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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ESPACIALES

DEPARTAMENTO DE ASTRONOMIA Y ASTROFISICA OBSERVATORIO ASTRONOMICO CENTROAMERICANO DE SUYAPA

Ciudad universitaria, Tegucigalpa M.D.C., Honduras

AN-111 INTRODUCCION A LA ASTRONOMIA

CÁLCULO DE LA MASA DE JUPITER Guía para la Actividad Práctica No 3

OBJETIVOS

a) Calcular la masa de Júpiter mediante la medición de las propiedades orbítales de las lunas de Júpiter, analizando sus movimientos, usando la tercera ley de Keppler.

b) Verificar que la relación 2

3

Ta

permanece constante para sistemas ligados

gravitacionalmente. c) Familiarizarse con el uso del software de simulación " La revolución de las lunas de

Júpiter" MATERIALES Y EQUIPO - Una computadora personal con el software “La revolución de las lunas de Júpiter” (The revolution of the Moons of Jupiter) instalado. Se obtiene con el nombre JupLab.EXE en el sitio web http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/CLEAhome.html - Una calculadora científica de bolsillo - Lápiz grafito INTRODUCCIÓN: Algunas propiedades de los cuerpos celestes no pueden ser medidas directamente, pero pueden ser deducidas de los parámetros físicos que definen sus movimientos. La tercera ley de Kepler dice que el “el cuadrado del periodo orbital de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de la órbita” (T2/a3= constante). Utilizando las leyes del movimiento de Newton y la Ley de la Gravitación Universal, la Tercera Ley de Kepler para un cuerpo orbitando otro mucho más masivo se puede expresar de la siguiente manera:

2

3

TaM = , donde

M es la masa del cuerpo primario (el cuerpo más masivo) a es la longitud del semi-eje mayor de la órbita elíptica en unidades astronómicas o UA (la distancia media del Sol a la Tierra ). Si la órbita es circular (como se asumirá en esta práctica) el semi eje mayor es el mismo que el radio de la órbita. T Es el período de la órbita en años terrestres. El período es la cantidad de tiempo requerido por un cuerpo para completar una órbita en torno al cuerpo primario. En esta práctica las cuatro lunas de Júpiter descubiertas por Galileo. Sus nombres en orden de la más cercana a la más alejada del planeta Júpiter son: Io, Europa, Ganymede y Calisto. Si usted observa usando un telescopio miraría una configuración muy similar a la siguiente:

D A

A F

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Figura 1: Júpiter y sus lunas como se ven con un telescopio pequeño Parece que las lunas estuvieran alineadas con el planeta; esto sucede porque nosotros estamos viendo el borde del plano orbital de las lunas de Júpiter. (Vea la figura 2) En la medida en que el tiempo pasa las lunas se mueven con respecto a Júpiter, mientras que las lunas se están moviendo en órbitas aproximadamente circulares, nosotros podemos ver solamente la distancia perpendicular de la luna a la línea de visión entre Júpiter y la Tierra. (radio aparente = Rapparent ) ver Fig.2

A medida que el tiempo pasa, las lunas se mueven con respecto a Júpiter, en órbitas aproximadamente circulares. Desde nuestra posición en la Tierra, nosotros podemos ver solamente la distancia a cada luna perpendicular a la línea visual entre Júpiter y la Tierra (o radio aparente = Raparente , ver fig 2). El valor del Raparente es igual al producto del valor del radio de la órbita R, multiplicado por el seno del ángulo (θ) de la línea visual y la posición de la Luna respecto a Júpiter. Al graficar varias distancias perpendiculares (radios aparentes) de una de las lunas, contra los tiempos en los que van sucediendo esas distancias, obtenemos una curva sinusoidal (ver figura 3). Tomando suficientes datos de la posición de esa luna, se puede ajustar una curva de seno a los datos y determinar: a) El radio "a" de la órbita, como la distancia del punto máximo al punto mínimo de los radios aparentes de la gráfica (amplitud de la curva

sinusoidal); y, b) El período “T” de la órbita, como el período de tiempo cuando se completa una rotación de la luna alrededor del planeta (período de la curva sinusoidal).

D A

A F

3

Una vez que se tiene el radio "a" y el período “T” de la órbita de dicha luna, hay que convertir estos datos a las unidades apropiadas para obtener la masa de Júpiter mediante el uso de la tercera ley de Kepler. Usted determinará la masa de Júpiter por lo menos en dos ocasiones usando una luna diferente en cada caso. Habrá errores de medición asociados con cada luna, por lo que las masas encontradas probablemente no coincidirán exactamente. El programa que usaremos simula la operación de un telescopio controlado automáticamente, con una cámara CCD incorporada, que proporciona una imagen para la pantalla de la computadora. Es un programa sofisticado que permite mediciones convenientes, desarrolladas desde una terminal de computadora, al igual que ajustes de magnificación del telescopio. La simulación de la computadora es real en todos los aspectos más importantes y su uso le proporcionará la misma sensación que los astrónomos experimentan cuando colectan datos y controlan sus telescopios. En lugar de usar un telescopio y hacer observaciones reales de las lunas durante muchos días, la simulación de computadora le muestra la imagen de las lunas que se obtendría observándolas a través de un telescopio en un tiempo específico. PROCEDIMIENTO Durante la Hora de Clase: Observando y Midiendo la Posición de las Lunas de Júpiter

1- Abra la carpeta donde esta guardado el Programa de Las Lunas de Júpiter. 2- Haga clic en "file" y seleccione "log in" del menú. Le aparecerá una caja de diálogo para

que escriba el nombre de los integrantes del grupo, escriba los nombre y oprima "Enter" dos veces.

3- En la pantalla aparece el planeta Júpiter y sus lunas, haga clic en "file" y seleccione

"Run", le aparecerá una caja de diálogo pidiendo la fecha y hora, para el comienzo de las observaciones. Por defecto aparecen la fecha actual y las 0 horas del tiempo universal. Cambie la hora, para que corresponda con la hora en la que esta realizando su simulación de observación; luego oprima "Enter".

4- En pantalla aparece una imagen del planeta Júpiter con sus lunas, vistas con un telescopio

y con un aumento de 100X. Cambie a un aumento de 300X. Para ello haga clic en el botón con el rótulo 300X.

5- Seleccione un intervalo de tiempo entre observaciones de 3 horas, para ello haga clic en

"file", seleccione "preferences" y dentro de preferences "timing". Le aparecerá una caja de diálogo, en donde aparece "Observation Interval (Hrs)"; escriba 3.0 (por defecto aparece 24) y presione "Enter".

6- Observe que en la esquina inferior izquierda de la pantalla aparecerán los siguientes

datos: a) Fecha de observación b) Tiempo Universal (TU) c) Fecha Juliana (JD) d) Intervalo de tiempo entre observaciones

7- Para medir la distancia aparente (o radio aparente), debe hacer clic sobre la luna que desea medir; aparecerá una cruz. Si el cursor está colocado exactamente sobre la luna, en la esquina inferior derecha de la pantalla, aparecerá el nombre de la luna, los valores de X y Y que indican la posición de la luna respecto a la imagen (para nuestros propósitos no

D A

A F

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interesan). Debajo de X y Y aparece la distancia aparente a Júpiter de la luna seleccionada, en unidades de diámetros de Júpiter (Jup. Diam.). La E y la W indican si la luna está al este u oeste de Júpiter respectivamente.

8- En esta Actividad Practica, se trabajará únicamente con las dos lunas más cercanas a Júpiter: Io y Europa. En la Hoja de Datos se le indica donde debe anotar sus datos. Usted deberá anotar primero los datos para cada observación realizada a Io; luego anote los datos de Europa. Tome los datos que aparecen en la parte inferior de la pantalla y anótelos en “Distancias Aparentes de Io y Europa”, que aparece en la Hoja de Datos, junto con la siguiente información:

a) Fecha. Se refiere a la fecha en que se simula la observación, convertida a Tiempo Universal (recuerde que el TU esta adelantado 6 horas respecto a la Hora Local, lo que puede ocasionar que el día en TU sea el día siguiente del Tiempo Local).

b) Hora de observación en TU. Recuerde incrementar las 6 horas de diferencia con respeto al tiempo local.

c) Día. Este es el tiempo acumulado de observación. Se refiere al tiempo transcurrido en días a partir de la primera observación, comenzando con 0. En nuestro caso comenzaremos observando a las 0h TU (las 18h de Tiempo Local del día anterior), luego a las 3h TU, 6h TU, 9h TU, 12h TU, y así sucesivamente. Este tiempo debe anotarlo en fracción de días (columna 3 de la tabla), esto equivale a: 0.000, 0.125, 0.250, 0.375, 0.500, respectivamente. Si lo desea, esta columna la puede completar después de la hora de clase.

d) Distancia aparente a Júpiter en diámetros de Júpiter (DJ). Tome como positivos los valores hacia el Oeste (W) y como negativos los valores hacia el Este (E).

9- Repita el procedimiento descrito en el paso anterior (numeral "8"), hasta que complete por

lo menos 5 días de observación (40 observaciones en total). No se olvide de anotar los datos para las dos lunas.

Aclaración. Si a la hora de observación, la simulación muestra que el día está nublado (lo cual perfectamente puede ocurrir en climas como el nuestro), llene solamente la información correspondiente a las primeras tres columnas de las tablas y pase inmediatamente a la siguiente observación. Esto significa que para esa fracción de día no hay dato. Una vez completada esta parte, pase a la siguiente observación haciendo un clic sobre el botón Next, y continúe llenando la tabla ahora con la información correspondiente a esta nueva observación.

10- Cuando halla realizado todas las observaciones puede salir del programa, seleccionando File y luego Exit.

Después de la Hora de Clase: Gráfico de la Distancia Aparente (en diámetros de Júpiter) versus Tiempo (en días acumulados). En esta parte de la Actividad Práctica, para realizar los gráficos, usted debe trabajar primero con los datos de una de las lunas de Júpiter, y luego tiene que seguir el mismo procedimiento para la segunda luna. Siga las instrucciones en la Hoja de Datos.

1. Con los datos que tiene en la Tabla (1a y 1b) para cada una de las lunas, en la Hoja de Datos haga un gráfico de distancia aparente o radio aparente (columna 4 para Io y 5 para Europa) versus tiempo en días (columna 3 de la tabla, que corresponde al tiempo acumulado medido en fracciones de día). En las cuadrículas que para cada una de las lunas aparecen en la Hoja de Datos, grafique con cuidado cada uno de los 40 datos; por cada uno de ellos tendrá un punto, excepto en aquellos días que estuvieron nublados, que como no hay dato, entonces no hay punto.

2. Cuando haya graficado todos los puntos, trace una curva suave que pase lo más

cercano a todos los puntos. Esta curva debe parecerse, en forma, a la de una curva sinusoidal.

D A

A F

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3. A partir del gráfico, mida primero el valor máximo (positivo) del radio aparente y luego el valor mínimo (negativo) del radio aparente, tome ambos valores como positivos y haga un promedio; este será el valor del semieje mayor "a" en unidades de diámetros de Júpiter para dicha luna. Anote este valor donde se le indica, en su Hoja de datos.

4. Para convertir este dato a UA, divida este valor por 1050 (cantidad de diámetros de Júpiter en una UA). Anote este valor donde se le indica, en su Hoja de datos.

5. Mida el intervalo de tiempo entre dos máximos consecutivos (o dos mínimos) y este

será el período en días " T" para dicha luna. Anote este valor donde se le indica, en su Hoja de datos.

6. Para pasar a años este valor divida por 365 (número de días que tiene el año de la

Tierra). Anote este valor donde se le indica, en su Hoja de Datos. Cálculo de la Masa de Júpiter

7. Con los datos del semi-eje mayor "a" en UA y el período "T" en años, obtenidos para cada una de las dos lunas, encuentre la masa "M" de Júpiter usando la siguiente fórmula:

2

3

TaM = (en masas Solares)

Donde M es la masa de Júpiter en masas solares. Ya que este proceso lo hará para ambas lunas, encontrará dos valores para la masa de Júpiter, uno con el período y el semieje mayor de Io, y el otro con el período y semi-eje mayor de Europa. Anote sus resultados en la Hoja de Datos.

8. Haga un promedio de los dos valores encontrados para la masa de Júpiter (se suman y el resultado de la suma se divide por 2). Este será el resultado final de la masa de Júpiter en masas solares. Anote los valores obtenidos en la Hoja de Datos en el lugar que se le indica en la Hoja de Datos.

9. Pase este valor a kilogramos multiplicando por 1.989 x 1030 (este es el valor de la masa

del Sol). Anote este valor en el lugar donde se le indica en la Hoja de Datos.

10. Compare el valor calculado para la Masa de Júpiter, con el valor más aceptado para

esta misma cantidad. Interprete su resultado, y explique las diferencias. DAAF/OACS 2011

D A

A F