Guía de Estudios

5/19/2018 Gua de Estudios

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Comit Estatal de Olimpiadas de Matemticas

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UNIDAD I. TEORA DE NMEROS

Nmeros Primos

Un nmero entero Pes primo si es un nmero mayor que 1 y los nicos enteros que lodividen son 1 yP.

Por ejemplo: 5, es divisible por (1, 5), primo positivo.

La sucesin de los nmeros primos, (positivos), comienza con:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...

Hay infinitos nmeros primos, es decir, existen nmeros primos tan grandes como se quiera. La

distribucin de los nmeros primos es muy irregular. Hay algunos que son nmeros imparesconsecutivos, como 3 y 5; estos se llamanprimos gemelos.

El MCD de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si elMCD de dos enteros es 1, se dice que los dos nmeros son primos relativos oprimos entre s. Alos nmeros que son el producto de dos o ms primos les llamaremos compuestos.

Teorema Fundamental de la AritmticaTodo entero n > 1 puede descomponerse de manera nica como un producto de potencias denmeros primos de la siguiente manera:

121

21

a

n

aa

pppn donde las nppp ,,, 21 son primos tal que: nppp 21 y naaa ,,, 21 son enteros

positivos.

Por ejemplo:252 = 22 32 7825 = 3 52 1146137 =3 7 133

1.1 Divisibilidad

Un nmero es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un nmero entero de veces. Enotras palabras si un nmero divide a otro nmero, el cociente debe ser exacto.

Definicin. Sean a y b dos nmeros enteros. Decimos que a divide a b (lo que simbolizamos cona | b) si existe un entero c tal que b = ac

Esto equivale a decir, que b es mltiplo de a. O que la divisin b a no deja residuo. Si a nodivide a b, escribimos a b. Esto es lo mismo que decir que la divisin b a deja residuo.


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Ejemplos

3|12 pues 12 = 4 3

4 10 ya que no existe un entero c tal que 10 = 4c. 4 | 20 ya que si c = 5, entonces 20 = 4c. 3|0 dado que 0 = 3c cuando c = 0. 1| 5 puesto que 5 = 1 5 5 1 dado que 1 5cpara cualquier entero c. Para cualquier entero a, a+ l | a2 l. Ya que a2 1 = (a + l) k, con k= a l.

Criterios de divisibilidadA continuacin damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la bsqueda de los factoresprimos.

Divisibilidad por 2Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.

Divisibilidad por 3Un nmero es divisible por 3 si la suma de sus dgitos es un mltiplo de 3. Por ejemplo: 168351es divisible por 3 pues 1 + 6 + 8+ 3 + 5 + 1 = 24, el cul es mltiplo de 3.

Divisibilidad por 5Un nmero es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.

Divisibilidad por 7Un nmero es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicndolapor 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y as sucesivamente, da cero omltiplo de 7. Veamos un ejemplo:

2401 es divisible por 7?Separamos la cifra de la derecha en cada operacin resultante, por ejemplo, separamos el 1 de2041 y realizamos la diferencia entre 240 y 1 2, lo que nos dar como resultado 238. El procesose realiza hasta encontrar en su reduccin un mltiplo de 7 o no, veamos el procedimiento.

240_1 2 = 2, 240 2 = 238, 23_8 2 = 16, 23 16 = 7Entonces, 2041 s es divisible por 7.

Divisibilidad por 11Un nmero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dgitos que ocupan unlugar impar, y la suma de los dgitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierda inversamentees decir, que la diferencia pudiera dar negativa), es cero o mltiplo de 11.

Veamos si 94378 es divisible por 11:94378, de derecha a izquierda:Pares (subrayados): 4 y 7, 4 + 7 = 11Impares: 9, 3 y 8, 9 + 3 + 8 = 20Impares Pares = 20 11 = 9, luego 94378 no es divisible por 11.


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Divisibilidad por 13, 17 y 19El mtodo para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 es similar al de la divisibilidad por 7,slo que al separar la primera cifra de la derecha, sta se multiplica por 9, 5 y 17

respectivamente; siendo un nmero divisible por 13, 17 y 19 si al final del proceso sobra un ceroo un mltiplo de 13, cero o un mltiplo de 17, cero o un mltiplo de 19.

Ejemplo Investigar la divisibilidad de 1501.

Con 13:150_1 9 = 9, 150 9 = 141, 14_1 9 = 9, 14 9 = 5.No es divisible por 13.

Con 17:150_1 5 = 5, 150 5 = 145, 14_5 5 = 25, 14 25 = - 11.No es divisible por 17.

Con 19:150_1 17 = 17, 150 17 = 133, 13_3 17 = 51, 13 51 = - 38.Si es divisible por 19.

En ocasiones es conveniente conocer el menor de los mltiplos comunes (MCM), y el mayor de

Para encontrar el MCM de varios nmeros enteros se multiplican los factores primoscomunes y no comunes de los nmeros tomados con sus mayores exponentes.

Para encontrar el MCD de varios nmeros enteros se multiplican los factores primoscomunes de los nmeros tomados con sus menores exponentes.

Si m es el MCD de a y b esto se denotar por m = (a, b); otra manera de calcular el MCD esusando el algoritmo de Euclides, el cual se basa en la siguiente propiedad:

Si m = (a, b) y a = bq + r con 0 r < b, entonces (b, r) = m.

y consiste en lo siguiente:

Dividimos a b obteniendo un residuo r1, despus dividimos b r1 y obtenemos un residuo r2, acontinuacin dividimos r1 r2 obteniendo un residuo r3, y as sucesivamente hasta llegar a unresiduo cero, el MCD de a y b ser el ltimo residuo diferente de cero.

El algoritmo de Euclides se incluye aqu debido a su utilidad en la demostracin de algunosteoremas importantes de la divisibilidad entre enteros.

1.2 Mnimo Comn Mltiplo (MCM) y Mximo Comn Divisor (MCD)

los divisores comunes (MCD) de varios nmeros enteros. La regla de obtener dichos nmeros es:


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Ejemplos Usando el algoritmo de Euclides, encontrar el MCD de:

a) Obtener el MCD de 328 y 1804,

5328

1804 y resto 164

2164

328 y resto 0, por lo tanto (1804, 328) = 164

b) Obtener el MCD de 105 y 308,

3105

385 y resto 70

170

105 y resto 35

23570 y resto 0, por lo tanto (385, 105) = 35

Otra propiedad importante del MCD es que:

Si a > b, entonces (a, b) = (b, a b)

Ejemplo Calcular (1001, 1000)

Solucin: (1001,1000) = (1000, 1001 1000) = (1000,1) = 1.

1.3 Congruencias

Con el fin de motivar el concepto de congruencia, analizaremos los siguientes dos problemas.

Ejemplo 1. Se tiene un edificio de dos pisos con los cuartos numerados como en la siguientefigura:

Piso 2 2 4 6 8 Piso 1 1 3 5 7

En que piso localizamos el cuarto No. 98?

SolucinLocalizamos el cuarto 98 en el piso 2, pues claramente observamos que en el primer piso estnlos cuartos con nmeros impares y en el segundo piso los de nmeros pares.

Ejemplo 2. Se tiene un edificio de cinco pisos con los cuartos numerados como en la siguientefigura:Piso 5 4 9 14 19 24 Piso 4 3 8 13 18 23 Piso 3 2 7 12 17 22 Piso 2 1 6 11 16 21

Piso 1 0 5 10 15 20 . . . . . .


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En qu piso localizamos el cuarto No. 98?

SolucinEn el problema anterior, por su sencillez, pudimos mentalmente dividir al conjunto de los enteros

(positivos) en dos clases ajenas: pares e impares. En este segundo problema tenemos que

dividirlos en 5 clases ajenas y ser capaces de ubicar a cualquier entero en alguna de ellas.

Si observamos detenidamente la figura, podemos ubicar a los cuartos de la siguiente manera:

Piso

Nm..Caracterstica Forma

5 Los que exceden en cuatro unidades a un mltiplo de 5 5k+ 44 Los que exceden en tres unidades a un mltiplo de 5 5k+ 33 Los que exceden en dos unidades a un mltiplo de 5 5k+ 22 Los que exceden en una unidad a un mltiplo de 5 5k+ 11 Mltiplos de 5 5k

Nota: k= 0, 1, 2, 3, . . .

Despus de este pequeo anlisis, podemos decir que el cuarto No. 98 se encuentra en el cuarto

piso, puesto que 98 = 5(19) + 3.

Obsrvese que los del primer piso son aquellos que al dividirse entre 5 dejan residuo cero, los del

segundo piso son aquellos que al dividirse entre 5 dejan residuo 1 y as sucesivamente.

Si consideramos el conjunto de los enteros, con este criterio podemos dividirlos en 5 clases:

C0 = {,-15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,}C1 = {, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16,}C2 = {, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17,}C3 = {, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18,}

C4 = {, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 119,}.

La caracterstica de la claser

c es que al dividirse cualquiera de sus elementos entre cinco, deja

residuo r. Si dos enteros pertenecen a la misma clase, diremos que ellos son congruentes mdulo

5 en este ejemplo.


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Definicin Decimos que los enteros a y b son congruentes mdulo m, m > 0 si al dividirseentre m dejan el mismo residuo, y lo denotaremos como

a b (mod m)

Teorema 1 a b (mod m) si y slo si m | ba.

Teorema 2 La relacin congruencia mdulo m tiene las siguientes propiedades:

1. a a (mod m)

2. Si a b (mod m) entonces b a (mod m)

3. Si a b (mod m) y b c (mod m) entonces a c (mod m)

Es de esperarse, en vista del teorema anterior, que las congruencias se comporten en muchosaspectos como igualdades. Esta semejanza queda ilustrada en el siguiente teorema:

Teorema 3. Sean a, b, c enteros y m entero positivo.

1. Si a b (mod m) entonces:

a) a + x b + x (mod m) para todo enterox

b) ax bx (mod m) para todo enterox

2. Si a b (mod m) y c d(mod m), entonces:

a) a + c b + d(mod m).b) a c b d(mod m).

c) ac bd(mod m).

d) an bn (mod m) para todo entero positivo n.

EjemploAl dividir los nmeros 3, 13, 23, 33 entre 10, sobra 3 por lo que decimos que ellos soncongruentes con 3 modulo 10.

Para ilustrar una parte del teorema 3 utilizamos 3 13 (mod 10) y 23 33 (mod 10). Entoncespodemos sumar las congruencias como lo indica el teorema y resulta otra congruencia.

Sumando obtenemos 3 + 23 13 + 33 (mod 10).

Esto es lo mismo que 26 46 (mod 10). Podemos ver que 26 y 46 son congruentes mdulo 10,ya que al dividirlos entre 10 dejan residuo 6.


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EJERCICIOS

1. Alicia va al club cada da, Beatriz va cada 2 das, Carlos va cada 3, Daniel cada 4,

Enrique cada 5, Francisco cada 6 y Gabriela cada 7. Si hoy estn todos en el club, Dentrode cuntos das volvern a reunirse?

2. En un concurso de baile los jueces califican a los competidores con nmeros enteros. Elpromedio de las calificaciones de un competidor es 5.625. Cul es el nmero mnimo dejueces para que eso sea posible?

3. La maestra distribuy la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 nios y se quedtres para ella misma. No se acuerda cuntos dulces tena, pero se acuerda que era unmltiplo de 6 entre 65 y 100. Cuntos dulces tena?

4. 96 nios en un campamento de verano van a separarse en grupos de forma que cada grupotenga el mismo nmero de nios. De cuntas maneras puede hacerse la separacin sicada grupo debe de tener ms de 5 pero menos de 20 nios?

5. Al hacer la divisin de 1 entre 52000, cul ser el ltimo dgito que aparezca antes dellegar a puros ceros?

6. Un nmero entero positivo es mltiplo de exactamente 8 enteros positivos (incluyendo al mismo y a la unidad). Si es mltiplo de 21 y de 35, cul es el nmero?

7. A Julio le dieron el nmero secreto de su nueva tarjeta de crdito, y observ que la sumade los cuatro dgitos del nmero es 9 y ninguno de ellos es 0; adems el nmero esmltiplo de 5 y mayor que 1995. Cul es la tercera cifra de su nmero secreto?

8. Cuntos nmeros mltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la sumade sus cifras es 21?

9. Un nio corta un cuadrado de tres das por tres das de la pgina de un calendario. Si lasuma de las nueve fechas es divisible entre 10 y sabemos que la fecha de la esquinasuperior izquierda es mltiplo de 4, cul es la fecha de la esquina inferior derecha?

10. Cuntas parejas de enteros positivos a y b satisfacen que a2 b2 = 15?

11. Una sucesin se forma de la manera siguiente: el primer trmino es 2 y cada uno de lostrminos siguientes se obtiene del anterior elevndolo al cuadrado y restndole 1 (losprimeros trminos son 2, 22 1 = 3, 32 1 = 8, 82 1 = 63, ... ). La cantidad de nmerosprimos que hay en la sucesin es:

12. Cul de los siguientes nmeros es ms grande?

(a) 212 (b) 415 (c) 811 (d) 128 (e) 326


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13. Cuntas cifras tiene el nmero 21998 52002?

14. Andrs cuenta los nmeros del 1 al 100 y aplaude si el nmero que dice es mltiplo de 3 otermina en 3. Cuntas veces aplaudir Andrs en total?

15. La suma de todos los dgitos del nmero 1099 99 es:

16. Una operacin consiste en multiplicar el nmero por 3 y sumarle 5, comenzando por elnmero 1. Cul es el dgito de las unidades despus de aplicar la operacin 1999 veces?

17. Para qu valores enteros positivos de n la expresin4

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nes un entero?

18. Si m y n son enteros tales que 2mn = 3. Pruebe que m2n es mltiplo de 3.19. Cuntas veces aparece el factor 2 en la descomposicin en nmeros primos de 1 + 2 + 3

+. . . + 1011?

20. Si (a, b) denota al MCD de a y b, cunto vale (a4b4, a2b2)?

21. Un sistema de engranes consta de tres ruedas dentadas, el engrane A tiene 4 dientes, el Btiene 6 dientes y el C tiene 8 dientes. En el engrane A se encuentra un motor que muevetodo el sistema.a) Cuntas vueltas debe dar el engrane A para que los engranes vuelvan a su posicin

original?b) Cada engrane est conectado a una mquina que lleva el registro de cuntas vueltascompletas ha dado su engrane; al momento en que la suma de los registros de las tresmquinas es 1997, cunto marca el registro de A?

22. Encuentre todas las parejas de nmeros enteros a y b, tales que a2 10b2 = 2.

23. Encuentre dos nmeros sin ceros y cuyo producto sea 1,000000,000.

24. Sea a = bq + r. Si c | a y c | b, pruebe que c | r.

25. Pruebe que n es par si y slo si n2 es par. Ntese que los nmeros pares son precisamente

los mltiplos de 2 y por lo tanto que n sea par significa que n = 2kpara algn knmero

entero.

26. Pruebe que n2n es par para todo entero n.

27. Pruebe que todo nmero primo de la forma 3k+ 1 tambin es de la forma 6k+ 1.

28. Demuestre que si n es impar entonces 8 | n2 1.


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29. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se numera

de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrs. En qu nmero de

fila est el asiento nmero 375?

30. Cules son los dos ltimos dgitos de19987 ?

a) 01 b) 07 c) 43 d) 49

31. Una escalera tiene numerados los escalones como 0, 1, 2, 3, 4,.... Una rana est en el

escaln 0, salta 5 hacia arriba al escaln 5 y luego dos para abajo hasta el escaln 3,

despus sigue saltando alternando 5 para arriba y dos para abajo. La sucesin de escalones

que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6,... Cul de los siguientes escalones no pisa la rana?

a) 1997 b) 1998 c) 1999 d) 2000


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UNIDAD II. COMBINATORIA

Introduccin

Diez jvenes decidieron celebrar la terminacin de sus estudios en la escuela secundaria con unalmuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabl entre ellos una discusin sobre el ordenen que haban de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocacin fuera por ordenalfabtico; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exmenes; otros, por laestatura, etc. La discusin se prolongaba, la sopa se enfri y nadie se sentaba a la mesa. Losreconcili el camarero, dirigindoles las siguientes palabras:

- Jvenes amigos, dejen de discutir. Sintense a la mesa en cualquier orden y escchenme,entonces todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continu:

- Que uno cualquiera anote el orden en que estn sentados ahora. Maana vienen a comer y sesientan en otro orden. Pasado maana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, yas sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue elda en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometosolemnemente, que en lo sucesivo les convidar a comer gratis diariamente, sirvindoles losplatos ms exquisitos y escogidos.

La proposicin agrad a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada da en aquel restaurante yprobar todos los modos distintos, posibles, de colocacin alrededor de la mesa, con el objeto dedisfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Sin embargo, no lograron llegar hasta ese da. Y no porque el camarero no cumpliera su palabrasino porque el nmero total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa esextraordinariamente grande. stas son exactamente 3628,800. Es fcil calcular, que este nmerode das son casi 10,000 aos.

2.1. Principios bsicos de conteo

A menudo nos encontramos con preguntas del tipo Qu proporcin de...? Cul es laprobabilidad de...? De cuntas maneras se puede...?

Muchas veces, para responder, se necesita un pensamiento sistemtico y un poco de informacin

adicional, por ejemplo, Cuntas rutas diferentes puedo usar para ir de Mrida a Mxico? o Decuntas maneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 6 caballos?

Hay tcnicas y principios matemticos tiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas sepueden responder directamente, contando en forma sistemtica, es decir, listando todos losposibles resultados en un orden sistemtico, para luego contar cuntos son, o desarrollando reglasde conteo. Algunas soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez (y muchasveces lo son) pero, como deca Juerguee Polya, cuando podemos aplicar nuevamente estosmtodos ingeniosos en problemas similares y en situaciones relacionadas entre s, hemosdesarrollado una tcnica.


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Enunciaremos algunos principios que nos ayudarn a resolver muchsimos problemas deconteo, daremos ejemplos de cmo usar estos principios y finalmente veremos algunos mtodosmenos rutinarios y ms ingeniosos.

2.1.1 Principio de adicin.

Ejemplo 1. Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mrida yMxico. Tres empresas de aviacin tienen vuelo diario entre Mrida y Mxico. En consecuencia,hay 5+3 maneras de ir de Mrida a Mxico en avin o en autobs.

En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma.

Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si solo una de ellas puedeocurrir) y si la primera se puede hacer de n maneras diferentes y la segunda operacin se

puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay n + m maneras de realizar la primera ola segunda operacin.

Ejemplo 2. Si tengo una moneda de $50, una de $100, una de $200 y una moneda de $1000,Cul es el nmero total de precios que puedo pagar usando alguna o todas mis monedas?

Este es un buen ejemplo de una situacin en la que se necesita un listado sistemtico. Comotenemos 4 monedas, debemos considerar 4 casos. stos son, los precios que podemos cubrir con1 moneda, con 2 monedas, con 3 monedas y con 4 monedas. Debemos examinar cada uno deestos casos y luego aplicar el principio de adicin.

Con 1 moneda podemos tener 4 precios: $50, $100, $200 y $1000.

Con 2 monedas, podemos listar sistemticamente las combinaciones:

Las que tienen $50 son: $50 + $100 = $150, $50 + $200 = $250, $50 + $1000 = $1050Las que tienen $100 y no hemos listado an: $100 + $200 = $300, $100 + $1000 = 1100Y las que tienen $200 y tampoco hemos listado: $200 + $100 = $1200

Con 3 monedas, listamos todas las combinaciones (una para cada moneda que falta):$50 + $100 + $200 = $350 (falta la de $1000)$100 + $200 + $1000 = $1300 (falta la de $50)$50 + $200 + $1000 = $1250 (falta la de $100)$50 + $100 + $1000 = $1150 (falta la de $200)

Con las cuatro monedas$ 50 + $100 + $200 + $1000 = $1350

Todos los precios obtenidos son diferentes, luego la respuesta es 4+ 6 + 4 + 1 = 15 preciosposibles.


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EJERCICIOS

1. Cuntos grupos de 2 o ms personas se pueden formar con 4 personas?

2. Cuntos son los nmeros enteros positivos de dos o tres dgitos?

2.1.2 Principio de Multiplicacin.

Si una operacin se puede hacer de n maneras diferentes y si en cada caso, una segundaoperacin se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay mn (m por n) maneras derealizar las dos operaciones

Ejemplo 1. El men de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. De cuntasmaneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?

Podramos hacer una lista de todas las posibilidades, pero ser mucho ms cmodo aplicar elprincipio de la multiplicacin: Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellashay 4 maneras de elegir el postre. Por lo tanto, hay 3 4 = 12 comidas posibles.

Ejemplo 2. Cuntos cdigos de una letra y un nmero de un dgito se pueden formar con las26 letras del alfabeto y los nmeros 0, 1, 2,...,9?

Podramos listar todas las posibilidades:

A0 A1 .... A9B0 B1 .... B9

Z0 Z1 .... Z9

hasta obtener 26 filas de 10 cdigos en cada una: 26 10 = 260

Es ms simple utilizar el principio de multiplicacin: hay 26 maneras de elegir la letra y paracada una de ellas hay 10 maneras de elegir el nmero, de modo que son 26 10 = 260 cdigos.

Observemos que en los 2 ejemplos hay total libertad de elegir el segundo elemento, no importacmo se eligi el primero. Es decir, el segundo elemento es independiente del primero.

Elegido el plato caliente, podemos elegir cualquiera de los 4 postres.

Elegida la letra podemos agregarle cualquiera de los 10 nmeros.

Este principio es til cuando se puede descomponer el proceso de recuento en pasosindependientes.

Ejemplo 3. Del problema inicial de los 10 comensales, posiblemente a ustedes les parecerincreble que 10 personas puedan colocarse en un nmero tan elevado de posiciones diferentes.Comprobemos el clculo.


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Ante todo, hay que aprender a determinar el nmero de combinaciones distintas, posibles. Paramayor sencillez empecemos calculando un nmero pequeo de objetos, por ejemplo, tres.Llammosles A, B y C.

Deseamos saber de cuntos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente suposicin. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dosrestantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas.

Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar estaoperacin tres veces:

1. Colocar C detrs de la pareja,2. Colocar C delante de la pareja,3. Colocar C entre los dos objetos de la pareja.

Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepcin de las tresmencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el nmero total de formas posibles decolocacin de los tres objetos ser: 2 3 = 6

Ahora hagamos el clculo para 4 objetos, llammosles A, B, C y D, y separemos de momentouno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posiblesde posicin. Ya sabemos que para tres, el nmero de cambios posibles es 6. En cuntas formasdiferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan contres objetos? Evidentemente, sern cuatro. Podemos:

1. Colocar D detrs del tro,2. Colocar D delante del tro,3. Colocar D entre el 1 y de 2 objetos,4. Colocar D entre el 2 y 3.

El total de posiciones se obtiene de la siguiente manera: teniendo en cuenta que 6 = 2 3 y que2 = 1 2, entonces podemos calcular el nmero de cambios posibles de posicin haciendo lasiguiente multiplicacin: 1 2 3 4 = 24.

Razonando de manera idntica, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el nmero de formasdistintas de colocacin ser igual a: 1 2 3 4 5 = 120.

Para 6 objetos ser: 1 2 3 4 5 6 = 720 y as sucesivamente.

Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el nmero de posicionesque pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular elproducto siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Resultar el nmero indicado anteriormente: 3628,800.


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El clculo sera ms complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearansentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el nmero posible decombinaciones se reducira en este caso considerablemente, el clculo sera ms complejo.

Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jvenes. Losotros cuatro pueden sentarse, dejando vacas para las muchachas las sillas intermedias, adoptando1 2 3 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar10 sitios distintos. Esto significa que el nmero total de combinaciones posibles para losmuchachos es de 10 24 = 240.

En cuntas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacas, situadas entre los jvenes las 5muchachas?

Evidentemente sern: 1 2 3 4 5 = 120

Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 quepueden adoptar las muchachas, obtendremos el nmero total de combinaciones posibles, o sea240 120 = 28,800.

Este nmero, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitara untotal de 79 aos. Los jvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien aos,podran asistir a una comida, servida gratis, sino por el propio camarero, al menos por uno de susdescendientes.

EJERCICIOS

1. De cuntas maneras se pueden formar en fila 5 estudiantes?2. De cuntas maneras puede resultar un sorteo que consta de un primer premio y un

segundo premio en una clase de 25 alumnos?3. Cuntos enteros entre 100 y 999 tienen todos sus dgitos distintos?4. Cuntos nmeros de 3 dgitos se pueden formar usando slo los dgitos 3, 7 y 8? (Incluir

todos los nmeros con dgitos repetidos).

2.2 Selecciones

Con frecuencia cada uno de los pasos en que se divide un proceso de recuento puede interpretarsecomo una eleccin o seleccin de kobjetos elegidos entre los elementos de un conjunto de nobjetos.

Dado un conjunto de n elementos puede ocurrir:

1. Que los elementos sean distintos; en este caso, a los grupos se les denominaagrupaciones simples.

2. Que algunos elementos sean iguales; en este caso, a los grupos se les denominaagrupaciones con repeticin.


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Considerando la naturaleza de los elementos (que sean iguales o distintos), las agrupacionesrecibirn el nombre de permutaciones o combinaciones simples cuando no se repite ningnelemento ypermutaciones o combinaciones con repeticin cuando algn elemento se repite.

Antes de continuar debemos explicar un concepto muy til al trabajar con estas agrupaciones oconjuntos: el concepto defactorial.

Definicin de factorial. Para un entero n 1, n factorial, expresado n!, se define por:

123)2()1(! nnnn

Y cual es el factorial de cero? El factorial de cero se define as: 0! = 1

Gran parte de los problemas de combinatoria pueden plantearse como una serie de pasos cadauno de los cuales consiste en elegir unos cuantos de entre ciertos elementos dados.

Es conveniente remarcar que, al hacer dicha seleccin, hay ocasiones en las que podremos repetirdos veces el mismo objeto (por ejemplo, queremos escribir una palabra de 4 letras, entoncesdebemos elegir cuatro de entre las 28 letras posibles, pero obviamente podemos repetir dos vecesla misma letra, como ocurre con la palabra "CASA") y otras ocasiones en las que esto no serposible (si quiero elegir tres amigos para ir a cenar, no puedo escoger tres veces al mismo). Asmismo y dependiendo de la situacin, el orden en que escojo los elementos a veces es importantey a veces no. Por ejemplo, si quiero escribir una palabra de 4 letras, el orden de las mismasinfluye (no es lo mismo CASA que SACA), mientras que si quiero ir a cenar con tres amigos, daigual el orden en que se los diga.En general, siempre es ms fcil resolver problemas en los que el orden es importante.

Veamos a continuacin cmo se puede calcular el nmero de elecciones en cada caso.

2.2.1 Permutaciones

CASO 1.- Se llama permutacin simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a losdistintos grupos formados por kelementos de forma que:

Los kelementos que forman el grupo son distintos (no se repiten) Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que estn

colocados (influye el orden). Aqu, no se utilizan todos los elementos.

Si elegimos un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el elemento elegido yelegimos otro de entre los n 1 que quedan. Esto podr hacerse de n 1 formas. Quitamostambin este elemento y nos quedamos con n 2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lopodremos hacer de n 2 formas...

Segn la regla del producto, las maneras de escoger kelementos de entre un total de n segn undeterminado orden, ser igual al producto de: )1()2()1(! knnnnn


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16

Notacin. Pn, k denota el nmero de permutaciones de n elementos distintos tomados de ken k.Para llegar a una versin simplificada se opera as:

)1()2()1(123)1()(123)1()()2()1(

)!(

!,

knnnnknkn

knknnnn

kn

nPkn

Ejemplo 1. P10,4 son las permutaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de 4elementos:

040,578910!6

!678910

123456

12345678910

!6

!10

)!410(

!104,10

P

Entonces podemos formar 5,040 subgrupos diferentes de 4 elementos a partir de los 10elementos.

Ejemplo 2. Cuntas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y decolores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes?

Solucin:

210567!4

!4567

)!37(

!73,7

P

Ejemplo 3. Cuntos nmeros de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifrassignificativas del sistema decimal?

Al tratarse de nmeros el orden importa y adems nos dice "cifras distintas" luego no puedenrepetirse:

504789!6

!6789

)!39(

!93,9

P

Por tanto, se pueden formar 504 nmeros.

En el caso especial en que n = k, se llamapermutaciones de n.

Se llaman permutaciones de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos n elementos deforma que:

En cada grupo intervienen los n elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos loselementos).

Dos grupos son diferentes si el orden de colocacin de alguno de esos n elementos esdistinto (influye el orden).

Notacin:Pn denota el nmero de permutaciones de n elementos distintos.

!

!0

!

)!(

!n

n

nn

nPn


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17

Ejemplo 4. Se desean acomodar 10 libros en un estante, de cuntas maneras lo podemoshacer?

Solucin 800,628'312345678910!1010 P

Es decir, tendramos 3628,800 formas diferentes de acomodar los 10 libros en el estante.

Ejemplo 5. Una madre tiene 3 hijos de cuntas maneras distintas, nombrndolos uno por uno,puede llamarlos a cenar?

Solucin: 6123!33 P

Ejemplo 6. Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c.

P3 = 3! = 6 abc acb

bac bca

cab cba

Ejemplo 7. Con las letras de la palabra DISCO Cuntas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y adems n = m, es decir tenemos queformar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no estn repetidos.

12012345!55 PPor tanto, se pueden formar 120 palabras.

CASO 2.- Este caso es anlogo al Caso 1, sin ms modificacin que no quitar en cada pasolos elementos ya escogidos. Razonando igual se llega a que el nmero de posibles elecciones es:

k

k

nnnnn veces

Se llamanPermutaciones con repeticin de n elementos tomados de k en k a los distintos grupos

formados por kelementos de manera que: Los elementos que forman los grupos pueden estar repetidos. Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que stos

estn colocados (influye el orden)

Notacin. PRn,k denota el nmero de permutaciones con repeticin de n elementos distintostomados de ken k

k

kn nPR ,


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Ejemplo 1. Cuntos nmeros de tres cifras pueden formarse con los dgitos 1 y 2?

Solucin: 23

= 8

Ejemplo 2. Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con las nueve cifrassignificativas del sistema decimal?

Al tratarse de nmeros el orden importa y adems no dice nada sobre "cifras distintas", luego spueden repetirse.

Por tanto, se pueden formar 729 nmeros: 72993

Ejemplo 3. Cuntas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribirutilizando slo las letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y adems como son palabras de 10 letras y slo tenemosdos para formarlas, deben repetirse.

024,12102,10 PR

Por tanto, se pueden formar 1,024 palabras.

CASO 3.- Son permutaciones con repeticin de n elementos, no todos distintos. Todas las

agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, estn dispuestas linealmente y sin queninguno haga falta.

El nmero de permutaciones con repeticin que pueden realizarse con n elementos, donde existena1, a2, a3, . . . am elementos iguales entre s (de una misma clase) y el resto distintos entre s ydistintos tambin a los anteriores es:

!!!!

!

321,,,, 321

m

n

aaaaaaaa

nP

m

Ejemplo 1. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:

400,302!3!2

!10103,2

P

Es decir, tendramos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Ejemplo 2. Cuntos nmeros de 6 cifras se pueden formar con los dgitos 1, 1, 1, 2, 2, 3?

Solucin: 60!2!3

!6


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Ejemplo 3. De cuntas maneras distintas pueden colocarse en lnea nueve bolas de las que 4son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (estn repetidas) yadems n = k, es decir colocamos 9 bolas en lnea y tenemos 9 bolas para colocar:

260,1!2!3!4

!9

Por tanto, tenemos 1,260 modos de colocarlas.

2.2.2 Combinaciones

CASO 1.- El orden no importa pero no se pueden repetir elementos.

Vamos a deducir la frmula basndonos en el Caso 1 de las permutaciones.

Tomamos las )1()2()1( knnnn posibilidades y las partimos en clases, de forma que

en cada clase estn aquellas elecciones que sean la misma salvo el orden.

Como he escogido k elementos, la forma de ordenarlos ser k! y, as, en cada clase tendrexactamente k! casos.

Por tanto, el nmero de clases, es decir, el nmero de posibilidades de escoger kelementos sinimportar el orden y sin repetir ser

)!(!

!

)!(!

)!()1()1(

!

)1()1(

knk

n

knk

knknnn

k

knnn

Este nmero suele conocerse como el nmero de combinaciones de n elementos tomadas de kenky se denota por:

!)!(

!,

kkn

n

k

nC kn

Se llama combinaciones de n elementos tomados de k en k(k n) a todas las clases posibles que

pueden hacerse con los n elementos de forma que:

Cada agrupacin est formada por n elementos distintos entre s.

Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta elorden.

Ejemplo 1. Un alumno decide rendir tres de los cinco exmenes finales De cuntas manerasdistintas puede elegir esas tres pruebas?

Solucin: 10!3)!35(

!53,5

C


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Ejemplo 2. Cuntas combinaciones de 6 aciertos existen en el Melate? (Recuerda que sejuega con 46 nmeros)

41743113231234532 414243444546123456!40 !40414243444546!6)!646( !466,46

C

819,366'94174311323!6)!646(

!466,46

C

Es decir, que tendramos que jugar 9366,819 boletas de 6 nmeros para tener la seguridad al100% de que bamos a acertar.

Ejemplo 3. Cuntos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de unaclase? (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupoevidentemente, luego sin repeticin.

506,142139729612345

2627282930

12345!25

!252627282930

!5)!530(

!305,30

C

Por tanto, se pueden formar 142,506 grupos distintos.

En general, calcular

k

npor la frmula anterior implica calcular varios factoriales, lo que hace

que no sea muy til en la prctica. Un mtodo alternativo viene dado por las siguientespropiedades:

Proposicin.

1) 10

n

nn

2)

k

n

k

n

k

n

1

1

1

CASO 2.- El orden no importa y s se puede repetir (combinaciones con repeticin).

Una combinacin con repeticin de tamao kes una seleccin no ordenada de kobjetos elegidosentre n tipos diferentes de objetos, habiendo una cantidad ilimitada de cada tipo.

Una combinacin con repeticin puede describirse diciendo que elegimosx1 objetos de tipo 1,x2objetos de tipo 2, . . . , xn objetos de tipo n para alguna n-pila (x1, x2,..., xn). Cada uno de losenteros x1, x2, . . . , xn es no negativo y kxxx n 21 . As pues, las combinaciones con

repeticin de tamao kse corresponden con las soluciones enteras no negativas de la ecuacin:kxxx n 21


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El nmero de combinaciones de tamao k con repeticin ilimitada elegidas entre n tiposdiferentes de objetos es:

kknCRkn

1,

Cada combinacin con repeticin se representa por una palabra en el alfabeto {0,1} del siguientemodo: Los 0s son las marcas que separan los objetos de cada tipo y los 1s indican los objetosque hay de cada uno de los tipos entre dos marcas consecutivas. Si hay n tipos de objetos senecesitan n 1 marcas para separar los tipos y, por tanto, las palabras de 0s y 1s tienen longitudn 1 + k. As se convierte cada combinacin con repeticin de tamao ken una combinacin dek objetos (las posiciones de los 1s) elegidos entre un conjunto de n 1 + k elementos (lasposiciones).

Se llama combinaciones con repeticin de n elementos tomados de ken k, a los distintos gruposformados por kelementos de manera que:

Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos. Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el

orden.

Ejemplo 1. RC 4,10 son las combinaciones de 10 elementos con repeticin, agrupndolos en

subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podran estar repetidos:

715511131234

25113413

)123456789()1234(

12345678910111213

!9!4

!134,10

RC

Es decir, podramos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

Ejemplo 2. Las combinaciones con repeticin de los elementos {a, b, c, d} tomados de dos endos son: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd

Ejemplo 3. En una bodega hay 4 botellas de ron, 4 de ginebra y 4 de ans. Un cliente compr 8botellas en total. Cuntas posibilidades hay?

582,751213231719!1112345678

!111213141516171819

!8)!112(

!19

8

18128,36

RC

Ejemplo 4. En una confitera hay cinco tipos diferentes de pasteles. De cuntas formas sepueden elegir cuatro pasteles?


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No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o ms pasteles del mismo tipo en un grupo,

luego con repeticin.

70572!41234

!45678

!4)!15(

!8

4

1454,5

RC

Por tanto, se pueden elegir 4 pasteles de 70 formas distintas.

Selecciones (de kelementos entre n)

ORDENADAS NO ORDENADAS

SIN REPETICIN 1...21 knnnn

kn

CON REPETICINkn

k

kn

1

Pautas para la resolucin de problemas

Si en cada agrupacin figuran todos o algunos de los elementos disponibles, importandosu orden de colocacin, entonces se trata de un problema de permutaciones.

Si en cada agrupacin figuran todos o algunos de los elementos disponibles,sin importarel orden de colocacin de stos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

EJERCICIOS

1. Cuntas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se podran formar a

partir de 6 hombres y 5 mujeres?

2. Cuntos tros diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un nio se pueden formar

a partir de 4 hombres, 5 mujeres y 3 nios?

3. En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras distintas. De

cuntas maneras se puede elegir una fruta y una verdura?

4. Cuntas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras: A, L, E

y C, sin que ninguna letra se repita ni falte?


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5. Cuntas permutaciones simples (sin repeticin) pueden hacerse con las letras de la palabraLEGAR?

Cuntas de esas permutaciones comenzarn con una consonante?

Cuntas comenzarn con una vocal? Cuntas comenzarn con la letra A?

6. Se tienen 10 bolitas de igual tamao, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de colorverde. De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar en fila esas 10 bolitas?

a. Cuntas de esas permutaciones comenzar con una bolita verde?b. Cuntas terminarn con una bolita roja?c. Cuntas comenzarn con una bolita azul y terminarn con una bolita verde?

7. Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dgitos: 1, 2, 3, 4 y 5?

8. Cuntas palabras de 3 letras diferentes, con o sin significado, pueden formarse con lasletras de la palabra COMA?

9. Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. Cuntos tipos diferentes de boletos, donde seindique la estacin de salida y de llegada, deben imprimirse?

10. Cuntos nmeros de 3 cifras pueden formarse con los dgitos: 5, 6, 7, 8 y 9 (conrepeticin)?

11. Cuntos nmeros de 2 cifras pueden formarse con los diez dgitos, sin repeticin?

12. De cuntas maneras diferentes se puede elegir una comisin de 5 miembros a partir de 8de personas?

a. Si una persona determinada debe estar siempre incluidab. Si una persona determinada debe estar siempre excluidac. Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluidad. Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisin

13. Cuntas diagonales pueden trazarse en un polgono convexo de n lados?

14. Cuntas comisiones diferentes, compuestas por 2 hombres y 3 mujeres, pueden formarse,a partir de 10 hombres y 12 mujeres?

15. Cuntas palabras de 7 letras distintas ( 4 consonantes y 3 vocales ), con o sinsignificado, pueden formarse a partir de 6 consonantes y 5 vocales, todas diferentes?

16. Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros(sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).

17. Y si hubiera que acertar, no slo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada enmeta.


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18. Se tienen 3 libros: uno de aritmtica (A), uno de biologa(B) y otro de clculo(C), y se quierever de cuntas maneras se pueden ordenar en un estante.

19. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuntas manerasse pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razonespara preferir alguno.

20. Cuntas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?

21. De cuntas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

22. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizarguardias. Cuntas ternas se podrn formar?

23. De cuntas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distincin depersonas?


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UNIDAD III. PARIDAD

"Todo nmero natural es par o impar"

Esta afirmacin es una de las ms simples y conocidas en matemticas, pero tambin es unaherramienta muy til para resolver problemas que involucran nmeros naturales.

Propiedades:i. La suma de dos nmeros pares es par.

ii. En general la suma de nmeros pares es par.iii. La suma de dos nmeros impares es par.iv. La suma de una cantidad par de nmeros impares es par.v. En general la suma de una cantidad impar de impares es impar.

vi. La suma de un par y un impar es impar

vii. En general la suma de pares e impares depender del nmero de impares que hayaen la suma, es decir, si la cantidad es par la suma es par, si la cantidad es impar lasuma es impar.

Definicin de paridad

Se dice que dos nmeros tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos impares. La sumade dos nmeros con la misma paridad es par. La suma y la cantidad de impares en la suma tienenla misma paridad.

Ejemplo 1. Mara y sus amigos estn sentados formando un crculo, de forma que los dos

vecinos de cada amigo son del mismo sexo. Si de los amigos de Mara 5 son hombres. Cuntasmujeres hay?

SolucinHay 5 mujeres. Para ver esto recordemos que los vecinos de cualquier persona son del mismosexo, por lo que las mujeres y los hombres estn alternados, entonces hay la misma cantidad dehombres que de mujeres.

Ejemplo 2. Es posible dibujar una lnea quebrada de 11 segmentos, cada uno de los cuales seintersecta (internamente) exactamente con uno de los otros dos segmentos?

Solucin

No es posible. Si fuera posible, podemos partir los segmentos en parejas de segmentos que seintersecan, como cada segmento se corta con otro segmento y solamente con uno, tendremos quelos segmentos se agrupan en parejas y entonces el nmero de segmentos debe ser par, lo que esuna contradiccin.


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Ejemplo 3. Un nadador para entrenar realiza sesiones de entrenamiento de 3, 5 y 7 Km. Suentrenador le recomienda entrenar un total de 35 km. Podr realizarlos en 10 sesiones?

SolucinNo es posible. En cada sesin debe nadar un nmero impar de kilmetros y la suma de un nmeropar de impares es par, por lo que nunca podr ser 35.

Ejemplo 4. A una cuadrcula de 8 8 cuadritos se le retiran dos cuadritos de esquinasopuestas, Puede ser cubierta con 31 domins (fichas de 2 1 cuadritos)?

SolucinLa respuesta es no. Un artificio para resolverlo es pensar en la cuadrcula coloreada como untablero de ajedrez, esto es, los cuadritos coloreados en forma alternada con dos colores: blanco ynegro. En el tablero completo, con 64 cuadritos, quedan coloreados 32 cuadritos de color blanco

y 32 de negro. Al retirar dos esquinas opuestas, se estn retirando dos cuadritos de un mismocolor. Quedando 32 negros y 30 blancos.

Por otro lado, un domin cubre dos cuadritos: uno de cada color. Las 31 fichas de domin que setienen, solamente pueden cubrir un nmero impar de cuadritos de color negro (exactamente 31cuadritos de color negro), y debemos cubrir una cantidad par de cuadritos negros: 32, por lo quees imposible cubrir la cuadrcula como se pide, de hecho, siempre faltar por cubrir un cuadritonegro.

Ejemplo 5. En un saln de clase estn sentados los alumnos formando un arreglo rectangularde 5 7. La maestra que quiere hacer una dinmica las pide a todos los alumnos que cambien delugar, movindose un lugar ya sea a la izquierda, a la derecha, adelante o hacia atrs. Pepito que

sabe de matemticas le dice que esto es imposible. Por qu tiene razn Pepito?


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SolucinTomemos una cuadrcula de 5 7 (cada casilla es un lugar), y coloreada a la manera del tablero

de ajedrez, entonces observemos que si te encuentras en casilla coloreada y te mueves un lugar dela manera antes descrita, pasars a una casilla que no est coloreada y viceversa.

Pero sucede que el arreglo tiene 18 casillas de color blanco y 17 de color negro, por lo que losque estn en casilla blancas no podrn ocupar las 17 negras.

Nota: Si los objetos se pueden agrupar en parejas, entonces el nmero de objetos es par.O bien, si se han agrupado varias parejas de objetos de un nmero impar de objetos, entonces al

menos un objeto quedar sin pareja.

Ejemplo 6. Un polgono con un nmero par de lados se circunscribe a una circunferencia. Loslados se colorean alternadamente de negro y rojo. Es la suma de las longitudes de lados rojosigual a la de las longitudes de los lados negros?

SolucinS, son iguales. Primero observemos que al ser un nmero par de lados y al ser coloreadosalternadamente, siempre un lado tiene por vecinos a dos de distinto color. Tambin vemos que acada vrtice convergen dos lados de distinto color.

Si A es uno de los vrtices y P y Q son los puntos de tangencia de tales lados, se conoce degeometra que AP = AQ; como uno de los segmentos es rojo y el otro es negro, tenemos despusde recorrer los vrtices del polgono y sumar las longitudes de las tangentes, que la suma de loslas longitudes de los lados rojos es igual a la suma de las longitudes de los lados negros.

Ejemplo 7. Un polgono cerrado que no se intersecta a si mismo y cuyos lados son verticales uhorizontales, tiene un nmero par de lados.


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Solucin

Demos a los lados del polgono una letra de la siguiente manera: H a los horizontales y V a los

verticales, las letras H y V tambin se alternan, y como la figura es cerrada al recorrer los lados si

iniciamos en H, debemos de terminar en V, as el recorrido lo podemos realizar por pares de

lados HV, por lo que tendr un nmero par de lados.

Nota: Si los objetos se pueden ir alternando, siendo estos de dos tipos, tenemos que:

a) Si iniciamos y terminamos con objetos del mismo tipo, el nmero total de objetos es impar y

b) Iniciamos con un objeto de un tipo y terminamos con un objeto del otro tipo, el nmero de

objetos es par.

Ejemplo 8. Un gusano se desplaza verticalmente sobre un rbol. Cada da puede solamente

subir o bajar. Si el primer da recorre 1 cm, y el segundo 2 cm, y as sucesivamente, Ser posibleque despus de 17 das el gusano se encuentre en el lugar de donde parti?

SolucinNo es posible. Si fuera posible, tenemos que: al conjunto {1, 2, . . . , 17}, lo podemos dividir en

dos conjuntos {a1, . . ., an} y {b1, . . ., bm} denotando las distancias que el gusano va hacia arriba

y las cantidades que baja respectivamente. Estas cumplen las siguientes dos cosas:

1) a1 + . . . + an = b1 + . . . + bm2) a1 + . . . + an + b1 + . . . + bm = 1 + 2 + 3 + . . . + 17 = 153

pero la suma de dos nmeros iguales nunca es impar.

En estos problemas se puede observar que los argumentos utilizados permite concluir que las

repuestas van en la direccin de "no es posible hacer tal cosa". En la mayora de las veces, un

argumento de paridad sirve exactamente para eso: mostrar que un determinado hecho no puede

ocurrir. Esto no debe desanimar, por el contrario, sirve para convencerse y no gastar tiempo en

tentativas intiles. Las experiencia son valiosas en el sentido de abrirnos los ojos para no insistir

en caminos donde no hay soluciones y buscar a partir de ah argumentos que resuelvan

definitivamente el problema.


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Otras propiedades importantes. Al igual que tenemos las reglas de paridad para la suma de

nmeros naturales, tenemos las reglas de la paridad para la multiplicacin.

El producto de dos nmeros pares es par.El producto de dos nmeros impares es impar.

El producto de un nmero par con un impar es par.

En general, es par si y slo si alguno de sus factores es par.

EJERCICIOS

1. Trini invit aMamigos yNamigas a una fiesta. Todos se sentaron en una mesa redonda yentonces cada muchacho le da un regalo a cada muchacha que se encuentra a su lado (sislo se tiene una muchacha a su lado solo da un regalo, y si se encuentra entre dosmuchachos no da ninguno). Prueba que el nmero total de regalos repartidos es par.

2. Un grupo de n ecologistas y npolticos estn sentados alrededor de una mesa. Algunos deellos siempre dicen la verdad y los otros dos siempre mienten. Se sabe que el nmero deecologistas mentirosos es el mismo que de polticos mentirosos. Cuando se les hace lapregunta: Qu es tu vecino de la derecha?" todos responden "poltico". Muestra que n espar.

3. El conjunto {1, 2, 3,.., n} se colorea de rojo y negro y de manera que 1 y n quedan dediferente color. Muestre que el nmero parejas de enteros consecutivos con diferente colores impar.

4. Los nmeros 1, 2, 3,... 2002. se escriben en un pizarrn. Un alumno escoge dos de estosnmeros, los retira, y coloca en el pizarrn la diferencia (no negativa) de ellos. Despus devarias de ests operaciones queda escrito un solo nmero, Es posible que ste sea el cero?

5. El producto de 22 enteros es igual a 1. Muestre que la suma de estos nmeros no puede sercero.

6. En las casillas de un tablero de 3 3 hay 9 focos que cambia de estado (encendido yapagado). Apretando un foco de la orilla del tablero, el foco cambia de estado junto con susvecinos (a los lados y en diagonal) y si apretamos el foco del centro, cambian de estado los8 restantes. Inicialmente todos lo focos estn apagados, Es posible que todos los focosqueden encendidos?

7. Un tablero de 8 8 est pintado de negro y blanco como tablero de ajedrez. Una tiradaconsta de intercambiar dos renglones o dos columnas del tablero. Se puede llegar, despusde una sucesin de tiradas, a que el borde izquierdo del tablero sea blanco y el bordederecho sea negro?


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30

8. En un tablero de ajedrez un caballo parte de una casilla y regresa a esa casilla despus de

varios saltos (de caballo). Muestre que el caballo realiz un nmero par de movimientos.

9. Puede un caballo en un tablero de ajedrez partir de la esquina inferior izquierda y llegar a

la esquina superior derecha, visitando cada una de las casillas del tablero una y solamente

una vez?

10. En un tablero de 25 25 se colocan 25 monedas de manera que las posiciones son

simtricas con respecto a una de las diagonales. Muestre que alguna moneda esta sobre tal

diagonal. Si las posiciones son simtricas con respecto a las diagonales, una de las monedas

est en el centro del tablero.

11. Un polgono convexo de 11 lados tiene un eje de simetra, muestre que el eje pasa por una

de los vrtices.

12. Un ratn se quiere comer un queso en forma de cubo de la siguiente manera: Lo parte en 27

cubitos iguales de lados paralelos al cubo original y quiere ir comiendo cada cubito

iniciando por un cubito de la orilla y terminando en el cubito central, adems cada que

come un cubito el siguiente cubito que se come es uno de los adyacentes (no en diagonal).

Podr el ratn comerse el queso de esta manera?

13. En una urna se colocan 2001 canicas marcadas con los nmeros 1, 2, . . . , 2001. Se sacan al

azar 2 canicas de la urna, y se calcula la suma de los nmeros en ellas. Qu es ms

probable que la suma sea par o que sea impar?

14. Hay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar lneas entre los puntos,

por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete un ciclo. Cul de los jugadores

tiene estrategia ganadora?

15. En un saln de baile 7 caballeros A, B, C, D, E, F y G. Estn sentados frente a siete damas

a, b, c, d, e,f ygen algn orden. Cuando los caballeros cruzan la pista para sacar a bailar a

sus damas correspondientes se observa que al menos dos caballeros caminan la misma

distancia. Sucede esto siempre?

16. Prueba que no es posible cubrir una cuadrcula de 6 6 con 18 rectngulos de 2 1 de

manera que cada uno de los segmentos de longitud 6 que forman la cuadrcula y que estn

en el interior de la misma pase por el centro de al menos uno de los rectngulos.


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31

17. Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se

especifica cuntas con el lado rojo hacia arriba y cuntas con el color negro hacia arriba).

Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en su turno hace una de la siguientesdos cosas:

1.- Retirar cualquier cantidad de fichas, con la condicin de que todas tienen que ser

del mismo color hacia arriba.

2.- Voltear cualquier cantidad de fichas, con la condicin de que todas las volteadas

tengan el mismo color hacia arriba.

Gana el que toma la ltima ficha. Cul de los jugadores se puede asegurar que ganar el

primero o el segundo.

18. Un polgono se dice que es ortogonal si todos sus lados tienen una longitud entera y cadados lados consecutivos son perpendiculares. Demuestra que si un polgono ortogonal puede

cubrirse con rectngulos de 2 1 (sin que estos se traslapen) entonces al menos uno de sus

lados tiene longitud par.

19. Consideremos los nmeros del 1 al 1000,000 inclusive. Se calculan dos sumas. La suma de

los nmeros que tienen todos sus dgitos pares y la suma de los nmeros que tienen todos

sus dgitos impares. Cul suma es mayor?

20. En el pizarrn se tienen escrito once nmeros 1. Se permite tomar dos nmeros y sumarle

uno a ambos, restarle uno a ambos, o sumarle uno a uno y restarle uno al otro. Es posible

mediante estas operaciones tener escrito en el pizarrn once nmeros 10?


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UNIDAD IV. PRINCIPIO DE LAS CASILLAS

El principio de conteo ms til es desde luego el ms sencillo. Aqu lo presentamos y se basa enla siguiente idea, si hay tres canicas que se reparten entre dos nios, a un nio le tocan dos(quizs las tres, pues se admite que un nio puede quedar con cero canicas). Una primera versinde ste principio se puede enunciar de la siguiente manera:

"Si (n + 1) objetos se deben de acomodar en n casillas, en alguna de las casillas hay ms deun objeto".

Este resultado se conoce como el Principio de las Casillas, tambin es llamado el Principio deDirichlet, o Principio de las Palomas. Peter Dirichlet fue el primero en utilizarlo en teora denmeros en el siglo XIX.

Su validez es evidente, pero si desea uno convencerse, piense qu pasara si en cada casilla hay loms un objeto, entonces tendramos que en las casillas hay acomodados a lo ms n objetos, lo quees una contradiccin si consideramos que se han repartido los n + 1 objetos.

La mayora de las veces, este resultado ayuda a resolver problemas de existencia; de garantizar sidentro de una serie de hechos (finitos o infinitos) hay la certeza de que sucede alguna situacinespecial. As el principio es una afirmacin puramente existencial; sin embargo, no daindicaciones de cmo llegar a la situacin especial que se garantiza la existencia.

Reconocer cmo y cundo deber usarse el principio requiere de cierta prctica que intentaremosdirigir en esta serie de ejercicios y problemas. Detectar quines sern los objetos y quines sernlas casillas, es la parte central para utilizar el principio. Desde luego hay situaciones claras dequines son los objetos y quines las casillas, veamos algunos ejemplos.

En un grupo de tres personas hay dos del mismo sexo.

En un grupo de 13 personas hay dos que nacieron el mismo mes.

En un grupo de 366 personas hay dos que tienen el mismo da de cumpleaos.

En los tres casos los objetos son las personas y las casillas, evidentemente son, los dos sexos, losdoce meses del ao, y los 365 das del ao respectivamente.

Ejemplo 1. 5 palomas vuelan hacia un palomar de 4 agujeros, entonces en uno de los agujeroshay dos o ms palomas. En general, si (n + 1) palomas estn en n agujeros, por lo menos uno delos agujeros contiene dos o mas palomas.

Ejemplo 2. Una lnea no puede cortar internamente a los tres lados de un tringulo.

SolucinEste ejemplo es el primero donde hay una primera dificultad, debemos decir quines son losobjetos y quines son las casillas. Las casillas son los dos semiplanos que determina la lnea, losobjetos sern los vrtices del tringulo. Observemos que si dos vrtices del tringulo seencuentran en uno de los semiplanos, el segmento (lado del tringulo) que ellos determinan noser cortado por la lnea.


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Pidamos primero que la lnea no pase por alguno de los vrtices del tringulo. Por el Principio de

las casillas hay dos puntos en alguno de los semiplanos (quizs los tres), luego alguno de los

lados no ser cortado por la lnea. Si la lnea pasa por alguno de los vrtices, esta podr cortar a lo

ms a uno de los lados.

Ejemplo 3. De cinco puntos dentro o sobre los lados de un triangulo equiltero de lado 2 haydos cuya distancia entre ellos es menor o igual a 1.

Solucin

Aqu la situacin es un poco ms delicada. Aqu hay que crear las casillas; los objetos son los

cinco puntos y buscamos dos de ellos a una distancia menor o igual que uno. Si dividimos en

casillas de manera que: dos en una casilla garanticen que su distancia es menor o igual que uno,

terminamos. Se sugiere entonces crear cuatro casillas, al dividir los lados del tringulo con sus

puntos medios y al unir estos con segmentos de lnea se forman cuatro tringulos congruentes de

lado 1.

Por el Principio de las casillas, de los cinco puntos dados, hay dos puntos en alguno de lostringulos pequeos, estos dos puntos son los buscados.


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Ejemplo 4. De entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras hay dos cuyo puntomedio tambin tiene coordenadas enteros.

Primero observemos que el punto medio

2,2

dbca , de dos puntos de coordenadas enteras

(a, b) y (c, d), tendr tambin coordenadas enteras, si a y c son ambos pares o ambos impares,esto es si tienen la misma paridad, tambin b y d deben tener la misma paridad. Dividamos alos puntos de coordenadas enteras de acuerdo a la paridad de sus coordenadas, esto generarcuatro clases que representaremos as: (P,P), (P,I), (I,P), (I,I) y que son las clases de puntos decoordenadas enteras donde sus coordenadas son las dos pares, la primera par y la segunda impar,la primera impar y la segunda par, y las dos coordenadas impares, respectivamente. Estas clasessern las casillas. Desde luego todo punto de coordenadas enteras pertenece a una de las casillas.Por elPrincipio de las casillas hay dos puntos de los cinco en la misma casilla, por lo que dos de

los puntos tienen la primera coordenada de la misma paridad y tiene la segunda coordenada de lamisma paridad, por tanto su punto medio ser de coordenadas enteras.

Hemos sealado que el usar y explotar el Principio de las casillas, requiere cierta habilidad quela prctica va dando. Los problemas que presentamos aqu buscan eso, practicar.

EJERCICIOS

1. En un tringulo de rea 4 se colocan 9 puntos. Muestre que hay tres de ellos que formanun tringulo de rea menor o igual que 1.

2. Demuestre que un tringulo equiltero de lado 1 no puede ser cubierto totalmente con dostringulos equilteros de lados menores que 1.

3. Con los vrtices de una cuadrcula de 6 9 se forman 24 tringulos. Muestre que hay dostringulos que tienen un vrtice comn.

4. En un tringulo equiltero de lado 3 se colocan 4 puntos. Muestre que hay dos de ellos a

una distancia menor o igual a 3 .

5. En un cubo de lado 10 se colocan 999 puntos. Es posible encontrar un cubo de lado 1dentro del cubo de lado 10 que no contenga alguno de los puntos?

6. Pueden las casillas de un tablero de 3 3 llenarse con nmeros del conjunto { - 1, 0, 1},de manera que la suma de los nmeros en cada rengln, en cada columna y en cadadiagonal sean diferentes?

7. Cumpleaos en el estadio. A un estadio de ftbol han asistido 3700 espectadores.Cuntos de ellos, como mnimo, cumplen aos el mismo da?


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8. El once. Si del subconjunto de nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 extraemos 6

nmeros, con seguridad habr dos que suman 11.

9. En un grupo de 8 personas, demostrar que hay al menos 2 cuyos cumpleaos caen el

mismo da de la semana.

10. Se sortean 11 nmeros telefnicos para un premio. Mostrar que hay al menos 2 nmeros

que coinciden con el ltimo dgito.

11. Pongo ms de 100 monedas en 2 bolsas. Demostrar que al menos una de las bolsas tiene

ms de 50 monedas.

12. Se seleccionan 3 nmeros enteros positivos que suman 19. Demostrar que al menos uno

de ellos es mayor o igual que 7.

13. En una caja hay 10 libros en francs, 20 en castellano, 8 en alemn, 15 en ruso y 25 en

italiano. Cuantos debo sacar para estar seguro de que tengo 12 en un mismo idioma?

14. En un Bar hay 95 mesas y un total de 465 sillas. Podemos asegurar que hay una mesa

con 6 sillas?

15. Cuantas veces hay que tirar un dado para asegurarse de sacar por lo menos 2 veces el

mismo nmero?


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UNIDAD V. LGEBRA

5.1 Polinomios

Polinomio. Es una expresin de la forma:

f(x) = a0 + a1x + .... + anxn

donde a0, a1,..., an son nmeros reales. A estos nmeros se les llama coeficientes del polinomio.Al smbolox se le llama indeterminada. A a0, a1x,..., anx

n, se les llama trminos del polinomio.

Se puede obtener un valor paraf(x), poniendo un nmero, digamos a en lugar de la indeterminadax:

f(a) = a0 + a1 a + .... + an an.

Ejemplo:

Sea f(x) = 1 + x + x2 1)1()1(1)1( 2 f

5.2 Factorizacin

Factorizar una expresin algebraica es hallar dos o ms factores, cuyo producto sea igual a laexpresin propuesta. Existen varias maneras de factorizar, algunas de ellas se presentan acontinuacin.

Factor comn:y4+5y2+4y = y (y3 + 5y + 4)

Trinomio cuadrado perfecto:y

2+ 2y + 1 = (y + 1)

2

Trinomio de la forma ax 2+ bx + c:3y

2 14y 5 = (3y+1) (y 5)

Diferencia de cuadrados:x2 y2= (x y) (x + y)

5.3 Ecuaciones

Solucin de una ecuacin de primer grado con una incgnita.

6a + 3a + a = 2a + 32 8a = 32

a = 4


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Solucin de una ecuacin de segundo grado con una incgnita.

Para encontrar la solucin de la ecuacin de la forma ax2

+ bx + c podemos utilizar la frmulageneral:

a

acbbx

2

421

,

a

acbbx

2

422

Tambin se puede obtener factorizando, si es posible.

Solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Existen varios mtodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Consideremos el siguiente sistema, a manera de ejemplo

II)865

I)1223

yx

yx

Mtodo de suma y resta:1) Multipliquemos cada ecuacin por constantes de modo que los coeficientes de la variable

a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos.2) Sumemos ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuacin en trminos solamente de la

otra variable.

3) Resolvamos y sustituyamos en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener elvalor de la otra variable.

En nuestro ejemplo, eliminemos la variablex:

Multiplicando por 5 la ecuacin (I) obtenemos 15x 10y = 60 III)Multiplicando por -3 la ecuacin (II) obtenemos:15x 18y = 24 IV)Sumando las ecuaciones III) y IV) obtenemos: 28y = 84, de donde vemos quey = 3.Sustituyendo el valor dey en I) obtenemos:

3x 2(3) = 12

3x + 6 = 12

3x = 6

y as llegamos a quex = 2.

Mtodo de sustitucin:1) Despejamos alguna de las variables en cualquiera de las ecuaciones.2) Sustituimos en la otra.3) Resolvemos la ecuacin resultante de una sola variable.4) Sustituimos el valor obtenido en la ecuacin de despeje.


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En el ejemplo, despejemosx de I)

3

212 yx

III)

Sustituimosx en II)

863

2125

y

y.

Resolviendo esta ecuacin tenemos que y =3.

Sustituimos el valor dey en la ecuacin III).

3

)3(212

x

de aqu obtenemos quex = 2.

As la solucin del sistema de ecuaciones es (2,3).

Mtodo de igualacin:

1) Se despeja alguna de las variables en las dos ecuaciones.

2) Se igualan y resolvemos la ecuacin resultante.

3) Elegimos alguna de las dos ecuaciones de despeje y sustituimos el valor obtenido.

Siguiendo con el mismo ejemplo, tenemos que despejandox en las dos ecuaciones obtenemos:

3

212 yx

y

5

68 yx

Igualando lasx tenemos la siguiente ecuacin de depende solamente de la variabley

5

68

3

212 yy

Resolviendo obtenemos

y =3.Sustituyendo el valor dey en III) obtenemos

x = 2.

Mtodo grfico

1) Graficamos ambas ecuaciones en el plano cartesiano.

2) Hallamos el punto de interseccin de las rectas.

3) La abscisa de dicho punto ser la solucin de la variable x, y la ordenada ser la de la

variabley.


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Mtodo de determinantes

Consideremos el ejemplo:

II)865

I)1223

yx

yx

Los valores dex yy estn dados por

yx yx

donde

84)12)(5()8)(3(85

123

56)2)(8()6)(12(68

212

28)2)(5()6)(3(65

23

y

x

por lo tanto

22856 x y 3

2884 y

5.4. Razones y Proporciones

Razn o relacin. Llmese razn o relacin de dos cantidades al cociente de dividir unacantidad por la otra, expresadas en las mismas unidades.

La razn de a a b se escribe a:b, o biena

b; a y b son llamados los trminos de la razn.


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Proporcin. Llmese proporcin a la igualdad de dos razones. Llmense trminos de unaproporcin las cuatro cantidades que entran en ella. El primer y tercer trminos se llamanantecedentes; el segundo y el cuarto, consecuentes. El primero y el cuarto se llaman extremos; elsegundo y el tercero, medios.

d

c

b

a , dcba :::: , dcba ::

Trminos: a, b, c, d.Antecedentes: a, c.Consecuentes: b, d.Extremos: a, d.Medios: b, c.

Cuarta proporcional. Se llama cuarta proporcional de tres cantidades dadas a la cantidad queforma el cuarto trmino en una proporcin, cuyos otros trminos son las tres cantidades dadastomadas en orden.

Proporcin contina. Se llama proporcin continua aquella en que los medios son iguales.

Media proporcional. Son los trminos iguales de una proporcin continua, tambin sonconocidos como la media geomtrica.

Teoremas relativos a proporciones

1. En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

d

c

b

a de donde cbda

2. Si el producto de dos nmeros es igual al producto de otros dos, uno de los pares puedehacer las veces de medios y el otro par, de extremos de una proporcin. Sea cbda ,

tomemos a bc como medios, entoncesd

c

b

a .

Mtodos de transformacin de una proporcin en otra

1. Mtodo de inversin: En toda proporcin se pueden invertir las dos razones, de lo cualresulta otra proporcin.

d

c

b

a de donde

b d

a c .

2. Mtodo de alternacin: Si se cambian entre si los medios, o entre si los extremos de unaproporcin, se obtiene una nueva proporcin.

d

c

b

a de donde

d

b

c

a .


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3. Mtodo de adicin: En toda proporcin pueden agregarse a los dos antecedentes susrespectivos consecuentes de lo cual resulta otra proporcin.

dc

ba de donde d

dcb

ba

.

4. Mtodo de sustraccin: En toda proporcin pueden restarse los antecedentes de susrespectivos consecuentes, de lo cual resulta otra proporcin.

d

c

b

a de donde

d

dc

b

ba

.

5.5 Propiedades de los exponentes

1. xyyx aa 4. yxyx

aaa

2. yxyx aaa 5.x

x

x

b

a

b

a

3. xxx baba

EJERCICIOS

1. Cul es la mitad de 298?

2. Dado quep(x) =x3 + ax + 1 y quep( l ) = 1, Cunto valep(2)?

3. Si x2 +y2 = 6xy, conx

y, A qu es igualyx

yx

?

4. Si 2a = 5b = 10, cunto valeb

1

a

1 ?

5. Encontrary (en trminos dex) de tal manera que 2y = 16x+1 + 24x+4.

6. Betty escribi una fraccin irreducible. Mario escribi otra fraccin. Para elegir elnumerador, le sum 11 al numerador de Betty y para elegir el denominador, multiplic eldenominador de Betty por 2 y al resultado le sumo 3. Sabiendo que la fraccin de Betty esigual al doble de la de Mario, Qu fraccin pens Betty?

7. Si x2 + 8x 2 = 0, Cunto valex4 + 8x3 + 16x + 10?


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8. En cierto planeta hay tantos das en una semana como semanas en un mes como meses enun ao. Si un ao tiene 1331 das, Cuntos das tiene cada semana?

9. Un librero tiene para la venta cierto nmero de libros. La semana pasada vendi4

1del

total. Esta semana le hicieron un pedido por4

3de lo que le quedaba, pero antes de entregar

el pedido el local se inund y le quedaron 240 libros inutilizados. Si enva todos los libros

que le quedaron sanos, slo cubre5

4del pedido. Cuntos libros tena para la venta

inicialmente? Cuntos vendi?

10. Eduardo y Gabriel viven en la calle del colegio, pero uno hacia el norte y el otro hacia elsur. Un da los dos salieron del colegio a la misma hora y cada uno camin a su casa,Eduardo a 7 km/h y Gabriel a 5 km/h. En el instante en que Eduardo lleg a su casa, unamoto sali de la casa de Eduardo hacia la casa de Gabriel, a 55 km/h. La moto lleg a lacasa de Gabriel justo en el momento en el que Gabriel lleg a su casa. Determinar cul delos dos chicos vive ms cerca del colegio.

11. Una gallina pone dos huevos en tres das. Cuntos das se necesitan para que cuatrogallinas pongan dos docenas de huevos?

12. Si 6 gatos cazan 6 ratones en 6 minutos, Cuntos son los ratones que 30 gatos puedencazar en 30 minutos?

13. El promedio de las primeras 5 calificaciones de Juan durante el semestre es de 5.4. Culdebe ser su promedio de las siguientes 4 calificaciones para que su promedio global sea de6?

14. Una sanda pes 10 kg., de los cuales el 99 % es agua. Despus de cierto tiempo al sol, seevapor parte del agua, siendo ahora el porcentaje de agua del 98 %. Cunto pesa ahora lasanda?

15. Rafa escribe el nmero 2.ab (es un nmero con punto decimal) donde a y b son dgitos.

Sabiendo que este nmero es igual a:5

a+

4

b, hallar los dgitos a y b.

16. Encontrar un entero positivo a tal que la sumaa + 2a + 3a + 4a +5a + 6a + 7a + 8a + 9a

resulte ser un nmero con todas sus cifras iguales.

17. Si m y n son enteros positivos que satisfacen mn + mn+1 + mn+2 = 39, entonces, Cunto vale

nm?


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18. Despus de una epidemia muy grave, la poblacin de una comunidad de animales disminuy

el ao pasado en 20%; Qu porcentaje debe de aumentar este ao para volver a quedar

como estaba?

19. En dos aos el precio de un producto se ha duplicado. Qu porcentaje ha aumentado por

ao si cada ao ha sido el mismo?

20. Ayer en clase el 12.5% de los alumnos falt. Hoy hay un alumno ausente ms, y el nmero

de presentes es 5 veces el de ausentes. Cul es el nmero total de alumnos de la clase?

21. Un barril lleno de leche pesa 34 kg. y cuando est lleno a la mitad pesa 17.5 kg. Cul es el

peso del barril?

22. Cuntos enteros positivos n satisfacen la desigualdad13

11

17

n

5

2 ?

23. Tres trabajadores necesitan 36 das para pintar un edificio. Cuntos trabajadores pueden

hacerlo en 9 das?

24. Una manguera llena un estanque de agua en 12 horas. Otra manguera lo llena en 10 horas y

un tubo de desage lo vaca en 6 horas. En cunto tiempo se llena el estanque si las dos

mangueras y el desage estn todos abiertos?


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UNIDAD VI. TRINGULOS

6.1 Definicin y Clasificacin

Tringulo. Espacio limitado por tres rectas que se cortan.

Clasificacin de los tringulos atendiendo a la medida de sus lados

Tringulo equiltero. Tres lados iguales

Tringulo issceles. Dos lados iguales

Tringulo escaleno. Tres lados desiguales

Clasificacin de los tringulos atendiendo a la medida de sus ngulos.

Tringulo rectngulo. Cuando tiene un ngulo recto.

Tringulo obtusngulo Cuando tiene un ngulo obtuso.

Tringulo acutngulo Cuando sus tres ngulos son agudos.

Tringulo equingulo Cuando sus tres ngulos son iguales. El tringulo equiltero es a la

vez equingulo

6.2 Propiedades

1. La suma de los ngulos internos de todo tringulo es 180

2. La suma de los ngulos externos de todo tringulo es igual a 360

3. Un ngulo externo de un tringulo es igual a la suma de los ngulos internos noadyacentes.


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4. Toda recta paralela a uno de los lados de un tringulo divide los otros dos en partesproporcionales.

5. Si una recta divide dos lados de un tringulo en partes proporcionales, es paralela al tercerlado.

ABDEEB

CE

AD

CD

6. La lnea que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralela al tercer ladoe igual a su mitad.

2

ABDEyABDEECBEyDCAD

7. La bisectriz de un ngulo cualquiera de un tringulo divide el lado opuesto en partesproporcionales a los otros dos lados.

CB

CA

MB

AM21

8. En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos (teorema de Pitgoras)

222 bac


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6.3 Lneas y Puntos Notables en el Tringulo

Mediatriz

Es la perpendicular a un segmento en su punto medio, tambin se puede definir como el lugargeomtrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. A lainterseccin de las mediatrices de los lados de un tringulo se le conoce como Circuncentro (O).

MedianaSe llama mediana de un tringulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vrtice con elpunto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un tringulo se cortan en un punto llamadoBaricentro o Centroide (G).

AlturaSe llama base de un tringulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde unvrtice a la base opuesta o a su prolongacin se llama altura. Las tres alturas de un tringulo o sus

prolongaciones se cortan en un punto llamado Ortocentro (H).


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Si el tringulo es acutngulo el ortocentro es interior al tringulo, si es obtusngulo el ortocentroes exterior al tringulo y se obtiene prolongando las alturas fuera del tringulo.

BisectrizBisectriz de un ngulo es la semirrecta que lo divide en dos ngulos iguales, tambin se puededefinir como el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ngulo.Las bisectrices en un tringulo se cortan en un punto llamado Incentro (I).

6.4 Semejanza

Figuras semejantes. Tenemos que dos figuras son semejantes, cuando tienen sus ngulosrespectivamente congruentes comprendidos entre lados proporcionales.

A = A, B = B, C = C, D = D, E = E C'B'

B'A'

BC

AB


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Existen algunas figuras que teniendo sus ngulos congruentes sus lados pueden no serproporcionales.

Otras figuras a pesar de tener sus lados proporcionales no tienen sus ngulos congruentes.

De lo anterior deducimos que slo son semejantes aquellas figuras que cumplen con las doscondiciones ya establecidas.

Teorema 1. Si dos tringulos son mutuamente equingulos, son semejantes.

Si A = A, B = B y C = C ABC ABC

Teorema 2. Si dos tringulos tienen un ngulo igual comprendido entre lados proporcionales,los dos tringulos son semejantes.

Si

C =

C y B'C'

CB

A'C'

CA

ABC

ABC


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Teorema 3. Si los tres lados de un tringulo son respectivamente proporcionales a los de otro,

los dos tringulos son semejantes.

SiA'C'

CA

C'B'

BC

B'A'

AB ABC ABC

6.5 rea de un tringulo

El rea de un tringulo en general es

Si se conocen las longitudes de los tres lados a, b, c, el rea se puede calcular mediante la

siguiente expresin llamada frmula de Hern

))()(( csbsassA

donde2

cbas

es el semipermetro.


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EJERCICIOS

1. Cada lado de un rectngulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos

resultantes se unen de forma que obtenemos un punto en el centro, como se indica en la

figura. Cunto es el cociente del rea de la parte blanca entre el rea de la parte gris?

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) e) 2/3

SolucinTrazando las diagonales del rectngulo encontramos 12 tringulos. Cada lado del rectngulocontiene la base de 3 tringulos, uno blanco y dos de color gris, de la misma rea, pues sus basesy sus alturas son iguales. As, la razn de las reas es de 1 a 2. La respuesta es b).

2. En la siguiente figuraABCes un tringulo con AB =ACyD un punto sobre CA con

BC=BD =DA. El valor del nguloABD es

a) 30o b) 36o c) 40o d) 45o e) 60o


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3. En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, el ngulo ABC= 75 y el nguloADC= 50. Cunto mide el ngulo BAD?

a) 30 b) 85 c) 95 d) 125 e) 140

4. Un tringulo rectngulo tiene hipotenusa 6 y permetro 14, cul es su rea?

a) 3 b) 7 c) 10 d) 14 e) 28

5. En el rectngulo de la figura,MyNson los puntos medios deAD yBC, respectivamente,yPy Q son las respectivas intersecciones deACconBMy conND. Suponiendo queADmide 5 cm y queAB mide 3 cm, cuntos centmetros tiene de superficie el cuadrilteroMPQD?

a) 2.75 b) 3 c) 3.25 d) 3.75 e) 4

6. Cul de las siguientes reas sombreadas es la ms grande?


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7. En la figura, CD = BC= 3, CD es perpendicular a BC,AB = ACy el rea de ABCes 5.Cul es el rea del tringuloACD?

8. En la figura,AB = AD = DC. Cunto vale el ngulo ?

a) 24 b) 29 c) 33 d) 40 e) 42

9. En la siguiente figura, el valor dex es:

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

10. Se construye una figura formada por tringulos issceles empezando conAB = BC, luegoBC = CD, y as sucesivamente, como se ilustra abajo. Si el ngulo BAC= 17, cuntostringulos issceles puedes dibujar?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


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11. En la siguiente figura, cul es la longitud deAC?

a) 2 53 b) 5 c) 3 d) 4 35 e) 3

12. Si la figura representa un cuadrado con vrtices enA,B, CyD, y el ngulo OND mide

60, Cunto mide el ngulo COM?

a)10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35

13. En la figura,ABCes un tringulo equiltero, sus lados tienen longitud 3 yPA es paralela aBC. SiPQ = QR = RS, cul es la longitud de CS?

a) 2/2 b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 3


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UNIDAD VII. CUADRILTEROS

7.1 Definicin y Clasificacin

Cuadriltero.Es una figura plana limitada por cuatro segmentos de recta, llamados lados delcuadriltero.

Propiedad. La suma de los ngulos internos de todo cuadriltero es 360.

Clasificacin de los cuadrilteros.

Los cuadrilteros se clasifican atendiendo al paralelismo de sus lados opuestos en:

Paralelogramo Trapecio Trapezoide

7.2 Paralelogramo

Paralelogramo es el cuadriltero que tiene los lados opuestos paralelos.

Clasificacin de los paralelogramos

Rombo: Paralelogramo que tiene sus cuatro

lados iguales.

Rectngulo: Paralelogramo que tiene suscuatro lados iguales y rectos.

Cuadrado: Paralelogramo que es rombo yrectngulo a la vez.


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Romboide: Es aquel que tiene sus lados y susngulos continuos desiguales.

Caractersticas de los paralelogramos

1. Altura de un paralelogramo: Es la recta que va desde el vrtice del paralelogramo al ladoopuesto en forma perpendicular.

2. Diagonal de un paralelogramo: Es la recta que une dos vrtices no consecutivos.

Cada paralelogramo consta de dos diagonales.

3. Base de un paralelogramo: Lado sobre el cual descansa o se s

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