociada una cantidad de masa, denotada por m.

La posici´ on de una partıcula en un sistema de referencia puede describirse medianteun conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, elvector de posicion r = (x,y,z) da la ubicacion de una partıcula en el espacio con res-pecto a un origen O. Las componentes del vector de posicion en coordenadas cartesianastambien se denotan como x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.

Figura 1.2: Posicion de una partıcula en un sistema de coordenadas cartesianas.

El vector de posicion de una partıcula en movimiento depende del tiempo, r(t) =(x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posicion en el tiempo constituye el movimiento.El tiempo t se considera un parametro real en Mecanica Clasica que permite establecerel orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar lasposiciones sucesivas que una partıcula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos queel parametro t posee la propiedad de incremento monotonico a medida que r(t) cambia:a traves de sucesivas posiciones: dados dos valores t1 y t2 tales que t2 > t1, entonces lapartıcula ocupa la posicion r(t2) despues de la posicion r(t1).

El vector de desplazamiento infinitesimal se define como

dr = r(t + dt) − r(t). (1.1)

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1.1. LEYES DE NEWTON Y MEC ANICA DE UNA PART ICULA 11

La velocidad de una partıcula se define como

v ≡ dr

dt. (1.2)

En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad son

vx = dx

dt, vy =

dy

dt, vz =

dz

dt. (1.3)

Las componentes de la velocidad tambien se denotan como v1 = vx, v2 = vy, v3 = vz.La aceleraci´ on se define como

a = dv

dt =

d2r

dt2. (1.4)

Se acostumbra usar la siguiente notacion para las derivadas con respecto al tiempo,

x ≡ dxdt

, x ≡ d2xdt2

. (1.5)

El momento lineal o cantidad de movimiento de partıcula con masa m que se muevecon velocidad a es la cantidad vectorial

p = mv. (1.6)

Una partıcula puede experimentar interacciones con otras partıculas. Las interaccio-nes entre partıculas estan asociadas a sus propiedades intrınsecas y se manifiestan como

fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interaccion electromagnetica esta asociada a la cargaelectrica, mientras que la interaccion gravitacional depende de la masa. Las fuerzas soncantidades vectoriales. La suma de las fuerzas debido a interacciones con otras partıculaso con agentes externos se denomina fuerza total (neta) sobre la partıcula; se denota por

F. La fuerza total sobre una partıcula puede afectar su estado de movimiento.Las Leyes de Newton describen el movimiento de una partıcula sujeta a una fuerza:

I. Primera Ley de Newton:

Una partıcula permanece en reposo o en movimiento rectilıneo uniforme si lafuerza total sobre ella es nula.

II. Segunda Ley de Newton:

Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una partıcula conmasa m y velocidad v esta descrito por la ecuacion

F = dp

dt =

d(mv)

dt . (1.7)

III. Tercera Ley de Newton:

Si Fji es la fuerza que ejerce una partıcula j sobre una partıcula i, y Fij es lafuerza que ejerce la partıcula i sobre la partıcula j , entonces

Fji = −Fij . (1.8)

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12 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).

La Segunda Ley de Newton establece una relacion causa (fuerza) ↔

efecto (cambiode momento). La Primera Ley de Newton tambien se llama Ley de inercia , y es conse-cuencia de la Segunda Ley: si F = 0, entonces v = constante. La Tercera Ley tambien esconocida como Ley de acci´ on y reacci´ on . Las Leyes de Newton son leyes de la Naturalezasustentadas en observaciones experimentales.

La Segunda Ley de Newton es una ecuacion vectorial, es decir, equivale a tres ecua-ciones, una para cada componente cartesiana:

F i = dpi

dt , i = 1, 2, 3. (1.9)

Si m es constante,

F = ma = md2r

dt2. (1.10)

Matematicamente, la Segunda Ley de Newton, Eq. (1.10), corresponde a una ecuaciondiferencial de segundo orden para cada componente de r(t). La solucion r(t) esta deter-minada por dos condiciones iniciales, r(to), v(to). Este es el principio del determinismo

en Mecanica Clasica, y que ha sido fundamental en el desarrollo del metodo cientıfico. Afinales del siglo XX, se encontro que el determinismo no necesariamente implica predic-cion: existen sistemas dinamicos no lineales en los cuales perturbaciones infinitesimalesde las condiciones iniciales de sus variables pueden conducir a evoluciones muy diferentesde esas variables. Este es el origen de la moderna Teorıa del Caos.

Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominansistemas de referencia inerciales . En ausencia de fuerzas, una partıcula en reposo en unsistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.

Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecenterminos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas explıcitasen el sistema. Esos terminos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos ala aceleracion del sistema de referencia.

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1.1. LEYES DE NEWTON Y MEC ANICA DE UNA PART ICULA 13

Ejemplos de la Segunda Ley de Newton:

1. Un sistema no inercial: pendulo en un sistema acelerado (x, y, z).

Figura 1.4: Pendulo en un sistema acelerado.

El sistema (x, y, z) posee una aceleracion a en la direccion x, visto desde unsistema fijo (x,y,z). En el sistema acelerado, la componente en la direccion x de lafuerza que actua sobre la masa del pendulo es f x = T sin θ, pero esta masa esta enreposo en ese sistema; esto implica que x = 0. Luego, una fuerza adicional ficticia

igual a −T sin θ debe anular a f x , de modo que no haya fuerza neta en la direcci onx. En el sistema (x,y,z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin θ = ma.

La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de refe-rencia en rotacion (Cap. 5).

2. Oscilador armonico simple.

Figura 1.5: Oscilador armonico simple.

La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamientox desde la posicion de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = −kxx, donde k esla constante del resorte. Entonces,

F = ma

⇒ −kx = mxx + ω2x = 0, (1.11)

donde ω 2 ≡ k/m. La Eq. (1.11) es la ecuacion del oscilador armonico. Su soluciongeneral es

x(t) = A cos ωt + B sin ωt. (1.12)

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14 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Tambien se puede escribir x(t) = C sin(ωt + φ), (1.13)

con A = C sin φ, B = C cos φ. Los coeficientes A y B estan determinados por lascondiciones iniciales x(0) y x(0) = v(0),

x(0) = A, (1.14)

x(t) = −ωA sin ωt + Bω cos ωt ⇒ B = v(0)

ω . (1.15)

Luego,

x(t) = x(0)cos ωt + v (0)

ω sin ωt. (1.16)

3. Partıcula en un medio viscoso.

Figura 1.6: Partıcula en medio viscoso.

La fuerza que ejerce un medio viscoso sobre una partıcula que se mueve en ese medioes proporcional a la velocidad de la partıcula, F = −γ v, donde γ es un coeficientede friccion caracterıstico del medio. Supongamos que la partıcula se mueve en ladireccion x. La Segunda Ley de Newton para la componente x de la fuerza da:

−γv = m

dv

dt . (1.17)

Integrando obtenemos,

v(t) = c1e−(γ/m)t = dx

dt, c1 = v(0), (1.18)

x(t) = v(0)

e−(γ/m)tdt

= −v(0)m

γ e−(γ/m)t + c2. (1.19)

donde v(0) es la velocidad inicial de la partıcula. La constante c2 se determinausando la posicion inicial x(0),

c2 = x(0) + v(0)m

γ . (1.20)

Luego,

x(t) = x(0) + v(0)m

γ

1 − e−(γ/m)t

. (1.21)

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1.1. LEYES DE NEWTON Y MEC ANICA DE UNA PART ICULA 15

4. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional dela Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete ent es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gasesexpulsados (asumida negativa) en un instante t + dt.

Figura 1.7: Cohete en movimiento vertical.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la unica componente y de la fuerza,

−mg = dp

dt =

p(t + dt) − p(t)

dt . (1.22)

Tenemos p(t) = mv, (1.23)

y

p(t + dt) = (m + dm)(v + dv) + (−dm)u. (1.24)

Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases,

vrel = (v + dv) − u. (1.25)

Luego,

p(t + dt) − p(t) = mv + m dv + v dm + dmdv

− v dm

−dmdv + dm v

rel −mv

= m dv + vrel dm. (1.26)

Sustituyendo en la Eq. (1.22), obtenemos

−mg = mdv

dt + vrel

dm

dt . (1.27)

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16 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

La Eq. (1.27) se conoce como la ecuaci´ on del cohete . De esta ecuacion, se puedeobtener la variacion de la velocidad del cohete,

dv + dm

m vrel = −g dt. (1.28)

Integrando entre un valor inicial de masa m0 en t = 0 y un valor final mf en t = t,tenemos f

0

dv + vrel

f 0

dm

m = −g

t0

dt

⇒ vf = v0 + vrel ln

m0

mf

− gt. (1.29)

Si la masa del cohete no varıa, m0 = mf ; entonces obtenemos la velocidad verticalde una partıcula en el campo gravitacional terrestre,

vf = v0 − gt. (1.30)

Existen otros conceptos utiles en Mecanica, que definimos a continuacion.Consideremos una partıcula ubicada en la posicion r y cuya velocidad es v. Se define

el momento angular de la partıcula como la cantidad vectorial

l ≡ r × p = mr × v. (1.31)

El torque ejercido por una fuerza F sobre una partıcula ubicada en r se define como

τ ≡ r × F. (1.32)

La Ec. (1.32) se puede expresar como

τ = r × F = r × dp

dt

= d(r × p)

dt − dr

dt × p

= dl

dt +

0v × p

⇒ τ = dl

dt . (1.33)

La Ec. (1.33) implica la conservaci´ on del momento angular : si el torque sobre una partıcu-la es τ = 0, entonces l = constante. Esto significa que cada componente del vector l esuna constante.

En particular, una fuerza de la forma F = f (r)r, se denomina una fuerza central . Lafuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, τ = 0. Luego,el momento angular de una partıcula se conserva en presencia de fuerzas centrales.

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1.1. LEYES DE NEWTON Y MEC ANICA DE UNA PART ICULA 17

La energıa cinetica de una partıcula con masa m y velocidad v se define como lacantidad escalar

T ≡ 1

2m(v · v) =

1

2mv2 . (1.34)

Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una partıcula para llevarladesde una posicion r1 hasta una posicion r2, como la integral de lınea

W 12 ≡ 2

1

F · ds, (1.35)

donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posici on r1 con la posicion r2.

Figura 1.8: Trayectorıa de un partıcula entre r1 y r2, sujeta a una fuerza F.

Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir,

W 12 = m

2

1

dv

dt

· (v dt). (1.36)

Usamos la relacion d(v · v) = 2v · dv = d(v2

), para expresar

W 12 = 1

2m

2

1

d(v · v) = 1

2m

2

1

d(v2)

= 1

2mv2

2 − 1

2mv2

1,

= T 2 − T 1. (1.37)

Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una partıcula desde la posicionr1 hasta la posicion r2 depende solamente de la diferencia entre la energıa cinetica queposee la partıcula en r2 y la energıa cinetica que posee en r1.

Note que, si se utiliza la misma fuerza F y la misma trayectoria, denotada por B,para ir del punto r1 al punto r2 y para volver de r2 a r1, entonces 2

1

F · ds = − 1

2

F · ds ⇒ W 12(B) = −W 21(B), (1.38)

camino B camino B

puesto que ds(1 → 2) = −ds(2 → 1) para la misma trayectoria.

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18 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Si W 12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r1 y r2,entonces F se llama fuerza conservativa . Es decir; si F es conservativa y A y B son doscaminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces 2

1

F · ds =

2

1

F · ds (1.39)

camino A camino B

Figura 1.9: Izquierda: dos trayectorias distintas A y B para ir del punto 1 al punto 2. Derecha:contorno cerrado C que encierra un area S .

Luego, si F es conservativa, las Ecs. (1.39) y (1.38) implican que 2

1

F · ds +

1

2

F · ds = 0. (1.40)

camino A camino B

Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa, C

F · ds = 0, (1.41)

donde C es un contorno cerrado arbitrario. Usando el Teorema de Stokes, la integral decontorno Ec. (1.41) se puede escribir como

C

F · ds =

S

(∇ × F) · da = 0, (1.42)

donde S es el area encerrada por el contorno cerrado C . Puesto que C es arbitrario y porlo tanto S = 0, la Ec. (1.42) implica para una fuerza conservativa,

∇ ×F = 0. (1.43)

Por otro lado, para toda funcion escalar φ(r) se cumple la identidad vectorial ∇×∇φ =0. Esto implica que la fuerza conservativa F debe ser proporcional al gradiente de algunafuncion escalar. Se define la funcion V (r) tal que

F = −∇V (r). (1.44)

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1.1. LEYES DE NEWTON Y MEC ANICA DE UNA PART ICULA 19

Luego, para una fuerza conservativa

W 12 = − 2

1

∇V · ds

= − 2

1

3i=1

∂V

∂xidxi

= −

2

1

dV

= V 1 − V 2. (1.45)

Vimos que el trabajo W 12 realizado por toda fuerza es igual al cambio de energıacinetica, T 2 − T 1, que es una funcion escalar de la velocidad. La Ec. (1.45) muestra que,en sistemas conservativos, el trabajo W 12 ademas esta relacionado con cambios de otrafuncion escalar V que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2.

La funcion escalar V (r

) se denomina energıa potencial

y expresa la energıa almacena-da en un sistema, relacionada con la posicion o configuracion de los elementos constitu-yentes del sistema. Por ejemplo, un resorte estirado o comprimido una distancia x tieneuna energıa potencial almacenada V (x) = 1

2kx2, donde k es una constante. Un sistema de

dos partıculas con masas m1 y m2, separadas una distancia r y sujetas a una interacciongravitacional, posee una energıa potencial asociada V (r) = −Gm1m2/r, donde G es laconstante universal gravitacional (Cap. 3).

La Ec. (1.45) valida para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.37) que se cumplepara cualquier fuerza, conduce a la relacion

V 1 − V 2 = T 2 − T 1,

⇒ T 1 + V 1 = T 2 + V 2. (1.46)

La energıa mec anica total de una partıcula se define como la cantidad escalar:

E ≡ T + V. (1.47)

La Ec. (1.46) implica queE 1 = E 2. (1.48)

Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mecanica total es constante encualquier punto para sistemas conservativos,

E = T + V = constante. (1.49)

El signo menos en el gradiente de la energıa potencial, Ec. (1.44), tiene significado fısi-co; las propiedades de las fuerzas correspondientes a esta definicion son consistentes conlos comportamientos observados de todas las fuerzas conservativas en Fısica. Este signo

menos implica que la cantidad asociada conservada, denotada como energıa mecanicatotal, se pueda definir como la suma de las energıas cinetica y potencial.

Si la energıa potencial depende tanto de las coordenadas como del tiempo, V (r, t) =V (x,y,z,t), la energıa mecanica total puede no conservarse. Consideremos la derivada

dE

dt =

d

dt(T + V ) =

dT

dt +

dV

dt . (1.50)

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20 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

CalculamosdT

dt = mv · dv

dt = F · v, (1.51)

dV (r, t)

dt =

3i=1

∂V

∂xixi +

∂ V

∂t = ∇V · v +

∂ V

∂t . (1.52)

Luego,

dE

dt = F · v + ∇V · v +

∂ V

∂t

= −∇V · v + ∇V · v + ∂ V

∂t

= ∂V ∂t . (1.53)

donde hemos empleado F = −∇V , para un sistema conservativo. La Ec. (1.53) es lacondici´ on para la conservaci´ on de la energıa mec´ anica : la energıa mecanica total esconstante si la energıa potencial no depende explicitamente del tiempo,

∂V

∂t = 0 ⇒ dE

dt = 0 ⇒ E = constante. (1.54)

La energıa potencial V tambien puede ser definida para sistemas no conservativos;en esos casos V depende explıcitamente tanto de la posicion como del tiempo. La fuerzacorrespondiente puede expresarse como el gradiente de esta V . Sin embargo, el trabajohecho para mover una partıcula entre los puntos 1 y 2 ya no es V 1 − V 2, puesto que V

cambia con el tiempo cuando la partıcula se mueve. La energıa total tambien puede serdefinida como E = T + V ; pero la cantidad E no se conserva durante el movimiento.

1.2. Mecanica de un sistema de partıculas

Consideremos un conjunto de N partıculas en un sistema de referencia cartesiano.Sean mi y ri la masa y la posicion de la partıcula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N .Definimos el vector de posicion relativa rij ≡ rj−ri, que va en la direccion de la partıculai a la partıcula j .

El vector de posicion del centro de masa de un sistema de partıculas se define como

R ≡ i miri

i mi=

i miri

M T , (1.55)

donde M T =

i mi es la masa total del sistema.La velocidad del centro de masa es

vcm = dR

dt =

1

M T

i

midri

dt . (1.56)

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1.2. MEC ANICA DE UN SISTEMA DE PART ICULAS 21

Figura 1.10: Sistema de N partıculas en un sistema de referencia cartesiano.

El momento lineal total del sistema de N partıculas es

PT =i

pi =i

midri

dt = M T

dR

dt = M T vcm. (1.57)

Luego, el momento total PT es equivalente al momento de una partıcula que posea lamasa total del sistema, moviendose con la velocidad del centro de masa del sistema.

Supongamos que existen fuerzas sobre las partıculas, tanto internas como externas alsistema. Denotamos por Fji la fuerza que la partıcula j ejerce sobre la partıcula i, y por

Fext(i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la partıcula i. Recordemos quelas fuerzas de interaccion entre dos partıculas i y j obedecen la Tercera Ley de Newton,

Fji = −Fij . (1.58)

Figura 1.11: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas.

Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es mas restrictiva. Si Fij es central,

Fij = f ij(|rij|) rij

|rij | , (1.59)

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22 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

entonces las fuerzas sobre las partıculas van en la direccion (paralela o antiparalela) delvector rij. Esta condicion sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley

de acci´ on y reacci´ on . Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condicion; porejemplo, las fuerzas magneticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales.

La ecuacion de movimiento para la partıcula i puede expresarse comoj=i

Fji + Fext(i) = dpi

dt =

d

dt(mivi), (1.60)

donde N

i=j Fji es la suma de las fuerzas internas sobre la partıcula i, debido a lasinteracciones con las otras partıculas.

Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las partıculas enla Ec. (1.60),

0i

j

Fji +i

Fext(i) = i

pi = ddt (mivi). (1.61)

El primer termino es cero porque contiene sumas de pares de fuerzas Fji + Fij que seanulan debido a la Tercera Ley de Newton. Luego, si mi es constante ∀i, la Ec. (1.61)queda

i

Fext(i) =i

mid2ri

dt2 . (1.62)

Usando la definicion del centro de masa, la Ec. (1.55), se puede expresar comoi

Fext(i) =i

mid2ri

dt2 = M T

d2R

dt2 . (1.63)

Luego,

Fext(total) ≡ i

Fext(i) = dPT

dt , (1.64)

La Ec. (1.64) constituye una ecuacion de movimiento para el centro de masa. La Ec. (1.64)implica que si la fuerza externa total sobre un sistema de partıculas es cero, entonces elmomento lineal total PT del sistema se conserva.

El momento angular de la partıcula i es

li = ri × pi. (1.65)

Entonces, el momento angular total del sistema de partıculas es

lT =i

li =i

(ri × pi) =i

(ri × mivi). (1.66)

Si definimos la posicion ri de la partıcula i con respecto al centro de masa del sistemacomori = ri − R, (1.67)

la velocidad de la partıcula i con respecto al centro de masa sera

vi = vi − vcm. (1.68)

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1.2. MEC ANICA DE UN SISTEMA DE PART ICULAS 23

Figura 1.12: Posicion relativa de una partıcula con respecto al centro de masa.

Entonces, en terminos del centro de masa podemos escribir

lT = i (ri + R)

×mi(vi + vcm)

=i

(ri × mivi) +

0i

miri

× vcm

+ R ×

0i

mivi

+ R ×

i

mi vcm

. (1.69)

Para mostrar los terminos que se anulan en la Ec. (1.69), calculamos

M T R =i

miri =i

mi(ri + R)

= i

miri + M T R

⇒i

miri = 0. (1.70)

Del mismo modo,

i

mivi =

i

midridt

= d

dt

i

miri

= 0. (1.71)

Entonces, la Ec. (1.69) para el momento angular total queda

lT = i

(ri × pi) + R × (M T vcm) . (1.72)

El momento angular total lT de un sistema de partıculas contiene dos contribuciones:(i) el momento angular del centro de masa, R × (M T vcm);(ii) el momento angular relativo al centro de masa,

i(ri × pi).

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1.2. MEC ANICA DE UN SISTEMA DE PART ICULAS 25

Para obtener la conservacion de energıa mecanica total de un sistema de partıculas,partimos de la ecuacion de movimiento para una partıcula, Ec. (1.60),

Fext(i) +j=i

Fji = d

dt(mivi). (1.79)

Asumimos que las particulas interaccionan mediante fuerzas centrales que dependende la distancia entre las partıculas; es decir,

Fji ∝ f ij(|rij|) rij

|rij | , (1.80)

rij = (rj − ri). (1.81)

Entonces, se puede definir una energıa potencial de interaccion V ij(|rij|) tal que

Fji = −∇iV ji(|rij |), (1.82)

donde denotamos ∇i = ∂/∂ ri. Puesto que Fji = −Fij, las funciones f ij = f ji sonsimetricas con respecto al intercambio de i y j ; luego debemos tener

V ij(|rij|) = V ji(|rij|), (1.83)

y, por lo tanto, ambas Fji y Fij son derivables a partir de una energıa potencial deinteraccion mutua entre la partıcula i y la partıcula j ,

Fji = −∇iV ij(|rij|), Fji = −∇jV ij(|rij |). (1.84)

Luego, suponiendo que las masas mi son constantes, la Ec. (1.79) se puede expresar como

Fext(i) −j=i ∇iV ij(|rij|) = mi

dvi

dt . (1.85)

Tomando el producto escalar de la Ec. (1.85) con vi, obtenemos

vi · Fext(i) − vi ·j=i

∇iV ij(|rij |) = 1

2mi

dv2i

dt . (1.86)

Sumando sobre todas las partıculas, obtenemos

d

dt

i

1

2miv

2i

=

i

vi · Fext(i) −i

j=i

vi · ∇iV ij(|rij |)

= i vi

·Fext(i)

1

2 i j=i [vi

· ∇iV ij(

|rij

|) + vj

· ∇jV ji(

|rij

|)]

=i

vi · Fext(i) − 1

2

i

j=i

[∇iV ij(|rij |) · vi + ∇jV ij(|rij |) · vj ]

=i

vi · Fext(i) − 1

2

i

j=i

d

dtV ij(|rij|), (1.87)

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26 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

donde hemos usado V ij(|rij|) = V ji(|rij|). Entonces, podemos escribir

d

dt

i

1

2miv

2i

+

1

2

i

j=i

V ij(|rij |) =

i

vi · Fext(i). (1.88)

Si asumimos que las fuerzas externas son conservativas, Fext(i) = −∇V ext(i), tenemos,

i

vi · Fext(i) = −i

vi · ∇V ext(i) = − d

dt

i

V ext(i). (1.89)

La Ec. (1.88) se puede expresar entonces como

ddt

i

12

miv2i

+ 1

2

i

j=i

V ij(|rij |) +i

V ext(i) = 0. (1.90)

Podemos identificar la energıa cinetica total del sistema,

T total =i

1

2miv

2i , (1.91)

y la energıa potencial total del sistema como,

V total =i

V ext(i) + 1

2

i

j=i

V ij(|rij |), (1.92)

donde

V int ≡ 1

2

i

j=i

V ij(|rij |) (1.93)

es la energıa potencial total de la interaccion entre las partıculas. La Ec. (1.90) implicaentonces que la energıa total del sistema se conserva,

E total = T total + V total = constante. (1.94)

1.3. Coordenadas generalizadas

Consideremos un sistema de N partıculas, i = 1, 2, . . . , N , cuyos vectores de posicion

son r1, r2, . . . , rN . Cada vector de posicion posee tres coordenadas, ri = (xi, yi, zi). Elsistema de N partıculas con posiciones r1, r2, . . . , rN esta descrito por 3N coordenadas.

En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo,el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un cırculo (x2 + y2 = cte), sobreuna esfera (x2 + y2 + x2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar comorelaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.

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1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 27

Si un sistema posee k restricciones, estas se puede expresar como k funciones o rela-ciones que ligan las coordenadas:

f 1(r1, r2, . . . , t) = 0,f 2(r1, r2, . . . , t) = 0,

...f k(r1, r2, . . . , t) = 0.

(1.95)

Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas sellaman restricciones holon´ omicas . Las existencia de restricciones implica que no todas las3N coordenadas son independientes. El numero de coordenadas independientes cuandoexisten k restricciones holonomicas es s = 3N − k.

La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el numero mınimo de

coordenadas independientes necesarias para describir el movimiento del sistema. Losgrados de libertad definen un conjunto de coordenadas generalizadas , denotadas porq 1, q 2, . . . , q s. La evolucion temporal de estas coordenadas permite definir tambien unconjunto de velocidades generalizadas q 1, q 2, . . . , q s. En Mecanica Clasica, el tiempo tno es considerado como una coordenada, sino como un parametro.

Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sinoque pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, oinclusive pueden ser otras variables fısicas. Las coordenadas generalizadas q 1, q 2, . . . , q sestan relacionadas con las coordenadas cartesianas r1, r2, . . . , rN por un conjunto detransformaciones:

r1 = r1(q 1, q 2, . . . , t),r2 = r2(q 1, q 2, . . . , t),

...rN = rN (q 1, q 2, . . . , t).

(1.96)

En general, el conjunto de ligaduras f α(r1, r2, . . . , rN , t) = 0, α = 1, 2, . . . , k, y lastransformaciones ri(q 1, q 2, . . . , q s, t) = ri, i = 1, 2, . . . , N , permiten expresar las coorde-nadas generalizadas en terminos de las coordenadas cartesianas, q j = q j(r1, r2, . . . , rN , t),

j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones ri ↔ q j son invertibles.Tambien pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales

se denominan restricciones no holon´ omicas . Estas se expresan como desigualdades o enforma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.

Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:

1. Pendulo plano.

Consiste en una partıcula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de unavarilla rıgida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo esta fijo, tal quela varilla cual puede girar en un plano vertical.

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28 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Figura 1.13: Pendulo simple con longitud l y masa m.

Hay k = 2 restricciones:

z = 0 ⇒ f 1(x,y,z) = z = 0. (1.97)x2 + y2 = l2 ⇒ f 2(x,y,z) = x2 + y2 − l2 = 0. (1.98)

Luego, s = 3(1)−2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistemasugiere escoger q = θ como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q ) son

x = l sin θ (1.99)

y = −l cos θ, (1.100)

y la transformacion q (r) es

θ = tan−1

−x

y . (1.101)

2. Pendulo doble.

Consiste en un pendulo plano que cuelga de otro pendulo plano. Hay N = 2 partıcu-las y seis coordenadas cartesianas correspondientes a las componentes de r1 y r2.

Figura 1.14: Pendulo doble.

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1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 29

Hay k = 4 restricciones:

f 1 = z1 = 0f 2 = z2 = 0f 3 = x2

1 + y22 − l2

1 = 0f 4 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − l2

2 = 0.

(1.102)

Luego, hay s = 3(2) − 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere lascoordenadas generalizadas q 1 = θ1 y q 2 = θ2. Las transformaciones ri(q ) son

x1 = l1 sin θ1

y1 = −l1 cos θ1

x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2

y2 =

−l1 cos θ1

−l2 cos θ2.

(1.103)

Las transformaciones inversas q (ri) son

θ1 = tan−1

−x1

y1

(1.104)

θ2 = tan−1

x1 − x2

y2 − y1

. (1.105)

3. Polea simple (maquina de Atwood).

Figura 1.15: Polea simple.

Hay N = 2 partıculas. Las restricciones se pueden expresar como

f 1 = y1 + y2 − c1 = 0f 2 = x1

−c2 = 0

f 3 = x2 − c3 = 0f 4 = z1 = 0f 5 = z2 = 0,

(1.106)

donde c1, c2, c3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) − 5 = 1. Se puede escogerq = y1, o q = y2 como la coordenada generalizada.

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30 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

4. Partıcula dentro de un cono invertido con angulo de vertice α, cuyo eje es vertical.

Figura 1.16: Partıcula moviendose dentro de un cono con su eje vertical.

Hay N = 1 partıcula y 3 coordenadas cartesianas para su posicion. La relacionr = z tan α define al cono. Hay una restriccion, la cual puede expresarse como

f 1(x,y,z) = (x2 + y2)1/2 − z tan α = 0. (1.107)

Entonces, hay s = 3(1) − 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomarcomo q 1 = r, q 2 = θ. Las transformaciones r(q ) son

x = r cos ϕy = r sin ϕz = r cot α,

(1.108)

y las transformaciones inversas son

ϕ = tan−1y

x

r = z tan α.

(1.109)

5. Partıcula deslizando sobre un aro en rotacion uniforme sobre su diametro.

Figura 1.17: Partıcula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su diametro verticalcon velocidad angular ω .

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1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 31

La velocidad angular de rotacion del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego,ϕ = ωt. Hay k = 2 restricciones:

f 1(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − a2 = 0, (1.110)y

x = tan ϕ ⇒ f 2(x,y,z,t) = y − x tan ωt = 0. (1.111)

La funcion f 2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadascomo del tiempo. Luego, s = 3(1) − 2 = 1. La coordenada generalizada apropiadaes q = θ.

Las transformaciones de coordenadas r(q ) son

z = a cos θx = a sin θ cos ωt

y = a sin θ sin ωt.

(1.112)

6. Restriccion no holonomica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.

Figura 1.18: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha:condicion de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instantaneo.

Existe la restriccion z = cte. Sea θ el angulo que forma el vector velocidad v conrespecto a la direccion x. La condicion de rodar sin deslizar se expresa como

ds = vdt = Rdϕ ⇒ v = R ϕ. (1.113)

Las componentes de la velocidad v son

x = v cos θ = R ϕ cos θy = v sin θ = R ϕ sin θ.

(1.114)

Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holonomicas,

dx − R cos θ dϕ = 0,dy − R sin θ dϕ = 0.

(1.115)

Las coordenadas generalizadas son: (x, y) para ubicar el punto de apoyo instantaneoP , θ para dar la direccion de la velocidad de P y la orientacion del aro, y ϕ paraubicar un punto cualquiera sobre el aro. Luego s = 4.

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32 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

7. Partıcula dentro de una esfera de radio R.

Figura 1.19: Ligadura no holonomica: partıcula dentro de una esfera.

La ligadura es no holonomica y se expresa como |ri| < R

1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler.

En los problemas de extremos en el calculo diferencial buscamos el valor de unavariable para el cual una funcion es maxima o mınima. En cambio, los problemas deextremos en el calculo variacional consisten en encontrar la funcion que hace que unaintegral definida sea extrema.

Consideremos dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) fijos en el plano (x, y), unidos por unafuncion o trayectoria y = y(x), x ∈ [x1, x2], tal que y(x1) = y1 y y(x2) = y2, y cuyaderivada es y (x) = dy

dx .

Figura 1.20: Funcion y (x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y).

Definimos una funcional como una funcion de varias variables f (y, y, x) cuyos argu-mentos son funciones y sus derivadas. Una funcional es una funcion de funciones dadas.

Por ejemplo, consideremos la funcional f (y, y, x) = y(x) + y (x). Para la funciony(x) = 3x + 2, tenemos f (y, y, x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x2, f (y, y, x) =x2 + 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la funci on y. Una funcionalasigna un numero a una funcion, mientras que una funcion asigna un numero a otronumero.

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1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 33

Principio variacional:Dada una funcional f (y, y, x), ¿cual es la funcion y(x) que hace que la integral definidade lınea:

I =

x2x1

f (y, y, x)dx , (1.116)

tenga un valor extremo (maximo o mınimo) entre x1 y x2?.

Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un numero cu-yo valor depende de la funcion y(x) empleada en el argumento de la funcional dadaf (y, y, x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y(x)), entonces cualquierotra trayectoria cercana a y(x) definida entre x1 y x2 debe incrementar (o disminuir) envalor de la integral I , es decir, debe variar I .

Se emplea la notacion δI para indicar la variacion de I . Luego, δI = 0 implica queI es extremo. El principio variacional sobre I requiere que δI = 0 para una f dada, locual implica una condicion sobre y(x). Para encontrar esta condicion, supongamos quey(x) es la funcion que pasa por x1 y x2, y que hace δI = 0. Ahora, consideremos unatrayectoria cercana a y(x) definida como

y(x, α) = y(x) + α η(x), (1.117)

donde α es un parametro que mide la desviacion con respecto a la funcion y(x) y η(x) esuna funcion arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η (x)), tal que se anule en lospuntos x1 y x2: η(x1) = η(x2) = 0. Entonces y(x, α) tambien pasa por (x1, y1), (x2, y2):

y(x1, α) = y(x1) = y1, (1.118)

y(x2, α) = y(x2) = y2.

Note que y(x, 0) = y(x).

Figura 1.21: Trayectoria y (x, α) = y(x) + α η(x).

Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α),

I = x2x1

f (y(x, α), y(x, α), x)dx = I (α), (1.119)

es decir, I es una funcion del parametro α. La condicion extrema δ I = 0 cuando α = 0,implica que

dI (α)

α=0

= 0, (1.120)

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34 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

lo cual a su vez implica una condicion sobre f y sobre y(x). Calculemos dI/dα,dI

dα =

x2x1

df (y(x, α), y(x, α), x)

dα dx (1.121)

=

x2x1

∂f

∂y

∂y

∂α(x, α) +

∂f

∂y ∂y

∂α(x, α)

dx.

Pero,

∂y

∂α(x, α) = η(x);

∂y

∂α(x, α) =

∂α

dy

dx

=

d

dx

∂y

∂α

=

dx (1.122)

puesto que α y x son independientes. Luego,

dI

dα =

x2

x1 ∂f

∂yη(x) +

∂f

∂y

dx dx. (1.123)

El segundo termino se integra por partes, usando

uvdx = uv − uvdx, x2

x1

∂f

∂y dη

dxdx =

∂f

∂y η(x)

x2x1

− x2x1

d

dx

∂f

∂y

η(x)dx, (1.124)

pero,∂f

∂y η(x)

x2x1

= ∂f

∂y (η(x2) − η(x1)) = 0 (1.125)

puesto que η(x2) = η(x1) = 0. Luego:

dI

dα =

x2x1

∂f

∂y − d

dx

∂f

∂y

η(x)dx = 0. (1.126)

Evaluando en α = 0,

dI

α=0

=

x2x1

∂f

∂y − d

dx

∂f

∂y

α=0

η(x)dx =

x2x1

M (x)η(x) = 0 , (1.127)

donde

M (x) =

∂f

∂y − d

dx

∂f

∂y

α=0

. (1.128)

Cuando α = 0, el integrando es una funcion de x solamente: M (x)η(x). Luego, la con-dicion dI

α=0

= 0 ⇒ M (x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una funcion arbitraria no nula,entonces debemos tener M (x) = 0. Se acostumbra escribir esta condicion en la forma

d

dx ∂f

∂y −

∂ f

∂y

= 0. (1.129)

La Ec. (1.129) es la ecuaci´ on de Euler , y expresa la condicion que debe satisfacer lafuncion y(x) que hace δI = 0 para una integral definida I de una funcional f (y, y, x)dada. La Ec. (1.129) es una ecuacion diferencial de segundo orden para y(x), cuya solucionpermite encontrar y(x) para las condiciones dadas.

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1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 35

Figura 1.22: Leonhard Euler (1707-1783).

Ejemplos.

1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia m as corta entre dospuntos dados en un plano.

Figura 1.23: Trayectoria mas corta entre dos puntos del plano (x, y).

El elemento de distancia sobre el plano es

ds =

dx2 + dy2. (1.130)

La distancia entre (x1, y1) y (x2, y2) es

I =

2

1

ds =

x2x1

1 +

dy

dx

2

dx =

x2x1

f (y, y) dx, (1.131)

donde f (y, y) = 1 + (y)2.Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mınimo de la integral I ; es decir, quehace δI = 0. La ecuacion de Euler es la condicion que satisface esa y(x),

d

dx

∂f

∂y

− ∂ f

∂y = 0. (1.132)

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36 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Tenemos ∂f

∂y = 0,

∂f

∂y =

y 1 + (y)2

. (1.133)

Luego, la ecuacion de Euler conduce a

y 1 + (y)2

= c = constante, (1.134)

y = c√

1 − c2 ≡ a (1.135)

⇒ y = ax + b, (1.136)

donde a y b son constantes que se pueden determinar a partir de los puntos dados.

2. Superficie mınima de revolucion.

Encontrar el perfil y(x) entre x1, x2 que produce el area mınima de revolucionalrededor del eje y .

Figura 1.24: Superficie mınima de revolucion de y (x) alrededor de eje y .

El elemento de area de revolucion alrededor de eje y es

dA = 2πxds = 2πx

dx2 + dy2. (1.137)

El area de revolucion generada por y(x) es

A =

dA = 2π

x2x1

x

1 + (y)2 dx = 2π

x2x1

f (y, y, x) dx. (1.138)

Identificamos en el integrando la funcional f (y, y, x) = x

1 + (y)2 que satisface

la ecuacion de Euler,

ddx

∂f ∂y

− ∂ f ∂y

= 0. (1.139)

Calculamos las derivadas,

∂f

∂y = 0,

∂f

∂y =

xy 1 + y2

. (1.140)

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1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 37

Sustituyendo en la ecuacion de Euler, obtenemosxy

1 + y2= a = constante (1.141)

y = dy

dx =

a√ x2 − a2

(1.142)

⇒ y = a

dx√

x2 − a2

= a ln(x +

x2 − a2) + k. (1.143)

Los valores de las constantes a y k se determinan con (x1, y1) y (x2, y2). Si escribi-mos k = b − a ln a, la Ec. (1.143) tambien se puede expresar como

y − ba

= ln

x + √ x2 − a2

a

(1.144)

= cosh−1x

a

(1.145)

⇒ x = a cosh

y − b

a

, (1.146)

que es la ecuacion de una catenaria .

3. Braquistocrona (del griego, “tiempo mas corto”).

Encontrar la trayectoria y(x) de una partıcula en el campo gravitacional terrestreque da el menor tiempo posible para ir de un punto (x1, y1) a otro punto (x2, y2)sin friccion, partiendo del reposo (v0 = 0).

Figura 1.25: Problema de la braquistocrona.

Fijamos el punto (x1, y1) = (0, 0). Para este problema, escogemos la direccion del

eje y hacia abajo, con el fin de obtener la funcion y(x).

Si v es la magnitud de la velocidad en un punto de la trayectoria, entonces elelemento de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de latrayectoria es

dt = ds

v . (1.147)

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38 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t1→2 =

2

1

ds

v =

2

1

dx2 + dy2

v . (1.148)

En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partıcula esF = mgy y, y por lo tanto la energıa potencial es V = −mgy, tal que V (y = 0) = 0.Puesto que v0 = 0, la conservacion de la energıa E = T + V da

0 = 1

2mv2 − mgy ⇒ v =

2gy. (1.149)

Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es

t1→2 = 2

1

dx2 + dy2

√ 2gy , (1.150)

la cual se puede expresar como

t1→2 =

y2y1

1 + (x)2

2gy dy . (1.151)

La integral t1→2 es del tipo

I =

y2y1

f (x, x, y)dy , (1.152)

donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la fun-

cional

f (x, x, y) =

1 + (x)2

2gy . (1.153)

La ecuacion de Euler correspondiente es

d

dy

∂f

∂x

− ∂ f

∂x = 0 . (1.154)

Puesto que ∂f

∂x = 0, la ecuacion de Euler queda

∂f

∂x =

x√ 2gy 1 + (x)2

= c = constante. (1.155)

Note que la ecuacion de Euler para la funcional f (x, x, y) resulta mas sencilla quela ecuacion correspondiente a una funcional f (y, y, x) en este caso. Luego,

x = dx

dy =

2gyc2

1 − 2gyc2 (1.156)

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1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 39

⇒ x = y12gc2 − y

dy (1.157)

=

y

2R − ydy, (1.158)

donde hemos llamado 2R ≡ 1/2gc2. Haciendo el cambio de variable

y = R(1 − cos θ), dy = R sin θdθ, (1.159)

tenemos

x = R

(1 − cos θ)

(1 + cos θ) sin θ dθ

= R (1 − cos θ) dθ

= R(θ − sin θ) + k. (1.160)

Luego, la trayectoria queda parametrizada en terminos de la variable θ ,

y = R(1 − cos θ), (1.161)

x = R(θ − sin θ), (1.162)

la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x1, y1) = (0, 0), con k = 0.

La constante R se determina con el punto (x2, y2) y da al valor del radio de lacircunferencia que genera la cicloide. La trayectoria de tiempo mınimo es un arco decicloide que pasa por los puntos dados. Algunos puntos permiten trazar la cicloide,

θ = π2 ⇒ y = R, x = π2 R;

θ = π ⇒ x = πR, y = 2R;

θ = 2π ⇒ x = 2πR, y = 0.

Figura 1.26: Trayectoria de la cicloide en el problema de la braquistocrona.

El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la Fısica. Fue planteadooriginalmente por Galileo, quien penso que la trayectorıa de menor tiempo entre dospuntos era un arco de circunferencia. El problema fue estudiado anos despues porJohann Bernoulli, cuyo trabajo contribuyo a la fundacion del calculo variacional.

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40 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Figura 1.27: Johann Bernoulli (1667 -1748).

4. El Principio de Fermat establece que la luz se propaga entre dos puntos dados en

un medio siguiendo la trayectoria que corresponde al tiempo mınimo. A partir deeste principio, pueden obtenerse las leyes de la Optica Geometrica.

Como ejemplo, consideremos la ley de refraccion de la luz entre dos medios cuyosındices de refraccion son n1 y n2, con n1 < n2, como muestra la figura. La velocidadde la luz en un medio con ındice de refraccion n es v = c/n, donde c es la velocidadde la luz en el vacıo.

Figura 1.28: Ley de refraccion de la luz.

El tiempo para viajar entre los puntos 1 y 2 es

t1→2 =

2

1

ds

v =

2

1

n

dx2 + dy2

c

= 1

c

x2x1

n

1 + (y)2 dx (1.163)

El ındice de refraccion depende de y, n = n1, para y > 0, y n = n2, para y < 0,tal que dndy = 0 solo en y = 0. En la Ec. (1.163) podemos identificar la funcional

f (y, y, x) = n

1 + (y)2, la cual satisface la ecuacion de Euler,

d

dx

∂f

∂y

− ∂ f

∂y = 0. (1.164)

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1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 41

Calculamos las derivadas,∂f

∂y =

ny 1 + y2

, ∂f

∂y = 0. (1.165)

Entonces,ny

1 + y2= cte. (1.166)

Note que y = dydx = − tan θ, donde θ es el angulo de la trayectoria con el eje y.

Sustituyendo en la Ec. (1.166), obtenemos

− n tan θ√ 1 + tan 2θ

= −n sin θ = cte. (1.167)

La Ec. (1.167) implica la ley de refraccion, n1 sen θ1 = n2 sen θ2.

Figura 1.29: Pierre de Fermat (1601-1665).

Principios variacionales para funcionales de varias variables.

Consideremos una funcional de varias variables

f (yi(x), yi(x), . . . , x) , , i = 1, 2, . . . , s (1.168)

tal que la integral definida

I =

x2x1

f (yi(x), yi(x), x) dx (1.169)

adquiera un valor extremo, i.e., δI = 0, para las funciones yi(x), i = 1, 2, . . . , s.Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:

f (yi(x, α), yi(x, α), . . . , x) , i = 1, 2, . . . , s . (1.170)

dondeyi(x, α) = yi(x) + αηi(x), (1.171)

y las ηi(x) son funciones arbitrarias que satisfacen

ηi(x1) = ηi(x2) = 0. (1.172)

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42 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Figura 1.30: Trayectorias y1(x) y y2(x) en el espacio (x, y1, y2).

Consideremos la integral definida con las funciones yi(x, α) como argumentos,

I (α) =

x2x1

f [yi(x, α), yi(x, α), x]dx. (1.173)

La condicion de que I (0) sea extremo, o que δI = 0, implica que

dI

α=0

= 0. (1.174)

CalculamosdI

dα =

x2x1

si=1

∂f

∂yi

∂yi∂α

+ ∂f

∂y i

∂y i∂α

dx, (1.175)

donde ∂yi(x, α)

∂α = ηi(x);

∂y i(x, α)

∂α = η i(x). (1.176)

El segundo termino en la suma de la Ec. (1.175) se integra por partes:

x2x1

∂f

∂y iηi(x)dx =

0

∂f

∂y iηi(x)

x2x1

− x2x1

d

dx

∂f

∂y i

ηi(x)dx , (1.177)

en virtud de la condicion Ec. (1.172) sobre las funciones ηi(x). Luego,

dI

dα =

x2x−1

si=1

∂f

∂yi− d

dx

∂f

∂y i

ηi(x)dx. (1.178)

La condiciondI

α=0

= 0 , (1.179)

implica las s condiciones

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1.5. PRINCIPIO DE M INIMA ACCI ON Y ECUACIONES DE LAGRANGE 43

ddx

∂f ∂y i

− ∂f ∂yi

= 0, i = 1, 2, . . . , s (1.180)

que corresponden a s ecuaciones de Euler , una para cada funcion yi(x).

1.5. Principio de mınima accion y ecuaciones de La-

grange

Consideremos un sistema descrito por s coordenadas generalizadas q 1, q 2, . . . , q s ysus correspondientes s velocidades generalizadas q 1, q 2, . . . , q s.

Definimos una funcional escalar de q j, q j y t, dado por

L(q j , q j , t) = T − V, (1.181)

donde T y V son la energıa cinetica y la energıa potencial del sistema, expresadas enterminos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(q j , q j , t) se de-nomina Lagrangiano del sistema.

Por ejemplo, el Lagrangiano correspondiente a un oscilador armonico simple es

L(x, x) = T − V = 1

2mx2 − 1

2kx2. (1.182)

En principio, todo sistema mecanico se puede caracterizar por un Lagrangiano L.Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t1 y t = t2

esta descrito por

t1 : q j(t1), q j(t1) ; t2 : q j(t2), q j(t2). (1.183)

Principio de mınima accion:

La evolucion del sistema entre el estado en t1 y el estado en t2 es tal que el valor dela integral definida

S =

t2t1

L(q j , q j , t) dt , (1.184)

denominada la acci´ on del sistema , sea mınima; es decir, δS = 0 (S es un extremo).

El Principio de mınima accion es un principio variacional; implica que las ecuacionesde movimiento de un sistema, en terminos de sus coordenadas generalizadas, puedenformularse a partir del requerimiento de que una cierta condicion sobre la accion S delsistema sea satisfecha.

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44 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

El Principio de mınima acci´ on fue formulado en distintas formas por Maupertuis ypor Hamilton; tambien se llama Principio de Hamilton.

Figura 1.31: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).

Para encontrar las ecuaciones de movimiento a partir del Principio de mınima accion,supongamos que q j(t), j = 1, . . . , s, son las trayectorias para las cuales S adquiere unvalor extremo. Consideremos la variacion de q j como q j(t) + δq j(t), y la variacion de q jcomo q j(t) + δ q j(t). Supongamos extremos fijos en t1 y t2. Luego, δq j(t1) = δq j(t2) = 0.

La variacion de q j o de q j produce un incremento (o decremento) en el valor de S . Lavariacion en S cuando q j(t) es reemplazado por q j(t) + δq j(t), y q j por q j(t) + δ q j(t), es

δS =

t2t1

δL(q j , q j , t)dt

= t2

t1

L(q j + δq j , q j + δ q j , t)dt

− t2

t1

L(q j , q j , t)dt. (1.185)

El principio de mınima accion requiere que

δS =

t2t1

sj=1

∂L

∂q jδq j +

∂L

∂ q jδ q j

dt = 0. (1.186)

Similarmente a la integral I en un principio variacional, podemos expresar el segundotermino como t2

t1

δL

δ q j

d

dt(δq j)dt =

∂L

∂ q jδq j

t2t1

− t2t1

d

dt

δL

δ q j

δq j . (1.187)

Puesto que los extremos son fijos, tenemos

∂L∂ q j

δq jt2t1

= 0. (1.188)

Luego,

δS =

t2t1

sj=1

∂L

∂q j− d

dt

∂L

∂ q j

δq j dt = 0. (1.189)

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1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE. 45

La condicion δS = 0 implica que se deben cumplir s ecuaciones para las q j(t):

d

dt

∂L

∂ q j

− ∂L

∂q j= 0, j = 1, . . . , s . (1.190)

Las Ecs. (1.190) se denominan ecuaciones de Lagrange . Constituyen s ecuacionesdiferenciales acopladas de segundo orden para las s coordenadas generalizadas q j(t) quedescriben la evolucion del sistema en el tiempo.

Figura 1.32: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).

Se pueden establecer las siguientes analogıas entre el Principio de mınima accion yun principio variacional:

S = t2

t1

L(q j , q j , t)dt

↔ I =

x2

x1

f (yi, yi, x)dx (1.191)

L(q j , q j , t) ↔ f (yi, yi, x)

t ↔ x

q j ↔ yi

q j ↔ yiδq j(t) ↔ ηi(x)

δ q j(t) ↔ ηi(x).

1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange.

Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si lascoordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las partıculasdel sistema. Para ver esto, consideremos N partıculas denotadas por α = 1, 2, . . . , N .Sea xj(α) la componente cartesiana j ( j = 1, 2, 3) de la posicion r(α) de la partıculaα. Asumamos las coordenadas cartesianas como coordenadas generalizadas; esto es q j =xj(α).

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46 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

La energıa cinetica del sistema es

T =N α=1

3i=1

1

2mα x2

i (α). (1.192)

La energıa potencial es

V =N α=1

V α(r(1), r(2), . . . , r(N )). (1.193)

El Lagrangiano esta dado por

L = T − V =

N α=1

3i=1

1

2 mα x2i (α) −

N α=1

V α(r(1), r(2), . . . , r(N )). (1.194)

La ecuacion de Lagrange para la coordenada xj(α) es

d

dt

∂L

∂ xj(α)

− ∂L

∂xj(α) = 0. (1.195)

Calculamos

∂L

∂ xj(α) =

∂T

∂ xj(α) = m(α)xj(α) = pj(α),

∂L

∂xj(α) = − ∂V α

∂xj(α) = F j(α).

Sustitucion en la ecuacion de Lagrange para xj(α) da

dpj(α)

dt = F j(α), (1.196)

lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para la partıcula α.Sumando sobre todas las partıculas,

N α=1

dpj(α)

dt =

N α=1

F j(α) = componente j de la fuerza total. (1.197)

Luego,

dP jdt

= F j(total), (1.198)

lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema.Entonces, si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesia-

nas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley de Newton para elsistema.

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1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE. 47

Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teorıa del movimiento; losresultados de la formulacion Lagrangiana o de la formulacion Newtoniana del movimientode un sistema dado son los mismos; tan solo la descripcion y el metodo usado para obteneresos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto fısico.

Las leyes de Newton enfatizan causas externas vectoriales (fuerzas) actuando sobre

un cuerpo, mientras que la formulacion Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares(energıas cinetica y potencial) asociadas con el cuerpo. La formulacion Newtoniana des-cribe el movimiento de un sistema partıcula por partıcula . La formulacion Lagrangianadescribe el movimiento como una propiedad de todo el sistema. En contraste con el puntode vista Newtoniano de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mınimaaccion permite interpretar este como el resultado de un prop´ osito de la Naturaleza.

En la formulacion Newtoniana, las ligaduras entre las coordenadas requieren ser des-critas como fuerzas actuando sobre las partıculas, mientras que en la formulacion La-

grangiana las ligaduras pueden incluirse dentro de las coordenadas generalizadas.Las ecuaciones de Lagrange son mas generales que la segunda Ley de Newton; son

aplicables a cualquier conjunto de coordenadas generalizadas de un sistema. Adem asde sistemas mecanicos clasicos, las ecuaciones de Lagrange se pueden aplicar para todosistema donde se puede definir un Lagrangiano, incluyendo medios contınuos, campos,Mecanica Cuantica. El Principio de Mınima accion sugiere una conexion profunda entrela Fısica y la Geometrıa, una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de variasteorıas fısicas. Como veremos, una ventaja de la formulacion Lagrangiana es que permitedescubrir simetrıas fundamentales presentes en sistemas fısicos.

Las ecuaciones que describen la evolucion de muchos sistemas, ademas de sistemasmecanicos, pueden derivarse a partir de algun principio variacional. Por ejemplo, el Prin-

cipio de Fermat establece que la propagacion de la luz entre dos puntos dados en un mediosigue la trayectoria que corresponde al tiempo mınimo. Como vimos en la Sec. 1.4, a par-

tir de ese principio pueden obtenerse las leyes de la Optica Geometrica.

Las ecuaciones de Lagrange poseen las siguientes propiedades:

1. Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano sele agrega una derivada total temporal de una funcion f (q j , t).

Sea L(q j , q j , t) el Lagrangiano del sistema para el cual δS = 0. Entonces, el nuevoLagrangiano sera

L(q j , q j , t) = L(q j , q j , t) + df (q j , t)

dt . (1.199)

La nueva accion es

S = t2t1 L(q j , q j , t)dt

=

t2t1

L(q j , q j , t)dt + f (q j(t2), t2) − f (q j(t1), t1). (1.200)

Luego,δS = δS + δf (q j(t2), t2) − δf (q j(t1), t1). (1.201)

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48 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Pero f (q j(t2), t2) y f (q j(t1), t1) son cantidades fijas cuya variacion es cero. LuegoδS = δS , y la condicion δ S = 0 ⇒ δS = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movi-miento que se derivan de L y de L son equivalentes.

2. La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto decoordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.

La derivacion de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordena-das generalizadas especıficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrangeno depende de un conjunto particular de coordenadas q i. Se puede escoger otroconjunto de s coordenadas generalizadas independientes Qi, y las ecuaciones deLagrange tambien se cumplen en esas coordenadas.

Sea q i, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un siste-ma con s grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(q i, q i, t). Las ecuaciones deLagrange para estas coordenadas son

d

dt

∂L

∂ q j

− ∂L

∂q j= 0. (1.202)

Supongamos una transformacion a otro conjunto de coordenadas generalizadasQi, i = 1, . . . , s, de la forma

q i = q i(Q1, Q2, . . . , Qs, t), (1.203)

la cual se conoce como una transformaci´ on puntual . La invarianza de la forma delas ecuaciones de Lagrange significa que el Lagrangiano expresado como funcion de

las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas, L(Qi, Qi, t), tambien satisfacelas ecuaciones de Lagrange

d

dt

∂ L

∂ Qi

− ∂L

∂Qi= 0. (1.204)

Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.203) calculamos

q i = dq i

dt =

sk=1

∂q i∂Qk

Qk + ∂ q i

∂t . (1.205)

Luego, q i = q i(Q1, . . . , Qs, Q1, . . . , Qs, t). Entonces, el Lagrangiano se puede expre-sar como funcion de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas como

L(q 1, . . . , q s, t) = L[q i(Q1, . . . , Qs, t), q i(Q1, . . . , Qs, Q1, . . . , Qs, t), t]. (1.206)

Tenemos,∂L

∂Qi=

sj=1

∂L

∂q j

∂q j∂Qi

+ ∂L

∂ q j

∂ q j∂Qi

, (1.207)

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1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE. 49

y

∂L

∂ Qi

=

sj=1

∂L

∂q j

0∂q j

∂ Qi

+ ∂L

∂ q j

∂ q j

∂ Qi

=

sj=1

∂L

∂ q j

∂ q j

∂ Qi

. (1.208)

Notemos que

∂ q j

∂ Qi

=s

k=1

∂q j∂Qk

∂ Qk

∂ Qi

=

sk=1

∂q j∂Qk

δ ik = ∂q j∂Qi

. (1.209)

Luego,

d

dt

∂ L

∂ Qi

− ∂L

∂Qi=

d

dt

sj=1

∂L

∂ q j

∂q j∂Qi

sj=1

∂L

∂q j

∂q j∂Qi

+ ∂L

∂ q j

∂ q j∂Qi

=s

j=1

∂q j∂Qi

d

dt

∂L

∂ q j− ∂L

∂q j

+

∂L

∂ q j

d

dt

∂q j∂Qi

− ∂ q j∂Qi

.(1.210)

El primer termino en la Ec. (1.210) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.202). Por otrolado,

∂ q j∂Qi

= ∂

∂Qi

dq jdt

=

d

dt

∂q j∂Qi

, (1.211)

por lo cual, el segundo termino en la Ec. (1.210) tambien se anula. Luego,

d

dt

∂ L

∂ Qi

− ∂L

∂Qi= 0. (1.212)

Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transforma-ciones puntuales de las coordenadas generalizadas.

Por ejemplo, consideremos una partıcula en un plano. Las ecuaciones de Lagrangepara la partıcula en coordenadas cartesianas q i = x, y tienen la misma formaque las correspondientes ecuaciones en coordenadas polares Qi = r, ϕ, dondelas transformaciones q i = q i(Qj , t) son

x = r cos ϕ, (1.213)

y = r sin ϕ. (1.214)

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50 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

1.7. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para variossistemas

1. Pendulo simple.

Figura 1.33: Coordenada generalizada θ para el pendulo simple.

Vimos que la coordenada generalizada es el angulo θ . Entonces,

x = l sin θ, x = lθ cos θ

y = −l cos θ, y = lθ sin θ.

Expresamos T y V en funcion de θ y θ,

T = 1

2mv2 =

1

2m(x2 + y2) =

1

2ml2 θ2. (1.215)

V = mgy = −mgl cos θ. (1.216)

Entonces, el Lagrangiano es

L = T − V = 1

2ml2 θ2 + mgl cos θ. (1.217)

La ecuacion de Lagrange para θ es

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0. (1.218)

Calculamos los terminos

∂L

∂θ = −mgl sin θ,

∂L

∂ θ= ml2 θ,

d

dt

∂L

∂ θ

= ml2θ. (1.219)

Luego, la ecuacion de Lagrange queda como

ml2θ + mgl sin θ = 0

⇒ θ + g

l sin θ = 0, (1.220)

que es la conocida ecuacion del pendulo simple.

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 51

2. Partıcula libre.La condicion de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la partıcula,F = −∇V = 0. Luego, V = constante para una partıcula libre.

a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es

L = T = 1

2m(x2 + y2 + z2). (1.221)

Las ecuaciones de Lagrange

d

dt

∂L

∂ xi

− ∂L

∂xi= 0, i = 1, 2, 3, (1.222)

conducen a∂L

∂ xi = mxi = constante, (1.223)

que expresan la conservacion de la componente i del momento lineal de la partıcula.

b) Lagrangiano en coordenadas esfericas.

Figura 1.34: Coordenadas esfericas para una partıcula.

Las coordenadas se expresan como

x = r sin θ cos ϕy = r sin θ sin ϕz = r cos θ.

(1.224)

Las velocidades son

x = r sin θ cos ϕ + rθ cos θ cos ϕ − r ϕ sin θ sin ϕ

y = r sin θ sin ϕ + rθ cos θ sin ϕ + r ϕ sin θ cos ϕ

z = r cos θ − rθ sin θ.

(1.225)

El Lagrangiano de una partıcula libre en coordenadas es esfericas es

L = 1

2m(r2 + r2 θ2 + r2ϕ2 sin2 θ). (1.226)

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52 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

3. Partıcula en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.35: Partıcula en el campo gravitacional terrestre.

El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un planovertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordena-

das generalizadas. Supongamos que la partıcula posee posicion inicial (xo, yo) yvelocidad inicial (vox, voy). Entonces,

T = 1

2m(x2 + y2), V = mgy (1.227)

L = T − V = 1

2m(x2 + y2) − mgy. (1.228)

La ecuacion de Lagrange para x es

d

dt

∂L

∂ x

− ∂ L

∂x = 0, (1.229)

la cual resulta enx = 0 ⇒ x = b1t + b2, (1.230)

con b1 y b2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemosx(t) = xo + voxt. (1.231)

La ecuacion de Lagrange para y es

d

dt

∂L

∂ y

− ∂ L

∂y = 0, (1.232)

lo que conduce a

y = −g ⇒ y = −1

2gt2 + c1t + c2. (1.233)

Usando las condiciones iniciales, podemos expresar

y(t) = yo + voyt − 1

2gt2. (1.234)

La trayectoria descrita por la partıcula es una par´ abola ,

y(x) = yo + voyvox

(x − xo) − g

2v2ox

(x − xo)2. (1.235)

La trayectoria parabolica corresponde a la minima accion; mientras que la cicloidecorresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 53

4. Oscilador armonico.

Figura 1.36: Oscilador armonico simple.

Usando la coordenada generalizada x, tenemos

T = 1

2mx2, V =

1

2kx2, (1.236)

L = T − V = 12 mx2 − 12 kx2. (1.237)

La ecuacion de Lagrange para x es

d

dt

∂L

∂ x

− ∂ L

∂x = 0. (1.238)

Calculamos∂L

∂ x = mx ;

∂L

∂x = −kx. (1.239)

Luego, obtenemos

mx + kx = 0,

x + ω2x = 0, (1.240)

donde ω 2 ≡ k/m.

5. Partıcula moviendose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.37: Partıcula sobre un cono invertido con angulo de vertice α.

Coordenadas generalizadas son q 1 = ϕ y q 2 = r. Entonces,

x = r cos ϕy = r sin ϕz = r cot α.

(1.241)

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54 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Las velocidades correspondientes sonx = r cos ϕ − r ϕ sin ϕy = r sin ϕ + r ϕ cos ϕz = r cot α.

(1.242)

Energıa cinetica,

T = 1

2m(x2 + y2 + z2) =

1

2m[r2(1 + cot2 α) + r2ϕ2]

= 1

2m(r2 csc2 α + r ϕ2). (1.243)

Energıa potencial,V = mgz = mgr cot α. (1.244)

Por lo tanto, el Lagrangiano L = T − V es

L = 1

2m(r2 csc2 α + r2ϕ2) − mgr cot α. (1.245)

La ecuacion de Lagrange para ϕ es

d

dt

∂L

∂ ϕ

− ∂ L

∂ϕ = 0, (1.246)

donde∂L

∂ϕ = 0, (1.247)

Luego,∂L

∂ ϕ = mr2ϕ = cte

≡lz. (1.248)

La cantidad constante es la componente lz del momento angular en terminos delas coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componentecartesiana lz = m(xy − yx), y usando las Ecs. (1.241) y (1.242). La componentelz se conserva porque la componente τ z del vector de torque total producido porlas fuerzas actuantes sobre la partıcula (su peso y la fuerza normal ejercida por lasuperficie del cono) es cero.

La ecuacion de Lagrange para r es

d

dt

∂L

∂ r

− ∂ L

∂r = 0, (1.249)

donde∂L

∂r = mr ϕ2

− mg cot α, ∂L

∂ r = mr csc2

α. (1.250)

Luego,

r csc2 α − r ϕ2 + g cot α = 0,

⇒ r − r ϕ2 sin2 α + g sin α cos α = 0. (1.251)

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 55

6. Pendulo doble.Consiste en un pendulo de longitud l1 y masa m1, del cual cuelga un segundopendulo de longitud l2 y masa m2.

Figura 1.38: Pendulo doble.

Coordenadas generalizadas son q 1 = θ1, q 2 = θ2. Luego,

x1 = l1 sin θy1 = −l1 cos θ

⇒ x1 = l1 θ1 cos θ1

⇒ y1 = l1 θ1 sin θ1

(1.252)

x2 = l1 sin θ + l2 sin θ2

y2 = −l1 cos θ − l2 cos θ2

⇒ x2 = l1 θ1 cos θ1 + l2

θ2 cos θ2

⇒ y2 = l1 θ1 sin θ1 + l2

θ2 sin θ2(1.253)

La energıa cinetica de partıcula 1 es

T 1 = 1

2

m1v21 =

1

2

m1(x21 + y2

1 ) = 1

2

m1l21

θ21. (1.254)

La energıa cinetica de partıcula 2 es

T 2 = 1

2m2v2

2 = 1

2m2(x2

2 + y22)

= 1

2m2[l2

1 θ2

1 + l22

θ22 + 2l1l2

θ1 θ2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2)]

= 1

2m2[l2

1 θ2

1 + l22

θ22 + 2l1l2

θ1 θ2 cos(θ1 − θ2)]. (1.255)

Las energıas potenciales de las partıculas se pueden expresar como

V 1 = m1gy1 = −m1gl1 cos θ1 (1.256)

V 2 = m2gy2 = −m2g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2). (1.257)

La energıa cinetica del sistema es T = T 1 +T 2 y la energıa potencial es V = V 1 +V 2.El Lagrangiano del sistema es L = T − V , lo que conduce a

L = 1

2(m1 + m2)l2

1 θ2

1 + 1

2m2l2

2 θ2

2 + m2l1l2 θ1

θ2 cos(θ1 − θ2)

+ (m1 + m2)gl1 cos θ1 + m2gl2 cos θ2. (1.258)

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56 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Ecuacion de Lagrange para θ1,d

dt

∂L

∂ θ1

− ∂L

∂θ1= 0, (1.259)

donde

∂L

∂θ1= −m2l1l2

θ1 θ2 sin(θ1 − θ2) − (m1 + m2)gl1 sin θ1

∂L

∂ θ1

= (m1 + m2)l21

θ1 + m2l1l2 θ2 cos(θ1 − θ2)

d

dt

∂L

∂ θ1

= (m1 + m2)l2

1 θ1 + m2l1l2[θ2 cos(θ1 − θ2) − θ2(θ1 − θ2)sin(θ1 − θ2].

Por lo tanto, la ecuacion de Lagrange para θ1 queda

(m1+m2)l21 θ1+m2l1l2θ2 cos(θ1−θ2)+m2l1l2

θ22 sin(θ1−θ2)+(m1+m2)gl1 sin θ1 = 0.

(1.260)

Ecuacion de Lagrange para θ2 es

d

dt

∂L

∂ θ2

− ∂L

∂θ2= 0, (1.261)

donde

∂L

∂θ2= m2l1l2

θ1 θ2 sin(θ1 − θ2) − m2gl2 sin θ2,

∂L

∂ θ2

= m2l22

θ2 + m2l1l2 θ1 cos(θ1 − θ2),

d

dt

∂L

∂ θ2

= m2l2

2 θ2 + m2l1l2[θ1 cos(θ1 − θ2) − θ1(θ1 − θ2)sin(θ1 − θ2].

Luego, la ecuacion de Lagrange para θ2 queda

m2l22θ2 + m2l1l2θ1 cos(θ1 − θ2) − m2l1l2

θ21 sin(θ1 − θ2) + m2gl2 sin θ2 = 0. (1.262)

Despejando θ1 y θ2 de las Ecs. (1.260) y (1.262), las ecuaciones de Lagrange sepueden expresar como

θ1 = g(sin θ2 cos ∆θ − M sin θ1) − (l2

θ22 + l1

θ21 cos ∆θ)sin∆θ

l1(µ − cos2 ∆θ) , (1.263)

¨θ2 =

gM (sin θ1 cos ∆θ

−sin θ2)

−(Ml1

θ21 + l2

θ22 cos ∆θ)sin∆θ

l2(µ − cos2 ∆θ) , (1.264)

donde ∆θ ≡ θ1 − θ2, y M ≡ 1 + m1/m2.

Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas θ1 y θ2 del pendulo doble sonacopladas y no lineales. Esto hace que el movimiento del pendulo doble pueda sermuy irregular o ca´ otico, como veremos en el Cap. 2.

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 57

7. Pendulo con soporte deslizante horizontalmente sin friccion.

Figura 1.39: Pendulo con soporte deslizante.

Coordenadas generalizadas son q 1 = x1 y q 2 = θ,

x2 = x1 + l sin θ, x2 = x1 + lθ cos θ,y2 = −l cos θ, y2 = lθ sin θ.

Energıa cinetica,

T = 1

2m1 x2

1 + 1

2m2(x2

1 + l2 θ2 + 2x1 θl cos θ). (1.265)

Energıa potencial,V = m2gy2 = −m2gl cos θ. (1.266)

Lagrangiano,

L = T

−V =

1

2

(m1 + m2)x21 +

1

2

m2(l2 θ2 + 2x1 θl cos θ) + m2gl cos θ. (1.267)

Ecuacion de Lagrange para x1,

d

dt

∂L

∂ x1

− ∂L

∂x1= 0, (1.268)

donde∂L

∂x1= 0,

∂L

∂ x1= (m1 + m2)x1 + m2

θl cos θ. (1.269)

Luego, la ecuacion para x1 queda

(m1 + m2)x1 + m2lθ cos θ = cte ≡ P x, (1.270)

esta ecuacion expresa la conservacion de la componente P x del momento lineal totalen direccion del eje x, puesto que no hay fuerzas externas netas en esa direccion.

Ecuacion de Lagrange para θ ,

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0, (1.271)

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58 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

donde∂L

∂θ = −m2lx1

θ sin θ − m2gl sin θ; ∂L

∂ θ= m2 x1l cos θ + m2l2 θ. (1.272)

Por lo tanto, la ecuacion de Lagrange para θ es

lθ + x1 cos θ − x1 θ sin θ + x1

θ sin θ + g sin θ = 0,

⇒ lθ + x1 cos θ + g sin θ = 0. (1.273)

8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Figura 1.40: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y θ, lascuales estan ligadas por una restriccion no holonomica, que es la condicion derodar sin deslizar: x = Rθ. Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger comocoordenada generalizada a x o θ .

La energıa cinetica del aro es la suma de la energıa cinetica del centro de masa masla energıa cinetica relativa al centro de masa,

T = T cm + T relativa al CM (1.274)

donde T cm es la energıa cinetica de translacion del centro de masa,

T cm = 1

2mx2, (1.275)

y T rel. al CM es la energıa cinetica de rotacion,

T rel. al CM = 1

2I θ2 =

1

2(mR2)θ2 =

1

2mR2 θ2. (1.276)

La energıa potencial es

V = mgh = mg(l − x)sin α. (1.277)

Entonces, el Lagrangiano es

L = T − V = 1

2mx2 +

1

2mR2 θ2 − mg(l − x)sin α. (1.278)

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 59

Sustituyendo θ = x/R en L, obtenemos

L = mx2 + mgx sin α − mgl sin α. (1.279)

El termino constante mgl sin α se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuacionesde movimiento. La ecuacion de Lagrange para x es

d

dt

∂L

∂ x

− ∂ L

∂x = 0 (1.280)

donde∂L

∂x = mg sin α,

∂L

∂ x = 2mx. (1.281)

Luego,

x − g

2 sin α = 0. (1.282)El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleraci on quetendrıa si simplemente deslizara sin friccion.

9. Pendulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en unplano vertical, con velocidad angular constante ω .

Figura 1.41: Pendulo con soporte en movimiento circular uniforme.

Expresamos φ = ωt. Luego,

x = a cos ωt + l sin θ, x = −ωa sin ωt + lθ cos θ (1.283)

y = a sin ωt − l cos θ, y = ωa cos ωt + lθ sin θ. (1.284)

Energıa cinetica,

T = 1

2m(x2 + y2) =

1

2m[a2ω2 + l2 θ2 + 2aωlθ(sin θ cos ωt − cos θ sin ωt)]. (1.285)

Energıa potencial,V = mgy = mg(a sin ωt − l cos θ). (1.286)

El Lagrangiano es

L = T − V = 1

2m[l2 θ2 + 2aωlθ sin(θ − ωt)] + mgl cos θ, (1.287)

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60 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

donde hemos omitido terminos constantes (a2ω2) y la derivada total df

dt = mga sin ωt,

con f = −mga

ω cos ωt.

La ecuacion de Lagrange para θ es

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0. (1.288)

donde

∂L

∂θ = maωlθ cos(θ − ωt) − mgl sin θ,

∂L

∂ θ= ml2 θ + maωl sin(θ

−ωt),

d

dt

∂L

∂ θ

= ml2θ + maωl(θ − ω) cos(θ − ωt).

Sustituyendo en la ecuacion de Lagrange para θ , obtenemos

l2θ + aωlθ cos(θ − ωt) − aω2l cos(θ − ωt) − aωlθ cos(θ − ωt) + gl sin θ = 0, (1.289)

lo cual queda como

θ − aω 2

l cos(θ − ωt) +

g

l sin θ = 0. (1.290)

Note que si ω = 0, la Ec. (1.290) corresponde a la ecuacion de movimiento de un

pendulo simple.

En este sistema, ∂V

∂t = 0, por lo que la energıa total E = T + V no se conserva;

se requiere un suministro continuo de energıa para mantener girando el soporte delpendulo con velocidad angular ω constante.

10. Pendulo de resorte.

Figura 1.42: Pendulo de resorte.

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 61

El movimiento de la partıcula ocurre en el plano vertical (x, y). Definimos k comola constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de lamasa m), y r es la longitud del resorte con la masa m.

Las coordenadas generalizadas son q 1 = r y q 2 = θ. Entonces,

x = r sin θy = −r cos θ,

x = rθ cos θ + r sin θ

y = rθ sin θ − r cos θ.

(1.291)

La energıa cinetica es

T = 1

2

m(x2 + y2) = 1

2

m(r2 + r2 θ2). (1.292)

La energıa potencial es

V = 1

2k(r − l)2 − mgr cos θ. (1.293)

Entonces, el Lagrangiano es

L = T − V = 1

2m(r2 + r2 θ2) − 1

2k(r − l)2 + mgr cos θ. (1.294)

La ecuacion de Lagrange para θ es

d

dt ∂L

∂ θ − ∂ L

∂θ

= 0, (1.295)

la cual se puede escribir como

rθ + 2rθ + g sin θ = 0. (1.296)

La ecuacion de Lagrange para r es

d

dt

∂L

∂ r

− ∂ L

∂r = 0, (1.297)

que da como resultado,

r

−rθ2 +

k

m

(r

−l)

−g cos θ = 0. (1.298)

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62 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

11. El soporte de un pendulo plano de masa m y longitud l rota sin friccion con velo-cidad angular uniforme ω alrededor del eje vertical z .a) Encontrar la ecuacion de movimiento del pendulo.b) Encontrar el angulo de equilibrio del pendulo.

Figura 1.43: Pendulo con soporte giratorio.

La coordenada generalizada es q = θ.

a) Para encontrar la ecuacion de movimiento, expresamos

x = l sin θ cos ωt,y = l sin θ sin ωt,z = −l cos θ,

(1.299)

y las velocidades

x = lθ cos θ cos ωt

−lω sin θ sin ωt

y = lθ cos θ sin ωt + lω sin θ cos ωtz = lθ sin θ.

(1.300)

La energıa cinetica es

T = 1

2m

x2 + y2 + z2

= 1

2ml2

θ2 + ω2 sin2 θ

. (1.301)

La energıa potencial correspondiente es

V = mgz = −mgl cos θ. (1.302)

El Lagrangiano es

L = T − V = 12

ml2 θ2 + ω2 sin2 θ + mgl cos θ . (1.303)

La ecuacion de Lagrange para θ es

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0, (1.304)

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1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 63

la cual resulta en θ − ω2 sin θ cos θ + gl

sin θ = 0 . (1.305)

b) En un punto de equilibrio, la fuerza neta sobre la partıcula se anula y la acele-racion se hace cero.

El angulo de equilibrio θo del pendulo esta dado por la condicion θ = 0 en laecuacion de movimiento,

θ = 0 ⇒ ω2 sin θo cos θo = g

l sin θo (1.306)

Hay dos posibles soluciones,

sin θo = 0 ⇒ θo = 0, (1.307)

ω2 cos θ0 = gl ⇒ θo = cos−1 g

ω2l . (1.308)

12. Regulador volante.

Figura 1.44: Regulador volante.

El punto O en extremo superior esta fijo. La longitud a de las varillas es constante.La masa m2 se mueve sin friccion sobre el eje vertical y que pasa por el puntoO, mientras que las masas dos masas m1 giran con velocidad angular constante ωalrededor del eje y .

Las coordenadas para m2 son

x2 = 0,y2 = −2a cos θ,

z2 = 0.

(1.309)

Las coordenadas para una de las masas m1 son

y1 = −a cos θ,x1 = a sin θ sin ωt,z1 = a sin θ cos ωt.

(1.310)

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64 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Coordenadas para la otra masa m1,

y1 = y1,x1 = −x1,z1 = −z1.

(1.311)

Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = θ.

Tenemos,

T = 1

22m1(x2

1 + y21 + z2

1 ) + 1

2m2 y2

2 = m1(a2 θ2 + ω2a2 sin2 θ) + 2m2a2 θ2 sin2 θ.

V = 2m1gy1 + m2gy2 = −2m1ga cos θ − 2m2ga cos θ.

L = T − V = m1(a2 θ2 + ω2a2 sin2 θ) + 2m2a2 θ2 sin2 θ + 2(m1 + m2)ga cos θ.

La ecuacion de Lagrange para θ es

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0, (1.312)

donde

∂L

∂ θ= 2m1a2 θ + 4m2a2 θ sin2 θ,

d

dt

∂l

∂ θ

= 2m1a2θ + 4m2a2(θ sin2 θ + 2θ2 sin θ cos θ),

∂L

∂θ

= 2m1ω2a2 sin θ cos θ + 4m2a2 θ2 sin θ cos θ

−2(m1 + m2)ga sin θ,

Sustituyendo en la ecuacion de Lagrange, obtenemos

2θa2(m1 + 2m2 sin2 θ) + 4m2a2 θ2 sin θ cos θ

−2m1ω2a2 sin θ cos θ + 2(m1 + m2)ga sin θ = 0, (1.313)

Note que si ω = 0 y m2 = 0, la ecuacion se reduce a

θ + g

a sin θ = 0, (1.314)

que es la ecuacion de un pendulo simple.

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1.8. PROBLEMAS 65

1.8. Problemas1. El principio de Fermat establece que la propagacion de la luz entre dos puntos dados

en un medio sigue la trayectoria de mınimo tiempo. Determine la trayectoria de unrayo de luz dentro de un disco cristalino de radio a, grosor despreciable, y cuyo ındicede refraccion n varıa radialmente comoa) n(r) = a/r.b) n(r) = a/r2.c) Encuentre n(r) tal que un rayo de luz dentro de este disco describa una trayectoriacircular.

2. Calcule la trayectoria que da la distancia mas corta entre dos puntos sobre la superficiede un cono invertido, con angulo de vertice α. Use coordenadas cilındricas.

3. Determine la curva y(x), tal que y (0) = 0, y(π/2) = 1, para la cual alcanza su valor

extremo la integral I = π/2

0

(y)2 − y2

dx.

4. Calcule el valor mınimo de la integral

I =

1

0

(y)2 + 12xy

dx,

donde la funcion y(x) satisface y(0) = 0 y y (1) = 1.

5. En los paramos andinos se encuentra el pueblo A y, a una distancia de 2π Km al estede A, esta el pueblo B. El terreno entre estos dos pueblos es montanoso y no haycarreteras asfaltadas. Sin embargo, la experiencia ha indicado que la velocidad de unciclista en bicicleta montanera en esa zona se puede expresar aproximadamente comov = 10(Km/h) ey/3, donde y es la distancia en Km medida perpendicularmente a lalınea recta que une A y B. ¿Cual es el mınimo tiempo que tardarıa un ciclista entrelos pueblos A y B ?.

6. La forma adoptada por una cuerda de densidad uniforme ρ que cuelga suspendidaentre dos puntos en un campo gravitacional corresponde al mınimo de su energıapotencial. Determine esa forma.

7. Encuentre la geodesica (i.e. la trayectoria de menor distancia) entre los puntos P 1 =(a, 0, 0) y P 2 = (−a, 0, π) sobre la superficie x2 + y2 − a2 = 0. Use coordenadascilındricas.

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66 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

8. Un cuerpo se deja caer desde una altura h y alcanza el suelo en un tiempo T . Laecuacion de movimiento concebiblemente podrıa tener cualquiera de las formas

y = h − g1t, y = h − 1

2g2t2, y = h − 1

4g3t3 ;

donde g1, g2, g3 son constantes apropiadas. Demuestre que la forma correcta es aquellaque produce el mınimo valor de la accion.

9. El Lagrangiano de una partıcula de masa m es

L = m2x4

12 + mx2f (x) − f 2(x),

donde f (x) es una funcion diferenciable de x. Encuentre la ecuacion de movimiento.

10. Encuentre la ecuacion de movimiento de un pendulo parametrico, el cual consiste enun pendulo de masa m cuya longitud se hace variar de la forma l = lo(1 + b sin ωt).

11. Una varilla de peso despreciable esta suspendida de un extremo, de modo que puedeoscilar en un plano vertical. Una partıcula de masa m se desliza sin friccion a lo largode la varilla.a) Encuentre la energıa de la partıcula.b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partıcula.

12. Una partıcula de masa m se mueve sin friccion sobre un aro de radio R, el cual giracon velocidad angular uniforme ω alrededor de su diametro vertical.a) Derive la ecuacion de movimiento de la partıcula.b) Encuentre la posicion de equilibrio de la partıcula.

13. Una partıcula de masa m se desliza sin friccion sobre un aro de radio a, el cual rotacon velocidad angular constante ω alrededor de su diametro horizontal. ¿Cual es laecuacion de movimiento de la partıcula?.

14. Obtenga las ecuaciones de movimiento de un pendulo esferico, es decir, una partıculade masa m suspendida de una varilla rıgida, sin peso y sin friccion, cuya longitud es l

15. Un aro de radio R y masa despreciable cuelga de un punto de su borde de modo quepuede oscilar en su plano vertical. Una partıcula de masa m se desliza sin friccionsobre el aro. Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partıcula.

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1.8. PROBLEMAS 67

16. Un pendulo compuesto esta formado por una varilla de masa despreciable y longitudl, con un extremo fijo y el otro conectado al punto medio de una segunda varilla sinmasa de longitud a, (a < l), en cuyos extremos hay dos masas m1 y m2. Las varillaspueden rotar sin friccion en un mismo plano vertical. Encuentre las ecuaciones demovimiento de este sistema.

17. Un sistema consiste en una partıcula de masa m que se mueve verticalmente colgadade un resorte de constante k y de la cual cuelga a su vez un pendulo de longitud l ymasa m. Desprecie la masa de la varilla del pendulo y considere que este se mueve enun plano vertical. Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.

18. Encuentre la ecuacion de movimiento para el parametro angular θ en el problema dela braquistocrona.

19. Una manera de simular gravedad en una nave espacial es mediante rotacion. Considereun pendulo de longitud l y masa m dentro de una nave, y cuyo soporte gira en uncırculo de radio R con velocidad angular constante ω en el mismo plano del pendulo.

Calcule ω tal que el angulo θ con respecto a la direccion radial describa el mismomovimiento que tendrıa este pendulo colgado verticalmente de un punto fijo en elcampo gravitacional terrestre.

20. Una partıcula de masa m y carga q 1 se mueve sin friccion sobre la superficie de unaesfera de radio R en el campo gravitacional terrestre. Otra carga q 2 se encuentra fijaen el punto mas bajo de la esfera.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la primera carga.b) Encuentre la posicion de equilibrio de la primera carga.

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68 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

21. Una masa m unida a una cuerda se mueve sin friccion sobre una mesa tal que el otroextremo de la cuerda pasa a traves de un agujero en la mesa y esta halado por alguien.Inicialmente, la masa se mueve en un cırculo, con energıa E . La cuerda es halada acontinuacion, hasta que el radio del cırculo se reduce a la mitad. ¿Cuanto trabajo sehizo sobre la masa?.

22. Una cuerda de masa despreciable pasa a traves una polea fija y soporta una masa 2men un extremo. En el otro extremo de la cuerda se encuentra una masa m y, colgandode esta por medio de un resorte de constante k , hay otra masa m.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Encuentre la posicion de la masa que cuelga del resorte en funcion del tiempo.

23. Una partıcula de masa m1 cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l, cuyopunto de soporte consiste en otra partıcula de masa m2 que se mueve horizontalmentesujeta a dos resortes de constante k cada uno. Encuentre las ecuaciones de movimiento.

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1.8. PROBLEMAS 69

24. Un aro uniforme de radio a y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro fijo deradio R, (R > a). Encuentre el perıodo para pequenas oscilaciones del aro.

25. Dos masas, m1 y m2, estan conectadas por una cuerda de longitud l a traves de unagujero en el vertice de un cono vertical con angulo de vertice α, de manera que m1

se mueve sobre la superficie interior del cono y m2 cuelga verticalmente. Desprecie lafriccion.a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Calcule el radio de equilibrio de m1.

26. Una partıcula de masa m esta atada a una cuerda de masa despreciable fija a uncilindro de radio R. La partıcula se puede mover sobre un plano horizontal sin friccion.Inicialmente, la cuerda se encuentra totalmente enrollada alrededor del cilindro, de

modo que la partıcula toca al cilindro. Se le da un impulso radial a la partıcula, talque esta adquiere una velocidad inicial v0 y la cuerda comienza a desenrollarse.a) Encuentre la ecuacion de movimiento en terminos de una coordenada generalizadaapropiada.b) Encuentre la solucion que satisface las condiciones iniciales.c) Calcule el momento angular de la partıcula con respecto al eje del cilindro, usandoel resultado de (b).

27. Encuentre la ecuacion de movimiento de una partıcula de masa m que se mueve enla dimension x, cuyo Lagrangiano es

L = 1

2 m(x2 − ω2x2)eγt , (1.315)

donde las constantes γ y ω son cantidades reales y positivas. ¿Que sistema describela ecuacion de movimiento?.

28. Una partıcula de masa m y carga q se desliza sin friccion sobre una varilla de masadespreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un extremo fijo. En elextremo fijo de la varilla hay una carga puntual fija −q , la cual esta conectada a lapartıcula movil mediante un resorte de constante k .a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partıcula.b) Calcule la energıa del sistema.

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70 CAP ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

29. Considere un pendulo muy largo de longitud L, del cual cuelga una masa m que apenastoca la superficie terreste y que se mueve en un plano fijo. Desprecie el movimientode la Tierra y asuma esta como una esfera uniforme de radio RT .a) Encuentre la ecuacion de movimiento del pendulo sin suponer que L es pequenocon respecto a RT .b) Encuentre la ecuacion de movimiento si L RT .

30. Una partıcula de masa m se desliza sin friccion por un cable recto muy largo, elcual esta conectado en un punto P perpendicularmente a una varilla de longitud l,formando un plano vertical en el campo gravitacional terrestre. La varilla gira conrespecto a su otro extremo fijo O en el plano vertical, con velocidad angular constanteω. Las masas de la varilla y del cable son despreciales.a) ¿Se conserva la energıa mecanica de la partıcula?.b) Encuentre y resuelva la ecuacion de movimiento de la partıcula.

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Capıtulo 2

Leyes de conservacion y

simetrıas

2.1. Momento conjugado

Dado un sistema caracterizado por un Lagrangiano L(q j , q j , t), se define la cantidad

pj ≡ ∂L

∂ q j(2.1)

como el momento conjugado (o canonico) asociado a la coordenada generalizada q j .La cantidad pj no tiene necesariamente unidades de momento lineal; puede tambiencorresponder a momento angular u a otras cantidades.

Si un Lagrangiano L de un sistema no contiene explıcitamente una coordenada q j(puede contener q j , t), se dice que q j es una coordenada cıclica o ignorable .

Si q j es cıclica, entonces∂L

∂q j= 0, (2.2)

y la ecuacion de Lagrange para una coordenada cıclica q j resulta en

d

dt

∂L

∂ q j

=

dpjdt

= 0, (2.3)

⇒ pj = cte. (2.4)

Es decir, el momento conjugado pj asociado a una coordenada ciclica q j es constante.Luego, la cantidad pj = cte constituye una cantidad conservada , llamada tambien unaprimera integral del movimiento.

En general, si el Lagrangiano de un sistema no depende explıcitamente de una coor-denada que representa un desplazamiento en una direccion espacial dada, la componentedel momento lineal correspondiente a esa direccion se conserva.

71

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72 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Similarmente, si un sistema posee un eje de simetrıa rotacional, o simetrıa axial,entonces su Lagrangiano no depende explıcitamente de la coordenada que describe elangulo de rotacion alrededor de ese eje. Como consecuencia, la componente del momentoangular del sistema correspondiente a ese eje, se conserva.

Ejemplo.

1. Partıcula sobre un cono invertido.

Vimos en el Cap. 1 que el Lagrangiano de este sistema es

L(r,ϕ, r, ϕ, t) = 1

2m(r2 csc2 α + r2ϕ2) − mgr cot α. (2.5)

La coordenada ϕ, que representa el angulo de rotacion alrededor del eje z, es cıclica,

∂L

∂ϕ = 0 ⇒ pϕ =

∂L

∂ ϕ = mr2ϕ = cte. (2.6)

El momento conjugado pϕ asociado con la coordenada angular ϕ es constante. Paraidentificar la cantidad pϕ, consideremos el momento angular de la partıcula,

l = r × mv = m

i j k

x y zx y z

. (2.7)

La componente z de l es

lz = m(xy − yx). (2.8)

En terminos de las coordenadas generalizadas r y ϕ,

x = r cos ϕ, x = r cos ϕ − r ϕ sin ϕ,y = r sin ϕ, y = r sin ϕ + r ϕ cos ϕ.

(2.9)

Sustituyendo en la Ec. (2.8), podemos expresar

lz = mr2ϕ ≡ pϕ. (2.10)

La cantidad conservada pϕ es la componente z del momento angular de la partıcula.

2.2. Teorema de Noether

Vimos en el Cap. 1 que las ecuaciones de movimiento son invariantes si el Lagrangianode un sistema se transforma mediante la adicion de una derivada total de alguna funcionf (q j , t) dependiente solamente de las coordenadas y del tiempo.

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2.2. TEOREMA DE NOETHER 73

En efecto, sea

S =

t2t1

L dt (2.11)

la accion correspondiente a un Lagrangiano L. Consideremos la transformacion

L = L + df (q j , t)

dt . (2.12)

La accion asociada con L es

S =

t2t1

L dt =

t2t1

L dt +

t2t1

df

dt

dt

= S + [f (q j(t2), t2) − f (q j(t1), t1)] = S + cte. (2.13)

Entonces,

δS = δS . (2.14)

El principio de mınima accion implica δ S = δS = 0. Luego, las ecuaciones de Lagrangederivadas de este principio usando L o L, tienen la misma forma; es decir, son invariantesante la transformacion (2.12).

Una transformacion infinitesimal del Lagrangiano L → L = L + δL que no modificalas ecuaciones de movimiento representa una simetrıa del sistema (tambien llamadasimetrıa de la acci´ on ). Se dice que la accion es invariante bajo tal transformacion.

Teorema de Noether en Mecanica Clasica.

Si la accion de un sistema con Lagrangiano L(q j , q j , t) es invariante bajola transformacion infinitesimal de coordenadas q j = q j + δq j que cambia

el Lagrangiano a L = L + δL, tal que δ L = df (qj,t)

dt , para alguna funcionf (q j , t), entonces la cantidad

J =s

j=1

∂L

∂ q jδq j − f (2.15)

constituye una cantidad conservada asociada a esa transformacion. Lafuncion J se denomina corriente de Noether .

Demostracion:La transformacion q j = q j + δq j (donde t es fijo, δt = 0) produce lasiguiente variacion δL en el Lagrangiano L(q j , q j , t),

δL(q j , q j, t) =s

j=1

∂L

∂q jδq j +

sj=1

∂L

∂ q jδ q j . (2.16)

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74 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Usando las ecuaciones de Lagrange, tenemos

δL =s

j=1

d

dt

∂L

∂ q j

δq j +

sj=1

∂L

∂ q j

d

dt(δq j)

= d

dt

sj=1

∂L

∂ q jδq j

. (2.17)

Segun el teorema, la variacion δL se puede escribir δL = df (q j , t)

dt ; luego

d

dt s

j=1

∂L

∂ q jδq j =

df (q j , t)

dt ⇒ d

dt s

j=1

∂L

∂ q jδq j

−f = 0

⇒ J ≡ sj=1

∂L

∂ q jδq j − f

= cte. (2.18)

El Teorema de Noether establece que a cada simetrıa que posee un sistema, le co-rresponde una cantidad conservada. Las simetrıas y sus cantidades conservadas asociadaspermiten conocer propiedades de un sistema y hacer predicciones sobre el comportamien-to del mismo, sin necesidad de obtener soluciones exactas de las ecuaciones de movimientodel sistema (las cuales pueden ser dificiles de encontrar en muchos casos). Las ecuacionesde movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo para las q j ,

mientras que las cantidades conservadas J contienen derivadas de primer orden para lasq j , en principio posibles de resolver si existen suficientes simetrıas en el sistema.

Figura 2.1: Emily Noether (1882-1935).

El Teorema de Noether se extiende tambien a Mecanica Cuantica, Electromagnetismo,Teorıas de Campos, etc., y tiene una importancia fundamental en la Fısica.

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2.2. TEOREMA DE NOETHER 75

Ejemplos.

1. Supongamos que la coordenada q i es cıclica para un Lagrangiano L; es decir, ∂L∂qi =

0. Entonces, la transformacion de coordenadas q i = q i+δq i, con δq i = cte, y q j = q j ,δq j = 0, para i = j , no produce cambios en el Lagrangiano,

δL =j

∂L

∂q jδq j +

j

∂L

∂ q j

0δ q j =

0∂L

∂q iδq i = 0 (2.19)

Expresamos

δL = df

dt = 0

⇒ f = c = cte. (2.20)

La corriente de Noether conservada J es

J =j

∂L

∂ q jδq j − f = cte

⇒ ∂L

∂ q iδq i − c = cte,

⇒ ∂L

∂ q i≡ pi = cte. (2.21)

Luego, el momento conjugado pi asociado a la coordenada cıclica q i es constante.

2. Consideremos una partıcula en movimiento vertical en el campo gravitacional te-rrestre, con condiciones iniciales y(0) = yo y y(0) = vo. El Lagrangiano es

L = 1

2my2 − mgy. (2.22)

La transformacion de coordenadas y = y + δy con δy = cte, equivale a sumar unaconstante a la energıa potencial y deja invariante la ecuacion de movimiento. Elcambio en L es

δL = ∂L

∂y δy +

∂ L

∂ y

0δ y = −mg δy. (2.23)

Escribimos

δL = df

dt⇒ f = −mgtδy. (2.24)

Entonces, la cantidad conservada J es

J = ∂L

∂ y δy − f = cte

⇒ my δy + mgtδy = cte,

⇒ y + gt = cte. (2.25)

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76 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

De la cantidad conservada, obtenemos

y(t) = vo − gt, (2.26)

y(t) = yo + vot − 1

2gt, (2.27)

donde hemos usado las condiciones iniciales dadas.

2.3. Conservacion del momento lineal y homogenei-

dad del espacio

Como una aplicacion del Teorema de Noether, demostraremos la relacion entre laconservacion del momento lineal y la homogeneidad del espacio; es decir, la simetrıa detraslacion en un sistema.

Supongamos la transformacion infinitesimal r = r + δ r, donde δ r = (δx1, δx2, δx3)es constante. Esto es

xi = xi + δxi,xi = xi (δ xi = 0) .

(2.28)

Figura 2.2: Translacion espacial infinitesimal.

Esta transformacion corresponde a una translacion espacial infinitesimal en una di-

reccion arbitraria, i.e., representa la homogeneidad del espacio.Consideremos como ejemplo el Lagrangiano de una partıcula libre, de masa m, mo-viendose con velocidad v = (x, y, z),

L = 1

2mv2 =

1

2m

3i=1

x2i . (2.29)

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2.4. CONSERVACI ON DEL MOMENTO ANGULAR E ISOTROP IA DEL ESPACIO 77

La variacion del Lagrangiano de la partıcula libre ba jo esta transformacion resulta

δL =

3i=1

0∂L

∂xiδxi +

3i=1

∂L

∂ xi

0δ xi = 0. (2.30)

Esta variacion puede ponerse en la forma δL = df (qj,t)

dt si escogemos f igual a unaconstante c. La cantidad conservada J es

J =

3j=1

∂L

∂ xjδxj − f = cte

⇒3

j=1

mxjδxj − c = cte

⇒3

j=1

mxj δxj = cte. (2.31)

Puesto que los δxj son constantes arbitrarias, esta expresion es constante solo si ca-da termino en la suma; es decir, cada componente del momento lineal del sistema, esconstante,

mxj ≡ pj = cte , ∀ j. (2.32)

Luego, la homogeneidad del espacio implica la conservacion del momento lineal total.En un sistema donde existe simetrıa translacional en una direccion espacial especıfi-

ca, la componente del momento lineal del sistema en esa direccion se conserva. Si unacoordenada generalizada cartesiana no aparece explicitamente en L, la componente delmomento lineal asociada con esa coordenada es constante.

2.4. Conservacion del momento angular e isotropıa

del espacio

Isotropıa espacial significa que las propiedades mecanicas de un sistema no varıancuando este es rotado en el espacio. El Teorema de Noether permite demostrar la relacionentre la isotropıa del espacio y la conservacion del momento angular de un sistema.

Consideremos una partıcula en la posicion r = (x,y,z) con origen en O. Supongamosuna rotacion infinitesimal del vector r alrededor de un eje que pasa por O , manteniendosu magnitud fija. Sea δϕ la magnitud constante del angulo rotado y cuya direccion derotacion sobre el eje esta definida por la regla de la mano derecha.

El vector de posicion transformado por la rotacion infinitesimal esr = r + δ r, (2.33)

donde el vector δ r = (δx,δy,δz) tiene direccion perpendicular al plano (r, δ ϕ) y magnitudδr = r sin θ δϕ, y donde θ es el angulo entre δ ϕ y r. Luego, se puede expresar

δ r = δ ϕ × r , (2.34)

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78 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

y la rotacion infinitesimal del vector r corresponde a

r = r + δ ϕ × r. (2.35)

Figura 2.3: Rotacion infinitesimal δ ϕ = δϕz alrededor del eje z .

Si suponemos el eje z como el eje de rotacion, δ ϕ = δϕ z. Luego,

δ r = δ ϕ × r =

i j k

0 0 δϕx y z

(2.36)

de donde obtenemos,

δx = −y δϕδy = xδϕ,

(2.37)

y

δ x = −y δϕδ y = xδϕ,

(2.38)

con δz = δ z = 0. Estas transformaciones representan una rotacion infinitesimal del plano(x, y) alrededor del eje z en un angulo δϕ.

Como ejemplo, apliquemos esta transformacion infinitesimal a una partıcula libre demasa m que se mueve sobre el plano (x, y), cuyo Lagrangiano es

L = 1

2m x2 + y2

. (2.39)

La variacion de L bajo la transformacion infinitesimal de rotacion resulta en

δL =3i=1

0∂L

∂xiδxi +

3i=1

∂L

∂ xiδ xi = −mxy δϕ + myx δϕ = 0 (2.40)

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2.5. CONSERVACI ON DE LA ENERGIA Y HOMOGENEIDAD DEL TIEMPO 79

Luego, δ L = df (q j , t)dt implica que f = c=constante. La cantidad conservada J es

J =3

j=1

∂L

∂ xjδxj − f

= m(−yx + xy)δϕ − c = cte; (2.41)

es decir,m(xy − yx) ≡ lz = cte. (2.42)

En coordenadas polares, el Lagrangiano de una partıcula libre sobre el plano es L =12

m(r2 + r2ϕ2), y la coordenada ϕ es cıclica. Entonces,

∂L

∂ϕ = 0 ⇒ pϕ =

∂L

∂ ϕ = mr2

ϕ ≡ lz = cte. (2.43)

En general, si un sistema posee simetrıa rotacional alrededor de un eje (simetrıa axial),se conserva la componente del momento angular en la direccion de ese eje.

2.5. Conservacion de la energıa y homogeneidad del

tiempo

Homogeneidad del tiempo significa que las propiedades mecanicas de un sistema nodependen del intervalo de tiempo en el cual se observen. Esta simetrıa esta relacionadacon la conservacion de energıa.En un sistema homogeneo en el tiempo, el Lagrangiano L no depende explıcitamente de

t; es decir L = L(q j , q j). Luego ∂L∂t

= 0.

Calculemos el cambio total de L con respecto al tiempo en tal sistema:

dL

dt =

sj=1

∂L

∂q jq j +

∂L

∂ q jq j

+

0∂L

∂t . (2.44)

Sustituimos la ecuacion de Lagrange, ∂L

∂q j=

d

dt

∂L

∂ q j

,

dL

dt =

j

d

dt

∂L

∂ q j

q j +

∂L

∂ q jq j

=j

d

dt

∂L

∂ q jq j

= d

dt

j

∂L

∂ q jq j

. (2.45)

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80 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Luego,

d

dt

i

∂L

∂ q jq j − L

= 0

⇒j

∂L

∂ q jq j − L = cte. (2.46)

Definimos la funci´ on de energıa de un sistema como

E (q j , q j) ≡s

j=1

∂L

∂ q jq j − L . (2.47)

Luego, en sistemas homogeneos en el tiempo, la funcion de energıa del sistema se conserva.

E (q j , q j) = cte. (2.48)

La funcion de energıa se puede calcular para cualquier sistema, pero es constante solosi ∂L∂t = 0. Sistemas para los cuales E (q j , q j) es constante, se llaman sistemas conserva-

tivos . Veremos bajo que condiciones la funcion de energıa es igual a T + V .En el Cap. 6 veremos que la funcion de energıa, expresada en terminos de las coorde-

nadas q j y de sus momentos conjugados pj , recibe el nombre de Hamiltoniano del sistemay se designa como H (q j , pj) ≡ s

j=1 pj q j − L.

2.6. Teorema de Euler para la energıa cinetica

Una funcion f (y1, . . . , ys) es homogenea de grado (orden) n si,

∀λ

∈ , satisface:

f (λy1, . . . , λ ys) = λnf (y1, . . . , ys). (2.49)

Ejemplos.

1. f (x1, . . . , xs) = s

i=1 xmi ,

f (λx1,...,λxs) =

i λmxmi = λm

i xmi = λmf ( f es homogenea).

2. f (x1, . . . , xs) = s

i=1 xmi ,

f (λx1, . . . , λ xs) =

i λmxmi = λm

i xmi = λsmf (f es homogenea).

3. f (x1, . . . , xs) = si=1 sin xi,

f (λx1, . . . , xs) =

i sin(λxi) = λn

i sin xi = λnf (f no es homogenea).

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2.6. TEOREMA DE EULER PARA LA ENERGIA CIN ETICA 81

Teorema de Euler para funciones homogeneas.

Si f (y1, . . . , ys) es una funcion homogenea de grado n, entonces f satisface:

si=1

yi∂f

∂yi= nf . (2.50)

Tambien se puede escribir como

∇f · y = nf. (2.51)

Demostracion:Si f es homogenea, satisface la Ec. (2.49). Derivemos ambos lados de la

Ec. (2.49) con respecto a λ:En el lado izquierdo de la Ec. (2.49), sustituimos zi ≡ λyi,

f (λy1, λy2,...,λys) = f (z1, z2,...,zs) (2.52)

y derivamos,

d

dλf (λy1,...,λys) =

df

dλ(z1,...,zs)

=i

∂f

∂zi

∂zi∂λ

=i

∂f

∂ziyi

= i∂f

∂yi

∂yi∂z

i

yi = 1

λ i∂f

∂yi

yi. (2.53)

Derivamos el lado derecho de la Ec. (2.49),

d

dλ[λnf (y1,...,ys)] = nλn−1f + λn

i

∂f

∂yi

0∂yi∂λ

, (2.54)

puesto que yi y λ son independientes. Igualando ambos lados,

1

λ

i

∂f

∂yiyi = nλn−1f , (2.55)

lo cual es valido ∀λ. En particular, haciendo λ = 1, tenemos el Teoremade Euler para funciones homogeneas,

i

∂f

∂yiyi = nf . (2.56)

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82 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Aplicacion del Teorema de Euler a la energıa cinetica.

En general, la energıa cinetica de un sistema es una funcion cuadratica de las veloci-dades generalizadas

T (q 1, . . . , q s) =

sj,l=1

T jl q j q l, (2.57)

donde los coeficientes T jl pueden contener parametros (masa, longitud, etc.) y coorde-nadas del sistema. Por ejemplo, la energıa cinetica del pendulo doble con s = 2 (Cap. 1)contiene coeficientes T 12 no nulos. La funcion T es una funcion homogenea de segundoorden en las q j : T (λq 1, . . . , λq s) = λ2T (q 1, . . . , q s). Entonces T satisface el Teorema deEuler,

i q i∂T

∂ q i= 2T. (2.58)

Esto se puede aplicar a la funcion de energıa de un sistema. Supongamos que laenergıa potencial de un sistema depende tanto de las coordenadas como de las veloci-dades generalizadas: V (q j , q j). Entonces L = T (q j) − V (q j, q j), y la funcion de energıacorrespondiente es

E (q j , q j) =j

∂L

∂ q jq j − L =

j

∂T

∂ q jq j −

j

∂V

∂ q jq j − (T − V )

= 2T −j

∂V

∂ q jq j − T + V

= T + V − j∂V

∂ q jq j . (2.59)

Si la energıa potencial V es independiente de las velocidades, ∂V ∂ qj= 0; entonces la funcion

de energıa es igual a la energıa mecanica total, E (q j , q j) = T + V . Si V depende de q j ,la funcion de energıa contiene terminos adicionales a T + V .

2.7. Potenciales dependientes de la velocidad

Existen sistemas en los cuales la energıa potencial depende de las coordenadas y delas velocidades, V (q j , q j). Por ejemplo, la fuerza total (y por tanto el potencial) de unapartıcula cargada en un campo electromagnetico depende de la velocidad de la partıcula.En estos sistemas tambien se puede definir una funcion de energıa E (q j , q j).

Consideremos el Lagrangiano para una partıcula en un potencial dependiente de la

velocidad V = V (r, r), en coordenadas cartesianas,

L = T − V = T (r) − V (r, r), (2.60)

donde

T (r) = 1

2m(x2 + y2 + z2). (2.61)

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2.7. POTENCIALES DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD 83

La ecuacion de Lagrange para xi esd

dt

∂L

∂ xi

− ∂L

∂xi= 0. (2.62)

Sustitucion de L conduce a

d

dt

∂T

∂ xi− ∂V

∂ xi

+

∂V

∂xi= 0, (2.63)

d

dt

∂T

∂ xi

= − ∂V

∂xi+

d

dt

∂V

∂ xi

(2.64)

⇒ mxi = − ∂V

∂xi+

d

dt

∂V

∂ xi

≡ F i, (2.65)

donde F i es la componente i de la denominada fuerza generalizada sobre la partıcula.Las fuerzas generalizadas dependen de coordenadas y de velocidades.

Lagrangiano de una partıcula en un campo electromagnetico.

Un importante ejemplo de fuerza generalizada es aquella experimentada por unapartıcula en un campo electromagnetico.

Experimentalmente, se sabe que una partıcula de masa m y carga q , moviendose convelocidad v, en presencia de un campo electrico E(r, t) y un campo magnetico B(r, t)esta sujeta a una fuerza

F = q

E + v

c × B

, (2.66)

llamada fuerza de Lorentz , donde c es la velocidad constante de la luz. La contribuci on

del campo magnetico a esta fuerza depende de la velocidad, por lo que F constituye unafuerza generalizada.

Para encontrar el potencial V dependiente de la velocidad, asociado a la fuerza de Lo-rentz, y el correspondiente Lagrangiano de una partıcula en un campo electromagnetico,consideremos primero las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t):

∇ · E = 4πρ, (2.67)

∇ × E + 1

c

∂ B

∂t = 0, (2.68)

∇ · B = 0, (2.69)

∇ × B − 1

c

∂ E

∂t =

c J. (2.70)

La Ec. (2.69) implica B = ∇ ×

A, donde A(r, t) se denomina potencial vector . Sustitu-yendo B en la Ec. (2.68),

∇ × E + 1

c

∂t (∇ × A) = 0 (2.71)

∇ ×

E + 1

c

∂ A

∂t

= 0 . (2.72)

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84 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

El termino entre parentesis en la Ec. (2.72) debe ser proporcional al gradiente de unacantidad escalar; se escoge

E + 1

c

∂ A

∂ t = −∇φ (2.73)

⇒ E = −∇φ − 1

c

∂ A

∂t . (2.74)

La cantidad φ(r, t) se denomina potencial escalar . Luego, la fuerza de Lorentz, Ec. (2.66),se puede expresar en terminos de los potenciales φ(r, t) y A(r, t) como

F = q

−∇φ − 1

c

∂ A

∂t +

v

c × (∇ × A)

. (2.75)

Para encontrar la energıa potencial V (r, r) de la cual se deriva esta fuerza generali-zada, consideremos el termino v × (∇ × A). Usamos la identidad vectorial

∇(A · v) = A × 0

(∇ × v) + v × (∇ × A) + 0

(A · ∇)v + (v · ∇)A, (2.76)

donde se anulan terminos porque el operador ∇ contiene derivadas espaciales y, aplicadoa v, da cero pues v es independiente de las coordenadas r. Luego,

v × (∇ × A) = ∇(A · v) − (v · ∇)A, (2.77)

donde

(v · ∇)A =3i=1

xi∂ A

∂xi. (2.78)

Sustituyendo en Ec. (2.75),

F = q

−∇φ +

1

c∇(A · v) − 1

c(v · ∇)A − 1

c

∂ A

∂t

. (2.79)

UsandodA

dt =

3i=1

∂ A

∂xixi +

∂ A

∂t = (v · ∇)A +

∂ A

∂t , (2.80)

obtenemos,

F = q

−∇

φ − 1

cA · v

− 1

c

dA

dt

(2.81)

cuya componente F i es

F i = q − ∂ ∂xi

φ − 1c

A · v− 1c

dAidt

. (2.82)

Comparando con la expresion general de la fuerza generalizada Ec. (2.65):

F i = − ∂V

∂xi+

d

dt

∂V

∂ xi

, (2.83)

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2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAOTICOS. 85

vemos que la energıa potencial satisface

∂V

∂xi= q

∂xi

φ − 1

cA · v

,

∂V

∂ xi= −q

cAi , (2.84)

de donde se deduce

V = q

φ − 1

cA · v

. (2.85)

El Lagrangiano de una partıcula en un campo electromagnetico es entonces

L = T − V = 1

2mv2 − qφ +

q

cA · v, (2.86)

y la funcion de energıa correspondiente

E =j

∂L

∂ xjxj − L, (2.87)

da como resultado,

E = 1

2mv2 + qφ. (2.88)

Luego, para una partıcula en un campo electromagnetico, E = T + V , debido a que V depende de la velocidad de la partıcula. Sin embargo, E se conserva puesto que ∂L∂t = 0.

Note que la funcion de energıa E no depende del potencial vector A y, por tanto,tampoco depende del campo magnetico B. El campo magnetico no realiza traba jo, puestoque la fuerza magnetica siempre es perpendicular a la velocidad.

2.8. Sistemas integrables y sistemas caoticos.

Las cantidades conservadas constituyen primeras integrales del movimiento de unsistema; son funciones de las coordenadas y de sus velocidades (i. e. primera derivadastemporales). Denotamos por I k(q j , q j) = C k, donde C k = constante, y k = 1, . . . , n, elconjunto de cantidades conservadas en un sistema. En general, estas cantidades se puedenemplear para reducir el numero de ecuaciones de Lagrange a integrar en el sistema.

Un sistema con s grados de libertad es integrable si posee, al menos, s cantidadesconservadas; es decir, si n = s.

Las s cantidades conservadas de un sistema integrable constituyen un conjunto de secuaciones para las s velocidades generalizadas, las cuales se pueden reducir, en principio,a una ecuacion diferencial de primer orden con respecto al tiempo para una coordenada

generalizada. Esta, a su vez, en principio puede ser integrada. A partir de la integracionde esa coordenada, las soluciones para todas las coordenadas q j(t) pueden ser expresa-das en terminos de integrales explıcitas que generalmente contienen raıces cuadradas defunciones, denominadas cuadraturas . Si embargo, aunque las coordenadas en sistemas in-tegrables pueden determinarse completamente en funcion de integrales, el calculo exactode ellas, en muchos casos, puede resultar difıcil.

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86 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Si un sistema con s grados de libertad tiene menos de s cantidades conservadas(n < s), se denomina no integrable . Un sistema para el cual existen mas cantidadesconservadas que grados de libertad (n > s), se llama superintegrable . Existen pocossistemas superintegrables conocidos; el ejemplo mas simple es una partıcula libre; otroejemplo es el problema de dos cuerpos sujetos a interacci on gravitacional (Cap. 3).

Ejemplos.

Consideremos algunos sistemas estudiados en el Cap. 1:

1. Oscilador armonico simple: s = 1; C 1 = E = cte, n = 1; es integrable.

2. Pendulo simple: s = 1; C 1 = E = cte, n = 1; es integrable.

3. Partıcula sobre un cono: s = 2, C 1 = lz = cte, C 2 = E = cte, n = 2; es integrable.

4. Pendulo doble: s = 2; C 1 = E = cte, n = 1; no es integrable.

5. Pendulo cuyo soporte gira en un cırculo con velocidad angular constante: s = 1,n = 0; no es integrable.

6. Pendulo de resorte: s = 2; C 1 = E = cte, n = 1; no es integrable.

7. Partıcula libre es superintegrable: s = 1; n = 2: C 1 = E = cte, C 2 = p = cte.

La integrabilidad es un tipo de simetrıa presente en varios sistemas dinamicos, yque conduce a soluciones con comportamiento regular (periodico o estacionario) en eltiempo. Sin embargo, la existencia de integrabilidad no es lo mas comun; muchos sistemasdinamicos no son integrables. Un sistema no integrable puede exhibir comportamiento

ca´ otico para algun rango de valores de sus parametros.El fenomeno de caos consiste en la evolucion irregular e impredecible de las variables

de un sistema dinamico determinista debido a la presencia de una extrema sensibilidadante cambios infinitesimales en las condiciones iniciales de esas variables. La no integra-

bilidad es una condici´ on necesaria, pero no suficiente, para la existencia de caos en un

sistema .Los sistemas con comportamiento caotico se caracterizan porque las ecuaciones que

rigen su dinamica poseen funciones no lineales de las variables (una funci on f (x) es no

lineal si f (x + y) = f (x) + f (y)).El pendulo doble constituye un ejemplo de un sistema no lineal y no integrable que

exhibe comportamiento caotico. En el Cap. 1 obtuvimos las ecuaciones de Lagrange paralos angulos θ1 y θ2 que describen los grados de libertad de este sistema,

θ1 = g(sin θ2 cos ∆θ − M sin θ1) − (l2 θ22 + l1 θ21 cos ∆θ)sin∆θl1(M − cos2 ∆θ)

(2.89)

θ2 = gM (sin θ1 cos ∆θ − sin θ2) − (Ml1

θ21 + l2

θ22 cos ∆θ)sin∆θ

l2(M − cos2 ∆θ) , (2.90)

donde ∆θ ≡ θ1 − θ2, y M ≡ 1 + m1/m2.

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2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAOTICOS. 87

Figura 2.4: Izquierda: Coordenadas y parametros del pendulo doble. Derecha: Movimientocaotico de la partıcula m2 en el espacio.

En el pendulo doble, dos trayectorias de una misma variable (por ejemplo, θ2) queparten de condiciones iniciales arbitrariamente cercanas, no se mantienen cercanas en eltiempo, sino que pueden evolucionar de maneras irregulares y muy diferentes (Fig. (2.5)),a pesar de que las Ecs. (2.89)-(2.90) que rigen la dinamica son deterministas.

Figura 2.5: Realizacion experimental de caos en un pendulo doble. Arriba: θ1 vs. t. Abajo: θ2

vs. t. En cada grafica, partiendo del reposo, se muestra la evoluci on del angulo a partir de doscondiciones iniciales muy cercanas, ∆θ1(0) = ∆θ2(0) = 10−3.

Un sistema caotico posee una extrema sensibilidad ante cambios infinitesimales enlas condiciones iniciales: un pequeno error en las condiciones iniciales de una variableresulta amplificado por la dinamica del sistema, hasta que alcanza un tamano comparableal intervalo de definicion de la variable. Esto conlleva a limitaciones practicas en lacapacidad de prediccion del comportamiento de sistemas caoticos.

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88 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Las ecuaciones de movimiento del pendulo doble, Ecs. (2.89)-(2.90), contienen fun-ciones no lineales de θ1 y θ2. Si consideramos el lımite de pequenas amplitudes de lasoscilaciones, θ1 → 0 y θ2 → 0, estas ecuaciones pueden linealizarse usando las aproxima-ciones sin x ≈ x y cos x ≈ 1, para x → 0, quedando en la forma

θ1 ≈ g(θ2 − Mθ1)

l1(M − 1) , (2.91)

θ2 ≈ gM (θ1 − θ2)

l2(M − 1) . (2.92)

En este caso no se observa caos; el movimiento del sistema consiste en la superposici onde dos modos de oscilacion periodica con sus correspondientes frecuencias (Cap. 4): unmodo en fase (θ1 = θ2) y otro modo en fases opuestas (θ1 = −θ2).

El lımite de pequenas amplitudes equivale a valores pequenos de la energıa del sistema.Luego, el comportamiento del pendulo doble puede ser regular para ciertas condiciones,a pesar de que el sistema es no integrable. Esto ilustra el hecho de que la condicion de nointegrabilidad es necesaria, pero no suficiente, para la existencia de caos en un sistema.

Otro ejemplo de un sistema no lineal, no integrable y caotico, es el pendulo de resorte,cuyas ecuaciones de movimiento tambien fueron calculadas en el Cap. 1,

rθ + 2rθ + g sin θ = 0, (2.93)

r − rθ2 + k

m(r − l) − g cos θ = 0. (2.94)

Este sistema exhibe comportamiento caotico para ciertos valores de su energıa.

Figura 2.6: Movimiento en el plano (x, y) de la partıcula en el pendulo de resorte, para diferentesvalores de su energıa E . Izquierda: comportamiento regular (periodico). Derecha: caos.

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2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 89

Note que no se requieren muchas variables (hay solamente dos grados de libertad enel pendulo doble o en el pendulo de resorte) para la ocurrencia de caos en un sistema.Se ha descubierto que el caos es un fen omeno abundante en la Naturaleza. Sistemas

no lineales fısicos, quımicos, biologicos, fisiologicos, economicos, sociales, etc. presentancomportamiento caotico; el cual se manifiesta con propiedades universales, independien-temente del contexto.

2.9. Movimiento unidimensional.

El caso mas simple de integrabilidad es un sistema con un solo grado de libertad, elcual se denomina sistema unidimensional . El Lagrangiano de un sistema unidimensionalcon coordenada q tiene la forma general

L = T (q 2) − V ef (q ) = 12

aq 2 − V ef (q ) , (2.95)

donde el factor a representa algunos parametros, como masa, etc., y V ef (q ) correspondea un potencial efectivo que contiene terminos dependientes de la coordenada q .

Puesto que ∂L∂t = 0, la energıa es una cantidad conservada,

E = ∂L

∂ q q − L

= 1

2aq 2 + V ef (q ) = cte. (2.96)

Hay un grado de libertad y una cantidad conservada; el sistema es integrable. De lacantidad conservada E , se puede determinar t(q ) en terminos de una integral explıcita,

q = dq dt

= 2a

(E − V ef (q )) (2.97)

t(q ) =

a

2

dq E − V ef (q )

+ cte. (2.98)

Luego, en principio, se puede invertir t(q ) para obtener q (t). Para que la solucion q (t)sea real, el movimiento puede ocurrir solamente para valores de q tales que E ≥ V ef (q ).

Un sistema integrable con varios grados de libertad puede reducirse, en principio, aun sistema unidimensional con una energıa de la forma Ec. (2.96).

La condicion de integrabilidad de sistemas unidimensionales permite calcular el perıodode movimientos oscilatorios en esos sistemas. Consideremos un sistema descrito por lacoordenada cartesiana q = x y cuya energıa potencial es V ef = V (x). Entonces, a ≡ m.El Lagrangiano del sistema es L = T

−V = 1

2 mx2

−V (x) y la ecuacion de movimiento

correspondiente esmx = −dV

dx . (2.99)

La energıa total es

E = 1

2mx2 + V (x) = cte. (2.100)

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90 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Puesto que 1

2 mx2

= E − V (x) ≥ 0, el movimiento solo puede ocurrir para valores dex tal que E ≥ V (x). En la Fig. (2.7), esto corresponde a las regiones x ∈ [x1, x2]; x ≥ x3.

Figura 2.7: Energıa potencial de un sistema unidimensional con energıa constante E . Movi-miento puede ocurrir en los intervalos marcados en gris sobre el eje x. El punto xo es un puntode equilibrio estable; mientras que x

o es un punto de equilibrio inestable.

Los puntos de retorno (o estacionarios ) son aquellos donde la velocidad instantaneaes cero, es decir, x = 0. La Ec. (2.98) implica que los puntos de retorno corresponden alos valores de x tales que V (x) = E . En la Fig. (2.7), x1, x2 y x3 son puntos de retorno,dados por: V (x1) = E , V (x2) = E , V (x3) = E .

Los puntos de equilibrio x = xo son aquellos donde la fuerza instantanea se anula,

f (xo) = dV

dx

xo

= 0, (2.101)

o equivalentemente, donde la aceleracion es cero, x = 0. Note que un punto de equilibriono es necesariamente un punto estacionario, y viceversa.

Un punto est´ atico satisface ambas condiciones: x = 0, x = 0.Un punto de equilibrio xo es estable si xo+δx, donde δx es una pequena perturbacion,

tiende en el tiempo al valor xo. Un punto de equilibrio estable corresponde a un mıminodel potencial V (x).

Si d2V

dx2

xo

> 0, xo es un punto de equilibrio estable. (2.102)

Si d2V

dx2

xo

< 0, xo es un punto de equilibrio inestable. (2.103)

Si el rango del movimiento posible esta entre dos puntos de retorno, x ∈ [x1, x2], el

movimiento es finito y oscilatorio. Entonces, debe existir un punto de equilibrio establex = xo en el intervalo [x1, x2]; es decir, existe un mınimo de V (x) en ese intervalo.El perıodo de oscilacion entre los puntos de retorno es dos veces el intervalo de tiempo

del movimiento entre esos puntos,

T (E ) = 2

m

2

x2x1

dx E − V (x)

. (2.104)

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2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 91

Ejemplos.

1. Partıcula de masa m moviendose sobre un cono vertical con angulo de vertice α.

El Lagrangiano de este sistema fue calculado en el Cap. 1,

L = T − V = 1

2m(r2 csc2 α + r2ϕ2) − mgr cot α . (2.105)

Este sistema es integrable; posee dos grados grados de libertad, r y ϕ, y dos canti-dades conservadas, C 1 = lz y C 2 = E , asociadas con la simetrıa axial alrededor deleje z , ∂L∂ϕ = 0, y con la homogeneidad del tiempo, ∂L∂t = 0, respectivamente.

Las cantidades conservadas son la componente z del momento angularlz = mr2ϕ = C 1, (2.106)

y la energıa total del sistema

E = T + V = 1

2m(r2 csc2 α + r2ϕ2) + mgr cot α = C 2. (2.107)

Sustituyendo ϕ = lzmr2

en la ecuacion para E , podemos expresar

E = 1

2mr2 csc2 α +

1

2

l2z

mr2 + mgr cot α

= 1

2mr2 csc2 α + V

ef (r). (2.108)

La Ec. (2.108) tiene la forma de la energıa de un sistema unidimensional, Ec. (2.96),donde identificamos a = m csc2 α, y

V ef (r) = 1

2

l2z

mr2 + mgr cot α . (2.109)

Luego, de la Ec. (2.108) podemos obtener

t(r) =

m

2 csc α

dr E − V ef (r)

+ cte. (2.110)

Podemos obtener r(t) mediante inversion de la funcion t(r) y, sustituyendo r(t) en

la Ec. (2.106), podemos calcular ϕ(t). Las soluciones para las coordenadas r(t) yϕ(t) se expresan en terminos de las cantidades conservadas lz y E .

2. Perıodo de un oscilador armonico con una E dada.

La energıa potencial es

V (x) = 1

2kx2. (2.111)

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92 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Figura 2.8: Energıa potencial de un oscilador armonico con energıa total E .

La energıa total es

E = T + V = 1

2mx2 +

1

2kx2 = cte. (2.112)

Los puntos de retorno satisfacen la condicion E = V (x); esto es,

E = 1

2kx2

⇒ x1,2 = ±

2E

k . (2.113)

El perıodo se calcula como

T (E ) = √ 2m √

2Ek

−√ 2Ek

dx E − 1

2 kx2 = 2 2m

E √

2Ek

0

dx 1 − k

2E x2 . (2.114)

Usamos el cambio de variables,

x =

2E

k sin θ, dx =

2E

k cos θ dθ (2.115)

tal que x = 0 → θ = 0; x =

2E

k → θ =

π

2 . (2.116)

Sustituyendo en la integral, obtenemos

T (E ) = 2 2m

E 2E

k π2

0

cos θ dθ

1 − sin2

θ

(2.117)

= 4

m

k · π

2 =

ω , (2.118)

donde ω 2 ≡ k/m. El perıodo de un oscilador armonico simple es independiente dela energıa y, por tanto, de la amplitud de la oscilacion.

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2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 93

3. Perıodo de un pendulo simple con amplitud θ0.

Figura 2.9: Pendulo simple con amplitud θ0.

La energıa potencial es V (θ) = −mgl cos θ, y la energıa total es

E = T + V = 1

2ml2 θ2 − mgl cos θ. (2.119)

Despejamos θ,

θ = dθ

dt =

2

ml2

E + mgl cos θ. (2.120)

Luego, la integral para el tiempo da

t = l

m

2

dθ√ E + mgl cos θ

. (2.121)

Los puntos de retorno estan dados por

E = V (θ0) = −mgl cos θ0 ⇒ θ1,2 = ±θ0. (2.122)

Calculamos el perıodo como 4 veces el intervalo de tiempo entre θ = 0 y θ = θ0,

T (E ) = 4l

m

2

θ00

dθ√ E + mgl cos θ

(2.123)

T (θ0) = 2√

2

l

g

θ00

dθ√ cos θ − cos θ0

. (2.124)

Usando

cos θ = cos(2θ/2) = cos2(θ/2) − sin2(θ/2) = 1 − 2sin2(θ/2) , (2.125)

se puede expresar

T (θ0) = 2 l

g

θ00

dθ sin2(θ0/2) − sin2(θ/2)

= 2

l

g

1

sin(θ0/2)

θ00

dθ 1 − sin2(θ/2)

sin2(θ0/2)

. (2.126)

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94 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

Hacemos el siguiente cambio de variables:

sin y = sin(θ/2)

sin(θ0/2) ⇒ cos y dy =

cos(θ/2)

2sin(θ0/2) dθ. (2.127)

Entonces,

cos(θ/2) =

1 − sin2(θ/2)

=

1 − sin2(θ0/2)sin2 y . (2.128)

dθ = 2 s in(θ0/2) cos y

cos(θ/2) dy

=

2sin(θ0/2) cos y 1 − sin2(θ0/2)sin2 y dy. (2.129)

Hacemos el cambio de lımites: θ = 0 → y = 0; θ = θ0 → y = π

2.

Luego, la integral en la Ec. (2.126) queda

T (θ0) = 4

l

g

π/2

0

dy 1 − sin2(θ0/2)sin2 y

. (2.130)

La integral definida (2.130) es una integral elıptica de la primera clase . Se puedeobtener una aproximacion de esta integral para θ0 1 (θ0 pequeno). Entonces,sin(θ0/2)

≈θ0/2, y la Ec. (2.130) se convierte en

T (θ0) ≈ 4

l

g

π/2

0

dy 1 − θ 2

0

4 sin2 y

. (2.131)

Usamos la siguiente expansion de Taylor para x 1,

(1 ± x)n ≈ 1 ± nx + . . . (2.132)

⇒ (1 − x)−1/2 ≈ 1 + 1

2x + . . . (2.133)

y obtenemos

T (θ0) ≈ 4 l2 π/2

0

1 + θ 2

08 sin2 y dy . (2.134)

La integral del segundo termino en la Ec. (2.134) se calcula como

π/2

0

sin2 y dy =

y

2 − sin(2y)

4

π/2

0

= π

4. (2.135)

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2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 95

Luego, hasta segundo orden en θ0,

T (θ0) ≈ 4

l

g

π

2 +

π

32θ2

0 + . . .

≈ 2π

l

g

1 +

θ20

16

. (2.136)

El perıodo de un pendulo simple depende, en segundo orden, de la amplitud θ0 ypor tanto de la energıa total E .

Galileo encontro experimentalmente que el perıodo de un pendulo es independientede la amplitud, que es el resultado correcto hasta primer orden en la amplitud.

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96 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

2.10. Problemas1. Dos partıculas con masas m1 y m2 estan unidas por un resorte de constante k y

longitud en reposo l, de manera que pueden deslizarse sin friccion sobre una mesa.Asuma que el resorte no se dobla.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Encuentre e identifique las cantidades conservadas.c) Calcule el perıodo de una oscilacion a lo largo del resorte.

2. Una partıcula de masa m y carga q esta sujeta a un potencial electromagnetico dadopor φ = 0 y A = 1

2B × r, donde B es un campo magnetico uniforme y constante.

a) Verifique que B = ∇ × A.b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partıcula en coordenadas cilındricas.c) Encuentre las cantidades conservadas.

3. Considere un sistema con el siguiente Lagrangiano:

L = 1

2a(x2 sin2 y + y2) +

1

2b(x cos y + z)2,

donde a y b son constantes.a) Derive las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Calcule e identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema?.c) Calcule la energıa del sistema.d) Suponga que y(t) = yo = cte. es una solucion. ¿Cuales son x(t) y z(t) en este caso?.

4. Una partıcula de masa m se mueve con velocidad v sujeta al potencial

V (r, v) = U (r) + n · l ,

donde r es el radio vector medido desde el origen del sistema de referencia, l es elmomento angular con respecto a ese origen, n es un vector fijo en el espacio y U (r)es una funcion escalar.a) Encuentre la fuerza ejercida sobre la partıcula.b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partıcula en coordenadas cartesianas.c) ¿Existe alguna cantidad constante?.

5. Una partıcula de masa m y energıa total E se mueve en la direccion x con energıapotencial V (x) = k|x|n (k, n constantes), tal que el perıodo del movimento es T .a) Encuentre los puntos de retorno de la partıcula.b) Calcule el perıodo resultante si la energıa total se duplica.c) Demuestre que el perıodo no cambia si el potencial corresponde al de un osciladorarmonico simple.

6. Una partıcula de masa m puede moverse sin friccion sobre la superficie z = k(x2 +y2),donde z es la direccion vertical y k = cte.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partıcula.b) ¿Es integrable este sistema?.

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2.10. PROBLEMAS 97

7. Un aro de masa m y radio a puede girar libremente en un plano horizontal alrededor deun eje perpendicular que pasa por su centro. A lo largo del aro se encuentra enrolladoun resorte de constante k, con un extremo fijo y el otro extremo conectado a unapartıcula de masa m, la cual desliza sin friccion sobre el aro.a) Resuelva las ecuaciones de movimiento resultantes para este sistema.b) Demuestre que existen dos cantidades conservadas en el sistema.

8. Un pendulo de masa m y longitud l esta construido de modo que oscila en un planoperpendicular a un disco de masa M y radio R que puede rotar libremente sin friccionalrededor del eje vertical que pasa por su centro. Desprecie la masa de los soportesdel pendulo.a) Obtenga las ecuaciones de movimiento para este sistema.b) Identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema?.c) Determine las condiciones iniciales del pendulo para que el disco rote con velocidadangular constante.

9. Dos masas, m1 y m2, estan conectadas por una cuerda a traves de un agujero en unamesa sin friccion, de manera que m1 se mueve sobre la superficie de la mesa y m2

cuelga de la cuerda, moviendose verticalmente.a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.b) Identifique las cantidades conservadas.c) Encuentre la posicion de equilibrio del sistema.d) Si m1 se encuentra inicialmente en reposo a una distancia a del agujero, determinela velocidad de m2 cuando m1 alcanza el agujero.

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98 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

10. Una partıcula de masa m se mueve en la direccion x con energıa potencial V (x) = k|x|(k = constante), tal que en un instante dado su velocidad en el origen es vo.a) Obtenga la ecuacion de movimiento de la partıcula.b) Calcule la frecuencia del movimiento.

11. Una partıcula de masa m esta unida a un resorte de constante k y longitud en reposoLo, de modo que puede moverse sin friccion sobre un plano horizontal. A la partıculase le proporciona una velocidad vo perpendicular al resorte cuando este esta en reposo.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partıcula.b) Calcule la velocidad de la partıcula cuando la longitud del resorte es 2Lo.

12. Una varilla de masa despreciable y longitud l tiene un extremo en una pared verticaly el otro en el suelo. En el punto medio de la varilla hay una partıcula fija de masam. Ignore la friccion.

a) Encuentre la ecuacion dinamica del sistema.b) Si la varilla se suelta del reposo, formando un angulo α con el suelo, calcule lavelocidad de la masa cuando esta choca contra el suelo.

13. Una partıcula de masa m se mueve en el potencial unidimensional

V (x) = − V 0

cosh2 αx.

a) Muestre que el movimiento de la partıcula es finito si su energıa E < 0, y es infinitosi E ≥ 0.b) Encuentre los puntos de retorno y el mınimo posible valor de E .c) Para el movimiento finito, encuentre el perıodo en funcion de E .

14. Encuentre q (t) para una partıcula con masa m y energıa E > k 2 = cte, que se mueveen el potencial

V (q ) = k2

sin2 q .

15. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar como

L = m

2

ax2 + 2bxy + cy2

− k

2

ax2 + 2bxy + cy2

,

donde a, b, y c son constantes, pero sujetas a la condicion b2 − ac = 0. Encuentre lasecuaciones de movimiento para este sistema.

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2.10. PROBLEMAS 99

16. Determine la trayectoria de una partıcula de masa m y carga q , moviendose convelocidad v en el campo electromagnetico E = E oz, B = Boz, donde E o y Bo sonconstantes.

17. Una partıcula con carga q y masa m se mueve en el campo electromagnetico E =(xE o, 0, 0), B = (0, 0, Bo), en coordenadas cartesianas, donde E o y Bo son constantes.a) Encuentre el Lagrangiano de este sistema.b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partıcula.c) Encuentre los puntos estaticos de la partıcula en el espacio.

18. Una partıcula que se mueve sobre una superficie esferica suave de radio R gira hori-zontalmente en la direccion ecuatorial con frecuencia ω. Encuentre la distancia z quepuede descender la partıcula, si ω 2R g, i.e., z R.

19. Considere una maquina de Atwood tal que una de las masas se mueve verticalmentemientras la otra puede oscilar libremente sobre un plano vertical en el campo gravita-

cional terrestre. La longitud de la cuerda que une las dos masas a traves de la poleaes fija.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.b) Encuentre la energıa total del sistema.c) ¿Es integrable este sistema?.

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100 CAP ITULO 2. LEYES DE CONSERVACI ON Y SIMETR IAS

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Capıtulo 3

Fuerzas centrales

3.1. Problema de dos cuerpos.

Consideremos dos partıculas con masas m1 y m2 ubicadas en posiciones r1 y r2,respectivamente, con respecto a un origen O en un sistema de referencia inercial. Supon-gamos que las partıculas interaccionan mediante un potencial que depende solamente desus posiciones relativas, V (r1, r2) = V (r2 − r1). Este sistema se conoce como el problema

de dos cuerpos .

Figura 3.1: Posiciones de las dos partıculas y de su centro de masa.

El sistema posee 6 grados de libertad, correspondientes a las 3 coordenadas espacialesdel vector de posicion r1 de la partıcula 1 y a las 3 coordenadas del vector de posicion r2

de la partıcula 2. Definimos el vector de posici´ on relativa de la partıcula 2 con respecto

a la partıcula 1, comor = r2 − r1. (3.1)

Se define el vector de posici´ on del centro de masa (CM) del sistema como

R = m1r1 + m2r2

m1 + m2. (3.2)

101

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102 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Denotamos las posiciones relativas de las partıculas al centro de masa como

r1 = r1 − R, (3.3)

r2 = r2 − R, (3.4)

las cuales se pueden expresar en funcion del vector r,

r1 = r1(m1 + m2) − m1r1 − m2r2

(m1 + m2) =

m2(r1 − r2)

(m1 + m2) = − m2

(m1 + m2)r (3.5)

r2 = r2(m1 + m2) − m1r1 − m2r2

(m1 + m2) =

m1(r2 − r1)

(m1 + m2) =

m1

(m1 + m2)r. (3.6)

Figura 3.2: Posiciones relativas al centro de masa (CM).

La energıa cinetica total del sistema es la suma de la energıa cinetica del centro demasa mas la energıa cinetica relativa al centro de masa,

T = T cm + T rel, (3.7)

dondeT cm =

1

2M T R

2 = 1

2(m1 + m2) R2 , (3.8)

y

T rel = 1

2m1r21 +

1

2m2r22

= 1

2

m1m22

(m1 + m2)2 r2 +

1

2

m21m2

(m1 + m2)2 r2

= 1

2

(m1m22 + m2

1m2)

(m1 + m2)2 r2

= 1

2

m1m2

(m1 + m2)r2

= 12

µr2, (3.9)

donde hemos definimos la masa reducida ,

µ ≡ m1m2

(m1 + m2) . (3.10)

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3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 103

El Lagrangiano del sistema se puede expresar como

L(r, R, r, R) = T − V (r2 − r1) = 1

2(m1 + m2) R2 +

1

2µr2 − V (r) . (3.11)

Los 6 grados de libertad del sistema se describen mediante las componentes de los vectoresr y R. Las componentes cartesianas de R son coordenadas cıclicas, lo que implica que

M T R = cte, (3.12)

donde M T = m1 + m2; es decir, el momento lineal total del sistema se conserva. Igual-mente, debido a que no hay fuerzas externas sobre el sistema, puede verse que

Fexterna total = 0

⇒ PT = M T R = cte. (3.13)

El centro de masa se mantiene en reposo o se mueve con velocidad constante, R = vcm =cte. La conservacion del momento lineal total esta asociada a la homogeneidad espacial,o simetrıa traslacional, del problema de dos cuerpos. Luego, existen 3 cantidades conser-vadas correspondientes a las componentes del momento lineal total o, equivalentemente,a las tres componentes de la velocidad del centro de masa.

El termino T cm correspondiente a la energıa cinetica del centro de masa es, por lotanto, constante y se puede omitir en el Lagrangiano, Ec. (3.11), quedando

L = 1

2µr2 − V (r) , (3.14)

lo cual es equivalente al Lagrangiano de una partıcula de masa µ moviendose con ve-

locidad r

en el potencial V (r

). El problema de dos cuerpos se reduce a encontrar lasecuaciones de movimiento de una partıcula de masa µ en la posicion relativa r(t) conrespecto a un origen O ubicado en una de las dos partıculas (Fig. 3.3). Note que estesistema de referencia centrado en una de las partıculas es un sistema no inercial, pues suorigen O esta acelerado.

Figura 3.3: Equivalencia del problema de dos cuerpos.

El problema puede simplificarse aun mas si se consideran potenciales centrales ; esdecir, si V (r) es funcion de la magnitud |r| = r solamente. En ese caso, el potencial esV (r) y la fuerza sobre cualquiera de las partıculas, en coordenadas esfericas, es

F = −∇V (r) = −∂V

∂r r = f (r)r. (3.15)

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104 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Una fuerza con la forma F = f (r)r se denomina fuerza central . Una propiedad im-portante de esta tipo de fuerzas es que no ejercen torque neto sobre las partıculas,

τ = r × f (r)r = 0 (3.16)

⇒ l = r × p = cte. (3.17)

El vector momento angular total l se conserva si la fuerza de interaccion entre las dospartıculas es central. Luego, tanto la direccion como la magnitud de l son constantes, loque proporciona una cuarta y una quinta cantidad conservada, respectivamente.

Figura 3.4: Coordenadas polares sobre el plano del movimiento perpendicular a l.

Como l es perpendicular al plano (r, p), la constancia de la direccion de l implicaque el movimiento siempre ocurre sobre ese plano. Luego, el movimiento de la partıculade masa equivalente µ esta confinado al plano (r, p) y, por lo tanto, se puede describir

mediante dos coordenadas. Si escogemos la direccion de l en la direccion z, el plano delmovimento es (x, y). La simetrıa radial sugiere escoger coordenadas polares (r, θ) comocoordenadas generalizadas sobre el plano del movimiento. Entonces,

x = r cos θ ; x = r cos θ − rθ sin θ (3.18)

y = r sin θ ; y = r sin θ + rθ cos θ. (3.19)

Luego, r2 =

x2 + y2

=

r2 + r2 θ2

, y el Lagrangiano Ec. (3.14) para un potencial

central resulta en

L = 1

r2 + r2 θ2

− V (r). (3.20)

El Lagrangiano en la Ec. (3.20) posee simetrıas que simplifican la obtencion de lasecuaciones de movimiento para las coordenadas r y θ .

La coordenada θ es cıclica, pues ∂L

∂θ = 0. Entonces, la ecuacion de Lagrange para θda

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0 (3.21)

⇒ ∂L

∂ θ= µr2 θ = cte. (3.22)

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3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 105

La cantidad conservada es el momento conjugado a la coordenada angular θ y correspondea la magnitud del momento angular de la partıcula de masa µ,

l = µr2 θ = cte. (3.23)

Por otro lado, L en la Ec. (3.20) es independiente del tiempo y el potencial es inde-pendiente de las velocidades, por lo que la energıa mecanica total se conserva,

∂L

∂t = 0 ⇒ E = T + V = cte. (3.24)

La energıa E provee una sexta cantidad conservada,

E =

1

2 µr

2

+ r

2 ˙θ

2 + V (r)

= 1

2µr2 +

1

2

l2

µr2 + V (r) = cte. (3.25)

Entonces, en el problema de dos cuerpos existen seis grados de libertad y al menos seiscantidades conservadas; por lo tanto, se trata de un sistema integrable.

Figura 3.5: Coordenadas del movimiento de la masa reducida.

En resumen, las seis cantidades conservadas I k(r1, r2, r1, r2) = C k (k = 1, . . . , 6)que permiten integrar las seis coordenadas en el problema de dos cuerpos sujetos a unpotencial central V (r) son

Las tres componentes del vector velocidad del centro de masa R. Se expresan comoI 1 = xcm = cte, I 2 = ycm = cte, I 3 = ycm = cte. Esto reduce el problema almovimiento del vector de posicion relativa r (tres coordenadas).

La direccion del momento angular l. Esto reduce el movimiento a un plano (doscoordenadas). Se puede expresar como I 4 = z = 0.

La magnitud del momento angular. Se expresa como I 5 = µr2 θ = l.

La energıa total. Corresponde a I 6 = 12

µr2 + 12l2

µr2 + V (r) = E . Esto, junto conla constancia de l, permite reducir el problema de dos cuerpos a un problemaunidimensional equivalente.

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106 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Las cantidades conservadas, E y l, permiten la integracion de las coordenadas r y θ .La Ec. (3.25) corresponde a un problema de movimiento unidimensional en la coordenadar, el cual es integrable (Sec. 2.9). A partir de la Ec. (3.25) obtenemos

r = dr

dt =

2

µ

E − V (r) − l2

2µr2

. (3.26)

Usando como condicion inicial en t = 0 los valores de coordenadas r = r0, θ = θ0,podemos obtener t(r),

t(r) =

µ

2

rr0

dr

E

−V (r)

− l2

2µr2

, (3.27)

y, mediante inversion, podemos obtener r(t) en funcion de tres constantes de integracion:r0, E , l. Del mismo modo, la Ec. (3.23) permite la integracion de θ ,

θ = dθ

dt =

l

µr2 (3.28)

⇒ dθ = l

µr2 dt (3.29)

⇒ dθ

dr =

l

µr2

dt

dr . (3.30)

Sustituyendo la Ec. (3.26) en la Ec. (3.30), obtenemos

dr =

l

µr2

µ

2

1 E − V (r) − l2

2µr2

. (3.31)

Usando las condiciones iniciales en t = 0, r = r0, θ = θ0, podemos expresar

θ = l√

rr0

dr

r2

E − V (r) − l2

2µr2

+ θ0, (3.32)

lo cual da θ(r). Sustitucion de r(t), da θ(r(t)) = θ(t), por lo que las coordenadas r y

θ pueden determinarse en funcion del tiempo. En total hay cuatro constantes de inte-gracion, E , l , r0, θ0, para las coordenadas r y θ. Las cuatro constantes aparecen porquetenemos una ecuacion de Lagrange para r y otra para θ , ambas de segundo orden, y lascuales requieren dos constantes de integracion cada una.

Cabe observar que las constantes E y l aparecen tambien el problema de un potencialcentral en Mecanica Cuantica.

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3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 107

Note que la integracion explıcita de θ en la Ec. (3.32) (y la de t en la Ec. (3.27)) enterminos de funciones elementales depende de la forma funcional del potencial V (r).

El cambio de variable

u = 1

r ⇒ du = − 1

r2dr , (3.33)

generalmente resulta util al considerar integrales de potenciales centrales en el problemade dos cuerpos. Mediante este cambio, la Ec. (3.32) se convierte en

θ = θ0 − 1

u

1u0

du 2µE

l2 − 2µV (u)

l2 − u2

. (3.34)

Las formas funcionales fısicamente mas relevantes de potenciales centrales son V (r) =krn+1, donde k = cte. Las fuerzas correspondientes son de la forma

f (r) = −∂V

∂r ∝ rn . (3.35)

Por ejemplo, el exponente n = −1 corresponde a V = cte y f (r) = 0, es decir a unapartıcula libre. El valor n = −2 describe la fuerza gravitacional, mientras que n = 1corresponde a un oscilador armonico esferico.

Sustitucion de V (u) = ku−(n+1) en la Ec. (3.34) da la integral

θ = θ0 − 1u

1

u0

du

2µE

l2 − 2µk

l2 u−(n+1) − u2

, (3.36)

la cual es integrable en terminos de funciones elementales para ciertos valores de n.Si el integrando en la Ec. (3.36) tiene la forma R(u,

√ au2 + bu + c),

du

R(u,√

au2 + bu + c), (3.37)

la integral se puede expresar en terminos de funciones circulares sin−1 u, cos−1 u. Paraque esto ocurra, el exponente de u−(n+1) en el integrando de la Ec. (3.36) debe tener,cuando mucho, un valor igual a 2; es decir, puede tomar los valores −(n + 1) = 0, 1, 2.Luego, los posibles valores de n para potenciales integrables en terminos de funciones

circulares son n = −1, −2, −3. (3.38)

Estos valores incluyen los casos n = −1 para el potencial V = cte, y n = −2 correspon-diente al potencial gravitacional

V (r) = −k

r . (3.39)

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108 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

El caso n = 1, correspondiente al potencial de un oscilador armonico esferico V (r) = kr2

,tambien se puede integrar en la Ec. (3.36). Haciendo el cambio de variable

x = u2 ⇒ du = dx

2√

x , (3.40)

la integral en la Ec. (3.36) resulta en dx

2

2µE

l2 x − 2µk

l2 − x2

, (3.41)

la cual tiene un integrando de la forma Ec. (3.37) y, por tanto, es integrable en terminos

de funciones circulares.

3.2. Potencial efectivo.

Hemos encontrado que el Lagrangiano del problema de dos cuerpos que interactuanmediante el potencial central V (r) se reduce a

L = 1

r2 + r2 θ2

− V (r). (3.42)

Vimos que la ecuacion de Lagrange para la coordenada θ da

l = µr2 θ = cte. (3.43)

Por otro lado, la ecuacion de Lagrange para la coordenada r es

d

dt

∂L

∂ r

− ∂ L

∂r = 0 , (3.44)

Sustitucion en de las derivadas correspondientes en la ecuaci on de Lagrange para rresulta en

µr = −∂V

∂r + µrθ2 . (3.45)

Sustituyendo θ = l

µr2, la ecuacion Ec. (3.45) se convierte en una ecuacion de movi-

miento para r,

µr = −∂V ∂r

+ l2

µr3 . (3.46)

La fuerza radial f (r) debida al potencial central V (r) es

f (r) = −∂V

∂r . (3.47)

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3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 109

Luego, tenemosµr = f (r) +

l2

µr3, (3.48)

lo cual se puede expresar comoµr = f ef (r), (3.49)

donde

f ef (r) ≡ f (r) + l2

µr3 (3.50)

se denomina fuerza efectiva radial . Esta fuerza efectiva surge de las contribuciones de lafuerza central f (r) = −∂V

∂r y de la fuerza centrıfuga

F c ≡

l2

µr3

= µrθ2 . (3.51)

Esta fuerza centrıfuga es una fuerza repulsiva ficticia que aparece en el sistema de refe-rencia no inercial que estamos usando para describir el movimiento, cuyo origen ubicadoen una de las partıculas, se encuentra acelerado.

Las fuerzas centrıfugas son tıpicas de movimientos en campos centrales con momentoangular l = 0. Por ejemplo, en el movimiento circular uniforme de una partıcula de masam que gira con velocidad angular constante θ = ω, velocidad tangencial v = ωr , y poseemomento angular l = rmv = mr2ω, aparece una fuerza centrıfuga cuando se describe elmovimiento desde la perspectiva de la partıcula, dada por

F c = mv2

r = mrω 2 =

l2

mr3. (3.52)

Figura 3.6: Movimiento circular uniforme.

A partir de la fuerza efectiva Ec. (3.50), se puede definir una energıa potencial efectiva ,

V ef (r) ≡ V (r) + l2

2µr2 , (3.53)

tal que

f ef (r) ≡ −∂V ef

∂r , (3.54)

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110 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

La energıa total Ec. (3.25) puede entonces expresarse como

E = 1

2µr2 +

l2

2µr2 + V (r)

= 1

2µr2 + V ef (r) = cte , (3.55)

lo que resulta equivalente a la energıa total de una partıcula de masa µ, moviendose enla dimension r con energıa potencial V ef (r).

El movimiento radial puede analizarse a partir de la Ec. (3.55). La condici on r2 ≥ 0implica que este movimento ocurre para valores de r tales que E ≥ V ef (r). Los puntosde retorno del movimiento radial estan dados por la condicion r = 0 en la Ec. (3.55); esdecir,

E = V ef (r) = l2

2µr2 + V (r) (3.56)

⇒ Er2 − V (r)r2 − l2

2µ = 0 , (3.57)

la cual constituye una ecuacion algebraica de grado al menos cuadratico en r; luegopueden existir al menos dos raıces reales, r = rmin, r = rmax. Si existe un rango devalores r ∈ [rmin, rmax] para el cual E ≥ V ef (r), entonces el movimiento esta confinado aesa region anular en el plano (r, θ).

Figura 3.7: Movimiento radial y angular.

Note que,

si rmax <

∞ ⇒movimiento es finito, oscilatorio en r , (3.58)

si rmax → ∞ ⇒ movimiento sin retorno, (3.59)

si rmin = rmax ⇒ movimiento es circular. (3.60)

Por otro lado, notamos que

θ = l

µr2 ≥ 0 , (3.61)

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3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 111

lo cual significa que la velocidad angular θ nunca cambia de signo; el angulo θ siemprese incrementa en el tiempo y, como consecuencia, el movimiento siempre ocurre en unamisma direccion sobre el plano del movimiento (r, θ). En cambio, la distancia radial r(t)puede aumentar o disminuir en el tiempo.

Ejemplos.

1. Dibujar esquematicamente el potencial efectivo resultante del potencial V = −kr y

analizar los tipos de movimiento posibles para diferentes valores de la energıa.

La fuerza correspondiente a este potencial es

f (r) = −∂V

∂r = −k

r2 . (3.62)

El potencial efectivo es

V ef = V (r) + l2

2µr2 = −k

r +

l2

2µr2. (3.63)

Figura 3.8: Potencial efectivo para V (r) = − k

r.

El valor mınimo del potencial efectivo ocurre para un radio r = r0 dado por

∂V ef

∂r

r=r0

= 0. (3.64)

Posibles movimientos para diferentes valores de la energıa E :

a ) E = E 1 > 0 ⇒ rmin > 0 y rmax → ∞; orbita abierta.

b) E = E 2 = 0 ⇒ rmin > 0 y rmax → ∞; orbita abierta.

c ) E = E 3 < 0 ⇒ r ∈ [rmin, rmax]; movimiento radial oscilatorio.

d ) E = E 4 = V ef (min) < 0 ⇒; rmin = rmax = r0; orbita circular con r = r0.

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112 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

2. Potencial efectivo para el potencial V = 1

2 kr2

, correspondiente a un osciladorarmonico tridimensional.

La magnitud de la fuerza radial es

f (r) = −∂V

∂r = −kr. (3.65)

El potencial efectivo es

V ef (r) = 1

2kr2 +

l2

2µr2. (3.66)

Figura 3.9: Potencial efectivo para V (r) = 1

2kr2. El movimiento radial ocurre en la regi on

r ∈ [rmin, rmax]

.

La condicion E ≥ V ef (r) implica que existen puntos de retorno rmin, rmax = 0; esdecir, el movimiento radial es oscilatorio y la orbita es elıptica.

Las componentes de la fuerza radial f = −krr son

f x = −kx , f y = −ky . (3.67)

El movimiento radial es el resultado de dos oscilaciones simples, perpendicularesentre sı, con igual frecuencia ω 2

x = ω2y = k/µ.

3. Caracterizar los movimientos posibles en el potencial efectivo correspondiente alpotencial V = − k

r3 .

La fuerza radial es

f (r) = −3k

r4 , (3.68)

y el potencial efectivo es

V ef (r) = − kr3

+ l2

2µr2 . (3.69)

El potencial efectivo exhibe un maximo V ef (max) que representa una barrera depotencial si E < V ef (max).

Los posibles movimientos son

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3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 113

a ) E = E 1 > V ef (max); movimiento existe ∀ r.b) E = E 2 < V ef (max); hay dos puntos de retorno r1 y r2 que satisfacen E = V ef .

El movimiento ocurre para r ∈ [0, r1] y para r ≥ r2. En Mecanica Clasica, elmovimiento es imposible para r ∈ [r1, r2].

c ) E < 0; movimiento ocurre para r ∈ [0, r1].

Figura 3.10: Potencial efectivo para V = − k

r3. Movimiento radial para E = E 2 > 0 ocurre en

las regiones r ≤ r1 y r ≥ r2.

4. ¿Cual es la condicion para que una partıcula caiga al centro de atraccion de unpotencial central; es decir, para que rmin = 0?.

Consideremos la Ec. (3.25),

E = 1

2µr2 +

l2

2µr2 + V (r) , (3.70)

la cual implica que1

2µr2 = E − V (r) − l2

2µr2 > 0 , (3.71)

es decir,

Er2 − V (r)r2 − l2

2µ > 0 . (3.72)

Tomando el lımite r → 0, obtenemos la condicion

lımr→0

[V (r)r2] < − l2

2µ . (3.73)

Consideremos un potencial atractivo de la forma V (r) = −k/rn. La condicionEc. (3.73) con l

= 0 implica n > 2. El potencial V (r) =

−k/r3 del ejemplo anterior

(n = 3) permite caer al centro, rmin = 0. Por otro lado, el potencial gravitacionalV (r) = −k/r (n = 1) no permite alcanzar rmin = 0.

El caso n = 2, correspondiente a V (r) = −k/r2 , requiere k > l2

2µ para caer alcentro de atraccion.

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114 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

3.3. Ecuacion diferencial de la orbita.En la Sec. 3.1 vimos que, dado V (r) y cuatro constantes (E , l , r0, θ0), se pueden

determinar t(r) (y por tanto r(t)) y θ(r), mediante integracion y que, en particular,existen formas de potenciales V (r) integrables explıcitamente en terminos de funcionescirculares.

Consideremos ahora el problema inverso; es decir, dada una orbita r(θ) determinarel potencial V (r) (y la fuerza f (r)) que produce esta orbita. Esto es posible mediante laobtencion de la ecuaci´ on diferencial de la ´ orbita .

Consideremos la ecuacion de movimiento Ec (3.48) para r(t),

µr − l2

µr3 = f (r) = −∂V

∂r . (3.74)

La Ec. (3.74) se puede transformar en una ecuacion diferencial para r(θ). Las derivadastemporales de r(t) se pueden expresar

r = dr

dt =

dr

dt =

l

µr2

dr

dθ , (3.75)

donde hemos usado θ = l

µr2.

En general, para una funcion g(θ),

dg

dt =

dg

dt =

l

µr2

dg

dθ (3.76)

⇒ d

dt =

l

µr2

d

dθ . (3.77)

Luego,

r = d

dt

dr

dt

=

d

dt

l

µr2

dr

= l

µr2

d

l

µr2

dr

. (3.78)

Sustitucion en la Ec. (3.74) da

l

r2

d

l

µr2

dr

− l2

µr3 = −∂V

∂r . (3.79)

Usando el cambio de variables,

u = 1

r, (3.80)

du

dθ = − 1

r2

dr

dθ = −u2 dr

dθ , (3.81)

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3.3. ECUACI ON DIFERENCIAL DE LA ORBITA. 115

y expresando el lado derecho de la Ec. (3.79) en terminos de u,∂V

∂r =

∂V

∂u

∂u

∂r = − 1

r2

∂V

∂u = −u2 ∂ V

∂u , (3.82)

la Ec. (3.79) se puede escribir como

l2

µu2 d

du

+

l 2

µu3 = −u2 ∂ V

∂u ; (3.83)

es decir,

l2

µ

d2u

dθ2 + u

= −∂V

∂u . (3.84)

La Ec. (3.84) constituye la ecuaci´ on diferencial de la ´ orbita para r(θ) = 1/u(θ) en

terminos del potencial V (r) = V (1/u).Esta ecuacion de la orbita se puede usar para encontrar el potencial (o la fuerza)

central que da lugar a una orbita dada, o para determinar la orbita resultante de unpotencial (o fuerza) dado.

Ejemplo.

1. Encontrar el potencial V (r) que produce la orbita espiral

r(θ) = roe−aθ, ro, a constantes. (3.85)

Tenemos

u =

1

r =

1

ro eaθ

. (3.86)Luego,

d2u

dθ2 =

a2

roeaθ = a2u. (3.87)

Sustituyendo en la Ec. (3.84) para la orbita, se obtiene

l2

µ(a2 + 1)u = −∂V

∂u . (3.88)

Entonces,

V (u) = − l2

2µ(a2 + 1)u2

⇒ V (r) = −k

r2 , k =

l2

2µ (a2

+ 1) = cte. (3.89)

Note que k > l 2/2µ, por lo que, segun la condicion Ec. (3.73), una partıcula sujetaa este potencial cae al centro de atraccion, r = 0, describiendo la orbita espiraldada.

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116 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

3.4. Problema de Kepler.El problema de Kepler se refiere al calculo de la orbita de una partıcula en un campo

central correspondiente a la fuerza (y al potencial) gravitacional

f (r) = − k

r2 (3.90)

⇒ V (r) = −k

r . (3.91)

donde k = Gm1m2, y G = 6,674 × 10−11N (m/Kg)2 es la constante universal gravitacio-nal. La forma de la fuerza gravitacional fue descubierta por Isaac Newton y la constanteG fue determinada experimentalmente por Henry Cavendish (1731-1810).

Figura 3.11: Monumento a Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630) en Praga.

La orbita r(θ) correspondiente a este potencial puede ser determinada a partir de laecuacion diferencial de la orbita, Ec. (3.84),

l2

µ

d2u

dθ2 + u

= −∂V

∂u . (3.92)

El potencial gravitacional puede expresarse como V = −ku. Sustituyendo, obtenemos

d2u

dθ2 + u = k

µ

l2 , (3.93)

que es una ecuacion diferencial ordinaria inhomogenea de segundo orden. Su solucion es

u(θ) = uh + u p , (3.94)

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3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 117

donde u p es una solucion particular y uh es la solucion de la ecuacion homogeneauh + uh = 0. (3.95)

La solucion de la ecuacion homogenea se puede expresar como

uh = A cos(θ − θ0) , A, θ0 ctes, (3.96)

mientras que una solucion particular de la Ec. (3.93) es

u p = k µ

l2 . (3.97)

Luego, la solucion general de la Ec. (3.93) es

u(θ) = kµ

l2

+ A cos(θ

−θ0) (3.98)

⇒ 1

r =

l2 [1 + e cos(θ − θ0)] , (3.99)

que corresponde la ecuacion de una seccion conica en coordenas polares, cuya formageneral esta dada por

q

r = 1 + e cos θ, (3.100)

con θ0 = 0, donde q y e son constantes. La constante e se denomina excentricidad y laconstante q es el latus de la conica.

La orbita tambien puede obtenerse por integracion explıcita mediante la Ec. (3.34),

θ = θ0 −

du

2µE

l2 − 2µV (u)

l2 −u2

, (3.101)

la cual, con V (u) = −ku queda

θ = θ0 −

du 2µE

l2 +

2µk

l2 u − u2

. (3.102)

La integral es del tipo du√ au2 + bu + c

= 1√ −a

cos−1

− (b + 2au)√

b2 − 4ac

, (3.103)

donde

a =

−1, b =

2µk

l2

, c = 2µE

l2

. (3.104)

b2 − 4ac = 4µ2k2

l4 + 4

2µE

l2 =

2µk

l2

2 1 +

2E 2

µk2

(3.105)

b + 2au = 2µk

l2 − 2u =

2µk

l2

1 − l2

µku

. (3.106)

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118 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Luego,

θ = θ0 − cos−1

l2

µku − 1

1 + 2El2

µk2

(3.107)

1 +

2El2

µk2 cos(θ0 − θ) =

l2

µku − 1. (3.108)

Escogiendo la condicion inicial θ0 = 0 para t = 0 y despejando u = 1/r,

1r

= µkl2

1 +

1 + 2El2

µk2 cos θ

(3.109)

obtenemos que la orbita r(θ) tiene la forma general de la ecuacion de una seccion conicaen coordenadas polares cuyo origen se encuentra en uno de los focos, Ec. (3.100).

Comparando con la Ec. (3.100), identificamos la excentricidad de la orbita,

e =

1 +

2El2

µk2 , (3.110)

y el latus de la conica,

q =

l2

µk . (3.111)

El latus corresponde al valor q = r(π2 ).

Figura 3.12: Latus q y perihelio rmin de la orbita en el problema de Kepler.

La distancia mınima al foco ubicado en rmin se denomina perihelio (si se trata deorbita alrededor del Sol) o perigeo (si es una orbita alrededor de la Tierra), y correspondeal angulo θ = 0,

r(0) = q

1 + e = rmin. (3.112)

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3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 119

Sustituyendo q y e, obtenemos

rmin =

l2

µk

1 +

1 +

2El2

µk2

. (3.113)

El movimiento de la masa reducida µ en el potencial V = −k/r sigue la trayectoriade una conica dada por la Ec. (3.109). El tipo de conica (circunferencia, elipse, parabola,hiperbola) que describe la partıcula de masa µ en el potencial V (r) = −k/r depende delvalor de la excentricidad e y, por tanto, de la energıa total E , segun la Ec. (6.153).

La orbita de cada una de las partıculas m1 y m2, separadas por una distancia r, esuna seccion conica con un foco en el centro de masa del sistema.

El movimiento radial en el problema de Kepler ocurre en el potencial efectivo [Fig. (3.13)]

V ef (r) = −k

r +

l2

2µr2, (3.114)

Figura 3.13: Potencial efectivo para el problema de Kepler.

Las orbitas posibles descritas por la Ec. (3.109) y compatibles con este potencialefectivo son

1. E = −µk2

2l2 ⇒ e = 0, circunferencia de radio ro = q =

l2

µk.

2. E < 0 ⇒ e < 1, elipse (movimiento radial finito, r ∈ [rmin, rmax] ).

3. E = 0

⇒e = 1, parabola (movimiento infinito, rmax

→ ∞).

4. E > 0 ⇒ e > 1, hiperbola (movimiento infinito, rmax → ∞).

Analicemos estas orbitas con mas detalle.

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120 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

1. Orbita circular.La ecuacion de la conica Ec. (3.100) con e = 0 describe una partıcula con energıa

E = −µk2

2l2 , (3.115)

moviendose en una orbita circular de radio

ro = q = l2

µk =

k

2|E | . (3.116)

El radio ro corresponde al valor mınimo de la V ef ,

∂V ef

∂r ro = 0 . (3.117)

La energıa de la orbita circular es igual al mınimo de la V ef ,

E = V ef (ro) = − k

ro+

l2

2µr2o

. (3.118)

La velocidad angular del movimiento circular con radio ro es

θ = l

µr2o

=

k

µr3o

. (3.119)

2. ´Orbita elıptica.La ecuacion de la conica Ec. (3.100)

q

r = 1 + e cos θ , (3.120)

para e < 1 (E < 0) corresponde a una elipse en coordenadas polares con centro en unode los focos.

Figura 3.14: Parametros de la orbita elıptica.

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3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 121

Los puntos de retorno del movimiento radial con E < 0 estan dados por

θ = 0 ⇒ r = rmin = q

1 + e , (3.121)

θ = π ⇒ r = rmax = q

1 − e . (3.122)

Sustitucion de q y e da

rmin = − k

2E

1 −

1 +

2El2

µk2

, (3.123)

rmax = − k

2E

1 +

1 +

2El2

µk2

. (3.124)

Estos valores de rmin y rmax tambien corresponden a las raıces de la ecuacion E = V ef ,

E = V ef = −k

r +

l2

2µr2 ⇒ Er2 + kr − l2

2µ = 0 . (3.125)

La distancia rmin se llama perihelio y la cantidad rmax se denomina afelio, para orbitaselıpticas alrededor del Sol (para orbitas alrededor de la Tierra estas cantidades se llamanperigeo y apogeo, respectivamente). Se puede escribir

rmin = k

2 |E | (1 − e) , (3.126)

rmax = k

2 |E |(1 + e) . (3.127)

El semieje mayor de la elipse a satisface la relacion (Fig. (3.14))

rmin + rmax = 2a (3.128)

luego,

a = k

2 |E | , o a = q

1 − e2 . (3.129)

Se puede expresar tambien

rmin = a (1 − e) , (3.130)

rmax = a (1 + e) . (3.131)

La distancia entre el centro geometrico de la elipse y cualquier foco es

a − rmin = ae. (3.132)

La ecuacion de la elipse, Ec. (3.120), tambien puede expresarse en coordenadas car-tesianas (x, y) con origen O en el foco.

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122 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Figura 3.15: Coordenadas cartesianas (x, y) con origen O en el centro geometrico de la elipse.

En coordenadas cartesianas (x, y) con origen O en el centro geometrico de la elipse,la ecuacion Ec. (3.120) corresponde a

x2

a2 +

y 2

b2 = 1 , (3.133)

donde a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.Mediante la transformacion

x = x + ae, y = y , (3.134)

la ecuacion de la elipse Ec. (3.100) puede escribirse en coordenas cartesianas con centroen el foco de atraccion,

(x + ae)2

a2 +

y 2

b2 = 1 . (3.135)

El semieje menor b puede obtenerse evaluando el punto (x = 0, y = q ) en la Ec. (3.135),

b =

q

√ 1 − e2 = a 1 − e2 . (3.136)

3. Orbita parabolica.La ecuacion de la conica Ec. (3.100) con e = 1 describe una parabola

q

r = 1 + cos θ . (3.137)

La energıa correspondiente de la partıcula es E = 0. La distancia rmin corresponde a

θ = 0 ⇒ rmin = q

2 =

l2

2µk , (3.138)

mientras queθ = π ⇒ rmax → ∞ . (3.139)

La condicion E = 0 en la Ec. (3.25) implica que la velocidad radial r de la partıculaen rmax = ∞ es cero.

Geometricamente, una parabola es el conjunto de puntos P tales que d1 = d2, donded1 es la distancia al foco de atraccion f y d2 es la distancia perpendicular a la rectadenominada directriz, Fig.(3.16). El punto correspondiente a (θ = π/2, r = q ) indica quela distancia perpendicular entre el eje y y la recta directriz es igual a q .

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3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 123

Figura 3.16: Orbita parabolica. Un punto P de la parabola satisface d1 = d2.

4. Orbita hiperbolica.Corresponde a la Ec. (3.100) de una c onica con e > 1, (E > 0). La orbita es abierta,rmax = ∞, y el perihelio corresponde a

θ = 0 ⇒ rmin = q

1 + e . (3.140)

Orbitas hiperbolicas aparecen en problemas de dispersion en campos de fuerzas centralesy seran estudiadas en la Sec. 3.7.

En resumen, la Fig. (3.17) muestra el diagrama de las cuatro orbitas posibles en elproblema de Kepler.

Figura 3.17: Tipos de orbitas en el potencial de Kepler V (r) = −k/r, correspondientes a unmismo valor de rmin = ro = l2/µk.

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124 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal.La Primera Ley de Kepler establece que una partıcula (planeta) sujeta al potencial

V (r) = −k/r, con E < 0, describe una orbita elıptica.Por otro lado, vimos en la Sec. 3.1 que un potencial central V (r) implica la conser-

vacion del momento angularl = µr2 θ = cte. (3.141)

El hecho de que la magnitud l sea constante puede interpretarse geometricamente.

Figura 3.18: Area barrida por el radio vector r(t) en un intervalo de tiempo dt.

El diferencial de area barrida por el radio vector r en un tiempo infinitesimal dt es

dA = 1

2(rdθ)r =

1

2r2dθ .

El area barrida por unidad de tiempo esdA

dt =

1

2r2 dθ

dt =

1

2r2 θ. (3.142)

Usando Ec. (3.141),

dA

dt =

1

2r2

l

µr2

⇒ dA

dt =

l

2µ = cte. (3.143)

La Ec. (3.143) constituye la Segunda Ley de Kepler : la velocidad areal es constantebajo fuerzas centrales, i.e., el radio vector barre areas iguales en tiempos iguales.

En orbitas elıpticas, la Segunda Ley de Kepler implica que la velocidad angular au-menta cerca del centro (foco) de atraccion y disminuye lejos de este.

Si la orbita es finita, r ∈ [rmin, rmax], el area A encerrada por la orbita es finita yresulta barrida por el radio r en un tiempo igual al perıodo del movimiento T p,

A = l

T p0

dt = l

2µT p . (3.144)

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3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 125

Figura 3.19: Segunda Ley de Kepler para fuerzas centrales.

En particular, si la orbita es una elipse, A = πab, donde a es el semieje mayor, y b es elsemieje menor. Vimos que b = a

√ 1 − e2 y q = a(1 − e2); luego

A = πa2

1 − e2 = πa3/2q 1/2

= πa3/2

l2

µk , (3.145)

donde hemos usado,

q = l2

µk . (3.146)

Igualando Ec.(3.144) con Ec.(3.145), y despejando T p tenemos

T p = 2π

µa3

k , (3.147)

lo que constituye la Tercera Ley de Kepler en su forma exacta.En el sistema solar, supongamos que M es la masa del Sol y m es la masa del planeta

que describe una orbita elıptica. Entonces, podemos asumir m/M 1. La masa reducidacorrespondiente al sistema Sol-planeta es

µ = Mm

M + m =

Mm

M

1 +

m

M

−1

≈ m. (3.148)

Recordemos que k = GM m; luego

µk ≈ 1

GM (3.149)

y la Ec.(3.147) puede escribirse en forma approximada como

T 2 p ≈ 4π2a3

GM ; (3.150)

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126 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

es decir,T 2 p ∝ a3 , (3.151)

donde la constante de proporcionalidad es la misma para todos los planetas del sistemasolar. Esta es la forma de la Tercera Ley descubierta originalmente por Kepler.

En resumen, tenemos las tres Leyes de Kepler :

1. Primera Ley: los planetas describen orbitas elıpticas alrededor del Sol, el cual seencuentra en uno de los focos de la elipse. (Consecuencia de la forma V (r) = −k

r ).

2. Segunda Ley: el area barrida por unidad tiempo por el radio vector que va desdeel Sol al planeta es constante: A = cte. (Consecuencia de potencial central V (r)y, por tanto, de l = cte).

3. Tercera Ley: el cuadrado del perıodo del movimiento es proporcional al cubo delsemieje mayor de la orbita, para todos los planetas: T 2 p ∝ a3. (Consecuencia de

l = cte y de la forma V (r) = −kr ).

La Tercera Ley de Kepler se ha empleado en el descubrimiento de nuevos planetasfuera del sistema solar, denominados exoplanetas . El perıodo orbital se puede determinara partir de la observacion del perıodo del corrimiento Doppler en el espectro de algunasestrellas de masa conocida.

Figura 3.20: Diagrama de masa versus distancia de exoplanetas y planetas del sistema solar,identificados por sus iniciales. (Physics Today, p. 46, mayo 2009).

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3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 127

Ecuacion de Kepler.

La dependencia temporal de la coordenada radial r(t) en una orbita elıptica puedeobtenerse por integracion de la Ec. (3.27) para el potencial V = −k/r,

t =

µ

2

dr E − l2

2µr2 +

k

r

, (3.152)

donde

E = − k

2a < 0 . (3.153)

Expresemos l en terminos de los parametros de la elipse a y e,

e2 = 1 + 2El2

µk2 = 1 − l2

aµk (3.154)

⇒ l2 = (1 − e2)aµk. (3.155)

Sustituyendo en la integral Ec. (3.152), tenemos

t =

µ

2

dr

− k

2a − (1 − e2)ak

2r2 +

k

r

=

µ

2

r dr

k

2a −r2 − (1 − e2)a2 + 2ra

= µa

k

rdr e2a2 − (r − a)2

. (3.156)

Haciendo el cambio de variables

r = a(1 − e cos ψ) , (3.157)

dr = ae sin ψ d ψ , (3.158)

la integral Ec. (3.156) queda

t =

µa

k

a(1 − e cos ψ) ae sin ψ dψ

ea

1 − cos2 ψ

= µa3

k (1 − e cos ψ) dψ

=

µa3

k (ψ − e sin ψ) + cte. (3.159)

Escogemos la condicion inicial r(0) = rmin = a(1 − e) en t = 0; lo que implica ψ = 0para t = 0; luego la cte = 0 en la Ec. (3.159).

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128 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Usando la Tercera Ley de Kepler,

T p = 2π

µa3

k , (3.160)

definimos la frecuencia angular del movimiento

ω ≡ 2π

T p=

k

µa3 . (3.161)

Luego, la dependencia temporal del radio en una orbita elıptica en el problema de Keplerpuede expresarse mediante las relaciones parametricas

ωt = ψ − e sin ψ, (3.162)r = a(1 − e cos ψ), (3.163)

que se conocen como ecuaciones de Kepler . Estas ecuaciones permiten encontrar la dis-tancia radial r(t) en funcion del tiempo, a traves del parametro ψ , dados los parametrosgeometricos de la elipse a y e. Consecuentemente, puede encontrarse el angulo θ(t) me-diante la ecuacion

q

r(t) = 1 + e cos θ(t) . (3.164)

El parametro ψ en la ecuacion de Kepler se denomina anomalıa excentrica de la elipsey puede interpretarse geometricamente. Consideremos la Fig. (3.21).

Figura 3.21: Definicion de la anomalıa excentrica ψ .

donde,

P es un punto sobre la elipse con semiejes a y b, y excentricidad e.Q es un punto sobre la circunferencia de radio a que circunscribe la elipse.ψ es el angulo denominado anomalıa excentrica.θ se denomina anomalıa verdadera.a es el semieje mayor.b es el semieje menor.

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3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 129

rmin = a(1 − e) es el perihelio.rmax = a(1 + e) es el afelio.q = a(1 − e2) es el latus.

El punto P (x, y) satisface la ecuacion de la elipse en coordenadas cartesianas, Ec. (3.135),

(x + ae)2

a2 +

y 2

b2 = 1 . (3.165)

De la Fig. (3.21) tenemos,

cos ψ = x + ae

a , (3.166)

y sustituyendo en la ecuacion de la elipse en coordenadas cartesianas, podemos obtener

yb

= sin ψ . (3.167)

En terminos de a y e,

x = a(cos ψ − e), (3.168)

y = b sin ψ = a

1 − e2 sin ψ, (3.169)

(usando b = a√

1 − e2). La coordenada radial r del punto P puede expresarse

r2 = x2 + y2 = a2(cos ψ − e)2 + a2(1 − e2)sin2 ψ = a2(1 − e cos ψ)2 , (3.170)

luego,

r = a(1 − e cos ψ) , (3.171)que es el cambio de variable usado en la Ec. (3.157) para la integracion de t. La Ec. (3.171)corresponde a la ecuacion de la orbita elıptica en terminos de la anomalıa excentrica.

La relacion entre los angulos θ y φ puede determinarse comparando la Ec. (3.171)con la ecuacion de la elipse en coordenadas polares,

q

r = 1 + e cos θ . (3.172)

Empleando la relacion q = a(1 − e2), obtenemos

1 − e cos ψ = (1 − e2)

1 + e cos θ (3.173)

⇒ cos ψ = e + cos θ

1 + e cos θ . (3.174)

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130 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Ejemplo.

1. Similitud mecanica y perıodo orbital para potenciales centrales V (r) = −kr−n.

Una similitud mec´ anica es una transformacion de las escalas de longitud y de tiempoque deja invariante la forma de la ecuacion de movimiento de una partıcula.

La ecuacion de movimiento de una partıcula de masa m en este potencial es

mr = −∇V (r) = − kn

rn+1 r. (3.175)

Sea a = (rmin + rmax) la longitud que caracteriza el tamano de una orbita finita;por ejemplo el semieje mayor en una orbita elıptica, y sea T el tiempo requerido

para recorrer esa distancia; por ejemplo, el perıodo de una orbita elıptica serıa 2T .Consideremos la transformacion

r = λr, t = τ t, (3.176)

donde λ y τ son constantes. Entonces

dr

dt =

τ

λ

dr

dt, (3.177)

d2r

dt2 =

d

dt

dr

dt

=

τ

λ

d

dt

dr

dt

=

τ 2

λ

d2r

dt2 . (3.178)

La ecuacion de movimiento en las nuevas variables r y t se transforma como

τ 2

λ mr = −λ(n+1) kn

r(n+1) r. (3.179)

La ecuacion de movimiento preserva su forma si

τ = λ(n+2)/2. (3.180)

Por otro lado, la longitud caracterıstica a y el tiempo caracterıstico T se transfor-man segun las relaciones

a = λa, T = τ T. (3.181)

Luego,

T

T =

a

a

(n+2)/2

. (3.182)

Entonces, podemos escribirT ∝ a(n+2)/2, (3.183)

donde la constante de proporcionalidad T /a(n+2)/2

toma su valor en algun sistemade referencia. Para n = 1 tenemos el potencial gravitacional y la Ec. (3.183) repro-duce la Tercera Ley de Kepler, T ∝ a3/2. Para n = −2, el potencial corresponde aun oscilador armonico tridimensonal, y la Ec. (3.183) indica que el perıodo de laorbita es independiente de su tamano o amplitud.

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3.6. ESTABILIDAD DE ORBITAS CIRCULARES Y ANGULO DE PRECESI ON.131

3.6. Estabilidad de orbitas circulares y angulo de pre-cesion.

El radio ro de una orbita circular descrita por una partıcula sujeta a un potencialefectivo

V ef (r) = V (r) + l2

2µr2 (3.184)

esta dado por la condicion

∂V ef

∂r

ro

= 0, o f ef (ro) = 0. (3.185)

Luego, el radio ro satisface la relacion

∂V

∂r

ro

− l2

µr3o

= 0. (3.186)

La orbita circular es estable si ro corresponde al valor mınimo del potencial efectivoV ef (min) = V ef (ro), es decir,

∂ 2V ef

∂r2

ro

> 0 (3.187)

⇒ ∂ 2V

∂r2

ro

+ 3l2

µr4o

> 0. (3.188)

La fuerza central sobre una partıcula en la orbita circular de radio ro es

f (ro) = − ∂V ∂r

ro

= − l2

µr3o

, (3.189)

donde el signo menos indica que la fuerza es atractiva. Luego, en terminos de f (ro), lacondicion de estabilidad de una orbita circular de radio ro, Ec. (3.188), se puede expresarcomo

−∂f

∂r

ro

− 3f (ro)

ro> 0

⇒ 3f (ro)

ro+ f (ro) < 0. (3.190)

Supongamos que la energıa de la partıcula es E > V ef (ro), donde ro es el radio de la

orbita circular estable. Entonces, los valores posibles de r ocurren en el intervalo entrermin y rmax que contiene al radio ro.

Consideremos una oscilacion radial de pequena amplitud η alrededor del radio de laorbita circular ro, tal que η/ro 1.

r = ro + η. (3.191)

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132 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Figura 3.22: Desviacion η alrededor de una orbita circular de radio ro en un potencial efectivoV ef .

Entonces, el potencial efectivo para este valor de r cercano a ro se obtiene mediantela expansion de Taylor de la funcion V ef (r) alrededor de ro,

V ef (r) = V ef (ro) +

0∂V ef

∂r

ro

(r − ro) + 1

2

∂ 2V ef

∂r2

ro

(r − ro)2 + . . . (3.192)

El primer termino en la Ec. (3.192) es una constante, V ef (ro) = cte, la cual puede sersuprimida del potencial efectivo, y el segundo termino se anula en virtud de la Ec. (3.185).Luego, podemos escribir hasta segundo orden en el parametro pequeno η ,

V ef (r) = 1

2

∂ 2V ef

∂r2

ro

(r − ro)2 + . . . ≈ 1

2Kη 2 , (3.193)

donde hemos llamado

K ≡ ∂ 2V ef

∂r2

ro

= cte . (3.194)

La fuerza efectiva correspondiente es

f ef (r) = −∂V ef

∂r ≈ − ∂ 2V ef

∂r 2

ro

(r − ro) = −Kη . (3.195)

La ecuacion de movimiento radial, Ec. (3.49),

µr = f ef (r) (3.196)

para r = ro + η resulta enµη = −Kη , (3.197)

puesto que r = r0 +η = η, (ro = cte). Esta ecuacion corresponde a un oscilador armonico,

η + ω2rη = 0 , (3.198)

con frecuencia de oscilacion radial

ω2r =

K

µ =

1

µ

∂ 2V ef

∂r2

r0

. (3.199)

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3.6. ESTABILIDAD DE ORBITAS CIRCULARES Y ANGULO DE PRECESI ON.133

Figura 3.23: Oscilaciones radiales alredededor de una orbita circular de radio ro.

Se denomina ´ angulo de precesi´ on ∆θ al angulo recorrido en el plano del movimentodurante un perıodo de oscilacion radial T r, y esta dado por

∆θ = θ T r = 2π θωr

, (3.200)

donde

θ = l

µr20

(3.201)

es la velocidad angular de la orbita circular. Sustituyendo en la Ec. (3.200), tenemos

∆θ = 2π l

µr20

1

µ

∂ 2V ef

∂r 2

r0

−1/2

. (3.202)

Figura 3.24: Angulo de precesion ∆θ durante un p erıodo de oscilacion radial.

La direccion del perihelio rmin cambia en un angulo ∆θ durante la precesion de laorbita. La condicion para que ocurra precesion es que ∆θ < 2π, es decir, θ < ωr.

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134 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Ejemplos.

1. Si f (r) = −krn, (k > 0), determinar los valores del exponente n que producenorbitas circulares estables.

Tenemos∂f

∂r = −knrn−1 (3.203)

La condicion de estabilidad Ec. (3.190) da

−3krn−1o − nkrn−1

o < 0,

n > −3 . (3.204)

En particular, la fuerza gravitacional (n = −2) y la fuerza de un resorte (Ley deHooke) (n = 1) producen orbitas circulares estables.

2. Calcular ∆θ para oscilaciones radiales alrededor de una orbita circular de radio ropara una partıcula en el potencial V (r) = g(r) − k

r , con k cte.

El potencial efectivo es

V ef = V (r) + l2

2µr2

= g(r) − k

r +

l2

2µr2 , (3.205)

y su derivada es

∂V ef ∂r

= g(r) + kr2 − l

2

µr3 . (3.206)

El radio ro satisface

∂V ef

∂r

ro

= g(ro) + k

r2o

− l2

µr3o

= 0 , (3.207)

luego

l =

µ

g(ro)r3o + kro

1/2. (3.208)

La frecuencia radial es

ω2r =

1

µ

∂ 2V ef

∂r 2

ro

= 1

µ

g(ro) − 2k

r3o

+ 3l2

µr40

. (3.209)

Sustituyendo l2,

ω2r =

1

µ

g(ro) − 2k

r3o

+ 3

r4o

(g(ro)r3o + kro)

= 1

µ

g(ro) +

3

rog(ro) +

k

r3o

. (3.210)

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3.6. ESTABILIDAD DE ORBITAS CIRCULARES Y ANGULO DE PRECESI ON.135

La velocidad angular es

θ = l

µr2o

=

1

µ

g(ro)

ro+

k

r3o

1/2

. (3.211)

Luego,

∆θ = 2π

θ

ωr

= 2π

g(ro)

ro+

k

r30

g(ro) + 3g(ro)

ro+

k

r30

1/2

= 2π g(ro)r2

o + k

g(ro)r3

o + 3g(ro)r2

o + k1/2

. (3.212)

Note que si g = 0 (o g es constante), es decir, si V (r) = −k/r, entonces ∆θ = 2π,i.e., no hay precesion.

El potencial gravitacional V (r) = −k/r no produce precesion (i.e., ∆θ = 2π).Una orbita elıptica en el problema de Kepler no precesa (mantiene la direcciondel perihelio constante). Si se observa precesion, debe existir alguna perturbacionadicional al potencial V (r) = −k/r. En el sistema solar, la orbita del planetaMercurio presenta un angulo de precesion de 43 (segundos de arco) por siglo,cuya explicacion fue dada por Einstein usando la Teorıa de Relatividad General.

Figura 3.25: Precesion de la orbita del planeta Mercurio.

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136 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Una orbita es cerrada si las coordenadas r y θ se repiten periodicamente. Para queuna orbita sea cerrada, esta debe ser finita r ∈ [rmin, rmax].El angulo θ en funcion de r puede calcularse mediante la Ec. (3.32),

θ = l√

rr0

dr

r2

E − V (r) − l2

2µr2

+ θ0. (3.213)

El angulo de precesion barrido por el perihelio durante un perıodo de oscilacion radialrmin → rmax → rmin corresponde a

∆θ = 2l√

rmax

rmin

dr

r2 E −

l2

2µr2 −V (r)

. (3.214)

La orbita se cierra si∆θ =

m

n

2π , m, n, enteros, (3.215)

es decir, si ∆θ es una fraccion racional de 2π. Por otro lado, el angulo de precesionesta dado por

∆θ = 2π

θ

ωr

, (3.216)

luego,θ

ωr=

m

n ⇒ nT r = mT θ . (3.217)

Una orbita es cerrada si el cociente θ/ωr es un numero racional. Despues de n perıodosradiales (rmin → rmax → rmin), el perihelio completa m revoluciones (m2π) y la orbitase cierra (se repite). Si θ/ωr es un numero irracional, la orbita resultante se denominacuasiperi´ odica y nunca se cierra.

Por ejemplo, si ∆θ = 2π/3, m = 1 y n = 3, la orbita se cierra despues de 3 perıodosde oscilacion radial, Fig. (3.26).

Figura 3.26: La orbita es cerrada si ∆θ/2π es igual a un numero racional.

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3.7. DISPERSI ON EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 137

Teorema de Bertrand:

Las unicas formas funcionales de potenciales V (r) que producen orbitascerradas son V (r) ∝ 1

r (Kepler) y V (r) ∝ r2 (oscilador armonico).

Figura 3.27: Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900).

La mayorıa de las orbitas observadas en el Universo (sistemas planetarios, estrellasbinarias, etc) son cerradas. Las pequenas desviaciones detectadas de orbitas cerradas sepueden atribuir a la presencia de otros cuerpos.

3.7. Dispersion en campo de fuerza central.

Dispersion (scattering) en un campo de fuerza central consiste en la desviacion de latrayectoria de una partıcula con E > 0 debida a la interaccion con un potencial V (r),que puede ser atractivo o repulsivo. La partıcula describe una trayectoria abierta desde

r = ∞ hasta r = rmin y retorna a r = ∞, cambiando la direccion de su velocidad v.El angulo entre la direccion de la velocidad inicial y la direccion de la velocidad final sedenomina ´ angulo de dispersi´ on χ.

En el problema de Kepler, la trayectoria de una partıcula dispersada con E > 0 des-cribe una orbita hiperbolica. Esta puede ser de dos tipos:

1) Potencial de Kepler atractivo: V = −k

r.

Consideremos la ecuacion de la orbita, Ec. (3.84),

l2

µ (u + u) = −dV

du , (3.218)

donde u = 1/r. Para V =−

ku, esta ecuacion resulta en

u + u = µk

l2 , (3.219)

la cual es una ecuacion diferencial inhomogenea ordinaria de segundo orden. Su soluciontiene la forma

u = uh + u p , (3.220)

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138 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

donde uh es la solucion de la ecuacion homogenea

uh + uh = 0 , (3.221)

y u p es una solucion particular. Se puede verificar que

u p = kµ

l2 , (3.222)

mientras que la ecuacion homogenea tiene como solucion

uh = A cos(θ − θ0) . (3.223)

Luego, la solucion se puede expresar

u = 1r = kµl2 (1 + e cos θ) , (3.224)

con la condicion θ = 0 → r = rmin y e = cte. Esta corresponde a la hiperbola

q

r = 1 + e cos θ , (3.225)

donde identificamos

q = l2

µk , e =

1 +

2El2

µk2 > 1 , (3.226)

puesto que E > 0. De la Ec. (3.225) obtenemos

rmin = q

1 + e , para θ = 0 , (3.227)

rmax → ∞ para cos θmax = −1

e ⇒ θmax >

π

2 . (3.228)

Figura 3.28: Orbita hiperbolica para V (r) = −k/r.

El potencial atractivo produce una desviacion de la trayectoria que encierra al foco.El angulo de dispersion χ corresponde al angulo entre las asıntotas: χ = 2θmax − π.

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3.7. DISPERSI ON EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 139

2) Potencial de Kepler repulsivo (por ejemplo, fuerza de Coulomb entre cargas delmismo signo): V (r) =

k

r.

f (r) = −∂V

∂r r =

k

r2r (3.229)

La ecuacion de la orbita en este caso es

u + u = −kµ

l2 (3.230)

y su solucion es u = uh + u p, donde uh es la solucion de la ecuacion homogenea,Ec. (3.221), y

u p = −kµ

l2 (3.231)

luego, se puede expresar

u = 1

r =

µk

l2 (e cos θ − 1) (3.232)

con la condicion θ = 0 → r = rmin. Esto es

q

r = e cos θ − 1 (3.233)

lo que corresponde a un hiperbola que no encierra al foco.De la Ec. (3.233) obtenemos

rmin = q

e − 1 , para θ = 0 , (3.234)

rmax → ∞ , para cos θmax = 1

e ⇒ θmax < π

2 . (3.235)

La orbita no tiene interseccion con el eje y . El potencial repulsivo causa una desviacionde la trayectoria hacia fuera del foco. El angulo de dispersion es χ = π − 2θmax.

Figura 3.29: Orbita hiperbolica para V (r) = k/r.

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140 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Angulo de dispersion en un potencial central.

Consideremos una partıcula de masa M en el foco y una partıcula incidente desder → ∞ con una masa m M , en una orbita hiperbolica simetrica con respecto al eje x.Tenemos que µ ≈ m, y asumimos que la energıa inicial es E = 1

2 mv20.

Figura 3.30: Dispersion en un potencial repulsivo V (r).

El angulo de dispersion χ es el angulo entre la direccion del vector velocidad inicialv0 y la direccion del vector velocidad final vf .

Se define el par´ ametro de impacto b como la distancia perpendicular entre la direccionde la velocidad inicial v0 de la partıcula incidente y la asıntota adyacente. Los datosiniciales que se emplean generalmente en problemas de dispersion en campos centralesson b y E .

Figura 3.31: Parametro de impacto.

Puesto que la fuerza es central, la magnitud del momento angular es constante y sepuede expresar como

l = rp sin(π − α) = mv0r sin α = mv0b (3.236)

Luego,

l2 = m2v20b2 = 2Emb2 (3.237)

donde hemos sustituido v 20 = 2E/m. Note que

e =

1 +

2El2

mk2 =

1 +

2Eb

k

2

. (3.238)

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3.7. DISPERSI ON EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 141

El angulo θmax esta dado por la integral

θmax = l√

2m

rmax

rmin

dr

r2

E − V (r) − l2

2mr2

, (3.239)

sustituyendo l,

θmax = b

∞rmin

dr

r2

1 − V (r)

E − b2

r2

. (3.240)

Conociendo θmax, el angulo de dispersion χ puede determinarse geometricamente.

Como una aplicacion del calculo del angulo de dispersion de una partıcula incidenteen un potencial central, consideremos un potencial de Coulomb repulsivo V (r) = k/rentre una partıcula situada en el foco con carga q = Ze y una partıcula incidente concarga q = Z e, energıa E > 0 y parametro de impacto b. Luego k = qq = Z Z e2.

La integral Ec. (3.240) con el cambio de variable

u = 1

r, du = −dr

r2 , (3.241)

se convierte en

θmax = b um

0

du 1 − k

E u − b2u2

, (3.242)

donde los nuevos lımites son u = 0 (r → ∞) y um = 1/rmin.

De la ecuacion de una hiperbola en un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.233),tenemos

rmin = q

e − 1 (3.243)

q um = e − 1 (3.244)

l2

mk um = e − 1 (3.245)

1 + 2Eb2

k um = e (3.246)

La integral en la Ec. (3.242) da

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142 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

θmax = cos−1

1 + 2b2E

k u

1 +

2bE

k

2

um

0

= 0

cos−1(1) − cos−1

1

1 +

2bE

k

2

. (3.247)

Luego,cos θmax =

1 1 +

2bE

k

2≡ 1

e, (3.248)

que es el mismo resultado que se obtiene directamente de la orbita hiperbolica corres-pondiente a un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.235). Podemos obtener

cos2 θmax

1 +

2bE

k

2

= 1

2bE

k

2

= 1

cos2 θmax− 1

2bE k

2

= tan2 θmax

tan θmax = 2bE

k . (3.249)

El angulo de dispersion χ para un potencial de Coulomb repulsivo es

χ = π − 2θmax ⇒ θmax = π

2 − χ

2. (3.250)

Luego,

tan θmax = sin(π/2 − χ/2)

cos(π/2 − χ/2) =

cos(χ/2)

sin(χ/2) = cot

χ

2

. (3.251)

Sustituyendo en Ec. (3.249), obtenemos

cotχ

2

=

2bE

k , (3.252)

lo que permite expresar el angulo de dispersion en funcion de datos iniciales b, E , y dela constante k del potencial.

Consideremos los casos lımites:

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3.7. DISPERSI ON EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 143

1. b = 0 ⇒ cot χ2 = 0 ⇒ χ = π.Choque frontal; la partıcula retrocede completamente.

2. b → ∞ ⇒ cotχ2

→ ∞ ⇒ χ = 0.La partıcula pasa muy lejos del centro repulsivo; no hay dispersion.

Seccion eficaz de dispersion.

Generalmente se emplea un haz de partıculas identicas en experimentos de dispersion.Las diferentes partıculas en el haz tienen distintos parametros de impacto con respectoal centro de fuerza y, por lo tanto, son dispersadas con diferentes angulos χ.

Se define la intensidad del flujo I como el numero de partıculas incidentes por unidadde area y por unidad de tiempo,

I = # part.A × t

. (3.253)

Figura 3.32: Flujo de partıculas incidentes sobre un blanco situado en f.

Las partıculas en el haz incidente que poseen un mismo valor de b son dispersadas

en un cono con vertice en el foco f y angulo de vertice χ, puesto que el problema poseesimetrıa axial. Este cono encierra un angulo solido Ω (Fig. (3.33)).

Figura 3.33: Dispersion en angulo solido dΩ.

El diferencial de angulo solido dΩ es

dΩ = dA

r2 =

(2πr sin χ)(rdχ)

r2 = 2π sin χdχ. (3.254)

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144 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Sea n(Ω) el numero partıculas que son desviadas dentro del angulo solido Ω porunidad de tiempo. Se define la secci´ on eficaz de dispersi´ on σ(Ω) como la fraccion departıculas incidentes que son desviadas dentro del angulo solido Ω por unidad de tiempo,

σ(Ω) = n(Ω)

I . (3.255)

Note que la seccion eficaz posee unidades de area. Luego, la expresion

dσ(Ω) = σ(Ω) dΩ , (3.256)

corresponde a la fraccion de partıculas dispersadas por unidad de tiempo en dΩ; es decir,representa la probabilidad de dispersion en un diferencial de angulo solido dΩ.

La conservacion del numero de partıculas por unidad de tiempo implica que

# part. incidentes entre b y b + db

t =

# part. dispersadas en angulo dΩ

t . (3.257)

Esto es,

I 2πbdb = Iσ(Ω) dΩ,

2πbdb = σ(Ω)2π sin χdχ, (3.258)

luego, la seccion eficaz σ (Ω) en funcion del angulo de dispersion χ es

σ(χ) = b

sin χ

db

, (3.259)

donde se toma el modulo de la derivada para garantizar que la candidad σ(χ) sea positiva,puesto que representa una probabilidad.

Como una aplicacion de la Ec. (3.259), consideremos el experimento de Rutherfordque condujo al descubrimiento del nucleo atomico. En este caso k = ZZ e2, donde elnucleo, que actua como centro dispersor, tiene una carga Ze y las partıculas incidentesson partıculas α (nucleos de helio), con carga Z = 2e.

Figura 3.34: Experimento de Rutherford.

De la Ec. (3.252), tenemos

b = k

2E cot

χ

2

, (3.260)

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3.7. DISPERSI ON EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 145

luego db

= k

4E csc2

χ

2

. (3.261)

Sustituyendo en la Ec. (3.259),

σ(χ) = 1

sin χ

k

2E cot(χ/2)

k

4E csc2(χ/2)

= k2

8E 2cot(χ/2) csc2(χ/2)

2sin(χ/2) cos(χ/2)

= 1

4

k

2E

2

csc4χ

2

, (3.262)

la cual es la seccion eficaz encontrada experimentalmente por Rutherford1

.

Figura 3.35: Seccion eficaz de dispersion en funcion de χ en el experimento de Rutherford.

Note que σ (χ) es grande para χ → 0; lo que indica que la mayorıa de las partıculasα pasan sin desviarse mucho. Sin embargo, para χ = π , σ(π) alcanza su valor mınimo,no nulo; es decir, existe una probabilidad pequena de observar partıculas α dispersadascompletamente hacia atras.

Figura 3.36: Ernest Rutherford (1871-1937).

1Una expresion similar para σ(χ) se obtiene en Mecanica Cuantica con el potencial V (r) = k/r .

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146 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

3.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz.Vimos que la orbita correspondiente al problema de Kepler con la fuerza gravitacional

f (r) = f (r)r, f (r) = −k/r2, es una seccion conica,

q

r = 1 + e cos θ, (3.263)

donde q = l2/µk, e =

1 + 2El2

µk2 .

La Ec. (3.263) puede escribirse como

rA cos θ = l2 − µkr, (3.264)

donde hemos definidoA

≡mke. (3.265)

La cantidad A puede expresarse como

A = µk

1 +

2El2

µk2 =

µ2k2 + 2µEl2 = cte. (3.266)

El lado izquierdo de la Ec. (3.264) se puede expresar como el producto escalar

Ar cos θ = r · A, (3.267)

donde A es un vector cuya magnitud es constante, dada por la Ec. (3.266), y su direcci ondebe estar sobre el eje x, en la direccion del perihelio.

Figura 3.37: Angulo entre r y la direccion fija de A.

Entonces, la ecuacion de la conica, Ec. (3.263), puede escribirse como

r

·A = l2

−µkr. (3.268)

Para determinar el vector A, expresamos los terminos del lado derecho de la Ec. (3.268)como

l2 = l · l = l · (r × p) = r · (p × l), (3.269)

r = r · r = r · r

r. (3.270)

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3.8. EL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ. 147

Sustituyendo en la Ec. (3.268), obtenemos

r · A = r · [(p × l) − µkr] , (3.271)

de donde podemos identificarA ≡ p × l − mkr. (3.272)

El vector A se denomina vector de Laplace-Runge-Lenz y, como demostraremos, cons-tituye otra cantidad conservada en el problema de Kepler. De la expresion de A se puedever que

A · l = 0 , (3.273)

puesto que l es perpendicular a p × l y a r. De la ortogonalidad entre A y l, se derivaque el vector A debe yacer sobre el plano del movimiento, el cual es perpendicular a ladireccion de l.

Consideremos la derivada total con respecto al tiempo del vector A,

dA

dt =

d

dt (p × l) − µk

dr

dt. (3.274)

Calculemos el termino

d

dt (p × l) =

dp

dt × l + p ×

0dl

dt =

dp

dt × (r × mv) , (3.275)

puesto que l es constante en un campo de fuerza central. Por otro lado,

dp

dt = f (r) = f (r)r = f (r)

r

r . (3.276)

Luego,d

dt (p × l) = m

f (r)

r

r ×

r × dr

dt

. (3.277)

Usando la identidad vectorial a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b), tenemos

d

dt (p × l) = m

f (r)

r

r

r · dr

dt

− r2 dr

dt

. (3.278)

Esta expresion puede ser simplificada notando que

d

dt (r · r) = 2r · dr

dt =

d

dt(r2) = 2r

dr

dt , (3.279)

luego,d

dt (p × l) = mf (r)

r

dr

dt − r

dr

dt

. (3.280)

Esta expresion puede simplicarse aun mas si notamos que

d

dt

r

r

=

dr

dt

1

r − r

r2

dr

dt ⇒ −r2 d

dt

r

r

= r

dr

dt − r

dr

dt . (3.281)

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148 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Luego, d

dt (p × l) = −mf (r)r2 d

dt

r

r

. (3.282)

Sustituyendo la fuerza gravitacional en el problema de Kepler, f (r) = −k/r2, obtenemos

d

dt (p × l) = mk

d

dt

r

r

= −µk

dr

dt . (3.283)

Luego, la Ec. (3.274) dadA

dt = 0, (3.284)

lo cual implica que el vector de Laplace-Runge-Lenz es constante,

A = p × l − mkr = cte. (3.285)

Figura 3.38: Vector de Laplace-Runge-Lenz en varias posiciones sobre una orbita Kepleriana.

La magnitud del vector A es dependiente de otras integrales del movimiento, l yE , pero la direccion de A, correspondiente a la direccion del perihelio, provee una nueva

cantidad conservada en el problema de Kepler. La constancia de la direccion de A implicaque una orbita en el potencial V (r) = −k/r no presenta precesion.

Figura 3.39: Izquierda: Pierre-Simon Laplace (1749 -1827). Centro: Carl Runge (1856-1927).Derecha: Wilhem Lenz (1888-1957).

El sistema de dos cuerpos sujetos a la fuerza gravitacional que varıa como el inverso delcuadrado de la distancia constituye un sistema superintegrable , pues existen seis grados delibertad (tres para cada partıcula) y siete cantidades conservadas: las tres componentesde la velocidad del centro de masa vcm, la direccion del momento angular l, su magnitudl, la energıa E y la direccion del vector de Laplace-Runge-Lenz A.

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3.9. PROBLEMAS 149

3.9. Problemas1. La velocidad angular maxima de cierto satelite alrededor del Sol es cuatro veces su

velocidad angular mınima.a) Encuentre la excentricidad de la orbita del satelite.b) Determine en cuanto debe disminuir su energıa para caer en una orbita circularcon el mismo momento angular que su orbita original.

2. Dos partıculas se mueven una alrededor de la otra en orbitas circulares con perıodo T ,bajo la influencia de su mutua atraccion gravitacional. Suponga que el movimiento deambas partıculas es detenido repentinamente en un instante dado, y que las partıculasse dejan caer una hacia la otra. Encuentre el tiempo que tardan en chocar.

3. Una partıcula de masa m se mueve sin friccion sobre la superficie z = r2 (coordenadas

cilındricas), donde z es la direccion vertical.a) Encuentre la condicion de estabilidad de una orbita circular de radio ro sobre estasuperficie.b) Encuentre la frecuencia de pequenas oscilaciones radiales alrededor de esta orbitacircular.

4. La sonda espacial Mariner IV fue disenada para viajar de la Tierra a Marte en unaorbita elıptica alrededor del sol, con perihelio igual al radio de la orbita terrestre,RT = 1UA, y afelio igual al radio de la orbita de Marte, RM = 1,5UA. Ambas orbitaspueden considerarse aproximadamente circulares. Desprecie los efectos gravitacionalesde ambos planetas sobre el Mariner IV .a) ¿Cuantos meses tardo el Mariner IV en llegar a Marte?.b) Calcule con que velocidad relativa a la Tierra debio ser lanzado el Mariner IV y

con cual direccion.

5. Un cometa de masa m se mueve en una trayectoria parabolica alrededor del sol ycruza la orbita terrestre. Suponga que la orbita terrestre es circular y que esta en elmismo plano que la trayectoria del cometa. Encuentre el maximo numero de dıas queel cometa puede permanecer dentro de la orbita de la Tierra.

6. Una partıcula se mueve en el potencial V (r) = a

r +

b

r2.

a) Determine la orbita de la partıcula.b) Dibuje esquematicamente el potencial efectivo para este sistema.

7. Una partıcula con momento angular l describe la orbita r = a(1 + cos θ).a) Encuentre la fuerza central que produce esta orbita.b) Calcule el perıodo de esta orbita.c) Determine la energıa mınima que debe tener la partıcula para escapar de estaorbita.

8. Encuentre la relacion entre la distancia radial y el tiempo para un asteroide conenergıa igual a cero, sujeto a la atraccion solar.

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150 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

9. Una partıcula de masa m se mueve en un cırculo de radio R bajo la influencia de lafuerza de Yukawa

f (r) = − k

r2e−r/a.

a) Determine la condicion sobre la constante a tal que el movimento circular seaestable.b) Calcule el momento angular de la partıcula.c) Calcule la frecuencia de pequenas oscilaciones radiales alrededor de esta orbitacircular.

10. Un planeta de masa m gira alrededor de una estrella de masa M . La estrella esta ro-deada de un plasma de densidad uniforme ρ, que alcanza a envolver la orbita delplaneta.

a) Calcule el perıodo de una orbita circular estable de radio r = ro para el planeta.b) Calcule el momento angular de esta orbita circular.c) Encuentre el angulo de precesion, si la orbita circular es ligeramente perturbada.

11. Una partıcula describe la orbita r = aθ2, con a = constante. Encuentre la fuerza quecausa esta orbita.

12. Se observa que un cometa esta a 108 km del Sol y se mueve con una velocidad de 50 ,9km/s que forma un angulo de 45o con el radio vector dirigido desde el Sol.a) Determine los parametros e y q de la orbita del cometa.b) Calcule el angulo al cual fue observado el cometa.c) Calcule el perıodo del cometa.

13. Una partıcula se mueve en el potencial V (r) = a/r p+b/rq, donde a y b son constantes.a) Encuentre los valores de p y q que producen la orbita r = kθ 2, con k constante.b) Encuentre los valores de las constantes a y b en ese caso.c) Determine y dibuje el potencial efectivo para esta orbita.

14. Un satelite se encuentra en una orbita circular de radio ro alrededor de la Tierra.En un instante dado, los cohetes propulsores incrementan la velocidad tangencial delsatelite en un 20 %.a) Calcule la excentricidad de la orbita resultante.b) Calcule el apogeo de la orbita resultante del satelite.

15. Una partıcula de masa m gira en un cırculo de radio a, sometida a la fuerza centralf (r) = −kr (oscilador armonico esferico).a) Encuentre la frecuencia de pequenas oscilaciones radiales alrededor de la obita

circular, si esta es ligeramente perturbada.b) Calcule el angulo de precesion durante una oscilacion radial.

16. Dos partıculas con masas m1 y m2 se sueltan en reposo cuando estan separadas poruna distancia R. Calcule las velocidades de las partıculas cuando la separacion entreellas es r.

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3.9. PROBLEMAS 151

17. Una partıcula de masa m se mueve en el potencial V (r) = −k

r e−r/a , donde k > 0 ya > 0 son constantes.a) Encuentre la condicion de estabilidad de una orbita circular de radio ro.b) Determine el perıodo de pequenas oscilaciones radiales alrededor de esta orbitacircular.

18. Imagine una “escalera espacial“ que consiste en satelite terrestre formado por unalarga varilla uniforme alineada a lo largo de la direccion radial desde el centro de laTierra y colocada en orbita estacionaria ecuatorial. El extremo inferior de la varillaalcanza a tocar la superficie de la Tierra. Calcule la longitud de la varilla en Km.

19. La trayectoria de una partıcula con momento angular l en un campo central se puededescribir por r = a cos θ.a) Encuentre el potencial asociado a esta trayectoria.b) Si la partıcula se encuentra a una distancia a del centro de atraccion, calcule eltiempo que la partıcula tarda en caer al centro.c) Determine la energıa total de la partıcula.

20. Una partıcula describe una orbita circular bajo la influencia de una fuerza centralatractiva f (r) = −k/rn, dirigida hacia un punto fijo en el cırculo.a) Demuestre que la fuerza debe variar como el inverso de la quinta potencia de ladistancia, es decir, n = 5.b) Demuestre que la energıa total de la partıcula es cero.c) Encuentre el perıodo del movimiento.

21. Una partıcula se mueve en una orbita dada por r = R e−αθ, donde R y α son cons-tantes.a) Encuentre la fuerza que causa esta orbita.b) Si la partıcula se encuentra inicialmente a una distancia R del centro de atraccion,calcule el tiempo que tarda en caer al centro.c) ¿Cuantas revoluciones completa la partıcula hasta alcanzar el centro?.

22. La Tierra se mueve en una orbita casi circular de radio 1.5 ×108 km alrededor del Solcon una velocidad de 30 km/s. Se observa que la velocidad de un cometa alrededordel Sol es 10 km/s en su perihelio y 10 km/s en su afelio.a) Calcule la distancia del afelio para el cometa.b) Calcule el perıodo del cometa alrededor del Sol.

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152 CAP ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

23. Una partıcula de masa m y momento angular l se mueve en el potencial V = −k/r2

.a) Encuentre la condicion para que la partıcula caiga al centro de atraccion.b) Determine la orbita descrita por la partıcula para alcanzar el centro.

24. Considere el movimiento de una partıcula de masa m en el potencial V = kr 1/2.a) Encuentre el potencial efectivo para esta partıcula.b) Encuentre la relacion entre el perıodo y el radio para una orbita circular.

25. Un cometa de masa M T /8 y velocidad −5vT tiene una colision completamente inelasti-ca con la Tierra (i.e., el cometa y la Tierra quedan unidos despues de la colision), dondeM T y vT son la masa y la velocidad orbital de la Tierra, respectivamente. La orbitaterrestre puede asumirse circular alrededor del Sol con un radio R.a) Calcule el afelio y el perihelio de la orbita de la Tierra despues de la colision.b) ¿Cuantos dıas dura un ano terrestre despues de la colision?

26. Calcule el angulo de precesion del perihelio de una partıcula con momento angular ly masa m moviendose alrededor de una estrella de masa M que produce el potencial

V (r) = −GMm

r +

r2, donde es una constante muy pequena.

27. Calcule la seccion eficaz diferencial σ(χ) para dispersion de partıculas con velocidad

vo en el potencial V (r) = k

r2.

28. La seccion eficaz total de dispersion σT se define como

σT =

σ(Ω)dΩ = 2π

π0

σ(χ)dχ,

donde χ es el angulo de dispersion. Calcule σT para partıculas con energıa E en elpotencial

V (r) =

k

r − k

a, r < a.

0, r > a.

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Capıtulo 4

Oscilaciones pequenas

4.1. Oscilaciones en una dimension.

Consideremos un sistema con un grado de libertad, o reducible a un problema unidi-mensional co coordenada q . La energıa total se puede expresar como

E = 1

2aq 2 + V ef (q ) , (4.1)

donde a representa parametros constantes del sistema, como la masa de la partıcula, etc,y V ef (q ) corresponde a un potencial efectivo. El Lagrangiano correspondiente es

L =

1

2 aq

2

− V ef (q ) , (4.2)

La ecuacion de movimiento para q , obtenida del Lagrangiano, se puede escribir como

aq = f ef (q ) , (4.3)

donde la fuerza efectiva f ef (q ) es

f ef (q ) = −∂V ef

∂q . (4.4)

La posicion de equilibrio q 0 de la coordenada q esta dada por la condicion

f ef (q 0) = 0

⇒ ∂V ef

∂q q0 = 0 . (4.5)

El equilibrio es estable si V ef (q 0) corresponde a un mımino del potencial efectivo V ef (q );es decir,

∂V 2ef

∂q 2

q0

> 0 . (4.6)

153

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154 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

Figura 4.1: Pequeno desplazamiento η alrededor de la posicion de equilibrio estable q 0.

Consideremos un desplazamiento pequeno η alrededor de un punto de equilibrio es-table q 0,

q = q 0 + η, con η

q 0 1 . (4.7)

El valor del potencial V ef (q ) = V ef (q 0 + η) cerca del punto de equilibrio q 0 se puedeobtener mediante una expansion de Taylor de V ef (q ) alrededor de q = q 0,

V ef (q ) = V ef (q 0 + η) = V (q 0) +

0∂V ef

∂q

q0

η + 1

2

∂ 2V ef

∂q 2

q0

η2 + · · · , (4.8)

donde V ef (q 0) es un valor constante y el segundo termino se anula debido a la condicionde equilibrio Eq. (4.5). Luego, despreciando terminos muy pequenos en potencias de η de

orden superior al cuadratico, se puede escribir el potencial cerca del punto de equilibrio

V ef (q ) = V ef (q 0 + η) = 1

2Kη 2 , (4.9)

donde η = q − q 0 es el desplazamiento desde el equilibrio y

K ≡ ∂ 2V ef

∂q 2

q0

= constante > 0 . (4.10)

Luego, cerca del valor de equilibrio q 0, el potencial corresponde al de un oscilador armoni-co. La ecuacion de movimiento para η se obtiene sustituyendo q = q 0 + η en la Ec. (4.3),

aη = −∂V ef

∂q (q 0 + η) = −∂V ef

∂η

∂η

∂q aη = −Kη. (4.11)

Entonces, la ecuacion de movimiento para el pequeno desplazamiento η es

η + ω2η = 0, (4.12)

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4.1. OSCILACIONES EN UNA DIMENSI ON. 155

dondeω2 ≡ K

a =

1

a

∂ 2V ef

∂q 2

q0

(4.13)

es la frecuencia angular de las pequenas oscilaciones alrededor de q 0.La Eq. (4.12) tiene solucion

η(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = A cos(ωt + ϕ), (4.14)

donde A es la amplitud de las oscilaciones y ϕ es la fase. En general, se emplea la notacioncompleja

ei(ωt+ϕ) = cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ). (4.15)

Luego,

η(t) = Re[Aei(ωt+ϕ)] = Re(ceiωt), (4.16)

donde c = Aeiϕ es la amplitud compleja. Se acostumbra escribir simplemente

η(t) = ceiωt, (4.17)

sobreentendiendose que se toma la parte real de esta expresion para η. Las solucionesde ecuaciones de movimiento para sistemas oscilatorios escritas en forma compleja sonconvenientes porque la expresion eix no cambia su forma bajo integracion o diferenciacion.

Ejemplo.

1. Encontrar la frecuencia de pequenas oscilaciones alrededor de un radio de equilibrior0 para una partıcula de masa m moviendose sobre un cono vertical con angulo devertice α.

Figura 4.2: Pequenas oscilaciones alrededor de radio r0 para una partıcula sobre un cono.

El Lagrangiano de este sistema fue calculado en los capıtulos anteriores. La energıacinetica es

T = 1

2m(x2 + y2 + z2) =

1

2m(r2 csc2 α + r2 θ2) . (4.18)

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156 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

La energıa potencial es V = mgz = mgr cot α . (4.19)

El Lagrangiano es

L = T − V = 1

2m(r2 csc2 α + r2 θ2) − mgr cot α . (4.20)

La ecuacion de movimiento para θ es

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂ L

∂θ = 0 . (4.21)

El angulo θ es una coordenada cıclica,

∂L∂θ

= 0 ⇒ ∂L∂ θ

= mr2 θ = lz = cte. (4.22)

La ecuacion para r esd

dt

∂L

∂ r

− ∂ L

∂r = 0 , (4.23)

la cual resulta enmr csc2 α − mrθ2 + mg cot α = 0 . (4.24)

Sustituyendo θ = lzmr2

, podemos expresar la Ec. (4.24) como

mr = l2z

mr3 sin2 α − mg sin α cos α , (4.25)

la cual tiene la forma de un problema unidimensional Ec. (4.3), con m = a, y dondepodemos identificar la fuerza efectiva

f ef (r) = −∂V ef

∂r =

l2z

mr3 sin2 α − mg sin α cos α . (4.26)

La posicion de equilibrio ro esta dada por

f ef (r0) = − ∂V ef

∂r

r0

= 0 (4.27)

⇒ l2z

m2r30

= gcos α

sin α (4.28)

⇒ r30 = l

2z tan αm2g

. (4.29)

El potencial efectivo es

V ef (r) = l2z sin2 α

2mr2 + mgr sin α cos α , (4.30)

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4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 157

luego,∂ 2V ef

∂r 2

r0

= 3l2

z sin2 α

mr40

= 3mg

r0sin α cos α ≡ K . (4.31)

La frecuencia angular para pequenas oscilaciones alrededor de r0 es

ω2 = K

m =

1

m

∂ 2V ef

∂r 2

r0

= 3g

r0sin α cos α, (4.32)

y el movimiento de la pequena oscilacion η = r − r0 se puede expresar en la formade la Ec. (4.12).

4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de li-

bertad.

Consideremos un sistema con s grados de libertad q i : i = 1, . . . , s cuya energıapotencial es V (q 1, . . . , q s). La configuracion de equilibrio de este sistema corresponde aun conjunto de valores q 0i : i = 1, . . . , s; donde los q 0i estan dados dados por las scondiciones

∂V

∂q i

q0i

= 0 , i = 1, 2, . . . , s . (4.33)

La configuracion de equilibrio

q 0i

es estable si los valores q 0i, ∀

i, corresponden a unmınimo de V (q 1, q 2, . . . , q s):

∂ 2V

∂q 2i

q0i

> 0 . (4.34)

Figura 4.3: Potencial V (q 1, q 2), mostrando las posiciones de equilibrio (q 01, q 02).

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158 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

Consideremos pequenas oscilaciones alrededor de las posiciones de equilibrio estableq 0i. La pequena desviacion del equilibrio correspondiente a la coordenada q i la denota-remos por ηi,

q i = q 0i + ηi , con ηi

q 0i 1 . (4.35)

El valor del potencial V (q 1, . . . , q s) cerca de la configuracion de equilibrio se puedeobtener mediante la expansion de Taylor en varias variables de V (q 1, . . . , q s) alrededorde q 0i, con q i = q 0i + ηi,

V (q 1, . . . , q s) = V (q 01, . . . , q 0s) +i

0∂V

∂q i

q0i

ηi + 1

2

i

j

∂ 2V

∂q i∂q j

qi0,qj0

ηiηj + · · · ,

(4.36)donde V (q 01, . . . , q 0s) es un valor constante. Luego, cerca de la configuracion de equilibrioq i = q 0i + ηi, el potencial se puede expresar como

V (q 1, . . . , q s) = V (η1, . . . , ηs) = 1

2

i,j

V ijηiηj , (4.37)

donde definimos los coeficientes

V ij ≡

∂ 2V

∂q i∂q j

(q0i,q0j)

. (4.38)

Estos coeficientes son simetricos, i.e., V ij = V ji, y dependen de propiedades locales del

potencial cerca de la configuracion de equilibrio y, por tanto, son caracterısticos de cadasistema.La energıa cinetica del sistema cerca de la configuracion de equilibrio tambien puede

expresarse en funcion de los pequenos desplazamientos ηi,

T = 1

2

i,j

T ij q i q j = 1

2

i,j

T ij( 0

q 0i + ηi)( 0

q 0j + ηj) , (4.39)

(los valores q 0i son constantes). Luego,

T = 1

2

i,j

T ij ηi ηj , (4.40)

donde los coeficientes T ij = T ji representan parametros constantes que dependen depropiedades del sistema (masas, longitudes, etc.).

El Lagrangiano del sistema cerca de la configuracion de equilibrio es

L = T − V = 1

2

i,j

(T ij ηi ηj − V ijηiηj) i, j = 1, 2, . . . , s . (4.41)

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4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 159

La ecuacion de movimiento para una pequena desviacion del equilibrio ηk es

d

dt

∂L

∂ ηk

− ∂L

∂ηk= 0. (4.42)

Evaluamos los terminos

∂L

∂ ηk=

1

2

i,j

T ij(δ ik ηj + δ jk ηi) = 1

2

j

T kj ηj +i

T ik ηi

=

j

T kj ηj ,

∂L

∂ηk= −1

2

i,j

(V ijδ ikηj + V ijδ jkηi) = −j

V kjηj .

Luego, la ecuacion de movimiento Ec. (4.42) para la desviacion ηk quedaj

(T kj ηj + V kjηj) = 0 , (4.43)

donde cada termino de la suma tiene la forma de una ecuacion para un oscilador armonico.Existen s ecuaciones de movimiento de este tipo para el sistema, k = 1, 2, . . . , s. Lasolucion de la Ec. (4.43) tiene la forma

ηj(t) = ajeiωt , (4.44)

donde ω es la frecuencia del movimiento oscilatorio. Sustituyendo en la Ec. (4.43), juntocon ηj = −ω2ajeiωt, obtenemos

j

(−ω2

T kj + V kj)ajeiωt

= 0

⇒j

(V ij − ω2T ij)aj = 0 , (4.45)

donde hemos renombrado el ındice k → i. El conjunto de ecuaciones Ec. (4.45) paralos grados de libertad i = 1, 2, . . . , s constituye un sistema de s ecuaciones lineales ho-mogeneas para los coeficientes aj , con j = 1, 2, . . . , s. Como ejemplo, consideremos elsistema Ec. (4.45) con s = 2,

i = 1 : (V 11 − ω2T 11)a1 + (V 12 − ω2T 12)a2 = 0i = 2 : (V 21 − ω2T 21)a1 + (V 22 − ω2T 22)a2 = 0.

(4.46)

En general, existe solucion no trivial ηj(t) = 0 si aj = 0, ∀ j. Esta condicion secumple para los coeficientes a1, . . . , as en el sistema Ec. (4.45) si el determinante de estoscoeficientes es cero:

detV ij − ω2T ij

= 0 . (4.47)

La condicion Ec. (4.47) constituye una ecuacion algebraica de grado s para ω2, que sedenomina ecuaci´ on caracterıstica . Las s raıces de la ecuacion caracterıstica dan como

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160 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

resultado s valores para las frecuencias ω2

, llamadas frecuencias caracterısticas del sis-tema, que corresponden a los diferentes modos de oscilaciones del sistema alrededor desu configuracion de equilibrio.

Las frecuencias ω deben ser reales para que las soluciones tengan sentido fısico. Sialguna ω es compleja, entonces se puede escribir como ω = a + bi y, por lo tanto,eiωt = eiate−bt. Como consecuencia, la solucion η(t) ∝ e−bt crece o decrece en el tiempoy la energıa no se conservarıa, E ∝ e−bt.

Ejemplos.

1. Encontrar las frecuencias de un sistema de dos partıculas de masa m conectadas

mediante resortes horizontales, cada uno con constante k y longitud en reposo l.El sistema posee dos grados de libertad (s = 2). Consideremos pequenos desplaza-mientos del equilibrio η1 y η2, con xi = x0i + ηi, como se muestra en la Fig. (4.4).

Figura 4.4: Oscilaciones de dos partıculas conectadas mediante resortes horizontales.

La energıa cinetica en funcion de los pequenos desplazamientos del equilibrio es

T = 1

2mη2

1 + 1

2mη2

2 = 1

2

i,j

T ij ηi ηj (4.48)

donde identificamos los coeficientes

T 11 = m, T 22 = m, T 12 = T 21 = 0. (4.49)

La energıa potencial del sistema en terminos de los pequenos desplazamientos delequilibrio es

V = 1

2kη2

1 + 1

2k(l − l)2 +

1

2kη2

2 = 1

2k[η2

1 + (η2 − η1)2 + η22] , (4.50)

donde hemos usado la siguiente relacion, observando la Fig. (4.4),

l − l = (x2 − x1) − (x02 − x01) = η2 − η1 . (4.51)

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4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 161

Luego,V =

1

2[2kη2

1 + 2kη22 − 2kη1η2] =

1

2

i,j

V ijηiηj , (4.52)

donde podemos identificar los los coeficientes

V 11 = 2k, V 22 = 2k, V 12 = V 21 = −k. (4.53)

La condicion Ec. (4.47) para este sistema es V 11 − ω2T 11 V 12 − ω2T 12

V 21 − ω2T 21 V 22 − ω2T 22

= 0 . (4.54)

Sustituyendo los coeficientes T ij y V ij , tenemos

2k − ω2m −k−k 2k − ω2m

= 0. (4.55)

La ecuacion caracterıstica resultante es

(2k − ω2m)2 − k2 = 0, (4.56)

2k − ω2m = ±k, (4.57)

⇒ ω2 = 2k ± k

m . (4.58)

Luego,

ω1 =

3k

m , ω2 =

k

m . (4.59)

2. Encontrar las frecuencias para pequenas oscilaciones de un pendulo doble.

Figura 4.5: Pendulo doble.

Las energıas cinetica y potencial de este sistema fueron calculadas en el Cap. 1 enterminos de las coordenadas generalizadas θ1 y θ2,

T = 1

2(m1 + m2)l2

1 θ2

1 + 1

2m2l2

2 θ2

2 + m2l1l2 θ1

θ2 cos(θ1 − θ2) , (4.60)

V = −(m1 + m2)gl1 cos θ1 − m2gl2 cos θ2 . (4.61)

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162 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

Las posiciones de equilibrio estan dadas por∂V

∂θ1

θ01

= 0 , ∂V

∂θ2

θ02

= 0 ⇒ θ01 = 0, θ02 = 0. (4.62)

La energıa potencial es mınima para estos valores de las coordenadas en el equilibrio.Consideremos pequenas oscilaciones alrededor de la configuracion de equilibrio,

θ1 = θ01 + η1 = η1, θ2 = θ02 + η2 = η2 , (4.63)

donde η1 y η2 son pequenos. Luego, cerca del equilibrio,

cos θ1 = cos η1 1 − η 21

2 , cos θ2 = cos η2 1 − η 2

2

2 , (4.64)

cos(θ1 − θ2) = cos(η1 − η2) 1 − 1

2 (η1 − η2)2 . (4.65)

Manteniendo terminos hasta segundo orden, obtenemos

T = 1

2(m1 + m2)l2

1 η21 +

1

2m2l2

2 η22 + m2l1l2 η1 η2 , (4.66)

V = 1

2(m1 + m2)gl1η2

1 + 1

2m2gl2η2

2 , (4.67)

donde se han suprimido terminos constantes en V .

Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, tenemos

T = 1

2 i,jT ij ηi ηj , V =

1

2 i,jV ijη1ηj, (4.68)

obtenemos los coeficientes

T 11 = (m1 + m2)l21, T 22 = m2l2

2, T 12 = T 21 = m2l1l2,V 11 = (m1 + m2)gl1, V 22 = m2gl2, V 12 = V 21 = 0.

(4.69)

Los coeficientes V ij tambien pueden obtenerse directamente como

V 11 =

∂ 2V

∂θ21

(θ01,θ02)

= (m1 + m2)gl1, (4.70)

V 22 =

∂ 2V

∂θ22

(θ01,θ02)

= m2gl2, (4.71)

V 12 = V 21 = ∂ 2V

∂θ1∂θ2

(θ01,θ02)

= 0. (4.72)

La condicion Ec. (4.47) para estos coeficientes es V 11 − ω2T 11 −ω2T 12

−ω2T 21 V 22 − ω2T 22

= 0 . (4.73)

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4.3. MODOS NORMALES. 163

La ecuacion caracterıstica es

(V 11 − ω2T 11)(V 22 − ω2T 22) − (ω2)2T 212 = 0. (4.74)

Con el cambio de notacion ω 2 ≡ x, tenemos la ecuacion cuadratica

V 11V 22 − (T 11V 22 + T 22V 11)x + (T 11T 22 − T 212)x2 = 0, (4.75)

cuya solucion es

x = (T 11V 22 + T 22V 11) ±

(T 11V 22 + T 22V 11)2 − 4(T 11T 22 − T 12)V 11V 22

2(T 11T 22 − T 12)2 . (4.76)

Sustituimos los terminos

T 11V 22 − T 22V 11 = (m1 + m2)m2gl21l2 − (m1 + m2)m2gl1l22

= (m1 + m2)m2gl1l2(l1 − l2),

T 11T 22 − T 212 = (m1 + m2)m2l21l2

2 − m22l2

1l22 = m1m2l2

1l22,

V 11V 22 = (m1 + m2)m2g2l1l2,

y obtenemos,

ω21,2 =

g

2m1l1l2

(m1 + m2)(l1 + l2) ±

(m1 + m2)[(m1 + m2)(l1 + l2)2 − 4m1l1l2]

.

(4.77)En el caso m1 m2, las frecuencias tienden a los valores correspondientes a osci-laciones independientes de dos pendulos simples,

ω21,2 = g

2m1l1l2[m1(l1 + l2) ± m1(l1 − l2)] (4.78)

⇒ ω21 =

g

l1, ω2

2 = g

l2. (4.79)

4.3. Modos normales.

Hemos visto que las s ecuaciones de movimiento para un sistema con s grados delibertad que realiza pequenas oscilaciones η1, η2, . . . , ηs alrededor de los valores deequilibrio de sus coordenadas generalizadas q 01, q 02, . . . , q 0s son

j

(T ij ηj + V ijηj) = 0, i = 1, 2, . . . , s . (4.80)

La solucion particular de la forma ηj(t) = ajeiωt conduce a las s ecuacionesj

(V ij − ω2T ij)aj = 0 i = 1, 2, . . . , s . (4.81)

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164 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

La condicion Ec. (4.47) detV ij − ω2T ij

= 0 , (4.82)

implica la existencia de soluciones no triviales aj = 0, ∀ j, y permite calcular las s fre-cuencias de las pequenas oscilaciones mediante las soluciones del polinomio caracterısticoresultante de la Ec. (4.47). Denotamos estas frecuencias por wk, k = 1, 2, . . . , s.

Para cada ωk, existe una solucion ηj(t) = aj(ωk)eiωkt y, por lo tanto, existe un sistemade s ecuaciones del tipo Ec. (4.81) para los coeficientes aj(ωk). Por ejemplo, para s = 2,

i = 1 : (V 11 − ω2kT 11)a1 + (V 12 − ω2

kT 12)a2 = 0i = 2 : (V 21 − ω2

kT 21)a1 + (V 22 − ω2kT 22)a1 = 0 .

(4.83)

Hay 2 ecuaciones para cada ωk, (k = 1, 2). Sustitucion de una ωk da 2 ecuaciones lineales

para a1(ωk) y a2(ωk) que permiten obtener las amplitudes relativas

a1(ωk)

a2(ωk) .Note que, puesto que las frecuencias ωk son reales, los coeficientes aj(ωk) tambien

deben ser reales.La solucion general de la ecuacion de movimiento para el pequeno desplazamiento

ηj(t) consiste en la superposicion de las soluciones particulares correspondientes a cadaωk,

ηj(t) =k

ckaj(ωk)eiωkt , (4.84)

donde ck son coeficientes que representan la fase compleja. Cabe recordar que se debetomar la parte real para tener las soluciones oscilatorias fısicas.

Definimos las coordenadas o modos normales del sistema como

ξ k ≡ cke

iωkt

, k = 1, 2, . . . , s . (4.85)Luego, se puede escribir

ηj(t) =k

aj(ωk)ξ k , (4.86)

es decir, la solucion general es una combinacion lineal de las coordenadas normales. Enel caso de s = 2, las soluciones generales para los pequenos desplazamientos son

η1 = a1(ω1)ξ 1 + a1(ω2)ξ 2 , η2 = a2(ω1)ξ 1 + a2(ω2)ξ 2 . (4.87)

Cada coordenada normal ξ k satisface la ecuacion

ξ k + ω2kξ k = 0 , (4.88)

que corresponde a un oscilador armonico simple. Luego, cada ξ k describe una oscilacionglobal del sistema con una sola frecuencia ωk: todas las partıculas oscilan con la mismafrecuencia ωk, pero con amplitudes aj(ωk) que pueden ser distintas entre sı. Por ejemplo,para el modo normal ξ 2, con s = 2, tenemos

η1 = a1(ω2)ξ 2 , η2 = a2(ω2)ξ 2 , (4.89)

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4.3. MODOS NORMALES. 165

es decir, cada uno de los 2 grados de libertad oscila con la frecuencia ω2 alrededor de suposicion de equilibrio, pero con amplitudes respectivas a1(ω2) y a2(ω2).En general, la configuracion de un modo normal ξ k esta dada por las amplitudes

relativas correspondientes a ese modo; es decir, por los cocientes de las amplitudes ai(ωk)

aj(ωk).

En sistemas que presentan oscilaciones pequenas con varios grados de libertad, lafrecuencia mayor corresponde al modo normal con amplitudes en fases opuestas.

Ejemplos.

1. Encontrar las frecuencias y la configuracion de los modos normales de vibracion en

un modelo de la molecula lineal CO2.

Figura 4.6: Modelo de la molecula triatomica lineal CO2.

M es la masa del atomo C; m es masa de los atomos O; l es la separacion entre lasposiciones de equilibrio de los atomos; la constante k describe la interaccion C-Ocomo un resorte; l1, l2, miden las distancias entre los atomos fuera del equilibrio.

Sean x01, x02, x03 las posiciones de equilibrio de las tres partıculas, respectivamente.Consideremos pequenos desplazamientos del equilibrio,

ηi = xi − x0i , i = 1, 2, 3. (4.90)

La energıa cinetica es

T = 1

2mx2

1 + 1

2M x2

2 + 1

2mx2

3

= 12

mη21 + 1

2M η2

2 + 12

mη23 . (4.91)

La energıa potencial es

V = 1

2k(l1 − l)2 +

1

2k(l2 − l)2, (4.92)

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166 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

dondel1 − l = (x2 − x1) − (x02 − x01) = η2 − η1, (4.93)

l2 − l = (x3 − x2) − (x03 − x02) = η3 − η2. (4.94)

Luego,

V = 1

2k(η2 − η1)2 +

1

2k(η3 − η2)2

= 1

2k(η2

1 + 2η22 + η2

3 − 2η1η2 − 2η2η3). (4.95)

Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,

T = 1

2 i,j T ij

ηi ηj

, V = 1

2 i,j V ij

ηiηj

, (4.96)

identificamos los coeficientes T ij ,

T 11 = m T 12 = 0 T 13 = 0T 21 = 0 T 22 = M T 23 = 0T 31 = 0 T 32 = 0 T 33 = m,

(4.97)

y los coeficientes V ij ,

V 11 = k V 12 = −k V 13 = 0V 21 = −k V 22 = 2k V 23 = −kV 31 = 0 V 32 = −k V 33 = k.

(4.98)

Las frecuencias estan dadas por la condicion det |V ij − ω2T ij| = 0; es decir,k − ω2m −k 0

−k 2k − ω2M −k0 −k k − ω2m

= 0, (4.99)

la cual conduce a la siguiente ecuacion caracterıstica cubica para ω 2,

(k − ω2m)

(2k − ω2M )(k − ω2m) − k2− k2(k − ω2m) = 0 (4.100)

⇒ ω2(k − ω2m)

k(M + 2m) − ω2M m

= 0. (4.101)

con soluciones

ω1 = 0 , ω2 = km , ω3 = km 1 + 2m

M . (4.102)

Las frecuencias ω2 y ω3 para la molecula de C O2 se encuentran en el infrarrojo. Lafrecuencia angular ω1 = 0 corresponde a una traslacion uniforme de la molecula,puesto que la Ec. (4.88) implica

ζ 1 = 0 ⇒ ζ 1 = cte ⇒ reposo o velocidad constante. (4.103)

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4.3. MODOS NORMALES. 167

La ecuacion para las amplitudes ajj

(V ij − ω2kT ij)aj = 0, (4.104)

equivale a un sistema de 3 ecuaciones para cada ωk,

i = 1 : (k − ω2km)a1 − ka2 = 0

i = 2 : −ka1 + (2k − ω2kM )a2 − ka3 = 0

i = 3 : −ka2 + (k − ω2km)a3 = 0.

(4.105)

Para ω1,a1(ω1) = a2(ω1) = a3(ω1). (4.106)

Figura 4.7: Configuracion del modo normal correspondiente a ω1.

Para ω2,k − ω2

2m = 0, (4.107)

luego,a2(ω2) = 0, a1(ω2) =

−a3(ω2). (4.108)

Figura 4.8: Configuracion del modo normal correspondiente a ω2.

Para ω3, tenemos

k

−ω2

3 m = k

−k1 +

2m

M =

−2mk

M

(4.109)

luego,

a1(ω3) = a3(ω3) (4.110)

a2(ω3) = k − ω2

3 m

k a1(ω3) = −2m

M a1(ω3) (4.111)

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168 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

Figura 4.9: Configuracion del modo normal correspondiente a ω3.

La configuracion de los modos normales refleja el hecho que el momento lineal totalde la molecula es constante, puesto que la fuerza externa total sobre la molecula escero.

2. Encontrar las frequencias de pequenas oscilaciones y los modos normales de unpendulo con soporte deslizante horizontalmente.

Figura 4.10: Pendulo con soporte deslizante horizontalmente.

El Lagrangiano de este sistema ya fue obtenido en el Cap. 1. La energıa cinetica es

T = 1

2(m1 + m2)x2

1 + 1

2m2(l2 θ2 + 2lx1

θ cos θ) , (4.112)

y la energıa potencial,

V = −m2gl cos θ. (4.113)

Las posiciones de equilibrio son θ0 = 0, x0; luego

η1 = x1 − x0, η2 = θ − θ0 = θ. (4.114)

Para pequenos desplazamientos, cos θ = cos η ≈

1−

η 2

2 . Luego,

T = 1

2(m1 + m2)η2

1 + 1

2m2(l2η2

2 + 2lη1 η2) (4.115)

V = 1

2m2glη 2

2 . (4.116)

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4.3. MODOS NORMALES. 169

Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,

V = 1

2

i,j

V ijηiηj , (4.117)

T = 1

2

i,j

T ij ηi ηj , (4.118)

identificamos los coeficientes V ij ,

V 11 = 0, V 12 = 0V 21 = 0, V 22 = m2gl

(4.119)

y los coeficientes T ij,

T 11 = (m1 + m2), T 12 = m2lT 21 = m2l, T 22 = m2l2. (4.120)

Las frecuencias estan dadas por la condicion det |V ij − ω2T ij | = 0, −ω2T 11 −ω2T 12

−ω2T 21 V 22 − ω2T 22,

= 0 (4.121)

la cual conduce a la siguiente ecuacion caracterıstica cuadratica para ω 2,

(ω2)2 T 212 + ω2T 11(V 22 − ω2T 22) = 0, (4.122)

cuyas soluciones sonω2

1 = 0, (4.123)

ω22 =

T 11V 22

T 11T 22 − T 212

= (m1 + m2)m2gl

(m1 + m2)m2l2 − m22l2

= 1 + m2

m1 g

l

. (4.124)

Note que si m1 → ∞ (soporte fijo), entonces ω22 = g/l, correspondiente a la fre-

cuencia para pequenas oscilaciones de un pendulo simple.

La ecuacion para las amplitudes ajj

(V ij − ω2kT ij)aj = 0, (4.125)

equivale a un sistema de 2 ecuaciones para cada ωk,

i = 1 : −ω2k(m1 + m2)a1 − ω2

km2la2 = 0i = 2 : −ω2

km2la1 − (m2gl − ω2km2l2)a2 = 0.

(4.126)

Para ω1 = 0, las amplitudes del modo correspondiente resultan en

a2(ω1) = 0, a1(ω1) = arbitrario. (4.127)

Para ω2,a1(ω2)

a2(ω2) = − m2l

(m1 + m2) < 0, (4.128)

es decir, en este modo las partıculas se mueven siempre con amplitudes opuestas.

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170 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

Figura 4.11: Configuracion del modo normal correspondiente a ω1.

Figura 4.12: Configuracion del modo normal correspondiente a ω2.

3. Dos osciladores armonicos con masas m1 y m2, acoplados verticalmente medianteresortes de constante k y longitud en reposo l.

Figura 4.13: Osciladores armonicos acoplados verticalmente.

Las posiciones de equilibrio de las masas m1 y m2 son y01 y y02, respectivamente.Los pequenos desplazamientos del equilibrio son η1 = y1 − y01, η2 = y2 − y02.

La energıa potencial del sistema es

V = 1

2k(y1 − l)2 +

1

2k(y2 − y1 − l)2 − m1gy1 − m2gy2. (4.129)

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4.3. MODOS NORMALES. 171

Las posiciones de equilibrio estan dadas por∂V

∂y1

(y01,y02)

= 0, ∂V

∂y2

(y01,y02)

= 0 ; (4.130)

esto es,

∂V

∂y1

(y01,y02)

= k(y01 − l) − k(y02 − y01 − l) − m1g = 0 (4.131)

∂V

∂y2

(y01,y02)

= k(y02 − y01 − l) − m2g = 0, (4.132)

lo que conduce a

y01 = l + (m1 + m2)gk

, y02 = y01 + l + m2gk

. (4.133)

La energıa potencial, Ec. (4.129), se puede expresar en terminos de los pequenosdesplazamientos,

V = 1

2

i,j

V ijηiηj , donde V ij = ∂ 2V

∂yi∂yj

(y01,y02)

. (4.134)

Luego,

V 11 = ∂ 2V

∂y 21

(y01,y02)

= 2k (4.135)

V 22 = ∂ 2

V ∂y 2

2

(y01,y02)

= k (4.136)

V 12 = ∂ 2V

∂y1∂y2

(y01,y02)

= −k = V 21 . (4.137)

La energıa potencial del sistema para pequenos desplazamientos del equilibrio sepuede obtener directamente de las contribuciones de la energıa potencial de losresortes como

V = 1

2kη2

1 + 1

2k(η2 − η1)2, (4.138)

lo que da los coeficientes V ij ya encontrados.

La energıa cinetica es

T = 1

2m1 y2

1 + 1

2m2 y2

2 = 1

2m1 η2

1 + 1

2m2 η2

2 . (4.139)

Comparando con la forma

T = 1

2

i,j

T ij ηi ηj, (4.140)

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172 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

tenemosT 11 = m1, T 12 = 0 = T 21, T 22 = m2 . (4.141)

Las frecuencias de oscilacion estan dadas por la condicion det |V ij − ω2T ij | = 0, V 11 − ω2T 11 V 12 − ω2T 12

V 21 − ω2T 21 V 22 − ω2T 22

=

2k − ω2m1 −k−k k − ω2m2

= 0 (4.142)

Note que la energıa potencial gravitacional no influye en las frecuencias de lasoscilaciones, solo cambia las posiciones de equilibrio de las partıculas. Luego,

(2k − m1ω2)(k − m2ω2) − k2 = 0. (4.143)

Llamando x = ω2

, tenemos

m1m2x2 − k(m1 + m2)x + k2 = 0 , (4.144)

x = ω2± =

k

2m1m2

(m1 + 2m2) ±

m2

1 + 4m22

. (4.145)

Las ecuaciones para las amplitudes

j(V ij − ω2T ij)aj = 0, resultan

(2k − ω2km1)a1 − ka2 = 0

−ka1 + (k − ω2km2)a2 = 0

(4.146)

⇒ a1(ωk)

a2(ωk) = 1 − m2ω2

k

k . (4.147)

Para ω1 = ω+,

a1(ω1)

a2(ω1) = 1 − 1

2

1 + 2

m2

m1

+

1 + 4

m2

m1

2 < 0 . (4.148)

En el modo normal correspondiente a ω1 = ω+, las amplitudes estan siempre enfases opuestas.

Para ω2 = ω−,

a1(ω2)a2(ω2)

= 1 − 121 + 2 m2

m1

− 1 + 4m2m1

2 > 0 . (4.149)

Para el modo normal asociado a ω2 = ω−, las amplitudes estan en fase.

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4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS. 173

4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas.Consideremos el movimiento de pequenas oscilaciones de un sistema sobre el cual

actua una fuerza externa. Supongamos, ademas, que el movimiento ocurre en un mediocuyo efecto sobre el movimento no puede ser despreciado. Cuando una partıcula se mueveen un medio, este ejerce una fuerza de resistencia o friccion sobre la partıcula que tiendea retrasar su movimiento. La energıa suministrada por la fuerza externa a la partıculaen movimiento eventualmente se disipa en el medio en forma de calor. Los movimientososcilatorios en presencia de fuerzas externas y de friccion, se denominan oscilaciones

forzadas y amortiguadas .Para velocidades suficientemente pequenas, se sabe experimentalmente que la fuerza

de friccion sobre un cuerpo que se mueve en un medio es opuesta a la direccion de lavelocidad del cuerpo y proporcional a su magnitud. Esto es, f fr = −αv, donde α > 0 es

el coeficiente de friccion caracterıstico del medio.La fuerza externa puede tener cualquier forma; aqui consideraremos el caso de fuer-

zas oscilatorias porque tienen mucho interes y aplicaciones en sistemas fısicos. Esto es,supondremos fuerzas externas de la forma F ext = f cos νt, donde f y ν son la amplitudy la frecuencia angular de la fuerza, respectivamente.

Por simplicidad, consideremos un partıcula que realiza un movimiento oscilatorio conun grado de libertad, sujeto a una fuerza externa y amortiguado. Tomando en cuenta lasconsideraciones anteriores, la ecuacion de movimiento de la partıcula es

mx = −kx − αx + f cos νt. (4.150)

Esta ecuacion tambien describe el movimiento de un modo normal de un sistema convarios grados de libertad, forzado y amortiguado en un medio homogeneo.

La Ec. (4.150) se puede escribir como

x + 2λx + ω2x = f

m cos νt, (4.151)

donde ω2 = k/m y hemos definido la constante 2λ ≡ α/m. La Ec. (4.151) se puedeescribir en forma compleja como

x + 2λx + ω2x = f

m eiνt. (4.152)

La Ec. (4.152) es una ecuacion diferencial ordinaria no homogenea. Su solucion tiene laforma x = xh+x p, donde xh es la solucion de la ecuacion homogenea y x p es una solucionparticular de la Ec. (4.152). La solucion de la Ec. (4.151) corresponde a la parte real dela solucion de la Ec. (4.152).

Buscamos una solucion particular de la Ec. (4.152) en la forma

x p = B eiνt = b ei(νt+δ), (4.153)

donde B = b eiδ es una amplitud compleja, y b, δ ∈ son parametros a determinar.Sustitucion de x p en la Ec. (4.152) conduce a

−ν 2b + i2λνb + ω2b = f

m e−iδ. (4.154)

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174 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

Igualando la parte real y la parte imaginaria en ambos lados de la Ec. (4.154), tenemos

b(ω2 − ν 2) = f

m cos δ, (4.155)

2λνb = − f

m sin δ, (4.156)

de donde obtenemos

tan δ = 2λν

ν 2 − ω2, (4.157)

b = f

m

1

[(ω2 − ν 2)2 + 4ν 2λ2]1/2

. (4.158)

Tomando la parte real de x p, tenemos

x p = b cos(νt + δ ). (4.159)

La solucion xh satisface la ecuacion homogenea

xh + 2λxh + ω2xh = 0. (4.160)

Buscamos una solucion en la forma xh = eirt, donde r es un parametro a determinar.Sustitucion en la Ec. (4.160) conduce a la siguiente ecuaci on para r ,

r2 − i2λr − ω2 = 0. (4.161)

La Ec. (4.161) da dos valores complejos para r ,

r1,2 = iλ ± ω2 − λ2 = iλ ± γ, (4.162)

donde hemos definidoγ ≡

ω2 − λ2, (4.163)

y hemos asumido que ω > λ, de manera que exista movimiento oscilatorio para tiempoasintotico. Luego, la solucion general de la ecuacion homogenea Ec. (4.160) debe ser lacombinacion lineal de eir1t y eir2t, que son complejos conjugados. Entonces, podemosexpresar xh como

xh = e−λt

Aeiγt + A∗e−iγt

= 2 e−λt Re

A eiγt

, (4.164)

donde A = (a/2) eiφ

es una amplitud compleja, con a, φ ∈ . Tomando la parte real dexh, obtenemos

xh = a e−λt cos(γt + φ). (4.165)

Luego, la solucion de la ecuacion de movimiento, Ec. (4.152), es

x(t) = a e−λt cos(γt + φ) + b cos(νt + δ ). (4.166)

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4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS. 175

Para tiempos suficientamente grandes, t 1/λ, el primer termino en la Ec. (4.166) decae,y el movimiento esta determinado por el segundo termino, el cual representa el estadoasintotico y estacionario del sistema. Esto es, el movimiento estacionario corresponde ala solucion

xe(t) = b cos(νt + δ ). (4.167)

La respuesta del sistema en el estado estacionario esta desfasada en un factor δ conrespecto a la fuerza externa. En el movimiento estacionario, existe un flujo de energıaque entra y sale del sistema. La energıa es continuamente absorbida por el sistema desdela fuerza externa, y disipada en el medio por la friccion.

La frecuencia de resonancia de la fuerza externa ν R es aquella para la cual la respuestadel sistema exhibe su maxima amplitud. El valor de ν R se puede determinar a partir dela condicion

db

dν ν R = 0, (4.168)

donde b es la amplitud dada por la Ec. (4.158). Calculamos la derivada como

db

dν =

f

m

2ν [(ω2 − ν 2) − 2λ2]

[(ω2 − ν 2)2 + 4ν 2λ2]3/2. (4.169)

La condicion Ec. (4.168) conduce al valor de la frecuencia de resonancia,

ν R = ω2 − 2λ2. (4.170)

El valor de la amplitud de respuesta del sistema en resonancia es

bmax =

f

m

1

2λ(ω2 − λ2)1/2 . (4.171)

En ausencia de friccion, λ = 0; entonces ν R = ω y b → ∞. Luego, el amortiguamientoreduce el valor de la frecuencia de resonancia y limita el crecimiento de la amplitud enresonancia. Note que si ω2 < 2λ2, la frecuencia ν R tiene un valor imaginario y no hayresonancia; la amplitud b simplemente decrece con el incremento de ν .

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176 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

4.5. Problemas1. Una partıcula de masa m se mueve sin friccion sobre la superficie z = kr 2 (coordenadas

cilındricas), donde z es la direccion vertical y k es constante.a) Encuentre la condicion de estabilidad de una orbita circular de radio ro sobre estasuperficie.b) Encuentre la frecuencia de pequenas oscilaciones radiales alrededor de esta orbitacircular.

2. Una partıcula de masa M cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l,cuyo punto de soporte consiste en otra partıcula de masa m sujeta horizontalmente ados resortes de constante k cada uno.a) Encuentre las frecuencias de pequenas oscilaciones para este sistema.

b) Encuentre y dibuje esquematicamente la configuracion de los modos normales co-rrespondientes a esas frecuencias.

3. Un pendulo triple consiste en tres masas, λm, m y m, unidas por varillas de longitudl cada una.a) Determine el valor del parametro λ tal que una de las frecuencias para pequenasoscilaciones de este sistema sea igual a la frecuencia de un pendulo simple de longitudl/2 y masa m.b) Encuentre y dibuje esquematicamente el modo normal correspondiente a esta fre-cuencia del sistema.

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4.5. PROBLEMAS 177

4. Considere dos pendulos de longitud l y masa m cada uno, acoplados por un resortede constante k .a) Encuentre las frecuencias de pequenas oscilaciones del sistema.b) Encuentre y dibuje esquematicamente las configuraciones de los modos normalescorrespondientes a estas frecuencias.

5. Encuentre las frecuencias y las configuraciones de los modos normales correspondien-tes a pequenas oscilaciones longitudinales del sistema de dos masas y tres resortesmostrado en la figura.

6. Considere un sistema formado por tres partıculas de masa m cada una, las cualesse mueven sin friccion sobre una circunferencia de radio R, conectadas entre sı porresortes identicos de constante k a lo largo de la circunferencia.a) Encuentre las frecuencias para pequenas oscilaciones de este sistema.b) Encuentre y dibuje esquematicamente la configuracion de los modos normales co-rrespondientes a estas frequencias.

7. Calcule las frecuencias y las configuraciones de correspondientes los modos normalespara pequenas oscilaciones transversales de un sistema formado por dos masas m,conectadas entre sı y a las paredes por resortes horizontales de constante k cada uno.

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178 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

8. Dos partıculas con masa m y carga +q cada una estan conectadas entre sı y a paredesfijas mediante resortes iguales de constante k y longitud en reposo l. Encuentre laecuacion caracterıstica para las frecuencias del sistema.

9. Encuentre las frecuencias para oscilaciones verticales y los correspondientes modosnormales para el sistema de tres masas y tres resortes mostrado en la figura.

10. Un bloque de masa m se encuentra unido por medio de un resorte de constante ka una cuna de masa M y altura h que forma un angulo α con la horizontal, comose muestra en la figura. La masa M puede deslizarse sobre la superficie horizontal.

Desprecie la friccion.a) Calcule las frecuencias de pequenas oscilaciones del sistema alrededor del equilibrio.b) Encuentre y dibuje esquematicamente las configuraciones relativas de los modosnormales correspondientes a cada frecuencia del sistema.

11. Considere una masa m colgada verticalmente de un resorte de constante k en el campogravitacional terrestre, e inmersa en un medio viscoso cuyo coeficiente de friccion esα.a) Encuentre la ecuacion de movimiento de la masa.b) Encuentre la trayectoria en funcion del tiempo.c) Describa el estado estacionario del sistema.

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4.5. PROBLEMAS 179

12. Un sistema consiste en dos aros, de radio a y masa m cada uno, que pueden girarsin friccion alrededor de ejes que pasan por sus respectivos centros fijos. Los arosestan conectados entre ellos por un resorte de constante k1, y a su vez cada unoesta conectado a una pared fija mediante un resorte de constante k2.a) Calcule las frecuencias para pequenas oscilaciones en este sistema.b) Encuentre y dibuje las configuraciones de los modos normales correspondientes acada frecuencia del sistema.

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180 CAP ITULO 4. OSCILACIONES PEQUE NAS

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Capıtulo 5

Movimiento de cuerpos rıgidos

5.1. Velocidad angular de un cuerpo rıgido.

Un cuerpo rıgido es un sistema de partıculas cuyas distancias mutuas son fijas, i.e.,no varıan en el tiempo. Por ejemplo, los cuerpos solidos, las estructuras fijas, andamios,son cuerpos rıgidos.

La descripcion del movimiento de un cuerpo rıgido se puede hacer en terminos de laposicion de su centro de masa y de la orientaci on relativa del cuerpo en el espacio. Estorequiere de dos sistemas de coordenadas:

1. Un sistema inercial o laboratorio, denotado por (x,y,z) y con origen O .

2. Un sistema en movimiento, fijo en el cuerpo, con origen en el centro de masa (CM ),identificado por (x1, x2, x3).

Figura 5.1: Sistemas de coordenadas para un cuerpo rıgido.

181

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182 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Mediante estos sistemas de coordenadas, un pequeno desplazamiento general del cuer-po rıgido se puede representar como la suma de dos movimientos:

1. Translacion del centro de masa, sin cambiar la orientacion relativa entre (x,y,z) y(x1, x2, x3).

2. Rotacion de las coordenadas (x1, x2, x3) alrededor de un eje que pasa por el centrode masa.

La posicion R de cualquier punto P del cuerpo rıgido en un instante dado con respectoal sistema de referencia del laboratorio (x,y,z) es

R = Rcm + r, (5.1)

donde

Rcm : posicion del centro de masa con respecto al laboratorio (x,y,z), (5.2)

r : posicion de P con respecto al sistema fijo en el cuerpo (x1, x2, x3). (5.3)

Consideremos un desplazamiento infinitesimal de P en el laboratorio,

dR = dRcm + dr. (5.4)

Un cambio infinitesimal dr en las coordenadas (x1, x2, x3) solo puede deberse a uncambio de direccion del vector r, no a un cambio de su magnitud (puesto que la distanciade P al centro de masa es fija). Luego, un cambio dr debe ser el resultado de una rotacioninfinitesimal alrededor de un eje dado instantaneo que pasa por el centro de masa delcuerpo rıgido.

Figura 5.2: Rotacion infinitesimal alrededor de un eje instantaneo con direccion dΦ que pasapor el centro de masa.

Sea dΦ la magnitud el angulo infinitesimal de rotacion alrededor del eje que pasa porel centro de masa cuya direccion es dΦ. El sentido de la rotacion se asigna segun la reglade la mano derecha, con el pulgar derecho apuntando en la direccion dΦ.

Sea θ el angulo entre la direccion dΦ y el vector r. El vector dr es perpendicular alplano (dΦ, r). Su magnitud es dr = (r sin θ)dΦ y su direccion esta dada por

dr = dΦ × r. (5.5)

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5.2. ANGULOS DE EULER. 183

Luego, dR = dRcm + dΦ × r, (5.6)

y la variacion en el tiempo es

dR

dt =

dRcm

dt +

dt × r, (5.7)

lo cual puede escribirse comov = vcm + Ω × r, (5.8)

donde

v = dR

dt : velocidad de P en el laboratorio (x,y,z), (5.9)

vcm = dRcmdt

: velocidad de traslacion del centro de masa en (x,y,z), (5.10)

Ω = dΦ

dt : velocidad angular instantanea de rotacion. (5.11)

La direccion de la velocidad angular Ω es la misma que la del vector dΦ. En general,la direccion y la magnitud de Ω pueden cambiar durante el movimiento del cuerpo rıgido.En un instante dado, todos los puntos del cuerpo estan girando con la misma velocidadangular Ω.

Figura 5.3: Velocidad angular Ω alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.

5.2. Angulos de Euler.

La ubicacion de un punto P de un cuerpo rıgido en el sistema de referencia dellaboratorio (x,y,z) esta dada por el vector Rcm y por la direccion del vector r, ya quela magnitud de r no puede cambiar. La direccion de r esta dada por la orientacionrelativa de los ejes (x1, x2, x3) del sistema de referencia fijo en el cuerpo con respecto a

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184 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

los ejes (x,y,z) del sistema de referencia del laboratorio. La descripcion de la orientacionrelativa entre dos sistemas de coordenadas cartesianas requiere de tres angulos entre losrespectivos ejes de cada sistema. Luego, un cuerpo rıgido posee en total 6 grados delibertad: tres coordenadas para la posicion del centro de masa en el laboratorio y tresangulos para describir la orientacion del cuerpo con respecto al sistema del laboratorio.

Se escogen como angulos convenientes los ´ angulos de Euler , por cuanto estos describende manera natural los movimientos giratorios de un cuerpo rıgido, tal como un trompo.Estos movimientos son: precesi´ on (rotacion alrededor de un eje fijo en el laboratorio),nutaci´ on (inclinacion con respecto al eje fijo) y rotaci´ on (rotacion del cuerpo sobresı mismo).

Figura 5.4: Movimientos de un cuerpo rıgido en terminos de angulos de Euler. P : precesion φ(rotacion alrededor de un eje fijo en el laboratorio); N : nutacion θ (inclinacion con respecto al

eje fijo; y R: rotacion ψ (rotacion del cuerpo sobre sı mismo).

Para determinar la orientacion de los ejes (x1, x2, x3) con respecto a los ejes (x,y,z)mediante los angulos de Euler, hacemos coincidir los orıgenes de ambos sistemas, CM yO. Los angulos de Euler se definen de acuerdo a las rotaciones de los ejes (x1, x2, x3) conrespecto a los ejes fijos (x,y,z), mostradas en la Fig. (5.5), de la siguiente manera:

(a) Angulo de precesi´ on , φ ∈ [0, 2π]: angulo de rotacion con respecto al eje z, sobre elplano (x, y), medido desde el eje x hasta el eje x1 = N , donde N es la lınea deinterseccion del plano (x1, x2) con el plano (x, y), y se denomina lınea nodal .

(b) Angulo de nutaci´ on , θ ∈ [0, π]: angulo de rotacion con respecto a la lınea nodal N ,medido desde z hasta x3.

(c) Angulo de rotaci´ on , ψ ∈ [0, 2π]: angulo de rotacion con respecto al eje x3, sobre elplano (x1, x2), medido desde N a x1.

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186 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Las velocidades angulares φ, θ y ψ pueden expresarse en terminos de sus componenteso proyecciones sobre los ejes (x1, x2, x3).

Figura 5.7: Angulos de Euler y orientacion de los ejes (x1, x2, x3) con respecto a los ejes (x,y,z ).

Las componentes de ψ = ( ψ1, ψ2, ψ3) sobre los ejes (x1, x2, x3) son:

ψ3 = ψ, en direccion del eje x3, (5.12)

ψ2 = 0, (5.13)

ψ1 = 0. (5.14)

Para obtener las componentes de θ y ψ sobre los ejes (x1, x2, x3), consideremos laFig. (5.8).

Figura 5.8: Izquierda: componente φ3 y proyeccion de φ sobre el plano (x1, x2). Derecha: Com-ponentes φ2 y φ2 de la proyeccion de φ sobre el plano (x1, x2).

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5.3. ENERGIA CIN ETICA Y TENSOR DE INERCIA. 187

Las componentes de θ = (θ1, θ2, θ3) en la Fig. (5.8) son:

θ1 = θ cos ψ, (5.15)

θ2 = −θ sin ψ, (5.16)

θ3 = 0, puesto que θ es perpendicular a x3. (5.17)

Por ultimo, consideremos las componentes de φ = ( φ1, φ2, φ3). La proyeccion de φsobre el eje x3 es

φ3 = φ cos θ. (5.18)

La proyeccion de φ sobre el plano (x1, x2) es igual a φ sin θ. Luego, las componentes φ2

y φ2 sobre el plano (x1, x2) son

φ1 = ( φ sin θ)sin ψ, (5.19)

φ2 = ( φ sin θ)cos ψ. (5.20)

La velocidad angular instantanea Ω del cuerpo rıgido es una combinacion de rotacio-nes asociadas a los tres angulos de Euler. Las componentes del vector Ω = (Ω1, Ω2, Ω3)en el sistema (x1, x2, x3) se pueden expresar en terminos de los angulos de Euler (θ,φ,ψ)y de sus correspondientes velocidades angulares (θ, φ, ψ).

Podemos escribir para cada componente Ωi,

Ωi = θi + φi + ψi i = 1, 2, 3. (5.21)

Reagrupando las componentes de φ, θ y ψ, y sustituyendo en la Ec. (5.21), tenemos

Ω1 = φ sin θ sin ψ + θ cos ψ (5.22)

Ω2 = φ sin θ cos ψ − θ sin ψ (5.23)

Ω3 = ψ + φ cos θ. (5.24)

5.3. Energıa cinetica y tensor de inercia.

La energıa potencial de interaccion entre las partıculas de un cuerpo rıgido es cons-tante; toda la energıa potencial del cuerpo equivale a la energıa potencial de su centrode masa.

Por otro lado, la energıa cinetica de un cuerpo rıgido cuya velocidad angular ins-tantanea es Ω, esta dada por

T =

1

2

cuerpo

j mjv

2

j , j = 1, 2, . . . (5.25)

donde la sumatoria sobre j se extiende a todas las partıculas del cuerpo, mj es la masade la partıcula j del cuerpo y vj es su velocidad, dada por la Ec. (5.8),

vj = vcm + Ω × rj , (5.26)

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188 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

donde rj = (x1( j), x2( j), x3( j)). La velocidad angular Ω es la misma para todas laspartıculas del cuerpo. Luego,

T = 1

2

j

mj (vcm + Ω × rj)2

= 1

2

j

mjv2cm +

j

mjvcm · (Ω × rj) + 1

2

j

mj(Ω × rj)2 . (5.27)

El primer termino en la Ec. (5.27) es

1

2

j

mjv2cm =

1

2

j

mj

v2

cm = 1

2M V 2

cm. (5.28)

donde M = j mj es la masa total del cuerpo.El segundo termino en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectoriala · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b), la cual conduce a

j

mjvcm · (Ω × rj) =j

mjrj · (vcm × Ω) = (vcm × Ω) ·

0

j

mjrj

= 0 , (5.29)

puesto que en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3) con origen en el centro de masa

Rcm =

j mjrj

M = 0. (5.30)

El tercer termino en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial

(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c), la cual da(Ω × rj)2 = (Ω × rj) · (Ω × rj) = Ω2 r2

j − (Ω · rj)2. (5.31)

Sustituyendo en la Ec. (5.27), tenemos

T = 1

2M v2

cm + 1

2

j

mj

Ω2 r2

j − (Ω · rj)2

(5.32)

= T cm + T rot, (5.33)

donde el primer termino es la energıa cinetica de traslacion del cuerpo y el segundotermino corresponde a la contribucion debida a la rotacion del cuerpo rıgido.

Se puede expresar

Ωi = k Ωkδ ik, i, k = 1, 2, 3, (5.34)

Ω2 =i

Ω2i =

i

Ωi

k

Ωkδ ik =i,k

ΩiΩkδ ik, (5.35)

(Ω · rj)2 =

i

Ωixi( j)

k

Ωkxk( j)

=i,k

ΩiΩkxi( j)xk( j) . (5.36)

Page 189: Guia Mecanica Cla Sica

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5.3. ENERGIA CIN ETICA Y TENSOR DE INERCIA. 189

En lo que sigue, suprimiremos el ındice j de las partıculas en la componentes de rj , i.e.,xk( j) → xk. Luego,

T rot = 1

2

cuerpoj

mj

i,k

ΩiΩkr2

j δ ik − ΩiΩkxixk

= 1

2

i,k

ΩiΩk

j

mj

r2j δ ik − xixk

, (5.37)

donde i, k = 1, 2, 3 y el ındice j cuenta las partıculas del cuerpo. La Ec. (5.37) se puedeescribir en la forma

T rot = 1

2

i,k

I ikΩiΩk , (5.38)

donde hemos definido el tensor de inercia del cuerpo rıgido como

I ik ≡j

mj

r2j δ ik − xixk

. (5.39)

El tensor de inercia se puede expresar como una matriz,

I =

I 11 I 12 I 13

I 21 I 22 I 23

I 31 I 32 I 33

=

j mj(x2

2 + x23) −

j mjx1x2 −j mjx1x3

−j mjx2x1 j mj(x21 + x2

3) −j mjx2x3

−j mjx3x1 −j mjx3x2 mj(x2

1 + x2

2)

. (5.40)

El tensor de inercia es simetrico, I ik = I ki, por lo que posee solamente seis compo-nentes independientes. El tensor I ik es una propiedad del cuerpo rıgido que caracterizala distribucion de masa del cuerpo en torno a los ejes (x1, x2, x3). Fısicamente, cada com-ponente del tensor de inercia expresa la resistencia o inercia de un cuerpo a ser rotado entorno a un eje dado. Por ejemplo, I 33 mide la resistencia del cuerpo a ser rotado alrededordel eje x3.

Con una escogencia adecuada de los ejes (x1, x2, x3) para cuerpos simetricos, es posiblehacer que I sea diagonal: I ik = 0, si i = k. En ese caso,

T rot = 1

2(I 11Ω2

1 + I 22Ω22 + I 33Ω2

3). (5.41)

Para una distribucion continua de masa, pasamos al lımite continuo j mj → ρdV ,donde ρ es la densidad y dV = dx1 dx2 dx3 es el elemento de volumen del cuerpo. En esecaso, el tensor de inercia se expresa como

I ik =

ρ(r)[r2δ ik − xixk] dV . (5.42)

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190 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Teorema de los ejes paralelos.Sea I ik el tensor de inercia de un cuerpo rıgido, expresado en el sistema decoordenadas (x1, x2, x3) con origen en el centro de masa del cuerpo. Entonces,en un sistema diferente de coordenadas fijas (x1, x2, x3), cuyo origen O seencuentra en una posicion a con respecto al centro de masa del cuerpo, eltensor de inercia es

I ik = I ik +j

mj(a2δ ik − aiak). (5.43)

Figura 5.9: Diferentes sistemas de coordenadas fijas para un cuerpo rıgido.

Demostracion:El tensor de inercia en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3) con origen en el centro de

masa del cuerpo, esI ik =

j

mj

r2j δ ik − xixk

. (5.44)

Supongamos un sistema diferente de coordenadas fijas (x1, x2, x3), cuyo origen O seencuentra en una posicion a con respecto al centro de masa del cuerpo. La posici on deun punto P del cuerpo en el sistema (x1, x2, x3) es

rj = a + rj , (5.45)

⇒ xi = ai + xi. (5.46)

Luego, en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3), tenemos

I ik = j

mj(r2j δ ik − xixk) , (5.47)

donde

r2j = (rj − a)2 = r2j + a2 − 2

l

xlal. (5.48)

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5.3. ENERGIA CIN ETICA Y TENSOR DE INERCIA. 191

Sustituyendo,

I ik =j

mj

r2j + a2 − 2

l

xlal

δ ik − (xi − ai)(xk − ak)

(5.49)

=j

mj

r2j δ ik − xixk

+j

mj(a2δ ik − aiak) (5.50)

−2j

mj

l

xlalδ ik +j

mjxiak +j

mjxkai. (5.51)

Pero en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3), tenemos

j

mjxiak = ak

0

j

mjxi( j) = 0, (5.52)

j

mjxkai = ai

0

j

mjxk( j)

= 0. (5.53)

Ademas,

j

mj

l

xlal =l

al

0

j

mjxl( j)

= 0. (5.54)

Luego tenemos,

I ik = I ik +j

mj(a2δ ik − aiak). (5.55)

En particular, si i = k, el Teorema de ejes paralelos implica que

I 33 = I 33 +

mj(a2 − a23)

= I 33 +

mj(a21 + a2

2)

= I 33 + Ma2⊥ , (5.56)

donde M es la masa total del cuerpo y a⊥ = a21 + a2

2 es la distancia perpendicular entre

ejes x3 y x3.En general,

I ii = I ii + Ma2⊥ , (5.57)

donde a⊥ es la distancia perpendicular entre ejes xi y xi.

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192 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Ejemplos.

1. Momentos de inercia de un cuerpo rıgido plano.

Figura 5.10: Cuerpo rıgido plano.

Llamemos (x1, x2) al plano del cuerpo rıgido. Entonces el eje x3 es perpendicularal cuerpo y rj = (x1( j), x2( j), 0), ∀ j. Luego,

I 11 =j

mjx22, (5.58)

I 22 =j

mjx21, (5.59)

I 33 =

mj(x21 + x2

2) = I 11 + I 22. (5.60)

2. Momentos de inercia de un aro uniforme, de masa M y radio R.

Figura 5.11: Aro.

Sea x3 el eje perpendicular al plano del aro. Entonces,

I 33 = (x21 + x

22)ρ dV = R

2 ρ dV = M R2

. (5.61)

El aro posee simetrıa axial con respecto al eje x3; luego I 11 = I 22. Adicionalmente,puesto que el aro es un cuerpo rıgido plano, tenemos

I 11 = I 22 = I 33

2 =

1

2MR2. (5.62)

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5.3. ENERGIA CIN ETICA Y TENSOR DE INERCIA. 193

3. Momentos de inercia de un cilindro uniforme de altura h, radio R y masa M .

Figura 5.12: Cilindro.

El elemento de volumen en coordenadas cilındricas es dV = h r dr dθ, donde r2

=x2

1 + x22. La densidad de masa es ρ =

M

πR2h. Entonces,

I 33 = ρ

(x2

1 + x22) dV

= ρ

R0

hr2r dr

0

= 1

2MR2. (5.63)

Por simetrıa, los momentos de inercia I 11 = I 22.

I 11 = ρ (x22 + x2

3) dV = ρ x22 dV + ρ x2

3 dV. (5.64)

Primer termino:

ρ

x2

2 dV = ρ h

R0

0

(r sin θ)2rdrdθ

= ρ h

R0

r3 dr

0

sin2 θ dθ = ρhπR4

4 =

1

4MR2. (5.65)

Segundo termino:

ρ

x2

3 dV = ρ

h/2

−h/2

x23 dx3

R0

r dr

0

= 1

12M h2. (5.66)

Luego,

I 11 = 1

12Mh2 +

1

4MR2

= M

4

R2 +

h2

3

= I 22. (5.67)

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194 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Note que si R → 0, tenemos una varilla uniforme de longitud h y masa M .

Figura 5.13: Varilla de longitud L.

En ese caso,

I 33 = 0, (5.68)

I 11 = I 22 = 1

12ML2, (5.69)

donde hemos llamado h = L. Por otro lado, si h → 0 tenemos un disco uniformede masa M y radio R. Entonces,

I 33 = 1

2MR2. (5.70)

I 11 = I 22 = I 33

2 . (5.71)

4. Sea una varilla de longitud L y masa M . Calcular el momento de inercia I 22 conrespecto a un eje x2 que pasa por un extremo de la varilla, paralelo al eje x2.

Figura 5.14: Ejes paralelos x2 y x2 para un varilla de longitud L.

Tenemos a = (0, 0,

−L/2) y a

⊥ = a = L/2. Luego,

I 22 = I 22 + Ma2⊥ (5.72)

= I 22 + M L2

4 =

1

12M L2 +

1

4ML2 (5.73)

= 1

3ML2 . (5.74)

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5.3. ENERGIA CIN ETICA Y TENSOR DE INERCIA. 195

5. Momentos de inercia de una esfera uniforme, de masa M y radio R.

Figura 5.15: Cuerpo rıgido esferico.

La simetrıa esferica implica que I 11 = I 22 = I 33. Por otro lado, la suma

I 11 + I 22 + I 33 = 2j

mj(x21 + x2

2 + x23) = 2

j

mjr2j . (5.75)

Luego, para una esfera

3I 11 = 2j

mjr2j . (5.76)

Para una distribucion continua y uniforme de masa, tenemos

I 11 = 2

3

r2ρ dV

= 2

R0

r2(4πr2) dr = 2

34πρ

R5

5 . (5.77)

Sustituyendo la densidad de masa ρ = 3M 4πR3

, obtenemos

I 11 = I 22 = I 33 = 2

5MR2. (5.78)

Si tenemos un cascaron esferico de radio R y masa M , la densidad de masa se puede

expresar como ρ = M

4πR2 δ (r − R), donde δ (r − R) es la funcion delta de Dirac, tal

que δ (r − R) = 0 si r = R. La integral de volumen de esta densidad da la masa delcascaron,

ρ dV = M

4πR2

∞0

4πr2 δ (r − R) dr = M. (5.79)

Luego, los momentos de inercia de un cascaron esferico de radio R y masa M son

I 11 = I 22 = I 33 = 23 r2ρ dV

= 2

3

M

4πR2

R0

4πr4 δ (r − R) dr

= 2

3M R2. (5.80)

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196 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

6. Energıa cinetica de un elipsoide (I 11 = I 22 = I 33) que rota sobre eje AB convelocidad angular ω , y sobre eje C D con velocidad angular ν , como se muestra enla Fig. (5.16).

Figura 5.16: Elipsoide en rotacion simultanea sobre dos ejes perpendiculares.

Escogemos eje AB en la direccion x3. Entonces los ejes x1 y x2 rotan alrededor deAB = x3. La direccion de ω es a lo largo de x3 y la direccion de ν esta sobre elplano (x1, x2).

Figura 5.17: Velocidad angular ν sobre el plano (x1, x2).

La velocidad angular del cuerpo es Ω = (Ω1, Ω2, Ω3), donde

Ω3 = ω (5.81)

Ω1 = ν cos ωt (5.82)

Ω2 = ν sin ωt. (5.83)

Luego,

T = T rot = 1

2I 11Ω2

1 + 1

2I 2Ω2

22 + 1

2I 33Ω2

3

= 1

2(I 11 cos2 ωt + I 22 sin2 ωt)ν 2 +

1

2I 33ω2 . (5.84)

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5.3. ENERGIA CIN ETICA Y TENSOR DE INERCIA. 197

7. Energıa cinetica de un cilindro de masa M y radio a, rodando sin deslizar dentrode una superficie cilındrica de radio R > a.

Figura 5.18: Izquierda: Cilindro rodando sin deslizar dentro de otro cilindro. Derecha: Condicionde rodar sin deslizar para el cilindro de radio a

La energıa cinetica esT = T cm + T rot , (5.85)

donde

T cm = 1

2Mv2

cm . (5.86)

La velocidad de traslacion del centro de masa es

V cm = (R − a)θ . (5.87)

Sea x3 = z el eje del cilindro rodante. Entonces Ω = Ω3 x3, y

T rot = 1

2I 33Ω2

3 . (5.88)

La condicion de rodar sin deslizar implica que

V cm = ds

dt = a ψ = aΩ3 . (5.89)

Luego,

Ω3 = V cm

a =

(R − a)θ

a . (5.90)

Sustitucion en la Ec. (5.85) da

T = 1

2M (R − a)2 θ2 +

1

2I 33

(R − a)2

a2θ2 . (5.91)

Para el cilindro rodante, I 33 = 12 M a2 . Sustituyendo,

T = 1

2M (R − a)2 θ2 +

1

4M (R − a)2 θ2

= 3

4M (R − a)2 θ2 . (5.92)

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198 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

5.4. Momento angular de un cuerpo rıgido.El momento angular de un sistema depende del conjunto de coordenadas con respecto

al cual esten definidas las posiciones de las partıculas del sistema. Para un cuerpo rıgido,es conveniente escoger el sistema de coordenadas (x1, x2, x3) con origen en el centro demasa para definir el momento angular del cuerpo,

l =j

rj × pj =j

mj(rj × vj), (5.93)

donde rj es el vector de posicion de la particula j en las coordenadas (x1, x2, x3).

Figura 5.19: Sistema de referencia para definir el momento angular de un cuerpo rıgido.

La velocidad de la partıcula j en este sistema se debe solo a la rotacion del cuerpo, yesta dada por

vj = Ω × rj , (5.94)

donde Ω es la velocidad angular instantanea del cuerpo. Luego,

l = j

mjrj × (Ω × rj). (5.95)

Usando la identidad vectorial A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C, podemos expresar

l =j

mj [r2jΩ − (rj · Ω)rj ] (5.96)

Consideremos la componente i del vector l en la Ec. (5.96),

li =j

mj

r2jΩi − xi( j)

k

xk( j)Ωk

= j

mj

k

Ωk

r2

jδ ik −

k

xi( j)x

k( j)Ω

k=

j

mj

k

Ωk[r2j δ ik − xi( j)xk( j)]

=k

Ωk

j

mj

r2j δ ik − xi( j)xk( j)

. (5.97)

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5.4. MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO R IGIDO. 199

Recordemos que el tensor de inercia es

I ik =j

mj [r2j δ ik − xi( j)xk( j)]. (5.98)

Luego, podemos escribir la componente i del vector l como

li =

3k=1

I ikΩk. (5.99)

En forma vectorial esto esl = I Ω, (5.100)

donde I es la forma matricial del tensor de inercia, Ec. (5.40).

En particular, si I es diagonal,

l1 = I 11Ω1, (5.101)

l2 = I 22Ω2, (5.102)

l3 = I 33Ω3. (5.103)

Note que, en general, el momento angular l no es paralelo a la direccion de la velocidadangular Ω.

Figura 5.20: Momento angular l y velocidad angular Ω de un cuerpo rıgido.

En el caso en que Ω tenga solamente una componente sobre un eje xk, tenemosΩ = Ωxk; entonces l es paralelo a Ω, es decir, l = I kkΩxk. Igualmente, para cuerpos consimetrıa esferica, I 11 = I 22 = I 33, y l = I 11Ω; l es paralelo a Ω.

Ejemplo.

1. Rotacion libre de un trompo.

Un trompo es un cuerpo rıgido que posee dos momentos principales de inerciaiguales, por ejemplo I 11 = I 22 = I 33. Se escoge x3 como el eje de simetrıa axial.Los ejes x1 y x2 pueden apuntar en cualquier direccion, manteniendo su mutuaperpendicularidad.

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200 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Un trompo libre de torque tiene τ = 0 y, por lo tanto l = cte. Por ejemplo, lafuerza de gravedad no ejerce torque sobre un trompo en caıda libre. Escogemos ladireccion constante del vector l en la direccion del eje z, sobre el plano (x2, x3).Entonces, l1 = 0. La simetrıa axial implica que la descripcion del movimiento nodepende del valor del angulo ψ; podemos fijar ψ = 0. Esto equivale a escoger ladireccion del eje x1 paralela a la linea nodal.

Figura 5.21: Rotacion de un trompo libre.

Sea θ el angulo entre la direccion de l y el eje x3. Las componentes de l son entonces

l1 = 0 (5.104)

l2 = l sin θ, (5.105)

l3 = l cos θ. (5.106)

En terminos de los angulos de Euler, las componentes de l (con ψ = 0) se puedenexpresar como

l1 = I 11Ω1 = I 11 θ (5.107)

l2 = I 22Ω2 = I 11 φ sin θ (5.108)

l3 = I 33Ω3 = I 33 ( ψ + φ cos θ) . (5.109)

Luego,0 = I 11

θ ⇒ θ = cte , (5.110)

es decir, no hay movimiento de nutacion en un trompo libre. Por otro lado,

l sin θ = I 11 φ sin θ ⇒ φ =

l

I 11 = cte , (5.111)

es decir, el eje axial x3 del trompo precesa con velocidad angular constante φalrededor de la direccion fija de l, describiendo un cono con vertice en el centro demasa del trompo y cuyo angulo de vertice es θ. Entonces, todo el plano (x2, x3)rota con velocidad angular φ = cte alrededor de l.

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5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R IGIDOS. 201

La velocidad angular de rotacion del trompo sobre su eje de simetrıa x3 se obtienede

l cos θ = I 33 ( ψ + φ cos θ) (5.112)

⇒ ψ = l cos θ (I 11 − I 33)

I 11I 33= cte . (5.113)

Las componentes de la velocidad angular Ω son

Ω1 = θ = 0 (5.114)

Ω2 = l sin θ

I 11= cte (5.115)

Ω3 = l cos θ

I 33= cte, (5.116)

es decir que Ω yace siempre sobre el plano (x2, x3). Como el plano (x2, x3) rotaalrededor de l, entonces Ω tambien precesa alrededor de la direccion fija de l conφ = cte.

5.5. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rıgidos.

Las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rıgidos pueden plantearse en terminos delos angulos de Euler, que describen los grados de libertad correspondientes al movimientode rotacion del cuerpo.

La energıa cinetica de rotacion de un cuerpo rıgido esta dada por la Ec. (5.38),

T rot = 1

2

i,k

I ikΩiΩk , (5.117)

Las componentes Ωi de la velocidad angular pueden expresarse en funci on de losangulos de Euler (θ,φ,ψ) y de sus correspondientes velocidades,

Ω1 = φ sin θ sin ψ + θ cos ψ (5.118)

Ω2 = φ sin θ cos ψ − θ sin ψ (5.119)

Ω3 = ψ + φ cos θ. (5.120)

La energıa potencial del cuerpo corresponde a la energıa potencial de su centro demasa, y en general tambien puede expresarse en terminos de los angulos de Euler. Luego,el Lagrangiano de un cuerpo rıgido puede expresarse como

L = T − V = L(θ,φ,ψ, θ, φ, ψ, t). (5.121)

En general, las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rıgidos pueden ser complicadas.Los casos mas simples son los que presentan simetrıas, como los cuerpos con simetrıaaxial (trompos) o esferica.

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202 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Ejemplos.

1. Como ejemplo de ecuaciones de movimiento de un cuerpo rıgido, consideremos untrompo en el campo gravitacional terrestre, y cuyo punto inferior est a fijo (tambienllamado trompo de Lagrange ).

Sean I 11 = I 22 = I 33 los momentos de inercia del trompo, m la masa del trompo,y llamemos h la distancia desde el centro de masa al punto inferior fijo O .

Figura 5.22: Trompo con punto inferior fijo.

Para este problema conviene tomar, tanto el origen del sistema de coordenadas fijo

en el cuerpo (x1, x2, x3) como el origen del sistema del laboratorio (x,y,z), en elpunto O .

La energıa potencial del trompo, con respecto a O , es

V = mgz = mgh cos θ. (5.122)

Consideremos los momentos de inercia con respecto al sistema de coordenadascon origen en O, el cual esta ubicado en a = (0, 0, −h) con respecto al sistemade coordenadas con origen en el centro de masa. De acuerdo al teorema de ejesparalelos, los momentos de inercia con respecto a los ejes del sistema centrado enO son

I ik = I ik + m(a2δ ik

−aiak), (5.123)

donde m es la masa del cuerpo. Luego,

I 11 = I 11 + mh2 (5.124)

I 22 = I 11 (5.125)

I 33 = I 33. (5.126)

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5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R IGIDOS. 203

La energıa cinetica de traslacion del centro de masa puede ser considerada constante(el trompo no se traslada, debido al punto fijo O). La energıa cinetica de rotaciones

T rot = 1

2(I 11Ω2

1 + I 22Ω22 + I 33Ω2

3), (5.127)

donde las componentes de la velocidad angular Ω estan dadas en funcion de losangulos de Euler, Ec. (5.118). Sustitucion da

T rot = 1

2I 11(θ2 + φ2 sin2 θ) +

1

2I 33( ψ + φ cos θ)2. (5.128)

Tambien se hubiera podido tomar ψ = 0 (eje x1 igual a la linea nodal) en las com-ponentes de la velocidad angular, debido a la simetrıa axial del trompo alrededordel eje x3.

El Lagrangiano del sistema es

L = T − V = 1

2I 11(θ2 + φ2 sin2 θ) +

1

2I 33( ψ + φ cos θ)2 − mgh cos θ. (5.129)

La ecuacion de Lagrange para ψ es

d

dt

∂L

∂ ψ

− ∂ L

∂ψ = 0. (5.130)

La coordenada ψ es cıclica,

∂L

∂ψ = 0 (5.131)

⇒ ∂L

∂ ψ = I 33( ˙ψ +

˙φ cos θ) = I 33Ω3 = l3 = cte. (5.132)

La ecuacion de Lagrange para φ es

d

dt

∂L

∂ φ

− ∂ L

∂φ = 0. (5.133)

La coordenada φ tambien es cıclica,

∂L

∂φ = 0 (5.134)

⇒ ∂L

∂ φ= (I 11 sin2 θ + I 33 cos2 θ) φ + I 33

ψ cos θ = lz = cte. (5.135)

Para interpretar las cantidades conservadas relacionadas con las coordenas cıclicasψ y φ, notamos que el torque ejercido por el peso del trompo (fuerza externa) esτ = hmg(z× x3), el cual tiene direccion perpendicular al plano (x3, z), al igual queel vector dl del cambio de momento angular del trompo. Luego, no hay componentesdel torque en las direcciones x3 ni z, como tampoco hay cambios del vector momentoangular en esas direcciones, por lo que l3 = cte y lz = cte.

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204 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Figura 5.23: Direccion del vector torque y del vector de cambio de momento angular dl.

Para obtener la ecuacion para θ , notamos que existe una tercera cantidad conser-vada,

∂L

∂t

= 0

⇒ E = T + V = cte. (5.136)

Luego,

E = 1

2I 11(θ2 + φ2 sin2 θ) +

1

2I 33( ψ + φ cos θ)2 + mgh cos θ = cte. (5.137)

Despejando ψ y φ de la Ecs. (5.132) y (5.135), tenemos

φ = (lz − l3 cos θ)

I 11 sin2 θ(5.138)

ψ = l3 − I 33

φ cos θ

I 33=

l3

I 33− (lz − l3 cos θ)cos θ

I 11 sin2 θ. (5.139)

Sustituyendo en la ecuacion Ec. (5.137), obtenemos

E = 1

2I 11

θ2 + (lz − l3 cos θ)2

2I 11 sin2 θ+

l23

2I 33+ mgh cos θ, (5.140)

lo cual se puede escribir como

E = 1

2I 11

θ2 + V ef (θ) = cte, (5.141)

donde

E = E − l23

2I 33= cte, (5.142)

V ef (θ) =

(lz−

l3 cos θ)2

2I 11 sin2 θ + mgh cos θ. (5.143)

Luego la Ec. (5.141) constituye un problema unidimensional para la coordenada θcon un potencial efectivo dado por la Ec. (5.143). Note que

V ef (θ = 0) → ∞, V ef (θ = π) → ∞. (5.144)

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5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R IGIDOS. 205

Figura 5.24: Esquema del potencial efectivo V ef (θ).

El potencial efectivo V ef (θ) posee un valor mınimo para un angulo θ0 tal que

∂V ef

∂θθ0

= 0. (5.145)

El movimiento en el angulo θ ocurre para E ≥ V ef (θ). Los puntos de retorno θ1 yθ2 estan dados por las soluciones de la ecuacion

E = V ef (θ) = (lz − l3 cos θ)2

2I 11 sin2 θ+ mgh cos θ; (5.146)

luego, el movimiento ocurre en el intervalo θ ∈ [θ1, θ2].

De la Ec. (5.141) obtenemos

θ =

dt = 2(E

−V ef (θ))

I 11 (5.147)

y

t(θ) =

I 11

dθ 2 (E − V ef (θ))

. (5.148)

La integral en la Ec. (5.148) corresponde a una integral de funciones elıpticas.En principio, t(θ) permite obtener θ(t) por inversion. Sustitucion de θ(t) en lasEcs. (5.138) y (5.139) permite calcular ψ (t) y φ(t) por integracion directa. Luego,el trompo de Lagrange es un sistema integrable: existen tres grados de libertad ψ ,φ y θ , y tres cantidades conservadas, l3, lz y E , asociadas a simetrıas del sistema.

El perıodo de nutacion es

T nut = 2 I 11 θ2θ1

dθ 2 (E − V ef (θ))

. (5.149)

La velocidad angular de precesion φ,dada por la Ec. (5.138), cambia su direccioninstantanea en los puntos de retorno θ1 y θ2, dependiendo del signo de (lz− l3 cos θ)en esos puntos, segun los siguientes casos,

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206 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

a ) φ > 0 siempre (lz > l3 cos θ, ∀ θ).b) φ cambia de signo en θ1 o en θ2 (el sentido del movimiento depende de

condiciones iniciales).

c ) φ = 0 en θ1 o en θ2 (lz = l3 cos θ1,2).

Figura 5.25: Movimiento de nutacion en θ y de precesion en φ. Izquierda: φ > 0, no cambia designo. Centro: φ cambia de signo en θ = θ1. Derecha: φ = 0 en θ = θ1.

Puesto que el trompo tiene simetrıa axial, se puede tomar ψ = 0 en las componentesde la velocidad angular; luego Ω1 = θ. La velocidad angular de nutacion θ es unafuncion periodica (con un perıodo largo) en el tiempo.

Figura 5.26: Velocidad angular de nutacion θ = Ω1 en funcion del tiempo para un tromposimetrico, I 11 = I 22 = I 33 con su punto inferior fijo.

2. Trompo de Kovalevskaya.

Ademas del trompo de Lagrange, se conoce otro caso integrable de un tromposimetrico, I 11 = I 22

= I 33, en un campo gravitacional con un punto fijo. Suponga-

mos que el vector de posicion d del centro de masa con respecto al punto fijo Ose encuentra sobre el plano (x1, x2) del sistema de coordenadas fijo en el cuerpo;esto es, d = (d1, d2, 0), y supongamos que los momentos principales de inercia conrespecto al sistema fijo en el espacio satisfacen la condicion

I 11 = I 22 = 2I 33. (5.150)

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5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R IGIDOS. 207

Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya , y es un problema famosode la Mecanica.

Figura 5.27: Trompo de Kovalevskaya. Izquierda: Posicion d del centro de masa con respectoal punto fijo O. Derecha: Proyeccion del vector d en la direccion z corresponde a la altura h delcentro de masa.

Note que si d = (0, 0, h), tenemos un trompo de Lagrange con momentos de inerciadados por la Ec. (5.150).

Definamos el vector unitario

z ≡ u = (u1, u2, u3), (5.151)

cuyas componentes en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3) fijo en el cuerpo son

u1 = sin θ sin ψ (5.152)

u2 = sin θ cos ψ (5.153)

u3 = cos θ. (5.154)

La energıa cinetica del cuerpo se debe a su rotacion y corresponde a

T rot = 1

2(I 11Ω2

1 + I 22Ω22 + I 33Ω2

3). (5.155)

La energıa potencial V del trompo corresponde a la energıa potencial del centrode masa (cm ) en el campo gravitacional terrestre. La altura h del centro de masa

sobre el eje z esh = d sin ψ sin θ, (5.156)

donde ψ es el angulo entre d y la lineal nodal N . Luego, podemos escribir

V = mgh = mgd sin θ sin ψ. (5.157)

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208 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Entonces, el Lagrangiano del sistema en terminos de los angulos de Euler es

L = I 33

φ sin θ sin ψ + θ cos ψ

2

+ I 33

φ sin θ cos ψ − θ sin ψ

2

+ I 33

2

ψ + φ cos θ

2

− mgd sin θ sin ψ

= I 33(θ2 + φ2 sin2 θ) + I 33

2

ψ + φ cos θ

2

− mgd sin θ sin ψ. (5.158)

La coordenada φ es cıclica, por lo que su momento conjugado es constante,

∂L

∂ φ= 2I 33

φ sin2 θ + I 33

ψ + φ cos θ

cos θ

= I 33 φ(1 + sin2 θ) + ψ cos θ ≡lz = cte. (5.159)

La cantidad conservada es la componente z del momento angular, puesto que eltorque ejercido por la fuerza gravitacional no posee componente en la direccion z .

El Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, lo que implica que la energıamecanica total se conserva,

E = T + V = cte.

= I 33(θ2 + φ2 sin2 θ) + I 33

2

ψ + φ cos θ

2

+ mgd sin θ sin ψ. (5.160)

El sistema posee tres grados de libertad (los angulos de Euler) y dos cantidadesconservadas E y lz, relacionadas con las simetrıas explıcitas del Lagrangiano delsistema. Sofia Kovalevskaya encontro una tercera cantidad conservada no trivial,

cuya relacion con las simetrıas del sistema no es en absoluto evidente,

K ≡

Ω21 − Ω2

2 − mgd

I 33

u1

2

+

2Ω1Ω2 − mgd

I 33

u2

2

= cte. (5.161)

Sustitucion de Ω1, Ω2 y u2, en terminos de los angulos de Euler conduce, despuesdel algebra correspondiente, a

K =

θ2 − φ2 sin2 θ2

+ 2 mgd

I 33

θ2 − φ2 sin2 θ

sin ψ − 2θ φ sin θ cos ψ

sin θ

+

mgd

I 33

2

sin2 θ. (5.162)

La existencia de la constante K , junto con E y lz, permite que este sistema sea

integrable, aunque el procedimiento matematico para reducir las ecuaciones de mo-vimiento es bastante laborioso. La simetrıa asociada con la cantidad conservada K no es evidente. El metodo desarrollado por Kovalevskaya para encontrar esta canti-dad conservada sigue siendo un problema de investigacion. Se han descubierto unospocos sistemas dinamicos que poseen cantidades conservadas para ciertos valoresde sus parametros, y que estan relacionadas con simetrıas no triviales del sistema.

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5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R IGIDOS. 209

Figura 5.28: Izquierda: Sofia Kovalevskaya (1850 -1891). Derecha: Movimiento del eje del trom-po de Kovalevskaya en el espacio. A pesar de su apariencia, el movimiento no es ca otico.

3. Si I 11 = I 22 = I 33, el trompo es asimetrico. En ese caso, l3 no se conserva; no existensuficientes simetrıas en el Lagrangiano, por lo que el sistema no es integrable. Bajoestas condiciones, el movimiento es caotico para ciertos valores de parametros.

Figura 5.29: Movimiento caotico de un trompo asimetrico con su punto inferior fijo. (a) Ω1 vs.t. (b) Diferencia ∆Ω1 vs. t para dos trayectorias correspondientes a dos condiciones inicialesseparadas en ∆Ω1(0) = 10−6. (c) Movimiento del eje del trompo en el espacio.

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210 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

5.6. Ecuaciones de Euler para cuerpos rıgidos.En el ejemplo de un trompo simetrico con su punto inferior fijo, vimos como las

ecuaciones de movimiento de un cuerpo rıgido se pueden derivar a partir del Lagrangianodel sistema expresado en terminos de angulos de Euler.

Alternativamente, es posible derivar las ecuaciones de movimiento a partir de lasrelaciones de tranformacion de cantidades vectoriales, desde el sistema de coordenadasdel laboratorio (x,y,z) al sistema (x1, x2, x3) con origen en el centro de masa y que semueve con el cuerpo. Para hacer esto, consideremos que los orıgenes de ambos sistemasde coordenadas coinciden y observemos un vector A en ambos sistemas. El sistema(x1, x2, x3) puede rotar con una velocidad angular intantanea Ω. Un cambio infinitesimalen el vector A observado en ambos sistemas de coordenadas solamente puede diferirdebido al efecto causado por la rotacion de los ejes (x1, x2, x3), es decir,

dA(x,y,z) = dA(x1,x2,x3) + dArot. (5.163)

El cambio dArot causado por la rotacion de (x1, x2, x3) no modifica la magnitud delvector A, sino su direccion, al igual que un vector posicion r de una partıcula del cuerporıgido mantiene su magnitud en el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. En ese caso,vimos que un cambio dr es el resultado de una rotacion infinitesimal dΦ alrededor deun eje instantaneo que pasa por el origen del sistema (x1, x2, x3), y esta dado por laEc. (5.5), dr = dΦ × r. Luego,

dArot = dΦ × A, (5.164)

donde dΦ = Ω dt. La variaciones temporales del vector A, vistas por dos observadoresen los sistemas de coordenadas (x,y,z) y (x1, x2, x3), estan relacionadas por

dA

dt (x,y,z)= dA

dt (x1,x2,x3)+ Ω × A. (5.165)

Esta relacion es general para cualquier vector A.En particular, si A = l,

dl

dt

(x,y,z)

=

dl

dt

(x1,x2,x3)

+ Ω × l. (5.166)

Pero el torque en el sistema (x,y,z) es τ =

dl

dt

(x,y,z)

. Luego, podemos escribir

τ =

dl

dt

(x1,x2,x3)

+ Ω × l. (5.167)

La Ec. (5.167) constituye el conjunto de ecuaciones de Euler para cuerpos rıgidos.Las componentes de l en el sistema (x1, x2, x3) estan dadas por li =

k I ikΩk. Luego,

la componente i de la Ec. (5.167) es

τ i =k

I ik Ωk + (Ω × l)i (5.168)

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5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R IGIDOS. 211

Si I ik es diagonal, podemos escribir las ecuaciones de Euler comoτ 1 = I 11

Ω1 + Ω2Ω3(I 33 − I 22)

τ 2 = I 22 Ω2 + Ω1Ω3(I 11 − I 33)

τ 3 = I 33 Ω3 + Ω1Ω2(I 22 − I 11).

(5.169)

Ejemplos.

1. Movimiento de un cuerpo rıgido asimetrico libre, (τ = 0), con I 33 > I 22 > I 11.

Puesto que no hay torque, l = cte, i.e., la direccion y la magnitud del vectormomento angular son constantes. Por otro lado, el Lagrangiano de este sistema esindependiente del tiempo; luego la energıa E = T rot se conserva. Existen tres grados

de libertad (los tres angulos de Euler) y tres cantidades conservadas (direccion del, magnitud l y E ); por lo tanto, este sistema es integrable.

El movimiento se analiza mas facilmente en terminos de las componentes Ωi de lavelocidad angular en el sistema de coordenadas (x1, x2, x3), usando las ecuacionesde Euler para cuerpos rıgidos, Ecs. (5.169). La direccion del vector l, vista enel sistema de coordenadas (x1, x2, x3) fijo en el cuerpo, no es constante; pero lamagnitud l y la energıa, que son cantidades escalares, sı lo son.

La magnitud de la velocidad angular en el sistema de coordenadas ( x1, x2, x3) es

l2 = l21 + l2

2 + l23 = I 211Ω2

1 + I 222Ω22 + I 233Ω2

3 = cte, (5.170)

donde hemos utilizado li = I iiΩi.

La energıa es

E = 12

I 11Ω2

1 + I 22Ω22 + I 33Ω2

3

= cte. (5.171)

Luego, las componentes de l satisfacen el par de ecuaciones

l21

2EI 11+

l22

2EI 22+

l23

2EI 33= 1 (5.172)

l21 + l2

2 + l23 = l2. (5.173)

La primera ecuacion describe un elipsoide en las componentes (l1, l2, l3) con semiejes√ 2EI 11,

√ 2EI 22 y

√ 2EI 33, donde

√ 2EI 33 es el semieje mayor y

√ 2EI 11 es el

semieje menor. La segunda ecuacion corresponde a una esfera de radio igual a len el sistema (x1, x2, x3). Ambas ecuaciones deben satisfacerse simultaneamente.Luego, el movimiento relativo del vector l descrito en el sistema de coordenadas(x1, x2, x3) debe ocurrir sobre una trayectoria de interseccion de las dos superficies,el elipsoide y la esfera, vistas en ese sistema. La condici on para que exista talinterseccion es que el radio de la esfera se encuentre entre el semieje menor y elsemieje mayor del elipsoide, es decir,

2EI 11 < l2 < 2EI 33. (5.174)

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212 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Figura 5.30: Movimiento de l en (x1, x2, x3) para un cuerpo rıgido asimetrico libre.

Las intersecciones de la esfera con el elipsoide corresponden a curvas cerradas al-

rededor de los ejes x1 y x3. Luego, el movimiento del vector l relativo al sistema(x1, x2, x3) fijo en el cuerpo debe ser periodico; durante un perıodo de oscilacion elvector l describe una especie de superficie conica alrededor de x1 o de x3, y regresaa su posicion original.

Las ecuaciones de Euler (5.169) para un cuerpo asimetrico libre, con τ 1 = τ 2 =τ 3 = 0, son

I 11 Ω1 + Ω2Ω3(I 33 − I 22) = 0

I 22 Ω2 + Ω1Ω3(I 11 − I 33) = 0

I 33 Ω3 + Ω1Ω2(I 22 − I 11) = 0.

(5.175)

Estas tres ecuaciones, junto con las dos cantidades conservadas l (Ec. (5.170)) yE (Ec. (5.171)), constituyen un sistema integrable. En efecto, multiplicando la

Ec. (5.171) por 2I 33 y restando la Ec. (5.170), obtenemos2EI 33 − l2 = I 11(I 33 − I 11)Ω2

1 + I 22(I 33 − I 22)Ω22. (5.176)

Despejamos Ω1 en funcion de Ω2,

Ω21 =

(2EI 33 − l2) − I 22(I 33 − I 22)Ω22

I 11(I 33 − I 11) . (5.177)

Por otro lado, multiplicando la Ec. (5.171) por 2I 11 y restando esta de la Ec. (5.170),tenemos

l2 − 2EI 11 = I 22(I 22 − I 11)Ω22 + I 33(I 33 − I 11)Ω2

3. (5.178)

Despejando Ω3 en funcion de Ω2,

Ω23 = (l

2

− 2EI 11) − I 22(I 22 − I 11)Ω22

I 33(I 33 − I 11) . (5.179)

Sustituyendo las expresiones de Ω1 y de Ω2 en la segunda de las ecuaciones Ec. (5.175),

Ω2 = Ω1Ω2(I 33 − I 11)

I 22, (5.180)

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5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R IGIDOS. 213

obtenemos una ecuacion diferencial que depende solamente de Ω2,

Ω2 = dΩ2

dt =

1

I 22[I 11I 33]1/2

(2EI 33 − l2) − I 22(I 33 − I 22)Ω2

2

1/2

× (l2 − 2EI 11) − I 22(I 22 − I 11)Ω2

2

1/2. (5.181)

De la Ec. (5.181), podemos calcular t = t(Ω2) mediante integracion explıcita enterminos de funciones elıpticas y, por inversion, obtenemos Ω2(t). Sustitucion deΩ2(t) en Ec. (6.325) y en la Ec. (5.179) permite obtener Ω 1(t) y Ω3(t), respectiva-mente.

La dependencia temporal de los angulos de Euler (θ,φ,ψ) para el cuerpo rıgidoasımetrico puede obtenerse sustituyendo las soluciones Ωi(t) en las Ecs. (5.22); sinembargo, el procedimiento es laborioso.

Este ejemplo ilustra las dificultades matematicas generadas por la presencia de nolinealidades en sistemas dinamicos, aunque estos sean integrables.

Puesto que el movimiento del vector l relativo al sistema (x1, x2, x3) es periodico,podemos simplificar las ecuaciones Ecs. (5.175) considerando el movimiento de pe-quenas oscilaciones de l alrededor de los ejes x1, x2 y x3.

i) Pequenas oscilaciones de l alrededor de x1.Supongamos que las componentes l2 y l3 son pequenas. Entonces, las relaciones

l2 = I 22Ω2, l3 = I 33Ω3, (5.182)

implican que tambien las componentes Ω2 y Ω3 son pequenas. Luego, el producto

Ω2Ω3 es muy pequeno y puede ser despreciado en la ecuacion de Euler para Ω1 enlas Ecs. (5.175), lo cual da

Ω1 ≈ 0 ⇒ Ω1 ≈ cte. (5.183)

Entonces, la segunda y la tercera de las ecuaciones de Euler Ecs. (5.175) dan

Ω2 = (I 33 − I 11)

I 22Ω1Ω3 (5.184)

Ω3 = − (I 22 − I 11)

I 33Ω1Ω2. (5.185)

Derivando respecto al tiempo la Ec. (5.184) o la Ec. (5.185), y sustituyendo elresultado en la otra ecuacion, tenemos

Ω2,3 = − (I 33 − I 11)(I 22 − I 11)

I 22I 33Ω2

1 Ω2,3, (5.186)

la cual se puede escribir como la ecuacion de un oscilador armonico,

Ω2,3 = −ω2x1Ω2,3, (5.187)

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214 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

con ω2x1 > 0, donde

ωx1 = Ω1

(I 33 − I 11)(I 22 − I 11)

I 22I 33, (5.188)

es la frecuencia de pequenas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x1.

ii) Pequenas oscilaciones de l alrededor del eje x3.En este caso, asumimos que las componentes l1 y l2 son pequenas y, por lo tanto,Ω1 y Ω2 tambien son pequenas. Despreciando el producto Ω1Ω2 en la ecuacion deEuler para Ω3 en las Ecs. (5.175), obtenemos

I 33 Ω3 ≈ 0 ⇒ Ω3 ≈ cte. (5.189)

La primera y la segunda de las ecuaciones Ecs. (5.175) dan

Ω1 = − (I 33 − I 22)

I 11Ω3Ω2 (5.190)

Ω2 = (I 33 − I 11)

I 22Ω3Ω1, (5.191)

las cuales conducen a

Ω1,2 = − (I 33 − I 22)(I 33 − I 11)

I 11I 22Ω2

3 Ω1,2 (5.192)

Ω1,2 = −ω2x3Ω1,2, (5.193)

con ω 2x3 > 0, donde

ωx3 = Ω3

(I 33 − I 22)(I 33 − I 11)

I 11I 22. (5.194)

es la frecuencia de pequenas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x3.

iii) Pequenas oscilaciones de l alrededor del eje x2. Entonces, tomamos las com-ponentes l1 y l3 pequenas y tambien Ω1 y Ω3. Entonces el producto Ω1Ω3 puededespreciarse en la ecuacion de Euler para Ω3 en las Ecs. (5.175), lo cual da

I 22 Ω2 ≈ 0 ⇒ Ω2 ≈ cte. (5.195)

La primera y la tercera de las ecuaciones Ecs. (5.175) dan

Ω1 = − (I 33 − I 22)

I 11Ω3Ω2 (5.196)

Ω3 = − (I 22 − I 11)

I 33Ω2Ω1. (5.197)

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5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R IGIDOS. 215

las cuales llevan a

Ω1,3 = (I 33 − I 22)(I 22 − I 11)

I 11I 33Ω2

2Ω1,3 (5.198)

Ω1,3 = ω2x2Ω1,3, (5.199)

con ω 2x2 > 0, donde

ω(x2) = Ω2

(I 33 − I 22)(I 22 − I 11)

I 11I 33. (5.200)

En este caso, la solucion Ω1,3 = Keω(x2)t crece con el tiempo y, por lo tanto, lascomponentes l1 y l3 aumentan. Luego, el vector l se aleja del eje x2 y el movimientode pequenas oscilaciones de l alrededor de x2 es inestable.

2. El girocompas.

Es un instrumento usado en la navegacion que permite indicar el Norte geograficosin referencia al campo magnetico terrestre. Consiste en un disco con momentosprincipales de inercia I 11 = I 22 = I 33, el cual gira con velocidad angular constanteω alrededor del eje perpendicular a su plano, que llamamos x3. Simultaneamente,el disco puede rotar libremente un angulo θ alrededor de un eje perpendicular a x3,como se muestra en la Fig. (5.31).

Figura 5.31: Girocompas.

Sea ν la magnitud de la velocidad angular de la Tierra alrededor de su eje Norte-Sur, y supongamos que ω ν . Llamemos α al angulo de latitud sobre el Ecuadordel instrumento. Consideremos el sistema de coordenadas (x,y,z) fijo en la Tierray el sistema (x1, x2, x3) con origen en el centro de masa del disco, como se indicaen la Fig. (5.32).

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216 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

Figura 5.32: Sistemas de referencia (x,y.z ) y (x1, x2, x3) para el girocompas. Izquierda: veloci-

dad angular de la Tierra y latitud α del instrumento. Derecha: vista instantanea del girocompasdesde el eje x2, paralelo al eje y y a la direccion de θ. NS: direccion Norte-Sur local correspondeal eje z .

Las componentes de la velocidad angular de la Tierra en (x,y.z) son

ν x = 0 (5.201)

ν y = ν sin α (5.202)

ν z = ν cos α. (5.203)

Supongamos que la direccion de θ en un instante dado esta sobre el eje x2 (simetrıadel disco permite esta simplificacion). Entonces, las componentes de la velocidad

angular instantanea Ω del disco en (x1, x2, x3) se pueden expresar como (Fig. (5.32))

Ω1 = −ν z sin θ = −ν cos α sin θ (5.204)

Ω2 = ν y + θ = ν sin α + θ (5.205)

Ω3 = ν z cos θ + ω = ν cos α cos θ + ω. (5.206)

Puesto que el instrumento es libre de rotar sobre el eje y , no hay componente deltorque en direccion de y, que corresponde en este instante al eje x2. Entonces,consideremos la ecuacion de Euler Ec. (5.169) correspondiente a τ 2 = 0,

τ 2 = I 22 Ω2 + Ω1Ω3(I 11 − I 33) = 0. (5.207)

Sustitucion de las componentes de Ω da

I 11θ + (I 33 − I 11)ν cos α sin θ (ν cos α cos θ + ω) = 0. (5.208)

dondehemos usado I 11 = I 22. Pero ω ν ⇒ ω ν cos α cos θ. Luego, podemosescribir

I 11θ + (I 33 − I 11)νω cos α sin θ ≈ 0. (5.209)

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5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R IGIDOS. 217

La Ec. (5.209) tiene la misma forma que la ecuacion de movimiento de un pendulosimple. En el lımite de pequenas oscilaciones en θ , tenemos sin θ ≈ θ. Luego,

θ + (I 33 − I 11)

I 11νω cos α θ ≈ 0. (5.210)

La Ec. (5.210) es similar a la ecuacion de un oscilador armonico,

θ + ω2cθ ≈ 0 (5.211)

donde

ω2c =

(I 33 − I 11)

I 11νω cos α (5.212)

es la frecuencia para pequenas oscilaciones del eje x3

del disco alrededor del eje z ,que apunta hacia el Norte. Luego, el punto de equilibrio θ = 0 de la oscilacion deleje x3 senala la direccion del Norte geografico.

Notemos que la medida directa de la frecuencia de oscilaci on ωc en la Ec. (5.211)permite a su vez calcular la latitud α sin ninguna referencia externa. Por ejemplo,

ωc = 0 ⇒ α = π2 , Polo Norte. (5.213)

ωc = maxima ⇒ α = 0, Ecuador. (5.214)

3. Efecto Coriolis.

Una aplicacion importante de la Ec. (5.165) es la descripcion del movimiento deuna partıcula en un sistema en rotacion, y por tanto, no inercial.

Figura 5.33: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843).

Sean (x,y,z, ) un sistema inercial (por ejemplo, con respecto a las estrellas fijas)y (x1, x2, x3) un sistema de coordenadas en rotacion (por ejemplo, la Tierra) convelocidad angular constante Ω relativa al sistema inercial. Entonces, la Ec. (5.165)aplicada al vector de posicion r de la partıcula desde el origen comun de ambossistemas da

v = vrot + Ω × r, (5.215)

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218 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

donde suprimimos el subındice (x,y,z) en las cantidades referidas al sistema inercialy usamos el subındice “rot” en lugar de (x1, x2, x3) para las cantidades medidas enel sistema en rotacion.

La derivada temporal del vector v vista por dos observadores en los sistemas decoordenadas (x,y,z) y (x1, x2, x3) esta dada a su vez por la Ec. (5.165),

dv

dt =

dv

dt

rot

+ Ω × v. (5.216)

Sustituyendo Ec. (5.215) en la Ec. (5.216), tenemos

dv

dt =

dvrot

dt

rot

+ Ω × vrot + Ω × (vrot + Ω × r)

= dvrot

dt

rot+ 2Ω × vrot + Ω × (Ω × r). (5.217)

Multiplicando por la masa de la partıcula m, la Ec. (5.217) queda

mdv

dt = m

dvrot

dt

rot

+ 2mΩ × vrot + mΩ × (Ω × r). (5.218)

La ecuacion de movimiento en el sistema inercial (x,y,z) es simplemente

F = mdv

dt . (5.219)

Entonces, la Ec. (5.218) puede expresarse como

F − 2mΩ × vrot − mΩ × (Ω × r) = mdvrot

dt rot . (5.220)

Luego, para un observador en el sistema en rotacion, el movimiento de la partıculase describe como si esta estuviera sujeta a una fuerza efectiva

Fef = m

dvrot

dt

rot

, (5.221)

dondeFef = F + Fc + Fcf , (5.222)

e identificamosFcf = −mΩ × (Ω × r) (5.223)

como la fuerza centrıfuga, cuya magnitud es la expresion familiar F cf = mΩ2r sin θ,

donde θ es el angulo entre Ω y r, mientras que el terminoFc = 2m vrot × Ω (5.224)

se denomina fuerza de Coriolis. Tanto la fuerza de Coriolis como la fuerza centrıfugason fuerzas ficticias, introducidas por un observador en el sistema no inercial enrotacion para describir el movimiento de una partıcula.

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5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R IGIDOS. 219

Figura 5.34: Desviacion de la trayectoria de un proyectil en la Tierra debida al efecto Coriolis.Izquierda: hemisferio Norte. Derecha: hemisferio Sur.

4. Movimiento libre de un trompo simetrico (I 11 = I 22 = I 33).

En este caso, τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0, y l es constante. Tomamos la direccion constantede l en la direccion z .

Figura 5.35: Movimiento libre de un trompo.

Las ecuaciones de Euler (5.169) se reducen a

I 11 Ω1 = −Ω2Ω3(I 33 − I 11)

I 11 Ω2 = Ω1Ω3(I 33 − I 11)

I 33 Ω3 = 0.

(5.225)

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220 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

La tercera equacion da Ω3 = cte. Puesto que l3 = l cos θ, tenemos

l3 = I 33Ω3 = l cos θ ⇒ Ω3 = l cos θ

I 33= cte ⇒ θ = cte. (5.226)

La primera y la segunda ecuacion se pueden entonces escribir como

Ω1 = −ωΩ2 (5.227)

Ω2 = −ωΩ1, (5.228)

donde definimos

ω = (I 33 − I 11)

I 11Ω3 =

(I 33 − I 11)

I 11I 33l cos θ = cte. (5.229)

Luego,Ω1 = −ω Ω2 ⇒ Ω1 = −ω2Ω1. (5.230)

Las soluciones para Ω1 y Ω2 son

Ω1 = A cos ωtΩ2 = A sin ωt

(5.231)

donde A = (Ω21 + Ω2

2)1/2 es constante. Luego, Ω rota con respecto a la direccionfija de l, manteniendo su proyeccion Ω3 sobre el eje x3 constante mientras que suproyeccion sobre el plano (x1, x2) rota con velocidad angular constante ω .

La velocidad angular de precesion φ, tanto del eje x3 como del vector Ω, alrededor

de l (eje z ) se puede calcular a partir de

l2 = I 22Ω2 = l sin θ. (5.232)

Sustituyendo la expresion de Ω2 en terminos de los angulos de Euler, y tomandoψ = 0 (usando la simetrıa axial del trompo), tenemos

I 22 φ sin θ = l sin θ ⇒ φ =

l

I 11. (5.233)

La velocidad angular de rotacion ψ del trompo sobre su eje x3 se puede calcularusando

Ω3 = ψ + φ cos θ (5.234)

⇒ ψ = Ω3 − φ cos θ (5.235)

= l cos θ

I 33− l

I 11cos θ (5.236)

= (I 33 − I 11)

I 11I 33l cos θ = ω. (5.237)

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5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R IGIDOS. 221

Figura 5.36: Rotacion del vector Ω en los sistemas de referencia (x,y,z ) y (x1, x2, x3).

El vector Ω ejecuta dos rotaciones, vistas desde los dos sistemas de referencia:una rotacion en el sistema (x,y,z) describiendo un cono alrededor de la direccionz = l, con velocidad angular de precesion φ; y una rotacion en el sistema (x1, x2, x3)describiendo otro cono alrededor del eje x3 del trompo, con velocidad angular ω =ψ. El vector l tambien rota con velocidad angular ψ alrededor de x3, visto desde elsistema (x1, x2, x3).

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222 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

5.7. Problemas1. Una moneda de masa m y radio a esta rodando sin deslizar por el suelo con velocidad

de magnitud constante v , describiendo una circunferencia de radio R y manteniendoun angulo constante θ con respecto al suelo. Determine θ .

2. Un placa uniforme, formada por un triangulo con dos lados iguales de longitud a, rotacon velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por uno de esos lados.a) Calcule el vector de momento angular de la placa.b) Calcule la energıa cinetica de la placa.

3. Un trompo uniforme de masa M con su extremo inferior fijo en el suelo esta girandosobre su eje de simetrıa con velocidad angular Ω, inicialmente en posicion vertical(θ = 0, θ = 0). Los momentos principales de inercia son I 3, I 1 = I 2. El centro de

masa se ubica a una distancia a del punto inferior del trompo.a) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema en funcion de las condicionesiniciales.b) Calcule el angulo maximo que se puede inclinar el trompo.

4. Un disco uniforme de masa m y radio a esta girando con velocidad angular constanteΩ alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un angulo θ con la normala la superficie del disco.a) Calcule el valor de θ para que el angulo entre la velocidad angular y el momentoangular del disco sea de 15o.b) Encuentre la energıa cinetica del disco.

5. Calcule los momentos principales de inercia de un cono uniforme de masa M , alturah y base circular de radio R.

6. Una placa semicircular uniforme de masa m y radio a se encuentra sobre una superficieplana. Calcule la frecuencia de pequenas oscilaciones de la placa alrededor de suposicion de equilibrio.

7. Un aro de masa M y radio R esta girando con velocidad angular constante Ω alrededorde un eje que pasa por su centro y que forma un angulo α con la normal al plano delaro. Calcule la magnitud y direccion del momento angular del aro.

8. Un cilindro de densidad uniforme ρ, radio R y altura h gira con velocidad angularconstante ω alrededor de su eje longitudinal. El cilindro tiene una cavidad esferica deradio R/2 tangente a su eje. Calcule la energıa cinetica del cilindro.

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5.7. PROBLEMAS 223

9. Una varilla uniforme de longitud 2l posee sus extremos en contacto sin friccion conun aro vertical fijo de radio R > l. Calcule la frecuencia de pequenas oscilaciones dela varilla.

10. Un hemisferio solido y uniforme de masa M y radio R se encuentra sobre una superficieplana. Calcule la frecuencia de pequenas oscilaciones del hemisferio alrededor de suposicion de equilibrio.

11. Una varilla de masa m y longitud l tiene un extremo en una pared y el otro en elsuelo. Desprecie la friccion.a) Encuentre la ecuacion de movimiento de la varilla.b) Si la varilla se suelta desde el reposo, formando un angulo α con el suelo, calculela velocidad de su centro de masa cuando la varilla choca contra el suelo.c) Determine el tiempo que tarda en chocar.

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224 CAP ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R IGIDOS

12. Una placa rectangular uniforme, de masa m y lados a y 2a, esta rotando con velocidadangular constante ω alrededor de una de sus diagonales.a) Encuentre la energıa cinetica de rotacion de la placa.b) Determine la magnitud del momento angular de la placa.c) Encuentre el angulo entre el momento angular y la velocidad angular.

13. Encuentre la frecuencia para pequenas oscilaciones de un pendulo plano formado porvarilla de masa despreciable, con un extremo fijo y el otro extremo unido a una esferade radio R y masa M .

14. Tres estrellas, con masas m1, m2 y m3, se encuentran ubicadas en el espacio formandolos vertices de un triangulo equilatero. Determine la velocidad angular del movimientode rotacion tal que esta configuracion permanezca invariante.

15. Un cono circular uniforme de altura h, angulo de vertice α y masa m rueda sobre sulado sin deslizar sobre el plano horizontal (x, y).a) Encuentre la energıa cinetica.c) Calcule el tiempo requerido para retornar a la posici on original del cono.b) Calcule las componentes del momento angular del cono.

16. Una bola de densidad uniforme rueda sin deslizar sobre un disco que gira en un planohorizontal con velocidad angular Ω. La bola se mueve en un cırculo de radio r centradoen el eje del disco, con velocidad angular ω . Encuentre ω .

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226 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Sustitucion en la Ec. (6.1) da

dL =i

˙ pidq i +i

pidq i + ∂ L

∂t dt , (6.6)

lo que se puede expresar como

dL =i

˙ pidq i +

i

d( pi q i) −i

q idpi

+

∂ L

∂t dt ; (6.7)

es decir,

d

i

pi q i − L

=

iq idpi −

i˙ pidq i − ∂ L

∂t dt . (6.8)

El lado izquierdo de la Ec. (6.8) corresponde al diferencial total de una funci on de variasvariables. El lado derecho de la Ec. (6.8), que contiene los diferenciales dpi, dq i y dt,indica que los argumentos de esta funcion son ( pi, q i, t). Si expresamos las velocidadesgeneralizadas q i = q i( pi, q i, t), podemos definir esta funcion como

H ( pi, q i, t) ≡i

pi q i − L =i

pi q i( pi, q i, t) − L(q i, q i( pi, q i, t), t) . (6.9)

La funcion H ( pi, q i, t) se llama el Hamiltoniano del sistema. Entonces, la Ec. (6.8) sepuede escribir como

dH (q i, pi, t) =

iq idpi −

i˙ pidq i − ∂ L

∂t dt . (6.10)

Por otro lado, como funcion de sus argumentos (q i, pi, t), el diferencial total del Ha-miltoniano es

dH (q i, pi, t) =i

∂H

∂q idq i +

∂H

∂pidpi +

∂ H

∂t dt. (6.11)

Comparando terminos en las Ecs. (6.10) y (6.11), tenemos

q i = ∂H

∂pi, (6.12)

˙ pi = −∂H

∂q i, (6.13)

ademas de∂H

∂t = −∂L

∂t . (6.14)

Las ecuaciones Ecs. (6.12) y (6.13) se denominan ecuaciones de Hamilton y constituyenun sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo para q i

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6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 227

y pi, i = 1, 2, . . . , s. Las soluciones q i(t) y pi(t) de las ecuaciones de Hamilton requieren2s constantes de integracion relacionadas con las s condiciones iniciales q i(0) para lascoordenadas y las pi(0) s condiciones iniciales para los momentos. El estado din amicodel sistema en un tiempo t se puede representar como un punto (q i(t), pi(t)) en el espacioeuclideano 2s-dimensional (q i, pi), denominado espacio de fase, donde cada coordenadaq i y cada momento pi corresponde a un eje cartesiano de ese espacio. Las soluciones delas ecuaciones de Hamilton corresponden a una trayectoria (q i(t), pi(t)) en el espacio defase 2s-dimensional (q i, pi) que pasan por el punto (q i(0), pi(0)).

Figura 6.1: Trayectoria en el espacio de fase.

Note que el Hamiltoniano H es equivalente a la funcion de energıa (Cap. 1) expresadaen variables del espacio de fase,

E (q i, q i) =

i∂L

∂ q iq i − L(q i, q i, t)

=i

pi q i − L = H (q i, pi, t) en coordenadas (q i, pi). (6.15)

Por otro lado,

dH

dt (q i, pi, t) =

∂H

∂t +

i

∂H

∂q iq i +

i

∂H

∂pi˙ pi

= ∂H

∂t +

i

∂H

∂q i

∂H

∂pi−i

∂H

∂pi

∂H

∂q i=

∂H

∂t .

Es decir, si el Hamiltoniano no depende explicitamente del tiempo, entonces H (q i, pi) esconstante. Similarmente, si el Lagrangiano L no depende explicitamente de t, la funcion

de energıa es constante.Si el Hamiltoniano es constante, la ecuacion H (q i, pi) = cte representa una superficie

de (2s − 1) dimensiones sobre la cual se mueve la trayectoria (q i(t), pi(t)) en el espaciode fase 2s-dimensional. La trayectoria correspondiente a un sistema oscilatorio debe seruna curva cerrada sobre la superficie H (q i, pi) = cte, de modo que los valores de lascoordenadas y de los momentos del sistema se repiten en el tiempo.

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228 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Un sistema caracterizado por un Lagrangiano siempre tiene un Hamiltoniano asocia-do. En la formulacion Lagrangiana, el movimiento de un sistema con s grados de libertadse describe en terminos de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden enel tiempo para las coordenadas generalizadas q i, (i = 1, 2, . . . , s); mientras que en laformulacion Hamiltoniana, la dinamica del sistema se expresa mediante 2s ecuacionesdiferenciales de primer orden con respecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadasq i y s ecuaciones para los momentos conjugados pi. Formalmente, el Hamiltoniano corres-ponde a una transformacion de Legendre del Lagrangiano (Apendice C). Desde el puntode vista matematico, ambas formulaciones son equivalentes. Sin embargo, la formulacionHamiltoniana permite conectar la Mecanica Clasica con otras areas de la Fısica, talescomo Sistemas Dinamicos, Mecanica Estadıstica y Teorıas de Campos.

Figura 6.2: William Rowan Hamilton (1805-1865).

Ejemplos.

1. Encontrar las ecuaciones de movimiento de un oscilador armonico en la formulacionHamiltoniana.

El Lagrangiano es

L = T − V = 1

2mq 2 − 1

2kq 2 . (6.16)

puesto que s = 1, hay un momento conjugado:

p = ∂L

∂ q = mq ⇒ q =

p

m . (6.17)

El Hamiltoniano es

H (q, p) = pq − L = pq − 1

2mq 2 +

1

2kq 2 . (6.18)

Sustituyendo q = p

m,

H (q, p) = p2

2m +

1

2kq 2. (6.19)

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6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 229

Las ecuaciones de Hamilton son

q = ∂H

∂p =

p

m , (6.20)

˙ p = −∂H

∂q = −kq. (6.21)

Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armonico se pueden resolver, al igualque la correspondiente ecuacion de Lagrange. Derivando la Ec. (6.21) obtenemos,

¨ p = −kq = − k

m p , (6.22)

cuya solucion es

p(t) = A cos(ωt + ϕ), ω2 = k

m . (6.23)

Sustituyendo en la Ec. (6.20), obtenemos

q (t) = A

mω sin(ωt + ϕ). (6.24)

El Hamiltoniano es independiente del tiempo, ∂H ∂t = 0, lo cual implica que

H (q, p) = p2

2m +

1

2kq 2 = cte. (6.25)

La funcion H (q, p) = cte corresponde a una elipse (curva unidimensional) en elespacio de fase bidimensional (q, p) y determina los valores posibles de q (t) y p(t)para todo tiempo t. La trayectoria descrita por q (t), p(t) se mueve sobre la elipse

H = cte.

Figura 6.3: La funcion H (q, p) = cte para un oscilador armonico en su espacio de fase.

2. Encontrar las ecuaciones de Hamilton para una partıcula de masa m moviendosesobre un cono vertical cuyo angulo en el vertice es α.

El Lagrangiano fue calculado en el Cap. 1,

L = T − V = 1

2mr2 csc2 α +

1

2mr2ϕ2 − mgr cot α. (6.26)

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230 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Los momentos conjugados a las coordenadas r y ϕ son

pr = ∂L

∂ r = mr csc2 α (6.27)

pϕ = ∂L

∂ ϕ = mr2ϕ. (6.28)

Luego,

r = prm csc2 α

(6.29)

ϕ = pϕ

mr2. (6.30)

El Hamiltoniano es

H =i

pi q i − L = pr r + pϕ ϕ − 1

2mr2 csc2 α − 1

2mr2ϕ2 + mgr cot α. (6.31)

Sustituyendo r y ϕ, obtenemos

H (r,ϕ,pr, pϕ) = p2

r

2m csc2 α +

p2ϕ

2mr2 + mgr cot α. (6.32)

Las ecuaciones de Hamilton son

ϕ = ∂H

∂pϕ=

pϕmr2

(6.33)

r = ∂H ∂pr

= prm csc2 α

(6.34)

˙ pϕ = −∂H

∂ϕ = 0 ⇒ pϕ = mr2ϕ = cte (6.35)

˙ pr = −∂H

∂r =

p2ϕ

mr3 − mg cot α. (6.36)

Adicionalmente,∂H

∂t = 0 ⇒ H (r,ϕ,pr, pϕ) = cte. (6.37)

La funcion H (r,ϕ,pr, pϕ) = cte describe una hipersuperficie 3-dimensional en elespacio de fase 4-dimensional correspondiente a r, ϕ, pr, pϕ.

3. Encontrar el Hamiltoniano de una partıcula de masa m y carga q , moviendose convelocidad v, en un campo electromagnetico E y B.

La energıa potencial de la partıcula en el campo electromagnetico es (Cap. 2)

V = qφ − q

cA · v, (6.38)

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6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 231

donde el potencial escalar φ y el potencial vector A estan relacionados con loscampos E y B mediante

E = −∇φ − 1

c

∂ A

∂t , B = ∇ × A . (6.39)

El Lagrangiano es

L = T − V = 1

2mv2 − qφ +

q

cA · v. (6.40)

En coordenadas cartesianas, L se puede expresar como

L(xi, xi) = 1

2m

3i=1

x2i − qφ +

q

c

3i=1

Ai xi . (6.41)

Los momentos conjugados son

pj = ∂L

∂ xj= mxj +

q

cAj ; (6.42)

luego,

xj = 1

m

pj − q

cAj

. (6.43)

El Hamiltoniano de la partıcula es

H =j

pj xj − L. (6.44)

Sustituyendo la velocidad xj de la Ec. (6.43), tenemos

H = 1m

j

pj pj − q

cAj− 1

2m

j

pj − q

cAj2 + qφ − 1

mq c

j

Aj pj − q

cAj

= 1

m

j

pj − q

cAj

pj − q

cAj

− 1

2m

j

pj − q

cAj

2

+ qφ

= 1

m

j

pj − q

cAj

2

− 1

2m

j

pj − q

cAj

2

+ qφ

= 1

2m

j

pj − q

cAj

2

+ qφ. (6.45)

Luego, el Hamiltoniano para una partıcula en un campo electromagnetico es

H (r, p) = 12m

p − q c

A2 + qφ . (6.46)

Cabe destacar que el Hamiltoniano para una partıcula en un campo electromagneti-co en Mecanica Cuantica tiene la misma forma que en la Mecanica Clasica, Ec. (6.46).

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232 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

6.2. Sistemas dinamicos y espacio de fase.Un sistema cuyo estado (o conjunto de estados) evoluciona de acuerdo a reglas deter-

minadas constituye un sistema din´ amico. Las reglas especifican como cambia el estado delsistema a partir de un estado dado. Estas reglas pueden consistir en ecuaciones diferen-ciales, funciones iterativas, o por un algoritmo (conjunto de instrucciones). El estado deun sistema dinamico descrito por n variables xi(t), i = 1, . . . , n, en un instante t se puederepresentar por un vector definido en un espacio euclideano n-dimensional, denominadoespacio de fase del sistema, tal que

x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) . (6.47)

La evolucion del estado x(t) en muchos sistemas fısicos, quımicos, biologicos, sociales,economicos, etc., se puede describir mediante ecuaciones diferenciales de la forma

dx(t)dt

= f (x(t)), (6.48)

dondef (x) = (f 1(x), f 2(x), . . . , f n(x)) . (6.49)

Si el tiempo no aparece explıcitamente en la Ec. (6.48), se dice que el sistema dinamicoes aut´ onomo.

La Ec. (6.48) equivale al sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden

x1 = f 1(x1, x2, . . . , xn)

...... (6.50)

xn = f n(x1, x2, . . . , xn).

En general, una ecuacion diferencial ordinaria de orden n para una variable se pue-de expresar como un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer or-den para n variables. La solucion del sistema de n ecuaciones diferenciales de primerorden Ec. (6.48) para x(t) ∈ n requiere el conocimiento de n condiciones inicialesx(0) = (x1(0), x2(0), . . . , xn(0)).

Los puntos fijos o estacionarios x∗ del sistema Ec. (6.48) estan dados por

dx(t)

dt

x∗

= f (x∗) = 0. (6.51)

Ejemplos.

1. Las ecuaciones de Hamilton de un sistema mecanico con s grados de libertad cons-

tituyen un sistema dinamico 2s-dimensional, i = 1, . . . , s,

q i = ∂H

∂pi= f i(q j , pj), i = 1, . . . , s (6.52)

˙ pi = −∂H

∂q i= f i(q j , pj), i = s + 1, . . . , 2s (6.53)

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6.2. SISTEMAS DIN AMICOS Y ESPACIO DE FASE. 233

2. El modelo de Lotka-Volterra describe la evolucion de dos poblaciones, predadoresy presas, en un sistema ecologico, mediante las ecuaciones

c = αc − βcz = f 1(c, z)

z = −γz + δcz = f 2(c, z), (6.54)

donde c representa el numero de presas (por ejemplo conejos), y z corresponde alnumero de sus depredadores (por ejemplo zorros). Las derivadas c, z representanla tasa de crecimiento de cada poblacion, respectivamente. Los parametros son: α:tasa de nacimiento de las presas; β : tasa de presas comidas por los depredadores;γ : tasa de muerte de los depredadores; δ : tasa de crecimiento de los depredadoresalimentandose de las presas. Las variables c y z describen una trayectoria cerrada(periodica) en el espacio de fase del sistema.

Figura 6.4: Espacio de fase bidimensional (c, z ) en el modelo de Lotka-Volterra para valores

dados de los parametros α,β, γ y δ .

3. Las ecuaciones de Lorenz, propuestas originalmente como un modelo simplificadode variables climaticas, forman un sistema dinamico no lineal, tridimensional,

x = −ax + ay = f 1(x,y,z),

y = −xz + rx − y = f 2(x,y,z), (6.55)

z = xy − bz = f 3(x,y,z).

El fenomeno de caos fue descubierto por primera vez en estas ecuaciones. Paracierto rango de valores de los parametros a, b, y r, este sistema es caotico; es decir,presenta sensibilidad extrema ante cambios de las condiciones iniciales. En ese caso,

la trayectoria del vector x(t) = (x,y,z) no se cierra (es aperiodica) y describe unaintrincada estructura geometrica en el espacio de fase del sistema, denominadaatractor de Lorenz .

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234 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Figura 6.5: Atractor de Lorenz.

Teorema de existencia y unicidad.

Dado un sistema dinamico descrito por la ecuacion

dx(t)

dt = f (x(t)),

definido en un subespacio U ∈ n, tal que f (x) satisface la propiedad de Lipschitz

|f (y) − f (x)| ≤ k |y − x|

para algun k <

∞, donde

|x

| ≡ x21 + x2

2 +

· · ·+ x2

n1/2, y dado un punto x(0)

∈ U ,

existe una solucion ´ unica x(t) que satisface esta ecuacion para t ∈ (0, τ ) con condicioninicial x(0).

Figura 6.6: Teorema de unicidad en un espacio de fase tridimensional.

La propiedad de Lipschitz (no singularidad) es, en general, satisfecha por las funcionesque describen sistemas fısicos.

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6.2. SISTEMAS DIN AMICOS Y ESPACIO DE FASE. 235

El vector de estado del sistema x(t) en el espacio de fase se asemeja a un vector deposicion de una partıcula en un sistema de coordenadas espaciales cartesianas. El vectorf (x) describe la velocidad dx/dt y es siempre tangente a la trayectoria x(t) en el espaciode fase.

El teorema de unicidad constituye el fundamento matematico del principio del de-

terminismo y de la prediccion en la Fısica: el estado de un sistema en un instante dadoesta determinado unıvocamente por su estado en un instante anterior.

Figura 6.7: Situaciones prohibidas por el Teorema de Unicidad en el espacio de fase: dos trayec-torias no pueden surgir del mismo punto (izquierda); dos trayectorias no pueden intersectarse(centro); una trayectoria no puede cruzarse a sı misma (derecha).

El teorema de unicidad tiene importantes implicaciones. En particular, en un espaciode fase bidimensional se cumple el siguiente teorema:

Teorema de Poincare-Bendixson.

Los unicos estados asintoticos posibles en el espacio de fase de un sistema dinamicobidimensional son trayectorias cerradas (ciclos lımites) o puntos fijos.

Figura 6.8: Teorema de Poincare-Bendixson.

Puesto que una trayectoria cerrada en el espacio de fase es peri odica y un punto

fijo es estacionario, el teorema de Poincare-Bendixson implica que un comportamientocaotico solamente puede surgir en sistemas dinamicos continuos cuyo espacio de fase poseeal menos tres dimensiones. En particular, un sistema con un grado de libertad poseeun espacio de fase bidimensional y, por lo tanto, solamente puede exhibir solucionesasintoticamente periodicas (por ejemplo, un oscilador armonico) o de punto fijo (porejemplo, un oscilador armonico con friccion).

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236 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

6.3. Teorema de Liouville.Un conjunto de condiciones iniciales en el espacio de fase de un sistema se denomina

un ensemble . Un ensemble puede interpretarse como un conjunto de sistemas identicos oreplicas con diferentes condiciones iniciales, o como diferentes realizaciones de un mismosistema en un instante inicial.

Figura 6.9: Evolucion de un ensemble en el espacio de fase.

Cada punto en el ensemble evoluciona de acuerdo con la ecuaci on dinamica del sis-tema, Ec. (6.48), dando lugar a un estado x(t) en un tiempo t. Denotamos por Γ(t) elvolumen ocupado por el conjunto de puntos x(t) en el espacio de fase en el tiempo t.Debido a la evolucion del sistema, Γ cambia en el tiempo. El teorema de unicidad esta-blece que no puede surgir mas de una trayectoria a partir de cualquiera condicion inicial.Como consecuencia, Γ no puede aumentar en el tiempo. Es decir, el teorema de unicidadimplica que en un sistema dinamico siempre debe ocurrir

dt ≤ 0. (6.56)

Supongamos que el volumen Γ(t) esta encerrado por una superficie S en el espaciode fase. El cambio de Γ en el tiempo est a dado por el numero total de trayectoriasque atraviesan (entran o salen) S por unidad de tiempo. El numero de trayectorias queatraviesan un diferencial de area da por unidad de tiempo se comporta como un flujo

de “partıculas” a traves de da, y es igual a dx

dt · da, donde da es el vector normal al

diferencial de area.

Figura 6.10: Flujo de trayectorias a traves de una superficie S que encierra un volumen Γ enel espacio de fase.

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6.3. TEOREMA DE LIOUVILLE. 237

Entonces, el cambio de Γ en el tiempo es igual al flujo total por unidad de tiempo atraves de S ,

dt =

S

dx

dt · da (flujo total a traves de S por unidad de tiempo)

=

S

f · da =

Γ

∇ · f dΓ (Teorema de la divergencia), (6.57)

donde el diferencial de volumen en el espacio de fase es

dΓ = dx1dx2 · · · dxn =n

i=1

dxi, (6.58)

y

∇ · f = ∇ ·

dx

dt

=

ni=1

∂ xi∂xi

. (6.59)

Luego, la condicion Ec. (6.56) que satisface todo sistema dinamico, equivale a

dt = 0, si ∇ · f = 0, (6.60)

dt < 0, si ∇ · f < 0. (6.61)

Un sistema de ecuaciones tal que

∇·f > 0 viola el teorema de unicidad y no representa

a un sistema dinamico.

Teorema de Liouville.

El volumen representado por un ensemble de un sistema mecanico (que obedecelas ecuaciones de Hamilton) en su espacio de fase es constante, Γ = cte, i.e.,

dt = 0.

Demostracion:La dinamica del sistema esta descrita por las ecuaciones de Hamilton,

q i = ∂H ∂pi, ˙ pi = −∂H ∂q i

,

donde

f =

∂H

∂pi, −∂H

∂q i

=

∂H

∂p1, . . . ,

∂H

∂ps, −∂H

∂q 1, . . . , −∂H

∂q s

. (6.62)

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6.3. TEOREMA DE LIOUVILLE. 239

El Teorema de Liuoville tiene importantes implicaciones. Una consecuencia de esteteorema es que las trayectorias en el espacio de fase de un sistema Hamiltoniano even-tualmente retornan arbitrariamente cerca de sus condiciones iniciales.

Teorema de recurrencia de Poincare.

Consideremos alguna condicion inicial x(0) = (q i(0), pi(0)) en un espacio de fase finitoD de un sistema Hamiltoniano. Entonces, para cualquier vecindad finita U de x(0),existen trayectorias originadas en puntos de U que eventualmente retornan a U .

Demostracion:Consideremos imagenes sucesivas de la evolucion de U bajo las ecuacionesde Hamilton, en intervalos de tiempo ∆t. Denotamos por C (U ) la imagende U despues de un intervalo ∆t. Sucesivas imagenes corresponden a C n(U ),

donde C n

indica la composicion o iteracion n-esima de C . Existen dos posi-bilidades: las imagenes sucesivas de U se intersectan, o no lo hacen. Si estasimagenes no se intersectan, entonces en cada iteracion, un volumen de D igualal volumen de U se ocupa y, por tanto, no puede pertenecer a ninguna ima-gen subsiguiente. Puesto que el volumen D es finito, no es posible acomodarun numero infinito de volumenes finitos dentro de D. Luego, las imagenessucesivas de U se deben intersectar despues de un numero finito de iteracio-nes. Supongamos que C i(U ) se intersecta con C j(U ), con i > j. Entonces,las pre-imagenes C i−1(U ) y C j−1(U ) de estos subconjuntos tambien debenintersectarse, puesto que la pre-imagen de un punto en la interseccion perte-nece a ambos subconjuntos. Esto puede ser continuado hasta que finalmenteC i−j(U ) intersecta a U . Luego, despues de i − j iteraciones de la evolucionC , existe un conjunto de puntos inicialmente en U que retornan a U .

El Teorema de recurrencia de Poincare no establece el tiempo requerido para el retornocercano a las condiciones iniciales de un sistema dinamico Hamiltoniano; este tiempopuede ser extremadamente largo, especialmente si el espacio de fase posee alta dimension.

Figura 6.13: Henri Poincare (1854 - 1912).

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240 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Ejemplos.

1. Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armonico

q = p

m = f 1(q, p), (6.66)

˙ p = −kq = f 2(q, p), (6.67)

conducen a

∇ · f = ∂f 1

∂q +

∂ f 2∂p

= 0. (6.68)

Este sistema es conservativo.

2. Las ecuaciones de Lorenz Ecs. (6.55) dan

∇ · f = ∂f 1

∂x +

∂ f 2∂y

+ ∂ f 3

∂z = −(a + b + 1). (6.69)

Luego, el sistema de Lorenz es disipativo si a + b + 1 > 0. Estas son las condicionesque producen el atractor de Lorenz en la Fig. (6.5).

6.4. Parentesis de Poisson.

Consideremos una funcion general f (q i, pi, t) definida en el espacio de fase (q i, pi),i = 1, . . . , s, de un sistema mecanico. La derivada total con respecto al tiempo de estafuncion es

df

dt =

i

∂f

∂q iq i +

∂f

∂pi˙ pi

+

∂ f

∂t . (6.70)

Las ecuaciones de Hamilton para este sistema son

q i = ∂H

∂pi, ˙ pi = −∂H

∂q i. (6.71)

Sustituyendo las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.70), tenemos

df

dt = i ∂f

∂q i

∂H

∂pi − ∂f

∂pi

∂H

∂q i +

∂ f

∂t . (6.72)

Definimos el parentesis de Poisson de H con f como la operacion

[f, H ] ≡i

∂f

∂q i

∂H

∂pi− ∂f

∂pi

∂H

∂q i

. (6.73)

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6.4. PAR ENTESIS DE POISSON. 241

Luego, podemos escribir df

dt = [f, H ] +

∂ f

∂t . (6.74)

Si f es una cantidad conservada en el espacio de fase, o una primera integral delmovimiento, entonces df dt = 0, y f satisface

∂f

∂t + [f, H ] = 0. (6.75)

Si, adicionalmente, la integral del movimiento f no depende explıcitamente del tiempo,tenemos

[f, H ] = 0. (6.76)

En general, dadas dos funciones f (q i, pi, t) y g(q i, pi, t) en el espacio de fase, podemos

definir el parentesis de Poisson de f y g como la operacion

[f, g] ≡i

∂f

∂q i

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂q i

. (6.77)

El parentesis de Poisson puede ser considerado como una operacion entre dos funcionesdefinidas en un espacio algebraico que asigna otra funcion en ese espacio.

Figura 6.14: Simeon Denis Poisson (1781-1840).

El parentesis de Poisson es una operacion que posee las siguientes propiedades (ca-racterısticas de lo que se denomina ´ algebra de Lie ):

1. [f, g] = −[g, f ] , [f, f ] = 0 (antisimetrıa).

2. [f, c] = 0 , si c = cte.

3. [af 1 + bf 2, g] = a[f 1, g] + b[f 2, g], a, b = ctes. (operador lineal).

4. [f 1f 2, g] = f 1[f 2, g] + f 2[f 1, g], (no asociativo).

5. [f, [g, h]]+[g, [h, f ]]+[h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones cıclicas es cero). Estapropiedad se conoce como la identidad de Jacobi .

Estas propiedades pueden demostrarse directamente a partir de la definicion en la Ec. (6.73).

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242 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Adicionalmente, puesto que los pi y q i representan coordenadas independientes en elespacio de fase, tenemos ∀f ,

[q i, f ] =k

∂q i

∂q k

∂f

∂pk−

0∂q i∂pk

∂f

∂q k

=

k

δ ik∂f

∂pk=

∂f

∂pi, (6.78)

[ pi, f ] =k

0∂pi∂q k

∂f

∂pk− ∂pi

∂pk

∂f

∂q k

= −

k

δ ik∂f

∂q k= − ∂f

∂q i. (6.79)

Note que si f = pj , o f = q j ,

[q i, q j] = 0, [ pi, pj ] = 0, [q i, pj ] = δ ij . (6.80)

Utilizando parentesis de Poisson, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse

q i = ∂H

∂pi= [q i, H ] (6.81)

˙ pi = −∂H

∂q i= [ pi, H ]. (6.82)

En Mecanica Cuantica, la operacion [A, B] = AB − BA se denomina el conmutador

de los operadores A y B. En particular, [q i, pj ] = i δ ij . La estructura algebraica de laMecanica Clasica se preserva en la Mecanica Cuantica.

Ejemplos.

1. Calcular [r, p], donde r = (x2 + y2 + z2)1/2.

[r, p] = [r, px] i + [r, py] j + [r, pz] k. (6.83)

Calculamos la componente

[r, px] =i

∂r

∂q i

∂px∂pi

− ∂r

∂pi

∂px∂q i

= ∂r

∂x

∂px∂px

= x

r . (6.84)

Similarmente,

[r, py] = y

r , [r, pz] =

z

r . (6.85)

Luego,

[r, p] = x

ri +

y

r j +

z

rk =

r

r = r . (6.86)

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6.4. PAR ENTESIS DE POISSON. 243

2. Las componentes del momento angular l = r × p sonlx = ypz − zpy, ly = zpx − xpz, lz = xpy − ypx. (6.87)

Calcular los siguientes parentesis de Poisson para las componentes de p y l:

a) [ py, lx] = −∂lx∂y

= − pz (6.88)

b) [ px, lx] = −∂lx∂x

= 0 (6.89)

c) [ pz, ly] = −∂ly∂z

= − px (6.90)

d) [ px, ly] = −∂ly∂x

= pz (6.91)

e) [lx, ly] = i

∂lx

∂q i

∂ly

∂pi − ∂l

x∂pi

∂ly

∂q i

=

∂lx∂x

∂ly∂px

− ∂lx∂px

∂ly∂x

+

∂lx∂y

∂ly∂py

− ∂lx∂py

∂ly∂y

+

∂lx∂z

∂ly∂pz

− ∂lx∂pz

∂ly∂z

= (− py)(−x) − ypx

= xpy − ypx = lz. (6.92)

f) [ly, lz] = lx. (6.93)

g) [lz, lx] = ly.

En general, [li, lj ] = ijklk. En Mecanica Cuantica, estas relaciones corresponden a[li, lj ] = ijki lk.

Teorema de Poisson.

Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces, [f, g] = cte.

Demostracion:Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen

df

dt = 0,

dg

dt = 0 . (6.94)

Calculemosd

dt[f, g] =

∂t[f, g] + [[f, g], H ]. (6.95)

Calculemos la derivada parcial

∂t[f, g] =

i ∂ 2f

∂t∂q i

∂g

∂pi+

∂f

∂q i

∂ 2g

∂t∂pi − ∂ 2f

∂t∂pi

∂g

∂q i − ∂f

∂pi

∂ 2g

∂t∂q i=

i

∂q i

∂f

∂t

∂g

∂pi− ∂

∂pi

∂f

∂t

∂g

∂q i

+i

∂f

∂q i

∂pi

∂g

∂t

− ∂f

∂pi

∂q i

∂g

∂t

=

∂f

∂t , g

+

f,

∂g

∂t

. (6.96)

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244 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Usando la identidad de Jacobi, tenemos[[f, g], H ] = − [[g, H ] , f ] − [[H, f ] , g] . (6.97)

Sustituyendo Ec. (6.96) y Ec. (6.97) en Ec. (6.95), tenemos

d

dt [f, g] =

∂f

∂t , g

+

f,

∂g

∂t

− [[g, H ] , f ] − [[H, f ] , g]

=

∂f

∂t , g

+

f,

∂g

∂t

+ [f, [g, H ]] + [[f, H ] , g]

=

∂f

∂t + [f, H ] , g

+

f,

∂g

∂t + [g, H ]

= df

dt, g + f,

dg

dt = 0 (6.98)

⇒ [f, g] = cte. (6.99)

El Teorema de Poisson puede ser util para encontrar una nueva constante de movi-miento en un sistema, si se conocen dos de ellas.

La condicion de integrabilidad de un sistema en la formulacion Hamiltoniana puedeexpresarse en el lengua je de los parentesis de Poisson, de la siguiente manera, denominadaintegrabilidad de Liouville :

Un sistema con s grados de libertad es integrable si existen s funciones indepen-dientes I k(q 1, . . . , q s, p1, . . . , ps), k = 1, . . . , s, denominadas constantes del movimiento,cuyos parentesis de Poisson mutuos son cero,

[I k, I j ] = 0. ∀k, j = 1, . . . , s . (6.100)

En ese caso, se dice que las s funciones I k(q i, pi) estan en involuci´ on . Luego, I k(q i, pi) =C k, donde cada C k es una constante, debido a la propiedad 2 de los parentesis de Pois-son. En sistemas conservativos, el Hamiltoniano H (q i, pi) explıcitamente independientedel tiempo es una de las constantes del movimiento.

La trayectoria q i(t), pi(t) de un sistema integrable con s grados de libertad debesatisfacer simultaneamente las s condiciones I k(q 1, . . . , q s, p1, . . . , ps) = C k en su espaciode fase 2s-dimensional. Cada relacion I k(q i, pi) = C k representa una superficie (2s − 1)-dimensional sobre la cual se encuentra la trayectoria q i(t), pi(t). La trayectoria debe estaren la interseccion de las s superficies (2s − 1)-dimensionales. Cada interseccion de dossuperficies posee una dimension menor que la dimension de las superficies. Luego, latrayectoria yace sobre una superficie s-dimensional que corresponde a la interseccion delas s superficies I k(q i, pi) = C k.

Por ejemplo, una partıcula moviendose sobre un cono vertical invertido (Sec. 6.1)posee s = 2 grados de libertad y dos constantes de movimiento, el Hamiltoniano H y elmomento angular pφ. Cada constante representa una hipersuperficie 3-dimensional en elespacio de fase de 4 dimensiones (r,φ,pr, pφ). La trayectoria del sistema en su espaciode fase ocurre sobre una superficie bidimensional, la cual puede representarse como untoroide, como veremos en este Capıtulo.

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6.5. TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 245

6.5. Transformaciones canonicas.La escogencia del conjunto especıfico de coordenadas generalizadas q i es arbitraria.

Por ejemplo, las posiciones de un sistema de partıculas en el espacio pueden ser descritaspor diferentes sistemas de coordenadas q i: cartesianas, esfericas, cilındricas, etc. Lasecuaciones de Lagrange en terminos de un conjunto dado q i tienen la forma

d

dt

∂L

∂ q i

− ∂L

∂q i= 0. (6.101)

En la Sec. 1.6, vimos que la derivacion de las ecuaciones de Lagrange no depende delconjunto de coordenadas generalizadas especıficas; por lo tanto, la forma de las ecuacionesde Lagrange no depende de un conjunto particular de coordenadas

q i

. Se puede escoger

otro conjunto de s coordenadas independientes Qi = Qi(q j , t), y las ecuaciones deLagrange tambien se cumplen en esas coordenadas,

d

dt

∂ L

∂ Qi

− ∂L

∂Qi= 0. (6.102)

En la formulacion Hamiltoniana, las coordenadas q i y los momentos conjugados pison considerados como un conjunto de 2s variables independientes en un espacio defase 2s-dimensional. En terminos de estas variables, el Hamiltoniano es H (q i, pi, t). Lasecuaciones de Hamilton correspondientes son

q i = ∂H

∂pi

, (6.103)

˙ pi = −∂H

∂q i. (6.104)

Consideremos un cambio de variables en el espacio de fase que incluya tanto lascoordenadas como momentos,

Qi = Qi(q j , pj , t), P i = P i(q j , pj , t). (6.105)

Este tipo de transformaciones se denomina transformaciones puntuales en el espacio defase y, en principio, son invertibles, i.e., q i = q i(Qj , P j , t), pi = pi(Qj , P j , t). Denotamospor H (Qi, P i, t) al Hamiltoniano en terminos de las nuevas variables Qi, P i.

En contraste con la formulacion Lagrangiana, la forma de las ecuaciones de Hamilton,

en general, no se preserva en las nuevas coordenadas y momentos Qi, P i. Por ejemplo,supongamos un sistema con Hamiltoniano H (q i, pi) en el cual se cumplen las ecuacio-nes de Hamilton (6.103)-(6.104), y consideremos la siguiente transformacion puntualq i, pi → Qi, P i en el espacio de fase,

Qi = − pi, P i = q i. (6.106)

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246 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

El Hamiltoniano en la nuevas variables sera H (Qi, P i). Las ecuaciones de Hamilton enlas variables Qi, P i se transforman de acuerdo a

q i = ∂H

∂pi=⇒ P i =

∂H

∂pi=k

∂H

∂Qk

∂Qk

∂pi+

∂ H

∂P k

∂P k∂pi

= −k

∂H

∂Qkδ ik = −∂H

∂Qi. (6.107)

˙ pi = −∂H

∂q i=⇒ − Qi = −∂H

∂q i= −

k

∂H

∂Qk

∂Qk

∂q i+

∂ H

∂P k

∂P k∂q i

= −k

∂H

∂P kδ ik = −∂H

∂P i. (6.108)

Luego, en las variables Qi, P i tambien se satisfacen las ecuaciones de Hamilton. Sinembargo, es facil notar que la transformacion puntual

Qi = pi, P i = q i, (6.109)

no preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton en las variables P i, Qi.Una transformacion puntual de variables del espacio de fase que mantiene invariante

la forma de las ecuaciones de Hamilton, se denomina transformaci´ on can´ onica .

H (q i, pi, t)

→ Transformacion canonica → H (Qi, P i, t)

q i = ∂H

∂pi Qi = Qi(q j , pj , t) Qi = ∂H

∂P i

˙ pi = −∂H

∂q i

P i = P i(q j , pj , t)

P i = −∂H

∂Qi

(6.110)

Las transformaciones canonicas son particularmente utiles cuando aparecen coorde-nadas cıclicas en las nuevas variables Qi, P i, es decir, cuando el Hamiltoniano trans-formado H (Qi, P i, t) no depende explıcitamente de alguna coordenada Qj o momentoconjugado P j . En ese caso, la ecuacion de Hamilton correspondiente a esa coordenadao momento se hace cero, y por lo tanto existe una cantidad conservada asociada a lavariable cıclica.

La condicion para que una transformacion q i, pi → Qi, P i sea canonica puedederivarse a partir de la equivalencia del Principio de Mınima Accion en ambos conjuntosde variables del espacio de fase.

Consideremos el Principio de Mınima Accion para las variables q i, pi,

S =

t2t1

L dt

δS = 0 ⇒ δ

t2t1

L dt

= 0, (6.111)

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6.5. TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 247

el cual implica que se cumplen las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, las ecuacionesde Hamilton en las variables q i, pi. En terminos del Hamiltoniano

H (q i, pi, t) =i

pi q i − L, (6.112)

tenemos

δS = δ

t2t1

i

pi q i − H

dt = 0. (6.113)

En las variables Qi, P i se debe cumplir el Principio de Mımina Accion,

δS = δ

t2t1

i

P i Qi − H

dt = 0, (6.114)

para que tambien se cumplan las ecuaciones de Hamilton en Qi, P i.Ambas formulaciones del Principio de Mınima Accion conducen a ecuaciones equi-

valentes si los integrandos en la Ec. (6.111) y la Ec. (6.114) difieren, a lo sumo, enuna derivada total con respecto al tiempo de una funcion arbitraria F de las variablesQi, P i, q i, pi y t; esto es,

i

pi q i − H =i

P i Qi − H + dF

dt , (6.115)

pues, en este caso,

δS = δS + δ

t2t1

dF

dt dt

= δS + δ [F (t2) − F (t1)] = δS . (6.116)

Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton que se derivan de la condici on δS = 0 en lasvariables q i, pi tienen la misma forma que las ecuaciones de Hamilton que se deducende la condicion δS = 0 en las variables Qi, P i.

Luego, la condici´ on para que una transformacion q i, pi → Qi, P i sea canonicapuede escribirse como

dF

dt =

i

pi q i −i

P i Qi + (H − H ). (6.117)

La funcion F se llama funci´ on generadora de la transformacion canonica q i, pi →Qi, P i. Dada una F (q i, pi, Qi, P i, t), su derivada dF dt debe satisfacer la condicion Ec. (6.117)para que la transformacion q i, pi → Qi, P i sea canonica. Entonces, las derivadas par-ciales de F con respecto a sus argumentos, contenidas en la expresion de dF dt , permiten

establecer la relacion entre las variables Qi, P i y q i, pi. Luego, la funcion F generauna conexion entre ambos conjuntos de coordenadas y momentos que garantiza que lasecuaciones de Hamilton preserven su forma bajo esta transformacion.

Las funciones generadores pueden no depender de todas las variables (q i, pi, Qi, P i, t) ytener forma arbitraria. Para ver como una transformacion canonica surge de una funciongeneradora, consideremos las siguientes formas de funciones generadoras b´ asicas :

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6.5. TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 249

3. F 3 = F 3( pi, Qi, t) dF 3dt

=i

∂F 3∂pi

˙ pi + ∂ F 3∂Qi

Qi

+

∂ F 3∂t

(6.129)

La condicion Ec. (6.117) puede expresarse como

d

dt

F −

i

piq i

=i

−q i ˙ pi − P i Qi

+ H − H (6.130)

donde hemos sustituido

pi q i = d

dt( piq i) − q i ˙ pi (6.131)

Comparando con la Ec. (6.129), tenemos

q i = −∂F 3∂pi

= q i( p, Q, t) (6.132)

P i = −∂F 3∂Qi

= P i( p, Q, t) (6.133)

F 3 = F −i

piq i (6.134)

H = H + ∂ F 3

∂t . (6.135)

4. F 4 = F 4( p, P, t).dF 4dt

=i

∂F 4∂pi

˙ pi + ∂ F 4∂P i

P i

+

∂ F 4∂t

(6.136)

La condicion Ec. (6.117) puede expresarse como

d

dt

F −

i

piq i +i

QiP i

=i

−q i ˙ pi + Qi

P i

+ H − H (6.137)

donde hemos sustituido

pi q i = d

dt( piq i) − q i ˙ pi , P i Qi =

d

dt(P iQi) − Qi

P i (6.138)

Comparando con la Ec. (6.136), tenemos

q i = −∂F 4∂pi

= q i( p, P, t) (6.139)

Qi = ∂F

4∂P i = Qi( p, P, t) (6.140)

F 4 = F +i

P iQi −i

piq i (6.141)

H = H + ∂ F 4

∂t . (6.142)

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250 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

La transformacion canonica asociada a una funcion generadora F es una propiedadcaracterıstica de la funcion F ; no depende del Hamiltoniano de un sistema especıfico. Porlo tanto, una transformacion canonica dada q i, pi, t → Qi, P i, t puede emplearse paratransformar diversos Hamiltonianos; su utilidad en cada caso dependera del problemaespecıfico. La relacion entre el Hamiltoniano H (q i, pi, t) y el Hamiltoniano transformadoH (Qi, P i, t) resultante de la transformacion canonica q i, pi, t → Qi, P i, t generadapor una F siempre es

H = H + ∂ F

∂t . (6.143)

Luego, si F es independiente del tiempo, entonces H = H .Dada una funcion generadora F , es posible encontrar una transformacion canonica

asociada a F . El problema inverso tambien se puede plantear en algunos casos; es decir,dada una transformacion canonica, en principio es posible obtener la funcion generadora

que produce esa transformacion. Por ejemplo, consideremos una transformacion

pi = pi(q,Q,t), (6.144)

P i = P i(q,Q,t), (6.145)

la cual posee la forma de la transformacion canonica asociada a una funcion generadora detipo F 1. Luego, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parcialespara F 1

∂F 1∂q i

= pi(q,Q,t), (6.146)

∂F 1∂Qi

= P i(q,Q,t), (6.147)

las cuales, en principio, pueden integrarse para encontrar F 1.

Ejemplos.

1. Encontrar la transformacion canonica generada por la funcion F 2(q i, P i) =

i q iP i.

Las transformaciones entre las coordenadas (q i, pi) y (Qi, P i) producidas por unafuncion generadora de tipo F 2(q i, P i, t) conducen a

pi = ∂F 2

∂q i= P i (6.148)

Qi = ∂F 2

∂P i= q i. (6.149)

Luego, la transformacion canonica q i, pi → Qi, P i generada por esta F 2 corres-ponde a la transformaci´ on identidad .

2. Encontrar la transformacion canonica q i, pi → Qi, P i, i = 1, 2, generada por lafuncion G = q 1(P 1 + 2 p2) + p2P 2.

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6.5. TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 251

La funcion es de la forma G(q 1, P 1, p2, P 2). Calculamos la derivadadG

dt =

∂G

∂q 1q 1 +

∂G

∂P 1P 1 +

∂G

∂p2˙ p2 +

∂G

∂P 2P 2

= (P 1 + 2 p2)q 1 + q 1 P 1 + (2q 1 + P 2) ˙ p2 + p2 P 2. (6.150)

Debemos comparar con la condicion general Ec. (6.117) que debe cumplir unatransformacion canonica,

dF

dt =

2i=1

pi q i −2i=1

P i Qi + (H − H )

= p1 q 1 + p2 q 2 − P 1 Q1 − P 2 Q2 + (H − H ). (6.151)

Para llevar la Ec. (6.151) a la forma de la Ec. (6.150), expresamos

p2 q 2 = d

dt( p2q 2) − q 2 ˙ p2

P 1 Q1 = d

dt(P 1Q1) − Q1

P 1

P 2 Q2 = d

dt(P 2Q2) − Q2

P 2

y sustituimos en la Ec. (6.151),

dF

dt = p1 q 1 − q 2 ˙ p2 + Q1

P 1 + Q2 P 2 +

d

dt( p2q 2 − P 1Q1 − P 2Q2) + (H − H ) (6.152)

d

dt (F + P 1Q1 + P 2Q2 − p2q 2) = p1 q 1 − q 2 ˙ p2 + Q1 P 1 + Q2 P 2 + (H − H ). (6.153)

El lado izquierdo es la derivada total de una funcion que depende de las varia-bles (q i, pi, Qi, P i), i = 1, 2, por lo tanto, la Ec. (6.153) sigue correspondiendo ala condicion general para una transformacion canonica, Ec. (6.117). ComparandoEc. (6.150) y Ec. (6.153), tenemos

G = F + P 1Q1 + P 2Q2 − p2q 2

p1 = P 1 + 2 p2 , Q1 = q 1

−q 2 = 2q 1 + P 2 , Q2 = p2

Luego, la transformacion canonica q i, pi → Qi, P i generada por G es

P 1 = p1

−2 p2,

Q1 = q 1

P 2 = −2q 1 − q 2

Q2 = p2.

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252 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

6.6. Transformaciones canonicas infinitesimales.En el Capıtulo 2 vimos que una transformacion infinitesimal de coordenadas, q i =

q i + δq i, en el espacio de configuracion de un sistema, que deja invariante las ecuacionesde Lagrange, constituye una simetrıa del sistema e implica la existencia de una cantidadconservada asociada a esa simetrıa. Denominamos corriente de Noether a la cantidadconservada.

Podemos extender el concepto de transformaciones infinitesimales al espacio de fa-se q i, pi, mediante una transformacion de las coordenadas y momentos conjugados.Consideremos una transformacion infinitesimal de la forma

Qi = q i + f i(q j , pj), (6.154)

P i = pi + gi(q j , pj), (6.155)

donde f i(q j, pj), gi(q j , pj) son funciones dadas y → 0. Para que la transformacionEcs. (6.154)-(6.155) sea canonica, debe existir una funcion generadora para ella. Podemosconsiderar las Ecs. (6.154)-(6.155) como una desviacion infinitesimal de una transforma-cion identidad, la cual, como vimos en un ejemplo anterior, posee la funcion generadoraF 2(q i, P i) =

i q iP i. Entonces, podemos asumir que la funcion generadora de la trans-

formacion infinitesimal Ecs. (6.154)-(6.155) corresponde a una pequena desviacion deaquella correspondiente a transformacion identidad; esto es,

F 2(q i, P i) =i

q iP i + G(q i, P i), (6.156)

donde G(q i, P i) es una funcion a ser determinada.La transformacion canonica generada por esta funcion de tipo F 2(q

i, P

i) es

pi = ∂F 2

∂q i= P i +

∂G

∂q i(6.157)

Qi = ∂F 2

∂P i= q i +

∂G

∂P i. (6.158)

Comparando las Ecs. (6.154)-(6.155) y Ecs. (6.157)-(6.158), obtenemos las condicionespara G(q i, P i),

f i(q j , pj) = ∂G

∂P i, (6.159)

gi(q j , pj) = −∂G

∂q i. (6.160)

Si existe tal funcion G(q i, P i), entonces la transformacion infinitesimal Ecs. (6.154)-(6.155) es canonica. La funcion G(q i, P i) es la funcion generadora de esa transforma-cion canonica infinitesimal. Por otro lado, si la funcion F 2(q i, P i) y, por tanto G(q i, P i),esta dada, entonces la correspondiente transformacion infinitesimal puede determinarsemediante las Ecs. (6.157)-(6.158).

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6.6. TRANSFORMACIONES CAN ONICAS INFINITESIMALES. 253

Podemos expresar la funcion f i, hasta primer orden en , como

f i(q j , pj) = ∂G

∂P i=

j

∂G

∂pj

∂pj∂P i

+ ∂G

∂q j

∂q j∂P i

=j

∂G

∂pjδ ij + O()

=

∂G

∂pi+ O(). (6.161)

Como una importante aplicacion de una funcion generadora de una transformacioncanonica infinitesimal, supongamos que G(q, P ) = H (q, p) y = dt en F 2(q i, P i); esto es

F 2(q i, P i) =i

q iP i + H (q i, pi) dt. (6.162)

Entonces, hasta primer orden en dt, podemos escribir las Ecs. (6.157)-(6.158) como

P i = pi − ∂ H

∂q idt, (6.163)

Qi = q i + ∂H

∂P idt q i +

∂ H

∂pidt. (6.164)

Usando las ecuaciones de Hamilton

q i = ∂H

∂pi, ˙ pi = −∂H

∂q i, (6.165)

podemos expresar

P i

= pi + ˙ p

idt

pi(t + dt), (6.166)

Qi = q i + q i dt q i(t + dt). (6.167)

Entonces, el Hamiltoniano es la funcion generadora de la transformacion canonicainfinitesimal que corresponde a la evolucion temporal de las coordenadas y momentos deun sistema en el espacio de fase.

Consideremos el comportamiento del Hamiltoniano bajo una transformacion canonicainfinitesimal generada por una funcion G. Supongamos una funcion general K (q i, pi)definida en el espacio de fase. El cambio en la funci on K debido a una transformacioncanonica infinitesimal, Ecs. (6.154)-(6.155), es

δK = K (Qi, P i) − K (q i, pi)

= K (q i + f i, pi + gi) − K (q i, pi)

= i

∂K ∂q i

f i + ∂ K ∂pi

gi

= i

∂K

∂q i

∂G

∂pi− ∂ K

∂pi

∂G

∂q i

= [K, G]. (6.168)

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254 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Supongamos ahora que K = H ; entonces el cambio en el Hamiltoniano bajo unatransformacion canonica infinitesimal esta dado por

δH = [H, G]. (6.169)

Si el Hamiltoniano es invariante ante la transformacion canonica infinitesimal, debemostener δH = 0 y, por lo tanto,

[H, G] = 0 ⇒ dG

dt = 0, (6.170)

puesto que ∂G∂t = 0. Luego, si el Hamiltoniano de un sistema es invariante bajo una

transformacion canonica infinitesimal, la funcion generadora de esa transformacion esuna cantidad conservada, δH = 0 ⇒ G = cte. Este resultado establece la conexionentre simetrıas y leyes de conservacion para un sistema, y es equivalente al Teorema de

Noether en el formalismo Hamiltoniano. En comparacion con la descripcion Lagrangiana,la relacion entre invariancia y constantes de movimiento se expresa de manera mas simpleen la formulacion Hamiltoniana.

6.7. Propiedades de las transformaciones canonicas.

Sea

Qi = Qi(q j , pj , t), (6.171)

P i = P i(q j, pj , t), (6.172)

una transformacion canonica. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Los parentesis de Poisson entre ambos conjuntos de variables satisfacen

[Qi, P j ]( p,q) = δ ij = [q i, pj ]( p,q) = [Qi, P j ](P,Q). (6.173)

Igualmente,

[P i, P j ]( p,q) = [P i, P j ](P,Q) = 0, (6.174)

[Qi, Qj ]( p,q) = [Qi, Qj ](P,Q) = 0. (6.175)

2. El parentesis de Poisson de dos funciones es invariante bajo una transformacioncanonica,

[f, g]( p,q) = [f, g](P,Q), (6.176)

donde

[f, g]( p,q) =k

∂f ∂q k

∂g∂pk

− ∂f ∂pk

∂g∂q k

, (6.177)

[f, g](P,Q) =k

∂f

∂Qk

∂g

∂P k− ∂f

∂P k

∂g

∂Qk

. (6.178)

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6.7. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 257

Reagrupando terminos y cambiando el orden de las sumas, tenemos

[f, q ]( p.q) =j

∂f

∂Qj

∂g

∂P j

k

∂Qj

∂q k

∂P j∂pk

− ∂ Qj

∂pk

∂P j∂q k

−j

∂f

∂P j

∂g

∂Qj

k

∂Qj

∂q k

∂P j∂pk

− ∂ Qj

∂pk

∂P j∂q k

+k

j

∂f

∂Qj

∂Qj

∂q k

∂g

∂Qj

∂Qj

∂pk+

∂f

∂P j

∂P j∂q k

∂g

∂P j

∂P j∂pk

− ∂f

∂Qj

∂Qj

∂pk

∂g

∂Qj

∂Qj

∂q k− ∂f

∂P j

∂P j∂pk

∂g

∂P j

∂P j∂q k

. (6.189)

El tercer termino (doble suma) es igual a cero; luego podemos reagrupar los dos primerosterminos

[f, g]( p,q) =j

∂f

∂Qj

∂g

∂P j− ∂f

∂P j

∂g

∂Qj

k

∂Qj

∂q k

∂P j∂pk

− ∂ Qj

∂pk

∂P j∂q k

= [f, g](P,Q) [Qj , P j ]( p,q) , (6.190)

pero [Qj , P j ]( p,q) = 1; luego,

[f, g]( p,q) = [f, g](P,Q).

Ejemplos.1. Demostrar que la evolucion temporal de una condicion inicial en el espacio de fase

es una transformacion canonica.

Figura 6.15: Evolucion infinitesimal en el espacio de fase.

Consideremos la evolucion de una condicion inicial en el espacio de fase en unintervalo de tiempo infinitesimal,

(q i(t0), pi(t0)) → (q i(t0 + dt), pi(t0 + dt)). (6.191)

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258 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Sean q i = q i(t0) y pi = pi(t0), y definamos las nuevas coordenadas y momentos

P j = pj(t0 + dt) = pj(t0) + ˙ pjdt + · · ·= pj + ˙ pjdt + · · ·

Qj = q j(t0 + dt) = q j(t0) + q jdt + · · ·= q j + q jdt + · · ·

(6.192)

Luego, manteniendo solamente terminos de primer orden en dt,

[Qi, P j ]( p,q) =k

∂Qi

∂q k

∂P j∂pk

− ∂ Qi

∂pk

∂P j∂q k

=

k∂Qi

∂q k

∂P j∂pk

=k

∂q i∂q k

+ ∂ q i∂q k

dt∂pj

∂pk+ ∂ ˙ pj

∂pkdt

=k

δ ik +

∂ q i∂q k

dt

δ jk +

∂ ˙ pj∂pk

dt

=k

δ ikδ jk +

δ jk

∂ q i∂q k

+ δ ik∂ ˙ pj∂pk

dt

= δ ij +

∂ q i∂q j

+ ∂ ˙ pj∂pi

dt . (6.193)

Usamos las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.193),

q i = ∂H ∂pi, ˙ pj = −∂H ∂q j

, (6.194)

y obtenemos,

[Qi, P j ]( p,q) = δ ij +

∂ 2H

∂q j∂pi− ∂ 2H

∂pi∂q j

δt = δ ij . (6.195)

Por lo tanto, la transformacion infinitesimal Ec. (6.192) es canonica. Esta transfor-macion puede escribirse

P j = pj(t0) − ∂ H

∂q i(q i(t0), pi(t0)) dt + · · ·

Qj = q j(t0) + ∂H

∂pj (q i(t0), pi(t0)) dt + · · · ,

(6.196)

Luego, el Hamiltoniano actua como la funcion generadora de la transformacioninfinitesimal (q i(t0), pi(t0)) → (Qi, P i). Como la condicion inicial puede tomarse encualquier punto de la trayectoria, la evolucion temporal de un sistema en el espaciode fase es una transformacion canonica inducida por el Hamiltoniano del sistema.

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6.8. APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 259

2. Demostrar que la siguiente transformacion es canonica:

P 1 = p1 − 2 p2, Q1 = q 1P 2 = −2q 1 − q 2, Q2 = p2.

(6.197)

Las transformaciones canonicas deben satisfacer la propiedad [Qi, P j ]( p,q) = δ ij ,∀i, j. Calculamos, para la transformacion Ec. (6.197), los siguientes parentesis dePoisson,

[Q1, P 1]( p,q) =i

∂Q1

∂q i

∂P 1∂pi

− ∂ Q1

∂pi

∂P 1∂q i

=

∂Q1

∂q 1

∂P 1∂p1

− ∂ Q1

∂p1

∂P 1∂q 1

+

∂Q1

∂q 2

∂P 1∂p2

− ∂ Q1

∂p2

∂P 1∂q 2

= 1.

[Q2, P 2]( p,q) =

∂Q2

∂q 1

∂P 2∂p1

− ∂ Q2

∂p1

∂P 2∂q 1

+

∂Q2

∂q 2

∂P 2∂p2

− ∂ Q2

∂p2

∂P 2∂q 2

= 1.

[Q2, P 1]( p,q) =

∂Q2

∂q 1

∂P 1∂p1

− ∂ Q2

∂p1

∂P 1∂q 1

+

∂Q2

∂q 2

∂P 1∂p2

− ∂ Q2

∂p2

∂P 1∂q 2

= 0.

[Q1, P 2]( p,q) =

∂Q1

∂q 1

∂P 2∂p1

− ∂ Q1

∂p1

∂P 2∂q 1

+

∂Q1

∂q 2

∂P 2∂p2

− ∂ Q1

∂p2

∂P 2∂q 2

= 0.

Luego la transformacion Ec. (6.197) es canonica.

6.8. Aplicaciones de transformaciones canonicas.

Una transformacion canonica (q i, pi) → (P i, Qi) es particularmente conveniente cuan-do el cambio de variables es tal que alguna coordenada Qj o momento P j no apareceexplıcitamente en el Hamiltoniano transformado H (Qi, P i, t). Se dice que esa coordenadao momento es cıclica para H . Por ejemplo, si

∂H

∂Qj= 0 , (6.198)

entonces, la ecuacion de Hamilton para el momento P j es

P j = −∂H

∂Qj= 0 ⇒ P j = cte. (6.199)

Es decir, el momento P j es una cantidad conservada. En este caso, las ecuaciones deHamilton resultan mas faciles de integrar en las nuevas variables (P i, Qi) que en las

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260 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

variables originales (q i, pi). Una vez encontradas las soluciones (P i(t), Qi(t)), la transfor-macion canonica puede ser empleada para expresar la solucion en las variables originalesq i = q i(Qi(t), P i(t), t), pi = pi(Qi(t), P i(t), t).

Como una aplicacion de este procedimiento, consideremos un oscilador armonico sim-ple cuyo Hamiltoniano es

H (q, p) = p2

2m +

1

2kq 2 =

1

2m( p2 + m2ω2q 2) , (6.200)

donde ω 2 = k/m.Busquemos una transformacion canonica ( p, q ) → (P, Q) donde Q sea cıclica en el

nuevo Hamiltoniano H (Q, P ). La forma de H (suma de dos terminos cuadraticos) en laEc. (6.200) sugiere una transformacion canonica del tipo

p = f (P )cos Q,

q = f (P )

mω sin Q,

(6.201)

donde f (P ) es una funcion de P a ser determinada. Sustituyendo la transformacionEcs. (6.201) en H (q, p), tenemos el Hamiltoniano transformado en las nuevas variables

H (Q, P ) = H (P ) = 1

2m [f (P )]

2 , (6.202)

luego, H es independiente de Q. Para encontrar la funcion f (P ), busquemos la funciongeneradora que produce la transformacion Ecs. (6.201). De estas ecuaciones obtenemos

p = mωq cot Q

⇒ p = p(q, Q), (6.203)

lo cual corresponde a una transformacion asociada a una funcion generadora del tipoF 1(q, Q), pues recordemos que

p = ∂F 1

∂q = p(q, Q), (6.204)

P = −∂F 1∂Q

= P (q, Q). (6.205)

Sustituyendo la Ec. (6.203) en la Ec. (6.204), tenemos

∂F 1∂q

= mωq cot Q, (6.206)

lo cual implica que

F 1(q, Q) = mωq 2

2 cot Q, (6.207)

mientras que

P = −∂F 1∂Q

= mωq 2

2 csc2 Q . (6.208)

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6.8. APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES CAN ONICAS. 261

Despejando q ,

q =

2P

mω sin Q = q (Q, P ). (6.209)

Sustituyendo q en la Ec. (6.203), obtenemos

p =√

2mωP cos Q = p(Q, P ). (6.210)

Comparando con la forma de la transformacion propuesta Ecs. (6.201), vemos que

f (P ) = (2mωP )1/2 . (6.211)

Por otro lado, puesto que F 1(q, Q) es independiente del tiempo, ∂F 1

∂t = 0, tenemos

H (q, p) = H (Q, P ). (6.212)

Luego,

H (Q, P ) = 1

2m

( p(Q, P ))2 + m2ω2(q (Q, P ))2

= ωP, (6.213)

donde vemos que la coordenada Q es cıclica en el Hamiltoniano transformado H (Q, P ).Puesto que

∂H

∂t = 0 ⇒ H = E = cte, (6.214)

donde E es la energıa total del sistema. Puesto que H = H ,

H = ωP = E ⇒ P = E

ω = cte. (6.215)

Las ecuaciones de Hamilton para Q y P dan

P = −∂H

∂Q = 0 ⇒ P = cte ⇒ P =

E

ω.

Q = ∂H

∂P = ω ⇒ Q(t) = ωt + ϕ .

Sustituyendo en q (P, Q) y p(P, Q), obtenemos

q = 2E mω2 sin(ωt + ϕ), (6.216)

p =√

2Em cos(ωt + ϕ), (6.217)

donde

2E

mω2

1/2

es la amplitud de la oscilacion y ϕ es la fase.

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262 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

6.9. Ecuacion de Hamilton-Jacobi.Hemos visto que una transformacion canonica (q i, pi, t) → (P i, Qi, t), i = 1, . . . , s,

puede ser usada para encontrar las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para unsistema con un Hamiltoniano H (q i, pi, t), mediante las soluciones de esas ecuaciones paraun Hamiltoniano transformado en nuevas variables H (Qi, P i, t), tal que alguna (o varias)coordenada Qj sea cıclica en H . Una vez encontrada la solucion en las nuevas variables(Qi(t), P i(t)), donde el momento conjugado P j = cte, las relaciones de la transformacioncanonica pueden ser empleadas para expresar la solucion en las variables originales,

q i = q i(Qi(t), P i(t), t) , pi = pi(Qi(t), P i(t), t). (6.218)

Este procedimiento puede ser generalizado. Supongamos que encontramos una trans-formacion canonica (q i, pi, t) → (P i, Qi, t) tal que las nuevas coordenadas y momentos

(P i, Qi) correspondan a 2s constantes. En este caso, el nuevo Hamiltoniano H (Qi, P i) esconstante y todas las Qi y P i son cıclicas en H . A su vez, las cantidades constantes Qi

y P i pueden expresarse en funcion de las 2s condiciones iniciales (q i(0), pi(0)); es decir,Qi = q (q j(0), pj(0), t), P i = p(q j(0), pj(0), t). Entonces, las ecuaciones de la transforma-cion canonica que relacionan las nuevas y viejas variables proporcionan directamente lasolucion del problema del movimiento,

q i = q (q j(0), pj(0), t) , pi = p(q j(0), pj(0), t). (6.219)

En particular, si requerimos que la transformacion canonica que conduce a nue-vos momentos y coordenadas constantes, P i ≡ αi = cte, Qi ≡ β i = cte, sea tal queH (Qi, P i) = 0, entonces debe existir una funcion generadora F tal que

H + ∂ F

∂t = 0. (6.220)

La condicion que debe cumplirse para que tal transformacion canonica exista, es la ecua-cion de Hamilton-Jacobi, y corresponde a la Ec. (6.220) para una F apropiada.

Figura 6.16: Trayectoria q i(t) que pasa por los puntos q i(t1) y q i(t2).

Para derivar la ecuacion de Hamilton-Jacobi y encontrar la funcion generadora apro-piada, consideremos la accion de un sistema,

S =

t2t1

L(q i, q i, t) dt . (6.221)

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6.9. ECUACI ON DE HAMILTON-JACOBI. 263

El valor de la accion S , como integral definida, depende del conjunto de trayectoriasq i(t). Para las trayectorias que satisfacen la ecuaciones de Lagrange correspondientes,el valor de S es mımino (extremo).

Supongamos que el tiempo t2 es variable, i.e, t2 = t. Entonces, la accion dependera delas trayectorias y del tiempo, S = S (q i, t). Luego, como funcion de sus argumentos q i yt, la derivada temporal de la accion es

dS

dt =

i

∂S

∂q iq i +

∂ S

∂t . (6.222)

Por otro lado, si t2 = t en la definicion de la accion Ec. (6.221), tenemos

dS

dt = L = i

pi q i − H ( pi, q i, t). (6.223)

Comparando Ec. (6.222) con Ec. (6.223), obtenemos las relaciones

pi = ∂S

∂q i(q i, t) , (6.224)

∂S

∂t (q i, t) + H ( pi, q i, t) = 0 , (6.225)

las cuales se pueden expresar mediante la ecuacion

∂S

∂t (q i, t) + H

∂S

∂q i, q i, t

= 0 . (6.226)

La Ec. (6.226) es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi .

Figura 6.17: Carl Gustav Jacobi (1804-1851).

Comparando la Ec. (6.220) con la ecuacion de Hamilton-Jacobi Ec. (6.226), vemosque la accion S puede interpretarse como una funcion generadora capaz de producir latransformacion canonica buscada. Mas aun, la accion S puede interpretarse como unafuncion generadora de tipo F 2(q i, P i, t), Ec. (6.122), que satisface la Ec. (6.220) y tal queP i = αi = cte, Qi = β i = cte.

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6.9. ECUACI ON DE HAMILTON-JACOBI. 265

en la Ec. (6.231), solo aparecen sus derivadas con respecto a las q i y t. Luego, si S essolucion de la Ec. (6.231), entonces S + cte, tambien es una solucion. Por lo tanto, unade las (s + 1) constantes de integracion es irrelevante para la solucion. Las s constantesdeben ser las P i = αi, para que la accion tenga la forma S (q i, P i, t). Luego, la solucionde la ecuacion de Hamilton-Jacobi puede expresarse en la forma

S = S (q 1, . . . , q s, P 1, . . . , P s, t) = S (q i, αi, t), i = 1, . . . , s . (6.232)

Si el Hamiltoniano H es independiente del tiempo, entonces H es constante e iguala la energıa total del sistema, H (q i, pi) = cte = E . En ese caso, se puede buscar unasolucion de la ecuacion de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.231), por separacion de variables; estoes, suponemos que la solucion S tiene la forma

S (q i, P i, t) = S (q i, αi, t) = W (q i, P i)−

E t = W (q i, αi)−

E t, (6.233)

donde una de las s constantes αi es E . La funcion W (q i, P i) = W (q i, αi) se llama funci´ on

caracterıstica o principal de Hamilton . En ese caso, sustitucion de S en la Ec. (6.231)resulta en una ecuacion para la funcion W (q i, P i), de la forma

H

∂W

∂q i(q i, E , P j), q i

= E, (6.234)

donde escogemos P 1 = α1 = E , P j = αj , j = 2, . . . , s. La Ec. (6.234) se denominaecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo.

En particular, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la coordenada cons-tante Q1 = β 1 asociada a P 1 = E satisface

Q1 = ∂S ∂P 1

= ∂S ∂E

= ∂W

∂E − t = β 1. (6.235)

Las relaciones de la transformacion canonica en terminos de la funcion caracterısticaW (q i, P i) corresponden a

pi = ∂S

∂q i=

∂W

∂q i, ∀i, (6.236)

Qi = ∂S

∂P i=

∂W

∂P i, i = 1. (6.237)

Entonces, la condicion H (q i, pi) = E se puede expresar como

H

∂W

∂q i(q i, P i), q i

= E , (6.238)

que es la ecuacion de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo satisfecha por la funcioncaracterıstica W (q i, P i).

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266 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

El metodo de separacion de variables para buscar una solucion de la ecuacion deHamilton-Jacobi tambien puede emplearse cuando una coordenada es cıclica. Una coor-denada q k cıclica no aparece explıcitamente en el Hamiltoniano y, por lo tanto, tampocoaparece en la correspondiente ecuacion de Hamilton-Jacobi. Si el Hamiltoniano es cons-tante, entonces se puede buscar una solucion de esta ecuacion en la forma

S (q i, P i, t) = W (q j, P i) + P kq k − Et, j = k. (6.239)

Entonces,

pk = ∂S

∂q k= P k = αk = cte. (6.240)

La constante P k = αk es justamente el valor constante del momento conjugado pk aso-ciado a la variable cıclica q k. La presencia del termino −Et en la expresion Ec. (6.239)para un sistema conservativo corresponde a la separacion de la variable t, que no aparece

explıcitamente en el Hamiltoniano.En ciertos sistemas, es posible encontrar una solucion por separacion de variables en

forma aditiva; esto es, suponemos la accion de la forma

S (q i, P i, t) = W (q i, P i) − Et

=s

k=1

W k(q k, P i) − Et, (6.241)

donde cada funcion W k depende solamente de una coordenada q k. Si una coordenadaq k es cıclica, tomamos W k = P k q k. Las relaciones de la transformacion canonica seconvierten en

pk = ∂W k

∂q k (q k, P 1, . . . , P s) , (6.242)

Qk =si=1

∂W i∂P k

(q k, P 1, . . . , P s) − δ 1it . (6.243)

En este caso, se dice que el sistema es completamente separable . Para estos sistemas esposible reducir el problema de la ecuacion de Hamilton-Jacobi a un conjunto de s ecua-ciones diferenciales de primer orden, Ecs. (6.242); una ecuacion para cada funcion W k quedepende de q k y de constantes P i = αi. Cada ecuacion permite encontrar la correspon-diente W k mediante una integracion explıcita sobre la coordenada q k. Adicionalmente,las s Ecs. (6.243) permiten obtener, por inversion, las coordenadas q k = q k(Qi, P i, t).

La ecuacion de Hamilton-Jacobi, cuando es separable, es el metodo mas poderoso

para encontrar la solucion general de las ecuaciones de movimiento para un sistema.Aunque la ecuacion de Hamilton-Jacobi para un sistema dinamico dado puede ser

completamente separable en un sistema de coordenadas, puede no serlo en otro. Engeneral, no existen condiciones de separabilidad a priori; aunque consideraciones de si-metrıa pueden ayudar. Por ejemplo, un problema con simetrıa esferica usualmente puedeser separable en coordenadas esfericas.

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6.9. ECUACI ON DE HAMILTON-JACOBI. 267

Ejemplos.

1. Ecuacion de Hamilton-Jacobi para un oscilador armonico simple y obtencion de latrayectoria (q (t), p(t)) y de la accion asociada a este sistema.

El Hamiltoniano es

H (q, p) = 1

2m

p2 + m2ω2q 2

. (6.244)

La accion para este sistema con s = 1 tiene la forma S (q, t). La ecuacion deHamilton-Jacobi es

∂S

∂t (q, t) + H ( p, q ) = 0. (6.245)

Hay una sola relacion para el momento,

p = ∂S

∂q (q, t) (6.246)

y, sustituyendo en la Ec. (6.245), obtenemos la ecuacion de Hamilton-Jacobi parael oscilador armonico,

∂S

∂t +

1

2m

∂S

∂q

2

+ m2ω2q 2

= 0. (6.247)

Puesto que ∂H ∂t = 0, el Hamitoniano es constante e igual a la energıa total del

sistema, H = E . Luego, podemos buscar una solucion de la Ec. (6.247) mediante

separacion de variables,

S (q , E , t) = W (q, E ) − E t, (6.248)

donde P = E = α es la unica constante de integracion para la Ec. (6.247). Susti-tucion en la Ec. (6.247) da

1

2m

∂W

∂q

2

+ m2ω2q 2

= E . (6.249)

Calculamos W (q, E ),∂W

∂q = (2mE − m2ω2q 2)1/2, (6.250)

W (q, E ) =

(2mE − m2ω2q 2)1/2 dq. (6.251)

Luego,

S (q , E , t) =

(2mE − m2ω2q 2)1/2 dq − Et. (6.252)

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268 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

La funcion S (q , E , t) permite encontrar las relaciones de la transformacion canonicagenerada por S a partir de sus derivadas parciales,

p = ∂S

∂q =

∂W

∂q , (6.253)

Q = ∂S

∂P =

∂S

∂E = β = cte. (6.254)

Derivando S con respecto a E en la Ec. (6.252), la relacion Ec. (6.254) da

Q = ∂S

∂E =

m

2E

dq 1 − mω 2q 2

2E

− t. (6.255)

Integrando la Ec. (6.255), obtenemos1

Q + t = 1

ω sin−1

ωq

m

2E

, (6.256)

y despejando q ,

q (Q,E ,t) =

2E

mω2 sin(ωt + β ), β = Qω = cte. (6.257)

La relacion Ec. (6.253) da

p =

∂W

∂q = 2mE − m2

ω2

q 2

, (6.258)

y sustituyendo q de la Ec. (6.257), tenemos

p(Q,E ,t) =√

2mE cos(ωt + β ). (6.259)

Las constantes Q = β y P = E se pueden expresar en terminos de las condicionesiniciales q (0) = q 0 y p(0) = p0. Evaluando las Ecs. (6.257) y (6.259) en t = 0,tenemos

q 0 =

2E

mω2 sin(ωQ), (6.260)

p0 =√

2mE cos(ωQ). (6.261)

Luego,

tan(ωQ) = mω q 0 p0

⇒ Q = 1

ω tan−1

q 0 p0

. (6.262)

1

dx√ 1−ax2

= 1√ a

sin−1 √

a x

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6.9. ECUACI ON DE HAMILTON-JACOBI. 269

Evaluando la Ec. (6.258) en t = 0,

E = 1

2m

p2

0 + m2ω2q 20

= P. (6.263)

Las Ecs. (6.257) y (6.259), junto con las relaciones (6.262) y (6.263), expresan lasolucion de las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armonico en terminos delas condiciones iniciales, p = p(q 0, p0, t) y q = q (q 0, p0, t).

Aunque la solucion explıcita para la accion S no es necesaria para la obtencion dela trayectoria p(q 0, p0, t) y q (q 0, p0, t), la cantidad S puede encontrarse a partir dela integracion de la Ec. (6.252),

S (q , E , t) =

√ 2mE 1 −

mω2q 2

2E dq − Et

=√

2mE

1 − q 2

a2 dq − Et

= 1

2

√ 2mE

q

1 − q 2

a2

1/2

+ a sin−1 q

a

− Et, (6.264)

donde a ≡

2E

mω2 .

Sustituyendo q de la Ec. (6.257) en la Ec. (6.264), podemos obtener S como funcionde t,

S (t) = 1

2 a √ 2mE sin(ωt + β ) cos(ωt + β ) + sin−1 (sin(ωt + β ))− Et

= E

ω

1

2 sin[2(ωt + β )] + (ωt + β )

− Et

= E

2ω sin[2(ωt + β )], (6.265)

donde las constantes han sido suprimidas en la Ec. (6.265).

2. Relacion entre la ecuacion de onda de Schrodinger de la Mecanica Cuantica y laecuacion de Hamilton-Jacobi de la Mecanica Clasica.

Consideremos, por simplicidad, la ecuacion de Schrodinger unidimensional para lafuncion de onda Ψ(x, t) de una partıcula de masa m en el potencial V (x, t),

i ∂ Ψ

∂t = −

2

2m

∂ 2Ψ

∂x2 + V (x, t)Ψ . (6.266)

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270 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Figura 6.18: Erwin Schrodinger (1887-1961).

Suspongamos una solucion de la forma

Ψ(x, t) = R(x, t)eiS (x,t), (6.267)

donde R(x, t) es la parte real que da la amplitud de la funci on de onda y S (x, t) esla fase correspondiente.

Calculamos las derivadas parciales

∂ Ψ

∂t = Ψ = Re

iS +

i

R Se

iS =

R +

i

R S

eiS . (6.268)

Ψ = ∂ Ψ

∂x =

R +

i

RS

eiS . (6.269)

Ψ = ∂ 2Ψ∂x2

=

R + i

(RS + RS )

eiS +

R + i

RS

i

S eiS

=

R + 2

i

RS +

i

RS − 1

2RS 2

eiS . (6.270)

Sustituyendo las derivadas de Ψ en la Ec. (6.266), tenemos

i

R +

i

R S

= −

2

2m

R + 2

i

RS +

i

RS − 1

2RS 2

+ V R. (6.271)

En el lımite clasico → 0, la Ec. (6.271) queda

−R S = 12m RS 2 + V R, (6.272)

la cual se puede escribir como

∂S

∂t +

1

2m

∂S

∂x

2

+ V = 0. (6.273)

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6.9. ECUACI ON DE HAMILTON-JACOBI. 271

Pero el Hamiltoniano de la partıcula es

H = p2

2m + V, (6.274)

y el momento, en terminos de la accion clasica S , es

p = ∂S

∂x. (6.275)

Luego, la Ec. (6.273) es la ecuacion de Hamilton-Jacobi para la fase S (x, t).

∂S

∂t + H

∂S

∂x, x

= 0. (6.276)

En el lımite clasico, la fase S (x, t) de la funcion de onda Ψ(x, t) corresponde a laaccion y satisface la ecuacion de Hamilton-Jacobi.

3. Separacion de variables en la ecuacion de Hamilton-Jacobi en coordenadas esfericasen un sistema cuyo potencial posee simetrıa azimutal.

Consideremos una partıcula en un potencial con simetrıa azimutal alrededor deleje z (independiente del angulo φ) en coordenadas esfericas de la forma,

V (r, θ) = a(r) + b(θ)

r2 . (6.277)

donde a(r) y b(θ) son funciones dadas. Por ejemplo, el potencial de un campogravitacional uniforme o el potencial electrico de un dipolo, ambos expresados encoordenadas esfericas, poseen simetrıa azimutal. En particular, el problema de Ke-

pler corresponde a a(r) = −k/r y b(θ) = 0.El Lagrangiano correspondiente a este sistema, en coordenadas esfericas (Cap. 1),es

L = 1

2m(r2 + r2 θ2 + r2ϕ2 sin2 θ) −

a(r) +

b(θ)

r2

. (6.278)

Para este sistema, se obtiene el siguiente Hamiltoniano

H (r,θ,φ,pr, pθ, pφ) = 1

2m

p2r +

p2θ

r2 +

p2φ

r2 sin2 θ

+

a(r) +

b(θ)

r2

. (6.279)

La accion para este sistema es una funcion S (r,θ,φ,t). Los momentos conjugadossatisfacen

pr = ∂S ∂r

, (6.280)

pθ = ∂S

∂θ , (6.281)

pφ = ∂S

∂φ. (6.282)

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272 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

La ecuacion de Hamilton-Jacobi es∂S

∂t + H = 0. (6.283)

Sustituyendo H y los momentos en la Ec. (6.283), obtenemos la ecuacion de Hamilton-Jacobi para este sistema,

∂S

∂t +

1

2m

∂S

∂r

2

+ 1

r2

∂S

∂θ

2

+ 1

r2 sin2 θ

∂S

∂φ

2

+

a(r) +

b(θ)

r2

= 0.

(6.284)Puesto que el Hamiltoniano es independiente del tiempo y la coordenada φ escıclica, podemos buscar una solucion en la forma separable

S (r,θ,φ,P 1, P 2, P 3, t) = W r(r,E ,P φ, P 3) + W θ(θ , E , P φ, P 3) + P φφ−

Et, (6.285)

donde hemos tomado W φ = P φφ, y P 1 = E , P 2 = P φ y P 3 son constantes.

Las Ecs. (6.282) y (6.285) implican que pφ = P φ = cte. La cantidad constante pφes el valor de la componente lz del momento angular.

Sustituyendo S en la Ec. (6.284), obtenemos

1

2m

∂W r

∂r

2

+ a(r) + 1

2mr2

∂W θ

∂θ

2

+ 2m b(θ)

+

p2φ

2mr2 sin2 θ= E, (6.286)

lo cual se puede expresar como

r2

∂W r

∂r 2

+ 2mr2a(r) − 2mr2E = −∂W θ

∂θ 2

+ 2m b(θ)− p2φ

sin2 θ. (6.287)

En terminos de las coordenadas, el lado izquierdo del la Ec. (6.287) corresponde auna funcion que depende solamente de r , mientras que el lado derecho representaa una funcion dependiente solamente de θ. Entonces, para que ambos lados seaniguales en la Ec. (6.287), ambas funciones deben ser iguales a una misma constante,

∂W θ∂θ

2

+ 2m b(θ) + p2φ

sin2 θ= P 3, (6.288)

r2

∂W r

∂r

2

+ 2mr2a(r) − 2mr2E = −P 3, (6.289)

donde hemos fijado la constante como −P 3, puesto que las funciones W r y W θdeben depender de las tres constantes E , pφ, P 3. Despejando, tenemos

∂W θ∂θ

=

P 3 − 2m b(θ) − p2

φ

sin2 θ

1/2

, (6.290)

∂W r∂r

=

2m

E − P 3

2mr2 − a(r)

1/2

. (6.291)

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6.9. ECUACI ON DE HAMILTON-JACOBI. 273

Mediante integracion obtenemos

W θ(θ, pφ, P 3) =

P 3 − 2m b(θ) − p2

φ

sin2 θ

1/2

dθ, (6.292)

W r(r,E ,P 3) =

2m (E − a(r)) − P 3

r2

1/2

dr, (6.293)

y ya teniamos W φ = pφφ. Luego, el sistema es completamente separable.

La accion correspondiente es

S =

2m (E − a(r)) − P 3

r2

1/2

dr

+

P 3 − 2m b(θ) − p2φ

sin2 θ

1/2

+ pφ φ − E t. (6.294)

Las coordenadas constantes Q1, Q2 y Q3 de la transformacion canonica generadapor S satisfacen las relaciones

Q1 = ∂S

∂E =

∂W r∂E

(r,E ,P 3) − t = Q1(r,E ,P 3, t), (6.295)

Q2 = ∂S

∂pφ=

∂W θ∂pφ

(θ, pφ, P 3) + φ = Q2(θ,φ,pφ, P 3), (6.296)

Q3 = ∂S

∂P 3

= ∂W r

∂P 3

+ ∂ W θ

∂P 3

= Q3(r,θ,E ,φ,P 3). (6.297)

La Ec. (6.295) permite encontrar la solucion r = r(E, P 3, Q1, t). Esta solucion para rse puede sustituir en la Ec. (6.297), y entonces las Ecs. (6.296) y (6.297) constituyenun sistema de dos ecuaciones para θ y φ, las cuales pueden resolverse dando comoresultado θ = θ(E, pφ, P 3, Q1, Q2, Q3, t) y φ = φ(E, pφ, P 3, Q1, Q2, Q3, t).

Por otro lado, consideremos las Ecs. (6.280)-(6.281) para los momentos

pr = ∂S

∂r =

∂W r∂r

= pr(r,E ,P 3), (6.298)

pθ = ∂S

∂θ =

∂W θ∂θ

= pθ(θ, P 3, pφ). (6.299)

Sustitucion de las soluciones para las coordenadas r y θ en estas ecuaciones conducea las soluciones para los momentos pr y pθ ( pφ es una constante) en funcion del

tiempo y de las constantes E , pφ, P 3, Q1, Q2, Q3.

Luego, el metodo de la ecuacion de Hamilton-Jacobi permite obtener la solucioncompleta de las ecuaciones de movimiento (coordenadas y momentos) en terminosde las seis constantes E , pφ, P 3, Q1, Q2, Q3.

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274 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

6.10. Variables de accion-angulo.Supongamos que tenemos un sistema dinamico con las siguientes condiciones:

(1) su Hamiltoniano H (q i, pi) es constante,

(2) el sistema es completamente separable,

(3) sus movimientos son finitos.

La condicion (1) implica que podemos escribir la ecuacion Hamilton-Jacobi independientedel tiempo para el sistema,

H

∂W

∂q i(q i, P i), q i

= E , (6.300)

donde P i = αi = cte.La funcion caracterıstica de Hamilton W (q i, P i), que satisface la Ec. (6.300), puede

interpretarse como una funcion generadora de tipo F 2(q i, P i), independiente del tiempo,que produce una transformacion canonica (q i, pi) → (Qi, P i) tal que las coordenadas Qi

son cıclicas en el nuevo Hamiltoniano; es decir, H (P i).En efecto, con esta condicion sobre H , los nuevos momentos P i son constantes, pues

P i = −∂H (P i)

∂Qi= 0 ⇒ P i = αi = cte. (6.301)

Entonces, H (P i) = H (αi) = cte. La funcion generadora F 2(q i, P i) = W (q i, P i) =W (q i, αi) satisface la relacion

H = H + ∂ F 2∂t

⇒ H = H. (6.302)

Puesto que H (q i, pi) = E , tenemos

H (q i, pi) = E = H (P i). (6.303)

Las relaciones de la transformacion canonica generada por W (q i, P i) corresponden a

pi = ∂W

∂q i, (6.304)

Qi = ∂W

∂P i. (6.305)

Luego, la relacion H (q i, pi) = E se puede expresar como

H

∂W

∂q i(q i, P i), q i

= E , (6.306)

que es la ecuacion de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo satisfecha por la funcioncaracterıstica W (q i, P i).

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 275

Debido a la condicion (2), podemos expresar la funcion caracterıstica de Hamiltoncomo

W (q 1, . . . , q s, α1, . . . , αs) =

si=1

W i(q i, α1, . . . , αs). (6.307)

Entonces, las relaciones de la transformacion canonica (q i, pi) → (Qi, αi) generada porW (q i, P i) = W (q i, αi) estan dadas por

pi = ∂W i

∂q i(q i, α1, . . . , αs) , (6.308)

Qi = ∂W i

∂αi(q i, α1, . . . , αs) . (6.309)

El nuevo Hamiltoniano entonces tiene la forma H (α1, . . . , αs) = E .La Ec. (6.308) implica la relacion funcional

pi = pi(q i, α1, . . . , αs), (6.310)

la cual define una curva o trayectoria sobre el plano (q i, pi) que depende de los parame-tros α1, . . . , αs. Esta curva es una proyeccion sobre el plano (q i, pi) de la trayectoria delsistema en su espacio de fase 2s-dimensional. Adicionalmente, la condicion (3) implicaque esta curva debe ser una orbita cerrada o periodica en el plano (q i, pi), que denotamospor Ci. Existe una tal orbita Ci en cada uno de los planos (q i, pi) del espacio de fase.

Figura 6.19: (a) Libracion. (b) Rotacion. (c) Libracion y rotacion en el espacio de fase de unpendulo simple.

La orbita Ci en un plano (q i, pi) refleja la periodicidad de las variables conjugadas piy q i, y puede ser de dos tipos:

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276 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

1. Libraci´ on : ocurre cuando los valores de ambos, q i y pi, se repiten, trazando unaorbita cerrada. En este caso, tanto q i como pi, son funciones periodicas en el tiempo.El oscilador armonico y el problema de Kepler con E < 0 son ejemplos de este tipode orbitas. Las orbitas de libracion son curvas cerradas que no siempre son elipses.

2. Rotaci´ on : corresponde a una orbita tal que pi es una funcion periodica de q i, conperıodo q 0i . Los valores de pi estan acotados, pero los de q i pueden incrementarseindefinidamente. Ejemplos son los movimientos de un cuerpo rıgido libre y de untrompo simetrico con un punto fijo, donde la coordenada q i es un angulo que puedeincrementarse en 2π sin cambio en la configuracion del sistema. En general, lacoordenada q i asociada a este tipo de orbita corresponde a un angulo de rotacion.

Ambos tipos de orbitas periodicas pueden aparecer en un sistema dinamico, depen-diendo de los valores de sus parametros.

Ejemplo.

1. El pendulo simple es un ejemplo clasico, donde la coordenada q es el angulo θ conrespecto a la vertical. La energıa del sistema es

E = p2

2ml2 − mgl cos q , (6.311)

de donde obtenemos la orbita en el plano (q, p),

p(q, E ) = ±

2ml2(E + mgl cos q ) . (6.312)

Si E < mgl, entonces q oscila entre los puntos de retorno q 1,2 = ± cos−1 − E mgl,para los cuales p = 0. Bajo estas condiciones, la trayectoria en el plano (q, p) es unaorbita cerrada y corresponde a un movimiento periodico de libracion. Por otro lado,si E > mgl, todos los valores del angulo q son fısicamente posibles, y q se incrementaindefinidamente para producir un movimiento periodico del tipo de rotacion. Eneste caso, el pendulo posee suficiente energıa para dar la vuelta en una direccionpor encima de la posicion vertical invertida q = π y, por lo tanto, continua rotandoen esa direccion.

Cada orbita Ci tiene un perıodo asociado; es decir, las variables q i y pi en el plano(q i, pi) se repiten en el tiempo. En general, los perıodos de las orbitas

Ci pueden ser

distintos entre sı; como consequencia la trayectoria de todo el sistema en su espaciode fase puede no ser periodica, en el sentido de que todas las 2s variables q i y pi serepitan al cabo de un determinado intervalo de tiempo. Recordemos que las orbitas Cison proyecciones en los distintos planos (q i, pi) de la trayectoria del sistema en su espaciode fase; todas las proyecciones no tienen que cerrarse necesariamente despues de unperıodo de tiempo dado.

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 277

Las variables de accion-angulo son un conjunto de coordenadas y momentos, deno-tados por (ϕi, J i), que resultan convenientes para describir la coexistencia de multiplesmovimientos periodicos en la dinamica de sistemas completamente separables con movi-mientos finitos, i. e., que satisfacen las condiciones (1), (2) y (3).

Para esta clase de sistemas, podemos introducir una transformacion canonica (q i, pi) →(ϕi, J i) tal que las nuevas coordenadas ϕi sean cıclicas en el nuevo Hamiltoniano, i. e.,H (J 1, . . . , J s) = E . Definimos los nuevos momentos como las variables de acci´ on

J i ≡ 1

Ci

pi dq i , (6.313)

donde la integral se realiza sobre un ciclo completo de la coordenada q i a lo largo de laorbita Ci que yace en el plano (q i, pi), ya sea retornando al valor inicial de q i o sobre unintervalo q 0

i

.Puesto que el sistema es completamente separable, podemos usar la Ec. (6.308) para

escribir

J i = 1

Ci

∂W i∂q i

(q i, α1, . . . , αs) dq i = J i(α1, . . . , αs) = cte, (6.314)

debido a que las αi son constantes. La Ec. (6.314) constituye un sistema de s ecuacionespara las s variables de accion J i en funcion de las αi, las cuales puede ser invertidaspara obtener αi = αi(J 1, . . . , J s). Luego, las variables J i son un conjunto de funcionesindependientes que pueden ser usadas como los nuevos momentos constantes. Entonces,el nuevo Hamiltoniano se puede escribir H (J 1, . . . , J s) = cte.

La funcion caracterıstica de Hamilton, que es generadora de la transformacion canoni-ca (q i, pi) → (ϕi, J i), debe tener la forma W (q i, J i) =

i W i(q i, J 1, . . . , J s). Las relacio-

nes de la transformacion son

pi = ∂W i

∂q i(q i, J 1, . . . , J s) , (6.315)

ϕi = ∂W i

∂J i(q i, J 1, . . . , J s) . (6.316)

Para entender el significado de las variables de angulo, calculemos el cambio de unavariable ϕi en un ciclo completo de la coordenada q i sobre una orbita Ci, dado por

∆ϕi =

Ci

dϕi =

Ci

∂q i

∂W i∂J i

dq i =

∂J i

Ci

∂W i∂q i

dq i

= ∂

∂J i

Ci

pi dq i = 2π ∂ J i∂J i

= 2π . (6.317)

Luego, un ciclo completo de q i corresponde a un cambio de ϕi en 2π; la variable ϕi sepuede interpretar como un angulo de rotacion tal que el perıodo de la orbita Ci equi-vale a una rotacion completa de ϕi manteniendo J i constante. Puesto que no todas lasorbitas tienen el mismo perıodo, no todas las variables de angulo ϕi realizan una rota-cion completa al mismo tiempo, aunque todas las variables de accion correspondientesse mantienen constantes.

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278 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables son

J i = −∂H (J j)

∂ϕi= 0 , (6.318)

ϕi = ∂H (J j)

∂J i≡ ωi(J j) = cte. (6.319)

Las Ecs. (6.318) confirman que las J i son constantes, mientras las Ecs. (6.319) definen sfunciones constantes ωi(J j). Adicionalmente, las Ecs. (6.319) conducen a

ϕi = ωit + θi , (6.320)

donde θi equivale a una fase inicial para cada variable ϕi. Cada nueva coordenada ϕi

se comporta efectivamente como un angulo que se incrementa con una correspondientevelocidad angular constante ωi; de alli su nombre variables de ´ angulo. El perıodo corres-

pondiente de ϕi esT i =

ωi(J j) , (6.321)

el cual es igual al perıodo de la orbita Ci. Entonces, las Ecs. (6.319) permiten obtener di-rectamente las frecuencias de las orbitas periodicas del sistema, sin hacer aproximacionesde pequenos desplazamientos y sin necesidad de resolver explıcitamente las ecuacionesde movimiento.

En resumen, el empleo de las variables de accion-angulo permite encontrar las multi-ples frecuencias del movimiento de un sistema caracterizado por un Hamiltoniano H (q i, pi)que satisface las condiciones (1)-(3), mediante el siguiente procedimiento:

1. Escribir la ecuacion de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,

H ∂W i∂q i (q i, α1, . . . , αs), q i = E . (6.322)

2. Separar la Ec. (6.322) en s ecuaciones para las derivadas ∂W i∂qi

(q i, α1, . . . , αs). Laseparacion provee las constantes α1 = E, α2, . . . , αs.

3. Calcular las variables de accion,

J i = 1

Ci

pi dq i = 1

Ci

∂W i∂q i

(q i, α1, . . . , αs) dq i

= J i(α1, . . . , αs). (6.323)

4. Invertir las s relaciones J i(α1, . . . , αs) para obtener αi = αi(J 1, . . . , J s).

5. Sustituir αi(J 1, . . . , J s) en las derivadas ∂W i∂qi

(q i, α1, . . . , αs) que aparecen en el

Hamiltoniano (lado izquierdo) de la Ec. (6.322), para obtener H (J 1, . . . , J s).

6. Calcular las frecuencias

ωi(J j) = ∂H

∂J i(J 1, . . . , J s). (6.324)

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 279

La descripcion del movimiento de un sistema finito completamente separable resultasimple en terminos de las variables de accion-angulo: cada orbita Ci trazada sobre elplano (q i, pi) es equivalente a una rotacion sobre una circunferencia de un angulo ϕi

con velocidad angular constante ωi. El radio de la circunferencia corresponde al valorconstante J i.

En lenguaje topologico, cada curva cerrada Ci se distorsiona continuamente en una cir-cunferencia, denotada en topologıa por el sımbolo S1, debido a la transformacion canonica(q i, pi) → (ϕi, J i). La trayectoria en el espacio de fase yace en todas esas s circunferen-cias simultaneamente. Si s = 2, hay 2 circunferencias; para cada punto (ϕ1, J 1) de laprimera circunferencia S1 existe una segunda circunferencia S1 con valores de (ϕ2, J 2).Es decir, a cada punto de S1 esta asociada otra S1. Esto describe un toroide , designadopor T2 = S

1 × S1. Entonces, la trayectoria transcurre sobre el toroide T2. Aunque esto

se puede visualizar con uno o dos grados de libertad; es m as difıcil de hacerlo para s engeneral. En ese caso, la trayectoria tiene lugar sobre un s-toroide Ts = S1 × · · · × S1.Las variables de accion-angulo proveen una representacion geometrica elegante del mo-vimiento de un sistema completamente separable.

Figura 6.20: Variables de accion-angulo y una trayectoria sobre un toroide para un sistema cons = 2.

La trayectoria sobre un toroide T2 es cerrada si el cociente de las frecuencias ω1/ω2

es un numero racional. En tal caso, se dice que la trayectoria es peri odica. Si ω1/ω2 esigual a un numero irracional; entonces la trayectoria se denomina cuasiperi´ odica , y ensu evolucion cubre uniformemente toda la superficie del toroide. Del mismo modo, unatrayectoria sobre un s-toroide Ts es cerrada o periodica si el cociente de las frecuenciasωi/ωj es racional ∀i, j, mientras que una trayectoria sobre Ts es cuasiperiodica si ωi/ωjes irracional ∀i, j.

Mediante variables de accion-angulo, diferentes sistemas con el mismo numero s degrados de libertad pueden ser mapeados sobre un s-toroide. Luego, el movimiento sobreun s-toroide constituye un tipo de sistema dinamico universal que abarca la dinamica desistemas separables aparentemente diferentes.

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 281

Con el cambio variables sin x = k2E q , obtenemos

J = 1

√ 2mE

2E

k 4

π/2

0

cos2 x dx

= 4

π

m

k E

π

4 =

m

k E . (6.330)

Luego, el Hamiltoniano en terminos de J es

H (J ) = E =

k

m J. (6.331)

La frecuencia del movimiento es

ϕ = ω = ∂H

∂J =

k

m . (6.332)

2. Encontrar el perıodo del movimiento de una partıcula de masa m y velocidad v quechoca elasticamente entre dos paredes paralelas separadas por una distancia L.

Figura 6.22: Partıcula chocando elasticamente entre dos paredes paralelas. Izquierda: espaciofısico. Derecha: espacio de fase (q, p).

La energıa de la partıcula es constante,

E = 1

2mv2 = cte , (6.333)

y el Hamiltoniano correspondiente es

H = p2

2m = E. (6.334)

Usando

p = ∂W ∂q

, (6.335)

obtenemos la ecuacion de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,

1

2m

∂W

∂q

2

= E. (6.336)

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282 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

Luego, p =

∂W

∂q =

√ 2mE . (6.337)

La variable de accion da

J = 1

C

p dq

= 1

√ 2mE

C

dq

= 1

√ 2mE 2

L0

dq = L

π

√ 2mE . (6.338)

Luego, p = πJ/L. El Hamiltoniano como funcion de J es

H (J ) = π2

2mL2 J 2, (6.339)

y la frecuencia del movimiento esta dada por

ϕ = ω = ∂H

∂J =

π2

mL2 J. (6.340)

En terminos de los datos L y v ,

ω = π2

mL2

L

π

√ 2mE =

π

L v (6.341)

Luego, el perıodo resulta en

T = 2π

ω =

2L

v . (6.342)

3. Una partıcula se mueve sin friccion sobre un cilindro vertical de radio R en el campogravitacional terrestre, conservando su energıa E y alcanzando una altura maximah despues de cada choque contra el suelo. Encontrar las frecuencias del movimientousando variables de accion-angulo.

Figura 6.23: Partıcula moviendose sobre un cilindro vertical.

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 283

Hay dos grados de libertad, θ y z . El Lagrangiano del sistema es

L = 1

2m(R2 θ2 + z2) − mgz. (6.343)

El Hamiltoniano es

H = p2

θ

2mR2 +

p2z

2m + mgz = E = cte. (6.344)

La ecuacion de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo tiene la forma

H

∂W

∂q i, q i, αi

= E. (6.345)

Buscamos solucion por separacion de variables. Asumimos la funcion caracterısticade Hamilton en la forma W = W θ(θ, α1, α2) + W z(z, α1, α2), con α1 = E .

Los momentos correspondientes son

pθ = ∂W θ

∂θ , (6.346)

pz = ∂W z

∂z . (6.347)

Sustituyendo en la Ec. (6.344), tenemos

1

2mR2 ∂W θ

∂θ 2

+ 1

2m ∂W z

∂z 2

+ mgz = E, (6.348)

lo cual se puede expresar como

1

2m

∂W z

∂z

2

+ mgz = E − 1

2mR2

∂W θ

∂θ

2

(6.349)

El lado izquierdo en la Ec. (6.349) es funcion de z solamente y el lado derecho esuna funcion de θ. Ambos lados deben ser iguales a la misma constante, α2 = cte.Entonces, podemos escribir

1

2m ∂W z

∂z 2

+ mgz = α2 (6.350)

E − 1

2mR2

∂W θ

∂θ

2

= α2 (6.351)

Luego,∂W θ

∂θ = R

√ 2m

E − α2 = cte , (6.352)

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284 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

y la variable de accion J θ esta dada por

J θ = 1

pθ dθ

= 1

∂W θ

∂θ

= 1

2π R

√ 2m

E − α2

= R√

2m

E − α2 = pθ . (6.353)

Por otro lado,∂W z

∂z =

2mα2 − 2m2gz , (6.354)

y la variable de accion J z correspondiente es

J z = 1

Cz

pz dz = 1

Cz

2mα2 − 2m2gz dz . (6.355)

Figura 6.24: Izquierda: Orbita Cz en el plano (z, pz). En z = 0, el momento pz cambia de signode − p∗z a p∗z = m

√ 2gh. Derecha: Orbita Cθ en el plano (θ, pθ).

La integral sobre la orbita Cz corresponde a un ciclo de z = 0 a z = h y viceversa.

J z = 1

2π 2

h0

2mα2 − 2m2gz dz (6.356)

= 1

π

2m2g

h0

α2

mg − z dz (6.357)

=

1

π 2m2

g

2

3 α2

mg − z3/2

0

h(6.358)

= 2

2m2g

α2

mg

3/2

(6.359)

= 1

3πg√

m (2α2)3/2. (6.360)

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 285

Para escribir H (J z, J θ), debemos expresar pz y pθ en terminos de J z y J θ. Obtu-vimos J θ = pθ. De la Ec (6.360) tenemos

α2 = (3πg

√ m J z)2/3

2 , (6.361)

luego,

p2z =

∂W z

∂z

2

= 2mα2 − 2m2gz

= (3πgm2J z)2/3 − 2m2gz. (6.362)

Sustituyendo en H , obtenemos

H (J z, J θ) = 1

2mR2 J 2θ + 1

2m (3πm2gJ z)2/3 = E. (6.363)

Las frecuencias estan dadas por

ϕθ = ωθ = ∂H

∂J θ=

J θmR2

= pθmR2

, (6.364)

ϕz = ωz = ∂H

∂J z=

1

3m

(3πm2g)2

J z

1/3

. (6.365)

Podemos expresar las frecuencia en terminos de E y h. Cuando z = h, el momento pz = 0. Entonces, de la Ec (6.362) obtenemos

α2 = mgh (6.366)

yJ z =

2

3

m

π

2gh3 . (6.367)

De la Ec (6.353), podemos expresar

pθ = R√

2m

E − mgh. (6.368)

Luego,

ωθ =

√ 2

R

E

m − gh , (6.369)

ωz = π

g

2h . (6.370)

El perıodo del movimiento en z es

T z = 2π

ωz= 2

2h

g , (6.371)

que es igual al tiempo de vuelo entre dos choques consecutivos contra el suelo.

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6.10. VARIABLES DE ACCI ON-ANGULO. 287

La variable de accion J r esta dada por

J r = 1

Cr

pr dr = 1

Cr

∂W r

∂r

dr

= 1

Cr

2µ(E − V ) − J 2θ

r2 dr. (6.381)

Puesto que consideramos movimientos finitos, en un ciclo Cr la coordenada radialvarıa dos veces entre los valores r = rmin y r = rmax. Entonces,

J r = 1

2π 2 rmax

rmin

2µE + k

r−

J 2θ

r2 dr

= 1

π

rmax

rmin

1

r

2µEr2 + 2µkr − J 2θ dr. (6.382)

Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que rmin y rmax son las raıces de

2µEr2 + 2µkr − l2 = 2µEr2 + 2µkr − J 2θ = 0 , (6.383)

(puesto que J θ = l) dadas por

rmin = − k2E

1 − 1 + 2EJ 2θ

µk2

, (6.384)

rmax = − k

2E

1 +

1 +

2EJ 2θµk2

. (6.385)

Para realizar la integracion en la Ec. (6.382) de una manera mas simple, usamos elsiguiente artilugio. Obtenemos primero la derivada parcial

∂J r∂E

= µ

π rmax

rmin

r

2µEr

2

+ 2µkr − J

2

θ

dr . (6.386)

La integral en la Ec. (6.386) es de la forma

r√ ar2 + br + c

dr =

√ ar2 + br + c

a +

b

2(−a)3/2 sin−1

b + 2ar

b2 − 4ac

, (6.387)

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288 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

donde identificamos a = 2µE , b = 2µk y c = −J 2θ . Evaluamos

b

2(−a)3/2 =

k

2√

2µ (−E )3/2 , (6.388)

b2 − 4ac = 2µk

1 +

2EJ 2θµk2

(6.389)

b + 2armax = −2µk

1 +

2EJ 2θµk2

, (6.390)

b + 2armin = 2µk

1 +

2EJ 2θµk2

. (6.391)

El primer termino en la integracion Ec. (6.387) se anula al evaluarlo en amboslımites rmin y rmax. Entonces la integral Ec. (6.386) evaluada en esos lımites da

∂J r∂E

= µ

π

k

2√

2µ (−E )3/2 π

= k

2

µ

2 (−E )−3/2 . (6.392)

En el problema de Kepler tenemos E < 0 para una orbita finita.

Ahora integramos la Ec. (6.392) y obtenemos

J r = C + k

µ

2 (−E )−1/2 , (6.393)

donde C es una constante de integracion. Para determinar C , notamos que laexpresion Ec. (6.393) debe ser valida para cualquier orbita con E < 0 en el problemade Kepler. En particular, consideremos una orbita circular con r = cte. Entonces,rmin = rmax y J r = 0 para esa orbita. La energıa correspondiente a una orbitacircular es

E = −µk2

2J 2θ. (6.394)

Entonces, la Ec. (6.393) para una orbita circular da

0 = C + k

µ

2

2J 2θµk2

⇒ C = −J θ. (6.395)

Luego,

J r = −J θ + k µ

2 (−E )−1/2. (6.396)

El Hamiltoniano en funcion de las variables de accion se puede expresar como

H (J r, J θ) = E = − µk2

2(J r + J θ)2 . (6.397)

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290 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

El potencial del atomo de hidrogeno corresponde al potencial de Coulomb, V (r) =−e2/r, que es similar al potencial de Kepler con k = e2. Luego, en terminos de lasvariables de accion, la energıa del electron en una orbita esta dada por la Ec. (6.397),

E = − mk2

2(J r + J θ)2 . (6.407)

donde hemos tomado µ ≈ m, masa del electron. Utilizando la hipotesis de cuanti-zacion, obtenemos

E = − me4

2 2n2 , (6.408)

donde n es un numero entero, ya que la suma de dos numeros enteros es otro entero.Entonces, la frecuencia emitida en una transicion E i → E f satisface

ν = 1

h

me4

2 2

1

n2f

− 1

n2i

. (6.409)

Usando ν = c/λ, podemos expresar la longitud de la onda emitida como

1

λ = R∞

1

n2f

− 1

n2i

, (6.410)

donde

R∞ ≡ me4

4πc 3 , (6.411)

es la constante de Rydberg. Esta teorıa temprana permitio explicar las longitudesde onda de las lıneas principales observadas en el espectro del hidrogeno.

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6.11. PROBLEMAS 291

6.11. Problemas1. Considere una varilla de peso despreciable suspendida por un extremo fijo, de modo

que puede oscilar en un plano vertical. Una partıcula de masa m se mueve sin fricciona lo largo de la varilla.a) Obtenga las ecuaciones de movimiento en la formulacion Hamiltoniana.b) Indique si hay alguna cantidad conservada.

2. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar

L = q 12 +

q 22

a + bq 1+ k1q 21 + k2 q 1 q 2,

donde a,b,k1, k2 son constantes. Encuentre las ecuaciones de movimiento en la for-mulacion Hamiltoniana.

3. El Hamiltoniano de una partıcula es

H = p2

2m − a · p − b · r,

donde a y b son vectores constantes.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento.b) Si inicialmente la partıcula se encuentra en reposo en la posicion ro, encuentre suposicion en funcion del tiempo.c) Determine el Lagrangiano del sistema.

4. El Lagrangiano de un sistema es

L = ax

2

+ b

y

x + cxy + f y

2

xz + gy − k x2

+ y2

,

donde a,b, c, f,g y k son constantes.a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema.b) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema.

5. El modelo de Lotka-Volterra para la dinamica de predadores z y presas c se describemediante las ecuaciones

c = αc − βcz

z = −γz + δcz,

donde α, β , γ , δ son parametros positivos.a) Encuentre las condiciones para que este sistema sea conservativo.

b) Encuentre las transformaciones de variables que permiten expresar estas ecuacionesen la forma adimensional

x = x(1 − y)

y = µy(x − 1).

c) Encuentre una cantidad conservada en terminos de las variables adimensionales.

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292 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

6. Considere un pendulo formado por una varilla de longitud l y masa despreciable dela cual cuelga una partıcula de masa m1. El soporte del pendulo consiste en otrapartıcula de masa m2, libre de moverse en una direccion horizontal. Encuentre lasecuaciones de movimiento para este sistema en la formulacion hamiltoniana.

7. El elemento de volumen de un ensemble en el espacio de fase n-dimensional para el

sistema dinamico dx

dt = f (x) es

∆Γ =ni=1

dxi.

Demuestre qued(∆Γ)

dt =

∇ ·f ∆Γ.

8. La ecuacion de movimiento unidimensional amortiguado y forzado de una partıculade masa m sujeta a un resorte de constante k es

x + 2λx + ω2x = A cos νt,

donde ω2 = k/m, λ > 0 es el coeficiente de friccion del medio, A es la amplitudde la fuerza externa que actua sobre la partıcula y ν es la frecuencia de esa fuerza.Demuestre que este sistema es disipativo.

9. El atractor de Rossler se genera con el siguiente sistema:

x = −y − z

y = x + ay

z = b + xz − cz

donde a, b, c son parametros.a) Encuentre la condicion para que este sistema sea disipativo.b) Calcule los puntos fijos de este sistema en funcion de los parametros.

10. El Hamiltoniano de un sistema es

H = q 1 p1 − q 2 − p2 − aq 21 + bq 22 ,

donde a y b son constantes.a) Obtenga las ecuaciones de Hamilton para este sistema.b) ¿Cuales de las siguientes funciones son integrales de movimiento para este sistema?

f =

p1

−aq 1

q 2 ; g = q 1q 2; h = p1 p2

2.

11. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulacion Hamiltoniana de unpendulo de masa m y longitud l, cuyo soporte se mueve sin friccion sobre la parabolay = ax2 en el plano vertical (x, y).b) Determine si existe alguna cantidad conservada en el sistema.

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6.11. PROBLEMAS 293

12. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de un pendulo esferico de longitud a ymasa m, con coordenadas (θ, φ), en la formulacion Hamiltoniana.b) Evalue el siguiente parentesis de Poisson para este sistema: [lx, pφ].

13. El Hamiltoniano de una partıcula que se mueve en dos dimensiones es:

H = |p|n − a|r|−n, a = cte.

a) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el movimiento.b) Determine el Lagrangiano del sistema.b) ¿Cual de las siguientes funciones es una integral de movimiento para este sistema?

f = r · p

n − Ht , g = |p|.

14. El siguiente Hamiltoniano bidimensional

H = 1

2( p2x + p2

y) + 1

24

e(2y+2

√ 3x) + e(2y−2

√ 3x) + e−4y

− 1

8 ,

aparece asociado a una red de Toda , un sistema de gran interes en Fısica No Lineal.a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.b) Demuestre que este sistema posee la siguiente cantidad conservada,

I = 8 px( p2x − 3 p2

y) + ( px +√

3 py)e(2y−2√

3x) + ( px −√

3 py)e(2y+2√

3x) − 2 pxe−4y.

La existencia de las constantes de movimiento H e I hace que este sistema sea inte-grable. Sin embargo, la cantidad I no esta relacionada con ninguna simetrıa evidentedel sistema.c) Calcule I en el lımite de x y y pequenos.

15. El Lagrangiano de un trompo con momentos principales de inercia I 11 = I 22 = 2I 33

y un punto fijo, moviendose en el campo gravitacional terrestre, en terminos de losangulos de Euler es

L = I 33

θ2 + φ2 sin2 θ

+

I 33

2

ψ + φ cos θ

2

− mgd sin θ sin ψ,

donde I 33 es el momento de inercia con respecto al eje de simetrıa axial del trompo,m es su masa, y d es la distancia entre el punto fijo del trompo y su centro de masa.Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya .a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulacion Hamiltoniana.b) ¿Cuales son las cantidades conservadas para este sistema?c) Demuestre que la siguiente cantidad, denominada la constante de Kovalevskaya y

no asociada a ninguna simetrıa obvia, se conserva en este sistema,

K =

θ2 − φ2 sin2 θ2

+ 2 mgd

I 33

θ2 − φ2 sin2 θ

sin ψ − 2θ φ sin θ cos ψ

sin θ

+

mgd

I 33

2

sin2 θ.

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294 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

16. El vector de Laplace-Runge-Lenz para el problema de Kepler se define como A =p × l − mkr. Calcule [Ai, lj ].

17. Evalue los siguientes parentesis de Poisson:a) [l, (r · p)]; b) [p, rn]; c) [p, (a · r)n];donde a es un vector constante.

18. Considere la transformacion de coordenadas

q 2m = Q2 + P 2, P = Q tan np ;

donde m y n son constantes.a) Determine los valores de m y n para los cuales esta transformacion es canonica.b) Encuentre una funcion generadora de tipo F 3( p, Q) para esta transformacion canoni-

ca.19. Una partıcula de masa m = 1 se mueve sin friccion a lo largo de una varilla que gira

extendida sobre una superficie horizontal con velocidad angular constante ω .a) Demuestre que las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para este sistema son

q = iλ [P e−ωt + Qeωt] , p = −iλω [P e−ωt − Qeωt] ;

donde q es la coordenada que describe la posicion de la partıcula sobre la varilla, p esel momento, y P, Q y λ son constantes.b) Calcule el valor de λ para que una transformacion de variables (q, p) a (Q, P ) seacanonica.

20. Considere la transformacion de coordenadas y momentos

Q = q αeβp, P = q αe−βp;

donde α y β son constantes.a) Determine α y β tal que esta transformacion sea canonica.b) Demuestre que una funcion generadora de esta transformacion es

F = −Q2

2 e2 p.

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6.11. PROBLEMAS 295

21. a) Demuestre que la siguiente transformacion es canonica:

x = 1√

mω(

2P 1 sin Q1 + P 2),

y = 1√

mω(

2P 1 cos Q1 + Q2),

px = 1

2

√ mω(

2P 1 cos Q1 − Q2),

py = 1

2

√ mω(−

2P 1 sin Q1 + P 2).

b) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulacion hamiltoniana en termi-nos de las variables (Q1, Q2, P 1, P 2) para una partıcula de masa m y carga q que se

mueve en el plano (x, y), sujeta al potencial vector A = (−yB/2,xB/2, 0), usandoω = qB/mc.

22. Considere la transformacion infinitesimal de traslacion

R = r + a, P = p ,

donde a es un vector fijo en el espacio y es un parametro infinitesimal. EncuentreG tal que esta transformacion sea generada por la funcion F 2 = r · P + G(r, P).

23. Una partıcula de masa m se mueve en una dimension q con una energıa potencialV (q ) y sometida a una fuerza de friccion −2mγ q .a) Demuestre que el Lagrangiano del sistema es

L = e2γt

1

2mq 2 − V (q )

.

b) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para la partıcula.c) Si V (q ) = 1

2mω2q 2, ω = cte, demuestre que la funcion generadora

F 2(q , P , t) = eγtqP

permite transformar a un Hamiltoniano constante.

24. Las ecuaciones de transformacion entre dos conjuntos de coordenadas son

Q = log(1 +√

q cos p),

P = 2(1 + √ q cos p)√ q sin p.

a) Demuestre que la transformacion es canonica.b) Demuestre que la funcion generadora de esta transformacion es

F 3( p, Q) = −(eQ − 1)2 tan p.

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296 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

25. Considere la transformacion infinitesimal de rotacionR = r + (Φ × r)P = p + (Φ × p) ,

donde Φ es el vector a lo largo del eje de rotaci on, |Φ| = φ es el angulo de rotacion y es un parametro infinitesimal.a) Demuestre que esta transformacion es canonica.b) Suponga que esta transformacion es generada por la funcion F 2 = r · P + G(r, P).Determine G.

26. Una partıcula de masa m se suelta en reposo desde una altura h a lo largo de unplano inclinado sin friccion, el cual forma un angulo α con el suelo.a) Encuentre la posicion de la partıcula sobre el plano en funcion del tiempo, a partir

de la correspondiente ecuacion de Hamilton-Jacobi para este sistema.b) Encuentre el momento de la partıcula en funcion del tiempo.

27. La energıa cinetica relativista de una partıcula de masa m es

T =

(cp)2 + (mc2)2 ,

donde c es la velocidad de la luz. Considere una partıcula relativista sujeta a lafuerza gravitacional terrestre F = −mgy, tal que inicialmente se suelta del reposo eny = 0. Determine la trayectoria de la partıcula en funcion del tiempo a partir de lacorrespondiente ecuacion de Hamilton-Jacobi para este sistema.

28. Encuentre la expresion de la accion correspondiente a un pendulo simple a partir dela ecuacion de Hamilton-Jacobi para este sistema.

29. a) Empleando la correspondiente ecuacion de Hamilton-Jacobi, calcule la posicion enfuncion del tiempo para una partıcula libre con masa m y energıa E que se encuentraen el origen en t = 0.b) Encuentre la accion en funcion del tiempo.

30. Una partıcula de masa m y energıa E se mueve en el potencial unidimensional V (q ) =k/q 2, donde k es constante.a) Encuentre la accion S (q, t) asociada a esta partıcula.b) Encuentre la posicion de la partıcula en funcion del tiempo.

31. Una partıcula sujeta a un potencial unidimensional posee el siguiente Hamiltoniano,

H = p2

2m −λ tx, λ = cte.

a) ¿Es conservativo este sistema dinamico en su espacio de fase?b) Si inicialmente la partıcula se encuentra en reposo en x = 0, calcule su trayectoria.c) Demuestre que la funcion f (x, p) = 9λm2x2 − 2 p3 es una integral de movimientopara este sistema.d) ¿Es este sistema completamente separable?

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6.11. PROBLEMAS 297

32. Un proyectil de masa m se lanza con velocidad vo desde el suelo, formando un anguloα con la horizontal.a) Encuentre la trayectoria del proyectil en funcion del tiempo, usando el formalismode Hamilton-Jacobi.b) Encuentre la accion para este sistema.

33. Considere un oscilador armonico bidimensional de masa m y cuyas constantes de re-sorte son kx y ky en las direcciones x y y , respectivamente.a) Encuentre las coordenadas y momentos de la parıcula en funcion del tiempo utili-zando ecuacion de Hamilton-Jacobi para este sistema.b) Encuentre la accion para este sistema.

34. Una partıcula con carga q y masa m se mueve en un plano sujeta a un potencial cen-tral V = 1

2kr2 y a un campo magnetico perpendicular al plano, tal que A = 1

2B

×r.

a) Determine la ecuacion de Hamilton-Jacobi para este sistema, en coordenadas po-lares.b) Encuentre la solucion para la trayectoria de la partıcula en terminos de integralesexplıcitas.

35. Considere una curva cerrada C (t) en un instante t en el espacio de fase (q i, pi) de unsistema. Demuestre que la integral

I =i

C (t)

pi dq i

es una constante del movimiento.

36. Una partıcula de masa m se encuentra inicialmente en x = 0 con velocidad vox y semueve en el potencial unidimensional

V (x) = k sin2x

a

,

x

a ∈ [−π/2, π/2],

y V (x) = ∞, para xa /∈ [−π/2, π/2], con k, a constantes. Utilizando la ecuacion de

Hamilton-Jacobi, encuentre el perıodo de oscilacion de la partıcula en este potencialsi x a.

37. Una partıcula con masa m y energıa E se mueve periodicamente en el potencialunidimensional V = k|x|, k = cte. Usando variables de accion-angulo, encuentre elperıodo del movimiento de la partıcula.

38. Una partıcula de masa m se mueve en una dimension sujeta al potencial V (x) =k sec2(x/a).a) Encuentre una expresion para la accion S utilizando ecuacion de Hamilton-Jacobipara este sistema.b) Encuentre la frecuencia de las oscilaciones de la partıcula usando variables deaccion-angulo. Calcule esta frecuencia en el lımite de pequenas amplitudes.

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298 CAP ITULO 6. DIN AMICA HAMILTONIANA

39. Una partıcula de masa m y energıa E se mueve en el potencial unidimensional

V (q ) = 1

2kq 2 +

λ

q 2 , k, λ = cte, q > 0.

a) Dibuje el espacio de fase del sistema.b) Calcule la variable de accion.

40. Considere un oscilador armonico con masa m y constante de resorte k que puedemoverse en un plano.a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema en coordenadas polares.b) Calcule las frecuencias del movimiento usando variables de accion-angulo.

41. Utilizando el metodo de las variables de accion-angulo, demuestre que el perıodo de

libracion de un pendulo simple, de masa m y longitud l, y cuya amplitud inicial esθ0, se puede expresar como

T = 2√

2

l

g

θ00

dθ√ cos θ − cos θ0

.

42. Considere una partıcula de masa m sujeta a moverse sin friccion sobre un cono inverti-do, con angulo de vertice β , en el campo gravitacional terrestre. Calcule las frecuenciasdel movimiento mediante el uso de variables de accion-angulo para este sistema.

43. Considere el Hamiltoniano

H (q i, pi) =s

k=i

β kGk(q i, q i),

donde los coeficientes β k son constantes y

Gk(q i, q i) = ap2k + (b + c) pkq k + dq 2k − (ad − bd)

i=k

( piq k − q k pi)2

αk − αi, k = 1, . . . , s ,

con a,b,c,d y αk distintas constantes. Demuestre que las funciones Gk(q i, q i) sonconstantes del movimiento y, por lo tanto, este sistema es integrable.

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Apendice A

Lagrangiano de una partıcula

relativista

Hacia finales del siglo XIX, la Fısica consistıa en dos grandes teorıas para explicar lamayorıa de los fenomenos conocidos hasta entonces:

Mecanica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripcion uni-ficada de los fenomenos del movimiento.

Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representaba launificacion de la descripcion de los fenomenos electricos, magneticos y opticos, yque condujo al descubrimiento de las ondas electromagneticas y de la naturaleza

de la luz.En sus estudios sobre el movimiento, Galileo establecio el principio de relatividad:

Principio de Relatividad de Galileo.

Las leyes de la Mecanica son las mismas en diferentes sistemas de coordenadasinerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme.

Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S’ con origen O , tal que O semueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de Galileo entreestos sistemas de coordenadas son

r = r − vtt = t.

(A.1)

Si v = vx, las transformaciones de Galileo resultan en

x = x − vty = yz = zt = t.

(A.2)

299

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300 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

Figura A.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.

Derivando con respecto al tiempo la Ec. (A.1), se obtiene la suma de velocidades,

dr

dt =

dr

dt + v

⇒ u = u + v, (A.3)

puesto que dt = dt y donde u es la velocidad de una partıcula medida en S y u

corresponde a la velocidad de esa partıcula medida en S’. En particular, si v = vx, lasuma de velocidades da

ux = ux − v. (A.4)

La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’,

m d2

rdt2

= −∇V (r) = F(r). (A.5)

Tenemos,dr

dt =

dr

dt − v, (A.6)

d2r

dt2 =

d

dt

dr

dt − v

=

d2r

dt2. (A.7)

Por otro lado, notamos que para cualquier f ,

∂f

∂x =

∂f

∂x

∂x

∂x =

∂f

∂x, (A.8)

y similarmente ∂f

∂y =

∂f

∂y,

∂f

∂z =

∂f

∂z. (A.9)

Luego,

∇ =

∂x,

∂y ,

∂z

=

∂x,

∂y,

∂z

= ∇ . (A.10)

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301

La coordenada r se puede expresar, en general, como la distancia entre la partıcula enconsideracion y otra partıcula (o influencia externa) con la cual aquella interactua. Esdecir,

r = ri − rj = ri − rj = r. (A.11)

Luego, ∇V (r) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (A.1), laEc. (A.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como

md2r

dt2 = −∇V (r) = F(r). (A.12)

Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las trans-formaciones de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es valido para estas trans-formaciones.

Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mec anica, lasleyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.

Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) en el sistema S son

∇ · E = 4πρ (A.13)

∇ × E + 1

c

∂ B

∂t = 0 (A.14)

∇ · B = 0 (A.15)

∇ × B − 1

c

∂ E

∂t =

c J. (A.16)

donde c es la velocidad de la luz en el vacıo.Las ecuaciones de Maxwell fuera de las fuentes (ρ = 0, J = 0) implican que, tan-

to el campo electrico E como el campo magnetico B, satisfacen la ecuacion de ondaelectromagnetica en S,

∇2ψ − 1

c2

∂ 2ψ

∂t2 = 0, (A.17)

donde ψ = E j , o ψ = Bj (componente j del campo electrico o del campo magnetico).Consideremos la componente E j(r, t) en S’. Entonces,

∂E j∂t

(r, t) =i

∂E j∂xi

∂xi∂t

+ ∂ E j

∂t = −

i

∂E j∂xi

vi + ∂ E j

∂t , (A.18)

donde hemos usado las transformaciones de Galileo

xi = xi − vit, t = t (A.19)⇒ ∂xi

∂t =

∂xi∂t

= −vi. (A.20)

Luego,∂E j∂t

= ∂E j

∂t + v · ∇E j . (A.21)

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302 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones deGalileo solo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de referenciainercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga una onda electromagnetica.(El “medio” correspondiente al vacıo se denominaba eter ).

Ante esta situacion, se presentan los siguientes escenarios posibles:

1. Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mecanica como para elElectromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell son incorrectas.

2. Las transformaciones de Galileo son validas para la Mecanica en todo sistemainercial, pero las ecuaciones de Maxwell solo son validas en un sistema inercial enreposo con respecto al eter (v = 0).

3. Tanto las leyes de la Mecanica como las del Electromagnetismo son invariantes en

todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Esto implicaque las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transformacion decoordenadas.

El exito de las ecuaciones de Maxwell en la prediccion de las ondas electromagneticas(experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i). Por otrolado, la falla en la deteccion del movimiento relativo al eter (experimento de Michelson-Morley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue el camino elegido porEinstein en 1905.

Postulados de la Relatividad Especial.

1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) son lasmismas en todos los sistemas inerciales.

2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales.Segun el postulado 1, la ecuacion de onda electromagnetica se cumple en los sistemas

de referencia S y S’. El postulado 2 implica que la forma de una onda electromagneticadebe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S’. Entonces, consideremos unpulso esferico de luz emitido en el origen O de S en el instante t = t = 0, cuando ambosorıgenes O y O coinciden.

Figura A.2: Pulso electromagnetico emitido en O cuando los orıgenes O y O coinciden.

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303

Luego, En S: |r| = ctEn S’: |r| = ct,

(A.22)

donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. En terminosde las coordenadas en cada sistema, tenemos

En S: x2 + y2 + z2 = c2t2

En S’: x2 + y2 + z2 = c2t2 . (A.23)

Las relaciones (A.23) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto sepuede verificar sustituyendo las transformaciones Ecs. (A.2) en la relacion (A.23) paraS’, lo que da

x2

−2vxt + v2t2 + y2 + z2 = c2t2, (A.24)

y lo cual es distinto de la expresion correspondiente en S.Las transformaciones compatibles con los postulados de la Relatividad deben ser

lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esferica en ambos sistemas decoordenadas. Ademas, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando la velocidadrelativa entre los dos sistemas es pequena, puesto que la suma de velocidades derivadade esas transformaciones, Ec. (A.3), funciona en las pr actica en tales situaciones. Lasimetrıa de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, x perpendiculares a ladireccion del movimiento. Entonces, si la velocidad de O es v = v x, supongamos unastransformaciones lineales de la forma

x = γ (x − vt)t = γ (t − f x)y = y

z = z,

(A.25)

donde γ y f son factores a determinar, tales que γ → 1 y f → 0 cuando v es pequena.Sustitucion de las transformaciones (A.25) en la relacion (A.23) para S’ consistente conel segundo postulado, da

x2γ 2(1 − c2f 2) + 2(f c2 − v)γ 2xt + y2 + z2 =

1 − v 2

c2

γ 2c2t2. (A.26)

Comparando con la relacion (A.23) para S, requerimos

fc2 − v = 0 (A.27)

γ 2 1−

v 2

c2 = 1 (A.28)

γ 2(1 − f 2c2) = 1 (A.29)

lo cual conduce a

f = v

c2 , γ =

1 − v 2

c2

−1/2

. (A.30)

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304 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

Luego, las transformaciones buscadas son

x = x − vt

1 − v 2

c2

t =t − v

c2x

1 − v 2

c2

y = yz = z.

(A.31)

Las Ecs. (A.31) son las transformaciones de Lorentz . La ecuacion de una onda electro-magnetica y, por tanto, las ecuaciones de Maxwell, son invariantes bajo estas transfor-maciones.

Se acostumbra emplear la notacion β ≡ v/c, con la cual las transformaciones deLorentz se escriben en forma compacta como

x = γ (x − βct)

t = γ

t − β

cx

y = yz = z.

(A.32)

Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1.En el lımite de pequenas velocidades v c, tenemos β 1 y γ ≈ 1, y las transfor-

maciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo,

x ≈ x − vtt ≈ t.

(A.33)

Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v, x →−x, t → t, en las Ecs. (A.32),

x = γ (x + βct)

t = γ

t +

β

cx

y = y

z = z .

(A.34)

A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adici on de veloci-dades,

ux = dx

dt = γ

dx

dt − βc

dt

dt

,

dx

dt =

dx

dt

dt

dt = ux

dt

dt,

(A.35)

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305

luego,ux = γ (ux − βc)

dt

dt = γ (ux − βc)

dt

dt

−1

, (A.36)

dt

dt = γ

1 − β

cux

, (A.37)

lo cual conduce a

ux = ux − v

1 − β

cux

. (A.38)

La relacion inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, ux → ux, enla Ec. (A.38),

ux = ux + v

1 + β c ux

. (A.39)

Contraccion de la longitud.

Consideremos un objeto de longitud Lo en reposo a lo largo del eje x en el sistema S.Luego, independiente de t,

Lo = x2 − x1, (A.40)

Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S’. Un observador en S’

debe realizar una medida de los extremos x2 y x1 simultaneamente en S’, es decir, paraun mismo tiempo t,

L = x2(t) − x1(t). (A.41)

Figura A.3: Contraccion de la longitud.

Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (A.32), dan las coordenadas x1 y x2 en S paraun mismo tiempo t en S’ ,

x2 = γ (x2 + βct)x1 = γ (x1 + βct)⇒ x2 − x1 = γ (x2 − x1) .

(A.42)

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306 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

Luego,

L = Lo

γ = Lo

1 − v 2

c2 . (A.43)

Como γ > 1, la longitud L del objeto medida en S’ es menor que la longitud Lo en S

donde el objeto se encuentra en reposo.

Dilatacion del tiempo.

Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las mismascoordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos eventos. Eltiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S es

τ

≡t2(x)

−t1(x). (A.44)

Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (A.34), dan para ese intervalo detiempo en S’,

∆t = t2 − t1 = γ

t2 − β

cx

− γ

t1 − β

cx

= γ (t2 − t1). (A.45)

Luego,

∆t = γτ = τ

1 − v 2

c2

. (A.46)

Figura A.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en lasmismas coordenadas en S.

Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo propiomedido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo m as corto posibleentre dos eventos.

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307

Dinamica relativista.

Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatiblescon las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de Newton.Einstein propuso redefinir el momento lineal de una partıcula que se mueve con velocidadu en un sistema S, del siguiente modo

pi = m dxi

dτ , (A.47)

donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la partıcula esta enreposo), el cual esta definido unıvocamente (tiene el mismo valor) para todos los obser-vadores inerciales. Tenemos,

dxi

= dxi

dt

dt

= γui . (A.48)

Luego, el momento relativista es

p = mγ u = mu

1 − u2

c2

, (A.49)

donde u es la velocidad de la partıcula en el sistema de referencia S.La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,

F = dp

dt . (A.50)

donde p esta definido en la Ec. (A.49). En esta forma, la Segunda Ley de Newton esinvariante bajo las transformaciones de Lorentz,

dp

dt =

dp

dt . (A.51)

Note que en el lımite de bajas velocidades, β = u

c 1, obtenemos p ≈ mu.

Invariantes relativistas.

Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inercia-les. Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denominainvariante de Lorentz . Por ejemplo, la invariancia de la cantidad

s2 = (ct)2 − x2 − y2 − z2, (A.52)

se deduce inmediatamente de las Ecs. (A.23). Un invariante de Lorentz es el intervalo

entre dos eventos, definido como

∆s2 = (c∆t)2 − ∆x2 − ∆y2 − ∆z2, (A.53)

lo cual se demuestra directamente usando las transformaciones de Lorentz.

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308 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

Igualmente, la cantidadγ 2(1 − β 2) = 1 (A.54)

tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando la Ec. (A.54) por la constantem2c4, obtenemos otra cantidad invariante,

m2c4γ 2 − p2c2 = m2c4 = cte. (A.55)

Energıa relativista.

Si definimos la cantidad

E ≡γmc2 , (A.56)

entonces podemos expresar la Ec. (A.55) como

E 2 − p2c2 = m2c4 = cte. (A.57)

lo cual equivale a

E 2 − p2xc2 − p2

yc2 − p2zc2 = cte. (A.58)

Los terminos en la Ec. (A.57) poseen unidades de energıa al cuadrado. Luego, la cantidadE es un tipo de energıa que se puede interpretar fısicamente si hacemos una expansion

en terminos de β = v

c 1,

E = mc2(1 − β 2)−1/2 = mc2

1 + 12

β 2 − O(β 4)

(A.59)

Luego,

E = mc2 + 1

2mv2 + · · · (A.60)

El primer termino en la Ec. (A.60) es constante y no depende de la velocidad de lapartıcula,

E o = mc2 , (A.61)

por lo que representa la energıa en reposo de la masa m. El segundo termino en la

Ec. (A.60) corresponde a la energıa cinetica de la partıcula para bajas velocidades. Luego,la cantidad E se interpreta como la energıa total relativista de una partıcula libre,

E = mc2 1 − v 2

c2

= mc2 + T rel. (A.62)

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309

Transformaciones relativistas del momento y de la energıa.

Comparando la Ec. (A.58) con la Ec. (A.52), podemos inferir que las cantidadesE /c2, px, py y pz deben transformarse del mismo modo como lo hacen t, x, y y z,respectivamente. Esto es,

px = γ ( px − βc E )

E = γ (E − βcpx) py = py pz = pz.

(A.63)

Lagrangiano para una partıcula relativista.

Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definicion apropiada de p,

dada en la Ec. (A.49). Luego, las ecuaciones de Lagrange tambien se deben cumplir paraun Lagrangiano L definido apropiadamente,

d

dt

∂ L∂ xi

− ∂ L

∂xi= 0. (A.64)

Consideremos una partıcula con velocidad v y posicion r en un potencial V (r). Luego,

∂ L∂ xi

= pi = γmxi, ∂ L

∂xi=

∂V

∂xi= F i . (A.65)

Supongamos la velocidad a lo largo del eje xi, i.e., xi = v. Entonces,

∂ L∂ xi =

∂ L∂v = γmv , (A.66)

luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es

L(v) = m

v dv

1 − v 2

c2

= mc2

β dβ

1 − β 2, (A.67)

lo cual daL(v) = −mc2(1 − β 2)1/2 . (A.68)

Para β 1, L(v) se aproxima a la energıa cinetica newtoniana

L(v) ≈ 1

2 mv2 + · · · (A.69)

Luego, el Lagrangiano para una partıcula relativista debe tener la forma L = L(v)−V (r),es decir,

L = −mc2

1 − v 2

c2 − V (r). (A.70)

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310 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

Note que L = E − V , y L = T rel − V . Sin embargo, puesto que L no dependeexplıcitamente del tiempo, la funcion de energıa es una cantidad constante para estesistema,

E =i

∂ L∂ xi

xi − L = cte. (A.71)

Utilizando L de la Ec. (A.70), obtenemos

E = m

i xi xi

1 − β 2+ mc2

1 − β 2 + V, (A.72)

lo cual se reduce a

E = mc2

1 − β 2

+ V =

E + V = cte. (A.73)

La inclusion de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema, yse hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos queen Mecanica Clasica la energıa potencial de una partıcula con carga q que se muevecon velocidad v en un campo electromagnetico caracterizado por los potenciales ϕ y A

esta dada por

V = qϕ − q

c A · v . (A.74)

La fuerza de Lorentz sobre una partıcula en un campo electromagnetico se deriva deeste potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una partıcula en un campo elec-tromagnetico es

L=

−mc2 1 −

v 2

c2

−qϕ +

q

c

A

·v. (A.75)

Ejemplo.

1. Partıcula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.

El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es

L = −mc2

1 − β 2 + max, (A.76)

donde β = x/c. La ecuacion de Lagrange para x da:

d

dt β 1 − β 2 =

a

c . (A.77)

Integrando, tenemos

β 1 − β 2

= at + α

c ⇒ β =

at + α c2 + (at + α)2

(A.78)

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donde α es una constante de integracion. Integrando otra vez,

x = c

(at + α)dt

c2 + (at + α)2(A.79)

x − x0 = c

a

c2 + (at + α)2 −

c2 + a2

(A.80)

donde hemos introducido la condicion inicial x = x0 en t = 0. Si la partıcula seencuentra en reposo x(0) = 0 en el origen x0 en t = 0, entonces α = 0 y tenemos

x + c2

a2

2

− c2t2 = c4

a2 , (A.81)

lo cual corresponde a una hiperbola en el plano (x, t). Note que en el lımite norelativista, β 1, la Ec. (A.78) da la trayectoria parabolica usual en el plano(x, t),

x ≈ 1

2at2 + αt + x0. (A.82)

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312 AP ENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART ICULA RELATIVISTA

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Apendice B

Transformaciones de Legendre

Dada una funcion f (x), con x como variable, una transformacion de Legendre permiteencontrar otra funcion g(y) que contiene la misma informacion que f (x), usando comoargumento la pendiente y = f (x).

Figura B.1: Transformacion de Legendre.

Cada punto (f, x) en la curva f (x) define una lınea recta que pasa por un punto (0, b)con pendiente y = f (x).

El conjunto de todas las rectas (y, b) describe las envolventes de la curva f (x) ycontiene la misma informacion que f (x). Ambas descripciones, en terminos de (f, x) ode (y, b), son equivalentes.

De la Fig. (??.1), tenemos

y = f − b

x ⇒ (−b) = yx − f (B.1)

Por otro lado,

y(x) = df

dx ⇒ x = x(y) (inversion). (B.2)

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314 AP ENDICE B. TRANSFORMACIONES DE LEGENDRE

Definimos la funcion g(y) ≡ yx(y) − f (x(y)). (B.3)

La funcion g(y) se denomina la transformada de Legendre de f (x). Matematicamente,los puntos (g, y) corresponden a (−b, y) y, por lo tanto, describen la misma curva quef (x).

Si tenemos una funcion de s variables f (x1, x2, . . . , xs), existen s derivadas

yi = ∂f

∂xi= yi(x1, x2, . . . , xs), (i = 1, 2, . . . , s). (B.4)

Mediante inversion, es posible obtener las s variables

xi = xi(y1, y2, . . . , ys). (B.5)

La transformada de Legendre de f (x1, x2, . . . , xs) se define como

g(y1, y2, . . . , ys) =si=1

xiyi − f (x1, x2, . . . , xs) (B.6)

donde las variables xi se sustituyen usando las Ecs. (B.5).La transformada de Legendre se puede aplicar a un subconjunto de los argumentos

de una funcion. Por ejemplo, si tenemos f (zi, xi), se puede definir su transformada

g(zi, yi) =i=1

ziyi − f (zi, xi), (B.7)

donde

yi = ∂f (zi, xi)

∂xi= yi(xi, zi) ⇒ xi = xi(zi, yi). (B.8)

Las transformadas de Legendre se emplean en Termodinamica y en otras areas de laFısica para introducir descripciones alternativas que resultan utiles para diversos siste-mas.

En particular, si tenemos un sistema caracterizado por el Lagrangiano L(q i, q i, t), losmomentos conjugados son

pi = ∂L

∂ q i= pi(q 1, . . . , q s). (B.9)

Entonces, el Hamiltoniano del sistema corresponde a la transformada de Legendre delLagrangiano,

H (q i, pi) =

si=1

q i pi − L(q i, q i, t). (B.10)

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Apendice C

Teorema del virial.

Se trata de un teorema estadıstico en Mecanica. Se refiere a promedios temporales decantidades dinamicas.

Consideremos un sistema de N partıculas cuyas masas, posiciones y velocidades estandados por mi, ri y vi, respectivamente, i = 1, 2, . . . , N . Entonces, la ecuacion de movi-miento de la partıcula i se puede expresar como

Fi = pi, (C.1)

donde Fi es la fuerza neta sobre la partıcula i y pi = mivi.La energıa cinetica total del sistema es

T =

1

2 i

miv2i

= 1

2

i

(mivi · vi)

= 1

2

i

(pi · vi). (C.2)

Luego,

2T =i

pi · vi

= d

dt i (pi

·ri)

−i (ri

· pi). (C.3)

Recordemos que el promedio de una variable g que toma valores discretos g1, g2, . . . , gN ,corresponde a la cantidad

g = 1

N

N i=1

gi. (C.4)

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316 AP ENDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL.

Si g(t) es una funcion que toma valores continuos en el tiempo, su promedio temporalse define como

g ≡ lımτ →∞

1

τ

τ 0

g(t)dt. (C.5)

Si g(t) = df

dt, para una funcion f acotada, |f (t)| < ∞, entonces

g = lımτ →∞

1

τ

τ 0

df

dt dt = lım

τ →∞f (τ ) − f (0)

τ = 0. (C.6)

Si tomamos el promedio temporal en todos los terminos de la Ec. (C.3), y suponiendoque los movimientos de las partıculas son finitos, obtenemos el teorema del virial ,

2T

=

−i ri·

Fi

. (C.7)

Si Fi = −∇V (ri) (fuerzas conservativas), el teorema del virial tiene la forma

T = 1

2

i

ri · ∇V (ri)

. (C.8)

Como una aplicacion, consideremos una partıcula en campo central V (r) = krn.Entonces, el teorema del virial para esta fuerza conservativa establece que

T = 1

2

r

∂ V

∂r

=

n

2 V . (C.9)

Para el potencial de Kepler, con n = −1, el teorema del virial, Ec. (C.9), da

T = −1

2V . (C.10)

El promedio de la energıa total se puede expresar como

E = T + V = constante = E (C.11)

E = −T < 0, (C.12)

puesto que T siempre es una cantidad positiva. El hecho de que la energıa total seanegativa es compatible con un movimiento finito de la partıcula en el potencial de Kepler(Capıtulo 3).

El potencial de un oscilador armonico corresponde a n = 2. En este caso, la Ec. (C.9)

resulta en T = V , (C.13)

y la energıa total es positiva, como se espera,

E = T + V = 2T > 0. (C.14)

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Apendice D

Bibliografıa

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4. J. Jose and E. J. Saletan, Classical Mechanics: a contemporary approach , CambridgeUniversity Press (1998).

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