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VECTORES

FISICA I

DEFINICIÓN: Es una actividad física que tiene magnitud y dimensión.

Origen

A B C d

Origen origen origen

Notación: A, a, B, b, C, c.

Ejemplo: N

B

C 45º

O E

A

D

S

A magnitud 2 unidades y dirección 0’ Este

B magnitud 2,5 unidades y dirección 45’ Norte del Este

C magnitud 2,2 unidades y dirección 180º Oeste

D magnitud 1,5 unidades y dirección 270º Sur

OPERACIONES CON VECTORES

1) Suma Geométrica: Se toma un vector como referencia de un conjunto de vectores dados, se coloca el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y así sucesivamente hasta obtener el vector resultante uniendo el origen del primer vector (referencial) con el extremo del último.

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Ejemplo:

A B A – B

C

2) Resta Geométrica: Se procede igual que la suma pero se le invierte la dirección al segundo vector y, de esta manera, aunque tengan la misma magnitud del resultado de su suma, tendrán diferente dirección, por lo tanto no son iguales.

Ejemplo:

A B A – B

- A C

R = A – B R = A + (- B) = A – B

A

R - B

3) Multiplicación de un Vector por un Escalar: Se multiplica una cantidad escalar positiva n por un vector A y resulta un vector con la misma dirección de A pero con una magnitud n veces la magnitud de A.

Ejemplo: W = 3 A = 2 0º Este n . (A) = B

B = 3 (2) 0º Este = B = 6 0º Este

A B

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COMPONENTES DE UN VECTOR:

En un Sistema de Coordenadas Cartesianas de un Vector se puede descomponer en Componentes rectangulares: Componente del eje de las abscisas o X y Componente del eje de las ordenadas o Y.

Ejemplo A Ay

X

A x

La figura geométrica formada por los vectores es un triángulo rectángulo, por consiguiente, la magnitud del vector A, es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

IAI ≈ A = √ Ax2 + Ay2

Vectores Unitarios: Es un vector dividido por su magnitud y se representa como ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ A, a, B, b, por lo tanto

ᴧ A = A, su magnitud es igual a la unidad y no tiene dimensiones. A

Vectores Unitarios Base: Es el vector que tiene una magnitud diferente a la unidad y tiene dos o

ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ Tres dimensiones, por lo tanto A = Axi + Ayj A = Axi + Ayj + Azk

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ᴧ ᴧ ᴧ Ejemplo : Sea el vector A = 2i + 4j + 4k

a) Dibujar el vector A en un sistema de coordenadas

b) Hallar la magnitud del vector A

A = √ (2)2 + (4) 2 + (4) 2

A= √ 36 = 6

ᴧ

4k ᴧ ᴧ

4j 4k

A

ᴧ ᴧ

4j 2i

ᴧ

2i

Cantidades Físicas Vectoriales: Son aquellas que requieren, además de su magnitud, de una dirección; como por ejemplo, la posición, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el momento lineal, el impulso, el momento angular, la velocidad angular, el área, entre otras.

Cantidades Físicas Escalares: Son aquellas que requieren solamente de su magnitud , como por ejemplo; la masa, la temperatura, la potencia, la energía, el tiempo, la longitud, el trabajo, la rapidez, entre otras.

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Ejercicios ᴧ ᴧ ᴧ

1) Sean los vectores: A = 3 w + 5 J – 2 k ᴧ ᴧ ᴧ

B = 8 w - 2 j + 4 k ᴧ ᴧ ᴧ

C = 2 w – 5 j + 3 k Hallar: A + B A – B Grafique: A + B A – B 2 A – 3 B + 1 C 2 A – 3 B + 1/2 C 1/2 ( A + 1/4 B ) 1/2 ( A + 1/4 B )

Vector Unitario de A, B, y C y sus respectivas gráficas

2) Un atleta en el Maratón de Caracas recorre 10 km con dirección este y luego recorre 5 km en dirección Norte. ¿A qué distancia se encuentra el atleta del punto de partida?

R: 11,18 km.

3) Ha ocurrido un incendio en un edificio que tiene 10 pisos. De 3 metros de altura cada uno. Los bomberos acuden con una escalera de 20 metros de longitud y ubican la base de la escalera a una distancia horizontal de 3 mts respecto a la pared del edificio. ¿Hasta qué piso pueden llegar los bomberos? Dibuje el vector que forma la escalera, iniciando desde su base.

4) Sean los vectores ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ ᴧ

A = 2 w – 4 j + 8 K , B = -- 4 i + 6 j – 2 k , C = X w + Y j + Z K = ½ ( A + B ) ¿Cuál es el valor de X del vector C? R: X = - 1 Y = 1 Z = 3

MOVIMIENTO

MECÁNICA: Es la parte de la Física que estudia el movimiento y el reposo de los cuerpos haciendo un análisis de sus propiedades y causas. Se divide en tres ramas: estática, dinámica y cinemática.

ESTÁTICA: Es la rama de la mecánica que estudia los cuerpos en equilibrio.

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DINÁMICA: Es la rama de la mecánica que estudia los cuerpos en movimiento, analizando las causas que lo originan como las fuerzas y las aceleraciones.

CINEMÁTICA: Es la rama de la mecánica que estudia los cuerpos en movimiento sin analizar las causas que lo originan.

MOVIMIENTO: Es todo cambio de posición que experimentan los cuerpos en el espacio con respecto al tiempo y a un punto o sistema de referencia.

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO:

ABSOLUTO: Es el que posee un móvil con respecto a un sistema de referencia fijo

RELATIVO: Es el que posee un móvil con respecto a un sistema de referencia que a su vez se mueve.

TIPOS DE MOVIMIENTO:

De acuerdo a la trayectoria:

Rectilínea : Si la trayectoria es una recta.

Curvilínea : Si la trayectoria es una curva circular, parabólica, heliceidal, elíptica, entre o tras.

De acuerdo a la aceleración:

Uniforme : Si no varía la velocidad, es decir no tiene aceleración.

Acelerado : Si varía la velocidad, es decir tiene aceleración.

Uniformemente Acelerado: Si la aceleración es constante.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO:

La Partícula: Es un cuerpo cuyas dimensiones o móvil son consideradas muy pequeñas en comparación con la de los demás cuerpos que participan en el fenómeno.

La Trayectoria: Es la línea o el conjunto de posición sucesivas que ocupa la partícula.

El Desplazamiento: Es un vector que va dirigido desde el punto donde se inicia el movimiento hasta el punto donde finaliza.

La Distancia: Es la magnitud escalar representada por la longitud medida sobre la trayectoria.

El Sistema de Referencia: Es el punto considerado fijo, cuya ubicación se conoce con exactitud a partir del cual el móvil o partícula cambia de posición.

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Vector Posición: Es el vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto inicial donde está ubicado el objeto al estudiar.

Vector Desplazamiento: Es el vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto final donde está ubicado el objeto al estudiar.

Rapidez Media: Es la distancia recorrida por unidad de tiempo V = d / t, tiempos promedios.

Ejemplos: Un golfista logra un hoyo en 3 s después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viaja con una rapidez media de 0,8 mts/s. ¿A qué distancia estaba el hoyo?

DATOS FORMULA RESOLUCIÓN RESPUESTA T = 3 s V = d d = 0,8 m / s . 3 s d= 2,4 m V = 0,8 m/s t d = 2,4 m X = ? X = V . t

Nota: La rapidez es una cantidad escalar totalmente independiente de la dirección y al que no fue necesaria conocer ni la rapidez de la pelota de golf a cada instante, ni la naturaleza de su trayectoria.

Rapidez Instantánea: Es una cantidad escalar que representa la rapidez en el instante en que el móvil está en un punto arbitrario. Es la relación del cambio de distancia con respecto al tiempo.

Velocidad Instantánea: es una cantidad vectorial que representa la velocidad en el instante en que el móvil está en un punto arbitrario. Es la relación del cambio del desplazamiento con respecto al tiempo.

Movimiento Uniformemente Acelerado : es un movimiento rectilíneo, en el cual la rapidez cambia a razón constante.

Ejemplo: Un automóvil se mueve con aceleración uniforme, desde una rapidez inicial de 12 m/s hasta una rapidez final de 22 m/s. Si el incremento con la velocidad requirió de 5 s, determinar la aceleración. DATOS FÓRMULA RESOLUCIÓN RESPUESTA Vo = 12 m / s a = Vf - Vo a = 22 m / s – 12 m / s a = 2 m / s2 Vf = 22 m / s t 5 s t = a = 10 m / s = 2 m / s a = ? 5 s

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Ejercicios :

1) Un tren reduce su velocidad de 80 km/h a 20 Km/h en un tiempo de 8 s. Encuentre la aceleración del tren. R: a = - 027272,72 km/h2

2) Un barco mantiene una aceleración constante de 8 m/s. Si su velocidad inicial es de 20 m/s. ¿Cuál es su velocidad después de 6 s?

R: Vf= 68 m/s

3) Un trineo en movimiento incrementa uniformemente, su velocidad de m/s a 40 m/s en 2 min. ¿Cuál es la velocidad media, y que tan lejos llegará en esos 2 min?

R: V= 29,60 m/s X= 3552 m.

4) Una lancha de motor parte del reposo y alcanza una velocidad de 50 km/h en 15 s. ¿Cuál fue su aceleración y que tan lejos viajó?

R: a= 11904,76 km/h2 X= 0,10 km

5) Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones a 200 km/h y se detiene a 300 km. Encuentre la aceleración y el tiempo necesario por detenerlo.

R: T= 15 h a= 13,33 km/h2.

6) Una bicicleta se mueve con aceleración uniforme, desde una rapidez inicial de 24 m/s hasta una rapidez final de 48 m/s. Si el incremento en la velocidad requirió 25s segundos, determine la aceleración.

R: a= 0,96 m/s.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO

1) Un tren reduce su velocidad de 80 km/h a 20 km/h en un tiempo de 8 segundos. Encuentre la aceleración del tren.

DATOS FÓRMULA RESOLUCIÓN RESPUESTA Vo = 80 Km/h a = Vf – Vo a = 20 Km/h – 80 Km/h a = - 27272,7 Km/h2

Vf = 20 Km/h t 0,0022 h t = 8 s = 0,0022 h a = - 60 Km/h =

0,0022 h

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2) Un barco mantiene una aceleración constante de 8 m/s. Si su velocidad inicial es de 20 m/s. ¿Cuál es la velocidad después de 6 s?

DATOS FÓRMULA RESOLUCIÓN RESPUESTA a = 8 m/s2 a = Vf – Vo Vf = 8 m/s2 . 6 s + 20 m/s Vf = 68 m/s Vo = 20 m/s t Vf = 48 m/s + 20 m/s Vf = ? Vf = a . t + Vo Vf = 68 m/s T = 6 s

3) UN trineo en movimiento incrementa uniformemente su velocidad de 20 m/s a 40 m/s en 2 min. ¿Cuál es su velocidad media y que tan lejos llegará en esos 2 min?

DATOS FÓRMULA RESOLUCIÓN RESPUESTA Vo = 20 m/s a = Vf – Vo a = 40 m/s – 20 m/s X = 3552 m Vf = 40 m/s t 120 s T = 2 min = 120 s a = 20 m/s = V = ? 120 s X = ? X = Vo . t + 1/2 . a . t2 a = 0,16 m/s2

X = 20 m/s . 120 s + 0,16 m/s2 . (120 s)2

X = 2400 m + 0,08 m/s2 . 14400 s2 X = 2400 m + 1152 m = 3552 m V = X = 3552 m = 29,60 m/s t 120 s 4) Una lancha de motor parte del reposo y alcanza una velocidad de 50 km/h

en 15 s. ¿Cuál fue su aceleración y que tan lejos viajó?

DATOS FÓRMULA RESOLU CIÓN RESPUESTA

Vo = 0 Km/s a = Vf – Vo a = 50 Km/s – 0 Km/h a = 50 Km/h

Vf = 50 Km/h t 0,0042 h 0,0042 h

t = 15 s = 0, 0042 h X = Vo . t + 1/2 . a . t2 / a

X = 1/2 .11904,76 Km/h2 . (0,0042 h)2

X = 5952,38 Km/h2 = 0,10 Km

5) Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones a 200 km/h y se detiene a 300 km. Encuentre la aceleración y el tiempo necesario por detenerlo.

DATOS FÓRMULA RESOLU CIÓN RESPUESTA V = 200 Km/h V = X = t = X t = 3000 Km = 15h a = 13,33 Km/h2

X = 3000 Km T V 200Km/h a = ? a = V = 200 Km/h = 13,33 Km/h2 t = ? t 15 h

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6) Una bicicleta se mueve con aceleración uniforme, desde una rapidez inicial de 24 m/s hasta una rapidez final de 48 m/s. Si el incremento en la velocidad requirió 25 segundos, determine la aceleración.

DATOS FÓRMULA RESOLU CIÓN RESPUESTA V = 24 m/s a = Vf – Vo a = 48 m/s – 24 m/s a = 0,96 m/s2

Vf = 48 m/s t 25 s t = 25 s a = 24 m/s = 0,96 m/s2 a = ? 25 s El MCU es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección.

CARACTERÍSTICAS:

1) Tiene por trayectoria una circunferencia.

2) La partícula en su trayectoria recorre arcos iguales en intervalos de tiempo iguales.

3) Es un movimiento periódico por que se repite con similares características a intervalos de tiempos iguales.

Circunferencia: es el conjunto de puntos del plano equidistantes de un punto llamado centro, el cual notaremos como “O”.

Elementos de la Circunferencia:

1) Radio : Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia

2) Diámetro : es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia con cualquier punto de ella, el cual notaremos como OA, OB, OC, entre otros.

3) Arco : Es la porción de la circunferencia determinada por dos puntos, el cual notaremos FG. Cuando da una vuelta completa, la longitud del arco coincide con la longitud de la circunferencia, se afirma L = 2. π. R

4) Tangente : Es la recta que tiene un punto en común, y solo uno con la circunferencia, la cual denotaremos L.

5) Ángulo Central : Es todo ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, el cual denotamos D.

6) Radio Vector : Es el segmento de recta dirigido desde el centro de la circunferencia a cualquier punto de ella, el cual denotamos R.

7) Cuerda : Es el segmento que une dos puntos de una curva o circunferencia, el cual denotamos tv.

8) Radián : es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco cuya longitud es igual al radio de la misma, el cual denotamos RAD, se afirma rad =L longitud del arco.

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Elementos del MCU

1) Período : Es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa, el cual denotamos T, se afirma T = t tiempo w número de vueltas

2) Frecuencia : es el número de vueltas que da un móvil en la unidad de tiempo, la cual denotamos f, se afirma f = w número de vueltas

t tiempo 3) Velocidad Angular : Es la magnitud medida por el cociente entre el ángulo

descrito por el radio vector y el tiempo empleado en describirlo, la cual denotamos w, se afirma w = d

T Cuando el ángulo barrido es un ángulo de giro igual a 2 II, el tiempo empleado es un período, se afirma w = 2 . π 2 . (3,14)

T período 4) Velocidad Lineal o Tangencial : Ese el vector tangente a la trayectoria en cada

punto, la cual denotamos Ve, se afirma Ve = 2 . π . R Ve = 2 . π . R . f Ve = w . R

5) Aceleración Centrípeta : Es la aceleración dirigida hacia el centro de la circunferencia que aparece en el MCU como consecuencia de la variación de dirección del vector velocidad lineal o tangencial, la cual denotamos ac, se afirma ac = Ve2 Velocidad lineal

R radio ac = w2 . R velocidad angular por radio

Nota: otras denotaciones Hs = Altura del Satélite

Rs = Radio de la Órbita del Satélite

Rt = Radio de la Tierra

Ejemplo. Una rueda de 9 m de diámetro está girando, de manera que da 15 vueltas en 0,5 min. Calcular la velocidad lineal, la velocidad angular, la frecuencia, la aceleración centrípeta, ¿Cuántas vueltas da en 1,5 min? ¿Cuánto tarda con dar 80 vueltas?

Datos Fórmula Resolución Respuesta D = 9 m 1) Ve = 2π . R = 2(3,14) . 4,5 = 1413 m/s R = 4,5 m T 2 s W = 15 T = t = T = 30 s = 2 s T = 0,5 min = 0,5.60s = 30s n 15 1) Ve = ? 2) w = 2π w = 2 . (3,14) = 3,14 m/s 2) w = ? t 2s

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3) f = ? 3) f = n = 15 = 0,5 s-1 4) ac = ? t 30s 5) n = ? 1,5 min = 1,5 . 60s = 90s 6) t = ? n = 80

4) ac = Ve = (14,13 m/s) = 199,66 m/s = 44,37 m/s R 4,5 m 4,5 5) f = n = n = f . t = 0,5s . 90s = 45 vueltas

t

6) F = n = 80 = 160s t 0,5s

Ejercicio : Si una aguja que marca los minutos en un reloj mide 2,5 cm

Calcular: 1) La velocidad angular, 2) La aceleración centrípeta, 3) La velocidad lineal

Nota: Usar el período de rotación de la aguja

R: 1) 1,74 . 10-3 rad/s

2) 7,57. 10-8 m/s

3) 4,36 . 10-5 m/s

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Definición: Es un movimiento periódico en ausencia de rozamiento, producido por la acción de una fuerza recuperada que es directamente proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero en sentido opuesto. Se expresa a = - K . X

m a = aceleración k = constante de elasticidad m = masa x = desplazamiento

Elementos:

1) Oscilación o vibración completa: Es el movimiento completo realizado desde cualquier posición, hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.

2) Elongación: Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio, hasta cualquier posición en un instante dado. Se mide en m o en cm.

3) Amplitud: Es el valor máximo que puede tomar la elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio. Se mide en m o cm.

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4) Período: Es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra “T” y se mide en segundos.

5) Frecuencia: Es el número de oscilaciones o vibraciones realizadas por la partícula en la unidad de tiempo. La unidad usada es el ST es el ciclo/segundo, llamado también Hertz o s-1

6) Posición de Equilibrio: Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante. La fuerza recuperada es nula.

7) Puntos de Retorno: Son los puntos extremos de la trayectoria en las cuales la fuerza la fuerza recuperada es nula.

8) Frecuencia Angular o Pulsación: es la velocidad angular constante del movimiento hipotético que se ha proyectado.

Propiedades:

1) El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían con el tiempo.

2) La aceleración de la partícula que se mueve es proporcional al desplazamiento pero en dirección opuesta.

3) La frecuencia y el período son independientes de la amplitud.

Posición de Equilibrio Elongación

Puntos de Retorno A y C Oscilación

Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple Magnitud Fórmula Elongación x = A . (cos . w) t

Velocidad en Función de la Elongación Vx = + w √ a 2 – x2

Velocidad en Función del Tiempo Vx = A . w2 . (sen . w) . t Aceleración ax = - w2 . A . (cos . w) . t

ax = - w2 . x

Período para el Sistema Masa-Resorte T = 2 π √m/k

Valor Máximo de la Velocidad V máx = w . A Valor Máximo de la Aceleración a máx = w2 . A

Elongación

Oscilación

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Ejemplo: Se tiene un objeto que oscila con M.A.S. Si la amplitud del movimiento es de 15 cm y el período es de 2s, encontrar las magnitudes de la velocidad y la aceleración cuando x = 0 cm y x = 7,5 cm

Datos Fórmulas Resolución Respuesta A = 15 cm = 1,5 . 10-1 m 1) w = 2π = 2 . 3,14 rad = 3,14 rad/s T = 2 s t 2 s

V = ? 2) V = + w √ A2 – x2 = + 3,14 rad/s √1,5 . 10-1 m

A = ? V = 3,14 rad/s. 1,5 m = 0,47 m/s X = 0 cm = 0m X = 7,5 cm = 7,5 . 10-2 m 3) ax = - W2 . x = - (3,14 rad/s)2 . 0m = 0m/s2

4) V = + w √A2 – X2 = + 3,14 s-1 √(0,15 m)2 – (7,5. 10-2 m)2

V = + 3,14 s2 . √0,016875 m2 = + 3,14 s-1 . 0,1299381 m V = + 0,408 m/s

5) A = - w2 . x = - (3,14 s-1)2 m = - 0,739 m/s2

Ejercicios :

1) Un cuerpo de masa 12 g se mueve con M.A.S. con un período de 4 s. Si la amplitud del movimiento es de 24 cm y en el instante t=0 pasa por la posición de equilibrio en sentido positivo, calcular en el instante t= 0,5 s.

a) La posición del cuerpo R: x= 16,97 cm.

b) La magnitud de la aceleración R: a = - 41,87 cm/s2

c) La magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo R: F = 502,44 dimas

d) La velocidad del cuerpo cuando x = - 12 cm

2) Un cuerpo es apartado hacia la derecha de su posición de equilibrio una longitud de 6 cm y luego se suelta. Si regresa al punto desde donde se soltó en 2s y continúa vibrando con M.A.S., calcular:

a) Posición y velocidad después de 5,2 s . R: x = - 4,84 cm Vx = 11,07 cm/s

b) Su velocidad máxima R: V máx = 11,07 cm/s.

3) Un objeto se mueve con M.A.S. de amplitud de 24 cm y período 1,2 s. Calcular:

a) Velocidad del cuerpo cuando se encuentra en posición media y cuando está a 24 cm. R: Vx = 135 cm/s V máx = 0 cm/s.

b) Aceleración en cada caso. R: ax = 0 cm/s a máx = 659 cm/s.

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4) Un cuerpo vibra con una frecuencia de 1,4 Hz y una amplitud de cm. ¿Cuál es la velocidad máxima? ¿Cuál es la posición cuando la velocidad es cero?

R: Vx = 0,351 m/s x = + 4 cm.

5) <un bloque liso colocado sobre una superficie sin fricción está unido a un resorte, se tira de él hacia la derecha una distancia de 4 cm y luego se suelta. Tres segundos después regresa al punto de partida. ¿Cuál es su frecuencia?. ¿Cuál es su velocidad máxima?

R: f = 0,33 Hz v máx = 8,38 cm/s.

6) Un automóvil y sus pasajeros tienen una masa total de 1600 kg. El armazón del vehículo está sostenido por cuatro resortes, cada uno con una fuerza constante de 20.000 N7m. Calcule la frecuencia de vibración del automóvil cuando pasa sobre un promontorio de camino. R: f = 1,13 Hz.

El Péndulo Simple Definición: Es un cuerpo de masa despreciable m suspendido de un hilo largo de

longitud L, que oscila de forma periódica T = 2 π √ L g = 4 π2 . L g T2

Características:

1) El hilo es extensible.

2) Su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo.

3) El ángulo de desplazamiento es pequeño.

Ejemplo: En un experimento de laboratorio un estudiante recibe un cronómetro, una lenteja de madera y un trozo de cuerda. Se le pide que determine el valor de la aceleración de la gravedad g. si el estudiante construye un péndulo simple de 1 m de longitud y al medir el período, éste es de 2s. ¿Qué valor obtendrá para g?

Datos Fórmula Resolución g = ? g = 4 . π . L = 4 (3,14)2 . 1m = 9,87 m/s2 L = 1 m t2 (2 s)2 t = 2 s

Ejercicios:

1) Un reloj de péndulo simple marca los segundos cada vez que su peso llega a su amplitud máxima en cualquiera de los lados. ¿Cuál es el período de este movimiento? ¿Cuál debe ser la longitud del período en el punto en que la

g = 9,80 m/s?

R: T = 2 s L = 0,99 m.

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2) En la superficie de la luna, la aceleración de la gravedad es de solo 1,67 m/s2. Un reloj de péndulo ajustado para la tierra es colocado en la luna. ¿Qué fracción de su longitud en la tierra deberá ser su nueva longitud en la luna?

L = 0,17 m.

3) Se tiene un péndulo de 2,5 m de longitud, oscilando con una amplitud de 30cm. Calcular:

a) La velocidad del péndula en el punto más bajo. R: V = 0,6 m/s.

b) La aceleración en los extremos de la trayectoria. R: a = - 12 m/s2

Gravedad y Caída Libre de los Cuerpos

Gravedad: es la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre un objeto cualquiera y por consecuencia ha sido estimado su valor en 9,8 m/s2.

Caída Libre: es el movimiento, en dirección vertical, con aceleración constante realizado por un cuerpo cuando se deje caer al vacío.

Aceleración Gravitacional: Es el movimiento uniformemente acelerado medida al nivel del mar y a una latitud de 45º, cuyo valor vale 9,806 m/s2.

ECUACIONES

Movimiento horizontal Movimiento de caíd a libre X = Vo. T + 1/2 a . t2 Y = Vo . T + 1/2 g . t2

V = Vo + a . t V = Vo + g . t V2 = Vo + 2 a . x V2 = Vo2 + 2 g . y

Ejemplo : Una pelota de hule se deja caer del reposo. Encuentre su velocidad y su

posición después de 1, 2, 3 y 4s.

X= 0m O V= 0m/s

X= 16m O V= 32= m/s

X= 64m O V= 64= m/s

X= 144m O V= 96= m/s

X= 256m O V= 128= m/s

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Nota : Como todos los parámetros se medirán hacia abajo, es más conveniente elegir la dirección descendente como positivo. Datos Fórmula Resolución Respuesta Vo = 0 m/s 1) Vf = V0 + g . t Vf = 9,8 m/s2 . 1 s G = 9,8 m/s2 T = 1,2,3,4 s 2) X = V0 . t + 1/2 . g .t2 Vf = 9,8 m/s Vf = ? X = 1/2 . 9,8 m/s2 . (1 s)2 Vf = 9,8 m/s2 . 2 s X = ? X = 1/2 . 9,8 m/s2 . (4 s)2 X = 4,9 m Vf = 19,6 m/s X = 78,4 m X = 1/2 . 9,8 m/s2 . (2 s)2 Vf = 9,8 m/s2 . 3 s

X =19,6 m Vf = 29,4 m/s X = 1/2 . 9,8 m/s2 . (3 s)2 Vf = 9,8 m/s2 . 4 s X = 44,10 m Vf = 39,2 m/s

Ejercicio: Suponga que una pelota de softbol se arroja hacia arriba con una velocidad inicial de 96 m/s; explique sin utilizar ecuaciones, como el movimiento ascendente es exactamente inversa al movimiento descendente. Dirección hacia arriba = + Aceleración hacia arri ba = - Vo = 96 m/s El objeto arrojado verticalmente reducirá su V(1 s) = 64 m/s velocidad 9,8 m/s cada segundo al elevarse . V(2 s) = 32 m/s V(3 s) = 0 m/s Cuando la velocidad llega a cero, la pelota de V(4 s) = - 32 m/s beisbol alcanzará su máxima altura y V(5 s) = - 64 m/s empezará a caer libremente. Ejercicio: Desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad de 2,44 m/s. calcular:

1) Tiempo en alcanzar la altura máxima. 2) La altura máxima alcanzada. 3) La velocidad del cuerpo a las 2,05s. 4) La altura del cuerpo a las 2,83s.____________gravedad negativa.

Solución:

1) V = Vo + g . t t = V - Vo g

t = 24,4 m/s – 0 m/s = 24,4 m/s = 2;44 s 10m/s 10m/s2

2) V2 = Vo2 + 2 g . y máx Y máx = V2 – V02 = 515,36 m2/s2 = 21,77 m

2 g 20 m/s2

3) V = Vo + g . t = 24,4 m/s + ( - 10m/s2) . 2,05 s V = 24,4 m/s – 10 m/s . 2,05 s V = 24,4 m/s – 20,5 m/s V = 3,9 m/s

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4 ) V = Vo + g . t = 24,4 m/s + ( - 10m/s2) . 2,83 s V = 24,4 m/s - 28,3 m/s V = - 3,9 m/s

Nota : la velocidad negativa significa que el cuerpo se mueve hacia abajo con esa velocidad, lo que significa que ha llegado a su altura máxima y viene descendiendo.

Asignación :

1) Una pelota de beisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, tiene una velocidad inicial de 20m/s.

a) Calcular el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima

t = 2,64s.

b) Encuentre la altura máxima X máx = 20,4m.

c) Determine su posición y su velocidad después de 1,5s X = 19m,

V = 5,3m/s.

d) Halle su posición y su velocidad después de 5s. X = - 23m,

V = - 29m/s.

2) Desde la azotea de un edificio de 50 m de altura se lanza un cuerpo hacia arriba, con una velocidad de 24 m/s. Cuando regresa pasa rozando el edificio. Calcular:

a) La altura máxima alcanzada X máx = 28,8m.

b) El tiempo que emplea en volver el punto de partida t = 4,8s.

c) Su posición a los 6s de haber sido lanzado X = - 36m.

d) El tiempo empleado desde el momento de ser lanzado hasta llegar al suelo

t = 6,36s.

e) La velocidad con la que toca el suelo. V = - 39,6 m/s.

3) Se ha calculado que la aceleración de la gravedad en un planeta distante es equivalente a la cuarta parte de L valor de la gravedad en la tierra. ¿Significa esto que si se deja caer una pelota desde una altura de 4m en ese planeta, caerá al suelo en la cuarta parte del tiempo que tardaría en caer en la tierra?¿Cuáles serán los tiempos de caída de la pelota en ese

planeta y en la tierra? tp = 1,81s t t = 0,90s

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Nota : El signo de la aceleración gravitacional es + o – scoin se elije la dirección positiva hacia arriba o hacia abajo.

Movimiento de Proyectiles

Proyectil : es un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia.

Características :

1) Se deprecia la resistencia ejercida por el aire.

2) La única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso.

3) El peso del proyectil hace que su trayectoria se desvié en línea recta.

4) El proyectil experimenta una aceleración constante hacia abajo por efecto de la gravedad.

5) La dirección de la gravedad no coincide con la dirección de la velocidad inicial.

6) La aceleración horizontal es cero.

7) La velocidad horizontal es constante.

8) La fuerza de gravedad hacia abajo hace que la velocidad vertical cambie uniformemente.

9) En condiciones normales, el movimiento de proyectil ocurre en dos dimensiones.

10) Su trayectoria es una parábola.

Ejemplo: Un esquiador inicia un salto horizontalmente, con una

velocidad inicial de 25m/s. La altura inicial es de 80 m con respecto al

punto de contacto con el suelo.

1) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el esquiador?

2) ¿Cuál es el alcance o recorrido horizontal?

3) ¿Cuáles son los componentes horizontal y vertical de la velocidad

final?

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Datos Fórmula Resolución Voy = 25 m/s 1) y = Vo . t + 1/2 . g . t 1) t2 = 2 . 80 m Y = 80 m 9,8 m/s2

t = ? y = 1/2 . g . t2 t2 = 16,32 s

X = ? velocidad horizontal es constante t = √16,32 s Vfx = ? t2 = 2y t = 4,04 s Vfy = ? g Voy = ? X = Vox . t X = 25 m/s . 4,04 s X = 101 m Vfy = g . y Vfy = 9,8m/s2 . 4,04 s

Vfy = 39,6 m/s Respuesta Vfx= 25m/s porque la velocidad horizontal es constante.

Estrategias para resolver Problemas de Movimiento d e Proyectiles:

1) Descomponer la velocidad inicial Vo en sus componentes X o Y

Vox = Vox . Cos 0 (ángulo) Voy = Voy . Sen 0 (ángulo)

2) Los componentes horizontal y vertical del desplazamiento en cualquier instante están dadas por: X = Vox . t Y = Voy . t + 1/2 . g . t2

3) Los componentes horizontales y verticales de la velocidad en cualquier instante están dadas por Vx = Vox Vy = Voy + g . t

4) La posición y la velocidad finales pueden determinarse a partir de sus componentes.

5) Asegúrese de utilizar los signos correctos y unidades congruentes. Recuerde que la gravedad g puede ser positiva o negativa, dependiendo de su elección inicial.

Ejercicio: se dispara, desde el suelo, un proyectil formando con la horizontal un ángulo de 42º y cae al suelo más adelante en 6s. Calcular: 1) La velocidad de lanzamiento. 2) El alcance horizontal. 3) La altura máxima alcanzada. Datos Fórmula α = 42º 1) t máx = - Voy Voy = g . tv T = 6 s g 2. Sen O Vox = ? Tv = 2 . t . máx X = ? Tv = 2 . (Voy . Sen 0) Y = ? g Del lanzamiento hasta llegar al suelo tv = 2 . t max t max = - Voy g

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Resolución Voy = 9,8 m/s2 . 6 s = 58,80 m/s = 58,80 m/s = 44,55 m/s 2 . sen 42º 2 . 0,66 1,32 2) Fórmula Resolución X = Vox . t X = 44,55 m/s . 0,74 . 6 s X = Vox . Cos 0 . tv Respuesta X = Vox . Cos 42 . tv X = 197,80 m Voy = Vox 3) Fórmula Resolución Y máx = Voy2 Y máx = - Voy2 . Sen 42º

2 g 2 g Principio de Independencia de los Y máx = - Voy2 . 0,66 = - 1984,70 m2/s2 . 0,66 Movimientos (Galileo Galilei) 2 g 2 . 9,8 m/s2 “Si un cuerpo tiene un movimiento Compuesto, cada uno de los movimientos Y máx = - 1309,90 m2/s2 = - 66,83 m

19,60 m/s2

Componentes se cumple como si las demás no existieran” Por lo tanto:

- El movimiento horizontal está regido por la Ley de Inercia. - El movimiento vertical está regido por la fuerza de gravedad.

Nota : la velocidad resultante de un proyectil es una tangente en cada punto de la curva y está cambiando constantemente de módulo y dirección. Tg = y / α

Asignación :

1) Un avión que vuela 70m/s deja caer una caja de provisiones. ¿Qué distancia horizontal recorrerá la caja antes de tocar el suelo, 340 m más abajo?

R: X = 583m.

2) Una bola de acero rueda y cae por el borde de una mesa desde 4 m por encima del piso. Si golpea el suelo a 5 m de la base de la mesa, ¿Cuál fue su velocidad horizontal inicial?

R: Vox = 10 m/s

3) Un proyectil tiene una velocidad horizontal inicial de 40 m/s en el borde de un tejado. Halle los componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3 s. R: Vox = 40 m/s. Voy = - 29,40 m/s.

4) Se lanza un proyectil, formando un cierto ángulo con la horizontal, con una velocidad inicial de 60 m/s. Si la magnitud de la componente vertical de la velocidad inicial es 40 m/s. Calcular: a) El valor del ángulo d. tg = Vy = 40 = 0,066 Artg

Vx 60 b) La velocidad del proyectil a los 3 s.

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c) La altura máxima alcanzada. d) El alcance horizontal. R: a) d = 41º b) Voy = 45,95 m/s c) Y máx = 81,63 m d) X = 365,06 m.

5) Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 400 m/s con un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Encuentre: a) Su posición y velocidad después de 8 s, b) El tiempo necesario para que alcance su altura máxima y c) el recorrido horizontal. R: a) y= 576 m Vy= - 56 m/s b) t= 6,25 s c) Vx= 4325 m.

6) Una pelota de beisbol se separa del bate con un ángulo de 37º sobre la horizontal y con una velocidad de 36,60 m/s. la pelota es recogida por un espectador en las gradas, a una distancia horizontal de117 m. ¿A qué altura sobre el plano en que fue bateada se encuentra el espectador? R: y máx= 8,10 m.

Segunda Ley de Newton

Enunciado : La aceleración adquirida por un cuerpo, cuando sobre él actúa una fuerza resultante no equilibrada, es directamente proporcional a la fuerza aplicada, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Se afirma que F = m.a

Unidades : Sistema Fórmula Unidad C . g . s F = m . a g . cm/s2 = dina (din) M . K . S F = m . a Kg . m/s2 = Newton (N) Técnica F = m . a 9,8 N = kilopondio (Kp)

9,8 . 105 = kilopondio Masa Inercial: es la propiedad intrínseca de un cuerpo que cuantifica la inercia o resistencia a cambiar su velocidad, independientemente de la naturaleza de la fuerza aplicada. Se obtiene aplicando la segunda (2da) Ley de Newton.

Masa Gravitacional: Es la masa medida en función de la fuerza que ejerce sobre ella el cuerpo gravitacional. Se obtiene utilizando la balanza.

Nota: La masa inercial de un cuerpo es proporcional a su masa gravitaría, por lo tanto de ahora en adelante la llamaremos simplemente masa.

Sistema de referencia Inercial: es el sistema que está en reposo o está dotado de MRV, donde son aplicables las Leyes de Newton.

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Ejemplo : ¿Qué aceleración le impartirá una fuerza de 20 N a un cuerpo de 10 Kg? Datos Fórmula Resolución Respuesta a = f = m .a a = F = 20 Kg . m/s2 a = 2 m/2

f = 20 N m 10 Kg m = 10 Kg

Ejercicios :

1) ¿Qué fuerza resultante le impartirá a un cuerpo de 32 Kg y una aceleración de 5 m/s2? R: F = 160 N.

2) ¿Cuál es la masa de un cuerpo si una fuerza de 60 N le imparte una aceleración de 4 m/s2? R: 15 Kg.

3) ¿Cuál será la aceleración de un cuerpo de 95 Kg al cual se le ha aplicado una fuerza de 9 N? R: 0,09 m/s2

Diagramas de Cuerpo Libre

Ejemplo: Un bloque de 10 Kg se desliza sobre una superficie horizontal empujado por una fuerza de 12 Kg, la cual forma un ángulo de 30º con la horizontal. Si al cabo de 3 s la velocidad del bloque es 9 m/s. Calcular: 1) El valor de la Fuerza de Roce (Fr) que actúa sobre el cuerpo. 2) La fuerza que el plano ejerce sobre el bloque. 3) El coeficiente de roce dinámico, si la N = 156,8 N. Datos Fórmula Resolución m = 10 Kg 1) F = m . a FX = F. cos 0 3) Fr = 12 . 9, 8 N . 0,86 F = 12 Kg 3) Fr = F. cos 0 – m . a - 10 Kg . 3 m/s2

d = 30º 2) a = V = 9 m/s2 = 3 m/s2 Fr = 71,14 N t = 3 s t 3 s 2) 3 m/s V = 9 m/s 4) M = P P = m . g Fr = ? g 4) P = 10 Kg. 9,8 m/s2

Fx = 5.- uk = Fr = 71,14 N P = N µx = ? N 156,8 N N = 156,8 N uk = 0,45

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Y N

Fr Fr X

- X f

p

Fy - Y

Estrategias para Resolver Problemas aplicando la Se gunda Ley de Newton sobre el Movimiento:

1) Lea el problema; luego trace y marque un bosquejo.

2) Construya un diagrama de cuerpo libre, de modo que uno de los ejes coincida con la dirección del movimiento.

3) Indique la dirección positiva de la aceleración.

4) Distinga entre la masa y el peso de cada objeto.

5) A partir del diagrama de cuerpo libre, determine la fuerza resultante a lo largo de la dirección elegida del movimiento.

6) Establezca que la fuerza resultante (£F) es igual a la masa total (mt) por la aceleración, una vez que se haya determinado la masa total.

7) Sustituya las cantidades conocidas y calcule las desconocidas.

Situaciones a Resolver :

1) Indique con claridad la diferencia entre la masa de un objeto y su peso, y mencione cuáles son las unidades apropiadas para cada uno en el Sistema Internacional de Unidad (SI).

2) ¿A qué nos referimos exactamente cuando decimos que un atleta es una persona de 75 Kg? ¿Cuál sería la masa de esta persona en la luna?

3) Una pieza de Latón redonda que se encuentra en el laboratorio está marcada como 500 g. ¿Esta cifra indica su peso o su masa?.

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4) Se mantiene en estado de equilibrio en una masa suspendida, colgando masas de poleas montadas en diversos puntos de su borde circular. En el cálculo de las masas necesarias para establecer el equilibrio, a veces empleamos gramos en lugar de Newtons. ¿Existe alguna justificación para hacerlo así?

5) Al dibujar diagramas de cuerpo libre, ¿Por qué es conveniente, en general, elegir el eje X o el eje Y en dirección del movimiento, aunque eso implique girar los ejes? Use como ilustración el ejemplo del movimiento a lo largo de un plano inclinado.

6) Establezca dos diferencias entre masa inercial y masa gravitacional.

7) Establezca cuatro semejanzas entre masa inercial y masa gravitacional.

Ejercicios : 1) Consideremos un cuerpo de masa 1 Kg, el cual está en reposo sobre un plano

inclinado. El plano inclinado forma un ángulo de 30º con respecto al plano horizontal. Supóngase que el cuerpo está fijo a través de una cuerda atada a una pared. Determine la tensión de la cuerda (Tc) y la fuerza Normal (N) que el plano inclinado ejerce sobre el cuerpo. Fórmulas: T – Px = m . a / T – Py = m . a / N – m . g . sen 0 / cos 0 R: T = 39,17 N N = 67,89 N

2) Un bloque A de masa m1 = 2 Kg que descansa sobre una superficie horizontal y sin rozamiento, está unido por una cuerda que pasa por una polea a un bloque suspendido B de masa m2 = 1 Kg. Si se supone que la polea no tiene masa ni fricción. Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. Fórmulas: N – P1 = m1 . a

N – P2 = m2 . a / a = P2 - P1 / T1 = m1 . a m2 + m1 R: a = 3,26 m/s2 T1 = 6,52 N

3) Dos bloques unidos por una cuerda que pasa por una polea 1 de m1 = 5 kg y otro de m2 = 8 kg. Si se supone nulo el roce, calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. Fórmulas: T – P1x = m1 . a / T - P2y = m2 . a / a = P2 – P1x / T = P1x + m1 . a

m1 + m2 R: a = 4,14 m/s2 T = 45,20 N

4) Un ascensor de 2000 Kg se levanta con una aceleración de 4 m/s2. ¿Cuál es la tensión en el cable que lo soporta? R: T = 2250 Kg

5) Una bola de 100 Kg se hace descender por medio de un cable, con una aceleración hacia debajo de 5 m/s2. ¿Cuál es la tensión del cable? R: T = 480 N

6) Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un bloque de 4 Kg a través de un piso. Si el coeficiente de roce dinámico es de 0,2, determine la aceleración del bloque. R: a = 3,04 m/s2

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Primera Ley de Newton : “Un cuerpo permanece en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actué sobre él”.

Tercera Ley de Newton : “Por cada acción debe haber una reacción igual y opuesta”

Equilibrio : Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional sí; y solo sí, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

Diagrama de Cuerpo Libre : Es el diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que están sobre un objeto o cuerpo en particular.

Ejemplo: Una pelota de 100 N suspendida por una cuerda A es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda B y sostenida de manera que la cuerda A forma un ángulo de 30º con el muro vertical. Encuentre las tensiones de las cuerdas A y B.

y

30°

30°

60°

-X 90° X

W 100 N

h

-Y

Fuerzas Ángulo X Ángulo Y A 60º 30º B 0º -90º W -90º 0º

Componente X Componente Y -A cos 60º A cos 60º B 0 0 W

Fx = B – A . cos 60º Fy = A sen 60° - W

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Se aplica la primera condición para el equilibrio: Se suman las fuerzas a lo largo del eje X. B – A . cos 60º = 0 B = A . cos 60º = A . 0,5 = 0,5 A A . sen 60º = W A . sen 60º = 100 N A . 0,86 = 100 N A = 100 N = 115,47 N 0,86 B = 0,5 A = B = 0,5 . 115,47 N = B = 57,74 N Tensión de la cuerda A = 0,5 N Tensión de la cuerda B = 57,74 N Ejercicios :

1) Un pelota de 150 N suspendida por una cuerda C es tirada hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda D y sostenida de manera que la cuerda C forme un ángulo de 30º con el muro vertical. Encuentre las tensiones de las cuerdas C y D.

2) Una pelota de 200 N cuelga de una cuerda unida a otras cuerdas, como se observa en la figura dada. Encuentre las tensiones en las cuerdas E, F y G.

60° 45° fuerzas Ángulos(X) Angulo(Y) Componente(X) Cy

E F E -A . cos 60° A . sen 60°

G F B . cos 45° B . sen 45°

G 0 W

200N E = 146 N F = 104 N G = 200 N igual a la pelota

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1) Calcule: la tensión de la cuerda A y la compresión B en el puntal ligero de la figura. Dibuje el diagrama de cuerpo libre apropiado. R: A = 231 N B = 462 N

A Nota: El paso del puntal

es insignificante.

Todas las fuerzas

30° B son concurrentes.

W A

400 N 60° 30°

Razonamientos :

1. Un truco muy conocido consiste en colocar una moneda sobre una tarjeta y la tarjeta encima de un vaso. El borde de la tarjeta se golpea enérgicamente con el dedo índice haciendo que la tarjeta salga despedida del borde del vaso y que la moneda caiga dentro de éste. Explique qué Ley de Newton ilustra este hecho.

2. Cuando un martillo se le afloja la cabeza, la dificultad puede resolverse sosteniendo verticalmente el martillo y golpeando la base del mango contra el piso. Explique qué Ley de Newton se ilustra en esta situación.

3. Explique cómo interviene la tercera Ley de Newton sobre el movimiento en las siguientes actividades: Caminata, remo, lanzamiento de cohetes, lanzamiento de paracaídas y trote.

4. ¿Es posible que un cuerpo en movimiento esté en equilibrio?. Cite varios ejemplos.

5. Según la tercera Ley de Newton sobre el movimiento, a toda fuerza corresponde una fuerza de reacción igual, pero en sentido opuesto. Por lo tanto, el concepto de una fuerza resultante no equilibrada tiene que ser solo una ilusión que no tolera un análisis riguroso. ¿Está usted de acuerdo con esta declaración? Comente las razones que fundamentan su respuesta.

6. Comente algunas aplicaciones benéficas de la Fuerza de fricción.

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7. ¿Por qué hablamos de Fuerza Máxima de Fricción Estática? ¿Por qué no se habla de una Fuerza Máxima de Fricción Cinética?

8. ¿La Fuerza Normal que actúa sobre el cuerpo es siempre igual al paso del mismo?

9. Al caminar sobre un estanque congelado, ¿Es más conveniente dar pasos cortos o largos? ¿Por qué?

10. Si el hielo careciera por completo de fricción, ¿sería posible que la persona saliera del estanque caminando erguida? Explique su respuesta.

11. Un bloque de 100 N está en reposo en un plano inclinado a 30º. Si µk = 0,1. ¿Qué fuerza P paralela al plano y dirigida hacia arriba del plano hará que el bloque se mueva (a) hacia arriba del plano con velocidad constante y (b) hacia abajo del plano con velocidad constante? R: P1 = 58,7 N P2 = 41,3 N.

12. Una fuerza horizontal de 40 N es apenas suficiente para poner en marcha un trineo vacío de 600 N sobre nieve compacta. Después de iniciar el movimiento se requiere tan solo 10 N para mantener el trineo a rapidez constante. Halle los coeficientes de fricción estáticos y cinéticos. Fs = µs . N Fk = µk . N / R: µs = 0,06 µk = 0,01.

13. ¿Cuál es el ángulo máximo O de la pendiente de un plano inclinado que permite que un bloque de peso W no se deslice hacia abajo a lo largo del plano? Argumente su respuesta. R: Ángulo Limitante o Ángulo de Reposo.

Trabajo, Energía y Potencia

Trabajo : Es la magnitud escalar medida por el producto escalar de la fuerza aplicada y el

desplazamiento que ha experimentado el punto de aplicación de esa fuerza. Se afirma

W = F . x

W = F . x . cos α

Unidades : c . g . s dina. Cm = ergio (erg)

M K S newton . M = joule ( j )

Técnico kilopondio . m = kilopondímetro ( Kgm )

Equivalencias : 1 J = 107 erg

1 Kgm = 9,8 J

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Ejercicios : Transformar = 1) 2 Kgm a erg R: 1,96 . 108 erg

2) 0,3 Kgm a J R: 2,94 J

3) 2/5 Kgm a erg R: 3,92 erg

4) 5,6. 10-6 erg a Kgm R: 5,70 . 10-14 Kgm

5) 0,8. 104 J a erg R: 8 . 1010 erg

6) 0,25 erg a Kgm R: 2,45 . 107 erg

7) 1,2 . 1012 erg a J R: 1,2 . 105 J

8) 3,26 erg a Kgm R: 3,32 . 108 Kgm

9) 4,36 . 108 Kgm a J R: 4,27 . 109 J

10) 3,86 . 10-3 J a erg R: 3,86 . 104 erg

Ejemplo: ¿Qué trabajo realiza una fuerza de 60 N al arrastrar m bloque a través de una distancia de 50 m, cuando la fuerza es transmitida por medio de una cuerda que forma un ángulo de 30º con la horizontal? Datos Fórmula Resolución W = ? W = F . X W = 60 N . 50 M . 0,86 F = 60 N W = F . X . cos 0 W = 2580 N . m = 2580 J d = 50 m d = 30º Ejercicio: Una fuerza de 12 N actúa sobre un cuerpo moviéndolo 7 m. Calcular el trabajo cuando: 1) Se mueve en la misma dirección de la fuerza, 2) Se mueve en la dirección opuesta y 3) Cuando forman ángulos de 30º, 90º y 120 R: W1 = 84 J, W2 = - 84 J, W3 = 72,74 J W4 = 0 J y W5 = - 42 J Energía: Es la capacidad que tienen los cuerpos o los sistemas para realizar un trabajo en virtud del movimiento, de la posición y la composición.

Energía Cinética: es la energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento, se denota EC.

Energía Potencial : es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición. Se denota Ep.

Ecuación : Ec = 1/2 . m . v2 Ep = m . g . h

Ejemplo : calcule la Energía Cinética de un auto móvil de 3200 kg que viaja a 60 Km/h en

un viaducto de 200 m de altura

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Datos Fórmula Resolución

Ec = ? Ec = 1/2 m . v2 Ec = 1/2 . 3200 Kg . (16,66 m/s)2

M = 3200 Kg

V = 20 Km/h = 1000 = 16,66 m/s Ec = 1600 Kg . 277,56 m2/s2

3600 Ec = 444096 Kg . m2/s2

Ep = m . g . h = 3200 Kg . 9,8 m/s2 . 200 m Ec = 444096 Kg . m/s2 . m

Ep = 6272000 Kg . m2/s2 = 6272000 J Ec = 444096 J

Ejercicio :

1. Calcule la Energía Cinética necesaria para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m/s.

2. Calcule la Energía Cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es 24 m/s.

3. Un carburador de 250 g se mantiene a m.m sobre un banco de trabajo que está a 1 m del suelo. Calcule la Energía Potencial con respecto a la parte superior del banco y del piso. R: Ep1 = 0,49 J Ep2 = 2,94 J

4. Una unidad comercial de aire acondicionado de 800 kg, es elevada por medio de un montacargas a 22 m sobre el piso. ¿Cuál es ña energía potencial con respecto al piso?

R: Ep = 17600 J.

Potencia : es la rapidez con la que se realiza el trabajo, se afirma que

Unidades: c . g . s ergios / segundos erg/s

M . K . S Joules / segundos vatios (watts)

Técnico kilopondímetro / segundos Kgm /s

Prácticas - Caballo de Vapor (CV) = 75 Kgm/s

- Caballo de Fuerza (HP) = 76 Kgm/s

- Kilovatio (KW) = 103 watts

Ejemplo: Una carga de 40 kg se eleva hasta una altura de 25 m. si la operación requiere 1

min, encuentre la potencia necesaria.

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Datos Fórmu la Resolución

m = 40 Kg P = W Ep = 40 Kg . 9,8 m/s . 25m

h = 25m t Ep = 9800 J

t = 1 min = 60 s Ep = m . g . h

P = ? ( trabajo al levantar P = 9800 J = 163,33 Watts

Una carga) 60s

Ejercicios :

1. Un motor de 60 HP acciona el ascensor de un hotel. Si el peso del ascensor es 2000 Kg. ¿Cuánto tiempo se requiere para que el ascensor suba 120m? R: t = 7,27 s.

2. La correa transportadora de una estación automática levanta 500 Kg del mineral hasta una altura de 90 m en 1 hora. ¿Qué potencial se requiere para esto, en Caballos de Fuerza?

3. Una masa de 40 kg se levanta hasta una distancia de 20 m en un lapso de 3 segundos. ¿Qué potencia se ha utilizado? R: P = 2,61 KW

4. Un montacarga de 3000 Kg es izado hasta una distancia vertical de 100 metros en 2 segundos. ¿Cuál es la potencia empleada?

5. ¿A qué altura se debe elevar una masa de 100 Kg en 3 segundos con un motor de 400 Watts ?

FÍSICA prueba parcial

1. Un satélite que está a 300 Km por encima de la superficie terrestre, gira alrededor de la tierra con una aceleración centrípeta de 0,0009 Km/min2, si el radio de la tierra es 6370 Km. Calcular: a) La velocidad angular, b) El período, c) La frecuencia y d) La velocidad lineal.

2. Se tiene un objeto que oscila con M.A.S. si la amplitud del movimiento es de 15 cm y el período es de 2 segundos, encontrar las magnitudes de la velocidad y la aceleración cuando X= 0 cm y X= 7,5 cm.

3. Un bloque A de masa m1= 2 Kg que descansa sobre una superficie horizontal y sin rozamiento, está unido por una cuerda que pasa por una polea a un bloque suspendido b de masa m2= 1 kg, Si se supone que la polea no tiene masa ni fricción. Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.

4. Una fuerza de 12 N actúa sobre un cuerpo moviéndolo 7 m. Calcular el trabajo cuando: a) se mueve en la misma dirección de la fuerza. b) se mueve en dirección opuesta y c) cuando forma ángulos de 30º, 90º y 120º.

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5. Un carburador de 250 g se mantiene a 200 m del banco de trabajo que está a un metro del suelo. Calcule la energía potencial con respecto a la parte superior del banco y del piso.

6. Un motor de 60 HP acciona el ascensor de un hotel. Si el paso del ascensor es de 2000 Kg ¿cuánto tiempo se requiere para que el ascensor suba 120m?

Impulso y Cantidad de Movimiento

Impulso: Es una magnitud vectorial cuyo módulo es igual al producto de la fuerza aplicada a un cuerpo, por el intervalo de tiempo que actúa y cuya dirección y sentido coincide con la dirección y cantidad de la fuerza, se afirma que I = F . At

Unidades: M . K . S . N . s c . g . s dina . s

Cantidad de Movimiento o Movimiento Lineal: Es la magnitud vectorial medida por el producto de la masa de un cuerpo y de la velocidad que adquiere, se afirma que

p = m . v

Unidades: M . K . S . m/s c . g . s cm/s

Variación de la Cantidad de Movimiento: Es el cambio que ocurre cuando cambia la velocidad de un cuerpo, se afirma que Ap = m . Av

Relaciones entre el Impulso y la Cantidad de movimiento: El impulso resultante sobre una partícula durante cierto intervalo de tiempo, es igual a la variación de la cantidad de movimiento de la partícula. (Teorema del Impulso y de la Cantidad de Movimiento. Se afirma que F . At = m . Av)

Principio de Conversión de la Cantidad de Movimiento: “En un sistema aislado, la suma

de las cantidades de movimiento antes de la interacción es igual a la suma de las

cantidades de movimiento inmediatamente después de la interacción”, se afirma que

P1 ‘ + P2 ‘ = P1 + P2

m1 . V1 + m2 . V2 = m1 . V1 ‘ + m2 . V2 ‘ P1 + P2 = P1 ‘ + P2 ‘

Cantidad de Movimiento de un Sistema de Partículas: es la que resulta de la suma

vectorial de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas. Se afirma que

P = P1 + P2 + P3

Px = P1x + P2x + P3x

Px = P1y + P2y + P3y

P = √ (px)2 + (py)2

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Cheques o Golosinas: es un fenómeno de interacción intensa entre dos o más cuerpos, en el que al menos uno de ellos está en movimiento durante un intervalo de tiempo relativamente corto.

Cheque frontal o Unidimensional: Es el que ocurre cuando las partículas que colisionan se mueven a lo largo de una misma recta, antes y después de la interacción.

Cheque Oblicuo o Lateral: es el que ocurre cuando las partículas que colisionan se mueven en direcciones distintas, antes y después de la interacción.

Colisiones Elásticas: Son aquellas en la que se conserva la energía cinética y la cantidad de movimiento. No hay deformación de los cuerpos.

Colisiones Inelásticas: Son aquellas en la que se conserva la cantidad de movimiento pero no la energía cinética. Hay deformación permanente.

Colisiones Perfectamente Inelásticas: Son aquellas en las cuales se conserva la cantidad de movimiento pero no la energía cinética y las partículas o los cuerpos quedan unidos como resultado de la colisión y continúan moviéndose a una velocidad común.

Centro de Masa: Es el punto donde debe aplicarse una fuerza no equilibrada para que dicho cuerpo realice un movimiento de traslación sin rotación. Se afirma que V = m1 . V1 + m2 . V2

M Xcm = m1 . Y1 + m2 . y2 + m3 . y3 m1 + m2 + m3 Xcm = m1 . x1 + m2 . x2 + m3 . x3 m1 + m2 + m3

Velocidad del Centro de Masa : “En un sistema aislado, la masa del sistema multiplicado por la velocidad del centro de Masa es igual a la cantidad de movimiento total del sistema”. Se afirma que m1 . V1 = ( m1 + m2 ) V

Taller:

1) Con un taco se golpea una bola de billar que está en reposo y se ejerce sobre ella una fuerza promedio en dirección horizontal y sentido hacia la derecha de 30 N, en un intervalo de tiempo de 10 milisegundos. Si la bola tiene una masa de 0,2 Kg. ¿Cuál es la velocidad después del impacto y en qué sentido? R: V2 = 1,5 m/s sentido= hacia la derecha positivo.

2) Una esferita de masa 1,2 kg se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 4 m/s y choca con otra esferita de masa 1,5 Kg que se desplaza hacia la izquierda con una velocidad de 2 m/s. ¿Con qué velocidad se desplaza la segunda? R: V2 = - 0,2 m/s.

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3) Tres partículas de masas m1 = 2Kg , m2 = 5Kg y m3 = 4Kg, se desplazan con velocidades V1 = 3 m/s , V2 = 1 m/s y V3 = - 2 m/s. Calcular la cantidad de movimiento total del sistema. R = Xc = 10 m , Y c = 0 m , Vx = 15,32 m/s , Vy= 7,35 m/s , V= 16,99 m/s.

4) Un automóvil de 3000 Kg rueda a una velocidad de 1,4 m/s sobre un plano horizontal y choca con otro automóvil de masa 6000 Kg que está en reposo con los frenos sueltos. Si ambos automóviles continúan juntos, calcular la velocidad después del choque.

R: Vc = 0,46 m/s.

5) Tres partículas de igual masa están ubicadas arbitrariamente y toman las siguientes velocidades V1 = 10 m/s , V2 = 30 m/s y V3 = 20 m/s. Calcular la posición del centro de masa y la velocidad del centro de masa R = Xc = 10 cm , Yc= 0 m , Vx = 15,32 m/ ,

Vy = 7,35 m/s , V= 16,99 m/s.