Guía de modelos básicos

Guía “Formulación de problemas básicos” Optimización de Procesos IndustrialesDanilo Abril Hernández

El objetivo de esta guía es desarrollar habilidades básicas en la construcción de modelos matemáticos.1) Se cuenta con la siguiente información nutricional respecto a la carne de res y las papas:

Ingrediente (Grms de ingredientes por porción) Requerimiento diario (Grms)Res PapasCarbohidratos 5 15 ≥ 50Proteínas 20 5 ≥ 40 Grasas 15 2 ≤ 80Costo (porción) $ 4 $ 2Usted quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionadas) de res y papa que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo

a. Formule un modelo de programación lineal para este problemab. Resuelva este modelo gráficamentec. Utilice una computadora para resolver este modelo por el método simplexDesarrollo.El problema de decisión en este caso consiste en determinar qué número de porciones de los dos alimentos se deben comprar para cumplir con los requerimientos nutricionales, por tal razón las variables de decisión se han definido de la siguiente manera:XR Número de porciones de res (r).XP Número de porciones de papa (p).Nota: Usted puede nombrar las variables y los demás elementos de un modelo como usted desee pero se le recomienda utilizar nombre nemotécnicos para facilitar la identificación de cada uno de dichos elementos. Por ejemplo, la variable Xp,cd,m define el número de unidades que debe producir la planta p para ser enviadas al centro de distribución cd con destino al mercado m.Restricciones.En este caso solo tenemos un tipo de restricciones funcionales y tiene ver con el cumplimiento de los requerimientos nutricionales. A continuación se presentan dichas expresiones. 5XR + 15XP ≥ 50 Carbohidratos20XR + 5XP ≥ 40 Proteínas15XR + 2XP ≤ 80 Grasa Xi 0Función objetivo (F.O.)El objetivo es determinar el costo mínimo de la compra de los alimentos necesarios para cumplir con los requerimientos nutricionales. Min Z = 4XR + 2XPNota: Siempre que escriba una ecuación o expresión matemática verifique que sea coherente en cuanto a las unidades de los elementos que está utilizando.

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La anterior no es la forma más indicada para presentar un modelo matemático pero si se convierte en un paso para formular los modelos de forma algebraica. Cualquier modelo matemático se debe formular, en lo posible, en forma algebraica. Para realizar esto se deben tener en cuenta las siguientes definiciones.Índices: representan los diferentes elementos que se encuentran incluidos en el modelo.Conjuntos: determinan la existencia de variables y restricciones. Se han agrupado de acuerdo a los elementos que contienen.Parámetros: representan valores asociados a los elementos de acuerdo a los cuales se han agrupado.Variables: representan las decisiones que se obtienen como resultado del proceso de optimización. Se presentan de acuerdo a un elemento de referencia.Restricciones: representan las relaciones funcionales entre los diferentes elementos que conforman el sistema que se encuentra bajo análisis. Las restricciones también se encuentran referencias con los elementos del sistema como las variables.Para plantear el anterior problema de forma algebraica se deben definir los siguientes elementos:Índices.i Ingredientes (o componentes) presentes en los alimentos.j Alimentos.Conjuntos.I Conjunto de los ingredientes presentes en los alimentos.j Conjunto de alimentos.Parámetros.Conti,j Contenido (gramos) del ingrediente i que tiene una porción del alimento .Costj Costo por porción del alimento j.Reqi Requerimiento mínimo del ingrediente i en la dieta.Variables.Z Valor de la función objetivo.Xj Número de porciones del alimento del alimento j.Restricciones.Requerimiento mínimo de ingrediente.Esta expresión tiene como objetivo asegurar que la dieta definida contenga los requerimientos mínimos necesarios de cada los uno de los ingredientes.

jJ Conti,jXj Reqi i I.La anterior es la forma como se deben presentar las restricciones. Un nombre nemotécnico, que se encuentre relacionado con lo que la restricción desea representar, un párrafo donde

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describa en palabras la restricción (esto podría considerarse como un modelo verbal), una expresión matemática que representa el modelo verbal.No negatividad. Xj 0 i I.Función objetivo.El objetivo del modelo matemático es minimizar el costo del valor de la cantidad de alimento a utilizar en la ración. Z = jJ Cost,jXjSegún lo anterior el modelo matemático es:

Min Z = jJ Cost,jXjS.a.jJ Conti,jXj Reqi i I. Xj 0 i I.

2) Un granjero cría cerdos para la venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, grasa y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumple ciertos requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos:Ingrediente Nutricional Kilogramo de maíz Kilogramo de grasa Kilogramo de alfalfa Requerimiento mínimo diarioCarbohidratos 90 20 40 200Proteínas 30 80 60 180Vitaminas 10 20 60 150Costo ($) 84 72 60 a. Formule el modelo de programación lineal para este problemab. Resuelva este modelo por el método simplex.

REALICE EL PLANTEAMIENTO DEL ANTERIOR PROBLEMA. 3) Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Por fortuna la corporación tiene un nuevo producto listo para producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte de este exceso de capacidad. El producto puede elaborarse en tres tamaños: grande, mediano y pequeño; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300 respectivamente; además una capacidad de producción de 750, 900 y 450 unidades diarias de producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños que se trate.

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La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13.000, 12.000 y 5.000 pies cuadrados de espacio, correspondientes a las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente.Los pronósticos de mercado indican que, si se dispone de ellas, se pueden vender 900, 1.200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. Será necesario despedir algunos empleados en cada una de las plantas a menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo producto; para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto.El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia.a. Formule un modelo de programación lineal para este problema. Inicialmente plante el problema de forma particular y luego formule algebraicamente dicho problema.b. Resuelva este modelo por el método simples

PRODUCTO GANANCIA ($)ESPACIO REQUERIDO (pies cuadrados)

DISPONIBILIDAD DE VENTAS (unidades diarias)Grande 420 20 900Mediano 360 15 1.200Pequeño 300 12 750PLANTA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN ESPACIO DISPONIBLE1 750 13.0002 900 12.0003 450 5.000

4) La compañía colombiana de petróleos produce en sus refinerías tres tipos de gasolina: gasóleo, gasolina sin plomo y súper. Utiliza dos tipos de crudo (c1, c2).Las refinerías están dotadas de dos tipos de proceso de producción (nuevo, antiguo). El proceso nuevo utiliza en cada sesión de destilación 7 unidades del crudo 1 (c1) y 12 unidades del crudo 2 (c2) para producir 8 unidades de gasóleo, 6 de gasolina sin plomo y 5 unidades de súper. En el proceso antiguo se obtienen en cada destilación 10 unidades de gasóleo, 7 de gasolina sin plomo y 4 de súper, con un gasto de 10 unidades de crudo 1 (c1) y 11 unidades del crudo 2 (c2).Los beneficios por cada tipo de gasolina son:4 unidades monetarias por cada unidad de gasóleo6 unidades monetarias por cada unidad gasolina sin plomo7 unidades monetarias por cada unidad súper

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PRODUCTO PROCESO NUEVO 7c1 + 12c2 PROCESO ANTIGUO 10c1 + 11c2Gasóleo 8 10Gasolina sin plomo 6 7Gasolina súper 5 4

PRODUCTO ESTIMADO DE VENTAGasóleo 900Gasolina sin plomo 300Gasolina súper 800-1.700INVENTARIO DE CRUDO CANTIDAD (UNIDADES)Crudo 1 (c1) 1.400Crudo 2 (c2) 2.000

La empresa colombiana de petróleos necesita saber cómo debe utilizar ambos procesos de producción para obtener la máxima ganancia posible. El mercado permite estimar que para el próximo mes se deben producir al menos 900 unidades de gasóleo, 300 unidades de gasolina sin plomo, y entre 800-1.700 de gasolina súper. Los inventarios de la compañía son 1.400 unidades de crudo 1 (c1) y 2.000 unidades del crudo 2 (c2).La siguiente es una formulación del anterior problema. Realice una revisión de esta formulación haga las correcciones necesarias y formúlelo algebraicamente.Variables.Pi= Cantidades de petróleo a refinar en el proceso i (nuevo, antiguo)P1= Cantidad de petróleo a refinar en el proceso nuevoP2= Cantidad de petróleo a refinar en el proceso antiguoRestricciones. 7P1 + 10P2 ≤ 1.400 unid. c1 12P1 + 11P2 ≤ 2.000 unid. c28P1 + 10P2 ≥ 900 unid. Gasóleo 6P1 + 7P2 ≥ 300 unid. Gasolina sin plomo800 ≤ 5P1 + 4P2 ≤ 1.700 unid. Gasolina súper Pi > 0Función Objetivo.Z = P1 [Σ(4G + 6Gsp + 7Gs)] + P2 [Σ(4G + 6Gsp + 7Gs)] Z = 103P1 + 100P2 5) La flota mercante Gran Colombiana posee un buque que tiene 3 bodegas: proa, centro y popa. Cada bodega tiene las siguientes capacidades:

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BODEGA PESO (TN) VOLUMEN (PIES)Proa 2.000 100.000Centro 3.000 135.000Popa 1.500 35.000

Tienen los siguientes productos a transportar:ARTÍCULO PESO (TN) VOLUMEN UTILIDAD ($N) A 60 6.000 3.800 B 50 4.000 4.800C 25 2.000 3.800Para mantener la línea de flotación del buque, el peso en cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas.

Variables.Xi,j= Cantidades de artículo i (A, B, C) transportado en la bodega j (proa-pr, centro-ct, popa-po)XA,pr = Cantidades de artículo A transportado en la bodega proaXB,pr = Cantidades de artículo B transportado en la bodega proaXC,pr = Cantidades de artículo C transportado en la bodega proaXA,ct = Cantidades de artículo A transportado en la bodega centroXB,ct = Cantidades de artículo B transportado en la bodega centroXC,ct = Cantidades de artículo C transportado en la bodega centroXA,po = Cantidades de artículo A transportado en la bodega popaXB,po = Cantidades de artículo B transportado en la bodega popaXC,po = Cantidades de artículo C transportado en la bodega popa

Restricciones.De peso:60XA,po + 50XB,po + 25Xc,po ≤ 1.500 60XA,ct + 50XB,ct + 25Xc,ct ≤ 3.00060XA,pr + 50XB,pr + 25Xc,pr ≤ 2.000 De volumen:6.000XA,po + 4.000XB,po + 2.000Xc,po ≤ 35.000 6.000XA,ct + 4.000XB,ct + 2.000Xc,ct ≤ 135.0006.000XA,pr + 4.000XB,pr + 2.000Xc,pr ≤ 100.000Xi,j ≥ 0

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Función Objetivo.Z = [(3.800XA,po + 4.800XB,po + 3.800 XC,po) + (3.800XA,ct + 4.800XB,ct + 3.800 XC,ct ) + (3.800XA,pr + 4.800XB,pr + 3.800 XC,pr)] La siguiente es una formulación del anterior problema. Realice una revisión de esta formulación haga las correcciones necesarias y formúlelo algebraicamente.6) Producción de Gasolinas. Una compañía de petróleos produce tres tipos de gasolina: súper, normal y corriente, las cuales se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo A, B y C que a su vez tienen tres componentes. En la siguiente tabla se presentan la participación de estos componentes en la composición de cada uno de los crudos.

CRUDOS COMPONENTES (%)1 2 3A 80 10 5B 45 30 20C 30 40 25Existe un conjunto de especificaciones sobre la composición de los tres tipos de gasolina:

GASOLINA COMPONENTES (%)1 2 3Súper ≥ 60 ≤ 25 ≥ 10Normal ≥ 50 ≤ 30 ≤ 15Corriente ≤ 40 ≥ 35 ≥ 20Los costos por barril de crudo son $850 por crudo A, $500 por crudo B y $450 por crudo C; se tiene un presupuesto máximo diario para la compra de $50.000.000, la disponibilidad diaria de crudos B y C se limita a 3.000 y 7.000 barriles, respectivamente.Existe un contrato que obliga a comprar por lo menos 1.500 barriles de crudo A por día. Las demandas diarias de gasolina súper y normal son de 2.000 y 2.500, respectivamente.Se desea maximizar la producción de gasolina corriente. Formule algebraicamente el anterior problema.7) Un problema de mezclas McNaughton Inc. Produce dos salsas para bistec: diablo picante y Barón rojo suave. Ambas salsas se hacen mezclando dos ingredientes A y B. Se permite un cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Se presentan los porcentajes permisibles, junto con los datos de ingresos y costos. Se pueden compara hasta 40 cuartos de ingrediente A y 30 cuartos de ingrediente B. McNaughton puede vender todas las salsas que produzca.

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Elabore un modelo de programación lineal cuyo objetivo sea maximizar el ingreso neto proveniente de las ventas de las salsas.Porcentajes permisibles para McNaughton, Inc.

SALSA INGREDIENTES (%) PRECIO DE VENTA POR CUARTO ($)A BDiablo picante Por lo menos 25 Por lo menos 50 3.35Barón rojo Cuando mucho 75 ---------- 2.85Costo por cuarto ($) 1.60 2.59

Tenga en cuenta el siguiente gráfico.

8) Planeación de dietas Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor. Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. Pearce está estudiando el uso del maíz, soya, avena y alfalfa. En el cuadro se muestra la información dietética importante por libra de grano (Por ejemplo una libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteínas). Elaborar un modelo de programación lineal para determinar la mezcla que satisface los requisitos a un costo mínimo.Nutrientes por libra de granoNUTRIENTE (mg) MAÍZ SOYA AVENA ALFALFA NECESIDADES (mg)Proteína 15 30 15 7 Mínimo 50Calcio 40 10 40 45 Mínimo 150Grasas 20 50 8 25 Máximo 10Mínimo 25Calorías (ca) 850 1.500 1.200 4.000 Mínimo 5.000Costo libra ($) 70 45 40 90

Variables.Xi = Cantidades de nutrientes i (maíz, soya, avena, alfalfa) por grano

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Xm = Cantidad de nutrientes de maíz por gramoXs = Cantidad de nutrientes de soya por gramoXa = Cantidad de nutrientes de avena por gramoXf = Cantidad de nutrientes de alfalfa por gramoRestricciones.15Xm + 3Xs + 15Xa + 15Xf ≥ 50 40Xm + 10Xs + 40Xa + 45Xf ≥ 15020Xm + 50Xs + 8Xa + 25Xf ≥ 25 20Xm + 50Xs + 8Xa + 25Xf ≤ 120850Xm + 1.500Xs + 1.200Xa + 4.000Xf ≥ 5000 Xi > 0Función objetivo.Z = 70Xm + 45Xs + 40Xa + 90Xf 9) Planeación de cartera, una compañía de inversiones tiene actualmente $10 millones para invertir. La meta consiste en maximizar los créditos que se espera devengar en el próximo año. Las cuatro posibilidades de inversión se resumen en el cuadro (abajo), además, la compañía ha establecido que por lo menos el 30% de los fondos deberá ser colocados en acciones y en bonos de la tesorería, y no más de 40% en el mercado de valores y bonos municipales. Se deben colocar completamente los $10 millones disponibles. Formule un modelo de programación lineal que diga cuánto dinero invertir en cada instancia.

POSIBILIDADES DE INVERSIÓN CRÉDITOS ESPERADOSINVERSIÓN MÁXIMA PERMISIBLE (MILLONES)Bonos de tesorería 8 5Acciones 6 7Mercado de dinero 12 2Bonos municipales 9 4

Variables.Xi = Cantidades de créditos obtenidos en la posibilidad de inversión i (bonos, acciones, mercado de dinero, bonos municipales) Xb = Cantidad de créditos obtenidos en bonos de tesoreríaXa = Cantidad de créditos obtenidos en accionesXm = Cantidad de créditos obtenidos en mercado de dineroXbm= Cantidad de créditos obtenidos en bonos municipalesRestricciones.

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Xb + Xa + Xm + Xbm = 10.000.000 Xa + Xb ≥ 10.000.000 * 0.30Xm+ Xbm ≤ 10.000.000 * 0.40 Xb ≤ 5.000.000 Xm ≤ 2.000.000Xa ≤ 7.000.000 Xbm ≤ 4.000.000Xi > 0Función objetivo.Max Z = (1 + 0.6)Xa + (1 + 0.8)Xb + (1 + 0.12)Xm + (1 + 0.9)Xbm 10) Una empresa de refrescos naturales producen cinco jugos: pera, naranja, limón, piña y lulo, además produce dos jugos que son el resultado de la mezcla de algunas de las frutas anteriores. A continuación se presenta toda la información sobre disponibilidad de materia prima para el siguiente periodo, costos de producción y precios de venta para cada uno de los jugos puros.

FRUTAS DISPON. MÁX. (KG) COSTO ($/KG) P. VENTA ($/LTR)Naranja 32.000 95 130Pera 25.000 88 126Limón 21.000 74 111Piña 18.000 48 89Lulo 27.000 69 98La información para los jugos combinado se presenta a continuación:

JUGOS ESPECIFICACIONES (%) P. VENTA($/LTR)Tropical Lulo: no más de 50Pera: no más de 20Limón: no menos de 20 102

Amazónico Naranja: entre 40 y 60Limón: como máximo 35Pera: 25 125La demanda de jugos es grande por lo se espera vender toda la producción. Se debe tener en cuenta que por cada Kg de frutas se produce un litro de jugo puro o combinado. Plantee el modelo matemático para maximizar las ganancias de la operación.Variables.Xi = Cantidad de kilogramos de fruta i (naranja, pera, limón, piña, lulo) Xn = Cantidad de kilogramos para jugo naranja puro

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Xp = Cantidad de kilogramos para jugo pera puroXl = Cantidad de kilogramos para jugo limón puroXpi = Cantidad de kilogramos para jugo piña puroXlu = Cantidad de kilogramos para jugo lulo puroXlut = Cantidad de kilogramos lulo para jugo tropicalXpt = Cantidad de kilogramos pera para jugo tropicalXlt = Cantidad de kilogramos limón para jugo tropicalXna = Cantidad de kilogramos naranja para jugo amazónicoXla = Cantidad de kilogramos limón para jugo amazónicoXpa = Cantidad de kilogramos pera para jugo amazónicoRestricciones.Xn + Xna ≤ 32.000 Xp + Xpt + Xpa ≤ 25.000Xlu + Xlut ≤ 27.000Xl + Xlt + Xla ≤ 21.000Xpi ≤ 18.000 Xlut ≤ 0.50 (Xlut + Xpt + Xlt)Xpt ≤ 0.20 (Xlut + Xpt + Xlt)Xlt ≥ 0.20 (Xlut + Xpt + Xlt)Xna ≥ 0.40 (Xna + Xla + Xpa)Xna ≤ 0.60 (Xna + Xla + Xpa)Xla ≤ 0.35 (Xna + Xla + Xpa)Xpa = 0.25 (Xna + Xla + Xpa) Xi > 0Función objetivo.Max Z = {[130Xn + 126Xp + 111Xl + 89Xpi + 98Xlu + 102(Xlut + Xpt + Xlt) + 125(Xna + Xla + Xpa)] – [95(Xn + Xna) + 88(Xp + Xpt + Xpa ) + 74(Xl + Xlt + Xla ) + 48 Xpi + 69(Xlu + Xlut )]}11) Una refinería produce gasolina súper y plus. Estas gasolinas difieren únicamente en la cantidad que poseen de dos aditivos A y B. Con el fin de cumplir con las normas técnicas vigentes, la gasolina súper debe tener menos del 35% aditivo A y cuando mucho un 60% de aditivo B. El tipo de gasolina plus debe tener menos de 30% de aditivo A y como máximo un 55% de aditivo B. La refinería adquiere el crudo de Arabia con un contenido del 50% de aditivo A y un 35% de aditivo B. Se tienen unos pronósticos que indican que suplir una demanda de 585.000 barriles de gasolina súper y 405.000 de gasolina plus.Usted es el jefe de compra de la refinería y le han encargado plantear el modelo que permita conocer cuántos barriles de materia prima son necesarios para que la factura del crudo sea lo menor posible

CRUDO A (%) B (%) COSTO GASOLIN A (%) B (%)11


($)Arabia 20 70 22Venezuela 50 35 24ASúper ≤ 35 ≤ 60Plus ≥ 30 ≤ 55

Variables.Xi,j= Número de barriles de crudo i (Arabia, Venezuela) para producir gasolina j (súper, plus)XA,s = Número de barriles de crudo de Arabia para producir gasolina súperXV,s = Número de barriles de crudo de Venezuela para producir gasolina súper XA,p = Número de barriles de crudo de Arabia para producir gasolina plusXV,p = Número de barriles de crudo de Venezuela para producir gasolina plusRestricciones.0.20XA,s + 0.50XV,s ≤ 0.35(XA,s + XV,s)0.70XA,s + 0.35XV,s ≤ 0.60(XA,s + XV,s)0.20XA,p + 0.50XV,p ≥ 0.30(XA,p + XV,p)0.70XA,p + 0.35XV,p ≤ 0.55(XA,p + XV,p) XA,s + XV,s ≥ 585.000XA,p + XV,p ≥ 405.000 Xi,j ≥ 0Función objetivo.Min Z = 22(XA,s + XA,p) + 24(XV,s + XV,p )NOTA: CON UNA PROBABILIDAD DEL 99.99% DESPUES DE VER ESTE MATERIAL SE REALIZARÁ EL PRIMER QUIZZ. PREPARENLO. ADEMAS POR LO MENOS DEBERIA TENER TODOS ESTOS MODELOS PLANTEADOS ALGEBRAICAMENTE.

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