1

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 2 CONCEPTO DE FUNCIÓN, MODELAMIENTO DE FUNCIONES,

FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x (preimagen) de un conjunto, denominado Dominio, un solo valor f(x) (imagen) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina Recorrido de la función.

1. Considere la función: 2 xxf . Determine:

a) )5(f b) )6(f c) )1(f d) )100(f

2. Considere la función: 12 xxf . Determine:

a) )0(f b) )2(f c) )10(f d) )6(f

3. Considere la función: 52

uug . Determine:

a) )0(g b) )20(g c) )50(g d) )1(g

4. Una compañía de seguros examinó el registro de un grupo de individuos

hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados en alta al final de t días de hospitalización está

dada por tf , donde:

2

3

300

3001)(

ttf

a) ¿Cuántos individuos han sido dados de alta al comienzo de la hospitalización?

b) ¿Cuál es la proporción de individuos dados de alta al final del día 100?

c) ¿Cuántos individuos han sido dados de alta al final del día 300, si la

compañía examino a un total de 800 personas?

5. La altura promedio H , en centímetros de un niño de A años de edad se puede

estimar mediante la función 505,6 AH .

a) ¿Cuál es la altura promedio de los niños a los 8 años?

b) ¿Cuál es la altura promedio de los niños a los 6 años?

c) ¿Cuál es la altura promedio de los recién nacidos?

6. Suponga que t horas después de la medianoche, la temperatura en Santiago era

21( ) 4 10

6C t t t grados Celsius.

a) ¿Cuál era la temperatura a las 6 p.m.?

b) ¿Cuánto aumento o disminuyo la temperatura entre las 9:00 a.m. y las

09:00 p.m.?

7. Las ventas anuales estimadas de un nuevo año aditivo para una empresa de

calzado están dadas por la función tG 000.6000.180 , donde t representa el

tiempo medido en años a partir del año 2000.

a) Determinar las ventas anuales para el año 2010.

b) Determinar las ventas anuales para el año 2015. 8. En cada caso, determine dominio.

a) 12)( xxf b) 2

2)(

x

xxf c) 1)( 2 xxf

d) 2)( xf e) 1)( xxf f) 2)( 2 xxf

3

9. Sea 1

2

x

xxf . Determine las preimágenes de los siguientes números:

a) 1 b) 0 c) –1 d) 2

10. Sea xxxf 2)( 2 . Determine las preimágenes de los siguientes números:

a) 0 b) –1 c) 35 d) –2

TIPO DE FUNCIONES

Función inyectiva:

Se dice que una función f es inyectiva si los elementos del conjunto B (imagen) le

corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada

inyectiva o 1 a 1.

Función Epiyectiva:

Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva)

cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento

del conjunto de partida (dominio o A).

4

Función Biyectiva:

Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez,

es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en

el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto

de llegada (epiyectiva)

Una condición necesaria y suficiente es que la cardinalidad del conjunto inicial sea igual

a la cardinalidad del conjunto final.

FUNCION INVERSA

Se l lama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que

cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. Para que una

función tenga inversa debe cumplir que es inyectiva, es decir,

probar que: )(bfaf ba

Podemos observar que El domin io de f−1 es el recorrido de f .

E l recorr ido de f−1 es el dominio de f . S i queremos hal lar el

recorr ido de una función tenemos que hal lar el domin io de su

función inversa. S i dos funciones son inversas su composición

es la función identidad .

Podemos observar que El domin io de f−1 es el recorrido de f .

E l recorr ido de f−1 es el dominio de f . S i queremos hal lar el

recorr ido de una función tenemos que hal lar el domin io de su

función inversa. S i dos funciones son inversas su composición

es la función identidad .

5

f o f - 1 = f - 1(x)o f = x

Las gráf icas de f y f - 1 son s imétr icas respecto de la bisectriz del

pr imer y tercer cuadrante.

6

Hay que distingui r entre la función inversa , f−1(x), y la inversa

(reciproco) de una función , .

Cálculo de la función inversa

1. Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2. Se despeja la variable x en función de la variable y.

3. Se intercambian las variables.

E jercic ios Desarrol lados:

1. Sea La Función: 12 xxf .

Paso 1: Cambio las variables x e y, 12 yx

Paso 2: Despejamos la variable y:

yx 21 yx

2

1

2

1

2

1 xy . Luego lo presentamos como

función inversa: 2

1

2

1)(1 xxf , Podemos ver que el recorrido de esta

función son todos los reales, y veamos su grafica: X

7

Una función f(x) y su inversa t ienen graficas que son

s imétricas con respecto a la grafica de y = x, que es la función

identidad.

2. Veamos otro ejemplo: 2xxf , esta función no es inyectiva, pues

para una valor de la imagen existen dos valores de preimagen. Por ejemplo:

211 ff

Por lo tanto no existe f−1(x).

Ahora si anal izamos la función, 2xxf en el dominio ,0x ,

tenemos que:

3. Sea la función: 3

52

x

xxf :

8

11. Ejercicios Propuestos:

9

a) xxf 34

b) 2

95

x

xxg

c) xxh 3

Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Ejemplo para discusión:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4 6

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4 6

10

Funciones crecientes, decrecientes y constantes Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces: 1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I. 2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I. 3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplos:

1)

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-5 0 5

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

3)

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4

11

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

4)

0

5

10

15

20

-5 0 5

La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.

Funciones par e impar

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice

que la función es impar.

Ejemplos 1:

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

Ejemplo 2:

Otra función impar es y = 1/x

Cuando f(x) = -f(-x)

12

Ejemplo 3:

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

Función constante Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.

Ejemplo:

13

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4

En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.

Función identidad La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el

conjunto de los números reales.

-3

-2

-1

0

1

2

-4 -2 0 2

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es de la forma: bxaxf )( , donde a y b son números reales y

0a .

La gráfica de la función lineal f es una recta oblicua en donde el número a es la

pendiente de la recta y b es el coeficiente de posición.

Si 0a la función recibe el nombre de función constante y su gráfica corresponde a

una recta paralela al eje x que corta al eje y en b .

El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b). Ejemplo:

14

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido

de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica. Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen. 12. Grafique las siguientes funciones lineales. Además determine la pendiente.

a) 23 xxf b) xxf 5 c) 5y

d) xy 26 e) 20p f) xv 100

FUNCIONES LINEALES DE INGRESO Y COSTO

El Ingreso de una empresa ( I ), en un determinado período de tiempo, está dado por las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida ( x ) por el precio unitario del bien o servicio ( p ). Esto

es:

xpxI )(

Ejemplo: El precio de venta de una cámara fotográfica es de $120.000. Luego La función de ingreso es:

xxI 000.120)( ; Donde x son las unidades vendidas.

El Costo (C ) es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo

necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio, este se divide en dos categorías:

Costos fijos ( fC ): Son costos son independientes de las cantidades de un artículo

que se produzca o un servicio que se preste (por ejemplo: alquiler del local,

determinados impuestos, etc.).

15

Costos variables ( vC ): Son costos que dependen de la cantidad que se produzca de

ese artículo ( x ) o que se preste del servicio, (por ejemplo: costos de materiales, de

mano de obra productiva, etc.)

Así xCCxC vf )( ; Donde x son las unidades producidas.

Ejemplo: El costo variable de fabricar una cámara fotográfica es de $ 30.000 por unidad y los costos fijos por mes son de $720.000. Luego la función de costo de fabricar x cámaras fotográficas en un mes es de:

xxC 000.30000.720)( ; Donde x son las unidades producidas.

13. Una tienda llamada “TODO A MIL” vende todos sus productos a $1.000. Si x

representa el número de artículos vendidos:

a) Escriba la función de precio P(x), en donde x es el número de artículos

vendidos.

b) Escriba la función de ingreso )(xI , en donde x es el número de artículos

vendidos.

c) ¿Cuál es el dominio de estas funciones?

d) ¿Qué restricciones se deben realizar sobre los dominios para que las funciones tengan sentido dentro del contexto?

14. Cierta empresa fabrica poleras, por cada polera recibe $10.000. Si x representa

la cantidad de poleras producidas.

a) Determinar una formula para el ingreso en dinero por polera producida

(denotar la función por ( )I x ).

b) Si el fabricante tiene costos fijos mensuales de $100.000 y costos variables

por polera de $500, Hallar una formula para el costo en función de las

poleras producidas (denotar la función por ( )C x ).

c) ¿Cuál es el ingreso si se venden 38 poleras?

d) ¿Cuál es el costo de producir 25 poleras?

15. Una empresa que fabrica vajilla desechable tiene costos fijos de US$3.000

mensuales, y el costo de la mano de obra y del material es de US$50 por vajilla. Determinar la función de costos, es decir el costo total como una función del número de vajilla producida. ¿Cual es el costo de producir 22 vajillas?

16

32 cm.

24 cm.

x

x

x

x

x

x

x

x

16. Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $50.000 aumente su valor a una razón constante de $500 por año durante los próximos 40 años.

a) Escriba la función que prediga el valor de de la obra de arte en los próximos

cuarenta años.

b) ¿Cuál será su valor 31 años después de la fecha de adquisición?

c) ¿Cuántos años transcurren para que la obra de arte tenga un valor de $55.500?

17. Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 a 100 computadores por día.

El costo fijo diario de la planta son 5.000 dólares, y el costo variable (mano de obra y materiales) para producir un computador es 805 dólares.

a) Escriba la función de costo total de producir x computadores en un día.

b) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por computador) en un

día.

c) ¿Cuál es el dominio de estas funciones? 18. Una caja abierta se fabrica cortando cuadrados, de lado x cm., en cada una de las

cuatro esquinas de una hoja de cartón, de 24 cm. por 32 cm. Y luego doblando hacia arriba los lados.

a) Exprese el volumen en función de x (denotar la función por )(xV ).

b) ¿Cuál es el dominio para esta función? ¿Qué restricción debe hacer al

dominio para que tenga sentido en el contexto del problema? 19. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en dólares) al

producir x cintas es una función de la forma: 10020)( xxC .

a) Calcule el costo al producir 50 unidades.

b) Si el costo es 1900 dólares, ¿cuántas unidades se produjeron?

17

c) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Qué restricción debe hacer al dominio

para que tenga sentido en el contexto del problema?

20. El valor en dólares de un computador está dado por la función:

401000.500)(

xxV ; 400 x

en donde x se mide en años.

a) ¿Cuál es el valor inicial del computador?

b) ¿En qué momento el valor del computador es la mitad de su valor inicial?

c) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Qué restricción debe hacer al dominio

para que tenga sentido en el contexto del problema? 21. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante

la función 7,653,1)( ttL , donde L es la longitud (en cm) y t es el tiempo (en

semanas). Calcula la edad de un feto cuya longitud es 28 centímetros. 22. Admitamos que el costo de producción de un número x de periódicos es:

xxC 400000.200 pesos

a) ¿Cuál es el costo de producir 30.000 periódicos?

b) ¿Cuántos periódicos se han producido si el costo total fue de $520.000?

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es de la forma: cxbxaxf 2)( , donde a , b y c son

números reales y 0a .

La gráfica de la función cuadrática f es una parábola de vértice el punto:

a

bf

a

b

2,

2

Si 0a , entonces la parábola se abre hacia arriba.

Si 0a , entonces la parábola se abre hacia abajo.

18

0

5

10

15

20

-5 0 5

f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de

f(x) = x2 es cóncava hacia arriba.

-20

-15

-10

-5

0

-5 0 5

f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el

recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo. Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.

19

Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones: 1) f(x) = x2 - 2x - 3

2) g(x) = -x2 - 2x + 3 Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica. 23. Grafique las siguientes funciones cuadráticas.

a) 2)( 2 xxf b) 22)( 2 xxxf c) 1)( 2 xxf

d) 14)( 2 xxxf e) 21)( xxf f) 2

1)( xxf

24. Un fabricante determina que el ingreso R obtenido por la producción y venta de x

artículos está dado por la función:

225,0350 xxR

a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos.

b) Si el ingreso obtenido es 120.000, determine la cantidad de artículos

vendidos. 25. Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el suelo. Después de

transcurridos t segundos su distancia en metros por encima del suelo está dada

por la función 216144)( tttd .

a) ¿Después de cuantos segundos estará el proyectil a 128 metros del suelo?

b) ¿En que momento toca el suelo el objeto?

c) Dibuja un gráfico para la función.

26. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de

gasolina, con una rapidez de v millas por hora, está dado por la función:

vvM

2

5

30

1 2 , para 700 v

a) Calcule el número de millas que el automóvil puede recorrer con un galón

de gasolina, para 20v millas por hora.

b) Si el automóvil recorrió 45 millas, determine su rapidez.

20

27. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la

función 2( ) 18 3h t t t (h en metros, t en segundos).

a) ¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima?

28. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido durante varios

minutos. Resultó que la variación de temperatura estaba dada por la función 2( ) 6 8f x x x , donde x representa el tiempo en minutos.

a) ¿En que momento la temperatura del líquido fue igual a 0°?

b) ¿Fué esa la temperatura mínima?

29. En una fabrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a

hkm/ 10 y menores a hkm/ 150 , el rendimiento r (en lkm/ ) está relacionado

con la rapidez v mediante la función vvvr 180002,0)(

a) ¿Con que rapidez el rendimiento será máximo?

b) ¿Cuál será ese rendimiento máximo?

30. Los registros de temperatura tomados entre las 0 y las 24 horas en una zona rural

se ajustan a la función 21

( ) ( 12) 1012

T x x donde T es la temperatura en

grados Celsius y x es la hora del día que se registró.

a) ¿Cuál fue la temperatura máxima?

b) ¿A que hora se registró?

c) ¿A que hora la temperatura fue de 7° Celsius?

31. En una competencia de Snowboard la altura de saltos está determinada por la

función 2( ) 2 8h t t t , medida en metros, y donde t es el tiempo en segundos

que dura el salto.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? ¿A los cuantos segundos ocurrió

esto?

b) ¿Cuál es la altura alcanzada por el deportista a los 3 segundos?

c) ¿Durante cuanto tiempo estuvo el deportista en el aire?

21

Función valor absoluto

La función f x x( ) es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de

los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Se define como:

si 0

si 0

x xx

x x

Ejemplo 1: Calcular el valor absoluto de las siguientes cantidades:

a) 2 5 7 7

b) 2 7 5 5

c) 6 6 0 0

Consideremos ahora la gráfica de una función que involucre el valor absoluto de alguna cantidad, por ejemplo:

y x

A continuación mostraremos una tabulación para la función anterior

X Y

-4 4

-3 3

-2 2

-1 1 0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

A continuación se muestra la gráfica de la tabulación a través de la siguiente figura:

22

Ejemplo 2.

Describir la función ( ) 2f x x .

Una representación tabular de esta función es la siguiente:

x f(x)

-5 5 2 3 ( 3) 3

-3 3 2 1 ( 1) 1

0 0 2 2 2

2 2 2 4 4

4 4 2 6 6

De acuerdo con la definición de la función valor absoluto,

( 2) si ( 2) 0, esto es si 22

( 2) si ( 2) 0, esto es si 2

x x xx

x x x

Que corresponde a la recta (x + 2) para 2x y la recta - x – 2 para las x <

-2, como se muestra en la siguiente gráfica.

23

-3

-1

1

3

5

7

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

El dominio de esta función es el intervalo , y el contradominio es 0, .

Función dominio partido Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:

f xx si x

x si x( )

1 0

1 0 La gráfica de esta función es:

El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-, 0) (0, ). El recorrido es el conjunto de los números

reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-, -1) (1, ). Los

24

puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.

Función radical

La función f x x( ) es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25

Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ). FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Siempre que haya un proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo, sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo, ese proceso se describe mediante una exponencial. Por ejemplo: i) Crecimiento de bacterias y otras poblaciones animales o vegetales ii) Interés del dinero acumulado iii) Desintegración radiactiva Descripción: Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma

xaxf )(

donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x.

Un ejemplo real Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacio de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día? Minutos 15 30 45 60 .... NºBacterias 2 4 8 16 2 x siendo x los intervalos de 15 minutos:..24 = 16 en una hora, 28 = 256 en dos horas,...

224·4 = 296 = 7,9·1028. ¡en un día!. Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa.

25

Una propiedad importante que se da en cualquier función exponencial es que el resultado tras un aumento de la variable independiente no depende del calor inicial de la misma, es decir:

)()(

)(hfa

a

aa

a

a

xf

hxf h

x

hx

x

hx

esta propiedad, así formulada, no nos dice gran cosa; pero llevándola a un ejemplo práctico es de enorme importancia. Por ejemplo, si un bosque crece de forma exponencial y en los últimos 134 se ha duplicado su masa vegetal, volverá a duplicarse en los siguientes 134 años. Es decir, si el bosque ha aumentado en 10 años es 5,31 % podremos asegurar que cada diez años tendrá el 5,31 % más que al comenzar los mismos. Dicho de otra forma, cada 10 años su masa se multiplicará por 1,0531. A continuación dibujamos dos sencillos ejemplos de funciones exponenciales. La base vale 2 en ambos casos, y el exponente que hemos tomado es x en el primer caso y –x en el segundo.

xxf 2)(

xxf 2)(

Primeras consecuencias tras observar las gráficas:

26

1.- Observa que para que la función tenga sentido y se pueda dibujar debe ser a > 0 ¿sabrías decir por qué?. Piensa por ejemplo si a = -2, ¿cómo se definiría (-2)1/2 ? . Lo mismo pasaría con otros valores de x, por lo que la función no tendría sentido. Observa que si a = 0, se trata de la función 0, sin interés.

2.-Observa que la función cuando a > 1 es muy distinta que cuando a < 1, y además que cuando a = 1 se trata de una recta. En el siguiente dibujo observamos la evolución de la gráfica de la función exponencial según crezca o disminuya la base:

Propiedades de las funciones exponenciales

1.- Observa que la función existe para cualquier valor de x (basta con que escribas cualquier valor de x en la ventana inferior de la escena y ver que siempre se obtiene el correspondiente de y, aunque para valores muy grandes de x el programa no presente el que toma "y" realmente por ser muy grande y para valores negativos grandes de x tome como y=0 por valer casi 0). Decimos que la función existe siempre o que el

DOMINIO de la función es todo R. 2.-Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (0,1) (basta que asignes el valor a x = 0) o sea que CORTA AL EJE DE ORDENADAS en el punto (0,1). 3.-Observa que los valores de y son siempre positivos (prueba cuantos valores desees

para x), luego LA FUNCIÓN SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS para cualquier valor de x. 4.- Observa que es siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de x), dependiendo de los valores de la base "a". Por tanto la función es creciente si a>1 y si 0<a<1 es decreciente

27

5.-Observa que se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que a<1 y hacia la izquierda en caso de a>1 . Eso implica que El EJE X ES UNA ASÍNTOTA HORIZONTAL (Hacía la izquierda si a>1 y hacía la derecha si a<1)

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Dado que la función exponencial es biyectiva, el teorema de la función inversa nos

asegura que existe una función 1)()( xaxg . Dicha función es la FUNCIÓN

LOGARÍTMICA. Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo. Además sabremos que la base (b) de los logaritmos debe ser un número positivo (al igual que la base de la potencia de una función exponencial) y además no debe ser 1 ya que log1(a) en general no existe ya que si a no es 1 ,1n no puede ser a. Sabemos también que las bases más frecuentes para los logaritmos son las base 10

(logaritmos decimales) y la base el número "e=2,718281.." (logaritmos neperianos). La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano" y se simboliza normalmente como ln (x), (la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x)). Se trata de la inversa de la exponencial en la

que a toma el valor de la constante de Euler: 1)()ln( xex

Gráficas

A continuación representamos las gráficas de unas cuantas funciones logarítmicas, para una mayor comprensión de su comportamiento

)ln()( xxf

)log()( xxf

28

De estas observaciones deducimos las primeras consecuencias para las funciones logarítmicas: Para que la función tenga sentido y se pueda dibujar debe ser a > 0 y a # 1. Es de recibo también advertir la diferencia que vamos a encontrar cuando la base del logarimo es mayor o menor a 1.

Propiedades:

Supondremos, a partir de ahora, que 1a y que 1a . En esta escena observaremos

las propiedades. 1.- Observa que la función existe sólo para valores de x mayores que 0, a diferencia de la exponencial que existe para cualquier valor de x. (puedes utilizar la definición de

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logarítmo para ver que el logarítmo de un número negativo o de 0 no existen). El

DOMINIO de la función logarítmica es o el intervalo ,0

2.- Demuestra numéricamente que log0(a), log2(-3), log1/2(-4) y en general loga(b), siendo b un número negativo, no existen, utilizando la definición de logaritmo. Obsérvalo en las escenas gráficas. 3.- Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (1,0) (para verlo basta con que asignes en la escena a x el valor 1 y observes el de y. Por tanto la gráfica siempre: CORTA AL EJE DE ABSCISAS en el punto (1,0). 4.-Observa que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1 ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), se dice por ello que:EL EJE Y ES UNA ASÍNTOTA VERTICAL Relación entre el logaritmo y la exponencial Las funciones exponencial y logarítmica se dice que son una inversa de la otra, aunque

quizás aun no conocerás el concepto de función inversa. Gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x, como se ve en la escena.

32. EJERCICIOS

a) Pedimos dinero en un banco y nos comprometemos a devolverlo todo a los 5 años. Nos dicen que debemos devolver exactamente el doble que lo que los

dieron, ¿qué interés nos están pidiendo? b) Explica por qué todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1)

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Álgebra de Funciones Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x). Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( ), ( )

f g x f x g x

f g x f x g x

f g x f x g x

f

gx

f x

g xg x

0

Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos para discusión: 1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.

2) Sea:

f x x y g x x( ) ( ) 4 3 Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?

Composición de Funciones:

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es

decir . El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y

luego obtener la imagen de f(x) B mediante g

31

Definición.

Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:

g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:

y

Entonces

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:

(g o f)(x)≠(f o g)(x).

Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D(f) =

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )

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Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.

Es decir, D(g) = [0, + ).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los

valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:

D(f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:

P(x) = (g o f)(x) siendo y

P(x) = (g o f)(x) siendo y

En efecto, en el primer caso, y,

en el segundo.

Ejercicio: Dadas las funciones:

Calcular:

33

SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS Nº 2

CONCEPTO DE FUNCIÓN, MODELAMIENTO DE FUNCIONES, FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. a) 7)5( f b) 8)6( f c) 1)1( f d) 102)100( f

2. a) 1)0( f b) 5)2( f c) 101)10( f d) 37)6( f

3. a) 5)0( g b) 5)20( g c) 20)50( g d) 2

11)1(

g

4. a) 0)0( f b) 64

37)100( f c)

8

7)300( f 700800

8

7 individuos

5. a) 102H cm b) 89H cm c) 50H cm

6. a) 2818 C Grados Celsius b) 5,329 C y 5,2021 C

Disminuyo en 12 Grados Celsius

7. a) 000.240G u.m. b) 000.270G u.m.

(Observación: u.m. representa unidad monetaria)

8. a) fDom b) 2 fDom c) fDom

d) fDom e) , 1 fDom f) fDom

9. a) 1x b) 0x c) 3

1x d) No existen

10. a) 2 021 xx b) 1x

c) 7 521 xx d) No existen

34

11.

a) 3

4

3

1 xxf

b) 5

921

x

xxf

c) 321 xxf

12. a)

b)

35

c)

d)

e)

36

f)

Intersección eje t: (100,0), debe decir: Intersección eje v: (100,0)

13. a) 000.1xP b) xxI 000.1

c) PDom y IDom d) 0 IP,Dom

El dominio de la letra d) para las funciones precio e ingreso, debe tener como restricción enteros positivos unidos con el cero.

14. a) xxI 000.10 b) xxC 500000.100

c) 000.380$38 I d) 500.112$25 C

15. xxC 50000.3 ; 100.4$US22 C

16. a) xxV 500000.50 , con 400 x

b) 500.65$31 V

c) 55.500500000.50 xxV ; Respuesta: 11 años.

11

5.500500

x

x

17. a) xxC 805000.5 b)

805000.5

CM xx

xC(x)

c) 100 , 0 CDom ; 100 , 0 CMDom

18. a) xxxx 224232)(V

b) VDom

37

El dominio debe tener como restricción reales mayores que cero y menores que 12, para que tenga sentido el problema.

19. a) 1.100 dólares b) 90 unidades

c) CDom

El dominio debe tener como restricción sólo enteros positivos unidos con el cero, para que tenga sentido el problema.

20. a) US$500.000 b) 20 años

c) 40 , 0 VDom

El dominio debe tener como restricción sólo enteros positivos unidos con el cero y menor o igual a 40, para que tenga sentido el problema.

21. Aproximadamente 23 semanas 22. a) $12.200.000 b) 800 periódicos

23. a) b)

38

c)

d)

e)

39

f)

24. a) 500.32R u.m. b) 800 o 60021 xx

25. a) En 1 segundo y a los 8 segundos b) 9 segundos c)

26. a) 3

110 millas b) 45 o 30 millas por hora

27. a) 3 segundos b) 27 metros 28. a) En 2 minutos y a los 4 minutos b) NO

40

29. a) km/h 90 b) km/l 2,16

30. a) 12 Grados Celsius b) 10 horas

c) 6 horas y a las 18 horas

31. a) 8 metros y ocurrió a los 2 segundos b) 6 metros

d) Durante 4 segundos 32.

a) Suponemos que el dinero crece de forma exponencial. Tomando como unidad

de tiempo 1 año y como capital inicial C, la expresión xaCxf ·)( nos dará el

valor del capital cuando hayan transcurrido x años sabemos que cuando x=5 el

capital se ha duplicado, es decir, CaC 2· 5, luego 25 a por lo que

1487,125 a . Eso quiere decir que nos están cobrando un interés de

0,1487 por uno anual, o lo que es lo mismo, un 14,87 % b) Porque cualquier número elevado a 0 vale 1, así que la función siempre

verificará ese punto