Guia adiciona Fisica ingreso 2012

Curso de Nivelacin

Ciclo de Nivelacin 2012

La fsica es una de las ciencia que estudia las propiedades de la materia y de la energa, considerando tan solo los atributos capaces de ser medidos. Es una ciencia emprica. Todo lo que sabemos del mundo fsico y de los principios que rigen su comportamiento ha sido aprendido a travs de la observacin de los fenmenos de la naturaleza, convalidado con el mtodo cientfico.

La prueba definitiva de cualquier teora fsica es su concordancia con las observaciones y mediciones de los fenmenos fsicos (mtodo experimental).

MEDICIONES

Para la fsica y la qumica, en su calidad de ciencias experimentales, la medida constituye una operacin fundamental. Sus descripciones del mundo fsico se refieren a magnitudes o propiedades medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparacin, forman parte de los resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaa de su error o, al menos, se escriben sus cifras de tal modo que reflejen la precisin de la correspondiente medida.

El gran fsico ingls Lord Kelvin consideraba que solamente puede aceptarse como satisfactorio nuestro conocimiento de algo, si somos capaces de expresarlo mediante nmeros. Aun cuando la afirmacin de Kelvin tomada al pie de la letra supone la descalificacin de valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo. La operacin que permite expresar una propiedad o atributo fsico en forma numrica es precisamente la medida.

MAGNITUDES, CANTIDADES Y UNIDADESLa nocin de magnitud est inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema fsico que pueden ser expresados en forma numrica. En otros trminos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.

La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes fsicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuntas veces una persona o un objeto es ms bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.

Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema fsico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrn.

LA MEDIDA COMO COMPARACION

La medida de una magnitud fsica supone, en ltimo extremo, la comparacin del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrn.

La medida de longitudes se efectuaba en la antigedad empleando una vara como patrn, es decir, determinando cuntas veces la longitud del objeto a medir contena a la de patrn. La vara, como predecesora del metro de sastre, ha pasado a la historia como una unidad de medida equivalente a 835,9 mm. Este tipo de comparacin inmediata de objetos corresponde a las llamadas medidas directas.

Con frecuencia, la comparacin se efecta entre atributos que, aun cuando estn relacionados con lo que se desea medir, son de diferente naturaleza. Tal es el caso de las medidas trmicas, en las que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termmetro se determinan temperaturas. Esta otra clase de medidas se denominan indirectas.

TIPOS DE MAGNITUDES

Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificacin bsica. Un grupo importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un nmero seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, son slo algunos ejemplos. Sin embargo, existen otras que precisan para su total definicin que se especifique, adems de los elementos anteriores, una direccin o una recta de accin y un sentido: son las llamadas magnitudes vectoriales. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependern no slo de su cantidad, sino tambin de la lnea a lo largo de la cual se ejerza su accin.

Al igual que los nmeros reales son utilizados para representar cantidades escalares, las cantidades vectoriales requieren el empleo de otros elementos matemticos diferentes de los nmeros, con mayor capacidad de descripcin. Estos elementos matemticos que pueden representar intensidad, direccin y sentido se denominan vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares.

SISTEMAS DE UNIDADES

En las ciencias fsicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemticamente entre s grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en funcin de dicho conjunto. Esas pocas magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en funcin de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas.

Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de unidades. La definicin de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. As la unidad ha de ser constante como corresponde a su funcin de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero tambin ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio.

As, por ejemplo, la definicin de amperio como unidad de intensidad de corriente ha evolucionado sobre la base de este criterio. Debido a que las fuerzas se saben medir con bastante precisin y facilidad, en la actualidad se define el amperio a partir de un fenmeno electromagntico en el que aparecen fuerzas entre conductores cuya magnitud depende de la intensidad de corriente.

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Las condiciones de definicin de un sistema de unidades permitira el establecimiento de una considerable variedad de ellos. As, es posible elegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o incluso, aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades distintas de un sistema a otro. Desde un punto de vista formal, cada cientfico o cada pas podra operar con su propio sistema de unidades, sin embargo, y aunque en el pasado tal situacin se ha dado con cierta frecuencia (recurdense los pases anglosajones con sus millas, pies, libras, grados Fahrenheit, etc.), existe una tendencia generalizada a adoptar un mismo sistema de unidades con el fin de facilitar la cooperacin y comunicacin en el terreno cientfico y tcnico.

Otros sistemas son el cegesimal - centmetro, gramo, segundo -, el terrestre o tcnico -metro-kilogramo-fuerza, segundo-, el Giorgi o MKS - metro, kilogramo, segundo- y el sistema mtrico decimal, muy extendido en ciencia, industria y comercio, y que constituy la base de elaboracin del Sistema Internacional.

El SI es el sistema prctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en octubre de 1960 en Pars. Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente elctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo, Ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (Coulomb, Joule, Newton, Pascal, Volt, Ohm, etc.), adems de otras suplementarias de estas ltimas.

Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son:

MAGNITUD BASENOMBRESIMBOLO

longitudmasatiempocorriente elctricatemperatura termodinmicacantidad de sustanciaintensidad luminosametrokilogramosegundoAmpereKelvinmolcandelamkgsAKmolcd

UNIDADES DERIVADAS

Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y smbolos especiales. Estas unidades pueden as mismo ser utilizadas en combinacin con otras unidades base o derivadas para expresar unidades de otras cantidades. Estos nombres y smbolos especiales son una forma de expresar unidades de uso frecuente.

Coulomb (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio.

Joule (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicacin se desplaza la distancia de un metro en la direccin de la fuerza.

Newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleracin de 1 metro por segundo, cada segundo.

Pascal (Pa): Unidad de presin. Es la presin uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Volt (V): Unidad de tensin elctrica, potencial elctrico, fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial elctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt.

Watt (W): Potencia que da lugar a una produccin de energa igual a 1 joule por segundo.

Ohm (): Unidad de resistencia elctrica. Es la resistencia elctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Weber (Wb): Unidad de flujo magntico, flujo de induccin magntica. Es el flujo magntico que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 Volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme.

MAGNITUD DERIVADANOMBRESIMBOLOEXPRESADAS EN TERMINOS DE OTRAS UNIDADES DEL SIEXPRESADAS EN TERMINOS DE LAS UNIDADES BASE DEL SI

ngulo planoradinradm.m-1=1

ngulo slidoestereorradinsrm .m-2=1

frecuenciahertzHzs-1

fuerzanewtonNm.kg.s-2

presinpascalPaN/m m-1.kg.s-2

energa, trabajo, calorjouleJN.mm .kg.s-2

potencia, flujo de energawattWJ/sm .kg.s-

temperatura CelsiusCelsiusCK

Longitud1 ao luz = 9,460 73x1015 m

1 milla (mi) = 1 760 yd = 5 280 ft = 63 360 in = 1 609,344 m

1 ngstrom () = 1x10-10 m

1 pie (ft) = 12 in = 0,304 8 m

1 pulgada (in) = 0,025 4 m

1 micrn () = 1x10-6 m

1 prsec (pe) = 3,085 678x1016 m

1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 0,914 4 m

1 milla, nutica = 1,852 km = 1 852 mMasa1 grano = 6,479 891x10-5 kg

1 slug (slug) = 14,593 9 kg

1 libra (lb) = 16 oz = 0,453 592 4 kg

1 onza (oz) = 2,834 952x10-2 kg

1 ton, mtrica (t) = 1 000 kg

Tiempo1 ao = 365 d = 8 760 h = 525 600 min = 31 536 000 s1 ao [sideral] = 3,155 815x107 s

1 ao [tropical] = 3,155 693x107 s

1 da (d) = 24 h = 1 440 min = 86 400 s

1 da [sideral] = 8 616,409 s

1 hora (h) = 60 min = 3 600 s

1 minuto (min) = 60 s

1 minuto [sideral] = 59,836 17 s

ESTATICA

Es la parte de la mecnica que estudia las leyes del equilibrio.

Vectores: Son modelos matemticos. Las magnitudes que los representan se indicarn, en este material, en negrita.

Sea el vector V, representa una cantidad fsica y, se compone de:

1. Mdulo: (magnitud) valor numrico y absoluto del mismo, expresa la cantidad que representa el mismo y se le asigna una unidad.

2. Direccin: recta de accin, que segn el sistema de referencia posee una inclinacin .

3. Sentido: segn el sistema de referencia, tendr signo positivo o negativo.

4. Origen: punto de aplicacin. Muchos de lo vectores en la fsica son deslizables lo que significa que pueden carecer de punto de aplicacin, movindose por su recta de accin o direccin.

CONCEPTOS PRELIMINARES: OPERACIONES CON VECTORESEn esta parte de la fsica nos es muy conveniente la definicin de Fuerza, que es el ente fsico capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo, tambin deformndolo (aunque en este curso estudiaremos slo cuerpos rgidos, indeformables). Es una magnitud vectorial y su unidad en el Sistema Internacional es el Newton (N= kilogramo . metro / seg2). Resultante: es la suma vectorial de un sistema de vectores de algn tipo (eventualmente a las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo). Una resultante importante de analizar es el Peso de los cuerpos.El sistema puede tener vectores con direcciones COLINEALES o CONCURRENTES. Tambien pueden ser PARALELAS, caso que veremos ms adelante

Si dos personas hacen fuerzas en la misma direccin y sentido, sus fuerzas se suman. Los vectores que representan sus fuerzas tambin se suman y el resultado de esa suma es la Resultante, Res.

En este caso, la resultante tiene la misma direccin y sentido que las fuerzas originales y su mdulo es igual a la suma de ellos.

Res =F1 + F2 F = F1 + F2 Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 23 kgf . (23 = 15 + 8)

Si dos personas hacen fuerzas en la misma direccin pero con sentidos opuestos la resultante tendr la misma direccin de ambas, el sentido de la ms grande (mdulo mayor) y su mdulo ser igual a la resta entre los mdulos

F = Res =F1 F2La operacin sigue llamndose suma. Y la resultante se sigue llamando sumatoria. Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico resiste con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 7 kgf . (7 = 15 8).

Si dos personas tiran de una caja con sogas con fuerzas de distinta intensidad, y tambin, con distintas direcciones, la caja reacciona como si una sola soga estuviera tirando de ella, es la fuerza resultante, que tendr una direccin intermedia y un mdulo que se puede obtener grfica o analticamente. Hay que destacar que la suma de vectores, salvo en los casos unidireccionales citados ms arriba, no ocurre como si de nmeros se tratara. Por ejemplo en nuestro caso la fuerza de F1 = 15 kgf , el otro una de F2 = 8 kgf , y la resultante, o sea, la suma de ambas puede valer, digamos, 19 kgf , dependiendo del ngulo que forman F1 con F2.COMPOSICION DE VECTORES CONCURRENTES

Para sumar grficamente dos vectores, cuyas direcciones concurren a un mismo punto, hay dos mtodos grficos. El primero se llama mtodo del paralelogramo. Consiste en colocar los dos vectores que se desean sumar en un mismo origen, luego construir un paralelogramo (un cuadriltero que posee sus lados no consecutivos paralelos) tomando como lados los dos vectores. El vector suma es aquel que tiene origen en el mismo origen de los vectores que se suman y extremo en el vrtice opuesto del paralelogramo. Coincide as, con una de las diagonales del paralelogramo.

A + B = S La otra diagonal se corresponde con la resta de los vectores. La resta de nmeros no es conmutativa, la de vectores tampoco:

B A = R1 A B = R2El segundo mtodo de sumar vectores se llama mtodo de la poligonal y consiste en dibujar un vector a continuacin de otro: La ventaja de este mtodo sobre el anterior es que se puede iterar repetidas veces sin mucha dificultad para sumar un nmero grande de vectores, aunque se pierde exactitud.

DESCOMPOSICIN DE VECTORES

Para poder operar analticamente con vectores es apropiado previamente hacer una descomposicin, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia (SR).

Supongamos que tenemos el A, que podra representar cualquier magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleracin, para descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia, x-y.

Por el extremo del A trazo rectas paralelas a los ejes. En el ejemplo, el mdulo de A resulta valer 7,28.

Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto (llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes de A.

Entonces quedan definidas las componentes del A, tambin llamadas proyecciones del A sobre los ejes del SR, que se calculan usando los conceptos de la trigonometra En el ejemplo, el mdulo de Ax vale 7 y el mdulo de Ay vale 2.

Entre el vector original y sus componentes hay establecidas ciertas relaciones matemticas, por ejemplo la relacin pitagrica:

Ax + Ay = A (OJO!!! Son mdulos!!!)

MULTIPLICACION POR UN NMERO

Los vectores pueden multiplicarse por un nmero (real) cualquiera. Por ejemplo, si tenemos un vector V y lo multiplicamos por 3, el resultado es un nuevo vector que tiene la misma direccin y el mismo sentido que V, y un mdulo 3 veces mayor.

De modo que multiplicar por un nmero es una operacin que slo afecta al mdulo de los vectores.

En muchos libros de texto a esta operacin se la llama producto por un escalar (pero no lo confundas con producto escalar, que es otra cosa).La operacin la escribiramos as (usando smbolos correctos para los vectores, es decir, con flechita arriba):

V . 3 = 3 V = UEl nmero por el que se multiplica no necesariamente debe ser entero. Por ejemplo:

V . 3,54 = 3,54 VEl nmero por el que se multiplica un vector puede ser negativo. En ese caso adems de alterar el

mdulo, invierte el sentido.

El signo menos del escalar cambia el sentido original del vector de partida de la operacin. Simblicamente:

V . (-3) = -3 V = WEsta operacin permite expresar cualquier vector en funcin de otro.

Primera Condicin de Equilibrio (Equilibrio Traslacional).

La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una direccin cualquiera es igual a cero. Complementaremos esta condicin ms adelante con los conceptos de la Dinmica. Es importante destacar que la sumatoria debe realizarse EN UNA DIRECCIN DETERMINADA.PREGUNTAS CONCEPTUALES

1) Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de direccin opuesta, por qu la tensin total en la cuerda es cero?

2) Un caballo est enganchado a un carro. Como el carro tira del caballo hacia atrs con la misma fuerza que ste tira del carro, por qu no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo que tire el caballo?

3) Cmo se puede empujar hacia abajo el pedal de una bicicleta y lograr que la bicicleta se mueva hacia adelante?

EJERCICIOS

1) Calcular para la fuerza de la figura y tomando 1 cm = 5 N:

a) Hallar grficamente las componentes horizontal y vertical.

b) Verificar analticamente.

Respuesta: a) 25,7 N y 30,6 N

2) Un bloque se arrastra hacia arriba por un plano inclinado 20 sobre la horizontal con una fuerza F que forma un ngulo de 30 con el plano. Determinar:

a) El valor de F para que su componente Fx paralela al plano sea de 16 N.

b) El valor de la componente Fy perpendicular al plano.

Respuesta: a) 18,5 N b) 9,2 N

3) Utilizando el mtodo de descomposicin vectorial, hallar la resultante y el ngulo que forma el siguiente sistema de fuerzas:

F1= 200 N en el eje x dirigida hacia la derecha

F2 = 300 N, 60 por encima del eje x, hacia la derecha

F3 = 100 N, 45 sobre el eje x, hacia la derecha

F4 = 200 N en la direccin negativa del eje y

Respuesta: 308 N y 25

4) Dos fuerzas F1 y F2 actan sobre un punto, F1es de 8 N y su direccin forma un ngulo de 60 por encima del eje x en el primer cuadrante, F2 es de 5 N y su direccin forma un ngulo de 53 por debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar:

a) Las componentes de la resultante.

b) La magnitud de la resultante.

c) La magnitud de la diferencia F1 - F2.

Respuesta: a) 7,01 N y 2,93 N, b) 7,6 N, c) 11 N

5) Dos hombres y un muchacho quieren empujar un bloque en la direccin x de la figura, los hombres empujan con las fuerzas F1 y F2.

a) qu fuerza mnima deber emplear el muchacho para lograr el cometido?

b) qu direccin tendr dicha fuerza?

Respuesta: a) 46,6 N, b) perpendicular a x

6) Dos pesos de 10 N estn suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea est sujeta a una cadena que cuelga del techo. Determinar:

a) La tensin de la cuerda.

b) La tensin de la cadena.

Respuesta: a) 10 N, b) 20 N

7) Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre l acta una fuerza?. Dibuja un ejemplo.

8) Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni descender. Est en equilibrio?, qu fuerzas actan sobre l?

9) Segn el caso de la figura determinar el peso del cuerpo suspendido si la tensin de la cuerda diagonal es de 20 N.

Respuesta: 14,1 N

10) El bloque A de la figura pesa 100 N, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0,30. El bloque B pesa 20 N y el sistema est en equilibrio. Determinar:

a) El valor de la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A.

b) El peso mximo que puede tener el bloque B para que el sistema permanezca en equilibrio.

Respuesta: a) 20 N, b) 30 N

11) Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 N que acta formando un ngulo de 30 sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y le superficie es de 0,50. Cul es el peso del bloque?.

Respuesta: 22,3 N

12) Hay que bajar una caja fuerte de 2000 N a velocidad constante por una de 4 m de longitud, desde un camin de 2 m de altura. El coeficiente de rozamiento entre la caja fuerte y la rampa es de 0,30. Determinar:

a) Hay que empujar o frenar la caja?

b) Qu fuerza paralela a la rampa es necesaria?Respuesta: a) Frenar, b) 480 N

13) Se levanta un cuerpo de 200 kgf mediante un plano inclinado de 2,8 m de largo y 1,5 m de altura. El extremo de la cuerda que sube el cuerpo, se adapta a un torno, cuya manivela es de 0,8 m y el radio del torno es de 0,2 m. Cul es la potencia aplicada al torno, para mantener el sistema en equilibrio?

Respuesta: 26,75 kgf

CINEMATICA

GLOSARIO

Cinemtica. Parte de la fsica que se dedica a estudiar el movimiento en s mismo, prescindiendo de la naturaleza del mvil y de quien lo produce.Posicin, x: Lugar que un mvil ocupa en el espacio. Los mviles tpicos de la cinemtica son mviles puntuales, no tienen volumen, ocupan nada, son un punto. Las posiciones se indican en cualquier unidad de longitud, referenciados a un punto fijo (sistema de referencia).Desplazamiento, (X2 X1) , X12: Diferencia entre dos posiciones (la posicin posterior menos la posicin anterior). Habitualmente se dice "final menos inicial"; no est mal del todo pero induce a error, porque la gente tiende a pensar que se trata del inicio y del final del movimiento, y puede no ser as. Lo importante es restar la posicin que el mvil ocupa despus, menos la que ocupa antes.Instante de tiempo, t: Momento nico e irrepetible en el transcurso del tiempo. El instante no dura nada: ni un segundo, ni un microsegundo, ni un nanosegundo.

Intervalo de tiempo, (t2 t1) , t12: Tambin llamado lapso, tardanza, duracin, etc. Se trata del tiempo que transcurre entre dos instantes. Se obtiene restando el instante posterior menos el instante anterior. Hay gente que dice "tiempo final menos tiempo inicial". No est del todo mal pero induce a error, porque da a pensar que se trata del final del movimiento y del principio del movimiento, puede no serlo.

Velocidad media, Vm: Es el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente. Se mide en cualquier unidad de longitud dividida cualquier unidad de tiempo, por ejemplo m/s. Se trata de un concepto bastante parecido al concepto natural e intuitivo que tenemos de velocidad, cuando hablamos de velocidad con un amigo. Pero no es exactamente lo mismo. Slo es lo mismo si nos estamos refiriendo a un MRU (VER DEFINICION DE RAPIDEZ).

Velocidad, o velocidad real, o velocidad instantnea, V : Es el cociente entre un desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente siempre y cuando el intervalo considerado sea muy, muy pequeito. Pero la idea es bien simple: es la velocidad comn y silvestre que todos conocemos. La que indica el velocmetro de los automviles, por ejemplo. Ojo: solamente coincide con la velocidad media en el MRU! (VER DEFINICION DE RAPIDEZ).

Aceleracin media, am: Es el cociente entre un incremento o un decremento de velocidad y el intervalo de tiempo en el que esa variacin transcurre. Se mide en cualquier unidad de velocidad dividida cualquier unidad de tiempo. Por ejemplo m/s.

Trayectoria: Sucesin de posiciones por las que va pasando un mvil.

Ecuacin horaria, x = f (t): Cualquier funcin matemtica entre el conjunto de las posiciones, x, y el conjunto de los instantes de tiempo, t. Tal relacin bien puede estar representando un movimiento. Los movimientos tpicos tienen ecuaciones horarias tpicas. Debido a la versatilidad y a la precisin de la matemtica, y por su capacidad de almacenaje, la ecuacin horaria es la herramienta ms importante para hacer cinemtica.

Esquema: Herramienta cinemtica utilsima, que consiste en dibujar la trayectoria y consignar sobre ella la informacin cinemtica de la que se disponga, en la proximidad (lo ms junto posible) de la posicin correspondiente. Es la ms sencilla de las herramientas cinemticas. Tiene la capacidad de organizar espacial y temporalmente toda la informacin de la que se dispone, incluso de los datos que se buscan. Tiene la virtud de ordenar y nombrar todo lo que interviene en un problema, ya sea dato o incgnita. Lo que est en el esquema no se pierde. Un esquema bien hecho y completo es garanta casi absoluta de que el ejercicio estar bien resuelto.

Movimiento rectilneo uniforme, MRUSe trata del tipo de movimiento ms sencillo que se pueda imaginar. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra uniforme que la velocidad, V, del mvil es constante.

Segn el esquema

Un mvil animado con un MRU avanza distancias iguales en tiempos iguales.

Un grfico posicin en funcin del tiempo, de un MRU es el siguiente:

Cualquier recta oblicua bien puede representar un MRU. Si la funcin es creciente y decimos que se trata de un movimiento de avance. Si la recta se inclina hacia abajo, representa un movimiento de retroceso.

Si la recta fuese horizontal representara un mvil que no cambia la posicin, est detenido o en reposo. Tambin lo incluimos dentro de los MRU. La orientacin prohibida es la vertical: indicara que el mvil se encuentra en infinitas posiciones en un mismo instante... imposible.La recta no necesariamente debe pasar por la posicin X = 0 en el instante t = 0. Inventemos un ejemplo, cuyos datos voy a volcar es esta Tabla de Valores:

x (m) t (s)

09

-1215

180

123

24-3

Lo ms importante del MRU, es que si tomamos cualquier desplazamiento y lo dividimos por el intervalo de tiempo correspondiente a ese desplazamiento, siempre nos va a dar el mismo nmero; ese cociente es constante (independiente de los pares que elijas para considerar el desplazamiento y el intervalo)... ese cociente es la velocidad media, Vm, (que en el MRU -y slo en el MRU- concuerda con la RAPIDEZ).

De la tabla de valores elijamos al azar un dos pares cualesquiera y armemos el cociente. Por ejemplo el segundo y el tercer rengln de la tabla. Lo importante es que respetes la correspondencia entre cada posicin y su instante. En el MRU -y slo en l- no hace falta recordar que se trata de la velocidad media y lo vamos a llamar directamente velocidad, V.

La herramienta cinemtica que describe con mayor precisin y generosidad los movimientos es la ecuacin horaria. En los MRU tiene siempre esta forma (recordar conceptos de funciones de matemtica:

x = xo + v ( t to ) x y t son las variables. Si no aparecen, no hay ecuacin horaria. El resto: xo , V y to , son constantes, o sea nmeros. Pero no son variables, son constantes!.

En nuestro ejemplo de ms arriba la velocidad era V = 2 m/s, y podramos tomar como xo y to los que figuran en el cuarto rengln de la tabla ya que el nico requisito que deben tener xo y to son: corresponderse entre s y ser pertener al movimiento. Nuestra ecuacin quedara as:

x = 12 m 2 m/s ( t 3 s )

eso es una ecuacin horaria, no cabe duda, porque contiene x y contiene t. Adems te puedo asegurar que xo = 12 m, V = 2 m/s y to = 3 s. Tambin podramos haberla armado eligiendo el quinto rengln de la tabla:

x = 24 m 2 m/s ( t + 3 s )x (m) t (s)

09

-1215

180

123

24-3

Si a cualquiera de las dos ecuaciones (que en realidad son la misma) le hacemos la misma pregunta, nos darn la misma respuesta. Por ejemplo; dnde se hallara el mvil en el instante t6 = 5 s... En cualquiera de las dos, donde dice t escribimos 5 s, luego hacemos la cuentita, y del otro lado del igual aparece x6 = 8 m.

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Una ecuacin horaria es una expresin capaz de decirte en qu posicin se encuentra un mvil en cualquier instante de tiempo. Es un almacn de informacin cinemtica, guarda infinitos pares de informacin posicin-tiempo. Si de un movimiento cualquiera, conocs la ecuacin horaria, ya est, ese movimiento no tiene ms secretos para vos (record que la magnitud ms importante es la aceleracin, es la que te da ms info sobre el movimiento).IMPORTANTE

La velocidad propiamente dicha, llamada velocidad instantalea, no es un concepto sencillo de definir matemticamente, hay que hacer uso de herramientas matemticas sofisticadas como el lmite, o la derivada. Por suerte en el MRU no hace falta, porque coincide plenamente con el concepto de velocidad media, que matemticamente es muy sencillo.

Por qu el modelo de ecuacin horaria del MRU tiene la forma que tiene? Sencillamente, si la grfica de un MRU es una recta oblicua, entonces la funcin matemtica que describe ese movimiento no puede ser otra que la funcin de una recta... y eso es justamente lo que es.

La inclinacin de la recta (a los matemticos les gusta llamarla pendiente) nos informa sobre la rapidez del movimiento: cuanto ms inclinada ms rpido es el movimiento; cuanto menos inclinada ms lento es.

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO, MRUV Se trata de un tipo de movimiento muy caracterstico, que adems de sencillo, aparece bastante seguido en la naturaleza. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra variado alude a la velocidad, que ya no es constante... pero que vara uniformemente .

La velocidad -ahora variable- ya no se puede igualar a la velocidad media. En el esquema observamos: en tiempos iguales, aumentos iguales de velocidad. Los desplazamientos ya no son iguales, dado que a mayor velocidad, tendremos mayores desplazamientos.

La flecha de abajo del ciclista representa la velocidad. Un grfico velocidad-tiempo tpico de un MRUV podra ser el siguiente:

Una recta oblicua bien puede representar un MRUV. Si la inclinacin es como sta la llamamos ascendente o creciente y decimos que se trata de un movimiento de aumento de velocidad; y a la inversa: descendente o decreciente, que se corresponde con disminuciones de la velocidad. Pero la inclinacin nada nos informa sobre si el mvil avanza o retrocede. Para saber si el mvil avanza o retrocede hay que prestar atencin al signo de la velocidad (o sea, grficamente: si est arriba o abajo del eje de los tiempos).

Si la recta fuese horizontal representara un mvil que no cambia la velocidad, y en ese caso se tratara de un MRU. Aunque parezca ridculo tambin lo incluimos dentro de los MRUV. La orientacin prohibida es la vertical: indicara que el mvil posee infinitas velocidades en un mismo instante.

La recta no necesariamente pasa por la posicin v = 0 en el instante t = 0. Como ves, la velocidad se comporta en el MRUV como la posicin en el MRU. Seguro que hay una ecuacin horaria (la llamamos segunda ecuacin horaria) que describe cmo vara la velocidad a travs del tiempo:

V = Vo + a ( t to )

V y t son las variables. Si no aparecen; no hay ecuacin horaria. El resto: vo , a y to , son constantes, o sea nmeros. vo y to son una velocidad cualquiera que el mvil tenga y el instante en que la haya tenido (o sea, se corresponden entre s). Y a es la magnitud que describe el cambio de velocidad y se llama aceleracin. Justamente, la caracterstica fundamental del MRUV es a = cte.

Gracias a eso, podemos calcularla como una aceleracin media, am.

Lgicamente, el plato fuerte del MRUV es su primera ecuacin horaria, que describe cul es la posicin del mvil en cualquier instante de tiempo. Es sta:x = xo + vo ( t to ) + a . ( t to )

x y t son las variables. El resto: xo , Vo , a y to , son constantes, o sea nmeros (con unidades). Con suerte te dan el valor de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar. Pero no son variables, son constantes!.

Veamos un ejemplo. Supongamos un MRUV en el que

xo = 10 m , vo = 2 m/s , a = 2 m/s y to = 4 sSus ecuaciones horarias seran las siguientes:

x = 10 m + 2 m/s . ( t 4 s ) 1 m/s . ( t 4 s )v = 2 m/s 2 m/s . ( t 4 s )

Le voy a ir dando valores a t y obteniendo las posiciones y velocidades correspondientes a esos instantes. Y los voy volcando en la tabla. Por ejemplo donde dice t escribo -2 s, y hago la cuentita. La de posicin me da 38 m, (tuve que escribir -2 s dos veces) y la de velocidad 14 m/s. Y as sucesivamente.

t (s) x (m) v (m/s)

-23814

01410

226

4102

6102

826

Tambin voy volcando los valores encontrados a sendos grficos posicin-tiempo y velocidad-tiempo

Si la aceleracin es positiva la velocidad (no la rapidez) aumentar siempre y en forma constante. La grfica de posicin ser una parbola de concavidad positiva.

Rapidez es el mdulo de la velocidad (la cantidad sola, sin el signo

Si la aceleracin es negativa (como en nuestro ejemplo) la velocidad (no la rapidez) disminuir siempre y en forma constante. La grfica de posicin ser una parbola de concavidad negativa.LOS GRAFICOS Son una herramienta cinemtica utilsima; nunca dejes de hacerlos con cada ejercicio que resuelvas. Son herramientas tan claras y didcticas que hoy todo el mundo explica sus cosas con grficos.

En cinemtica SE DEBEN HACER SIEMPRE DE ESTA FORMA!!!!: de a tres, posicin en funcin del tiempo, velocidad en funcin del tiempo y aceleracin en funcin del tiempo. En el orden en que los escrib, encolumnados, y con la misma escala de tiempo. Te lo muestro con este ejemplo

Otro ejemplo ms!!!! 1ro.- posicin tiempo

2do.- velocidad tiempo

3ro.- aceleracin - tiempo

Este orden no es arbitrario, tiene su lgica (fundamentado en el hecho que cada funcin es la derivada de la anterior).

El hecho de que estn encolumnados y con la misma escala de tiempo te ofrece informacin simultnea en un solo golpe de vista, y te permite pensar cosas interesantes. Por ejemplo la curva de posicin, la de arriba: el nico momento en que la curva no tiene inclinacin es en el instante inicial; justo ah el segundo grfico te dice que la velocidad es cero.

A veces sombreamos algunas reas. Los grficos suelen albergar mucha ms informacin que la que muestran en primera instancia.

Nuevamente de a tres, en el mismo orden, encolumnados, y con la misma escala de tiempo.

Siempre empez con el de aceleracin, que es el ms fcil, luego el de velocidad y por ltimo el de posicin. Vas a ver cmo, hacerlos en ese orden te ayuda a no cometer errores. Siempre el de abajo (que es el ms fcil) ayuda a predecir el de arriba (que es ms difcil).

Con la prctica vas a ver que los grficos tienen una potencialidad insospechada. Hay mucha ms informacin de la que te dan aparentemente. .

CURIOSIDADES GEOMTRICAS EN CINEMTICAEs comn en cinemtica estudiar el movimiento de dos cuerpos que se mueven independientemente para encontrar el punto en que sus trayectorias coinciden.

Los dos problemas siguientes requieren para su solucin de un conocimiento elemental de la cinemtica en una dimensin y su resultado no deja de llamar la atencin.

Problema 1

En el momento en que se encienda la luz verde de un semforo de transito arranca desde el reposo un automvil con una aceleracin constante aA0-2. En el mismo instante, un camin que se mueve con una velocidad constante Vc0 alcanza y rebasa el automvil. Un cierto tiempo despus el automvil alcanza al camin. A qu velocidad ir el automvil en ese instante?

GRFICA DE TRAYECTORIA

Cuando el automvil alcanza al camin su velocidad es del doble de la del camin

Qu Curioso no?Se puede visualizar en la grfica de V vs t que para que las dos reas sean iguales la velocidad media del automvil debe ser igual a la velocidad media del camin.

Problema 2:En el momento en que se encienda la luz verde de un semforo de transito arranca desde el reposo un automvil con una aceleracin constante aA0-F. En el mismo instante, un camin que se mueve con una velocidad constante Vc0 se encuentra a una distancia X atrs del automvil; el camin alcanza al automvil en un punto P, para un instante despus de ser dejado atrs por el automvil. A qu distancia del punto de partida del automvil, es ste ltimo alcanzado por el camin?

GRFICA DE TRAYECTORIA

Cuando el camin alcanza al automvil, ste ha recorrido una distancia igual a la distancia a la que se encontraba el camin por detrs del auto

Qu Curioso no?Es fcil visualizar en la grfica V vs t que el desplazamiento del camin es el doble del auto

TIRO VERTICAL DE CUERPOS

Entiendo que ya sabs que el libre desplazamiento vertical de cuerpos en el vaco, subiendo o cayendo por la atraccin gravitacional es un MRUV. Una de las consecuencias ms resistidas sobre los movimientos libres es la cuestin del signo de g. Es comprensible, porque todo el mundo piensa que si un cuerpo sube libremente debe tener una aceleracin distinta de cuando baja libremente. Sin embargo el signo de g depende exclusivamente del SR, y para nada de lo que haga el mvil. El signo de g depende exclusivamente del sistema de referencia (SR) y NO de si el mvil sube o baja.

Si elegimos un SR positivo hacia arriba...g = 10 m/sSi elegimos un SR positivo hacia abajo... g = + 10 m/s

El motivo es bien sencillo: la aceleracin de los cuerpos libres, g, siempre apunta hacia abajo... haga lo que haga el cuerpo. Luego en un SR que apunte hacia arriba g debe ser negativo, y en un SR que apunte hacia abajo g debe ser positivo.

Pens en un cuerpo que arrojs hacia arriba con toda tu fuerza y el cuerpo regresa a tu mano despus de un rato. Una experiencia sencilla. Te consta que al salir de tu mano lo hace muuuy rpido, despus se va deteniendo, llega un momento en que se detiene por completo (justo ah deja de subir y empieza a bajar) y luego emprende el camino de regreso... primero lentamente despus cada vez ms rpido. Hasta aqu vamos bien? Bueno, para ms datos: llega a tu mano con la misma rapidez que la que parti.

Bueno, ahora vamos a asignarle velocidades (estimadas, inventadas) para 7 momentos diferentes (los puntos rojos): apenas sale, ya alcanz 1 m de altura, ya est a 2 m de altura, alcanz la altura mxima, vuelve a pasar por los 2 m , ahora esta de vuelta a 1 m y por ltimo llega de nuevo a tu mano.Si las velocidades las asigno con un SR que apunta hacia arriba, podran ser (no te olvides que son velocidades estimadas)... 10, 6, 2, 0, -2, -6, -10... (en las unidades correspondientes).

A igual altura igual rapidez (mdulo de la velocidad). Y lo ms importante: Con un SR que apunta hacia arriba las velocidades de bajada (en naranja) son negativas (movimiento de retroceso).Y ac viene la conclusin: la VELOCIDAD (no la rapidez) siempre disminuye (-10 es ms chico que -6). Luego la aceleracin debe ser negativa durante TODO el viaje, tanto a la subida como a la bajada.

Ahora volvemos a inventar velocidades pero evaluadas desde un SR que apunta hacia abajo. Ac la aceleracin de la gravedad debe ser positiva, de modo que debemos encontrar que la velocidad siempre aumenta. Veamos.

Las velocidades iniciales, de subida, deben ser negativas ya que representan un retroceso para ese SR. Y las velocidades de bajada deben ser positivas (avance segn nuestro SR). Podran ser: -10, -6, -2, 0, 2, 6, 10 (con las unidades correspondientes). Y ahora, fijate: la VELOCIDAD (no la rapidez) SIEMPRE aumenta, tanto durante la subida como durante la bajada... luego la aceleracin debe ser siempre positiva. No importa si el cuerpo sube o baja... la velocidad aumenta en todo momento.En cuanto a las ecuaciones propias del movimiento, no son nuevas, sino tuneadas, del MRUV (aceleracin por gravedad y distancia por atura altura h).

a = gVo 0

Vf = yo + Vo.t - .g.t (Ecuacin de posicin)

Vf = Vo - g.t (Ecuacin de velocidad)

Vf = Vo - 2.a.yCaractersticas: muy importantes de tener en cuenta a la hora de resolucin de problemas.

Tiempo de subida = Tiempo de bajada

Rapidez con la que es lanzado = Rapidez con la que llega al piso

Rapidez de subida = Rapidez de bajada (a la misma altura)

Por ltimo, cmo tendramos que graficar EL MISMO MOVIMIENTO de nuestro ejemplo (un tiro vertical) con dos SR diferentes: apuntando hacia arriba (izquierda) y apuntando hacia abajo (derecha).

CAIDA LIBRE DE CUERPOS

Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la friccin del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleracin constante. Al final del primer segundo, el cuerpo habra cado 4,9 m y tendra una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, el mismo cuerpo habra cado 19,6 m y tendra una velocidad de 19,6 m/s.

Llamamos Cada Libre de un cuerpo al movimiento acelerado donde la aceleracin es la de la gravedad y carece de velocidad inicial. En cuanto a las ecuaciones propias del movimiento, no son nuevas, sino tuneadas, del MRUV (aceleracin por gravedad, distancia por atura altura h y teniendo en cuenta que la Vo es 0).

a = gVo = 0

Vf = .g.t (Ecuacin de posicin)

Vf = g.t (Ecuacin de velocidad)

Vf = 2.g.y

Si la cada del cuerpo se realiza con una Vo, es decir se lo empuja inicialmente hacia abajo, ya no se la denomina Cada Libre, sino simplemente Cada del cuerpo. Tampoco tendremos nuevas ecuaciones. Sabs de donde las sacamos? SIII!!!!! Tuneando las del MRUV (aceleracin por gravedad y distancia por atura altura h, teniendo en cuenta que la Vo ya no es 0).

a = gVo 0

Vf = yo + Vo.t + .g.t (Ecuacin de posicin)

Vf = Vo + g.t (Ecuacin de velocidad)

Vf = Vo + 2.a.yFijate que parecidas son a las del Tiro Vertical.TIRO PARABLICO Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de un cuerpo que se lanza al aire formando un ngulo con la horizontal. Debido a la gravedad, el mvil experimenta una aceleracin constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tena al principio (hasta la altura mxima) y despus aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo.Por otro lado, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en direccin horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parbola, cuya ecuacin es:

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

Vx = constante

a = 0

ECUACIONES En eje y:

a = gVo 0

TIEMPO DE VUELO ALCANCE MXIMO ALTURA MXIMA

Ejemplo: Tiro oblicuo

Un jugador de ftbol efecta un saque de arco. La pelota pica en la cancha 60 m ms adelante y 4 segundos despus de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto ms alto y con qu velocidad llega a tierra.

Cuntas ecuaciones horarias describen este problema? Tres, como todo T.O. Para hallarlas basta con reemplazar las constantes (to , xo , yo , Vx , Voy , y g) de las ecuaciones generales de los tiros oblicuos:

x = xo + Vx ( t to )y = yo + Voy ( t to ) + g ( t to )Vy = Voy+ g ( t to )

En el esquema, en el globito que habla del punto 0, estn todas las constantes que necesitamos para armar las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo.

x = Vx. ty = Voy. t 5 m/s . t

Vy = Voy 10 m/s . t

x1 = Vx . t1y1 = Voy . t1 5 m/s . t10 m/s = Voy 10 m/s . t160 m = Vx . 4 s0 m = Voy. 4 s 5 m/s . 16 s V2y = Voy 10 m/s . 4 sMODELOS DE ECUACIONES HORARIAS(DE TODOS LOS TIPOS DE MOVIMIENTOS QUE APARECEN EN EL CURSO)Modelo de ecuacin horaria del MRU

x = xo + V ( t to )Modelos de ecuaciones horarias del MRUV

x = xo + Vo ( t to ) + a ( t to )2

V = Vo + a ( t to )Modelos de ecuaciones horarias de los movimientos libres verticales (MLV)

y = yo + Vo ( t to ) + g ( t to )2

V = Vo + g ( t to )

Modelos de ecuaciones horarias del TIRO OBLICUO (T.O.)

x = xo + Vx ( t to )

y = yo + Voy ( t to ) + g ( t to )

Vy = Voy+ g ( t to )

Si mirs todas las variables de cada ecuacin, vas a ver que se trata de una sola ecuacin, la del MRUV. La del MRU es la misma pero con la aceleracin igual a cero.

PREGUNTAS CONCEPTUALES

1)Cul de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, por qu?

Respuesta:

El movimiento 1 es el ms rpido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma grfica).

Porque V = x/t

Para el caso 1: V 1 = x1/t1Para el caso 2: V 2 = x2/t2Para compara hacemos t = t1 = t2.

Entonces para un mismo lapso de tiempo notamos que x1 > x2.

2) Es cierto que si en un movimiento rectilneo uniforme la velocidad es el doble que en otro, la grfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer caso?, por qu?

Respuesta:

Si, ya que: V = x / t

Si V1 = x1 / t1.

Si V2 = x2 / t2.

Por ejemplo para V1 sea el doble que V 2 significa que:

V1 = 2.V2Para compara hacemos t1 = t2.

Reemplazamos:

V1 = x1 / t1 (pendiente del movimiento 1).

V2 = x2 / t1 (pendiente del movimiento 2).

Aplicamos la igualdad:

V1 = 2. V 2x1 / t1 = 2.x2 / t1x1 = 2.x2Nos dice que recorre el doble de espacio en el mismo lapso de tiempo.

3) En un grfico x vs t: Qu relacin existe entre su pendiente y la tangente trigonomtrica?

Respuesta

La pendiente es la razn entre el desplazamiento en el eje "x" y el perodo de tiempo en el eje "t" entre dos punto de la grfica de velocidad.

Esta grfica tiene una inclinacin determinada por un ngulo (), la tangente de es la velocidad.

tg = x / t = V.PREGUNTAS: PARA PENSAR MAS!!!

Un cuerpo apoyado sobre una mesa... est sometido a la aceleracin de la gravedad?

Se podr demostrar que las dos ecuaciones que escrib en este apunte son la misma? Entonces... ser que cada movimiento tiene una y solo una ecuacin horaria que lo describe... pero esa ecuacin horaria se puede escribir de infinitas formas diferentes?

Qu movimientos de la naturaleza conocs, que sean MRU?

Puede un cuerpo arrancar desde el reposo e ir cada vez ms rpido con una aceleracin negativa? (Ojo, que la respuesta es SI). Qu tipo de movimiento es la cada de los cuerpos? Cuando un cuerpo cae libremente, cmo varia su velocidad? Cuando un cuerpo cae libremente, cmo varia su aceleracin? Cmo se produce la cada de los cuerpos en el vacio?EJERCICIOS

1) A cuntos m/s equivale la velocidad de un mvil que se desplaza a 72 km/h?Datos:

V = 72 km/h

2) Un mvil viaja en lnea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:

a) cul es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.

b) cul es la velocidad media del viaje completo?.

Datos:

v1 = 1.200 cm/s

t1 = 9 s

v2 = 480 cm/s

t2 = 7 s

a) El desplazamiento es:

x = V . t

Para cada lapso de tiempo:

x1 = (1200 cm/s).9 sx1 = 10800 cm

x2 = (480 cm/s).7 sx2 = 3360 cm

El desplazamiento total es:

Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm

Xt = 14160 cm = 141,6 m

b) Como el tiempo total es:

tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s

Con el desplazamiento total recin calculado aplicamos:

V = xt / tt = 141,6 m/16 s v = 8,85 m/s3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido.

a) Si son de distinto sentido:

Xt = X1 - x2Xt = 10800 cm - 3360 cmXt = 7440 cm = 74,4 m

b)

v = xt/ttv = 74,4 m/16 s v = 4,65 m/s4) En el grfico, se representa un movimiento rectilneo uniforme, averige grfica y analticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.

Datos:

v = 4 m/s

t = 4 s

v = x / tx = v . tx = 4 m/s . 4 s

x = 16 m

5) Un mvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar:

a) Velocidad del mvil.

b) Su posicin en t3 = 1 s.

c) Las ecuaciones de movimiento.

d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s.

e) Los grficos x = f(t) y v = f(t) del mvil.

Datos:

t1 = 0 s

x1 = 9,5 cm

t2 = 4 s

x2 = 25,5 cm

a) Como:

v = x / tv = (x2 - x1) / (t2 - t1)

v = (25,5 cm - 9,5 cm) / (4 s - 0 s)v = 16 cm / 4 s

v = 4 cm/sb) Para t3 = 1 s:

v = x / tx = v.t

x = (4 cm/s).1 sx = 4 cmSumado a la posicin inicial:

x3 = x1 + xx3 = 9,5 cm + 4 cmx3 = 13,5 cmc) x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm

d) Con la ecuacin anterior para t4 = 2,5 s:

x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cmx4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cmx4 = 19,5 cm

6) Una partcula se mueve en la direccin del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posicin es x0 = -4 m, trazar las grficas x = f(t) y V = f(t).

Datos:

v = 2 m/s

x0 = -4 m

7) Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleracin es constante, calcular:

a) Cunto vale la aceleracin?

b) Qu espacio recorri en esos 5 s?

c) Qu velocidad tendr los 11 s?

Datos:

v0 = 0 km/h = 0 m/s

vf = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m / 1 km).(1 h / 3600 s) = 25 m/s

t = 5 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t / 2

a) De la ecuacin (1):

vf = a.tt =vf/a

a = (25 m/s)/(5 s)a = 5 m/s

b) De la ecuacin (2):

x = v0.t + a.t /2 = a.t /2 = (5 m/s ).(5 s) / 2x = 62,5 mc) para t = 11 s aplicamos la ecuacin (1):

vf = (5 m/ ).(11 s)vf = 55 m/s8) Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. Qu tiempo necesitar para alcanzar 40 km/h?.

Datos:

V0 = 0 m/s

t = 10 s

x = 20 m

Vf2 = 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t /2

De la ecuacin (1):

vf = a.tt =Vf/a (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = (vf / t).t / 2= vf.t / 2 = 2.x / t = 2.(20 m)/(10 s)vf = 4 m/s

Con ste dato aplicamos nuevamente la ecuacin (1):

a = (4 m/s) / (10 s)a = 0,4 m/s

Finalmente con la aceleracin y la velocidad final dada:

Vf2 = v0 + a.t = a.tt = Vf2/a = (11,11 m/s)/(0,4 m/s )t = 27,77 s9) Un mvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleracin de 51840 km/h , calcular:

a) Qu velocidad tendr los 10 s?

b) Qu distancia habr recorrido a los 32 s de la partida?.

c) Representar grficamente la velocidad en funcin del tiempo.

Datos:

V0 = 0 km/h = 0 m/s

a = 51840 km/h = (51840 km/h ).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s).(1 h/3600 s) = 4 m/s

t1 = 10 s

t2 = 32 s

Ecuaciones:

(1) Vf = V0 + a.t

(2) x = V0.t + a.t / 2


Vf = (4 m/s ).(10 s)Vf = 40 m/sb) De la ecuacin (2):

x = (4 m/s ).(32 s) / 2x = 2048 mc)

10) Un automvil parte del reposo con una aceleracin constante de 30 m/s , transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:

a) Cuntos km recorri en los 2 primeros minutos?b) Qu distancia habr recorrido a las 2 horas de la partida?Datos:

v0 = 0 m/s

a = 30 m/s

t1 = 2 min = 120 s

t2 = 2 h = 7200 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t /2

a)

De la ecuacin (2):

x1 = (30 m/s ).(120 s) /2 = 216000 m x1 = 216 kmb)

De la ecuacin (1) hallamos la velocidad a los 2 min:

vf = (30 m/s ).(120 s)vf = 3600 m/s

A partir de ahora la velocidad es constante, por lo tanto:

v = 3600 m/s

pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo de:

t = t2 - t1t = 7200 s - 120 st = 7080 s

Primero calculamos la distancia recorrida con una velocidad constante:

x2 = v.tx2 = (3600 m/s).(7080 s) = 25488000 mx2 = 25488 km

Ahora calculamos la distancia recorrida durante los 7200 s sumando ambas distancias:

x = x1 + x2 = 216000 m + 25488000 m = 25704000 m x = 25704 km11) Un mvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:

a) Qu velocidad tena el mvil antes de aplicar los frenos?.

b) Qu desaceleracin produjeron los frenos?.

Datos:

t = 25 s

x = 400 m

vf = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t /2


vf = v0 + a.t0 = v0 + a.ta = -v0/t (3)


x = v0.t + a.t /2 = v0.t + (-v0/t).t /2 = v0.t - v0.t/2 = v0.t/2v0 = 2.x/t

vf = 2.(400 m)/(25 s)vf = 32 m/s

b) Con ste dato aplicamos nuevamente la ecuacin (1):

a = (-32 m/s)/(25 s)a = -1,28 m/s 12) Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qu distancia del obstculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleracin fue constante.

Datos:

v0 = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s

vf = 0,2.25 m/s = 5 m/s

t = 4 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t /2

De la ecuacin (1):

vf = v0 + a.ta = (vf - v0)/t

a = (25 m/s - 5 m/s)/(4 s)a = 5 m/s

Con la aceleracin y la ecuacin (2):

x = (25 m/s).(4 s) + (5 m/s ).(4 s) /2x = 60 m13) Un automvil parte del reposo con una aceleracin constante de 3 m/s , determinar:

a) Qu velocidad tendr a los 8 s de haber iniciado el movimiento?.

b) Qu distancia habr recorrido en ese lapso?.

Datos:

a = 3 m/s

t = 8 s

v0 = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t /2


vf = (3 m/s ).(8 s)vf = 24 m/s

b) De la ecuacin (2):

x = (3 m/s ).(8 s) /2x = 96 m14) Grafique, en el movimiento de frenado de un auto, V = f(t). Suponga a = -1 m/s y V0 = 10 m/s. Del grfico calcule el tiempo que demora en detenerse.

Datos:

a = -1 m/s

v0 = 10 m/s

Como la aceleracin es la pendiente de la recta:

t = 10 s15) Un mvil se desplaza sobre el eje "x" con movimiento uniformemente variado. La posicin en el instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su aceleracin a = -4 m/s . Escribir las ecuaciones horarias del movimiento; graficar la posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo; y calcular (a) la posicin, (b) velocidad y (c) aceleracin para tf = 2 s.

Datos:

t0 = 0 s

x0 = 10 m

v0 = 8 m/s

a = -4 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t / 2

Las ecuaciones horarias son:

vf = 8 m/s + (-4 m/s ).t

x = 10 m + (8 m/s).t+ (-4 m/s ).t / 2

a) x = 18 m

b) vf = 0 m/s

c) 0 m/s

Empleando las ecuaciones horarias para t = 2 s:

16) Analizar los movimientos rectilneos a y b representados en las siguientes grficas:

Si la posicin en t = 0 es 5 m para el movimiento a y 50 km para el b, expresar analticamente las ecuaciones del movimiento a partir de los datos incluidos en las grficas.

Datos:

x0a = 5 m

x0b = 50 km

Es un movimiento uniformemente desacelerado.

La aceleracin se obtiene de la pendiente de cada recta.

Las ecuaciones para (a) son:

vf = 20 m/s + (-2,67 m/s ).t

x = 5 m + (20 m/s).t + (-2,67 m/s ).t /2

Las ecuaciones para (b) son:

vf = 200 km/h + (-20 km/h ).t

x = 50 km + (200 km/h).t + (-20 km/h ).t /2

17) Grafique x = f(t) para un mvil que parte de x = 6 m con v0 = 2 m/s y a = -0,2 m/s .

Datos:

x = 6 m

v0 = 2 m/s

a = -0,2 m/s

Las ecuaciones horarias son:

vf = 2 m/s + (-0,2 m/s ).t

x = 6 m + (2 m/s).t + (-0,2 m/s ).t /2x = 6 m + (2 m/s).t - (0,1 m/s ).t

t (s)x (m)

06

17,9

29,6

311,1

412,4

18) Determinar grficamente la aceleracin en los siguientes grficos:

En los tres primeros grficos es nula. El grfico inferior derecho no es funcin.

19) De estos dos grficos, cul representa el movimiento ms veloz? y por qu?

Para analizar o comparar grficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, as como la escala y las unidades en cada eje.

Son grficos de posicin en funcin del tiempo y se representan rectas, por lo tanto se trata de dos movimientos con velocidad constante, en ste caso la pendiente de la recta es la velocidad, para el caso:

v = x / t

v1 = x1 / t1v1 = 10 m / 4 sv1 = 2,5 m/s

v2 = x2 / t2v2 = 10 m / 2 sv2 = 5 m/s

El grfico (2) representa un movimiento ms veloz.

20) Cul de los dos movimientos representado, el (1) o el (2), tiene mayor velocidad?, por qu?

Para analizar o comparar grficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, as como la escala y las unidades en cada eje.

Como no tiene los ejes graduados no se puede emitir un resultado.

21) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresndolas en las unidades correspondientes, luego analice si es correcto graficar a la izquierda del eje vertical.

v1 = x1 / t1v1 = (x1f - x10) / (t1f - t10)v1 = (40 km - 0 km) / (1 h - 0 h)v1 = 40 km/hv2 = x2/t2v2 = (x2f - x20) / (t2f - t20)v2 = (10 km - 2 km) / ( 4 s - 0 s)v2 = 2 km/sv3 = x3 / t3v3 = (x3f - x30) / (t3f - t30)v3 = (0 m - 12 m) / ( 8 s - 0 s)v3 = -1,5 m/sNo se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el tiempo negativo.

22) Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular:

a) Cunto tarda en or la explosin?.

b) A qu distancia se encontraba el objetivo?.

Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre).

Donde no se indica se emplea g = 10 m/s .

Datos:

vx = 1080 km/h = 300 m/s g = 10 m/s .

v0y = 0 m/s

h = 500 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t /2

(3) vx = x/t

El grfico es:

El tiempo que tarda en caer la bomba lo calculamos de la ecuacin (2):

t = 10 s

La distancia recorrida por la bomba a lo largo del eje "x" ser:

vx = x/tx = vx.tx = (300 m/s).(10 s)x = 3000 mEs la respuesta al punto (b).

En el mismo instante que la bomba toca el suelo el avin pasa sobre ella, es decir 500 m sobre la explosin.

Si la velocidad del sonido es 330 m/s:

vx = x/tt = x/vxt = (500 m)/(330 m/s)t = 1,52 s

La respuesta al punto (a) es:

t = 10s + 1,52 st = 11,52 s23) Un avin que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar:

a) A qu distancia del objetivo cae la bomba?.

b) Cunto tarda la bomba en llegar al suelo?.

c) Dnde esta el avin al explotar la bomba?.



Datos:

vx = 800 km/h = 222,22 m/s

v0y = 0 m/s

h = 2000 m

d = 5000 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t /2

(3) vx = x/t

El grfico es:

a) Primero calculamos el tiempo que demora en caer, de la ecuacin (2):

h = g.t /2t = 2.h/g

t = 20 s

Luego con la ecuacin (3) obtenemos el punto de impacto:

vx = x/tx = vx.tx = (222,22 m/s).(20 s)x = 444,44 m

Por lo tanto el proyectil cae a:

d = 5000 m - 444,44 md = 555,55 mb) Es el tiempo hallado anteriormente:

t = 20 sc) Sobre la bomba, ambos mantienen la misma velocidad en el eje "x".

24) Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en direccin paralela al ro, ste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar:

a) Qu velocidad inicial tena el proyectil?.

b) Cunto tard en tocar el agua?.



Datos:

v0y = 0 m/s

h = 20 m

d = 2000 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t /2

(3) vx = x/t

El grfico es:

a) De la ecuacin (3) despejamos el tiempo:

t = x/vx (4)

y reemplazamos la (4) en la (2):

vx = 1000 m/sb) De la ecuacin (4):

t = x/vxt = (2000 m)/(1000 m/s)t = 2 s25) Una pelota esta rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los 0,5 s de haberse cado de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular:

a) Qu velocidad traa?.

b) A qu distancia de la mesa estar al llegar al suelo?.

c) Cul era su distancia al suelo a los 0,5 s?.


Datos:

v0y = 0 m/s

h = 2 m

t = 0,5 s

d = 0,2 m

Ecuaciones:

(1) v fy = v0y + g.t

(2) h = v0y.t + g.t /2

(3) vx = x/t

El grfico es:


vx = (0,2 m)/(0,5 s)vx = 0,4 m/sb) De la ecuacin (2) hallamos el tiempo que tarda en caer:

h = g.t /2t = 2.h/gReemplazamos en la ecuacin (3):

x = 0,253 mc) Aplicando la ecuacin (2) obtenemos la distancia recorrida:

h = g.t /2h = (10 m/s ).(0,5 s) /2

h = 1,25 m

Por lo tanto estar a 0,75 m del suelo.

26) Se dispara un perdign con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50 m/s, en una direccin que forma un ngulo de 37 con la horizontal, despreciando el rozamiento, determinar:

a) La posicin del perdign a los 2 s, 5 s y 8 s despus de haber partido, respectivamente y representar en un diagrama X-Y.

b) Las componentes de los vectores velocidad en los instantes anteriores, representar dichos vectores, en el diagrama anterior, en las cuatro posiciones conocidas.

c) Instante, posicin y velocidad en el momento en que se encuentra al mismo nivel que el de partida.

d) Sin hacer cuentas, justifique entre que instantes de los especificados cree Ud. que el proyectil alcanzar la mxima altura, qu velocidad tendr all?, calclelo ahora y verifique su hiptesis.

e) Con toda la informacin anterior, dibujar la trayectoria del proyectil y escribir la ecuacin de la misma.

Respuesta: a) (80 m;40,4 m), (200 m;27,5 m) y (320 m;-73,6 m) b) (40 m/s;10,4 m/s), (40 m/s;-19 m/s) y (40 m/s;-48,4 m/s) c) 6,12 s; (244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s) d) 3,06 s y 0 m/s e) 0,75.x - 0,003.x/m

27) Desarrollar el problema anterior para un ngulo de partida de 53.

Respuesta: a) (60 m;60,4 m), (150 m;77,5 m) y (240 m;6,4 m) b) (30 m/s;20,4 m/s), (30 m/s;-9 m/s) y (30 m/s;-38,4 m/s) c) 8,16 s; (244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s) d) 4,08 s y 0 m/s e) 1,33.x - 0,005.x/m

28) Un gato maulla con ganas, instalado sobre un muro de 2 m de altura, Pedro est en su jardn, frente a l y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojndole un zapato. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando un ngulo de 53 con la horizontal, desde una altura de 1,25 m, determinar:

a) A qu distancia por encima de donde estaba el gato pas el zapato?

b) A qu distancia al otro lado del muro lleg el zapato?

Respuesta: a) 3,65 m b) 4,95 m

29) Un jugador de ftbol efecta un saque de arco, la pelota pica en la cancha 60 m ms adelante y 4 s despus de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto ms alto y con que velocidad llega a tierra.

Respuesta: a) 15 m/s b) (15 m/s;-19,6 ms)

30) Susana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Gerardo lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 s despus. Sabiendo que Gerardo se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Susana, hallar:

a) A qu altura del piso parti el llavero?b) Con qu velocidad lleg a las manos de Gerardo?Respuesta: a) 4,34 m b) (6; -7,84) m/s

31) Un esquiador que se desliza por una rampa inclinada 30 llega al borde con cierta velocidad. Luego de un segundo de vuelo libre, retoma la pista, ms abajo, 4,33 m delante del borde de la rampa. Determinar:

a) Qu velocidad tena en el borde de la rampa?b) Con qu velocidad lleg a la pista?.

c) Qu desnivel haba entre el borde de la rampa y la pista?.

Respuesta: a) 5 m/s b) 7,4 m c) (4,33; -12,3) m/s

32) Un ejecutivo aburrido se entretiene arrojando horizontalmente bollos de papel, desde una altura de 1,2 m, hacia el cesto que tiene 2 m frente a l al otro lado del escritorio, para esto debe superar la esquina del escritorio que se encuentre a 75 cm sobre el piso y a 1 m delante de l, teniendo en cuenta que el cesto tiene 40 cm de alto por 40 cm de dimetro, determinar entre qu valores debe encontrarse la velocidad de partida de un bollo para que ingrese en el cesto.

Respuesta: (5,5 0,5) m/s

33) Un malabarista muestra su destreza, manteniendo continuamente en el aire cuatro platos, los recibe con su mano izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su mano derecha, desde la misma altura y a 1,2 m de donde los recibi. Los platos alcanzan una altura mxima de 4 m sobre el nivel del piso, hallar:

a) Con qu velocidad los arroja?.

b) Con qu velocidad pasan por el punto ms alto?.

c) Si tarda 0,2 s en pasarlos de una mano a otra, estimar cada cunto tiempo recibe un plato.

Respuesta: a) (0,74; 7,92) m/s b) (0,74; 0) m/s c) 0,46

34) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s.

a) Cul ser su velocidad luego de haber descendido 3 s?.

b) Qu distancia habr descendido en esos 3 s?.

c) Cul ser su velocidad despus de haber descendido 14 m?.

d) Si el cuerpo se lanz desde una altura de 200 m, en cunto tiempo alcanzar el suelo?.

e) Con qu velocidad lo har?.

Datos:

v0 = 7 m/s

t = 3 s

y = 200 m

h = 14 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t /2

(3) vf - v0 = 2.g.h


vf = (7 m/s) + (10 m/s ).(3 s)vf = 37 m/sb) De la ecuacin (2):

h = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s ).(3 s) /2 h = 66 mc) De la ecuacin (3):

vf = 18,14 m/sd) De la ecuacin (2):

0 = v0.t + g.t /2 - y

Aplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados:

t1 = 5,66 st2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION)

e) De la ecuacin (3):

vf = 63,63 m/s35) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s.

a) Cul es la altura mxima alcanzada?.

b) En qu tiempo recorre el mvil esa distancia?.

c) Cunto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.

d) Cunto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.

Datos:

v0 = 100 m/s

vf = 60 m/s

t = 4 s

y1 = 300 m

y2 = 600 m

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t /2

(3) vf - v0 = 2.g.h

a) Para la altura mxima vf = 0, de la ecuacin (3):

-v0 = 2.g.hh mx = -vf /(2.g) h mx = -(100 m/s) /[2.(-10 m/s )]

h mx = 500 mb) De la ecuacin (1) y para vf = 0:

t = v0/g

t = (-100 m/s)/(-10 m/s )

t = 10 sc) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0).

Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requiri para alcanzar la altura mxima.

t = 20 se) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la mxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuacin (2):

0 = v0.t + g.t /2 - y

Aplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados:

t1 = 3,68 st2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION)

36) Un auto choca a 60 km/h contra una pared slida, desde qu altura habra que dejarlo caer para producir el mismo efecto?.

Usar g = 10 m/s .

Datos:

vf = 60 km/hvf = 16,67 m/s

v0 = 0 m/s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t /2

(3) vf - v0 = 2.g.h

De la ecuacin (3):

vf /2.g = hh = (16,67 m/s) /[2.(-10 m/s )]h = 13,9 m37) Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s.

a) Qu velocidad tendr la pelota al cabo de 7 s?.

b) Qu espacio habr recorrido en ese tiempo?.

Datos:

v0 = 5 m/s

t = 7 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t /2

(3) vf - v0 = 2.g.h


vf = 5 m/s + (10 m/s ).(7 s)vf = 75 m/sb) De la ecuacin (2):

y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s ).(7 s) y = 280 m

38) Desde el balcn de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s.

a) Desde qu piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.

b) Con qu velocidad llega a la planta baja?.

Respuesta: a) 43 b) 50 m/s

39) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, cul es la profundidad del pozo?.

(1) vf = g.t

(2) h = g.t /2

El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer mas el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra:

t = tp + ts = 10 s ts = 10 s - tp (3)

La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra:

hT = hs = hp (4) Para el sonido:

vs = hs/tshs = vs.ts (5)

Para la piedra

hp = g.tp /2 (6)

Igualando (5) y (6):

vs.ts = g.tp /2 (7)


Reemplazando por los datos:

Resolvemos la ecuacin cuadrtica:

tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuacin (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos:

hp = 383,3 m

Respuesta: 383,3 m40) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 29,42 m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar:

a) Cunto demor en recorrer la distancia entre A y B ?.

b) Cul es la distancia entre A y B ?.

Respuesta: a) 2 s b) 78,44 m/s

41) Un cuerpo cae libremente desde un avin que viaja a 1,96 km de altura, cunto demora en llegar al suelo?Respuesta: 19,8 s

42) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:

a) Cunto demor en recorrer la distancia entre A y B ?.

b) Cul es la distancia entre A y B ?.

c) Cul ser su velocidad 6 s despus de pasar por B ?.

Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s43) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular:

a) A qu altura estara esa terraza.

b) Con qu velocidad llegara la piedra al piso.

Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s

44) De qu altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo?.

Respuesta: 80 m

45) Desde qu altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de una turbina con velocidad de 30 m/s?.

Respuesta: 45 m

ALCANCE Y ENCUENTRO

1) En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos despus, una patrulla de la polica pasa por la misma esquina persiguindolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver grfica y analticamente:

a) A qu distancia de la esquina, la polica alcanzar al muchacho?

b) En qu instante se produce el encuentro?

Respuesta: a) 600 m b) 30 s

2) En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme de 20 m/s. Cinco segundos despus, pasa en su persecucin, por el mismo punto A,otro cuerpo animado de movimiento rectilneo uniforme, de velocidad 30 m/s. Cundo y dnde lo alcanzar?, resolver grfica y analticamente.

Respuesta: a) 200 m b) 15 s

3) Un mvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular:

a) A qu distancia de A se encontraran?.

b) En qu instante se encontraran?.

Respuesta: a) 342,8 m b) 4,285 h

4) Un mvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos despus sale desde el mismo lugar y en su persecucin otro mvil a 27,78 m/s. Calcular:

a) A qu distancia de A lo alcanzar?.

b) En qu instante lo alcanzar?.

Respuesta: a) 600 km b) 7,5 h

5) Dos mviles pasan simultneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analticamente y grficamente:

a) La posicin del encuentro.

b) El instante del encuentro.

Respuesta: a) 9 km b) 10 min

6) Dos mviles pasan simultneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido opuesto. Hallar analticamente y grficamente:

a) La posicin del encuentro.

b) El instante del encuentro.

Respuesta: a) 2 km b) 200 s

7) Dos puntos A y B estn separados por una distancia de 180 m. En un mismo momento pasan dos mviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10 m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analticamente y grficamente:

a) A qu distancia de A se encontraran?b) El instante del encuentro.

Respuesta: a) 6 s b) 60 m

8) En una obra en construccin se tira verticalmente hacia arriba desde los 15 m de altura un martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube un montacarga con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, cunto tiempo despus y a que altura chocar con el montacarga?Respuesta: a) 7,93 s b) 23,86 m

9) Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo del reposo con una aceleracin de 1000 km/h , calcular:

a) Cundo el primer ciclista ser alcanzado por el segundo?.

b) A qu distancia de la salida?.

c) Qu velocidad tendr el segundo ciclista en el momento del encuentro?.

Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h

10) Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permitida, a los 4 s un polica sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los 6000 m, calcular:

a) Cunto dura la persecucin?.

b) Qu aceleracin llevaba el polica?.

c) Qu velocidad tena el polica en el momento del encuentro?Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h

11) Un motociclista detenido en una esquina arranca con aceleracin de 0,003 m/s. En el mismo momento un automvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h, calcular:

a) Cunto tarda el motociclista en alcanzar al automvil?

b) A qu distancia de la esquina ocurre esto?

Respuesta: a) 3 h 36 min b) 251,94 km

12) El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1 advierte delante de l, a una distancia d, la cola de un tren de carga que se mueve en su mismo sentido, con un velocidad v2 constante, menor que la suya. Frena entonces, con aceleracin constante, determinar el mnimo valor del mdulo de dicha aceleracin, para evitar el choque.

Respuesta: (v1 - v2) /(2.d)

13) Un jugador de ftbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ngulo de 30 con respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m ms delante de la posicin de disparo. Despreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qu velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando sta llegue al suelo.

Respuesta: 7,52 m/s

14) En el instante en que un semforo da luz verde, un automvil, que haba estado detenido en el cruce, arranca recto con una aceleracin constante de 2 m/s. Al mismo tiempo una camioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar:

a) A qu distancia de su punto de partida el automvil alcanzar a la camioneta?b) A qu velocidad lo har?Respuesta: a) 100 m b) 20 m/s

DINAMICA

Estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definicin cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleracin, la masa y la fuerza.

Isaac Newton demostr que la velocidad de los objetos que caen aumenta continuamente durante su cada. Esta aceleracin es la misma para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). Newton mejor este anlisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleracin.

Para los objetos que se desplazan a velocidades prximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teora de la relatividad de Albert Einstein. Para las partculas atmicas y subatmicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teora cuntica. Pero para los fenmenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinmica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento).

LAS LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTONPRIMERA LEY DE NEWTONPrincipio de Inercia: Todo cuerpo continua en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas aplicadas sobre l. Este estado se conoce como EQUILIBRIO.El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no est sometido a ninguna fuerza, un objeto en movimiento seguir desplazndose a velocidad constante.

En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre l. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.

Para que haya equilibrio, las componentes horizontales de las fuerzas que actan sobre un objeto deben cancelarse mutuamente, y lo mismo debe ocurrir con las componentes verticales. Recordar: Para calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como vectores.Primera Condicin de Equilibrio en el plano: La sumatoria de todas las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, debe ser nula.

Fx = 0

Fy = 0

Luego enunciaremos la Segunda Condicin de Equilibrio, referida a los momentos o giros que pueden producir un sistema de fuerzas, sobre un cuerpo.

SEGUNDA LEY DE NEWTONPrincipio de Masa: el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz aplicada y ocurre segn su recta de accin.

Si sobre un cuerpo de masa m acta una fuerza F, esta se acelera con una aceleracin a. Las tres magnitudes anteriores se relacionan a travs de la ecuacin:

F = m . a

Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerar, es decir, cambiar su velocidad. La aceleracin ser proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendr la misma direccin y sentido que sta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la inercia de un cuerpo y es una constante universal.

Unidades: En el Sistema Internacional de unidades, la aceleracin a se mide en m/s (metro por segundo cuadrado), la masa m se mide en kg (kilogramo), y la fuerza F en N (newton).

Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una aceleracin de 1 metro por segundo cada segundo.

Un objeto con ms masa requerir una fuerza mayor para una aceleracin dada que uno con menos masa. La masa, mide la inercia de un objeto (Inercia: su resistencia a cambiar la velocidad, tanto de mdulo como de direccin)En particular para la fuerza peso:

P = m.g

DIFERENCIAS ENTRE PESO Y MASAEn algunos sistemas de medicin, la idea de Peso y Masa, tienden a confundirse. Esto tambin se asevera cuando vemos la definicin: una masa de 1 kg (masa, medido en SI) tiene un peso de 1 kgf (fuerza, medido en sistema tcnico). Por eso creo importante mostrarte el siguiente cuadro:MasaPeso

Magnitud EscalarMagnitud Vectorial

Propiedad de un CuerpoFuerza: Interaccin entre dos cuerpos

Invariable con respecto a su posicinVara con respecto a la posicin relativa con otro cuerpo y el lugar de la Tierra en que se encuentra (o del Universo)

TERCERA LEY DE NEWTONPrincipio de Accin y Reaccin: si sobre un cuerpo se aplica una fuerza F, llamada accin, este devolver una fuerza - F, igual y contraria, llamada reaccin.

Es importante destacar que accin y reaccin, llamadas Par de Fuerzas, son fuerzas aplicadas sobre distintos cuerpos.

Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un nio, no slo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el nio, sino que el nio ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleracin ser menor.

Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de los cuerpos a partir de las fuerzas que actan sobre ellos. Es necesario que conozcamos cules son esas fuerzas y su descomposicin segn los ejes en la direccin del movimiento y perpendicular a l.

Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el movimiento de un cuerpo son: el peso, la Normal y la fuerza de rozamiento (en este curso no la tendremos en cuenta). Veamos cada una de ellas por separado.

EL PESO (m . g)

El peso es la fuerza de atraccin gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayora de los casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleracin de la gravedad, g, cuyo valor esta considerado como 9.8 m/s2 (promedio de los puntos de la Tierra)y est dirigida siempre hacia el suelo.

En la figura de la derecha aparecen algunos ejemplos que muestran hacia donde est dirigido el peso en diferentes situaciones: un cuerpo apoyado sobre el suelo y un cuerpo que se mueve por un plano inclinado. El peso siempre tiene sentido hacia el suelo hacia el suelo.

LA NORMAL (N)Cuando un cuerpo est apoyado sobre una superficie ejerce una fuerza sobre ella cuya direccin es perpendicular a la de la superficie. De acuerdo con la Tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y direccin, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la que denominamos Normal y la representamos con N.

En la figura de la izquierda se muestra hacia donde est dirigida la fuerza normal en los dos ejemplos que aparecan en la figura anterior para el peso. Como ya hemos dicho, siempre es perpendicular a la superficie de contacto y est dirigida hacia arriba, es decir, hacia fuera de la superficie de contacto.

Sobre un plano inclinado, la descomposicin vectorial del P del cuerpo, genera Px y Py, segn las direcciones tangencial y normal del plano.

Fuerza normal al plano e igual pero de sentido contrario a la componente normal al plano, de la fuerza peso.

N = m . g . cos .

CENTRO DE GRAVEDADEn cuanto al tamao o peso del objeto en movimiento, no se presentan problemas matemticos si el objeto es muy pequeo en relacin con las distancias consideradas. Si el objeto es grande, se emplea un punto llamado centro de masas, cuyo movimiento puede considerarse caracterstico de todo el objeto. Si el objeto gira, muchas veces conviene describir su rotacin en torno a un eje que pasa por el centro de masas.

El centro de gravedad o baricentro o centro de masas, es un punto donde puede suponerse encontrada todo el rea, peso o masa de un cuerpo y tener ante un sistema externo de fuerzas un comportamiento equivalente al cuerpo real.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

A la hora de resolver un problema de Dinmica, lo primero que hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es ms que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actan sobre l. Veamos un ejemplo de como hacer esto.

Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleracin con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales son las fuerzas que actan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas sern:

Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto de la masa del cuerpo por la aceleracin de la gravedad y que estn dirigidos hacia abajo.

Las normales sobre cada uno de los cuerpos que estn dirigidas hacia arriba,

Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre l, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizar sobre A como reaccin, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo y sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.

Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Slo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actan sobre l, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habr que aplicar la Segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es ms que decidir que direccin ser el eje x y cal el eje y y cuales sern los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales sern los ejes de coordenadas, slo tenemos que escribir la ecuacin F = m.a para cada eje.

Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fcil hacer la eleccin, el eje x ser paralelo al suelo y el eje y perpen

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