Guia enlace 2010 unidad VIII

89

8Unidad Geometría plana y trigonometría

Al término de esta unidad, serás capaz de:

1. Utilizar fórmulas para calcular superficies y volúmenes 2. Realizar conversiones de sistema decimal a sexagesimal 3. Utilizar fórmulas para calcular el perímetro de composiciones geométricas 4. Identificar figuras planas y tridimensionales 5. Aplicar conceptos básicos de simetría 6. Aplicar funciones y leyes trigonométricas para la resolución de problemas 7. Describir las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos

¿Qué sabes?

Observa lo siguiente y realiza lo que se te pide.

A) B) C) D)

Responde:

¿Qué diferencias encuentras en cada elemento?

¿De qué tipo de figuras se tratan?

¿Conoces otras figuras? ¿Cuáles?

Guía enlace90

1. Conceptos elementales de GeometríaLos siguientes conceptos son elementales para la comprensión de esta unidad.

Elemento Representación Descripción Símbolo

Punto Unidad indivisible P

CurvaSucesión infinita de puntos que cambian constantemente de dirección

Línea rectaSucesión infinita de puntos en una misma dirección AB

Segmento Porción de recta limitada por dos puntos AB

SemirectaCada una de las dos porciones en que está dividida una recta por cualquier punto AB

PlanoSuperficie unidireccional que se extiende al infinito. Tiene dos dimensiones.

VolumenEspacio ocupado por un cuerpo. Tiene tres dimensiones

2. SuperficiesUna superficie es una porción del plano, por tanto, tiene sólo dos dimensiones. La forma más sencilla de delimitar una superficie es mediante tres puntos no alineados, los segmentos que los unen deter-minan una superficie.

A

A B

B

A B

A B

Geometría plana y trigonometría 91

Esta superficie recibe el nombre de triángulo. En un triángulo se forman ángulos internos y externos.

ÁnguloEs la abertura que comprenden las dos semirrectas cuyo punto de origen se llama vértice.Un ángulo se puede representar de distintas formas, por ejemplo: (A, Ã.

PolígonosLos polígonos son porciones del plano limitadas por líneas rectas, de acuerdo al número de lados que los conforman se clasifican en:

Nombre Número de lados

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7

Octágono 8

Eneágono 9

Decágono 10

Los polígonos que tienen sus lados iguales se denominan regulares y los que tienen sus lados desigua-les se llaman irregulares.

Elementos de los polígonos

A continuación veremos los polígonos de tres y cuatro lados.

Vértice Ángulo

Vértices

Ángulos

Lados

Diagonales

A

B a

b

Guía enlace92

TriángulosClasificación de los triángulos

A continuación se describe la clasificación de los triángulos:

Por

la lo

ngit

ud d

e su

s la

dos

Nombre Características Figura

Equilátero Tiene tres lados iguales

Isósceles Tiene dos lados iguales

Escaleno Ninguno de sus lados es igual

Por

la a

mp

litud

de

sus

áng

ulos

Nombre Características Figura

Acutángulo Tiene tres ángulos agudos

Rectángulo Tiene un ángulo recto

Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso

Puntos y rectas notables de un triánguloMediana

Es un segmento de recta que se traza a partir de un vértice de un triángulo hasta el punto medio de su lado opuesto.

Baricentro

Es el punto donde se intersectan las tres medianas.


Mediatriz

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio.

Circuncentro

Es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Mediana

Baricentro

Circuncentro

Mediatriz

Altura

Es un segmento de recta perpendicular a un lado, va desde ese lado hasta el vértice opuesto. Cuando se trata de un triángulo obtusángulo, dos de las alturas deben medirse desde el vértice hasta la pro-longación del lado opuesto, como lo muestra la siguiente figura.

Alturas

Ortocentro

Es el punto donde se intersectan las alturas del triángulo.

AlturaOrtocentro

Guía enlace94

El ortocentro en un triángulo obtusángulo que queda fuera del triángulo.

Bisectriz

Es la recta que corta un ángulo exactamente a la mitad.

Incentro

Es el punto en donde se intersectan las tres bisectrices.

Ortocentro

IncentroBisectriz

Recta de Euler

Es la recta que une el circuncentro, baricentro y el ortocentro, lo que significa que, al estar sobre una línea, son colineales.

Ortocentro

Circuncentro

Recta de Euler

Baricentro


Cuadriláteros

Clasificación de los cuadrilátero s

Cuadriláteros

ParalelogramosSus lados opuestos son paralelos

TrapeciosSólo dos de sus lados son paralelos

TrapezoidesNinguno de sus lados es paralelo

Cuadrado

Tiene todos sus lados iguales y sus ángulos rectos

Trapecio rectángulo

Tiene dos ángulos rectos

Rectángulo

Tiene ángulos rectos

Trapecio isósceles

Tiene dos lados iguales

Rombo

Tiene cuatro lados iguales; los ángulos opuestos son iguales y los ángulos consecutivos son suplementarios

Trapecio escaleno

Los cuatro lados tienen diferente longitud

Romboide

Los lados opuestos son paralelos e iguales, sus ángulos interiores no son rectos

Diagonales

Las diagonales de un polígono son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.

El número máximo de diagonales que se pueden trazar en un polígono se obtiene con la fórmula:

Número de diagonales =

�

n − 3( )n2

Donde

n = número de lados del polígono

Por ejemplo:

Calcula el número máximo de diagonales que se pueden trazar en un cuadrado.

Guía enlace96


�

4 − 3( )42


�

1( )42

=4

2= 2

El número máximo de diagonales en un cuadrado son dos.

El único polígono que no tiene diagonales es el triángulo. ¿Quieres comprobarlo?

AplicaPon en práctica tus conocimientos. Aplica la fórmula para obtener el número máximo de diagonales que pueden tener las siguientes figuras, y después trázalas:

3. Conversión del sistema decimal al sexagesimal y ángulosLos ángulos se miden en grados, minutos y segundos. Vamos a ver cómo cambiar del sistema decimal al sexagesimal. Tenemos que, un grado (1°) equivale a 60 minutos (60’), y un minuto a 60 segundos (60”).

Medida Equivale a…

1° 60’

1’ 60”

1° 3600”

ConversiónConvertir 13.4711° a grados, minutos y segundos.

Para obtener los minutos, se multiplican los decimales por 60.

(.4711)(60) = 28.266

Los minutos son 28’.


La parte decimal que resultó de la operación se multiplica por 60 para obtener los segundos

(.266)(60) = 15.96

Redondeando: 15.96 ≈ 16

Los segundos son 16”

El resultado es: 13 (28'’ 16”

Convertir 13° 28’ 16” a grados en su forma decimal:

Se dividen los minutos entre 60 (segundos)

�

28

60= 0.466666

Los segundos se dividen entre 3600

�

16

3600= 0.04444

Se suma el resultado de las dos operaciones

0.466666 + 0.004444 = 0.47111

Resultado: 13° 28 '’ 16" = 13.4711°

Clasificación de los ángulosDe acuerdo con sus medidas los ángulos se clasifican en:

RectoMide 90°

90°

0°

AgudoMide menos de 90°

90°

0°

LlanoMide 180°

90°

180°

ObtusoMide más de 90° y menos de 180°

90°

180°

Guía enlace98

Posición de dos rectas en el planoDos rectas en el plano pueden ser:

Perigonal (de vuelta entera)Igual a 360°

90°

180°

360°

270°

0°

CóncavoMide más de 180° y menos de 360°

90°

180°

360°

270°

0°

Rectas paralelasNo se cortan entre sí

90°

0°

Rectas perpendicularesSe cortan entre sí formando ángulos de 90°

90°

180°

180 −xx

Rectas oblicuasSe cortan entre sí formando dos ángulos agudos y dos obtusos. Los ángulos consecutivos son suple-mentarios y los ángulos opuestos por el vértice son iguales.


Encontrar el valor de un ángulo

La suma de los tres ángulos es 180°.

Encontrar el valor de x:

x + 43° + 32° = 180°

Se despeja x

x = −43° − 32° + 180°

Se resuelve la ecuación

x = −75° + 180°

El resultado es

x = 105°

Ángulos en un polígono

La suma de los ángulos interiores de un polígono se obtiene mediante la fórmula:

Suma de los angulos = s (= 180° (n − 2)

n = número de lados

Ejemplo:

Determina la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

s (= 180° (4 − 2)

s (= 180° (2) = 360°

Para determinar el valor de un ángulo interior de un polígono regular se utiliza la fórmula:

�

a =180° n − 2( )

n

Ejemplo:

Determina el valor del ángulo interior de un pentágono regular.

�

a =180° 5 − 2( )

ς

(a = (180° (3))/5 = (540°)/5 = 108°

Resultado: sus ángulos interiores miden 108°

4. Perímetro de composiciones geométricasEl perímetro de un polígono se obtiene sumando la longitud de sus lados.

Perímetro

La fórmula para calcular el perímetro de un triángulo es:

180° 0°43°

x

32°

Guía enlace100

P = a + b + c

a, b y c son los lados del triángulo.

Ejemplo:

Calcula el perímetro del triángulo:

18

12

7

P = 12 + 7 + 18

P = 37

Para los cuadriláteros el perímetro podría obtenerse así:

P = 4l P = 2b + 2h P = a + b + c + B

Determina el perímetro de la siguiente figura regular:

l h

l b

ca

B

b

Resolución de problemas

Don Paco desea construir una cerca para dividir el siguiente terreno. Determina el perímetro de la cerca que deberá construir para rodear el espacio A.

Resolución

Sumamos todos los lados de la figura A.

P = 7 + 2 + 4 + 7+ 2 = 22m

7

P = 6l P = (6)(7) = 42

2m

7mBA

7m4m


Triángulos congruentesSe dice que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos respectivos son iguales (congruentes).

△ ABC ≅ △ DEF

La congruencia de polígonos puede estudiarse mediante la congruencia de triángulos. Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan:

Criterio LAL (lado-ángulo-lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también es congruente.

C

A B

E

D

F

C

A B

F

D E

△ABC ≅ △ DEF porque (AB)− ≅ (DE)−; (ABC ≅ (DEF y (BC)− ≅ (EF)−

Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos también es congruente.

△GHI ≅ △ JKL porque (GHI) ≅ ( JKL; (HI)− ≅ (KL)− y (HIG ≅ (KLJ

I

G H

L

J K

Guía enlace102

Criterio LLL (lado-lado-lado)

Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.

O

M N

R

P Q

△MNO ≅ △PQR porque (MN) ≅ PQ; NO ≅ QR y OM ≅ RP

O

M N

R

P Q

△MNO ~ △PQR porque

�

MN

PQ=

NO

QR=

OM

RP

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes (~) si tienen sus tres ángulos congruentes, es decir, no importa si son de igual o diferente tamaño.

Existen tres criterios de semejanza de triángulos:

Criterio LLL (lado-lado-lado)

Dos triángulos son semejantes si tiene sus tres lados respectivamente proporcionales.

Criterio LAL (lado-ángulo-lado)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido por ellos es congruente.

△ABC ~ △DEF porque (AB)−/((DE)−) = (BC)−/(EF)−; (ABC ≅ (DEF

C

A B

F

D E

△GHI ~ △JKL porque (GHI ≅ ( JKL y (HIG ≅ (KLJ

I

G H

L

J K

Criterio AA (ángulo-ángulo)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes.


Ejemplo:

Determinar si los siguientes triángulos son semejantes.

Solución

Buscamos primero el valor de x. Para ello, se relacionan los lados correspondientes.

�

x

6=

36

12

Se resuelven las operaciones

�

x =6( ) 36( )12

=216

12= 18

x = 18

Se busca el valor de y

�

9

y=

36

12

�

y =9( ) 12( )36

=108

36= 3

y = 3

Respuesta: Los tres lados son proporcionales

�

36

12=

9

3=

18

6= 3

Por lo que sí son semejantes.


¿Alguna vez has observado qué figuras se forman en la inclinación de una escalera o con la sombra de un edificio o de una persona?

12y

6

36

x

9

Guía enlace104

�

AB

BC=

AD

DE

Problema 1

Si los siguientes triángulos son semejantes, determina cuántos triángulos pequeños caben en el grande.

C

E D

B

A

x

27

3

2

Se busca el valor de x

�

27

3=

x

2

�

x =27( ) 2( )

3=

54

3= 18

x = 18

Para saber cuántas figuras caben, buscamos la proporción

�

27

3=

18

2= 9

Como la proporción es de 9, en la base del triángulo mayor es posible acomodar 9 triángulos peque-ños, si sigues acomodando los pequeños encima hasta completar 9 niveles hacia arriba, notarás que puedes acomodar 81 triángulos pequeños en el grande como se muestra en la siguiente figura.

Teorema de Tales

El Teorema de Tales establece que la razón de los segmentos determinados por dos o más paralelas en una transversal es igual a la razón de los segmentos determinados por estas mismas paralelas en cualquier otra transversal.


Una forma más sencilla de resolver el problema es elevar al cuadrado la proporción encontrada: 92 = 81, ya que el área se mide en unidades cuadradas.

Respuesta: caben 81 figuras.

Problema 2

Juan está armando un rompecabezas. Si la parte sombreada es la que ya tiene completada, ¿cuánto le falta?

Resolución

El total de figuras es de 9. Y la parte sombreada son 5, lo cual sería

�

5

9. Entonces, la parte que le falta

es de

�

4

9. ya que

�

9

9−

5

9=

4

9

Problema 3

Juan mide 1.60m de estatura y su sombra proyecta una sombra de 0.96m. La hermana de Juan proyecta una sombra de 0.48. ¿Cuál es la estatura de la hermana de Juan?

Solución

Se hace el planteamiento

�

1.60

x=

0.96

0.48

�

x =1.60( ) 0.48( )

0.96=

0.768

0.96= .80

Respuesta: La estatura de la hermana de Juan es de 0.80m

1.60

x

0.96 0.48

Guía enlace106

Problema 4

¿Cuál es el valor que falta en los siguientes triángulos rectángulos?

A) B)

Vamos a resolver el problema con el Teorema de Pitágoras, que dice:“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

12

x

5

24

x7

c

b

a

En el triángulo del inciso A, para encontrar el valor de la hipotenusa queda el planteamiento:

�

Hipotenusa = Cateto2 + Cateto2

�

c = 72 + 242

�

c = 49 + 576

�

c = 625

c = 25

En el triángulo B

Se va a encontrar el valor de x = cateto

�

Cateto = hipotenusa2 − cateto2

�

b = 125 − 52

�

b = 144 − 25

�

b = 119

b = 10.91

Aplica

Pon en práctica tus conocimientos. Determina el valor de x en los siguientes triángulos y explica la relación que hay entre ellos.


5. Cálculo de áreasÁreas

Llamamos área a la medida de la superficie interior de un polígono.

Cuadriláteros

Para algunos cuadriláteros el área puede obtenerse mediante las siguientes fórmulas:

A = a2 A = ab A = hc

�

A =a + b( )h

2

�

A =Dd

2

Determina el área de la siguiente figura:

3

40 4

xx30

a b h

a

b

a

9

16

c

cd h

a

b

d

D

A = (16)(9) = 144

Polígonos regulares

Apotema

Apotema es la recta perpendicular que va de cualquier lado al centro del polígono. El apotema coin-cide con el radio de una circunferencia inscrita en el polígono.

Guía enlace108

Para calcular el área de polígonos regulares se utiliza la fórmula:

�

A =Pc

2Donde

P = Perímetro del polígono

c = apotema

Ejemplo

Determina el área de la siguiente figura:

Solución

P = 6(5) = 30

c = 3

�

A =30( ) 3( )

2=

90

2= 45

Resultado

El área es 45u2 u = unidades

Triángulos

El área de un triángulo se calcula con la fórmula:

�

A =bh

2

Donde

b = base del triángulo

h = altura del triángulo

Ejemplo:

Determina el área del siguiente triángulo:

Apotema

53

9

14


CírculoEs la superficie plana que está contenida dentro de una circunferencia.

Segmento circular

Es la parte del círculo que limitan un arco y una cuerda.

Semicírculo

Es la mitad del círculo, está limitado por el diámetro y la semicircunferencia.

Sector circular

Es una parte del círculo limitada por dos radios y un arco.

Se calcula con la fórmula

�

A =bh

2

Se realiza la operación

�

A =14( ) 9( )

2=

126

2= 63

Resultado: El área es 63u2 u = unidades

6. Circunferencia y círculoUna circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos son equidistantes de un punto situado en el mismo plano denominado centro.Los elementos principales de la circunferencia son:

• Diámetro:Eselsegmentoderectaqueunedospuntosdelacircunferenciapasandoporelcentro.• Radio:Eselsegmentoderectaquepartedelcentroyvaacualquierpuntodelacircunferencia.• Cuerda:Eselsegmentoderectaqueunedospuntosdelacircunferencia,lacuerdamayordeuna

circunferencia es el diámetro.• Tangente:Eslarectaquesólotocaunpuntodelacircunferencia

Diámetro

RadioCentro

Cuerda

Tangenta

Guía enlace110

El círculo tiene perímetro y área. Para calcularlos es necesario que recuerdes el valor de π que ya redondeado es:

π = 3.1416

Perímetro de un círculo

El perímetro de un círculo se calcula con la fórmula:

C = 2πr

C = Perímetro

Ejemplo:

Calcula el perímetro de un círculo cuyo radio es igual a 28cm.

C = 2πr = 2(3.1406)(28) = 175.93

C = 175.93cm

Área de un círculo

El área del un círculo se determina con la fórmula siguiente:

A = πr2

Ejemplo:

Calcula el área de un círculo cuyo radio es 9cm.

A = πr2 = (3.1406)(92) = (3.1406)(81) = 254.47

A = 254.47cm2

Cálculo del radio

Si se pide calcular el valor del radio conociendo el perímetro del círculo se sigue el siguiente proce-dimiento:

Calcular el valor del radio de un círculo cuyo perímetro mide 138.17

C = 2πr

138.17 = 2πr

Se despeja r

�

r =138.17

2π( )=

138.17

2 3.1416( )=

138.17

6.2832= 21.99

r = 21.99

Semicírculo

Semicircu

nferen

cia

Arco

Segmento Círculo



Problema 1

El señor Jiménez desea poner una cerca de alambre alrededor de un terreno con la forma de la si-guiente figura. ¿Cuántos metros debe medir el alambre?

Se calcula el valor del arco de la semicircunferencia. Si la medida del diámetro es de 8, el radio = 4.

P = longitud de la semicircunferencia

P = πr = (3.1406)(4) = 12.57

P = 12.57

Se suman las longitudes de los lados más el perímetro de la semicircunferencia

P = 27 + 27 + 16 + 12.57 + 8 = 90.57

Resultado: El alambre para la cerca debe ser de 90.57m

AplicaPon en práctica tus conocimientos. Resuelve el siguiente problema.

27m

4m

8m

4m

4.5m

17.5m

7.5m9m

4.5m

La siguiente figura muestra la forma de una sala de conferencias. Se requiere para la instalación eléctrica de la misma, colocar cable alrededor de los muros. ¿Cuántos metros debe medir el cable?

Guía enlace112

7. Figuras planas y tridimensionalesAhora vamos a ver cómo calcular el área de algunas figuras sólidas y figuras planas. Entre ellos están los poliedros, el prisma, las pirámides y las figuras esféricas.

PoliedrosUn poliedro es un sólido geométrico limitado por superficies planas, cada superficie plana es un po-lígono.

Elementos de los poliedros

Sus elementos son: caras, aristas y vértices.

Caras

Son los polígonos que limitan un determinado sólido.

Arista

Es la intersección de dos caras.

Vértice

Es el punto de convergencia de las aristas.

Caras

Vértice

Aristas

Los poliedros se clasifican principalmente en regulares e irregulares.

Poliedros regulares

Las caras de un poliedro regular son polígonos regulares iguales.

A continuación se presentan los poliedros regulares y su representación en un plano.

Nombre Sus caras son Figura Representación plana

Tetraedro Cuatro triángulos equiláteros

Hexaedro o cubo Seis cuadrados


Octaedro Ocho triángulos equiláteros

Dodecaedro Doce pentágonos regulares

Icosaedro Veinte triángulos equiláteros

Volumen

Es el espacio ocupado por un cuerpo.Cada uno de los poliedros que vimos tiene una fórmula para determinar su volumen. Para fines

de esta unidad sólo veremos algunos.

Problema 1

Determina el volumen del siguiente hexaedro.

Volumen = V = L2

Donde L = Longitud de una arista

V = 32 = 27

V = 27 cm3

Prisma

Es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos iguales y paralelos, el resto de las caras son paralelogramos.

Existen diferentes tipos de prismas:

3cm

Guía enlace114

Nombre Sus bases son Figura Representación plana

Triangular Triángulos

Pentagonal Pentágonos

Rectangular Rectángulos

Cuadrangular Cuadrados

Problema 2

Observa la siguiente figura:

<

4cm

14cm


Si la altura del triángulo de la base mide 6cm ¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos del prisma?La fórmula para determinar el volumen de un prisma es:

V = Bh

Donde,

B = área de la base

h = altura del prisma

El área de un triángulo es

�

A =base( ) altura( )

2=

6( ) 4( )2

=24

2= 12

Por lo que el volumen del prisma es

V = (12)(14) = 168

V = 168cm3

Pirámides

Es el sólido que tiene por base un polígono cualquiera y las caras son triángulos que se concentran en un solo punto llamado vértice.Los elementos de una pirámide son:

Pirámide recta

Es aquélla cuyas caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Pirámide regular

Es cuando la base es un polígono regular y sus aristas laterales son de igual longitud.

Volumen

El volumen de una pirámide regular es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) de la pirámide y dividido entre 3.

�

V =Bh

3

Apotema

AlturaCara lateral

Base

Vértice

a

r

ha

h

B I

Guía enlace116

Problema 3

Determina el volumen de la siguiente pirámide que tiene como base un cuadrado:

Donde h = 6 cm; l = 3 cm

�

V =6( ) 9( )3

=54

3= 18cm3

Cono circular

Cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Se llama circular porque al girar el triángulo rectángulo se dibuja sobre la base un círculo.

a

h

B I

h a

r

Para determinar el volumen seguimos la fórmula:

�

V =πr 2h

3

Problema 4

Determina el volumen en centímetros de un cono circular cuyo radio de la base es 3cm y la altura es 9cm.

�

πr 2h

3=

3.1416( ) 32( ) 9( )3

=254.47

3= 84.82

V = 84.82cm3

Aplica

Pon en práctica tus conocimientos. Encuentra qué figura puedes formar con los siguientes elementos en desorden.


8. Conceptos básicos de simetría

Simetría

Es la correspondencia exacta de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano.

Centro de simetría

Es el punto de una figura, de manera que cualquier recta que pase por él determinará puntos corres-pondientes en ambos lados de dicha recta y a la misma distancia.

Eje de simetría

Es la recta que se toma como eje de giro de una figura para superponer todos los puntos similares.

Plano de simetría

Divide una figura en dos partes, de manera que cada una de ellas es la imagen semejante de la otra.

Problema 1

Determina si las dos figuras son simétricas.

Se fijan los puntos de los extremos de la siguiente forma:

Eje de simetría

Al fijar los puntos de los extremos podemos ver que sí son simétricas.

Problema 2


Al fijar los puntos de los extremos vemos que sí son simétricas.

Problema 3


Guía enlace118

Al fijar los puntos de los extremos se obtienen formas desiguales. Por lo tanto, NO son simétricas.

Aplica

Pon en práctica tus conocimientos. Determina si las dos figuras son simétricas.

9. Aplicar funciones y leyes trigonométricas para la resolución de problemas

Conversiones entre medidas angulares y circulares de ángulos agudos

Las unidades de medida que veremos en esta parte son los ángulos y los radianes.Los grados son cada una de las 360 partes iguales, en que puede dividirse la circunferencia y se em-plean para medir los arcos de los ángulos.Radián es un ángulo cuyo arco tiene igual longitud que el radio de la circunferencia. Se simboliza como rad

3 π 4

5 π 6

2 π 3

1 π 2

1 π 3 1 π

4 1 π 6

7 π 4 5 π

3 3 π 2

4 π 3

5 π 4

7 π 6

π

11 π 6

0,2 π

Radianes

90 6045

30

0, 360

330

315

300270240

225

210

180

150

135

120

Grados


Convertir grados a radianes

Se multiplica por

�

π180°

Convertir 30° a radianes

�

30° = 30°π

180°

=

30°π180°

=

1

6π

Convertir radianes a grados

Se multiplica por

�

π180°

Convertir

�

1

6π a grados

�

1

6π =

1

6π

180°π

�

=1 180°( )π

6π=

1 180°( )6

30°

Convertir 15° 12 30" a radianes

Se convierte el ángulo a su forma decimal

15° 12 18" = 15° + (12/60)° + (18/3600)° = 15° + 0.2° + 0.005° = 15.20°

Se multiplica por

�

π180°

�

15.20°n

180°

=

15.20°π180°

=1520π1800π

=760π9000

=19

225rad

Funciones trigonométricas

Vamos a definir las razones seno, coseno y tangente, tomando como base el siguiente triángulo.

�

seno A =cateto opuesto

hipotenusa

�

coseno A =cateto adyacente

hipotenusa

�

tangente A =cateto opuesto

cateto adyacente

�

sen A =a

c

�

cos A =b

c

�

tan A =a

b

Obtener los valores de funciones trigonométricas

Ángulos de 30°

a

b

A

c

2

30˚

1

Guía enlace120

Calcular el valor de la función trigonométrica del triángulo.

�

sen30° =co

h

�

sen30° =1

2

�

Cos30° =ca

h

�

Cos30° =3

2

�

Tan30° =co

ca

�

Tan30° =1

3=

3

3

Ángulos 45°

Calcula el valor de las funciones trigonométricas del triángulo.

�

sen45° =co

h

�

sen45° =1

2=

2

2

�

Cos45° =ca

h

�

Cos45° =1

2=

2

2

�

Tan45° =co

ca

�

Tan45° =1

1= 1

Ángulos de 60°

45˚

1

1

�

2

Calcula el valor de las funciones trigonométricas del triángulo.

�

sen60° =co

h

�

sen60° =3

2

�

Cos60° =ca

h

�

Cos60° =1

2

�

Tan60° =co

ca

�

Tan60° =3

1= 3

12 60˚

�

3


Si continuáramos calculando los valores de las funciones trigonométricas, como se hizo en los grados 30°, 45° y 60°, los podríamos acomodar en la tabla de valores:

Grados Radianes sen cos tan

0° 0 0 1 0

30°

�

π6

�

1

2

�

3

2

�

3

3

45°

�

π4

�

2

2

�

2

21

60°

�

π3

�

3

2

�

1

2

�

3

90°

�

π2

1 0 ∞

120°

�

2π3

�

3

2

�

−1

2

�

− 3

135°

�

3π4

�

2

2

�

−2

2−1

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Ahora vamos a localizar el siguiente punto en el plano cartesiano

P = (cos45°, sen45°)

Tomamos los valores de la tabla anterior y obtenemos

�

cos45° =2

2; sen45° =

2

2

Lo localizamos en el plano cartesiano siguiente donde previamente hemos dibujado un círculo de radio uno (circulo unitario).

Procedemos de la misma forma con el ángulo de 135°

�

cos135° =2

2; sen135° =

2

2

y

x

y −

x −

45°45°

�

P −2

2

Guía enlace122

Si lo observas, son los mismos valores que del ángulo 45°, sólo que los valores de coseno son nega-tivos, lo cual indica que los puntos se ubican en el segundo cuadrante. Por lo que deberás tener en cuenta la ley de los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes del plano cartesiano:

SEGUNDO CUADRANTE

Sólo seno es positivasen + cos − tan −

PRIMER CUADRANTE

Todas las funciones son positivassen + cos + tan +

TERCER CUADRANTE

Sólo tangente es positivasen + cos − tan +

CUARTO CUADRANTE

Sólo coseno es positivosen − cos + tan −

Funciones recíprocas

La función recíproca de la función a es

�

1

a.

Si la expresión es

�

a

b, su recíproco es

�

b

a. Observa lo siguiente:

La expresión Es recíproca de

�

sen a =a

c

�

csc a =c

a

�

cos a =b

c

�

sec a =c

b

�

tan a =a

b

�

ctg a =b

a

Valores de funciones trigonométricas

Para obtener los valores de funciones trigonométricas de ángulos de cualquier medida, se usa la cal-culadora, o tablas y el ángulo de referencia.

Tabla de función de seno Está representada de la forma

Ángulo Valor de seno0° 030° 0.545° 0.7160° 0.8790° 1

120° 0.87135° 0.71150° 0.5180° 0210° −0.5225° −0.71240° −0.87270° −1300° −0.87315° −0.71330° −0.5360° 0

grados 0° 90° 180° 270° 360°

rad

�

π2

90° π

�

3π2

2π

−1

1


Tabla de función coseno Está representada de la forma

Ángulo Valor de coseno

0° 1

30° 0.87

45° 0.71

60° 0.5

90° 0

120° −0.5

135° −0.71

150° −0.87

180° −1

210° −0.87

225° −0.71

240° −0.5

270° 0

300° 0.5

315° 0.71

330° 0.87

360° 1

Tabla de función tangente Está representada de la forma

Ángulo Valor de tangente

0° 0

30° 0.5773

45° 1

60° 1.73

90° ∞

120° −1.73

135° −1

150° −0.5773

180° 0

210° 0.5773

225° 1

240° 1.73

270° ∞

300° −1.73

315° −1

330° −0.5773

360° 0

grados 0° 90° 180° 270° 360°

rad

�

π2

π

�

3π2

2π

−1

1

0˚

90˚ 270˚

180˚360˚

Guía enlace124

Relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos

Problema 1

Calcula el valor de A.Tomamos el valor de sen40° para buscar el valor de la hipotenusa.

�

sen40° =12

x

�

0.6428( ) =12

x

�

x =12

0.6428( )= 18.67

x = 18.67

Ahora buscamos el valor de b y consideramos a cos40°

�

cos40° =b

18.67

�

0.7660 =b

18.67

b = (0.7660)(18.67) = 14.30

b = 14.30

Problema 2

Analiza la siguiente figura:

Si el cateto adyacente mide 8cm. Hallar el valor de la hipotenusa y del cateto opuesto.

40˚

12

b

x

45˚

a

b

x


Tomamos el valor de cos45° para buscar el valor de la hipotenusa.

�

cos45° =8

h

�

.7071( ) =8

h

�

h =8

0.7071= 11.31

h = 11.31

Para calcular el valor del cateto opuesto utilizamos la función de sen45°.

�

sen45° =co

11.31

�

0.7071( ) =co

11.31

co = 0.7061(11.31) = 7.997

co = 7.997

Problema 3

Un edificio se encuentra a 7m de distancia, de donde se halla el observador. Si el ángulo de elevación es de 30°, ¿cuál es la altura del edificio?

7 m

h

30˚

Utilizamos la función trigonométrica tangente, ya que los datos que sabemos son el ángulo y el cateto adyacente.

�

tan30° =h

7

Sustituimos los datos y hacemos el despeje de h para obtener el valor.

�

0.5773( ) =h

7

h = 0.5773(7) = 4.04

h = 4.04m

Guía enlace126

Relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos oblicuángulosLey de senos

Establece que en un triángulo oblicuángulo la razón que existe entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es igual.

�

a

sen a=

b

sen β=

c

sen γa

b

c

a

γ

β

Se utiliza para la resolución de problemas en triángulos que no son rectángulos, el requisito es conocer dos lados del triángulo y un ángulo, o bien, dos ángulos y un lado.

Ley de cosenos

Utilizar esta ley nos permite calcular la medida de un ángulo desconocido cuando se conoce el valor los tres lados. Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, permite conocer la medida del lado opuesto al ángulo.

La ley de los cosenos establece que:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = c2 + a2 − 2ca cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos CB

A Cb

ca

Ley de tangente

Esta ley establece que:

�

a − c

a + c=

tanA − C

2

tan A + C( )2

�

b − c

b + c=

tanB − C

2

tan B + C( )2

�

a − b

a + b=

tanA − B

2

tan A + B( )2

BA

C

b

c

a


Problema

Un ingeniero civil necesita delimitar una propiedad de forma triangular. Si sabemos que el ángulo β = 30° y sus lados a = 25m y b = 16m, ¿cuál es la medida del ángulo a y la del lado c?

b

c

a

a

γ

β

Se sustituyen en la fórmula de senos todos los valores que conocemos y procedemos como si utilizá-ramos las razones

�

25

sen a=

16

sen 30°

�

sen a =25( ) 0.5( )

16=

12.5

16= 0.7812

a = 51.3752

a = 51°22'30

Como ya sabemos que la suma de los ángulos internos es de 180° entonces se aplica

a + β + γ = 180°

Se despeja

γ = 180° − a − β = 180° − 51.3752 − 30 = 98.6248°

Resultado

γ = 98.6248°

Aplica

Pon en práctica tus conocimientos. Determina el valor de x en el siguiente triángulo.

C

x

AC = 32

B

45˚

60˚

Guía enlace128

5. A un cubo que mide 3cm de arista se le hace un hueco en el centro en forma de prisma de base cuadrangular como lo indica la figura. ¿Cuál es el volumen del nuevo sólido?

a. 27 cm3

b. 26 cm3

c. 24 cm3

d. 18 cm3

6. ¿Cuál es el volumen del siguiente silo?

a. 636.6976 cm3

b. 502 .656 m3

c. 652 cm3

d. 703.7184 cm3

7. ¿Cuál expresión permite calcular el volumen que queda entre el cubo y la pirámide, si la arista del cubo mide 6 cm?

a.

�

2 6( )3 − 1( )3

b.

�

2 6( )3( )3

c.

�

3 6( )3( )4

d. 2(62)

1. ¿Con cuál expresión se obtiene el perímetro de la figura sombreada si sus vértices son puntos medios del cuadrado ABCD?

a.

�

4100

2

b.

�

50

c.

�

4 100

d. 50

2. ¿Cómo se escribe en notación decimal 5º 12’ 36’’?

a. 5.21b. 5.13c. 5.12d. 5.2

3. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero que mide 2cm por lado?

a.

�

3 cm2

b. 2 cm2

c. 4 cm2

d. 2

�

3 cm2

4. ¿Cuál es el área del siguiente cuadrado?

A) 100 cm2

B) 200 cm2

C)

�

100 cm2

D)

�

200 cm2

¿Qué aprendí?

Ahora comprueba lo que aprendiste. Resuelve los siguientes reactivos y al final realiza tu autoevaluación com-parando tus respuestas con las de la hoja de respuestas correctas.

A

C

B

D

Área de ABCD = 100cm2

El área del círculo es 314 cm2

(π = 3.14).

10 m 14 m


9. ¿Cuál es el área y perímetro de la siguien-te figura?

a. 193.8087cm2 y 123.4116 cmb. 190.274 cm2 y 69.4116 cmc. 193.8087 cm2 y 69.4116 cmd. 190.274 cm2 y 123.4116 cm

10. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un icoságono?

a. 44b. 170c. 361d. 340

ABCD es un cuadradoAB = 9 cm

8. ¿Cuál es el perímetro de la vista superior del si-guiente sólido formado por cubos que miden 3cm de arista?

a. 42 cmb. 54 cmc. 63 cmd. 84 cm

De la figura anterior, ¿cuál es la vista frontal?

a. b.

c. d.

A

C

B

D

Guía enlace130

Autoevaluación

Llena en el alveolo tus respuestas y compáralas con las respuestas que aparecen al final de tu libro. Finalmente, realiza tu autoevaluación colocando en la columna de la derecha si fue correcta o inco-rrecta.

Tus respuestasAutoevaluación

1 A B C D E

2 A B C D E

3 A B C D E

4 A B C D E

5 A B C D E

6 A B C D E

7 A B C D E

8 A B C D E

9 A B C D E

10 A B C D E

11 A B C D E

12 A B C D E

13 A B C D E

14 A B C D E

15 A B C D E

16 A B C D E

17 A B C D E

18 A B C D E

19 A B C D E

20 A B C D E

TOTAL

Guia enlace 2010 unidad VIII

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