Guía Estudio Man 2015-0

1

PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES

CIENCIAS

Coordinador responsable:

Víctor Cabanillas

2015-0

Este material de apoyo académico se reproduce para uso exclusivo de los alumnos de la Universidad de Lima

y en concordancia con lo dispuesto por la legislación sobre los derechos de autor: Decreto Legislativo 822.

Matemática Aplicada a los

Negocios

Matemática Aplicada a los Negocios

2

Índice

Presentación 3

Unidad N° 1: FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE – MODELOS MATEMÁTICOS 4

G.1. Funciones reales en una variable: dominio y gráfica…………………………………………… 5

G.2. Modelos matemáticos……………………………………………………………………………………… 6 G.3. Miscelánea……………………………………………………………………………………………………… 7

G.4. Límites ………………………………………………………………………………………………………….. 9 G.5. Asíntotas: horizontales y verticales………………………………………………………………….. 10 G.6. Continuidad …………………………………………………………………………………………………… 11 G.7. Miscelánea…………………………………………………………………………………………………….. 12

Respuestas…………………………………………………………………………………………………….. 16

Unidad N° 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 21

G.1. Derivada de una función y reglas de derivación ………………………………………………… 22 G.2. Interpretación geométrica de la derivada …………………………………………………………. 23 G.3. Reglas de la cadena ………………………………………………………………………………………… 23 G.4. Derivadas de orden superior …………………………………………………………………………… 24 G.5. Derivación implícita ………………………………………………………………………………………. 24 G.6. Miscelánea…………………………………………………………………………………………………….. 25

Respuestas…………………………………………………………………………………………………….. 27

Unidad N° 3: APLICACIONES DE LA DERIVADA 31

G.1. Razón de Cambio ……………………………………………………………………………………………. 32 G.2. Análisis Marginal …………………………………………………………………………………………… 33 G.3. Regla de L’ Hôpital …………………………………………………………………………………………. 33 G.4. Diferenciales …………………………………………………………………………………………………. 34 G.5. Gráfica de funciones ………………………………………………………………………………………. 35 G.6. Problemas de optimización ……………………………………………………………………………. 36 G.7. Miscelánea ……………………………………………………………………………………………………. 37

Respuestas……………………………………………………………………………………………………. 39

Unidad N° 4: FUNCIONES TRANSCENDENTES 46

G.1. Funciones logarítmicas y exponenciales …………………………………………………………. 47 G.2. Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas …………………………………. 48 G.3. Gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas………………………………………….. 50 G.4. Aplicaciones …………………………………………………………………………………………………. 50 G.5. Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas……. 52

Respuestas…………………………………………………………………………………………………….. 54

Unidad N° 5: INTEGRALES: INDEFINIDA, DEFINIDA E IMPROPIA 59

G.1 Integral indefinida …………………………………………………………………………………………. 60 G.2 Aplicaciones …………………………………………………………………………………………………. 61 G.3 Integral definida ……………………………………………………………………………………………. 62 G.4 Aplicaciones de la integral definida ………………………………………………………………… 63 G.5 Integral impropia con límites infinitos ………………………………………………………………. 66 G.6 Integrales que contienen funciones cuadráticas …………………………………………………. 67 G.7 Integración por descomposición en fracciones parciales…………………………………...... 67 G.8 Integración de funciones con exponentes fraccionarios ……………………………………… 68

Respuestas……………………………………………………………………………………………………. 69


3

Preguntas de prácticas y exámenes: 76

Propuestas en la Primera práctica 76

Propuestas en la Segunda práctica 80

Propuestas en el Examen parcial 83

Propuestas en la Tercera práctica 86

Propuestas en la Cuarta práctica 90

Propuestas en el Examen final 93

Presentación

El presente documento contiene un conjunto de problemas y ejercicios

correspondientes a los tópicos tratados en la asignatura Matemática

Aplicada a los Negocios, que tienen como objetivo garantizar el correcto

aprendizaje de los conceptos principales del curso por parte del alumno.

Algunos de estos casos serán desarrollados en clase por el profesor; los

restantes deberán ser resueltos por el alumno de manera independiente o

con la ayuda del docente en las horas de asesoría.

4

CONTENIDO

1. Funciones reales en una variable: dominio y gráfica

2. Modelos matemáticos 3. Miscelánea

4. Límites 5. Asíntotas: horizontales y verticales 6. Continuidad 7. Miscelánea


5

Grupo 1: Funciones reales en una variable: dominio y gráfica 1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) 3

6)(

2

x

xxxf b)

29)( xxf

c) 16

19)(

2

3

x

xxxf d) 2110)( 2 xxxf

e) 42

2

1

65

x

xxxf

f)

x

x

x

xxf

1

41 2

g) 45

12)(

2

xx

xxf h)

3

13)( 2

x

xxxf

i) 3

9)(

2

x

xxf j)

x

xxf

35

15)(

k)

xx

xxf

23

27)(

2

l)

12

9)(

x

xxf

ll)

2 2( )

1

x xf x

x

m)

( 2)( 5)( )

3

x xf x

x

2. Esboce la gráfica de las siguientes funciones, indicando su dominio:

a) xxf 4 b) 51,1062 xxxxf

c) 21,733)( 2 xxxxf

d)

0,1

3,22 xx

xxxh e)

4,2

44,4

4,4

)(2 xx

xx

x

xf

f)

2,6

2,2)(

2 xxx

xxxf g)

6;3,32

3;1,2)(

2

xx

xxxxf

h)

42,3

22,62

25,2

)( 2

xx

xx

xx

xf i)

3,62

33,9

3,12

xx

xx

xx

xh

j) 32)( xxf k) xxf 35)(

l) xxxf 2)( ll)

; 4 0

( ) ; 0 2

2 ; 2 11

x x

f x x x

x x


6

Grupo 2: Modelos matemáticos 3. Un agricultor desea cercar un campo rectangular con 1000 pies de cerca. Si un lado del campo está

a lo largo de un arroyo (y no requiere cerca), exprese el área del campo como una función de su ancho. ¿Cuál es el dominio de esta función? Grafique la función.

4. A partir de una pieza rectangular de cartón de 18 cm. de largo y 12 cm de ancho, quitando un pequeño cuadrado de cada esquina y plegando las alas para formar los lados, se construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante en función de la longitud x de un lado de los cuadrados eliminados. ¿Cuál es el dominio de esta función?

5. Un agricultor estima que si se plantan 60 naranjos en un determinado terreno, cada árbol producirá en promedio 400 naranjas. La producción media disminuirá en 4 naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en la misma área. Exprese la producción total del agricultor como una función de la cantidad adicional de árboles plantados, elabore la gráfica y calcule la cantidad total de árboles que debería plantar para que la producción sea máxima. Grafique y halle el dominio de la función.

6. Para construir una caja abierta, de base cuadrada, se necesitan $ 64. Si los lados de la caja cuestan

$ 3 por 2m y la base, $ 4 por 2m , exprese su volumen en función de la longitud de un lado de la base. Indique su dominio.

7. El departamento de obras de una empresa, está planeando construir una playa de

estacionamiento rectangular de 9200 2m de área. Para ello se construirá un cerco perimetral

cuyo costo por metro de cerca es de $ 20. Si x denota el ancho del terreno, halle la función “costo de cercado” )(xC .

8. La base de una caja rectangular cerrada es tal que su largo (L) es el triple del ancho. La caja tiene

un volumen de 25 pulg3. Si el material de las partes superior e inferior de la caja cuesta $ 4 por pulg2 y el de los lados, $ 3 por pulg2, exprese el costo de construcción en función de L y halle su dominio.

9. Un negocio con capital original de $ 10000 tiene ingresos y gastos semanales de $ 2000 y $ 1600,

respectivamente. Si se retienen en el negocio todas las utilidades, exprese el capital del negocio al final de t semanas. Halle el dominio de la función obtenida. Grafique la función.

10. Un fabricante puede producir estantes a un costo de $ 80 la unidad. Las cifras de ventas indican

que si los estantes se venden a x dólares la unidad, se venderán x500 estantes cada mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante en función del precio de venta, dibuje la gráfica y determine el precio óptimo de venta.

11. En el planeamiento de una cafetería, se estima que si hay espacio para 50 personas, las utilidades

diarias serán de $ 5 por persona. Sin embargo, si el espacio lo habilitan para más de 50 personas, las utilidades diarias por persona disminuirán en un 20%. Si x es el número de personas que asisten a la cafetería, exprese el monto de las utilidades diarias como función de x y bosqueje el gráfico de la función.

12. Un fabricante de Gamarra vende 900 polos semanales al precio de 10 soles cada uno. El costo de

cada polo es de 5 soles. El fabricante quiere aumentar el precio de su producto y por los estudios de mercado realizados se conoce que por cada 50 céntimos de incremento en el precio del polo se venderán 60 polos menos cada semana. Halle la función de utilidad semanal del fabricante, indicando el dominio. Grafique la función.


7

13. Durante la sequía, los residentes de una ciudad, tuvieron que hacer frente a una severa escasez de agua. Para impedir el consumo excesivo de agua, la Dirección de Aguas de la ciudad fijó drásticos aumentos de tarifas. La tarifa mensual fue $ 5 por 10 m3 de agua para los primeros 30 m3, $ 20 por cada 10 m3 para los 50 m3 siguientes y $ 50 por cada 10m3 de allí en adelante.

a) Exprese la factura mensual en función de la cantidad de agua consumida.

b) Halle el dominio y grafique la función.

c) ¿Cuánto pagó la familia que consumió 85 m3 de agua? 14. Una compañía de autobuses para su campaña “Viajes de Promoción” ha adoptado la siguiente

política de precios para los que desean alquilar sus vehículos: para grupos formados por no más de 30 alumnos se les cobrará la cantidad fija de $ 1500. Para grupos conformados entre 30 y 70 alumnos, cada alumno pagará $ 50 y tendrá un descuento de 50 centavos de dólar por cada alumno adicional a 30. La tarifa más baja de la compañía, $ 30 por alumno, se ofrecerá a grupos de 70 o más.

a) Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como una función del número de alumnos que conforman el grupo.

b) Grafique la función ingreso.

c) ¿Cuál es el ingreso de la compañía, si el grupo tiene 68 alumnos?

Grupo 3: Miscelánea 15. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) 32 9

)(x

xxf

b)

3||

)5)(9()(

2

x

xxxf

c)

xx

xxf

3

42)(

2

d) 4

2

2

2)(

x

xxxf

e) 2

2 4)(

xx

xxg

f)

25

416)(

2

22

x

xxxf

16. En los siguientes ejercicios, grafique la función e indique su rango.

a) 14),3)(1()( xxxxf , b) 112,24)( xxxf

c)

41,1

11,3

14,2

)( 2

xx

xx

x

xf d)

0< ,2

0 ,1 2 = )(

xx

xxxf

e)

41,12

03,24)(

xx

xxxf

17. Un envase que tendrá la forma de cilíndrico circular recto ha de contener 4 pulg3 de aceite de oliva. El costo de construcción de una pulg2 de las partes metálicas superior e inferior (base y tapa del envase) es dos veces el costo de construcción de una pulg2 de la superficie lateral de cartón. Exprese el costo de construcción del envase como función del radio, si el costo de la superficie lateral es de $ 0,02 por pulg2. Halle el dominio.


8

18. Un anuncio para el cual se requieren márgenes de 3 pulgadas en las partes superior e inferior, y de 2 pulgadas en los lados, deberá tener 50 pulg2 para el material impreso. Si x es la longitud de la base del anuncio, exprese el área total del anuncio como función de x e indique su dominio.

19. Un campo petrolero tiene 20 pozos. Cada pozo ha estado produciendo 200 barriles diarios de

petróleo. Se conoce que por cada nuevo pozo perforado la producción diaria de cada pozo disminuye en 5 barriles.

a) Escriba la producción diaria P del campo petrolero como función del número x de pozos nuevos que se perforan.

b) Trace la gráfica de )(xPy .

c) Mediante el gráfico de P, determine el valor de x que maximiza P.

20. Un importador de café estima que los consumidores locales comprarán 2

4320)(

ppQ kilogramos

de café a la semana cuando el precio sea de p dólares por kilogramo. Se estima que dentro de t

semanas el precio será 122,004,0)( 2 tttp dólares por kilogramo.

a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t .

b) Dentro de 10 semanas ¿cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador?

c) ¿En qué momento, la demanda de café es de 30 kilogramos? 21. )(xP es la cantidad de cierto artículo, que es producido utilizando x kilogramos de un insumo A.

Se conoce que ]4;1[,5)( 2 xxxxP y que x depende de t , donde t es el número de días que

se necesitan para obtener x kilogramos de A. Se verifica que ]8;1[,4

13)(

t

ttx .

a) Halle ))(( txP . ¿Qué representa?

b) Calcule )5)(( xP e interprete el resultado.

22. Un fabricante fija el precio de venta de su producto en S/. 8 cada uno para pedidos menores o iguales a 100 unidades. Si el pedido excede las 100 unidades, se ofrece un descuento del 12,5% del precio de venta a cada artículo adicional a 100 (y sólo a estos).

a) Si el costo de producción de cada artículo es de S/. 5, determine la función de utilidad (U) en términos de la cantidad de artículos vendidos.

b) Grafique la función utilidad y determine su dominio.

c) ¿Cuál es la utilidad si vende 110 unidades?

23. Se tiende cable desde una planta de energía que está a un lado de un río de 900 metros de ancho, hasta una fábrica en el otro lado, 3000 metros río abajo. El cable irá en línea recta desde la planta de energía hasta algún punto P en la orilla opuesta, y luego a lo largo de la orilla hasta la fábrica (ver figura adjunta). El costo de tender el cable por el agua es de $ 5 por metro, el costo sobre tierra es $ 4 por metro. Si x es la distancia desde el punto P hasta el punto que está enfrente de la planta de energía (al otro lado del río), exprese el costo de instalación del cable en función de x e indique su dominio.

Río

Planta de Energía

P Fábrica


9

24. Una compañía ha recibido un pedido del departamento de recreación para fabricar 0008 tablas de

plástico para su programa de natación de verano. La compañía posee varias máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas por hora. El costo de calibrar las máquinas, para producir estas tablas, es de $ 20 por máquina. Una vez que las máquinas se ponen en funcionamiento, la operación es totalmente automatizada y puede dirigirla un solo supervisor de producción que gana $ 4,80 por hora. Exprese el costo de producción de las 8 000 tablas en función de la cantidad de máquinas empleadas.

25. Un comerciante compra un producto a S/. 4 la unidad y lo vende a S/. 10. A este precio, el comerciante vende 1200 unidades a la semana. El comerciante quiere aumentar su utilidad semanal en base a un estudio de mercado, dicho estudio le indica que por cada S/. 0,25 de incremento en el precio, dejará de vender 20 unidades.

a) Halle la función utilidad en términos del número de incrementos de S/. 0,25 en el precio de venta del producto.

b) Trace la gráfica de la función utilidad.

c) ¿A qué precio debe vender cada producto par a obtener la máxima utilidad?

26. La Compañía financiera NET planea abrir sucursales en diferentes distritos de Lima. Se espera que dentro de x años se capten depósitos de acuerdo a la regla

62,20

20

20,182

)( 2

xx

xx

xD millones de dólares.

a) Grafique )(xD

b) Dentro de 2 años ¿a cuánto ascenderán los depósitos?

27. Un agricultor desea cercar un terreno rectangular y luego dividir el terreno en 2 parcelas iguales mediante una cerca divisoria (tal como se muestra en la figura).

a) Halle la función costo del cercado sabiendo que el área del terreno es 4000 2m y el costo del metro de la malla que se utilizará en el cercado es de S/. 6.

b) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno si se conoce que se han utilizado 380 metros de malla para cercar el terreno con las condiciones dadas?

28. La empresa agrícola PERAS tiene como función producción

122

20

,78162

,360)( 2 x

x

xx

xxP cientos de peras,

donde x indica en número de meses transcurridos desde el 1 de enero del presente año.

a) Grafique )(xP

b) Indique en qué mes la producción es mínima y a cuánto asciende dicha producción.

Grupo 4: Límites

29. Calcule los siguientes límites:

a) 26

2lim

2

x

x

x b)

53

4lim

2

2

2

x

x

x


10

c) xx

xx

x

20

22lim d)

22

312lim

4

x

x

x

e) 25

125lim

2

3

5

x

x

x f)

8

16lim

3

4

2

x

x

x

g) 103

1262lim

2

23

2

xx

xxx

x h)

4

4

2

1lim

22 xxx

30. Calcule los siguientes límites laterales:

a) )(lim3

xfx

, si

3,3

3,2)(

2

xx

xxxxf

b) ),(lim),(lim),(lim),(lim331 1

xfxfxfxfxxxx

donde

3,3

31,2

1,27

)( 2

xx

xxx

xx

xf

c) |5|3

103lim

2

5

x

xx

x

d) 32

12832lim

23

2

3

x

xxx

x

e) 2

2 4

42lim

t

t

t

f) x

x

x

2

0

3lim

g) 2

4lim

2

2

x

x

x

h) 222

1lim

3

1

x

x

x

31. Calcule los siguientes límites al infinito:

a) 1536

852lim

34

23

xx

xx

x b)

32

1lim

37

27

xx

xx

x

c) 1186

34lim

4

25

xx

xxx

x d)

2322

422

521

12)23(lim

xxx

xx

x

e)

1

432lim

4

2

x

xx

x f)

1043lim 2 xxxx

g) 13

645lim

2

x

xxx

x h)

1212lim

2

2

3

x

x

x

x

x

Grupo 5: Asíntotas: horizontales y verticales

32. Trace la gráfica de las siguientes funciones mostrando sus asíntotas horizontales y verticales.

a) 4

3)(

2

2

x

xxf b)

5

34)(

x

xxf


11

c) xx

xxf

3

4)(

2

2

d)

1

1+5)(

2

x

xxf

e) 29

3)(

x

xxf

e)

1

4)(

2

x

xxf

33. Un fabricante desea construir cajas cerradas de 256 cm3 de capacidad. La base debe ser rectangular cuyo largo será el doble del ancho. El precio del material para la base y la tapa es de

S/. 3 por 2cm , y para los lados es de S/. 2 por 2cm

a) Halle la función costo ( C ) en términos de la longitud del ancho ( x ) de la base indicando su dominio y trace su gráfica.

b) Interprete los límites )(lim0

xCx

y )(lim xCx

.

34. Como consecuencia de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, el precio de estas en el mercado está disminuyendo. Si dentro de x meses,

el precio de cierto modelo será 401

30)(

xxP dólares.

a) ¿Cuál será el precio dentro de 5 meses?

b) ¿Cuánto caerá el precio durante el quinto mes?

c) ¿Dentro de cuántos meses el precio de una calculadora será $ 43?

d) ¿Qué pasará con el precio a largo plazo?

35. La población de cierto pueblo está dada por 169

45)(

22

tt

ttP millones de habitantes t

años después de su fundación. Halle la asíntota horizontal y esboce la gráfica de )(tP . ¿Cuál será

la población en el pueblo a largo plazo?

Grupo 6: Continuidad

36. Analice la continuidad de f en los puntos indicados:

a)

3,3

31,38

1,32

)(

xx

xx

xx

xf , en 3,1 xx

b)

3,9

3,18

3,3,9

81

)(

2

4

x

x

xxx

x

xf , en 3x y 3x


12

c)

1,0,5

1,0,5

)( 2

2

x

xxx

xx

xf , en 0x , 1x y 3x .

37. Halle el valor de A, de modo que la función f sea continua en 2x , donde

2,

2,2

154)(

2

xA

xx

xxxf

38. Halle a y b , de modo que f sea continua en 1x y en 3x , donde

3,21

3

31,

1,1

)(

2

xsix

x

xsibax

xsix

xf

Grupo 7: Miscelánea


a)

xx

xx

x 2

253lim

2

2 b)

x

x

x

22lim

0

c)

13

62lim

2

2

2

xx

xx

x d)

x

x

x

62

53lim

2

2

e)

53

202lim

2

4

2 x

xx

x f)

122

2795lim

234

234

1

xxx

xxxx

x

g) 274

241053lim

2

23

2

xx

xxx

x h)

53

2

3

1

1

1lim

1 xxxx

40. Calcule los siguientes límites laterales:

a) ),(lim),(lim),(lim),(lim4433

xfxfxfxfxxxx

donde

4 ,4

12382

43 ,153

3 ,9

3

)(

23

2

2

xx

xxx

xxx

xx

x

xf


13

b)

43

1lim

2

2

1 xx

x

x

c) 5

54lim

2

5

x

xx

x

41. Dada la función

4si,2

2

42si,4

2si,3

2

)(2

2

xx

xx

xbx

xx

ax

xf ,

halle los valores de a y b, sabiendo que los límites )(lim2

xfx

y )(lim4

xfx

existen.

42. Calcule los siguientes límites al infinito:

a) 5

)23()32(lim

5

23

x

xx

x b)

753

432

8475

29315lim

xxx

xxx

x

c)

xxx

xx

x

3

2 1lim d)

3 122

432

811

2045lim

xxx

xxx

x

e)

4288

2135lim

3 3

2

xxx

xxx

x f)

x

xxx

x 2

593lim

2

g)

xxx

xxx

x

44

24lim

2

2

h)

23

624lim

2

x

xxx

x

i) 245

192lim

2

342

xx

xxx

x j)

xxxxx

22 23lim

k)

95412lim 2 xxxx

l)

xxxx

14lim 2

43. Esboce la gráfica de las siguientes funciones indicando sus asíntotas.

a) x

xxf

3

24)( b)

3

14)(

2

x

xxf

c)

xx

xxf

3

42)(

2

44. Se desea construir envases de hojalata que tengan la forma de un cilindro circular recto de 27 3cm de volumen. El precio del material para la base y la tapa es de S/. 0,30 por 2cm y para la

parte lateral, S/. 0,20 por 2cm .

a) Halle la función costo ( C ) en términos del radio ( r ) de la base indicando su dominio y trace su gráfica.

b) Interprete los límites: )(lim0

rCr

y )(lim rCr

.


14

(Volumen del cilindro hr 2 ).

45. El departamento de obras de la Municipalidad de Lima está planeando construir un campo ferial

rectangular de 4,600 2m de área y rodearlo de un cerco, siendo el costo por metro de cerco de $ 10.

a) Halle la función costo ( C ) en términos de la longitud de uno de los lados del terreno e indique su dominio.

b) Interprete los límites: )(lim0

xCx

y )(lim xCx

46. Analice la continuidad de f en los puntos indicados:

a)

3si,27

3si,3

27

)(

3

x

xx

x

xf , en 3x y 1x .

b)

0,1

0,1

)(2

2

2

xxsi

xxsixx

x

xf ; en 0x , 1x y 1x .

c)

;3si,27

838

]3;si,2

)(

3

2

2

xx

xx

xxx

xf ; en 0x y en 3x .

47. Sea

2,2

2213

22,12

2,2

44

)(

2

2

23

xx

xx

xbxax

xx

xxx

xf

Halle ba, de modo que f sea continua en 2x y en 2x .

48. Si C es el costo total de producir x artículos, la relación entre estas dos variables está dada por

058243 2 Cxx .

a) Trace la gráfica de la curva de costos

b) ¿Cuántas unidades se deben producir para obtener costo total mínimo?

c) Si el costo total es 22 ¿cuántas unidades se producen?


a)

54154

285238lim

34

23 26

xxx

xxxx

x b)

2

2

3 3

5lim

xx

xx

x


15

c)

37

64lim

2

3

4

x

x

x

50. Determine el valor de c sabiendo que existe )(lim4

xfx

, donde

4

4

si

si

,20

,)(

22

x

x

cx

cxxf


a) 54

22lim

23

24

1

xx

xx

x b)

53

422

121

1332lim

xx

xx

x

52. Un distribuidor de café fija el precio de cada kilogramo de café en 20 soles para pedidos menores o iguales a 12 kilogramos. Si el pedido supera a los 12 kilogramos, se ofrece un descuento del 5% del precio de venta a cada kilogramo adicional a los 12 kilogramos (y sólo a estos) El costo de producir cada kilogramo de café es de 10 soles.

a) Halle la función utilidad del distribuidor en términos de la cantidad de kilogramos que tiene el pedido e indique su dominio.

b) Grafique la función utilidad

c) ¿Cuál es la utilidad del distribuidor si el pedido es de 34 kilogramos con 750 gramos?

53. Trace la gráfica de la función x

xxf

3

42)(

2

, hallando previamente su dominio y las ecuaciones

de sus asíntotas verticales y horizontales. 54. El costo, en miles de soles, que le significa al alcalde de cierta ciudad confiscar %x de discos

compactos piratas, está dado por x

xxC

100

6000)(

a) Determine )25(C e interprete el resultado

b) Halle el dominio y la ecuación de la asíntota de )(xC . Grafique la función.

c) De acuerdo al contexto del ejercicio, interprete la asíntota.

55. Halle el dominio de )2)(4(

16

4

13)(

2

2

xx

x

x

xxf

56. Dada la función

1

1

si

si

,1

33

,1

1

)(2

3

x

x

x

x

x

x

xf , calcule )(lim1

xfx

57. Una lavandería cobra S/. 4 por lavar un kilogramo de ropa. Si la lavandería hace un descuento del

25% de la tarifa vigente por cada kilogramo adicional a los 4 kilogramos, determinar la función costo de lavado de ropa en términos del peso (en kilos) de la ropa.


16

RESPUESTAS – UNIDAD 1

1. a) 3;3)(Dom Rf b) 3;3)(Dom f

c) 4;30;3)(Dom f d) 3;7)(Dom f

e) 3;21;1)(Dom f f) 01;)(Dom f

g) 4;2)(Dom f h) ;31;3)(Dom f

i) 3;3;)(Dom f j) 3/5;3/5)(Dom f

k) 3;1)(Dom f l) ;2/12/1;)(Dom f

ll) Dom( ) 1;2f

m) Dom( ) 2;2 5;f

3. 221000)( xxxA y 500;0)(Dom A

4. xxxxV 216604)( 23 y 6;0)(Dom V

5. 2416024000)( xxxP , 100;0)(Dom P

6. 3

16)(

3xxxV

y 4;0)(Dom V

7. x

xxC368000

40)(

8. L

LLC

600

3

8)(

2

y ;0)(Dom C

9. ttK 40000010)( y :0)(Dom K

10. 00040580)( 2 xxxU , precio óptimo de venta $ 290.

11.

50;4

500,5)(

xx

xxxU

12. 150,301504500)( 2 xxxxU , donde x representa el número de incrementos de 50

céntimos en el precio del polo.

13. a)

80,2855

8030,452

300,2

)(

xx

xx

xx

xT ,

donde x representa la cantidad de agua consumida en 3m .

b) La familia que consumió 85 3m de agua pagó 140 dólares.


17

14. a)

70,30

7030,65

301,1500

)( 221

xx

xxx

x

xI

c) Si el grupo tiene 68 alumnos, el ingreso de la compañía es 2108 dólares.

15. a) 0;)(Dom f

b) 3;35;)(Dom f

c) ;30;)(Dom f

d) 1;)(Dom f

e) 2;10;2)(Dom f

f) 4;22;4)(Dom f

16. a) 8;1)(Rang f

b) 7;4)(Rang f

c) 23;0)(Rang f

d) ;10;)(Rang f

e) 10;3)(Rang f

17. 0,2

08,0)( 2

r

rrrC

18. 4,4

266)(

2

x

x

xxxA

19. a) 251004000)( xxxP

c) 10x

20. a) 22 )122,004,0(

4320)(

tttpQ

b) Dentro de 10 semanas, los consumidores comprarán 13,333 kilogramos de café a la semana.

c) En este momento hay una demanda de 30 kilogramos de café a la semana.

21. a) 51,16

21669)(

2

ttt

txP representa la cantidad de artículos producidos en t días.

b) 36)5( xP .

En 5 días se producen 36 artículos.

22. a)

100,2100

1000,3)(

xx

xxxU

b) Si vende 110 unidades, la utilidad es 320 soles.


18

23. 30000,0008105412000)( 2 xxxxC

24. x

xxC1280

20)(

25. a) 72005180)( 2 xxxU

c) Debe vender a 14,50 soles para obtener utilidad máxima 26. b) Los depósitos ascenderán a 22 millones de dólares

27. a) x

xxC48000

18)(

b) Las dimensiones deben ser 100 m y 40 m ó 150 m y 80/3 m

28. b) La producción es mínima el 1 de mayo ( 4x ). La producción mínima es de 4600 peras.

29. a) 4 b) 6 c) 2

1

d) 3

22 e)

2

15 f)

3

8

g) 7

2 h)

4

1

30. a) 15 b) 3, 9, 0, 15 c) 3

7

d) 4

7 e) f)

g) 0 h) 6

31. a) 0 b) 2

1 c)

d) 36 e) 2 f) – 5

g) 3

4 h)

4

1

32. a) 2 A.V. 3 .. xyHA b) 5 A.V. 3 .. xyHA

c) 02;2;0 A.V. Domx d) RDom ; 5 .. yHA

e) 0. yAH 3.. xVA f) 0.. yHA

33. a) Función Costox

xxC1536

12)( 2 ; ;0 Dom

b)

)(limy )(lim0

xCxCxx

.

Cuando el ancho se hace muy pequeño o muy grande, el costo crece indefinidamente.


19

34. a) Precio 45 $

b) Caerá 1 $

c) En el noveno mes

d) El precio a largo plazo es 40 $

35. Número de habitantes a largo plazo: 2,5 millones. ;0Dom ; 5,2 .. yHA

36. a) Continua en 1x , discontinua en 3x

b) Continua en 3x , discontinua en 3 x

c) Continua en 3x , discontinua en 0x y en 1x

37. Si f es continua en R, entonces 0A

38. Si f es continua en R, entonces 1y1 ba .

39. a) 3

28 b)

22

1 c) 7

d) 3

8 e) 51 f) 0

g) 9

46 h)

32

1

40. a) 29 29, 13, ,6

1 b) c) 6

41. Si los límites existen, entonces 1y1 ba .

42. a) 72 b) 0 c) 0

d) 10 e) 3

1 f) 3

g) 1 h) 3

1 i)

5

1

j) 1 k) 4

1 l)

43. a) 4 .. yHA b) 3 A.V. 2 .. xyHA

c) 30 A.V. 4 .. x x yHA

44. a) Función costo en términos del radio: 26,08,10)( r

rrC

; ;0 Dom

b)

)(limy )(lim0

rCrCrr

.

Cuando el radio se hace muy pequeño o muy grande, el costo crece indefinidamente.


20

45. a) Función Costo en términos la longitud: )4600

( 20)(x

xxC ; ;0 Dom

b)

)(limy )(lim0

xCxCxx

.

Cuando x se hace muy pequeño o muy grande, el costo crece indefinidamente.

46. a) Continua en 3 ,1 xx

b) Continua en 1,1 xx , discontinua en 0x

c) Continua en 0x , discontinua en 3 x .

47. Si f es continua en R, entonces: 8

21y

8

1 ba

48. b) Debe producir 4 unidades

c) Puede producir 6 artículos ó 2 unidades

49. a) 2

3

b)

c) 36 50. 2c 51. a) 22/3

b) 2/81

52. a)

12

120

,129

,10)(

x

x

x

xxU

c) 324,75 soles

53. 3;22; Dom , 2y AHD, 2y AHI, 3x AV

54. a) 2000)25( C . Confiscar 25% de los CD piratas cuesta s/ 2000000

b) 100;0)( CDom 100x AV

c) Cuesta demasiado confiscar el 100% de los CD piratas

55. El dominio es 2;44; .

56. 6)(lim1

xfx

57.

4

40

43

4)(

x

x

x

xxC

21

CONTENIDO

1. Derivada de una función y reglas de derivación 2. Interpretación geométrica de la derivada 3. Reglas de la cadena 4. Derivadas de orden superior 5. Derivación implícita 6. Miscelánea


22

Grupo 1: Derivada de una función y Reglas de derivación

1. Usando la definición de derivada, halle la derivada que se indica:

a) )4(;35)( 2 fxxxf b) )5(;12)( fxxf

c) )1(;3

1)( f

xxf

d) )2(;

1)(

2

fx

xxf

2. Halle la primera derivada de las siguientes funciones:

a) 10232

)( 34

xxx

xf b) 6

3)(

2 xxxf

c) 4

2

2

1

)2(

4)(

33

xxxf d)

xxxf

4)(

e) 4

3

4

592)(

x

xxxf

f)

xx

xxf

5

45

17

3)( 3

4

g)

xx

xxxxf

3

25

84)( 3

2

5 h) 3 2

3 48

3

74)( x

xxf

i)

1

4)1()(

3

2

xxxf j)

3

2

4

)2()4()(

x

xxxxf

3. Halle la primera derivada de las siguientes funciones:

a) )54()23()( 2 xxxxf b) )23)(12()( xxxxf

c) )12)(14()( 23 xxxf d) )1)(1()( 2 xxxxf

e) 12

3)(

2

x

xxxf f)

221

73)(

x

axf

g) 12

)1()(

2

x

xxxf h)

2)2(

1)(

x

xxf

i) 2

1)(

2

2

xx

xxf j)

2

23)(

2

3

x

xxxf

4. En cada caso, use la fórmula apropiada para hallar )(xf .

a) )14()12()( 4 xxxf b) 342 )23()3()( xxxf

c) )5()1()( 332 xxxf d) )15()1(30

1)( 5 xxxf

e)

32

1

1)(

x

xxxf f)

tttg

3

22)(


23

g)

1

22

3

1)( 2

2

3

xx

x

xxf h) 4

2

2

4

3)(

x

xxf

i) 3 43 23)( xxg j) 135

12)( 2

x

x

xxf

k) 43

64)(

2

xx

xxf l)

4)(

2

x

xxf

Grupo 2: Interpretación Geométrica de la derivada 5. En cada caso, halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función dada,

en el punto cuya abscisa se indica.

a) 4

8)(

2

xxf , en 2x

b) x

xxxf

13)(

2 , en 1x

c) 3

7)(

2

xxf , en 3x

d) 42

23)(

2

x

xxxf en 3x

6. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 32 2 xy que sea paralela a la recta

038 yx .

7. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 2

3

12 xy que sea perpendicular a la recta

0 yx .

8. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva xxy 33 que sea perpendicular a la recta

09182 yx .

9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva )463(3

1 23 xxxy que sea paralela a la

recta 032 yx .

Grupo 3: Regla de la cadena 10. Utilice la regla de la cadena y halle la derivada que se indica.

a) 2tdt

dy si

22

2

x

xy ,

1

1

t

tx b)

3xdx

dz si 552 uuz ,

1

1

x

xu

c) 5xdx

dy si

1

12

2

u

uy ,

3 2 2 xu d) 2xdx

dy si

3 2

1

u

uy

, 52 xxu


24

11. La ecuación de demanda de cierta mercancía es 36000xp , si se demandan x unidades por

semana cuando el precio unitario es p dólares. Se espera que transcurridas t semanas, el precio

sea 314830 tp . Halle 8tdt

dx.

12. La demanda de cierta marca de refrigeradoras está dada por 10

500)(2p

pD refrigeradoras por

mes, donde p es el precio unitario en dólares. Se sabe que el precio en términos del costo está

dado por 4602 cp , donde c es el costo unitario en dólares. Halle 400cdc

dD.

Grupo 4: Derivadas de orden superior 13. Halle las derivadas que se indican:

a) )1(f si 12)( 3 xxxf

b) )0(f si 1

)(2

x

xxf

c) )2(f si 4

4)(

2

x

xxf

d) )4(f si x

xxf1

)(

e) )4(f si xxxxf 5)( 2

Grupo 5: Derivación Implícita

14. Usando derivación implícita halle y .

a) 4094 22 yx b) 4 yx

c) 5332 xxyyx d) xyx

233

e) 923 33 xyyx f) 225yxxy

15. La ecuación de una curva está dada implícitamente por 522 22 yxyx . Halle y y determine

los puntos de la curva donde la recta tangente es paralela a la recta 01612 yx

16. Halle la ecuación de la recta normal a la curva yx

xyyxy

2

2542

2

3

, en el punto )2,1(P .

17. La ecuación de una curva es kyxxy 223 , donde k es una constante.

a) Determine k sabiendo que la recta 0443 yx es paralela a la recta tangente en el punto

de ordenada 1y .

b) Halle la ecuación de la tangente.


25

Grupo 6: Miscelánea

18. Use la fórmula apropiada para hallar )(xf en cada caso.

a) x

xxxf

532)(

32

b) 22

33

4

5)(

x

xxf

c)

32

3 21)1()(

xxxxxf

d) 42

3

x

xxf

e) 3 22 )3()( xxf

f) 3

322

)3(

1)( x

xxf

19. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función 214

10)(

xxf

en el

punto de abscisa 4x .

20. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 43 2 xy que sea paralela a la recta

043 yx .

21. Encuentre los puntos sobre la curva 123 xxxy , donde la tangente es horizontal.

22. La curva con ecuación 242 5 xxy se llama Kámpila de Eudoxo. Encuentre una ecuación de la

recta tangente a dicha curva en el punto A(1; 2).

23. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 483)( 2 xxxf que sea paralela

a la recta 062: yxL .

24. Utilice la regla de la cadena y halle la derivada que se indica.

a) 2vdv

dw si 213 xw ,

21 vx

b) 1xdx

dy si 13,452 32 xuuuy

c) 2vdv

ds si .

3

3,2 2

v

vzzs

25. Se ha determinado que m trabajadores, producen 2/3122 mmq unidades de un producto

diariamente. El ingreso total está dado por q

qr

30001

50

. Halle

12mdm

dr.


26

26. La función demanda para cierto artículo es )(xDp , donde x representa la cantidad de

productos que se demandan al precio unitario p en cientos de dólares. Además se conoce que x y

p satisfacen la igualdad 39444 22 px .

a) Determine el precio unitario cuando se demandan 10 unidades.

b) Calcule 10xdx

dp

27. La ecuación de demanda de jabones está dada por 2

640)(

ppD jabones por semana cuando el

precio unitario del jabón es de p soles. Se estima que dentro de t semanas el precio del jabón

estará dado por 08,208,002,0)( 2 tttp . Halle 8tdt

dD.

28. Usando derivación implícita, halle y :

a) 223 4 xyxyyx

b) 44532 yx

c) 222 22 xyxy

d) 33

2

yxxyy

x

e) yxxy 2

f) xyyx 100)(3 222

29. La ecuación de una curva es xxxyyx 724 232 . Halle las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la curva en el punto )1;1(P .

30. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 01862 22 yxyx en el

punto de abscisa 1x .

31. La ecuación de una curva es 442 23

2

xyyx

y

x. Halle la ecuación de la recta tangente en el

punto )2;3(P .

32. Si 2161)( xxxh , halle )3(h .

33. Si

4

4)(

2

3

x

xxxg y )()( xgxh , halle la derivada de )(xh expresada en su forma más

simple.


27


1. a) 19 b) 1/3

c) 16/1 d) 8/9

2. a) 292)(' 23 xxxf b) 2

1

3

1)(' xxf

c) 3 44

6

1

2

3)('

xxxf d)

5

6)('

xxf

e) 5

3

4

20272)('

x

xxxf

f)

2/3

22/9

170

681275120)(

x

xxxf

g) 2/5

3/77

6

22572132)(

x

xxxxf

h)

3/7

2

9

4828)(

x

xxf

i) 4

25 1242)(

x

xxxf

j)

32

83)(

x

xxf

3. a) 15424)(' 2 xxxf b) 2218)(' 2 xxxf

c) xxxxf 41240)(' 24 d) xx

xxf 22

3

2

7)('

2/12/5

e) 2

2

12

322)(

x

xxxf f)

2221

)73(4)(

x

axxf

g) 2

23

12

134)(

x

xxxf h)

32)(

x

xxf

i) 2

2

1)(

xxf j)

22

24

2

649)(

x

xxxxf

4. a) )110()12(4)(' 3 xxxf

b) )271633()23()3()(' 2232 xxxxxf

c) )52()1(3)(' 32/12 xxxxxf

d) 4)1()(' xxxf

e) 3

222

1

)2()1(3)('

x

xxxxxf

f) 36

13)(

t

ttg

g) 22

2246

3

6629316)(

x

xxxxxxf


28

h)

4/3

2

2

22 4

3

42

7)('

x

x

x

xxf

i) 3 32 2312)( xxxg

j) 2

23

5

9309312)(

x

xxxxf

k) 32 )43(

7)('

xxxf

l)

2/1

222

2

442

)4()('

x

x

x

xxf

5. a) )2(2

11 xy )2(21 xy

b) )1(23 xy )1(2

13

xy

c) )3(4

1

3

4 xy )3(4

3

4 xy

d) )3(16

232 xy )3(

23

162 xy

6. )2(811 xy

7.

2

31

4

5xy

8. )2(92 xy ó )2(92 xy

9. xy 23

4 ó )2(24 xy

10. a) – 24/121 b) – 9/2

c) 2/45 d) – 5/3

11. 48

tdt

dx

12. 5400

cdc

dD.

13. a) 23/32 b) 0 c) –1/4

d) – 1/128 e) 15/2


29

14. a) y

xy

9

4 b)

x

yy

c) 22

3

3

23

xyx

yxyy

d)

2

22

3

)32(

x

yxy

e) 23

23

63

92

xyx

yxyy

f)

yyx

yxxy

25

5245

54

15. xy

xyy

2 Puntos: )1,3(,)1,3(

16. )1(23

122 xy

17. a) 3k b) 24

31 xy

18. a) )5(2

1530612)(

33

235

xx

xxxxf b)

32

2423

4

203655)(

x

xxxxxf

c) 4

24 62)(

x

xxxxf

d)

22

24

4

12)(

x

xxxf

e) 3 2

34

3)(

x

xxf f)

3 2

31

42 23

6)(

xx

xxf

19. LT : )4(205 xy LN: )4(20

15 xy

20. )2

1(3

4

13 xy

21. Puntos: )0,1(P y ),(2732

31Q

22. )1(2

92 xy

23. )(2135 xy

24. a) 4022

vdv

dw

b) 1171

xdx

dy

c) 1202

vdv

ds


30

25. 75,16712

mdm

dr

26. a) El precio unitario es de 3100 dólares

b) 080645,062

5

10

xdx

dp

27. 88

tdt

dD

28. a) 18

324'

3

22

xyx

yxxyy

b)

332

5

3

y

xy

c) 24

24

xy

xyxy

d) 432

322

523

23

yyxxy

yxyxy

e)

xx

xyyy

4

f) xyyx

xyxyy

2533

332532

23

29. )1(14

51: xyLT )1(

5

141: xyLN

30. En )2;1( TL : )1(5

82 xy )1(

8

52: xyLN

En )8;1( TL : )1(5

228

xy )1(

22

58: xyLN

31. )3(10

192 xy

32. 15

4)3( h

33. 2/9

5

16

15560)(

x

xxh

31

CONTENIDO

1. Razón de Cambio 2. Análisis Marginal 3. Regla de L’ Hôpital 4. Diferenciales 5. Gráfica de funciones 6. Problemas de optimización 7. Miscelánea


32

Grupo 1: Razón de Cambio

1. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía, en miles de soles, t años después de su

formación en enero de 2001, fueron 241410 2 tt .

a) ¿A qué razón aumentaron las ganancias brutas de la Cía. en enero de 2007?

b) ¿Cuánto aumentaron realmente las ganancias brutas para enero de 2008 con respecto a enero de 2007?

2. Dentro de t años, el tiraje de un periódico local será de 5000400100)( 2 tttC ejemplares

a) Halle la expresión que permita obtener el ritmo al que estará cambiando el tiraje dentro de t años.

b) ¿A qué ritmo estará cambiando el tiraje dentro de 5 años? ¿Estará creciendo o decreciendo? 3. Un estudio de productividad sobre el turno matinal de cierta fábrica indica que un trabajador

promedio que llega al trabajo a las 8:00 am habrá ensamblado xxxxP 156)( 23 radios x

horas después.

a) Obtenga una fórmula para encontrar la velocidad a la cual el trabajador ensambla radios después de x horas.

b) ¿A qué ritmo estará ensamblando radios el trabajador a las 10:00 am?

c) ¿Cuántas radios ensamblará exactamente entre las 10:00 am y las 11:00 am?

4. Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad será 1

620)(

ttP miles de

habitantes.

a) ¿Cuál es la fórmula para hallar la razón a la cual cambiará la población con respecto al tiempo, dentro de t años?

b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año?

c) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el segundo año?

d) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo plazo?

5. Se proyecta que dentro de x meses, la población de cierto pueblo será 500042)( 3 xxxP

habitantes. ¿A qué razón cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses? 6. La cantidad demandada de cierta marca de televisores es n y se relaciona con el precio p (en

dólares) de cada televisor mediante la ecuación 20006105

8pn . Se estima que dentro de t

meses, el precio de un televisor estará dado por ,200

82

1

400

t

p .240 t

a) Halle la razón de cambio de la cantidad demandada de televisores con respecto al tiempo, dentro de 16 meses.

b) Interprete el resultado obtenido.


33

Grupo 2: Análisis Marginal 7. Una compañía determinó que el costo total diario (en dólares) de producción de calculadoras está

dado por 50004008,00001,0)( 23 xxxxC , donde x representa el número de calculadoras

producidas.

a) Halle la función costo marginal.

b) ¿Cuál es el costo marginal cuando x 200, 300, 400 y 600?

c) Interprete los resultados obtenidos. 8. La demanda mensual de cierto tipo de relojes se relaciona con el precio unitario mediante la

ecuación

201,101,0

502

xx

p

donde p está en dólares y x en unidades de millar.

a) ¿Cuál es la función ingreso?

b) Halle la función ingreso marginal.

c) Halle el ingreso marginal cuando 2x e interprete el resultado. 9. Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de un artículo, el costo total será

9834

2

xx

xC dólares y que las x unidades se venderán cuando el precio sea de

xxp2

125)( dólares por unidad. Utilice la función utilidad marginal para calcular la utilidad al

producir la novena unidad. ¿Cuál es la utilidad real al producir la novena unidad?

10. En cierta fábrica, la producción diaria es de 33000 LK unidades, donde K representa la

inversión de capital medida en miles de dólares y L es la fuerza de trabajo medida en horas de trabajo. Supongamos que el capital invertido actualmente es de 400 000 dólares y que se usan cada día 1331 horas de trabajo. Mediante el análisis marginal, estime el efecto que tendrá en la producción diaria una inversión adicional de 1000 dólares en el capital, suponiendo que la fuerza de trabajo no cambia.

11. Un fabricante determina que t trabajadores producirán un total de x unidades de un producto al

día, donde 19

10

2

2

t

tx . Si la ecuación de demanda para el producto es 900)9( xp , determine el

ingreso marginal con respecto al número de trabajadores y calcule el valor correspondiente cuando hay 9 trabajadores. Interprete este resultado.

Grupo 3: Regla de L’Hôpital 12. Aplique la regla de L’Hôpital para calcular los siguientes límites:

a) 38

2lim

2

4 33

1

x

xx

x

b) 16

5541lim

4

3 2

2

x

xxx

x


34

c) 1

3432lim

3 2

23 2

1

x

xx

x

d) 45

13210lim

5

32

1

xx

xxxx

x

e) 1153

34663lim

3 2

32

2

xx

xxx

x

f) 28136

1456lim

33

22

2

xx

xx

x

g) 2

131

18

lim3 53

22

1

xx

xx

x

13. Analice la continuidad de f en 0x si

0,

11

0,3/1

)(

2

5 52

xsix

xx

xsi

xf .

Grupo 4: Diferenciales.

14. La función de demanda de cierto producto está dada por xp 20 , donde p es el precio por

unidad, en dólares, para x unidades. Si en la actualidad se demandan 100 unidades, mediante diferenciales, estime el precio del producto cuando la demanda disminuye a 95 unidades.

15. La ecuación de demanda para un producto es 3

10

xp dólares, donde p es el precio por unidad

cuando hay una demanda de x unidades. Actualmente, hay una demanda de 64 unidades. Utilice diferenciales para aproximar el precio del producto cuando se demanden 67 unidades.

16. Una agencia sanitaria examinó los registros de un grupo de personas que fueron hospitalizadas

con una enfermedad específica. Se descubrió que la proporción total p de los que fueron dados

de alta al final de t días de hospitalización estaba dada por

3

300

3001)(

ttp . Mediante

diferenciales, aproxime el cambio en la proporción de los dados de alta si t cambia de 300 a 305. 17. Después de x horas de haberse realizado un experimento, la cantidad de bacterias presentes en el

ambiente es de 3 2 33)( xxxN millares. Actualmente han transcurrido 8 horas desde que se

realizó el experimento.

a) Mediante diferenciales, estime el número de bacterias que habrá dentro de dos horas.

b) Calcule el número exacto de bacterias que habrá dentro de dos horas.

18. La función costo de cierto fabricante es 10

2400)(3x

xxC dólares, donde x representa el nivel

de producción. Actualmente, el nivel de producción es de 100 unidades.


35

a) Mediante diferenciales, estime el cambio en el costo si el nivel de producción disminuye a 98 unidades.

b) Utilizando la respuesta en a) estime el costo del fabricante cuando el nivel de producción es de 98 unidades.

Grupo 5: Gráfica de Funciones. 19. En los siguientes ejercicios, determine los intervalos de crecimiento, extremos relativos de la

función y esbozar su gráfica mostrando sus asíntotas.

a) 3/22 4)( xxf

b) 3/12 43)( xxxf

c) x

xxf12000

6)( 2

d) 45

)(2

xx

xxh

e) 9

1)(

2

xxf

f) 4

52)(

2

x

xxw

g) 32

12)( xxf

h) 32

35

3)( xxxf

20. Halle los valores máximos y mínimos absolutos (si existen)

a) 54)( 2 xxxf , 13 x

b) 293

)(3

xx

xf , 20 x

c) 15)( 45 xxxf , 50 x

d) 1

)(2

x

xxf ,

212 x

21. Grafique )(xf indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos relativos,

intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

a) 35 53)( xxxf

b) 178)( 24 xxxf

c) 42 1)( xxf

d) xxxf 23)( 32


36

e) x

xxf1

)(

f) 3

)(2

x

xxf

22. Halle las constantes a , b y c de modo que cbxaxxf 2)( tenga un extremo relativo en

)4,2( y además 8)0( f .

Grupo 6: Problemas de Optimización. 23. El costo de producción de x unidades de cierta mercancía es 2000025)( xxC dólares, y su

ecuación de demanda semanal es 500050 px donde p es el precio unitario en dólares.

Determine:

a) La función de utilidad semanal.

b) El número de unidades a producir para maximizar la utilidad. ¿Cuál es el precio que maximiza la utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?

24. Dos artículos A y B se producen en cierta fábrica. El costo total de producción diaria es

yxC 423 2 dólares, cuando se emplean x máquinas para el artículo A, y máquinas para el

artículo B. Si hay 15 máquinas trabajando diariamente, determine cuántas de éstas deben usarse para producir el artículo A y cuántas para el artículo B, a fin de que el costo total sea mínimo.

25. Una lata cerrada de estaño con un volumen de 16 3cm va a tener la forma de un cilindro circular recto. Determine la altura y el radio de la base de dicha lata si se va a usar la mínima cantidad de material en su manufactura.

26. En cierta comunidad, una epidemia se expande, de modo que x meses después de haber brotado,

%P de la población se ha contagiado, donde 22

2

1

30

x

xP

. ¿En cuántos meses se habrá infectado

la mayor parte de la población y qué porcentaje representa?

27. Una agencia de turismo calcula que para vender x paquetes de vacaciones, el precio del paquete

debe ser x21720 dólares El costo para la agencia de x paquetes es 21,01020000 xx dólares.

Halle el número de paquetes que producen una utilidad máxima y la utilidad máxima. 28. Un agricultor desea cercar un campo rectangular con 1000 metros de cerca. Se conoce que un lado

del campo está a lo largo de un arroyo y no requiere cerca.

a) Exprese el área del campo como función de su ancho indicando su dominio.

b) Determine las dimensiones y el área del campo cercado más grande.

29. Sea 2

600)(3x

xxR dólares el ingreso total obtenido por la venta de x televisores.

a) Halle la ecuación de la demanda.

b) Determine la función de ingreso marginal.

c) Calcule el ingreso total máximo absoluto.

d) En un mismo plano cartesiano, trace las curvas de demanda, ingreso total e ingreso marginal.


37

30. Cuando se producen x unidades de cierto artículo, el costo total de fabricación es

7553)( 2 xxxC dólares. ¿En qué nivel de producción será menor el costo medio por unidad?

31. Las tiendas de cierta empresa están ubicadas en los puntos )1;0(A , )1;0( B y )0;3(C . La empresa

piensa construir un centro de abastecimiento en el punto 0;xP donde 30 x . ¿Cuál debe ser el

valor de x si el objetivo de la empresa es minimizar la suma de las distancias de P a los puntos

CBA y, ?

32. Un fabricante puede producir determinado producto a un costo de S/. 2 por unidad. Los

productos se han vendido a S/. 5 cada uno y a este precio los consumidores han comprado 4000 unidades de dicho producto al mes. El fabricante planea aumentar el precio y estima que por cada incremento de S/. 1 se venderán 400 unidades menos al mes. ¿A qué precio deberá vender su producto para maximizar sus utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Grupo 7: Miscelánea. 33. De acuerdo con los estudios realizados, la población de alpacas de cierta comunidad, t años

después del 1 de enero de 2010 será 1

440)(

t

ttP miles de alpacas.

a) ¿Cuál fue la población de alpacas el 1 de enero de 2012?

b) ¿A qué ritmo crecía la población de alpacas el 1 de enero de 2012?

c) Con la información en b) ¿cuál será la población de alpacas estimada el 1 de enero del año 2013?

d) ¿Cuánto crecerá realmente la población de alpacas durante el año 2012? 34. Para producir )(yP unidades de cierto artículo se usan y unidades de determinado insumo de

modo que 15

4)( y

yyP . Se sabe que para preparar y kilogramos del insumo se necesitan t

semanas, obteniéndose 23 5 ty ¿cuál será el ritmo de cambio de la producción con respecto al

tiempo al final de la primera semana?

35. Analice la continuidad de f en 0x y en 3x , si

3,

27

838

3,2

)(

3

2

2

xx

xx

xxx

xf .

36. Halle L de tal modo que f sea continua en 2x si

2,

2,28136

1456)( 33

22

xL

xxx

xxxf .

37. En cierta fábrica, la producción diaria es 3/2300)( LLq unidades, donde L es la fuerza laboral

medida en horas-hombre. En la actualidad, se utilizan 512 horas-hombre cada día. Mediante diferenciales, estime la cantidad adicional de horas-hombre necesarias para incrementar la producción diaria en 12,5 unidades.

38. Se sabe que si una Cía. vende 400 productos, su utilidad es de $ 2400. También se conoce que la

derivada de la utilidad con respecto a la cantidad vendida es 20 cuando 400x . ¿Cuál es la utilidad aproximada que obtendrá la compañía al vender 402 productos?


38

39 Grafique las siguientes funciones, haciendo previamente el análisis completo:

a) 118

2)( x

xxf

b) 3 53 25)( xxxf

c) 32

31

33)( xxxf

d)

2

2

3 4( )

1

xf x

x

e) 2

2 4( )

1

xf x

x

40. Se necesita fabricar 9600 planchas de calamina. La Compañía fabricante posee varias máquinas,

cada una puede producir 30 planchas por hora. El costo de calibrar estas máquinas es de $ 50 por máquina. Una vez puestas en funcionamiento la operación es automatizada y puede dirigirla un solo supervisor que gana $ 10 por hora. Si el material lo proporciona el gobierno central, determine el número de máquinas que debe emplearse con el objeto de minimizar el costo de producción y calcule el costo mínimo.

41. Se desea construir una caja con una pieza cuadrada de cartulina, de 6 cm de lado, cortando

cuadrados iguales en las esquinas y doblando las alas resultantes. Halle las dimensiones de la caja de máximo volumen que pueda construirse.

42. El costo total, en cientos de dólares, de producir x unidades de cierto bien está dado por

362)( xxC . En la actualidad se producen 1000 unidades del bien.

a) Mediante diferenciales, estime la variación del costo si la producción se incrementa en 25 unidades.

b) Mediante diferenciales, estime en cuantas unidades debe disminuirse la producción, para que el costo total disminuya en 100 dólares.


39

RESPUESTAS – UNIDAD 3 1. a) Aumentaban a razón de 2 480 soles por año.

b) Aumentaron en 2 549.95 soles.

2. a) 400200)( ttC

b) Estará creciendo a un ritmo de 1400 ejemplares por año.

3. a) 15123)( 2 xxxP

b) A las 10:00 horas, el trabajador estará ensamblando a una velocidad de 27 radios por hora.

c) Entre las 10:00 y las 11:00 horas, ensamblará 26 radios.

4. a) 2)1(

6)(

ttP

b) La población crecerá a razón de 1 500 habitantes por año.

c) Crecerá en 1 000 habitantes.

d) El crecimiento tiende a cero. 5. La población crecerá a razón de 20 habitantes por mes. 6. a) Dentro de 16 meses, la cantidad demandada de televisores estará aumentando a razón de

12 televisores por mes.

b) Dentro de 17 meses, la cantidad demandada de televisores plasma será de 812 aproximadamente.

7. a) 4016,00003,0)( 2 xxxCmg

b) 20)200( Cmg , 19)300( Cmg 24)400( Cmg 52)600( Cmg

8. 101,0

50)(

2

x

xxI b)

22

2

)101,0(

)1,010(5)(Img

x

xx

c) ...37869,44)2(Img

Si la demanda mensual se incrementa de 2 mil a 3 mil relojes, el ingreso se incrementará en 44 378,69 dólares aproximadamente.

9. Utilizando la utilidad marginal se estima que la utilidad obtenida por la venta de la novena

unidad es aproximadamente 26 dólares y la utilidad real será de 26.25 dólares. 10. La producción diaria aumentará en 825 unidades aproximadamente.

11. 71,10)9(Img unidades monetarias por trabajador.

Interpretación.- Si se contratara al décimo trabajador, el ingreso diario se incrementará en 10.71 u.m. aproximadamente.


40

12. a) 4

13 b)

288

17

c) 4

27 d)

60

1

e) 38

33 f)

45

2

g) 7

3

13. f no es continua en 0x .

14. Para una demanda de 95 unidades el precio de cada unidad será de 25,10 dólares

aproximadamente.

15. El precio aproximado será de 34,2 dólares por unidad.

16. La proporción de los dados de alta aumenta en aproximadamente 320/1 . 17. a) Dentro de 2 horas, habrá 6 944 bacterias aproximadamente

b) Dentro de 2 horas, el número de bacterias aumentará en 910. El número exacto de bacterias será de 6910.

18. a) El costo disminuye en 7 dólares aproximadamente

b) El costo aproximado de producir 98 unidades es de 693 dólares.

19. a) f decrece en: 2; , 2;0 y f crece en: 0;2 , ;2

Valores mín. relativo: 0)2( f , 0)2( f

Valor máx. relativo 3 16)0( f

b) f decrece en: 2/3; y f crece en: ;2/3

Valor mín. relativo ...84,1)2/3( f

c) f decrece en: 0; , 10;0 y f crece en: ;10

A.V. 0x

Valor mín. relativo 1800)10( f

d) h decrece en: 2; , 4;2 , ;4 y h crece en: 1;2 , 2;1

A.H. 0y

A.V. 1x 4x

Valor mín. relativo 9

1)2( h

Valor máx. relativo 1)2( h


41

e) f decrece en: ;0 y f crece en: 0;

A.H. 0y

Valor máx. abs. 9/1)0( f

f) w crece en: 2;4 , 1;2 y w decrece en: 4; , 2;1 , ;2

A.H. 0y

A.V. 2x 2x

Valor máx. relativo 1)1( w

Valor. mín relativo 4/1)4( w

g) f decrece en: 1; y f crece en: ;1

Valor mín. relativo 2)1( f

h) f decrece en: 5/6;0 y f crece en: 0; , ;5/6

Valor mín. relativo ...03,2)5/6( f

Valor máx. relativo 0)0( f

20. a) Valor mín. abs. 1)2( f

Valor máx. abs. 10)1( f

b) Valor mín. abs. 3/40)2( f


c) Valor mín. abs. 255)4( f

Valor máx. abs. 1)5()0( ff

d) Valor mín. abs. 3

4)2( f


21. a) f decrece en: 1;1 y f crece en: 1; , ;1

Valor mínimo relativo: 21 f

Valor máximo relativo: 21 f

f es cóncava hacia arriba en: 0;2/1 , ;2/1

f es cóncava hacia abajo en: 2/1; , 2/1;0

Puntos de inflexión: ..23,1;2/1P , 0;0Q , ..23,1;2/1 R


42

b) f decrece en: 2; , 2;0 y f crece en: 0;2 , ;2

Valor mínimo relativo: 12 f , 12 f


f es cóncava hacia arriba en: 3/2; , ;3/2

f es cóncava hacia abajo en: 3/2;3/2

Punto de inflexión: 9/73;3/2P , 9/73;3/2Q

c) f decrece en: 1; , 1;0 y f crece en: 0;1 , ;1

Valor mínimo relativo: 01 f , 01 f


f es cóncava hacia arriba en: 7/1; , ;7/1

f es cóncava hacia abajo en: 7/1;7/1

Puntos de inflexión: 2401/1296;7/1P , 2401/1296;7/1Q

d) f decrece en: 0; , ;1 y f crece en: 1;0



f es cóncava hacia abajo en: 0; , ;0

No existe punto de inflexión

e) f decrece en: 0;1 , 1;0 y f crece en: 1; , ;1



f es cóncava hacia arriba en: ;0

f es cóncava hacia abajo en: 0;

No existe punto de inflexión.

Asíntota vertical: 0x

f) f decrece en: 3;6 , 0;3 y f crece en: 6; , ;0








43

22. 1a , 4b y 8c

23. a) 000207550

)(2

xx

xU

b) Se obtendrá la utilidad máxima de 50312,50 dólares cuando se produzcan 1875 unidades, que deben venderse al precio unitario de 62,50 dólares.

24. Para obtener costo mínimo deberán dedicarse 7 máquinas para producir A y 8 máquinas para

producir B. 25. Para minimizar la cantidad de material, la lata deberá tener cmr 2 y cmh 4 .

26. La mayor parte de la población se habrá infectado en 1 mes y esto equivale a 7,5% de la

población 27. La utilidad máxima de $ 364 750 será alcanzada si la agencia logra vender 450 paquetes de

vacaciones. 28. b) Las dimensiones del campo son 250m de ancho y 500m de largo.

29. a) 2

6002x

p

b) 2

2

3600)(Img xx

c) El ingreso máximo es 8000 dólares. 30. El costo medio por unidad es menor cuando se producen 5 artículos.

31. Debe ser 3/1x

32. Deberá vender a S/. 8,50 la unidad y obtendrá una utilidad máxima de s/. 16900 33. a) Será de 28 mil alpacas

b) Crecerá a un ritmo de 4 mil alpacas por año.

c) Habrá 32 mil alpacas aproximadamente

d) Crecerá realmente en 3 mil alpacas 34. Al final de la primera semana, la producción estará aumentando al ritmo de 63 unidades por

semana. 35. f es continua en 0x y es discontinua en 3x .

36. 45/2L 37. Deberá aumentarse en 2/1 hora – hombre.

38. La utilidad aproximada será 4402$)402( U


44

39. a) f decrece en: 0;3 , 3;0 y f crece en: 3; , ;3







b) f decrece en: 0; , ;2 y f crece en: 2;0


Valor máximo relativo: ...76,4432 3 f

f es cóncava hacia arriba en: 1;

f es cóncava hacia abajo en: 0;1 , ;0

Punto de inflexión: )6;1(P

c) f decrece en: 3;1 y f crece en: 1; , ;3

3/13/2 )3()3(

1)(

xx

xxf


Valor máximo relativo: ...17,3321 3 f

f es cóncava hacia arriba en: 3;

f es cóncava hacia abajo en: 3;3 ;3

3/43/5 )3()3(

8)(

xxxf

Punto de inflexión: )0;3(P

d) Asíntota horizontal y= -3

Asíntotas verticales: 1; 1x x

f crece en: ; 1 , , 1;0

f decrece en: 0;1 , 1;

Valor máximo relativo: 0 4f

f es cóncava hacia arriba en ; 1 ; 1;

f es cóncava hacia abajo en: 1;1


45

e) Asíntotas horizontales: y=2 ; y= -2

Asíntotas verticales: 1; 1x x

f crece en: ; 1

f decrece en: 1;

No existen extremos relativos

f es cóncava hacia arriba en ; 1 , 1;

40. Para obtener el costo mínimo de $ 800, deberán utilizarse 8 máquinas. 41. Las dimensiones deberán ser largo = ancho = 4 cm. y altura = 1 cm. 42. a) El costo se incrementa en $ 50, aproximadamente

b) La producción debe disminuir en 50 unidades, aproximadamente

46

CONTENIDO

1. Funciones logarítmicas y exponenciales 2. Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas 3. Gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas 4. Aplicaciones 5. Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas

inversas


47

Grupo 1: Funciones logarítmicas y exponenciales

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) )2ln( xxf b) )16ln( 4 xxf

c) )4(log 22 xxf d) 1)4(log 2

3 xxxf

e)

3

1ln

x

xxf f) )4ln( 3 xxxf

2. Exprese cada una de las formas dadas como un solo logaritmo.

a) xx ln1ln2 b) xx ln29ln2

1

c) xxx ln43ln3ln d) 1ln1

ln1

ln 2

x

x

x

x

x

e) 1log2log 22 xx f) 4lnln3ln231 2 xxx

3. Use las propiedades de los logaritmos para desarrollar las expresiones.

a)

3 2 5ln xx b) 3

2ln tt

c)

2

1ln

x

x d)

3

23

2ln

x

xx

e)

3

32

1

1ln

x

xx f)

3

24

2

1ln

x

xx

4. Determine los valores de las expresiones dadas (no utilice calculadora).

a) 5ln2ln3 e b) 4

43

32 4log3log2log

c)

55ln55lnlog 333 ee

5. En los siguientes ejercicios, halle el valor de x .

a)

5ln

x

e b) 910log2

x

c) 21ln x d) x321

2log

e) 3log4log2log2 555 xx f) 124 3 x

g) 145log2log3log xxx h) 6log3log 33 xx

i)

653loglog 55

x j) 432

416 xx


48

Grupo 2. Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas 6. Halle la derivada de:

a) xxxf 3ln 2

b) 2/1

1ln

x

xxf

c)

4

2 13log

x

xxf

d) 3logxxf

e) 1

1log

2

2

x

xxf

f) 1

11ln

2

2

xxxf

g)

1ln 2xxxf

h) 2

ln

x

xxg

i) 32 2log xxg

j) xxh 2log

k) xexf 1

l) xx xxxf 32 32

m) xe

xxg

3

2 2

n) xx

xx

ee

eexf

ñ) 1210 xxf

o) xx eaxf

p)

x

xxf

29ln

q) 1

1ln2

2

x

xxxxf


49

7. En las siguientes ecuaciones, por derivación implícita, halle dx

dy.

a) 3xye xy b) 2log xyye y

c) 2lnln xy d) yx

eyx 2

e) 305log3 xxy f) y

xyx2

8. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función dada, en el

punto indicado.

a) 1ln xy , en 0; 2

b) xexy 1 en 1;0

c) xxy ln , en 0; 1

d) 22ln1 yxyx , en 0; 1

e) 122 xyxeey

yx , en 1; 0

f) 41ln22 xyx , en 2;0

g) 22)ln( xxy yxe , en )1;0(P

9. Aplicando la regla de L’Hôpital, calcule el límite indicado.

a)

1

lnlim

11 xx e

x

b) 2

3

0 3

1lim

xx

e x

x

c)

2

1lnlim

2

x

x

x

d) 3

32

43

75lim

xx

xx

x

e) x

x

x ex

e

1lim

f)

xxex

xxx

xx

23

2

0 3

1lnlim

g)

xe xx

1

1

1lim

0

h)

x

x

xx ln1

1lim

1

i) xxx

lnlim0


50

j) x

xex

2lim

k)

xx

x

xxe x

x

23

29

2ln355

lim3

22

1

l) 12)1ln(

858lim

3

0

x

x

x x

xe

Grupo 3. Gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas 10. Trace la gráfica de la función dada, efectuando el análisis completo.

a) xxf ln b) xxf 2ln

c) 3ln2 xxf d) xxf 1ln3

e)

x

xxf

2ln f) xxxf 3ln

g) x

xxf

ln h) 1ln 2 xxf

i) xxf 2181 j) xexf 23

k) xe

xf

1

4 l) xexf 25

m) xexxf 2 n) x

exf

x

Grupo 4: Aplicaciones

11. La ecuación de oferta de cierta mercancía es xp 1ln20 , donde se ofrecen x unidades

cuando el precio unitario es p dólares.

a) Trace la curva de oferta.

b) Calcule el precio al cual se ofrecerían 10 unidades. 12. El número y de transacciones comerciales (en millones de nuevos soles) en la Bolsa de Valores

de Lima desde 2002 hasta 2014 puede ser modelado por tey 1802,032450 , donde t representa el

número de años después de 2002.

a) Grafique la función y .

b) ¿A qué ritmo o velocidad cambiará el número de transacciones comerciales en el 2010?

13. La ecuación de oferta de cierta mercancía es 60ln20 2 xp , donde x es la cantidad de

unidades en miles de artículos y p es el precio unitario en cientos de dólares. Usando

diferenciales, determine la variación aproximada en el precio cuando la oferta varía de 10 000 a 12 000 unidades.


51

14. La demanda mensual de cierta marca de perfume está dada por la función de demanda

150100 0002,0 xep , donde x es la cantidad de frascos que se demandan al precio unitario de

p dólares.

a) Halle la razón de cambio del precio por frasco cuando 0001x y cuando 0002x .

b) ¿Cuál es el precio unitario cuando 0001x y cuándo 0002x ?

15. Se estima que si se gastan x miles de dólares en publicidad, se venderán aproximadamente

xexQ 1,04050 miles de unidades de cierto artículo.

a) Trace la gráfica de esta función de ventas.

b) ¿Cuántas unidades se venderán si se gastan $ 8 000 en publicidad?

c) ¿Cuántas unidades se venderán si no se gasta en publicidad?

d) ¿Cuánto debe gastarse en publicidad para generar ventas de 35 000 unidades? 16. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial, t años después de haber sido adquirida, es

4004800 5 tetV .dólares

a) Grafique tV . ¿Qué sucede con tV cuando t crece sin límite?

b) ¿Cuál era el valor de la maquinaria en el momento de su adquisición?

c) ¿Cuál será el valor de la maquinaria 10 años después de haber sido adquirida?

17. Los registros de salud pública indican que t semanas después del brote de una epidemia,

aproximadamente te

tQ2.1764

80

miles de personas habrían contraído la enfermedad. ¿A

qué ritmo se propaga la enfermedad al final de la segunda semana?

18. La demanda de cierto artículo es pepD 01.03000 unidades por mes, cuando el precio de

mercado es p dólares por unidad. Exprese el gasto total mensual de los consumidores como una

función de p y determine el precio que generará el máximo gasto de consumo. 19. Un fabricante puede producir radios a un costo de $ 5 cada uno y calcula que si se venden a x

dólares por unidad, los consumidores comprarán aproximadamente xe 1.01000 radios por

semana. ¿A qué precio debería vender los radios para maximizar la utilidad semanal? ¿Cuál es la utilidad máxima?

20. La ecuación de la demanda de cierto artículo es x

ep01,0

200

, donde x representa la cantidad

de artículos que se demandan al precio unitario de p dólares.

a) Halle la función ingreso

b) Determine el número de unidades que maximiza el ingreso.

c) ¿Cuál es el precio del artículo que maximiza el ingreso y cuál es el ingreso máximo?

21. Los ingresos acumulados de una empresa están dados por tetI 21000)( soles, donde t es el

número de meses transcurridos desde su fundación.

a) ¿Cuáles fueron los ingresos acumulados de la empresa después de un mes y medio de su fundación?


52

b) ¿Después de cuántos meses, los ingresos acumulados de la empresa fueron S/. 148 413?

c) ¿A qué ritmo aumentaban los ingresos acumulados de la empresa después de 2 meses de su fundación?

d) Interprete la respuesta obtenida en c).

Grupo 5: Derivada de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas. 22. En los ejercicios siguientes encontrar la derivada de la función dada

a) xxf 4cos12 b) xxxf 2cos3sen

c)

xxxf

2sen3 2 d)

x

xxf

3

65cot

e) 23arctan2 xxxf f) 1tan 2 xxf

g) 34sec2 xxf h) 32sen xxxf

i) x

xxf

tan

sen1 j) xxxxxf cos2sen2 2

k) 3

tan

cos1

x

xxf l) 23tan2 3 xxf

m) x

xxf

3cot n) 23 2csc xxf

ñ) 1

arcsen

x

xxf o) 241ln2arctan

41 xxxxf

p)

xxf

3arctan q)

xxxf

2arcsen2

r)

x

exf

x

2

1sen 3 s) xexf sen

t) xxf lnsen2 u) 21arcsen xxxxf

v)

xxxf

4arcsec

1 w) x

x

xxf arcsen

2

142

2

x) xxxf tansecln y)

x

exf

xarctan

.

z) )14arccos(

x

xxf


53

23. Calcule el límite indicado, aplicando la regla de L’Hôpital.

a) x

ex x

x arctan

1senlim

2

0

b) 11lncos

1sen4lim

2

22

0

xx

ex x

x

c) 20

4cos1lim

x

x

x

d) x

x

x

3senlim

0

e) )12ln()2tan(

senlim

2

0

xx

xex x

x

f) x

x

x 5

3tanlim

0

g) 20 3

1tanlim

xx

ex x

x

h)

2arctan

6arcsen

lim0 x

x

x

i) x

xx

x 10

arctan5senlim

0

j) xx

xx

x arcsen

arctan-lim

0

k) x

x

x 4arctan

)1sen ln(lim

0

l)

x

x

x2

cos1lnlim

2

m) )ln(cos

tanlim

0 x

x

x

n) )2(csc

)7(csclim

x

x

x

ñ) )3ln(

2lim

xx ex

x

o)

xx

x 2sen

1lim

22


54


1. a) ; 2 b) ; 22;

c) 2; 2 d) ; 2

e) ,13, f) ; 20; 2 .

2. a)

x

x2

1ln b)

2

9ln

x

x

c)

3

3ln

4

x

xx d) 1ln2 x

e)

1

2log2

x

x f)

3

2

2

4

3ln

x

xx.

3. a) 5lnln23

1 xx b) 2ln3ln tt

c) 1ln2ln2

1 xx d) 3ln22lnln3 xxx

e) 1ln31lnln231 xxx f) 2ln1ln2ln4

3

1 xxx .

4. a) b) c)

5. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j)

6. a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

8

9

12

71

5

13 12 e

5 8 23log4

4 3 2

8

xx

xxf

3

322

xxxf

12

1

10ln)3(

463

2

xx

xxf

10ln

)log(3)(

2

x

xxf

10ln)1(

24x

xxf

22

2

1

22

x

xxxf

1

122

2

xx

xxf

3

ln21´

x

xxg


55

i) j)

k) l)

m) n)

ñ) o)

p) q)

7. a) b)

c) d)

e) f)

8. a) Recta tangente: , Recta normal:

b) Recta tangente: , Recta normal:

c) Recta tangente: , Recta normal:

d) Recta tangente: , Recta normal:

e) Recta tangente: Recta normal:

f) Recta tangente: , Recta normal:

g) Recta tangente: Recta normal:

9. a) 1 b) 1 c) ½

d) e) 1 f)

g) h) i) 0

j) 0 k) l)

10ln)2(

62

´

x

xxg

2ln2log

1

2 xxxh

x

x

e

exf

12

)( 3ln332ln22 2 xxxxxf xx

xe

xxxg

3

2362´

24

xx ee

xf

10ln

1

102

2 1

x

xxf x aeaxf xx ln1

9

92

xxxf

23

12

2

x

xxf

2

2

3yex

eyy

dx

dyxy

xy

10ln

12

2

yxye

y

dx

dy

y

x

xy

dx

dy ln2

yx

yx

xey

yye

dx

dy

3

2

2

x

xy

dx

dy )3ln51(

)2ln1(2

2ln21 2

xy

y

dx

dyxy

yx

2 xy 2 yx

12 xy 22 yx

1 xy 1 yx

1 xy 1 yx

xey 11 2 xe

y1

11

2

xy4

12 xy 42

xy )2ln2(1 xy )2ln2(1

4/7 9/1

2/1 2/3

49

132

2ln1

29


56

11. a) Dom( f ) =

b) Las 10 unidades se ofrecerán al precio unitario de 22,40 dólares 12. b) En el año 2010, el número de transacciones comerciales aumenta a razón de 24 720

transacciones por año. 13. Cuando la oferta varíe de 10 000 a 12 000 unidades, el precio variará en 25 dólares

aproximadamente.

14. a)

b) dólares

dólares

15. a) Dom( ) = , Asíntota horizontal:

b) Si se gastan $ 8 000 en publicidad, se venderán unidades.

c) Si no se gasta en publicidad, sólo se venderán mil unidades.

d) Para generar ventas de 35 000 unidades, se debe gastar 9 808,29 dólares en publicidad.

16. a) Dom( ) = , Asíntota horizontal:

Cuando t crece sin límite, el valor de reventa se aproxima a 400 dólares.

b) La maquinaria se adquirió a un precio de dólares.

c) 10 años después de haber sido adquirida, la maquinaria costará dólares.

17. Al final de la segunda semana, la enfermedad se propaga a un ritmo de personas por

semana.

18. Gasto total de los consumidores es dólares.

El máximo gasto de consumo se obtendrá cuando el precio sea de dólares.

19. Para maximizar la utilidad semanal, cada radio debe venderse a 15 dólares. La utilidad máxima

es de 2 231,30 dólares.

20. a) dólares.

b) El ingreso es máximo, cuando se demanden 100 unidades.

c) El precio unitario de dólares maximiza el ingreso. El ingreso máximo es de

dólares.

,0

0164,01000 xdx

dp

0134,02000 xdx

dp

87,2311000 )(p

03,2172000 )(p

Q ,0 50y

02632

10

V ,0 400y

2005

61,0491

5785

peppG

001.03000

100

xexx 01,0200I

58,73 3587


57

21. a)

Después de un mes y medio de su fundación, los ingresos acumulados de la empresa fueron S/. 20 085,53.

b)

Después de 2 meses y medio (aprox.) de su fundación, los ingresos acumulados de la empresa fueron S/. 148 413.

c)

Después de 2 meses de su fundación, los ingresos acumulados de la empresa aumentaban a un ritmo de S/. 109 196,30 soles por mes.

d) Durante el tercer mes, los ingresos de la empresa fueron S/. 109 196,30 aproximadamente.

22. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

o)

...536,085201000)5,1( 3 eI

...499,22

)413,148ln(1000148413 2 te t

...30,1961092000)2(2000)( 42 eIetI t

xxf 4sen48

xxxxxf 2sen3sen22cos3cos3

xxxxf 2cos2sen6

2

2

3

65cot65csc5

x

xxxxf

4

22

91

123arctan2

x

xxxf

1sec)2()( 22 xxxf

332 4tan4sec24 xxxxf

xxxxxf 2cos)sen(3)( 22

x

xxxxf

2

2

tan

secsen1sen

xxxf sen2

xxxx

xf x cos1csccos

tan

cos13 2

2

23sec23tan18 22 xxxf

x

xx

xxxxf

3cot2

3cot3csc3

2

2

2232cot2csc12 xxxxf

22 )1(

arcsen

1)1(

1)(

x

x

xx

xf

xxf 2arctan


58

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

23. a) 1 b) 2

c) 8 d) 3

e) 1/2 f) 3/5

g) 2/3 h) 1/3

i) 3/5 j) − 2

k) 1/4 l) − 1/2

m) − n) 2/7

ñ) 2 o) 1/4

)/3arctan92

32 xx

xf

2

41

2)2(arcsen)2()(

x

xxxf

2

333

2

)1(sen)1cos()3()(

x

eeexxf

xxx

xexxf sen)(cos)(

x

xxxf

lncoslnsen2

212 xxf

22

16

1)4sec(arc

xxx

xxf

223

2

12

1

4

8

xxx

xxf

xxf sec

22

2arctan

1

1

xx

xxexf x

)14(arccos)14(1

4)14arccos)14(1

22

2

xx

xx(xxf

59

CONTENIDO

1. Integral indefinida 2. Aplicaciones 3. Integral definida 4. Aplicaciones de la integral definida 5. Integral impropia con límites infinitos 6. Integrales que contienen funciones cuadráticas 7. Integración por descomposición en fracciones parciales 8. Integración de funciones con exponentes fraccionarios


60

Grupo 1: Integral Indefinida 1. Halle las siguientes integrales:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

2. Usando una sustitución adecuada, determine las siguientes integrales:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

dxx

xx )53

4(24

5 7

24 3

dxx

xx

dx

xx

25

2

dxx29

4

dxx

xxx

3

2545 243 2

dx

ee

eexx

xx

2

3

44

77

dxe

eeex

xxx

2

36

5

34

dx

x

xx

6

252

dt

t

t2

5

32

dx

ex

exe

x

xx

)4(

)4(5

2

22

dxx

x

5

123 dxxx 2232

dx

xx

10

3

145

dx

x

x3 14

2

dxxx 35 93 dxxx )13(sen)13cos(

dxx

x1

cos2 dxx x

cosln2)(tan

dxx

x

)5(sen

)5cos(2

xx

dx2ln47

5

dxex x3427 dx

x

e x

5

4 3

dx

x

x64

3

747

5

2

311

x

dx

x

dz

zz

z

43

692

dxx

x

)3(sen45

)3cos(7

dxx

e x

2

/11 dxxxx 5 2 833510

dx

x

x

3 2

3

765

4

dxx

x

sen66

cos5 2


61

u) v)

x) z)

3. Usando integración por partes, determine las siguientes integrales:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

o) p)

Grupo 2: Aplicaciones

4. La función del ingreso marginal de cierta mercancía está dada por , donde es el

número de unidades demandadas al precio unitario de dólares. Obténgase:

a) La función del ingreso total

b) La ecuación de la demanda.

5. Para cierto producto la función de costo marginal está dada por . Si el costo

de producción de 6 unidades es 70 unidades monetarias, halle la función de costo total. 6. La utilidad marginal de cierta compañía es dólares por unidad, cuando se producen

unidades. Si la utilidad de la compañía es de $ 700 cuando se producen 10 unidades, ¿cuál será su máxima utilidad posible?

7. Se estima que dentro de años, el valor de un acre de terreno cultivable aumentará a razón de

dólares por año. Si en la actualidad un acre vale $500, ¿cuánto costará dentro de

10 años?

8. El costo marginal de una empresa es dólares por unidad, donde representa el

número de unidades producidas.

dx

x

x

216

9

dx

x

x

21

32

dxx

x27

)/5cos(3dx

x

xx

4

2

16

4

dxex x25 dxexx x42 )54(

dxex x23 dxx x2)13(

dxxx )3cos()85( dxxxx )2(sen)423( 2

dxxx 2sec)54( dxx)3ln(

xdxxx ln)7(3 2

dxxxx )4(log)543( 52

dxx )1( log 2 dx2

ln(x)

dxx

1arctan dxxarcsen

dxe x dxe x3

xx 312)(Img x

p

423)( xxCmg

q2100 q

x

10082.0

8.0

4

3

x

x

66

)( CMg x

x x


62

a) Halle la función costo total sabiendo que el costo de producir 6 unidades es de 87 dólares.

b) Si cada unidad se vende a 30 dólares, halle la función utilidad.

c) Calcule la utilidad máxima.

9. La función de oferta de cierto producto es , donde representa el número de unidades

ofertadas al precio de dólares.

a) Si y , halle .

b) ¿Qué sucede con el precio cuando la cantidad de unidades producidas crece indefinidamente?

c) Trace la gráfica d la función oferta.

10. Se estima que dentro de años, la población de cierta ciudad cambiará a razón de personas por año. Si la población actual es de 2000 personas ¿Cuál será la población dentro de 4 años?

11. Se estima que dentro de meses la población de cierta ciudad cambiará a razón de personas por mes. Si la población actual es de 10,000 personas, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?

12. Se conoce que el costo marginal es , donde es la cantidad de productos

expresados en cientos de unidades, y el costo está expresado en miles de dólares. Halle la función costo total, sabiendo que el costo de producir 200 unidades del producto es 15,000 dólares.

Grupo 3: Integral Definida

13. Calcule las siguientes integrales definidas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

)(xfp x

p

xexf 26)( 10)0( f )(xf

x232 x

t 3/254 t

24 xCM g x

2

1

2 )52( dxxx 2

1

2 dxe x

0)3( dxxsen

1

0

2 1 dxxx

10

1

log1dx

x

x

1

2 2

1

dxx

e x

3

1 ln1

e

xx

dx

2

12dxxx

2

1

2 ln dxxx 2

0

2 dxxe x


63

Grupo 4: Aplicaciones de la integral definida ÁREA DE UNA REGIÓN 14. En los siguientes ejercicios, dibuje la región limitada por las gráficas de las curvas que se indican y

calcule su área.

a) y el eje

b)

c)

d)

e)

f)

g) y el eje

h) (en el primer cuadrante)

i)

j) y la recta

k) La región se encuentra entre las rectas y , y está limitada por la curva

y la recta .

VALOR ACUMULADO 15. Después de semanas, las contribuciones en respuesta a una campaña local de recaudación de

fondos, llegaban a razón de 2000 dólares por semana. ¿Cuánto dinero se recaudó durante las 5 primeras semanas?

16. Los promotores de una feria de distrito estiman que, si las puertas se abren a las 9:00 a.m.,

horas después los visitantes entrarán a la misma a razón de visitantes por

hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10:00 a.m. y el mediodía?

17. Después de horas en el trabajo, un obrero de una fábrica puede producir unidades

por hora. ¿Cuántas unidades producirá el obrero entre las 10:00 horas y el mediodía, si llega al trabajo a las 8:00 horas?

18. Supóngase que el salario anual de un trabajador, en miles de dólares, está dado por después de años. ¿Cuál será el total de dinero ganado en los primeros cinco

años?

19. Después de horas en el trabajo, un obrero de una fábrica produce unidades

por hora, mientras que un segundo obrero produce unidades por hora. Si ambos

llegan al trabajo a las 8:00 horas, ¿cuántas unidades más habrá producido el primer trabajador hacia el mediodía, con relación al segundo?

xxy 22 x

4,22 xyyx

xyxy ,2

22 2,11 xyxy

22 5,25 xyxy

2,0,ln exyxy

2

1ln,0, xxey x

x

xyxyxy 318,2,2

168,168 22 xyxy

12 24 xxy 09 y

2x 3x

xxy 123 04 yx

ttte 2.0

t

2325424 tt

t tet 5,0100

ttf 6,012)( t

t 21 )1(360)( ttQ

ttQ 550)(2


64

Sugerencia: Grafique y .

20. Suponga que dentro de años un plan de inversión generará utilidades a razón de

dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a razón de

dólares por año.

a) ¿Durante cuántos años el segundo plan será el más rentable?

b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganará si se invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el periodo de tiempo hallado en la pregunta a)?

Sugerencia: Grafique 21. Suponga que cuando tiene años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de

dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de

dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?

b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el periodo de tiempo hallado en a)?

VALOR PROMEDIO 22. Supóngase que el salario anual, en miles de dólares, de un trabajador está dado por

después de años.

a) ¿Cuál es el total de dinero ganado en los primeros 5 años?

b) ¿Cuál es el salario anual promedio de los primeros 5 años?

23. Si aproxima la temperatura horas después del mediodía en un día de

verano típico, hallar la temperatura media para el período entre el mediodía y las 6 p.m. 24. Un automóvil es conducido durante 2 horas de manera que después de horas, su velocidad es de

kilómetros por hora

a) ¿Cuál es su velocidad promedio durante la primera hora?

b) ¿Cuál es la velocidad promedio del auto durante la segunda hora?

c) ¿Cuál es la velocidad promedio del auto durante las primeras 2 horas? 25. Los registros indican que meses después de principios de año, el precio del pollo en los

supermercados locales era dólares por kilo. ¿Cuál fue el precio promedio

del pollo durante los primeros 6 meses del año? 26. Después de meses en el trabajo un empleado postal puede clasificar correo a la razón de

objetos por hora. ¿Cuál es la razón media a la que el empleado clasifica el

correo durante los 3 primeros meses en el trabajo? 27. Los registros indican que meses después del principio de año, el precio de la carne de res de

segunda en los supermercados locales es dólares por kilo ¿Cuál es el

precio promedio de la carne de res de segunda entre el segundo y octavo mes?

)(1 tQ )(2 tQ

x

21 100)( xxR xxR 2220)(2

)(y )( 21 xRxR

x

2100256)( xxR

2150004)( xxC

ttf 6,012)( t

2289)(

2tttT t )0( t

t2448 tt

t

2,12,006,0)( 2 tttP

ttetQ 5,0400700)(

t

162,009,0)( 2 tttP


65

EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Y EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

28. La ecuación de demanda de un producto está dada por , donde es la cantidad de

productos que se venden al precio unitario de dólares. Se conoce que el costo marginal es

.

a) Halle la cantidad vendida y el precio de cada producto sabiendo que estos se determinan maximizando la utilidad.

b) Calcule el correspondiente excedente del consumidor.

29. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es

dólares por unidad.

a) Halle el excedente de los consumidores, si el artículo se vende a $64 por unidad.

b) Trace la curva de demanda e interprete el excedente de los consumidores como un área. 30. El fabricante de repuestos para una pieza de maquinaria, los vende en unidades de 1000; y se

venderán x unidades cuando el precio sea dólares por unidad. El costo total de

producir las x unidades es dólares.

a) ¿Para qué valor de x se maximiza la utilidad del fabricante?

b) Halle el excedente de los consumidores, en el nivel de producción que corresponde a la utilidad máxima.

31. Un fabricante de billeteras estima que los consumidores demandarán , billeteras cuando el

precio sea dólares por billetera, y el mismo número de billeteras se ofertarán

cuando el precio sea dólares por billetera.

a) Determine el punto de equilibrio.

b) Calcule el excedente del productor en el punto de equilibrio.

32. Suponga que la función de demanda de cierto artículo sea y que la función de oferta

para el mismo artículo sea . Si la cantidad y el precio se determinan en el

equilibrio de mercado.

a) Halle el excedente de los consumidores.

b) Halle el excedente de los productores.

33. Halle el excedente del productor si la ecuación de oferta es ( representa la

cantidad de artículos ofertados al precio unitario de soles) y el precio del producto en el

mercado es de S/. 27 la unidad.

34. Si la ecuación de oferta de un producto es y el precio del producto es de 26 soles

la unidad, halle el excedente del productor. 35. La ecuación de oferta de un producto es , donde representa la cantidad de productos

ofertados al precio de soles la unidad. Si el excedente del productor es de 54 soles, determine el

precio del producto en el mercado y la cantidad de productos ofertados.

2420 xp x

p

62 xCM g

2254 qqD

xp 110

3000225 23 xxxxC

q

181,0 2 qp

62,02,0 2 qqp

232 xxD

552

31 xxxS

2)6(36 xy x

y

2102 xxp

23 xp x

p


66

36. Las funciones de oferta y demanda de un producto son y , donde

representa la cantidad de productos y es el precio unitario del producto en soles. Si el precio y

la cantidad se determinan en el equilibrio del mercado, calcule el excedente del productor.

37. La ecuación de oferta de un producto es , si se ofertan qo=3 unidades.

a) Halle el excedente del productor.

b) Trace la curva de la oferta e interprete el excedente del productor como un área.

38. La ecuación de demanda de un producto es , donde está en dólares es el número

de unidades. Se sabe que el excedente del consumidor es de 80 dólares. Determine el precio del producto en el mercado y la cantidad demandada.

39. Suponga que la función de demanda de cierto artículo sea y que la función de oferta

para el mismo artículo es dólares. Si la cantidad y el precio se determinan en el

equilibrio de mercado,

a) Halle el excedente del productor.

b) Halle el excedente del consumidor.

c) Represente en un gráfico los dos excedentes y sume sus respectivas áreas. 40. En un mercado monopólico, la cantidad vendida y el precio están relacionados por la función de

demanda , la función de costo total es soles. Halle el excedente

del consumidor, si el precio y el número de unidades se determinan cuando la utilidad es máxima.

41. La ecuación de demanda de un producto es , donde soles es el precio unitario

cuando se demandan unidades. El costo total es donde soles es el costo de

producir unidades. Determine el excedente del consumidor, si el precio y la cantidad demandada se determinan de modo que la utilidad sea máxima.

42. La ecuación de demanda de cierto producto es , donde dólares es el precio por

unidad cuando se demandan unidades. Suponga que el equilibrio de mercado se encuentra en el

punto . Determine el excedente de consumidor cuando el mercado se

encuentra en equilibrio.

Grupo 5: Integral Impropia con límites infinitos

43. Calcule las siguientes integrales impropias o demuestre su divergencia.

a) b)

c) d)

123 2 xxp xp 527 x

p

qep 03,01510

2)1(

125

xp p x

2)5(2 xp

2)5(27 xp

2)10(4

1)( xxD x

xxC 5

4)(

3

24803 xp p

x xxxC 407)( 2 C

x

86

)145(336

2

xx

xp

p

x

)128;10(),( 00 px

1 4x

dx

4 x

dx

02 dxe x

2

lndx

x

x


67

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

44. Halle el área de la región ilimitada que se encuentra a la derecha de la recta , y está limitada

por la curva y el eje .

Grupo 6: Integrales que contienen Funciones Cuadráticas

45. Halle las siguientes integrales

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

ll) m)

n)

Grupo 7: Integración por descomposición en Fracciones Parciales 46. Utilice el método fracciones parciales para hallar la integral requerida.

a) b)

c) d)

10 3log xx

dx

1 2

dxxe x

1 2

/11dx

x

e x

dxxe x2

241 x

dx

2 3/23

2

)1(x

dxx

2 2 32xx

dx

8 3 x

dx

3x

4

1

2

xy x

dxxx 1362

dxxx 616 2

562 xx

dx

21213 xx

dx

xx

dx

820 2 782 xx

dx

136

232 xx

dxx

dx

xx

x

228

4

869

54

2 xx

dxx

dx

xx

x

24

15

dxxx

x

1415

922

dx

xx

x

2082

dx

xx

x

4

23

2

dx

ee

eexx

xx

124

32

2

dx

xxx

x

24 lnln5

ln

dx

x

x

9

352

dx

xx

x

103

1332

dx

xxx

xx

)12)(1(

914122

2

dx

xx

x

592

2122


68

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

47. Halle el valor de la integral .

48. Halle la integral .

49. Halle el área de la región ilimitada que se encuentra a la derecha de la recta , y está limitada

por la curva y el eje .

Grupo 8: Integración de funciones con Exponentes Fraccionarios

50. Halle las siguientes Integrales de funciones con exponentes fraccionarios

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

dx

xxx

xx

2

4223

2

dx

xx

xx

4

883

24

dxxx

x

2

32

3

dx

xx

xx

43

112523

2

dx

xx

x

)12()2(

732

2

dxx

x2

2

dx

xx

x

)1)(1(

)13(2

2

)3( 22 xx

dx

6

4 2 12

17dx

xx

x

xx ee

dx

32

2x

2)1(

1

xxy x

dx

x

x

1

1

1

0 31dx

x

x

4 3xx

dx

13 x

xdx

3 xx

dx

dxx

xx

3

2

1

1

xx

dx

32

23 x

dx

dx

x

x

45 2

3

3 21 x

dx


69


1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

kxx

xx

51

3

8

3 3

2/36

kxx

2/32/7

3

4

7

8

7

1

kx

xx 25

402 2

kx

x

3

3ln

3

2

kxxxx

4

9

10

3

20

7

24

3

1 10/94/36/7

kex x )(4

7

ke

eex

xx

3

4

3

13

5

1

k

xxx

)3/2ln(

)3/2(

)3/5ln(

)3/5(2

)6/25ln(

6/25

kttt

9ln12

4

25

1

kex x )2

arctan(2

5

kxx

2/32/5

5

12

3

1

5

12

2

15

kxxx

2/32/52/7 )23(

3

8)23(

5

8)23(

7

2

27

2

kxx

1112

3

14

11

1

3

14

4

1

16

15

kxx

3/23/514

2

2114

5

3

16

1

kxx 3/433/73 9

4

99

7

1

kx )13(sen6

1 2

kx

1sen


70

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

x)

z)

3. a)

b)

c)

d)

e)

xcosln2)2ln(

1

kx

)5(sen

1

5

1

kx

2

lnarctan

14

5

ke x 34

12

7

ke x 3

15

8

kx 54 74

112

1

kx

41

14

1

kzz 43ln2

3 2

kx )3(sen45ln12

7

kx

xe

/11

kxx 5/62 833

18

25

kxx 3/223/52 76

60

776

150

1

kxx cos6

5

kxx

x

216ln2

1

4

4ln

8

9

kxx )(arcsen312 2

kx

5sen

35

3

kx

xx

4

4ln

16

1

2arctan

2

12

2

keex xx

4

5

2

5 22

keexexx xxx 4442

8

1)58(

16

1)54(

4

1

keexex xxx 663 2

kx xx 2

2ln

32)13(

2ln

12

kxxsenx )3cos(9

5)3()85(

3

1


71

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

4. ,

5.

6. $ 2300 7. $ 521

8. a) b) c) $ 3768

9. a) b) El precio se aproxima a $ 13

10. 2072 personas 11. 10128 personas

12.

13. a) 13/3 b) 27,23

c) 2/3 d)

e) 3,45 f) 0,24

kxxsenxxxx )2cos(4

3)]2()26([

4

1)]2cos()423[(

2

1 2

kxxx )cos(ln4)tan()54(

kxxx 3ln

kxx

xx

x

4

7

3)ln(

2

7 2323

kxxx

xxxx )53

(5ln

14log)52( 2

3

5

23

kxx

xx

10ln

arctan221log 2

kxxxxx 2)ln(2ln2

kxx

x

1ln

2

11arctan 2

kxxx 21)(arcsen

keex xx )(2

kxxe x )22(3 33 23

2

312)(

2xxxI

2

312

xp

642)(2/3 xxC

120612

)(2

xx

xC 12012

36)(2

x

xxU

xexf 2313)(

322)( 2 xxxC

)122(3

1


72

g) 2 h) 2,82

i) 1,07 j) 41,199 14. a) 4/3 u2 b) 18 u2

c) 1/3 u2 d) u2

e) 125/3 u2 f) 8,38 u2

g) 0,5 u2 h) 3,83 u2

i) 26,127 u2 j) 448/15 u2

k) 79,75 u2

15. $ 13212,05

16. 1220 personas

17. 131.90 unidades

18. 67500 dólares

19. 52 unidades

20. a) Durante 12 años.

b) 1008 dólares

21. a) 9 años b) 12150 dólares

22. a) 67500 dólares b) 13500 dólares

23. 89 ºF

24. a) 49,67 Km/h b) 51,67 Km/h c) 50,67 Km/h

25. $1,32

26. 492,83

27. 17,52 dólares

28. a) b) EC = 2,67 dólares

29. a) b) EC = 72 dólares

30. a) b) EC = 162

31. a) p= $ 14,40 ; q= 6 b) EP = $ 54

32. a) EC = 18 b) EP = 28,5

33. 36 soles

34. EP = S/. 37,33

3

1

2

16,1 00 px

64,3 00 px

92,18 00 px


73

35.

36. EP = S/. 20

37. a) EP= $ 2,14

38.

39. a) EP = $ 14,67 b) EC = $ 29,33 c) Suma = 44

40. EC = S/. 3,14

41. EC = 48 soles

42. EC = S/. 1186,84

43. a) 1/3 b) diverge

c) 0,5 d) diverge

e) 1,15 f) – 0,184

g) 1,632 h) 0

i) j) diverge

k) l) diverge

44. 0,402359

45. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

6,20./ 00 xSp

4,5$ 00 xp

4/

)5ln(41

2u

kxxxxxx

1363ln413632

1 22

kx

xxx

5

3arcsen 256163

2

1 2

kxxx 563ln 2

kx

7

6arcsen

kx

x

2

10ln

12

1

kx

x

7

1ln

6

1

kx

xx

2

3arctan

2

7136ln

2

3 2

kx

xx

3

1arcsen328 2

kxxxxx 86913ln9

11869

9

4 22


74

j)

k)

l)

ll)

m)

n)

46. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

47.

48.

49. 0,3068 u2

kx

xx

2

2arcsen945 2

kx

xxx

15

1ln

16

231415ln 2

kx

xx

2

4arctan2208ln

2

1 2

kxxxxx 42ln443 22

kee xx 2ln8

56ln

8

19

kx

xx

3

2lnarcsen2lnln45 2

kxx 3ln23ln3

kxx 2ln5ln4

kxxx 3ln74ln51ln4

kxx 5ln12ln2

kxxx 1ln2lnln2

kxxxx

2ln72ln7ln22

2

kxxxx

1ln2ln832

3 2

kxx

x

1ln22

12ln3

kxx

x

12ln2

1

2

12ln2

kx

x

2

22ln

kxxx arctan)1ln(2

11ln2 2

kx

x

3arctan

3

11

3

1

5278,1

kee

x x

x 3ln

9

1

3

1

9

1


75

50. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

kx

xx

21

21ln

2

212

3695,0arctan357

6

1

0

6/16/16/36/56/7

xx

xxx

kxx 1ln44 44

kxxxxxx

1ln

23453 3/·13/1

3/23/43/5

kxxxx

1ln

236 6/16/1

6/26/3

kxxxx

2/7

)1(

2

)1(

5

)1(2

8

)1(3

6/73/23/53/8

kxxxx

2ln84

36 6/16/16/2

6/3

kxx 32ln622

kxx

2/122/32

)45(43

)45(

25

1

kxxx

1)2(ln)2(

2

)2(3 3/13/1

3/2


76

PREGUNTAS DE PRÁCTICAS Y EXÁMENES

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

1. Determine el dominio de la función

2. Trace la gráfica de la función


a)

b)

4. Dada la función ,

Determine el valor de de modo que exista .

5. Se desea cercar un huerto que tiene la forma de un

triángulo rectángulo tal como se muestra en la figura

adjunta. El área del huerto es 600 y el costo del metro de cerca a utilizar es S/. 8.

a) Si metros es la longitud de la base, halle la función Costo de Cercado (C) en términos de .

b) Calcule C(75) e interprete el resultado obtenido.

6. Sea

a) Halle el dominio de

b) Determine, en caso de ser posible, 3 ,

4

4116)(

2

22

x

xxxf

2,2

22,4

2,4

)( 2

2

xx

xx

xx

xf

2

2

0

11lim

x

x

x

3

9

1

4lim

22

x

x

x

x

x

2,7

4

2,2

8

)(

3

xx

ax

xx

x

xf

a )(lim2

xfx

2m

x

x

x


77

7. Calcule los límites siguientes

a) lim

b) lim

−

8. Sea

2

−2

− 3 − 2 2

2

a) Halle B sabiendo que es continua en 2

b) Grafique la función hallando previamente las ecuaciones de sus asíntotas.

9. Determine el dominio de

10. Calcule los límites siguientes

a) lim

11. lim − −

12. La producción de una microempresa, meses después del 1 de enero, está dada por

12, 1 ,

1 − , 12

a) Trace la gráfica de . b) ¿En qué mes la producción es máxima? ¿Cuál es la producción máxima?

13. Sea

a) Halle el dominio de

b) Determine las ecuaciones de sus asíntotas.

c) Con la información obtenida en b), esboce la gráfica de la función.

14. Un fabricante de maletines deportivos vende 1200 maletines mensualmente a un precio de 24 soles cada uno. El costo de producción por maletín es de 6 soles.

El fabricante está pensando aumentar el precio del maletín y sabe que por cada 60 céntimos de sol que aumente, venderá 30 maletines menos mensualmente.

a) Determine la función utilidad b) Grafique la función utilidad c) ¿A qué precio debe vender cada maletín para obtener la mayor utilidad?

15. Determine el dominio de la función .

16. Trace la gráfica de la función

22 4

2

1

1)(

x

x

x

xf

4,1910

44,285)(

2 xxx

xxxf


78


a)

b)

18. Si ,

a) Halle el dominio de la función. b) Determine las ecuaciones de sus asíntotas. c) Con la información obtenida en b), esboce la gráfica de la función.

19. Una empresa opera en el mercado y su función de costo total es soles,

donde representa el número de unidades producidas. La empresa vende todas las unidades que produce a un precio de 20 soles la unidad.

a) Halle la función de utilidad.

b) Grafique la función de utilidad.

c) ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para obtener la máxima utilidad y cuál es la

utilidad máxima?

20. Trace la gráfica de la función definida por .

21. Una inmobiliaria es propietaria de 50 oficinas y las alquila a $ 400 mensuales cada oficina. La inmobiliaria desea aumentar el alquiler mensual. Sin embargo, los estudios realizados indican que, por cada $20 de aumento en el alquiler, dos oficinas no serán alquiladas. Considerando esta situación,

a) Halle la función ingreso, en términos del número de incrementos de $ 20.

b) Determine su dominio y grafíquela.

c) ¿A qué precio debe alquilar las oficinas para obtener un ingreso máximo?

22. Calcule el límite .

23. Si ,

¿existe ? Justifique su respuesta.

8

18lim

3

4

2

x

xx

x

1432lim 2xxx

2

2

)3(

2)(

x

xxf

50101,0)( 2 xxxCT

x

2,106

2,2||)( 2 xxx

xxxxf

34

6262lim

2

22

3

xx

xxxx

x

2,4

124

2,2

2

)(

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xf

)(lim2

xfx


79

24. Trace la gráfica de la función , hallando previamente su dominio y las

ecuaciones de sus asíntotas.

25. Se desea construir una caja cerrada de base triangular y de volumen 36 pulgadas cúbicas. La base y la tapa es un triángulo rectángulo isósceles. El costo del material para la base y la tapa es de S/. 4 la pulgada cuadrada, y el de las paredes laterales es de S/. 3 la pulgada cuadrada. Determine el costo total de la caja en términos de la longitud del cateto de la base.

(Los triángulos de la base y la tapa son iguales) 26. Calcule los siguientes límites

a)

b)

27. La función de producción de cierto bien está dada por , donde es la

cantidad de bienes producidos y es la cantidad de kilogramos de la materia prima utilizada.

a) Calcule

b) Interprete el resultado obtenido.

28. Trace la gráfica de la función , hallando previamente su dominio y las ecuaciones

de sus asíntotas.

x

xxf

1

42)(

2

x

322

1475lim

4

23

2

x

xxx

x

3 3

2

98

45lim

x

xx

x

4122

82)(

2

x

xxP )(xP

x

)(lim2

xPx

x

xxf

4

4)(

2


80

SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA

1. Si , determine su dominio, halle las ecuaciones de sus asíntotas y trace su

gráfica.

2. Sea la función definida por .

a) Determine el valor de sabiendo que es continua en .

b) Calcule

3. En cada una de las siguientes funciones, halle la derivada que se indica.

a) ;

b) ;

c) ;

4. Halle los puntos de la curva donde las rectas tangentes son horizontales

e indique las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

5. Si , determine el valor de sabiendo que es continua en

.

6. Halle la derivada que se indica:

a) ,

b) ,

7. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva , en el

punto .

3

925)(

2

x

xxf

f

1,42

1,1

1,12

)(

2

2

xaxx

xa

xaxx

xf

a f 1x

)17(f

323

)( 3

2

x

xxf )2(f

1

4)(

3

3

x

xxg )(xg

2161)( xxxh )3(h

22715 23 xxxy

5,

7510

1572

5,13

)(

2

2

2

x

x

xx

xAxx

xf A f

5x

24 3

3

2 5864

)( xxx

xxf )1(f

2

10)(

x

xxg )6(g

53 32 yxxyxy

)1;2( P


81

8. La ecuación de demanda de un nuevo producto es , donde representa la

cantidad demandada al precio de soles la unidad. Después de semanas del lanzamiento del

producto, el precio es soles.

a) Use derivación implícita y halle .

b) Utilice la información obtenida en a) y la regla de la cadena para calcular .

9. Se desea construir una caja rectangular cerrada de 200 pulg3 de volumen. El costo de las paredes

laterales es de S/. 3 por pulg2 y el costo de la base y la tapa es de S/. 5 por pulg2. La base de la caja

debe tener la siguiente característica: si el ancho mide pulgadas, el largo debe medir

pulgadas.

a) Halle la función Costo de construcción “C” en términos de .

b) Calcule . Responda con dos cifras decimales.

10. Si , mediante la definición de derivada, calcule .

11. Dentro de semanas, la población de mosquitos de cierta especie estará dada por

a) Halle la ecuación de la asíntota horizontal de .

b) Trace la gráfica de .

c) Interprete la asíntota en el contexto del problema

d) Calcule e interprete el resultado.

12. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el

punto .

13. La cantidad demandada de cierta marca de celulares es , donde soles es

el precio de cada celular. Se estima que dentro de meses, el precio de un celular estará dado por

.

Mediante la regla de la cadena, calcule .

14. Se desea construir un camino que una los puntos A con C, pasando por el punto P y por el punto B,

según la figura que se muestra.

24008 22 px x

p t

22 2 tp

dp

dx

2tdt

dx

x 92 x

x

)4(C

124)( 2 xxxf )3(f

t

4

90120)(

t

ttP

)(tP

)(tP

)26(P

)(25)(2 22222 yxyx

)1;3(P

200034020 pn p

t

2002

400

tp

4tdt

dn

CB

P

A

x

2/x

80

0 m

50

0 m

4000 m


82

Con relación al costo de construcción, se tiene la siguiente información:

De A hasta P, el costo de construcción es de S/. 40 por metro.

De P hasta B, el costo de construcción es de S/. 50 por metro.

De B hasta C, el costo de construcción es de S/. 20 por metro.

a) Halle el costo total ( ) del camino descrito en la figura, en términos .

b) Calcule con dos cifras decimales.

15. Dada la función definida por

Determine los valores de y , de modo que sea continua en .

16. Si , mediante la definición de derivada, calcule

17. La ecuación de demanda mensual de cierta marca de camisas está dada por ,

donde dólares es el precio de cada camisa y es la cantidad de camisas demandadas. Se

espera que dentro de meses, el precio unitario de las camisas esté dado por la ecuación

. Calcule la derivada de la cantidad demandada con respecto tiempo

dentro de 5 meses.

18. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva , en el punto de

tangencia .

19. Si , halle y determine los valores de para los cuales se tiene .

20.La municipalidad de Lima planea construir un campo deportivo sobre un terreno rectangular de

4000 de área. Para ello necesita cercar dicho terreno y cada metro de cerca cuesta s/ 10. a) Determinar la función costo (C) del cerco perimétrico del terreno en términos de la

longitud de uno de los lados. b) ¿A qué ritmo está cambiando el costo del cerco perimétrico cuando ? c) Interprete la respuesta obtenida en b).

21. Sea − 1 , calcule aplicando la definición de la derivada. 22. La ecuación de una curva es − 3

a) Halle

.

b) Halle la ecuación de la recta normal a dicha curva en el punto 2 3

23. Sea 3 − 2. a) Halle la ecuación de la asíntota horizontal b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa 1

C x

)50(C

3,6

994

3,12

3,4

2

)(

2

2

xxx

xx

xAx

xx

Bx

xf

A B f 3x

9)( 2 xxf )4(f

12550)1( 2 xp

p x

t

1490172 2 ttp

2426

yxy

x

)2;2( P

1)(

2

x

xxf )(xf a 0)( af


83

24.La ecuación de demanda de un nuevo producto de tocador es 12 − 2 , donde es el número

de unidades demandadas al precio de soles la unidad. Se conoce que

, donde es el

número de meses transcurridos después del lanzamiento del citado producto.

a) Halle

cuando .

b) Interprete el resultado obtenido en a).

EXAMEN PARCIAL

1. Sea .

Determine si es continua en . Justifique su respuesta.

2. Un estudio muestra que un operario de una fábrica que empieza a trabajar a las 7:00 horas

produce unidades después de horas de haber iniciado su jornada.

a) Encuentre una fórmula para determinar la velocidad en la que el operario produce horas después de las 7:00.

b) ¿A qué ritmo está produciendo a las 9:00 horas?

c) Interprete la respuesta obtenida en b).

d) Exactamente, ¿cuántas unidades produce entre las 9:00 y las 10:00 horas?

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es , en el

punto .

4. La cantidad demandada de un producto está dada por la ecuación , donde es la

cantidad de unidades que se demandan al precio unitario de soles. El precio en términos del

costo está dado por la ecuación , donde es el costo del producto en soles.

a) ¿A qué ritmo está cambiando la cantidad demanda con respecto al costo, cuando el costo es S/.100?

b) Interprete la respuesta obtenida en a).

5. Grafique la función determinando:

a) El dominio

b) Las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales

c) Los intervalos de crecimiento y los valores extremos relativos.

1,1

22

1,2

1,2

55

)(

2

23

xx

xx

x

xxx

xxx

xf

f 1x

3285)( xxxxP x

x

322 yxyxy

x

)2;2(P

200012

2pq q

p

1004 cp c

2

2 66)(

x

xxxf


84

6. Si , halle las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales. Justifique

su respuesta con los límites respectivos.

7. La ecuación de una curva es . Halle los puntos de la curva donde las rectas

tangentes son paralelas a la recta .


9. La ecuación de demanda de un producto está dada por , donde representa la

cantidad de productos que se demandan al precio unitario de soles.

Si en la actualidad hay una demanda de 15 unidades, mediante diferenciales, estime el precio unitario del producto cuando la demanda se incrementa a 18 unidades.

10. Dada la función ,

a) Determine los intervalos de crecimiento y los valores extremos relativos.

b) Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

c) Con la información obtenida en a) y en b), trace la gráfica de la función.

11. El costo de producir unidades del artículo MAN es soles.

a) Calcule el costo de producir 3 unidades.

b) Mediante el costo marginal, calcule el costo aproximado de producir la unidad 11.

c) Calcule e interprete el resultado obtenido.

12. Calcule el límite

13. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva , de modo que sea

paralela a la recta

14. Una compañía inicia sus operaciones en enero de 2011. Sus ventas totales, en soles, están dadas

por , donde representa el número de años transcurridos desde el

inicio de sus operaciones.

a) ¿A qué ritmo variaban las ventas en enero del presente año?

b) Interprete el resultado obtenido en a).

c) ¿Cuál es el incremento (exacto) de las ventas desde enero del presente año hasta enero del próximo año?

72

468)(

2

x

xxf

2054 22 xy

0: yxL

xx

xx

xxxx

x2

824

55215lim

2

4 2

343 4

2

16

200

2

xx

p x

p

2)( 3

344 xxxf

x 1000242)( 23 xxxC

)10()11( CC

xxxx

xx

x

1817232

116

234

lim4 34

3

2

15144 2 xxy

0112 yx

2

2

4,01000003)(

t

ttV t


85

15. Si , halle las ecuaciones de sus asíntotas, los intervalos de crecimiento, los

valores extremos relativos y grafique la función.

16. Si , halle su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas. Justifique su respuesta.

17. Si la ecuación de una curva es , halle la ecuación de la recta normal en el punto

de ordenada .

18. Calcule .

19. A inicios del año 2010, se determinó que la población de una comunidad después de años,

estará dada por habitantes.

a) A inicios del 2015, ¿a qué ritmo crecerá la población de dicha comunidad?

b) Interprete la respuesta obtenida en a).

c) ¿En cuánto aumentó la población durante el año 2016?

d) A largo plazo, ¿qué ocurre con el ritmo de crecimiento de la población?

20. Si , halle las ecuaciones de sus asíntotas, los intervalos de crecimiento, los

valores extremos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida, trace la gráfica de la función.

21. Sea

, halle su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.

22. Halle el valor de la constante , de modo que la función

12

2 1

−

− 2 − 2 2

2

sea continua en 2.

23. La ecuación de demanda de cierto artículo es 1 , donde es el número de unidades que se demandan al precio unitario de soles.

a) Halle el número de unidades que se demandan al precio de s/. 10 la unidad.

b) Utilice la información obtenida en a) y calcule

cuando 1 .

c) Interprete el resultado obtenido en b).

24. Un fabricante puede producir estantes a un costo de 80 dólares la unidad. Las cifras de ventas indican que si cada estante se vende a dólares la unidad, se venderán − estantes cada mes.

2

2 42)(

x

xxxf

1

4)(

2

x

xxxf

xyyy 43

1y

1620202

141

37844

lim2

3 23

3

xx

x

xxx

x

t

1944000)( 2 tttP

xxxf

13)(

3


86

a) Exprese la unidad mensual del fabricante en función del precio de venta. b) Actualmente, cada estante se vende a 120 dólares. Mediante la derivada de la función

utilidad, estime en cuánto varía la utilidad mensual del fabricante si el precio aumenta en un dólar.

25. Trace la función

−

, hallando previamente los intervalos de crecimiento, los valores

extremos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA

1. Trace la gráfica de , determinando su dominio, los intervalos de crecimiento, los

valores máximo y mínimo relativos, los intervalos de concavidad y las ecuaciones de sus asíntotas.

2. La ecuación de demanda de un producto es , donde es el precio

unitario en soles y es la cantidad de unidades demandadas.

a) Halle la ecuación de la asíntota horizontal.

b) Interprete la asíntota desde el punto de vista económico.

c) Halle el precio unitario del producto si se demandan 80 unidades.

d) Trace la gráfica de mostrando la asíntota.

3. Sea la función de oferta de un producto, donde es el precio unitario en

dólares y es la cantidad ofertada en miles de unidades.

a) Si la cantidad ofertada es de 80 000 unidades, ¿cuál es el precio unitario?

b) ¿Cuántas unidades se ofertan al precio unitario de 8 dólares?

c) Halle .

d) Interprete el resultado obtenido en c).

4. Para cada una de las funciones, halle la derivada que se indica.

a) ;

b) ;

c) ; (La respuesta con dos decimales)

5. La ecuación de demanda del artículo MAN es cuando se demandan unidades al

precio de soles la unidad.

a) Encuentre la función de utilidad sabiendo que el costo de producción es de S/. 30 la unidad.

b) Usando derivadas, determine el número de unidades y el precio al cual debe venderse para obtener la máxima utilidad.

6. a) Halle el dominio de

xx

xf 22

)(

xexQ 01,06040)( x

)(xQ

)(xQ

)25ln(20)( xxQ x

)(xQ

)6(Q

2

2ln)(

x

xxf )(xf

xexxg 42 )4()( )(xg

)4log(2)( 22

xxxh x )2(h

30150

xp x

p

1

4ln

2

x

x


87

b) Calcule el límite

c) Si , halle y calcule

7. Si la empresa automotriz AAA gasta miles de dólares en publicidad, podrá vender

automóviles al mes.

a) ¿Cuántos automóviles al mes venderá la empresa automotriz si gasta 40547 dólares?

b) Si la empresa automotriz quiere vender exactamente 50 automóviles al mes, ¿cuánto debe gastar en publicidad?

c) Calcule .

d) Interprete la respuesta obtenida en c).

8. Trace la gráfica de , hallando previamente los intervalos de crecimiento, los

valores extremos, los intervalos de concavidad, el punto de inflexión y la ecuación de su asíntota. 9. La función ingreso de cierta compañía está dada por

,

donde miles de soles es el monto invertido en desarrollo. Actualmente, la inversión en desarrollo es de S/. 10 000.

La compañía desea aumentar la inversión en desarrollo a S/. 10 300. Mediante diferenciales, estime la variación del ingreso si se produce dicho aumento de inversión.

10. La función de costo total de producir unidades del artículo MAN está dado por

dólares

La ecuación de demanda de dicho artículo es , donde es el precio unitario en

dólares.

a) Determine la cantidad de unidades que se debe vender para obtener la utilidad máxima.

b) ¿Cuál es el precio óptimo de cada artículo?

c) Calcule la utilidad máxima.

11. La función ,

¿es continua en ? Justifique su respuesta.

1)12log(

)22(senlim

11

xxe

xxx

3

12

)(x

xexf

x

)(xf )2/1(f

x

xexA 01.06080)(

)20(A

xexxf )1()(

3 45 1log00010)( xxI

x

x

7002002)( 2 xxxC

2202

px

p

0,29

0,12)1ln(

858

)(

3

x

xx

xe

xf

x

x

0x


88

12. Una empresa constructora determina que el valor (en dólares) de una máquina, se deprecia a

lo largo del tiempo de acuerdo con la regla , donde es el número de años

transcurridos desde que se compró la máquina.

a) ¿A qué preció compró la máquina?

b) ¿Después de cuántos años, la máquina valdrá la mitad de su valor original?

c) Determine la razón de cambio del valor de máquina después de 3 años de ser adquirida.

13. Trace la gráfica de , hallando previamente las ecuaciones de sus asíntotas, los

intervalos de crecimiento, los valores extremos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión (en caso de existir).

14. Una empresa calcula que el costo de su producto estrella es de S/. 60 la unidad. Con relación a ese producto, el departamento de mercadotecnia ha informado que está vendiendo 480 unidades semanales al precio de S/. 140 la unidad. La empresa planea disminuir el precio de venta y estima que por cada sol de rebaja en el precio, se venderán 10 unidades más cada semana.

a) ¿A qué precio se debe vender el producto para generar la mayor utilidad semanal posible?

b) ¿Cuál es la utilidad semanal máxima?

15. El costo total de producir unidades de cierto artículo está dado por

soles. Actualmente, la empresa produce 100 unidades.

a) Mediante diferenciales, estime la variación del costo total si el número de unidades producidas aumenta a 104.

b) En base a la información obtenida en a), estime el costo total de producir las 104 unidades.

16. a) Halle el dominio de .

b) Calcule .

17. La ecuación de una curva es . Halle la ecuación de la recta tangente a dicha

curva en el punto de abscisa .

18. Trace la gráfica de , hallando previamente la ecuación de su asíntota, los intervalos

de crecimiento y los valores extremos.

19. Sea , la función demanda del bien AAA, donde representa la cantidad de bienes que se demandan al precio unitario de soles.

a) Trace la gráfica de la función demanda. b) Halle la función ingreso.

PtetP 125,05400)( t

x

xxf

4ln)(

x4

1000)(3x

xC

1

3ln)(

2x

xxf

2

3

0lim

x

xxe x

x

32ln4 xy

3x

xexxf 26)(


89

c) Determine la cantidad de bienes que maximiza el ingreso y calcule el ingreso máximo.

20. La población de peces de un lago está dada por

− / , donde es el número de meses

transcurridos desde la última inspección. a) Halle la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de . b) ¿Cómo interpreta la asíntota horizontal en el contexto del problema? c) ¿Después de cuántos meses la población de peces será de 1250? d) Calcule . e) Interprete la respuesta obtenida en d).

21. Calcule lim

22.En una empresa, la función de costo total está dada por 3 1 , donde es la cantidad de artículos producidos. Mediante diferenciales, estime la variación del costo si la producción aumenta de 20 a 25 unidades.

23. Halle la integral

24. La ecuación de una curva es 1 . Halle las ecuaciones de las rectas tangente y Normal a la curva, en el punto 1 1 . 25.Calcule los siguientes limites

a) lim

b) lim

26.Sea − . Halle el dominio, las ecuaciones de sus asíntotas verticales, determine los intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad y grafique la función. 27.Una compañía ha determinado que cuando sus gastos en publicidad son dólares, sus ingresos semanales son 2 dólares. Determine el ritmo de cambio de los ingresos semanales respecto al gasto en publicidad, cuando se invierte $ 800 en publicidad. Interprete el resultado. Mediante diferenciales, determine la variación aproximada del ingreso de la compañía, cuando el gasto en publicidad se incrementa de $800 a $850.

28.La ecuación de oferta de cierta mercancía es 1 − 1 / , donde representa la cantidad de artículos que se ofrecen a soles la unidad. Halle la ecuación de su asíntota horizontal y trace la gráfica de la curva. ¿Es factible que se pueda ofertar la mercancía a 16 soles la unidad? ¿por qué?


90

CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA

1. Halle las siguientes integrales:

a)

b)

c)

2. La utilidad marginal de un fabricante es dólares por unidad ( es el

número de unidades vendidas). Si al vender una unidad, la utilidad obtenida es de 13,80 dólares, ¿cuál es la utilidad que se obtiene al vender 3 unidades?

3. Una región R está limitada por la parábola y por la recta . Dibuje la

región y calcule su área. 4. Halle las siguientes integrales:

a)

b)

c)

5. La utilidad marginal de una empresa es soles por unidad, ( representa la

cantidad de productos vendidos). Si al vender 2 productos, se obtiene una utilidad de 5608 soles, calcule la máxima utilidad de la empresa.

6. horas después de iniciada una observación, la población de bacterias está aumentando a un

ritmo de bacterias por hora. Si la población inicial era de 200 000 bacterias,

¿cuál será la población 12 horas después de iniciada la observación?



dxx

xxx x

2

2 )253(

9

8

2x

dxx

dxxx xe22 )48(

12

)12(2

5)( xxexxUMg x

xxy 42 2 42 xy

dxxx 1047 )1(

dxxx 23 )3( dxxx )(arcsen 2

xxUMg 4200)( x

t

tt ee 03,01,0 3450

20

)5cos(1lim

x

x

x


91

a)

b)

c)

9. Un fabricante produce y vende un bien cuya ecuación de demanda semanal es , donde

es el precio unitario en soles cuando se demandan cientos de unidades.

a) Si y , halle la ecuación de la demanda.

b) Determine el número de unidades que proporcionan el ingreso máximo.

10. La ecuación de demanda de un producto es , donde es la cantidad de

productos que se demandan al precio de soles la unidad.

a) Halle la función ingreso.

b) Determine el precio que maximiza el ingreso y calcule el ingreso máximo.

11. Si , calcule .


a) .

b) .

13. Una empresa, al vender 4 artículos, obtiene una utilidad de 750 soles. Si la utilidad marginal es

soles por unidad, calcule la utilidad que se obtendrá al vender 9 artículos.

14. Una región R está limitada por la parábola y por la recta .

a) Dibuje la región R.

b) Calcule el área de la región R. 15. Halle las integrales siguientes

a)

b) arctan 2

16.El precio de cada unidad de un producto varía a un ritmo de −

soles por unidad, donde

representa la cantidad demandada. Actualmente, se demandan 4 unidades al precio de s/. 30 la unidad. ¿Cuál será el precio de cada producto si se demandan 3 unidades?

17. Se ha determinado que la población de una colonia de insectos, horas después de iniciada la observación, aumenta a razón de 2 , 1 , insectos por hora. Si al inicio de la

dx

xxx

2

3 1

dxxx

7

123

dxxxx )4ln()689( 2

)(xDp

p x

xexD 2,080)( 400)0( D

xep 01,03000 x

p

1

arctancos2)(

x

xxxxf )0(f

dxxx )2cos()94(

94x

dxx

xxUMg 20180)(

12 xy 42 yx


92

observación había 200 000 insectos ¿cuál será la población 12 horas después?

18.Una región R se encuentra limitada por las gráficas de − − , 2 − a) Dibuje la región. b) Calcule el área de dicha región.


a)

b)

c)

20. Al derivar implícitamente la ecuación de una curva, se obtiene la ecuación − 2 . Halle la ecuación de la curva, sabiendo que su gráfica pasa por el punto 1 1 . 21. Se estima que dentro de años, la población de cierta ciudad cambiará a razón de 2 3 personas por año. Si la población actual es de 2000 personas, ¿cuál será la población dentro de 4 años? 22. Para cierta empresa se conoce que el costo marginal de producir unidades del producto A, es

− y el costo de producir 2 unidades es 91 soles. Halle la función Costo total. Si cada

unidad del producto A se vende en 20 soles, halle la función de utilidad . Determine la máxima utilidad que puede obtenerse por la venta del producto A. 23.Para cierta fábrica, la función de costo total de producir unidades es 2 soles. Mediante diferenciales, estime la variación del costo total si la producción aumenta de 20 a 25 unidades. 24. Un perfumería fabrica un perfume especial, y un estudio de mercado le indica que si el precio unitario por frasco es de dólares, entonces venderá 2 , frascos por semana. ¿Qué precio dará la máxima utilidad semanal, si se sabe que el costo unitario de cada frasco de perfume es de 10 dólares?

25.Calcule el valor de lim

−

26.Halle las siguientes integrales

a)

b) 1 cos 2 c) 2 1


93

EXAMEN FINAL

1. Un grupo de animales de una especie se transporta a una isla. El número de ejemplares que hay,

después de años de su instalación, está dado por animales.

a) ¿Después de cuántos años existe el mayor número de ejemplares?

b) ¿Cuál es la máxima población de estos animales?

(Justifique su respuesta con uno de los criterios de máximos y mínimos).

2. Al hacer el croquis de un terreno, se ha determinado que se encuentra ubicado en el primer

cuadrante y está delimitado por las gráficas de , , y .

a) Dibuje (sombree) el terreno.

b) Calcule el área del terreno.

3. Para un producto, las funciones de demanda y oferta son y

respectivamente ( representa la cantidad de productos y es el precio unitario del producto

en soles). Si la cantidad y el precio se determinan en el equilibrio de mercado, halle el excedente del productor.

4. Halle cada una de las siguientes integrales:

a)

b)

5. Trace la gráfica de la función , hallando previamente su dominio, las ecuaciones

de sus asíntotas, los intervalos de crecimiento y sus valores extremos.


a)

b)

7. Una región está limitada por las gráficas de:

, y

a) Dibuje (sombree) la región.

b) Mediante integrales, calcule el área de la región. 8. Después de horas en el trabajo, un obrero de una fábrica puede producir a un ritmo de

unidades por hora. Si el obrero empieza su trabajo a las 8:00 horas, ¿cuántas unidades

produce el obrero entre las 10:00 y las 13:00 horas?


t 10032)( 24 tttN

333 2 xy 33 xy 0y 0x

xp 05,0100 xp 10,010

x p

dxxx

x

76

532

2

dxxx ln)58(

)9ln()( 2xxf

dxxx

x

4012

572

dxxx

x

)14)(1(

542

03 yx 0273 yx 093 yx

ttet 5,050


94

a)

b)

10. Dentro de años, la población de osos de una reserva natural aumentará a razón de

osos por año. Si dentro de 1 año habrá 200 osos, ¿cuál será la población de dicha

especie dentro de 6 años?

11. La función de demanda de un producto es , donde representa la cantidad de

unidades que se demandan al precio unitario de soles. Si la función de costo total es

soles,

a) Determine el precio del producto que maximiza la utilidad.

b) Calcule el excedente del consumidor para el precio hallado en a)

12. Dentro de años un primer plan de inversión generará utilidades a razón de

dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a razón de dólares por

año.

a) ¿Durante cuántos años el primer plan será el más rentable?

b) Durante el tiempo de periodo hallado en a), determine las utilidades que generará cada uno de los planes de inversión.

13. a) Si y , halle .

b) Trace la gráfica de , hallando previamente sus intervalos de crecimiento, valores

extremos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. 14. Halle las siguientes integrales:

a)

b)

15. Dada la integral impropia , calcule su valor o demuestre su divergencia.

16. Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas respectivamente por

y , donde representa el precio unitario en soles y es la

cantidad de unidades.

a) Si el precio del producto se determina en el punto de equilibrio, grafique las regiones que representen los excedentes del consumidor y del productor.

b) Calcule la suma de dichos excedentes.

17.Halle las siguientes integrales

dxxx

x

86

58

2

dxxx

xx

)4)(1(

1032

3

t

3)185( tt

246 xp x

p

43)( 2 xxxC

x xxR 7110)(1

22 280)( xxR

123)( 2 xxf 2)1( f )(xf

)(xfy

dxxxx

x

)34)(1(

1152

dxxx

x

208

76

2

6 2 4

8

xx

dx

2)1(1 xp 226 xp p x


95

18.Una región está limitada por las gráficas de − − 2 y − . Grafique la región y calcule su área.

19.La producción mensual de una fábrica está dada por , unidades, donde es el número de meses transcurridos desde inicio de año. a)¿En qué mes se obtiene la máxima producción? b)Calcule la producción acumulada desde el inicio del año hasta el mes en que se obtiene la máxima producción.

20.Sea 1 , la función de oferta del artículo BBB, donde representa el precio unitario en soles cuando se ofertan unidades y es una constante. a)Calcule el valor de , sabiendo que el excedente del productor es de 12 soles cuando se ofertan 3 unidades. b)¿Cuál será el precio unitario cuando se ofertan 24 unidades de BBB? 21. Halle las integrales siguientes:

a)

b) − 1

22.Despues de horas en el trabajo, un obrero de una fábrica produce a un ritmo de unidades por hora. Calcule el ritmo promedio del trabajador en la 4 primeras horas de trabajo. 23.Un terreno está limitado por las gráficas de − y − . El de dicho terreno está valorizado en $ 500. Grafique hallando previamente los intervalos de crecimiento y sus valores extremos relativos; luego sombree la región que representa el terreno. Halle el área del terreno. Determine el valor del terreno sabiendo que su área está en . 24.Dentro de años, un plan de inversión generará utilidades que se acumularán a razón de 2 soles por año, mientras que un segundo plan lo hará a razón de 221 − soles por año. ¿Durante cuantos años el segundo plan es más rentable que el primero?. Sombree la región que representa el exceso de utilidad acumulada si se invierte en el segundo plan en lugar del primero durante el periodo de tiempo hallado. Calcule el exceso de utilidad.

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