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GUA DE EJERCICIOS OBJETIVO N4. SUPERFICIES DERIVADAS PARCIALES MXIMOS Y MNIMOS OPTIMIZACIN OBJETIVO N5. INTEGRACIN MLTIPLE Material preparado por: Prof. Omar Nez 2 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar NezA.- En los cuadros de la izquierda escriba una ecuacin generaly el nombre de la superficie que se muestra en los cuadros de la derecha a b c D E f g 3 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nezh I j k B.- Escriba en el cuadro de la derecha el nombre de la superficie cuya ecuacin aparece en el cuadro de la izquierda 1.3 2 z x y = +2. 2 24 y z + = 3.20 y x = 4. 210 y z + = 5. 2 29 9 x y + = 6. 2 2 2116 9 4x y z+ + = 7. 2 24 4 0 x y z + = 8. 2 23z x y = + 9. 2y ax bx c = + + 10. 2 2 2y x z = + 4 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez C.- DERIVADAS PARCIALES: HALLAR LAS DOS DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 23 2 2 2 3 2222 22 2 21. , 3 2 7 , 3, , 22. , 5 9 , 10, , 23. , , , ,24. , , 3 , , 25. , , , 12 26. ln ,yxy yx xx yx yx yy y yx yyx y xx yf xy x y f xy f xyf xy y x f xy x f xy yyf xy y x f xy f xy xxf xy x e f xy x e f xy x ey ef xy ye f xy f exx yz x y z zx y x y = + = = = + = = = = = = = = = = = + = + = =+ +( )( ) ( )( )( )( )( )( )21 12 22 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 27. ln ,2 28. ln ,9. ln ,10. ,x y x yx yx yx yz xy z zx y y xz z zx y x y y x x y x yx yz x y z zx y x yy y x x x yxyz z zx yx y x y = = =| | + = = = | + + \ . = + = =+ + = = =++ + D.- ENCUENTRE TODAS LAS DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 221. , 2 3 5: 2 5 , 3 5, 0, 0, 5, 52. , cos: sin , sin , cos , cos ,sin cos , sin cos3. , cos sin: 2 cx y xx yy xy yxx y xx yyxy yxxf xy x y xyResp f y f x f f f ff xy xyResp f y xy f x xy f y xy f x xyf xy xy xy f xy xy xyf xy xy y y xResp f xy y = + += + =+ = = = = == = = = = = = + += +( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 221 1 1 1 1os , sin sin ,2 sin , cos , 2 cos , 2 cos4. , 2: 1, , , 0, ,5. , ln: , , , , ,yxx yy xy yxxx x x x xx y xx yy xy yxx y xx yy xy yx x y x yx y x y x yx f x y xf y y x f y f x x f x xf xy y e xResp f y e f e f ye f f e f ef xy x yResp f f f f f f+ ++ + += += = = + = + = + += + = = = = = = += = = = = = ( )21x y + 5 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 22 2 2222 222 2 2 2 26. ,: 2 , 2 , 2 ,2 2 1 , 4 , 47. ,: 1 , 1 , 2 ,2 , 3 1 ,yy y yx y xxy y yyy xy yxxyxy xy xyx y xxxy xy xyyy xy yxf xy x eResp f xe f xye f ef x e y f xye f xyef xy xyeResp f xy ye f xy xe f xy y ef xy x e f e xy xy f e xy == = == = = == = = = = + =( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )33 3 33 3 322 2 2 23 18. , sin 2: 3 sin 2 , 2 cos 2 , 9 sin 2 ,4 sin 2 , 6 cos 2 , 6 cos 29. , sin arctan( )2: cos , cos , sin1 1xx x xx y xxx x xyy xy yxx y xxxyf xy e yResp f e y f e y f e yf e y f e y f e yf xy xy xyy x xyResp f y xy f x xy f y xyxy xy + == = == = = = += + = + = + +( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )322 23 2 222 22 2 2 22,12 1sin , cos sin1 110. , cos 4 3: 4sin8 6 , 3sin8 6 , 32cos8 6 ,18cos8 6 , 24cos8 6yy xy yxx y xxyy xy yxxyxy xyf x xy f f xy xy xyxy xyf xy y xResp f x y f x y f x yf x y f f x y+= = = + + = = = = = = = E.- ENCUENTRE TODOS LOS MXIMOS Y MNIMOS LOCALES, Y PUNTOS SILLA DE LAS FUNCIONESSIGUIENTES:( )( )( )( ) ( )2 22 22 22 21. ( , ) 2 2 3 : 1, 1 12. , 3 3 4 : ( 3, 3) 53. , 6 8 : (3, 4) 254. , 3 3 6 3 6 : 15, 8 635. ( , ) 2z f xy x x y y Sol f es mnimoz f xy x xy y x y Sol f es mnimoz f xy x y x y Sol f es mximoz f xy x xy y x y Sol f es mnimoz f xy x x = = + + = = = + + + + = = = = = = + + + = = = ( )( )( ) ( )( ) ( )4 3 4 3 22 2 42 228 4 29 9 92, 3 4 6 16 12 72 : (1,1) 2 (1, 1) 21, 0 16. ( , ) 2 5 2 4 4 : ,7. : 1, 0 68. , 3 2 5 : 2,1 3z f x y x x y y yy y Sol f y f son mximosf punto sillaz f xy xy x y x Sol f es mximoSol f es mnimoz f xy x xy x y Sol f espunto= = + + + ++ = == = = + = = = = + + + + =( ) ( )( ) ( )( ) ( )4 3 2 22, 9. 3 4 12 2 12 : 0, 3 181, 3 23, 2, 3 5010. , 2 2 2 : 2, 2 2z f x ysillax x x y y Sol f punto sillaf f mnimosz f xy y xy x y Sol f punto silla= = + = = = = = + + =

6 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )2 426 69 1125 25 253 3 2 2: 4, 2 16, 4,2 160,0 0:: 0,0 8 2,2 80,2 12 , 211. , 2 812. , 5 7 3 6 2 ,13. , 3 3 8Sol f f son mnimosf punto sillaSol f punto sillaSol f y f puntos sillaf minimo fz f xy x xy yz f xy xy x x yz f xy x y x y = = == = = = = + + = = + + = = = + + ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 2 24 4,0 4: 0, 2 20 , 3,1 340,1 7 3, 2 7: 0,0 0 , 1,1 21, 1 214. , 2 2 9 3 1215. 4mximoSol f mximo f mnimof f puntossillaSol f puntosilla f mximof mximoz f xy x y x y yz xy x y= = = = . = = = = = = + + = F.-ACONTINUACINSEPRESENTANDIVERSOSPROBLEMASPARADETERMINARMXIMOSY MNIMOS.CONSTRUYALAFUNCINOBJETIVOYDETERMINEELMXIMOOMNIMOS REQUERIDOS. CADA PROBLEMA PRESENTA UNA SOLUCIN INTENTE VERIFICARLA O REFUTARLA. 1.Determinelasdimensionesx,y,zdeunacajarectangulardevolumenfijoV=1000y rea total mnima.Sol: un cubo de lado 10 2.Determinelospuntossobrelasuperficie1 xyz = mscercanosalorigen.( ) ( )1 2 3 4: (1,1,1); (1, 1,1); 1,1,1 ; 1, 1,1 Sol P P P P 3.Hallarelparaleleppedorectangulardereatotal1350cm2 quetengaelvolumen mximo.Sol: Un cubo de arista igual a 15 cm. 4.Encuentre los puntos sobre la elipse 2 22 1 x y + = donde( ) , f xy xy = tiene sus valores extremos.Sol:1 2 3 42 1 2 1 2 1 2 1, , , , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2P P P P| | | | | | | | |||| ||||\ . \ . \ . \ . 5.Encuentre los valores extremos de( ) , f xy xy =sujeta a la restriccin 2 210 x y + = . Sol: f toma los valores extremos en: ( ) ( )5, 5 5, 5 5 5 y Losextremos def enel circuloson y 6.Encuentre el valor mximo de( )2 2, 49 f xy x y = sobre la recta3 10 x y + = Sol: el valor extremo se encuentra en( ) 1, 3 39 f =7.Encuentre los puntos sobre la curva 254 xy =ms cercanos al origen.Sol:( ) ( ) 1 23, 3 2 3, 3 2 P y P 8.Encuentre los puntos sobre la curva 2 21 x xy y + + =en el plano xy que estn ms cercanos y ms alejados del origen.Sol: ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1, , , , 1, 1 1,13 3 3 3ms alejadosms cercanosP P P y P| | | | ||\ . \ . 9.Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto cerrado de menor rea de superficie cuyo volumen es 316 cm t .Sol:2 4 r cm y h cm = =7 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez10.Suempresadebedisearuntanquedealmacenamientoparagasdepetrleolquido. Segnlasespecificacionesdelcliente,serequiereuntanquecilndricoconextremos semiesfricos con capacidad de 8000 m3 de gas. El cliente tambin requiereque se use la menor cantidad posible de material para la construccin del tanque. Qu radio y qu alturarecomiendaustedparalaporcincilndricadeltanque?Sol:Eltanqueesuna esfera de radio 6310 rt= 11.La superficie de una caja rectangular sin tapa debe tener un rea total de 300 centmetros cuadrados. Determine las dimensiones que maximizan su volumen.Sol: 10 cm X 10 cm X 5 cm.El volumen mximo es de 500 cm cbicos12.Usteddebedisearunembalajerectangularconvolumen60piescbicos.Suslados cuestan $1 el pie cuadrado, su tapa cuesta $2 el pie cuadrado y su fondo cuesta $3 el pie cuadrado. Cules dimensiones minimizan el costo de la caja? Sol: 3 32 3 , 5 3 L a pies h pies = = =13.Suponga que la temperatura Celsius en el punto( ) , , xyz sobre la esfera 2 2 21 x y z + + =es 2400 T xyz = . Localice las temperaturas mxima y mnima sobre la esfera.Sol: La temperatura mnima es -50Cy la mxima es 50C( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, , , , 50 , , , , 50 T T y T T = = = = 14.Encuentreelproductomximoquelosnmerospositivos, y xy z puedentenersi 216 x y z + + = sol: 4096 5125 15.Encuentre las dimensionesde la caja rectangular cerrada con volumen mximo que puede inscribirse en una esfera unitaria. Sol: Un cubo de lado 33 16.Encuentre los puntos sobre la superficie 24 z xy = + ms cercanos al origen. 17.Encuentreelvalormximoymnimode( ) , , 2 5 f xyz x y z = + sobrelaesfera 2 2 230 x y z + + =18.Encuentrelospuntossobrelaesfera 2 2 225 x y z + + = donde( ) , , 2 3 f xyz x y z = + +tiene sus valores mximo y mnimo. 19.Encuentre la distancia mnima de la superficie 2 2 21 x y z + =al origen. 20.Encuentre el punto sobre el plano2 3 13 x y z + + = ms cercano al punto( ) 1,1,121.Encuentreelpuntosobrelaesfera 2 2 24 x y z + + = queestmsalejadodelpunto ( ) 1, 1,1 22.Encuentrelosvaloresmximoymnimode 2 2x y + sujetaalarestriccin2 22 4 0 x x y y + =

Sol: ( ) 0, 0 0 (2, 4) 20 f mnimo f mximo = =

23.Encuentre los valores mximo y mnimo de3 6 x y +sujeta a la restriccin 2 24 x y + =24.Encuentre los valores extremos de( )3 2, f xy x y = +sobre el circulo 2 21 x y + =25.Encuentrelosvaloresextremosde( ) , , f xyz x y z = + sobrelaesferaunitaria 2 2 21 x y z + + =8 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez26. Se tiene una lmina de hojalata que mide de ancho 24 cm. Se dobla por los extremos una longitud x y as formar una seccin transversal en forma de trapecio issceles. Determinar la longitud x y el ngulo para que el rea del trapecio en cuestin sea mxima. Solucin: x = 8 cm. 3tu = INTEGRALES DOBLES A.Evaluar cada una de las siguientes integrales iteradaspara confirmar el resultado o para refutarlo ( )( )( ) | | | |( )( )( )( )263 220 00 11 123 11 01 23 2 20 1220 0512 18261632450 0211. 4 162. 1 13. 1 6 4, 0, 2 x1,14. 1 4 105. 4 9 66. sin 27. cos 38. 29.Rxy dy dxx y dx dyxy dA Rxy dx dyx xy dy dxx y dy dxy dx dyx y dx dyxedy dxyttt = + + = = + = = = = + = ( )( )( ) ( ) { }23104 22121 11 3 1330 01 150 01 12 2 4 2 2150 0220 01 116 2 8150 02 3 2172ln 210. ln 211.12. 013.14. sin15.16. 6 5 , 0 3, 0 117ex yRx ydydxy xe dxdyx y dx dyxy x ydy dxr d drx y dx dyxy y dA R xy x ytu u t+=| | + = |\ . = = + = = + = = = s s s s ( ) ( ) { }( ) { }( ) { }22223 2. cos 2 2 , 0 , 018. 9ln5 , 1 3, 3 31119. , 0 1, 0 11RRRx y dA R xy x yxydA R xy x yxxdA R xy x yyttt + = = s s s s = = s s s s++ = = s s s s+( )| | | || | | || | | |26 32 220. sin , 0,x0,21. , 0,1x0,1122. , 0,1x0, 223. , 1, 2x0,1RRx yRRx x y dA RxdA Rxyxye dA RxdA Rx yt t + = =+ = =+9 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez B.Use una integral doble para hallar el rea de la regin limitada por las grficas de: 1. 23 299, , 2 : . .2 48y x y xla recta x Sol u a = = =2. 29.2, 2 : u a y x y x Sol = = 3. 23.22 , 1 : u a y x y x Sol = = +4. 28.32 , 4 : u a y x y x Sol = =5. 2 16 2.32 , 4 : u a y x y Sol = =6. 22.31, 0, 1, 3 : u a y y x x Solx= = = =7. 2 1: .6, 3 2 u a x y x y Sol = = 8. 2 3 1.12, , 0, 1 : u a y x y x x x Sol = = = =9. 2 3 17.12, , 1, 2 : u a y x y x x x Sol = = = =10. 2 1.3, , 0, 1 : u a y x y x x x Sol = = = =C.Halle el volumen del slido dado, usando una integral doble. Compruebe la respuesta sugerida.1.Debajo del paraboloide 2 2z x y = + y arriba de la regin limitada por 2 2y x y x y = =Sol: 635. u v2.Debajo del paraboloide 2 23 z x y = + y arriba de la regin limitada por 2y x y x y y = = Sol:14435. u v3.Debajo de la superficiez xy = y arriba del tringulo cuyos vrtices son ( ) ( ) ( ) 1,1 , 4,1 1, 2 y Sol: 318. u v4.Limitado por el paraboloide2 24 z x y = + + y los planos0, 0, 1 x z x y = = + =Sol:136. u v5.Limitado por el cilindro 2 29 x z + = y los planos0, 0, 0, 2 2 x y z x y = = = + = en el primer octante. Sol:22220 09 2,88.xxdy dx u v ~ 6.Limitado por el cilindro 2 24 y z + =y los planos2, 0, 0 x y x z = = = en el primer octante. Sol:2 221630 04 .yydxdy u v = 7.Limitado por los planos0, 0, 0 1 x y z y x y z = = = + +=Sol: 16. . u v8.Limitado por los planos0, 0, 6 2 3 6 y z y x y x y z = = = + + =14: . Sol u v9.Limitado por el cilindro2 21 x y + =y los planos , 0, 0 y z x z = = = en el primer octante.13: . Sol u v 10 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez10.Limitado por, 0, , 1 z xy z y x x = = = = en el primer octante. 1.8: u v Sol 11. Limitado por0, 0, , , 0, 5 y z y x z x x x = = = = = = en el primer octante. 125.3: u v Sol 12.Limitado por 20, , 0, 2, 0, 4 z z x x x y y = = = = = = en el primer octante. 323: . Sol u v13.Limitado por 2 2 2 2x y z r + + = . 343: . Sol r u v tD.A continuacin se muestra una regin R, determine si se debe usar coordenadas polares o coordenadas rectangulares y escriba( ) ,Rf xy dA como una integral iterada, donde f es una funcin continua, arbitraria sobre R. ( ) ,Rf xydA= ( ) ,Rf xydA= ( ) ,Rf xydA= ( ) ,Rf xydA= ( ) ,Rf xydA= ( ) ,Rf xydA= 11 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez E. Evaluar cada una de las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares 1. Rx dAdonde R es un disco con centro en el origen y radio 5Sol: 0 2. Rxy dA donde R es el disco con centro en el origen y radio 3.Sol: 0 3.( )Rx y dA + donde R es la regin a la derecha del eje y entre los crculos 2 2 2 2 1431 4 : x y y x y Sol + = + = 4. ( )2 2cosRx y dA +donde R es la regin arriba del eje x y dentro del circulo 2 2sin 929 : x y Solt+ =5. ( ) { }2 2 2 2 263, 1 9, 0 :Rx y dA dondeR xy x y y Solt+ = s + s > 6. ( ){ }2 2 2 2 834 , 4, 0 :Rx y dA dondeR xy x y x Solt = + s > 7. 2 2x yRe dA dondeR es la regin limitada por el semicrculo 24 x y = y el eje y Sol: ( )4412eet 8. xRye dA dondeRes la regin del primer cuadrante encerrada por el circulo 2 2 23 54225 : e x y Sol + =9. ( )2 2Rx y dA dondeR +es la regin limitada por los espirales 52 0 2 . : 24 r y r para Sol u u u t t = = s sF.Utilice una integral doble para hallar el rea de la regin

1.- un ptalo de la rosa( ) cos3 r u =( ) ( )6612cos 3 .2 12d u a Atttu u= = 2.-La regin encerrada por la curva4 3cos r u =+( )2201 414 3cos2 2A dttu u + = = 12 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez3.-La regin interior al cardiode1 sin r u = 2 1sin0 031 .8u a A r dr dt utu = = 4.-La regin entre los crculos cos sin r yr u u = =( )2402sin .8A d u attu u= = 5.-La re3gin interior a la lemniscata ( )24cos 2 r u =( )4014. 4cos 2 4 .2A d u atu u = =

6.-La regin interior al crculo4sin r u = y exterior al circulo2 r =4sin22642 2 33A r dr dtuttu = = + G.Use coordenadas polares para hallar el volumen del slido dado

1.- Debajo del paraboloide 2 2z x y = + y arriba del disco 2 29 x y + s2 330 081.2V r dr d u vttu = = Regin en el plano xy 13 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez 2.- Dentro de la esfera 2 2 216 x y z + + = y fuera del cilindro 2 24 x y + = 4220 28 16 32 3 . V r r dr d u vtu t = = Regin en el plano xy 3.- Una esfera de radio a 2 2 320 0438 .aa V r a rdr d u vtt u = = Regin en el plano xy 4. Limitada por el paraboloide 2 210 3 3 z x y = y el plano4 z =( )2 220 06 10 3 4 . V r r dr d u vtt u = = Regin en que se cortan las superficies 5.- Arriba del cono2 2z x y = + ydebajo de la esfera 2 2 21 x y z + + =( )22220 02 2 2 2 2(2 2)31 .1 1V r r r dr d u vx y z x y r z rttu= = + s s s s Regin en que se cortan las superficies 6.- Limitado por los paraboloides 2 23 3 z x y = + y2 24 z x y = ( )2 12 20 02 2 2 2 2 22 4 3 .3 3 4 3 4V r r r dr d u vx y z x y r z rtt u = = + s s s s Regin en que se cortan las superficies 14 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez 7.- Interior al cilindro 2 24 x y + =y al elipsoide 2 2 24 4 64 x y z + + = ( ) ( ) ( )( )( )2 22 20 02 2 2 2 2 26483 3364 4 64 4 .64 4( ) 64 4 64 4 64 4V r r r dr d u vx y z x y r z rttu = = + s s + s s Regin en el plano XY Masa de una lmina planade densidad variableSip es una funcin de densidad continua sobre una lmina en la reginRdel plano, entoncesla masa m de la lmina viene dada por( ) ,Rm xydA p = H.Hallar la masa de la lmina bordeada por las grficas para la densidad dada. 1.- 2 2, 0) ) ( )y a x ya k b ka yy p p = == = Regin a)20 0. .2aa km k r dr d u mttu = = b)( )40 0( sin ) sin 16 3 .24akam ka r r r dr d u mtu u u t = = 2 2 22 2, 0, 02.) ) ( )x y a y xa k b kx y p p + = > >= = + Regin 15 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Neza) 220 0. .4aa km k r dr d u mttu = = b) 4320 0.8aa km k r dr d u mttu = = 3.- , 0, 4 y x y xkxy p= = = = Regin 40 032.3xkm kxy dy dx u m = = 4.- 3, 0, 2, y x y x kx p = = = =Regin 320 032.5xkm kxdy dx u m = = 5.- 21, 0, 1, 11y y x xxk p= = = =+= Regin 21111 0.2xkm k dy dx u mt+= = 6.- ( ) { }( )2, 1 1, 0 1,R xy x yxy x p = s s s s= Regin 1 121 02.3m x dy dx u m= = 16 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez7.- R es la regin( )29 , 0,,y x yxy y p = == Regin 23 93 0648.5xm y dy dx u m= = 8.- R est limitada por ( )2, 2, 3x y y xxy p = = =

Regin 22 21273 .2yym dxdy u m+= = Integrales triples A.- Evaluar las siguientes integrales iteradas ( )22 23223 2 1 3 1 10 0 0 0 0 01 9 90 0 0 0 0 01 1 1 12 2 21 1 1 0 0 02 1 4 13 21 0 0 0 0 01. 6.2. 6 7.3. 8.4. 9. cos5.yzyz x z y xz yyx y xz y z dx dy dz zedx dz dyxz dy dx dz z dz dx dyxyz dx dy dz ze dx dy dzxyz dz dy dx x y dz dy dxxt+ + + 12 210 0 0 0 0 010. sinyyx xydz dy dx y dz dx dyt B.- Evale la integral triple 1.-( ){ }22 , , , 0 2, 0 4 , 0ExdV donde E xyz y x y z y = s s s s s s 2.-( ) ( ) { }5cos , , , 0 1, 0 , 2Eyz x dV donde E xyz x y x x z x = s s s s s s 3.- 6 ,Exy dV donde Eest bajo el plano1 z x y = ++y arriba de la regin del plano xylimitado por las curvas, 0y 1 y x y x = = =4.- ,ExdV donde Eest limitado por los planos 0, 0, 0y 3 2 6 x y z x y z = = = + += 17 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez5.-,Exy dV donde Ees el tetraedro slido con vrtices ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0 0, 0, 3 y 6.-,EdV donde Ees el slido del primer octante limitado por los planos de coordenadas y el plano4 z x y = 7.-,Exz dV donde E es el tetraedro slido con vrtices ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, 0,1, 0, 1,1, 0 0,1,1 y 8.-,Ez dV donde Eest limitado por los planos 0, 0, 0, 1 y 1 x y z y z x z = = = += +=9.- ( ) 2 ,Ex ydV donde E +est limitado por el cilindro parablico 2y x = y los planos , y 0 x z x y z = = =10.-,ExdV donde Eest limitado por el paraboloide 2 24 4 x y z = +y el plano4 x =11.-,Ez dV donde Eest limitado por el cilindro 2 29 y z + = y los planos 0, 3 y 0 x y x z = = =en el primer octante C.- Use una integral triple para hallar el volumen del slido mostrado en la figura 6..-La regin en el primer octante limitada por el plano y + z=2 y el cilindrox=4-y2 7.-La cua cortada del cilindro 2 21 x y + =por los planos0 z y y z = = 1.- 2.- 18 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez 3.- 8.- 4.- Por arriba el cilindro z=y2 por abajo el plano xy y limitado por los planos x=0,x=1, y=-1, y=1 9.-La regin limitada por el cilindro 2 24 x y + =y los planos 0 3 z y x z = += 5.- La regin en el primer octante limitada por los planos coordenados y los planos x+z=1y y+2z=2 10.-El cilindro 2x y = ,los planos, 0 1 z x z y x = = =2x y = 19 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar NezD.-Utilice coordenadas cilndricas1.Evale 2 2,Ex ydV +dondeE es la regin que est dentro del cilindro 2 216 x y + =entre los planos 5 4 z y z = = Sol:384t2.Evale ( )3 2,Ex xy dV +dondeE es el slido del primer octante que est debajo del paraboloide 2 21 z x y = Sol: 235

3.Evale,Ey dVdondeE es el slido que se encuentra entre los cilindros 2 2 2 21 4, x y y x y + = + = arriba del plano xyy abajo del plano2 z x = +Sol: 0 4.Evale Exz dVdonde E est limitada por los planos0, z z y = = y el cilindro2 21 x y + = , en el semiespacio0 y >Sol: 115 5. Evale 2Ex dVdonde E es el slido que est dentro del cilindro 2 21 x y + = , arriba del plano0 z =y abajo del cono 2 2 24 4 z x y = +Sol: 25t 6. Calcula el volumen del slido que el cilindrocos r a u = corta de la esfera de radioa con centro en el origen.Sol: 32(3 4)9at u.v 7.Calcula el volumen de la regin E limitada por los paraboloides 2 2 2 236 3 3 z x y y z x y = + = 8.Evale ( )22 1 20 04 213:rrdz r dr d Solt tu

9.Evale ( )222 3 180 039 8 2 72:rrdz r dr d Solt tu 10.Evale 222 3 240 0 0175:rdz r dr d Solutttu+

11.Evale 223 40 0 43715:rrz dz r dr d Solutttu 12.Evale( )1222 10 06 2 8 3 :rrdz r dr d Soltt u 13.Evale ( )12122 12 2 20 0 3sin : r z dz r dr d Solttu u+

14.Evale32 333100 0 0:zr dr dz d Solttu 15.Evale1 2 1cos1 0 04 :12 r dr d dz Solt uu t+ 16.Evale( )1 22 2 230 0 0cos :zr z r d dr dz Solttu u + 17.Evale( )22 4 20 2 0sin 1 : 8rrr r d dz dr Soltu u t+ 20 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez18.Sea D la regin limitada abajo por el plano0 z = , arriba por la esfera 2 2 24 x y z + + =y lateralmente por el cilindro 2 21 x y + = . Establezca las integrales triples en coordenadas cilndricas que dan el volumen D, usando los siguientes rdenes de integracin:(1) 22 1 40 0 0:rdz dr d Sol V r dz dr dtu u= (2) 22 3 1 2 2 40 0 0 0 3 0:zdr dz d Sol V r dr dz d r dr dz dt tu u u= + (3) 21 4 20 0 0:rd dz dr Sol V r d dz drtu u= 19.Sea D la regin limitada abajo por el cono 2 2z x y = + y arriba por el paraboloide 2 22 z x y = establezca las integrales triples que dan el volumen de D, usando los siguientes rdenes de integracin. (1) 22 1 20 0:rrdz dr d Sol V dz r dr dtu u= (2) 2 1 2 2 20 0 0 0 1 0:z zdr dz d Sol V r dr dz d r dr dz dt tu u u= + (3) 21 2 20 0:rrd dz dr Sol V r d dz drtu u= Vase el siguiente diagrama

20.D los lmites de integracin para evaluar la integral( ) , ,Df r z dz r dr d u ucomo una integral iterada sobre la regin limitada abajo por el plano0 z = , lateralmente por el cilindrocos r u =y arriba por el paraboloide 23 z r = .Sol: ( )222cos 30 0, ,rf r z dz r dr dttuu u 21.Convierta la integral ( )21 12 21 0 0y xx y dz dxdy+ a una integral equivalente en coordenadas cilndricas y evalela. Sol: 221 cos30 025rr dz dr dttuu= 1 2 z r =22 z r = 2 21 x y + =0 y x z 21 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar NezE.-Hallar el volumen del slido que se muestra en la figura 1.- Rta. 78. u vt 2.- Rta. 638. u vt 3.- Rta. 8 . u v t +4.- Rta. 94. u vt 5.- Rta. 56. u v6.- Rta. 56. u v7.- Rta. 83. u vt 8.- Rta.. u v t 22 Universidad Central de Venezuela.Facultad de Agronoma.Ctedra Matemtica II. Prof. Omar Nez 9.- Rta. 94. u v 10.- Rta. 12 . u v11.-

Rta. 26 9.su vt 12.- Rta. 22 3. u vt