Guía de Proyecciones INEGI

5/26/2018 Gua de Proyecciones INEGI

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Gua deproyecciones cartogrficas


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Presentacion

La presente gua es una respuesta a las inquietudes recopiladas a lo largode varios anos de trayectoria profesional, tanto en la elaboracion de Carto-grafa en el sector publico, como en la imparticion de este tema en diversasUniversidades y centros de ensenanza.

Es de reconocer la valiosa colaboracion recibida por el personal del Ins-tituto Nacional de Estadstica, Geografa e Informatica, en especial la delos ingenieros Mario Alberto Reyes Ibarra y Antonio Hernandez Navarro; elprimero por su valiossima intervencion para que estas notas pudiesen serpublicadas, en tanto que el segundo brindo informacion historica referen-te a Gerardus Mercator y Johann Heinrich Lambert, aporto mejoras a ladescripcion de las proyecciones Mercator, Transversa de Mercator y Coni-ca Conforme de Lambert as como una cuidadosa revision de los textos, eneste ultimo aspecto tambien debo agradecer a mis alumnos quienes me han

permitido depurar este trabajo.Otra valiosa cooperacion, es la brindada por los cientos de voluntarios que

difunden su trabajo en Internet, apoyo que permitio la organizacion de estedocumento (mediante LATEX 2), insercion de formulas (mediante el paqueteAmsmath), elaboracion de graficos (mediante PovRay y el editor de graficosde StarOffice) o mapas (con Generic Mapping Tools y MicroCAM), y lainsercion de imagenes de antiguos mapas.

Y por su especial importancia, un profundo agradecimiento a mi esposae hijos, quienes con paciencia y amor sacrificaron momentos de convivenciay diversion para proporcionarme el tiempo suficiente para elaborar y revisaresta obra.

Raul Angel Gomez Moreno.Aguascalientes, Ags. Junio del 2002.


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Indice general

1. Generalidades 3

1.1. Importancia de la Cartografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Definicion de Cartografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Historia de la Cartografa en Mexico . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Actividad en la epoca Prehispanica . . . . . . . . . . . 41.3.2. Actividad en la epoca Colonial . . . . . . . . . . . . . 61.3.3. Actividad en el siglo XIX . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4. Actividad en el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Ciencias Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1. Sistema Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Sistema Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3. Sistema Geodesico de Referencia . . . . . . . . . . . . 181.6. Conceptos adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.1. Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.2. Factor de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.3. Deformaciones Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.4. Gradcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.5. Cuadrcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.6. Declinacion Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7. Elementos Graficos de un mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Elementos Cartograficos 292.1. Clasificacion de las Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1. Por tipo de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2. Por tipo de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3. Cuadro Sinoptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


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VI INDICE GENERAL

3. Proyecciones Conformes 41

3.1. Mercator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.2. Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2. Transversa de Mercator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


3.3. Universal Transversa de Mercator . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


3.4. Transversa de Mercator Modificada . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


3.5. Transversa Modificada Ejidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.5.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


3.6. Conica de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.6.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


4. Proyecciones Equivalentes 127

4.1. Albers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


4.2. Cilndrica Equivalente de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


5. Proyecciones Equidistantes 157

5.1. Conica Equidistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.2. Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.2. Acimutal Equidistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174



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INDICE GENERAL

6. Calculos en el plano cartografico 187

6.1. Calculos en la Proyeccion Transversa de Mercator . . . . . . . 1876.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.1.2. Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.2. Calculos en la Proyeccion Conica Conforme de Lambert . . . . 1916.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.2.2. Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.3. Calculos en la Proyeccion Mercator . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.3.2. Modelos Matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Elipsoides 195

Datums a nivel Mundial 199


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VIII INDICE GENERAL


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Indice de cuadros

1.1. Conversion de valores elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2. Efectos por Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Cuadro Sinoptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1. Constantes de diferentes Elipsoides . . . . . . . . . . . . . . . 195

2. Diferentes Datum a nivel mundial . . . . . . . . . . . . . . . . 199


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X INDICE DE CUADROS


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Indice de figuras

1.1. Tira de la Peregrinacion (fragmento) . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Nuevo Mapa Geografico de la America Septentrional. . . . . . 71.3. Carte DU MEXIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Plano Cartesiano Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Sistema Cartesiano con valores negativos . . . . . . . . . . . . 141.6. Distancia en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Sistema Cartesiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Sistema Polar Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. Sistema Polar tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10. Figuras de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11. Indicatriz de Tissot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.12. Elementos Graficos de un mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1. Proyeccion de la esfera a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Efectos de la proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Plano secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Gnomonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Estereografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6. Ortografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7. Proyeccion Conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8. Proyeccion Cilndrica Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.9. Proyeccion Cilndrica Transversa . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1. Apariencia de la Proyeccion Mercator. . . . . . . . . . . . . . 433.2. Valores dek en la Proyeccion Mercator . . . . . . . . . . . . . 453.3. Valores deayb en la Proyeccion Mercator . . . . . . . . . . . 503.4. Apariencia de la Proyeccion Transversa de Mercator. . . . . . 583.5. Valores dek en la Transversa de Mercator . . . . . . . . . . . 60


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XII INDICE DE FIGURAS

3.6. Valores dea y b en la Proyeccion Transversa de Mercator. . . 72

3.7. Apariencia de la Proyeccion Conica Conforme de Lambert. . . 1073.8. Valores dek en la Conica Conforme de Lambert . . . . . . . . 1083.9. Valores dea y b en la Conica Conforme de Lambert . . . . . . 112

4.1. Apariencia de la Proyeccion Albers. . . . . . . . . . . . . . . . 1284.2. Valores dek en la Equivalente de Albers. . . . . . . . . . . . . 1294.3. Valores dea y b en la Equivalente de Albers. . . . . . . . . . . 1384.4. Apariencia de la Proyeccion Cilndrica Equivalente. . . . . . . 1454.5. Valores dek en la Cilndrica Equivalente de Lambert . . . . . 1464.6. Valores dea y b en la Cilndrica Equivalente de Lambert . . . 151

5.1. Apariencia de la Proyeccion Conica Equidistante. . . . . . . . 1585.2. Valores dek en la Conica Equidistante . . . . . . . . . . . . . 1595.3. Valores dea y b en la Proyeccion Conica Equidistante. . . . . 1685.4. Apariencia de la Proyeccion Acimutal Equidistante. . . . . . . 175

6.1. Representacion de Acimut y Distancia . . . . . . . . . . . . . 1886.2. Proyeccion del angulo geodesico en el plano cartografico . . . . 190


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Introduccion

Con el uso masivo de herramientas informaticas para la generacion deplanos, la nocion de las propiedades y caractersticas de las proyecciones

cartograficas se convierte en un elemento vital, conocimiento que ha venidoa menos, en virtud de que se ha considerado que todas las necesidades sonsatisfechas mediante el uso de la proyeccion Universal Transversa de Merca-tor(UTM). Aunado a lo anterior, la poca bibliografa sobre el tema, as comoque la existente esta en idioma diferente al espanol redunda en el poco uso ycomprension de otras proyecciones.

Un efecto de lo anterior es que, en los casos que se requiere profundizaren algunos aspectos de las proyecciones cartograficas, no se encuentra con lainformacion requerida para decidir que proyeccion utilizar, o bien se carecede las formulas requeridas para construirla.

En este sentido la presente obra pretende subsanar de manera parcial esta

deficiencia, esperando que en breve exista el interes por atender este aspectopor los diversos especialistas latinoamericanos.

Esta obra inicia con algunas consideraciones sobre la importancia de laCartografa, as como el desarrollo que esta ha tenido en la Republica Me-xicana. Posteriormente, considerando que el lector se beneficia al recordaralgunos elementos fundamentales de las proyecciones cartograficas, se con-tinua con los que se consideran necesarios para comprender algunos de losaspectos tecnicos de las proyecciones cartograficas. Como parte fundamentalse presentan formulas y ejercicios para el calculo de las proyecciones con-formes, equivalentes y equidistantes que se consideran de mayor relevanciay aplicacion para nuestro continente, concluyendo con los calculos mas fre-cuentes en las proyecciones conformes.


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Captulo 1

Generalidades

1.1. Importancia de la Cartografa

Desde los albores de la humanidad, el hombre siempre ha requerido co-nocer el entorno que lo rodea, a fin de poder subsistir y aprovechar los re-cursos que la naturaleza le ofrece y su propia creatividad genera. Esto queen un principio no requera mas que unos simples trazos sobre la arena paratransmitir este conocimiento, se ha complicado conforme han aumentado lasnecesidades de calidad y cantidad de informacion. Lo cual se hace evidenteante el incesante incremento de mapas y planos que ano con ano se elaboran,

pues en la actualidad son parte indispensable en la planeacion y seguimientode practicamente cualquier proyecto, entre los que podemos mencionar:

Ingeniera Civil (Municipal, Hidraulica, de Vas Terrestres)

Investigacion y Preservacion de Recursos Naturales

Ingeniera de Ciencias de la Tierra (Geologa, Geofsica, Petrolera, Mi-nera, Agricultura)

Oceanografa e Hidrografa

Estudios Socioeconomicos

Planeacion Urbana y Regional

Navegacion


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4 Generalidades

Propositos Militares

Como puede deducirse de lo anterior, en la actualidad no existe proyectode gran envergadura que no requiera de un mapa vigente y preciso, y actual-mente los que se elaboran muestran diferentes caractersticas del terreno co-mo por ejemplo, relieve, linderos de propiedades, vas de comunicacion, tiposde suelo, tipos de vegetacion, localizacion de recursos minerales o naturales,etc. De hecho, las necesidades actuales de informacion superan en calidad,cantidad y oportunidad las de epocas anteriores, puesto que se requiere quelos mapas contengan la informacion necesaria para conocer la distribucionde los recursos tanto para el diseno como en la elaboracion y seguimientode los proyectos. De lo anterior es evidente el compromiso que adquieren los

profesionales dedicados a la elaboracion de productos cartograficos, pues laatencion de las necesidades anteriores requiere de los conocimientos suficien-tes que permitan satisfacer las expectativas de nuestros usuarios.

1.2. Definicion de Cartografa

Para continuar con el tema es indispensable conocer la definicion de Car-tografa. Dado que puede existir un gran numero de descripciones de esta,recurriremos a la que han adoptado los mismos cartografos [3]:

Cartografa es el conjunto de estudios y operaciones cientficasy tecnicas que intervienen en la formacion o analisis de mapas,modelos en relieve y globos que representan la Tierra, parte deella, o cualquier parte del Universo

1.3. Historia de la Cartografa en Mexico

1.3.1. Actividad en la epoca Prehispanica

Sin lugar a dudas, Mexico cuenta con una tradicion cartografica que se

remonta a la epoca prehispanica, tal como lo demuestran algunos de loscodices que se conservan hoy en da, as como los testimonios que en estesentido dejaron los cronistas de la epoca.

De estas reproducciones se hacen dos grandes divisiones, agrupando enla primera las cartas que reproducen itinerarios (Peregrinacion de los Azte-


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1.3 Historia de la Cartografa en Mexico

cas) y en la segunda a zonas claramente determinadas(Codice Cuauhtlin-

chan).

Figura 1.1: Tira de la Peregrinacion (fragmento)

Esta informacion cartografica, como es comprensible, dados los conoci-mientos y necesidades de la epoca, los cartografos consideraron la Tierracomo plana. Asimismo y si bien no se haca uso de las abstracciones y con-venciones que hoy son usuales en cartografa, los colores y smbolos utilizados,permitan identificar los accidentes geograficos as como informacion necesa-ria para los viajeros. Por ejemplo, la lnea de costa se delineaba en color azul,la representacion de los caminos se realizaba mediante el trazo de lneas para-

lelas, unas veces iluminadas con amarillo y otras sin color. En algunos codicesse incluye la huella de un pie desnudo, lo que hace suponer que el intervalocorresponde a alguna distancia determinada.

Asimismo se incluan elementos descriptivos que permitiesen conocer ras-gos caractersticos de la region, por ejemplo, si en la region abundaba un


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6 Generalidades

arbol o animal, en el codice aparece su figura cubriendo el area de disper-

sion. Los cerros o montanas generalmente se representaban mediante conos ovasijas invertidas, ya que exista la creencia que estos accidentes geograficosestaban llenos de agua. Si el cerro estaba cubierto de vegetacion, se ilumina-ba de verde y si careca de esta, de amarillo. Para los volcanes, en caso deque presentasen actividad, se le dibujaban lenguas de fuego.

Para indicar la orientacion en los codices se utiliza el signo del sol nacientepara indicar el Este; y el signo conejo para indicar el Sur. La ubicacion de lospueblos o localidades se estableca utilizando un cuadrado para representarla plaza central y una piramide smbolo del teocalli.

1.3.2. Actividad en la epoca ColonialLa produccion colonial puede senalarse inicia con los trabajos realizados

por Alonso Garca Bravo y Bernardino Vazquez Tapia, quienes auxiliadospor dos aztecas, levantan el primer plano de la ciudad de Mexico. El segun-do lo elabora Juan Gomez de la T en 1628. Tambien pueden mencionarselos primeros trabajos cartograficos con fines de identificacion de los lmitesprediales, mismos que se realizaron conjugando la filosofa europea con laindgena.

Adicionalmente tambien fue elaborada una gran cantidad de cartas mari-nas, sustentadas en la exploracion de costas, para las que se usaron el rumbo

y distancia que se consignaron en los itinerarios, empleando generalmenteuna proyeccion de paralelos y meridianos equidistantes que Orozco y Berradenomino proyeccion tradicional conforme.

Hacia 1580 las autoridades municipales y eclesiasticas, atendiendo instruc-ciones de Felipe II, prepararon una descripcion de la zona de su jurisdiccionque acompanaron de diversas cartas, mismas que sirvieron de base para laelaboracion de la Descripcion Geografica de los reinos de Galicia, Vizcayay Leon, las Relaciones Geograficas y la Geografa y Estadstica, estaultima de Francisco del Paso y Troncoso.

En el Siglo XVII, obedeciendo a los requerimientos de un mejor conoci-miento, se observa una mejora en la representacion del interior del pas, y en

los mapas generales comienzan a incluirse escalas referidas a las latitudes ylongitudes.

Es a principios del siglo XVII que Enrico Martnez publica las obras deno-minadas Descripcion de la comarca de Mexico y Desague de la laguna,que sintetizan la informacion geografica existente sobre la cuenca del valle de


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Mexico.

A finales del siglo XVII se elaboran numerosas cartas, debidas principal-mente a Don Carlos de Siguenza y Gongora quien esta considerado como elprimer autor mexicano de una carta general de Nueva Espana. En 1768, elpadre Jose Antonio de Alzate Ramrez elabora el Nuevo Mapa Geograficode la America Septentrional impreso en Pars, y que se considero la mejorrecopilacion de datos, superado solo por los trabajos de Humboldt. Como seobserva en la Figura 1.2, el pas aparece deformado, destacandose la zona quecorresponde a la pennsula de Baja California, ya que en esas fechas existacontroversia sobre la verdadera forma de dicha pennsula.

Figura 1.2: Nuevo Mapa Geografico de la America Septentrional.


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1.3.3. Actividad en el siglo XIX

Derivado de los trabajos de investigacion en nuestro pas del ilustre baronAlejandro de Humboldt, se elabora el Atlas Geografico y Fsico del Reinode la Nueva Espana en el que figuran dos cartas generales de nuestro pas,varias cartas parciales y algunos perfiles.

Figura 1.3: Carte DU MEXIQUE.

Otra importante obra de recopilacion, es el Atlas de Portulano, publi-cado en 1825 por instrucciones del presidente Guadalupe Victoria. Esta obrase deriva principalmente de los levantamientos hidrograficos realizados porla marina espanola a fines del siglo XVIII y principios del XIX.

Por lo que refiere a levantamientos cartograficos del interior de la Republi-ca podemos mencionar los realizados en 1828 para el Distrito Federal yel Estado de Mexico. Actividades similares se realizan para los estados deQueretaro, Chihuahua y Yucatan, que concluyen en 1831, 1832 y 1848 res-

pectivamente.Para mejorar el conocimiento de nuestro pas se realiza, en 1850, la Car-

ta General de la Republica... por la Sociedad Mexicana de Geografa yEstadstica, misma que, en proceso de elaboracion, fue utilizada en 1847 pa-ra demarcar los lmites con Estados Unidos, siendo aprobada en 1851 por el


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presidente de la Republica.

Se publica en 1856 la compilacion realizada por el ingeniero AntonioGarca Cubas bajo el nombre de Atlas Estadstico e Historico de la RepublicaMexicana,. . . la que integra los trabajos de la Sociedad Mexicana de Geo-grafa y Estadstica, de Humboldt, Garca Conde, Narvaez, Mier y Teran,del Moral, la Comision de Lmites con los Estados Unidos y otros numerososestudios. Posteriormente en 1863, Antonio Garca Cubas presenta La CartaGeneral de la Republica Mexicana, a escala 1:2000,000 en la que, con apoyodel ingeniero Francisco Daz Covarrubias, se integra nueva informacion y secorrigen errores de la carta anterior.

En 1869 se levanta el plano de la Ciudad de Mexico, y en 1880 se actualiza

dicho plano en virtud del crecimiento de la ciudad. Por esta epoca, Orozco yBerra promueve la formacion de un Atlas Nacional de Historia y Geografa,en tanto que el ingeniero Francisco Daz Covarrubias lleva a cabo los trabajosgeodesicos necesarios para obtener la Carta Hidrologica del Valle.

En 1871 con el fin de obtener cartas de ayuda para la navegacion, seiniciaron trabajos en los litorales de Mexico, por personal de los barcos esta-dounidenses, los cuales fueron concluidos hasta 1901.

A finales de 1877 se crea la Comision Geografico-Exploradora, con el ob-jetivo de elaborar la Carta General de la Republica Mexicana fraccionadaen hojas de gran escala; cartas de conjunto o estatales; cartas hidrologicasde costas, lagos y ros; de poblaciones y lugares importantes y cartas mi-litares y de reconocimiento. Esta institucion desaparecio en septiembre de1914, y en sus 36 anos de vida logro publicar 204 hojas de laCarta Generalde la Republica Mexicana, escala 1:100,000, realizo trabajos en los estadosde Puebla, Veracruz, Tamaulipas, San Luis Potos, Nuevo Leon, Tlaxcala yMorelos que le permitieron publicar las cartas de Tlaxcala, Veracruz y Nue-vo Leon a diferentes escalas. Ademas, obtuvo informacion, principalmenteastronomica, de Hidalgo, Yucatan, Chihuahua y la mayor parte de Oaxaca.Levanto los lmites entre Nuevo Leon y Tamaulipas, e hizo algunos levanta-mientos aislados en Sonora.

Es a finales de este siglo que se publica por parte de la Secretara deFomento de La Carta General de la Republica Mexicana, escala 1:2000,000,en tanto que en el Distrito Federal se implementaba un Sistema Catastralque integraba redes trigonometricas de cuatro ordenes, lneas de poligonaciony nivelacion as como productos cartograficos multifinalitarios.


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1.3.4. Actividad en el siglo XX

En 1915 se crea la Direccion de Estudios Geograficos y Climatologicos,que en 1926 cambio de nombre adoptando el de Direccion de Geografa,Meteorologa e Hidrologa y posteriormente adopto el nombre de Direccionde Geografa y Meteorologa. Esta institucion se ocupo de disponer de cartasgenerales del pas o de sus entidades federativas para usos administrativos, ycontinuar los trabajos de la Comision Geografico-Exploradora.

Esta dependencia logra concretar sus esfuerzos en diferentes productoscartograficos entre ellos el Atlas de la Republica, formado por varias hojas aescala de l:500,000, el Atlas de las entidades federativas con mapas a escalavariable, La Carta General de la Republica Mexicana, escala 1:2000,000,

la Carta del Valle de Mexico escala 1:50,000, as como mapas urbanos delas ciudades capitales.

En febrero de 1938 fue creada la Comision Geografica Militar, con elencargo de formar la Carta General Militar del Pas, perfeccionar en lo quecorresponde a nuestro pas la Carta Aeronautica del Mundo ambas a escala1:1000,000, elaborar las cartas tacticas a escala 1:25,000 y de realizar lacartografa militar de nuestra nacion. Esta Institucion utiliza la fotogrametracomo metodo de compilacion y adopta la proyeccion Universal Transversa deMercator (UTM) ideada por el Servicio Cartografico de la Armada de losEstados Unidos. Con estos elementos se prepara la Carta General de los

Estados Unidos Mexicanos a escala 1:100,000.Posteriormente esta dependencia cambia de nombre, designandose Depar-tamento Cartografico Militar y hacia 1951 publica nueve hojas de la CartaTactica del Valle de Mexico a escala 1:25,000.

Entre 1941 y 1942, la Direccion de Geografa y Metereologa publica lascartas de Zacatecas y Jalisco escala 1:500,000, en 1946 la de Tabasco escala1:200,000, y en 1948 la de Coahuila a escala 1:500,000.

Otra dependencia que resalta por su produccion cartografica es la Se-cretara de Comunicaciones y Obras Publicas quien en 1931 edita la CartaGeneral de Comunicaciones de los Estados Unidos Mexicanos, en 1932 lascartas aereas de las rutas Oaxaca-Salina Cruz, a escala 1:560,000, Oaxaca-

Tapachula, escala 1:700,000, y Mexico-Ixtepec, escala 1:700,000 y publicadaen 1943. Otras obras relevantes son la Carta General de Comunicacionesde la parte central de la Republica Mexicana, escala 1:500,000, y la Car-ta General de Comunicaciones de los Estados Unidos Mexicanos, escala1:2000,000.


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En febrero de 1945 se crea el Comite Coordinador para el Levantamien-

to de la Carta de la Republica Mexicana, quien produce la Carta de laRepublica Mexicana a escala 1:500,000. Este organismo es sustituido el 20de diciembre de 1955, por la Comision Intersecretarial Coordinadora del Le-vantamiento de la Carta Geografica de la Republica Mexicana, integrada porrepresentantes de las secretaras de Agricultura, Comunicaciones y Transpor-tes, Defensa Nacional, Educacion, Marina y Agricultura y Desarrollo Rural;ademas de Petroleos Mexicanos, el Banco de Mexico, la Universidad NacionalAutonoma de Mexico y la Sociedad Mexicana de Geografa y Estadstica. Elacuerdo fue publicado en el Diario Oficial de la Federacion el 2 de enero de1956, y de inmediato entro en vigor. Este organismo elabora, por primera vez,cartografa con cubrimiento nacional a escala 1:500,000 con la denominada

Carta Geografica de la Republica Mexicana.

Es a partir de la decada de los 60 que se inicia una febril actividad car-tografica por parte de diferentes organismos publicos, empresas privadas einvestigadores, sin embargo, mucho del esfuerzo se orienta a aplicaciones es-pecficas, sin que exista un organismo que tenga una vision general. Con el finde satisfacer esta necesidad, en octubre de 1968 se crea un organismo federalencargado de elaborar la cartografa del pas. Esta institucion cartografica sedenomino Comision de Estudios del Territorio Nacional y Planeacion (CE-TENAP), y quedo adscrita a la Secretara de la Presidencia.

Dos anos despues, se le suprimen las funciones de planeacion denominando-se por esta razon Comision de Estudios del Territorio Nacional (CETENAL).Posteriormente, en 1980, la CETENAL paso a ser la Direccion General deEstudios del Territorio Nacional (DETENAL) y en 1982 la Direccion Generalde Geografa del Territorio Nacional (DIGETENAL).

En enero de 1983, al crearse el INEGI, se transformo en la DireccionGeneral de Geografa, y es actualmente la institucion oficial responsable denormar el funcionamiento y de promover la integracion y desarrollo del Sis-tema Nacional de Informacion Geografica; establecer las polticas, normasy tecnicas para uniformar y racionalizar la captacion, produccion y proce-

samiento de la informacion geografica del pas, donde la Cartografa, comoexpresion final de los trabajos es un elemento de vital importancia.1

1Para mayor detalle consultese [15], [11], [6], [18] y [23]


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12 Generalidades

1.4. Ciencias Relacionadas

Para identificar que ciencias estan relacionadas con la Cartografa, es ne-cesario recordar la definicion dada en la pagina 4, de la cual surge la preguntaCuales son esas operaciones cientficas y tecnicas que intervienen en la ela-boracion de un mapa? La respuesta es clara si se comprende que un mapa ocarta no es mas que una idealizacion del terreno, requiriendo que el cartogra-fo comunique al usuario la informacion que este busca. Para ello es necesarioque tanto el cartografo como el usuario hablen un idioma comun (principal-mente grafico) y se establezcan reglas mnimas que faciliten la comunicacion.De lo anterior resulta importante, desde el punto de vista cartografico, eldiseno grafico mediante la adecuada seleccion de smbolos, tramas y colores(semiologa grafica).

Por otra parte, la Cartografa tiene estrecha interrelacion con las cien-cias que la utilizan para representar informacion, entre ellas las Ciencias dela Tierra (Topografa, Geologa, Geofsica, etc.), los estudios del medio am-biente, etc. Otra area de estrecha relacion es la Geodesia, quien es la queproporciona el marco que sustenta los mapas, lo anterior resulta evidente sise entiende que el area de estudio de la Geodesia es la determinacion de laforma y dimensiones de la Tierra o parte de ella y la ubicacion precisa depuntos sobre esta.

1.5. Sistemas de Coordenadas

Para iniciar la comprension del manejo de las proyecciones, debemos co-menzar con los sistemas de coordenadas utilizados en la Cartografa. Estosson basicamente los siguientes:

Sistema Cartesiano.

Sistema Polar.

Un aspecto en comun que tienen estos sistemas es que ambos permitenubicar puntos sobre la superficie terrestre, si se establecen las definicionesnecesarias.


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1.5 Sistemas de Coordenadas

0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N

A

Figura 1.4: Plano Cartesiano Bidimensional

1.5.1. Sistema Cartesiano

Para identificar este sistema de coordenadas (en su variante en dos dimen-siones), debemos recordar el juego del submarino, en donde para localizarel barco enemigo se dictaban lecturas como C4 o D6, donde la letra identificala columna y el dgito el renglon. Este es el sistema cartesiano bidimensional(nombrado as en honor de Rene Descartes 2) en donde a la columna (letra)se le conoce como la abscisa (x) y al renglon (dgito) como la ordenada (y).En Matematicas y Cartografa ambos valores son numericos, sin embargo,la denominacion en esta ultima se modifica, designandose a la abscisa comoEste (E) y a la ordenada como Norte (N). El orden en que se indican esgeneralmente E, N por lo que la identificacion del punto A suele darse como7,9 (ver Figura 1.4).

Este sistema puede ser ampliado para incluir valores negativos (ver figura1.5), por lo que valores de -1234.345, 79.245 son normales, aunque no ade-

2En su forma latina se tradujo como Renato Cartesium, de ah la designacion de Car-tesiano


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14 Generalidades

cuados para la mayora de las operaciones de calculo, principalmente por que

la omision de los signos en los calculos afecta el resultado.

-5,-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

E

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

N

Figura 1.5: Sistema Cartesiano con valores negativos


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La ventaja de este sistema es que permite conocer mediante formulas

sencillas valores como acimut, distancia y superficie. Veamos el primer caso,esto es, el calculo de distancias usando coordenadas de un sistema cartesiano,que graficamente se puede analizar con la figura 1.6:

Figura 1.6: Distancia en el Plano

Matematicamente esto se determina mediante la expresion:

d= (Ef Ei)2 + (Nf Ni)2 (1.1)

En donde:

(E, N)i = Coordenadas Este y Norte del punto inicial

(E, N)f= Coordenadas Este y Norte del punto final

En lo referente al acimut, la formula para calcularlo es:

Az= arctan

Ef EiNf Ni

(1.2)

Finalmente la superficie puede calcularse con las formulas siguientes:

Sup =

12

[Ni+1 Ni][Ei+1 Ei]

Sup =

12

Ni[Ei+1 Ei1]

(1.3)


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16 Generalidades

Todo lo anterior es sumamente ventajoso y de hecho se han establecido

metodologas y formatos para su calculo manual as como programas para suevaluacion automatizada. Sin embargo, los alcances de este sistema bidimen-sional se restringen a calculos en el plano, y no es factible la determinacionde volumenes. Para ello se agrega un tercer eje que denotamos como u (Fi-gura 1.7), que nos permite manejar el concepto de volumen, por lo que lascoordenadas en este sistema del punto A son (E, N, u). Aqu debe recordarseque la definicion del sistema requiere establecer el origen y la orientacion delos ejes, como mnimo.

Figura 1.7: Sistema Cartesiano Tridimensional

Dependiendo de la ubicacion, origen y orientacion de los ejes se puedendefinir una infinidad de sistemas, teniendo en nuestro caso especial relevancialos relacionados con la referencia terrestre:

Sistema Topocentrico

Sistema Geocentrico o Geodesico

No es intencion detallar las caractersticas de cada uno de ellos, ya queexisten textos orientados a revisar sus propiedades. En caso de ser de interes,consultese [16]

1.5.2. Sistema Polar

Este sistema es un poco mas difcil de explicar debido a que fue concebidopara ubicar un punto en forma diferencial a partir de coordenadas curvilneas.


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Iniciamos con un sistema de referencia plano, homologandolo con el sistema

cartesiano bidimensional. Para ello nos valdremos de la figura 1.8:

Figura 1.8: Sistema Polar Bidimensional

Como puede observarse en el Sistema polar la ubicacion de un puntoesta dado en funcion de un angulo y una distancia que en Topografa seconocen como acimut y distancia respectivamente. De manera analoga a loestablecido al sistema cartesiano, se requiere modificar la definicion originalpara manejar la ubicacion de un punto en un espacio tridimensional, que eneste caso se realiza mediante la inclusion de un segundo angulo (Figura 1.9).

En Geodesia a los angulos se les denomina Latitud y Longitud.

Figura 1.9: Sistema Polar tridimensional


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18 Generalidades

Como en el caso de los sistemas cartesianos, el sistema polar tridimensio-

nal queda completamente definido cuando se indica el origen y la orientacionde los ejes. Internacionalmente se han adoptado como planos de referencia elmeridiano de Greenwich (como origen de las longitudes), y el Ecuador (comoorigen de las latitudes). Ver figura 1.9.

Convencionalmente la latitud se mide a partir del Ecuador hacia los po-los, agregandose el sufijo N o S dependiendo del hemisferio, considerandosecomo positivas las latitudes norte y negativas las latitudes sur. Por lo que serefiere a las longitudes, la convencion es medirlas de 0a 360hacia el Este,sin embargo, en el continente americano generalmente se usa la medicion de0a 180al Este y de 0a 180al Oeste, practica que seguimos en este texto,en donde se consideran como positivas las longitudes medidas hacia el Oeste.

1.5.3. Sistema Geodesico de Referencia

Como se senala en lneas anteriores, una de las ciencias que mayor rela-cion tiene con la Cartografa es la Geodesia, ya que esta ultima incluye comoobjetivo determinar la forma y tamano de la Tierra y de cualquier punto quese ubique en esta. De manera breve podemos decir que la Cartografa es la re-presentacion grafica de las posiciones determinadas en Geodesia, basicamenteen lo referente a forma y dimensiones de la Tierra, as como a la ubicacion depuntos en la misma. Por lo anterior es comprensible la necesidad de conocerlas tres formas basicas de la Tierra que los geodestas manejan (Figura 1.10).Sin embargo, tambien se debe remarcar la posibilidad de usar la esfera pararepresentaciones cartograficas, sobre todo si la escala utilizada o la precisi ondel fenomeno a representar permite esta sustitucion.

Superficie Topografica

Es la superficie natural del terreno, con todas sus ondulaciones, que identi-

ficamos de manera fsica (en otras palabras, es el suelo que pisamos a diario).Es evidente que la representacion matematica de dicha superficie es alta-mente compleja y, de hecho, practicamente imposible de utilizar. Con mirasa resolver esta situacion los estudiosos han creado otra figura mas simple,que se conoce como:


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Figura 1.10: Figuras de la Tierra

Geoide

Se define como una superficie equipotencial que mejor coincide con el nivelmedio del mar prolongandolo a traves de los continentes. Esta superficie esimportante, ya que es a la que se referencian los levantamientos tradicionalescon teodolito y nivel de manera natural. Sin embargo, aun cuando esta figuraes mas simple, presenta deformaciones que todava son complejas de manejar.Por lo anterior se define una figura adicional que se denomina:

Elipsoide de Revolucion

Es una figura matematica que se genera por una elipse que gira sobre sueje menor. Las dimensiones de los ejes se han establecido de diversas manerassegun el lugar y la epoca. La definicion del elipsoide de revolucion, as comosu posicion y otros valores adicionales definen lo que los geodestas denominanDATUM, que no es mas que la oficializacion de estos valores.

A la fecha en Iberoamerica se utilizan diversos Datum y estan en procesode adopcion otros mas. En terminos practicos a que se debe que existan di-ferentes Datum? Para contestar lo anterior debemos establecer en principioque de hecho existe una gran cantidad de Datum (ver pagina 199) y que estos

se han establecido a traves de tecnicas, tiempos y lugares diferentes, de talmanera que el uso o adopcion de alguno de ellos obedece a necesidades pro-pias. Por ejemplo en Norteamerica, se ha utilizado ampliamente el NAD27,sin embargo, el uso de tecnologa reciente ha evidenciado las inconsistenciasque presenta este sistema. Para resolver este problema se encuentra en pro-


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20 Generalidades

ceso la adopcion de un nuevo sistema de referencia que permita armonizar la

precision del Datum con la de los actuales equipos de posicionamiento.Como ultimo punto de este tema es el conocer que elementos del Datum

afectan el trabajo cartografico, siendo estos los que definen al elipsoide derevolucion que esta asociado al Datum, basicamente:

Semieje mayor = a

Semieje menor = b

Achatamiento = f

Algunas formulas para obtener diferentes constantes del elipsoide se mues-

tran en la tabla de la pagina siguiente:Los valores de a, b o fpara diferentes elipsoides se pueden consultar en

la pagina 195.

1.6. Conceptos adicionales

Otros conceptos que es importante conocer ya que determinan las carac-tersticas mas adecuadas para nuestras necesidades se indican a continuacion.

1.6.1. Escala

Se define como la relacion existente entre la distancia real y la represen-tada en el mapa, generalmente se presenta mediante una escala grafica o demanera numerica. En este ultimo caso la notacion puede ser una fraccion(1/20,000) o una relacion (1:20,000), en todo caso a esta expresion se le de-nomina Escala Nominal , ya que como veremos mas adelante, este valor noes constante en todo el plano.

En el caso de que la notacion de la escala sea del tipo relacion, nos indicalo siguiente:

Unidades de dibujo/ Unidades del terrenoPor otra parte si la escala esta como relaci on, denota lo siguiente:

Unidades de dibujo: Unidades del terrenoExpresado de otra manera, si la escala es 1:20,000, lo que se esta manifes-

tando es que una unidad del plano representa 20,000 unidades en la realidad.De igual manera, si se tiene una relacion de 50:1, se indica que 50 unidadesdel dibujo equivalen a una unidad de la realidad. En Cartografa es comun


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1.6 Conceptos adicionales

a, b e2 e2 f n

a= c(1n)1+n

b= a

(1 e2) a1+e2

a(1 f)

ab =

11f

ba =

1 e2 1

1+e2 1 f 1n1+n

c= a2

ba1e2 a

1 + e2 a

1f

e2 = a2b2

a2

e2

1+e2 f(2

f) 4n

(1+n)2

e2 = a2b2b2

e2

(1f)2 = e2

1e2f(2f)(1f)2

4n(1n)2

f= aba

1

(1 e2) 1 (1 + e2)12 4n1+n

n= aba+b1

(1e2)1+

(1

e2)

(1e2)1(1

e2)+1

f2f

Cuadro 1.1: Conversion de valores elipsoidales


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22 Generalidades

tener relaciones del primer tipo, debido a que generalmente lo que se realiza

es concentrar la informacion a un formato manejable. Sobre este punto esconveniente indicar que existe un efecto indirecto de la escala con el detallede la informacion a representar, hecho que puede evidenciarse si se consi-dera que el grueso de una lnea a diferentes escalas representara rasgos delterreno diferentes. Por ejemplo si tomamos como referencia una lnea de 0.25mm puede considerarse que se esta representando un rasgo del terreno de lasdimensiones que se indican en la tabla 1.2.

Distancia

Escala en el terreno

1:500 0.125 m

1:1,000 0.250 m

1:5,000 1.250 m

1:10,000 2.500 m

1:20,000 5.000 m

1:50,000 12.500 m

Cuadro 1.2: Efectos por Escala

Analizando la tabla puede establecerse que si se desea representar fiel-

mente objetos del terreno de una dimension de 0.25 m es factible usar lasescalas de 1:1,000 y de 1:500, ya que el uso de cualquier otra escala de lassenaladas en la tabla anterior no permitira representar este tipo de detalle.

Como comentario final sobre las escalas, indicaremos que una escala1:1000,000 se considera una escala pequena, en tanto que una escala 1:1,000


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es una escala grande; como puede notarse la denominacion de grande o pe-

quena no se refiere al valor numerico del denominador, es la magnitud dela relacion (una millonesima es mas pequena que una milesima) e indica elgrado de detalle que puede apreciarse. Tomando como ejemplo los datos an-teriores, podemos senalar que es posible representar fielmente detalles de 0.25m a escalas de 1:1,000 y mayores, ya que a una escala mas pequena no esfactible conservar la fidelidad de este detalle.

1.6.2. Factor de Escala

Como se establecio en el parrafo anterior, la relacion que existe entre

la distancia real y la representada en el dibujo se define como escala, sinembargo, esta relacion no es uniforme para todos los tipos de proyeccion.En resumen podemos establecer que cualquier proyeccion tendra un factorde escala que variara dependiendo de las caractersticas de construccion dela proyeccion. Analticamente podemos establecer que la escala real en uncierto punto de una proyeccion dada esta definida por:

Evm = Escala nominal h (1.4)Donde h es el factor de escala meridional.

Evp = Escala nominal (1.5)Donde es el factor de escala del paralelo.

1.6.3. Deformaciones Angulares

Consecuencia de la variacion de escala en el plano, son las deformacionesen angulo y superficie, que guardan entre s una estrecha relacion. Para iden-tificar su efecto, generalmente se recurre a la indicatriz de Tissot (ver [19]).La indicatriz de Tissot podemos resumir es la comparacion de un crculo

infinitamente pequeno sobre la superficie elipsoidal, y su representacion en elplano cartografico.

Como puede observarse de la figura 1.11, la meridiana (eje NS) no con-serva su orientacion, formando un angulo con respecto al eje NS, angulo quese conoce como convergencia de meridianos; y se denota con la letra griega .


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24 Generalidades

Figura 1.11: Indicatriz de Tissot

Las formulas requeridas para el calculo de este valor varan segun la proyec-cion utilizada, por lo que el modelo matematico correspondiente se incluyepor cada proyeccion revisada en estas notas.

Otro efecto es que el angulo que existe entre los vertices b yces diferenteal existente entre los vertices b y c, a esta diferencia se le conoce como de-formacion angular. Esta deformacion no es constante para todos los angulos,

ya que vara segun las direcciones que conforman dicho angulo. La notacionadoptada para indicar la maxima deformacion angular es (o 2 ). La formulausada para su determinacion ( a excepcion de las proyecciones acimutales)es:

sinw

2

=|h k|(h + k)

(1.6)

Adicionalmente puede identificarse que el acimut cartografico ab es di-ferente del acimut cartografico ab, y se le conoce a esta deformacion comodistorsion acimutal.

Con el fin de identificar los valores de h y mencionados anteriormente,designamos como NS y WE a los diametros vertical y horizontal de nuestrocrculo en el elipsoide. Por efecto de la proyeccion tenemos que estas distan-cias se deforman en el plano cartografico, de tal forma, que sus equivalentesson NS y EW, respectivamente, por lo que los valores de escala lineal son:


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h= NSNS

(1.7)

=EW

EW (1.8)

Idealmente los valores de estas relaciones deberan ser iguales y unitarios(h= 1, = 1), sin embargo, esto no es posible, por lo que dependiendo deltipo de proyeccion se pueden presentar diferentes valores de h y.

1.6.4. Gradcula

Uno de los elementos que generalmente se representa en cualquier pro-yeccion para determinar geograficamente la posicion de un punto es la mallaconformada por los cruces de paralelos y meridianos. Esta malla tiene el nom-bre de gradcula, dado que los valores representados tienen como unidad elgrado.

1.6.5. Cuadrcula

Otro elemento de importancia que en ocasiones se representa, es la cua-

drcula, que no es mas que la malla conformada por los cruces de ordenadasy abscisas en valores cerrados, generalmente multiplos de 5 o 10. Practica-mente esta malla solo se utiliza como apoyo para la elaboracion del mapa,eliminandose posteriormente. Sin embargo, para la proyeccion UTM, esteelemento es parte integral del mapa y se conserva.

1.6.6. Declinacion Magnetica

Otro elemento que usualmente se representa en las cartas con informa-cion basica es la declinacion magnetica, que es el angulo que existe entre

el Norte Geodesico (norte verdadero) y el Norte Magnetico (punto hacia elcual senalan las brujulas magneticas). Esta informacion es variable ano conano, por lo que tambien se incluye su variacion anual. Esta informacion esnecesaria para que las brigadas de campo puedan, en su momento, ajustarlas brujulas a fin de que estas senalen al norte verdadero.


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26 Generalidades

Figura 1.12: Elementos Graficos de un mapa

1.7. Elementos Graficos de un mapa

Independientemente de la proyeccion que se utilice es necesario conocerlos elementos que conforman un mapa o carta, para lo cual revisemos dichoselementos. Al respecto nos auxiliaremos de la Figura 1.12.

Los elementos cartograficos arriba senalados, en un mapa tienen los si-guientes objetivos:

Nombre y Clave de la carta.- Se utilizan para identificar el documentodentro de un sistema de referenciacion cartografica.

Cuadro de simbologa.- En este espacio se deben de indicar todos y

cada uno de los smbolos utilizados en el documento.Cuadro de datos cartograficos.- Este espacio esta reservado para senalardatos como son: metodo de compilacion, elipsoide de referencia, pro-yeccion utilizada, fecha de edicion, escalas numerica y grafica, creditosdel productor, recopilador, etc.


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1.7 Elementos Graficos de un mapa

Cuadrcula.- Retcula lineal, basicamente se usa en la Proyeccion Uni-

versal Transversa de Mercator (no se muestra en la figura).

Gradcula.- Retcula angular (cruce de meridianos y paralelos), se uti-liza para ubicarse espacialmente dentro del mapa.


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28 Generalidades


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Captulo 2

Elementos Cartograficos

2.1. Clasificacion de las Proyecciones

Ahora bien por que se requiere de un estudio cientfico para algo tansimple como la representacion de la superficie elipsoidal? El problema puedeser explicado si se intenta desarrollar la superficie de una esfera a un planoo viceversa, construir la superficie de una esfera con una hoja de papel. Elejemplo mas practico de esto es tratar de convertir la cascara de una naranjaen una superficie plana sin romper esta (que por experiencia se conoce que noes posible). Lo mismo ocurre con la representacion de la superficie terrestre(en nuestro caso el elipsoide de revolucion) en un plano, ya que por cuidadosoque sea el tratamiento de la informacion, siempre se introducira un tipo dedistorsion. Para poder realizar la transformacion de la superficie terrestre aun plano, los cartografos se auxilian de las proyecciones cartograficas, estoes, de los metodos para transferir la imagen de la Tierra a un plano (Figura2.1).

En este sentido, si analizamos detenidamente la figura 2.2 notaremos unacosa, la informacion contenida en el arco a se proyecta en el plano como elsegmento b, en donde en cuanto a la longitud a < b, esto es, la informaciondeb es una representacion exagerada de a. De manera matematica podemos

expresar lo anterior como:a= vb

Dondev es el factor de variacion. El problema ahora es Como es posiblereducir esta distorsion? Del analisis de la misma figura podemos decir quela distorsion se reduce si el plano cartografico es tangente a la esfera. En los


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30 Elementos Cartograficos

Figura 2.1: Proyeccion de la esfera a un plano

Figura 2.2: Efectos de la proyeccion


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2.1 Clasificacion de las Proyecciones

puntos de tangencia la distorsion no existe y la union de dichos puntos define

las lneas de escala verdadera. Otra alternativa es que el plano sea secante(Figura 2.3), con el efecto de que el factor de variacion sea menor.

Figura 2.3: Plano secante

Finalmente es conveniente senalar que la distorsion que caracteriza a lasproyecciones es uno de los diferentes metodos de clasificacion, mismos queveremos mas adelante.

2.1.1. Por tipo de propiedades

Como se senalo lneas arriba, existen diferentes tipos de distorsiones quese generan al proyectar el elipsoide de revolucion (o la esfera, en su caso) en

un plano, y una forma de clasificar las proyecciones es precisamente por lapropiedad que conservan. Aqu es conveniente advertir que para una super-ficie de la magnitud de un pas, existen proyecciones de cada uno de estostipos, ya que si se requiere representar superficies mayores (por ejemplo unhemisferio) la relacion de proyecciones disponibles se reduce. Debemos indi-car que una conclusion importante en el estudio de las proyecciones es quelas unicas propiedades que se conservan en todo el plano cartografico son laconformalidad y la equivalencia.

Proyecciones Equivalentes

En este tipo de proyeccion se conservan las superficies del area repre-sentada, lo que obliga a la deformacion tanto de las distancias como de losangulos. Es necesario denotar que cuando el area representada es pequena esdifcil distinguir este tipo de proyecciones de las proyecciones conformes, amenos que sea por calculo o que este expresamente indicado. El mecanismo


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que se sigue para lograr la equivalencia en este tipo de proyecciones es senci-

llo, pues lo unico que se establece es que el factor de escala de los meridianossea inversamente proporcional al factor de escala de los paralelos, esto es:

= 1

h (2.1)

Como puede deducirse, al afectar de esta manera las coordenadas, elvalor de la superficie se conserva, no as el de las distancias que se deformandependiendo de su orientacion y los angulos que tambien se ven afectadospor la variacion de las distancias.

Proyecciones Equidistantes

En este tipo de proyeccion las distancias entre puntos seleccionados seconservan sin deformacion, en terminos practicos significa que el factor deescala es igual a la unidad, esto es:

= 1, para la conservacion de las distancias en los paralelosh= 1, para la conservacion de las distancias en los meridianosSin embargo, a diferencia de otras proyecciones, la conservacion de esta

propiedad no se presenta para todos los puntos en todo el plano (esto es= h). En realidad la mayora de las proyecciones cumplen el principiode equidistancia para algunas lneas o puntos. Por ejemplo en la proyeccionMercator, la equidistancia se presenta en el Ecuador; para las c onicas, se

presenta en los paralelos base, etc.

Proyecciones Conformes

La caracterstica de estas proyecciones es la conservacion diferencial delos angulos, caracterstica que puede identificarse al observar que las lneas degradcula se intersecan a 90, aun a costa de distorsionar las lneas que unendos puntos. Una consecuencia directa de lo anterior, es que la superficie decualquier polgono se distorsiona en dicho proceso. Dadas las caractersticasde conformacion diferencial de los angulos, es importante puntualizar que noexiste ninguna proyeccion conforme que mantenga esta caracterstica en todo

el globo terraqueo. Como ultimo comentario sobre este punto, debe recordarseque una proyeccion conforme se refiere a la conservacion de angulos, no deacimutes o rumbos, por lo que deben de considerarse calculos adicionales enalgunas proyecciones conformes para la conversion de acimutes de campo aacimutes cartograficos.


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Desde el punto de vista de los valores de h y , la condicion de confor-

malidad se cumple cuandoh = .

Proyecciones Afilacticas

En las proyecciones afilacticas no se conserva ninguna de las propiedadesanteriores, es decir, se deforman angulos, areas y distancias. Aun cuando talesproyecciones en principio aparentan no tener utilidad, en realidad son amplia-mente utilizadas para representar el globo terraqueo, continentes completoso para propositos especiales.

2.1.2. Por tipo de Superficie

Otra manera de clasificar las proyecciones es por tipo de superficie uti-lizada. En resumen se puede decir que se utilizan como superficie de repre-sentacion, el plano, el cono, el cilindro y otras. De lo anterior la clasificacionpor tipo de superficie es la siguiente:

Proyecciones Planas

Como se indico anteriormente son aquellas donde la superficie de refe-rencia es un plano. En este caso existe una subclasificacion de acuerdo alpunto de vista de la proyeccion, misma que revisaremos mas adelante. En

este momento es conveniente senalar que los factores de escala del paralelo ydel meridiano, no son faciles de determinar en las proyecciones planas, razonpor la cual estos valores estan sustituidos por los factores de escala radial(h) y concentrico (). Derivado de lo anterior, el valor de la deformacionangular se denota como , mismo que esta definido por:

sin

2

=|h k|(h+ k)

(2.2)

Continuando con el aspecto de las subclasificaciones se tienen definidas lassiguientes:

Gnomonicas Se define as a las proyecciones planas que tienen como puntode vista el centro de la Tierra (Figura 2.4).

Estereograficas Son aquellas proyecciones planas que tienen como puntode vista el punto diametral opuesto al punto de tangencia (antpoda)(Figura 2.5).


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Figura 2.4: Gnomonica

Figura 2.5: Estereografica


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Figura 2.6: Ortografica

Ortograficas Se define as a las proyecciones acimutales que tienen comopunto de vista el infinito (Figura 2.6).


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Proyecciones Conicas

Son aquellas en donde la superficie de referencia es un cono (Figura 2.7).

Figura 2.7: Proyeccion Conica

Esta categora presenta diferentes alternativas referentes a la posicion del

cono con respecto al eje de rotacion de la Tierra, teniendose as:Normales Cuando el eje de simetra del cuerpo de referencia es coincidente

con el eje de rotacion de la Tierra.

Transversas Cuando el eje de simetra del cuerpo de referencia forma unangulo recto con respecto al eje de rotacion de la Tierra.

Oblicuas Cuando no se cumple ninguno de los dos casos anteriores.

Asimismo, las proyecciones conicas pueden tener uno o dos paralelos base,dependiendo si son tangentes o secantes.

Proyecciones Cilndricas

Se clasifican en este rubro las que utilizan al cilindro como superficiede proyeccion (Figura 2.8). De manera similar a las conicas, este tipo deproyeccion puede ser secante o tangente.


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Figura 2.8: Proyeccion Cilndrica Normal

Finalmente para complementar la definicion de estas proyecciones se debeconsiderar la posicion de la superficie de referencia con respecto al eje derotacion de la Tierra, teniendose as:

Normales Cuando el eje de simetra del cuerpo de referencia es coincidentecon el eje de rotacion de la Tierra.

Transversas Cuando el eje de simetra del cuerpo de referencia forma unangulo recto con respecto al eje de rotacion de la Tierra. (Figura 2.9)

Oblicuas Cuando no se cumple ninguno de los dos casos anteriores.

Otros tipos de superficie

Dentro de esta clasificacion estan comprendidas todas las proyeccionesque no utilizan como espacio de representacion las senaladas anteriormente.Algunas de las superficies que se utilizan son las globulares, hiperbolicas, o lasmodificaciones a las cilndricas (pseudocilndricas) o conicas (pseudoconicas),etc.


50/223


Figura 2.9: Proyeccion Cilndrica Transversa

2.1.3. Cuadro Sinoptico

En la siguiente tabla se resume lo mencionado hasta aqu, referente a laclasificacion de las proyecciones:


51/223


Proyecciones

Planas

Desde el centro de la Tierra Gnomonica

Desde el punto Antpoda Ortografica

Desde el infinito Estereografica

Conicas

Normal

Conforme Lambert

Equivalente Albers

Equidistante Conica Equidistante

Acimutal

Transversa

Conforme

Equivalente

Equidistante

Acimutal

Oblicua

Conforme

Equivalente

Equidistante

Acimutal

Cilndricas

Normal

Conforme Mercator

Equivalente Cilndrica de Lambert

Equidistante Platee Carre

Acimutal

Transversa

Conforme UTM

Equivalente

Equidistante

Acimutal

Oblicua

Conforme Hotine

Equivalente

Equidistante

Acimutal

Otras

Globular

Estrella

Polihedrica

Cuadro 2.1: Cuadro Sinoptico


52/223


En la tabla anterior debe notarse que no se considero si la superficie de

representacion es tangente o secante al elipsoide de revolucion (o esfera), conel fin de no hacerlo mas complejo.


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Captulo 3

Proyecciones Conformes

3.1. Proyeccion Mercator

3.1.1. Antecedentes

Sin lugar a duda la proyeccion mas famosa y simple en cuanto a su cons-truccion es la desarrollada por Gerardus Mercator la cual lleva su nombre.Mercator nace en 1512 en Rupelmonde, Flandes (actualmente Pases Bajos)y realizo sus estudios en la universidad de Lovaina, donde r apidamente de-sarrollo interes en Filosofa, Teologa, Matematicas, Geografa, Astronoma,

grabado y caligrafa, publicando su primer mapa en 1537. En 1538 publico unmapa en el que por primera vez se nombra a la region de Norteamerica conese nombre. En 1544 Mercator fue uno de tantos habitantes de Lovaina quefue arrestado por hereja, cinco de ellos fueron ejecutados pero despues devarios meses fue liberado.

En 1522 se mudo a Duisburgo, Alemania donde presento su proyeccioncilndrica en 1569 y preparo gran cantidad de mapas, as como globos terres-tres y celestes. El Atlas sive cosmographicae meditationes de fabrica mundiet fabricati figura, desarrollado por Mercator fue publicado por su hijo Ru-mold un ano despues de su muerte en 1594. Esta fue la primera vez que unlibro de mapas fue titulado con el nombre del Titan mitologico griego Atlas.

La proyeccion Mercator aparecio por primera vez como un mapa muralde dieciocho hojas montado sobre veintiun secciones totalizando cerca de1.3 por 2 metros, tratandose de una proyeccion cilndrica normal, en la que,los meridianos aparecen como lneas rectas espaciadas de manera uniforme,mientras que los paralelos cortan a los meridianos en un angulo recto pero el


54/223

42 Proyecciones Conformes

espaciamiento se incrementa conforme se tiende hacia los polos y de hecho,

este es directamente proporcional al incremento de escala en el paralelo, ocomo la secante de la latitud, con lo que los polos no pueden ser representados.

Como resultado de este diseno, la proyeccion Mercator es de tipo con-forme, en la que el factor de escala sobre el Ecuador es igual a la unidad.El proposito fundamental de Mercator al desarrollar esta proyeccion fue elde aplicarlo en la navegacion, ya que todas las lneas de rumbo constante(loxodromica) aparecen como una recta. Con lo anterior, la proyecci on sevolvio muy popular entre los navegantes, ya que solamente requera deter-minar la direccion de la recta que une a los puntos de partidas y destino ycorregirla por el efecto de la declinacion magnetica. Mercator llamo a estacarta Nova et aucta orbis terrae descriptio ad usum navigantium emendate

accommodata [9].La proyeccion Mercator aparecio frecuentemente como la base para ma-

pamundis y atlas desarrollados durante el siglo XIX, aun cuando presentagrandes distorsiones en las regiones polares. Considerando que la principalaplicacion es la navegacion, sobre todo para la representacion del lecho ma-rino asociandolo a las rutas de navegacion. La proyeccion es de utilidad pararepresentar areas cercanas al Ecuador. Como podemos observar de la figura3.1 otras caractersticas que las distinguen son:

Es una proyeccion cilndrica normal tangente.

El factor de escala es constante para una latitud dada, increment andosede manera exponencial, conforme nos alejamos del Ecuador y es iguala la unidad en el (punto de tangencia). Por esta razon la escala esverdadera solo en el Ecuador (observe el comportamiento en la figura3.2).

Por la razon anterior, las superficies se distorsionan de manera incre-mental conforme nos acercamos a los polos. Por ejemplo, en esta pro-yeccion, Groenlandia se ve mayor que Sudamerica, cuando en realidadGroenlandia tiene un octavo del tamano de Sudamerica.

Como se menciono anteriormente, cualquier lnea recta en esta proyec-cion representa la lnea de rumbo constante, no debe confundirse esta,con la lnea de distancia mas corta.

Su aplicacion principal es la elaboracion de cartas de navegacion.


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3.1 Mercator

120W

120W

110W

110W

100W

100W

90W

90W

80W

80W

70W

70W

60W

60W

50W

50W

40W

40W

30W

30W

60S 60S

50S 50S

40S 40S

30S 30S

20S 20S

10S 10S

0 0

10N 10N

20N 20N

30N 30N

40N 40N

Figura 3.1: Apariencia de la Proyeccion Mercator. 0= 0,0= 75

W


56/223


El origen de la coordenada Norte es el Ecuador, lo que genera problemas

por el numero de decimales para latitudes mayores a 14, por lo quegeneralmente se elige una Falso Norte para reducir el numero de dgitos.

El valor del Falso Este es arbitrario, definiendose generalmente en fun-cion de un meridiano de origen.

3.1.2. Modelos Matematicos

Calculo Directo

Las formulas utilizadas para la transformacion de coordenadas geodesicasa coordenadas Mercator son:

= ln

tan

45 +

2

(1 e sin )

(1 + e sin )

e2

(3.1)

= 0 p (3.2)

E=a (3.3)

N=a (3.4)

En cuanto al calculo del factor de escala y convergencia de meridianos,estos se obtienen mediante las formulas siguientes:

= a

N cos (3.5)

= 0 (3.6)

Donde:a= semieje mayor del elipsoide de referencia

b= semieje menor del elipsoide de referenciae = raz cuadrada de la primera excentricidad = Latitud geodesica del punto en grados= Diferencia de longitudes en radianes = Latitud isometrica del punto


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3.1 Mercator

120W

120W

100W

100W

80W

80W

60W

60W

40W

40W

60S 60S

40S 40S

20S 20S

0 0

20N 20N

40N 40N.

1.2

1.1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

Figura 3.2: Valores de k en la Proyeccion Mercator


58/223


N= Radio de curvatura del primer vertical y se obtiene con:

N = a1 e2 sin2

(3.7)

El procedimiento para el calculo de las coordenadas Mercator es:

1. Calcular la Latitud isometrica mediante la formula 3.1, usando el valorde en grados.

2. Calcular la diferencia de longitudes, mediante la expresion 3.2, expre-sando el resultado en radianes.

3. Calcular la coordenada E, mediante la formula 3.3

4. Calcular la coordenada N, mediante la formula 3.4


59/223

3.1 Mercator

Ejercicio de Calculo Directo

Transformar a la proyeccion Mercator un vertice geodesico que tiene lascoordenadas siguientes:= 231534,75620 Np = 111

1232,62310 W0 = 112

NEl elipsoide de referencia es el GRS80, que tiene los valores siguientes (pagina196):

a= 6378137,0m 1

f= 298,257222101

Usando la formula senalada en la pagina 21, y realizando la operacionobtenemos:

e2 = 0,00669438002290por lo que

e= 0,08181919104281El siguiente paso es convertir los valores angulares de grados, minutos y

segundos a grados y decimales de grado. Para ello podemos usar la expresion:

HH= grados +minutos

60 +

segundos

3600 (3.8)

La unica consideracion que debemos de tener con la expresion anterior,se refiere a que ocasionalmente los valores angulares son negativos y debe depreservarse su signo.

Iniciamos el proceso transformando la latitud de grados, minutos y se-gundos a grados y decimales:

= 23+15

60 +

34,75620

3600= 23,259654500000

Con este valor calculamos el valor de la latitud isometrica.

2 =

23,259654500000

2= 11,629827250000


60/223


45 +

2

= 45 + 11,629827250000

= 56,629827250000

tan(45 +

2) = tan56,629827250000

= 1,518298895779

sin() = sin 23,259654500000

= 0,3948986696826

e sin23,259 654 500 000 = 0,032310289697311 e sin23,259 654 500 000 = 0,96768971030269

1 + e sin23,259 654 500 000 = 1,03231028969731

1 e sin()1 + e sin() = 0,9374019807424

1 e sin()1 + e sin()

e2

= 0,9973589713931

tan(45 +

2)

1 e sin()1 + e sin()

e2

= 1,514289024961

= ln 1,514289024961

= 0,4149460383552

Continuamos con el calculo de la diferencia de longitudes, esto es:

= 0

p

= 112 1111232,62310= 004727,37690

= 00,790938027777


61/223

3.1 Mercator

Para convertir este valor de grados a radianes usamos la siguiente expresion:

Radianes = Grados

180 (3.9)

Usando la expresion anterior para convertir a a radianes obtenemos:

= 0,013 804 472 763 95 radianes

Finalmente las coordenadas son:

E= 6378137,000

0,01380447276395

= 88, 046,819 m

N= 6378137,000 0,4149460383552= 2646, 582,680 m

Calculo Inverso

Para la transformacion de coordenadas Mercator a geograficas, se usan

las formulas que a continuacion se indican:

=N

a (3.10)

p = 0 Ea

(3.11)

0= 2arctan

e 90 (3.12)

n= 2arctan

e1 + e sin

n11 e sin n1

e2 90 (3.13)Donde:

e= base de los logaritmos neperianosEl procedimiento de calculo es el siguiente:


62/223


120W

120W

100W

100W

80W

80W

60W

60W

40W

40W

60S 60S

40S 40S

20S 20S

0 0

20N 20N

40N 40N

Figura 3.3: Valores de ayb en la Proyeccion Mercator


63/223

3.1 Mercator

1. Calcular los valores de latitud isometrica y longitud con las formulas

3.10 y 3.11

2. Posteriormente para obtener la latitud geografica en funcion de la la-titud isometrica, se utiliza la expresion 3.12, para obtener un valoraproximado de la latitud.

3. Se realiza la evaluacion de la formula 3.13 hasta lograr la convergenciarequerida, generalmente 1 105 segundos, que equivale a poco menosque un milmetro en el elipsoide.

Ejercicio de calculo Inverso

Transformar las siguientes coordenadas Mercator a coordenadas geodesi-cas:E= 88, 046,819 mN= 2646, 582,680 mEl valor del Meridiano origen (0) es 112W y el elipsoide de referencia es elGRS80 por lo que:

a= 6378137,0m 1

f= 298,257222101

Usando la formula senalada en la pagina 21, y realizando la operacion

obtenemos:e2 = 0,00669438002290

y

e= 0,08181919104281

Aplicando el metodo senalado lneas arriba iniciamos calculando la latitud

isometrica:

=2646, 582,680

6378, 137,000

= 0,4149460383181


64/223


Por lo que se refiere al calculo de la longitud tenemos:

p= 112 88, 046,819

6378, 137,000

= 112 0,013 804472842 1 radianes

Para poder realizar la operacion anterior es necesario convertir radianes agrados, mediante la formula:

Grados =180 Radianes

(3.14)

Aplicando la ecuacion anterior tenemos:

= 112 0,790938032258051= 111,209061967741949

Para transformar este valor a grados, minutos y segundos tomamos encuenta que:

Grados = entero(GGG.ggggggg)

Minutos = entero(60 (GGG.ggggggg Grados))Segundos = residuo(GGG.ggggggg 3600, 60)

(3.15)

Aplicando las formulas anteriores tenemos:

Grados = entero(111,209061967741949)

= 111

Minutos = entero(60

(111,209061967741949

111))

= entero(60 (0,209061967741949))= entero(12,54371806452)

= 12


65/223

3.1 Mercator

Segundos = Residuo(111,209061967741949 3600, 60)= Residuo(111,209061967741949 3600, 60)= Residuo(400, 352,623 0839, 60)

= 400, 352,623 0839 60 entero

400, 352,623 0839

60

= 400, 352,623 0839 60 entero(6672,543 718)= 400, 352,623 0839 60 6672= 400, 352,623 0839 400, 320= 32,62308

Finalmente

= 1111232,62308

Continuamos con la determinacion de la latitud geodesica. Para ello de-terminamos primero el valor de 0

0= 2 arctan(e0,4149460383552) 90= 2 arctan(1,51428902490462) 90= 2 56,560188395395 90= 113,120376790790 90= 23,120376790790

Utilizando el valor de 0, determinamos el valor de 1

1= 2

arctane 1 + 0,08181919104281sin23,12037679079

1 0,08181919104281sin23,12037679079e2 90

= 2 arctan

e0,4149460383552

1,03212746875208

0,96787253124792

0,081 819 191 042 812

90


66/223


= 2 arctan 1,51428902490462 (1,0663878097887)0,04090959552140

90= 2 arctan(1,51428902490462 1,0026330087650) 90= 2 arctan(1,5182761611800) 90= 2 56,629433144419 90= 113,25886628884 90= 23,25886628884

Este valor lo comparamos con el anterior para verificar si se cumple la con-dicion|n1 n| 1 105 segundos.|0 1| = |23,12037679079 23,25886628884|

= | 0,13848949805|= 0,13848949805

= 498,562 186

Dado que no se cumple con el criterio indicado en el procedimiento, se realizauna iteracion adicional:

2 = 2 arctan

e

1 + 0,08181919104281sin23,25886628884

1 0,08181919104281sin23,25886628884 e

2

90

= 2

arctane0,4149460383552 1,03230925559908

0,96769074440092

0,081 819 191 042 812 90

= 2 arctan 1,51428902490462 (1,0667759938514)0,04090959552140 90= 2 arctan(1,51428902490462 1,0026479371874) 90= 2 arctan(1,5182987671261) 90= 2 56,629825019812 90= 113,25965003962 90= 23,25965003962

Verificamos que se cumpla con la condicion establecida:

|1 2| = |23,25886628884 23,25965003962|= | 0,00078375078|= 0,00078375078

= 2,821 502


67/223

3.1 Mercator

Dado que la diferencia es mayor que la convergencia establecida, realizamos

otra iteracion:

3= 2 arctan

e

1 + 0,08181919104281sin23,25965003962

1 0,08181919104281sin23,25965003962 e

2

90

= 2 arctan

e0,4149460383552

1,03231028384552

0,96768971615448

0,081 819 191 042 812

90


Verificamos si alcanzamos el valor de convergencia:

|2 3| = |23,25965003962 23,25965447279|= | 0,00000443317|= 0,00000443317

= 0,015959

Ya que aun no se ha alcanzado la convergencia deseada, realizamos otraiteracion:

4= 2 arctan

e

1 + 0,08181919104281sin23,25965447279

1 0,08181919104281sin23,25965447279 e

2

90

= 2 arctan

e0,4149460383552

1,03231028966162

0,96768971033838

0,081 819 191 042 812

90

= 2 arctan

1,51428902490462 (1,0667782023854)0,04090959552140

90

= 2

arctan(1,51428902490462

1,0026480221062)

90

= 2 arctan(1,5182988957177) 90= 2 56,62982724893 90= 113,25965449787 90= 23,25965449787


68/223



|3 4| = |23,25965447279 23,25965449787|= | 0,00000002508|= 0,00000002508

= 0,000 090

= 9,0 105

Procedemos con otra iteracion:

5 = 2

arctane 1 + 0,08181919104281sin23,25965449787

1 0,08181919104281sin23,25965449787e2 90

= 2 arctan

e0,4149460383552

1,03231028969452

0,96768971030548

0,081 819 191 042 812

90



|4 5| = |23,25965449787 23,25965449801|= | 0,00000000014|= 0,00000000014

= 0,0000005

= 5,0 107

Que satisface el valor de convergencia deseado, por lo que el valor de lalatitud, una vez transformado a grados, minutos y segundos con el procedi-miento de la pagina 52 :

= 2315 34,75619


69/223

3.2 Transversa de Mercator

3.2. Proyeccion Transversa de Mercator

3.2.1. Antecedentes

Johann Heinrich Lambert inventor de la mayora de las proyecciones car-tograficas importantes, nacio en 1728 en Mulhansen, Alsacia. A partir de losdoce anos mostro gran interes en la ciencia, principalmente en Matemati-cas, Astronoma y Fsica, llego a ser el protegido de Federico el Grande yser considerado el matematico mas importante de Europa. Publico una grancantidad de trabajos en frances y aleman incluyendo estudios de cometas,planetas, convergencia de series, probabilidad, geometra, etc. En 1772 pu-blico Beitrage zum gebrauche der matematik und deren awendung [13] en

el que presento siete proyecciones cartograficas, entre las que se encuentrala transversa de Mercator en su forma esferica. Lambert muere en Berln,Alemania en 1777.

Lambert describe su proyeccion destacando dos caractersticas, la prime-ra que el meridiano central es una lnea recta subdividido homogeneamentey que el Ecuador tambien es una lnea recta, la cual corta perpendicular-mente a los meridianos. A estos dos requerimientos anade que los meridianosdeben cortar a los paralelos en angulo recto y que la latitud es correcta yproporcional a la longitud.

La proyeccion transversa de Mercator se obtiene conceptualmente rotando90 el cilindro de la proyeccion Mercator tocando a la esfera en un meridianoen lugar del Ecuador.

A la proyeccion transversa de Mercator se le conoce con varios nombres,siendo uno de los mas comunes el de Gauss Kruger, matematicos que des-arrollaron la version elipsoidal durante los siglos XIX y XX.

En 1882 Carl Friedrich Gauss desarrollo la version elipsoidal de esta pro-yeccion a la que asigno un factor de escala constante en el meridiano central,la cual fue reevaluada por Louis Kruger en 1912 [14], y es la proyeccion carto-grafica de mayor aplicacion en la cartografa topografica, principalmente en elmundo de habla inglesa. Posee como caractersticas principales las siguientes(ver figura 3.4):

Es una proyeccion cilndrica transversa que puede ser tangente o secan-te.

El factor de escala es constante para el meridiano central, variando enfuncion de la latitud y longitud. Para el caso de proyecciones tangentes


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120W110 W

100 W 90 W 80W 70 W 60W 5

0 W 40

W 30

W

60S

60S

50S

50S

40S 40S

30 S 30S

20S 20 S

10 S 10 S

0 0

10 N 10 N

20 N 20N

30N 30N

40N 40N

Figura 3.4: Apariencia de la Proyeccion Transversa de Mercator.0= 75W,

0= 1


71/223


la escala es verdadera en el meridiano central; para las secantes la escala

es verdadera en dos lneas equidistantes del meridiano central (Ver enla figura 3.5 el comportamiento de los factores de escala para el casotangente).

La convergencia de meridianos, tambien es constante en el meridianocentral, variando en funcion de la latitud y la longitud.

La distorsion en distancia y superficie es variable para cada punto enel plano.

Se utiliza para representar areas que se extienden de Norte a Sur, conpoca extension en longitud.

Generalmente se establece como origen de la coordenada Norte el Ecua-dor.

El origen del Falso Este es arbitrario, definiendose generalmente enfuncion del meridiano central.

3.2.2. Modelos Matematicos

Las formulas utilizadas para el calculo de las coordenadas en la proyecciontransversa de Mercator (o Gauss Kruger) son las que senalan a continuacion[20].

Calculo Directo

Para la transformacion de coordenadas geodesicas a cartograficas, se uti-lizan las formulas siguientes. Para el calculo de la coordenada Este:


72/223


120W

100 W80W 60 W

40W

60S

60S

40S 40S

20S 20 S

0 0

20 N 20N

40N 40N

1.0

1.11.2

1.31.1

1.2 1.3

Figura 3.5: Valores de k en la Transversa de Mercator


73/223


E= N cos +

+N 3 cos3

6 [1 t2 + 2]+

+N 5 cos5

120

5 18t2 + t4 + 142 58t22++134 64t24 + 46 24t26

+

+N 7 cos7

5040

61 479t2 + 179t4 t6 + 3312 3298t22 + 1771t42++7154 8655t24 + 6080t44 + 7966 10964t26++9480t46 + 4128 6760t28 + 6912t48 + 88101632t210 + 1920t410

+

+ (3.16)

E= E+ E0 (3.17)

Para el calculo de la coordenada Norte:

N=N2 sin cos

2 +

+ N4 sin cos3 24

[5 t2 + 92 + 44]+

+N6 sin cos5

720

61 58t2 + t4 + 2702 330t22 + 4454680t24 + 3246 600t26 + 888 192t28

+

+N8 sin cos7

40320

1385 3111t2 + 543t4 t6 + 108992 32802t22++9219t42 + 344194 129087t24 + 49644t44++563856 252084t26 + 121800t46 + 508568263088t28 + 151872t48 + 2404810 140928t210++94080t410 + 467212 30528t212 + 23040t412

+

+

(3.18)

N= N+ S+ N0 (3.19)

Para el calculo de la convergencia de cuadrcula:


74/223


tan = sin +

+3 sin cos2

3 [1 + t2 + 32 + 24]+

+5 sin cos4

15

2 + 4t2 + 2t4 + 152 + 354 40t24++336 60t26 + 188 24t28

+

+7 sin cos6

315 [17 26t2 + 2t4] +

(3.20)

y para el factor de escala:

= 1 +2 cos2

2 [1 + 2]+

+4 cos4

24 [5 4t2 + 142 + 134 28t22 + 46 48t24 24t26]+

+6 cos6

720 [61 148t2 + 16t4]+

+ (3.21)

Donde:

E0 = Falso Este para obtener valores positivos en el area a represen-tar.

N0= Falso Norte para obtener valores positivos para latitudes al sur.2 = e2cos2t2 = tan2 = 0 p, diferencia de longitudes en radianes.p = Longitud geodesica del punto.0 = Longitud del Meridiano Central.

Y la distancia meridional se obtiene a partir de [21]:

S = A0a2

b

A1a2

b sin cos (1 + A2sin

2 + A4sin4 + A6sin

6 + A8sin8 + )

(3.22)


75/223


A0= 1

3

4

e21 15

16

e21 35

36

e21 63

64

e2(1

99

100

e2)A1=

3

4e2

1 2516

e2

1 7760

e2

1 837704

e2(1 21231860

e2)

A2=5

8e2

1 139144

e2

1 10871112

e2(1 513427521760

e2)

A4=35

72e4

1 12564

e2(1 221069150000

e2)

A6=105

256e6(1 1179

400e2)

A8=231

640e8

(3.23)

Para la obtencion de las coordenadas cartograficas, solo es necesario apli-car las formulas anteriores en la secuencia siguiente:

1. Calcular el valor de distancia meridional con la formula 3.22.

2. Determinar los valores de las constantes2,t2 y N.

3. Determinar el valor de .

4. Calcular los valores de las coordenadas N, E, mediante las formulas3.18 y 3.16.

5. Calcular N y E con los valores obtenidos previamente y los valores deN0 yE0.

Ejercicio de Calculo Directo

Transformar a la proyeccion Transversa de Mercator un vertice geodesicoque tiene las coordenadas siguientes:

= 231534,75620N

p = 1111232,62310W

0 = 112W

El elipsoide de referencia es el GRS80, que tiene los valores siguientes(pagina 196):


76/223


a= 6378137,0

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