Guía de Algebra

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma , donde p(x), q(x) P(x); q(x)

0.El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraicaEjemplos:

Simplificación de expresiones algebraicas

Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a)

(b)

Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

(c)

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

Luego:

(d)

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1)Entonces:

EjerciciosSimplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

(19) (20)

(21) (22)

(23) (24)

(25) (26)

(27) (28)

Amplificación de fracciones

Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalenteEjemplos:

(a) Amplificada por 2, la fracción

(b) Amplificada por 3am la fracción

(c) Si se desea convertir el denominador de la fracción en un cuadrado perfecto,

debemos amplificar por 3mn

(d) Si en la fracción deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto,

debemos amplificar la fracción por (a + b).

Ejercicios:

Completa el cuadroFracción Amplificada por Fracción Equivalente

(1) 5x2y3

(2) 8a2m3n

(3)

(4)

(5)

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto.Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente.

Ejemplos.Polinomios factores m.c.m.

Ejercicios.Determina el mínimo común múltiplo para cada conjunto de polinomios

Polinomios Factores m.c.m.

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales

Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.

Ejemplos

Consideremos los siguientes casos

(a)

(b)

(c)

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

Entonces:

Ejercicios:

Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando proceda

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos

En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador)A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común

Ejemplos:

Consideremos los siguientes casos:

(a)

Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:

m.c.m. = Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar los denominadores:

(b)

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

m.c.m.=Luego, amplifiquemos las fracciones:

(c)

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Luego, amplificamos las fracciones.

Factoricemos el numerador:

Obtenemos:

Entonces:

Ejercicios:

Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

(19) (20)

(21) (22)

Multiplicación de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible

Ejemplo:

(a)

(b)

Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.

(c)

Factoricemos y simplifiquemos

Entonces:

Ejercicios

Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

(19)

División de fracciones algebraicas

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor

Ejemplos:

(a)

(b)

Factoricemos y simplifiquemos

(c)

Al factorizar y simplificar resulta:

(d)

Factoricemos y simplifiquemos

Ejercicios:

Calcula el cuociente entre las siguientes fracciones algebraicas

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad.

Ejemplos

(a)

Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones

(b)

En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición

(c)

Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y el denominador, para simplificar si es posible.

Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :

(d)

Calculemos el cuociente del paréntesis y luego multipliquemos.