Guía de clase, Bloque 3 segundo grado

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

JERARQUÍA DE OPERACIONES. USO DE PARÉNTESIS

PROBLEMA: Resuelve las siguientes operaciones tomando en cuenta lo siguiente:

Primero, multiplicamos y/o dividimos de izquierda a derecha.

Enseguida, sumamos y/o restamos de izquierda a derecha.

- 4 + 5 x 8 = Multiplicamos primero 5 x 8 = 40- 4 + 40 36 Enseguida sumamos – 4 + 40 = 36

Cuando la operación está indicada con paréntesis circulares, hacemos primero las operaciones que están dentro del paréntesis circular.(- 4 + 5) x 8 = 1 x 8 = 8 Primero sumamos – 4 + 5 = 1

En ocasiones se necesitan dos tipos de paréntesis para indicar las operaciones.

46 – (8 x 2) x 4 = 46 – 16 x 4 = 30 x 4 Primero se resuelve el paréntesis (8 x 2)

= 120 Enseguida se resuelve el paréntesis 46 - 16

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía. (Primero multiplica).

40 + 5 x 8 = __________________________ 120 – 45 x 4 =

250 x 1 + 250 = _______________________ 80 + 45 – 3 x 10 =

5² + 25 = ____________________________ 35 + 2.5 x 1.5 =

0.42 x 5 + 7 = _________________________ 25 + 40 x 4 =

7 x 3 + 5 = ___________________________ -24 + 6 x 2 =

2.- Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía. (Primero divide).

16 ÷ 2 x 3 = __________________________ 16 + 4 ÷ 2 = ________________________

13 + 28 ÷ 4 = ________________________ 12 – 8 ÷ 4 = ________________________

28 ÷ 7 x 2 = _________________________ 23 – 100 ÷ 4 = ______________________

238 ÷ 7 x 9 = ________________________ - 36 + 16 ÷ 4 = ______________________

BLOQUE 3

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3.- Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía. (Primero multiplica y/o divide y enseguida suma y/o resta).

7 + 3 – 5 = ______________________ 387 – 125 – 98 =

-24 ÷ 3 + 4 = _____________________ - 24 x 4 + 3 =

-16 ÷ 2 - 3 = _____________________ 16 + 4 ÷ (-2) =

15 x 8 + 2 – 7 = ___________________ -17 x 3 – 5 =

3 x (-7) – 5 + 4 = _________________ 13 + 28 ÷ 4 – 5 =

4.- Resuelve las siguientes operaciones, resolviendo primero los que está indicado adentro del paréntesis.

(64 – 8) ÷ 4 = ________________________ (243 ÷ 27) ÷ 9 = __________________

(243 ÷ 27) x 9 = ______________________ 576 ÷ (24 x 8) = __________________

(64 – 32) ÷ 4 = _______________________ 84 – (4 x 7) = ____________________

92 – (46 ÷ 23) x 2 = ________________________________

- 92 – 46 ÷ (23 x 2) = _______________________________

84 – (28 ÷ 4) x 7 = _________________________________

144 ÷ (12 x 4) – 1 = ________________________________

5.- Resuelve operando primero los paréntesis circulares y luego los rectangulares.

(23 – 3) x 2 x 4 =

24 - (3 x 2) x 4 =

- (32 ÷ 4) x 2) - 16 =

- 32 ÷ (4 x 2) - 16 =

- 32 ÷ (4 x 2) - 16 =

6.- ¿Cuál de los siguientes es el resultado de la operación: (40 – 30) x 10 x 4 =?.. (___)a) 1 200 b) 800 c) 400 d) -800

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7.- Escribe el paréntesis asociando correctamente para obtener el resultado que se pide.

4 x 8 + 5 = 52 4 ÷ 10 - 6 = 1 24 ÷ 4 x 3 = 2

2 + 8 x 7 = 70 8 - 7 + 2 - 1 = 2 1 + 8 x 6 = 54

36 - 3 x 2 x 4 = 12 13 - 5 ÷ 4 = 2 3 x 5 + 8 = 39

8.- Resuelve los siguientes problemas. Usa paréntesis para indicar las operaciones que vas a aplicar en la solución del problema.

22 m

28 m

3 m

5 m

4.- ¿Cuánto mide el área sombreada en la siguiente figura considerando ¶ = 3.14?

3 m

7 m

10 m

14 m

32 m

28 m

2.- ¿Cuánto mide el área sombreada en la siguiente figura?

14 m

9 m

1.- ¿Cuánto mide el área sombreada de la siguiente figura que corresponde a la sala de una casa? _________________

3.- ¿Cuánto mide el área de la siguiente figura que corresponde a la vista lateral de una escuela? __________________

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PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

PROBLEMA: ¿Cuánto vale el área de la siguiente figura?

A = (3a)(3a²) = (3)(3)(a)(a)(a) = 9a³

Veamos lo que significa multiplicar un monomio por otro monomio. Ejemplos:

(3)(-3) = -9 Se aplica las leyes de los signos. (+)(-) = -(3)(3²) = 3³ = 3 x 3 x 3 = 27 Se suman los exponentes. La base es la misma.2a³ (-3a²) = (2)(-3) (a³)(a²) = -6a Multiplicamos los números con sus signos y luego las literales sumando sus exponentes.


1.- Multiplica y escribe en la línea el resultado.

(4)(5) ________ (-8)(+3) ________ (-4)(-3) _______

(+5)(-8) ________ (2x³)(6) ________ (8x)(9x²) _______ (8x)(-5) ________ (-x)(-9) ________ (7x³)(-9x²) _______

(5x³)(4) ________ (8y³)(-3) ________ (-3y²)(-7y) _______

2.- Multiplica monomio por monomio.

(-5)(+5) = _______ x² (x²) = _________ (5²)(5³) = _________

-a² (a) = _________ (-x³)(x²) = ________ -2x² (3x²) = ________ (a²)(a²) = ________ -6m(n) = _________ 4a (7b) = __________

(3x²)(7) = _________ (5x²)(-2) = __________ (-3x)(-9x²) = ________

3.- Cuánto vale el área de cada una de las siguientes figuras.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO

b

a

3x

4x²8x²

8x²

3x

4x

3a²3a

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PROBLEMA: ¿Cuánto vale el área de la siguiente figura?

Área = (5x) (5x + 9) = 25x² + 45x

Otro ejemplo:-5x (x² - 3x) = (-5x) (x²) y (- 5x) (-3x) = -5x³ + 15x²


1.- Multiplica monomio por binomio.

3x (x + 5) = ______________________ 2x (4x + 6) = _____________________

4x² (3x + 8) = _____________________ 5x² (2x + 1) = ____________________

7x² (x² - x) = ______________________ 2x² (x² - x) = ____________________

2x² (x² + 3x)= _____________________ - 2x² (5x³ + 4) = __________________

x² (3x² - 2x) = _____________________ - 4x² (-5x² + 2) = _________________

3x (4x² - 2x) = ____________________ - 8x² (-3x² – 3) = _________________

2.- Encuentra el área de la parte sombreada en cada una de las siguientes figuras.

3.- ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación: x(20 – 2x)?................................ (____) a) 20 – 3x b) 20x – x² c) 20 – 2x d) 20x – 2x

4.- ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? (2x² + 5) (- 3x)…………..…..…. (____)a) -6x³ -15x b) -6x² -15x c) 6x³ - 15 d) 6x³ + 15x

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIO POR BINOMIO

6

4x + 2

5x + 9

5x

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del binomio. Con sus signos y aplicando las leyes de los exponentes.(5x)(5x) = 25x²(5x)(9) = 45x

13x - 27

3x

12x - 4

6x

2x

2x + 1

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x +3

x + 7

Multiplicamos cada uno de los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador y hacemos la suma de los términos semejantes.

x² 7x

3x 21

PROBLEMA: ¿Cuánto vale el área de una tarjeta de teléfono público cuyo largo mide (x + 7) centímetros y de ancho su medida es de (x + 3) centímetros?

( x + 7) ( x + 3 ) = x² + 3x + 7x + 21 = x² + 10x + 21 Simplificamos términos semejantes

x + 7 x + 3 x² + 7x 3x + 21x² + 10x + 21

El producto de dos binomios puede ser ilustrado con áreas como sigue:

(x)(x) = x²(x)(3) = 3x(x)(7) = 7x(3)(7) = 21

= x² + 10x + 21


1.- Multiplica binomio por binomio.

(x + 3)(x + 6) = ___________________________________________

(3x + 5)(4x + 2) = ___________________________________________

(4x + 5)² = ________________________________________________

(2y + 5)(y – 5) = ___________________________________________

(5y + 8)(5y + 7) = ___________________________________________

2.- Multiplica binomio por binomio.

(x + 8)(x + 8) =

(x² + 4)(2x + 3) =

(3x + 3)(3x + 4) =

(4x + 3)(2x + 3) =

(y + 4)(y + 4) =

(3y + 5)(3y + 5) = 2.- Encuentra el área total de las siguientes figuras y exprésala algebraicamente.

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3.- Multiplica los siguientes binomios.

(4x + 3)(4x + 4) = _______________________________________________

(6x + 7)(6x + 3) = _______________________________________________

(10 + 7)(10 + 7) = _______________________________________________

(3x + 2)(3x + 9) = _______________________________________________

(9x + 6)(9x + 3) = _______________________________________________

4.- Encuentra el área total de las siguientes figuras y exprésala algebraicamente.

3.- Multiplica los siguientes binomios.

2x + 3

7x + 3

4y + 12

5y + 3

5x + 6

5x + 6

2y + 83x + 4

2x + 2

x

x + 2

2y + 6

+3

x

x + 3

+536

4x + 8

4x + 8

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(x + 2)(x – 5) =

(6x – 6)(x + 3) =

(4x – 1)(4x + 1) =

(4x² - 2)(5x³ + 4) =

(6x³ - 3)(6x³ + 3) =

(7x² - 4)(7x² + 4) =

(x² + 6x)(x² - 6x) =

4.- Observa el siguiente cuadrado que ha sido dividido en 5 partes. Realiza la multiplicación de binomios que corresponda para encontrar la expresión algebraica simplificada que represente al área de cada región. Completa la tabla.

3x + 3

2x + 1 B C x + 5

x – 1 D E x – 1

2x + 1 x + 2

REGIÓN OPERACIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE SU ÁREA A Rectángulo

(3x + 3)(x – 1) B C D E

DIVISIÓN DE MONOMIOS

x - 1A

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5

= 6 = 6² = 6 x 6 = 365 - 3

= y

5=

5= =

5

5=

8= =

6

5= = =

54

= = =5 8 6

= = =5 8 6

= = =5 867

8 5 18 8= = =

8 5 18 8= = =

PROBLEMA: Divide y simplifica lo siguiente:

_6_ 6³

y³y²

Para dividir potencias con la misma base, se restan los exponentes.


1.- Divide y simplifica

_4_ 7_ _8_ 4³ 7³ 8³

_2_ 10_ _8_ 2² 10³ 8²

2_ 8_ _8_ 2² 7³ 8³

2.- Divide

_x_ r_ _y_ x³ r³ y³

_b_ m_ _v_ b³ m³ v³

_x y³ r_s³ y_z_ x³ y² r³ s y³z³

a b³ m_n³ x_ y_a³ b³ m³ n² x³ y²

b c³ a_b³ a_ y_b³ c a² b² a² y³

FIGURAS Y CUERPOS

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• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE POLÍGONOS

PROBLEMA: Determina la fórmula que permite encontrar la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.En los polígonos convexos es posible realizar el proceso de triangulación, que consiste en dividir la figura en triángulos, trazando desde un vértice todas las diagonales posibles.

No convexo

Recordemos que en todos los triángulos, la suma de sus ángulos internos es 180°.Vemos que en el caso del cuadrado, éste fue dividido en 2 triángulos y que los ángulos internos de cada triángulo, forman los ángulos internos del cuadrado.

Como en el cuadrado se forman 2 triángulos, entonces la suma de sus ángulos internos es igual a: 180° x 2 = 360°

Simbólicamente podemos establecer la siguiente fórmula con la que es posible obtener la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.

Fórmula: 180° (n – 2 ) n = número de lados del polígono.Cuadrado: 180°(n – 2) = 180°(4 – 2) = 180° x 2 = 360°Pentágono: 180°(n – 2) = 180°(5 – 2) = 180° x 3 = 540°


1.- Realiza lo que enseguida se te pide.a) Triangula los siguientes polígonos, trazando desde un mismo vértice de cada uno todas las diagonales posibles. Ilumina los triángulos resultantes con distinto color.

b) Basados en la actividad anterior completen la siguiente tabla.

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FIGURA NÚMERO DE LADOS

NÚMERO DE TRIÁNGULOS EN QUE SE DIVIDIÓ

SUMA DE LOSÁNGULOS INTERNOS

Trapecio

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

c) Aplicando la fórmula: 180(n – 2) contesta lo siguiente:

¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un decágono? _____________

2.- La pared del frente de una tienda, está pintada con adornos en la pared para los que se utilizaron diferentes figuras tal y como se muestra en el siguiente dibujo.

¿Cuánto miden en total los ángulos internos de estas cinco figuras? ________________

3.- Observa el siguiente cuadrado y contesta las preguntas.

FIGURAS Y CUERPOSf

e

d

c

b

a ¿Cuánto mide el ángulo d?______

¿Cuánto miden los ángulos a + b + c?________

¿Cuánto miden los ángulos e + f + d?________

¿Cuánto miden los ángulos a + b + c + d + e + f?___________

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• Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

TESELACIÓN

PROBLEMA: Cubre el siguiente plano que se encuentra en proceso de teselación, sin dejar huecos, utilizando para ello figuras geométricas, ya sea regulares o irregulares.

Estas figuras pueden ser el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular, que son las únicas figuras que por sí solas pueden cubrir el plano sin dejar huecos.

SUPERFICIE EN PROCESO DE TESELACIÓN

A este proceso de cubrimiento del plano sin dejar huecos, ni que se empalmen o traslapen las figuras, se le conoce con el nombre de TESELACIÓN.

Son ejemplos de teselación, los que se encuentran en paredes, pisos, tejados, muros, cerámicas, etc


1.- Haz de cuenta que estás construyendo tu casa y una de las paredes la vas a teselar. Termina la siguiente teselación de una de las paredes que el albañil dejó incompleta. Ilumínala.

El pentágono regular por sí solo, no puede cubrir el plano porque llega el momento en que se empalman o traslapan las figuras, ya que no se completan exactamente los 360°

1.- Ilumina el teselado y contesta las preguntas.

a) ¿Cuáles figuras lo componen?

_________________________________

_________________________________

_________________________________

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2.- Seis triángulos equiláteros teselados forman un hexágono regular.Completa el rectángulo en la siguiente figura y teselala completamente. Ilumínala con los colores que más te gusten.

3.- Una teselación también se puede hacer con figuras irregulares.Forma una tesela con las siguientes figuras. Puedes dibujarlas en la posición que gustes y con los colores que elijas. Hazlo en la cuadrícula de abajo.

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¡Oh! gloriosa secundaria,digno centro del saber.

6.- El octágono regular por sí solo no puede cubrir un plano, pero al combinarlo con otras figuras es posible que se logre la teselación.Completa la teselación de la superficie que se muestra enseguida. Ilumínala.

5.- Completa la siguiente teselación. Ilumina los triángulos pequeños con dos colores diferentes.

4.- Tesela el plano de abajo, utilizando los tres polígonos con la forma y tamaño que se muestran enseguida.

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7.- El Gobernador del Estado lanzó una convocatoria para hacer una propuesta que permita teselar uno de los muros del Palacio de Gobierno, utilizando para ello figuras regulares o irregulares, grabados, etc.

Elabora enseguida tu propuesta de teselación con la que participarías en este concurso.

MEDIDA• Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre

“El respeto al derecho ajeno es la paz” Benito Juárez García

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unidades del sistema internacional de medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.

MEDIDAS DE VOLUMEN Y DE CAPACIDADExisten diferentes tipos de medida: de longitud: Su unidad es el metro (m), de superficie: Su unidad es el metro cuadrado (m²), de volumen: Su unidad es el metro cúbico (m³), de capacidad: Su unidad es el litro (l), de peso: Su unidad es el gramo (g) y de volumen: su unidad es el metro cúbico (m³).

MEDIDAS DE VOLUMEN

Km³ Hm³ Dm³ m³ dm³ cm³ mm³

Kilómetro

cúbico

Hectómetro

cúbico

Decámetro

cúbico

Metro

cúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbico

milímetro

cúbico

MEDIDAS DE CAPACIDAD

KL HL DL l dl cl ml

Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro decilitro centilitro mililitro

Entre las medidas de volumen y las de capacidad existe la siguiente relación:

1 dm³ = 1 litro 1 m³ = 1 000 litros 1 Dm³ = 1 000 000 litrosACTIVIDADES DE CLASE

1.- Resuelve los siguientes problemas.

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

1.- Un tanque para agua tiene la forma de un cubo. Si una de sus aristas mide 3 metros:¿Cuál es su volumen? _____________¿Cuánta agua le cabe? ____________

2.- La alberca de la granja de mi tío mide 8 metros de largo por 3 metros de ancho por 1.5 metros de hondo.¿Cuál es su volumen? _____________¿Cuál es su capacidad? ____________

3.- Se construyó una alberca rectangular que mide en su base 20 metros de largo por 8 metros de ancho. Su profundidad es de 2 metros.

¿Qué cantidad de agua necesita para llenarse? __________________

4.- Una compañía vende sus jugos en depósitos con forma de prismas que miden en su base 15 cm de largo por 8 cm de ancho. La altura es de 25 cm.

¿Qué cantidad de jugo puede contener el depósito? __________________

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• Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

FUNCIONES

PROBLEMA: En la siguiente cuadrícula se han formado varios polígonos que cumplen las siguientes condiciones:El polígono siempre tiene solo un clavo en su interior.Los lados del polígono nunca se cruzan consigo mismo.Encuentra el número de clavos con los que se formó cada figura y el área de cada una de ellas. Representa los resultados en una tabla, en una gráfica y con una expresión algebraica.

No. De clavos = 8 No. De clavos = 9 No. De clavos = 12 No. De clavos = 14 Número de clavos = 8 No. de clavos = 9 No. de clavos = 12 No. de clavos = 14

Área = 4 Área = 4.5 Área = 6 Área = 7

Estas mismas condiciones y los mismos resultados los podemos representar en una tabla o en una gráfica, tal y como se muestra enseguida.

No. DE CLAVOS x

ÁREAy

8 49 4.5

12 614 7

RELACIÓN: El área de la figura es la mitad del número de clavos. El área de la figura depende del número de clavos que tiene el polígono.

FUNCIÓN: A cada número de clavos que tiene el polígono, le corresponde un área.

La expresión algebraica que representa a la función es: y = “y es la mitad de x”.

FUNCIÓN: Es una relación en la que a cada elemento de un conjunto, le corresponde uno y solo un elemento del otro conjunto.

Si la figura tuviera 100 clavos, su área sería de 50 unidades cuadradas.

x2

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1.- Realiza la tabulación de las siguientes funciones.

y = x + 3 y = 3x + 2 y = 3x – 6 y = 4x – 13

x y x y x y x y 0 0 -2 1 1 -1 2 2 0 3 3 1 4 4 2

2.- Usando las funciones, podemos resolver problemas relacionados con otras ciencias como la física. Sabemos que en Estados Unidos de Norte América, la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F), mientras que en México su medida es en grados centígrados (°C). Relacionado con esto tenemos la función:

°F = (°C) + 32 Esto es lo mismo que: °F = (1.8)(°C) + 32

ALDAMA U.S.A

°C °F3620

°F = (1.8)(°C) + 32°F – 32 = (1.8)(°C)

°C =

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°F – 32 1.8

PROBLEMA: En Ciudad Aldama, Chihuahua, la temperatura máxima registrada en un día de Julio fue de 36°C, mientras que la mínima fue de 20°C. ¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden estas temperaturas?

PROBLEMA: El 31 de agosto del 2 010 se informó en la televisión, que en uno de los estados de U.S.A la temperatura máxima probable para ese día sería de 92°F, mientras que para otro estado el pronóstico era de 64°F.¿A cuántos grados centígrados de México corresponden estas temperaturas?

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y

x

y

x

°F °C9264


4.- Tabula y elabora la gráfica de las siguientes funciones en cada plano cartesiano.

y = 2x + 1 y = 2x - 1

x y01234

2.- ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit, si la temperatura en grados centígrados es de 34°C?______________

4.- ¿Cuál es la temperatura en grados centígrados, si la temperatura en grados Fahrenheit de un calentón eléctrico es de 90°? _________________

1.- ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit, si la temperatura en grados centígrados es de 32°C?____________

3.- ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit, si la temperatura en grados centígrados es de -10°C?_____________

x y0

123

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¿Cómo es la línea que representa a cada función (recta o curva)? __________________5.- Analiza el siguiente problema y resuelve lo que se pide enseguida.

PROBLEMA: Una compañía que vende filtros para agua, les paga a sus empleados $100 diarios de sueldo fijo y $20 de gratificación por cada filtro que vendan al día.

a) De acuerdo al problema, completa la siguiente tabla que corresponde a un día de trabajo.

x FILTROSVENDIDOS

0 1 2 3 4 5 6 7

y PAGOTOTAL

$ 100

b) ¿De qué es de lo que depende el pago? _____________________________________

c) ¿Cuánto es lo que le pagan de gratificación por cada filtro vendido? ______________

d) ¿Cuánto es lo que le deben de pagar, aunque no venda ningún filtro? ______________

e) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa a esta función? _________

y = 20x + 100 ó y = 100x + 20

6.- PROBLEMA: Un agente de ventas de bicicletas estacionarias, recibe un salario base mensual de $5 000, más $800 de gratificación por cada bicicleta que venda.

a) De acuerdo al problema completa la siguiente tabla.

x BICICLETASVENDIDAS

0 1 2 3 4

y PAGOTOTAL

b) ¿Cuánto le dan de gratificación por cada bicicleta que venda? _________________

c) ¿Cuánto deben pagarle al mes aunque no venda alguna bicicleta? ________________

d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a esta función? __________________

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4

1000

3000

5000

9000

2000

4000

6000

70008000

81620

2428

32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1216

SUELDO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11HORAS TRABAJADAS

e) ¿Cuánto recibirá en un mes si ha vendido 24 bicicletas? _____________________

6.- Resuelve el siguiente problema representándolo en la tabla y en la gráfica.

La Profesora. Luz Josefina rentó una casa para vivir con su familia, para lo cual, le pidieron $1 000 de depósito y le van a cobrar $1 200 mensuales de renta.

Elabora la tabla en la que se anote el gasto mensual total en vivienda, incluyendo el depósito y la renta, durante los primeros 6 meses de alquiler. MESES 0 1

GASTO TOTAL

Si “y” representa el gasto total y “x” los meses, ¿cuál de las siguientes es la función correcta que representa este problema? ________________________

y = 1 000 + 1 200 y = 3 200 x y = 1 200x + 1 000 y = 1 000

8.- Haz lo que se pide enseguida.

PROBLEMA: El sueldo por hora de un empleado, más compensación diaria en pesos, está dado por la siguiente función:

y = 7x + 2 Donde “x” es la cantidad de horas trabajadas; y “y” es el sueldo total.

Realiza la tabulación y la gráfica de la función anterior.

y = 7x + 2

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HORASx

SUELDOy

01234

TABLAS, GRÁFICAS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROBLEMA: Representa en una tabla, en una gráfica y con una expresión algebraica el siguiente problema:

En la biblioteca de la escuela hay una pila de 10 libros que alcanzan una altura de 35 centímetros. ¿Cuál es el grueso de 1 libro y de 20 libros?

CON TABLA CON GRÁFICA

xLIBROS

yGROSOR (cm)

1 3.5 10 3520 70

CON EXPRESIÓN ALGEBRAICA

y = 3.5x x Abscisa

Ordenada y

70

35

3.5

1 10 20

K =

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1.- El costo de una llamada telefónica de larga distancia por 5 minutos es de $30. ¿Cuál de las siguientes tablas es la que representa correctamente este problema .. (____)

a)

MINUTOS PRECIO2 $63 $124 $245 $30

b)

MINUTOS PRECIO1 $63 $185 $307 $42

¿Qué tipo de proporción es la de la tabla del resultado correcto?____________________

2.- Un insecto recorre de manera constante 5 centímetros de distancia cada 10 segundos. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa correctamente el problema? …...…….. (____)

a) b)

¿Qué tipo de proporción es la gráfica del resultado correcto?_______________________

3.- Una llave proporciona de manera constante 120 litros de aguacada 2 minutos. ¿Cuál de las siguientes expresionesalgebraicas representa correctamente el problema? ….. …………………...………..(____)a) y = 40x

DISTANCIA

50 40

c)

MINUTOS PRECIO1 $63 $125 $307 $36

d)

MINUTOS PRECIO1 $63 $185 $367 $42

x

y

30

20

10

5 10 15 20 25

12.5 10

x

y

7.5

5

2.5

5 10 15 20 25

Tiempo (segundos) Tiempo (segundos)

DISTANCIA

96

b) y = 30xc) y = 120xd) y = 60x

¿Qué tipo de proporción es la expresión del resultado correcto?____________________

4.- Representa el siguiente problema en una tabla, en una gráfica y con una expresión algebraica.

PROBLEMA: Un carro que viaja en carretera llevando una velocidad constante recorre 360 kilómetros en 4 horas. ¿Qué distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas?

TABLA GRÁFICA

TIEMPO (x) DISTANCIA (y)

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

_______________________5.- La siguiente tabla representa la gasolina que consume un carro al recorrer cierta distancia. Completa los datos que faltan en la tabla y contesta las preguntas.

LITROS 1.5 3 4.5 6 7.5

DISTANCIA(Kilómetros)

27

¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ________

¿Cuál es la expresión algebraica que le corresponde a este problema? ………….. (____)

x

y

96

a) d = 27l b) d = 9 l c = d = 54 l d= 18 l

¿Es un problema de variación proporcional directa? _______

Representa el problema anterior en la gráfica cartesiana y contesta las preguntas.

¿Cuál es el valor de la ordenada, cuando la abscisa vale 3? _______

¿Cuál es el valor de la ordenada, cuando la abscisa vale 4.5? _______

¿Cuáles son los valores de las abscisas? ___________________________________

¿Cuáles son los valores de las ordenadas? ___________________________________

Escribe las coordenadas que resultaron:

(1.5, 13.5), (___, ___), (____, ____), (____, ____), (____, ____).

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS• Búsqueda, organización y presentación de información en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan.

GRÁFICAS POLIGONALES

PROBLEMA: Analiza la siguiente gráfica poligonal y compara los datos de los dos conjuntos que se presentan en el mismo plano.

La calificación que más se repite en el grupo A es el 8.En el grupo B hay mayor número de reprobados y son en total 4.En el grupo B hay un total de 33 alumnos.

12

10

6

8

Grupo A

Grupo BALUMNOS

y

x

DISTANCIA

(Km)

81

54

27

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L I T R O S

96

5 6 7 8 9 10


1.- Basados en la siguiente gráfica Contesta las preguntas que aparecen enseguida.

190 200 210 220 230

¿Cuántos alumnos del equipo A dieron el salto más alto? _______¿Cuántos alumnos del equipo B? ______

¿Cuántos alumnos integran el equipo A? _____¿Cuántos el equipo B? ______

¿Cuántos alumnos del equipo B saltaron 220 centímetros? _____¿Cuántos del equipo A?_____

¿Cuántos alumnos por los dos equipos saltaron 190 centímetros? ________2.- Enseguida se presenta una gráfica poligonal. Interpreta los datos y contesta las siguientes preguntas.

Comportamiento del gasto en alimentos por la familia Reyes durante los primeros seis meses de los años 2 008 y 2 009.

CALIFICACIONES

Equipo A.Equipo B.

3 000

2 000

1 000

15

10

5

ALUMNOS

DISTANCIA SALTADA EN CENTÍMETROS

PESOS

Año 2 008

Año 2 009

4

2

96

a) ¿Cuánto gastó en alimentos en marzo del 2 008? ________________

b) ¿Cuánto gastó en alimentos en marzo del 2 009? ________________

c) ¿Cuánto gastó en los seis meses del año 2 008? ________________

d) ¿Cuánto gastó en los seis meses del año 2 009? ________________

e) ¿En qué mes y en que año gastó más en alimentos? _____________________________

f) ¿Cuál fue el gasto más alto del 2 008? ______________

g) ¿Cuál fue el gasto más alto del 2 009? ______________

h) ¿Cuál fue el gasto más bajo del 2 009? ______________

i) ¿Cuánto gastó en el mes de abril del año 2 008? ______________

j) ¿Cuánto gastó más en junio del 2 008 que en junio del 2 009? ______________

3.- Con base en la información que aparece en la siguiente gráfica, elabora una lista de las observaciones que puedas hacer.

Comportamiento de las calificaciones de matemáticas de un alumno en primer grado y segundo grado en la secundaria durante los cinco periodos del ciclo escolar.

Segundo grado

8

I II III IV V PERIODOS DEL AÑO

10

9

7

6

5

E F M A M JM E S E S

CALFICIONES

Primer grado

Calificaciones de primer grado: ______________________

Calificaciones de segundo grado: ____________________

Promedio de primer grado: _______

Promedio de segundo grado: ________

Periodo y grado en que reprobó: ____________________

96

4.- Observa la siguiente gráfica y contesta las siguientes preguntas.

A Grupo AL U Grupo BM N O S

¿Cuántos alumnos del grupo A fueron los que sacaron 9 de calificación? ................ (____)a) 10 b) 4 c) 7 d) 5

¿Cuántos alumnos hay en el grupo B? ...................................................................... (____)a) 28 b) 32 c) 44 d) 30

¿Cuál es la calificación que más se repite en el grupo B? ___________

¿En cuál grupo hay mayor número de reprobados y cuántos? _____________________

¿Cuántos alumnos hay en el grupo A? _________

¿Cuántos alumnos por los dos grupos sacaron 6 de calificación? _________________

¿Cuántos alumnos hay en los dos grupos con 10 de calificación? __________________

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS• Análisis de propiedades de la media y la mediana.

PROMEDIO Y MEDIANA.

Las medidas de tendencia central (promedio y mediana) las utilizamos para analizar la información que recabamos de alguna situación o problema.

PROBLEMA: Las calificaciones de un alumno durante el primer bimestre fueron las siguientes: 10, 9, 9, 8, 5, 7, 7, 8, y 8. Encuentra el promedio, la mediana y la moda de las calificaciones.

a) La media aritmética o promedio. Es el valor que se localiza en el punto medio de una lista de datos numéricos y se encuentra sumando todos los datos numéricos de la lista y dividiendo dicha suma entre la cantidad de casos que forman la lista. Se representa con el símbolo X.

5 6 7 8 9 10

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

CALIFICACIONES

96

Promedio = = Promedio = 7.8

Observación: Entre mayor es el promedio, mejor es la calidad de aprendizaje del alumno.

b) La mediana. Es el dato que se encuentra ubicado al centro o en medio de una lista, después de haber sido ordenada.

10, 9, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 5. Mediana: 8 74, 92, 87, 83. Números.74, 83, 87, 92. Ordenados.Faltan: 84, 85 y 86 Mediana: 85


1.- Encuentra el promedio o media aritmética de las siguientes series de números.

SERIE PROMEDIO7, 9

3, 4, 62, 3, 7, 8, 101, 1, 1, 0, 7

10, 40, 60, 80, 30, 501.10, 1.25, 1.34, 1.18, 3.13

68, 62, 78, 79, 83, 91, 70, 6713, 12, 11, 10, 9

10 + 9 + 9 + 8 + 5 + 7 + 7 + 8 + 89

719

2.- PROBLEMA: ¿Cuál es el promedio diario de las siguientes temperaturas registradas en varios días en la ciudad de Chihuahua?: 28°C, 23°C, 27°C, 25°C, 22°C y 22°C ______

3.- PROBLEMA: ¿Cuál es el promedio diario de kilómetros que recorre un indígena durante varios días en la Sierra Tarahumara: 17 km, 18 km, 20 km, 10 km, 15 km, 44 km, 8 km, 11 km, 13 km y 13 km?________________

5.- PROBLEMA: Un jugador de basquetbol durante varios partidos encestó los siguientes puntos: 22, 24, 12, 26, 27, 17 y 26.

¿Cuál es el promedio de puntos por partido?____

4.- PROBLEMA: Iván realizó diariamente durante una semana los siguientes gastos:

$85, $90, $110, $72, $129, $85 y $164.

¿Cuál es su promedio de gastos diarios?______

96

9.- La siguiente gráfica poligonal nos muestra el consumo de gasolina de un carro durante las primeras semanas del año.

6.- PROBLEMA: De acuerdo con los gastos diarios de alimentos realizados por una familia durante la semana, estos son los datos que se obtienen: $164.00, $160.00, $120.00, $310.00, $146.00, $150.00 y $159.00.

¿Cuál es el promedio de gastos diarios durante

la semana? ______________

7.- PROBLEMA: De acuerdo con una prueba de matemáticas que se aplicó a un grupo de segundo grado de una escuela, se presentan a continuación el número de aciertos que sacaron cada uno de los alumnos.

28, 27, 26, 26, 25, 24, 24, 24, 24, 24,

22, 22, 22, 22, 21, 21, 21, 20, 19, 18,

18, 18, 17, 17, 16, 12, 9 y 8

¿Cuál es el promedio de aciertos del grupo?

__________

8.- PROBLEMA: De acuerdo con los informes obtenidos sobre el consumo de gas durante un año por la familia del profesor de matemáticas, estos son los datos que se registraron:

Datos en kg consumidos de Enero a Junio: 45, 50, 48, 30, 28 y 25.

¿Cuál es el promedio mensual de consumo de gas? ____________

¿Cuál es la median de kilogramos de gas consumidos?

____________

96

10.- Ordena las siguientes series de números y encuentra la mediana.

16, 19, 15 __________________ Mediana: ______

83, 78, 97, 72, 84 ________________________ Mediana: ______

498, 475, 469, 490, 471, 495, 484, 488, 485

_____________________________________________ Mediana: ______

96.4, 95.8, 97.2, 96.6, 96.5 ____________________________ Mediana: ______


1 2 3 4 5 6

50

40

30

2010

LIT

ROS

SEMANAS DEL AÑO

¿Cuál es el promedio semanal de consumo

de gasolina? __________

¿Cuántos litros le faltarían en promedio con ese mismo consumo, si solo le echara 32 litros diarios? _________________

¿Cuál es la mediana de gasolina consumida durante las semanas?___________

1.- Un jugador de basquetbol durante varios partidos encestó los siguientes puntos: 24, 20, 28, 23, 14, 13 y 30. ¿Cuál es su promedio? __________

2.- En Creel durante los primeros días del mes de enero, se registraron respectivamente las siguientes temperaturas durante la mañana: 4°C, 3°C, 2°C, 0°C, 5°C, 5°C, 3°C y 2°C. ¿Cuál es el promedio de estas temperaturas? __________

3.- La familia López gastó diariamente en alimentos las siguientes cantidades: $220, $240, $90, $223, $340, $275 y $196. ¿Cuál es el promedio de gastos diarios? ____

4.- Iván en su carro a Ciudad Juárez lo hace cambiando cada hora la velocidad. Viaja conservando cada hora las siguientes velocidades: 120 km por hora, 130 km por hora, 140 km por hora y 115 km por hora. ¿Cuál es el promedio de la velocidad? ___

96

3.- Analiza la siguiente gráfica y contesta las preguntas que enseguida se hacen.

TEMPERATURA MÁXIMA PROMEDIO DURANTE LAS ESTACIONES DEL AÑO EN LA CIUDAD DE CHIHUAHUA Y EN DURANGO

Durango

Chihuahua

38

40

34

36

32

28

30

24

26

202216

5.- En una prueba de Matemáticas que se aplicó a un grupo de primer grado cada uno de los alumnos obtuvieron los siguientes aciertos:38, 37, 36, 36, 34, 34, 33, 32, 32, 32,31, 30, 30, 30, 30, 29, 29, 29, 28, 26, 24, 24, 22, 21, 19 y 18.¿Cuál es el promedio de aciertos del grupo?___

¿Cuál es el número que representa la mediana?_______________

6.- Una persona en la sierra recorrió durante varios días las siguientes distancias: 17 km, 18 km, 23.5 km, 20 km, 21.5 km, 18 km y 24 km. ¿Cuál es el promedio de kilómetros recorridos?___________

¿Cuál es el número que representa la mediana? __________

GRADOS

CENTÍGRADOS

96

¿En cuál estación la temperatura en Chihuahua fue de 25°? _______________

¿En cuál estación la temperatura en Durango fue de 16°? __________________

¿En cuál estación la temperatura en Chihuahua fue la más alta? __________________

¿En cuál estación hace más calor en ambas ciudades? ___________________

¿Cuál es el promedio de temperatura del año en Durango? ________

¿Cuál es el promedio de temperatura del año en Chihuahua? _________

¿Cuál de las dos ciudades es más calurosa? ______________________

¿Cuál es el promedio de las temperaturas del año en ambas ciudades? __________

¿Cuál es el número que representa la mediana de todas las temperaturas de ambas ciudades? ________

PRIMAVERA VERANO OTOÑO INVIERNO

ESTACIONES DEL AÑO

18

Guía de clase, Bloque 3 segundo grado

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