Guia de Matematicas Resuelta Completa Del Instituto Junin

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1 PRIMER PARCIAL (A) Ejercicio 1. Si llamamos x a los km recorridos, el gasto (en $) será: 30 84 , 0 ) ( + = x  x g gasto de los 2 peajes Si gastó $135, reemplazando: 125 84 , 0 105 30 84 , 0 135 = = + = x  x  x Recorrió entonces 125 km. Ejercicio 2. Si 5 7 ) ( 2 = x  x f y 3 1 ) ( =  x  x g ( ) { } 3 IR Dom 5 ) 3 ( 7 3 1 ) ( ) ( 2 = =       = = h  x  x f  x g f  x h $ Luego,  x = 3 es A.V. y = 5 es A.H. (porque cuando x   ± el primer término 0) Ejercicio 3. Nos piden hallar una función cuadrática cuyas raíces son  x 0 = 4 y  x 1 = 1, y además f (2) = 1 Si conocemos las raíces, ) 1 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( 1 0 + = = x  x a  x  x  x  x a  x f Si f (2) = 1, podemos reemplazar y hallar el valor de a: 6 1 ) 1 2 ( ) 4 2 ( 1 = + = a a Luego, ) 1 ( ) 4 ( 6 1 ) ( + = x  x  x f Si nos prob á s, a p rob á s.

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1

PRIMER PARCIAL (A)

Ejercicio 1.

Si llamamos x a los km recorridos, el gasto (en $) será:

3084,0)( += x  x g 

↓gasto de los 2 peajes

Si gastó $135, reemplazando:

12584,01053084,0135 =⇒=⇒+= x  x  x 

Recorrió entonces 125 km.

Ejercicio 2.

Si 57)( 2 −= x  x f  y3

1)(

−=

 x  x g 

( ) { }3IRDom5)3(

7

3

1)()(

2−=⇒−

−= 

  

  

−== h

 x  x f  x g f  x h $

Luego,

 x = 3 es A.V.

y = −5 es A.H. (porque cuando x  → ± ∞ el primer término → 0)

Ejercicio 3.

Nos piden hallar una función cuadrática cuyas raíces son  x 0 = −4 y  x 1 = 1, y además f (2) = −1

Si conocemos las raíces,

)1()4()()()( 10 −+=−−= x  x a x  x  x  x a x f 

Si f (2) = −1, podemos reemplazar y hallar el valor de a:

6

1)12()42(1 −=⇒−+=− aa

Luego,

)1()4(6

1)( −+−= x  x  x f 

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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2

Ejercicio 4.

Si )2(ln1)( −−= x  x f 

Para que esta función esté definida:

 x  − 2 > 0 → x > 2 ⇒ Dom f = (2, +∞)

Para hallar C +

y C −, buscamos los ceros de f:

1)2(ln0)2(ln10)( =−⇒=−−⇒= x  x  x f 

 Aplicando la exponencial a ambos miembros:

 x  − 2 = e ⇒    x = e + 2 ≈ 4,71

 Analizando los intervalos (ojo con el dominio de f ):

(2; e + 2) → f (3) > 0

(e + 2; +∞) → f (6) < 0

de donde,

C +

= (2; e + 2) C − = (e + 2; +∞)

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3

PRIMER PARCIAL (B)

Ejercicio 1.

Hallamos primero el punto donde se cortan las rectas:

3103

10102

3

4=⇒=⇒+−= x  x  x  x 

Reemplazando, 41032 =+⋅−=y 

Luego, el punto de intersección es: P = (3, 4)

 Ahora buscamos los puntos del eje x que estén a distancia 5 de A.

Todo punto del eje x tiene la forma Q = ( x , 0)

Luego, planteamos la distancia entre P y Q, e igualamos a 5.

339)3(

2516)3(5)40()3(

2

2222

=−⇒=−

⇒=+−⇒=−+−

 x  x 

 x  x 

 Ahora, resolviendo el módulo:

=⇒=⇒−=−

=⇒=⇒=−=−

)0,0(033

)0,6(63333

2

1

Q x  x 

Q x  x  x 

Ejercicio 2.

Si 0)4()0( =−= f f 

esto implica que x = 0 y  x = −4 son las raíces. Por lo tanto,

)4()4()0()( +=+−= x  x a x  x a x f 

Si la imagen es el intervalo (−∞, 1], esto implica que y V = 1

El x V 

puede hallarse:

22

)4(0

221 −=

−+=

+=

x  x  x V  pues se encuentra a medio camino entre las 2 raíces.

Conociendo ambas coordenadas del vértice, las reemplazamos en la función y despejamos a:

f (−2) = 14

1)42()2(1 −=⇒+−−= aa

Luego, )4(4

1)( +−= x  x  x f 

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4

Ejercicio 3.

Nos dan aquí un polinomio de grado 3 y nos dicen que  x  = 1 es raíz. Esto implica que f ( x ) es

divisible por  x  − 1.

 Aplicamos entonces Ruffini para factorizar f ( x ):

2 6 0 -8

1 2 8 8

2 8 8 0

Luego, 44)1(2882)1()( 22 ++−=++−= x  x  x  x  x  x  x f 

 Ahora factorizamos la cuadrática:

22 )2(44 +=++ x  x  x  (trinomio cuadrado perfecto)

En consecuencia, 2)2()1(2)( +−= x  x  x f 

 Analizamos ahora el signo de f en cada intervalo:

(−∞,−2) → f (−3) < 0

(−2, 1) →  f (0) < 0 ⇒ C + = (1, +∞) C − = (−∞,−2) ∪ (−2, 1)

(1, +∞) →   f (3) > 0

Ejercicio 4.

Para que f esté definida, no debe anularse el denominador, o sea 04

cos ≠   

   +

π  x 

Planteando

)Z(224

04

cos ∈+≠⇒+≠+⇒≠   

   + k k  x k  x  x  π 

π π 

π π π 

pues cos α = 0 ⇒ π π 

α  k +=2

Probamos con k ,

k = 0 →4

π ≠ x 

k = 1 →4

5π ≠ x 

k = 2 →4

9π ≠ x 

En consecuencia, Dom f = [ ]

− π π π 

π 

4

9;

4

5;

43,0

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SEGUNDO PARCIAL (A)

Ejercicio 1.

Si )(cos)2(sen)( 2  x  x  x f  −=

Si π 

4

30 = x  reemplazamos para hallar la coordenada y ,

2

3

2

11

2

21

4

3cos

4

32sen)(

2

200 −=−−= 

  

  

 −−= 

 

  

 −  

  

  ⋅== π π  x f y 

Para hallar la ecuación de la recta tangente, derivamos para averiguar la pendiente de la recta:

 x  x  x  x  x  x  x f  cossen2)2(cos2)sen(cos22)2(cos)( ⋅+=−⋅−⋅=′

Evaluando en π 

4

30 = x  :

12

2

2

220

4

3cos

4

3sen22

4

32cos

4

3= 

  

  

 −⋅⋅+=⋅ 

 

  

   

  

 −⋅  

  

  ⋅=  

  

 ′= π π π π f m

Como m = 1, la recta tangente será de la forma:

y = x + b

Reemplazando el punto    

   −=

2

3,

4

3),( 00 π y  x  resulta:

π π 

4

3

2

3

4

3

2

3−−=⇒+=− bb

Luego, la recta pedida es: π 

4

3

2

3−−= x y 

Ejercicio 2.

 x ae x  x f  −⋅= 2)( Dom f = IR

Derivamos: )2()(2)( 2  x ae x ae x e x  x f  x a x a x a −⋅=−⋅+⋅=′ −−−

Si x 0 = 5 es un punto crítico,

5

20520)52(5 5 =⇒=−⇒=−⋅ − aaae a

  ≠ 0

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6

Reemplazando el valor de a hallado:

=

=

=′

⇒  

 

 

 

−⋅=′ −

5

00)(

5

22)(

 x 

 x  x f  x e x  x f  x a (puntos críticos)

 Analizamos los intervalos:

(−∞, 0) → f  ’ (−1) < 0

(0, 5) →  f  ‘ (2) > 00 5

(5, +∞) →   f  ‘ (6) < 0

de donde, x = 0 es mínimo y  x = 5 es máximo

Ejercicio 3.

dx  x  x 

 x ∫  −

+−2

48

Comenzamos sacando factor común –4 en el numerador. Luego,

dx 

 x  x 

 x dx 

 x  x 

 x 

∫ ∫  −

−−=

+−22

124

48

Resolvemos la integral que nos quedó por sustitución:

dx  x du x  x u )12(2 −=⇒−=

Por lo tanto,

C u

duuu

dudx 

 x  x 

 x +⋅−=−=−=

+−∫ ∫ ∫  −

2/1444

48 2/12/1

2

Volviendo a la variable x :

( ) C  x  x C  x  x dx  x  x 

 x +−−=+−−=

+−∫  22/12

288

48

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7

Ejercicio 4.

Hallamos primero la ecuación de la recta. Como

0)1( =f  y 10)1( =−f 

la recta pasa por los puntos (1, 0) y (−1, 10)

Calculamos la pendiente: 511

010−=

−−−

=m

Luego, b x y  +−= 5

Reemplazamos el punto (1, 0):

5150 =⇒+⋅−= bb

Lugo, la recta pedida es: 55 +−= x y 

Los puntos dados son además los puntos de intersección de la recta con la función (ver gráfico).Luego,

( )[ ] ( )∫ ∫ −−

=+−=+−−+−=1

1

2

1

1

2 14555 dx  x dx  x  x  x  A

 

3

41

3

11

3

1)1(

3

)1(1

3

1 33

=+−+−=  

 

 

 

 −−

−−−+−=

 x

-1 1 2 3 4

5

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SEGUNDO PARCIAL (B)

Ejercicio 1.

Si  x ea x b x f  3)( −−=

La recta tangente en x 0 = 0 es y = 2 x  − 3 ⇒ y 0 = −3

Este punto pertenece a la recta y también a la función. Luego,

330)0( 03 =⇒−=−=−⋅= ⋅− aaeabf 

Ya averiguamos el valor de a. Ahora podemos hallar b usando que:

2)0( =′f  (pendiente de la recta tangente)

Derivamos, usando el valor hallado de a:

 x  x  ebeb x f  33 9)3(3)( −− +=−−=

de donde, reemplazando:

2)0( =⇒=′ bbf 

Luego, a = 3 y b = 2

Ejercicio 2.

 1

9

4

1)(

++=

 x  x  x f 

Planteando

}1{IRDom101 −−=⇒−≠⇒≠+ f  x  x 

Como −∞=−−→ 1lim

 x ,

⇒ 1−= x  es A.V.+∞=

+−→ 1

lim x 

Como +∞=+∞→ x 

lim ,

⇒ no hay A.H.+∞=

−∞→ x lim

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9

Derivamos:

2)1(

9

4

1)(

+−=′

 x  x f 

Puntos críticos → 0)( =′ x f 

36)1()1(

9

4

10

)1(

9

4

1 222

=+⇒+

=⇒=+

− x  x  x 

 Aplicando raíz cuadrada a cada miembro:

−=⇒−=+

=⇒=+=+

761

56161

 x  x 

 x  x  x 

 Analizamos los intervalos:

(−∞, −7) → f  ’ (−8) > 0

(−7, −1) →  f  ‘ (-3) < 0-7 -1 5

(−1, 5) →  f  ‘ (0) < 0

(5, +∞) →  f  ’ (7) > 0

Luego,

),5()7,(.. ∞+∪−−∞=C I 

)5,1()1,7(.. −∪−−=DI 

de donde

 x = −7 es máximo

 x = 5 es mínimo

Ejercicio 3.

dx  x  x dx  x  x  ∫ ∫  = ln3

1ln

3

1 3/53/5

La resolvemos por partes:

 x f  x f 

1ln =′=

3/53/8

8

3 x g  x g  =′=

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10

Luego, usando que: ∫ ∫  ⋅′−⋅=′⋅ g f g f g f 

Nos queda:

−= ∫ ∫  dx  x  x 

 x  x dx  x  x 3/83/83/5

8

31ln

8

3

3

1ln

3

1distribuyendo y operando:

C  x  x C  x  x  x dx  x  x  x dx  x  x  +  

  

  −=+⋅−=−= ∫ ∫  11

3ln

8

1

11

3

8

1ln

8

1

8

1ln

8

1ln

3

1 3/83/113/83/83/83/5

Ejercicio 4.

Graficando las funciones, el área viene dada por:

( ) ( )[ ]∫ −

−−−+=1

2

22 2213 dx  x  x  A

Luego,

( ) =+=+=−−

∫ 1

2

31

2

2 33

535 x  x dx  x  A

= 24)2(3)2(3

5131

3

5 33 =   

   −+−−⋅+⋅

 x

-2 -1 1 2

-10

-5

5

10

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11

EXAMEN FINAL

1. Graficamos

  y 

El gráfico no atraviesa el 3° cuadrante1

   x 

12

1+−= x y 

2. Si 3=m y pasa por el origen  x y  3=→

Igualando:

=

−==−−⇒=−

4

104334 22

 x 

 x  x  x  x  x 

3. 9)(,)( 2 −== x  x g e x f  x 

( )92 2

9))((−

=−=x 

e x f  x g f $

Luego,

39

0911))((

2

292

>⇒>⇒

>−⇒>⇒> −

 x  x 

 x e x g f x 

$

de donde, );3()3;( +∞∪−−∞=B

4.  ⇒+−=⇒

+−=

 x  x y 

 x  x  x f 

13

13)(

⇒−=+⇒−=+⇒−=+ y yx  x  x yx y  x  x y  333)1(

 x 

 x  x f 

y  x y y  x 

+−

=⇒+−

=⇒−=+ −1

3)(

1

33)1( 1

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12

5. Para hallar el valor máximo, hacemos:

1sen1 ≤≤− x  Multiplicamos por –1

1sen1 −≥−≥ x  Sumamos 2

12sen221 −≥−≥+ x 

1sen23 −≥−≥ x  → El valor máximo es 3

6. El gráfico de 2)2(1)( −−= x  x f  es el de

 x 2 desplazado 2 unidades a la derecha,

invertido y luego corrido 1 unidad para 2arriba.

Luego, 2 no pertenece a la imagen.

7. Igualando,

2

12416121612 −=⇒=−⇒+=−⇒= +−  x  x  x  x ee x  x 

8. Buscamos los ceros de la función:

1)2sen(0)2sen(10)( =→=−→= x  x  x f 

Luego,

π π 

π π 

k  x k  x  x  +=→+=→=4

22

21)2sen(

Probando

π 

4

3

1 −=→−= x k 

40

π =→= x k  ⇒ 3 ceros en [−π , 2π ]

π 

4

51 =→= x k 

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13

9. Si4

)2ln()(

−+

= x 

 x  x f 

Para hallar el dominio hacemos,

404 ≠→≠− x  x  y

202 −>→>+ x  x 

Luego, { } );4()4;2(4);2(Dom ∞+∪−=−∞+−=f 

10.  x  x 

 x  x f 

11

1)( −=

−=

−∞=−+→ x  x 

11lim0

111lim =−−∞→ x  x 

  ↓   ↓+∞ 0

11. Como f se anula en ⇒=−= 11 x y  x 

)1)(1()( +−= x  x a x f 

Si

8

1)13)(13(11)3( =⇒+−=⇒= aaf 

Luego,

)1)(1(8

1)( +−= x  x  x f 

Reemplazando:8

1)10)(10(

8

1)0( −=+−=f 

12. Derivamos para hallar la pendiente:

242132)(13)( 2 −=→−=⇒−=+=′→++= x  x  x  x f  x  x  x f 

13. Primero derivamos:

=+−+

=+−⋅⋅+

=′2

2

2

2 )2()2(4)2(2)2(2)(

 x 

a x a x  x 

 x 

a x  x a x  x f 

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14

22

)2()2())2(4(2

 x 

a x a x 

 x 

a x  x a x  −+=

+−+

Si21= x  es un punto crítico ⇒ 0

21 = 

  

  ′f 

Reemplazando,

=

−==

   

  

−+

)positivo(valor 1

10

2

1

)1)(1(2

a

aaa

14. Derivamos

3)1(3)(1)1(3)1()( 23 −−=′→+−−−= x  x f  x  x  x f 

Hallamos los puntos críticos,

2

01)1(03)1(30)( 22

=→=→

=−=−−→=′ x 

 x  x  x  x f 

 Analizamos los intervalos:

0)()0,( >′→−∞ x f 

)(0)()2;0( x f  x f  →<′→ es creciente en ),2()0,( ∞+∪−∞

0)();2( >′→+∞ x f 

15. Buscamos primero donde alcanza el máximo f ( x ):

)1()1()( x e xee x f  x  x  x  −=−⋅+=′ −−−

10)( =→=′ x  x f  (único punto crítico)

Si  x = 1 →e

f y 1

)1( ==

Como )( x f ′ en este punto es nula, la recta tangente es horizontal →e

y 1

=

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15

16. La forma más sencilla es probar con las opciones, para ver cuál de ellas tiene como derivada ala función dada.

La respuesta correcta es:

( ) x  x  x F  2cos2

1)( 2 +−= pues

( )[ ] ( ) )1(2sen)22(2sen2

1)( 22 +⋅+=+⋅+−−=′ x  x  x  x  x  x  x F 

17. )( x f ′ se anula en x = -1, x = 2 y  x = 4.

 Analizando los intervalos:

0)()1,( >′→−−∞ x f 

0)()2;1( >′→− x f 

0)()4;2( <′→ x f 

0)();4( >′→∞+ x f 

La función tiene entonces 2 extremos, x = 2 y  x = 4.

18. Aplicamos primero sustitución:

dudt t 

dt 

dut u

221 2 =⇒=⇒+=

Cambiando los límites,

t = 0 → u = 1t = 1 → u = 2

Reemplazando,

2ln

2

11ln

2

12ln

2

1ln

2

11

2

1

21

2

1

2

1

2

1

1

0

2=−===⋅=

+ ∫ ∫ ∫ udu

ut 

du

u

t dt 

19. Aquí usamos las propiedades:

[ ] ∫ ∫ ∫  +=+ dx  x g dx  x f dx  x g  x f  )()()()(

∫ ∫ = dx  x f k dx  x f k  )()(

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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16

En cambio,

[ ] ∫ ∫ ∫  ⋅≠⋅ dx  x g dx  x f dx  x g  x f  )()()()(

Por lo tanto, (I) es verdadera y (II) es falsa.

20. Igualando las funciones:

( )

=

=

−=

=−⇒=−⇒=

1

0

1

010 233

 x 

 x 

 x 

 x  x  x  x  x  x 

Si grafican ambas funciones, el área encerrada viene dada por:

( ) ( )∫ ∫  −+−=−

1

0

30

1

3dx  x  x dx  x  x  A

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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Matemática

CBCPráctica 0(Actualizada)

Cátedra: Gutiérrez

• Preliminares.

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PRÁCTICA 0

PRELIMINARES

Ejercicio 1Calcular.

a)   

  

 −⋅−

 

  

 +−+−−

3

7

2

15

5

1

3

2

5

32

6

1

3

2

=

 

 

 

 −−

−−+−−

3

7

2

5

5

1

3

2

5

32

6

1

3

2Sacamos los paréntesis y luego denominador común

15

1

30

2

30

1415201860520

15

7

2

1

3

2

5

32

6

1

3

2==

+−++−+=+−++−+=

b)

 

  

 +

 

  

 −

2

31

5

2:

3

1

2

1:

3

4Operamos primero dentro de los paréntesis

21

80

21

108

10

21:6

3

4

2

3

5

7:

6

1:

3

4=⋅=

 

  

 ⋅=

 

  

 

 

  

 =

c)

122

3

12

3

12

 

  

 +−

 

  

 − Operamos nuevamente primero dentro de los paréntesis

=

 

  

 −

 

  

 =

−122

3

7

3

5

8

3−=

 

  

 −=

 

  

 −=

−−− 111

3

8

9

24

9

49

9

25

d)

2/122

8

7:1

7

15

7

1

 

  

 +

 

  

 +

=7

10=

 

  

 =

 

  

 +=

+

 

  

 ⋅

2/12/12/1

49

100

49

64

49

36

64

49:1

7

36

7

1

Ejercicio 2En cada caso, decidir ...

Recordamos que 2 números racionales son iguales si cumplen:

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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= ⇔ a .d = b .c 

i) son iguales (6.1 = 3.2) ii) no son iguales (4.9 ≠ 16.3)

iii) son iguales [(-2)(-6) = 4.3] iv) no son iguales (7.14 ≠ 2)

v) no son iguales (10-3.1000 ≠ 2) vi) no son iguales

Ejercicio 3a) Escribir el número...

25.041 = 35.0

207 = 32.0

258 = 0072.0

625045 =

b) Hallar un número...

1.09

1 )

= 4286.07

3= 38.1

6

11 )

= 64.215

37 )

=

c) Decidir si las...

187.0163 =   Falso 1875.0

163 =   Verdadero

18.016

3≅   Verdadero (en realidad sería más apropiado 0.19)

3.03

1=   Falso 2.25 =   Falso 23.25 ≅   Verdadero

6

7

36

49=   Verdadero 167.0

36

49=   Falso

d) Hallar tres...

Los números pueden ser 9, 16 y 25 que tienen raíz cuadrada entera pues:

39 = 416 = 525 =

e) Hallar tres...Los números pueden ser 125, -8 y 0 los cuales tienen raíz cúbica entera ya que:

51253 = 283 −=− 003 =

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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Ejercicio 4a) Decidir cuáles...

Para decidir podemos usar la calculadora:

3

50

2

33< Verdadero

5

4

99

88< Falso

52

9−<− Falso

4

5

5

4−>− Verdadero

10000

1875

16

3> Falso (son iguales)

b) Ordenamos en forma creciente los números dados:

π  π   ;;1;3

1;001.0;001.0;

9

8;1;

8

9;3 −−−−

c) Si tuviera...

Consideremos que la cantidad de pizza es A.

Las cinco sextas partes de la mitad de la fortuna resulta entonces A125

2 A

65 =

Las tres cuartas partes de lo que dejó el primero es: A16

7 A

12

7

4

3=

Como12

5

16

7> , se desprende entonces que la opción más conveniente es la segunda.

Ejercicio 5

Decidir en cada caso...

a) Para resolver esta parte recordemos que la radicación es distributiva respecto del producto,siempre que,

0, ≥⋅=⋅ y  x y  x y  x 

Luego,

259259 ⋅=⋅ Verdadero

baba ⋅=⋅ Verdadero (a, b ≥ 0)

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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22228 2 =⋅= Verdadero

5

5

5

1= Para demostrar éste, “racionalizamos” el denominador:

( ) 5

5

5

5

5

5

5

1

5

12==⋅= como quería comprobarse ⇒  Verdadero

b) Recordemos que la radicación no es distributiva respecto de la suma o la resta:

0, >+≠+ y  x y  x y  x 

Luego,

169169 +≠+ Falso pues 5 ≠ 3 + 4 = 7

3610036100 −≠− Falso

c) Al igual que la radicación, la potenciación es distributiva respecto al producto y al cociente, esdecir:

( ) nnnbaba ⋅=⋅

n

nn

b

a

b

a=

 

  

 

pero no es distributiva respecto a la suma y la resta. En particular,

( ) 2222 y  xy  x y  x  ++=+ (cuadrado de binomio)

( ) 3223333 y  xy y  x  x y  x  +++=+ (cubo de binomio)

Luego,

(5 + 3)2 ≠ 52 + 32 pues (5 + 3)2 = 82 = 64

en cambio 52 + 32 = 25 + 9 = 34

(5 - 3)2 ≠ 52 - 32 (4 ≠ 16)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b

2 es verdadero para todo a y b reales.

d)3

1

4

1

34

1+≠

+

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pues7

1

34

1=

+y

12

7

12

43

3

1

4

1=

+=+

Luego,

baba111 +≠

+

5

85 +y 8 No son iguales

5

85 +y

5

81+ Esto es verdad, ya que el cociente es distributivo respecto de la suma:

bba + y 1+

ba (b ≠ 0) son expresiones iguales.

c ba + y

c b

c a + (c ≠ 0) son expresiones iguales.

Ejercicio 6a) Desarrollar.

( )

2222

22

222222

2222

))((

6632)2)(3(44)2()2(2)2()2(

96)3()3(2)3(

y  x y yx  xy  x y  x y  x 

 x  x  x  x  x  x  x y  xy  x y y  x  x y  x y  x 

 x  x  x  x  x 

−=

+

−−+=+−

−−=−−+=+−+−=−+−⋅⋅=−+=−

+−=−+−⋅⋅+=−

Este último caso se conoce como diferencia de cuadrados

b) Escribir como producto...

Usaremos aquí:

• Cuadrado de un binomio → x 2

+ 2 xy+y 2

= ( x + y )2

 • Diferencia de cuadrados → x 

2 − y 

2= ( x − y )( x + y )

a2 − 36 = a

2 − 6

2= (a − 6) (a + 6)

a4 − 81 = (a2)2 − 92 = (a2 − 9) (a2 + 9) = (a − 3) (a + 3) (a2 + 9)

a2 + 4a + 4 = (a + 2)2

− x 2 + 10 x  − 25 = − ( x 

2 − 10 x + 25) = − ( x  − 25)2

También podemos sacar factor común:

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 x 2 − 7 x = x ( x − 7)

 x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x + 9)

Ejercicio 7Resolver las siguientes...

Se trata en este caso de ecuaciones lineales con una incógnita.

i)  x + 5 = 13 ↔   x = 13 − 5 ↔ x = 8 S = {8}

ii) 3 x + 2 = − 5 ↔ 3 x = − 7↔3

7−= x    S =

3

7

iii) 4)2)(2(22

42

6 =−−=↔−=−↔=− x  x  x 

  S = 

4

9

iv) 214715215 =↔=↔+−=+ x  x  x  x  S = {2}

v) 401331 −=↔−−=−↔−=+ x  x  x  x  Absurdo S = {φ}

vi) 

===↔=↔=↔=+2

3S

2

3

4

6464

651

6 x  x 

 x  x 

 Antes de comenzar a resolverlo hay que pedir siempre que no se anule ningún denominador, por lotanto en este caso, x debe ser distinto de cero.

vii)   x  x  x  x 

=−↔+=↔+=↔=+

15

61

5

6)1(565

1

6

  ↓

(x ≠ −

1)

==↔ 51S51 x 

viii) 5

995123323

432 −=↔−=↔−−=−↔−=

+−  x  x  x  x 

 x  x 

ix) 0103436)34(1)12(33

34

1

12=↔−−=−↔+−=−↔

+=

− x  x  x  x  x 

 x  x 

  0=↔ x 

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x)3

126233233 2222 −=↔=−↔=−−−↔++=− x  x  x  x  x  x  x  x  x  x 

xi)   x  x  x  3

14412 2=

−−

 Acá pedimos x  ≠ 4

1para que no se anule el denominador. Luego,

 x  x  x  x  x  312)14(3412 22 −=−=− Cancelando los términos cuadráticos,

3

434 =↔−=− x  x 

xii)  02

1 =+ x 

 x  ( x  ≠ 0) Pasamos multiplicando,

  101 −=↔=+ x  x 

xiii) 63

3

42

1

2

5

+

−=

+−

+ x 

 x 

 x  x Para que no se anule ningún denominador, x  ≠ 0 y x  ≠ −2.

)2(3

3

)2(22

5

63

3

422

5

63

3

42

1

2

5

+

−=

+−

+↔

+

−=

+−

+↔

+

−=

+−

+ x  x 

 x 

 x  x  x 

 x 

 x  x 

 x 

 x  x 

Haciendo denominador común en el primer miembro,

)2(3

3

)2(2

10

+

−=

+

 x  x 

 x Cancelando los x + 2 del denominador y resolviendo tenemos,

12363633023)10(3 =↔−=−↔−=−↔⋅−=−⋅ x  x  x  x 

xiv)35

2

12

2

+

−=

− x  x  Aquí, x  ≠ 

2

1y x  ≠ −

5

3.

Pasamos multiplicando,

7

241424610)12(2)35(2 −=↔−=↔+−=+↔−−=+ x  x  x  x  x  x 

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Ejercicio 8a) Calcular.

(−2)4

= 16 −24

= −16 15

10

  

 −  

27

8

3

23

−= 

  

 −

0004.0)02.0( 2 =9

1

3

13

22 =

 

  

 =−

8

1

2

1)2(

33 −=

 

  

 −=− −  

9

16

3

4

4

322

  

 =

 

  

 −

3

2

9

4

9

42/1

== 

  

 100010

10

1 33

== 

  

 −

 3

2

9

4

4

92/12/1

  

 =

 

  

 −

 2

3

8

27

8

273

3

3 −=−=−

 

41642 == 416)4( 2 ==− ( )( ) 8

1

16

1

16

116

34

4/34/3

== 

  

 =

b) Resolver y simplificar.

49

1=

 

  

 =

  

  =

  

  

  

  

27/27

7/243

7

1

71

71.

71

9

4=  

  =

  

  =

  

  =

  

  

  

  

−−−

−−

11

21

461

46

49

23

23

23:

23

a ==−

9

10

1293

7452

...

...

a

a

aaaa

aaaa

( ) ( ) 125===⋅ 32/162/12/72/5 5555

( )[ ] ( ) 64

1

=−=−=−=−=−−−

6655/6

5/62/35/4

)2(

1

32

1

)32(

1

)32(32

Ejercicio 9a) Escribir en lenguaje algebráico las siguientes informaciones relativas a la base  x y a la altura y del rectángulo.

• El rectángulo es un cuadrado. x = y 

• La base es el triple de la altura. x = 3y 

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• La base excede en 4 unidades a la altura. x = y + 4

• La altura es 4/7 de la base. y =7x 

 

• El rectángulo tiene 28 cm de perímetro. 2x + 2y = 28

• La diagonal del rectángulo mide 13 cm. 

Usando el teorema de Pitágoras: 13yx 22 =+ 

• El área del rectángulo es 100 cm2. A = xy = 100

b) Asociar cada enunciado con...

I. Cinco menos que el doble de un número. 52 −a (B)

II. Cinco menos el doble de un número. a25 − (E)

III. La diferencia de dos cuadrados. 22 ba − (D)

IV. El cuadrado de la diferencia de 2 números. 2)( ba − (A)

V. La mitad de la suma de 2 números.2

ba +(C)

Ejercicio 10

a) María tiene...

Llamamos x a los años que deben transcurrir, luego

)12(346 x  x  +=+

de donde,

521033646 =⇒=⇒+=+ x  x  x  x 

María tendrá el triple de la edad de Juan dentro de 5 años (51 y 17).

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b) Una salsa de tomate…

Recordando que el volumen viene dado por el producto entre la superficie de la base y la altura,

tenemos:

Lata: ( ) 322 cm86.310cm11cm314.3 =⋅⋅=⋅⋅= hr V  π  

Tetrabrick: 3cm336cm)(12cm)(4cm)7( ==V 

Esta última tiene entonces mayor capacidad.

c) Un automóvil…

Si el auto se desvaloriza a razón de un 10% anual, esto implica que pierde $1800 por año. Por lo

tanto, en 2 años habrá perdido $3600, con lo cual su precio será:

P = $18000 − $3600 = $ 14400

c) El costo de una…

Llamemos P al precio de lista de la mercadería. Si el comerciante hace un 10% de descuento, suprecio será:

P − 100

10P = P − 0.1 P = 0.9 P

Con este precio real de venta, nos dicen que gana un 20% sobre el costo ($3), lo que implica queel comerciante vende el producto $3 por arriba de su costo. Luego,

0.9 P = $15 + $3 = $18

Despejando,

P = $20

e) Una empresa se…

La empresa vendió cada propiedad en $120000. Lamamos x e y a los valores de compra de cada

una.

Con la primera ganó un %20 de lo invertido, lo que nos quiere decir que:

1000001200002.1120000100

20=⇒=⇒=+ x  x  x  x 

La primera propiedad se compró a $100000.

Usando el mismo criterio con la segunda, si perdió un 20%,

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1500001200008.0120000100

20=⇒=⇒=− y  x y y 

Luego, el precio de compra de ambas fue

$100000 + $150000 = $250000

En tanto, el precio de venta de ambas fue

$120000 + $120000 = $240000

La empresa perdió entonces $10000 en la operación.

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Matemática

CBCPráctica 1(Actualizada)

Cátedra: Gutiérrez

• Números reales y coordenadas cartesianas.

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1

PRÁCTICA 1

NÚMEROS REALES Y COORDENADAS CARTESIANAS

Ejercicio 1Representar en la recta.......

a) Para representar en la recta numérica, conviene transformar cada número en su forma decimal yluego asociarle un punto de la recta. Por ejemplo,

15.210

236.25

3 −≈−

Este trabajo lo dejamos para ustedes pues una vez conocida la expresión decimal de cada númeroes muy sencillo ubicarlos en la recta.

b) Partimos aquí de la ecuación en

0252 =− x  la cual se puede escribir así:

0522 =− x  (como diferencia de cuadrados)

Recordando la diferencia de cuadrados queda:

( )( ) ( )( ) 05555522 =+−⇒+−=−  x  x  x  x  x 

Un producto de dos factores vale cero cuando al menos uno de ellos vale cero

de donde

0505 =+=−  x ó x 

  ⇓   ⇓

5= x  5−= x 

Representando,

• •-5 0 5

c) ( ) 1001001 −==⇒=+=→=+  x ó x  x ó x  x  x 

  •  •-1 0

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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2

d) ( )( ) 320302052 =−=⇒=−=+⇒=−+  x ó x  x ó x  x  x 

•   •-2 0 3

e) ( ) 0902092 22 =−=−⇒=−−  x ó x  x  x 

de donde 2= x  o bien ( )( ) 033092 =+−⇒=−  x  x  x 

−=

=

3

o

3

 x 

 x 

 

∴ la solución es: S = { }3,2,3−

  •   •  •

-3 0 2 3

f) ( )( ) 0902092 22 =+=−⇒=+−  x ó x  x  x 

de la primera condición obtenemos como antes: 2= x 

de la segunda condición obtenemos: 909 22 −=⇒=+  x  x 

lo cual no tiene solución, pues el miembro de la derecha es negativo y el de la izquierda espositivo cualquiera sea ∈ x IR: 02 ≥ x . Esa igualdad es absurda y no se verifica para ningún ∈ x IR.

Luego, S = { }2

  •0 2

g) 0)1()4( =−+  x  x  x 

Planteando que cada factor se anule, obtenemos:

S = { }1,0,4−  •   •   •

-4 0 1

h) ( )3

1031031

2 −=↔=+↔=+  x  x  x 

  •-1 -1/3 0

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3

i) 0442 =++  x  x 

Este es un trinomio cuadrado perfecto que se puede escribir así:

( ) 02 2 =+ x  2−=→  x 

•-2 0

 j) 03 =− x  x  Sacando factor común, y resolviendo como antes:

( )

−===−⇒

=⇒=−⋅=−

1

101

001

2

23

 x 

 x  x 

 x  x  x  x  x 

  •   •   •-1 0 1

Ejercicio 2a) Decidir en cada caso...........

i) { }432/ <−∈=  x IR  x C 

 Aquí podemos hacer 2 cosas para ver si p y q pertenecen a C . O los reemplazamos directamente yobservamos si la desigualdad se cumple, o resolvemos la inecuación primero, y vemos si p y qestán en el conjunto solución. Si efectuamos esta última,

2

772432 <⇒<⇒<−  x  x  x 

Por lo tanto, tanto p = 2 como q = 0 son menores que 7/2, y ambos pertenecen a C .

ii) { }53/ ≤≤−∈=  x IR  x C 

 Acá a simple vista se observa que ni p = 3, ni q = −5 pertenecen a C .

iii) 036/ 2 >−∈=  x IR  x C 

 Aquí es más fácil reemplazar:

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4

064361010)1.0( 21 >=−⇒== − p se cumple C  p ∈⇒

01336)7(7 2 >=−−⇒−=q se cumple C q ∈⇒

iv) { } x  x IR  x C  312/ <+∈=  Aquí resolvemos:

)1o(1312 ><⇒<+  x  x  x  x 

En este caso,

C qC  p ∈=∉= 3,3

1

v)

>+∈= 3

1/

 x  x IR  x C 

 Acá conviene reemplazar:

C  p p ∈⇒>=+⇒= 31.101.0

11.01.0

C qq ∉⇒>=+⇒= )(absurdo35.2

2

122

vi) { }6/ 3 >−∈=  x  x IR  x C 

Reemplazando, resulta C qC  p ∉−=∉= 2,2

b) Dar, en cada caso…

i) { }21/ ≤<−∈=  x IR  x C 

Dos que pertenecen:  x = 0  x = 1

Dos que no pertenecen:  x = −3  x = 4

i) 2/ 2 >∈=  x IR  x C 

Dos que pertenecen:  x = −3  x = 4

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5Dos que no pertenecen:  x = 0  x = 1

Ejercicio 3Representar en...........

a)  ////////////////////)0 1

b) [ ////////////////////////////-3 0

c) ( ///////////////////////////////]-1 0 4

d) ( ///////////////////////////// { }2/ −>∈  x IR  x 

-2 0

e)  //////////////// //////////////] { }5/ ≤∈  x IR  x 

0 1

f) ( /////// ///////////////////] { }52/ ≤<−∈  x IR  x -2 0 5

g) Los intervalos:

 

  

 5;

2

1  ( /////////////////////////////////////////////)

0 ½ 5

)[ 0;3−   [ /////////////////////////////////)-3 0

][ 6;1   [ /////////////////////////////////]0 1 6

( ]2;2−   ( //////////////// /////////////////]-2 0 2

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6

( ]1; −−∞  /////////////////////////////////]

-1 0

( )+∞− ;1 ( ///////// ///////////////////////////////-1 0

 

 

+∞,3

5    [ ////////////////////////////////////////

0 5/3

( )2;∞−  /////////////////////////// /////////)

0 2

h) En este caso, haremos nosotros la intersección o la unión, y les queda a ustedes representar en la recta.:

(1; 4] ∩ [3; 6] = [3; 4]

(1; 4] ∪ [3; 6] = (1; 6]

[0; 1] ∪ [2; 3) =[0; 1] ∪ [2; 3) pues no tienen elementos en común

[−1; 4] ∩ [4; 5] = { }4

[2; 5) ∪ [5; 10] = [2; 10]

[2; 5) ∩ [5; 10] = φ  

(1; 7) ∩ 

 

 2;

2

3=

 

 2;

2

3

(1; 7) ∪ [3; 9]= (1; 9]

Los últimos tres les quedan a ustedes.

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7

Ejercicio 4Escribir como intervalo.......

a) )2,(2126756 −∞=↔<↔<↔<− S x  x  x 

   ////////////////// //////////)0 2

b)3

223325 >↔−<−↔+<−  x  x  x  x   

 

  

 ∞+=→ ,

3

2S

Recuerden que cuando se pasa un factor negativo al otro miembro (multiplicando o dividiendo), ladesigualdad cambia de sentido.

    ( /////////////////////0 2/3

c) 30355535 −>↔−>−↔>+  x  x  x  x 

Como esta condición se cumple para cualquier valor de x, S = IR 

//////////////////////////////////////0

d) ∅=→−<↔−<+−↔−<+− S x  x  x  x  absurdo4044

e) 9321 ≤−≤  x 

 Acá despejamos x, pasando términos y factores para ambos lados. Resulta entonces,

62122439231 ≤≤⇒≤≤⇒+≤≤+  x  x  x 

    [////////////////////////// ]0 2 6

f) 7453 <−≤−  x 

Resolviendo como antes,

2

12248 −>≥⇒<−≤−  x  x 

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8

  (//////////////////////////]-1/2 0 2

Ejercicio 5Hallar a de manera…

a) { } [ )+∞=≥+∈ ,32/ a x IR  x 

Nos dan el conjunto solución ( 3≥ x  ). Lo que hacemos es despejar x de la inecuación,

a x a x  −≥⇒≥+ 22

Comparando esta expresión ( a x  −≥ 2 ) con la solución ( 3≥ x  ), debe ser:

123 −=⇒−= aa

b) { } )2,(13/ −∞=<−∈ a x IR  x 

Repitiendo el procedimiento anterior,

3

11313

a x a x a x 

+<⇒+<⇒<−

Comparando nuevamente,

56123

1=⇒=+⇒=

+aa

a

Ejercicio 6Escribir como intervalo…

a) ( ){ }03/ >−∈  x  x IR  x 

Un producto de dos factores es mayor que cero (positivo) si ambos factores son positivos o siambos son negativos.

Luego, ( ) 03 >− x  x  es equivalente a pedir:

<−

<

>−

>

03

0

 bieno

03

0

 x 

 x 

 x 

 x 

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9Se resuelven los dos casos separadamente, y luego se hace la unión (recordar que en Matemáticay es intersección, en tanto que o es unión.

Caso 1

>−>

03

0

 x 

 x 

de donde 0> x  y 3> x  (///////////////////( /////////0 3

la solución de este caso es ( )+∞= ,31S

Caso 2: 3y0 dondede03

0<<

<−<

 x  x  x 

 x 

///////////)/////////////////////)0 3

La solución de este caso es ( )0,2 −∞=S

La solución final es la unión de ambos casos: ( ) ( )+∞∪−∞= ,30,S

b) { /IR  x ∈ ( x + 4) ( x  − 2) < 0 }

Un producto es menor que cero (negativo) si tienen diferente signo:

Luego, ( x + 4) ( x  − 2) < 0 es equivalente a:

caso 1:

>−

<+

02

04

 x 

 x 

caso 2:

<−

>+

02

04

 x 

 x 

x < −4 y  x  > 2  x   > −4 y  x  < 2

//////) (//////// (////////////////////////)-4 2 -4 2

S1 = φ    S2 = (−4, 2)

La solución final es la unión de ambos casos ( )2,4−=S

c) { }23/  x  x IR  x  ≥∈

 Aquí pasamos todo a un miembro, dejando un cero del otro, y luego sacamos factor común. Por ejemplo

0)3(033 22 ≥−⋅⇒≥−⇒≥  x  x  x  x  x  x 

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10

Y planteamos lo mismo que antes. Para que un producto sea mayor o igual que cero:

Caso 1:

≤⇒≥−

303

0

 x  x 

 x 

Caso 2:

≥⇒≤−

303

0

 x  x 

 x 

Haciendo las intersecciones:

//////) [//////// (////////////////////////]0 3 0 3

S2 = φ    S1 = (0, 3]

La solución final es la unión de ambos casos =S (0, 3]

d) ( )( ) 011042 <+−↔≤−  x  x  x  por diferencia de cuadrados

caso 1:

≥+≤−

01

01

 x 

 x caso 2:

≤+≥−

01

01

 x 

 x 

1≤ x  y 1−≥ x  1≥ x  y 1−≤ x 

\ \ \[////////////////////]/ / / / //////] [/////////-1 0 1 -1 1

  [ ]1,11 −=S   ∅=2S

La solución final es la unión de ambos casos [ ]1,1−=S

Ejercicio 7Escribir como intervalo......

Para resolver como antes conviene cambiar la forma de las inecuaciones,

a)

<∈ 6

1/ x 

IR  x 

La idea es juntar todo de un miembro dejando cero del otro:

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11

061

061

61

<−

↔<−↔< x 

 x 

 x  x 

 Ahora, el cociente de dos cantidades es negativo si tienen distinto signo. Luego, tenemos doscasos:

caso 1:

><−

0

061

 x 

 x caso 2:

<>−

0

061

 x 

 x 

 6

1> x  y 0> x   

6

1< x  y 0< x 

(///////////////(///////////// ///////////)////////////////)0 1/6 0 1/6

   

  

  +∞= ,6

11S   ( )0,2 ∞−=S

  ( )  

  

  +∞∪∞−= ,6

10,S

b)

>∈ 5

3/ x 

IR  x 

Procedemos como antes,

053

053

53

>−

↔>−↔> x 

 x 

 x  x 

de donde

caso 1:

>>−

0

053

 x 

 x caso 2:

<<−

0

053

 x 

 x 

  5

3

< x  y 0> x    5

3

> x  y 0< x 

  (///////////////)///////////// ///////////) (0 3/5 0 3/5

   

  

 =

5

3,01S   ∅=2S

La solución final es entonces  

  

 =5

3,0S

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12

c)

−<−∈ 13

4

/ x IR  x  Como antes,

024

024

134

<−

↔<−↔−<− x 

 x 

 x  x de donde

caso 1:

<>−

0

024

 x 

 x caso 2:

><−

0

024

 x 

 x 

2< x  y 0< x  2> x  y 0> x 

  ( )0,1 −∞=S   ( )∞+= ,22S

( ) ( )∞+∪−∞= ,20,S

d)

≤∈ x  x 

IR  x 12

/

01

01212

≤↔≤−↔≤ x  x  x  x  x 

Observen que la única posibilidad de que este cociente de menor o igual que cero es que x sea

negativa (no puede valor cero pues está en el denominador).

( )0,−∞=⇒ S

e)

<−∈ 0

63/

 x IR  x 

063

06

3 <−

↔<− x 

 x 

 x de donde

caso 1: < >−0

063 x  x  caso 2:

> <−0

063 x  x 

2> x  y 0< x  2< x  y 0> x 

  ////////////////) (\\\\\\\\\\\\\\ (////////////////)////////////

0 2 0 2

∅=1S ( )2,02 =S

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13

La solución final es ( )2,0=S

 

f)

>

−+∈ 1

21/ x 

 x IR  x 

02

30

2

)2(101

2

11

2

1>

−⇒>

−−−+

⇒>−−+

⇒>−+

 x  x 

 x  x 

 x 

 x 

 x 

 x 

Fíjense que como el numerador es fijo y positivo, para que el cociente de positivo, el denominador también debe serlo. Luego, la única condición es:

202 >⇒>−  x  x 

En consecuencia, ( )∞+= ,2S

g)

<

+∈ 2

3

4/ x 

IR  x 

03

220

3

)3(2402

3

42

3

4<

+−−

↔<+

+−↔<−

+↔<

+  x 

 x 

 x 

 x 

 x  x 

caso 1:

>+<−−

03

022

 x 

 x caso 2:

<+>−−

03

022

 x 

 x 

x > − 1 y  x  > − 3  x < − 1 y x < − 3

  ( (//////////////////////////// /////////////////////////////////)/////////////)-3 -1 -3 -1

S1 = ),1( ∞+− S2 = ( )3, −−∞

La solución final es: ( ) ( )+∞−∪−−∞= ,13,S

El h) les queda para ustedes. Es igual que todos los anteriores.

Ejercicio 8Representar en la recta…

Recordemos que, por definición de valor absoluto ó modulo de un número real:

<−≥

=0 si

0 si

 x  x 

 x  x  x 

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14

y que además, dado k > 0,

⇒< k  x  − k  <  x <  k  

⇒> k  x    k  x > ó k  x  −<

Luego,

 A =

=ℜ∈

2

5/ x  x 

2

5o

2

5

2

5=−=→=  x  x  x    •     •

-5/2 5/2

B = }3/ =ℜ∈  x  x  33 =→=  x  x  ó 3−= x  •   •  3−   3

C = { }2/ −=ℜ∈  x  x 

2−= x  Es absurdo, pues por definición 0≥ x  , por lo tanto no tiene solución.

D = { }3/ <ℜ∈  x  x 

Por lo señalado al comienzo del ejercicio:

333 <<−↔<  x  x  (//////////////////////////)

-3 3

⇒  D = (-3 , 3)

E = { }5/ ≥ℜ∈  x  x   Aquí usamos:

55 ≥⇒≥  x  x  ó 5−≤ x  ////////////] [//////////////

-5 0 5

( ] [ )+∞∪−−∞= ,55,E 

F = { }2/ −≥ℜ∈  x  x 

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15

 x 

-5 -3 -1 1 3 5

-5

-3

-1

3

5

Como por definición 0≥ x  , el módulo de cualquier cosa será siempre mayor que –2. Esa

condición la cumple cualquier número real. Luego, F = IR 

4/ 2 >∈=  x IR  x G

 Aquí, si aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros,

22242 >−<⇒>⇒>  x o x  x  x 

////////////) (//////////////-2 0 2

0/ 2 ≤∈=  x IR  x H  Si aplicamos nuevamente raíz cuadrada a ambos miembros,

002 ≤⇒≤  x  x 

Esta condición sólo se cumple para x = 0. ⇒ { }0=H 

•0

Ejercicio 9a) Representar en el plano...

Solamente representaremos algunos de los puntos pedidos:

 A = (2,0) B = (0,-2) C = (3,1/2) D = (-4, 1) E = (3, -3) F = ( 2 , 1)

 

D F  C

  A•

B

E

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16

• 

 x 

-4 -2 2 4

-4

-2

0

2

4

(–3,1/2)

(3,–1/2)(–3,–1/2)

b) Hallar y graficar...

Lo resolveremos sólo para el punto C = (3, 1/2) ya que todos los demás se resuelven en formaidéntica.

Dado un punto P = ( x, y ) su simétrico respecto el eje x es P x   = ( x,-y )

su simétrico respecto el eje y es Py   = (- x, y )

su simétrico respecto al origen es P0 = (- x, -y )

  •  •

  •   •

Ejercicio 10Representar en el plano...

a) abscisa -3 ⇒   x = -3 b) ordenada 1/2 ⇒  y = 1/2

 x -3

1/2 x 

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17

c)  x = 4 d) y > -5

   x 

e)  y = x  f)  x < 0 , y < 0  y 

   x 

g) 1−≥y 

  2/3< x 

3/2

-1

4-4

 x 

-5

 x

 y

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18

Ejercicio 11

Representar en el plano.........

( ) 1/IR, 2 =∈= y y  x  A

( ){ }2x3/IR, 2 ≤≤−∈= y  x B

( ) 54/IR, 2 ≤<−∈= y y  x C y 

5

x

-1

-4

 

 x 

0 1 2 

1

 x 

-3 0 2

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19

( ) 4,2x/IR, 2 <=∈= y y  x D

4 El círculo vacío indica que elpunto no está contenido (y < 4)

2

( ){ }30;1x1/IR, 2 ≤≤≤≤−∈= y y  x E 

( ){ }3x/IR, 2 ≤∈= y  x F  ( ){ }5/IR, 2 >∈= y y  x G

( )

<=∈=2

1y1,x/IR, 2y  x H 

 

 x  

0 1 2 3 

-1

1

 

 x 

-1 0 1 3

-2

-1

1

2

-3   x

-3 0 3

-5

0

5

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20

( ) 3,2x/IR,2

≥<∈= y y  x I y 

  3

  -2 2  x 

  -3

Ejercicio 12Describir algebraicamente............

a) En este conjunto no hay ninguna restricción sobre la variable x . La única condición se da sobrela variable y :

( ) 31/IR,31 2 <<∈=⇒<< y y  x  Ay  .

b) En este gráfico hay restricciones tanto para x como para y :

20

11

≤≤<≤−

 x ( ){ }20;11/IR, 2 ≤≤<≤−∈=⇒ y  x y  x B

c) ( ){ }2/IR, 2 =∈  x y  x  (recordar módulo)

 

 x 

y  

-2 -1 0  1

1/2

-1/2

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21

d) ( ) 2,1/IR, 2 −=≥∈ y  x y  x 

e) ( ){ }1,3/IR, 2 >≤∈ y  x y  x 

f) ( ) 0,0/IR, 2 ≤≥∈ y  x y  x 

Ejercicio 13Resolver e interpretar.....

recordemos que dados dos puntos del plano ( ) ( )1100 ,, y  x Qy y  x P  ==

La distancia que los separa se calcula con:

( ) ( )2012

01 y y  x  x d  −+−=

a) Hallar la distancia entre P y Q :

i) ( ) ( )7,23,1 =−= QP 

( ) ( ) 525169)4()3()7321 2222 ==+=−+−=−+−−=d 

ii) ( ) ( )0,12,0 =−= QP 

( ) ( ) 541)2(00122 =+=−−+−=d 

iii) ( ) ( )5,53,1 −=−= QP 

( ) ( ) 10100643653)5(122 ==+=−−+−−=d 

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22

 

 x 

y  

-2 -1 0  1

-2 

b) Hallar el perímetro del triángulo........

Graficamos los puntos para ver al triángulo cuyo perímetro nos piden:

B

( )( )( )0,1

2,0

1,1

−==

−=

B

 A

C

A

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados

Calculamos la longitud de cada lado empleando la fórmula de la distancia:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 5412001,

51401)1(1,

10912101,

22

22

22

=+=−+−−=

=+=−−+−−=

=+=−−+−=

C Bd 

C  Ad 

B Ad 

El perímetro es 52105510 +=++=P 

c) Hallar cuatro puntos del plano…

Llamemos ( x, y ) al punto genérico del plano. Usando que la distancia al (1, -1) debe ser 3, nosqueda:

9)1()1(3))1(()1( 2222 =++−⇒=−−+− y  x y  x 

Le damos ahora 2 valores distintos a y . Veamos

2

4319)1(1 2

−==

=−⇒=−⇒−= x 

 x  x  x y 

Luego, los dos primeros puntos serían: A = (-1, 4) y B = (-1, -2)

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23

18

18818)1(0 2

+−=+==−⇒=−⇒=

 x 

 x  x  x y 

Finalmente, los otros dos puntos serían: C = ( )0,18 + y D = ( )0,18 +−

d) Hallar todos los puntos del eje x......

Todo punto del eje x es de la forma (x, 0). Luego, planteando lo pedido:

4)3(2)00())3(( 222 =+⇒=−+−−  x  x 

 Aplicando raíz a cada miembro:

5

1234)3( 2

−=−=

=+⇒=+ x 

 x  x  x 

Los puntos pedidos son: A = (-1, 0) y B = (-5, 0)

e) Hallar todos los puntos del eje y......

Todo punto del eje x es de la forma (0, y). Luego, como antes:

3)3(4)3(13)0()10( 2222 =+⇒=++⇒=−+− y y y 

 Aplicando raíz a cada miembro:

33

33333)3( 2

−=

−−==+⇒=+

 x 

 x y y 

Los puntos pedidos son: A = ( )33,0 −− y B = ( )33,0 −

f) Hallar todos los puntos de la forma......

Planteamos la formula de la distancia entre P  y Q , y la igualamos a 5.

( ) ( )2,01, =−= QaP 

( )4

416259521)0( 2222

−==

=⇒=+⇒=−−+−=a

aaaad 

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24

Luego, tenemos:

)1,4()1,4( 21 −−=−= P y P 

g) Hallar todos los........

 Aquí, ( ) ( )4,3, == QaaP 

Haciendo lo mismo que antes,

( ) ( ) ( ) ( ) 25435432222 =−+−⇒=−+−= aaaad 

desarrollando los cuadrados de los binomios en el miembro de la izquierda queda:

⇒=+−++− 2516896 22 aaaa   ⇒=− 0142 2 aa 0)7(2 =−⋅ aa

La ecuación precedente tiene dos soluciones: 7y0 == aa

 

h) Hallar todos los…

Los puntos pedidos equidistan de P y de Q, es decir que están a la misma distancia de ambos. Si

llamamos A = (x, y) a los puntos buscados, nos queda:

⇒= ),(),( Q Ad P  Ad 

2222222222 )4()4()4()0()0()0( −=⇒−+=+⇒−+−=−+− y y y  x y  x y  x y  x 

Desarrollando el cuadrado del binomio, la única solución de la ecuación precedente es y = 2. Comono nos quedó ninguna restricción sobre x, ésta puede tomar cualquier valor. Por lo tanto, los puntospedidos son de la forma:

( )2, x  (conforman una recta vertical que pasa por x = 2)

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Matemática

CBCPráctica 2(Actualizada)

Cátedra: Gutiérrez

• Funciones

• Funciones Lineales

• Función Cuadrática

• Funciones Polinómicas

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1

PRÁCTICA 2

FUNCIONES

Ejercicio 1Dos ciclistas A y B…

 A partir del gráfico,

a) Se detuvo el ciclista B, ya que entre t = 1 minuto y t = 3 minutos (2 minutos en total), su posiciónse mantuvo constante en e = 200 metros.

b) Alos 2 minutos de partir, A había recorrido aproximadamente 800 metros (tirando una líneavertical en t = 2 min, y viendo a ojo el valor de e).

c) Esto podemos averiguarlo así:

La mitad del camino serían 500 metros. El ciclista B en 2 minutos (entre 3 y 5 minutos) recorre 800metros (de 200 m a 1000 m) a una velocidad constante. Como todavía no conocemos la ecuación

de la recta, podemos plantear una regla de tres:

800 m   2 min300 m   x = 0.75 min = 45 segundos

Observen que puse 300 m, porque el ciclista B ya había recorrido 200 m en los primero 3 minutos.Luego, B tardó 3 minutos 45 segundos en llegar a los 500 metros (mitad de camino).

d) En los últimos 2 minutos, el ciclista A habría recorrido unos 100 metros aproximadamente, entanto que el B, como ya lo hemos dicho, 800 metros.

Ejercicio 2Sea f ( x ) =….

 Aquí nos dan una función: 13)( 2 ++−= x  x  x f 

Para determinar la veracidad solamente debemos reemplazar en la función:

a) 31232)( 2 =+⋅+−= x f  Verdadero

b) 131)1(3)1()( 2 −≠−=+−⋅+−−= x f  Falso

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2

c) 11030)0( 2 =+⋅+−=f  11333)3( 2 =+⋅+−=f  Verdadero

Ejercicio 3Sea f ( x ) =….

La función dad es: x 

 x  x f 

31

12)(+

−=

a) Para hallar el dominio planteamos que el denominador no se anule, es decir:

3

113031 −≠⇒−≠⇒≠+ x  x  x 

Luego, Dom (f ) =

3

1IR 

b) Si el (3, a) pertenece al gráfico, esto implica que cuando  x  = 3, la función toma el valor  a.Reemplazando,

2

1

2

1

10

5

331

132=⇒==

⋅+

−⋅= aa

c) Aquí nos dan un posible valor que puede tomar la función, y queremos ver si existe un

2)(/)(Dom −=∈ x f f  x 

Igualando la función a −2 y despejando x , nos queda:

18126212)31(231

122 =−⇒−=−−⇒−=+−⇒+

−=− x  x  x  x  x 

 x 

 x 

de donde,

8

1−= x  )(Dom2 f ∈−⇒

Ejercicio 4Los siguientes son los gráficos…

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4

FUNCIONES LINEALES

Ejercicio 5

a) Encontrar en cada caso...

Recordemos que una función lineal (representada gráficamente por una recta) es de la forma:

bmx  x f y  +== )(

donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

En particular, dados 2 puntos A = ( x 0 , y 0) y B = ( x 1 , y 1) la ecuación de la recta que pasa por ellospuede hallarse de la siguiente manera:

Calculamos primero la pendiente:

01

01

 x  x 

y y m−

−=

Una vez averiguada la pendiente, como ambos puntos deben cumplir la ecuación de la recta por pertenecer a la misma, puedo reemplazar cualquiera de ellos en la ecuación y así despejar laordenada al origen b.

Reemplazando por ejemplo A nos queda:

0000 mx y bbmx y  −=⇒+=

i.  f (1) = 0 , f (−2) =2

3−

Calculamos primero la pendiente:

2

1

3

2/3

12

02/3=

−=

−−

−−=m

Ya sabemos que la función lineal será de la forma b x y  +=2

1

Reemplazando por ejemplo el punto (1,0) nos queda:

2

11

2

10 −=⇒+⋅= bb

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5

La función lineal buscada es entonces2

1

2

1−= x y 

ii. f (-3) = 7 , f (10) = 7

Calculando primero la pendiente

0)3(10

77=−−

−=m

La recta que pasa por esos puntos tiene pendiente nula (es horizontal) y su ecuación es:

y = f (x) = 7

iii.  f (−2) = 1 , f (4) =13

Calculamos la pendiente:

26

12

)2(4

113==

−−

−=m

Ya sabemos que la función lineal será de la forma b x y  += 2

Reemplazando por ejemplo el punto (4, 13) nos queda:

54213 =⇒+⋅= bb

La función lineal buscada es entonces 52 += x y 

b) Determinar…

Ya lo hemos hecho al hallar la función lineal.

Ejercicio 6a) Hallar la ecuación...

 Aquí nos dan la pendiente y un punto por donde pasa la recta.

i)  P = (1, −2) m = 3

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6Como f ( x ) = mx + b = 3 x + b, reemplazando el punto dado,

−2 = 3⋅1 + b ⇒ b = −5

Luego, la función lineal buscada es

y = f (x ) = 3x  − 5

ii) P = (5, 8) m = 0

Como antes,

8 = 0⋅5 + b ⇒ b = 8 ⇒  y = f (x ) = 8

iii) P = (−3, 4) m = −1

4 = −1⋅(−3) + b ⇒ b = 1 ⇒  y = f (x ) = −x + 1

iv)  P   ( )1,1−=2

3−=m

Reemplazando como arriba,

2

1)1(

2

31 −=⇒+−⋅−= bb

La ecuación resulta entonces:2

1

2

3−−== x f(x)y 

b) Encontrar la pendiente...

i)  P = (2, 1) Q = (−4, 3)

3

1−=

−−

−=

24

13m La pendiente es

3

1−

ii)  P = (0, 7) Q = (7, 0)

0=−

−−−=

35

)2(2m La pendiente es 0

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7iii) P = (3, −2) Q = (5, −2)

1−=−

−=

07

70m La pendiente es −1

Ejercicio 7Escribir la función lineal...

 Aquí debemos encontrar la función lineal correspondiente a cada una de las rectas graficadas.

a) b)

2

-1

1

Esta recta pasa por A = (0,1) y B = (1,2) Esta es una función constante de pendientenula. Su ecuación es:

22)0(01

23+=⇒+−⋅

−= x y  x y    y = −1

 

y c) 1 La ecuación viene dada por:

11)0(10

01+−=⇒+−⋅

−= x y  x y 

1  x  

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8

Ejercicio 8a) Dados los siguientes pares...

Dadas 2 funciones lineales f y g , debemos buscar aquí el conjunto

)}()(/{ x g  x f IR  x  A ≤∈=

i) 7)(52)( =+= x g  x  x f 

Planteando entonces f ( x ) ≤ g ( x ) resulta:

2 x + 5 ≤ 7 ⇒ 2 x   ≤ 2 ⇒ x  ≤ 1 Luego, A = (−∞, 1]

ii) 24)(23)( +=+−= x  x g  x  x f 

f ( x ) ≤ g ( x ) ⇒ −3 x + 2 ≤ 4 x + 2 ⇒ 0 ≤ 7 x    ⇒ x ≥ 0

Luego, A = [0, +∞)

iii) 8)(5)( +=+−= x  x g  x  x f 

f ( x ) ≤ g ( x ) ⇒2

33285 −≥⇒≤−⇒+≤+− x  x  x  x 

Luego, A =  

 

∞+− ,

2

3

b) Graficar las funciones...  f ( x ) = 2 x + 5

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9

i)g ( x ) = 7

 //////////////////////////]1

ii)  g ( x ) = 4 x + 2

[///////////////////////////////////////////

f ( x ) = −3 x + 2

El gráfico iii) les queda para ustedes.

Ejercicio 9

Representar las regiones del plano..........

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10

a) { }y  x y  x  A ≤∈= /IR),( 2

La región buscada es la que seencuentra por arriba de la recta

y = x 

b) { }32/IR),( 2 ≤−∈= y  x y  x B

3232 −≥⇒≤− x y y  x 

La región buscada es la que se encuentrapor arriba de la recta

y = 2 x  − 3

c) 13,1/IR),( 2 ≤−−>∈= y  x  x y  x C 

1313 −≥⇒≤− x y y  x 

Tenemos aquí dos condiciones. Laregión buscada es la intersecciónde ambas (región más oscura).

 x

 y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

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11

d) { }42/IR),( 2 >+≤−∈= y  x y  x D

Despejando y ,

⇒>+≤− 42 y  x 

42 +−≤<−− x y  x 

Ejercicio 10Los siguientes gráficos..........

En física se estudia un movimiento muy simple que se denomina movimiento rectilíneo uniforme.El movimiento se denomina rectilíneo pues la partícula se mueve sobre una línea recta. (se diceque su trayectoria es una recta)El movimiento se dice uniforme pues la partícula se desplaza a una velocidad constante.Suponiendo que la partícula se mueve con velocidad v y que en el instante inicial 0=t  su

posición es 0 x , entonces el espacio recorrido por la partícula es:

t v  x t  x  += 0)(

Esta última fórmula se conoce como ecuación de movimiento o ecuación horaria delmovimiento rectilíneo uniforme.

Observen que la variable independiente es el tiempo t  y que esta fórmula es una recta dependiente v y de ordenada al origen 0 x . Luego, para conocer el signo de la velocidad en un gráfico

basta con mirar a la pendiente de la recta

a) móvil 1: velocidad positivamóvil 2: velocidad negativamóvil 3: velocidad positivamóvil 4: velocidad cero.móvil 5: velocidad negativa.

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12

 

S(t)

0

3

b) Los móviles con velocidad positiva son los que avanzan y los de velocidad negativa son los queretroceden.

El móvil 3 tiene pendiente mas pronunciada positiva y por esa razón es el móvil mas veloz de losque avanzan.El móvil 2 es el mas veloz de los que retroceden.

c) El móvil 4 tiene velocidad cero, pues la pendiente de las ecuaciones de movimiento es cero.Esto significa que el móvil no se mueve, sino que se encuentra detenido en la posición 2= x entodo momento.

Ejercicio 11Si 32)( += t t r  describe el espacio...

a) La ecuación de movimiento del móvil dada es 32)( += t t r  . La pendiente de esta función lineal

m = 2, representa a la velocidad. Luego, la velocidad de este móvil es 2=v  .

La ecuación de movimiento de otro móvil que se desplaza a igual velocidad y que esta dosunidades de distancia adelantado será entonces:

62)(62332)( +=→+=++= t t St t t S

b) La velocidad del otro móvil es el doble del móvil original o sea: v  = 4. El móvil original seencuentra en 0=t  en la posición 2=r 

La ecuación buscada es entonces: 34)( += t t S

c) La ecuación de movimiento buscada es: 32)( +−= t t S

donde colocamos el signo menos en la velocidad para asegurarnos que el nuevo móvil se desplazaen sentido contrario.

Representamos gráficamente a cada situación: S(t ) = 4t +3en cada caso graficamos posición en funcióndel tiempo

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14

La ordenada al origen (900) representa el costo fijo, mientras que la pendiente (13) representa elcosto unitario de cada silla.

Ejercicio 13Un auto, comprado hoy...

Si analizamos el costo de cada vehículo en función de los años transcurridos, lo que nos dan aquíson dos puntos de cada uno para poder construir la función lineal. Si llamamos x a los añostranscurridos a partir de la compra ( x = 0), e y al valor del vehículo, tenemos:

 Auto: A = (0, 30000) y B = (3, 23400)

Calculamos la pendiente:

220003

3000023400−=

−=m

La función lineal será: 300002200 +−= x y 

Camioneta: P = (0, 28000) y B = (5, 18000)

200005

2800018000−=

−=m

La función lineal será: 280002000 +−= x y 

Para conocer cuando tendrán el mismo valor, igualamos:

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15280002000 +− x    300002200 +−= x 

despejando,

102000200280003000022002000 =⇒=⇒−=+− x  x  x  x 

dentro de 10 años valdrán lo mismo ($8000).

Ejercicio 14

Unos amigos...

Según la opción A el gasto es fijo y no depende del recorrido, sino solamente del tiempo que sealquila. Si se quedan 7 días el gasto total es:

g  A( x ) = 50 × 7 = $350

La opción B depende del kilometraje efectuado (0.5$ / km) y tiene un gasto fijo de:

25 × 7 = 175$ Luego la función gasto correspondiente a la opción B es:

g B( x ) = 0.5 x + 175

Para decidir a partir de qué recorrido es más económica la opción A que la B igualamos ambas.

 g  A( x ) = g B( x ) ⇒ 350 = 0.5 x + 175 ⇒ x = 350 km

Luego, a partir de los 350 km en adelante resulta más conveniente la opción A.

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16

 x

 y

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

 x

 y

0 2 4 6 8

0

5

10

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejercicio 15Para cada una de las...

Recordemos que la forma más general de una función cuadrática es:

c bx ax  x f y  ++== 2)(

Las coordenadas del vértice V = ( x v ,y v ) vienen dadas por:

)(2

V V V  x f y a

b x  =−=

a) 4)( 2 −= x  x f 

 Aquí a = 1 , b = 0 , c = −4

 x v = 0 y v = −4 ⇒ V = (0, −4)

Im = [−4, +∞)

I.C. = (0, +∞) I.D. = (−∞, 0)

b) 2)( 2 +−= x  x f 

 Aquí a = −1 , b = 0 , c = 2

 x v = 0 y v = 2 ⇒ V = (0, 2)

Im = (−∞, 2]

I.C. = (−∞, 0) I.D. = (0, +∞)

c) 1)5()( 2 +−= x  x f 

 Aquí  x v = 5 y v = 1

V = (5, 1)

Im = [1, +∞)

I.C. = (5, +∞) I.D. = (−∞, 5)

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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17

d)  23)( x  x f  −=

 Aquí a = −3, b = c = 0

 x v = 0 y v = 0 ⇒ V = (0,0)

Im = (−∞, 0]

I.C. = (−∞, 0) I.D. = (0, +∞) 

e)  22

1)( 2 −= x  x f 

a = 1/2 , b = 0 , c =−2

 x v = 0 y v = −2 ⇒ V = (0, −2)

Im = [−2, +∞)

I.C. = (0, +∞) I.D. = (−∞, 0)

f) 22

1)( 2 +−= x  x f   

a = −1/2, b = 0, c = 2

 x v = 0 y v = 0 V = (0, 2)

Im = (−∞, 2]

I.C. = (−∞, 0) I.D. = (0, +∞)

g) 423)( 2 +−= x  x  x f   

a = 3, b = −2, c = 4

 x v =3

1

2=−

a

b

y v = f ( x v ) =3

114

3

12

3

13

2

=+⋅− 

  

 

 

  

 =⇒

3

11,

3

1V 

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18

Im =

 

 

+∞,

3

11

I.C. =  

  

 ∞+,

3

1I.D. =

 

  

 ∞−

3

1,

h) 53)( 2 −−−= x  x  x f 

531 −=−=−= c ba

2

3

2

3

−=−

−=v  x 

4

115

2

33

2

3

2

32

−=− 

  

 −⋅−

 

  

 −−=

 

  

 −= f y v 

 

  

 −−=

4

11,

2

3V 

Im

 

 −∞−=

4

11,

I.C. =  

  

 −∞−

2

3, I.D. =

 

  

 ∞+− ,

2

3

Los puntos i) y j) les quedan a ustedes, ya que se hacen de la misma forma que todos los quehemos hecho.

Ejercicio 16Elegir entre...

Para resolver este ejercicio vamos a puntualizar ciertas características de la función cuadrática:

c bx ax  x f y  ++== 2)(

• La intersección de la función con el eje y se obtiene reemplazando x = 0 en la ecuación:

y = f (0) = c 

Luego, si c es positivo el gráfico cortará al eje y debajo del eje de las x , en tanto que si es negativolo hará por arriba.

• La concavidad de la parábola depende del sigo de a:

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19

a > 0 (cóncava hacia arriba) a < 0 (cóncava hacia abajo)

Teniendo estas 2 cosas en cuenta:

44)( 21 +−= x  x  x f  ⇒ gráfico iv.

23

2

3

1)( 2

2 −−= x  x  x f  ⇒ gráfico iii.

33)( 23 −+−= x  x  x f  ⇒ gráfico i.

2122)( 24 −+−= x  x  x f  ⇒ gráfico ii.

Ejercicio 17Hallar los ceros, el conjunto......

0C  representa gráficamente el conjunto de puntos donde la función corta al eje  x .

+C  representa los valores de  x para los cuales la función cae por arriba del eje  x .

−C  representa los valores de  x para los cuales la función cae por debajo del eje  x .

a)  ( )( )523)( +−−= x  x  x f 

La función cuadrática ya está factorizada,por ende los ceros son:

{ }2,50 −=C 

 Además como a es negativo (a = −3), la parábolaes cóncava hacia abajo. Por lo tanto,

( ) ( ) ( )∞+∪−∞−=−= −+ ,25,2,5 C C 

 x x

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21

e) 352)( 2 +−−= x  x  x f 

Buscamos los ceros:

4

495

2

42

±=

−±−

a

c abb

de donde:

−=

2

1,30C 

Como a es negativo,

( )

 

 

 

 ∞+∪−∞−=

 

 

 

 −= −+ ,

2

13,

2

1,3 C C 

Ejercicio 18 Analítica y gráficamente.....

a) 1572)( 2 −+= x  x  x f  13)( += x  x g 

Los puntos de intersección son aquellos en los que las funciones toman el mismo valor; o sea;donde )()( x g  x f  =

Igualando ambas funciones obtenemos:

01642131572 22 =−+↔+=−+ x  x  x  x  x 

Resolviendo la cuadrática se obtiene:

20 = x  41 −= x 

Esas son las abscisas de los puntos deintersección. Las ordenadas salen de hacer:

( ) ( ) 7123200 =+⋅=== g  x g y 

( ) 111)4(3)4(11 −=+−=−== g  x g y 

Luego, los puntos de intersección son:

( )7,2=P  ( )11,4 −−=Q

b) 753)( 2 −+= x  x  x f  87)( +−= x  x g 

01512387753)()( 22 =−+↔+−=−+↔= x  x  x  x  x  x g  x f 

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22

Resolviendo la cuadrática se obtiene:

10 = x  51 −= x 

de donde, como antes:

( ) 187)1(00 =+−=== g  x g y 

( ) 438)5(7)5(11 =+−−=−== g  x g y 

Luego, los puntos de intersección son:

( )1,1=P  ( )43,5−=Q

c) 92)(953)( 2 +=−+−= x  x g  x  x  x f 

→=−+−↔+=−+−↔= 0183392953)()( 22  x  x  x  x  x  x g  x f 

⇒−

−±−=

−−−±−=

6

2074

6

)18()3(493 x 

No tiene solución

Las funciones no se cortan 

Ejercicio 19Hallar las funciones.....

a) Si el vértice es el punto (3, 5), la función (escrita en forma canónica) será de la forma:

( ) 53)(2+−= x a x f 

Si además pasa por el punto (2, 3), esto nos permite calcular a. Reemplazando:

( ) 25323)2(2

−=⇒+−== aaf 

La función buscada es entonces:

( ) 532)(2+−−= x  x f 

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23

b) Como me dan los ceros, nos conviene trabajar en forma factorizada. Si { } ⇒−= 4,30C 

( )( )43)(−+=

x  x a x f 

Si Im = [2, +∞), nos están diciendo que la coordenada y del vértice es 2. Para hallar la coordenadax del mismo, sabemos que el vértice se halla siempre a medio camino entre las dos raíces. Por lotanto,

2

1

2

43

221 =

+−=

+=

x  x  x v 

Como el vértice tiene coordenadas  

  

 2,

2

1, reemplazándolo en la función podemos hallar a:

49

84

2

13

2

12

2

1−=⇒

 

  

  − 

  

  +== 

  

 aaf 

La función buscada es entonces:

( ) ( )4349

8)( −+−= x  x  x f 

c) Si el C + = (2, 8), esto implica que 2 y 8 son los ceros de la función. Luego, como antes:

( ) ( )82)( −−= x  x a x f 

Si Im = (−∞, 1], nos están diciendo que la coordenada y del vértice es 1. Como:

52

82

221 =

+=

+=

x  x  x v  ⇒ v = ( )1,5

Reemplazándolo en la función:

( ) ( )( )9

1852515 −=⇒−−== aaf 

La función buscada es entonces:

( )( )829

1)( −−−= x  x  x f 

Ejercicio 20Un artesano hace cajas...

Hacemos primero un esquema:

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24

   x   y 

  y 

Llamamos y al lado cuadrado de la base, y x a la altura. Según el enunciado, y = 2 x 

Calculemos primero el área total (caras laterales más base más tapa)

222 16)2(22424 x  x  x  x y  xy  A =⋅+⋅=+=

Como el costo de la placa es $5 el metro cuadrado, el costo debido a la madera usada será:

22 80165 x  x  =⋅

 Ahora debemos contar la cantidad de aristas de la figura y su longitud, porque van cubiertas devarillas. Observando el gráfico:

 x  x  x  x y L 2041648 =+=+=

Como el costo de las varillas es $0.2 por metro, el costo en varillas será:

 x  x  4202.0 =⋅

Igualando el costo total a $4, tenemos:

0120044804480 222 =−+⇒=−+⇒=+ x  x  x  x  x  x 

Resolviendo resulta:5

1= x  = 0.2

La altura de la caja debe ser de 20 cm y los lados de la base de 40 cm.

Ejercicio 21Dos fabricantes...

a) Las ganancias vienen dadas por:

13)(34)( 22

1 −=−+−= x  x  p x  x  x  p

Graficamos ambas:

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25

b) Para que ambos productores obtengan la misma ganancia, debemos igualar ambas funcionesbeneficio.

⇒= )()( 21 x  p x  p

01031334 22 =++−↔−=−+− x  x  x  x  x 

Resolviendo esta ecuación cuadrática que nos ha quedado, se obtiene: x 1 = –2 y  x 2 = 5

Como la variable  x  representa una cantidad de mercadería, el valor –2 se descarta. Enconsecuencia, deben producir 5 mil toneladas para obtener la misma ganancia (pérdida enrealidad).

Ejercicio 22Un proyectil se dispara verticalmente.......

Para resolver este ejercicio conviene graficar a la función )(t  s que representa la altura del proyectil

en función del tiempo.

01109,41109,4)( 2 ==−=+−= c bat t t S

coordenadas del vértice: 22,118,9

110

2==−=

a

b x v 

Reemplazando: ( ) 85,61622,11 == Sy v 

Ceros.

( ) 001109,40110940)( 2 =→=+−↔=+⋅−→= t t t t t t S

→ 45,22=t 

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a) El proyectil asciende para tiempos comprendidos entre 0 y 11,22 segundos.El proyectil desciende entre 11,22 seg. y 22,45 seg.

b) La altura máxima corresponde a la coordenada vertical del vértice: m85,616max =S

La altura máxima se da exactamente a los 11,22 segundos.

c) Cuando el proyectil llega al suelo, su altura vale cero. Luego, el tiempo que demora en llegar alsuelo es un cero de la función: 22,45seg.

d) La ecuación de la altura del proyectil en función del tiempo es: 501109,4)( 2 ++−= t t t S

Te queda como ejercicio resolver a, b y c para esta función nueva.

Ejercicio 23Un constructor...... l 

Consideremos una ventana rectangular de lados l  y  x .

El perímetro del corral es  x l P  22 += x 

El área del corral es  x l  A .=

Los 3.2 m de alambre se emplean para cercar el perímetro del corral.

Luego, [ ]16.12.322 x l  x l  −=→=+

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27

La función área es:  x l  A .=   [ ]2

Poniendo [1] en [2] queda: ( ) x  x  x  A −= 6.1)( que es una función cuadrática.

Los ceros de esta función son: 0= x  y 6.1= x 

Como el máximo de una función cuadrática esta en su vértice:

8.02

21 =+

=x  x 

 X v 

Luego, para que el área sea máxima debe ser  m8.0= x 

m8.0m8.0m6.1 =−=l 

La base y la altura del corral deben ser iguales a 0.8 metros (debe ser un cuadrado) para que el

área sea máxima.

Ejercicio 24Encontrar el punto...

Todo punto (x, y) de la recta, es de la forma:

)13,(),( −= x  x y  x 

Planteamos la fórmula de la distancia entre este punto genérico de la recta y P = (4, 1).

[ ] 22222 )23()4()113(4 −+−=−−+−= x  x  x  x d 

Si la distancia es mínima, también lo será la distancia al cuadrado. Luego, desarrollamos d2 ybuscamos el mínimo, que estará localizado en el vértice.

2020104129168 2222 +−=+−++−= x  x  x  x  x  x d 

El vértice será: 1102

)20(

2=

−−=−=

a

b x v 

Una vez hallada x , reemplazamos en la recta:

2113 =−⋅=y  ⇒ El punto buscado es ( )2,1=P 

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FUNCIONES POLINÓMICAS

Ejercicio 25Dada f ( x ) =..............

a) Como )( x f  corta al eje x en el punto ( )0,3 , eso significa que 3= x  es una raíz de.

Si además primeramente factorizamos el polinomio dado, sacando factor común x :

( )1815218152)( 23234 −−+=−−+= x  x  x  x  x  x  x  x  x f 

Para hallar las otras raíces, factorizamos al segundo factor, dividiéndolo por  3− x  usando Ruffini:

2 1 -15 -18

3 6 21 18

2 7 6 0

obteniéndose 0=r  (resto)

672)( 2 ++= x  x  x C    → cociente.

de donde: ( ) 6723)( 2 ++⋅−⋅= x  x  x  x  x f 

Factorizamos ahora a la cuadrática obteniendo:

=±−

=⋅

⋅⋅−±−=↔=++

2

3

2

4

17

22

6244970672 2  x  x  x 

Luego, se puede escribir  ( )  

  

 +⋅+⋅=++

2

322672 2  x  x  x  x 

Por lo tanto el polinomio )( x f   factorizado es:

( ) ⋅−⋅= 32)( x  x  x f  ( )  

  

 +⋅+

2

32 x  x 

sus raíces o puntos donde f  corta al eje  x son:2

3,2,3,0 −=−=== x  x  x  x 

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29

Ejercicio 26a) Hallar una función...

a) Nos dan las 3 raíces, luego una función (entre las infinitas) que cumpla lo pedido sería:

( )( )  

  

 ++−=

2

113)( x  x  x  x f 

b)  ( ) ( )2

45

2

951

2

141434)4( =⋅⋅=

 

  

 +⋅+⋅−=f 

c) Ahora nos piden hallar g , con las mismas raíces de f , pero que cumpla g (4) = 5. Planteamos:

( )( )  

  

 ++−⋅=

2

113)( x  x  x a x g 

 Ahora usamos que g (4) = 5,

( )( ) aag 2

45

2

141434)4(5 =

 

  

 ++−⋅==

despejando,9

2=a

Luego, ( )( )  

  

 −+−⋅=

2

112

9

2)( x  x  x  x g 

Ejercicio 27Hallar una función polinómica..........

a) Proponemos nuevamente como solución la forma factorizada de un polinomio de grado 3:

( )( )( )210)( x  x  x  x  x  x a x f  −−−⋅= donde 210 x x x ,, son las 3 raíces del polinomio.

( )( )  

  

 −−+⋅=∴

2

313)( x  x  x a x f  con a ∈ IR − {0}

El dato adicional que nos dan: 9)2( =−f  sirve para fijar el valor de a:

( )( ) ↔ 

  

 −−−−+−=⇒=−

2

32123299)2( af 

7

6

2

7)3(19 =↔

 

  

 −⋅−⋅⋅= aa

( ) ( )  

  

 −⋅−⋅+=∴

2

313

7

6)( x  x  x  x f  es la función buscada.

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30

Ejercicio 28

Sea IRIR→

: f   una función continua que corta al eje.......

Para resolver este ejercicio, conviene graficar primero a esta función continua a partir de la tabla devalores dada.

El gráfico que corta al eje  x en tres puntos solamente 210 x x x ,,

a) Para resolverlo empleamos el

Teorema de Bolzano: si  f   es una función continua en el intervalo [a,b] y 0)()( <⋅ bf af 

entonces existe al menos un punto ( )bac c  ,, ∈ tal que 0)( =c f  .

05)3( >=−f 

01)1(

01)2(

<−=−

>=−

f   ⇒ por Bolzano existe ( ) ( ) 0/1,2 00 =−−∈ x f  x 

02

3)0( >=f    ⇒ Por Bolzano existe ( ) ( ) 0/0,1 11 =−∈ x f  x 

02

5)1( >=f 

02

3)3(

02)2(

<−=

>−=

  ⇒ Por Bolzano existe ( ) ( ) 0/3,2 22 =∈ x f  x 

b) En ( ) f 1,0 es positiva En ( ) f 1,−−∞ cambia de signo

En ( ) f 2,1 es positiva En ( ) f +∞,4 es negativa

En ( ) f 3,1 cambia de signo En ( ) f 0,2− cambia de signo (2 veces)

 x 

- 1 1 2 3

0

0 x 1 x

2 x

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32

Un producto de números reales es igual a cero si y solo si cada uno de ellos es cero; es decir:0=⋅ba si y solo si 00 == bóa

Luego, podemos asegurar que 04052013 =−=−=+ x ó x ó x  de donde,

despejando  x en cada ecuación:

−=→==−= 4,

2

5,

3

14

2

5

3

10C  x  x  x 

 Ahora estudiamos el signo de  f  en cada intervalo que queda definido:

( )∞+ 

  

  

  

 −

 

  

 −∞− ,44,

2

5

2

5,

4

1

3

1,

Lo hacemos evaluando )( x f  en un punto arbitrario de cada intervalo:

f f   

  

 −∞−→<−

 

  

 −∞−

3

1,en0)2(

3

1, es negativa

f f   

  

 −→>

 

  

 −

2

5,

3

1en0)0(

2

5,

3

1es positiva

f f   

  

 →<

 

  

 4,

2

5en0)3(4,

2

5es negativa

( ) ( ) f f ∞+→>+∞

,4en0)6(,4 es positiva

Luego,

( )∞+∪ 

  

 −=+ ,4

2

5,

3

1C   

 

  

 ∪

 

  

 −∞−=− 4,

2

5

3

1,C 

b) ( )232)( −= x  x  x f 

Ceros:

00)( =→= x  x f 

 2

3032 −=→=+→ x  x 

Recordando que A2

= 0⇔ A = 0

−= 0,

2

30C 

Positividad y negatividad:

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36

( )

( ) 0)3(,1

0)0(1,

>→∞+

<→∞−

( ) ( )1,,1 −∞=∞+= −+ C C 

h) 158)( 24 +−= x  x  x f 

Ceros

Para hallar las raíces de )( x f   conviene definir a la nueva variable 2 x u =   ( ) 4222  x  x u ==⇒

quedando:

228

215146480158158 224 ±=⋅⋅−±=→=+−=+− uuu x  x 

de donde: 35 == uu

Para volver a la variable x hacemos

555 2 −==→= x ó x  x 

333 2 −==→= x ó x  x 

con lo cual

}5,3,3,50 −−=C 

 

Construyendo los intervalos y haciendo lo mismo que antes resulta:

( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−=+ ,53,35,C  ( ) ( )5,33,5 ∪−−=−C 

Ejercicio 31Un meteorólogo halló que la temperatura...

a) Conocemos la expresión de la temperatura en función del tiempo

( )( ) 240241205,0)( ≤≤−−= t t t t t F 

Para hallar positividad y negatividad de esta función buscamos primero sus ceros:

( )( ) 00241205,00)( =↔=−−↔= t t t t t F  12=t  24=t 

{ }24,12,00 =C 

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38

Para resolver este ejercicio se emplea el teorema de Bolzano que ya hemos enunciado.

a) 0)1()0(0100)0( <⋅→<−+= f f f 

0131)1( >−+=f 

y como f es un polinomio es una función continua y por Bolzano tiene una raíz en ( )1,0

( ) 0)(/1,0 =∈∃ c f C 

b) y c) se hacen de la misma forma

Ejercicio 33 Aproximar, con error menor................

Para resolver este ejercicio usamos el teorema de Bolzano. Primero calculamos:

3)0(,2)1( =−=− f f 

Como tienen distinto signo, entonces podemos afirmar que f  se anula en el intervalo (−1, 0), esdecir allí tiene un cero.

Para mejorar la aproximación, tomamos el punto medio del intervalo: −0.5, y hallamos:( ) 5.15.0 =−f 

Como 2)1( −=−f  y ( ) 5.15.0 =−f  esto implica que f  se anula en ( )5.0,1 −−

 Ahora hallamos el punto medio de este nuevo intervalo y volvemos a hacer lo mismo, tomandoahora el punto medio entre −1 y −0.5, observando en qué intervalo la función cambia de signo.

Se continúa así sucesivamente, hasta que la longitud del intervalo sea menor que 01.0 , lo cual

nos garantiza que hallamos un cero de f  con error menor que 0.01. Les quedan a ustedes lascuentas.

b) y c) se resuelven de la misma forma.

Ejercicio 34Se sabe que el gráfico ...

Como el polinomio es de grado 4, sacamos primero factor común,

( )483483)( 23234 +−+⋅=+−+= x  x  x  x  x  x  x  x  x f 

Como f (−2) = 0, sabemos que x = −2 es raíz de f . Por lo tanto, f será divisible por  x + 2.

 Aplicando Ruffini:

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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Matemática

CBCPráctica 3(Actualizada)

Cátedra: Gutiérrez

• Límite De Funciones

• Asíntotas

• Funciones Homográficas

• Composición de Funciones

• Función Inversa

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1Si n o s p ro bás, a p ro bás.

LÍMITE DE FUNCIONES

Ejercicio 1. A partir...

Para resolver este ejercicio debemos estudiar el comportamiento de las funciones dadas paravalores de la variable  x  muy grandes en valor absoluto, muy positivos y muy negativos.Gráficamente, esto implica analizar hacia donde tiende la función bien a la derecha y bien a laizquierda en el gráfico.

i. Cuando x es muy grande ( x  → +∞) observamos que la gráfica de la función se acerca cada vezmás al eje x (y = 0). Entonces escribimos:

0)(lim =∞+→

 x f  x 

Cuando x toma valores muy negativos ( x  → -∞), se observa el mismo comportamiento. Por lo tantodecimos:

0)(lim =∞−→

 x f  x 

ii.1)(lim =

∞+→ x f 

 x 

1)(lim −=∞−→

 x f  x 

iii.∞−=

∞+→)(lim x f 

 x 

0)(lim =∞−→

 x f  x 

iv.∞+=

∞+→)(lim x f 

 x 

2)(lim −=∞−→

 x f  x 

v. Esta función tiene un comportamiento oscilante en todo su dominio.

Decimos entonces que )(lim x f  x  ∞+→

no existe y que )(lim x f  x  ∞−→

tampoco existe

vi. −∞=∞+→

)(lim x f  x 

∞−=∞−→

)(lim x f  x 

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2Si n o s p ro bás, a p ro bás.

Ejercicio 2.Calcular los siguientes límites:

Enunciamos primero algunas propiedades importantes de los límites de funciones:

1) El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de cada una:

[ ] )(lim)(lim)()(lim x g  x f  x g  x f a x a x a x  →→→

+=+

2) El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una:

[ ] )(lim.)(lim)(.)(lim x g  x f  x g  x f a x a x a x  →→→ =

3) El límite del cociente de dos funciones es igual a la división de los límites de cada una,suponiendo que el límite del denominador es distinto de cero.

a x 

a x 

a x  x g 

 x f 

 x g 

 x f 

→=

)(lim

)(lim

)(

)(lim

a) 011

lim =∞

−=

∞+→ x  x 

b) 01000

lim3

=∞+→ x  x 

Se resuelven recordando que 01

lim =∞+→ x  x 

y en general 001

lim >=∞+→

r con x r  x 

c)  =+∞−→ 3

lim x 

 x 

 x 

Para resolver este límite, nos conviene dividir numerador y denominador por  x :

= 13

lim101

1

31

1lim

3

1lim =

+→=

+=

+

=+ ∞−→∞−→∞−→ x 

 x 

 x  x 

 x  x  x  x 

  ↓0

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4Si n o s p ro bás, a p ro bás.

 j) =+

+−

−∞→ 7

2lim

2

3

 x 

 x 

 x Dividimos numerador y denominador por  x 

2

=−=

+

+−=

+

+−

−∞→−∞→−∞→ x 

 x 

 x  x 

 x 

 x 

 x  x  x lim

71

2

lim7

2lim

2

2

2

3

−∞

Ejercicio 3.Hallar el valor…

a) Dividimos numerador y denominador por  x :

2−=

+

+−=

+

+−

∞+→∞+→

 x a

 x  x a

 x 

 x  x  1

52

lim1

52lim Como este límite debe ser igual a

2

3resulta:

3

4−=⇒=− a

a 2

32

b) Dividimos numerador y denominador por  x 2:

a =

−+=

−+

∞+→∞+→

2

2

2

2

52

13

lim52

13lim

 x 

 x  x a

 x 

 x ax 

 x  x Como este límite debe ser igual a

5

4− resulta:

5

8−=⇒−= a

a

5

4

2

Ejercicio 4.Dados los siguientes....

a. Se observa del gráfico que a medida que  x  se acerca a –2 por la izquierda, la gráfica de lafunción decrece indefinidamente

∞−=−−→

)( x f lim x  2

∞+=+−→

)( x f lim x  2

Si me acerco a -2 por la derecha, f  se hace tan grande como queramos.

1=+∞→

)( x f lim x 

a medida que  x  crece, f  tiende a 1

1=−∞→

)( x f lim x 

pues si  x  → -∞  f  se acerca a 1

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7Si n o s p ro bás, a p ro bás.

b)1

23lim

1 +−

++→ x 

 x 

 x 

Observen que en 1 el denominador se anula.

Cuando x  → 1+, x toma valores cercanos a 1

y mayores que 1. Esto significa:

  x > 1 ↔ – x + 1 < 0y como el numerador tiende a 5> 0,

−∞=+−

++→ 1

23lim

1 x 

 x 

 x 

Por lo tanto,

+∞=+−

+−→ 1

23lim

1 x 

 x 

 x 

c)  

 

 

 

++→1

1lim 2

0 x  x 

El denominador se anula en cero, ycomo en ambos casos está elevadoal cuadrado,

+∞= 

  

 +=

 

  

 +

−+ →→1

1lim1

1lim

20

20 x  x  x  x 

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9Si n o s p ro bás, a p ro bás.

+∞=−

−∞=−

+

 x 

 x 

14lim

14lim

0x

0x

0=⇒ x  es A.V.

Calculando los límites en ±∞, resulta:

41

4lim1

4limxx

=−=−∞−→∞+→ x  x 

Luego, y = 4 es A.H.

b) 7)3(

2)(

2−

−=

 x  x f 

 Asíntota vertical: 3= x

 Asíntota horizontal: 7−= y

c) 4

3)(

2 −=

 x 

 x  x f 

 Asíntotas verticales: 2−= x  , x = 2

 Asíntota horizontal: 0=y 

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12Si n o s p ro bás, a p ro bás.

FUNCIONES HOMOGRÁFICAS

Ejercicio 12Para cada una..........

a) 1

1)(

−=

 x  x f  ⇒ Dom f = IR − {1} Im f = IR − {0}

Como el numerador de la función es definido positivo, la función dada será positiva (negativa)cuando x  − 1 sea positivo (negativo). Luego,

)1,(),1( −∞=∞+=−+

C C 

  x = 1 es A.V.

y = 0 es A.H.

  1

b) 3

4)(

+−=

 x  x f  ⇒ Dom f = IR − {−3} Im f = IR − {0}

Este es semejante al anterior, pero la funciónestá desplazada 3 unidades a la izquierda einvertida respecto a la anterior. Luego,

)3,(),3( −−∞=∞+−= +− C C 

 x = −3 es A.V.

y = 0 es A.H.

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13Si n o s p ro bás, a p ro bás.

c) 31

2)( +

+=

 x  x f  ⇒ Dom f = IR − {−1} Im f = IR − {3}

 x = −1 es A.V.

y = 3 es A.H.

Para hallar poditividad y negatividad,igualamos la función a cero:

3

51

3

23

1

203

1

2−=⇒+=−⇒−=

+

⇒=+

+

x  x 

 x  x 

Luego, aplicando el teorema de Bolzano en los intervalos determinados (recuerden que hay quecortar en la asíntota vertical también, además de en las raíces), resulta (ver gráfico):

( )  

  

 −−=∞+−∪

 

  

 −∞−= −+ 1,

3

5,1

3

5, C C 

d) 212

5)( −

−=

 x  x f  ⇒ Dom f = IR − 

2

1Im f = IR − {−2}

de donde,

 x =2

1es A.V.

y = −2 es A.H.

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15Si n o s p ro bás, a p ro bás.

Ejercicio 13a) Sea....

a) Aquí nos dan la función:

ba x 

 x f  −+

=3

)(

Cuando la función homográfica viene expresada en la forma: C B x 

 A x f  +

+=)(

se pueden identificar de forma inmediata las asíntotas:

B x  −= es A.V.

C y = es A.H.

Luego, en nuestro caso:

a x  −= es la A.V., con lo cual según el enunciado:

11 =⇒−=− aa

Por otro lado,

by  −= es la A.H.. Comparando,

2

3

2

3−=⇒=− bb

b) Aquí,1

2)(

+=

bx 

ax  x f 

Si 2

1

= x  es un cero de la función, el numerador debe anularse para ese valor de x . Luego,

422

022

1−=⇒−=⇒=+⋅ a

aa

con lo cual, hasta ahora:

1

24)(

+−=

bx 

 x  x f 

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17Si n o s p ro bás, a p ro bás.

c(t)

0

0.1

0.2

Ejercicio 15Hacia un tanque fluye........

La función )(t c  que da la concentración de sal al tiempo t  es una función homográfica. Su gráfico

es:

Se observa del gráfico que a medida que t  tiende a más infinito ( )+∞→t  , la función se acerca

cada vez más a la asíntota horizontal. Eso significa que esperando el tiempo suficiente laconcentración de sal en el agua será:

10

1=c 

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18Si n o s p ro bás, a p ro bás.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Ejercicio 16Dadas las funciones...

 Aquí nos dan: 42

1)(1)(32)( 2 +

−=+=−=

 x  x h x  x g  x  x f 

( ) ( ) ( ) ( ) 123121)()( 222 −=−+⋅=+== x  x  x f  x g f  x g f o

( ) ( ) ( ) ( ) 101241912413232)()( 222 +−=++−=+−=−== x  x  x  x  x  x g  x f g  x f g o

( ) ( ) 52

234

2

124

2

1)()( +

−=−

 

  

 +

−=

 

  

 +

−==

 x  x  x f  x hf  x hf o

( ) ( ) ( ) 425

14

)32(2

132)()( +

−=+

−−=−==

 x  x  x h x f h x f h o

( ) ( ) 172

8

)2(

114

2

14

2

1)()(

2

2

+−

+−

=+ 

  

 +

−=

 

  

 +

−==

 x  x  x  x g  x hg  x hg o

( ) ( ) ( )( )

41

14

12

11)()(

22

2 +−

=++−

=+== x  x 

 x h x g h x g h o

( ) ( ) 4

22

1

14

22

1

14

42

12

14

2

1)()( +

+−

−=+

−−

=+

 

  

 +

−−

  

 +

−==

 x  x  x 

 x h x hh x hh o

Ejercicio 17a) La relación funcional...

Debemos hallar aquí una función lineal y = f(x) que relacione la temperatura en grados Kelvin ( x )con la temperatura en grados Celsius (y ).

De acuerdo a los datos, se verifica que:

f (273) = 0 f (300) = 27

Esto implica que la función lineal pasa por los puntos P = (273,0) y Q = (300,27)Luego,

2730)273(273300

027)( −=⇒+−

−= x f(x) x  x f  es la función buscada

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19Si n o s p ro bás, a p ro bás.

b) La función...

Nos dan aquí la función que expresa la temperatura en grados Farenheit conocida la misma engrados Celsius, y queremos encontrar la expresión de la temperatura en Farenheit en función de latemperatura en Kelvin.

Partimos entonces de las funciones:

f(x) = x – 273 Kelvin → Celsius

g(x) = 1.8 x + 32 Celsius → Farenheit

Para obtener entonces la función que nos de la temperatura en Farenheit conocida la misma enKelvin, componemos ambas funciones:

( ) 4.4598.132)273(8.1)273()()( −=+−=−== x  x  x g  x f g  x h

Luego, la función pedida es:

459.41.8 −= x h(x) que es también una función lineal

Ejercicio 18Sean...

 Aquí nos dan:

52

2)(y4)(

+−

+=+=

 x 

 x  x g ax  x f 

Tenemos que hallar a para que la composición 1)1( −=f g o

Luego,

4)1( += af 

Componiendo,

32

6

5)4(2

24)4()1(

−−

+=

++−

++=+=

a

a

a

aag f g o

Igualando esta expresión a −1, y despejando:

3326132

6=⇒+=+⇒−=

−−

+aaa

a

a

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23Si n o s p ro bás, a p ro bás.

b) IR}1{IR:1

1)( →−

−= f 

 x  x f 

11

)(111

11

1)( 1 +=→+=↔=−↔

−== −

 x  x f 

y  x 

y  x 

 x  x f y 

( ) }0{IRDom 1 −=−f 

c. IR}2{IR:2

34)( →−−

+

−= f 

 x 

 x  x f 

4

32)(

4

3232)4(324

34234)2(2

34

1

+−=→

−−=↔−−=−↔−−=−

↔−=+↔−=+↔+

−=

 x 

 x  x f 

y  x y y  x y  x yx 

 x y yx  x  x y  x 

 x y 

}4{Dom 1 −ℜ=−f 

d. [ ) IR,0:56)( 2 →∞+−= f  x  x f 

Como la función cuadrática no es biyectiva, nos han restringido el dominio. Veremos dónde está ladiferencia con el ítem posterior.

6

556 22 +

=↔−=y 

 x  x y 

 Aplicando raíz cuadrada a ambos miembros,

6

5+=

y  x 

la cual tiene dos soluciones de acuerdo al dominio que hayamos elegido. Luego,

d)  ( ) [ )∞+−=+

= −− ,5Dom6

5)( 11 f 

y  x f 

e)  ( ) [ )∞+−=+

−= −− ,5Dom6

5)( 11 f 

y  x f 

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24Si n o s p ro bás, a p ro bás.

Ejercicio 22La función...

a) Recordemos...

La función  f(x) = 1.8 x + 32nos da la temperatura en Farenheit conocida la misma en Celsius.

Si el papel arde a 451°F, la correspondiente temperatura en Celsius se obtiene haciendo:

451 = 1.8 x + 32↔ 419 = 1.8 x  ↔ x = 232.7°C

Luego, el papel arde a 232.7°C

b) Dar la función que permite...

Nos piden aquí encontrar la inversa de la función

 y = f(x) = 1.8 x + 32

Para ello, despejaremos x como función de y :

y = 1.8 x + 32 ↔   y  – 32 = 1.8 x ↔8.1

3−=

y  x 

La inversa (se escribe siempre como función de x ) es entonces:

81

321

.

 x (x)f y 

−== −

Ejercicio 23Sean...

Si

25

1)(3)(

+−=+−=

 x 

 x  x g y  x  x f 

( ) x 

 x 

 x 

 x  x g  x f g  x h

513

2

2)3(5

1)3(3)()(

−=

−+−

++−−=+−== o

Luego,

5

13= x  es A.V.

5

1−=y  es A.H.

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7Si nos probás, aprobás.

La solución general de la ecuación dada es entonces:

  π 

π 

k  x  24 += con Z k ∈o

  π π  k  x  24

7+= con Z k ∈

Planteando nuevamente en cada caso para que la solución caiga dentro del intervalo [ ]π π  ,2− ,:

π π π 

π π π  ≤+≤−↔≤≤− k  x  24

22

y despejando los valores de enteros de k que verifican lo anterior, resulta: 0,1−=k 

si 1−=k    π 4

7−=→ x 

si 0=k   4

π =→ x 

Por el otro lado,

π π π π π π  ≤+≤−↔≤≤− k  x  24

722

y despejando k ,

si π 4

11 −=→−= x k 

Luego,

−−= π π π 

4

1

4

1

4

7,,S 

c) 

1)(sen −= x 

Las soluciones de esta ecuación son de la forma: π π  k  x  22

3+=

1,0,14

5

4

7

2

52

2

72

2

322

−=⇒≤≤−⇔

≤≤−⇔≤+≤−⇔≤≤−

k k 

k k  x  π π π π π π π π π 

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13Si nos probás, aprobás.

π 6

52 −=⇒−= x k  π 

3

22 −=⇒−= x k 

π 311 −=⇒−= x k  π 

611 −=⇒−= x k 

π 6

10 =⇒= x k  π 

3

10 =⇒= x k 

π 3

21 =⇒= x k  π 

6

50 =⇒= x k 

Luego,

 

 ∪

 

  

 ∪

 

  

 −∪

 

  

 −−∪

 

 

−−=+

π π π π π π π π π π  ,6

5

3

2,

3

1

6

1,

6

1

3

1,

3

2

6

5,C 

 

 

 

 

∪ 

 

 

 

∪ 

 

 

 

−−∪ 

 

 

 

−−=−

π π π π π π π π  6

5

3

2

3

1

6

1

6

1

3

1

3

2

6

5,,,,C 

h) Les queda para ustedes.

Ejercicio 5Sea....

Igualando la función a −2 y despejando:

π π  k  x  x  x  2212cos212cos3 +=⇒−=⇒−=+

de donde

π π 

k  x  +=2

Probando con los valores de k ,

21

π −=⇒−= x k 

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14Si nos probás, aprobás.

20

π =⇒= x k 

π 231 =⇒= x k 

Luego,

−= π 

π π 

2

3,

2,

2S (ver gráfico)

Ejercicio 6Sea....

Igualando la función a 1 y despejando:

2

2

2

1)2(sen1)2(sen22 ==⇒=− x  x 

de donde,

+=⇒+=

+=⇒+=

π π π π 

π π 

π π 

k  x k  x 

k  x k  x 

8

32

4

32

82

42

Probando con los valores de k para que x   [ ]π 2,0∈

En el primer caso: En el segundo caso:

π 8

10 =⇒= x k  π 

8

30 =⇒= x k 

π 8

91 =⇒= x k  π 

8

111 =⇒= x k 

En consecuencia,

= π π π π 8

11,

8

9,

8

3,

8

1S

Ejercicio 7Determinar el valor...

Si f tiene un cero en6

π , 0

6=

 

  

 π f  . Luego, reemplazando,

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15Si nos probás, aprobás.

25.0

11

6

7sen01

6sen =

−−

=−= 

  

 ⇒=+

 

  

 + aaa π π 

π 

Por lo tanto,

1)(sen2)( ++= π  x  x f 

 Ahora debemos igualar a cero, y despejar:

2

1)(sen

01)(sen2

−=+

⇒=++

π 

π 

 x 

 x 

de donde,

+=⇒+=+

+−=⇒+−=+

π π π π π 

π π π π 

π 

k  x k  x 

k  x k  x 

26

12

6

7

26

72

6

Probando con los valores de k ,para que x   [ ]π ,−∈ resulta:

= π π 

65,

61S

Ejercicio 8Para cada función...

 Aquí debemos analizar máximos y mínimos de cada función (lo haremos en todo su dominio)recordando siempre que:

1cos11sen1 ≤≤−≤≤− x  x 

a)   x  x f  sen2

1)( =

Esta función alcanzará su máximo (mínimo) cuando el seno sea máximo (mínimo), ya que

1sen1 ≤≤− x  Multiplicando todo por ½

2

1sen

2

1

2

1≤≤− x 

Luego,

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19Si nos probás, aprobás.

c)  ( )π −−= x  x f  2cos)(

Im = [ ]1;1−

 Amplitud = 1

Período = π 

d)  ( )kx  x f  sen2)( =

Im = [ ]2;2−

 Amplitud = 2

Período =k 

π 2

Ejercicio 10Sea f ( x ) =....

Nosotros sabemos que:

1)2(cos1 ≤−≤− π  x 

Luego,

bb x b x  +−≥+−−≥+⇒−≥−−≥ 2)2(cos222)2(cos22 π π 

 Ahora, como nos dicen que Im f = [1; 5]

312

352

=⇒=+−

=⇒=+

bb

bb

 Ahora buscamos ( ) 10 = x f 

1)2(cos2)2(cos213)2(cos2 =−⇒−=−−⇒=+−− π π π  x  x  x 

de donde,

02 =−π  x  (nos piden sólo un valor y sabemos que cos 0 = 1)

Despejando,

20

π = x 

 Ahora buscamos ( ) 51 = x f 

1)2(cos2)2(cos253)2(cos2 −=−⇒=−−⇒=+−− π π π  x  x  x 

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20Si nos probás, aprobás.

de donde,

π π  =− x 2 (nos piden sólo un valor y sabemos que cos π = 1)

Despejando,

π =1 x 

Ejercicio 11El péndulo........

a) ( )t t S π 4sen5)( =

b) i)3

4=t  seg

2

35

3

16sen5

3

44sen5s

3

4−=

 

  

 =

 

  

 ⋅=

 

  

 π π S

ii) 2=t  seg ( ) ( ) ( ) 08sen524sen5s2 ==⋅= π S

ii)8

17=t  seg 5

8

174sen5

8

17=

 

  

 ⋅=

 

  

 π S

c) Como se observa de la expresión de )(t S , la amplitud vale cm5= A y por lo tanto la separación

máxima es 5 cm.

d) Para calcular los instantes en que el péndulo alcanza la distancia máxima hacemos:

( ) π π 

π π π  k t t t t S 22

414sen5)4(sen55)( +=↔=↔=→=

..........3,2,1,028

1=+=→ k 

k t 

s(t)

0

0.5 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

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23Si nos probás, aprobás.

c) 2)( += − x e x f 

El gráfico es el de  x e invertido respectoal eje y , y desplazado 2 unidades haciaarriba.

( )+∞= ,2)Im(f 

 Asíntota horizontal: 2=y 

Ejercicio 14Calcular...

Para calcular los límites pedidos le damos a x valores muy grandes tanto negativos como positivos,recordando que:

+∞=+∞→

α 

α elim 0lim =

−∞→

α 

α e

)10(0lim

)1(lim

<<=

>+∞=

+∞→

+∞→

aa

aa

α 

α 

α 

α 

)10(lim

)1(0lim

<<+∞=

>=

−∞→

−∞→

aa

aa

α 

α 

α 

α 

a) 2

)( x e x f  −=

0lim2

=−

+∞→

 x 

 x e

0lim2

=−

−∞→

 x 

 x e

ya que el exponente en amboscasos tiende a menos infinito.

y = 0 es A.H.

b)  x 

 x f 

2

2

1)(

 

  

 =

Por lo señalado más arriba,

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24Si nos probás, aprobás.

02

1lim

2

  

 +∞→

 x 

 x 

+∞= 

  

 −∞→

 x 

 x 

2

2

1lim

y = 0 es A.H.

c)  4)( 1 += +− x e x f 

44lim 1 =++−

+∞→

 x 

 x e

+∞=++−

−∞→4lim 1 x 

 x e

y = 4 es A.H.

Ejercicio 15 Analizar dominio....

a)   x e x f 1

)( =

Observen aquí que en x = 0 se anula el denominador del exponente, luego

{ }0Dom −= IR f 

 Analizamos los límites:

+∞=+→

 x e x 

1

0lim ⇒   x = 0 es A.V.

0lim1

0=

−→

 x e x 

Por otro lado,

1lim1

=+∞→

 x e x 

⇒  y = 1 es A.H.

1lim1

=−∞→

 x e x 

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25Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 16Dadas las funciones ...

Para poder asociar correctamente cada función con su gráfico, deben analizar bien el dominio, elcomportamiento en ±∞, y además pueden reemplazar en la función algunos puntos que saquen decada gráfico.

 x e x f  −= 41 )( (gráfico iv)

 Aquí, por ejemplo se ve del gráfico que 1)4( =f  , que si reemplazan en la función, se verifica. Así,

 x  x f  −−= 31)(2 (gráfico ii)

233 log)( x  x f  = (gráfico iii)

)(log2)( 34 x  x f  = (gráfico i)

Ejercicio 17Para cada f ,...

Para encontrar la inversa, la idea es en cada caso, despejar  x en función de y . Les será de utilidadtambién recordar que:

f f  ImDom 1 =− y que f f  DomIm 1 =−

a)  3)( −= x e x f 

3−= x ey   Aplicando logaritmo natural a ambos miembros:

3ln)(3ln3ln 1 +=⇒=+⇒−= −  x  x f  x y  x y 

0Dom 1 >=− IR f IR f  =−1Im

b)  ( ) x  x f  −= 1ln)(

( ) x y  −= 1ln  Aplicando la exponencial a ambos miembros:

 x y y  e x f e x  x e −=⇒−=⇒−= − 1)(11 1

IR f  =−1Dom ( )1,Im 1 ∞−=−f 

c)  12)( 31 += + x e x f 

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26Si nos probás, aprobás.

⇒+= 

  

  −⇒=

−⇒=−⇒+= +++  x 

y e

y ey ey  x  x  x  31

2

1ln

2

12112 313131

3

12

1ln

)(3

12

1ln

312

1ln 1

− 

  

  −

=⇒=−

 

  

  −

⇒=− 

  

  − −

 x 

 x f  x 

 x y 

1Dom 1 >=− IR f IR f  =−1Im

d)  ( )23ln1)( +−= x  x f 

( ) ( ) ⇒=+⇒−=+⇒+−= −y e x y  x  x y  123123ln23ln1

3

2

3

1

3

2)(

3

223 1

11

11 −=

−=⇒

−=⇒−= −

−−

−− x 

 x y y  e

e x f 

e x e x 

IR f  =−1Dom  

  

 ∞+−=− ,

3

2Im 1f 

Ejercicio 18Para las.........

a) ( )1ln)( −= x  x f 

Dominio:

Para hallar el dominio natural, el argumento de la función debe ser estrictamente positivo:

( )+∞=⇒>→>− ,1)(Dom101 f  x  x 

 x = 1 es A.V.

Ceros:

( ) { }22101ln0)( 00 =→=↔=−→=−→= C  x e x  x  x f 

Positividad y negatividad:

Debemos aquí estudiar el signo de la función en los intervalos definidos por el cero 2= x 

( )

( ) 0)3(,2

0)5.1(2,1

>⇒+∞

<⇒

Luego, ( ) ( )2,1,2 =+∞= −+ C C 

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27Si nos probás, aprobás.

b) 2ln)( 2 −= x  x f 

Dominio:

( ) ( )+∞∪−∞−=⇒>↔>↔>− ,22,)(Dom2202 22 f  x  x  x 

Ceros:

( )

=

−=⇒=↔=−↔=−

3

33202ln 2022

 x 

 x  x e x  x 

}3,30 −=C 

Positividad y negatividad:

I I I I I

  3− - 2 0 2   3

( ) ( )

( )( )

( ) 0)2(,3

0)5.1(3,2

0)5.1(2,3

023,

>⇒+∞

<⇒

<−⇒−−

>−⇒−∞−

Luego,

( ) ( ) ( ) ( )3,22,3,33, ∪−−=+∞∪−∞−= −+ C C 

c) ( ) x  x f  sen1ln)( −= en [ ]π 3,0

Dominio:

1sen0sen1 <↔>− x  x 

lo cual se cumple [ ]3,0∈∀ x  salvo para2

π = x  y π 

2

5= x 

[ ]

−=⇒ π π 

π 2

5,

23,0)(Dom f 

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30Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 19Sean...

Si ( )2ln)( += x  x f  y 13)( −= x  x g  ,

( ) ( ) ( ) )13(ln213ln13)()( +=+−=−== x  x  x f  x g f  x h

Para hallar la inversa de h,

 x e

 x e x y y 

y  =−

⇒+=⇒+=3

113)13(ln

de donde,

3

1)(1 −=−

y e x h

Ejercicio 20La fórmula............

Para expresar P en función de A, basta con despejarla de la fórmula dada, aplicando exponencial:

( ) 84.1)4.2ln(84.14.2lnln +=⇒+= eP  AP 

Reexpresando,

( ) Aee AP  84.1

4.2

)4.2ln( ⋅=321

   Ae AP  84.14.2)( ⋅=⇒

Ejercicio 21La población...........

Para calcular la población de USA en 2000 debemos reemplazar 0=t  en la expresión:

→= 261)0(N  población (en millones de personas)de USA en 2000.

Para calcular el instante en el que la población será de 400 millones hacemos:

t ee t t  007.0423.053.1261400 007.0007.0 =⇒=⇒=

61=t 

Luego, en el año 2061 la población será de 400 millones.

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31Si nos probás, aprobás.

Nos piden ahora que calculemos el instante en el cual la población es el doble en 2000, o sea

5222612)( =⋅=t N 

Igualando,

02,99007.0

2ln

007.02ln2261522 007.0007.0

==

⇒=⇒=⇒=

t ee t t 

Luego, la población será el doble de lo que era en 2000, 99 años después, o sea en el 2099aproximadamente.

Ejercicio 22Completar la siguiente......

La función exponencial es de la forma:  x Ca x f  =)(

Empleamos la tabla para determinar  C  y  A. Como tenemos dos incógnitas, necesitamos doscondiciones. Debemos usar los datos que nos dan:

1875,155

5,42

=→=

=→=

y  x 

y  x 

Reemplazando en la formula propuesta queda:

⋅=

⋅=

)2(1875,15

)1(5,4

5

2

aC 

aC 

Dividiendo las ecuaciones, para eliminar C , resulta:

5,1375,3 3 =⇒= aa

Para obtener C reemplazamos en (1):

2)5,1(5,4 2 =⇒⋅= C C 

Luego, la función debe ser   x  x f  )5,1(2)( ⋅=

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32Si nos probás, aprobás.

Para completar la tabla, reemplazamos:

1,34)5,1(2)7(

75,6)5,1(2)3(

7

3

=⋅=

=⋅=

Ejercicio 23Un capital.........

a) Si invertimos inicialmente 5000=P  (capital inicial), el capital obtenido a los dos años será:

rx eP  A ⋅=

con: 205.05000 === x r P 

85.55255000)2( 205.0 =⋅=⇒ ⋅e A

b) Al cabo de 6 años y 9 meses (lo que es equivalente a 6.75 años) tendremos:

( ) 2.7007500075.6 75.605.0 =⋅= ⋅e A

c) En este caso conocemos el capital A y nos preguntamos por la inversión inicial P . Luego,

205.010000 === x r  A

4.904810000 205.0 =→⋅= ⋅ P eP 

Deben invertirse $ 9048.4 para obtener $ 10000 dentro de dos años con un interés del 5% anual.

d) Si invertimos un capital P inicialmente, queremos calcular el tiempo que tardaremos en tener eltriple de dinero o sea 3P . Luego:

 x eeP P P  A x  x  05.03ln333 05.005.0 =↔=↔⋅==

97.2105.0

3ln==⇒ x 

Se tardarán casi 22 años.

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33Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 24Las sustancias...

a) Usando la definición del período de semidesintegración, cuando t = 1,62 (miles de años), lamasa será la mitad de la inicial:

62,1

2

1a= (la masa inicial es 1 g usando esta expresión)

 Aplicando logaritmo:

65,0428,062,1

)2/1(lnlnln62,1

2

1ln =⇒−==⇒⋅= aaa

La evolución de 1 g de masa de radio será entonces:

t t M  65,0)( =

b) En el año 3000, t = 1,2 (miles de años). Luego,

6,065,0)2,1( 2,1 ==M 

c) En el año 0, t = −1,8 (miles de años). En consecuencia,

17,265,0)8,1( 8,1 ==− −M 

d) y e) se resuelven reemplazando M por 0,8 y 1,5 respectivamente, y luego despejando t .

Ejercicio 31.En publicidad...

a) La función que determina el número de personas que conocen el producto es:

( )t k P t N  −−= 21)( 0

Cuando sea conocido por la mitad de la población: N = P 0 / 2. Luego,

( )2

1221

2

121

20

0 =⇒−=⇒−= −−− t k t k t k P P 

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• Derivadas

Matemática

CBCPráctica 5(Actualizada)

Cátedra: Gutiérrez

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1Si nos probás, aprobás.

DERIVADAS

Ejercicio 1Calcular la pendiente......

Dada la función )( x f   y = derivable en un punto ( )00, y  x P = conocido, la ecuación de la recta

tangente en ese punto es: ( )( ) 000´ y  x  x  x f y  +−=

Distribuyendo, se obtiene:

( ) ( )4 434 421321

bm x f  x y  x  x f y  0000 ´´ −+=

Por tratarse de una recta, podemos escribir:

( )0´ x f m = pendiente

( ) ( )000 ´ x f  x  x f b −= ordenada al origen

a)  ( )0,24)(

2

=−= P  x  x f 

Para obtener la ecuación de la recta tangente a )( x f  en el punto ( ) ( )00,0,2 y  x P  == necesitamos

conocer la derivada en el punto, es decir  ( )0´ x f  :

( ) 4)2´(´2

2)´(4)(

00

2

==→=

=→−=

f  x f  x 

 x  x f  x  x f 

Luego, la pendiente de la recta tangente es ( ) 4´ 0 == x f m y la ordenada al origen es

( ) ( ) 84.20´ 000 −=−=−= x f  x  x f b

84 −== bm

Con esto podemos construir la ecuación de la recta buscada: 84 −= x y 

b)  ( )3,14)( 2 −−=−= P  x  x f 

En este punto, ( ) 31 00 −=−= x f  x 

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2Si nos probás, aprobás.

Repitiendo el procedimiento anterior,

⇒= x  x f  2)´( ( ) 2)1(2)1´(´ 0 −=−⋅=−= f  x f 

Con esto obtenemos( )

( ) ( ) 5)2)(1(3´

000

0

−=−−−−=−=

−==

 x f  x  x f b

 x f m

la ecuación de la recta tangente es 52 −−= x y 

c) )1,3(3)( == P  x 

 x f 

( )

( )3

1

3

3)3´(´

3)´(

1)3(3

202

00

−=−==⇒−=

==⇒=

f  x f  x 

 x f 

f  x f  x 

Luego,

( ) ( ) 23

131´

3

1000 =

 

  

 −⋅−=−=−= x f  x  x f bm

La ecuación de la recta tangente es 23

1+−= x y 

d)  ( )3,13

)( −−== P  x 

 x f 

( )

2

00

3)´(

31

 x  x f 

 x f  x 

−=

−=⇒−=

( ) 33)1´(´ 0 −=→−=−= mf  x f 

  ( ) ( ) 6)3)(1(3´ 000 −=−−−−=−= x f  x  x f b

la ecuación de la recta tangente es 63 −−= x y 

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4Si nos probás, aprobás.

Teorema 5: Derivada del producto de 2 funciones

[ ] )()()()()()( x g  x f  x g  x f  x g  x f  ′⋅+⋅′=′⋅

Teorema 6: Derivada del cociente de 2 funciones

)(

)(

 x g 

 x f =

[ ]2)(

)()()()(

 x g 

 x g  x f  x g  x f  ′⋅−⋅′

Empleando la definición de derivada, así como las reglas de derivación detalladas arriba, podemosconstruir la siguiente tabla que es de gran utilidad:

a x  x 

aaa

 x  x 

ee

 x  x 

 x  x 

 x r  x 

 x f  x f 

a

 x  x 

 x  x 

r r 

ln1)(log

ln

/1ln

sencos

cossen

0

)()(

1

Comenzamos ahora con los ejercicios:

a) 25

)( x  x f  =

Utilizando el teorema 1(r = 5/2) ⇒  2

3

2

5

2

5

2

5)(

1 x  x  x f  ==′

b) 2)( x  x  x  x f  ⋅⋅=

 Antes de derivar nos conviene compactar la expresión haciendo la multiplicación:

34 4)()( x  x f  x  x f  =′→=

c)3 2

3

)( x 

 x  x  x f  =

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5Si nos probás, aprobás.

Recordando que:

n

m

 x  x n m = podemos reescribir la función:

6

17

3

2

2

1

3

2

2

1

33

)( x  x 

 x 

 x  x  x f  ===

−+Luego, 6

11

6

17)( x  x f  =′

d) x 

 x f 3

)( −=

 Aplicando la regla de derivación:

22

3130)(

 x  x 

 x  x f  =

⋅−⋅−=′

e) 156)( 2 +−= x  x  x f 

Derivando término a término nos queda:

( ) ( ) 512)1(56)( 2 −=′+′−′

=′ x  x  x  x f 

f)2

3)(

2 +

+=

 x 

 x  x f 

Utilizando la regla para derivar un cociente:

( )[ ] ( ) ( )22

2

22

22

22

2

1

26

1

622

2

2)3(21)(

+

+−−=

+

−−+=

+

⋅+−+⋅=′

 x 

 x  x 

 x 

 x  x  x 

 x 

 x  x  x  x f 

g) 2

12

)( 4

2

+

=  x 

 x 

 x f 

 Aplicando la misma regla de derivación:

( ) ( )( ) ( )24

35

24

324

2

844

2

41224)(

+

++−=

+

−−+=′

 x 

 x  x  x 

 x 

 x  x  x  x  x f 

h)  x  x  x f  −= sen)(

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6Si nos probás, aprobás.

1cos)( −=′

x  x f 

i))ln(

2)(

 x 

 x  x f 

−= Empleamos la regla de la derivación del cociente

( ) ( ))(ln

12)ln(2

)(ln

´ln)2()ln(2)´(

22  x 

 x  x  x 

 x 

 x  x  x  x  x f 

+⋅−=

−−′−= ⇒

)(ln

2)ln(2)´(

2  x 

 x  x f 

+−=

 j)  x  x  x f  cos)( ⋅=

Empleando la regla de derivación del producto:

 x  x  x  x f  sencos)( −=′

k) x e

 x  x f 

2

)( =

( )

( )

( )x  x 

 x 

 x 

 x  x 

e

 x  x 

e

 x e x 

e

e x e x  x f 

)2(22)(

22

2 −=

−⋅=

⋅−⋅=′

l) )cos()( x e x f  x =

( ) ( ) ( ) x e x e x e x e x f  x  x  x  x  sen)cos(´cos)cos()( −+=+′

=′ ⇒ )sen()cos()´( x e x e x f  x  x  −=

m) )1(cossen)( −= x  x  x f 

 x  x  x  x  x  x  x  x f  22 sencoscos)sen(sen)1(coscos)( −−=−⋅+−=′

 x  x  x  x f  22 sencoscos)( −−=′⇒

n)  x  x  x  x f  ln)2()( 3 +=

2ln)23(1

)2(ln)23()( 2232 ++⋅+=⋅++⋅+=′ x  x  x  x 

 x  x  x  x  x f 

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7Si nos probás, aprobás.

o) x 

e x  x f  )1()( +=

)2()1(1)( x ee x e x f  x  x  x  +=++⋅=′

p) ) )12)( 2 +−= x e x  x f 

) ) )12222212)( 222 −++=−++=⋅−++⋅=′ x  x e x ee x  x e x e x e x  x f  x  x  x  x  x  x 

q) 32

sen

)( 2 +=  x 

 x 

 x f 

Usando aquí la regla para derivar un cociente:

( )( )

( )( )22

2

22

2

32

sen432cos

32

)4(sen32cos)(

+

−+=

+

⋅−+⋅=′

 x 

 x  x  x  x 

 x 

 x  x  x  x  x f 

r) x 

 x  x f 

cos

sen)( = por la regla del cociente

( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

( )=

−−=

−=

22cos

sensencoscos

cos

´cossen´cossen)´(

 x 

 x  x  x  x 

 x 

 x  x  x  x  x f 

 x  x 

 x  x  x f 

22

22

cos

1

cos

sencos)´( =

+= recordar que ∈∀=+ x  x  x  1sencos 22 IR

luego, x 

 x f 2cos

1)´( =

Ejercicio 4Dos móviles............

Nos dan aquí 2 móviles cuyas ecuaciones de movimiento son:

nmt t t et t t s ++=++= 23 )(:B52)(: A

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9Si nos probás, aprobás.

12)1(

21)(

22 2

1

+=⋅+=′

 x  x  x  x  x f 

c)

501

1)(  

  

 −=

 x  x f 

 

  

 

 

  

 −=′

2

4911

150)( x  x 

 x f 

d) )2(cos)( π −= x  x f 

)2(sen22)2(sen)( π π  −−=⋅−−=′ x  x  x f 

e)

 

  

 =

4

3sen)(

3 x  x f 

 

  

 =⋅⋅

 

  

 =′

4

3cos

4

93

4

3

4

3cos)(

322

3  x  x  x 

 x  x f 

f) ( ) x  x  x f  += 2sencos)(

En este caso aplicamos la regla de la cadena 2 veces en forma sucesiva:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]12cossensensensensen)( 2222 +⋅⋅+−=′+⋅+−=′ x  x  x  x  x  x  x  x  x f 

g) ( )2

1

sen5sen5)( x  x  x f  +=+=

( ) x 

 x  x  x  x f 

sen52

cos)(cossen5

2

1)( 2

1

+

=+=′ −

h)  x  x f  2cos1)( +=

( ) x 

 x  x  x  x 

 x  x f 

22 cos1

sencossencos2

cos12

1)(

+

⋅−=−⋅⋅

+=′

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12Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 6Hallar la ecuación.........

a)  ( ) 03)( 02 =−= x e x  x f  x 

Recordemos que la ecuación de la recta tangente al gráfico de una función en un punto de abscisa

0 x es:

bmx y  += donde( )

( ) ( )000

0

´

´

 x f  x  x f b

 x f m

−=

=

( ) ( )( ) 5231)0(231)´(

3030022

0

00

=⋅⋅+−=′⇒⋅−+⋅−==−=⇒=

ef e x e x f 

e x f  x  x  x 

5=m 3503 =⋅−=b

con lo cual 35 += x y  es la ecuación de la recta tangente

b) 12

12)( 02

3

−=+

−+= x 

 x 

 x  x  x f 

( )3

4

3

4

2)1(

1)1(2)1()1(

2

3

0 −=−

=+−

−−+−=−= f  x f 

( )( ) ( )( )

⇒+

−+−++=

22

322

2

212223)´(

 x 

 x  x  x  x  x  x f 

( )( ) ( )( ) 9

7

9

)2)(4(35

2)1(

)1(21)1(2)1(2)1(2)1(3)1´(

22

322

=−−−⋅

=+−

−−−+−−+−+−=−f    ⇒

tangente recta la de ecuacion la es9

5

9

7

9

5

9

7)1(

3

4

97

−=⇒−=⋅−−−=

=

 x y b

m

c) 6

sencos)( 02 π 

=⋅= x  x  x  x f 

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13Si nos probás, aprobás.

( )

( ) ( )

( )8

5

4

3

8

1

2

3

2

12

2

1

6cos

6sen2

6sen

6´´

sen2cossen´sencossen´cos)´(

83

21

23

6sen

6cos

6

2323

0

2322

22

0

=+−=

 

  

 ⋅⋅+

 

  

 −=

 

  

 

 

  

 +

 

  

 −=

 

  

 =

⋅⋅+−=+=

=  

  ⋅=

  

  

  

  =

  

  =

π π π π 

π π π 

f  x f 

 x  x  x  x  x  x  x  x f 

f  x f 

tangente recta la de ecuacion la es48

5

8

3

8

5

8

5

68

3

8

5

π 

π 

++−=⇒

⋅−==

 x y 

bm

d) ) 122ln)( 02 −=++= x  x  x  x f 

) 01ln2)1(2)1(ln)1( 2 ==+−+−=−f 

( )

( )0

2)1(2)1(

2)1(2)1(

22

22)(

2

2

=+−+−

+−=−′⇒

++

+=′

 x  x 

 x  x f 

La ecuación de la recta tangente es: y = 0 (ver gráfico)

Ejercicio 7a) Hallar los puntos......

Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )( x f  en el punto P  es igual a

)´( 0 x f m = y según el enunciado es 2, de donde: 2)´( = x f 

Despejando x de esta ultima ecuación, nos da la abscisa del punto P buscado.

Como )425ln)( 2 += x  x f  ,

425

50)´(

2 +=

 x 

 x  x f 

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14Si nos probás, aprobás.

de donde

085050850502425

50 22

2=+−⇒+=⇒=

+x  x  x  x 

 x 

 x 

resolvemos la ecuación cuadrática:

=

=

=⋅⋅−±

=

5

1

5

4

100

3050

100

8504250050

2

1

 x 

 x 

 x  (2 soluciones)

La ordenada de cada punto se obtiene haciendo:

5ln5

1

20ln5

4

2

1

  

 =

  

 =

f y 

f y 

los puntos buscados son:  

  

 =

 

  

 = 5ln,

5

120ln,

5

421 P P 

b) En este ejercicio conocemos la ecuación de la recta tangente: 123 += x y 

o sea: 3=m pendiente

12=b ordenada al origen

Para obtener el punto, igualamos la pendiente a la derivada :)´( x f 

−=

=

⇒−⋅⋅−±−

=

⇒=−+↔=−+↔=−+

−+=

2

1

2

)2(1411

02012663966

966)´(

2

1

222

2

 x 

 x 

 x 

 x  x  x  x  x  x 

 x  x  x f 

Para decidir cual de los dos valores de x corresponde al punto P , calculamos la ordenada al origen:

( ) ( )

( ) ( ) 123)2(6´2

153112´1

0000

0000

=⋅−−=−=→−=

−=⋅−−=−=→=

 x f  x  x f b x 

 x f  x  x f b x 

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15Si nos probás, aprobás.

Como se ve, el único valor de 0 x  que da una ordenada al origen igual a 12 es ⇒−= 20 x 

el punto buscado es ( )6,2−=P 

Ejercicio 8Hallar todos los puntos.......

La recta tangente al gráfico de )( x f  tiene pendiente igual a )´( x f  .

Como tiene su paralela a 7+= x y  , sus pendientes deben ser iguales: 1)´( =⇒ x f 

Derivando: 23)´( 2 −= x  x f luego,

11123 22 ±=⇒=⇒=− x  x  x 

Para esos dos valores de x la recta tangente es entonces paralela a la dada.

En x = 1:

56121)1( 3 =+⋅−=f 

Esta recta entonces tiene pendiente 1 y pasa por el punto (1, 5). Despejando b, resulta:

4+= x y 

En x = −1:

76)1(2)1()1( 3 =+−⋅−−=−f 

Esta recta entonces tiene pendiente 1 y pasa por el punto (−1, 7). Despejando b, resulta:

8+= x y 

Ejercicio 9Determinar a, b....

La recta 68 −= x y  debe ser tangente a bax  x  x f  ++= 3)( en 10 = x 

Como la derivada en el punto nos da la pendiente de la tangente,

583)1(3)( 2 =⇒=+=′⇒+=′ aaf a x  x f b x  x  x f  ++=⇒ 5)( 3

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16Si nos probás, aprobás.

 Además, la función y la recta pasan por el mismo punto, es decir el punto dado pertenece a ambas.Luego,

En 10 = x  2618 =−⋅=⇒ y 

Reemplazando en la función el punto (1, 2),

41512 3 −=⇒+⋅+= bb

Ejercicio 10Calcular....

a) )2(sen)( x  x f  =

)2cos(4)´´´(

)2(sen4)´´(

)2cos(2)´(

 x  x f 

 x  x f 

 x  x f 

−=

−=

=

b) x  xe x f  −=)(

)1(1)´( −+⋅=−− x  x 

 xee x f  ⇒ ( ) x e x f x 

−=−

1)´(

( ) )2()11()1(1)1()´´( x e x ee x e x f  x  x  x  x  −−=+−−=−+−−= −−−−

( ) )3()12()1(2)1()( x e x ee x e x f  x  x  x  x  −=+−=−−−−−=′′′ −−−−

c)  ( ) 0ln)( 4 ≠= x  x  x f 

 x  x 

 x  x f 

44

1)´( 3

4=⋅=

24)´´(

 x  x f  −=

3

8)´´´(

 x  x f  =

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17Si nos probás, aprobás.

d)  12

3

2

3

1)( −+=+= x  x  x 

 x  x f 

22

1

2

3)´( −−= x  x  x f 

32

1

32

1

24

3)´´(2

2

1.

2

3)´´( −

−−

−+=→+= x  x  x f  x  x  x f 

42

3

42

3

68

3)´´´()3(2

2

1

4

3)´´´( −

−−

−−−=→−+

 

  

 −= x  x  x f  x  x  x f 

Ejercicio 11Un móvil se desplaza.........

Conocemos la expresión de la posición en función del tiempo:

t t t  x  253

1)( 3 −=

La velocidad y la aceleración se calculan derivando:

25)´()(

2

−== t t  x t v 

t t v t a 2)´()( ==

En el instante en el que la velocidad se anula es: 0250)( 2 =−↔= t t v 

5252 =→=↔ t t  (suponemos que 0>t  )

Luego, en 5=t  la velocidad se anula. La aceleración en ese instante es:

2s

m1052)5( =⋅=a

Ejercicio 12Dados los...

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Teorema de crecimiento y decrecimiento: Sea f una función continua en el intervalo cerrado

[a, b] derivable en el intervalo abierto (a, b):

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18Si nos probás, aprobás.

(i) si ( ) 0<′

x f  para todo x   ( ),,ba∈ entonces f es creciente en [ ]ba,

(ii) si 0)( <′ x f  para todo ( )ba x  ,∈ , entonces f es decreciente en [ ]ba,

Este teorema nos permite analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones.

Puntos críticos

Dado  x  ∈ Dom (f ), decimos que  x  es un  punto crítico de f   si se cumple al menos uno de lossiguientes enunciados:

1) f ′  (x) = 0

2) x ∈ Dom (f ) y x ∉ Dom (f ′),

 Analizamos ahora los gráficos dados:

i.

a) La derivada no existe en x = 2 y en x = -2

b) A = (0,2) ∪ (2,+ ∞)

c) B = (-∞,-2) ∪ (-2,0)

d) C = {0}

e) En x = 0 f alcanza un mínimo local o relativo.

ii.

a) La derivada no existe en x = 0

b) A =  

  

 − 0

2

1, ∪ 

 

  

 ∞+ 

2

1,

c) B =

 

 

 

 −∞−

2

1,  ∪ 

 

 

 

 

2

10,

d) C =

−2

1

2

1,

e) En  x = 0 f alcanza un máximo relativo.

En  x =2

1y  x =

2

1−   f alcanza mínimos absolutos.

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19Si nos probás, aprobás.

iii.

a) La derivada no existe en x = 0 pues la recta tangente aquí es vertical.

b) A = (0,+∞)

c) B = ∅

d) C = ∅

e) En x = 0 f alcanza un mínimo absoluto.

iv.

a) La función f ′  no está definida en x = 0

b) A = (4,+∞)

c) B = (0,4)

d) C = (-∞,0) ∪ {4}

e) En x = 4 la función alcanza un mínimo

En todos los puntos del intervalo (-∞,0) la función alcanza máximos.

Ejercicio 13Estudiar intervalos........

a)  13)( += x  x f 

Dom(f ) = IR

Para hallar los puntos críticos derivamos la función:

03)( ≠=′ x f  ⇒ f no tiene puntos críticos

Para estudiar crecimiento y decrecimiento analizamos el signo de la derivada.

03)( >=′ x f  ⇒ f es creciente para todo x  ∈ ℜ

Luego,

I.C. = ℜ I.D. = ∅

Extremos: Esta función no tiene extremos.

 x 

1

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20Si nos probás, aprobás.

b)  32)( +−= x  x f 

Dom(f ) = IR

02)( ≠−=′ x f  ⇒ f no tiene puntos críticos

Para estudiar crecimiento y decrecimiento analizamos el signo de la derivada.

02 <−=′ )( x f   ⇒ f es decreciente para todo x  ∈ ℜ

Luego,

I.C. = ∅ 

I.D. = ℜ

c)   x  x  x f  −= 2)(

Dom(f ) = IR

Derivando: → 12)( −=′ x  x f 

Puntos críticos: f  ′(x) = 0 ↔ 2 x -1 = 0 →  x =2

1

Crecimiento y decrecimiento

0)0(02

1, <′=

 

  

 ∞− f  x 

0)1(1,2

1>′=

 

  

 ∞+ f  x 

Luego, I.C =  

  

 ∞+,

2

1I.D =

 

  

 ∞−

2

1,

Extremos: Para analizar la existencia de extremos empleamos el criterio de la primera derivada:

 x 

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21Si nos probás, aprobás.

Sea f una función derivable tal que en  x = α tiene un punto crítico. La condición de extremo es quela derivada cambie de signo en x = α

Si

<′>

>′<

0)(

0)(

 x f  x 

 x f  x 

α 

α 

entonces en x = α  f alcanza un máximo

Si

>′>

<′<

0)(

0)(

 x f  x 

 x f  x 

α 

α 

entonces en x = α  f alcanza un mínimo

En la función f ( x ) = x  2

– x se observa que el signo de la derivada cambia alrededor de x =2

1

(antes del mismo decrece y luego crece).

1/2

En consecuencia, según el criterio de la

primera derivada, en x =2

1la función

 f alcanza un mínimo.

d) 252)( 2 −+−= x  x  x f 

Dom (f ) = IR

54)( +−=′ x  x f 

Puntos críticos:

4

50540)( =⇒=+−↔=′ x  x  x f 

Crecimiento y decrecimiento:

0)0(4

5, >′→

 

  

 ∞− f 

0)3(,4

5<′→

 

  

 +∞ f 

 x 

0 1

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22Si nos probás, aprobás.

Luego,

I.C.=  

  

 ∞−

4

5, I.D.=

 

  

 +∞,

4

5

Extremos:

Vimos que el signo de la primera derivada cambia en –1/3.

5/4

Luego, en x = -1/3 la funciónalcanza un mínimo.

e) 83

1

4

1)( 234 +−+= x  x  x  x f 

Dom(f ) = IR

)22)( 223 −+=−+=′ x  x  x  x  x  x  x f 

Punto críticos:

−=

==−+=→=′

2

102o00)( 2

 x 

 x  x  x  x  x f 

Los puntos críticos son entonces  x = −2,  x = 0 y  x = 1

Crecimiento y decrecimiento:

0)2(),1(

0)5.0()1,0(

0)1()0,2(

0)4()2,(

>′+∞

<′>−′−

<−′−−∞

Luego,

I.C. = (−2, 0) ∪ (1,+∞)

I.D. = (-∞,−2) ∪ (0, 1)

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23Si nos probás, aprobás.

Extremos:

En x = −2 f alcanza un mínimo (absoluto).

En x = 0 f alcanza un máximo (relativo).

En x = 1 f alcanza un mínimo (relativo).

f) 23)( 23 +−= x  x  x f 

Dom(f ) = IR

)2(363)( 2 −=−=′ x  x  x  x  x f 

Puntos críticos:

( ) 200230)( ==→=−→=′ x  x  x  x  x f 

Crecimiento y decrecimiento:

0)4(),2(

0)1()2,0(

0)4()0,(

>′+∞

<′

>−′−∞

Luego,

I.D. = (0, 2)

I.C. = (−∞, 0) ∪ (2,+∞)

g) 

46

32)( x  x  x f  −=

Dom(f ) = IR

( )1121212)( 2335 −=−=′ x  x  x  x  x f 

Puntos críticos:

) 11001120)( 23 −===→=−→=′ x  x  x  x  x  x f 

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24Si nos probás, aprobás.

Crecimiento y decrecimiento:

0)4(),1(

0)5.0()1,0(

0)5.0()0,1(

0)2()1,(

>′+∞

<′

>−′−

<−′−−∞

Luego,

I.C. = (−1, 0) ∪ (1,+∞)

I.D. = (−∞,

−1) ∪ (0, 1)

Extremos:

El signo de la derivada cambia en los 3 puntos críticos.

En  x = −1 f alcanza un mínimo

En  x = 0 f alcanza un máximo

En  x = 1 f alcanza un mínimo

El h) les queda a ustedes.

Ejercicio 14En cada caso...

a)   x  x f  2cos1)( +=

 x  x  x f  sencos2)( ⋅−=′

Puntos críticos:

0coso0sen0cossen20)( ==→=⋅→=′ x  x  x  x  x f 

de donde los puntos críticos son:Ζ∈+=

Ζ∈=

k k  x 

k k  x 

π π 

π 

2

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25Si nos probás, aprobás.

Crecimiento y decrecimiento:

Nos piden analizar la función en el intervalo [0,2π] solamente. Los puntos críticos de la misma enese intervalo son:

π π π π 

2,2

3,,

2,0= x  con lo cual los intervalos definidos son:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 02,

0,

0,

0),0(

47

23

45

23

43

2

42

>′

<′

>′

<′

π π π 

π π π 

π π π 

π π 

Luego,

I.D. =  

  

 ∪

 

  

 π π 

π 

2

3

20 ,,

I.C. =  

  

 ∪

 

  

 π π π 

π 2

2

3

2,,

Extremos:

Observen que en todos lo puntos críticos la derivada cambia de signo.

π k  x = → máximos

π π 

k  x  +=2

→ mínimos

b)   x  x  x f  cossen)( 2 −=

)1cos2(sensencossen2)( +=+=′ x  x  x  x  x  x f 

Puntos críticos:

Nuevamente nos piden hacer nuestro análisis en el intervalo [0,2π].

2

1coso0sen0)1cos2(sen0)( −==→=+→=′ x  x  x  x  x f 

7/27/2019 Guia de Matematicas Resuelta Completa Del Instituto Junin

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26Si nos probás, aprobás.

π π 

π π 

3

4

3

2

2

1cos

200sen

==⇒−=

===⇒=

 x  x  x 

 x  x  x  x 

Crecimiento y decrecimiento:

 Analizando los intervalos comoen el ejemplo anterior resulta:

I.D. =  

  

 ∪

 

  

 π π π π  2,

3

4,

3

2

I.C. =  

  

 ∪

 

  

 π π π 

3

4,

3

2,0

Extremos:

Debido al cambio de signo de la derivada primera en cada punto crítico, concluimos:

Mínimos →  π π  20 === x  x  x 

Máximos →  π π 

3

4

3

2== x  x 

c)  x 

 x  x f 

cos

sen)( =

Esta función no está definida en π π 

2

3eny

2== x  x  (allí se anula el coseno)

Luego, hacemos el análisis de la función en [ ]

− π π 

π 2

3,

22,0

La división por cero produce asíntotas verticales2

π = x  y π 

2

3= x 

Derivamos:

0cos

1

cos

sencos

cos

)sen(sencoscos)(

22

22

2>=

+=

−−=′

 x  x 

 x  x 

 x 

 x  x  x  x  x f 

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27Si nos probás, aprobás.

donde hemos usado la relación pitagórica: sen2  x + cos2  x = 1

Igualando la derivada a cero:

010cos

10)('

2=↔=→=

 x  x f  lo cual es absurdo.

Esta función no tiene puntos criticos

Notar que( )

x  x 

 x f  ∀>= 0cos

1)('

2y por lo tanto la función es estrictamente creciente.

I.C. =  

  

 ∪

 

  

 ∪

 

  

 π π π 

π π 2

2

3

2

3

220 ,,,

I.D. = ∅

Esta función no presenta ni máximosni mínimos.

d) x 

 x f sen

1)( =

Debe ser 0)(sen ≠ x  para no dividir por cero π k  x ≠→ con Z k  ∈

=)(Dom f  [ ] ( ) ( )π π π π π π  202020 ,.},,{, ∪=−

Asíntotas

La división por cero da origen a asíntotas verticales 0= x  , π = x  y π 2= x   

Derivamos

( ) x  x  x f  cossen)1()('2−−=

( )2sen

cos

 x 

 x −=

 x 

0 π/2 1π 3π/2 2π

-2

2

7/27/2019 Guia de Matematicas Resuelta Completa Del Instituto Junin

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28Si nos probás, aprobás.

Igualando a cero:

( )Z k k  x  x 

 x 

 x  x f  ∈+=→=↔=

−↔= π 

π 

20cos0

sen

cos0)('

2

En el intervalo [ ]π 20, los puntos críticos son2

π = x  y π 

2

3= x 

Construimos los intervalos:

04

7'

4

72,

2

3

04

5'

4

5

2

3,

04

3'

4

3,

2

04

'42

,0

  

 =

 

  

 

  

 =

 

  

 

  

 =

 

  

 

  

 =

 

  

 

π π π π 

π π π π 

π π π π 

π π π 

f  x 

f  x 

f  x 

f  x 

I.C. =  

  

 ∪

 

  

 π π π 

π 

2

3,,

2

I I I I I

I.D. =  

  

 ∪

 

  

 π π 

π 2,

2

3

2,0

Extremos

En2

π = x    f  alcanza un mínimo y en

f  x  π 2

3= alcanza un máximo

0

2

π  π π 

2

3 π 2

 x 

0 π/2 1π 3π/2 2π

-2

2

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29Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 15Estudiar intervalos...

a)   x  x  x f  ln)( =

Recordando que el argumento de la función logaritmo debe ser positivo.

Dom(f ) = (0,+∞)

1ln1

ln1)( +=⋅+⋅=′  x 

 x 

 x  x  x f 

Puntos críticos:

101ln0)( −=⇒=+⇒=′ e x  x  x f 

Por lo tanto, 1/e es el único punto crítico.

Crecimiento y decrecimiento:

01

0100

1

1

>′→+∞

<′→

)(),(

).(),(

 f  e

 f  e

| |0 e

-1

Luego,

I.D. = )10 −e, I.C. = )+∞− ,1e

 

Extremos:

Del análisis y del gráfico tenemos:

ee x

11 == − es un mínimo

 x 

0 1

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30Si nos probás, aprobás.

b)  x  xe x f  −=)(

=)(Dom f  IR

La recta horizontal 0=y  es una asíntota horizontal a derecha.

Derivamos:

( ) x e xee x f   x  x  x  −=−+= −−− 1)1()´(

Puntos criticos  ( ) 1010)´( =↔=−→= −  x  x e x f   x 

Crecimiento y decrecimiento

( )

( ) 0)2´(2,1

0)0´(01,

<=+∞

>=∞−

f  x 

f  x 

I.C.: ( )1,∞−

I.D.: ( )+∞,1

Extremos

En 1= x  hay un máximo.

c) 32)(

 x 

e x  x f  =

Dominio:  =)(Dom f  IR

Derivando,

 

  

 +=+=

32

3

12)´( 3323  x 

 xee x  xe x f 

 x  x  x 

 x 

0 1 2 3

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31Si nos probás, aprobás.

Puntos criticos

03

20)´( 3 = 

  

 +⇒=

 x  xe x f 

 x 

de donde debe ser 0= x  o 6−= x 

Crecimiento y decrecimiento

( )

( )

( ) 0)2´(,0

0)1´(0,6

0)8´(6,

>+∞

<−−

>−−−∞

I.D.: ( )0,6− I.C.: ( ) ( )+∞∪−∞− ,06,

Extremos

En 6−= x    f  alcanza un máximo (relativo)

En 0= x    f  alcanza un mínimo (absoluto)

d)  x e x  x f  24)( −=

Dominio:  =)(Dom f  IR

( ) x e x e x e x  x f   x  x  x  −=−+= −−− 22)2(4)´( 232423

Puntos criticos

( ) 0220)´( 23 =−→= −  x e x  x f   x  de donde debe ser 0= x 

2= x 

Crecimiento y decrecimiento

( )

( )

( ) 0)3´(,2

0)5.0´(2,0

0)1´(0,

<+∞

>

<−−∞

I.C.: ( )2,0

I.D.: ( ) ( )+∞∪∞− ,20,

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32Si nos probás, aprobás.

ExtremosEn 0= x    f  alcanza un mínimo (absoluto)

En 2= x    f  alcanza un máximo (relativo)

e)  x  x  x f  2ln)( −=

Dominio:  =)(Dom f  IR > 0

21

)( −=′ x 

 x f 

Puntos criticos

2

102

10)´( =→=−→=  x 

 x  x f 

Crecimiento y decrecimiento

0)3´(,2

1

0)2.0´(2

1,0

  

 +∞

  

 

I.C.:  

  

 

2

1,0

I.D.:  

  

 +∞,

2

1

Extremos

En

2

1= x    f  alcanza un máximo (absoluto)

El f) les queda a ustedes.Les dejo como ayuda elgráfico de la función.

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33Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 16Sea....

a) Como f  tiene un punto crítico en  x  = 2 entonces 0)2(' =f  . Empleamos esta condición para

calcular k :

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

23366332

)(' x 

k  x k  x  x 

 x 

k  x k  x  x f 

+−+=

+−+=

Evaluando en 2= x e igualando a cero queda:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ↔=+−+↔=+−+ 0612604

6612

2

k k k k 

( )( ) 6ó6066 −==→=−+ k k k k 

b) Estudiamos a la función con 6=k 

( ) ( ) ( )( )22

2636363636

)(' x 

 x  x 

 x 

 x  x  x  x f 

−+=

+−+=

Puntos críticos ( )( ) 2063630)(' −==−+→=  x  x  x  x f 

2= x   

( )

( )

( )

( ) 0)3('3,2

0)1('12,0

0)1('10,2

0)3('32,

>=+∞

<=

<−−=−

>−−=−∞−

f  x 

f  x 

f  x 

f  x 

Según el criterio de la primera derivada,  f   alcanza un mínimo en 2= x  y un máximo en 2−= x 

Estudiamos a la función con 6−=k 

( ) ( ) ( )( )22

2636363636

)(' x 

 x  x 

 x 

 x  x  x  x f 

+−=

−−−=

Puntos criticos ( )( ) 2063063630)(' =→=−=+−→=  x  x  x  x  x f 

2063 −=→=+  x  x 

La derivada es la misma para 6−=k  y por lo tanto los extremos alcanzados son los mismos.

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34Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 17Sea...

a) Como f  tiene un punto crítico en  x = −5 entonces 0)5(' =−f  . Empleamos esta condición para

calcular k :

)2()('2

k  x e x f  kx  x  += +

Como 100)10(0)5(' 525 =⇒=+−⇒=− − k k ef  k 

)102()('2

+= +  x e x f  kx  x 

Para saber si es máximo o mínimo, analizamos los intervalos:

0)0(),5(

0)8()5,(

>′+∞−

<−′−−∞

-5

Por lo tanto, x = −5 es mínimo.

Ejercicio 18Las reacciones.........

a) Buscamos el máximo de ambas funciones reacción:

)2()1(2)(')(

)1()1()(')(

22

22

11

t teet tet r et t r 

t eteet r tet r 

t t t t 

t t t t 

−=−+==

−=−+==

−−−−

−−−−

Puntos críticos

10)1(0)('1 =→=−↔= − t t et r  t 

 Analizamos los intervalos:

( )

( ) 0)2('2,1

0)5.0('5.01,0

1

1

<=+∞

>=

r t 

r t 

Luego, en 1=t  )(1 t r  alcanza un máximo y el máximo vale 11 )1( −= er 

200)2(0)('2 ==→=−→= − t t t tet r  t 

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35Si nos probás, aprobás.

Los intervalos son:

( )

( ) 0)3('3,2

0)1('12,0

2

2

<=+∞

>=

r t 

r t 

Luego, en 2=t    )(t r 2 alcanza un máximo y el máximo vale 22 4)2( −= er 

54.04)2(

37.0)1(

22

11

≈=

≈=

er 

er 

de donde )(t r 2 tiene una mayor reacción máxima.

b)  1r  alcanza su reacción máxima en 1=t 

  2r  alcanza se reacción máxima en 2=t 

  1r  alcanza la reacción máxima en el menor tiempo.

Ejercicio 19En cada......

a)  x 

 x  x f 1

)( +=

Dominio

Como no podemos dividir por cero, debe ser 0≠ x    =)(Dom f  IR }{0−

Asíntotas

El hecho de tener una división por cero cuando nos dice que en 0= x  la función tiene una

asíntota vertical. Esta función no tiene asíntotas horizontales.

Derivamos:

2

11)('

 x  x f  −=

Puntos criticos 11

101

10)(' 2

22=↔=↔=−→=  x 

 x  x  x f 

de donde 111 −==→=  x ó x  x 

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36Si nos probás, aprobás.

Crecimiento y decrecimiento

( )

( )

( )

( ) 0)2('2,1

0)5.0('5.01,0

0)5.0('5.00,1

0)2('21,

>=+∞

<=

<−−=−

>−−=−∞−

f  x 

f  x 

f  x 

f  x 

I.C. = ( ) ( )+∞∪−∞− ,11,

I.D. = ( ) ( )1001 ,, ∪−  

Extremos

Según el criterio de la primera derivada,

en 1−= x f  alcanza un máximo

en 1= x    f  alcanza un mínimo

b) 5

)(2

+=

 x 

 x  x f 

Dominio

Para que esta función este definida, debe cumplirse que:

( )+∞−=⇒−>→>+ ,5)(Dom505 f  x  x 

Asíntotas

5−= x es una asíntota vertical

Derivada

( )( )552

54

5

5

1

2

152

)´(2

2

++

−+=

+

+−+

= x  x 

 x  x  x 

 x 

 x  x  x  x 

 x f ( )

( )552

203

++

+=

 x  x 

 x  x 

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37Si nos probás, aprobás.

Puntos críticos( ) 002030)´( =→=+→=  x  x  x  x f 

  → 3

20−= x 

el valor 3

20−= x  )(Dom f ∉ y por lo tanto no es punto crítico.

Crecimiento y decrecimiento.

( )

( ) 0)1´(1,0

0)1´(10,5

>=+∞

<−−=−

f  x 

f  x 

I.D.: ( )05,−

I.C.: ( )+∞,0

Extremos

En el punto crítico 0= x    f alcanza un mínimo.

c) 2

32)(

+=

 x 

 x  x f 

Dominio: Dom (f ) = IR − {2}Asíntotas

 x = 2 es A.V. y = 2 es A.H.

Derivamos:

22 )2(

7

)2(

)32()2(2)(

−−=

+−−=′

 x  x 

 x  x  x f 

Crecimiento y decrecimiento

Como la derivada es positivaen todo su dominio:

I.C. = IR − {2} I.D. = ∅

La función dada no tiene extremos.

 x 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 80

20

 x 

-5 0 5 10

-10

0

10

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38Si nos probás, aprobás.

d) 16204)( 2 −

−= x  x  x f 

Dominio: Dom (f ) = IR − {−4, 4} ya que estos dos valores anulan el denominador 

Asíntotas

 x = −4 y  x = 4 son A.V. y = 0 es A.H.

Derivamos:

( ) 22

2

22

22

22

2

)16(64404

)16(408644

)16(2)204(164)(

−+−=−

+−−=−

−−−=′

 x  x  x 

 x  x  x  x 

 x  x  x  x  x f 

Crecimiento y decrecimiento

8ó20644040)( 2 ==⇒=−+−⇒=′  x  x  x  x  x f 

 Analizamos los intervalos:

0)(),8(

0)()8,4(

0)()4,2(

0)()2,4(

0)()4,(

<′+∞

>′

>′

<′−

<′−−∞

 x f 

 x f 

 x f 

 x f 

 x f 

I.D. = (−∞, −4) ∪ (−4, 2) ∪ (8, +∞)

I.C. = (2, 4) ∪ (4, 8)

 x = 2 es un mínimo

 x = 8 es un máximo

e) 52

)3()(

2

+=

 x 

 x  x f 

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39Si nos probás, aprobás.

Dominio: Dom (f ) = IR − 

25 ya que este valor de x anula el denominador 

Asíntotas

 x =2

5eson A.V. No tiene A.H.

Derivamos:

[ ]52

)8)(3(2

52

)3(52)3(2

52

2)3()52)(3(2)(

2

−+=

+−−+=

+−−+=′

 x 

 x  x 

 x 

 x  x  x 

 x 

 x  x  x  x f 

Crecimiento y decrecimiento

8ó30)8)(3(20)( =−=⇒=−+⇒=′  x  x  x  x  x f 

 Analizamos los intervalos:

0)(),8(

0)(8,2

5

0)(2

5,3

0)()3,(

>′+∞

<′ 

  

 

<′ 

  

 −

>′−−∞

 x f 

 x f 

 x f 

 x f 

I.C. = (−∞, −3) ∪ (8, +∞)

I.D. =  

  

 −

2

5,3 ∪ 

 

  

 8,

2

5

 x = −3 es un máximo x = 8 es un mínimo

f) 1

43)(

2

2

+−=

 x 

 x  x  x f 

Dominio: Dom (f ) = IR − {−1, 1}

Asíntotas

 x = −1 y  x = 1 son A.V. y = 1 es A.H.

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40Si nos probás, aprobás.

Derivamos:

22

2

22

2323

22

22

)1(

3103

)1(

8623322

)1(

2)43()1()32()(

+−=

−+−+−−=

+−−−−=′

 x 

 x  x 

 x 

 x  x  x  x  x  x 

 x 

 x  x  x  x  x  x f 

Crecimiento y decrecimiento

031030)( 2 =+−⇒=′  x  x  x f  → 33

1==  x  x 

(−∞, −1) →  f ’( x ) > 0

 

  

 −

3

1,1 →  f ’( x ) > 0

 

  

 1,

3

1→  f ’( x ) > 0

(1, 3) →  f ’( x ) < 0

(3, +∞) →  f ’( x ) > 0

I.C. = (−∞, −1) ∪ 

 

 

 

 −

3

1,1 ∪ (3, +∞)

I.D. =  

  

 1,

3

1 ∪ (1, 3)

 x =3

1es máximo

 x = 3 es mínimo

g)  1)(

3

+=  x 

 x 

 x f 

Dominio: Dom (f ) = IR − {−1}

Asíntotas

 x = −1 es A.V. No tiene  A.H.

2

2

2

23

2

32

)1(

)32(

)1(

32

)1(

1)1(3)(

+

+=

+

+=

+

⋅−+⋅=′

 x 

 x  x 

 x 

 x  x 

 x 

 x  x  x  x f 

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41Si nos probás, aprobás.

Crecimiento y decrecimiento

0)32(0)( 2 =+⇒=′  x  x  x f  → 02

3=−=  x  x 

 

  

 −∞−

2

3, →  f ’( x ) < 0

 

  

 −− 1,

2

3→  f ’( x ) > 0

(−1, 0) →  f ’( x ) > 0

(0, +∞) →  f ’( x ) > 0

I.C. =  

  

 −− 1,

2

3 ∪ (−1, 0) ∪ (0, +∞)

I.D. =  

  

 −∞−

2

3,

 x =2

3− es mínimo

 x = 0 es punto de inflexión (cambia allí la concavidad de la curva)

Los ítems h) – k) se hacen de la misma forma que los que hicimos hasta ahora. Te dejo los gráficosde cada función así podes cotejar tus resultados.

h) 4

12)(

2

+

−=

 x 

 x  x  x f  i) 

9

2)(

2 +=

 x 

 x  x f 

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42Si nos probás, aprobás.

 j) 4

3)( 2 +−=

 x  x f  k) 

122552)(

+−−+=  x  x  x f 

Hacemos ahora los que tienen exponencial.

l)2

)(  x e x f  −=

Dominio: Dom (f ) = IR

Asíntotas

 A.V.: No tiene

 A.H.: y = 0

Derivamos:

2

2)(  x e x  x f  −⋅−=′

Crecimiento y decrecimiento

020)(2

=⋅−⇒=′ − x e x  x f  → 0= x 

( )0,−∞ →  f ’( x ) > 0

(0, +∞) →  f ’( x ) < 0

I.C.: ( )0,−∞

I.D.: (0, +∞)

 x = 0 es máximo

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43Si nos probás, aprobás.

m)   x e x f  /1)( =

Dominio: Dom f = IR − {1}

Asíntotas

 x = 1 es A.V.

y = 1 es A.H.

Derivamos:  

  

 −=′

2

/1 1)(

 x e x f   x 

Crecimiento y decrecimiento

Como la derivada es negativa entodo su dominio, nos queda:

I.C. = ∅ I.D. = (−∞, 1)

No tiene extremos.

n)  125 2

)( +−=  x  x e x f 

Dominio: Dom f = IR

Asíntotas

 A.V.: no tiene

 A.H. y = 0 (por izquierda)

Derivamos: )210()( 125 2

−⋅=′ +−  x e x f   x  x 

5

10)210(0)( 125 2

=⇒=−⋅⇒=′ +−  x  x e x f   x  x 

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44Si nos probás, aprobás.

 x 

-8 -6 -4 -2 0 2

-10

-5

0

Crecimiento y decrecimiento

 

  

 ∞−

5

1, →  f ’( x ) < 0

 

  

 +∞,

5

1→  f ’( x ) > 0

I.C. =  

  

 +∞,

5

1I.D. =

 

  

 ∞−

5

1,

5

1= x  es mínimo

p) )1(ln)(  x  x f  −=

Dominio

1 −  x > 0 ⇒ Dom f = (−∞, 1)

Asíntotas

 x = 1 es A.V.

Derivamos: x 

 x f −

−=′1

1)(

Crecimiento y decrecimiento

Como Dom f = (−∞, 1), la derivada es negativa en todo su Dominio, luego:

I.C. = ∅ I.D. = (−∞, 1)

No tiene extremos.

7/27/2019 Guia de Matematicas Resuelta Completa Del Instituto Junin

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45Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 20Sea........

Este ejercicio se resuelve observando el gráfico y teniendo en cuenta que el mismo corresponde ala función derivada )´( x f  y no a )( x f  .

a) Para estudiar crecimiento y decrecimiento, nos basta con recordar el teorema asociado alcrecimiento:

La función f será creciente donde 0)´( > x f  , o sea en el conjunto de positividad de )´( x f   .

Observando el grafico de ´f  , vemos que 0)´( > x f  en ( )4,1

Luego, I.C. = ( )4,1

Por su lado, el decrecimiento de f  corresponde al intervalo donde 0)´( < x f 

Luego, I.D. = ( ) ( )5,41,0 ∪

b) Los puntos críticos de f  son aquellos donde 0)´( = x f  o sea en 1= x  y 4= x  .

Según el criterio de la primera derivada

En 1= x    f  alcanza un mínimo.

En 4= x    f alcanza un máximo.

Ejercicio 21Las poblaciones de...

a) Para demostrar esto basta con hacer t = 0 en la expresión p(t ) dada:

l  p

+=

1)0( pues e

0= 1

b) Estudiamos el crecimiento de p con el signo de su derivada:

Recordando que k , l y a son constantes, resulta:

( )21)(

at 

at 

ke

eak l t  p

+=′

1 4

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46Si nos probás, aprobás.

Noten que e – a t 

> 0 y que  ( ) 012

>+ −at ek 

Suponiendo que las constantes k , l y a son positivas, demostramos entonces que 0>′ )(t  p por ser 

producto de funciones y constantes positivas.

Luego, como 0>′ )(t  p entonces p(t) es creciente.

c) Para demostrar esto, tenemos que analizar el comportamiento de  p(t ) cuando t tiende a + ∞, osea, cuando t toma valores tan grandes como queramos. Una forma de hacerlo es mediante unatabla de valores, o bien analizando la función.

 A medida que t crece, e – a t 

tiende a cero porque a > 0 y en consecuencia:

l ke

l t  p

at t t =

+=

−∞+→∞+→ 1lim)(lim

y la población límite es l .

Ejercicio 22Entre todos.....

a) Dado un rectángulo de lados x e y de área conocida 25, buscamos las dimensiones para que elperímetro sea mínimo.

El perímetro del rectángulo es y  x P  22 += (1)

El área del rectángulo es y  x ⋅=25 (2)

de (2) despejamos y en función de x ,

  x 

y  25= (3) y reemplazamos en (1)

 x  x  x P 

502)( +=

Buscamos el mínimo de esta función. Para eso derivamos:

2

502)(

 x  x P  −=′

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47Si nos probás, aprobás.

Los puntos críticos de esta función son: ↔=−↔= 05020)´( 2 x  x  p

5252 =↔=  x  x  pues 0> x

Luego, para que el perímetro sea mínimo, uno de los lados debe valer 5. La longitud del otro ladose calcula reemplazando en (3):

525

=⇒= y  x 

Te queda demostrar que es un mínimo (podés usar el criterio de la segunda derivada) .

Como ambos lados son iguales, el rectángulo de perímetro mínimo es el cuadrado de lado 5.

b) La longitud de la diagonal del rectángulo se obtiene por Pitágoras:

22 y  x d  += (1)

y el área del rectángulo es y  x ⋅=25 (2)

De (2) despejamos y en función de x 

y  x 25

=→ (3) y reemplazamos en (1)

)(25 22  x d  x 

 x d  = 

  

 +=

Tenemos que hallar  x e  y para que la diagonal tenga la longitud mínima.

Buscamos entonces el mínimo de )( x d  . Sus puntos críticos son:

0)´( = x d 

( )322

12

2 252225

2

1)´( −

⋅⋅−

 

  

 +=  x  x 

 x  x  x d 

La derivada se anula cuando 525250252

2 24

3

2

==↔=↔=⋅

−  x  x  x 

 x 

Te queda como ejercicio demostrar que el punto crítico 5= x  corresponde a un mínimo.Para obtener el otro lado, reemplazamos en 3

525

== x 

De nuevo, se trata de un cuadrado de lado 5 el de diagonal más corta.

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48Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 23¿Cuál de los puntos.......

Buscamos coordenadas x e y de un punto P de la recta 32

1+=  x y  tal que su distancia al punto

origen de coordenadas ( )0,00 =r

sea mínimo.

La función a minimizar es entonces la distancia entre los puntos ( ) ( )0,00y, == y  x P 

22 y  x d  += (1)

donde 32

1+=  x y  (2)

Reemplazando (2) en (1) queda :

)(32

12

2  x d  x  x d  = 

  

 ++=

y buscamos el mínimo de esta función.

Derivando:

 

  

 ++

 

  

 ++=

2

13

2

1223

2

1

2

1)´(

2

12

2  x  x  x  x  x d 

Los puntos críticos salen de pedir: 02

13

2

1220)´( =⋅

 

  

 +⋅+→=  x  x  x d 

despejando x:

 5

63

2

503

2

12 −=↔−=↔=++  x  x  x  x 

Te queda como ejercicio demostrar que este punto crítico corresponde a un mínimo.

La coordenada y sale de 2:

5

123

5

33

2

1=+−=+=  x y 

Luego, el punto mas cercano al origen de esa recta es el  

  

 −=

5

12,

5

6P 

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49Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 30Un hombre.........

  y 

  x x x x 

El dibujo de arriba representa al campo rectangular con las cuatro parcelas. Llamamos x e y a lasdimensiones indicadas en el gráfico.

Se emplean 500m de alambre para cercar al campo (parcelas incluidas) y se quiere que el áreasea máxima.

Los 500m de alambre se emplean para cercar todas las parcelas, entonces :

y  x  58500 += (1)

El área de campo rectangular (base x altura) es: y  x  A ⋅= 4 (2)

De 1 despejamos y en función de  x  x 

y  x 5

8100

5

8500−=

−=→ (3)

y reemplazamos en 2

2

5

32400

5

81004)(  x  x  x  x  x  A −=

 

  

 −=

Fijate que esta función es una cuadrática cóncava hacia abajo pues 05

32<−=a .

Por lo tanto, la parábola tendrá un máximo. El máximo se obtiene con los puntos críticos:

0)´( = x  A .

4

125

64

20000

5

64400)´( ==→=−=  x  x  x  A

La longitud y del campo sale de (3:)

50501004

125

5

8100

5

8100 =−=−=−=  x y 

Cada parcela debe medir entonces de base 31.25 m y de altura 50 m.

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51Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 27El dueño.........

Si el dueño de la huerta siembra 60 arboles, el numero de manzanas obtenidas es 75060×=N 

Si planto 60+1 árboles, cada árbol da 750−5 manzanas y el total será:

( )( )51750160 ⋅−+=N 

Si planta  x +60 árboles el número de manzanas cosechadas es

( )( ) x  x  x N  575060)( −+=

Buscamos x de manera tal que el número )( x N  sea máximo, por lo tanto, derivamos )( x N  y

hallamos sus puntos críticos.

( )( ) 450004505575030045000575060)( 22 ++−=−+−=−+=  x  x  x  x  x  x  x  x N 

de donde,

45010)´( +−=  x  x N 

454510

4500450100)´( =→==↔=+−→=  x  x  x  x N 

Este punto crítico corresponde a un máximo pues la función )( x N  es una parábola cóncava haciaabajo.

Si el dueño de la huerta plantó 1054560 =+ árboles, el número de manzanas producidas por hectárea será máxima.

Ejercicio 28De una...........

Partimos de una hoja rectangular de 60 x 60, de la cual recortamos 4 cuadrados de lado x en susesquinas. El resultado es una caja de lados:

alto = x 

ancho = 60 − 2 x    x  60

largo = 60 − 2 x x 

.La capacidad o volumen de una caja se obtiene haciendo:60

V = (alto) x (ancho) x (largo)

( )( ) 32 42403600260260)(  x  x  x  x  x  x  x V  +−=−−=

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52Si nos probás, aprobás.

Tenemos que hallar x para que el volumen sea máximo. Derivamos y hallamos los puntos críticos.

2124803600)´(  x  x  x V  +−=

01248036000)´( 2 =+−→=  x  x  x V  resolviendo la cuadrática se llega a:

30ó10 ==  x  x 

Desechamos a la solución 30= x  pues en tal caso, el ancho de la caja queda igual a cero

Luego, el lado de los cuadrados debe medir  10= x  cm para que el volumen sea máximo.

Para demostrar que se trata de un máximo realmente, usamos el criterio de la segunda derivada,

0240)10(

24480)(

<−=′′

⇒+−=′′

 x  x V 

Como la derivada segunda en el punto da negativa, se trata efectivamente de un máximo.

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Matemática

CBCPráctica 6(Actualizada)

Cátedra: Gutiérrez

• Integrales

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2Si nos probás, aprobás.

donde hemos elegido (como lo haremos en todos los ítems del ejercicio) arbitrariamente laconstante aditiva C = 0.

Luego, una primitiva de la función dada es  x  x g  2)( =

En general, la primitiva será de la forma C  x  x g  += 2)( C  ∈ IR (constante)

ii. ∫∫ ==′=→=′2

)()()(2 x 

dx  x dx  x g  x g  x  x g 

donde hemos usado la integral de tabla: ∫ ++

=+

C n

 x dx  x 

nn

1

1con n = 1

Luego,2

)(2 x 

 x g  =

iii.  ∫ −==→=′ x dx  x  x g  x  x g  cossen)(sen)(

iv. ∫ ==→=′ x  x  x  edx e x g e x g  )()(

v.  ∫ ==→=′ x dx  x  x g  x  x g  sencos)(cos)(

vi.  ∫ ==→=′3

)()(3

22 x dx  x  x g  x  x g 

vii.  ( )∫ +=+=→+=′42

)()(42

23 x  x dx  x  x  x g  x  x  x g 

Hemos usado aquí una de las propiedades de linealidad que poseen las integrales, queenunciaremos más adelante.

viii.  ∫ +==→=′

+

1)()(

1

n

 x dx  x  x g  x  x g 

nnn

b) Una primitiva de  x  x 

 x f  cos21

)( += puede ser:

92ln)( ++= x sen x  x F 

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3Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 2a) Hallar......

∫ ∫ +===→=′ C  x 

dx  x dx  x  x g  x  x g 2

555)(5)(2

donde hemos usado la primera propiedad de linealidad para extraer el factor constante 3 fuera dela integral.

Como además debe verificarse g (0) = 3 podemos obtener la constante C 

C  x  x g  +=2

2

5)( g (0) = 3 → 3 = C 

de donde: 32

5)( 2 += x  x g 

b)  C  x 

 x g  x  x g  +−=→−=′3

)()(3

2

para calcular C hacemos:

3

7

3

122)1(

3

=→+−=→= C C g 

Luego,

3

7

3)(

3

+−=x 

 x g 

c)  ∫ ∫ +=−=−=→−=′ C  x dx  x sendx  x sen x g  x sen x g  cos)()(

Como g (π) = 4 →   ( ) 5cos4 =→+= C C π 

En consecuencia, 5cos)( += x  x g 

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4Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 3Calcular.......

Para resolver este ejercicio emplearemos la tabla de primitivas dada, así como las propiedades delinealidad.

a) ∫ += C  x 

dx  x 4

43

b) ∫ += C  x 

dx  x 501

501500

c) ∫ ∫ +== C  x dx  x dx  x  23

21

3

2

d) ∫ ++=+ C  x sen x dx  x  x  3)cos34( 43

e) dx  x  x  x dx  x  x  x  x dx  x  x dx  x  x  ∫∫ ∫∫  

  

 ++= 

  

 ++= 

  

 += 

  

 +

−−−− 2

5

2

1

2

1

221

636

2

3

2

3

  C  x 

 x  x  ++−−=−−

23

4

5

1 25 2

3

f) ∫ +−+−=++− C  x  x  x dx  x  x  x  cossen22

1)sencos2( 2

g) C e x dx e x 

 x  x  +−= 

  

 + −−

∫2ln2

1

h) ( ) ∫ ∫∫∫ +−=−= 

  

 −=− C  x  x dx  x dx  x dx  x  x  x dx  x  x  x  2

2

1

5

225

23

21

21

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5Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 4Un móvil......

Conocida la aceleración, debemos buscar la posición en función del tiempo )(t S  .

La relación entre velocidad y aceleración es

∫= dt t at v  )()( (1)

y la relación entre velocidad y posición es

∫= dt t v t S )()( (2)

Con (1) calculamos la velocidad:

( ) ( )∫ ∫ =−=−= dt t t dt t t t v  66)( 2 C t 

t  +−2

63

1 23

Para determinar a la constante C usamos el dato del enunciado: en 0=t  la velocidad es 36 km/h,entonces:

C =36 de donde 3633

1)( 23 +−= t t t v 

Si quieren, con (2) calculamos la posición en función del tiempo:

∫ ∫ =

+−== dt t t dt t v t S 363

3

1)()( 23 K t t t  ++− 36

12

1 34

Ejercicio 5Un cohete.........

Calculamos la velocidad en el instante t  :

∫ ∫ ++=

 

 

 

 +== C t t dt t dt t at v  2

3

2

1

3

21)()(

Como el cohete esta en reposo en 0=t  se tiene 0=C    t t t v  +=⇒ 2

3

3

2)(

La velocidad en 64=t  seg se calcula haciendo:

m/s3,40564643

2)64( 2

3

=+=v 

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6Si nos probás, aprobás.

Calculamos la posición en función del tiempo:

∫ ∫ ++=

 

 

 

 +== C t t dt t t dt t v t S 22

5

2

3

2

1

5

2

3

2

3

2)()(

En el instante inicial, suponemos que su posición es 00 SC S =→

La distancia del punto de partida es la diferencia →− 0)( St S

)(2

1

15

4)( 22

5

0 t d t t St S =+=−

Esta distancia en el instante 64=t  vale m13.10786)64( =d 

Ejercicio 6 Aplicando.......

El método de sustitución consiste en efectuar un cambio de variable para llevar a la integral dada ala forma de una integral más sencilla, en términos de esa nueva variable, que sea conocida opueda resolverse por tabla.

Definimos previamente:

diferencial de una función f ( x ) dx  x f df  )(′=

a)  ∫ ∫= dx  x dx  x  7sen77sen7

La integral que conocemos es ∫ −= t dt t  cossen

Luego, hacemos el siguiente cambio de variable, y derivando:

dt dx dx dt  x t 7177 =→=→=

Entonces,

∫ ∫ ∫== dt t dt t dx  x  sen7

1sen77sen7

Observen que la integral nos ha quedado solamente en términos de la nueva variable t , no debeaparecer la vieja variable  x. Si aparece hemos hecho un mal cambio de variable al aplicar sustitución, o hicimos mal algún despeje el método no es aplicable.

7/27/2019 Guia de Matematicas Resuelta Completa Del Instituto Junin

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7Si nos probás, aprobás.

Como la integral a la que hemos llegado está en tabla, podemos poner: ∫ −= t dt t  cosseny volviendo a la variable original,

∫ +−= C  x dx  x  7cos7sen7

b)  ∫ dx  x 7cos Haciendo la misma sustitución que antes:

dt dx dx dt 

 x t 

515

5

=→=

→=

C  x C t dt t dt t dx  x  +=+=== ∫ ∫∫ 7sen7

1sen

7

1cos

7

1

7

1cos7cos

c) ( )

dx x

 x

∫ + 12En este caso llamamos t = x 

2 + 1

dx  x dt dx  x dt  =→=2

12

( x dx  es parte del integrando)

Luego,

( ) ∫ ∫∫ ++=+===+

C  x C t t 

dt 

dt dx 

 x 

 x  22

1ln2

1ln

2

1

2

1

2

1

1

d)  ∫ −dx 

 x  5

1Definiendo t = x  − 5 → dt = dx 

∫∫ +−=+==−

C  x C t t 

dt dx 

 x 5lnln

5

1

e) ( )∫ dx  x  x  23sen

Si hacemos

dx  x dt dx  x dt  x t  =→=→=6

162

( ) ( )∫∫ +−=+−== C  x C t dt t dx  x  x  22 3cos6

1cos

6

1

6

1sen3sen

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8Si nos probás, aprobás.

f)  ∫∫−= dx  x  x 

 x  x  33 cossen

cossen

En este caso t = cos x  → dt = −sen x dx  → −dt = sen x dx 

∫∫∫ +=+=−=−

= −− C  x 

C t 

dt t t 

dt dx  x  x 

223

33

cos

1

2

11

2

1cossen

g)  ∫− dx  x  x  ln1 Llamando dx  x dt  x t  1ln −=→=

∫∫ +=+==− C  x C t 

dt t dx  x  x  22

1 ln2

1

2ln

h)  ∫∫−= dx  x  x 

 x 

dx  x )(lncos

)(lncos 1  

Llamando nuevamente dx  x dt  x t  1ln −=→=

C  x C t dt t dx  x  x  +=+== ∫∫− )(lnsensencos)cos(ln1

i)  ( )∫−

+++ dt t t t  32

64)2( 2

El cambio de variable adecuado es

dt t dx 

dt t dx t t  x  )2(2

)42(642 +=→+=→++=

( ) ( ) C t t C  x dx  x dx 

 x dt t t t  +++=+===+++ ∫∫∫−−−

31

31

32

32

32

64

2

3

2

3

2

1

2

52)2( 22

 j)  ∫−

 

  

 + dy y y  2

154

21

4 El cambio de variable que efectuamos es

dy y dx dy y dx y  x  21

21

21

22

14

−−=→=→+=

C y C  x dx  x dx  x dy y y  + 

  

 +=+===

+ ∫∫∫

− 5

9

21

59

54

54

215

4

21

49

10

9

10224

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9Si nos probás, aprobás.

k)  dx e x 5∫ Cambio de variable

555

dt dx dx dt  x t  =→=→=

  C eC edt edt 

edx e x t t t  x  +=+=== ∫∫∫55

5

1

5

1

5

1

5

l) ∫ dx e x  x 43

hacemos la sustitución 44

334 dt 

dx  x dx  x dt  x t =→=→=

  C eC edt 

edx e x  x t 

t  x  +=+== ∫∫44

4

1

443

m)  dx  x  x ∫− 21 ln hacemos la sustitución dx xdxdt  xt  11

ln −==→=

∫ ∫+=+==− C  x C 

t dt t dx  x  x  3

3221 ln

3

1

3

)(ln

n)  ∫−− dx  x  1)34(

Hacemos la sustitución dt dx dx dt  x t 3

1334 −=→−=→−=

∫ ∫ ∫ +−−=+−=−=−=− − C  x C t t 

dt 

dt dx  x  34ln

5

1ln

3

1

3

1

3)34( 1

o) ( )∫ + dx  x  x  21

25

Hacemos la sustitución t = 5 + x 2

22

dt dx  x dx  x dt  =→=

( ) ( ) C  x C t dt t dt 

t dx  x  x  ++=+===+ ∫∫∫ 23

23

21

21

21

22 53

1

3

1

2

1

25

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10Si nos probás, aprobás.

p)∫ ++

−dx  x  x  )12ln()12(

1

Llamamos: t = ln(2 x + 1) dx  x dt 

dx  x 

dt  1)12(212

2 −+=→+

=

∫∫ ++=+==++ − C  x C t dt 

t dx  x  x  )12(ln4

1

42)12ln()12( 2

21

q) ∫− dx  x  x  71 ln sustitución t = ln x  → dt = x 

-1dx 

∫∫ +=+==− C  x C t 

dt t dx  x  x  88

771 )(ln8

1

8ln

r)  dx  x  x 

 x ∫ −+

+

832

3105

4

 Aquí usamos

dx  x dt  x  x t  )310(832 45 +=→−+=

( )∫∫ +−+=+==−+

+C  x  x C t dt 

t dx 

 x  x 

 x 832lnln

1

832

310 55

4

Ejercicio 7 Aplicando........

El método de integración por partes se basa en la regla de derivación del producto de dosfunciones.

Dadas dos funciones u( x ) y v ( x ) la fórmula de integración por partes es:

∫ ∫ ⋅′−⋅=⋅ dx  x v  x u x v  x udx  x v  x u )()()()()()(

El aspecto fundamental del método de integración por partes radica en la elección de quién es u( x )y quién es v ′( x ).

a) ∫ dx  x  x cos

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11Si nos probás, aprobás.

En este caso nos conviene tomar:

u( x ) = x v ′( x ) = cos x 

Observen que en la fórmula de integración por partes aparecen además u′( x ) y v ( x ).

Obtenemos u′( x ) a partir de u( x ) derivando:

u( x ) = x →  u′( x ) = 1

Podemos obtener v ( x ) a partir de v ′( x ) integrando:

v ′( x ) = cos x  →   v ( x ) = sen x  (integral de tabla)

Reemplazando en la fórmula nos queda:

∫∫ −= dx  x  x  x dx  x  x  sensencos

Fíjense que hemos pasado de una integral desconocida a una más sencilla que la original, que seencuentra en tabla.

∫ −= x dx  x  cossen

Luego,

C  x  x  x C  x  x  x dx  x  x  ++=+−−=∫ cossen)cos(sencos

b)  ∫ dx  x  x  sen2

Resolvemos por partes tomando:

u( x ) = x 2 →   u′( x ) = 2 x 

v ( x ) = -cos x  →   v ′( x ) = sen x 

∫∫∫ +−=+−= dx  x  x  x  x dx  x  x  x  x dx  x  x  cos2cos2coscossen 222

y llegamos a la integral del ejercicio anterior. Reemplazando nos queda:

C  x  x  x  x  x dx  x  x  +++−=∫ )cossen(2cossen 22

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12Si nos probás, aprobás.

c)  ( )∫−

− 2

1

5 x  x 

u( x ) = x  →   u′( x ) = 1

v ( x ) = 2 ( x  − 5)1/2 →   v ′( x ) = ( x − 5)-1/2

Luego,

( ) ∫∫∫ −−−=−−−⋅=− −dx  x  x  x dx  x  x  x  x  x  2

121

21

21

21

)5(2)5(2)5(2)5(25

Hemos llegado a otra integral, que se resuelve en forma directa. Resolviendo esa integral nosqueda:

( ) 23

21

23

21

21

21

21

)5(3

4)5(2)5(

3

22)5(2)5(2)5(25 −−−=−⋅−−=−−−=− ∫∫

− x  x  x  x  x  x dx  x  x  x  x  x 

d)  ( )( ) dx  x  x  x ∫−−+ 42 32 Resolvemos por partes

u( x ) = x 2 + 2 x  → u′( x ) = 2 x + 2

3

)3()(

3

−=

− x  x v  → v ′( x ) = ( x − 3)-4

Usando la fórmula:

( )( ) ( ) ∫∫−−− −+++−−=−+ dx  x  x  x  x  x dx  x  x  x  32342 )3()22(

3

12)3(

3

132 (1)

Llegamos a otra integral que se resuelve por partes:

u( x ) = 2 x + 2 → u′( x ) = 2

2)3()(

2

−−=

− x  x v  → v ′( x ) = ( x − 3)-3

Entonces, resolviendo esa integral:

2222

223

)3()3)(1()3()3)(22(2

1

)3()3)(22(2

1)3()22(

−−−−

−−−

−−−+−=−−−+−=

−+−+−=−+∫ ∫

 x  x  X  x  x  x 

dx  x  x  x dx  x  x 

(2)

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13Si nos probás, aprobás.

donde hemos resuelto la integral que nos quedó en el primer renglón en forma inmediata.Reemplazando (2) en (1) nos queda:

( )( ) ( ) [ ]222342 )3()3)(1(3

12)3(

3

132 −−−− −−−+−++−−=−+∫ x  x  X  x  x  x dx  x  x  x 

e)  ∫ dx  x e x sen

El integrando es un producto que resolvemos por partes:

u( x ) = sen x  → u′( x ) = cos x 

 xe xv =)( → v ′( x ) =  xe

∫ ∫−== dx  x e x edx  x eI  x  x  x  cossensen (1)

La última integral obtenida tiene el mismo aspecto que la original y se resuelve del mismo modopor partes. Llamemos:

∫= dx  x e A x cos

u( x ) = cos x  → u′( x ) = -sen x 

 xe xv =)( → v ′( x ) =  xe

∫∫ +== dx  x e x edx  x e A x  x  x  sencoscos (2)

Hemos integrado 2 veces, y obtuvimos la misma integral del enunciado (1) en forma recursiva.Reemplazando (2) en (1) queda:

∫ ∫−−= dx  x e x e x edx  x ex  x  x  x 

sencossensen

Pasando la integral del segundo miembro al primero:

∫ −= x e x edx  x e x  x  x  cossensen2

Finalmente podemos calcular la integral pedida simplemente pasando el factor 2 que la acompaña,dividiendo al miembro de la derecha. Luego,

∫ +−= C  x  x e

dx  x e x 

 x  )cos(sen2

sen

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14Si nos probás, aprobás.

f) ∫ dx  x e x  2cos3

Esta integral se resuelve igual que la anterior:

u( x ) = cos 2 x  → u′( x ) = −2 sen2 x 

 x e x v  3

3

1)( = → v ′( x ) =  x e3

∫∫ +== dx  x e x edx  x ex  x  x 

2sen3

22cos3

12cos 333 (1)

Volvemos a resolver por partes: ∫= dx  x e A x  3sen2

u( x ) = sen 2 x  → u′( x ) = 2 cos 2 x 

 x e x v  3

3

1)( = → v ′( x ) =  x e3

∫∫ −== dx  x e x edx  x e A x  x  x  2cos

3

22sen

3

12sen 333 (2)

Reemplazando (2) en (1):

−+= ∫∫ dx  x e x e x edx  x e x  x  x  x  2cos

3

22sen

3

1

3

22cos

3

12cos 3333

agrupando la integral pedida en el primer miembro:

 

  

 +=∫ x  x edx  x e x  x  2sen

9

22cos

3

12cos

9

13 23

de donde:

C  x  x edx  x e x  x  + 

  

 +=∫ 2sen

9

22cos

3

1

13

92cos 23

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15Si nos probás, aprobás.

g)  ∫ ∫ ⋅= dx  x  x dx  x  x  lnln44

u( x ) = ln x  → u′( x ) = x -1

5)(

5 x  x v  = → v ′( x ) = x 

4

C  x 

 x  x 

dx  x  x  x 

dx  x 

 x  x  x 

dx  x  x  ++=+=+= ∫∫∫−

25ln

25

1ln

55ln

5ln

554

551

54

h)  ∫dx e x  x 

u( x ) = x  → u′( x ) = 1

 xe xv =)( → v ′( x ) =  xe

Reemplazando nos queda:

∫∫ +−=−= C ee x dx ee x dx e x  x  x  x  x  x 

i)  ∫dx e x  x 2

u( x ) = x 2 → u′( x ) = 2 x 

 x e x v  =)( → v ′( x ) =  x e

∫∫ −= dx  x ee x dx e x  x  x  x  222

Esta última integral la calculamos en el ejercicio anterior, por lo tanto:

( ) C ee x e x dx e x  x  x  x  x  +−−=∫ 222

 j)  ( ) dx e x  x −

∫ + 32

u( x ) = x 2 + 3 → u′( x ) = 2 x 

 x e x v  −−=)( → v ′( x ) =  x e −

( ) ( ) ∫∫−−− ++−=+ dx e x dx e x dx e x  x  x  x  233 22 (1)

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16Si nos probás, aprobás.

Volvemos a integrar por partes ∫− dx e x  x 

u( x ) = x  → u′( x ) = 1

 x e x v  −−=)( → v ′( x ) =  x e −

 x  x  x  x  x  ee x dx ee x dx e x  −−−−− −−=+−= ∫∫ (2)

Reemplazando (2) en (1):

( ) ( ) ( ) C ee x dx e x dx e x  x  x  x  x  +−−++−=+ −−−−

∫ 233 22

k)  ( )∫ ∫ ⋅−=− dx  x  x dx  x  x  lnln 414

donde hemos usado la propiedad del logaritmo: AB AB lnln ⋅=

Pero la integral que nos quedó ya la hemos resuelto en el ítem g). Luego,

( )∫ ∫ ⋅−=− dx  x  x dx  x  x  lnln 414 C  x 

 x  x 

+−−25

ln2

55

l)  ∫− dx e x  x 3

Les queda para ustedes, comenzando con:

u( x ) = x 3 → u′( x ) = 3 x 

2

 x e x v  −−=)( → v ′( x ) =  x e−

Llegan a una integral similar a la que calculamos en el ítem i).

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17Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 8Calcular.......

En este ejercicio podemos utilizar cualquiera de los métodos de integración que se han visto.

a)  ∫ + dx  x  x  54

2)5(

Tomando:

u( x ) = ( x + 5)2 → u′( x ) = 2 ( x + 5)

5

9

9

5)( x  x v  = → v ′( x ) = 5

4

 x 

nos queda:

dx  x  x  x  x dx  x  x  )5(9

10)5(

9

5)5( 5

959

54

22 +−+=+ ∫∫ (1)

Vamos a aplicar partes en esta última integral:

u( x ) = x + 5 → u′( x ) = 1

514

14

5)( x  x v  = → v ′( x ) = 5

9

 x 

∫ ∫ +⋅−+=−+=+ C  x  x  x dx  x  x  x dx  x  x  519

514

514

514

59

19

5

14

5)5(

14

5

14

5)5(

14

5)5( (2)

Reemplazando (2) en (1):

C  x  x  x  x  x dx  x  x  +

−+−+=+∫ 5

195

1459

54

266

25)5(

14

5

9

10)5(

9

5)5( 22

b)  ∫ dx  x 

 x )(lnsen

aquí nos conviene utilizar la sustitución x 

dx dt  x t  =→= ln

∫∫ +−=+−== C  x C t dt t dx  x 

 x )(lncoscossen

)(lnsen

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18Si nos probás, aprobás.

c)  dx  x  x dx  x  x  x  tg)ln(coscossen)ln(cos ⋅=∫

Proponemos aquí la sustitución:

dx  x dx  x  x 

dt  x t  tg)sen(cos

1)ln(cos −=−=→=

con ese cambio de variable, la integral nos queda:

∫∫ +−=+−=−= C  x C t 

dt t dx  x  x  )(cosln2

1

2tg)ln(cos 2

2

d)  ( )dx  x ∫ + 23sen

La sustitución adecuada es:

322

33

232

123

+=

+=→+=

 x 

dx dx 

 x dt  x t 

pero como dx dt t 

dx dt t  x  =→=→=+

3

2

2

323

Volviendo a la integral:

( ) ∫∫ ⋅=+ dt t t dx  x  )(sen3

223sen

Esta integral ya fue resuelta y vale: ∫ +−= t t t dt t t  sencossen

Luego,

( ) ( ) ( )[ ] C  x  x  x dx  x  +++++−=+∫ 23sen23cos233

2

23sen

e)  ( )∫ ∫ +=+ dx  x dx  x  )2ln(2

12ln

donde hemos usado nuevamente la propiedad del logaritmo ln AB = B ln A

Hacemos la sustitución:

t = x + 2 dt = dx 

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19Si nos probás, aprobás.

∫ ∫=+ dt t dx  x  ln)2ln( que se resuelve por partes haciendo:

u(t ) = ln t  → u′(t ) = 1/ t 

t t v  =)( → v ′(t ) = 1

Luego,

t t t dt t t t 

dt t t t dt t  ∫∫ ∫ −=−=−= lnlnlnln

Volviendo a la integral original:

( ) ( ) [ ] C  x  x  x C t t t dx  x  ++−+⋅+=+−=+∫ )2()2ln()2(2

1ln

2

12ln

f)  ( )∫ ∫ +=+ dx  x  x dx  x  x  )3ln(2

13ln

donde hemos usado la misma propiedad del logaritmo que utilizamos en un ejercicio anterior.

Proponemos entonces la sustitución:

t = x + 3 → x = t  − 3 dt = dx 

( )∫ ∫∫ ∫ −=−=+ dt t dt t t dt t t dx  x  x  ln3lnln)3(3ln

debido a la propiedad de linealidad de las integrales.

Observen que los 2 términos que nos han quedado representan integrales que ya han sido

resueltas en ejercicios anteriores. Usando esos resultados nos queda:

( )∫ +

++

+−+

 

 

 

 +−

+=+ C  x 

 x  x  x 

 x dx  x  x  )3(3

4

)3()3ln()3(3

2

)3(

2

13ln

22

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20Si nos probás, aprobás.

g)  ∫dx  x )(lncos

Proponemos la sustitución x 

dx dt  x t  =→= ln

como t e x  x t  =→= ln con lo cual dx dt e x 

dx dt  t  =→=

Nos queda entonces:

∫∫ ⋅= dt et dx  x  t cos)cos(ln

Esta última integral es casi la misma que la del ítem e) del ejercicio 8, y se resuelve por partes:

2

)sen(coscos

t t edt et 

t t  +

=⋅∫

Volviendo a la variable x original:

( ) ( )∫ ++=++= C  x  x  x 

C  x  x e

dx  x  x 

)(lnsen)cos(ln2

)(lnsen)cos(ln2

)cos(lnln

pues eln x = x 

h) dx  x 

 x  x ∫

)cos(lnlnHacemos la sustitución

 x 

dx dt  x t  =→= ln

∫∫ = dt t t dx  x 

 x  x cos

)cos(lnln

Integral que se resuelve por partes tomando:

u(t ) = t  → u′(t ) = 1

t t v  sen)( = → v ′(t ) = cos t 

∫ ∫ ++=−⋅= C t t t dt t t t dt t t  cossensensencos

Volviendo a la integral original:

C  x  x  x dx  x 

 x  x ++⋅=∫ )cos(ln)(lnsenln

)cos(lnln

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21Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 9Usando.....

La regla de Barrow nos da un método para calcular integrales definidas a partir de integralesindefinidas.

Regla de Barrow

Si F( x ) es una primitiva cualquiera de la función continua )( x f  entonces:

∫ −=b

aaF bF dx  x f  )()()(

Lo cual nos dice que ∫b

adx  x f  )( se calcula evaluando una primitiva de f  en el límite superior,

luego en el inferior y restando ambos valores.

Para simplificar la notación se suele escribir: )()( aF bF  − =b

a x F  )(

a) 12)2)(3(233332

2

2

2

2

2−=−−−⋅−=−=−=−

−∫∫ −− x dx dx 

b) ( ) ( )∫− −

=−=−−==4

1

444

1

3

4

2551256

4

1)1(4

4

144 x dx  x 

c) ( ) ( )∫ =+=−−−=−=π 

π π 

0 0211)0cos(coscossen dx  x 

d) ∫−

−=

 

  

 −+

 

  

 −=−=

2/

2/

2/

2/0

2cos

2coscossen

π 

π 

π 

π 

π π  x dx  x 

e) ( )∫ =− 

  

 ==

2/0sensensencos

0

2/

0 2

π  π π 

1t dt t 

f)  ( ) ( )∫ ∫∫− − −−=−=−−====

3

2

443

2

3

2

333

2

3 130)1681(2)2(3244

8882 x dx  x dx  x dx  x 

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22Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 10a) Sabiendo.......

Los integrales definidas cumplen con las propiedades de linealidad:

•  ( )∫ ∫=b

a

b

adx  x f k dx  x f k  )( ∈k  IR

•  ( )( ) ∫∫ ∫ ±=±b

a

b

a

b

adx  x g dx  x f dx  x g  x f  )()()(

a) Nos piden que calculemos

∫−

+6

2

)3)(( dx  x f  sabiendo que 5)(6

2

=

∫−

dx  x f 

( ) 29245)2(6353)(3)()3)((6

2

6

2

6

2

6

2

6

2=+=−−+=+=+=+ ∫ ∫∫∫ − −−−−

 x dx  x f dx dx  x f dx  x f 

Luego, 29)3)((6

2=+∫−

dx  x f 

b) Sabiendo que 8)4)((5

1=−∫ dx  x f  podemos aplicar la segunda propiedad y obtener:

84)(

5

1

5

1 =−∫∫dx dx  x f 

24)15(484848)(5

1

5

1

5

1=−+=+=+= ∫∫ x dx dx  x f 

entonces,

24)(5

1=∫ dx  x f 

Ejercicio 11a) Hallar a...

 Aquí nos piden hallar a /3

211 2

=∫a

 x 

Como x  x 

112

−=∫ , nos queda:

3

21

11

111

11 2=+−⇒+−=−=∫ aa x  x 

aa

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23Si nos probás, aprobás.

despejando a,

33

11=⇒−=− a

a

b) 131

4

1

−= 

  

 −∫ dx a

 x 

Reescribimos y desarrollamos:

aaax  x a x dx a x dx a

 x 

32)14()12(221 4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

21

21

21

−=−⋅−−⋅=−=−=

 

 

 

 −=

 

 

 

 − ∫∫∫∫

−−

Luego,

51531332 =⇒−=−⇒−=− aaa

Ejercicio 12Usando la regla.....

a)  ∫3

6 sen

cosπ 

π 

duu

Propondremos la sustitución  x = sen u  ⇒ dx = cos u du

Observen que los límites de integración corresponden a la variable de integración u. Si cambiamosde variable, deben cambiar los límites de integración.

si u =6

π entonces  x = cos

 

  

 

6

π =

2

3

si u =3

π entonces  x = cos

 

  

 

3

π =

2

1

Pasando a variable x se obtiene:

∫3

6 sen

cosπ 

π 

duu

u ( ) 3ln2ln3ln2ln1ln2

3ln

2

1lnln

2/1

23

2/1

23−=−−−=

 

 

 

 −=== ∫ x 

 x 

dx 

3lnsen

cos3

6

−=∫π 

π 

duu

u

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24Si nos probás, aprobás.

b)∫

+

2

3 2

e

sds Propondremos la sustitución  x = s − 2 →  dx = ds

Cambiamos de límites.

si s = 3 → x = 1

si s = e + 2 → x = e

Luego,

1211lnlnln2

2

31

2

3 1 =−→=−===− ∫∫ ∫

++ eee

s

ds

e x 

e

 x 

dx 

s

ds

c) ( ) =+=−=−−

−− −

−∫ ∫∫

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 x  x  x  x  x  x  eedx edx edx ee  e – e –1

 + e –1 – 

e1 = 0

( )∫−

− =−1

10dx ee x  x 

d)  ( )∫−+6/

0

2 2cos2sen1π 

dx  x  x 

Sustitución: t = 1+ sen (2 x )

dt = cos (2 x ).2 dx  → cos (2 x ) dx = dt 2

1

Los límites de integración cambian según:

1)0(sen10 =+=→= t  x 

2

31)

62(sen1

6+=+=→=

π π t  x 

Nos queda entonces,

( )

 

 

 

 

+

−=−==++

−+

−−

∫∫ 1

2

31

1

2

1

2

1

2

12cos2sen1

23

23 1

1

11

1

26/

0

2t dt t dx  x  x 

π 

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25Si nos probás, aprobás.

f)∫ +

7

22 dx  x  x  integramos por partes tomando:

Sustituimos según: dx du x u =⇒+= 2

 Además si 22 −=⇒+= u x  x u

Para ver los límites:

97

42

=⇒=

=⇒=

u x 

u x 

Luego,

( )

15

886

15

1601925401458

3

32

5

6436

5

486

43

44

5

29

3

49

5

2

3

4

5

2222 2

325

23

25

23

25

21

23

21 9

4

9

4

9

4

7

2

=+−−

  

 −−−=

  

 −−−=−=−=⋅−=+ ∫∫∫ uuuuuudx  x  x 

g) ( )∫− ++

0

1

2 43

)1(1 dx  x  x 

Integramos por partes tomando:

u( x ) = x 2+1 u′( x ) = 2 x 

v ( x ) = 47

)1(7

4+ x v ′  ( x ) = ( )4

31+ x 

∫∫ −−

−=+−++=++

0

1

0

1

20

1

2 47

47

43

)1(7

8)1)(1(

7

4)1)(1( dx  x  x  x  x dx  x  x  ∫−

+−0

1

47

)1(7

8

7

4dx  x  x  (1)

La última integral se resuelve por partes:

u( x ) = x u′( x ) = 1

v ( x ) = 411

)1(11

4+ x v ′  ( x ) = ( )4

71+ x 

)2(165

16)1(

11

4)1(

11

4)1()1(

0

1

0

1

0

1

0

1

415

411

411

47

154

114 −=+−=+−+=+⇒

−−−

−∫∫ x dx  x  x  x dx  x  x 

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26Si nos probás, aprobás.

Reemplazando (2) en (1) queda:

∫−=++

0

1

2 43

)1)(1( dx  x  x 1155

788

1155

128660

1155

128

7

4

165

16

7

8

7

4=

+=+=

 

  

 −−

Les queda el ítem h) para ustedes. Se hace por sustitución con  x u ln=

Ejercicio 13Establecer........

Cálculo de áreas mediante integrales

Una aplicación de las integrales es el cálculo de áreas de regiones en el plano.

Se presentan tres casos que estudiamos a continuación:  y 

•   f    es una función positiva en [ ]ba,

Supongamos que  [ ]ba x  x f  ,0)( ∈∀≥

El área comprendida por la curva )( x f y =

las rectas verticales a x = y b x = y   x 

  a   b

el eje x es: ∫=Αb

adx  x f  )(

•   f  es una función negativa en [ ]ba, y

Supongamos que [ ]ba x  x f  ,0)( ∈∀≤

El área comprendida por la curva )( x f   y =a b x

las rectas verticales x = a, x = b y el eje x  está dado por:

∫−=b

adx  x f  A )(

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27Si nos probás, aprobás.

• Área encerrada entre dos funciones

El área encerrada entre dos

funciones se calcula integrando

la diferencia entre ambas

Es decir,

[ ]∫ −=Αb

adx  x g  x f  )()(

donde f ( x )es la función que limita a la región por arriba y g ( x ) es la función que limita a la región por abajo.

Los limites de integración son los puntos de intersección entre las funciones y se calculan haciendof ( x ) = g ( x ). A partir de los gráficos de área encerrada de la práctica, expresamos las mismas enforma de integral.

a) A = ( )∫ −3

0)()( dx  x f  x g 

b) A = ∫−

7

0 )( dx  x f 

Este caso corresponde a una única función negativa en el intervalo [ ]3,0 y por esa razónen el área aparece un signo menos.

c) La función que limita por arriba al recinto sombreado es g ( x ) y la que lo limita por abajo es f ( x ).Los límites de intersección son: 2−=a 6=b

Luego, el área es: [ ]∫−−=

6

2)()( dx  x f  x g  A

d) La función que limita por arriba al área sombreado cambia según el intervalo.

En [a,b] g está por arriba

En [ ]cb,   f está por arriba

Luego, el área sombreado es suma de dos áreas: ∫ ∫+=b

a

bdx  x f dx  x g  A )()(

 x 

)( x f  

)( x g 

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28Si nos probás, aprobás.

f) Este área puede pensarse también como suma de las áreas de dos regiones.

La región A1 (rectángulo correspondiente a x entre 0 y 1, y ordenada entre 1 y 4 está limitada por arriba por la función g ( x ) = 4 y por abajo por la función h( x ) = 1; entonces

∫ −=1

01 )14( dx  A

La región A2 (lo que resta del área sombreada) está limitada por arriba por la función 4)( = x g  y por 

abajo por la función ;)( 2 x  x f  = entonces:

  y 

∫ −=

2

122 )4( dx  x  A 4

 En ambos casos, los límites de integración  A1

se observan claramente en el gráfico1

∴ ∫ ∫ −+−=1

0

2

1

2 )4()14( dx  x dx  A  

e) Esta función es positiva en [ ]ba, y negativa en [ ].,3 a−

Luego, es necesario aplicar dos casos de áreas. Para el área de la izquierda escribimos:

∫−−=

a

dx  x f  A3

1 )( pues f es negativa

y para el área de arriba: ∫=b

adx  x f  A )(2 pues f es positiva.

El área total es ∫∫ −−=→+=

ab

adx  x f dx  x f  A A A A

321 )()(

Ejercicio 14Calcular........

a) 2 x y = ; 2+= x y 

Disponemos de dos funciones

2)( += x  x f 

2)( x  x g  =

1 2  x 

2 A

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29Si nos probás, aprobás.

cuyo gráfico es:

Los límites de integraciónse obtienen haciendo:

  f ( x ) = g ( x )

022 22 =−−↔+= x  x  x  x 

   x =2

312

811 ±=+±

Luego, a = -1 y b = 2. Usando el último caso de áreas resulta:

( )∫ ∫ =+−=+−=−=−

b

a

b

a x  x  x dx  x  x dx  x g  x f  A

2

1

2 233

22

)2()()(

2

7  A =→

 

 

 

  −+−−−−⋅+−= )1(3)1(

2)1(22

32

22 3232

 A

b)   x y = ; 62 −= x y 

Planteamos la intersección:

066 22 =−−⇒=− x  x  x  x 

Esta ecuación se resuelve con la fórmula de la cuadrática . El resultado es 2−=a y 3=b .

 x

-2 -1 1 2

2

4

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30Si nos probás, aprobás.

 

 x 

-3 0 3

)( x f    

)( x g 

 A2 A1

( )

6

125

6

7216121085427

123

82189

2

96

33

22

)6()()(3

2

3

2

2

=+−−+−

  

 −+−+−=+−=+−=−= ∫ ∫− −

b

a x  x  x dx  x  x dx  x g  x f  A

c) y  = x 3 ; y = 9 x 

3)( x  x f  = x  x g  9)( =

Límites de integración:

09)()( 33 =−↔=↔= x  x  x  x  x g  x f 

de donde resulta:

 x = 0 x = 3 x = −3

Quedan definidas dos regiones; por la simetría del gráfico, se puede ver que las dos regionestienen la misma área:

∫ ∫− −−

  

 −−=−=−=−=

0

3

0

3

0

3

24

31 4

81

2

81

4

810

2

9

4)9())()(( x 

 x dx  x  x dx  x g  x f  A

2

81

4

81

4

81=+=⇒ T  A

d) 50)4(4 ≤≤−−=+−= x  x  x y  x y 

Hallamos la intersección de ambas:

4,1

045

44

2

2

==

→=−+−

⇒+−=+−

 x  x 

 x  x 

 x  x  x 

Luego, el área buscadaviene dada por:

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31Si nos probás, aprobás.

 x 

-1 0 1 y

4

1

 A1 A2

 xe y −= xe y =

( ) ( )[ ] ( )

2

94

2

5

3

11640

3

64

425

34544

4

1

234

1

24

1

2

  

 −+−−

 

  

 −+−

=−+−=−+−=+−−+−= ∫∫ x  x  x dx  x  x dx  x  x  x  A

e) y  = ex ;  x = e

-x   ; x = 1 ;  x = -1.

( ) 2111

)()(

1

4

0

1

01

−+=+−+=

=+=−=

−−∫

eeee

eedx ee A x  x  x  x 

( )e

eee

eedx ee A x  x  x  x 

1211

)(

1

0

1

0

12

++−=−−−−−

=−−=−=

− −

−−∫

42

21

221

21 −+=++−−+=→+=∴e

ee

ee

e A A A A

4e

22 −+= e A

f) y  = x 1/2 ; y = x – 6 ;  x = 0

21

)( x  x f  = 6)( −= x  x g 

La función que limita por arriba a laregión es f ( x ) y g ( x ) lo limita por abajo.

Los límites de integración salen de:

f ( x ) = g ( x ) ⇒

( ) ↔−=↔−= 26621

 x  x  x  x 

036133612 22 =+−↔+−= x  x  x  x  x 

De donde la única solución que importaes x = 9

Del gráfico, se observa que:

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32Si nos probás, aprobás.

∫ ∫∫ =+−=−−=−=9

0

9

0

9

0]6[)]6([))()(( 2

121

dx  x  x dx  x  x dx  x g  x f  A

2

6354

2

81186

23

29

0

223

=+−=+−= x  x 

 x  A

g) y  = x 1/2 ; y = x – 6 ; y = 0

Las funciones son las mismas que antes  A2pero sacamos el límite x = 0, agregando A1

en su lugar el límite y = 0.

21

)( x  x f  = 6)( −= x  x g 

Dividimos a la región en dos partes A1 y  A2 

La región A1 está encerrada por   una función positiva (la raíz) yel eje x .

En la región A2 tenemos dos funciones: f ( x ) la limita por arriba y g ( x ) la limita por abajo.

Teniendo esto en cuenta, nos queda:

∫=6

01 )( dx  x f  A ( )∫ −=

9

62 )()( dx  x g  x f  A

Ustedes pueden hacer estas cuentas, pero vamos a calcular el área pedida restando a la del ítemanterior el triángulo que falta que está debajo del eje x.

 Área triángulo = 182

66

2=

×=

× hb

2

2718

2

63=−=⇒ A

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34Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 15Calcular el área....

a) Queremos hallar el área entre x 

 x f 12

)( = y 153)( +−= x  x g 

Igualando ambas: ⇒= )()( x g  x f 

012153

1531215312

2

2

=+−⇒

+−=⇒+−=

 x  x 

 x  x  x  x 

de donde:

4o1 == x  x 

El área encerrada es:

4ln12

2

45015

2

34ln126024

1ln1211512

34ln124154

2

3ln1215

2

312153 22

4

1

4

1

2

−=−−+−+−=

 

  

 −⋅+⋅−−−⋅+⋅−=−+−=

 

  

 −+−= ∫ x  x  x dx 

 x  x  A

b) Ídem con 2,3)( =−= y  x  x f  y los ejes.

Hacemos primero el gráfico:

La intersección de ambas es:

7

4323

=⇒

=−⇒=−

 x 

 x  x 

El área pedida se puede separar en dos contribuciones:

6231 =×= A

ya que es un rectángulo de base3 y altura 2. En tanto,

 A1

 A2

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35Si nos probás, aprobás.

( )

3

86

3

1614

)33(3232)37(

3272)3(

322)3(232 23232321

7

3

7

3

7

32

=−−=

  

   −−⋅−−−⋅=−−=

  

   −−=−−= ∫∫ x  x dx  x dx  x  A

El área total será:

3

26

3

86 =+=T  A

c) 328)( 2 −= x  x f  y 273)( 2 −= x  x g 

Igualando ambas:

1o11

55273328

2

222

=−=⇒=

⇒=⇒−=−

 x  x  x 

 x  x  x 

El área encerrada viene dada por:

( )( ) ( )

3

20

3

10105

3

55

3

55

3

5

55328273

1

1

3

1

1

21

1

22

=−= 

  

 −−+−=+−

=+−=−−−=

−− ∫∫

 x  x 

dx  x dx  x  x  A

d)  x y  x  x 

 x f  4,2,1

)( ===

Igualando:

2

4

14

1 x  x 

 x =⇒=

de donde,

)sirveéste(2

1o

2

1=−= x  x 

(ver gráfico)

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36Si nos probás, aprobás.

Luego, el área es:

2

15

2

1ln

2

12ln8ln2

14

222

21

21

  

  

  

 −−−=−=

 

  

 −= ∫ x  x dx 

 x  x  A

Ejercicio 16Decidir......

a) El área...

Para verificar si el área coincide conla integral dada, graficamos la región:

Como la función f ( x ) es positiva en[0,3) y negativa en (3,6], el áreaencerrada viene dada por:

( ) ( )∫∫ −+−++−=

6

3

3

033 dx  x dx  x  A

en consecuencia no se puedeintegrar directamente entre 0 y 6,y por lo tanto es falso que la integraldada represente el área sombreada.

b) El área...

El área de la regiónsombreada se obtiene así:

∫ ∫− +−=

1

1

3

1 )()( dx  x f dx  x f  A

pues en (-1,1) f ( x ) < 0

y en (1,3] f ( x ) > 0

Luego,

∫ ∫−−+−−=

1

1

3

1

22 )1()1( dx  x dx  x  A

Y la proporción es verdadera.

 x 

-2

–1

3

0

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38Si nos probás, aprobás.

Ejercicio 17Sabiendo que el...

Les aclaro que en el enunciado hay algún dato mal, porque con los números del gráfico jamás elárea encerrada puede ser 13/2.

Lo resolvemos igual:

El área sombreada vale 13/2 y es la suma de 2contribuciones:

211)2)((213

0

2

×+−== ∫−

dx  x f  A

donde el primer término es el área encerrada entre f yla recta y = 2, y el segundo es el área del triángulo debase 1 y altura 1.

Separando la integral en 2:

10)((

)((42

1

2

13

2

12)((

2

13

0

2

0

2

0

2

0

2

=⇒

=+−⇒+−=

∫∫

−−

dx  x f 

dx  x f  x dx  x f 

Lo más probable es que el área sea 3/2 en lugar de 13/2. De ser así el resultado sería:

5)((0

2

=∫−

dx  x f 

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39Si nos probás, aprobás.

 x 

0 6

7

8 9 10 11 12

2 A

1 A

 

  

 −= 32

 x y lnEjercicio 18Dada.......

Graficamos el área pedida:

Se observan dos regiones que denominamos 1 A y 2 A , una debajo de eje x y otra por arriba.

dx  x 

dx  x f  A  

  

 −−=−= ∫∫ 3

2ln)(

8

7

8

7

1

∫ ∫  

  

 −==

8

9

9

8

2 32

ln)( dx  x 

dx  x f  A

Cálculo de 1 A :

∫∫ =−= 

  

 −−=

1

2

8

7

1 )(ln232

lnt 

dt t dx  x 

 A sustitución:

dx dt 

 x t 

2

1

32

=

−=

[ ] 31.02ln12

1

2

1ln

2

11)2(ln)2(

1

2

1 ≅−=

 

  

 −−−−=−−= t t t 

Cálculo de 2 A :

[ ] =−==  

   −= ∫∫

2

3

1

2

3

1

9

8

2 ln2)(232

ln t t t dt t nl dx  x  A

22.012

3ln3)1(

2

3

2

3ln

2

32 ≅−

 

  

 =

−−−

 

  

 =

53.021 ≅+=∴ A A A

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Ejercicio 1:

Pasamos el –6 sumando del otro lado: 063

32<+

−+

 x 

 x 

Haciendo denominador común:

03

)3(632<

−−++

 x 

 x  x ⇒ 0

3

18632<

−−++

 x 

 x ⇒ 0

3

158<

−−

 x 

 x 

Recordar que:

0y0 >< B A

0<B

 Aó (2 posibilidades)

0y0 <> B A

 Aplicando lo precedente:

I) 0158 <− x  ⇒ 8

15

< x  II) 0158 >− x  ⇒ 8

15

> x 

y y

03 >− x  ⇒ 3> x  03 <− x  ⇒ 3< x 

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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Buscamos la intersección: Como antes:

/////////////I/////////////////////////) (////////// I (////////////)0 15/8 3 0 15/8 3

  ∅=I S (no hay intersección)    

  = 3,

8

15II S

Luego,

  

  

 =∪= 3,

8

15II I  SSS

Ejercicio 2:

Nos están dando los puntos donde la recta corta cada eje. Hallamos la pendiente:

3

7

5/30

05/7

01

01 −=−

−=

−−

= x  x 

y y m

Como la ordenada al origen ya la conocemos, b = 7/5 pues pasa por el punto  

 

 

 

 

5

7;0

La ecuación pedida es:

5

7

3

7+−= x y 

Ejercicio 3:

Si la imagen de la función cuadrática es el intervalo ( )5,−∞ , esto implica que el, 5=v y 

Con el )7,3(−=+C  vemos que la coordenada x del vértice (que está a medio camino entre las 2

raíces) es:

22

73

2

21 =+−

=+

=x  x 

 X v 

Por lo tanto ( ) )5,2(, == v v  y  x V 

 Ahora podemos reexpresar la cuadráticausando las coordenadas del vértice o las raíces.

Si elegimos esta última:

( ) ( )21)( x  x  x  x a x f  −⋅−=

( ) ( )73)( −⋅+= x  x a x f 

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 Además 5)2(

=f  (vértice)

Reemplazando podemos despejar el valor de a:

)72)(32(5 −+= a ⇒5

1−=a

Luego

( ) ( )735

1)( −⋅+−= x  x  x f 

Ejercicio 4:

Buscamos la inversa:

237

4)( +

−=

 x  x f  ⇒ 2

37

4+

−=

 x y 

Despejando x :

37

42

=−

 x 

y  ⇒

2

437

=−

 x 

32

47 +

−=y 

 x  ⇒7

3

2

7/4+

−=y 

 x 

⇒ ( )7

3

2

7/41 +−

=−

 x  x f 

de donde { }21 −ℜ=−f Dom

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Ejercicio 1:

Si el gráfico de f corta al eje x en un solo punto ⇒ 0=v y 

Ese punto sería el vértice de la parábola (y además raíz de f ( x )).

Hallamos x v :

3)1(2

6

2−=

−⋅−

−=−=a

b x v 

Luego, ( ) )0,3(, −=v v  y  x 

Reemplazando en la función, despejamos β  

02)3(6)3( 2 =++−⋅−−− β  ⇒ 11−=β 

Ejercicio 2:

Buscamos los ceros de cada factor:

 x  x  x  x  x  x f  ++−+−= 232 44)(

0442 =−+− x  x  ⇒ 2)1(2

)4()1(4441

2

=→−⋅

−⋅−⋅−±− x 

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023 =++ x  x  x  ⇒ →++ 12  x  x  x   2

31

2

11411 2 −±−=⋅⋅−±− (absurdo)

 02 =

 x 

Luego C 0= {{{{0,2}}}}

Construimos ahora los intervalos,

 x  x  x  x  x  x f  ++−+−= 232 44)(

( ) 0)(0, >→−∞ x f    −   −

( ) 0)1(2,0 <→ f    − +

( ) 0)3(2 <→∞+ f    − +

Luego,

( ) ( ) ( )∞+∪=∞−= −+ ,22,00, C C 

Ejercicio 3:

32

6)( −

+= x 

 x f 

Para que no se anule el denominador:

202 −≠→≠+ x  x 

⇒ { }2)( −−ℜ=f Dom

Para hallar la imagen analizamos lo siguiente:

02

6≠

+ x (pues para que 6)acáy00 ==⇔= A A

B

 A

Restando 3 a cada lado:

⇒ { }3:Im332

6−−ℜ⇒−≠−

+ x 

De todos modos, la forma más elegante para encontrar la imagen es hallar la asíntotahorizontal

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{ }

 

3--IR:Im

 A.H.es333032

6

lim)(lim

−=⇒−=−=−+=+∞→ y  x  x f  x 

Ejercicio 4:

12

2cos)( +   

   +=

π  x  x f 

Nos piden hallar los ceros de esta función en el intervalo [0,2π],

12

2cos012

2cos0)( −=  

  

  +⇒=+  

  

  +⇒=π π 

 x  x  x f 

Recordemos que:

)(21cos Z k k  ∈+=⇒−= π π α α 

  ↓todas las vueltas

En nuestro caso:

π π 

π π 

π π π 

k  x k  x k  x  +=⇒+=⇒+=+4

22

222

2

Probamos con los valores de k :

[ ]π π  2,04

31 ∉−=⇒−= x k 

40

π =⇒= x k 

π 4

51 =⇒= x k 

[ ]π π  2,04

92 ∉=⇒= x k 

Luego,

= π π 

4

5,

4 A

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Ejercicio 1:

Hallamos primero la función lineal f ( x ) que pasa por los puntos (-5,15) y (0,20)

  ↓  ↓  ↓  ↓   x 0  y 0   x 1  y 1

La pendiente será:

1)5(0

150

01

01 =−−

−=

−−

= x  x 

y y m

Luego, b x y  += 1 ,

Reemplazando (0,20):

20)(200120 +=⇒=⇒+⋅= x  x f bb

Planteamos la condición del conjunto { })()(/ x g  x f  x  A ≥ℜ∈=

183420 2 ++≥+ x  x  x  ⇒ 0224 2 ≥+−− x  x 

 Aquí debemos encontrar para que valores de  x , la cuadrática 0224 2 ≥+−− x  x  , es decir 

tenemos que hallar el C +

de la misma.

Hallamos primero las raíces

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2

1

18

362

)4(2

2)4(4)2()2(

2

1

2

=→

−=→−

±

=−

⋅−⋅−−±−−

 x 

 x 

El gráfico sería algo así:

tiene esta forma porque a = -4 < 0

Luego C +

=   

  

 −2

1;1

En consecuencia   

  

 −=2

1;1 A

Ejercicio 2:

La función dada pasa por el origen (f (0) = 0), tiene A.V. en x = 1 y no posee A.H.

Un gráfico posible sería:

+∞=−∞→

)(lim x f  x 

  +∞=+→

)(lim1

 x f  x 

+∞=+∞→

)(lim x f  x 

  0)0( =f 

1 2

  0)2( <f 

  −∞=−→

)(lim1

 x f  x 

 x

-1 0 1/2

-1

0

1

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Ejercicio 3:

Las funciones dadas son:

32)( += x  x f  x  x 

 x  x g 

31

3)( −=

−=

32

31)(

32

31)32())(())(()(

+−=⇒

+−=+===

 x  x h

 x  x g  x f g  x f g  x h $

 Ahora podemos hallar h-1

(-1).

La forma más larga sería hallar la inversa h

-1

( x ) y reemplazar  x por –1.La forma más corta es lasiguiente:

h-1

(-1) nos pide para que valor de x la función h( x ) =-1

h

   x    −1h−1

Luego,

132

311)( −=

+−⇒=

 x  x h y despejamos x 

4

3

2

33232

2

32

32

3 −==+⇒+=

−−

⇒−=+

− x  x  x  x 

Luego4

3)1(

1 −=−−h (confirmen este valor por el método más largo)

Ejercicio 4:

 x aC  x f  ⋅=)(

Reemplazamos con los datos que nos dan:

⋅=⇒=

⋅=⇒=− −

4

1

12501250)4(

4,04,0)1(

aC f 

aC f 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

De la primera: aC  ⋅= 4,0

Reemplazamos en la segunda:

531254,01250 54 ==⇒⋅⋅= aaaa

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Luego 254,0 =⋅=C 

La función es entonces f ( x ) = 2 ⋅ 5x

Reemplazando:

25052)3( 3 =⋅=f 

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Ejercicio 1:

962

1

3)( 2

3

+−+= x  x  x 

 x f 

Debemos hallar un punto con abscisa negativa, para el cual la recta tangente tenga pendientenula.

Derivamos

3−= x 

6)( 2 −+=′ x  x  x f  060)( 2 =−+⇒=′ x  x  x f 

2= x  (es positivo)

Luego ,30 −= x  reemplazando

2

45918

2

999)3(

2

1

3

)3()3()(

23

0 =+++−=+−+−

=−=′ f  x f 

En consecuencia, el punto buscado es:

 

 

 

 

 −=2

45,3P 

Ejercicio 2:

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La función dada es:

[ ]22 )7ln(3)7(ln3)( −+=−+= x  x  x f 

Para que f ( x ) esté definida:

707 >⇒>− x  x 

Luego, );7(Dom +∞=f 

 Ahora, derivamos:

7

)7ln(21

7

1)7ln(2)(

=⋅−⋅−⋅=′

 x 

 x 

 x  x  x f 

La derivada también está definida en ( )+∞,7

Buscamos los puntos críticos:

0)7ln(07

)7ln(20)( =−⇒=

−−

⇒=′ x  x 

 x  x f 

pues   

  

  =⇔= 00 AB

 A

 Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación que nos quedó:

8170)7ln( ==−⇒=−  x  x ee x  (punto crítico)

Los intervalos a estudiar son entonces (7, 8) y (8,+∞). Tomando valores de x pertenecientes acada intervalo:

( ) 0)5,7(8,7 <′→ f  (decrece)

( ) 0).10(,8 >′→+∞ f  (crece) 7 8

Luego,

I.C = (8,+∞)

I.D = (7;8)

Por lo tanto, x = 8 es mínimo

Ejercicio 3:

Hacemos la sustitución:

 x u cos9 −=

de donde,

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dx  x 

du x 

dx 

du=⇒=

sensen

Volviendo a la integral:

∫ ∫ ∫ ∫  −==⋅=−

duuduu x 

du

u

 x dx 

 x 

 x  6

666

1

sen

sen

)cos9(

sen

Integrando directamente:

C  x C uC uduu +−−=+−=++−

= −−+−−∫  55166 )cos9(5

1

5

1

16

1

Ejercicio 4:

15 == +− y ey  x  (función constante) x = 0, x = 7 (límites de integración)

Igualando las funciones,

15 =+− x e

Como e0

= 1 ⇒ -  x + 5 = 0 ⇒ x = 5

Graficando:

A1

   A2

El área total será:

21 A A AT  +=

Calculemos por separado:

 x

 y

5 7

1

e

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( )∫  −= +−5

0

51 1dx e A x  =−−= +− 5

0

5  x e x  ( )05 5055 −−−−− +−+− ee 651 55 −=+−−= ee

( )7

5

57

5

52 1 +−+− +=−= ∫  x  x  e x dx e A 225557 115757 −−+−+− +=−−+=+−+= eeee

Luego, sumando:

52521 −+=+= −ee A A AT 

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Ejercicio 1:

La función dada es:

)3ln(

2)(

+=

 x  x f 

Para que esté definido el logaritmo:

 x + 3 > 0 ⇒ x > −3

 Además el logaritmo no puede anularse porque está en un denominador:

2130)3ln( −≠⇒≠+⇒≠+ x  x  x  *

Luego, ( ) { }23Dom −−∞+−=f 

Para hallar C+

y C-

aplicamos el teorema de Bolzano. Analizamos los intervalos, yreemplazamos x por un valor perteneciente a cada uno:

( ) 0)5,2()2,3 <−→−− f 

( ) 0)0(,2 >→+∞− f 

Luego ),2( +∞−=+C  )23( −−=−C 

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* Analizamos los límites:

0)3ln(

2lim)(lim

33=

+⋅=

++ −→−→ x  x f 

 x  x  x = - 3 no es A.V.

↓ -∞

⇒−∞=+

⋅−−→ )3ln(

2lim

2 x  x  x = - 2 es A.V.

  ↓ 0-

+∞=+

⋅+−→ )3ln(

2lim

2 x  x 

  ↓ 0+

Ejercicio 2:

 x  x 

e x f sen

2)(+

=

Derivamos:

  

  

  +⋅=′+

 x e x f  x 

 x 

cos2

1)(

sen2

Como la derivada está definida ∀  x , buscamos solamente donde se anula para encontrar lospuntos críticos:

0)( =′ x f  ⇒ 0cos2

1

0

2 =  

  

  +⋅≠

+ x e

senx  x 

⇒ 0cos2

1=+ x  ⇒

2

1cos −= x 

 x 

-3 -2

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Observamos en la circunferencia trigonométrica donde2

1cos −= x 

 π 

3

2

π π  k  x  23

2+=

 2

1cos −= x Z k ∈

π π  k  x  23

4+=

 π 

3

4

Probamos ahora con los valores de [ ]π π ,/ −∈ x k 

π π  k  x  23

2+= π π  k  x  2

3

4+=

1−=k  [ ]π π π  ,3

4−∉−= x  π 

3

2−= x 

0=k  π 

3

2= x  [ ]π π π  ,

3

4−∉= x 

Luego, los puntos críticos son: π 

3

2−= x  y π 

3

2= x  .

 Analizamos los intervalos:

0)(

3

2, <−′→ 

 

 

 

  −− π π π  f  (decrece)

0)0(3

2,

3

2>′→ 

 

  

 − f π π  (crece)

0)(,3

2<′→ 

 

  

 π π π  f  (decrece)

En consecuencia, π 

3

2−= x  es mínimo y π 

3

2= x  es máximo.

Ejercicio 3:

Separando:

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∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

+−++

+=+=

+ dx edx  x dx 

edx 

 x 

dx e

 x 

 x  x  x 

732/573

2/5

73

5

2

12

2

2

2

2

La primera integral es de tabla y la segunda se hace con la sustitución u = 3 x + 7

Resulta entonces:

C e x C e x dx e

 x 

 x  x  x 

++−=+⋅++

−⋅=

+ +−++−+

∫  732

3

731

2

573

5 6

1

3

4

3

1

2

1

12

5

12

2

2

Ejercicio 4:

Igualamos las funciones lineales:

2523 −=+− x  x 

48 −=− x 

2

1= x 

Graficando:

Del gráfico se observa que el área total es:

( )[ ] ( )[ ]∫ ∫  +−−+−−+−=2

2/1

2/1

023252523 dx  x  x dx  x  x  A

( ) ( )∫ ∫  −++−=2

2/1

2/1

04848 dx  x dx  x  A =−++−=

2/1

0

22/1

0

2 4444 x  x  x  x 

( ) =  

 

 

 

 ⋅− 

  

  ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅−− 

  

  ⋅+ 

  

  −=

2

14

2

1424240404

2

14

2

14

222

2

 A

A = 1021816021 =+−−+−+−

 x

1 2

-10

-5

5

10

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

7/27/2019 Guia de Matematicas Resuelta Completa Del Instituto Junin

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Ejercicio 1:

La función dada es:

11

9

1)( ++=

 x  x  x f  { }0IRDom −=f  ( x = 0 es A.V.)

Derivamos:

2

1

9

1)(

 x  x f 

−=′

Buscamos los puntos críticos:

91

9

10

1

9

10)( 2

22=⇒==−⇒=′ x 

 x  x  x f 

 Aplicando raíz cuadrada a ambos miembros:

3−= x 

392 =⇒= x  x  puntos críticos

3= x 

Construimos ahora los intervalos, y evaluamos la derivada en un punto perteneciente a cadauno de ellos:

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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( ) 0)4(3; >−′→−−∞ f  (crece)

( ) 0)1(0;3 <−′→− f  (decrece)

-3 0 3

( ) 0)1(0;3 <−′→− f  (decrece)

( ) 0)4(;3 >′→+∞ f  (crece)

Luego, De este análisis se deduce:

( ) ( )+∞∪−−∞= ;33;..C I  3−= x  es máximo

( ) ( )3,00;3.. ∪−=DI  3= x  es mínimo

Ejercicio 2:

45ln)( 2 +−= x kx  x f 

La recta tangente en el punto ))1(,1( f  debe tener pendiente 7. Luego, derivamos la función,

reemplazamos por  x = 1 e igualamos a 7, de ahí despejamos k .

⇒−−=−⋅

−=′

 x kx kx kx 

 x kx  x f 

552)52(

51)(

22

75

52

151

512)1(

2=

−−

=⋅−⋅

−⋅=′

k f 

Despejando:

630535752)5(752 =−=−⇒−=−⇒−=− k k k k k k 

La función es:

456ln)( 2 +−=′ x  x  x f 

Para hallar la ecuación de la recta: 441ln41516ln)1( 2 =+=+⋅−⋅=f 

Teniendo la pendiente (m = 7) ⇒ b x y  += 7

y el punto (1,4), reemplazamos:

3174 −=⇒+⋅= bb

En consecuencia, la recta tangente es:

37 −= x y 

Si n o s p ro bás, a p ro bás.

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