UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMATICA IV

SECCIÓN 03 CICLO 01-2015

“INTEGRALES DE LINEA Y TEOREMA DE GREEN”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

INTEGRALES DE LINEA.

Un poco de Teoría.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un

campo vectorial y de un campo escalar.

2. Si 𝐹 es un campo de fuerza. ¿Qué Significa ∫ 𝐹. 𝑑𝑟𝑐

?

3. Si sabemos que ∫ 𝐹. 𝑑𝑟𝑐

es independiente de la trayectoria, ¿qué podemos

decir respecto de F?

4. Si un campo vectorial 𝐹 es conservativo. Señale la o las afirmaciones

verdaderas.

a) ∫ ∇𝑓. 𝑑𝑟𝑐

≠ 0 : C es una curva cerrada.

b) 𝑟𝑜𝑡(𝐹) = ∇ × 𝐹 ≠ 0

c) 𝐹 = −∇𝑓, para algún campo escalar 𝑓.

d) 𝑑𝑖𝑣(𝐹) = ∇ ∙ 𝐹 = 0

5. Si 𝑓 tiene derivadas continuas parciales sobre ℝ2 y C es cualquier circulo,

muestre que ∫ ∇𝑓. 𝑑𝑟𝑐

= 0.

Ejercicios.

1. Verificar que la longitud de la circunferencia de un circulo de radio k es 2πk.

2. Considere la hélice con ecuaciones paramétricas 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝑡) , 𝑦(𝑡) =

2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑧(𝑡) = 𝑡

4; 𝑡 ∈ [0,2𝜋]. Verifique que su longitud es: 𝟐𝝅√

𝟔𝟓

𝟏𝟔.

3. Calcular las integrales de línea del campo vectorial dado sobre las curvas

indicadas:

i) 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦)𝑖 + (𝑦2 − 2𝑥𝑦)𝑗 a lo largo de la parábola

𝑦 = 𝑥2 desde el punto (-2,4) hasta el punto (1,1). Resp.−𝟑𝟔𝟗

𝟏𝟎.

ii) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + (𝑥𝑧 − 𝑦)𝑘 sobre el segmento de recta desde

el punto (0,0,0) hasta el punto (1,2,4). Resp. 𝟐𝟑

𝟔.

4. Calcular la integral ∫ (2𝑥 − 𝑦 + 4)𝑑𝑥 + (5𝑦 + 3𝑥 − 6)𝑑𝑦𝑐

sobre las aristas

del triangulo en el plano XY de vértices (0,0), (3,0) y (3,2). Resp. 12.

5. Calcular la misma integral del ejercicio anterior pero sobre la circunferencia

de radio 4 centrada en el origen. Resp. 64π.

6. Dado el campo vectorial: 𝐹(𝑥, 𝑦) =𝑥+𝑦

𝑥2+𝑦2𝑖 +

𝑥+𝑦

𝑥2+𝑦2𝑗, calcular la integral de

línea sobre la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2, recorrida en sentido positivo.

Resp. 0.

7. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 y C es el segmento que une los puntos (-1,-1) hasta el

punto (2,-1). Halle ∫ ∇𝑓. 𝑑𝑟𝑐

.

8. Considere el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦) =−𝑦

𝑥2+𝑦2𝑖 +

𝑥

𝑥2+𝑦2𝑗. Calcule la integral

de línea a lo largo de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 1 orientada

positivamente. ¿Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el

teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó.

Explique.

9. Considere C el perímetro del cuadrado unitario orientado en el sentido

positivo, con vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1). Hallar ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑐

.

10. Usando la definición de integral de línea calcule ∫ 𝐹. 𝑑𝑟𝑐

donde 𝐹(𝑥, 𝑦) =

𝑦𝑖 − 𝑥𝑗 y C es el circulo 𝑥2 + 𝑦2 = 9, orientado positivamente.

11. Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑧3 + 𝑦2 y C es el segmento que une el punto inicial (-1,-1,-

1) con el punto final (1,1,1). Hallar ∫ ∇𝑓. 𝑑𝑟𝑐

.

12. Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑦𝑧)𝑖 + (−4𝑥)𝑗 + (−3𝑧2)𝑘, y C la curva que se obtiene al

intersecar la superficie 𝑧 = 4 − 𝑥2 con el plano 𝑦 + 𝑧 = 6. Calcular ∫ 𝐹. 𝑑𝑟𝑐

.

13. Verificar que el área limitada por la elipse 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1, es: 𝟐𝝅𝒂𝒃.

14. Considere la siguiente integral de línea ∫ (4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 2𝑦 +𝑐

𝑧)𝑑𝑦 + (−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑧. Verifique que la integral no depende de la

trayectoria elegida.

15. Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥𝑙𝑛(𝑦𝑧) − 5𝑦𝑒𝑥)𝑖 + (𝑥2

𝑦− 5𝑒𝑥) 𝑗 + (

𝑥2

𝑧− 2𝑧) 𝑘 y sea C

la curva que une los puntos: A=(2,2,1) con B=(3,1,e) calcular ∫ 𝐹. 𝑑𝑟𝑐

.

16. Calcular ∫ 𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦𝑐

, donde C es la elipse 𝑥2

4+

𝑦2

9= 1, recorrida en

sentido antihorario.

17. Calcular ∫ (𝑥2 + 𝑦2)2𝑑𝑠𝑐

, donde C es la circunferencia cuya parametrización

es: 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝑡) , 𝑦(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡); 𝑡 ∈ [0,2𝜋].

18. Calcular ∫𝑧2

𝑥2+𝑦2𝑐𝑑𝑠, donde C es la hélice cuya parametrización es la

siguiente: 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝑡) , 𝑦(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑧(𝑡) = 2𝑡.

19. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑖 + 𝑦𝑗 −

𝑥𝑘, al mover una particula desde (1,0,0) hasta (0,π/2,3) a lo largo de:

a) Una recta.

b) La hélice 𝑥(𝑡) = cos(𝑡) , 𝑦(𝑡) = 𝑡, 𝑧(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑡).

20. Evaluar la integral de línea ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 𝐶

, siendo:

a) 𝐹 =𝑥

√𝑥2+𝑦2�̂� +

𝑦

√𝑥2+𝑦2�̂� , siendo 𝐶 la parábola 𝑦 = 1 + 𝑥2 entre los

puntos (−1,2) ∧ (1,2)

b) 𝐹 = (𝑥4𝑒𝑦) �̂� + (𝑙𝑛 𝑧 )�̂� + (√𝑦2 + 𝑧2 )�̂� , donde 𝐶 es el segmento de recta

entre los puntos (1,2,1) ∧ (6,4,5)

TEOREMA DE GREEN.

1. Usando el teorema de Green evalúe ∫ 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑦𝑐

, donde C es la

circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 9.

2. Probar el teorema de Green sobre el cuadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2) y

(0,2) con el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑥𝑦3)𝑖 + (𝑦2 − 2𝑥𝑦)𝑗.

3. Use el teorema de Green para calcular ∫ 𝑦3𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑦𝑐

, donde C es una

curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va

desde (-2,0) hasta (2,0) y en la parte inferior de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 =

4.

4. Utilizando el teorema de Green calcular el área del cuadrilátero

determinado por los puntos (0,0), (5,1), (4,5) y (0,3). Resp. 𝟑𝟑

𝟐.

5. Sea C la curva cerrada descrita por el par de graficas: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑦 =

2𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑥 ∋ [0,2𝜋]. Orientada en sentido positivo. Calcular la integral

siguiente directamente utilizando el teorema de Green: ∫ (1 − 𝑦2)𝑑𝑥 +𝑐

𝑦𝑑𝑦. Resp. −𝟑𝝅

𝟐.

6. Utilizar el teorema de teorema de Green para calcular el área del

cuadrilátero determinado por los puntos (0,0), (5,2), (3,4) y (0,3). Resp.𝟐𝟑

𝟐.

7. Sea 𝐶 la frontera del triángulo con vértices (0,0), (1,2) y (0,2). Calcular

∮ 4 𝑥2𝑦𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦𝑐

. Use el método tradicional (recorriendo la curva en

sentido horario y antihorario) y el teorema de Green.

8. Evaluar la integral ∮ (𝑥3 − 𝑦3)𝑑𝑥 + (𝑥3 + 𝑦3)𝑑𝑦𝑐

, donde 𝐶 es la frontera de

la región entre los círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ∧ 𝑥2 + 𝑦2 = 9

9. ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 𝐶

, donde 𝐹 = (𝑦2 − 𝑥2𝑦)𝑖̂ + 𝑥𝑦2𝑗̂, siendo 𝐶 la región formada por

el circulo 𝑥2 + 𝑦2 = 4 entre los puntos (2,0) ∧ (√2, √2) y los segmentos de

recta de (√2, √2) a (0,0) y de (0,0) a (2,0)

10. Sea C la curva cerrada y orientada positivamente descrita de la manera

siguiente: el segmento 𝑦 = 0, entre 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 2, el arco 𝑦 = √4 − 𝑥2 en

el primer cuadrante, el segmento 𝑥 = 0 entre 𝑦 = 2 ˄ 𝑦 = 1, el arco

𝑦 = √1 − 𝑥2 en el primer cuadrante. Calcular la integral siguiente

directamente y utilizando el teorema de Green:

∫𝑥

𝑥2+𝑦2𝑑𝑥 −

𝑦

𝑥2+𝑦2𝑑𝑦

𝑐. Resp. 2log2.

DATO CURIOSO

Consideremos la integral:

∫ 𝐹. 𝑑𝑟

𝐶

donde:

𝐹(𝑥, 𝑦) =−𝑦

𝑥2 + 𝑦2�̂� +

𝑥

𝑥2 + 𝑦2�̂�

y

𝑟(𝑡) = cos 𝑡 �̂� + sin 𝑡 �̂�

Como 𝑁𝑥 = 𝑀𝑦 y 𝐶 es un circulo, cabe esperar que la integral de línea tendrá el

valor de 0. Sin embargo, por integración directa resulta ser:

∫ 𝐹. 𝑑𝑟

𝐶

= 2𝜋

¿Cuál es el resultado correcto y por qué?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

Si k(t) =1

2mv2, Donde v es función de t y k(t) representa la energía cinética.

Demuestre que si r = ai + bj, entonces: ∫ F. drc

= k(b) − k(a).

Un hombre de 160 libras de peso sube con una lata de 25 libras de pintura por una escalera helicoidal que rodea un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies de alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas; ¿Cuánto trabajo realiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?