UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMATICA IV

SECCIÓN 03 CICLO 02-2014

“INTEGRALES DE LINEA Y TEOREMA DE GREEN”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

Instructores de Célula: Jorge Gálvez, Gustavo Avelar, Carlos Alarcón.

INTEGRALES DE LINEA.

Un poco de Teoría.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un

campo vectorial y de un campo escalar.

2. Si es un campo de fuerza. ¿Qué Significa ∫

?

3. Si sabemos que ∫

es independiente de la trayectoria, ¿qué podemos

decir respecto de F?

4. Si un campo vectorial es conservativo. Señale la o las afirmaciones

verdaderas.

a) ∫

: C es una curva cerrada.

b) ( )

c) , para algún campo escalar .

d) ( )

5. Si tiene derivadas continuas parciales sobre y C es cualquier circulo,

muestre que ∫

Ejercicios.

1. Verificar que la longitud de la circunferencia de un circulo de radio k es 2πk.

2. Considere la hélice con ecuaciones paramétricas ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]. Verifique que su longitud es: √

.

3. Calcular las integrales de línea del campo vectorial dado sobre las curvas

indicadas:

i) ( ) ( ) ( ) a lo largo de la parábola

desde el punto (-2,4) hasta el punto (1,1). Resp.

.

ii) ( ) ( ) sobre el segmento de recta desde

el punto (0,0,0) hasta el punto (1,2,4). Resp.

.

4. Calcular la integral ∫ ( ) ( )

sobre las aristas

del triangulo en el plano XY de vértices (0,0), (3,0) y (3,2). Resp. 12.

5. Calcular la misma integral del ejercicio anterior pero sobre la circunferencia

de radio 4 centrada en el origen. Resp. 64π.

6. Dado el campo vectorial: ( )

, calcular la integral de

línea sobre la circunferencia , recorrida en sentido positivo.

Resp. 0.

7. Si ( ) y C es el segmento que une los puntos (-1,-1) hasta el

punto (2,-1). Halle ∫

.

8. Considere el campo vectorial ( )

. Calcule la integral

de línea a lo largo de la circunferencia orientada

positivamente. ¿Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el

teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó.

Explique.

9. Considere C el perímetro del cuadrado unitario orientado en el sentido

positivo, con vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1). Hallar ∫

.

10. Usando la definición de integral de línea calcule ∫

donde ( )

y C es el circulo , orientado positivamente.

11. Si ( ) y C es el segmento que une el punto inicial (-1,-1,-

1) con el punto final (1,1,1). Hallar ∫

.

12. Sea ( ) ( ) ( ) ( ) , y C la curva que se obtiene al

intersecar la superficie con el plano . Calcular ∫

.

13. Verificar que el área limitada por la elipse

, es:

14. Considere la siguiente integral de línea ∫ ( ) (

) ( ) . Verifique que la integral no depende de la

trayectoria elegida.

15. Sea ( ) ( ( ) ) (

) (

) y sea C

la curva que une los puntos: A=(2,2,1) con B=(3,1,e) calcular ∫

.

16. Calcular ∫

, donde C es la elipse

, recorrida en

sentido antihorario.

17. Calcular ∫ ( )

, donde C es la circunferencia cuya parametrización

es: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ].

18. Calcular ∫

, donde C es la hélice cuya parametrización es la

siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

19. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza ( )

, al mover una particula desde (1,0,0) hasta (0,π/2,3) a lo largo de:

a) Una recta.

b) La hélice ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

20. Evaluar la integral de línea ∫

, siendo:

a)

√

√ , siendo la parábola entre los

puntos ( ) ( )

b) ( ) ( ) (√ ) , donde es el segmento de recta

entre los puntos ( ) ( )

TEOREMA DE GREEN.

1. Usando el teorema de Green evalúe ∫ ( )

, donde C es la

circunferencia .

2. Probar el teorema de Green sobre el cuadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2) y

(0,2) con el campo vectorial ( ) ( ) ( ) .

3. Use el teorema de Green para calcular ∫

, donde C es una

curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va

desde (-2,0) hasta (2,0) y en la parte inferior de la circunferencia

.

4. Utilizando el teorema de Green calcular el área del cuadrilátero

determinado por los puntos (0,0), (5,1), (4,5) y (0,3). Resp.

.

5. Sea C la curva cerrada descrita por el par de graficas: ( )

( ) [ ]. Orientada en sentido positivo. Calcular la integral

siguiente directamente utilizando el teorema de Green: ∫ ( )

. Resp.

.

6. Utilizar el teorema de teorema de Green para calcular el área del

cuadrilátero determinado por los puntos (0,0), (5,2), (3,4) y (0,3). Resp.

.

7. Sea la frontera del triángulo con vértices (0,0), (1,2) y (0,2). Calcular

∮

. Use el método tradicional (recorriendo la curva en

sentido horario y antihorario) y el teorema de Green.

8. Evaluar la integral ∮ ( ) ( )

, donde es la frontera de

la región entre los círculos

9. ∫

( ) , siendo la región formada por

el circulo entre los puntos ( ) (√ √ ) y los segmentos de

recta de (√ √ ) ( ) y de ( ) ( )

10. Sea C la curva cerrada y orientada positivamente descrita de la manera

siguiente: el segmento , entre , el arco √ en

el primer cuadrante, el segmento entre , el arco

√ en el primer cuadrante. Calcular la integral siguiente

directamente y utilizando el teorema de Green:

∫

. Resp. 2log2.

DATO CURIOSO

Consideremos la integral:

∫

donde:

( )

y

( )

Como y es un circulo, cabe esperar que la integral de línea tendrá el

valor de . Sin embargo, por integración directa resulta ser:

∫

¿Cuál es el resultado correcto y por qué?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

Si ( )

Donde v es función de t y k(t) representa la energía cinética.

Demuestre que si , entonces: ∫

( ) ( ).

Un hombre de 160 libras de peso sube con una lata de 25 libras de pintura por una escalera helicoidal que rodea un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies de alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas; ¿Cuánto trabajo realiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?