UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMATICA IV

SECCIÓN 01 CICLO 01-2015

“JACOBIANOS E INTEGRALES MULTIPLES”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

Para los sistemas de funciones implícitas dados a continuación, responder a la

pregunta planteada:

1) Si {

𝑥2𝑦 − 𝑧𝑥𝑦 + 5𝑢2 − 5 = 0

𝑥𝑦𝑧 − 𝑢𝑒𝑥2𝑦𝑧 + 𝑒 − 𝑦3𝑢 = 0

ln(𝑥𝑦) − ln(𝑧𝑢2) + ln(𝑥) = 0

Hallar 𝜕𝑦

𝜕𝑧∧𝜕𝑥

𝜕𝑢 en el punto {

𝑥 = 1𝑦 = 1𝑧 = 1𝑢 = 1

2) Si {𝑣 − 𝑦𝑒𝑣 + 𝑢5 + 𝑢 = −1

𝑢 + 𝑥𝑒𝑢 + 𝑣 = −1 Hallar

𝜕𝑥

𝜕𝑢|𝑣∧𝜕𝑦

𝜕𝑣|𝑢 en el punto {

𝑥 = −1𝑦 = 1𝑢 = 0𝑣 = 0

3) Si {(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 2)2 = 1

𝑒𝑥𝑦 + 𝑥2 − 𝑧2 = 1 Hallar

𝜕𝑥

𝜕𝑦∧𝜕𝑦

𝜕𝑧 en el punto {

x = 2y = 0z = 2

4) Si

{

tan (2

√𝑧𝑥) − 𝑒𝑥𝑦 = 5

√𝑧

𝑤

3−√𝑦𝑤 = √𝑥𝑦

Hallar 𝜕𝑧

𝜕𝑥|𝑦∧𝜕𝑤

𝜕𝑥

5) Si {

3𝑥2𝑦𝑧 − 5𝑦𝑢2 + 2𝑥𝑦 ln(𝑢𝑧2) = −16

sin(𝑥 + 𝑧) − 4𝑒𝑢𝑦 + cos(𝑤2𝑢𝑦) = −4𝑒2 + cos(2)

ln(𝑥𝑦) − ln(𝑧2𝑢2) + ln(𝑥) = ln 2

Hallar 𝜕𝑦

𝜕𝑧 en el punto

{

𝑥 = 1𝑦 = 2𝑧 = −1𝑢 = 1𝑤 = 2

6) 𝑆𝑖 {𝑥3𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑣) + 𝑦2 cos(𝑧𝑢) − 𝑣2 − 3 = 0 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝜕𝑢

𝜕𝑣∧𝜕𝑦

𝜕𝑧

7) 𝑆𝑖 {𝑥3𝑦𝑧 + 𝑧𝑢𝑣2 = 𝑢3𝑥𝑦 + 3

𝑥3 + 𝑦3𝑧 = 𝑧3𝑢𝑣 + 𝑣2 + 2 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟

𝜕𝑢

𝜕𝑧

8) 𝑆𝑖 {

𝑥3 + 𝑦3 − 2𝑧2 + 𝑢𝑣 = 9

𝑥𝑦𝑧 + 𝑢2𝑥𝑣 − ln(𝑦𝑢𝑣) = 2 − ln(4)

𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑥𝑦2) − cos(𝑢2𝑣𝑧) − 2𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(8) − cos(−4) + 2

Hallar 𝜕𝑧

𝜕𝑥|𝑣 en el punto

{

𝑥 = 1𝑦 = 2𝑧 = −1𝑢 = 2𝑣 = 1

Recordatorio sobre el cálculo de áreas y volúmenes.

Calcular por integración doble, el área de la región descrita:

1) La región entre la curva 𝑟 = 3 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y la curva 𝑟 = 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃.

2) La región comun a los circulos 𝑟 = 2𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝑟 = 2𝑎 sin𝜃.

3) La región externa a 𝑟 = 1 − cos 𝜃 e interna a 𝑟 = 1.

4) La región interna a 𝑟 = 3 cos𝜃 y externa a 𝑟 =1

2.

5) La región que encierran las curvas: 𝑦 = 𝑥2 + 1 ˄ y = 2x + 4.

6) La región que encierran las curvas: 𝑦 = √𝑥 − 1; (𝑦 − 1)2 = 6 − x ˄ 𝑥 + 𝑦 = 1

7) La región que encierran la curvas: 𝑦 = 𝑒𝑥, x = 2 ˄ y =1

2.

8) La región que encierran las curvas: 𝑦 = 𝑒𝑥 , y = √𝑥 − 1, y = 1 ˄ y = 2.

9) La región que encierran las curvas: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0, 4𝑥 + 4𝑦 − 17 = 0.

10) La región que encierran las curvas:𝑦 = 𝑥2 ˄ y = 8 − 𝑥2.

Calcular el volumen de la región indicada:

1) La región que es interior de manera simultanea a los sólidos 2𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 y

𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 11)2 = 25.

2) La región acotada por las superficies 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 y 𝑧 = 10 − 2𝑥2 − 𝑦2.

3) La región limitada por las esferas 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑏2 y el

cono 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 0, donde 0 < 𝑎 < 𝑏 y 𝑧 > 0.

4) El área limitada por el solido 𝑧 = 4𝑥2 + 4𝑦2, donde 2 ≤ 𝑧 ≤ 4 .

5) La región entre los conos 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 ∧ 3𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 , y bajo la

semiesfera 𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 .

6) La región interior al cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦, y al interior de la esfera

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4.

7) La región de la parte interior común de los cilindros 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y

𝑥2 + 𝑧2 = 4.

8) Debajo de: 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, sobre z=0, y dentro de:𝑥2 + 𝑦2 = 4.

9) Debajo de: 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, sobre el plano xy, y dentro de:𝑥2 + 𝑦2 =1

4.

10) Debajo de: 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2, sobre el plano xy, entre 𝑦 = 𝑥 ˄ 𝑦 = 4𝑥.

Aplicaciones.

En el plano cartesiano se utilizan dos tipos de coordenadas: las rectangulares (𝑥, 𝑦) y

las polares (𝑟, 𝜃). Para representar sistemas en el espacio se hace uso de tres sistemas

coordenadas diferentes; dos de ellos son el sistema de coordenadas rectangulares

(𝑥, 𝑦, 𝑧) y el sistema de coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧). Demostrar que el jacobiano

de transformación para el cambio de coordenadas rectangulares a polares es

equivalente a calcular el jacobiano de transformación para el cambio de coordenadas

rectangulares a cilíndricas, donde:

{𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃

; en el sistema de coordenadas polares

{𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑧 = 𝑧

; en el sistema de coordenadas cilindricas

A partir de un Jacobiano de Transformación demuestre que el diferencial de volumen

cartesiano 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 se representa en coordenadas esféricas como 𝑑𝑉 =

𝜌2 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃.

Resolver la integral doble: 𝐴 = ∬ 𝑒𝑥2−𝑦

2

𝑥−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅

, efectuando el siguiente cambio de

variable: u = y – x , v = x + y. Donde la región R es la que está limitada en el primer

cuadrante por la recta: x + y = 2.

Calcular el área limitada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 2𝑥2, 𝑦2 = 𝑥, 𝑦2 = 2𝑥, utilizando la

siguiente sustitución: 𝑥2 = 𝑢𝑦, 𝑦2 = 𝑣𝑥.

Calcular el área limitada por las curvas: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 2, 𝑥𝑦3 = 1, 𝑥𝑦3 = 2, mediante el

siguiente cambio de variables:𝑥𝑦 = 𝑢, 𝑥𝑦3 = 𝑣.

En un sistema de coordenadas cartesianas, el plano xy sabemos que su diferencial de

área se define como 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑥. Si transformamos los pares ordenados (x , y)

al sistema de coordenadas polares el 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. Supóngase que definimos un nuevo

sistema de coordenadas al cual llamaremos “sistema coordenado New Math (NM)”, en

el cual 𝑥 = 𝑛2, 𝑦 = 𝑚3. Calcular el diferencial de área de este sistema coordenado.

Calcular el volumen del solido limitado por el elipsoide:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

Con el resultado anterior demuestre que el volumen de una esfera es 4

3𝜋𝑟3. (Considere

que la esfera es un caso especial de elipsoide, donde su radio r es constante)

Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = √2𝑥, 𝑦 =𝑥2

3, 𝑦 =

𝑥2

4;

utilizando el cambio de variables siguiente:𝑥 = 𝑢1

3𝑣2

3 ˄ 𝑦 = 𝑢2

3𝑣1

3.