REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA DEL OESTE “MARISCAL SUCRE”

Guía de apoyo Para matemática del trayecto inicial (1ª parte)

Departamentode

Ciencias Básicas

Noviembre 2011 Elaborado por LCAP

Departamento de Ciencias Básicas

Contenido de matemáticas Trayecto Inicial

_ Operaciones en el conjunto de los números reales

Reglas de potenciación y radicación

_ Operaciones con Polinomios

Suma, resta, multiplicación, división, productos notables

Factorización con la ecuación de 2° grado y Ruffini, racionalización

_ Trigonometría y logaritmo

Identidades y propiedades trigonométricas

Propiedades de los logaritmos

_ Sistema rectangular de coordenadas y geometría analítica

Par ordenado, distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento, las líneas rectas,

pendientes, paralelas y perpendiculares

_ Ecuaciones e Inecuaciones (desigualdades, intervalos)

Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones

_ Funciones, dominio y rango

Operaciones con funciones, valuación o valor puntual, función compuesta. Funciones

elementales y sus graficas: polinómicas, exponenciales, logarítmicas (inversas), radical,

trigonométricas, racionales

NOTAS:

- LO ANTERIOR ES PARA TODOS LOS PNF DE INGENIERIA

- PARA INFORMATICA AGREGAR TEORIA DE CONJUNTOS

- PARA ELECTRICA Y MACANICA AGREGAR BÁSICO DE VECTORES Y NUMEROS

COMPLEJOS

- PARA ADMINISTRACION, DICTAR LOS PUNTOS 1; 2; 4; Y 5, AGREGAR: DESPEJE DE

FORMULAS, OPERACIONES CON REGLA DE TRES Y PORCENTAJES.

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POTENCIACION Y RADICACION

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponent e n . Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n».

Hay algunos números especiales, cuando n vale 2 se lee “al cuadrado”, cuando n vale 3 se lee “al cubo”

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo .

Reglas de potenciación

- Potencia de exponente “0”

- Potencia de exponente 1

- Potencia de exponente negativo equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

- Multiplicación de potencias de igual base

- División de potencias de igual base

- Potencia de un producto

- Potencia de una potencia

- Potencia de un cociente

- Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

Reglas de radicación

NOTA: Podemos ver en la expresión anterior, que: “una raíz no es más que una potencia de exponente fraccionario”, por lo tanto; se recomienda convertir las raíces en potencias y aplicar las reglas anteriores a las operaciones de “radicación”

“Propiedades que no cumple la potenciación” ;

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

Una expresión de la forma , siendo n un entero no negativo; donde   son números reales o complejos se llama: Polinomio de coeficientes en (o en C) y con indeterminada o variable independiente x.

A los polinomios suele denotárseles por: p(x), q(x), r(x), etc.

Así, se hablará del polinomio:

Donde : se llama término independiente del polinomio p(x). 

: es el coeficiente principal. Si  0, se dice que p(x) es un polinomio de grado n. 

Si  0, al polinomio  se le llama polinomio  constante. Al polinomio constante p(x) =  , se le asigna grado cero

Las  expresiones:  y    son  polinomios  con coeficientes  reales.El  primero  de grado 3 y  el segundo de grado 2

Mientras que: y   no son polinomios. 

Operaciones con polinomios

Sean  y  dos polinomios, entonces, se definen las siguientes operaciones:  

i) SUMA:   , donde r= máx (m, n)  

ii) DIFERENCIA:   , donde

r= máx (m, n)  

iii) PRODUCTO:  

Si p(x)  0(x) y q(x) 0(x) , entonces .  

Donde  para j = 0, 1,2,…, m + n.  

Si p(x) = 0(x) ó q(x) = 0(x), entonces, p(x).p(x) = 0(x).  

Algoritmo de la división.   El siguiente  teorema,  conocido como  el algoritmo de  la división, y  que  se  enuncia sin demostración, es de gran  importancia en el  álgebra,  puesto  que  permite,  por ejemplo, calcular el M.C.D. de dos  polinomios por el método de divisiones sucesivas.  

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Teorema.   Sean p(x), q(x) dos polinomios con q(x) 0(x); entonces, existen polinomios únicos: c(x) y r(x) tales que:   p(x) = c(x). q(x) + r(x),   donde r(x) es el polinomio nulo o grado (r(x)) < grado (q(x)).  

El teorema anterior justifica el algoritmo comúnmente empleado para dividir dos polinomios. A los polinomios c(x) y r(x), se les llama respectivamente cociente y residuo de dividir p(x) (dividendo) entre q(x)(divisor).  

Así, por ejemplo, para obtener el cociente c(x) y el residuo r(x) de dividir el polinomio 

entre  , se puede desarrollar la siguiente    forma práctica:  

  

  

Como el grado de [ ] = 1 < grado de ( ) = 2, entonces, la división culmina en ese

punto y ,por tanto, el cociente de la división es : c(x) =  y el residuo es : r(x) =  .  

Ejercicios

Suma de polinomios.Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Ejem. Si tenemos: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2

Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal: 2x3 + 8x3 = 10x3 -5x2 + 3x2 = -2x3 6 - 4 = 2

Resta de polinomios.Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Ejem. Si tenemos: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10

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Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal: 2x3 - 8x3 = -6x3 -5x2 - 3x2 = -8x3 6 - (-4) = 10

Producto de polinomios.Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. Luego sumamos aquellos monomios con la misma parte literal.

Ejem. Si tenemos: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + x - 4El polinomio resultante de multiplicar P(x) * Q(x)= 24x8 +19x6 -52x5 +2x4 +35x3 +20x2 +6x – 24

Cociente de polinomios Para dividir polinomios, se utiliza el “algoritmo de la división” explicado anteriormente.

Ejem. Si tenemos: P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + x - 4El polinomio resultante de dividir P(x) / Q(x)= dividendo /divisor es:

_ 7x 2 _ 13x + 22

P(x) / Q(x)= 3x 2 + 13 + 2 64_____

8 64 8x3 + x - 4

Donde: 3x 2 + 13 es el cociente c(x) y _ 7x 2 _ 13x + 22 es el residuo r(x)

8 64 2 64

PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

_ Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 _ Cuadrado de la diferencia de dos cantidades (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 _ Cubo de una suma (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

_ Cubo de una diferencia (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

_ Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) También llamado diferencia de cuadrados (a + b) (a – b) = a2 – b2 _ Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Ejem. x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 ) _ Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 + (a – b) x – ab = (x + a) (x – b) _ Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 – (a + b) x + ab = (x – a) (x – b)

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A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados

a3 b3 = (a b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 ab) Suma de cubos

a4 b4 = (a + b) (a b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

FACTORIZACION

Factorizar una expresión, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos

Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

Ejem. El termino 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o rescribir, como 2x2(x + 4y). El termino 2x2 “es factor común” a los dos términos de la expresión

Ejem. De factor común ab2 + 3cb b3 = b (ab + 3c b2) factor común = b

Ejem. 9x + 6y 12z = 3(3x + 2y 4z) Aquí podemos observar que 3 es el mcd (mínimo común divisor) de 9, 6 y 12 Ejem. Factorizar  9xy2 + 6y4 12 y3z 9xy2 + 6y4 12y3z = 3y2 (3x + 2y2 4yz) Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original: O sea: 3y2 (3x + 2y2 4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2) (3y2 * 4yz) = 9xy2 + 6y4 12y3z Nótese que se ha aplicado la “propiedad distributiva del producto”

Ejercicios donde se aplique Factorización ( fuente www.profesorenlinea.cl .)

1) La suma de tres números impares consecutivos es siempre

I) divisible por 3. II) divisible por 6. III) divisible por 9.

Alternativas: Es (son) verdadera(s) A) sólo I. B) sólo II. C) sólo I y III. D) sólo II y III E) I, II y III.

La solución involucra reducción de términos semejantes y Factorización. Del enunciado se debe escribir las expresiones que representen a tres números impares consecutivos. Sabiendo que 2n será siempre un número par, si se designa por 2n + 1 el primer número, se tiene que el segundo es 2n + 3 y el tercer número impar es 2n + 5, luego la suma de estas expresiones se representa por, 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5, realizando reducción de términos semejantes se llega a 6n + 9, por último se factoriza por 3 obteniéndose 3(2n + 3).

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Para ver la verdad o falsedad de las afirmaciones debemos recordar que un número es divisible por otro cuando el primero es múltiplo del segundo, es así como se puede deducir que I) es verdadera, porque 3(2n + 3) es un múltiplo de 3, por lo tanto es divisible por 3 (cualquier valor que se le asigne a n, siempre se obtendrá un número divisible por 3).

Por otro lado, II) y III) son falsas, ya que el valor de la expresión 3(2n + 3) depende del valor que pueda tener n, lo que implica que la expresión no siempre es divisible por 6 o por 9.

Como sólo I) es verdadera, la clave se encuentra en la opción A).

2) Para que la expresión

Sea positiva, se debe cumplir necesariamente que:

A)  xy < 0 B)  x < 0 C)  xy > 0 D)  y < 0 E)  x > y La solución involucra sumar fracciones algebraicas, factorizar y simplificar el numerador con el denominador de la fracción resultante. Es decir,

Para que una fracción sea positiva el numerador y el denominador deben serlo, o bien ambos deben ser negativos, luego  ─y / x (fracción negativa) será positiva cuando se cumplen las desigualdades (─y > 0 y  x > 0) o (─y < 0 y x < 0). Entonces, del primer paréntesis, si ─y > 0 y x > 0, se tiene que y < 0 y x > 0, por lo que xy < 0. Ahora, del segundo paréntesis, si ─y < 0 y x < 0, se tiene que y > 0 y x < 0, por lo tanto xy < 0. Como en ambos casos se llega a que xy < 0, la clave es la opción A).

Factorización de trinomio de segundo grado :

Un trinomio de segundo grado, es un polinomio del tipo , siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos

Soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:

Ejem. Factorizar el polinomio Igualamos a cero

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a =2; el trinomio factorizado será:

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Regla de RuffiniPara cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un

polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , ,

y se factoriza así:  

NOTA: El docente debe explicar el método, recordando que el tanteo se realiza con los divisores del término independiente

Ejercicios: Factorizar (recordar que se puede usar el factor común y los productos notables para simplificar y factorizar a expresiones de menor grado, antes de aplicar Ruffini)

1.- ; Solución. =

2.- Solución =

3.- Solución =

4.- Solución =

5.- Solución =

RACIONALIZACION DE RADICALES

Racionalizar una fracción, consiste en quitar del denominador las raíces Si en el denominador lo único que aparece es una raíz, multiplicamos convenientemente el numerador y el

denominador por una raíz de tal forma que se vaya del denominador la raíz. Ejemplo:

Si en el denominador aparecen dos raíces sumándose o restándose, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Racionalizar:

TRIGONOMETRIA

Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

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El seno (abreviado como sen) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Identidades trigonométricas

Recíprocas

De división :

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Pitagóricas

Funciones trigonométricas inversas ; ;

Ejercicios propuestos

Ejercicio N° 1a) Calcula x e y en el triángulo: b) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β.

Ejercicio N° 2Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo.

Ejercicio N° 3Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente

Ejercicio N° 4Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30°.

LOGARITMOS

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ¹ 0; a ¹ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ¹ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.   Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe: logaN = x y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».   Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N (notación exponencial).  

Notación logarítmica Notación exponencial

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Consecuencias de la definición de logaritmo

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a0 = 1   2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a   3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am   4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.   5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.  

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.

    7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1. Así, log3 9 = 2; ya que 32 = 9   8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.

 

Propiedades de los logaritmos1. Logaritmo de un producto   El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y

2. Logaritmo de un cociente   El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.  

3. Logaritmo de una potencia   El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.   loga Xn = n loga X 4. Logaritmo de una raíz   El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

 

NOTA: El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo

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Logaritmos decimales y logaritmos neperianos

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

log10 X = log X Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

loge X = ln X = LX

Ejercicio de logaritmos

1) Hallar el logaritmo de

a) log2 4 =       b) log3 27 = c) log2 16 = d) log5 125 = e) log3 243 = f) log2 0,5 = g) log2 0,25 = h) log2 0,125 = i) log6 216 = j) log 1000 =

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos

a) log (5 . 3) = b) log (23 . 3) = c) log (7 : 3) = d) log (2 . 3 : 4)5 =

3) Resolver las siguientes Ecuaciones:

BIBLIOGRAFIA DIGITAL

http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

http://www.ematematicas.net/racionaliza.php

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

http://html.rincondelvago.com/trigonometria_1.html

http://es.scribd.com/doc/94314/Trigonometria-problemas

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/logarit.htm

http://francisco12.blogdiario.com/i2006-03/