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GUIA DO PROFESSOR DO MÓDULO 2 TÍTULO DO OA: FRACIOMIA CATEGORIA: MATEMÁTICA

SUB-CATEGORIA: FRAÇÕES PÚBLICO ALVO: 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

INTRODUÇÃO Dos primórdios aos dias atuais, a Matemática sempre foi peça fundamental para a construção de recursos vitais ao desenvolvimento da humanidade e na atualidade ela torna-se ainda mais necessária quando se fala em raciocínio lógico, trabalho coletivo e busca de soluções para as situações-problema do cotidiano. Há vários mitos e equívocos a respeito do currículo de Matemática e sua implementação nos níveis básicos de ensino. Um dos mais preocupantes é o de que um tópico específico ou campo conceitual é exclusividade de uma determinada série, o que torna o ensino de Matemática fragmentado e desconexo da realidade e contexto dos alunos. Um exemplo disso é o trabalho com as frações. Ha muitas décadas que o tema frações com todos seu acervo de conceitos e procedimentos subjacentes, (frações próprias, equivalentes, ordenação, aplicações e cálculos), devem ser "ensinados" na quinta série do Ensino Fundamental, como um pacote. Porém, nos questionamos se devemos inserir as frações na vida desses alunos mesmo observando que eles ainda têm dificuldades em outras operações básicas das quais a própria fração se utiliza. Um estudo e uma avaliação por parte do professor são importantes para saber se os alunos estão aptos a aprenderem tal conteúdo. Devemos pensar também como seria o ensino de frações se abrirmos mão dos recursos tradicionais como o de partir pizzas e barras de chocolate. A nossa proposta com este Objeto de Aprendizagem é de que este possa proporcionar uma complementação aos trabalhos desenvolvidos em sala de aula, dando a oportunidade do professor levar até o aluno uma outra perspectiva do conteúdo. O fato é que há dezenas, talvez centenas, de estudos sobre aprendizagem de frações, números racionais e atividades de proporcionalidade que mostram que há diferentes e diversas idéias em torno de um código 3/4. O ensino de frações deve ser gradativo, ou seja, a escola deveria dosar o ensino das operações de modo que elas possam ser realmente contextualizadas e incorporadas às estruturas de pensamento dos alunos. Neste módulo, apresentamos o conceito de frações, que dá suporte para outros conteúdos importantes da Matemática como, por exemplo, a resolução de equações de primeiro e segundo grau, porcentagem e probabilidade.

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A porcentagem está presente desde uma simples negociação entre um consumidor e um vendedor de uma loja de eletrodoméstico até uma grande negociação entre investidores na bolsa de valores. Já a probabilidade, é necessária ao ser humano no que se refere a ajudá-lo em qual fato possivelmente irá acontecer, como por exemplo, qual a probabilidade de chover ou não em um dia típico de inverno. A seguir, seguem os objetivos propostos para o seu desenvolvimento. OBJETIVOS

• Estimular o aluno a utilizar o conteúdo aprendido sobre frações, como soma, subtração, multiplicação, divisão e simplificação;

• Fixar os conceitos dados em sala de aula sobre frações próprias e impróprias;

• Estimular o raciocínio sobre a noção de proporcionalidade; • Compreender e diferenciar a fração como parte-todo, número e operador

multiplicativo; • Identificar as frações que podem ser simplificadas, isto é, o aluno

conseguir encontrar frações equivalentes e também as irredutíveis, utilizando o MDC (Máximo Divisor Comum) ou algum outro método para tal.

PRÉ-REQUISITOS É necessário que o aluno tenha conhecimentos básicos sobre: somar, subtrair, multiplicar, simplificar frações (encontrando um divisor comum entre o numerador e o denominador) e que saiba montar estratégias para encontrar um Mínimo Múltiplo Comum (MMC) quando for realizar operações entre as frações, além dos conceitos de frações próprias e impróprias. TEMPO PREVISTO PARA ATIVIDADE Esse objeto é um complemento ao conteúdo de frações já estudado em sala de aula. O tempo previsto para sua aplicação é de duas a quatro horas/aulas, dependendo aqui do que o professor pode determinar e construir com os alunos como atividades anteriores e posteriores ao seu uso. O aluno poderá interagir com o objeto quantas vezes quiser, ou poderá realizar uma poção e liberar o computador para um próximo aluno, no caso de número insuficiente de computadores disponíveis.

NA SALA DE AULA

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QUESTÕES PARA DISCUSSÃO As questões abaixo são apenas sugestões para um início de discussão sobre o assunto abordado pelo objeto e devem ser complementadas com as questões que aparecerem particularmente em cada sala de aula.

• O que vocês entendem por fração? • Usamos frações no nosso dia-a-dia? Se sim em quais situações? • Você acha que estas situações citadas anteriormente podem ser

resolvidas sem a ajuda das frações? • O que você achou da experiência de criar poções e quantificar os

produtos utilizados para sua realização? • Você gostaria de um laboratório de química, onde pudesse manipular

diferentes fórmulas e aplicar os conhecimentos adquiridos sobre fração?

NA SALA DE COMPUTADORES: PREPARAÇÃO É necessário que os alunos conheçam os conceitos envolvidos no objeto, e, por isto, é importante que o educador reflita com os alunos sobre os conceitos necessários em uma aula de Frações. Também é importante estimulá-los a perceber que o campo de aplicações práticas que envolvem frações é muito vasto, conscientizando-os de que a aprendizagem significativa do conteúdo através do objeto é mais dinâmica e interativa, diferente dos meios tradicionais. REQUERIMENTOS TÉCNICOS Para utilização do OA é necessário navegador WEB com plug-in do Adobe Flash MX ou superior. Dica: o plug-in está disponível em <www.adobe.com.br> DURANTE A ATIVIDADE Tela 01: Para iniciar o OA o aluno deve clicar em Início.

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Tela 02: Nos livros dispostos na estante há um poema sobre frações, que os alunos podem ler.

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Tela 03: Ao entrar no AO o mago pergunta se o aluno quer fazer uma encomenda ou criar uma poção.

Tela 04: Tanto na opção de criar uma poção ou de fazer uma encomenda o aluno deve ir para o estoque e escolher 5 ingredientes se ele for criar uma poção ou pegar os 5 ingredientes descritos na receita se ele for fazer uma encomenda.

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Tela 05: Ao clicar sobre o ingrediente nas estantes do estoque aparece a sua quantidade em “ quantidade disponível no pote” e o aluno deve inserir a “quantidade que restará no pote” após ele pegar o tanto que ele quer. Se for preciso o aluno pode pegar outro pote.

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Tela 06: Ao clicar em inventório o aluno pode ver os ingredientes que ele já pegou e até devolvê-los caso ele tenha pegado errado.

Tela 07: No inventório na opção de “Livro de poções”-> “Ler” o aluno pode recorrer aos ingredientes da poção se ele estiver no módulo fazer uma encomenda.

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Tela 08: Depois de pegar os cinco ingredientes (necessariamente um de cada tipo) o aluno pode clicar em “preparar poção”, e ir adicionando seguindo o modo de preparo ou não.

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Tela 09: Depois de todos os ingredientes adicionados ao caldeirão a poção fica pronta e aparece a cor que ela ficou, e se for a cor dela mesmo o aluno acertou, se foi um módulo experimental ficou uma cor surpresa nesse caso o aluno deve refazer sua poção que ele acabou de criar para ver se ele consegue chegar na mesma cor novamente.

Tela 10: Se ele errou na quantidade dos ingredientes, nos ingredientes ou no modo de preparo aparece uma mensagem de erro e ele tem a oportunidade de refazê-la.

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DEPOIS DA ATIVIDADE: QUESTÕES PARA DISCUSSÃO Após ter realizado as atividades propostas, algumas perguntas que podem ser feitas, como:

• Por que temos que encontrar o mínimo múltiplo comum quando efetuamos uma soma ou uma subtração de frações?

• Por que podemos falar que uma fração do tipo imprópria pode ser escrita na forma de uma fração mista?

• É possível encontrar frações irredutíveis sem utilizar o MDC? • Para que precisamos simplificar as frações, isto é, achar frações

equivalentes? • Quais conceitos sobre frações você sabia antes de utilizar o módulo? • E depois de utilizar o módulo?

AVALIAÇÃO Devido ao modelo de ensino fixado na atual conjuntura, os alunos não compreendem os conteúdos matemáticos e, desta maneira, será escassa a quantidade de pessoas que dominam seus conceitos, não podendo manipular o grande potencial que apresentam para uso benéfico a si próprio ou a sociedade em geral.

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O surgimento de um problema atrai alguém para resolvê-lo que, por sua vez, buscará ajuda da Matemática. Esta, por seu grau de complexidade, atrairá mais pessoas em torno do mesmo problema (coletividade) para pensar (desenvolvimento do raciocínio lógico) e, conseqüentemente, virá a solução do problema. O professor deve observar durante a realização das atividades o desenvolvimento de cada aluno e, de acordo com os erros mais freqüentes, verificar as dúvidas que emergirem e construir o conceito junto com o aluno, não meramente transmitindo uma informação. Para avaliar se o Objeto de Aprendizagem utilizado como complementação do conteúdo dado em sala de aula foi eficaz, um acompanhamento de perto pelo professor na aplicação do objeto se faz necessário. O professor deve ter em mãos um caderno para anotar as dificuldades mais relevantes de cada aluno, e posteriormente em sala de aula reforçar os pontos onde houve mais dúvidas, ou se achar necessário pode conversar individualmente com o aluno e ajudá-lo diretamente no problema. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Será possível trabalhar com os alunos a partir dos livros que foram dispostos na estante. Nela temos livros onde é contado o surgimento do número em forma de fração, alguns conceitos e definições e um poema sobre frações equivalentes feito por um aluno. A partir deste último, é possível propor aos alunos que também elaborem algum texto (que pode ser em forma de poema) sobre algum conceito aplicado no OA. De acordo com Smole & Diniz “a produção de textos nas aulas de matemática cumpre um papel importante para a aprendizagem do aluno e favorece a avaliação dessa aprendizagem em processo. Organizar o trabalho em matemática de modo a garantir a aproximação dessa área do conhecimento e da língua materna, além de ser uma proposta interdisciplinar, favorece a valorização de diferentes habilidades que compõe a realidade complexa de qualquer sala de aula.” Sugerimos também uma aula diferenciada para retomar e ampliar o estudo das operações com números racionais escritos na forma fracionária. A seguir faremos um passo-a-passo da atividade que foi elaborada como auxílio do livro Experiências Matemáticas para 5ª série, das páginas 271 a 282. Parte 1: Jogos de Frações Para realização desta atividade são necessárias sete folhas de sulfite que deverão ser pintadas e divididas da seguinte maneira: 1

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Branca (inteira) Azul Claro Vermelho Azul escuro Rosa Amarelo Verde Outro material necessário será dadinhos (na quantidade de grupos formados na sala de aula com até 5 integrantes) com as seguintes faces: 1, 1, 1, 1, 1, 1 . 2 2 3 4 6 8 O professor iniciará a atividade distribuindo a cada aluno uma folha do tipo I. Peça que pintem as figuras de acordo com a cor indicada em cada uma. A seguir, deverão recortar cada figura e em seguida recortar nas partes pontilhadas de cada uma. Feito isso, algumas perguntas podem ser dirigidas aos alunos, como:

• Quantas peças vermelhas são necessárias para compor uma branca? • Quantas peças azuis são necessárias para compor uma branca? • Quantas peças vermelhas são necessárias para compor uma amarela? E

uma azul? • Quantas peças verdes são necessárias para compor uma amarela? E

uma azul? • Quantas peças verdes são necessárias pra compor uma branca? • Quantas peças verdes são necessárias para compor uma rosa? E duas

rosas? E três rosas? • Quantas peças vermelhas são necessárias para compor uma branca e

uma azul?

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Os alunos irão jogar com essas peças e as regras do jogo são as seguintes:

• Os alunos devem ser organizados em grupos, com no máximo cinco integrantes, colocando as peças que cada um possui sobre a sua própria mesa. As peças não podem ser misturadas com as dos outros alunos.

• Um a um vão jogando o dado. A face que ficar para cima indica a peça ganha.

Por exemplo, se cair com a face 1/8 voltada para cima, o aluno poderá pegar das suas peças uma vermelha.

• Cada aluno jogará o dado 5 vezes. • O objetivo do jogo, em primeiro lugar, é compor a PEÇA BRANCA, depois

compor as outras peças. Para tanto, poderão fazer trocas sempre que possível. Por exemplo, trocar duas verdes por duas rosas.

• Ganha o jogo quem tiver composto o maior número de peças de acordo com a pontuação abaixo:

Uma peça branca 4 pontos

Uma peça azul claro 3 pontos Uma peça azul

escuro 3 pontos

Uma peça rosa 2 pontos Uma peça amarela 2 pontos Uma peça vermelha 1 ponto

Uma peça verde 1 ponto Em um primeiro momento, pode-se deixar que os alunos joguem até 2 partidas com as 5 jogadas cada um, para que eles se familiarizem com o jogo. Após jogarem livremente essas partidas, solicite aos alunos que na nova partida a se iniciar, registrem as peças que foram ganhando e as trocas que forem fazendo organizando os dados como na tabela a seguir:

Jogadas Efetuadas Peças Ganhas Trocas Realizadas 1ª Jogada 2ª Jogada 3ª Jogada 4ª Jogada 5ª Jogada

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Lembre-se que devido o aluno poder efetuar várias trocas na tabela há mais de 5 linhas. Por exemplo, se um aluno ganhar: 4 peças vermelhas 3 peças azuis 2 peças amarelas 3 peças verdes poderá fazer os registros:

- 4 peças vermelhas equivalem a uma azul claro. Logo: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = 1

8 8 8 8 8 2 - 3 peças azuis equivalem a uma branca e uma azul claro.

Logo: 1 + 1 + 1 = 3 = 1 1 2 2 2 2 2 - 2 peças amarelas equivalem a uma azul escuro.

Logo: 1 + 1 = 2 = 1 4 4 4 2 - 3 peças verdes equivalem a uma azul escuro.

Logo: 1 + 1 + 1 = 3 = 1 6 6 6 6 2

Como resultado esse aluno obteve um total de 4 peças azuis e uma branca que podem ser dispostas da maneira a seguir:

Quantidade de peças Cor da peça Pontos ganhos

TOTAL DE PONTOS: Finalmente ele ficará com o que corresponde a 16 pontos. Ao final de uma partida com registros, convide os alunos a explicarem suas trocas e justificar o registro utilizado.

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Parte 2: Escritas Equivalentes Como proposto no objeto de Aprendizagem o Alquimista com essa atividade também é possível trabalhar com as frações equivalentes. Durante as explicações dos alunos certamente aparecerão, dentre outras, as igualdades: 1 = 2 2 4 1 = 3 2 6 1 = 4 2 8 Organize-as na lousa e peça aos alunos que descubram outras equivalências para a fração meio. Será possível observar se os alunos estão obtendo uma fração equivalente multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador da fração dada pelo mesmo número. Assim: 1 = 1 x 2 = 2 ou 2 = 2 : 2 = 1 2 2 x 2 4 4 4 : 2 2 1 = 1 x 3 = 3 ou 3 = 3 : 3 = 1 2 2 x 3 6 6 6 : 3 2 1 = 1 x 4 = 4 ou 4 = 4 : 4 = 1 2 2 x 4 8 8 8 : 4 2 1 = 1 x 5 = 5 ou 5 = 3 : 3 = 1 2 2 x 5 10 10 10:5 2 Comente com os alunos que, em diversas situações, obtemos, como resultado, uma fração que pode ser substituída por uma equivalente mais conveniente, ou seja, pela equivalente irredutível. Assim, por exemplo, quando efetuamos: 1 + 1 + 1 = 3 , 6 6 6 6 poderíamos simplificar o resultado dividindo o numerador e o denominador pelo número 3. 3 = 3 : 3 = 1 , 6 6 : 3 2

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o que corresponderia, no nosso jogo, trocar três peças verdes por uma azul escuro. 1 + 1 + 1 = 3 = 1 6 6 6 6 2 Conte aos alunos que uma aluna, após a primeira partida com o “jogo de frações” fez suas trocas e sobraram uma peça rosa e uma verde. Ela gostaria de saber se poderia fazer alguma troca com essas peças e fez: 1 + 1 = 1 x 2 + 1 = 2 + 1 = 3 3 6 3 x 2 6 6 6 6 simplificando 3 temos 1 . 6 2 Assim, é claro, ela percebeu que poderia trocar essas duas peças por uma azul. Proponha, então, que façam os cálculos abaixo, usando o mesmo processo que a aluna usou. a) 1 + 1 + 1 4 8 8 b) 3 + 1 4 2 c) 7 - 5 + 1 3 6 2 d) 1 - 2

4 8 Agora é hora de lançar um desafio aos alunos: Peça que eles calculam 2 + 1 3 4 Como transformar a fração 2 em uma equivalente com denominador 4? 3 2 = ? 3 4 Alguns alunos poderão concluir que isso não será possível, já que o número 4 não é múltiplo de 3. Neste caso, sugira que transformem as duas frações em frações equivalentes. Por exemplo, com denominador 12.

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2 + 1 = 2 x 4 + 1 x 3 = 8 + 3 = 11 3 4 3 x 4 4 x 3 12 12 12 Proponha outra soma, como por exemplo: 1 + 2 + 1 2 3 6 É possível que os alunos proponham que as frações sejam transformadas em suas equivalentes de denominadores 24. Deixe que façam a experiência. 1 + 2 + 1 2 3 6 12 + 16 + 4 = 32 24 24 24 24 A seguir, peça que investiguem a possibilidade de escolher outros números (diferentes de 24) para denominador das frações equivalentes a 1, 2 e 1 . 2 3 6 Nesse momento é possível propor questões como:

• Quais são os múltiplos comuns a 2, 3 e 6? • Todos esses números servem para denominador das frações

equivalentes a 1 , 2 e 1 ? 2 3 6

• Como fica o resultado de 1 + 2 + 1 2 3 6 se você transformar essas frações em frações equivalentes de denominador 6? E se o denominador for 12? E se for 36?

• Os resultados que você encontrou no item anterior são equivalentes? Como saber?

• Algumas pessoas acham vantajoso escolher o menor múltiplo comum dos denominadores para denominador das frações equivalentes. O que você acha disto? Você concorda? Por quê?

Para completar essas atividades, já é possível propor os seguintes problemas: 1- A metade do número de figurinhas que eu tenho é igual à quarta parte do número que você tem. Por isso eu posso concluir que:

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a) Você tem a metade de figurinhas que eu. b) Você tem o dobro de figurinhas que eu. c) Nós temos a mesma quantidade de figurinhas.

2- Nos jogos da primavera do ano passado, a escola Giorgia conquistou muitas medalhas: As meninas conquistaram 2 do total de medalhas. 3 Os meninos conquistaram 1 do total de medalhas. 4 As 4 medalhas restantes foram conquistadas por outras escolas. Com essas informações responda:

• Que fração do total de medalhas foram conquistadas pelos alunos (meninas e meninos) da escola Giorgia?

• Que fração do total de medalhas foram conquistadas por outras escolas? • Quantas medalhas a escola Giorgia conquistou no total?

3- Rodrigo comprou uma peça de cetim para fazer 4 fantasias para o seu bloco de carnaval. Na primeira fantasia que fez, ele usou 1 da peça. 3 Na segunda fantasia ele usou 1 da peça toda. 4 Na terceira ele usou 1. E na quarta fantasia usou 1. 6 4 Agora responda: Depois que Rodrigo fez as fantasias, quanto cetim sobrou da peça? Em qual das fantasias ele usou mais cetim? E em qual ele usou menos? Proponha aos alunos que eles mesmos montem os seus próprios problemas que podem ser resolvidos calculando-se: a) 1 + 1

2 2 3

b) 1 + 2 + 1 2 3 6 c) 3 - 1

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4 2 PARA SABER MAIS Bittar, Marilena e Freitas, José L. M. Fundamentos e metodologia de matemática para os ciclos iniciais do ensino fundamental – 2ª edição / Campo Grande, MS: Ed. UFMS, 2005. Pág 160-185. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática/ Secretaria da Educação Fundamental. – Brasília: MEC/ SEF, 1998. Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas: 6ª série. Versão Preliminar São Paulo: SE/CENP, 1996. Pág 271-282. Smole, Kátia Stocco e Diniz, Maria Ignez. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. Site pesquisado: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes.htm - Acesso em 05/06/2007.