Guía 1er Año Mate

Colegio Nacional de Buenos Aires

C.N.B.A Matemtica. 1er ao

2

NDICE

TP 1: Nmeros racionales no negativos 3

TP 2: ngulos 9

TP 3: Conjuntos, conteo y probabilidades 20

TP 4: Suma, resta, multiplicacin y divisin en Z y Q 26

TP 5: Tringulos 37

TP 6: Potencias y Races 40

TP 7: Cuadrilteros 52

TP 8: Nociones de Estadstica 57

Respuestas a ejercicios 64

Programa Analtico 69

Trabajo Prctico 0 (2do ao)

Ms problemas ingeniosos

71

77


3

Trabajo Prctico 1: Nmeros racionales no negativos

1. Represent sobre la recta estos nmeros: 7 1 7 1 2, , , ,

6 24 12 2 3y 43.

2. Realiz mentalmente los clculos necesarios para contestar a las siguientes preguntas.

El nmero 94

a) en cunto excede a 2? b) cunto le falta para 3?

c) en cunto excede a 1? d) cunto le falta para 114?

3. Un piso rectangular de 4 metros de ancho por 6 metros de largo ha sido representado en un plano usando una escala lineal de 1: 50. Qu parte del rea real representa el rea del dibujo?

4. Los puntos P y Q marcados en la regleta representan a los nmeros 27 y

97

respectivamente. Marc los puntos que representan al 0, al 1 y al 2. P Q

5. Escrib por lo menos dos procedimientos distintos para comparar los nmeros que figuran en cada tem.

a) 1,35 y 75;

b) 175 y

113.

6. Respond a las siguientes preguntas: a) Qu porcentaje de 25 es 5? b) Qu porcentaje de 5 es 25? c) Qu porcentaje de n representa 0,85 . n?

Toda fraccin puede expresarse en centsimos en forma exacta o aproximada. Por ejemplo:

= 1 25 1 334 100 3 100

La expresin en centsimos de una fraccin es un porcentaje.

0 1


4

d) Qu porcentaje de n representa el 3% de su 15%? e) Qu parte de n representa la tercera parte de su 50%? f) En qu porcentaje se incrementa un nmero cuando se lo multiplica por 2,5? 7. En un supermercado aparece esta oferta: a) Cul es el porcentaje de rebaja? b) Qu porcentaje del precio original paga el que aprovecha la oferta? 8. Las servilletas de papel estn de oferta en dos comercios que exhiben lo siguiente:

a) Cul de las dos ofertas te parece ms conveniente? Por qu? b) Qu porcentaje rebajan en cada una? 9. Resolv estos clculos:

a) + =

5 2 1: 0, 3

6 5 3

b) + =5 2 1

: 0,36 5 3

c) + =

5 2 1: 0,3

6 5 3

d) + + =

1 1 1 1 11 1 1 1 11 0, 5 1 0, 2513 2 3 3 4

e)

=

+

0,5 0, 25 1:

1 2 0,7512

PAGUE DOS, PERO

LLEVE TRES.

AUTOSERVICIO LOS DOS HERMANOS

Compre 10 paquetes de servilletas y le regalamos uno.

Despensa Don Luis

Lleve 10 paquetes de servilletas y pague slo 9.


5

10. La empresa Asfaltix se ocup de pavimentar 15 de una avenida, pero por razones

presupuestarias suspendi el trabajo por un mes. Al reanudarlo, paviment 13de lo

que faltaba y debi suspender nuevamente el trabajo. a) Qu fraccin de la avenida ya est pavimentada? b) Qu fraccin falta pavimentar? c) Si todava faltan pavimentar 8000 metros, qu largo tiene la avenida? 11. Tres farmacias del centro de la ciudad hacen los siguientes descuentos a los afiliados al PAMI: Farmacia 1: 60% + 30% Farmacia 2: 30% + 60% Farmacia 3: 90% (Nota: cuando aparecen dos porcentajes sumados como en las dos primeras farmacias, se debe efectuar el primer descuento y luego, sobre lo que habra que pagar, se debe realizar el segundo descuento.) a) Un jubilado necesita comprar un medicamento cuyo precio de lista es $60. En qu farmacia le conviene comprarlo? b) Es lo mismo un descuento del 60% + 30% que uno del 30% + 60% o que un nico descuento del 90%?

c) Cul de los descuentos le conviene ms al que compra? Y al que vende?

12. a) Dentro de 10 aos, Juan tendr el doble de la edad de Ana, pero, hace 5 aos, era 3 veces mayor. Hallar las edades actuales de Juan y Ana.

b) En una poblacin, las dos quintas partes son estudiantes, un quinto, jubilados. Las tres cuartas partes del resto, son trabajadores y finalmente hay 1600 amas de casa. Indicar el nmero de personas de la poblacin y hallar el porcentaje total de estudiantes y trabajadores.

c) Una persona gasta la mitad de lo que gana en alquiler, expensas y servicios. Los dos tercios del resto los destina a otros gastos. Al terminar el mes, pudo ahorrar 1300$. Cunto gana por mes?

13.Resolv las siguientes ecuaciones: a) 2 x + 1 = x + 3 b) 3 y 2 = 3 + 2y c) 4 + 5 x = 6 + x

d) = 1x 3 1 3 x

2 e) + =

1 2 5m m 1

2 3 3 f) 4 x + 2 3 x = 1 + 3 x

g) = +x x 3

12 4 5

h) 3 + 2 . (z - 1) = 1 i) 1 + 2 . (1 + 3 p) = 3 p + 8

j) + =

1 1x 2 . x 2 x

3 3 k) + =

x 4 32 3 . x

3 9 2 l)

+=

u 12

3


6

m) 2 x = 2 . (x + 3) n) 2 . (x + 3) = 2 x + 6 Expresiones decimales exactas y peridicas 14. a) Obten las expresiones decimales correspondientes a esta fracciones:

i) 38 ii)

29 iii)

745

iv) 1750

v) 113

b) Indic cules de las expresiones obtenidas en el tem a) son exactas y cules son peridicas. Clasific estas ltimas en puras o mixtas. c) Qu condicin debe cumplir el denominador de una fraccin para que la expresin decimal asociada a dicha fraccin sea exacta? 15. a) Analiz el siguiente procedimiento para obtener la fraccin generatriz

correspondiente a una expresin decimal peridica pura o mixta. Si se considera que x = 2,353535..., entonces: 100 x = 235,3535... 1 x = 2,3535... Luego, restando miembro a miembro se obtiene lo siguiente: 99 x = 233

Por lo tanto: x = 23399

= 2,3535...

b) Investig si es posible obtener el mismo resultado, pero considerando 10 000 x. c) Utiliz un procedimiento similar al del tem a) para encontrar la fraccin generatriz de estas expresiones decimales:

A partir del nmero considerado, se obtienen dos nmeros peridicos puros que tienen el mismo perodo. Por lo tanto, la diferencia entre ambos es un nmero natural.

En una fraccin, la raya indica una divisin. El cociente que se obtiene al dividir el numerador por el denominador puede ser lo siguiente:

a) un nmero natural. Por ejemplo: =72

98

.

b) una expresin decimal exacta. Por ejemplo: =72

7,210

.

c) una expresin decimal peridica. Por ejemplo:

i) = =2

0,6666... 0,63

; que es una expresin decimal peridica pura.

ii) = =29

1,3181818... 1,31822

; que es una expresin decimal peridica mixta.

Toda expresin decimal, exacta o peridica, puede transformarse en una fraccin. La correspondiente fraccin irreducible se llama fraccin generatriz.


7

i) 0 34, ii) 514,1 iii) 451,1 iv) 1 451,

d) Sin utilizar el procedimiento del tem a), escrib la fraccin generatriz de cada una de las siguientes expresiones decimales peridicas: i) 345,0 ii) 87,1

iii) 0,9

iv) 93,0

v) 320,2

16. Qu condicin debe cumplir el nmero natural n para que la expresin decimal

asociada a la fraccin n

11 sea peridica?

17. La expresin decimal asociada a 32 . 5a

, siendo aun nmero natural mayor que 0,

es exacta o peridica? Por qu? 18. a) Escrib, si es posible, dos expresiones decimales peridicas cuya suma sea un

nmero natural. b) Escrib, si es posible, dos expresiones decimales peridicas tales que al sumarlas se obtenga una expresin decimal exacta.

19. El siguiente problema corresponde a un hecho real ocurrido en el CNBA en 1999. Agustn, alumno de 2do 8a, no recordaba cmo convertir expresiones decimales peridicas mixtas en fracciones y realiz este procedimiento:

1,32161616... = + +32 161100 9900

Es correcto el procedimiento que utiliz Agustn? Justific tu repuesta.

20. Resolv los siguientes clculos:

a)+

=

+

10,19 14

1,2 0,149 12

b)

+ =

9 10,5 . . (1,6 1)6 5 60,375 . 2, 4 : 1

5 4,2 : 4, 49

21. Resolver en Q+0 (conjunto de los nmeros racionales positivos con el cero) estos clculos:

a) + = +

10,6 3 . z 1 2 z

7

b) + = + 10,6 3 z 1 2 z7


8

El concepto de nmero racional positivo

Una fraccin a

b , con b 0 y positiva, puede interpretarse como el cociente de dos

nmeros naturales. Si a es mltiplo de b , la fraccin representa un nmero natural. Si a no es mltiplo de b , la fraccin se asocia a una expresin decimal que puede ser exacta o peridica segn se obtenga o no resto 0. Se llama nmero racional positivo a aqul que se puede expresar como cociente de dos nmeros naturales, siendo el segundo distinto de cero. Los nmeros naturales, las expresiones decimales exactas y las expresiones decimales peridicas son nmeros racionales. Un nmero racional positivo puede expresarse mediante infinitas fracciones equivalentes. Se elige como fraccin representante de dicho nmero racional positivo a la fraccin irreducible. Por ejemplo :

= = = = =25 5 50 1

0,25 ...100 20 200 4

Designaremos con Q+ al conjunto de los nmeros racionales positivos y con Q+0 al de los racionales positivos con el cero. Existen expresiones decimales infinitas que no son peridicas. Por ejemplo: 0,123456789101112 Esas expresiones no pueden transformarse en fracciones y por lo tanto, no son nmeros racionales.

Como fraccin representante de 0,25 se elige la ltima fraccin porque es la irreducible.


9

Trabajo Prctico 2: ngulos

11.. a)Segu las instrucciones: I.- Marcar en la hoja tres puntos A, B y C no pertenecientes a una misma recta.

II.- Trazar la rectas AB y BC

III.- Rayar con un color el semiplano de borde AB al que pertenece el punto C.

IV.- Rayar con otro color el semiplano de borde BC al que pertenece el punto A .

b) Teniendo en cuenta que definir significa describir un objeto de tal forma que pueda reconocerse unvocamente, defin con tus palabras, y con la mayor precisin posible qu es un ngulo convexo. c) Los lados de un ngulo, son rectas, semirrecta o segmentos? d) Busc en algn manual de la escuela primaria o en cualquier texto de primer ao, cmo se mide un ngulo y cules son las unidades que habitualmente se usan. e) Defin ngulo recto, ngulo llano, ngulos complementarios y ngulos suplementarios. f) Defin bisectriz de un ngulo. Calcul la medida de un ngulo (se escribe: | |) si : a) es el doble de la medida de su complemento.

b) es la tercera parte de la medida de su suplemento.

c) difiere de la de su suplemento en 15 .

d) la medida de su suplemento es igual al doble de : su medida incrementada en 10.

e) la medida de su suplemento es igual al doble de su medida, incrementado en 10 .

f) La suma de las medidas de su complemento y de su suplemento es 150.

g) La medida de su complemento supera en 5 a los dos quintos de la medida de su

suplemento.

La regin del plano que te qued rayada de dos colores es el ngulo convexo ABC. (Notacin: CBA ) El punto B que se nombra en el centro, es el vrtice del ngulo.


10

33.. En cul de los siguientes dibujos y son adyacentes? 44.. En el dibujo que sigue, encontr, si es posible, dos pares de ngulos opuestos por

el vrtice.

55.. Analiz cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cules falsas. Justific. (Ten en cuenta cundo alcanza con mostrar un ejemplo y cundo es necesario dar un argumento que no dependa de una situacin particular)

5.1.- Si dos ngulos son suplementarios, entonces, son adyacentes.

5.2.- Si dos ngulos son adyacentes, entonces, son suplementarios.

5.3.- Algunos pares de ngulos suplementarios son adyacentes.

5.4.- Si las medidas de los suplementos de dos ngulos son iguales, las medidas

de dichos ngulos tambin lo son.

5.5.- Existen pares de ngulos opuestos por el vrtice que son suplementarios.

5.6.- Si dos ngulos son opuestos por el vrtice, entonces tienen medidas iguales.

5.7.- Si dos ngulos tienen medidas iguales , entonces son opuestos por el vrtice.

66.. Dibuja dos ngulos adyacentes y las bisectrices de cada uno de ellos. Qu ngulo forman las bisectrices de stos ngulos? Es general? Por qu? 77.. Dibuja un par de ngulos opuestos por el vrtice y las bisectrices de cada uno de

ellos. Qu ngulo forman las bisectrices dibujadas? Es una propiedad general? .Justific.

88.. Si | | = 20x3

2+ y | | = x + 10 , calcul | | y | | suponiendo que y

son


11

a) opuestos por el vrtice b) adyacentes. 99.. En el dibujo se sealan ocho ngulos formados por las rectas a y b cortadas por la

transversal t a) Indic qu ngulos son colaterales. b) Cules son los ngulos exteriores y cules los interiores? c) Indic qu caractersticas tiene el ngulo d) Indic qu caractersticas tiene el ngulo e) Indic qu caractersticas comunes tienen los ngulos: y f) Indic qu caractersticas comunes tienen los ngulos: y g) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

i) Ser colaterales ii) No ser adyacentes ` iii) Ser uno interior y otro exterior

h) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

i) Ser colaterales ii) Ser ambos interiores.

i) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

Respecto de los ocho ngulos marcados se dan las siguientes definiciones: Definicin 1: Los ngulos que se encuentran en un mismo semiplano respecto de la transversal t se llaman colaterales.

Definicin 2: Los ngulos incluidos en el semiplano de borde a al que no pertenece B o en el semiplano de borde b al que no pertenece A, se llaman exteriores.

t a

b A

B

Estos ngulos son correspondientes entre a y b cortadas por t transversal.

Estos ngulos son conjugados internos entre a y b cortadas por t transversal.


12

i) Ser colaterales ii) Ser ambos exteriores.

j) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

i) No ser colaterales ii) No ser adyacentes iii) Ser ambos interiores

k) Nombr todas las parejas de ngulos que cumplan con las siguientes caractersticas:

i) No ser colaterales ii) No ser adyacentes ` iii) Ser ambos exteriores

1100.. a)Dibuj dos rectas a y b , paralelas y traz una tercera recta t que corte a ambas.

b) Marc dos ngulos correspondientes entre a y b cortadas por t

c) Copi uno de ellos sobre un papel de calcar y apoy la copia sobre el otro .Qu

observs?

Compar tu conclusin con la de tus compaeros.

1111.. a)Dibuj con regla y comps dos ngulos correspondientes entre dos rectas a y b

cortadas por una transversal t , de tal forma que sean congruentes (es decir, que

tengan igual medida)

b) Qu pods decir de las rectas a y b ?

Estos ngulos son conjugados externos entre a y b cortadas por t transversal.

. Estos ngulos son alternos internos entre a y b cortadas por t transversal.

Estos ngulos son alternos externos entre a y b cortadas por t transversal.


13

Compar tu conclusin con la de tus compaeros.

1122.. Dibuj un par de ngulos alternos ( internos o externos) entre paralela. Decid si son congruentes. Justific porqu.

1133.. Hac lo mismo para un par de ngulos conjugados internos entre paralelas. Qu relacin hay entre sus medidas?. Por qu?

1144.. Decid si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas. Justific tu eleccin. 14.1 .- Existen ngulos alternos internos entre paralelas que son suplementarios.

14.2.- Los ngulos alternos externos siempre son congruentes. 14.3.- Algunos pares de ngulos conjugados externos entre paralelas son congruentes. 14.4.- Los ngulos conjugados externos son siempre suplementarios. 14.5.- Los ngulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios. 14.6.- Si dos rectas son cortadas por una tercera formando ngulos alternos internos congruentes, entonces son paralelas. 14.7.- Si dos rectas son cortadas por una tercera formando ngulos conjugados externos suplementarios, entonces son paralelas.

1155.. a) Si a y b son rectas paralelas cortadas por una transversal t y uno de los ngulos

determinados por estas rectas mide 48o, hall las medidas de los restantes siete

ngulos.

b) Sabiendo que y son conjugados externos entre paralelas, que y son alternos externos y que la medida de es la mitad de la medida de , hall las medidas de los tres ngulos.

c) Hall las medidas de y sabiendo que son conjugados internos entre paralelas y que la diferencia entre sus medidas es 36o.

1166.. En los dibujos que siguen a// b

Aceptamos que: Los ngulos correspondientes entre paralelas son congruentes.

Si dos ngulos correspondientes entre dos rectas cortadas por una tercera son congruentes, entonces las dos primeras rectas son paralelas


14

16.1) a Dato: | PTQ | =

20|MBC|

3

1

Calcul: | QTR

| y | ABM

| b

16.2.- Datos: OA

bisectriz de POQ

,a//b

| POA

| = 0,5 | | - 20 Calcul : | | y | pi | Q 1177.. Calcul la medida de si a //b teniendo en cuenta los datos que se dan en cada

grfico:

a ) | \ = 5 12x ; | \ = +3 10x

b) | \ | | = +2 y ; | \ = +y 20 18. i) Si las semirrectas AP y BQ son bisectrices de dos ngulos alternos externos entre a//b y t transversal,cmo resultan las rectas AP y BQ? Por qu?

ii) Un paralelogramo es un cuadriltero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos. a)Cmo son los ngulos consecutivos de un paralelogramo? Por qu? b)Cmo son los ngulos opuestos de un paralelogramos ?Por qu?

19 En el cuadriltero ABCD, | A

| + |B

| = 180 y |B

| +| C

| = 180.Qu tipo de cuadriltero es ABCD? Por qu?.

P Q R

T

A

M

B C

a b

O A

P

pi a

b

a

b


15

20 En el dibujo, t // AB . Busc ngulos que sean congruentes con A

y B

y deduc a qu es igual la suma de las medidas de los ngulos interiores de un tringulo. Justific. 2211.. Cunto miden los ngulos interiores del tringulo ABC, si la medida de A es

igual a las dos terceras partes de la medida de B y sta es el doble de la medida de C?

2222.. a) Dibuj un tringulo y marc todos sus ngulos exteriores. Cuntos tiene?

b) A qu es igual la suma de las medidas de todos los ngulos exteriores de un tringulo? Por qu? c) Qu relacin existe entre la medida de un ngulo exterior y las de los ngulos interiores que no son adyacentes a l? Justific.

2233.. Calcul x y las medidas de los ngulos interiores de cada tringulo en cada una de estas figuras:

a

a) x+ 5 30 2x+10

2244.. En

ABC , O es la interseccin de la bisectrices de B

y C

. Calcul

BOC , sabiendo

que: | B

| + | C

| = 5. A

.

2255.. Las rectas que incluyen a las bisectrices de los ngulos exteriores de ABC

, se

cortan determinando el tringulo PQR

. Si dos de los ngulos interiores de ABC

son tales que A

= 56 y | B

|= 65, cunto mide cada ngulo interior del PQR

?

2266.. Dibuja un ngulo BOA

y su bisectriz OM

. Por M se traza la paralela a OA que

corta a OB en N. Prob que OMN

es issceles.

A

B

C

t

b)

P

Q x+42

a // PQ x +10

x +8o


16

2277.. En la figura : c d , a // b. Demostr que

y

son complementarios

2288.. En el dibujo AQ

y BQ

son bisectrices de PAB

y RBA

respectivamente. Prob que si :

a) AP//BR , entonces AQ BQ

b)AQ BQ, entonces AP // BR

2299.. Prob que ACD

es issceles, sabiendo que AM

es bisectriz de BAC

y AM// CD 3300.. a)Descompon cada uno de estos polgonos en tringulos y calcul para cada uno

de ellos la suma de las medidas de los ngulos interiores.

b) Escrib una frmula que te permita calcular la suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono de n lados .

d c

a

b

B

Q

R

A P

C

A

B

M

D


17

3311.. a)Cunto mide cada uno de los ngulos exteriores de un octgono regular?

b) Cuntos lados tiene un polgono si la suma de las medidas de sus ngulos

interiores es de 1080 ?

c) Calcul el nmero de lados de un polgono regular si la medida de cada uno de sus ngulos interiores es de 150.

32. En el pentgono ABCDE, | A| = 13/2 | D| ; |B | = 4 | D |; | C|- A| = 30 y | E| = 2 |A| -110. Calcul las medidas de los cinco ngulos del pentgono.

33. Calcul las medidas de los ngulos interiores del paralelogramo ABCD si:

a) | A | = x + 20 y | C | = 2 x - 80

b) | A | = 0,5 x + 30 y | B | = x - 150

34. Calcul las medidas de los cuatro ngulos del trapecio RSUV con RS // UV, si:| R | + | S | = 2 | R | - 10 y | R | - | V | = 60

Algunas definiciones y propiedades

Los ngulos que tienen un lado comn y son tales que los otros dos son semirrectas opuestas se llaman adyacentes.

Los ngulos adyacentes son suplementarios.

Dos ngulos son opuestos por el vrtice si y slo si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.


18

Aceptamos que: Los ngulos correspondientes entre paralelas son congruentes. A partir de esta aseveracin, se demuestra que: Los ngulos alternos internos entre paralelas, son congruentes. Los ngulos alternos externos entre paralelas, son congruentes Los ngulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios Los ngulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios Aceptamos que: Si dos ngulos correspondientes entre dos rectas cortadas por una tercera son congruentes, entonces las dos primeras rectas son paralelas A partir de esta aseveracin, se demuestra que: Si los ngulos alternos internos son congruentes, entonces las dos primeras rectas son paralelas Si los ngulos alternos externos son congruentes, entonces las dos primeras rectas son paralelas Si los ngulos conjugados internos son suplementarios, entonces las dos primeras rectas son paralelas Si los ngulos conjugados externos son suplementarios, entonces las dos primeras rectas son paralelas

Se llama ngulo exterior de un tringulo a todo ngulo adyacente a un ngulo interior. La medida de un ngulo exterior a un tringulo es igual a la suma de las medidas de los otros ngulos interiores no adyacentes a l. La suma las medidas de los ngulos interiores de un polgono de n lados es: 180o (n-2)

En el plano: Dos rectas son paralelas si y slo si son coincidentes o no tienen puntos en comn. a Notacin: a // b b Dos rectas son perpendiculares si y slo si al cortarse determinan cuatro ngulos congruentes. Notacin: a b a Cada uno de los ngulos determinados es recto

b


19

La suma de las medidas de los ngulos exteriores de un polgono de cualquier nmero de lados es 360o, considerando un slo ngulo exterior por vrtice. Un polgono regular es un polgono que tiene todos sus lados y todos sus ngulos congruentes.


20

Trabajo Prctico 3: Conjuntos, conteo y probabilidades

1. a) Consider los siguientes conjuntos A = {divisores de 6} B = {divisores de 9} C = { 9, 10 } R = {nmeros naturales del 1 al 10} Representalos en un diagrama de Venn y hall: A B C B (A C) (B A) C (A B)C AC BC

b) Consider los conjuntos dibujados a continuacin :

Sombre en cada uno de los diagramas los resultados de cada una de las operaciones pedidas en el punto a)

2. Escrib la o las operaciones entre conjuntos correspondientes a cada uno de estos grficos: a) b) c)

3. En un curso de 40 alumnos, se obtiene la siguiente informacin sobre las calificaciones de cierta asignatura: 12 alumnos se eximieron, en diciembre se tomaron

A B

C

R

A B

C

R

R R R


21

22 exmenes y no hubo ausentes. En marzo rindieron los 14 alumnos que estaban inscriptos. Diagramar la situacin y hallar: a) Cuntos aprobaron en diciembre? b) Cuntos alumnos rindieron directamente en marzo? 4. Consider el siguiente diagrama. En l, el conjunto A es el conjunto de las

fracciones mayores que 14, el conjunto B es el de las menores que

12 y el

conjunto C es el de las fracciones con denominador 5.

A B

C

Ubic en el diagrama anterior estas fracciones: 4 3 1 2 4, , , ,

5 7 5 5 3y 16.

5.Al consultar a un curso de 37 alumnos sobre los tres grupos musicales preferidos,

result que 16 elegan a Divididos, 13 a Los Piojos y 17 a Los Redondos. Adems, entre los alumnos, 8 preferan a Divididos y a Los Piojos, 9 a Divididos y a Los Redondos, y 4 a Los Piojos y Los Redondos. Solamente 3 alumnos eran fanticos de los tres grupos musicales. a) Cuntos chicos eligieron a Divididos, pero no a los otros grupos musicales? b) Cuntos alumnos prefirieron a Los Piojos y Los Redondos, pero no a Divididos? c) Cuntos chicos eligieron a Divididos y Los Redondos, pero no a Los Piojos? d) A cuntos alumnos no les gustaba ninguno de los tres grupos musicales?

6.Se encuest a 30 chicas acerca de las actividades de entretenimiento que les gustaba realizar. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 19 practicaban deportes, 16 ejecutaban instrumentos musicales, 7 solan practicar deportes y frecuentaban los juegos electrnicos, 5 solo practicaban deportes, 6 frecuentaban los juegos electrnicos y ejecutaban instrumentos musicales, 6 solo usaban los juegos electrnicos, y 4 realizaban las tres actividades. a) Cuntas chicas no realizaban ninguna de las tres actividades de entretenimiento? b) Cuntas muchachas solo ejecutaban instrumentos? c) Cuntas chicas practicaban deportes o frecuentaban los juegos electrnicos?


22

7.Una compaa aseguradora clasific a un grupo de conductores de motos segn la siguiente tabla:

a) Cuntos son los motociclistas que: i) tienen menos de 21 aos y son muy precavidos al conducir? ii) no son peligrosas y estn por encima de los 35 aos? iii) son menores de 21 aos? iv) se los considera muy precavidos?

b) Qu porcentaje de los conductores de motos tiene menos de 21 aos? Y entre 21 y 35 aos? Y ms de 35 aos? c) Nombr los dos criterios segn los cuales se han clasificado de dos formas diferentes a los motociclistas en este problema. 8. En una fiesta se produjo una tentativa de homicidio. La polica interrog a 18 personas que estaban presentes en el momento del crimen y les pidi que contestaran s o no a cada una de las siguientes preguntas: Oy usted un disparo? Vio que alguien hua? De las personas interrogadas, 10 contestaron s a la primer pregunta, 6 respondieron no a la segunda y 5 contestaron no a las dos preguntas. a) Cuntas personas respondieron s a las dos preguntas? b) Cuntos de los interrogados escucharon el disparo, pero no vieron si alguien hua? c) Cuntas personas no escucharon el disparo, aunque vieron que alguien hua? 9. En la escuela, Juan debe elegir 2 deportes de entre 5. Cuntas son sus posibilidades de eleccin? 10. Cuntas diagonales tiene un decgono convexo? 11. Una familia compuesta por los padres, dos hijos (un nio y una nia) y la abuela decidi ir al cine y compr 5 localidades contiguas. a) De cuntas maneras pueden los integrantes de la familia ocupar los asientos? b) De cuntas opciones disponen para ubicarse en las butacas si la nia quiere sentarse al lado de la abuela?

Menores de 21 aos

Entre 21 y 35 aos

Mayores de 35 aos

Total

Muy precavidos 15 20 35 Precavidos 25 15 10 Peligrosos 50 10 10

Total


23

12. En una ciudad de Estados Unidos, se realiz un trabajo estadstico acerca de la cantidad de vctimas de delincuentes por cada 1000 personas. A partir de los datos recopilados se confeccion la siguiente tabla de acuerdo con el sexo y el tipo de delito padecido por la vctima.

Si de las 1000 personas encuestadas se elige a una al azar, cul es la probabilidad de que: a) no haya sido vctima de un asalto? b) sabiendo que se cometi un asalto, la vctima sea una mujer?

c) la persona que padeci el delito haya sido robada o atacada en forma personal, sabiendo que es un hombre? 13. A partir de una encuesta a 100 inversionistas, se registr que 5 posean solo acciones, 15 haban invertido nicamente en valores y 70 eran propietarios de bonos. Adems, entre los encuestados, 13 haban comprado acciones y valores, 23 posean valores y bonos, y 10 eran propietarios de acciones y bonos. Solamente 3 de los encuestados haban invertido en los tres rubros. a) Represent la situacin en un diagrama adecuado. b) Si se selecciona al azar a uno de esos inversionista, cul es la probabilidad de que: i) sea poseedor de exactamente dos tipos de inversiones? ii) haya invertido al menos en dos rubros? 14. El restaurante El buen gusto ofrece un men que incluye 7 tipos de ensaladas, 6 platos principales y 9 postres. Un cliente pide una ensalada, un plato principal y un postre, y el mozo se los trae al azar. Cul es la probabilidad de que el mozo traiga la ensalada, el plato principal y el postre predilectos del cliente que realiz el pedido? 15. Calcul la probabilidad de obtener lo siguiente: a) un puntaje menor que 8 al tirar un dado dos veces. b) el mismo nmero de caras y cecas al tirar 5 monedas. c) un puntaje menor o igual que 12 al tirar un dado dos veces. 16. De un grupo de matrimonios con tres hijos, se elige a uno al azar. Debatan con sus compaeros sobre cul de las siguientes opciones es ms probable: a) que los tres hijos sean varones. b) que solo dos hijos sean varones. c) que al menos un hijo sea varn. d) que solo los dos hijos mayores sean del mismo sexo.

Robo Asalto Ataque personal Total Hombre 5 18 52 Mujer 2 9 42 Total


24

17. Se lanzan dos dados cbicos equilibrados* . Hall la probabilidad de que: a) la suma de los nmeros obtenidos sea mayor que seis. b) ambos nmeros sean pares. c) por lo menos uno de los nmeros obtenido sea impar. 18. De una caja que contiene dos bolitas rojas, una blanca y una azul, se extraen sucesivamente dos bolitas sin mirar. Cul es la probabilidad de que: a) sean ambas del mismo color? b) una de ellas sea azul c) al menos una de las bolitas extradas sea roja? 19. Un gua de turismo debe realizar un viaje de ida y vuelta entre dos ciudades que estn conectadas nicamente por estas cuatro rutas: A, B, C y D. Antes de iniciar el viaje, el gua de turismo se entera de que la ruta C est cortada y la ruta D no est disponible para hacer el viaje de regreso. Si dicho gua de turismo elige al azar las rutas para realizar su viaje, teniendo en cuenta las restricciones anteriores, cul es la probabilidad de que vaya y vuelva por la misma ruta? 20. Una comisin est integrada por 12 mujeres y 14 hombres. La mitad de las mujeres y de los hombres de la comisin son profesionales. Si se selecciona a un integrante de esa comisin al azar, cul es la probabilidad de que sea una mujer o un profesional? 21. En un florero hay 3 claveles y 4 rosas. De los claveles, 2 son rojos y uno es blanco. De las rosas, 2 son rojas y 2 son blancas. Si se elige al azar una flor de ese florero, cul es la probabilidad de que sea un clavel o una flor roja? Sntesis Relaciones entre conjuntos Las relaciones entre conjuntos son la de Inclusin y la de Igualdad Un conjunto A est incluido en otro B, cuando todos los elementos de A tambin pertenecen a B Un conjunto A es igual a B, cuando A est incluido en B y B est incluido en A. O sea, tienen los mismos elementos. Operaciones entre conjuntos Un elemento pertenece a AUB cuando pertenece a A o pertenece a B Un elemento pertenece a A B cuando pertenece a A y a B Un elemento pertenece a A B cuando pertenece a A pero no a B

* Un dado est equilibrado cuando cada cara tiene la misma probabilidad de salir.


25

Un elemento pertenece a AC cuando no pertenece a A Para contar elementos de conjuntos, hemos usado varios tipos de diagramas: Diagramas de Venn Diagramas de Carroll Diagramas de rbol La probabilidad de un evento es la relacin entre el nmero de casos en los que se produce ese evento (casos favorables) y el nmero de casos totales (casos posibles)

casos favorablesPcasos posibles

=


26

Trabajo Prctico 4: Suma, resta, multiplicacin y divisin en Z y Q. Nmeros enteros A.- Orden 11.. a)Ubic en la recta numrica los siguientes nmeros:

-3 ; | -5| ; 0; 2; -5; 7; -| -7|

b) Identific en el conjunto anterior pares de nmeros opuestos.

22.. Ubic el 0 en la recta sabiendo que b es el siguiente de a y que cada marca en el dibujo corresponde a una unidad. 33.. Indic cules son los nmeros enteros "x" que cumplen cada una de las condiciones que se dan a continuacin. Representalos, en cada caso, en la recta numrica. a. -2 < x < 3 b. x < -2 x > 3 c. | x | > 4 d. -1 x < 4 e. x < - 2 y x -6 f. | x | 3

44.. Complet la siguiente tabla y luego indic cules expresiones se refieren a los mismos nmeros:

En lenguaje coloquial: En smbolos: Los nmeros son: Los nmeros enteros mayores que 2.

Los nmeros enteros comprendidos entre 1 y 4.

2 2x o x> <

Los nmeros enteros cuya distancia a 0 es mayor que 2.

3x >

3,4,5,6,.....

Los nmeros enteros menores que 2.

Los nmeros enteros cuya distancia al 0 es mayor o igual que 4.

2 2x y x< >

2x <

a a

b


27

Llamamos distancia entre dos nmeros enteros a y b al valor absoluto de su diferencia: d(a,b) = a b 55.. 5.1 Hall la distancia entre 8 y 10, 7 y -3, -5 y -2, 5.2 Hall los nmeros enteros cuya distancia a 7 es 3 cuya distancia a -2 es 5 5.3 Defin simblicamente cada uno de los siguientes conjuntos de nmeros enteros:

a) -2,-1,0,1,2,3,4 b) -7,-6,-5,-4 c) -2,-1,0,1,2 d) ....-7,-6,-5,3,4,5,...

e) ...-7,-6,-5,5,6,7,... B.- Adicin y sustraccin 66.. Resolv: a)-2 + 5 + (- 6) + (- 4) + 7=

b) 3 a + (- 5a) + ( -6a)=

c) -2 -(-4) + (-6) + 8 =

d) -2-{- 5- [- 3 + (- 1- 4) + 5 ]- 2} -9 =

e) -{-[-(-a + b ) +2a] - 2b }+3b =

77.. Qu diferencia de altura hay entre la cima del Everest que tiene 8882 metros y el fondo de la fosa marina de las Islas Marianas que est a 10915 metros de profundidad? 88.. Complet el cuadro:

Personaje Ao en que naci Ao en que muri Aos que vivi

Carlomagno 742 72 Arqumedes -287 -212 Aristteles -322 62 Tito Livio -59 16 Cleopatra -30 39

99.. Hall , si es posible , x Z /

a) - 2 x + 5 = - x - 3

b) | x | - 2 = 1


28

c) - 3 x - 7 - (-2x) = 6

d) | x - 3 | = 5

e) 2 -[1- (1 - x ) + 3] = -5 + |-3|

1100.. Represent en una recta numrica, si es posible, el conjunto solucin en Z de las siguientes inecuaciones:

a) - 2 < x + 5 < 3 b)| x + 2 | > 4

c) -3 x + 6 4 d) | x - 3 | 7

e) x < -2 y x > 4 f) | x | > 0

g) 4 3-x < 9 h)| 5-x | 1133.. Hall enteros a y b, tales que:

i. a = 12 , b = 27 y a + b = 15

ii. a = 7 , b = 8 y a - b = 15

iii. a < 0 , b = 3 y a + b = - 4 1144.. Resolv, si es posible, la siguientes ecuaciones e inecuaciones en Z y represent el conjunto solucin en la recta numrica. a) -1 z < 0 b) 32 =+x c) z 4 7+ d) ( )b = 7 13 3 e) 8 - z = 4 f) 2129


29

1155.. Indic si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justific tus respuestas i) El opuesto del siguiente de un nmero es igual al siguiente del opuesto de

dicho nmero. ii) El opuesto del siguiente de un nmero es igual al anterior del opuesto de

dicho nmero. C.- Multiplicacin y divisin 1166.. Resolv: a) -3.[-2 + ( 8 - 4 ): (-2) + 3. (-1)] -7= b) -2 + (-1).(-2).(-5) + 2. ( a - 4 ) - [ 6 - 2.5 + 8a:(-4)] :(-2)= c) 8+(-3).(a- 2b+ c) ( 4 b- 6c): (-2)+(-2).(-1).(-5) +6c= d) 12-[-4 (-6+ 8x):(-2) 5.(-2x + 4) -8x] +3x= 1177.. Transform en producto ( factoriz) las siguientes expresiones: a) 25ab - 15 ac + 40 a= b) 6axy +12axyz-18abxy= c)2(3x-5)+ 4b.(3x-5)-6c(3x-5)= d) 3.(m-n)+12c.(m-n)-4b.(m-n)= 1188.. Consider dos nmeros enteros a y b tales que a < b, complet con < > segn corresponda: a) 2 a .... 2 b b) - 2 a .....- 2.b c) a: (-2).....b:(- 2) 1199.. Se sabe que a y b son nmeros enteros tales que a.b < 0 , y a >0, complet con < > segn corresponda: a) a.b.a.... 0 b) a.b.a.b .....0 c) a.b.b .....0 d) -a.(-b).....0 2200.. El muro de los productos Ubic en cada ladrillo un nmero entero de tal forma que sea igual al producto de los nmeros contenidos en los ladrillos que se encuentran debajo de l: a) b ) c ) d)

-1 5 -3 2

6 -1 2 -6

-54 -6 -2

-48 6

-4


30

2211.. El primero de cada mes, Lucio deposita su sueldo en una cuenta bancaria y retira $230 por semana. Un lunes su saldo en la cuenta es de $ 1520. Suponiendo que no deposita nada ni existe otro movimiento en la cuenta adems de sus extracciones. a) Encontr una frmula que te permita obtener el saldo de la cuenta dentro de k semanas b) Reemplaz en la frmula que obtuviste k por -1. Cmo interprets el resultado? 2222.. Resolv en Z

( ) ( ) ( ) + = a) 3. x 1 2. x 3 x 3 2x ( ) ( ) ( ) ( ) + + = +b) 2 . x 1 3. x 4 x 2. x 3

( ) ( ) ( ) + = c) 3x 2 5. 2x 7 12x 3 : 3 ( ) ( ) >d) 2 . x 1 6 ( ) > e) 2. 3 1 1 x 10 + f) 7 2 . x 11 g) 5 3 . x 7 + h) 2 x 3 2 6

< i) 8 (4 12x) : ( 2) 15 9 : ( 3) ( ) ( ) + 0 q) x.(x+5) -5 c) - 2| x -4| > -8

Nmeros Racionales 2266.. Intercal tres nmeros racionales entre

25 y - 0,1.

2277.. Qu nmeros racionales se corresponden con los puntos A, B y C marcados en la recta? -2 C -1 B 0 A 1 2


31

2288.. Encontr por lo menos dos expresiones distintas de los siguientes nmeros racionales:

a) -0,3 b) - 0,3 c) - 0,0

1 d) - 2,3 e) - 3,72

2299.. a)Cul es el mayor entero que es menor que 134

?

b) Cul es el menor entero que es mayor que 134

?

3300.. Resolv:

a) ( )1 22 0,3 1 0,3 1,25 3

+ + +

b) ( )2 1 50,5 1 2 0,2

9 6 6

+ +

3311..

3322.. El grfico muestra el precio de ciertas acciones durante el primer semestre de 2002.

D E F M A M J

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

a)Expres la variacin de dicho precio mes por mes

b) Calcul la variacin semestral del mismo.

N

E Casa de Juan

Juan sale de su casa en auto y hace el siguiente camino: 100, 25 m al norte; 23,50 m al este; 28,50 m nuevamente al norte ; 50 m al oeste; 35 m al sur y 47,75 m al oeste. Consider un sistema de referencia con origen en la casa de Juan, como lo indica la figura. Dibuj aproximadamente el camino que recorre e indic las coordenadas del punto de llegada.


32

3333.. a)Complet la tabla que muestra los ltimos movimientos de una cuenta bancaria

CONCEPTOS MOVIMIENTOS SALDOS

Debe Haber

Ingreso nmina 245,53 1.596,83 Recibo luz 85,27 Reintegro en cajero 250 Ingreso cheque 500,60 Recibo telfono 89,50

b) Expres por lo menos de dos formas distintas el clculo que te permite obtener el saldo final. 3344.. Resolv: a) - 0,2 + |x - 0,8| = 1,6 b) - |x - 2,5| + 1,3 = -2,5 - (-3,2 + 0,2)

c) 2 1

2.(x 6) 0,6 x5 3

+ + =

3355.. Expres el conjunto solucin en Q de las siguientes inecuaciones: a) -2 < x + 1,5 3,8 b) | x - 1,2 | > 0,8

c) 2,7 | x - 1, 5 | d) 1 2x 0,73 3

+ +

e) |x| - 1,2 >0,8 f) 1 2x 0,73 3

+ +

3366.. Resolv:

a) =

++5

211,0

6

5:3

1 b) =

+

+4,0:2,0

5

8)3.42(

5

93,02

3377.. a)La diferencia entre los 163y los

73de un nmero es -3. De qu nmero se trata?

b) Si se multiplica por - 0,25 la diferencia entre un nmero y 0,3 se obtiene 1,2. De qu nmero se trata ?

3388.. Resolv en Q

a) = x2

3

2

x

4

15 b) )10(

8

y)y.75,0( += c)

3

x3

2

1x

3

2=+

d)3

2z

3

z2

6

1+=

e) 1x

2

1x+=

+ f) xy7

21y

5

3.x =

3399.. El permetro de un patio rectangular es de 56 m . El ancho es igual a los dos quintos del largo. Calcul el rea del patio.


33

4400.. El permetro del rectngulo en blanco es de 60 metros y su largo es el doble de su ancho. Calcul el rea de la zona sombreada si x = 1,5 m.

4411.. Cundo se obtiene ms, al tomar 517

de los 43 de cierta cantidad o al tomar los

35 del 70% de la misma?

4422.. Resolver en Q:

a) 5

3

1x

12 =

+ b) 2

1x5x

3

2 =

c) 5,05

3

x3

2= d)

=

+

5

2:6

5x2

33,0

e) 3 37 x 2 x. x 25 5

+ = +

f) ( )2x x 0,5 .(x 1) 3x.(x 0, 5) + = 4433.. El vaso A contiene 100 ml de agua y el vaso B 100 ml de vino. Se pasan 10 ml de vino del vaso B al A . Se toman 10 ml de la mezcla que ahora contiene el vaso A y se pasa al B. hay ms vino en el agua de A o ms agua en el vino de B?. 4444.. Problemas con historia a) El Papiro de Rhind (siglo XVI a. C.) fue encontrado a mediados del siglo XIX en las ruinas de un pequeo edificio cerca del templo mortuorio de Ramss II en Tebas. El copista dice llamarse Ahmose e indica que escribe en el cuarto mes de la estacin de las inundaciones, del ao 33 del reinado del rey Apofis. El papiro contiene 110 problemas. El siguiente es uno de ellos: Cierta cantidad, sus dos tercios, su mitad y un sexto de la cantidad original, sumados dan 28. Cul es esa cantidad? b) Bhskara fue un importante matemtico hind del siglo VIII de nuestra era. Escribi un tratado de astronoma con dos libros dedicados a la Matemtica: Lilwati (La hermosa) y Vijaganita (Aritmtica). Lilwati era el nombre de la hija de Bhskara. La historia cuenta que las estrellas haban presagiado muchas desgracias a Lilwati si no se casaba un determinado da y a una determinada hora. Llegado el da de la boda, mientras Lilwati miraba impaciente el depsito de un reloj de agua que marcara el instante exacto en que deba casarse, cay en l una perla de su tocado sin que nadie lo advirtiera. La salida de agua del reloj qued obstruida y la hora exacta en que deba celebrarse la boda no se marc jams. El novio, asustado por los astrlogos, huy y Lilwati no pudo casarse.

x

C

D


34

Para consolar a la infeliz doncella, Bhskara dio su nombre a uno de los libros de Matemtica que escribi. El problema que sigue pertenece a esa obra. De un ramo de flores de loto, se ofreci la sexta parte a cada uno de los dioses Siva, Visn y el Sol; una cuarta parte se le dio al amigo Bahavani, y las seis flores restantes se entregaron al venerable preceptor. Dime, rpidamente, cul es el nmero total de flores? c) El siguiente problema, denominado Los dos camelleros, apareci por primera vez en un tratado de lgebra del matemtico rabe Al - Karkhi, que vivi a principios del siglo XI.

Camellero A: Si t me das un camello, tendremos el mismo nmero de camellos.

Camellero B: S, y si tu me das a m un camello, yo tendr el doble que t. Decidme, doctos matemticos, cuntos camellos tiene cada uno? 4455.. Dos canillas, A y B, abiertas a la vez llenan un depsito en 4 horas. Si slo se abre la canilla A, el mismo depsito se llena en 6 horas. Cunto tarda en llenarlo solo la canilla B?

4466.. El moderno auto japons que conduce Akira parti de Oyama, ubicada en el kilmetro 20 de la ruta 875, viajando a 100 km/h con piloto automtico, lo cual le asegura una velocidad constante en todo el trayecto. a) En cunto tiempo recorri los primeros 60 km? b) El destino de Akira, Tokyo, era compartido por un compatriota, Tetsuo, que a la misma hora que l, por pura coincidencia, parti de su casa en Yin-Yan, en el kilmetro 0 de la misma ruta 875. El joven Tetsuo program su auto para que anduviera a una velocidad constante de 120 km/h y lleg a Tokyo a las 5 horas y media de haber partido. i) A cuntos kilmetros se encontraba Tetsuo de su destino? ii) En cunto tiempo Akira lleg a Tokyo? iii) En qu lugar de la ruta se encontraron? A qu hora fue el encuentro? 4477.. La pileta de la quinta de los Epumer, en San Miguel, mide 5 metros de ancho por 10 metros de largo y tiene una profundidad de 2 metros. a) Si Luciana quiere averiguar cunta agua hay en la pileta, qu datos tiene que tener en cuenta? Cul de los datos puede variar? b) La pileta puede contener 150 000 litros de agua? Por qu? c) Cul es la mayor cantidad de litros de agua que puede haber en la pileta?

Este problema y el siguiente son adaptaciones extradas de Bertoa, Walter y Ferr, Mara; La revuelta matemtica, Argentina, ediciones El Hacedor, 1995.


35

4488.. Resolv en Q a) - 2 x > - 0,4 b)- 1,5 x + 0,5 - 3

c) -0,5. | x - 2,3| < -1 d) x9

1

6

1x

3

22 ++

e) 2 35x < f) >

2 35x g) 2 0

| x |<

h) 2 0| x |

> i) 2 0| x | 1

>+

j) 2 0| x 1|

>+

k) ( ) 23x 1 x 05

>

l) ( ) 23x 1 x 0

5

0 , entonces ambos factores son positivos. d) Si x.y 0, entonces los dos trminos son positivos.

Sntesis Nmeros opuestos y mdulo en Z y Q Cada nmero racional a tiene un nmero opuesto que llamamos a. El opuesto del 0 es el mismo 0. La suma de nmeros opuestos es 0 es decir: a + (-a)=0

El mdulo de un nmero a que se simboliza con a es: 0a si a es positivo o

a si a es negativo

En la recta numrica, a representa la distancia de a al cero

Nmeros opuestos tienen el mismo mdulo, o sea, la misma distancia al cero. La distancia entre dos nmeros a y b es a b El mdulo de un nmero es siempre mayor o igual que 0.

Si k es un nmero positivo y a k a k a k Si k es un nmero positivo y a k k a k


36

Sobre la multiplicacin y divisin en Q Regla de los signos: El producto de dos nmeros del mismo signo es positivo El producto de dos nmeros de distinto signo es negativo

La multiplicacin es asociativa y conmutativa El 1 es elemento neutro para la multiplicacin ya que para cualquiera que sea a, a.1=1.a=a Llamamos inverso multiplicativo de a a un nmero que multiplicado por a da 1, ese

nmero es 1a.

Todos los nmeros racionales, salvo el 0, tienen inverso multiplicativo que tambin es racional. Definimos la divisin a:b al producto de a por el inverso multiplicativo de b (que

por lo dicho anteriormente, debe ser distinto de 0), o sea: 1

: .a b ab

=

La divisin cumple, entonces, la misma regla de los signos que la multiplicacin. Leyes cancelativas para la multiplicacin

. .a b a c b c= = adems, 0 . .cuando c y a c b c a b = =

. . 0

. . 0a c b c si c

a ba c b c si c

< ><

>


37

Trabajo Prctico 5: Tringulos

11.. Cuntos tringulos con lados de longitud entera. pueden construirse si la longitud del mayor es i) 5? ii) 6? iii) 7 ?

22.. Indicar cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justific a) Si dos tringulos tienen dos lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes. b) Si dos tringulos tienen un lado y un ngulo adyacente respectivamente congruentes, entonces son congruentes. c) Si dos tringulos tienen sus tres ngulos respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

33.. Constru para cada caso, un tringulo que cumpla las siguientes condiciones:

a) Un lado mida 3 cm, otro lado mida 4 cm. El ngulo comprendido mida 30o

b) Un lado mida 4 cm y los ngulos adyacentes a l midan 30o y 45o, respectivamente.

c) Los lados midan 5 cm, 2cm y 6 cm respectivamente. 44..

b) AB AB ,A A y B B

= = =

c) AB AB , BC BC y AC AC= = =

e) AC AC , BC BC y A A

= = =

55.. Constru dos tringulos distintos tales que las medidas de dos de sus lados a y b sean: 2 y 6 cm respectivamente y el ngulo opuesto a a, mida 20o

Consider el tringulo ABC y constru el tringulo ABC teniendo en cuenta los siguientes casos:

a) AB AB , BC BC y B B

= = =

C

A B


38

66.. Justific cada una de las siguientes proposiciones: a) Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos del

mismo.

b) Si un punto del plano equidista de los extremos de un segmento, entonces

pertenece a su mediatriz.

c) Si un punto interior a un ngulo equidista de sus lados, entonces pertenece a la

bisectriz del mismo.

d) Si un punto pertenece a la bisectriz de un ngulo , entonces equidista de los

lados del mismo.

77.. En la figura , M es el punto medio de BC. Demostr que B y C equidistan de la recta AM

88.. En ABC

, las bisectrices de B

y C

se cortan en P. Por P se traza la paralela a BC que corta al AB en D y a AC en E. Si BD CE en cm= =5 7 8,3; , ( ) , calcul DE . Justific.

99.. Demostr que en todo tringulo issceles la altura correspondiente a la base es a

la vez mediana. 1100.. Dibuj un tringulo cualquiera y constru sobre l:

a) las tres alturas. Se cortan ellas o sus prolongaciones? b) Las tres mediatrices. Se cortan? c) Las tres medianas. Se cortan? d) Las tres bisectrices de los ngulos interiores. Se cortan?

1111.. Demostr que en todo tringulo:

a) el punto de interseccin de las bisectrices equidista de los lados del mismo. b) El punto de interseccin de las mediatrices equidista de los vrtices del mismo.

B M

A

C


39

Sntesis Dos tringulos son congruentes cuando tienen todos sus lados respectivamente congruentes y todos sus ngulos respectivamente congruentes. En tringulos congruentes a los lados que se corresponden en esa congruencia se los denomina homlogos. Tambin se llaman homlogos a los pares de ngulos que se corresponden en una congruencia. Propiedad de los lados de un tringulo: En un tringulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos, y mayor que su diferencia. Relacin entre lados y ngulos. En un tringulo, a mayor lado, se opone mayor ngulo En un tringulo, a mayor ngulo, se opone mayor lado Criterios de congruencia de tringulos: Para asegurar la congruencia de dos tringulos, no es necesario que se muestre que todos los lados homlogos son congruentes y que todos los ngulos homlogos son congruentes, ya que es suficiente que se conozca la congruencia de algunos de stos elementos para poder probar la congruencia del resto. Los criterios de congruencia son esas condiciones de suficiencia: LAL:Es suficiente que dos tringulos tengan dos lados y el ngulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes, para que sean congruentes. ALA: Es suficiente que dos tringulos tengan un lado y los dos ngulos adyacentes al mismo respectivamente congruentes, para que sean congruentes. LLL: Es suficiente que dos tringulos tengan los tres lados respectivamente congruentes, para que sean congruentes LLA:Es suficiente que dos tringulos tengan dos lados y el ngulo opuesto al mayor de ellos congruentes, para que sean congruentes Propiedad: En tringulos congruentes, a lados congruentes se oponen ngulos congruentes En tringulos congruentes, a ngulos congruentes se oponen lados congruentes. Puntos notables del tringulo: La tres alturas de un tringulo concurren en un punto que se denomina ORTOCENTRO Las tres mediatrices de un tringulo concurren en un punto que se denomina

CIRCUNCENTRO y equidista de los vrtices del tringulo. Las tres bisectrices de los ngulos interiores de un tringulo concurren en un punto que

se denomina INCENTRO y equidista de los lados del tringulo. Las tres medianas de un tringulo concurren en un punto que se denomina

BARICENTRO y se encuentra a 23 de mediana de cada vrtice.


40

Trabajo Prctico 6: Potencias y races A. Potenciacin 1. Cules de los siguientes clculos dan el mismo resultado? Porqu? a) 35 = 53 = b)(2 + 4 )2 = 22 + 42= ( -3+4)3 = (-3)3 + 43 = c) 32.62= (3.6)2 = (-2)4.(-3)4= [(-2).(-3)]4=

(12 : 3) 2 = 122 : 32 = 34

2

=

3

4

2

2 =

2. Sabiendo que xes un nmero negativo e y es un nmero positivo, indic , en

cada caso, el signo del resultado: a) x3 b) (x.y)2 c) -(-x)3.y3 d) (- y)3 3. Resolv sin calculadora: a) (-1)159= b)( ) =83456 0 c) (-0,3)3 =

d)

23

2= e)

23

3 f)(- 0,3) -3 =

4. Expres los siguientes enunciados en forma simblica y resolv:

a) El doble del cuadrado de un tercio.

b) Tres quintos del cuadrado de cinco.

c)El cuadrado de la diferencia entre los tres quintos de cinco y uno

d)La diferencia entre los cuadrados de los tres quintos de cinco y uno

5. Resolv aplicando las propiedades de la potenciacin: a) 22.25 . 23 = b) (-3).(-3)2.(-3)3.(-3) : (-3)4 : (-3)


41

c) (-3)0.(-3)12:[(-3)3]4 d)25

25

5

:

e) 2x . 2x2. (2x)2 f) ( )33

3 32

51 3

2

=: :

g) ( ) ( )m m m. :2 3 2 3 2 , ( )m 0 h) m mmm

m

2 5

1 3

2

5.

( ): , ( )m 0

6. Resolv sin calculadora:

a) 2

34

350

3

1

3:3

3

5831

+

= b) ( ) ( ) =

+

3.2

36:60,0.3,0

2121

7. Resolv expresando todos los factores y divisores como potencias de un mismo nmero y aplicando propiedades de la potenciacin.

a)1

1323 16.

8

1:4.)5,0(

b) =

2

21

1

1

)008,0(

5

125

1

25)2,0(

c) =

1

32.1

8

1:

2)125,0.(

2

12

3

8. Indic cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo nmero

racional x:

a) 63

2 x4x2 =

b)

x3

5x

5

31

=

c) ( ) ( )33 1x21x2 += d) (2.x)2 = 2.x2 e) ( ) ( )22 1x21x2 += f) ( )2 2 2x 1 x 1 = 9. Verific que se cumple la siguiente igualdad para todo valor de x : (2x 3)2 - 32= 4x.(x-3) 10. Resolv:

a) (a + b)2= b) (a b)2 = c) (-a b)2=

d) (a + b).( a- b)= e) (x-3). (x+ 3)=

11. Ser verdad? Si n es un nmero natural par, entonces n2 - 1 es el producto de dos naturales impares consecutivos.


42

12. Comprob que la diferencia entre nmeros cuadrados consecutivos es un nmero impar.

13. Escrib el nmero siete como diferencia entre dos cuadrados consecutivos. 14.Traduc el enunciado mediante una ecuacin y resolv: Cul es el nmero tal que

la diferencia entre su cuadrado y su mitad supera en 6 unidades a su producto por el nmero anterior?

15. Resolv en Q las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a) (x + 1) . ( x - 1 ) + 5 x = (x - 5 )2 - 6

b) (x - 3 )2 + 7 x 2 x + ( x - 3 ) . ( x - 5 )

c) ( )( ) ( )3

1x1.5x2x31x21 22 +

=++

d) (1 - 2x) ( 1 + 2x)+ 5.(x-3) = 8x-(1+2x)2

e) 5-(x-3).(x-2)=2.(x+5)-(-1-x)2

f) (x + 3)2 (x + 3).(x 3) = x + 5

g) 42 .4x =47

h) 23 : 2x = 20

i) ( )4 643 x = j) (1 2x)2 (x5 :x4)2= 3x.(x+2)

k) 2 33 1

x x 05 3

+ =

(*)

l) 2 33 1

x x 05 3

+ >

(*)

ll) 2 33 1

x x 05 3

+

(*)

(*) Ejercicios optativos

16. Extra todos los factores comunes y expres como producto cada una de las siguientes sumas:

a) 2.a2 + 4.a3 - 8.a4 b) 3.m2.n - 6.m3.n2 + 9.m.n3

c) 423 c8

5c.25c

4

5+ d) 18 x2mb3 + 45 x5m3b3+27x4m2b7


43

17. Resolv en Q las siguientes ecuaciones:

a) x2 x=0 b) 12 x2 = 4x c) x3 x2 =0 d) 3x( x+2)=(x+2)2 18. Complet los espacios en blanco

a) 2y33

25 = 3.

= 3.

+ ................

3

5

b) 4 a2 9 = ( .... +.....).(......-........)

c) 25 a2 10ab +..........= ( ..... - .........)2

d) 4b2+2ab+. = (2b+)2

19. Resolv en Q las siguientes ecuaciones:

a) ( ) ( )2 22x 1 3x 0+ = b)( ) ( )+ + =3 22x 1 5 2x 1 0 c) (2x + 3)2+2x.(2x +3)=0

d) (3x + 2).(5x + 1)-3x. (5 x + 1) = 1 e)( ) ( ) + =2 25x 3x 1 0 Para escribir nmeros muy grandes o muy chicos 20. Leemos en un artculo cientfico acerca de la evolucin de la vida sobre la tierra:

21.

Planeta Distancia media al Sol

(en km)

Masa en relacin al

Sol

Mercurio 11.000.000 1,25.10-7

Tierra 150.000.000 3.10-6

Marte 228.000.000 3,23.10-7

Saturno 1.427.700.000 2,86.10-4

Neptuno 5.919.000.000 5,19.10-5

Los primeros dinosaurios aparecieron sobre la Tierra en el perodo Jursico del Mezozoico, hace aproximadamente 1,5.108 aos y se extinguieron a fines del Cretcico, 7,5.107 aos despus. Su peso era de aproximadamente 6,5. 103 kg.

La primera columna de la tabla, corresponde a las distancias medias al Sol, de algunos planetas de nuestro sistema Solar. La segunda, informa acerca de la masa de los mismos, tomando como unidad la masa solar. a)Escrib las distancias medias entre los planetas de nuestro sistema y el Sol como producto de una potencia de 10 por un nmero comprendido entre 1 y 10

....

Contest utilizando nmeros enteros: a)Hace cuntos aos que aparecieron los dinosaurios sobre la Tierra? b)Cuntos aos hace que se extinguieron? c)Cul era en Kg,el peso aproximado de un dinosaurio?


44

22.Expres en notacin cientfica los siguientes nmeros: a) 48000 b) 0,000008 c) 2345 d) 234,50 23.Supongamos que la Tierra est totalmente formada por arena y que es una esfera de 6500 km de radio. Si 100 granos de arena ocupan 1 mm3 Cuntos granos de arena

habra en la Tierra? (pi 3,14)(Vol. de la esfera= 43. pi.r3 )

24.La masa de un virus es 10-21 kg, la de un hombre 70 kg. Qu porcentaje de la masa del hombre representa, aproximadamente, la del virus? 25.Escrib en notacin cientfica, la equivalencia en metros de las siguientes unidades de longitud: a) 1 micrn (1 ) (es la milsima parte de un milmetro)

b) 1 angstrom (1 A) ( es la diez millonsima parte de un milmetro)

26. Escrib cada uno de los siguientes nmeros en notacin cientfica a) 0,000000003 b) 0,00000000000231 c)2153 d) 2.390.000.000

B. Radicacin

2277.. Resolv:

a) ( )3 516 27 : 32. 25+ = b) 334 1 89 8

+ =

c)( )23

2 2

2 9

5 4

=

d) ( ) 23 10, 5 0,9 : 22

=

e)-1-2 -2

2 -33-1

)-1+125. .(-1+11.10 3 + -1+ . =3 20,8.(10+5. )2

f)

3 7

2 3

10

2 2 53 3 4

1 11 :

4 4

+

=

2288.. Calcul:

a) 3 3)3( = b) =3 6)2(

c) =3 32 d) 3 122 =

e) 42 = f) 2)2( =

b)Encontr la expresin decimal de la medida de la masa de cada planeta en relacin a la masa del Sol.


45

Qu conclusin pods sacar acerca de la relacin entre la simplificacin de exponentes e ndices, el signo de la base de la potencia y el carcter de par o impar del ndice?

Si n es impar: ann = ....... , para cualquier aQ, positivo o negativo.

Si n es par y a Q+ (es decir , es un nmero racional positivo): ann =

si n es par y a Q- (es decir , es un nmero racional negativo): ann = 2299.. Resolv las siguientes ecuaciones: a) ( )5x 1 1 31+ = b)2 + x 7=

c) 3x 1

4 : 2 ( 1)3 3

=

d)

4

5:4

25

x14

2=

e)(x 2 - 4).(x3 +1) =0 f)( )23x 2

164

=

g) (x - 1)4 = 625

h) ( )( ) ( ) 212 5223 5 1 25 4 5 : .5 125x 2

+ = +

i) 2)(2. x - 1 - x = 2.(1 - 2 x)

3300.. Resolv en Q las siguientes inecuaciones:

a) x2 - 8 > 1 b) 21

9x

c) ( - 3 x + 2 )2 - 4 < 0 d) 31 1

x 1 7>

e) 2 - x2 > 1 f) 1 - (2-x2)2 < -3 g) 3- 5 x3 < (32) -1. 33 h) 3- 5 x2 < (32) -1. 33 i) ( )25 2 3x 4 < j) (x+2).(x - 3) < x 10 +

82 2 2 3 1k) 4 (2 2x) (x 5) (3 2x) x (2 ) :

2

+ + = +

2

3

3 5l) 2 2 . 7

2x 2

+ = +

21

m) 3 (4 x) 25

>


46

3311.. Resolv las siguientes ecuaciones:

a) ( )6+x 219037 =+ b) 64)9( 6 =+x

c) 5 + x = 11

d) 722

)312( 2=

+x

e) ( x 4 3625)(x 27) 0 + = (*) f) ( x 0)1024)(64 56 = x (*) g) ( x 0)1)(4 72 =++ x

h) 261 x = 6

i) 512 +x = 10

j) ( 7 x + 3) 2 11x 7(4 6 x = + )

(*) Ejercicios optativos 3322.. Resolv en las siguientes inecuaciones:

a) x 172 < -1 b) ( 10x 9) 2 - 9 > 0

c) -27 + x 2 > -2

d) - 2 + x 32485 +<

e) 18 9x 5132 6)6( < -2.2

1

3

f) (x 6 )( x + 4 ) < -2x +1

g) ( x +7)( x 10 ) > -3x +11

h) 29 ( 11 7x ) 35 <

i) 18 ( - 14 + 5x ) 72 <

j) 82 ( 8x +19 ) 3 < 647

k) 19 + (14x 3 ) 7 > 147 l) ( x + 9 ) (x 12) > -3x - 8

3333.. La medida del lado de un cuadrado es c. La altura de un rectngulo supera en una unidad a c y su base es dos unidades menor que la altura. Calcul los permetros de ambas figuras si la suma de las reas es 49.

c h= c+1

b=h-2


47

Teorema de Pitgoras

3344.. Los cuadrados grandes son congruentes.

a) Expres el rea de cada uno en funcin de las reas de las figuras que los forman .

b) Establec la igualdad entre las reas calculadas en a)

c)Qu conclusin pods extraer? 3355.. Las bases de un trapecio issceles miden 13cm y 7 cm respectivamente. Calcul su rea sabiendo que el permetro es de 30 cm.

3366.. Eliana camina 2 km al norte, luego 5 al este; vuelve a marchar hacia el norte, otros 4 km y finalmente retoma el rumbo este para recorrer 3 km ms. Calcul la distancia entre el punto de partida y el de llegada. 3377.. Las aristas de una caja que tiene forma de paraleleppedo recto miden: 10 cm, 6cm y 3 cm. Hac un dibujo y calcul la medida de la diagonal.

a

a

a

a

a

b

b b

b

c

c

c

c

Una hormiga se mueve sobre un cubo cuya arista mide 6 cm, tal como lo indica la figura. Calcul la longitud del camino. Cul es la longitud del camino que recorre la hormiga?

3 cm

3 cm

3 cm


48

3388.. Al serruchar un cubo de madera porAB,BC y AC (diagonales de tres caras del mismo), se obtiene el cuerpo truncado que se representa en el dibujo. Calcul el rea total de dicho cuerpo sabiendo que la arista AM mide 3 cm.

3399.. Las aves de la orilla (De la obra de un matemtico rabe del siglo XI)

Perelman, Y. lgebra Recreativa. Ed. Latinoamericana. Lima,1988

50

30

20

A ambas orillas de un ro crecen dos

palmeras, una frente a otra. La altura de

una es de 30 codos, y la de otra de 20. La

distancia entre sus troncos, 50 codos. En la

copa de cada palmera hay un pjaro. De

sbito, los dos pjaros descubren un pez

que aparece en la superficie del agua, entre

las dos palmeras. Los pjaros se lanzan a la

misma velocidad y alcanzan al pez al

mismo tiempo. A qu distancia del tronco

de la palmera ms alta apareci el pez?

A

C

M B

A A

C

M B


49

Algunas definiciones y propiedades

La potencia no es distributiva respecto de la suma y de la resta

Algunas propiedades de la potencia La potencia es distributiva respecto de la multiplicacin y la divisin

( ) ( ). . 0n n

n n n

n

a aa b a b conb

b b

= =

Potencias de igual base:

.

n p n pa a a += :n p n pa a a =

( ) .pn n pa a= Si a y b son nmeros racionales y n es un nmero natural, se verifica:

n na b a b= =

n na b si nes impar

a ba b si n es par

==

=

n pn p a a= =

( )0, 1, 1n pa a n p si a a a= =

Notacin cientfica Para expresar nmeros muy grandes o muy pequeos suele utilizarse la notacin cientfica Un nmero est escrito en notacin cientfica cuando est expresado como el producto de una potencia de 10 por otro nmero que, en valor absoluto, es mayor o igual que 1 y menor que 10

Consideremos: a Q y n N:

Si a 0 : a 0=1 Para todo a: a1 =a Para n>1: an = a a a

n veces

.

Si a 0 : a- n =1

an,


50

Si el valor absoluto del nmero es mayor que 1, la potencia de 10 es de exponente positivo. Si en cambio, su valor absoluto es menor que 1, el exponente de 10 es negativo.

La radicacin no es distributiva respecto de la suma y de la resta Algunas propiedades de la radicacin : Cuando cada radical existe:

. . ( 0)n

n n n nn

a aa b a b y conb

b b= =

.p n pn a a=

n na si n es impar

aa si n es par

=

en cambio, ( )nn a a= n na b a b= =

Radicacin Si n N y n > 1, afirmar que, la raz ensima de un nmero racional a es el nmero racional b, es equivalente a asegurar que a es la potencia ensima de b. En smbolos: Si aQ , nN, n 2: a b b an n= = (La raz ensima de un nmero racional a, puede no existir, pero si existe, es nica. Por convencin, si existe ms de un valor de b que verifique la condicin pedida, se adopta como raz ensima de a, al valor positivo de b) .

Se indica: ban = n: ndice de la raz a:radicando b: raz ensima :radical La raz de ndice 2 se llama raz cuadrada y en general no se escribe el ndice. La de ndice 3 , se llama cbica.


51

Teorema de Pitgoras En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. c2 = a2 + b2

a

b

c


52

Trabajo Prctico 7 : Cuadrilteros

11.. Demostr que en todo paralelogramo se cumple que:

a) los lados opuestos son congruentes

b) los ngulos opuestos son congruentes.

c) las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes.

22.. Enunci y demostr las propiedades recprocas de las mencionadas en el problema 1.

33.. Prob que si un cuadriltero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogramo.

44.. Prob que: a)Si un paralelogramo tiene un ngulo recto, entonces es un rectngulo.

b) Las diagonales de un rectngulo son congruentes.

c)Si un paralelogramo tiene sus diagonales congruentes entonces es un rectngulo.

55.. Sea BAC

un tringulo rectngulo en A y AM la mediana correspondiente a la

hipotenusa. Demostr que AMC

es issceles. 66.. Demostr que: a) Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos congruentes, entonces es un

rombo.

b) Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

c) Si las diagonales de un paralelogramo se cortan perpendicularmente, entonces es

un rombo.

d) Las diagonales de un rombo son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen.

e)Si las diagonales de un paralelogramo son bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen,

entonces es un rombo.

77.. Indic si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no. Justific a)Si las diagonales de un cuadriltero son congruentes, entonces es un rectngulo.


53

b) Si las diagonales de un rombo son congruentes, entonces es un cuadrado.

c) Si en un cuadriltero cada diagonal est incluida en la mediatriz de la otra,

entonces es un rombo.

88.. Demostr que si el punto de interseccin de las diagonales de un cuadriltero equidista de los vrtices, entonces es un rectngulo.

99.. En el dibujo, ABCD es un paralelogramo y AA '

y CC'

son las bisectrices deA y C

respectivamente. Demostr que AACC es un paralelogramo.

1100.. Sea ABCD un paralelogramo. Se consideran M y T pertenecientes a AC tales

que BM AC y DT AC. Demostr que BTDM es un paralelogramo.

1111.. En el cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB . Prob que MCD

es issceles.

1122.. Consider en el paralelogramo ABCD, M punto medio de AB y N punto medio de CD .Prob que MNCB es un paralelogramo.

1133.. Consider ABC

, M punto medio de AB y N punto medio de BC. Prob que: a) MN // AC

b) MN AC=1

2

1144.. a)Qu tipo de cuadriltero determinan los puntos medios de los lados de un

cuadriltero cualquiera? Justific. b) Demostr que el cuadriltero determinado por los puntos medios de los lados

de un rombo es un rectngulo.

B

M

A

C

D

B A C

A D C


54

c) Demostr que el cuadriltero determinado por los puntos medios de los lados

de un rectngulo es un rombo.

1155.. Para construir un cuadriltero se sigue el siguiente procedimiento: I)Se traza un segmento AB .

II) Se construye la mediatriz de AB (m).

III) Se considera un punto cualquiera P m y se lo une con A y con B.

IV) Por B, se traza r// PA

V) Por A, se traza t//PB

VI) t y r se cortan en Q

a)Pods asegurar que el cuadriltero PAQB es un paralelogramo? Por qu?

b)Pods asegurar que el cuadriltero PAQB es un rectngulo? Por qu?

c)Pods asegurar que el cuadriltero PAQB es un rombo?Por qu?

1166.. Si MN es base media del trapecio ABCD con respecto a AB y CD , siendo AB// CD,

prob que:

a) MN // AB

b) MNAB CD

=

+

2

1177.. Demostr que en un romboide:

a) las diagonales se cortan perpendicularmente.

b) la diagonal principal est incluida en la bisectriz de los ngulos cuyos vrtices

une.

1188.. Se reduce en un 10% la longitud de un par de lados opuestos de un cuadrado y se

incrementa en un 10% la del otro par. Qu variacin experimenta el rea del cuadrado?


55

Definiciones Un cuadriltero es un trapecio si y slo si tiene al menos un par de lados opuestos

paralelos.

Llamaremos trapecio issceles al trapecio no paralelogramo en el que los lados opuestos no paralelos son congruentes.

Un cuadriltero es un paralelogramo si y slo si tiene sus dos pares de lados

opuestos paralelos. Un cuadriltero es un rombo si y slo si tiene sus cuatro lados congruentes.

Un cuadriltero es un rectngulo si y slo si tiene sus cuatro ngulos rectos.

Un cuadriltero es un cuadrado si y slo si es rectngulo y es rombo.

Un cuadriltero con dos lados consecutivos congruentes y los otros dos, distintos

de los anteriores, pero congruentes entre s se denomina romboide La diagonal que une los vrtices a los que concurren los lados congruentes se llama diagonal principal.

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