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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 [2017] BIOESTADISTICA Para Ciencias Veterinarias. FCV-UNCPBA Parte Práctica Guía de ejercicios. Hojas de fórmulas y tablas Edgardo Rodriguez, Juan Passucci, Rosana Cepeda, Marcelo Rodriguez

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

[2017]

BIOESTADISTICA Para Ciencias Veterinarias. FCV-UNCPBA

Parte Práctica Guía de ejercicios. Hojas de fórmulas y tablas

Edgardo Rodriguez, Juan Passucci,

Rosana Cepeda, Marcelo Rodriguez

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Bioestadística

Cronograma 2017

17/8/2017 Teórico (9hs) Introducción. Medidas de Tendencia central y de dispersión

Práctico 1 y 2 Com A=12 hs Com B=14 hs

24/8/2017 Teórico (9hs) Tasas e Índices.

Práctico 3 Com A=12 hs Com B=14 hs

31/8/2017 Teórico (9hs) Probabilidades. Modelos probabilísticos, parte 1

Práctico 4 Com A=12 hs Com B=14 hs

7/9/2017 Teórico (9hs) Modelos probabilísticos, parte 2.

Práctico 5 Com A=12 hs Com B=14 hs

14/9/2017 1er Parcial Horario y aula a definir

21/9/2016 Rec. 1er parcial Horario y aula a definir

28/09/2017 Teórico Muestreo Inferencia Estadística

Practico 6 Com A=12 hs Com B=14 hs

5/10/2016 Olimpíadas

12/10/2017 Teórico 9 hs Toma de decisión. "t" de Student. Test “z”.

Práctico 7 Com A=12 hs Com B=14 hs

19/10/2017 Sin actividad

26/10/2017 Teórico (9hs) Chi cuadrado

Practico 8 y9 Com A=12 hs Com B=14 hs

2/11/2017 Teórico (9hs) Regresión y correlación. ANOVA

Práctico 10 Com A=12 hs Com B=14 hs

9/11/2017 Rec. de Prácticos 2do Parcial

16/11/2017 Sin actividad

23/11/2017 Rec. 2do Parcial

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Trabajo Práctico Nº 1:

Resumen de datos: Medidas de Tendencia Central (MTC) Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la altura de 30 animales seleccionados de manera aleatoria de un lote de vaquillonas:

Variable Frecuencias

absolutas Frecuencias relativas

(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada

1.20 1 1 3.3% 3.3%

1.21 4 5 13.3% 16.6%

1.22 4 9 13.3% 30.0%

1.23 2 11 6.6% 36.6%

1.24 1 12 3.3% 40.0%

1.25 2 14 6.6% 46.6%

1.26 3 17 10.0% 56.6%

1.27 3 20 10.0% 66.6%

1.28 4 24 13.3% 80.0%

1.29 3 27 10.0% 90.0%

1.30 3 30 (total) 10.0% 100%

1- Calcular la media

253.130

6.37

30

3.30,1......4.22,14.21,120,11

n

fx

x

n

i

ii

2-Calcular la mediana a) Ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

1º 2º 3º 4º 5º 15º 16º 21º 22º 23º 30º

1.20 1.21 1.21 1.21 1.21 1.26 1.26 1.28 1.28 1.28 1.30

b) Calcular el orden de la mediana Mdº.

º5.152

130

2

1nMdº

Ubicar el valor de la mediana, en este caso promedio entre el orden 15 y 16.

Md=2

26.126.1 =1.26

Guía teórica. 1) Concepto y utilidad de las medidas de tendencia central. 2) Mencione las ventajas y desventajas de la media aritmética, mediana y de la moda. 3) Mencione las propiedades de la media aritmética.

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 Ejercicios

1.1 Clasificar en cualitativas y cuantitativas las variables que intervienen en cada uno de los siguientes estudios.

1. Alimento favorito en un criadero de gatos. 2. Número de animales enfermos de brucelosis en los 50 establecimientos ganaderos más importantes de

la Pcia. de Buenos Aires. 3. Tipo de manejo pastoril (pasturas implantadas y/o pastizales campos naturales) en varios

establecimientos agropecuarios. 4. Litros de leche producidos diariamente en un tambo. 5. Tiempo en horas de pastoreo del ganado ovino de un establecimiento. 6. Ganancia de peso de un lote de pollos parrilleros.

1.2 En los siguientes enunciados identificar las variables

1. Número de animales vendidos diariamente a un frigorífico 2. Temperaturas registradas cada hora en una cámara. 3. Numero de lesiones que sufre un animal al ser transportado. 4. Cantidad de agua que consume un grupo de animales 5. Peso al destete de terneros 6. Edad, en meses de los cachorros de un criadero. 7. Número de colmenas por apiario en el partido de Tandil.

1.3 Los siguientes datos corresponden al número de vacas preñadas en 20 establecimientos de cría de la pcia. de Buenos Aires.

150; 200; 150; 180; 220; 130; 130; 160; 150; 190; 180; 150; 160; 200; 160; 150; 180; 160; 140; 130

a) ¿Qué tipo de variable es? b) Construir la tabla de distribución de frecuencias y realizar un grafico acorde. Calcular la media, mediana y moda. 1.4 En una veterinaria pequeña de la ciudad de Tandil se tomaron los siguientes datos, correspondientes al N°

de cachorros vacunados contra parvovirus, de cada sexo de los últimos 5 años.

Año Machos Hembras

2010 32 43

2011 27 24

2012 29 32 2013 29 31

2014 31 31

a) Calcular la frecuencia relativa para los datos correspondientes a los machos y a las hembras.

b) Graficar los datos.

1.5 Calcular la media, mediana y moda en las siguientes distribuciones de frecuencias

xi (nro de lactancias) 1 2 3 4 5 xi (días de tratam) 61 64 67 70 73

fi (cantidad de animales) 10 12 7 7 3 fi 5 18 42 27 8

1.6 Los siguientes datos corresponden a observaciones realizadas sobre el % de grasa en la leche de 48 vacas Jersey. La distribución se presenta por intervalos de clases:

% grasa 3.4-3.6 3.6-3.8 3.8-4 4.0-4.2

Nº de vacas 5 15 20 8

a) Realizar el histograma y el polígono de frecuencia b) ¿Qué porcentaje de vacas han dado grasa en leche entre 3,6 y 3.99?

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1.7 Representar gráficamente la siguiente distribución de frecuencias y calcular e interpretar el promedio, si la variable corresponde a los minutos que una serie de animales consumen un alimento.

X Y 0-10 22 10-20 26 20-30 92 30-40 86 40-50 74 50-60 27 60-70 12

1.8 Un veterinario observa el número de caries en 100 perros. La información se muestra en la siguiente tabla:

Nº de caries Fi Fir 0 25 0.25 1 20 0.2 2 X Z 3 15 0.15 4 Y 0.05

a) Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.

b) Hacer un gráfico acorde.

c) Calcular el número medio de caries por animal.

1.9 Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística. Calcular la media, mediana y moda.

xi fi Fi fir

1 4 0.08

2 4

3 16 0.16

4 7 0.14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

1.10 El siguiente grafico corresponde al registro de razas ovinas de un lote de 120 animales. Hallar la frecuencia observada y construir la tabla de frecuencias.

20%

25%

55%

Merino Criollo Correidale

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 1.11 A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los datos, el 4.47 y el 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

1.12 El histograma que sigue muestra la distribución correspondiente al peso de 100 perros adultos de razas grandes

a) Construir la tabla de distribución de frecuencias. b) Si Sancho es un perro que pesa 72 kg, ¿Qué porcentaje de perros pesan menos que él? c) Indicar un valor aproximado de la mediana d) ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los perros más pesados?

1.13 La siguiente tabla muestra el valor calórico (Kcal/ración) de 20 marcas de alimento balanceado estándar y

de 12 marcas de alimento fortificado.

Estándar Kcal Fortificado Kcal Canente 125 Cura 135 Cura 125 fomesa 135 Curra 150 Dan 130 Dan 135 Desa 135 Desa 150 Erus 125 Erus 130 Gafin 140 Fomesa 130 Les 150 Foleda 145 Mali 135 Fura 135 Naria 135 Gafin 145 Sanli 145 Gelo 130 Suno 150 Hipu 140 Veras 130 Hela 150 Les 150 Mali 140 Neria 145 Pros 130 Riz 130 Suno 130 Veras 140 a) ¿Cuáles es (o son) la(s) variable (s) que podrían considerarse?

b) Escribir y representar la distribución de frecuencias de las Kcal.

c) Graficar de manera acorde los dos grupos de datos.

d) Calcular la media, mediana y moda de Kcal por tipo de alimento y compararlas.

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Trabajo Práctico Nº 2

Resumen de datos. Medidas de Dispersión

Ejemplo: El siguiente conjunto de datos es la cantidad de cachorros en un parto, en 50 perras.

1 4 7 2 5 5 4 6 9 2 6 3 2 4 3 5 2 4 7 4 5 5 4 6 3 4 3 6 4 3 5 1 4 7 4 5 3 3 4 5 4 3 5 5 1 6 8 5 3 6 3 4 4 2 4

Calcular del rango, variancia, coeficiente de variación y error estándar.

X fi (x - x ) (x - x )2 f i. (x - x )2

1 3 -3.218 10.356 31.067

2 5 -2.218 4.920 24.598

3 10 -1.218 1.484 14.835

4 15 -0.218 0.048 0.713 5 11 0.782 0.612 6.727

6 6 1.782 3.176 19.053

7 3 2.782 7.740 23.219

8 1 3.782 14.304 14.304

9 1 4.782 22.868 22.868

Total 55 157.382

a) Rango= Max – Min=9-1=8

b)

914.254

382.157

155

868.221304.141920.45356.103

1

)(

ˆ)(var 1

2

22

n

xxf

Sx

n

i

ii

c) desvío estándar 707.1914.22 SS

d) coeficiente de variación: CV= %47.40100*218.4

914.2100*

x

S

e) error estándar EE= 2302055

9142.

.

n

S

Guía teórica 1) Dar el concepto y utilidad de las medidas de dispersión. 2) Mencionar las propiedades de la variancia 3) ¿Cuál es la utilidad del coeficiente de variación? 4) ¿Que es el error estándar (EE)? Guía práctica: 2.1 La siguiente serie de datos los padrillos de un haras:

12 6 7 3 15 10 18 5 Hallar el rango, la varianza y el desvío

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 2 .2 Con los siguientes datos, edad en años de toros en un establecimiento:

3 8 4 10 6 2

a) Calcular su media y varianza.

b) Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, ¿Cuál será la nueva media y varianza? 2.3 El resultado de lanzar dos dados 120 veces y observar la suma viene dado por la sig tabla:

X=Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frec=Nro.Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

a) Calcular la suma media ( x ) y su desvío estándar (S)

b) Hallar el porcentaje de datos comprendidos en el intervalo ( SxSx , )

2.4 Calcular la media, la varianza, el desvio y el coeficiente de variación, tras encuestar a 25 familias sobre el número de animales que tenían, se obtuvieron los siguientes datos.

Nº de animales (Xi) 0 1 2 3 4

Nº de familias(ni) 5 6 8 4 2

2.5 El siguiente gráfico, conocido como box plot corresponde a un estudio realizado sobre la Diarrea Viral

Bovina, esta es una enfermedad infecciosa de alta prevalencia en bovinos de cualquier edad y en diversos

lugares del mundo, que provoca un importante impacto económico debido principalmente a pérdidas de tipo

reproductivo que se manifiestan por abortos, defectos congénitos, mortalidad neonatal y problemas de

fertilidad, entre otros. Existen varias técnicas de diagnóstico, una de ellas es el método inmunoenzimático

(ELISA) para la detección de anticuerpos.

Interpretar el gráfico de cantidad de anticuerpos, y completar el siguiente enunciado:

Los valores límites observados para la cantidad de anticuerpos por la técnica de ELISA, del total de muestras analizadas, fueron de …………… El 50 % de las muestras presentó ………… anticuerpos o menos. El 25% de las muestras que mas anticuerpos presento superan …………. anticuerpos

2.6 La muestra A de tamaño 100 tiene un CV del 30%, el mismo que la muestra B de tamaño 50 ¿Quién tiene más variabilidad?

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 2.7 En un grupo de 50 novillos se registro el peso en Kg. y la altura en cm. Obteniendo los siguientes valores:

Variable Promedio Variancia Altura 120 576 Peso 380 1444

¿Los novillos estudiados son más homogéneos en su peso o en su altura? 2.8 El siguiente gráfico representa la distribución de los tiempos de reacción a una droga según dos dosis (a y b) en un mismo grupo de animales. Describir el comportamiento de los tiempos según cada dosis.

Tiempo de reacción a una droga con dos dosis

a b

Dosis

5.15

9.83

14.50

19.18

23.85

Tie

mp

o d

e R

ea

ccio

n

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Trabajo Práctico Nº 3:

Tasas e Indices

Ejemplo

1- En una explotación de ganado vacuno se investiga una enfermedad que clínicamente evoluciona ya sea con la recuperación e inmunidad permanente o con la muerte. El 1 de Julio de 1996 se investiga el rebaño, cuando la enfermedad ya está presente. El tamaño total del rebaño es de 600 vacas, y el número de individuos clínicamente enfermos es de 100 vacas. El 1 de Julio de 1997 se vuelve a investigar el rebaño y se contabilizan 200 vacas nuevas enfermas. Cincuenta de las 100 enfermas al 1 de julio de 1996 se habían recuperado y las otras 50 seguían enfermas. Durante el período de estudio, entre todas las enfermas (nuevas y viejas) 120 individuos murieron.

Prevalencia el 1 de Julio de 1996: 100 / 600 = 0.167 (16.7%)

Prevalencia al 1 de julio de 1997: 250/600= 0.4166 (41.66%)

Incidencia entre el 2 Julio de 1996 al 1 de julio de 1997: 200 / 500 = 0.4 (40%)

Tasa de mortalidad: 120 / 600 x 100= 20 %

Tasa de letalidad durante el año: 120 / 300 x 100 = 40 %

Guía teórica: 1) Definición de razón, proporción y tasas. 2) Concepto y utilidad de los índices. 3) Defina las tasas de morbilidad. 4) Defina las tasas de mortalidad y letalidad. Guía practica: 3.1 En un criadero de perros de la ciudad de Olavarría, y sobre 95 animales existentes, 20 se enfermaron de Leptospirosis durante el año 2008. Conociendo previamente que la letalidad de dicha enfermedad es del 5%, calcule las tasas de morbilidad y de mortalidad. 3.2 En una zona apícola hay 56779 colmenas al 27 de febrero de 2004, de las cuales 3420 son positivas al análisis de Loque Americana en miel. Posteriormente se volvieron a revisar las mismas 56779 colmenas el 30 de mayo de 2004, encontrándose además de las 3420 colmenas enfermas anteriormente, otras 1200 colmenas enfermas más. Calcule la tasa de prevalencia al 28 de febrero, la tasa de incidencia lápsica entre el 28 de febrero y el 30 de mayo y por último la tasa de prevalencia al 30 de mayo. 3.3 En un criadero de caniches de la ciudad de Corrientes que contaba con 250 animales se produjo un brote de Leishmaniasis presentándose 45 casos clínicos. De los enfermos 27 murieron a causa de dicha patología. Calcule las tasas de morbilidad, mortalidad y letalidad correspondientes

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Trabajo Práctico Nº 4:

Probabilidades

Ejemplo: Una urna contiene 15 bolillas: 5 blancas, 4 rojas y 6 negras. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolilla blanca o negra?

733.04.0333.015

6

15

5)()()( negraPblancaPnegraoblancaP

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas con reposición?

071.0267.0267.015

4

15

4)()()2( rojaProjaProjasP

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos bolillas rojas sin reposición?

057.0214.0267.014

3

15

4)/()()2( rojarojaProjaProjasP

Guía teórica: 1. Concepto de espacio muestral y evento. 2. Concepto clásico de probabilidades y concepto frecuencial de probabilidades. 3. Definición axiomática de la probabilidad (Kolmogorov, 1937). 4. Leyes de Laplace 5. Concepto de variable aleatoria. Guía practica: 4.1 Escribir el espacio muestral para los siguientes experimentos: a) Se tira un dado equilibrado dos veces. b) Se extraen dos animales de un lote donde hay animales sanos y enfermos c) Se tira una moneda equilibrada tres veces. 4.2 Como en el ejercicio anterior a) del experimento de tirar dos dados, definimos los eventos: A: la suma de los resultados es par, B: el mayor es 3, C: la diferencia entre los números es 2 4.3 En una colmena existen aproximadamente 50 zánganos y 300 abejas obreras. Si se eligen 3 individuos sin reposición hallar las siguientes probabilidades: a) que las tres sean obreras b) que las dos primeras sean zánganos y la tercera sea obrera c) que por lo menos una sea obrera 4.4 En un Laboratorio de estudio de Conducta Animal, se tienen los siguientes registros de un escore de conducta maternal en ratas que han sido tratadas con un fármaco que se supone incrementa la lactancia. El escore tiene 6 valores (0: ninguna conducta maternal, 5: conducta maternal completa) Score de Conducta Maternal: (Cada score representa la conducta maternal de una hembra). 4 4 4 2 3 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 5 5 4 4 4 4 3 3 3 2 3 2 3 4 5 2 2 2 3 3 4 4 3 5 5 5 4 4 5 4 5 4 5 5 4 4 4 4 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 1 5 5 3 3 2 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 4 5 1 5 4 3 1 a) Calcular la probabilidad de encontrar animales cuyos scores sean menores que 5. ¿Qué significa? b) Estime la probabilidad de encontrar animales cuyo score sea ≥ 3 c) ¿Cual será la probabilidad estimada de encontrar madres cuyo score maternal esté entre 2 y 5? 4.5 En la perrera municipal hay 50 cachorros recién llegados de los cuales se diagnostica que 18 tienen parásitos. Una flia piensa adoptar dos cachorros, si los eligen al azar: a) ¿cual es la probabilidad de que ninguno tenga parásitos? b) ¿cual es la probabilidad de que uno tenga parásitos?

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Trabajo Práctico Nº 5:

Distribución de probabilidades (Binomial, Poisson y Normal) Ejemplos:

a) El peso promedio de un lote de novillos es de 150 Kg. y la variancia de 400 kg2. Asumiendo normalidad. ¿Cuál es la probabilidad de que un novillo elegido al azar pese más de 140 Kg.?

b)

Z= 5.020

10

20

150140

x

P(x 140) = P(Z≥-0.50) = 1-P(Z<-0.5) = 1- 0.30854=0.69146 Expresando dicho resultado en porcentaje, podríamos decir que el 69,146% de los individuos pesan más de 140 Kg. b) Se sabe que una perra Ovejero Alemán tendrá 6 cachorros en una misma gestación: Calcular la probabilidad de que solo 2 sean macho. Dado que se cumplen las características de un modelo binomial, podemos estimar la probabilidad como sigue:

P(X)= n

x n xp qx n x!

! !. .

donde: n=6 x=2 p=0.5 q=0.5 entonces

P(x=2)= 2344.00625.025.0155.05.0123412

1234565.05.0

)!26(!2

!6 42262

c) En una experiencia realizada en una plantación de girasol sometida a polinización un investigador estimó que el promedio de visitas fue de 15 abejas por hora y por capítulo. Calcular la probabilidad de que una planta reciba 10 abejas en 1 horas

Asumiendo que la variable tiene distribución de Poisson podemos calculara la probabilidad como: P(X=k)=!k

ek

,

donde: 15 y X=10, luego,

P(X=10)= 04861.0!10

15 1510

e

Guía teórica: 1) Concepto de distribución de probabilidades y distribución de frecuencias. 2) Características de la distribución Binomial. 3) Características de la distribución Normal. 4) Concepto de Esperanza Matemática. 5) Propiedades de la esperanza y de la variancia

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 Guía practica: 5.1 En un programa de monitoreo se muestrean tambos y en cada uno se toma una muestra al azar de 8 vaquillonas y al realizar el tacto se registra el evento preñada o vacía. Considerando como éxito a la preñez y suponiendo que la probabilidad de éxito para cada vaquillona es 0.75: a. Completar la siguiente tabla, donde X es número de vacas preñadas entre las 8 seleccionadas:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P(X) F(X)

b. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las 8 vaquillonas estén preñadas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 5 de las 8 vaquillonas estén preñadas? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 7 de las 8 vaquillonas estén preñadas?

5.2 La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al administrarse a un ave rapaz en recuperación es de 0.15. Si se les suministro el antibiótico a 10 aves, calcular:

a) la probabilidad de que haya reacción negativa en dos aves b) Que ningún ave presente reacción negativa c) En menos de 4 aves haya reacción negativa

5.3 Se tira un dado 10 veces. Calcular la p de que la cara 3 salga 4 veces. (Binomial) 5.4 Se tiran 20 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 8 caras y 12 cruces? (Binomial) 5.5 En 80 parejas de perros de 4 cachorros ¿cuántas es de esperar que tengan 2 machos y 2 hembras? (Se asume que p=0’5)

5.6 En el año 2005 en una granja de las proximidades de Tandil, el 80% de las cerdas en celo fueron inseminadas con éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que se inseminen con éxito al menos 2, si se selecciona un grupo de 5 cerdas al azar?

5.7 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto se roció un área grande de tierra. Posteriormente, se examinó el área en relación con los insectos vivos, seleccionando por metro cuadrado. Experiencias anteriores han demostrado que el número promedio de insectos vivos por metro cuadrado, después de haber rociado, es de 0,6. Si el número de insectos vivos por metro cuadrado se distribuye según Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que un metro cuadrado elegido al azar contenga:

a) Exactamente un insecto vivo. b) Ningún insecto vivo. c) Tres o más insectos vivos.

5.8 Suponiendo que el peso al destete de la raza Hereford en la Argentina sigue una distribución normal con peso promedio de 160Kg, y un desvío de 5kg. Calcular:

1) ¿Cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, tenga un peso: a) inferior a 158 kg b) Más de 165 kg c) entre 158 y 165 kg. d) Si se tiene una muestra de 65 animales, ¿cuántos se espera que pesen entre 150 y 170kg?

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 5.9 Sabiendo que el diámetro pelviano de las vaquillonas Angus es una variable que se distribuye normal, con diámetro promedio de 20cm y varianza de 18cm2, si se estudia una vaquillona: a. ¿Cuál es la probabilidad de que presente más de 28cm de diámetro pelviano? b. Si en un establecimiento se quiere retener el 5% de animales de mayor diámetro, ¿Cuál será el valor de selección que debe utilizarse? c. ¿Entre que valores se encuentra el 90% central de los animales? 5.10 El número de larvas encontradas en 1000 muestras de pasto fueron las siguientes:

X 0 1 2 3 4 frecuencia 670 268 54 7 1

a) Asumiendo que la variable tiene una distribución Poisson, calcule el valor esperado para la variable X. b) ¿Qué porcentaje de muestras estarán libres de larvas? c) Calcule la probabilidad de encontrar 1 larva d) ¿Qué porcentaje de muestras tendrán más de una larva? e) Calcule la variancia para la variable X.

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Trabajo Práctico Nº6:

Muestreo

Ejemplo En la provincia de Buenos Aires se comenzará a desarrollar un plan de control contra la encefalomielitis equina. Como primer medida, se requiere determinar la prevalencia actual de la misma para luego llevar adelante dicho plan. Se conoce, por datos previos de hace 8 años, que dicha prevalencia era del 14 %. Dado que determinar la prevalencia actual es imposible examinando todos los equinos susceptibles de dicha región, se acuerda llevar a cabo un muestreo para obtener dicho valor. Calcule el tamaño de muestra con una confianza del 95 % y una certeza del 5 %

n=

1850025.0

462528.0

05.0

86.014.096.11.2

2

2

2

D

ppZ

Por lo tanto se deberá muestrear 185 animales. Guía teórica: 1. Defina población y muestra 2. Mencione los factores que intervienen en el tamaño de la muestra 3. Mencione los tipos de muestreos Guía Práctica: 6.1 Se desea realizar un muestreo para determinar la prevalencia de Paratuberculosis en bovinos del partido de Tandil. Datos previos determinan que dicha prevalencia en el año 1990 era del 15%. Calcule el tamaño de la muestra con una certeza del 3 % y una confianza del 95%. 6.2 Hacer lo mismo pero con una certeza del 5%. Sacar conclusiones al comparar ambos valores de "n". 6.3 Ud. trabaja en el Servicio Oficial de Sanidad Animal de una provincia. Llega a una zona en la cual no hay registros previos de Brucelosis carpina, y ante la denuncia de varios colegas respecto a la alta tasa de abortos debidos a dicha causa en ésta especie, es que se decide realizar un plan de control contra la misma. Como primera medida, Ud deberá obtener un valor de prevalencia actual (diagnóstico de situación) y ante la imposibilidad de chequear todos los animales (son en total 243500) es que decide tomar una muestra. Realice los cálculos que considere oportuno. 6.4 Se supone que el nivel de hemoglobina en varones de 11 años se distribuye normalmente con una = 1.209 gr./100 ml. ¿Qué tamaño de muestra se deberá tomar para estimar la media de la población, con aproximación de 0.1 gr./100 ml., con una probabilidad del 95 %? 6.5 Ante las siguientes situaciones, proponga una estrategia de muestreo. Justifique su respuesta. a) Se desea estimar la prevalencia de Carbunclo sintomático (mancha) en una zona de cría de ganado bovino.

Se conoce de antemano que dicha enfermedad se presenta de manera diferente según la edad de los animales.

b) Se desea estimar el porcentaje de grasa en leche de tambos provenientes de una cuenca lechera. En dicha cuenca hay animales de raza Holando Argentino (HA), Jersey y cruza entre ambas. Se sabe que los animales de raza jersey producen un nivel significativamente mayor de grasa butirosa que las HA.

c) Ud. quiere conocer el peso promedio de un lote de novillos que se alimentan con pastura implantada. El total de animales es de 2185. No tendiendo la posibilidad de pesar a todos, es que se decide tomar una muestra para inferir el peso del total de los animales. Los animales no están identificados.

d) Ídem anterior pero con los animales identificados. e) Conocer el estado sanitario de ovinos respecto a la Hidatidosis en la Provincia de Santa Cruz. Dicha

enfermedad es de curso crónico, debido a lo cual es poco frecuente en animales muy jóvenes.

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6.6 La cuenca lechera Santa Fe-Córdoba, con 4500 tambos, suministra más del 80% de la leche producida en la región. Los tambos se caracterizan según su producción en litros por día según la tabla que se muestra. Para un estudio que involucra la producción lechera, se decide tomar una muestra de 120 de estos tambos. ¿Cuantos tambos de cada clase tomaría? ¿Cómo los elegiría?

Tambos Menos de 1000 l/d 1000 a 1500 l/d 1500-2000 2000-2500 Mas de 2000 l/dia

Cantidad 2079 801 792 522 306

Porcentaje 46.2 17.8 17.6 11.6 6.8

6.7 Se quiere probar una nueva medicación para tratar a los animales con mastitis, para ello se dispone de 120 animales enfermos provenientes de 4 establecimientos (según los datos de más abajo). Si por cuestiones de costos se resuelve tomar una muestra de 20 de estos animales. Comentar como seleccionaría la muestra si realiza:

a) un muestreo aleatorio simple b) un muestreo sistemático c) un muestreo estratificado.

Establecimiento 1: 20 animales Establecimiento 2: 32 animales Establecimiento 3: 60 animales Establecimiento 4: 8 animales

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Trabajo Práctico Nº7:

Inferencia Estadística

Ejemplo: Para estimar el contenido vitamínico de un alimento se tomó una muestra de tamaño 30 y se

determinó que x 35 mg y S =7.

a) Construir un intervalo de confianza del 95% para .

P

1..

21,

21, n

Stx

n

Stx

glgl

477.5

7.045.235

30

7.045.235

614.235278.1.045.235

614.37386.32

t(29,0.975)=2.045 (tabla 2) b) Construir un intervalo de confianza del 95% para 2.

P

1.1.1

2

),(

22

2

)1,(

2

22glgl

X

Sn

X

Sn

047.16

4929

722.45

7130 22

047.16

1421

722.45

1421 2

552.88079.31 2

X2(29,0.025)=16,047 X2(29,0.975)=45,722 (tabla 3)

Guía teórica:

1. Defina población y muestra. 2. Factores que intervienen en el tamaño de la muestra 3. Tipos de muestreos 4. Concepto de parámetro 5. Estimación puntual. Definición de estimador 6. Concepto de estimación por intervalo de confianza. 7. Definición de grados de libertad 8. Definición de nivel de confianza

Guía practica:

7.1 Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cierta edad es 1.97Kg. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de 10 pollos de esta edad se obtuvieron los siguientes pesos (en gramos):

2000 1980 1960 1970 1950 1990 1980 1990 2000 1990 a) Hallar un intervalo de confianza para el peso promedio de los animales tratados con un 95% de confianza b) Idem a) con un 99% de confianza. c) Hallar un intervalo de confianza para el parámetro de dispersión con un 95% de confianza

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 7.2 En un lote de 130 vacas procedentes de una determinada región, sacrificados en el frigorífico “HHH”, fueron detectadas 11 vacas con Tuberculosis. Calcular un intervalo de confianza al 95% para la proporción, P, de vacas enfermas de la región. 7.3 Obtener un intervalo de confianza del 95% para el promedio de una población de novillos, de los cuales se pesa una muestra de 25 animales, obteniéndose un valor promedio de 390 kg., si se sabe que la varianza es de 400 kg2. 7.4 En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio

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Trabajo Práctico Nº8.

Pruebas de significación de "z" y “t".

Ejemplo: Un vendedor de semen asegura que un toro produce terneros con un peso al nacimiento menor a 42 Kg. Para probarlo se inseminaron las vaquillonas de un establecimiento y se registró el peso de los terneros al nacimiento. De un total de 100 terneros se obtuvo un peso promedio de 41.3 Kg. Sabiendo que la variancia de la población es de 9 Kg2, ¿es cierto lo que afirma el vendedor, con un 95 % de confianza? Test de hipótesis: 1) H0: 42

H1: < 42 2) Estadístico: Test de “z”:

zHo =

n

x

0

0

3) Nivel de confianza: (1-) 100 95 % 0.05 4) Regla de decisión:

64.105.0 zzHo

5) Cálculo del estadístico

zHo = 333.23.0

7.0

100

3

423.410

Hz (P= 0.0098)

6) Conclusión: La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto el toro al cual hace referencia el vendedor, produce terneros con un peso al nacimiento significativamente menor a 42 Kg. Guía teórica: 1) Pasos para realizar un Test de Hipótesis. 2) Concepto de grados de libertad (gl). 3) Concepto del valor P Guía práctica: 8.1 Con los datos del problema 7.1, responder con una confianza del 0.95, el aditivo ha aumentado el peso medio de los pollos? 8.2 Un especialista en reproducción animal realiza un tratamiento de inseminación a tiempo fijo que acorta el intervalo inter-parto de vacas Hereford mayores de 2 años. Tradicionalmente el intervalo es en promedio de 390 días. Se administró el tratamiento a 25 vacas de más de 2 años y se registró la duración del intervalo inter-parto de las mismas. El experimento dio como resultado un intervalo inter-parto promedio de 386 días con un desvío estándar de 11 días. ¿Avalan estos datos la afirmación tradicional? 8.3 Una solución control de glucosa contiene 120 mg/dl. Probamos un glucómetro, que según el fabricante tiene una gran precisión y exactitud, haciendo 36 determinaciones con esa solución. Se obtiene una media de 128 con una desviación estándar de 20. ¿El glucómetro mide tan bien como se dice? (Nivel de confianza 95%)

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 8.4 Se realizó un estudio para evaluar cambios en el nivel del cortisol en perros como respuesta al estrés. Se midió el valor basal de cortisol (cortisol 0) en 10 perros, a los cuales, luego de aplicarles la maniobra estresante, se les midió nuevamente el cortisol (cortisol Trat). Los resultados se muestran en el cuadro siguiente (se sabe que el nivel de cortisol tiene Distribución Normal):

Perro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cortisol 0 1.7 1.8 1.5 1.6 1.5 1.6 1.7 1.9 1.8 1.4 Cortisol Trat 1.9 1.7 2.4 1.6 2.3 2.5 2.7 1.9 2.8 1.8

Evaluar si el nivel de cortisol cambió luego de la aplicación de la maniobra estresante, con un 95% de confianza. ¿El p-valor de la prueba es inferior a 0.05? Señale los valores hallados en la distribución que corresponda. 8.5 Con el fin de determinar el efecto de un suplemento nutricional durante la etapa de cría de lechones se realizó una prueba experimental con animales provenientes de 1 criadero. Se tomaron 24 animales y se los dividió al azar en 2 grupos de 12 animales cada uno, administrándoles al grupo A una ración estándar y al otro grupo (B) una ración + un suplemento nutricional. Para cada lechón se determinó la ganancia diaria de peso (kg) durante el ensayo que se presenta en la siguiente tabla:

A 0.52 0.64 0.50 0.65 0.66 0.74 0.50 0.80 0.70 0.61 0.68 0.55 B 0.60 0.66 0.49 0.70 0.81 0.70 0.58 0.86 0.70 0.63 0.74 0.60

Realice una Prueba de Hipótesis para determinar si el suplemento nutricional tiene efecto sobre la ganancia diaria de peso de los lechones, con = 0.01. ¿El p-valor de la prueba es superior a 0.05? Señale en la distribución que corresponda. 8.6 Los siguientes datos corresponden a los valores de proteína en leche a 305 días de lactancia, registrados de 13 animales

324.13 352.03 288.99 312.96 328.38 292.49 280.85 345.16 246.04 295.34 324.43 354.53 279.29

El dueño del establecimiento asegura que sus animales producen leche con un porcentaje de proteína superior a 320, decidir con un 95% de confianza si esto es cierto. 8.7 Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de dos meses es 2.500 Kg. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de dos meses se obtuvieron los siguientes pesos: 2.520 2.600 2.480 2.550 2.600 2.700 2.400 2.600 2.570 2.450 Poner a prueba con un 95% de confianza la hipótesis de que el aditivo aumenta el peso de los pollos. 8.8 Con la intención de analizar si la producción de leche difiere sustancialmente según el momento de ordeñe, se registran los siguientes datos que corresponden a la producción de leche de 15 animales registrados a la mañana y a la tarde, comparar la producción de leche con un 95% de confianza.

Animal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Mañana 14 10 15 16 13 16 15 18 20 17 14 16 10 14 15 Tarde 15 12 16 15 13 15 16 20 18 15 12 16 13 13 12

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Trabajo Práctico Nº 9.

Pruebas Chi cuadrado (CHI², ²)

Ejemplo: En un establecimiento se probaron 2 tratamientos (A y B) para sincronizar celos. La cantidad y porcentaje de vacas preñadas se muestran en el siguiente cuadro:

Tratamiento Preñez total Vacías Total A 37 (74%) 13 (26%) 50 B 44 (88%) 6 (12%) 50

Total 81 19 100 Son los dos tratamientos igualmente efectivos? Test de hipótesis: 1) H0: P(Preñez total con Trat A.) = P(Preñez total con Trat B.) H1: P(Preñez total con Trat A.) P(Preñez total con Trat B.) 2) Estadístico: Test de Chi2: Prueba de la Homogeneidad

X

fo fe

fe

2

2

3) Nivel de confianza: (1-) 100 95 % 0.05 4) Regla de decisión:

X XHo2

95 1

2 384 (. , ) .

5) Cálculo:

Cálculo de la frecuencia esperada: Tratamiento Preñez total Vacías Total

A 40.5 9.5 50 B 40.5 9.5 50

Total 81 19 100 Cálculo del estadístico

5.9

5.96

5.40

5.4044

5.9

5.913

5.40

5.403722222

2

fe

fefoX

=0.302 + 1.289 + 0.302 + 1.289 = 3.182

X2 = 3.182 (P=0.0744)

6) Conclusión: La evidencia estadística no permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto los tratamientos no presentan diferencias significativas en el porcentaje de preñez. Guía teórica: 1) Características de la distribución de Chi-cuadrado. 2) Pasos para realizar un Test de Hipótesis 3) Hipótesis en la prueba de la Bondad de Ajuste. 4) Hipótesis en la prueba de la Independencia 5) Hipótesis en la prueba de la Homogeneidad de proporciones 6) Cálculo de los grados de libertad (gl) en las distintas pruebas.

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 Guía práctica: 9.1 En una población de ovinos se registro el sexo y si tenían problemas podales (claudicaban al caminar o no). La población tenía 350 hembras de las cuales 40 presentaron problemas podales y 100 machos de los cuales 32 presentaron problemas podales. a) Identifique los tipos de variables en estudio. b)¿A un nivel de significación de 0,05 podemos afirmar que el sexo y los problemas podales están estadísticamente asociados?. 9.2 En una ciudad de la provincia de Buenos Aires se desarrolló un estudio epidemiológico para determinar los factores de riesgo del Moquillo Canino, y se encontró que la asociación entre dicha enfermedad y la edad de los animales, que era uno de los posibles factores, tenía un p valor de 0,123. Interprete dicho valor. 9.3 En un estudio epidemiológico, cuyo objetivo era determinar la existencia de asociación entre el grupo sanguíneo y la infección por Giardia Lamblia en chicos, el p valor obtenido fue p < 0.01. A qué conclusión llega el investigador. 9.4 La siguiente tabla indica los resultados observados en cuanto a la pérdida de peso, según que el animal haya sido o no sometido a un tratamiento:

Tratados No tratados Con pérdida de peso 120 60 Sin pérdida de peso 125 95

¿Considera usted que el tratamiento acarrea pérdida de peso con un nivel de confianza del 95%?

9.5 A los efectos de probar la protección de 2 vacunas contra los abortos producidos por una enfermedad X se seleccionaron 3 lotes de 150 vacas cada uno de un establecimiento con la enfermedad. Estos lotes fueron vacunados con: Lote 1: Placebo, Lote 2: Vacuna 1 y Lote 3: Vacuna 2. En el primer lote hubo 20 abortos; en el lote 2, 10 abortos y en el lote 3, 5 abortos. Pruebe a un nivel de significación de 0,01 si la respuesta a la vacunación fue homogénea. Compare el p-valor de la prueba con 0.05.

9.6 Un veterinario sostiene que la castración de las perras es un factor que está asociado a la incontinencia urinaria (IU) de las mismas. A los efectos de probar sus dichos realizó un estudio en un hospital donde a las hembras que ingresaban las clasificó como castradas (C) y enteras (NC) y con incontinencia (IU) y sin incontinencias (NIU) urinarias obteniendo los siguientes resultados

IU NIU

C 34 757 791

NC 7 2427 2434

41 3184 3225

¿Pruebe a un nivel de significación de 0.05 si estas variables están asociadas?

9.7 Del cruce entre un toro Angus negro heterocigoto color rojo con vacas del mismo fenotipo y genotipo se obtuvieron 94 animales negros y 36 rojos. ¿Se ajustan estos datos a la proporción teórica de 3:1 de la primera ley de Mendel?

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Trabajo Práctico Nº 10.

Correlación y Regresión

Ejemplo: Con los datos del siguiente cuadro: estimar la correlación entre el peso al nacimiento (x) y el peso al destete (y).

Nac. Dest

Animal xi yi xxi 2xxi yyi 2

yy i yyxx ii

1 35 119 1.2 1.44 -11.9 141.61 -14.28 2 29 125 -4.8 23.04 -5.9 34.81 28.32 3 29 126 -4.8 23.04 -4.9 24.01 23.52 4 31 128 -2.8 7.84 -2.9 8.41 8.12 5 33 132 -0.8 0.64 1.1 1.21 -0.88 6 35 135 1.2 1.44 4.1 16.81 4.92 7 36 135 2.2 4.84 4.1 16.81 9.02 8 36 135 2.2 4.84 4.1 16.81 9.02 9 37 136 3.2 10.24 5.1 26.01 16.32

10 37 138 3.2 10.24 7.1 50.41 22.72 Total 338 1309 87.60 336.90 106.80

62.090.33660.87

8.106

)()(

)()(

1 1

22

1

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

b) Hallar la recta de regresión del peso al destete (Y) en función del peso al nacimiento (X):

Modelo: iii xy

donde

yi representa los valores de la variable dependiente. xi representa los valores de la variable independiente.

es el parámetro que representa la ordenada al origen.

es el parámetro que representa la pendiente de la recta

i representa la variación aleatoria asociada a cada observación.

22.16.87

8.106

)(

)()(

ˆ

1

2

1

n

i

i

n

i

ii

xx

yyxx

b

69.8910

33822.1

10

1309ˆˆ xbya

por lo tanto la recta de ajuste sería: xy 22.169.89

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017 Guía teórica: 1) ¿Que es la correlación? 2) ¿Que valores puede tomar la correlación? 3) ¿Que indica un valor de correlación r = 0? 4) ¿Que es la regresión? 5) Interprete los parámetros del modelo lineal simple. 6) Mencione los supuestos del modelo de regresión Guía práctica: 10.1 En el año 2009 se publicó un trabajo “Efecto de la temperatura en el pH de la leche descremada”, donde se estudia X= la temperatura en grado Celcius bajo diferentes condiciones experimentales e Y= el pH de la leche. Los datos usados en la investigación son: Temperatura 4 4 24 24 25 38 38 40 45 50 55 56 60 67 70 78 pH 6,9 6,8 6,6 6,7 6,7 6,6 6,6 6,5 6,5 6,5 6,4 6,4 6,4 6,3 6,3 6,3 Encuentre la correlación entre la temperatura y el pH. 10.2. Dados los siguientes pares de valores:

X 2 4 5 6 8 11 Y 18 12 10 8 7 5

Determine e interprete el coeficiente de correlación 10.3. Dados los siguientes pares de valores: X 45 30 30 35 45 40 20 40 Y 6 12 30 24 30 36 42 54 Determine e interprete el coeficiente de correlación 10.4 Con los datos del problema 1 a) Encuentre la recta de regresión de mínimos cuadrados. b) Interprete los valores estimados de la ordenada al origen y de la pendiente. c) Calcule el error para la última observación. d) ¿Cuánto vale la suma de los errores calculados para todas las observaciones? 10.5 Para estudiar la concentración de acido úrico en la leche de una raza de vaca se tomo una muestra de 14 vacas. Los datos son producción de leche (X: lt/dıa) y concentración de acido (Y:μmol/litro). X 42,7 40,2 38,2 37,6 32,2 32,2 28,0 27,2 26,6 23,0 22,7 21,8 21,3 20,2 Y 92 120 128 110 153 162 202 140 218 195 180 193 238 213 a) Grafique los datos ¿Hay asociación lineal entre las variables? b) Encuentre la recta de regresión

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

HOJA DE FORMULAS:

Media aritmética: n

x

x

n

i

i 1

n

xf

x

n

i

ii

1

Mediana: 1 Ordenar los datos en forma creciente o decreciente

2 Orden de la mediana Mdº= n 1

2

3 Ubicar el valor de Md Rango o Amplitud: AP= Ls - Li

Desviacion Media: DM=1

1

n

xxn

i

i

Variancia: Fórmula (y fórmula alternativa de cálculo)

1

1

2

22

n

f)xx(Sˆ)x(var

n

iii

o 1

)(

)(var

2

1

2

n

xnx

x

n

i

i

Covariancia: Fórmula (y fórmula alternativa de cálculo):

1

)()(

),(cov 1

n

yyxx

yx

n

i

ii

o 1

).(

),(cov1

n

yxnyx

yx

n

i

ii

Desvio Estandar: S S 2 Error Estandar: n

S

n

See

2

..

Coeficiente de Variabilidad: C.V=S

X.100

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Tamaño muestral: n= Z p p

D

2

2

1. o n=

2

22 .

D

Z

Distribución Binomial:

casootroenXP

nxparaqpxnx

nXP xnx

0)(

,,2,1,0..!!

!)(

Distribución Poisson:

casootroenXP

yxparax

eXP

x

0)(

0,2,1,0!

)(

Estandartización de variable: Z=

x

Esperanza Matematica o Valor Esperado: ( ) .x x pii

n

i 1

Variancia: 2̂ V(x)=

n

iii

p.xx1

22

Intevalos de Confianza:

P

1

ˆ.

ˆ.

21

21 n

Zxn

Zx

P

1

21

21 n

S.tx

n

S.tx

,gl,gl

P

1..

2

22

1

21

212121

2

22

1

21

2121

nnZxx

nnZxx

P

1..

2

22

1

21

21;2121

2

22

1

21

21;21

n

S

n

Stxx

n

S

n

Stxx

glgl

P

1.1.1

2

)2

,(

22

2

)2

1,(

2

glglX

Sn

X

Sn

P

1

)1(.

)1(.

21

21 n

ppZpP

n

ppZp

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Test “z”: zHo =

n

x

0

0

2

2

2

1

2

1

2121

nn

xxzHo

Test “t”: tHo =

n

S

x0

2

2

2

1

2

1

2121

n

S

n

S

xxtHo

Test “t para datos apareados”: tHo =

n

S

d

D

D

Test Chi Cuadrado:

n

i e

iiHo

if

fefoX

1

22 )(

Correlación:

)()(

,

YVarXVar

YXCovr

o

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

1 1

22

1

)()(

)()(

Regresión Lineal Simple:

xbay donde

n

i

i

n

i

ii

xx

yyxx

b

1

2

1

)(

)()(

ˆ xbya ˆˆ

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Tabla 1: Area acumulada bajo la curva normal (0,1) entre - y z z 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

-3.9 .00003 .00003 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00004 .00005 .00005 -3.8 .00005 .00005 .00005 .00006 .00006 .00006 .00006 .00007 .00007 .00007 -3.7 .00008 .00008 .00008 .00008 .00009 .00009 .00010 .00010 .00010 .00011 -3.6 .00011 .00012 .00012 .00013 .00013 .00014 .00014 .00015 .00015 .00016 -3.5 .00017 .00017 .00018 .00019 .00019 .00020 .00021 .00022 .00022 .00023 -3.4 .00024 .00025 .00026 .00027 .00028 .00029 .00030 .00031 .00032 .00034 -3.3 .00035 .00036 .00038 .00039 .00040 .00042 .00043 .00045 .00047 .00048 -3.2 .00050 .00052 .00054 .00056 .00058 .00060 .00062 .00064 .00066 .00069 -3.1 .00071 .00074 .00076 .00079 .00082 .00084 .00087 .00090 .00094 .00097 -3.0 .00100 .00104 .00107 .00111 .00114 .00118 .00122 .00126 .00131 .00135 -2.9 .00139 .00144 .00149 .00154 .00159 .00164 .00169 .00175 .00181 .00187 -2.8 .00193 .00199 .00205 .00212 .00219 .00226 .00233 .00240 .00248 .00256 -2.7 .00264 .00272 .00280 .00289 .00298 .00307 .00317 .00326 .00336 .00347 -2.6 .00357 .00368 .00379 .00391 .00402 .00415 .00427 .00440 .00453 .00466 -2.5 .00480 .00494 .00508 .00523 .00539 .00554 .00570 .00587 .00604 .00621 -2.4 .00639 .00657 .00676 .00695 .00714 .00734 .00755 .00776 .00798 .00820 -2.3 .00842 .00866 .00889 .00914 .00939 .00964 .00990 .01017 .01044 .01072 -2.2 .01101 .01130 .01160 .01191 .01222 .01255 .01287 .01321 .01355 .01390 -2.1 .01426 .01463 .01500 .01539 .01578 .01618 .01659 .01700 .01743 .01786 -2.0 .01831 .01876 .01923 .01970 .02018 .02068 .02118 .02169 .02222 .02275 -1.9 .02330 .02385 .02442 .02500 .02559 .02619 .02680 .02743 .02807 .02872 -1.8 .02938 .03005 .03074 .03144 .03216 .03288 .03362 .03438 .03515 .03593 -1.7 .03673 .03754 .03836 .03920 .04006 .04093 .04182 .04272 .04363 .04457 -1.6 .04551 .04648 .04746 .04846 .04947 .05050 .05155 .05262 .05370 .05480 -1.5 .05592 .05705 .05821 .05938 .06057 .06178 .06301 .06426 .06552 .06681 -1.4 .06811 .06944 .07078 .07215 .07353 .07493 .07636 .07780 .07927 .08076 -1.3 .08226 .08379 .08534 .08692 .08851 .09012 .09176 .09342 .09510 .09680 -1.2 .09853 .10027 .10204 .10383 .10565 .10749 .10935 .11123 .11314 .11507 -1.1 .11702 .11900 .12100 .12302 .12507 .12714 .12924 .13136 .13350 .13567 -1.0 .13786 .14007 .14231 .14457 .14686 .14917 .15151 .15386 .15625 .15866 -0.9 .16109 .16354 .16602 .16853 .17106 .17361 .17619 .17879 .18141 .18406 -0.8 .18673 .18943 .19215 .19489 .19766 .20045 .20327 .20611 .20897 .21186 -0.7 .21476 .21770 .22065 .22363 .22663 .22965 .23270 .23576 .23885 .24196 -0.6 .24510 .24825 .25143 .25463 .25785 .26109 .26435 .26763 .27093 .27425 -0.5 .27760 .28096 .28434 .28774 .29116 .29460 .29806 .30153 .30503 .30854 -0.4 .31207 .31561 .31918 .32276 .32636 .32997 .33360 .33724 .34090 .34458 -0.3 .34827 .35197 .35569 .35942 .36317 .36693 .37070 .37448 .37828 .38209 -0.2 .38591 .38974 .39358 .39743 .40129 .40517 .40905 .41294 .41683 .42074 -0.1 .42465 .42858 .43251 .43644 .44038 .44433 .44828 .45224 .45620 .46017 -0.0 .46414 .46812 .47210 .47608 .48006 .48405 .48803 .49202 .49601 .50000

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Tabla 1 (cont.): Area acumulada bajo la curva normal (0,1) entre - y z z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91308 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Tabla 2: Distribucion de “t” de Student P(tm< t(1-):)= 1-

1-

0.90

0.95

0.975

0.99

0.995

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 80 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639

100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 200 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601 500 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

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Guía de trabajos prácticos. Bioestadística. 2017

Tabla 3: Cuantiles de la distribución de Chi-cuadrado 0.01 0.025 0.05 0.1 0.5 0.9 0.95 0.975 0.99 1 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 0.4549 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 2 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 1.3863 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 3 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 2.3660 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 4 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 3.3567 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 5 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 4.3515 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 6 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 5.3481 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 7 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 6.3458 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 8 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 7.3441 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 9 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 8.3428 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660

10 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 9.3418 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 11 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 10.3410 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 12 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 11.3403 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 13 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415 12.3398 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 14 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 13.3393 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 15 5.2294 6.2621 7.2609 8.5468 14.3389 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 16 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 15.3385 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 17 6.4077 7.5642 8.6718 10.0852 16.3382 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 18 7.0149 8.2307 9.3904 10.8649 17.3379 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 19 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 18.3376 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 20 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 19.3374 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 21 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 20.3372 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 22 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 21.3370 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 23 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480 22.3369 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 24 10.8563 12.4011 13.8484 15.6587 23.3367 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 25 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734 24.3366 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 26 12.1982 13.8439 15.3792 17.2919 25.3365 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 27 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 26.3363 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 28 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 27.3362 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 29 14.2564 16.0471 17.7084 19.7677 28.3361 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 30 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 29.3360 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 31 15.6555 17.5387 19.2806 21.4336 30.3359 41.4217 44.9853 48.2319 52.1914 32 16.3622 18.2908 20.0719 22.2706 31.3359 42.5847 46.1942 49.4804 53.4857 33 17.0735 19.0467 20.8665 23.1102 32.3358 43.7452 47.3999 50.7251 54.7754 34 17.7891 19.8062 21.6643 23.9522 33.3357 44.9032 48.6024 51.9660 56.0609 35 18.5089 20.5694 22.4650 24.7966 34.3356 46.0588 49.8018 53.2033 57.3420 36 19.2326 21.3359 23.2686 25.6433 35.3356 47.2122 50.9985 54.4373 58.6192 37 19.9603 22.1056 24.0749 26.4921 36.3355 48.3634 52.1923 55.6680 59.8926 38 20.6914 22.8785 24.8839 27.3430 37.3354 49.5126 53.3835 56.8955 61.1620 39 21.4261 23.6543 25.6954 28.1958 38.3354 50.6598 54.5722 58.1201 62.4281 40 22.1642 24.4331 26.5093 29.0505 39.3353 51.8050 55.7585 59.3417 63.6908 50 29.7067 32.3574 34.7642 37.6886 49.3349 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 60 37.4848 40.4817 43.1880 46.4589 59.3347 74.3970 79.0820 83.2977 88.3794 70 45.4417 48.7575 51.7393 55.3289 69.3345 85.5270 90.5313 95.0231 100.4251 80 53.5400 57.1532 60.3915 64.2778 79.3343 96.5782 101.8795 106.6285 112.3288 90 61.7540 65.6466 69.1260 73.2911 89.3342 107.5650 113.1452 118.1359 124.1162

100 70.0650 74.2219 77.9294 82.3581 99.3341 118.4980 124.3421 129.5613 135.8069

X2 (p,n)

P(X2n<X2p,n)=p