Guía 3 ejercicios Geometría Teorema de las Secantes:

“ Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia son iguales”

Sea P : Punto de Intersección Exterior A, B, C y D puntos de intersección con la circunferencia

Entonces : PA*PB = PC*PD

Observación.- La relación PA*PB = PC*PD señala que los segmentos de las secantes, medidos desde el punto exterior a la intersección con la circunferencia, son inversamente proporcionales a los segmentos medidos desde el punto exterior al punto más cercano de la intersección con la circunferencia.Ejemplo.-

1.- Consideremos la siguiente figura, donde se tiene que:

PB = 12 cmPA = 36 cmPD = 9 cmDeterminar la medida del segmento PC

Sea PC = xEntonces según el teorema

PC*PD = PA*PB

2.- Calculemos las medidas de los segmentos PA y PC indicados en la figura, si:

PA = (x + 9 )dmPB = (5 – x ) dmPC = (9 – x) dmPD = (x + 4) dm

Segun el teorema

PC*PD = PA*PB

Teorema de la Tangente y la Secante:

P

A

B

DC

x O

A

B P

C

D x O

PB

A

DC

x O

“Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una secante, entonces el cuadrado de la medida de la distancia desde ese punto P al punto de tangencia, es igual al producto de la distancia que hay desde P a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia.”

Sea P punto exterior cualquieraT punto de tangenciaA y B puntos de intersección de la secante con la circunferenciaEntonces: PT2 = PA*PB

Observación.- La relación PT2 = PA*PB señala que la distancia desde un punto P al punto de tangencia, es la media proporcional geométrica, entre la distancia desde el punto P a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia.

EJEMPLO:En la circunferencia de la figura, consideremos que AB = 30 cm y BP = 2 cm. Calculemos la medida de PT.Sea PT = xPor teorema de la Tangente y la Secante

PT2 = PA*PBRemplazando x2 = 32*2 x2 = 64 x = 8Por lo tanto, PT mide 8 cm

EJERCICIOS.-1.- En la figura, PA y PB son secantes trazadas desde un punto P exterior a la circunferencia. Calcula el valor de x si: i) PA = 24 m ; PB = 9 m ; PC = 18 m; PD = x ii) PA = (23 + x) cm; PB = 2x cm; PC = (18 + x) cm PC = (18 + x) cm; PD = (7 – x) cm iii) PC = 24 cm; AB = 10cm; PA = 16 cm; DC = x

2.- En la circunferencia de la figura, la tangente PT y la secante BA se intersectan en el punto P. Calcula el valor de x, en cada caso. i) PA = 4 m; PB = 1 m; PT = x ii) PB = 5 m; AB = *PB; PT = x iii) PB = AB; PT = 6 m; PA =x

P

B

A

T

x O

A B P

T

x O

A

BP

C

D x O

P

T

B A

x O